Ecuaciones Diferenciales y Sus Aplicaciones

PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERIA

6ta. EDICION

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

ECUACIONES DIFEFENCIALES Y SUS APLICACIONES

PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERÍAS

6ta E D IC IO N

c / d y d 2 y d y n _

d x d x ¿ d x


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L IM A -P E R U-------------------- wsmm

MIMíl ’ .( ) I N I I l ’ l k'UII 09 2004

6ta EDICIÓN

ERECHOS RESERVADOS

ESTE LIBRO NO PUEDE REPRODUCIRSE TOTAL Ó PARCIALMENTE POR NINGÚN

VIÉTODO GRÁFICO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO, INCLUYENDO LOS SISTEMAS

DE FOTOCOPIA, REGISTROS MAGNÉTICOS O DE ALIMENTACIÓN DE DATOS, SIN

EXPRESO CONSENTIMIENTO DEL AUTOR Y EDITOR.

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P R O L O G O

Teniendo en cuenta que el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias es muy

importante en la formación de los estudiantes de Ciencias e Ingeniería, debido a que con

frecuencia aparecen en el estudio de los fenómenos naturales.

Esta obra que presento en su 6ta Edición está orientada básicamente para todo estudiante

do Ciencias Matemáticas, Física, Ingeniería, Economía y para toda persona interesada en

fundamentar sólidamente sus conocimientos matemáticos.

Esta 6ta Edición está cuidadosamente corregida, aumentada y comentada tanto en sus

i jetcicios y problemas resueltos y propuestos con sus respectivas respuestas. La teoría expuesta es

precisa y necesaria para la solución de los diversos problemas abordados.

La lectura del presente libro requiere de un conocimiento del cálculo diferencial e

integral; el libro empieza con un capítulo sobre los conceptos generales de las ecuaciones

diferenciales, se continúa con diferentes métodos analíticos para resolver una ecuación diferencial

de primer orden y primer grado, acompañado con algunas aplicaciones importantes, se abordan las

ecuaciones diferenciales de orden n, homogéneas y no homogéneas con sus respectivas

.iplicaciones, también se estudia los operadores diferenciales; asimismo, se trata del sistema de

ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes en diferentes

métodos de solución, así mismo se estudia las ecuaciones diferenciales por medio de series de

potencias utilizando el teorema de FROBENIUS, se ha incluido el capítulo de las ecuaciones en

• IHerencias y sus aplicaciones en economía, por último se considera algunas tablas como

identidades trigonométricas e hipérbolas, sumatorias, logaritmos, ecuaciones cúbicas y cuarticas,

tlei ivadas e integrales.

Por último agradecer y expresar mis aprecio a las siguientes personas por sus .aliosas

sugerencias y críticas.

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORROEx-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la UNMSM.

Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM

Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y Tecnología del Perú.Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.

DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPADoctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro - Brasil.Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.

LIC. ANTONIO CALDERON LEANDROEx-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la

Universidad Nacional del Callao.

Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la

Universidad Nacional del Callao.

Coordinador del Área de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo Palma.

LIC. SERGIO LEYVA HAROEx Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao.

Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la UNAC.

LIC. JUAN BERNUI BARROSDirector del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao.

Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

LIC. PALERMO SOTO SOTOCatedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.

Mg. JOSE QUIKE BRONCANOCatedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.

Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHECatedrático de la Universidad Nacional del Callao

Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería.Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.


D E D I C A T O R I A

Este libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE y DIANA

que Dios ilumine sus caminos para que puedan

ser guías de su prójimo

I.

1 . 1 .

1.2 .

1.3.

1.4.

1.5.

1.6 .

1.7.

1.7.1.

1.7.2.

2.

2 . 1.

2 . 2 .

2.3.

2.4.

2.5.

I N D I C E

C A P I T U L O I

CONCEPTOS BASICOS Y TERMINOLOGIA.

Introducción

Definición

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Orden de una Ecuación Diferencial Ordinaria

Grado de una Ecuación Diferencial Ordinaria

Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria

Origen de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales de una Familia de Curva

Ecuaciones Diferenciales de Problemas Físicos

C A P I T U L O I I

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIA DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variable Separable

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Reducibles a Variable Separable

Otras Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéne'as

Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Homogéneas

2.6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Exactas 72

2.7. Factor de Integración 87

2.8. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden 118 i

2.9. Ecuaciones Diferenciales de Bemoulli 134 j

2.10. Ecuaciones Diferenciales de Riccati 149]

2.11. Ecuaciones Diferenciales de Lagrange y Clairouts 153

2.12. Ecuaciones Diferenciales no resueltas con respecto a la Primera Derivada 160

2.13. Soluciones Singulares 168

C A P I T U L O I I I

3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 177

3.1. Problemas Geométricos

3.2. Trayectorias Ortogonales

3.3. Cambio de Temperatura

3.4. Descomposición, Crecimiento y Reacciones Químicas

3.5. Aplicaciones a los Circuitos Eléctricos Simples

3.6. Aplicaciones a la Economía

177

198

206

206

221

241

C A P I T U L O I V

4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. 258

C A P I T U L O V

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5 6.

Independencia Lineal de las Funciones

El Wronskiano

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes

Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas de Coeficientes Constantes

Método de Variación de Parámetro

Ecuaciones Diferenciales de Euler

269

270

271

276

288

311

320

C A P I T U L O V I

6.1.

6,2.

6.3.

6.4

OPERADORES DIFERENCIALES

Leyes Fundamentales de Operadores

Propiedades

Métodos Abreviados

Solución de la Ecuación de Euler mediante Operadores

330

330

331

332

346

C A P I T U L O V I I

7.^ ^ ^ 5 Ñ É S 1 )IF E R E N C IA L E S DE COEFICIENTES

VARIABLES

7,1. Aplicaciones

' I I Aplicación al Péndulo Simple

de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

355

365

371

C A P I T U L O V I I I

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES CONSTANTES 390

C A P I T U L O I X

9. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS 401

9.1. Solución de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden 403

9.1.1. Solución Entorno a Puntos Singulares 4299.1.2. Puntos Singulares Regulares e Irregulares 4309.2. Método de FROBENIUS 4319.2.1. Casos de Raíces Indicíales 4369.3. Dos Ecuaciones Diferenciales Especiales 4579.3.1. Ecuaciones de Bessel y Función de Bessel de Primer Tipo 4579.3.2. Ecuación Paramétrica de Bessel 4629.3.3. Ecuación de Legendre 4639.3.3.1. Solución de la Ecuación de Legendre 4639.3.3.2. Polinomios de Lagendre

C A P I T U L O X

466

10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS. 473

10.1. Definición

10.2. Orden de una Ecuación en Diferencias

10.3. Ecuaciones Lineales en Diferencias

10.4. Soluciones en las Ecuaciones en Diferencias

474

474

474

475

10. V Ejercicios Desarrollados 475

Licuaciones Lineales en Diferencias de Primer Orden con Coeficientes Constantes 480

484

491

494

498

499

502

10,6.

1 n / Comportamiento de la Solución de una Ecuación en Diferencias

10 8, Ejercicios Propuestos

tu*) Aplicaciones de las Ecuaciones en Diferencias en Modelos Económicas

H) 10. Ejercicios Propuestos

m i l Ecuaciones en Diferencias Lineales y de Segundo Orden con

Coeficientes Constantes

m 12. Comportamiento de la Solución

10.13. Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden no Homogéneas

10 14. Equilibrio y Estabilidad

10.15. Ejercicios Propuestos

508

511

i mnr/ilos Básicos

C A P I T U L O I

I. CONCEPTOS BÁSICOS Y TERMINOLOGÍA.-

I I INTRODUCCIÓN.-

En los cursos básicos el lector aprendió que, dada una función y = f(x ) su derivada

dy__ - f \x) es también una función de x; y que se calcula mediante alguna regladx

apropiada. El problema que enfrentamos en este curso, no es, dada una función y = f(x )

encontrar su derivada, más bien el problema es, si se da una ecuación como

dy— = / ' (x) , encontrar de alguna manera una función y = f(x ) que satisfaga a la dx

ecuación, en una palabra se desea resolver ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función

incógnita.

Ejemplos de Ecuaciones diferenciales:

1.2. DEFINICIÓN.-

donde w = f ( x , y, z)

Eduardo Espinoza Ramón

© 2 d ~ (ú d ~ a ) i d 2(0 _x — - + y~— T + z~— r = donde co = f ( x , y , z )

d x 1 d y 2 dz2

1.3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.-

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos tipos:

ler. Si la función incógnita depende de una sola variable independiente, en la cua

sólo aparecen derivadas ordinarias, la ecuación diferencial se llama “Ecuaciói diferencial ordinaria”.

Ejemplos: Son ecuaciones diferenciales ordinarias las siguientes ecuaciones:

a) m — — = ~kx, donde k = mco~ es una magnitud positiva, m la masa (Ecuacióidi

diferencial del movimiento armónico simple)

d 2y dyb) (1 - - r )— — — 2x------ 1- p ( p + l )y = 0 (Ecuación diferencial de Legendre)

dx~ dx

. 2 d~v dy t tc) x — y + x — + ( * - p~)y = 0 (Ecuación diferencial de Bessel)

dx* dx

d d) ( x - x~ )— + [y - (a + p + l ) x ] ------ a¡5 v = 0 (Ecuación diferencial de Gauss)

dx dx

\ i d ' q „ dq 1c) — —+ a ——H— q = 0 (Ecuación diferencial de la corriente eléctrica ,donde q e>

dt~ di C

la carga eléctrica, R la resistencia, L la inductancia. C la capacitancia).

NO TA C IÓ N .-

A las ecuaciones diferenciales ordinarias se representa mediante el símbolo:

• nú i-plos Básicos 3

I )onde F indica la relación que existe entre las variables x, y , así como también sus

derivadas

dy d 2y dny

dx ’ dx2 ’ dxn

2do. Si la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas

son derivadas parciales, la ecuación diferencial se llama “Ecuación Diferencial

Parcial”.

Ejemplos: Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales.

2 ^ 2 2ti) -—— + — — + — —.= 0 , donde co = f(x,y,z) (Ecuación diferencial de Laplace)

d x 2 d y 2 d z2

3 2 ^2|>) — — = a2— — (Ecuación diferencial de la onda unidimensional)

d t2 dx2

d u d uc) — = h2----- (Ecuación diferencial térmica unidimensional)

dt d x 2

,1) í0. + ^Lj^) = ^ L (Ecuación diferencial del calor)d x 2 d y 2 d z 2 di

7 d2(ú d2co d'(Os d2CO . , , . , .a¿(------- 1-------- 1------- ) = ------ (Ecuación diferencial de la onda)¿ x 2 d y 2 d z 2 dt2

d 2u d 2u0 — — + — — = f (je, y ) (Ecuación diferencial bidimensional de Poissón)d x 2 d y 2

1,1, ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.-

I I orden de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el orden mayor tic su

derivada.

Eduardo Espinoza RamosI 1 onrcptos Básicos

©

©

©

©

©

©

©

©

©

1.5. GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.

El grado de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el exponente del mayoi

orden de su derivada.

Ejemplos:

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

c>2y dy

dxe — - + sen x . ~ - x, es de 2do. orden y de 1er. grado.

dx

d } y d 2y 3 dy~t t + 2(— y ) tgx,dx dx dx

dy

dx+ P(x )y = Q(x),

d y("TT>2 ~ 2 ( , ~ ) 4 + .ry = 0,

dx dx

es de 3er. orden y de 1er. grado,

es de 1 er. orden y de 1 er. grado,

es de 3er. orden y de 2do. grado.

EJERCICIOS PROPUESTOS.-

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

d ' Q „ dQ Q + R - + ^ - = 0

dt dt C

d 2y dy dy 2~ 7 T - ^ + ( ~ r ) + y = °dx dx dx

d y m J . . , dy.2d7 = ' f + l f /

T4 dy x2 d y _ 4 d~y

dx dx2 dx3

*(y ” )3 + (y ')4 - y = 0

dx3 dx

C f ) 7.V '+ y = eos x

® ( D xy ) 3 = 3a2 -1

® ( d y . i ^ d y dy * 7(— - ) + — —•(— ) - x y^cosjc dx dx dx

©

I .<>. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.-

dySi y = F(x) es una función y f es la derivada de F, es decir: — = F \ x ) = f ( x ) , de

dx

donde:dy_

dx= / (* ) ... (a )

La ecuación (a ) es una ecuación diferencial ordinaria.

La solución de la ecuación (oí) consiste en buscar una función y = G (x ) de tal manera que

verifique a la ecuación (a ).

Como F es la antiderivada de f, entonces G (x) = F(x) + C. donde C es una constante, es

decir: d { G ( x ) ) ~ d ( F ( x ) + c ) = F \ x ) dx = f ( x ) d x

10) co sx .(y ")~ + s e n .r (y ) =1

Luego: y = G (x ) = F (x) + C ... ((i)

Se llama solución completa o solución general de la ecuación diferencial (a ).

La solución general ((i) nos representa una familia de curvas que dependen de una

constante arbitraria que se llama familia de un parámetro.

En los problemas que incluyen ecuaciones diferenciales, se trata de obtener soluciones

particulares, luego de la solución general de la ecuación diferencial, mediante ciertas

restricciones, llamadas condiciones iniciales o de la frontera, se obtiene la solución

particular.

Nota.- En la Solución General de la ecuación diferencial que llamamos no se

considera las soluciones escondidas es decir que no están todas las soluciones.

Ejemplos:

Verificar que las funciones y, = e* , y2 = co sh * son soluciones de la

ecuación diferencial y " - y = 0.

Solución

©

Eduardo Espinoza Ramo\

-

y = e = > y = e = > y - ei i 1

y = c o sh x = > y ' = senhx =* v " = coshx 2 2 1

Como y' '—y = 0 => ex - ex = 0 , y' '—y = 0 => cosh x - cosh x = 0

Verificar que la función y = ( p ( x ) - e x I e ’ dt + e*J o

ecuación diferencial y '= 2xy = 1

Solución

es solución de 1¡

i .iin eptos Básicos

y = (p(x) = ex I e ' dt + eJo

dt +1 + 2xe

y '- 2 xy

y ' - cp '(x) = 2xex I e ' iJo

dt + \ + 2xex —2x(ex í é~' dt + ex )Jo

2xex =1 , y ' - 2 x y = l\

) = ex í e~rJo

■ = 2xex f VJo

= 2xex í e~’ dt +1 + 2xeA - 2xex í e~‘ dt -Jo Jo

K

( ? ) Verificar si la función J0 (t) = — 2 cos(/sen0W0 , satisface a la ecuación diferenciJn Jo

J ' o(0+---- ------+■ J0(t ) — 0

Solución

n

J0( t ) = — " cos(/sen0)¿/0 => J\) ( t) = -----sen(ísn Jo n Jo

= í 2 eosn Jo

y (/) + £ o W + y « ) = - - ft JI Jo

sen 0 ) sen 9 dO

cos(?sen0)sen~ 0 d9

cosí/ sen 0 )sen 9 d9

k2 fT sen(f sen 9 ) sen 9 2 f->

-----------------d9 H— I ~cos(ísen0)¿/0n Jo/

2 nn ,)o

7T

2P e

n ,Jo

cos(/sen0)íl-cos 0)á0__2 f2 9

# Jo

sen(f sen 0 ) sen 0 ¿/0

’ - - f ^ Jo

2 seni f sen 0 ) sen 9d9

Integrando por partes I 2 cos(f sen0)cos2 9d9 .Jeo

u = eos 9

dv = cos(ísen0)cos0 d9

du = -sen0 d9

sen(í sen 9 )v = ■

7

f cos(í sen 0) eos" 9 d 9 = -cos0.sen(ísen0) f 2 sen(ísen0)sen0

7 M’ 0 J„í/0

= (0 - 0 H l ' “ en<,sen,))sen% >i 0 1

K_ £f 2 ? „ f 2 sen(í sen0)sen0 ,„

Luego cosí?sen0)cos 0 d9 = I ----------—---------d9Jo Jo f

■ (2)

reemplazando (2) en (1) se tiene:

1 7T

2f ^ Jo</0

_ 2 _ ( * 2 S I

n Jo

sen(/ sen 0 ) sen 0 d9- = 0

^---- (-J0(0 —0

( 4 ) Dada la función F(x) = <T'tcosh0d0, x > 0, verificar que F satisface a la ecuacióiJo

diferencial. x F " ( x ) + F \ x ) — xF (x ) = 0 .

Eduardo Espinoza

Solución

MOO *00

F (x ) = I e~xcosbedO =* F '(.x) = - I e~xmshB cosh O dd Jo Jo

F " ( x ) = f e~xcosh0 cosh2 O ddJo

xF "(x) + F ’(a ) - xF (x ) = x f e~xmsh() cosh ’ 0 dd - í e” xcosh0 cosh Q d6Jo Jo

r-x I eJo

f e~xcmhB (cosh29 - \ ) d e - í Jo Jo

f e~xcoshe senh2 6 dO - íJo Jo

-A 'C O S h #

-XCOSh# cosh# dd

senh 0 d9 - e -xcosht> cosh0 dO ... (1)

fIntegrando por partes I e jrcos,he senh2 O dO

u = senh O

dv = g-jtcoshe senh# de

du = cosh O dd-x cosh 6e

JJo -jrmshfl , -> senh0.ee senh “ 6 dO = --------------x cosh6

/ + 1 f/ 0 X Joe ^ c w h . f l d6

I f e -Jtc¡.sh0 cosh 0= - (0 - 0 ) + — í e xJo

Luego í e Jceosh® senh2 6 dO = — íJo *J o

Reemplazando (2) en (1) se tiene-

-jrcoshe cosh0 dd . . . (2)

fxF " ( x ) -+ F \x ) - xF (x ) = x ( - e~ACOshe cosh6 d O ) - I e Jxoshtf cosh0 dOFJo

•vptos Básicos 9

: f e~xco%he cosh0 de - f e~xcmhe cosh 6 de = 0 Jo Jo= e10 Jo

x F " ( x ) + F ' ( x ) - x F ( x ) = O


f r sen tVerificar que la función y = x I —— dt, satisface a la ecuación diferencial

Jo t

dyx — = y + jcsenx.

dx

r x 2Comprobar que la función y = ex I e' dt + cex, satisface a la ecuación diferencial

Jo

dv x+x2—— y = e dx

Dada la función H(a) = I - u.-~-'1'-' , a * 0. probar que H(a) satisface a la ecuaciónf 1 eos atdt

J-i %/l-r

diferencial H " (a ) + — H '(a) + H (a ) = 0, a

Verificar que la función y - aresen (x y), satisface a la ecuación diferencial

xy'+ y = y ' \ j\ - x 2y2

'JJ(Comprobar que la función a: = y I sen; dt, satisface a la ecuación diferencial

Jo. , 2 2 y — xy +y senx

I*x sen tComprobar que la función y = Clx + C2x\ —— dt, satisface a la ecuación diferencial

Jo fx sen x.y' '—x eos x.y'+ y eos x = O .

Sea h(x) = — -dz, x > O, hallar los valores de “a” tal que la función f definida porJi z

e al,(x)f ( x ) = ------- satisface a la ecuación diferencia! x2y "+ (3 x - x 2)y '+ ( l - . v - 3 e x )dy O

10

13)

14)

15)

16)

Eduardo Espinoza Ramo

Verificar que la función x = y + Ln y, satisface a la ecuación diferencia

yy”+ y '3- y ' 2 = 0.

( ? ) Dada la función H ( a ) = í sen at(^ a * o probar que H(a) satisface a la ecuacióiJ > V w 1

diferencial H "(a) + — H '(a) + H(a ) = 0 a

(lo) Si x ( t ) = f ( t - s ) e u s)esds , calcular el valor de: x " ( t ) + 2x\t ) + x(t )Jo

(T i) Probar que la función >' = — í R( t ) scnhk(x - i )d t , satisface a la ecuación diferencii^ Jo

y " - k - y = R(x)

i r *^12) Probar que la función y = C,x + C2x | —dt, x > 0, satisface a la ecuación diferencia

x 2y " - ( x 2 + x)y’-f-(x + l)y = 0.

a' “ ln" x .y ''-x ln x.y’+(ln x + l )y = 0 .

I u eu du

Demostrar que la función </>(x) = x~le 0 para x > 0, satisface a la ecuaciói

diferencial x 2(p"(x) + (3 x - x 2 )0 ’ ( x ) + (1 - x - e2x)</>(*) = 0 .

Dada la función y ln y = x + I e‘ dt, satisface a la ecuación diferencial jJo

(1 + ln y )v ”+ y '2 —2xy.ex .

Demostrar que la función y = (x + \lx2 +1 )*, satisface a la ecuación diferencia

(1 + x 2)y "+ x y ' - k 2y = 0 .

I fi i i ¡ píos Básicos II

C dxl ’ ) Probar que la función x(t) definida por: x(t ) = I — X- , satisface a la

Jo (x + / )

ecuación diferencial t x '+ 3x(f ) +(1 + í 2)2

IH) Demostrar que la función / ia,b) = I e ax bx dx, satisface a laJo

ecuación diferencial

? , a b ^ - - 3 a ^ - - 2 b 2^ - = i db~ db da

K 1

I'») Probar que — = I 2 cos(mx" sen#)cos" 9d0, satisface a la* Jo

ecuación diferencial

y " + m 2n 2x 2n 2y - 0

C ) Probar que yf “Jo

senz+bcosz

x + zdz, satisface a la ecuación diferencial

£ i dx2

a b+ y ~ ~ + ~

X X

pe

Dada la función y = C,Ln x+C-,x I -------. x > 1, satisface a la ecuación diferencia , ,\ ,, ... , ¡ - _,/■> . „“ J KLn(t ) 1 J D Verificar que las funciones y, = Vx, y2 - x , x > 0, satisfacen a la ecuación>«)

n )

diferencial 2x y" + 3xy'- y - 0 .

Verificar que las funciones y, = x 2, y2 = x ~ 2 ln x , x > 0, satisfacen a la ecuación

diferencial x 2y " + 5xV + 4y = 0.

Demostrar que la función y = ~ log(sen2 6 + x 2 eos2 6)dd , satisface a la ecuaciónJe

9 X ■+■ 1diferencial (1 + x) y " + (l + x )y ' +y = ;rlog(—— ).

f KDada la función u — I eqxcos0 {A + fí log(xsen2 6 ))dd satisface a la ecuación diferencial

Jo

d u du nx — —H-------- q ’ xu = 0

dx dx

Eduardo Espinoza Ramos

Demuestre que la función y

xy " -2 n y ' + xy = 1.

1 e~xzdz

o (i + r ) ' ,Hsatisface a la ecuación diferencial

Si H { t ) = I e 1 cos(tx)dx, para todo t e R, probar que H \ t ) + — H ( t ) = 0Jo 2

1Si G ( t ) = I e x d x , t> 0 , probar que: G '(?) + 2 G ( í ) - 0

Verificar si la función y = C ]eharcscnx + C 2e ¿arcsen;c es la solución de la ecuación!

diferencial ( l - x 2) y " - x y ' - b 2y = 0 .

Verificar que ( y ' ) 2 = [l + (.y ')2 ]3 es la solución diferencial de las circunferencias de

radio r = 1

Demostrar que: y = ex (C, + C2 j e 1 dx) es la solución de la ecuación diferencial|

y " - 2 x y ' - 2 y = 0 .

í sJoProbar que la función y{t) - I sen( t - s ) f ( s ) d s es una solución en I de .

y " ( t ) + y(t ) - / (/ ), que satisface v(0) = y' (0) = 0 , donde f es una función continúa|

sobre el intervalo I , el cual contiene al cero.

Demostrar que y(t) - f (s ) ds es solución de y {n>{t) = f { t ) con

y(0) = y' (0) = ... = y (" J) (0) = 0 donde f es continúa sobre un intervalo I que contiene ,¡

al cero.

Comprobar que y = 2 I e s ds + c es solución de = — -¡=-dx -JxJe

( oin eptos Básicos 13

1.7. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.-_______________________________________________________

Las ecuaciones diferenciales aparecen no sólo a partir de las familias de curvas

geométricas, sino también del intento de describir en términos matemáticos, problemas

físicos en ciencias e ingeniería.

Se puede afirmar que las ecuaciones diferenciales son la piedra angular de disciplinas

como la física y la ingeniería eléctrica, e incluso proporcionan un importante instrumento

de trabajo en áreas tan diversas como la biología y la economía.

Veremos la obtención de ecuaciones diferenciales que se origina de diversos problemas

los cuales pueden ser geométricos, físicos o por primitivas.

I I ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAM ILIA DE CURVAS.-

Si se tiene la ecuación de una familia de curvas, se puede obtener su ecuación diferencial

mediante la eliminación de las constantes (o parámetros) y esto se obtiene aislando la

constante en un miembro de la ecuación y derivando. También se puede eliminar la

constante derivando la ecuación dada, tantas veces como constantes arbitrarias tenga, y se

resuelve el sistema formado con la ecuación original.

•

Ejemplos.-

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = C Í cosí.r + C2).

Solución

v = C¡ cos (x+C 2) => y'= -C ] sen(A: + C2)

y " = - C i cos(x + C2)

¡y " = ~C\ cos(x + C2) donde < => y + y = 0

[ y = Cj cos(.v + C2)

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = A sen x + B eos x

Solución

14 Eduardo Espinoza Ramos

©

y - A sen x + B cos x => y' = A eos x — B sen x

y " = - A sen x — B eos x

[ y ” = -A s e n x -ñ c o s xde donde => y ” +y = 0

[y = Asenx + ficosx

Otra manera de eliminar las constantes es, considerando el sistema siguiente:

y = -A sen x + Z?cos;t

• y ' = A cosx-fisen .v =

y " = - A sen x - B eos x

- y + Asenx + fi eos x = 0

- y ' +A eos x —B sen x = 0

- y " - A sen x - B cosx = 0

Este sistema de ecuaciones en dos incógnitas A y B tienen la solución sí y sólo sí:

= 0 => y ” +37 = 0

- y sen x eos x

- y ' eos x - sen x

- y " -sen x -co sx

Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es y = C¡e x + C 2e 3x

-3jc

Solución

y - C ¡ e ' + C 2e Ar => e ' y = C¡ + C 2e 2x derivando ex y'+ex y = - 2 C 2e

e3xy'+e3xy = - 2 C 2 => 3e3ry'+e3xy"+3e3xy + e3xy’= 0

3 y '+ y " + 3y + y '= 0 =» y " + 4y' + 3y = 0

-2x

Otra manera es:

y = C¡e- x + C2e-3x

y' = -C,e~x - 3 C 2e~3x-3 xy" = C¡e~x +9C2e

el sistema tiene solución sí y solo sí:

-3x-y + Cxe x

-y ' -C,e~x - 3 C 2e~3x = 0

- y ” + C : U 9 C 2e~3x = 0

- y

- y ' - e '*

e~3x

—3e~3x = 0 =* e~*x- y

- y '

1 1- 1 - 3 = 0

- y " 9e~3x - y " 1 9

de donde y " + 4y' + 3y = 0

( ,.<111 ¡iltis Básicos 15

^ 2 2Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es (x - a ) ~ + y = r ,

circunferencias de radio fijo r, con centro en el eje x, siendo “a” arbitrario.

Solución

( x - a j 1 + y2 = r 2 => x - a = ^ r 2 - y 2 derivando se tiene:

1 - 0 =-yy

4 2 2 r ~ yr2 — y2 -yy

de donde r 2 - y 2 = y 2y'2 (1 + y '2 ) y 2 - r 2

Q ) Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas las que tienen sus vértices

en el origen y sus focos sobre el eje y.

Solución

De acuerdo a los datos del problema, la gráfica de estas parábolas es:

La ecuación de ésta familia de parábolas es:

x 2 =4py ...(1 )

donde el vértice es v(0,0) y el foco F(0,p).

Como el parámetro es P entonces lo eliminamos2 2 2 ,x y x — x y

— = 4 p, derivando se tiene - ---------- = 0y y

simplificando

xy '= 2 y ecuación diferencial pedida

Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencia en el primer cuadrante,

tangentes a las rectas x = 0 e y = 2x

Solución

De los datos del problema, el gráfico es:

Eduardo Espinoza Ram os ,

Sí c (h,k) el centro => r = h por ser tangente el eje Y.

r~ = d 2 (c, p ) = d 2 (c, p) = ( a - h )2 + ( b - k ) 2

r 2 = ( a - h ) 2 + ( b - k ) 2

pero p(a,b) e L: y = 2x =* b = 2a

Luego r 2 = ( a - h ) 2 + ( 2 a - k ) 2 ...(1 )

Además la ecuación de la circunferencia de radio r, centro c (h,k) es:

(.x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2

Ahora derivamos la ecuación (2) se tiene; ( x - h ) + ( y - k ) y ' = 0

Como en el punto p (a,b) es tangente a la recta y = 2x

=* y '\x=a -^ entonces (a - h) + 2 (2a - k ) = 0 => 5a = h + 2k

h + 2 k 2 / -i\a ----------- y b = —(h + 2k) — w)

5 5

Jy | O ^

Reemplazando (3) en ( 1) h2 = (— ------h )2 + ( —(h + 2 k ) - k ) 2

2 k -4 h ^ 2 ,2h - k i .... ,h~ = (----------)-+ (— _— )-, simplificando

5h +20kh — 5k2 = 0 => h 2 + 4 k h - k 2 - 0 => h = (y Í5 -2 )k ó => k = -

( x - h ) 2 + ( y - ^ — f = h27 5 -2

La expresión (4 ) es la ecuación de la fam ilia de circunferencias, para hallar la d mi

diferencial, eliminamos el parámetro h de la ecuación (4) para esto derivamos:

( onceptos Básicos 17

h2 ( x - h ) + 2 ( y — p -----) )7' = 0 despejando h tenemos:

V 5 - 2

h = {- ^ reemplazando en (4)V 5 - 2 + y ’

(y ¡5 -2 ) ( x + y y ' ) 2 f (^5 - 2)(x + yy ') n _ . (y/5-2 ) (x+ yy')^ l' - i— J ' L 3 y— i— J \ i— /

S - 2 + y ' (V5 - 2)(v5 - 2+ y' ) V 5 -2 + y '

Simplificando se tiene: (a - (V 5 -2 )> ’) 2(1 + y ’2) = [(\¡5 - 2) (x + yy') ]2

I 7.2. KCUACIONES D IFERENCIALES DE PRO B LEM AS FÍSICOS.-

1 .as ecuaciones diferenciales de problemas físicos provienen de diferentes fuentes, tales

como la mecánica, eléctrica, química, etc.

Ejemplos:

Si' sabe que los objetos en caída libre cercanos a la superficie de la tierra tiene una

.itvici ación constante g. Ahora bien, la aceleración es la derivada de la velocidad y esta a

u ve/, es la derivada de la distancia S. Luego, si se toma como dirección positiva la

d 2silnación vertical hacia arriba, tenemos que la fórmula.— — = —g es la ecuación

dt~

tllli'icnciul de la distancia vertical recorrida por el cuerpo que cae. Se usa el signo menos

|nii".(o que el peso del cuerpo es una fuerza de dirección opuesta a la dirección positiva.

I >Hii musa m de peso w se suspende del extremo de una varilla de longitud constante L.

Suponiendo que el movimiento se realiza en un plano vertical, se trata de determinar el

Alíenlo ck* desplazamiento 9, medido con respecto a la vertical, en función del tiempo t,

(mu oiiNÍdcríi 9 > 0° a la derecha de op y 0 < 0o a la izquierda de op). Recuérdese que

»'I iiit.'o s de un círculo de radio L se relaciona con el ángulo del centro 9 por la formula

. - I II

d 2s , d 20I lo lanío, la aceleración angular es: a = — — = L — --

dt2 dt2


por la segunda ley de Newton: F = nui = mLd 26

di2

©

En la figura vemos que la componente

tangencial de la fuerza debida al peso w es mg

sen 0, si no se tiene en cuenta la masa de la

varilla y se igualan las dos expresiones de la

fuerza tangencial se obtiene:

d 20m L— — = - mg sen 6

dt-

£ £ + í-se„f> = 0 dt2 L

Una lancha que pesa 500kg. se desliza por un plano inclinado a 5o. Si la fuerza

de rozamiento que se opone al movimiento es 20kg. y la resistencia de aire expresado en

kilogramos equivale a 0.05 veces la velocidad en centímetros por segundo, hallar la

ecuación del movimiento.

Solución

En la figura mostramos a la lancha sobre un

plano inclinado; tomemos los siguientes

datos:

F = Componente de peso en la dirección del movimiento.

Fr = Fuerza de r<//.amiento

Fa = Resistencia del aire

De acuerdo a la segunda ley de Newton se tiene:

Suma de fuerzas en la dirección del movimiento = (masa) x (aceleración)

Luego se tiene: F - FR - Fa = m.a ... (1)

donde F = 500 sen 5o = 43.6, FR = 20

< onceptos Básicos

Fa = 0.05v, m = siendo v = la velocidad, a = aceleración, m = la masa. 981

ahora reemplazamos en la ecuación (1)

43.6-20-0.05v = 1^ f l entonces 23.6-0.05v =981 981

... (2)

dvcomo a = — que al reemplazar en (2)

di

®se tiene: + 0.05v = 23.6 que es la ecuación diferencial del movimiento.

981 dt

Considere el circuito simple conectado en serie que se muestra en la figura y que consta

de un inductor, un resistor y un capacitor. La segunda Ley de Kirchoff dice que la suma

de las caídas de voltaje a través de cada uno de los componentes del circuito es igual a la

tensión E(t) aplicada. Si llamamos q(t) a la carga del capacitor en un instante cualquiera,

entonces la corriente i(t) está dada por i = — , ahora bien, se sabe que las caídas deldt

voltaje son:

óEn un inductor = L — - L — %

dt dt~

En un capacitor = — qc

En un resistor = iR = Rdqdt

en donde L, C y R son constantes llamadas inductancia, capacitancia y resistencia

respectivamente.

Pmi a determinar q(t) debemos por lo tanto, resolver la ecuación diferencial de segundo

orden que se obtiene mediante la Ley de Kirchoff, es decir:


© Según la Ley de enfriamiento de Newton. la velocidad a la que se enfría una sustancia al

aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire.

Obtener la ecuación diferencial respectiva.

Solución

Consideremos los siguientes datos:

T = Temperatura de la sustancia en el instante t

Ta = Temperatura del aire

dT— = La velocidad a la que se enfría una sustancia dt

dTde la condición del problema se tiene: — = - k ( T —Ta), k ) 0

dt

que es la ecuación diferencial pedida donde k es la constante de proporcionalidad.

El signo negativo se debe a que la temperatura de la sustancia disminuye al transcurrir el

tiempo.


© Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias:

(a - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 en el plano xy, siendo a, b y r constantes arbitrarias.

Rpta. x y " - 2 n y + x y = \

© Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la cisoides, y23X '

a - x

Rpta. 2 x 3y '= y ( y 2 + 3 x " )

© Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las rectas con pendientes y la2

intercepción con el eje x iguales. Rpta. y " . xy ' -y

© Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuyas pendientes y sus

intercepciones con el eje Y son iguales. Rpta. ydx - (x + 1) dy = 6

Conceptos Básicos 21

( 5) Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuya suma algebraica de las

intercepciones con los ejes coordenados es igual a k. Rpta. ( x y '- y ) ( } ' ’- l ) + ky' - 0

(ÍT ) Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las estrofoides y2 = +a - x

Rpta. ( x 4 - 4 x 2y 2 — y A)dx + 4x i ydy = 0

( 7 ) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2, de radio fijo r en el plano xy siendo a y b constantes

arbitrarias.

Rpta. (1 + y'2 ) 3 = r 2y " 2

( Ñ) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es dada.

a) y = x 2 + C , e x + C 2e 2x Rpta. y "+ y ' - 2 y = 2(1 + x - x 2)

b) y = C lx + C 2e~x Rpta.

OII1>+V,+

c) y = x + C¡e + C2f' ,l Rpta. v"+4y'+3y = 4 + 3x

d) y = C¡e2' cos3x + C 2e2t sen3* Rpta. y " —4y'+\3y = 0e) y - Ae2x + Bxe2x Rpta. y" -4y '+4y - 0

f) y = e x (C, + C2 J e~x dx), Rpta. y" -2xy ' - 2y = 0

g) y = A e ^ + B e Rpta. 4x* y "+6x2 y ' - y = 0

2

f ex^h) y - C , x .J— Vdx + C1x Rpta. y " - x 2y'+xy - 0

i) (ax + b)(ay + b) = c, a, b, c constantes arbitrarias. Rpta. ( x - y )y"+2y '+2y" 0


'y 2j ) y = Cxeax cosbx + C 2eax senbx, a, b parámetro. Rpta. y " -2 ay'+(a + b )y = 0

k) y = A (eos x + x sen x) + B (sen x - x eos x), A, B constantes

Rpta. xy"-2y '+xy = 0

d^x o1) x = A sen (cot + B), co un parámetro, no debe ser eliminado, Rpta. — — + a x - 0

dt

m) y = Aex+y + Be~x+y , A y B constantes arbitrarias Rpta. (y - l ) y ' '+y = (y - 2)y'~

n) y = A-Jl + x 2 +B x Rpta. (1 + x 2 ) y " + x y ' - y = 0

í ) Encontrar la ecuación diferencial que describa la familia de circunferencias que pasan por

el origen. Rpta. ( x “ + y “ )y "+ 2 [y '2 + l ] (y - xy' ) = 0

10) Encontrar la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasan por el origen.

Rpta. xy ' -y = 0

í l ) Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el

2 2origen y cuyos centros están en el eje X. Rpta. 2xy y' - y ' - x

Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje Y.

Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con vértice en el origen y

cuyos focos están en el eje X, Rpta. 2xy' = y

14) Halle la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y 2 - 2 x

Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tienen su centro sobre

el eje X. Rpta. y'2 +yy' '+1 = 0

Rpta. y '2 y ' " = 3y' y " 2

16) Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con el eje focal paralelo al eje X.

Conceptos Básicos 23

© Obtenga la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vértices y focos están en

el eje X. Rpta. y y " + y " = 0

(Ts) Obtenga la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por (0,-3)

y (0,3), y cuyos centros están en el eje X.

( j9 ) Hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias que pasan por los puntos

(2,2) y (-2,2). Rpta. (x 2 - y2 - 2 x y - 8 )— - ( x 2 - y 2 - 2 x y + 8) = 0dx

( 20) Hallar la ecuación diferencial de todas las líneas tangentes a la curva y 2 = - x .

( 2T) Hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias tangentes a la recta y = -x

Rpta. ( x - y ) y " [2 —(x —y )y " ] = 2 y '[ l+ y '2 ] 2

( 22) Por un punto p(x,y) de una curva que pasa por el origen, se trazan dos rectas paralelas a

los ejes coordenados, las que determinan un rectángulo con dichos ejes. Hallar la

ecuación diferencial de la curva, de modo que ésta divida al rectángulo formado en dos

regiones, donde el área de la parte derecha sea el triple del área de la parte izquierda.

Rpta. 3xv' = y 1

(23) Hallar la ecuación diferencial de todas las tangentes a la parábolas x 2 = 2 y +1.

Rpta. 2xy '- y '2 - 2y -1 = 0

( 24) Hallar la ecuación diferencial de todas las normales de la parábola y 2 = x

Rpta. y ' (4 x - y '2 ) = 4y + 2_v'

Determinar la ecuación diferencial de todas las curvas planas y = f(x ) tal que la le> clin-

incide en ellas, partiendo de una fuente puntual fija, es reflejada hacia un segundo punto

'fijo. Suponer que los puntos fijos son (a,0) y (-a, 0).Rpta. xyy’2 í (x 2 - y 2 - a 2 )y' = xy


Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente propiedad:

“ El área de la región encerrada por la curva, los ejes coordenados x e y, y la coordenada

del punto p(x,y) de la curva es igual a ( x 1 + y ~ )" Rpta. 2yy’ + 2 x - y = 0

27) Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que cumple con la siguiente

propiedad: “ Si por un punto cualquiera de una curva de la familia se trazan las rectas\

tangente y normal a ella, el área del triángulo formado por dichas rectas con el eje y es

x2vigual a — — , donde y0 es la coordenada del punto en que la tangente corta el eje y.

Rpta. y'2 (1 + x) — yy'+1 = 0

Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisface la condición siguiente:

“ Si por el punto p(x,y) de una curva, en el primer cuadrante, se trazan las rectas tangente

y normal a ella, siendo T el punto de intersección de la tangente con el eje 0X y N el

punto de intersección de la normal con el eje 0Y, entonces el área del triángulo TON es

xvigual al — , donde 0 es el origen de coordenadas. Rpta. ( x 2 - y ~ ) y ' = xy

29) Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente

condición: “ Si por un punto cualquiera p(x,y) de una curva de la familia se trazan las i

rectas tangente y normal a la curva, y si además A es el punto de intersección de la recta

normal con la recta y = x y B es la intersección de la recta tangente con la recta y = x

entonces el segmento AB tiene longitud V2 . Rpta. (y '2- l ) 2 = ( x - y ) 2(y l2+ l ) 2

30) Hallar la ecuación diferencial perteneciente a las cardioides r = a( 1 - sen 0)

Rpta. (1 - sen 0) dr + r eos 0 d0 = 0

(5 7 ) Hallar la ecuación diferencial perteneciente a la estrofoides, r = a (sec 0 + tg 0).

Conceptos Básicos

(32) Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales:

v . senh x „ cosh x , „a) y = A -------------------------- \-B-,A ,B constantes.

Rb) tgh(— + —) = y¡3 tg(— x + C ) , C constante.

4 2 4

/ 2 2 kc) ± ( x + c ) = ^k - y -karc.cosh(—),k fijo y c arbitrarioy

x —bd). y = a cosh(------- ) ,a,b constantes arbitrarios.

a

e) y = C¡e ~x + C 2e2x + C 3xe2x, C¡, C 2 , C3 constantes.

© Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio I .

con centros en la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Rpta. ( x —y )2(l + y ' ) 2 = ( l + y ' ) ’

(34) Hallar la ecuación diferencial de todas las parábolas con eje paralelo al eje y, y

tangente a la recta y = x . Rpta. y '2 = 2yy"-2 .xy" + 2y,- l

(35) Hallar la ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un punto cualquiera M

forme un ángulo 0 con el eje 0X y que verifique 0-< ¡ )= ^ - siendo <)> el ángulo que OM

forme con el eje OX.

(36) En la práctica, un cuerpo B de masa m que va cayendo (tal como un hombre que

desciende en paracaídas) encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad

instantánea v(t). Usar la segunda ley de Newton para encontrar la ecuación diferencial (li

la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera. Rpta. — + — v = qdt m


Un circuito en serie contiene un resistor y un

inductor, tal como se muestra en la figura.

Determine la ecuación diferencial de la

corriente i(t) si la resistencia es R, la

inductancia es L y la tensión aplicada es E(t).

Rpta. L — + R i = E( t ) dt

Un circuito en serie contiene un resistor y un

capacitor, tal como se muestra en la figura,

encuentre la ecuación diferencial para la carga

q(t) del capacitor si la resistencia es R, la

capacitancia es C y el voltaje aplicado es E(t).

©

Cuál es la ecuación diferencial de la velocidad v de un cuerpo de masa m que cae

verticalmente a través de un medio que opone una resistencia proporcional al cuadrado de

la velocidad instantánea?„ dv k i Rpta. — + — v =,

dt m

Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden 27

C A P I T U L O I I

2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO

A las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado,

representaremos en la forma:

F ( x , y , % = 0 dx

... ( i)

La ecuación (1) nos indica la relación entre la variable independiente x, la variable

dependiente y, y su derivada —dx

De la ecuación diferencial F (x , y .— ) = 0, despejamos la derivada — ; es decir en ladx dx

forma siguiente:

dydx

= g ix ,y )

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABILI SEPARABLE.-

Si de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado que es:

dy

dx= g (x,y), podemos expresar en la forma:

M (x) dx + N (y ) dy = 0 ...(2)

donde M es una función sólo de x y N es una función sólo de y, entonces a la ecuación

(2) se le denomina "ecuación diferencial ordinaria de variahle separable" y la

solución general se obtiene por integración directa, es decir:


M (x )dx + N(y)dy = C

donde C es la constante de integración.

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

, 2 2 \ y 2 2 rv( y~+xy ) — + x - x y = 0dx

Solución

A la ecuación diferencial dada expresaremos en la forma:

y 2 (x + \)dy + x 2 (1 - y)dx - 0, separando las variables

' - d y + X —- = 0, integrando se tiene: f—— dy+ f --- - C , de donde1 J l - y J l + X

tenemos:l - y l + x

( x + y ).(x - y - 2) + 2 Lnl + x

l-y \= k

( 2 ) x j l + y2 + y\l\ + x2y ’ = 0Solución

A la ecuación diferencial expresaremos así:

xyfl + y2dx+ y\J\ + x2dy = 0, separando las variables

X X— + -v ilv = 0, integrando se tiene: í M- . = + j ¿0. —

y f ^ x 2 ^ 7 7 ' + J V l + y2

= c,

donde tenemos Vl + x2 + y\Jl + y" = C

ex sec y dx + (\ + ex )sec y tg ydy = 0, y = 60° si x = 3

Solución

Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden

ex sec y dx + (l + ex ) sec y tg y dy = 0, separando la variable.

- — ~ + tg ydy = 0, integrando. í — + f tg ydy = C, de donde se tiene:l + e J [ + ex J

l + e xLn{--------) = Lnk => l + e x = k eos y

eos y

Cuando x = 3,y = 60° => l + e3 => k = 2(1 + e3)

l + ex = 2(1 + e3) eos y

J y Ln y dx + x dy = 0, y f x=, = 1Solución

y Ln y dx + x dy = 0, separando las variables se tiene:

dx .dy n .— + ---------= 0, integrando ambos miembros.x yLny

f dx f dy ,---- h — -— = C, de donde tenemos:

J x J yLny

Ln x + Ln(Ln y) = C Ln(x . Ln y) = C, Levantando el logaritmo: x Ln y = k

Cuando x = l , y = l =* L n l = k => k = 0

x Ln y = 0 => Ln y = 0 =» y = 1

© (xy2 - y 2 + x -l)d x + (x2 y — 2xy + x 2 + 2y ~ 2x + 2)dy = 0

Solución

( xy" - y 2 + x - l ) d x + ( x 2y - 2 x y + x " + 2 y - 2 x + 2)dy = 0 , agrupando


( y 2 + l ) ( x - l ) d x + ( x 2 - 2 x + 2 ) ( y + \)dy = 0 , separando las variables

I.

3

©

©

©

——— ^ + - v = o, integrando ambos miembros x2 - 2 x + 2 y2 + l

í — — 1 '>dX— + f \ -- -dy = C, de donde J x ~ - 2 x + 2 J v2 + l

tenemos:

— Ln\x2 -2.v + 2| + - L «| y 2 + ll + are.tg y = C,2 I 1 2 I 1

ln ((x2 - 2x + 2)( v 2 +1)) + 2 arctg y = C .

ln ((x2 - 2x + 2 )(y 2 + 1)) = C - arctg y , levantando el logaritmo

( x 2 - 2 x + 2 )(v 2 +1) = ke~2dTCtgy, de donde se tiene: .'. ( x 2 - 2 x + 2 ) (y ‘‘ + l )e~'sy = k


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

Rpta. c tg 2 y = tg2 x + C

cy

tg x. sen 2 y.dx + eos2 x.c tg y.dy = 0

xy - y - y1 + y

/i 7 dy o 2 Vi + xr — = x y + x dx

Rpta. 2V14- Xs =3Ln(y + \) + C

e ? T ydx + e y- 2xdy = 0 Rpta. e4x+ 2 e2y= C

(x 2y - x 2 + y - l ) d x + ( x y + 2 x —3y — 6)dy = 0

Rpta. — + 3 x + y + L n ( x - 3 ) (y — 1 ) = C 2

__ 2 _ _( 6 ) ex+y sen xdx + (2y + \)e~y dy = 0 Rpta. e* (sen x - eos x ) - 2 e V = C

la laciones Diferenciales de Primer Orden 31

( j ) 3e ‘ tg y dx + (1 - ex )

® ey( ^ + l) = ldx

sec' y dy = 0 Rpta. tg y = C ( l - e x )

Rpta. ln (ev -1 ) = C - ;

( >7) y '= l + x + y 2 + x y 2 Rpta. arc. tg - x - — = C

10) y -x y '= a ( í+ x y) Rpta. y :a + ex

1 + ax

( II) (1 + y2)dx = (y - j\ + y2)(l + x 2 f /2dy Rpta. Ln + y

y + VT V l + X2+ C

©

0

©

©

©

(1 — y )e vy ’h— =— - = 0 xLnx

e~y (1 + y ') = 1

ex- ydx + e y- xdy = 0

(1 + y + y 2 )dx + x ( x 2 -A )dy = 0

>’'= 10x+>’ , a > 0, a * l

dy x2

Rpta. C + — = Ln(Lux) y

Rpta. e x = C ( \ - e ~ y)

Rpta. e 2x+ e 2y= C

Rpta. ^Ln (^— ^ - ) + ~ a r c . t g { 2~ - ) = C ° x" V 3 V 3

dx y (l + x )

Rpta. l0 v +10_;y= C

Rpta. 3y2 -21n(l + x 3) = C

('£)

Oj)

dy x — e x

dx y + ey

dy _ ax + b

dx ex + d 'a,b,c,d e R

Rpta. y 2 - x 2 + 2 ( e y - e X) = C

„ , ax b e - a d , , .Rpta. y = — + ----- -— Ln\cx + d\ + k

c e


dy __ ay + b

dx cy + d, a,b,c,d e R

„ cv ad —be T i , i ,Rpta. X - — + -----5— Ln\ay + b\ + k

a a

2 )

22)

B

24)

y ( x 3dy + y3dx) = x 3dy

(xy + x)dx = ( x 2 y 2 + x 2 + y +1 )dy

3 2 x 2 + 2 y 2 , 3 - x 2 - 2 y 2 , „x e dx - y e dy = O,

xdy + \J 1 + y2 dx = O

dy _ (y - l ) ( x - 2 ) ( ; y + 3)

dx ( x - l ) ( y - 2 ) ( x + 3)

Rpta. 3x2y — 2x2 + 3y2 = kx~y?l

Rpta. ln (x2 +1) - y 2 - 2 j + 41n ¡ k(y + 1) |

Rpta. 25(3x2 - \ ) e 3*2 + 9 (5 y 2 + l )e~5 r = C

Rpta. x (y + y¡\ + y 2) = k

Rpta. (x - lX y + 5 )5 = k ( y - l ) ( x + 3)5

■y O n 9 "> 1 dyx y - 4 x ~ = ( x y - - 9 y ) —

dxRpta. x + — Ln

4

x - 3

x + 3= y + Ln

y - 2

y + 2+ k

(x - y 2 x)dx + (y - x 2 y)dy = 0 Rpta. (x 2 — l)( v 2 -1 ) = k

&

32)

y2( \ - x 2) 2dy = aresenx dx en el intervalo -1 < x < 1 Rpta. 2y ’ -3 (arcsenx)“ - C j

xy

30) xydx + ( x 2 + l )e ' dy = 0

(x + l )(y - l)dx + (x - l ) (y + 1) dy = 0

Rpta. y = sen (In | x I + C)

Rpta. Lnyfx^ +1 + f ----di — CJa t

- x + y

Rpta. (a — 1 )(>• — 1 ) = ke 2

(ey +1) cosxdx + e y (sen x + l)<iy = 0 Rpta. (sen x + l ) ( e y +1) - k

33)

34)

2 d y , xy + y — = 6x dx

y Ln x . Ln y. dx + dy = 0

Rpta. x 2 + y + 12y + 721n ¡ 6 - y |= C

Rpta. Ln (Ln y ) + x L n x - x = C

licuaciones Diferenciales de Prim er Orden 33

35) (xy + 2x + y + 2) dx + (x~ + 2x) dy = 0

e y (1 + x ' )dy - 2x(l + e y )dx = 0

dy 1 + eos x© dx sen' y

dy _ x2- x y - x + y dx x y - y 2

Rpta. -s/x1 + 2x(y + 2) — k

Rpta. l + e y - C (l + x 2)

Rpta. 2y -s e n “ j - x - s e n x = C

Rpta. y 2 = ( x - 1 )2 +k

(y>) xdx - 4 I - x4 dy = x2 V l + x4 dy

Jo) ( í + y2 )dx = (y - + y2 )(1 + j r Ÿ ' 2 dy

y y - sen x. e X + í V

Rpta. y = —2 V 1 + x“

+ C

Rpta.Vi

Lnl + yji + y2

Rpta. 2 y = 2ex+~ ' (eos x - sen x ) + k

(■u) (4 x + xy )dx + (y + x~y)dy = 0

0 (x + Xyfy )dy + y j v d x = 0

Rpta. (1 + x 2 )(4 + y 2 ) = k

Rpta. — + ln xy = cyjy

Rpta. x — 3x - 3y - 3 I n | 21

©dy _ 3x2 - 6x~y2

dX y _ P y; y(3) = i Rpta. ( x 3- l ) 4 = k ( 2 y 2 - \ )

II. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial, mediante las condiciones

dadas:

( l ) sen 2x . dx + eos 3y dy = 0. y ( ~ ) = — Rpta. 2 sen 3y - 3 eos 2x = 3


©©

©©

©

©

©

ío )

lJ )

15)

y' — 2y.c tg x = O, y (—) = 2

dv x x

dx y 1 + y, y(0)= i

@ x (y 6 + l)dx + y 2( x 4 + l )dv - O, y(O) = 1

l-e o s 2 x , n ,n. „----------- + y = O, y (—) = O1 + sen y 4

y 2y ' - x 2 = O , y (-2) = -2,

x 'dy + xydx = x 2dy + 2ydx ,y ( 2 ) - e

dy 3 , 2 -,-1/2dx

y' sen x = y ln y , y (—) = e

(l + ex )y .y '= e x ,y(0) = 1

11) (xy +x )dx + (x y - y ) d y = 0 , y (0) = 1

1 2) ( 4 x + x y 2)dx + (y + x 2y)dy = 0, y (1) = 2

13) x d x + y e xd y - O, y (0) = 1

y*'v y '= x - 1, y (2 ) = O

y' + 6y. tg 2x = O , y (0) = -2,

Rpta. y = 2 sen x

Rpta. 3y2 + 2y3 = 3x2 +5

Rpta. 3are. tg x2 + 2are. tg y'1 = —

Rpta. V 2 sen x + sen y - eos y = O

Rpta. y = x

Rpta. xy = 2 ( x - l ) e - x

1/2Rpta. y = (3 - 2yl\ + x~ )“

Rpta. 2ey = V ë ( l + ex)

2 2Rpta. 1 + y = ----- jl - x

Rpta. (l + .v2 ) (4 + y 2) = 16

Rpta. y = [2 (\ - x )e x -\\2

2 7Rpta. ey = x - 2 x + 1

Rpta. y = -2 eos 2x

i.cuaciones Diferenciales de Prim er Orden 35

16) y ’ x ln x - y = 0, y (2) = Ln 4 Rpta. y = 2 Ln x

17) (1 + ex )yy '= e y , y (0) = O

-7 1 72ydx + x 'd y = - d x , y (— — ) = —

Ln x 2

dr sen O + e sen 6 rt— = -------------------- r ( - ) = OdO 3er + e r cos 9 2

2(0 4dy + y dx - x~dy , y (4) = -1.

©

22) Hallar y si:

a) í ydx = K ( y 3- b i ) Ja

b) í ydx = K ( y - b )J a

c) I* ydx = K ( y 2 —b2) Ja

d) f y2dx = K ( y - b )Ja

e) f y2dx = K ( y 2 - b 2) Ja

f) í x2dy = x3( y - b )J a

í

l + exRpta. (1 + y)e y - Ln(------- ) + l - x

2

Rpta. 2 y + 1 = 2ex

Rpta. 2aretg(er) + arctg(eos0) = -

Rpta. (2 + x )y -3 x + 6 = O

^ Í ) dy = x (2ydx - xdy), y ( 1 ) = 4 Rpta. y = 2x2 + 2

g) I x6y2dx = x7(y 2 - b 2)

Rpta. 3Ky~ -2 x = 3Kb - 2 a

(x-a)Rpta. y = e K

Rpta. y = ( 2 K y \ x - a ± 2 K b )

Rpta. y ( x - a ----- ) + K = O

Rpta. x - a = 2/nn(—)b

Rpta. ( 2 y - 3 b ) x 2 = - a 2b

Rpta. (6 y2 - I b 2 )x 6 + a (' b 2 = O


KCUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIRLES VARIABLE SEPARABLE.-

I as ecuaciones diferenciales de la forma siguiente:

... (1)— = f {ax+by + c) dx

donde h, I' y c son constantes, no son de variable separable.

I’ai.i resolvei oslas ecuaciones diferenciales, se transforma en una ecuación diferencial de

variable separable, mediante la sustitución; z = ax + by + c, de donde — = a ) jdx b dx

que al reemplazar en la ecuación ( 1 ), se obtiene una nueva ecuación diferencial, que es de

variable separable.

1 dz dz • 1es decir: — (— — a) = f ( z ) , de donde — = a + bf (z ) , separando la variable

b d x dx

dz■ dx ecuación de variable separable.

a + b f ( z )

Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

( x + y ) 2y ' = a 2

Solución

dy dzSea z = x + y => — = — -1, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

dx dx

Z2 (— -1 ) = a2, separando la variable - ^ = dx, integrando ambos miembros.dx z + a

r zrdz f

J z2 + a 2 J dx + C => z - aarc. tg(—) — x + C , de donde a

x + y yx + y -a .a rctg (------ ) = x + C, simplificando se tiene: x + y — atg(— + k)

a a

I . mu iones Diferenciales de Prim er Orden 37

( T ) ÿ = eos“ (ax + by + c ) , a , b constantes positivas y diferentes.

Solución

Sea z = ax + by + c => — = a + by\ de donde y ' - —( - - a ) , reemplazando en ladx ’ b dx

1 dz , 2 di , ■yecuación —(------ a) = cos z => — = ci + bcos z ,

b dx dx

dzseparando las variables se tiene: — ------— = dx, integrando se tiene:

o + b eos” z

í ----- = [dx + k => fJ a + b cos“ z J J

dz- X + k

a sen" z + {a + b) eos" ;

1 f sec zdz , 1 a- I -------------- r - x + k => , i; ■ rarctg --------tg(ax + by+ c ) = x + ka j 2 , "tg" z +

a

a + b yja(a + b) V a + b

( x + y ) "

( x + y ) n + ( x + y ) 1’

Solución

dz — 1Sea z = x + y => y ' = --------- 1, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

dx

dz zm dz zm----- 1 +1 = ---------- => — = — ::------- , separando las variablesdx zn + z p dx z" + z p

zn + zp--------- d z -d x , integrando se tiene:

7n 7 P r n - m + l 7 p - m + i

-dz = I dx + Ç => ——------ 1- —----------= x + Cn —m + 1 p —m + l

(x + y ) " m- \ + ( x + y ) p—m+1

n - m +1 p - m + l■ x + C, n - r n ^ - X , p — m # — I


Solución

dA

' ivemplii/ando en la ecuación diferencia dada.j' >

d;(v „■)— [ *— + * „ ■ ' simplificando : 5</r = «.v</.vx x i x

,3 ¿integrando se tiene: - y = cr — + C => 2x3 v3 = 3a2 x 2 + K

(ln x + v 3 )dx - 3xy1 dv = 0

Solución

Sea z — Lnx + y => —— — — t-3v".3’ ’ , de donde 3xy~\' = x — — 1, reemplazando en la i dx x dx

ecuación diferencial se tiene: z — ( x ----- 1) = 0 => (¿ + 1) — x — = 0, separando las]dx dx

variables. — - - ^ - = 0, integrando se tiene: Ln x - Ln(z + 1) = Ln C =í> x = C ( z + l ) lx z + 1 a

z + 1 = kx => ln x + y 3 + l = fcc donde k = — y 3 = /fcx-ln x -1c

(6x + 4y + 3) dx + (3x + 2y + 2)dy = 0

Solución

La ecuación diferencial expresaremos en la forma: (2(3x + 2y)+3)dx + (3x+2y + 2)dy = 0

Sea z = 3x + 2y => dz = 3 dx + 2 dy => dy = ^ ( d z - 3dx)

reemplazando en la ecuación diferencial {2x + 3)dx + (z + 2) (— — = 02

1 1 naciones Diferenciales de Prim er Orden 39

z + 2simplificando y separando la variable se tiene dx + ------ dz - 0,

z

integrando ambos miembros z + 2 L n z + x = Cde donde:

4x + 2y + 2Ln (3x + 2y) = C

( 7) eos (x + y)dx = x sen (x + y) dx + x sen (x + y)dy

Solución

Sea z = x + y => dx = dz - dy , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

eos z dx = x sen z dx + x sen z (dz - d x ), simplificando y separando la variable.

— = tg z dz integrando se tiene: .\ x eos (x + y) = Cx


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(7 } — = eos ,(x + y) Rpta. y = 2 arc.tg (x + C) - xdx

© y = s e n 2(x->> + l) Rpta. tg (x - y + 1) = x + C

® dy x + y , ,— = --------—- Rpta. y + Ln | x + y + 1 | = x + Cdx x + y + 2

( 4) / ln | jc -y |=l + ln| x - y | Rpta. (x - y) Ln | x - y I = C - y

(7 ) y ' = ( x + y ) 2 Rpta. x + y = tg (x + C)

( ) (x + y - 1 )dx + (2x + 2y - 3) dy = 0 Rpta. x + 2y + Ln I x -+- y - 2 | = (

(? ) ( l + x 2y 2)y + ( xy -1 )2 at' = 0 sug : xy = z Rpta. y2 =ke xy


J ) (x6 - 2x5 + 2x 4 - y 3 + 4x2y)dx + (xy2 - 4x3)dy = 0 ,

sug : y = xz Rpta. - — x2 + 2x + -^-r- - — = C 3 3x x

Rpta. ( y - x ) 2 + l0y — 2x = C

1(0 VíJ '/v dx + ( V: - 2 x e x' r )dy = 0 Rpta. \ny + e y = C

© v'= sen(x- y)V — X 71

Rpta. x + C = ctg ( - + —)

12) y'=(8jc + 2v + i r Rpta. 8x + 2y + 1 = 2 tg (4x + C)

&

14)

( x 2y 3 + y + x - 2 ) d x + ( x 3y 2 + x)dy = 0 Rpta. 3x2 —12x + 2x3y 3 +6xy — C

( l - x y eos xy)dx - x eos xy dy = 0 Rpta. Ln x - sen xy = C

15} [ x2 sen (-^ )-2 ycos (~ --)]í¿Y + xcos(-;y )dy = 0 Rpta. a-sen(-^-) = C

e yy’= K ( x + e y) - i sug: Z = x + e y Rpta. y = \n(Çe - x )

17) x2yy' = - t g ( x 2y2) - x y 2 sug: z - x 2y 2 Rpta. sen(x‘’ y ~ ) - k e x

y'= ax + by + c , a, b, e e R Rpta. b(ux t by+ c ) + a = ce bx

( x 2y 2 + l )dx + 2xzdy = 0 Rpta. — ---- h — Ln x = Cl -x y 2

20) (xy-2xy\n~ y + y ln y)dx + (2x~ ln y + x)dy = 0

sug: z = x Ln y Rpta. 2x2 + (2 x ln y + l ) 2 = C

i i unciones Diferenciales de Primer Orden 41

®

©

®

(i? )

(2x + 3y - l)dx + (4x + 6y - 5 ) dy = 0

(2x - y)dx + (4x - 2y + 3) dy = 0

(6x + 3y - 5)dx - (2x + y) dy = 0

Rpta. x + 2y + 3 Ln (2x + 3y - 7) = C

Rpta. 5x + lOy + C = 3 Ln | 10x-5y+ 6 I

Rpta. 3x - y = C + Ln (2x + y - 1)

(x y + y x' + x 5y + x y5 + y 7 + y5 ) d x - ( x 4y 3 + x 6y + xy6)dy = 0

Rpta. —— h x ----- l— —^ T + - + T = C3 2x 2x y 3y

Mediante una sustitución adecuada reducir la ecuación diferencial.

p (xmy n )ydx + Q ( x my" )xdy = 0, a una ecuación diferencial de variable separable.

(2 + 4x2-yjy)y dx + x3^[y dy = 0

_y(xy +1 )dx + x(l + xy + x 2y 2 )dy = 0

(JH) ( y - x y 2) d x - ( x + x 2y)dy = 0

Rpta. x y 2 = C

Rpta. ~IXZ..+ 1 - UiKy2x-y2

Rpta. L n ( - ) - x y = Cy

(i'>) { y - x y 1 + x 2y3 ) d x + { x 3y 2 - x 2y)dy = 0 Rpta. 2\nx + x 2y 2 - 2 x y - K

dy 1 + xy'— = ----- t— sug: x + y = u, x v = vdx 1 + xJ y

dy ey

dx 2y — xey

dy© ~ r = ts (x + 3?)dx

1dy_ _ _____________dx Ln( 2x+y+3 )+ l

Rpta. x~y - \ = K ( x + y Y

Rpta. y 2 = x e y + C

Rpta. x - y - Ln |sen (x+y)+ cos(x+y)|= C

Rpta. (2x + y + 3) Ln 12x+y+3 I = x + C


—- = jr2 + y - l , sug : z = x2 + 2.x + y Rpta. 2x + x 2 + y + \ - K e x<l\

( 35) (* v V ( ' xy, sug : x = uy Rpta. 2y5 = - 3 x 2 + Ky2dx

( ( tx ,’y t l)(U + (3x • 2y + 3) dy = O Rpta. 5(x+y + C) = 2 Ln |15x - lOy + 11’

{ \ Í ) v* \ l ) l ' { \ > 2 y ) Rpta. 4y - 2x + sen (2x + 4y) = C

3x) v’ \¡2\-t 3v Rpta. 6^2x + 3y-4Ln (31/2x + 3y + 2 ) -9 x - C

39) y ’ = y + sen x - eos x, sug. z = -\Jy + sen x Rpta. Jy + sen x = — + C

40) y jx+y + ly ' = y j x + y - l

4x + C; u = x + yRpta. u2 + 2u - u\lu2 -1 + Ln u+\[u2 - 1

© (x + v - 2 + —)dx + (2 - x - y )dy = 0X

Rpta. 2 ln x - 4x + 4y - (x + y )2 = k

© (2x — 2y + xex )dx — (2x — 2y — l)dy = 0 Rpta. ( x - l ) e x + ( x - y 2) + y = C

© [sen x - tg (x -2y)] dx + 2 tg (x - 2y) dy = 0 Rpta. - eos x + Ln cos (x - 2y) = C

© (1 — xy + x 2y 2)dx + ( x 3y — x~)dy = 0 Rpta. 2 lu x + x 2 y 2 - 2xy = C

@ (y 5 a re . s e n ---- y4 a re . tg y[x)dx + dy = 0V 1 + x

1— /— 1--- y — 1 6y~ + 3 y + 2Rpta. v x arc.lg V x - ¿ « v i + x + Ln(~------ ) + —------ :------- = C

y 6 y

46) 2yy'= y 2 + x 2 -2 x Rpta. y 2 = c e x - x 2

I t mu iones Diferenciales de Prim er Orden 43

© y'+ sen 2 (x + y) - 0 Rpta. tg (x + y ) = x + C

y '= ( x + y ) ln ( x + y ) - l Rpta. ln |x+ y\ = cex

( l'j) 2(x2y + yj\ + x4y2 )dx + x3dy = 0 Rpta. x2 (x 2y + /l + x4 y 2 ) = C

® y2arc. tg x + y3arc. see V x2 +1 + — = 0dx

(M ) xy(xdy + y dx) = 6y3 dy , cuando x = 2, y = 1 sug. z = xy Rpta. y 2(x 2 - 3 y 2) :

( Í í ) x 2 ( x d x + y dy) = ( x 2 + y 2) d x , cuando x = 1, y = 2

sug. z = x 2 + y 2 • Rpta. (x 2 + y 2 )(10 -9x ) = 5x

(v i ) dx + dy = (x + y)(l + — )2 (x dy — y dx)x

V osug. z = x + y, co = — Rpta. (2;y+ cx)(jc + y) + x = 0

x

(x2 + y 2 )(x dy + y dx) - xy(x dy + y dx) = 0

sug. z = x 2y 2, © = xy Rpta. x 2y 2 = C (x 2 + y 2)

55) v 2(x 2 + 2 )d x + (x 3 + v 3) (y d x - x d y ) = 0 Rpta. —r — — + - L n x = C^ ' x y 2x2

(56) (6x - 3y + 2)dx - (2x - y - 1) dy = 0 Rpta. 3x - y + C = 5 Ln | 2x - y + 4 |

(57) — = (x + y - 3 )2 - 2 (x + y - 3 ) Rpta. -----------= x + Cdx x + y — 4

(58) ^j- = —2 + e2x~y+l Rpta. x + e~2x~v+I = C

™ dy 2 x -3 y + 4 1x dy = y (xy + eos 7i) dx 60 — = ( -------------- )

dx 3 .v -2 y - l

1 x y2


61) (1 - x y)dx + x ( y - x ) d y = O sug. z = x - y Rpta. y -2 x y + 2 x ~ + — = k

62) y ' = ( 8 x + 2 y ) ¿ +2(8x + 2y) + l Rpta. are tg (4x + y) = 4x + k

2.3. OTRAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.-

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

Q co sv '= 0

Como co sy '= 0

Solución

ny ’ = arccosO = — (2 n +1)

9

dy K K— = —(2rc + l) => dy = — (2n + \)dx, integrando

M i(2n + X )dx+K , de donde se tiene: y = — (2 « + l)x + K, n e z

Solución

dye y = 1 , tomando logaritmo se tiene y ’= 0 , — = 0 => y = C, C constante

dx

ln y ’ = x

Solución

ln y '= x => y’= e x => dy = exdx

integrando j d y = j e xdx + C de donde se tiene: y - e x + C

2 , , o 167Tx y cosy + l = 0, y —>-— - ; jc —>+°°

Solución

I i unciones Diferenciales de Prim er Orden 45

x ' y 'cosy + 1 = 0 => cos y. y '+ — = 0 de donde cosy.dy + ~ = 0, integrando

CDCDCD

CD

eos ydy+ | = c de donde se tiene: sen y - — = C , como y —> cuando x

n 16/T 1 16 7TC = s e n — -, por lo tanto: sen y — = sen (----- )

3 x 3

Solución

Como t g y '= x = » y' = aretg x + n n , n e z

dy = (arc.tg x + n n) dx, integrando J dy — j* (are. tg x + hk )dx + C de donde se tiene:

1 2y = x are. tg x - — Ln( 1 + x ) + nK x + C

EJERCICIOS PROPUESTOS


e y = x Rpta. y = x (Ln x - 1) + C

tg y ' = 0 Rpta. y = 7t n x + C

e y = e Ay y' + 1, y es acotada para x —> + °° Rpta. y = 0

sen y = x Rpta. y = x arc. sen x - V l - x 2 +nnx, n e z

<D

CD

x2 v '+cos2v = 1, y —> 1^1, cuando x —> +<*> Rpta. y = arc.tg (— + - j= ) + 3;r 3 x V 3

(x + l )y '= y - 1 , y es acotada, para x + °° Rpta. y = 1

y '= 2 x (J t+ y ), y es acotada, para x » Rpta. y = -n

+oo


""s o 1 9K ) x v ’ -s e n y = l , y - » 5 n, x -> Rpta. y -2 a r c . t g (1-----7 ) + —^

' 2x~ 2

”9 ) y = ln(— ) Rpta. y = - Ln (C - x)•—/ rlrdx

r—\ 7 1 -, 7(l + x~ )y '— cos“ 2;y = 0, y — 7r, x —>

„ 1 n 7Rpta. y = — are. tg (— harc. tgx ) + —7T

2 2 2

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS.-]

a. Fundón Homogénea: Diremos que la función f (x,y) es homogénea de grado

k x e y, sí y solo si, cumple con la condición siguiente:

f ( k x , Xy) = l k f ( x , y)

Ejemplo: Determinar cuales de las siguientes funciones son homogéneas.

T ) f ( x , y ) = x 2y - 4 y 3 es homogénea de grado 3 en x e y

f ( x , y ) ~ y 2 t g A es homogénea de grado 2 en x e y.^ y

3 ) f ( x ,y ) = l jx i - y 3 es homogénea de grado 1 en x e y

x2 - 2'4 ) f ( x ) = —----- — es homogénea de grado cero en x e y

xy

/ (x, y) = x 2 + sen x.eos y , no es homogénea.

f ( x , y ) = ex , no es homogénea.

b. Ejercicios Propuestos:

Determinar si las siguientes funciones son homogéneas o no.

I rnaciones Diferenciales de Prim er Orden 47

( 7 ) f ( x ,y ) = e y

( 5 ) f(x ,y) = x - 5y + 6

2 2 yx + xy

3x - 4_v

( T ) f(x ,y) = x Ln x - y Ln y

© / (x, y) = (x2 + y2) 2

Ç4) f ( x , y) = xsen— - ysenx

© / (x .y ) = x3- x r + y3

8 ) f(x,y) = x Ln x - x Ln y

2x

Ç9) f ( x , y) = (x 2 + y2 ) e y + 4xy 10) f ( x . y) = x arctg(—) + y arctgC— )

c. Definición:

Diremos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer

grado de la forma:

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y.

Ejemplo: Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinaria son homogéneas.

( 2 ) x — = y + 2xe x dx

( T ) ( x 3 - y 3) d x + y 2xdy = 0

( 3 ^ (x3 + y2\¡x2 + y2 )dx — xyyjx2 + y2dy — 0

(4 ) (y]x2 - y2 - y arcsen(—) )dx = xcos(—)dy' x x

d. Solución de una Ecuación Diferencial Homogéneas.

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria homogénea.

M (x,y) dx + N(x,y)dy = 0 . . .d )


entonces: M(À, x, Xy) = XK M (x,y) y N(A.x, Ày) = ÁK N(x,y) ... (2)

esto es porque la ecuación diferencial (1) es homogénea, haciendo; A - — en la

ecuación (2) se tiene:

M ( l , - ) = 4 r M U , v ) X X

M (x , v ) = xkM ( 1,—)X

M ( x , y ) = x KM ( l , —) - x KM(\,u) = x Ky/(u), donde m= —

es decir: M (x , v) = x K(p(u) , u — — x

N ( l tL ) = - L . N ( x , y ) => N ( x ,y ) = x KN ( l AX X

N(x , y) = x K N ( l , ( —)) = x KN(\,u) = x k N ( 1 , u ) = xKy/(u) , « = ^x x

es decir:

como

N(x , y) = x K\\f(u) , u = —

(3)

(4)

(5)y = ux => dy = udx + xdu

reemplazando (3), (4), (5) en (1) se tiene:

x k<p(w)dx + x K \\i(u)(u dx + xdu) = 0, simplificando

(p(u)dx + y fu) (udx + xdu) = 0, agrupando y separando la variable se tiene:

— 4------ ---------- du - 0 , que es una ecuación diferencial de variable separable.x <p(u) + u\¡/(u)

Análogamente se hace para A - — , u = —y y

I i naciones Diferenciales de Prim er Orden 49

e) Ejercicios Desarrollados


( l ) ( x 2 +3xy + y 2)dx~ x 2dy = 0

Solución

Sea y = ux => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial.

( x " + 3x "y + x 2u 2) d x - x 2(udx + xdu) = 0 , simplificando

2 7 -3x (u~ + 2u + l )dx- x~ du = 0 , para x ^ 0 se tiene:

(.u 2 + 2u + 1 ) d x - x d u = 0 l de donde separando la variable — ----- - = o, integrandox (u + 1)2

se tiene: |— - | — - U l = C. de donde ¿ hx + —-— = C(u + 1)~ v + x

Solución

A la ecuación diferencial dada expresaremos así:

( y + \]y2 - x 2 )dx - xdy = 0

Sea y = ux => dy = udx + xdu ... (2)i

reemplazando (2) en (1 ) se tiene:

(ux 4-V 2 2 ?

u x - x )dx- x(udx + xdu) = 0, agrupando se tiene:

xyju2 - W x- x2du = 0, para x * 0 y además u * ±1, se tiene: — — O.* Vm2-1

f dx f í/m t ,integrando J ----- j -j - - -----= k , efectuando y simplificando: 2Cv = C " x +1


integrando J*— + j" Ln(u)du = C,

efectuando y simplificando (x - y) Lnx + y Lny = Cx + y

y y(x - v arctg(—) )dx + x arctg(—)dy = 0

x xSolución

Sea y = u x => dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

(x - ux arctgu)dx + x arctgu (udx + xdu) = 0,

dxsimplificando y separando las variables se tiene: — + arctg u du - 0, integrando

Jf+J°rctgudu = LnC => Lnx + uarc. tgu— Ln(\ + u~) = LnC* ’ '!(1 +iC '

2 , „ 2y y v + y -)Como u = — entonces 2y.arctg(—) = a luí------- — )C

x x X

< - \ I ii y f y I,n x)dx + x(Ln y - Ln x)dy = 0

Solución

\ l.i ct nación diferencial podemos escribir en la forma:

(< v ln( ' ))d\ i » ln( - )dv = 0 ... (1)i x

Se ¡i y iis ;• dy udx f xdu ...(2 )

reemplazando (2) »mi { I ) se tiene:

( x ux I .miHix + x Ln(u) (udx + xdu) = 0, agrupando y simplificando

dx + x Ln(u)du = 0, separando la variable: — + ln u du = 0,x

I ( ilaciones Diferenciales de Prim er Orden 51

©

xey dx+ yexdy = 0Solución

Sea y = ux - > dy = udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene:

i i xeu dx + uxeu (u dx + x d u ) = 0 agrupando y simplificando ( eu + u 2eu )dx +xue“du - 0.

separando la variable.

dx ue"du n ,---- 1- ----------— = 0, integrando. Lnx -x 1

eu + u 2e"

r te' dt

~ia ’ ,e' + t 2e'

como u = —x

entonces Lnx :f.t te'dt

U 1 2(e1 + r e

y y y( y cos(—) + x sen(—))dx = eos (—)dy x x x

Solución

Sea y = ux => dy - udx + xdu, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene:

(ux eos u + x sen u)dx = x eos u (u dx + x du).

Agrupando y simplificando, se tiene: sen u dx = x eos u du. separando la variable

dx■ = c tg u du integrando• Jf-Jc tgudu + Lnk => Lnx = Ln sen u + Lnk

y yx = k sen u, como u = — => x = k sen —

,f. EJERCICIOS PROPUESTOS.

I. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales.

( T ) (4x2 + xy - 3y 2 )dx + (-5 x 2 + 2xy + y 2 )dy = 0

2,lux + —ln 1 - 1 + —ln 1 - 2 - — ln l + 2

3 X 4 X 12 X= c


ih y ( 0( v /-v)</> v (p'(y/x)

v.v ' 2 (y -Jxÿ) 2x2Rpta. 16xy = (y + 4x — ex )

( a cose c ( - ) - y )dx + a dy = 0A

Rpta. In kx = cos(—) x

xy ' - y + 2xe x Rpta. ln(x~k) = ex

y ydy = ( ---- cos ec~ —)dxx X

Rpta. 2 y -x sen (— ) + 4x\nx = kxx

2(2x~ + y )d x -xy d y = 0 Rpta. x 4 = c 2(4x2 + y 2)

x~y '—4x + lxy + 2yi Rpta. x " ( y + 2x) = c (y + x)

y dx = ( x + y jy 2 - x 2 )dy Rpta. arcsen(—) = In(Ay) y

dy y(2x3 y3)

dx x(2x -3 ,y )Rpta. y3 = exe 3 v

x dy - y dx = yjx2 + y2 dx Rpta. v + \Jx2 + y2 = CX

y ( x ¿ + x y - 2 y ¿)dx + x (3y¿ - x y - x ¿)dy = 0 Rpta. 2.v2 , ( - ~ ) + 2xy + x¿ - c y 2x

v2 _ ,.„2

xy~dy + (x 3 - y 3 )dx = 0 Rpta. y 3 = -3 x 3 ln x + ex3

(6x2 - 7 y 2)dx -\4xydy = 0 Rpta. 2x3 - 7 xy2 = c

.V =■2 xy

3x - y2Rpta. c (v 2 - x 2) = y 3

I cuaciones Diferenciales de Prim er Orden 53

©

©

©©

2 2 xy =yjy - x Rpta. y + /y '2 - x2 = ex3e

y(y+-v/y2-jc2 ).

OA + 2fecy + cy2+y'(fox2+ 2cxy + / y 2) = 0 Rpta. f y3 +3cxy2 +3bx2y + ax = k

dx + (2^/Ây - x)dy - 0

( x j x 2 + y2 - y2)dx+ xydy = 0

Rpta. — + Lny = c

Rpta. x Ln\x\ + y fx ^ + y 2 = ex

©(x + (x— y)ex )dx + xex dy =0

y v(x + y sen(—))dx - x sen(—)dy = 0

Rpta. x(l + ex ) = k

Rpta. ln x + cos(—) = c x

© x3y'= y 3 + 3xy2 +4x 2y + x3 Rpta. y =y[c — 2Lnx

(2xy + x 2)y '= 3y 2 +2xy Rpta. y 2 +xy = cx3

dy y , y . — = — + sen(—)dx x x

Rpta. cosec(—)-ctg (—) = kx

2xy ' (x2 + v2) = y(y2 + 2x 2) Rpta. y“ = exe

Ih) x y'= 3(x" + y “ )arctg( ' ) + xy Rpta. y = a tg(fcc )

©

@

xy2dy—( x 3 + y 3)dx = 0

v dy yx sen(—) — = y sen(—) + x

x dx x

Rpta. y 3 = x 3(31nx + c)

Rpta. cos(—) + ln(cx) = 0 x

Eduardo Espinoza Ramos j

y2dx + ( Xyj y2 - x 2 - xy)dy = O Rpta. y 2( x - 2 c ) + c 2x = 0

2 ^ & + ( y , - ^ y ) = 0 dx

Rpta. xy2 = c (x 2 + y 2)

x 2y '—y 2 + xy = x 2 Rpta. y - — :-------vxc - Lux

x 2_v' = y 2 -t-3xy + 2x 2 Rpta. y = x tg (Ln x + c) - x

y y y v(xsen(—)- y c o s (—))dx + xcos(—)dy = O Rpta. xsen(—) = &X X X X

V\Jx~ + y2 dx - x (x + yjx1 + y2 )dy = O Rpta. ex - -<jx2 + y~ = xLn(y¡x2 + y2 - x)

x — = y(ln v - ln x ) dx

Rpta. ln(—) = 1 + cxx

y dx + x(ln(—) - 2)dy = Ox

Rpta. y - c (l + Ln(—))y

y y y y y(xcos(—) + ysen(—))y dx + (x cos(—) - y sen(—))x dy = O Rpta. xycos(—) = cX X X X X

L 1( x + ye x )dx - xe x dy = O Rpta. y = x Ln (Ln |x| + C)

y (ln(—) +1 )dx - x ln(—)dy = O Rpta. lnx — ln2(—) = c1 x

dy _ x2 - y2

x + y

f (u2+l)duRpta. ln x + c = I — — — —, u =J 1 —u-u -u

(x3 + y2*Jx2 + y2 )dx -x ys jx2 + y2dy = O Rpta. (x 2 + y 2 ) J/2 = x^LnÇkx3)

~ = -— + are.ig (y/x) dx x

Rpta. ln x = | —— — + c , u = — arctg u x


(■11) yjxy dx = ( x - y + Jxy)dy Rpta. y J x - y ( J x - J y ) = k e ^ ~ ^

0 * ) - CJ l + 3-x ^ y = 0 Rpta. ( x 2 + y 2) 2 = k x yy d x 3y — x

® v d\ V —sen(—)x cos(—) ——- — y cos(—) — x Rpta. x = ke x

x dx x

(47) Î È L ^ ' - r y . - y ’ o R p ta . x ‘ + y ' = * y < , + y + c )ydx 2y - x y - x

( J x 2 - y2 - y arcsen(—))dx + xarcsen(-)dy = O Rpta. lnx + -(arcsen(-))2 = kx x 2 x

® (x tg ( - ) + y )d x -x dy = O Rpta. sen (-) = kxx ’ X

(«;(») (y ¡x+y + s ¡ x - y ) d x + ( s f x - y - 4x+:y)dy = o Rpta. yjx+y + y ¡ x - y = c

® (2xtg —+ y)áx = x dy Rpta. x 2 = £ s e n ( - )x ' x

(52) (4x2 + 3xy + y 2)dx + (4 v 2 + 3xy + x 2)dy = O Rpta. ( x 2 + y 2) 3( x + y ) 2 = c

53) x — —y = ---------- Rpta. — arctg(—) = Lnksjx~ + y"

dx ' arctg(—)

54) xy'ln — = x+ yln — Rpta. lnx = ^(ln(^ )-l) + c

55) ( x + sen(—) )dx —x sen(— )dy = O Rpta. lnx + cos~ = c

56) y (x 2 + xy -- 2 y 2 )dx + x(3y 2 — xy — x 2 )dy — O Rpta. 2 y : ln (- ~ ) + 2xy + x : = cy2


» < ' J ' 1 < ti/' \\'\].\ + y'dy - O Rpta. (x2 + y2) 2 = x 3 lncx3

V V 2 V y 9 yi '"t'ii ' ■ > ln veos — -ysec — )dx + (xeos — + xsec —)¿y

dy x +xy + y

dx

)dy = 0

? y v Rpta. j r (sen — 4- tg— ) = c

Rpta. arctg— = ln x + cx

x(x2 + y ” )dy = y{x2 + y j x 2 + y2 + y2 )dx Rpta. y + y¡x2 + y2 =J^+y2

cx2e y

xy}dy = (2 y 4 + x 4 )dx

dy xy

dx x2 - xy + y 2

dy _ 6x2 - 5 x y - 2 y 2

dx 6x2 - 8xy + y 2

dy n> 2 x — - v - J x ' + v" dx ' V

x ^ = y + 2xe-y,x dx

Rpta. Áx8 = x 4 + y 4

Rpta. (x - y ) e y - c

Rpta. ( y - x ) ( y —3x)9 = c (y - 2 x )12

Rpta. y + yjx2 + y2 = c

yRpta. ex - ln kx2

Demostrar que ( x + y ) a+h( x - y ) a h = k es la solución de la ecuación diferencial

(ax - by) dx + (bx - ay) dy = 0

(x - y ) (4x + y ) dx + x (5x - y) dy = 0 Rpta. x(y + x )2 = c ( y - 2 x )

(3x~ - 2xy - 3y 2 )dx = Axy dy Rpta. ( y - x ) ( y + 3x)3 = c x 3

I madones Diferenciales de Prim er Orden

@y y ( x - v arctg—)dx + x arctg — dy = 0X X

Rpta. 2y arctg — = xln C X--~-y- ■■X X

( y 3 - x 3 )dx = xy(x dx + y dy) Rpta. 2x2 ln (x+ y ) = ex2 + 2 x y - y 2

© 4x2 + x y - 3 y 2 + (-5 x 2 + 2^y + y 2) — = 0dx

Rpta. ( y - x ) 8( y - 2 x )9 = c ( y + 2x )5

© x3y — = x4 + 3x2y2 + y 4 dx

Rpta. y2 - x2( l+ ) ln kx"

© (■Jxy - x)dx + ydy = 0y I y

Rpta. lnx + -— 2.1— = cx y x

® x y^ - = 2x~ + 3xy+ 2y2 (75) (3xy + y 2 )dx + (x 2 + xy)dy = 0

II. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas.

© ( y - y j x 2 + y2) d x - x d y = 0 , y (V3 ) = 1 Rpta: x 2 = 9 -6 y

(xy' -y )arctg (—) = x , y (1) = 0X

V/ ? o ~ y

Rpta: -y/x + y “ = e x arctg(—)X

©dy y ' - 2 * , - ¿dx y + 2 x y - x

Rpta: y = -x

© x — = xex + y , y ( l ) = 0 dx

Rpta: lnx + e x = 1

©dy _ I x y - y 1 ' y ( 1 ) _ 2 dx 2xy - x

Rpta: xy (y - x) = 2

©v /r

(xcos'C—) - v)dx + x dy = 0 , y ( l ) = — x ' 4

Rpta: tg(—) = ln(—)X X


\ il\ i (,( + 3xy + 4 y )dy = O, y (2) = 1 Rpta: 4 (2y + x) Ln x = 2y - x

\(i i V ) d x + x ( 3 x ~ - 5 y 2)dy = 0, y (2) = 1 Rpta: 2y5 - 2 x 2y 3 +3x = O

( \\ 2 y - ) y '~ 2 x y , y (0) = -1 Rpta: x~ = 2 y " (y + l)

IV' + 2 x y - 2 y )dx + (y + 2 x y - 2 x )dy = O , y (0) = 3 Rpta: y ~ - x y + x = 3 (y + x)

(y - 3x2 )dy + 2xy dx = 0 , y (0) = 1 Rpta: 3 2 2 y = y - x

? y, y + xcos (—)

dx x 4Rpta: 1 + ln x = tg(—)

X

dy v v-j- = sec(—) + (—) , y(2 ) = ndx x x

Rpta: y - x arc.sen (Ln 2x - 1 )

(x 3 + y 3) d x - x y 2dy = 0 . y (1) = 0 Rpta: y 3 = 3x3 ln x

(3x2 +9xy+ 5 y2) í ix - (6 x 2 +4xy )<iy II O *c 0 II 1 o. Rpta: 3x4 + 4 (y 2 + 3 x -

( x ~ - 3 y 2 )x + 2xy dy = 0 , y (2) = 2, Rpta:

£ l°° !II

(x 4 + y 4)dx = 2x 3ydy , y (1) = 0 Rpta:2 Ln\cx\ — 1 ,

y ' = ( , i i )xUi\ex\

( x 2 + y 2 )d + xy dy = 0, y (1) = -1 Rpta:4 _ 9 o _

x + 2 x “ y “ = 3

(x 3 + y 3 )dx = 2xy2dy , y (2) = 1 Rpta: y3 = x3 - — (7>/2xx) 4

dy y y i ~ = 4+ — + (—) , y (l ) = 2 dx x x

Rpta: y \ \ ftarctg(— ) - 2 ln | x | = — 2x 4

I ( ilaciones Diferenciales de Prim er Orden 59

6

©

©

©

©

dy ~~ x — = xex + y , y ( l ) = 0

dxRpta: y = -x In | 1 - Ln x )

(x 4 + 6 x 2y 2 + y 4)¿/x + 4xy(x2 + y 2)dy = 0, y (1 ) = O Rpta: x 5 +10x3y 2 + 5xy4 = 1

dy_

dx

2 xye y ( i )2Rpta: y = k(\ + e y )

( 2 x y + y 2) d x - 2 x 2dy = O, y = e, x = e Rpta: 2x + y Ln x = 3y

y y{ x - 3 y sen — )dx + 3xsen—dy = O, y(l) = — x x 4

(.’.<>) Resolverla ecuación diferencial (2x2 +3xy + 2y2)dx -x yd y = 0 de tal modo que la

solución pasa por el punto P( 1,0).

©dy

xy— = y dx

3- x 3, y ( l ) = 2 28) — = cosh(—), y ( l ) = 0dx x x

m ) v dx + f v cos(—) - x]dy = 0 , y(0) = 2y

1.5. ECUACIONES HOMOGÉNEAS.-

DIFERENCIALES REDUCIBLES

Las ecuaciones diferenciales de la forma siguiente:

dy _ ax + by + c

dx ' â'x + b 'y + c'.. ( 1)

No son homogéneas, porque tanto en el numerador como en el denominador ap;..ecen

dos constantes c y c ' , estas constantes se pueden eliminar mediante una traslación,

transformando a la ecuación (1) en una ecuación diferencial homogénea, para esto

consideremos las ecuaciones:

60

íEduardo Espinoza Ramos

L \ ax + by + c - 0 L : a 'x + b' v + c '= 02

. . . (2)

donde el punto de intercepción es (h, k). Si trasladamos el origen de coordenadas al punto

(h,k) las ecuaciones de (2) se transforman en:

az'+bco = 0 a a' z + b' (ú - 0 y haciendo el cambio x = z + h, y = où + k

de donde dx = dz, dy = dco, se tiene de (1)

d a _ az + bio _

d z ~ a 'z + b'co ’ a + b (— )z

(3)

que es una ecuación diferencial homogénea.

Cuando L, : ax + by + c = 0: L 2 : a 'x + b'y + c ' - 0 son paralelos no se aplica este

método, sin embargo se tiene:

a a ' a b , ,— = — => — = — = A => fl = Â f l ,o = Ar>,de donde se tiene:b b' a' b'

dy ax + by + c l { a ' x + b 'y ) + c— = / ( —;— - -------^ = f (— ;— r,---------t ) = g (a2x + b 2y)dx a x + b y + c a x + b y + c

Que es una ecuación diferencial reducible a variable separable.

► X

I inaciones Diferenciales de Prim er Orden 61

Observación:

Otra forma de transformar a una ecuación diferencial homogénea, las ecuaciones

diferenciales que no son homogéneas, es mediante la sustitución de la variable y = Z ° ° ,

ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado,

atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y, y el grado a -1 a la

dyderivada — . Además se puede transformar a homogénea mediante sustituciones

dx

adecuadas de acuerdo al problema.

Ejemplos.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

I ) (x - 4y - 9) dx + (4x + y - 2) dy = 0

Solución

Sea L y : x -4 _y -9 = 0 a L2 : 4a + y - 2 = 0, como L { } i L 2

=> 3p (h, k) e L] n L i , y para esto resolvemos el sistema

íx - 4 y — 9 = 0=> x = l , y = -2, es decir P (l, -2)

[4x + y - 2 = 0

Consideremos x = z + h, y = co + kde donde

x = z + l , y = o )-2 , además dx = dz, dy = dco

reemplazando en la ecuación diferencial dada: (z - 4oo) dz + (4z + ca) dco = 0 ... (1)

que es una ecuación diferencial homogénea.

Sea z = uot) => dz = udco + todu ... (2)

reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene:

(u2 +1 )d(ú + (u — 4)(odit = 0 , separando la variable ^ - + U ^ du =0 , integrandoco u~ +1

Í - - - -+ f 4 du - C => lnco2(u2 + l)-8 a r c tg « = k ...(3)J (O J u~ f 1

62 Eduardo Espinoza Kamos

z x —1Como z = u co => u — — —------ reemplazando en (3)

(o y + 2

ln[(x - 1)2 + ( y + 2)2 ] - 8 a r c t g ( - ^ ) = ky + 2

2) *Lsi v-

dy _ x + 3 y -5

dx x — y — 1

Solución

Sean L { : x + 3 y - 5 = 0 a L 2 : x - y - l = 0 , como L }X L 2 entonces:

3 p (h,k) e L, n L2, y para esto resolvemos el sistema.

x + 3y - 5 = 0 íx = 2P( 2,1)

x - y - l = 0 [ y - 1

Consideremos x = z + 2, y = co + 1, dx = dz, dy = dco ... (1)

a la ecuación diferencial dada expresaremos así:

(x + 3y - 5) dx - (x - y - 1) dy = 0 ••• (2)

reemplazando (1) en (2) y simplificando: (z + 3 co) dz - (z - co) dco = 0 ... (3)

es una ecuación diferencial homogénea:

Sea co = u z => dco = u dz + z du, de donde al reemplazar en (3) y separando la. , , . dz ( u - \ )d u

variable, se tiene:---- b — ---------- = 0. integrandoz u + 2 u +1

¡dH-l( u - l ) d u x-K => ln C (x+ y - 3 ) = -2 (-

2 + 2m +1 ' ' ' x + y - 3

4xy1dx + ( i x 1y-\ )dy = 0

Solución

Sea y = za => dy = a zu ^dz , reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

4x z 2adx + (3x 2z 2“ - 1 - z a~l )adz = 0 - (D

11 unciones Diferenciales de Prim er Orden 63

Luego 2 a + 1 es el grado de 4x z 2a

2 a + 1 es el grado de 3x2z 2oM

a - 1 es el grado de z “ -1

y para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplirse:

2 a + l = a - l = > a = - 2 , como y = za y = z "2 => dy = -2z~ i dz

4 x z -4rfx + (3x2z -2 -1 ) (-2 z _3) í/z = 0, de donde

4xz dx - 2(3x2 - z 2 )dz = 0 , que es una ecuación diferencial homogénea.

Sea z = u x => dz = u dx + x du, reemplazando en la ecuación diferencial homogénea se

tiene: 4x 2m dx — 2(3x2 - h 2x 2){u dx + xdu) — 0

de donde simplificando y separando la variable se tiene:

dx u2 - 3 ,—- + —r------du = 0, integrando se tiene:x u ' - u

f — + í~ ^ d u = C => Ln x + 3 Ln u - Ln (u“ 1) = CJ x J u - u

como k = - - , y = z~2 se tiene: y ( l - x 2y ) “ = i íx

(■•) ( y 4 “ 3 x 2)dy = -x y dxSolución

Sea y = z “ , a e R => dy = a z a~ldz

reemplazando en la ecuación diferencial dada: x z adx + ( z 5a 1 - 3 x ‘ z a 1 )adz = 0 ... ( I )

para que la ecuación (1) sea homogénea debe cumplirse

a + l = 5 a - l = a + l => a - —2


Como v zil =* y = z l/: => dy = —z 2dz ... (2)

reemplazando ( 2 ) en ( l ) y simplificando se tiene: 2x z dx + ( zz2~ 3¡X-T')dt: = o ... (3)

ijiir i"« mui ecuación diferencial homogénea.

Ni ,i / - tu ti/ UCU i xtlu ... (4)

M 11n|tl/un«l>11 li ni l Si '.impilili mulo y separando la variable

ih m í .i l l i - O, IntegrandoIl II

t,l\ Cu' -3J , 'J„T ( lu C => lnx + ln(—-— ) = C u —1

i iiim u ' , v - v z se tiene:X

x 1 — yA + Ky6

) \ ms x dx + (2y - sen x) dy = 0Solución

Sea / = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene:

y dz + (2y - z) dy = 0 ... (1)

Que es una ecuación diferencial homogénea.

Sea y = u z => dy = u dz + z du ... (2)

reemplazando (2) en (1), simplificando y separando la variable se tiene:

dz 2u -1 . C dz f 2« -1— h------— c/m = 0, integrando I -— h I ----- ^-du = C, de donde 2y Ln y + sen x = 2 cy ]z 2u¿ " J z J 2m

) (2x2 + 3y2 - l ) x d x - { 3 x 2 + 2 y 2 - 8 )ydy = 0

Solución

u - x 2 => du = 2x dx, v = y 2 => dv = 2y dy

reemplazando en la ecuación diferencial dada.

I l itaciones Diferenciales de Prim er Orden 65

©

(2m + 3v - 7 )— - (3m + 2v - 8) — = 0, de donde2 2

(2 u + 3 v - 7) du - (3u + 2 v - 8) dv = 0 ... (1)

Sean L { : 2u + 3v - 7 = 0 a L 2 : 3« + 2v - 8 = 0

como L l ' f i L2 => 3 p (h,k) e L, n L 2 y para esto resolvemos el sistema siguiente

2u + 3v - 7 = 0

3« + 2v - 8 = 0

u = 2

v = l

Sean u = z + 2, v = co + 1 reemplazando en (1)

(2z + 3co) dz - (3z + 2qj) dco = 0 ... (2) que es homogénea.

Sea (O = zn => dco = z dn + n dz, reemplazando en (1), simplificando y separando la

. ,, . „ dz 2n + 3 , . .variable se tiene: 2— h— T— dn = 0, integrando

z n -1

f . dz f 2/1 + 3 2 / 2 3I 2---- 1- I — —dn = K => Lnz (n - \ ) + — LnJ z J n2- 1 2

^ 2 2 comon = — ,ffl = v - l = )> -1 , z = u - 2 = x - 2

z

n — 1

n + 1K

1/ - x 4 + 4 x 2 - 2 y 2 - 3I + - L ny2 - x 2 +1

1 1 2 y + x - 3■ K



dy x + y + 4

dx x —y — 6

(x — 2y + 5)dx + (2x - y + 4)dy = 0

Rpta. arctg(— ^ - ) = L n y j ( x - l ) 2 + (y + 5)2 + C x - l

Rpta. y - x - 3 - K ( x + y - \ )

i/i M V I</ « \ - V + l

( \ + y ' ) + 6xy2y' = 0

3x + y - 2 + y' (x -1 ) = 0

dy _ 2 y - x + 5

dx 2 x - y —4

(~4x + 3y - 7)dx - (x + 1 )dy = 0

(2x + 3y)dx + (y + 2)dy = 0

(6x + 4y - 8)dx + (x + y - 1 )dy - 0

(3x + 5y + 6)dx = (7y + x + 2)dy

(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0

(2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0

(x - y + 3) dx + (3x + y + l)dy = 0

dy _ 2y — x

dx 2 x — y

dy _ 4 x+3y + 15

dx 2x + y + 7


Rpta. arctg(^—î-) = Ltiyjx2 + ( y - l ) 2 + C

- 1/2, 3 cx - xRpta. y = ------------

Rpta. (x - l)(3x + 2y - 1) = K

Rpta. (x + y + 1)3 = K ( y - x ~ 3 )

Rpta. y - 2 x - 3 = C (x + 1)3

Rpta. ( 2 x + y - 4 )2 = k (y — x —1)

Rpta. (y + 3 x - 5 )2 = C ( f+ 2 x -3 )

Rpta. (7y+3x+6)7< y -x -2 )4 = k (x+2)6

Rpta. (x + y - l ) 5( x - y - l ) 2 = C

Rpta. (y - 2 x + 3 )3 = C (y - x + l ) 2

2x+2

Rpta. y = l - x + ce*+y~i

Rpta. I y - 1 1 = c I y + x|3

Rpta. I y + x + 4|| y + 4x + 13|2 = k

x — 1(x - 4y - 9)dx + (4x + y - 2)dy = 0 Rpta. ln ( (x - l )2 + (v + 2)2)-8 a rc tg (~ — ) = C |

y + 2

(x - 4y - 3)dx - (x - 6y - 5)dy = 0 Rpta. ( x - 2 y - l ) 2 = C (x - 3 y - 2 ) ■

11 naciones Diferenciales de Prim er Orden 67

( I H) (x - 3y + 2)dx + 3(x + 3y - 4)dy = 0 Rpta. ln[(jc - 1)2 + 9(y - 1)2 ] - 2 arctg(— ------- ) = C3(y—1)

( j (î) (x + 2y - l)dx - (2x + y - 5)dy = 0 Rpta. ( x - y - 4 ) 3 = C ( x + y - 2 )

il) (x + y - 4)dx - (3x - y - 4)dy = 0, y (4) = 1 Rpta. 2(x + 2y - 6) = 3(x - y ) ln(^-™-)

©

©

©

©

©

©

&

Cio)

(2x - 3y + 4)dx + 3 (x - l)dy = 0, y (3) - 2 Rpta. 3 (y -2 ) = —2(jc — 1)ln(—— *)

dy _ x - y + 2

dx x + y — 1

dy _ 2x + 3y + l

dx x — 2y +1

Rpta. (2 y -3 ) + 2 (2 y -3 (2 x +1) + (2x + 1)2 = K

Rpta. lnw f 2z - H; \

= arctg[ 2z + M’ J

© (4x + 3y + 2)dx + (5x + 4y + l)dy = 0

2z2 + 2 xw+ H1“

1 5w = y — , z = x + —

7 7

X + 5Rpta. 4 1 n (x + y - l) = ----- :— + C

(x - 2y + 3)dy + (2x + y - 1 )dx = 0

(x - y + 4) dy + (x + y - 2)dx = 0

(4x + 3y - 7) dx + (3x - 7y + 4)dy = 0

dy _ 2* + 3y + l

dx 3 x - 2 y - 5

(5x + 2y + 1 ) dx + (2x + y + 1 ) dy = 0

(x - 2y - 3) dx + (2x + y - 1) dy = 0

jc + y -1

Rpta. x 2 + xy — y 2 — x + 3y - C

Rpta. x 2 + 2 x y - y 2 - 4 x + 8y = C

Rpta. 4x~ + 6 x y - 7 y - - 1 4 x + 8y = C

Rpta. ln | (x - l )2 + (y + l )2 |- 3 arctg(^-î-) = Cx —

Rpta. 5x2 +4xy + y 2 + 2 x + 2 y = C

Rpta. lnC (x2 + y2 - 2x + 2y + 2) + 4 arctg(- -- - ) + Cx - 1


(2x - y - 1) dx + (3x + 2y - 5) dy = O

r ô------------------------- 2 2y + x - 3 _Rpta. Lnyjy" + x y - 3 y - 3 x + 3 + —j=arc. lg—j=------— - C

v3 yj3(x — 1)

dy_ = , x+ y 2 dx 4x - 4

Rpta. x - l + ce

4x -4

,x -4 y -2

(9x + 7y - 5) dx + (5x + 4y - 3) dy = O

•> 7 , V î ô y¡ÍO y —2 3 _Rpta. In 114y +12xy + 9x‘ - 4 4 y - 6 * + 411 — — arctg(— - (-— - + - ) ) = C

15 14 x+1 7

(4x + 1 l y - 42) dx + (1 l x - 9y - 37) dy = O Rpta. 4a 2 + 2 2 x y -9 y 2 -8 4 a— 74y = C

dy _ 6a + y -12

é/a 6 x - y - 1 2Rpta. ( y - 2 A + 4 )4 = C (y -3 x + 6 )3

dy _ x + y -1

dx a— y —1

2arctg(— - )Rpta. ( a - 1)2 + y2 = Ke x 1

(4x + 3y + 2) dx + (5x + 4y + 1) dy = O Rpta. 41n | a + y — 11 = y + y _ 1+ c

d'y _ 1 x + y -1 2 dx 2 x + 2

Rpta. 2arctg(-— - ) = ln(x + 2) + K x + 2

(2x - 3y + 4) dx + 3 (x - 1) dy = O, cuando x = 3, y = 2x — 1

Rpta. 3 (y - 2 ) = -2 (x —l)ln (— )


y i dx + 2 (x2 - x y 2)dy = 0 Rpta. y 2 - x l n cy~

(a + y 3 )dx + (3y5 - 3 y 2x)dy - 0 Rpta. arctg(— ) = - ln | a2 + y 6 | +c x 2

I inaciones Diferenciales de Prim er Orden

©

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©

( y + yV*^ y ’ +1 )dx + 2a dy - 0

dy _ 3A2y + y2

. 2 . 4

dx 2a3 + 3Ay; yd) = 2

(1 - xy" )dx — 2x~ y dy = 0

x“ ( l - xy) — + (1 + x y - x 2y2) = 0 dx

(2y —3x)dx + 2xydy = 0

(y - 3 x y ) d x + x 3dy = 0

2(Ay + l)dy + y 3dx = 0

2 dy ^( 1 x y) — + 2Ay" = 0

dx

y (3 - xy) dx + x (2 - xy) dy = 0

(a + 2a 2 y)dy + (2 y + 3xy2 )dx = 0

( x 2y + x ) — + (Ay2 - y) =0 dx

(a 2 - 2 y 3)dx + 3xy2dy = 0

(x + y 3 )dx + 6xy2 dy = 0

(ih) ■ O. - ylx + y + yfx'-ydx .Jx + y - Va - y

Rpta. \¡x2y4 +1 = cy2 + 1

Rpta. a 3y 2 + A y 3 = - 4

Rpta. Ay~=lnA + c

Rpta. A2y 2 -2Ayí-21nA = c

Rpta. a 2y 2 - a 3 = c

Rpta. y (A —c) = a

Rpta. Ay“ + 2 ln y = c

Rpta. 1 -2 a y = cy¿

Rpta. a 3y 2 = cexy

Rpta. a y (l + Ay) = c

Rpta. y = cxe - x y

Rpta. y 3 = A 2 ( c - l n A )

Rpta. y 3 = - —+ Kx 2

Rpta. x + yjx2 - y2 = <

( n ) (2 + 3 x y ' ) d x - 4 x 2 y dy = 0 sug. y = va" Rpta. 2 + 5a 2 = ca2

Eduardo Espmoza Ramos H Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden

U6)

27)

= 1 Z + ± _ + .rtg(-^-) sug. f = V X 2 dx x y x"

2 y y ?Rpta. x eos — + y sen— = cx~

x- X

—- = ’ A + ~V- (sug.x — up,y — vq) Rpta. — L/;|x6 + y , | + íirc.tg (— ) — cdx 2x3y - 2y3 2 y2

( x + y ) 2( x r f y - y d x ) + [ y 2 - 2 x 2(x + y ) ¿ ](dx + dy) = 0, sug. z = x + y, u = — \x I

Rpta. ( y - x 2 - x y ) ( x + y )3 = c (y + 2x2 + 2.vv)j

Rpta. x3 y2 + xy3 = -4

( y 2 - l n x)dx + xy3dy = 0 , sug. x = e", y = \fz

Rpta. (3-y¡3)Ln\y2 +(l--s/3)L«x| + (3 + y¡3)Ln y2 + ( l + y¡3)Ln x

dy _ 3x y + .v , jí(1) = -2 dx 2x3 + 3xy

= c

X2 y dx - (x 3 + y 5)dy = 0, sug. x = uy Rpta. 3y5 - 2x3 - cy3

x (x + J y )d x + 2y[y dy = 0, sug.y = u2 Rpta. lnx + 4i

a t2dt

o 4r + r + l

2 _ .„3(25) (3 t g x - 2 eos y ) see2 xdx + tgxsen ydy = 0 Rpta. cosvtg x - t g x + e

Pruébese que con la ayuda de la sustitución y = ux, podemos resolver cualquier ecuaeidS

de la forma y" f ( x )d x + H (x , y ) ( y d x - x d y ) = 0 donde H (x.y) es función homogénea <■

©

x e y.

(x 2y 3 + x 4y 4 + x4y + x2y 4 + v 4 + y5 ) d x - ( x i y 2 + x 3 + x y A)dy = 0

Rpta. x4y ’ + 3x 2y 3 - 3y 3 - 3y 4 + 3x 2y 2 + x4 = Kxy

®

C\ 7)

28) (x 3.y4 + x 5 y 5 + x 5y 2 + x 3 y5 + y5 + y7 ) d x - ( x 4 y 3 + x 6 y + xy6)dy = (

Rpta. £ - + x - - L . - J L + í + *3 2x‘ 2x y 3 y3

(29) Demostrar que la ecuación diferencial — = ____ Ax + fíy"dx „»-1/a.,y (y4 'x + 5 'ym)

una ecuación diferencial homogénea, haciendo el cambio de variable u - y 1

se puede transformar en

30) Demostrar que la ecuación diferencial X ' (A >: + Rx" ') , se puede transformar endx A ’y + B ' x ”

una ecuación diferencial homogénea, haciendo el cambio de variable u = y m

© T . -dy y*’ —x 2~dx= ~2xy~' SU8-Z = y '

dy 3x2y + x5dx v - . r,3 ’ sug.z = x.3

( 2xy - 4 x 3) d x - ( 2 y - x 2)dy = 0

y + -

( u ) 3 ? y = — rdx 3 y3- ;

Rpta. x = Ke

Rpta. 3 y2 -6 v x 3 - x 6 = (

Rpta. y 2 - x 2y + x 4 =<

Rpta. x 2 + 2xy3 - 3 v 6

1 1

(*¡5) (4xy2 - 6 y ) + (4 y2 -3x )dy = 0 , sug. j = y2 Rpta. x2 -3 x y 2 + 2y = C

2 dy _ y3 - xy5

dx xy2 +1

? - _ y +dx x - 2 yyfx

n t 2 2x 1 Rpta. x ----- — 7 = cy y

Rpta. 2x+ yVx- y 2 - e


38) (2x -- y4 ) d x - 4 y3 ( x + 12y 4 )dy = 0 Rpta. "> 4 ^ 8 X- - xy - 6 y = c

3 ( xy2 + y)dx - x d y ~ 0 Rpta. x 2v + 2x = cy

§ > ( x - _ y2 )dx + 2xydy = 0, Rpta. xey2/x = K

S) (3a-5 + 3x2y 2)dx + (2y3 - 2 x 3y)dy = 0 Rpta.O

ln(jc3 + y2) - 2 arctg =

2.6. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS.-

a) DIFERENCIAL TOTAL:

Si f : /?2 —>/?, es una función diferenciable en (x, y ) s R ~ , entonces la

diferencial total de f es la función df, cuyo valor está dado por:

d n x , y ) J J p y l d x ^ J ^ y l dydx ay

b) D IFERENCIAL EXACTA:

Una expresión de la forma M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0, se denomina exacta si

existe una función / : D a R~ —» R tal que:

df (x,y) = M (x,y) dx + N(x,y) dy

Es decir, que toda expresión que es la diferencial total de alguna función de x e y se

llama diferencial exacta.

c) DEFINICIÓN:

Consideremos la ecuación diferencial.

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 ... (a )

Si existe una función z = f (x,y) tal que:

d f ( x , y) . d f ( x , y ) ...— — = M (,v, y) a — --------— = N(x , y )

d x ' dy

diremos que la ecuación (a ) es una ecuación diferencial exacta.

I ¡ naciones Diferenciales de Prim er Orden 73

d) TEOREM A:

La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial

M (x,y) dx + N(x,y)dy = 0, sea exacta, es que:

d M ( x , y ) _ d N (x , y )

dy

Ejemplo: La ecuación diferencial ordinaria.

( e x sen y - 2 y sen x)dx + (e x eos y + 2 eosx)dy = 0 es exacta porque:

« í , v ,, dM(x, y) _M ( x , y ) = e sen y -231 sen x => ---- - = e eos y - 2 sen x

N(x , y) = ex eos y + 2cosx

dy

dN(x ,y)

dx= ex eos y - 2 senx

de donded M ( x , y) d N ( x , y )

dy dx

e) Solución de una Ecuación Diferencial Exacta:

Consideremos la ecuación diferencial exacta.

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Entonces existe una función f (x,y) tal que

dx dy

reemplazando (2) en la ecuación (1) se tiene:

d f ( x . y ) d f ( x , y )-dx + ----r------= dx = 0

dx dy

...(1 )

... (2 )

... (3)

por otra parte, si z = f(x,y) entonces su diferencial total es:


... (4)dx dy

Luego al comprobar (3) y (4) se tiene: dz = 0 => z = c, es decir f (x,y) = c

Que es la solución de la ecuación diferencial.

Como d/|A'0 * = M (x , y) integramos con respecto a x. d x

f ( x , y ) = j M ( x , y ) + g (y ) . . . (a )

donde g (y ) es la constante de integración, que es una función que depende sólo de

la variable y, puesto que la integración es con respecto a x, derivando la ecuación

(a,) con respecto a y es decir: 1 v~ u = _ L \ M (x ,y )d x + g\y )dy d y j

Como d / (*< ? ) _ y) cntonces se tiene: N(x , v) = í M ( x, y)dx + g ' ( y) dy ' d y J

de donde g ' (y ) = N ( x , v ) — — f M(x,y )dx , integrandod y J

g{y ) = j m x , y ) ~ j M ( x , y ) d x ] d y + K v . . . t f ) ... (p)

Reemplazando (P ) en (a ) se tiene la solución general de la ecuación diferencial (1):

en forma análoga se hace para el otro caso cuando se toma = A'í a\ y) v sedy

integre con respecto a la variable y.

f) Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(2 xy2 + 2y)dx + ( 2 x2y + 2x)dy = 0

Solución


©

M (x , y) - 2xy2 + 2 y

N ( x , y ) = 2x2y + 2x

d M ( x , y )

dy

dN (x , y)

= 4xy + 2

de donded M { x , y ) d N (x , y )

dx= 4xy + 2

dy dx

por lo tanto la ecuación diferencial es exacta;

entonces 3 f (x ,y ) , tal que ^ f ( x , >) _ ^/(x, y ) 5 de dondedx

^ ^ = 2xy1 + 2y, integrando respecto a x se tiene: f ( x , y ) ~ f(2 x y2 +2y )dx+ g( v) d x J

f (x, y) - x ~ y 2 + 2xy + g (y ) derivando respecto a y.

d / ( _ 2x2y + 2x + g '(y), pero como - ■ = N(x , y)dy

se tiene N(x , y) = 2x2y + 2 x + g ' ( y )

d v

2x‘ y + 2x -f g'(y) = 2x2y + 2x => g ' (y ) = 0 = > g(y ) = c

f ( x , y) = x 2y 2 + 2 xy + c

( ex sen y - 2y sen x)dx + ( ex eos y + 2 eos x)dy = 0

Solución

d M ( x , y )

x " y 2 + 2 xy = K

M (x, y) = ex sen y - 2y sen x

N(x , y) - ex eos y + 2 eos x

d M ( x , y ) d N {x ,y )

dy

d N (x ,y )

de dondedy dx

= ex c o sy -2 sen x

= e *co s y -2 se n x

, por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces

existe una función f(x,y) tal que 1 = M (x , y ) . Luego tenemosdx

d f ( x , y ) x

dx= ex sen y - 2y sen x , integrando respecto a x.

76

rEduardo Espinoza Ramos

/(*■ y) = I (ex sen y - 2 y sen x)dx + g(y )

f ( x , y) = ex sen y + 2 y eosx + g (y ), derivando respecto a y.

Z l = ex eos y + 2 eos x + g ' (y ) , como = N(x , y)dy o y

entonces N ( x , y) = ex cosy + cosx + g ' (y )

ex cos>’ + 2cosx + g ' (y ) = ex cosy + 2cosx => g ' ( y ) = 0 => g (y ) = c

Luego / (x , y) = ex sen y + 2y cosx + c ex sen y + 2ycos x = K

( 3) (2xy3 + y eos x)dx + (3x2 y 2 + sen x)dy = 0

Solución

[ M (x, y ) = 2xy3 + y eos x

I N(x , y) - 3x2y2 + sen x

d M ( x , y ) , 2= 6xy +cosx

dy

d N (x , y )

dx= 6xy~ + eos x

de donde = <J * V~ * - , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces,!dy dx

d f ( x v)existe una función f (x,y) tal que ---- - = Ai (x, y ) . Luego tenemos:

dx

d f ( x , y ) _ 2 X y3 + y c o s x integrando respecto a x. dx

f ( x , y ) = J (2xy3 + y cos x)dx + g ( y ) , de donde

/ (x ,y ) = x ¿y3 + y senx+ g(y), derivando respecto a y.

d f ( x , ) ) _ 2 ^ 2 y 2 + sen + g '( -y) ( como >}. = -y)

d y d y

l i uaciones Diferenciales de Primer Orden 77

entonces N ( x ,y ) = 3x y ‘ +sen x + g '(y ) ; de donde

3x~y + sen x + g ' (y ) = 3x2y 2 + senx

Luego f ( x , y ) = x 2y 3 + ys en x + c

’ (y ) — 0 => g(y ) = e

x ’ y 3 + ysenx = K

© (—r——------ + - + — )dx + ( r + — — ~)dy = 0* y y y 2

Solución

M (x , y) ■

N(x , y) ■

\¡x2 + y2 .

1 1+ —+ —

x y

2 + y 2 y y"■ H

d M ( x , y ) _ -x y 1- j . 2 0 x ï n 7d y (x + y ) y-

d N(x , y) _ -x y 1i / 2 2\3/2d x ( x + y )

d M ( x , y ) d N (x , y )de donde ------------ = --------- — , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces

dy d x

existe una función f (x,y) tal que = M (x , y ) . Luego tenemos:

d f (x ,y ) xd x ■yjx2 + y2 x y

)dx + g (y )

f ( x , y ) - yjx2 + y 2 + Lnx + — + g (y) , derivando respecto a y.

d . f ( x , y ) _ y

d y J x 2 + y2 y+ g ' ( y ) como = N ( x , y )

d v

entonces N ( x, y ) = . — 4r + £ '(y ); de donde


- ~ T + g'(y) = - H = = + - - - r => g '(* ) = ° =* g(y) = ln y + c V 7 7 7 >'2 ylx2 + y 2 y y2

Luego f (x,y) = J x 2 + y1 + Lnx + — + Lny + cy

yjx2 + y2 + Lnxy + :

(sen v + y sen x + —)dx + (xcos y - eos x + —)dy = 0 x y

Solución

1M (x, y) = sen y + y sen x + -

1N ( x ,y ) = xcos y -e o s x + —

V

dM (x, y)dy

dN (x , y)

dx

= eos y + sen x

: eos y + sen x

de donde f p0r i0 tanto la ecuación diferencial es exacta.dy dx

existe una función f (x,y) tal que ^ = M (x, y).dx

Luego tenemos d / U .> ) - sen y + y sen x + — , integrando respecto a x. dx x

<*.?>=Jf ( x , y ) = I (sen y + y sen x + — )dx + g ( y )

f(x ,y ) = x sen y - y ces x + ln x + g(y), derivando respecto ~i y.

d f ( x , y ) . = x C 0 S > , - C 0 S x+ g'(y) como = N ( x , y ) , entoncesdy dy

N(x , y) = xeos y — eos x + g' ( y ) , de donde

xcosy — eosx+ g ' (y ) = xcos y — cosx+ — => g \ y ) = — => g(y) — ln y + c>’ y

K

entonces

I i naciones Diferenciales de Prim er Orden 79

Luego f (x.y) = x sen y - y eos x + Lnx + L n y + c

x sen y - y eos x + Ln xy = K

y x(— —r + are. tg y)dx + (------ + arc. ta x)dy =01 + x 1 + y2

Solución

M ( x , y ) = — + arc. tg y

N(x , y) ■

1 + x

1 + y- + arc. tg x

d M (x, y) _ 1 1

dy 1 + x2 1 + y 2

d N (x , y ) _ 1 1

dx 1 + y 2 1 + x2

. , , d M ( x , y ) d N (x , y )de donde ---- — — = ---- — — , por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces

dy dx

existe una función f (x,y) tal que ^ = M (x , y).

, df ( x , y ) yLuego tenemos: ---- ----- = — —— + arctgy integrando respecto a x.

dx ] + x-

f (x, y ) = J (-+ X -

- + are. tg y)dx + g (y) , efectuando.

f (x,y) = y arc.tg x + x arc. tg y + g (y), derivando respecto a y.

d f ( x , y ) , x d M ( x , y ) d N ( x , v )-----------= are.tgx + -------- + g (y ) .Como --------- — = ----- -

dy 1+y dy dx

entonces N(x, y) = arctg x + ' o + g ' ( y ) , de dondeí + y

arctgx + — + g ' ( y ) - — + arctgx => g ' ( y ) = 0 => g (y ) = c1 + y ' - * l + y ¿

Luego f (x,y) = y arc.tg x + x arc.tg y + c y arc.tg x + x arc.tg y = K


g. EJERCIC IOS PROPUESTOS.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales en caso de ser exactas:

( 2 x y - t g y )d x + ( x 2 -x s e c 2 y)dy = 0 Rpta: x 2y - x t g y = K

(sen xstn y - xey )dy = ( e y + eos xeos y)dx Rpta: xey + cosysenx = K

(y + y eos xy) dx + (x + x eos xy) dy = 0 Rpta: xy + sen xy = K

(— + 6x)dx + ( Lnx- 2)dy = 0 Rpta: y\nx + 3x2 - 2 y = KX

(eos 2y - 3x 2y2)dx + (eos 2y - 2x sen 2y - 2x3 y)dy = 0

„ sen2v „ 3 2R p t a : ------ —+ x c o s 2 y -x y = c

ex (x~ex + e x + xy + y)dx + (xex + y)dy = 0

2 e2x n Rpta: xyex + - — + — - (2x~ - 2 x + 3)x = c

(1 + y 2 + xy2)dx + ( x 2 y + y + 2 x y )d x -0 Rpta: 2 x+y~ (l + x )2 - c

3 2 3

(3a2 t g y - ^ - ) d x + (x3 see2 y + 4y3 +^— )dy = 0 Rpta: x3 tgy + y4 + j = c x3 X X

( 2 x + X ~ y- )dx A + J - )dy Rpta: x 3y + x 2 - y 2 = cxyx y xy"

,sen2x sen2 x sen2 x , * 2 + y2 - r(---------+ x)dx + ( y ------ — )dy = 0 Rpta. ------ H---------- cy y y 1

( -Xy — + 2xy - — )dx + (V 1 + x2 + x2 - Lnx)dy = 0Vl + j ? *

Rpta: y VI + x2 + x2 y - yLnx = c


^ 2 ) ( y - x 3)dx + ( x + y 3)dy = 0 Rpta: 4 x y - x 4 + y 4 = c

(¿3) (y + y eos xy) dx + (x + x eos xy) dy = 0 Rpta: xy + sen xy = c

( ü ) (•* ~ 1) 1 ydx + [Ln(2x - 2) + —]dy = 0 Rpta: y Ln |2x -2\ + Ln y = c

(l? ) (3x2 + &xy2)dx + (6x2y + Ay3)dy = 0 Rpta: x 3 + 3 x 2y 2 + y A = c

( lh ) (9x2 + y - l ) - ( 4 y - l ) ^ - = 0 Rpta: 3x3 + x y - x - 2 y 2 = c

(l7 ) (y sen x - sen y) dx - (x eos y + eos x) dy = 0 Rpta: x sen y + y eos x = c

18) (3x" +3xy2)dx + (3x2y - 3 y 2 +2y)dy = 0 Rpta: x3 + ~ x 2y~ - y3 + y 2 = c

® 2x 1— dy + (2Ln5y + - ) d x = 0 Rpta: Ln x + 2x Ln y = cy x

20) e x (dy + 2xydx) = 3x2dx Rpta: yex“ = x 3 + c

(íT ) e 2x (dy + 2ydx) = x 2dx Rpta: 3ye2x = x 3 + c

© y 3 sen 2xdx — 3y2 eos2 xdy = 0 Rpta: y3(l + cos2 x )- c

(23) (yexy e o s 2 x - 2 e X7 sen2x + 2x)dx + (xexy eos2x -3 )dy = 0

Rpta: exy eos 2x + x 2 —3y = c

(24) (ax~ + 2bxy + cy2 )dx + (bx2 + 2 c x y + y 2 )dy = 0 Rpta: ax3 +3bx2 y + 3cy2 + y 3 = c

(25) (x 2 + y e 2y)dx + (2xy + x )e2yd y - 0 Rpta: x 3 +3xye2y = K

(sen x + sen y ) dx + (x eos y + eos y) dy = 0 Rpta: (x + 1 ) sen y - eos x = K


27) ex ( y 3 + x y 3 +l )dx + 3y2(xex -6 )dy = 0 Rpta: xexy 3 + e x - 6 y 3 = c

28) 4x3 - e ^ i y + xy' ) = 0 Rpta: x 4 - e xy= c

3 ) y + H r ? * R p t ^ r 1- = fc 2 ‘^ \ -x ~ y 2 1 - r y l - * y

30) (3x2 + 6 x y - y 2)dx + (3x2 -2 x y + 2y2)dy = 0 Rpta: x 3 + 3x~y-xy~ + y 3 = c

31) [ln(x - y ) + ?— ^-]dx + [ln(x - y ) - -^-\dy = 0 Rpta: (x + y) Ln (x - y) = e' S x - y x - y

32) (— + Lny)dx + (— + Lnx)dy = 0 Rpta: y Ln x + x Ln y = cx y

33) sec x(tg x.tg y + y see x)dx + (sec x.see2 y + tg x)dy = 0 Rpta: see x. tg y + y tg x = c

34) (1 + tg(xy))dx + (sec(xy). tg(xy) + x see2 ( xy) ) . (x dy + y dx) = 0

Rpta: x + see (xy) + x tg (xy) = c

35) (5x4 - 9 x 2y 2 + 5y4)<ix + 2xy(10y2 - 3 x 2 )dy = 0 Rpta: x 5 - 3 x 3y~+5xy4 = K

- '-N X36) (1 + Lnxy)dx + (1 + ~ )dy = 0 Rpta: x Ln (xy) + y = K— v

'

37) (yex + e y)dx + {ex + x e y) d y - 0 Rpta: ye* + xey = K

38) y ( - ------- !— - ) d x + x { - + ---- í— -)dy = 0 Rpta: ^ + —^— = K^ 2 ( x - y ) ' 2 ( x - y ) “ 2 x - y

39) y (eJev + y)dx + x(e” + 2y)dy = 0 Rpta: exy + xy2 = K


_1_

xv(4 j) { xy “' —y)dx + x(xy-\ )dy = 0 Rpta: Ln(Kxy) = —

(42) (eos x. eos y - ctg x) dx - sen x.sen y dy = 0 Rpta: sen x eos y =Ln(K senx)

(43) 2ydx + 3xdy = - - - — Rpta: x2y3 = — + cxy y y

® (2x + y eos xy) dx + x eos xy dy = 0 Rpta: x 2 + sen(xy) = c

(45) (2xy + l + lnx)í/x + x 2í/v = 0 Rpta: x (xy + Ln x) = K

(46) (2ye2A +2xeos y)dx + ( e 2x- x 2 sen y)dy - 0 Rpta: ye2x + x 2 eos y = c

.4 3

47) (2xy + x 3)dx + ( x 2 + y 2 )dy = 0 Rpta: -^- + -^- + x2y = c

(48) (2xe1 + y ex + 2x)dx + (x e y + 2yex )dy = 0 Rpta: x e y + y ex + x = c

© (e ' sen y - 2 y sen x)dx + ( e x eos y + 2 eos x)dy = 0 Rpta: ex sen y + 2y eos x - c

(so) (yeXJ eos2x - 2exy sen 2x + 2x)dx + (xexy eos 2x - 3 )dy = 0

Rpta: e^' eos2x + x 2 - 3y = c

(m ) (2xy 2 + 2 y )dx + (2x 2 v + 2x)dy = 0 Rpta: x 2 y 2 + 2xy = c

52) (x 2 + y " + 2x)dx + 2xy dy = 0 R p t a :------ t- xy2 + x2 = c3

, 3 _ i v „ 2 J. 1 U v _ r t . 2 „ „ 2 w . , _ n „ ...... i ----3a y + 2 x + l — =4 2 3

( 53) (X3 - 3xy 2 + 2)dx - (3x 2 y - y 2) d y = 0 Rpta:

®

2xdx y~—3x~ , „ 9 9 - 1— — + ------------- ---------- dy = 0 Rpta: x~ - y ' =cy

y y4

55) yx} xdx + x y \nxdy- 0 Rpta: x y = c


(sen v + v sen x + -)d x + (xcos y - cos x + —)dy = 0 Rpta: x sen y - y cos x + Ln xy - cx y

-dx + (— ---------------------\-seny)dy = 0 Rpta: tg xy - cos x - cos y = c jcos xy cos' xy

(— sen — — ^-cos(— ) + \)dx + (—cos(—) — ípsen(—) + - —)dy = 0 y y x~ x x x y~ y y-

y X 1Rpta: sen(—)- e o s (—) + x ------= c

x y y

X X x

(1 + e y )dx + ey ( 1 - —)dy = 0 Rpta: x + y e y - cy

cx(2x2 + y 2)dx + y ( x 2 + 2 y 2)dy = 0 Rpta: x 4 + x 2y 2 + y 4 = c

[n eos (nx + my) - m sen (mx + ny)]dx + fm eos (nx + my) - n sen (rax + ny)] dy = 0

Rpta: sen (nx + my) + eos (mx + ny) = c

(jc + 3)-1 eos v d x - tsen v.Ln(5x + \5)— - )dy = 0 Rpta: eos y . Ln (5x + 15) + Ln y = c-y ' H

r 2x dx + T---- = 0 Rpta: x 2 y 2 ( x 2 - y 2) = c2 3 ^ 2xy - x y' - x y

—-dx + ( 2\Ln( ~V-) + 3sen v )dy = 0 Rpta: y2l u\ - — ) - 3 c o s v = c x '+ 3 x " x + 3 ' ' ' .t + 3

(eos 2 y - 3.v 2 y 2 )dx + (eos 2 y - 2x sen 2y - 2.vJ y)dy = 0

Rpta: 2xeos2y - 2x3y 2 + sen2y = c

(— — Lny )dx + ( Lux — -)dy - 0 x y

Rpta: y Ln x - x Ln y = c


<i7) (x 3 + e x sen y + y 3)dx + (3xy2 + e x eos y + y 3)<¿y = 0

Rpta: x 4 + y 4 + 4 xy3 + 4 e x sen y = K

<>8) [ln (In (x -y )) + --.—— ] d x - [ ------- í---------- .—— ]dy = 0 Rpta: x Ln (Ln (x - y )) = Kln (jc -y ) x — y ln (x - y ) x - y

dy jc -y co s x „ , , „— = ------------- Rpta: x - y - 2y sen ;t = cdx sen x + y

70) ( x 2 + — )dx + (Lnx + 2y)dy = 0 Rpta: x 3 + 3y ln x + 3 y 2 - c

II. Resolver las ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales dadas.

( l ) 3y(.r2 -l)<¿r + (jc3 +8y — 3x)dy = 0 , y (0) = 1 Rpta: xy(x2 - 3 ) = 4 (1 - y 2)

(T ) ( l - x y ) ~ 2dx + [ y 2 + x 2(\ -xy )~2]dy = 0 , cuando x = 2, y =1

Rpta: xy4 - y 3 + 5 x y -3 x = 5

( T ) ( xy2 + x — 2y+ 3)dx + x 2 y dy = 2 ( x + y ) d y , cuando x = 1, y = 1

Rpta: ( x y - 2 ) 2 + ( x - 3 ) 2 = 2 y2 +15

* * 2 x( T ) ( x + ey )dx + ey(\~— )dy = 0 , y(0 ) = 2 Rpta: — + yey = 2

y 2

® 2x y2 - 3x2 . „~yhdx + ~--- 5— dy = 0, y|x=i = l Rpta: y == x

© (4x - 2y + 3) dx + (5y- 2x +7) dy , y (1) = 2 Rpta: 4x2 - 4 x y + 5y2 +6a =5

( l ) ( 2 xsen y + 2x + 3y eos x)dx + ( x 2 eos y + 3sen x)dy = 0 Cuando x = , y = 0

_29 9

Rpta: x seny + x +3ysenx = —


„2*( ye2* - 3xe y )dx + (— - 3x V v - e v )dy = O, >-(1) = O

Rpta: ye2x- 3 x 2e2y- 2 e y +5 = 0

(2xy-3 )dx + ( x 2 +4y)dy = 0 , y (1) = 2, Rpta: x y - 3 x + 2y = 1

(2y sen x eos x + y 2 sen x)dx + (sen2 x - 2y eos x)dy = 0 , y (0) = 3

Rpta: y2 c o s x -y s e n 2 x = 9

^ d x + ^ — ^ d y = 0, y(-l) = 2x2 *y

Rpta: - 3 y + 2x + y 2 =2xy

(3x2y 2 - y 3 + 2x)í/x + (2x3y -3 x y 2 +1 )dy = 0 , y (-2) = 1

Demostrar que la ecuación diferencial homogénea (A x + By) dx + (Cx + Dy) dy = 0 es

exacta sí y solo sí B = C.

Demostrar que la ecuación homogénea (A x2 + Bxv+Cy ' ) + (Dx~ +Exy+Fy~ )dy = 0 es j

exacta sí y solo sí B = 2D y E = 2C.

Determinar los valores de a y b para que la ecuación diferencial sea exacta y

resolverla

a) (y + x 3)dx + (ax + by*)dy = 0

b) axy dx + (x + eos y)dy = 0

ipta: a = 1, b e R

Rpta: a = 2, x * 0

c) xy3 dx + ax2 y 2 dy = 0 Rpta: a = ~

9 1d) (ax + b)y dx + (x + x + —)dy = 0y

Rpta: a = 2, b = 3

i citaciones Diferenciales de Prim er Orden 87

©©©

©©

©

®I iJ.

e) ax( y - eos y )dx + .v2 (1 + sen y)dy = 0 Rpta: a = 2

f) ( xy2 + bx2y)dx + ( x + y ) x 2dy = 0 Rpta: b = 3

g) (ye2xy + x)dx + bxe 2x>dy = 0 R p t a : b = l

( 2 x y - 3 x )dx + ( x 2 + y)dy = 0 Rpta: x 2 y - x* + — = C

y(2xy2 -3 )d x + (3x2y 2 - 3 x + 4y)dy = 0 Rpta: y ( x 2y 2 - 3 x + 2y) = C

(x +.seny - cosy)dx + x (seny + cosy)dy = 0 Rpta: x 2 +2.v(sen y -e o s y ) = C

x (3 x y -4 v 3 + 6 )dx + ( x ? - 6 x 2y 2 -\)dy = 0 Rpta: x3y - 2 x 2y 3 + 3 x 2 - y = C

(seny + 2xcos2 y)dx + xcosy (2xseny + ])dy = 0 Rpta: x s e n y - x 2 cos2 y = C

(x y2 + y - x)dx + x(xy + \)dy = 0 Rpta: x 2 y 2 + 2 x y - x 2 = C

2 o 22x(3x + y - ye x )dx + (x~ +,3y2 +e~x )dy = 0 Rpta: x 2y + y 3 + 2 x 3 + ye~x = C

FACTOR DE INTEGRACION.-

Consideremos la ecuación diferencial de la forma:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1)

Si la ecuación (1) no es exacta, se puede transformar en exacta, eligiendo una función n

que pueda depender tanto de x como de y de tal manera que la ecuación

u(x,y) M(x,y)dx + u(x,y) N(x,y)dy = 0 . . . (2 )

sea exacta, entonces a la función u(x,y) se llama factor integrante o factor de integración.

Como la ecuación (2) es exacta, entonces se cumple

d u (x ,y )M (x ,y ) du (x ,y )N (x ,y )

dx, de donde

88

VEduardo Espinozu Ramos

du(x, y) d M ( x , y ) du{x ,y ) d N (x ,y )M ( x , y ) — — — + w(x, y ) ---- ^— — = N(x , y) — -------+ u(x,y) -

dy ' dy

de donde agrupando se tiene:

d x dx

du(x ,y) du(x ,y ) d N (x , y ) d M ( x , y )M (x, y) — — i — N(x , y) — — = (---- ------------------------------- ---)u(x, y).

dy dx dx dy

Para determinar el factor integrante consideremos los siguientes casos:

ler. Caso: Si u es una función sólo de x.

du (x ,y )entonces

dy- = 0 . Luego de la ecuación (3) resulta:

. N , ix, y) = {d N ^ y ) _ ylM x )

N ( x , y )

dx dx d y

du(x,y) d M ( x , y ) d N (x , y )

dx■ = (-

dy dx)u(x)

^ = _ l _ (5 M ^ _ ^ U y ) ) imegrand0

u(x) N ( x , y ) dy dx

d M ( x , y ) d N (x ,y )j‘ duOO_ f___1_J w(x) J N ( x , y )( ¿y

)rfv = f ( x )d x

4 1 dM(x ,y ) dN (x ,y )do.lde / ( * ) = — ----- - ( ----- r------------- r ----- )

N(x ,y) dy dx

Como f ( x )d x Ltm(x) = f ( x )d x

... (3)

m(x) =

2do. Caso: Si u es una función solo de y, entonces ^ “ 1‘ A' ' = 0

Luego de la ecuación (3) resulta:

du(y) d N ( x , y ) d M ( x , y )M ( x , y ) -

dy= (-

dy)u(y) , de donde


du(y) _

u(y) M (x , y ) ' dy

donde g (y)

1 d M (x, y) dN(x,y )(— ---------------- ------- )dy = g(y)dy

1 d M ( x , y) d N { x , y )

M ( x , y ) dx

du (y)

u(y)= g(y)dy integrando se tiene:■ fJ U(y) J g(y)dy => ln « (y ) = I g(y)dy

í ‘

u(y) = e1j g<>g(y)Jy

3er. Caso: En muchos ejercicios el factor integrante está dado en un producto de

dos funciones f(x ) y g(y), es decir, u(x,y) = f(x )g (y ) que reemplazando en la

ecuación (3) se tiene:

dy dx dx dy

M (x , y ) . f ( x ) g \y) - N (x , y )./ ' (x) .g(y) = - d M ^ y ) ) f ( x ) g ( y )dx dy

esta expresión es lo mismo escribir en la forma:

d M (x, y) dN (x , y)

dy dx) f ( x ) g ( y ) = N (x, y ) f ' ( x )g (y ) - M (x , y ) f ( x ) g '(y )

f i x ) g(y)... (4)

donde M y N son funciones conocidas, de la ecuación (4) por inspección se pued

determinar las funciones f(x ) y g(y).

4to. Caso: Para ciertos ejercicios su factor integrante es de la forma u(x, y ) = .i" y'"

donde n y m se determinan mediante la condición necesaria y suficiente di

las ecuaciones diferenciales exacta.

1yo Eduardo Espinoza Ramos I Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden 91

a. Ejemplos: Resolver las siguientes eeuaciones diferenciales.

7) ( l - x 2y)dx + x 2( y - x ) d y = 0

Solución

\M = \ - x ~ y

IjV = x2( y - x )

dMd y

d N

dx

■ = - x

-3a + 2.w

dM dN ., ,como ----- * ------, la ecuación diferencial no es exacta.

d y dx

„ r / N 1 td M d N - a 2 - ( - 3 a 2 + 2 xy) 2Sea f (x ) = — (—-------— ) = -------- --------;— — = —

N dy dx x ( v — x) x

[ f { x )d x f ~ dxel factor integrante es u(x) = <?J = eJ x

/ (x, y) = -------- ay + g ( y ) , derivando respecto a y.

d f { x , y ) d f { a , y )■ = - x + g (y ) , como — r-------= N entonces

dy dy

N = - x + g ' ( y ) => - x + g ' ( y ) = y - x => g ' (y ) = }’ => g ( y ) ¡ = ~ + C

1 yLuego f ( x , y ) = -------xy + - + C

x 2/. x y - 2 x y - 2 = Kx

(T ) —dx + {y3 - Lnx)dy = 0

Solución

M =-

N = y - \ n a

d M 1

dy x d M d Nco m o ----- * ------, la ecuación diferencial no es exacta.

d y dx

d x A

u(x) = e -2 Lux u(x) = -

al multiplicar a la ecuación diferencial por u(x ) = —

es decir: (— - y)dx + (y - x)dy = 0, que es exacta. x"

, , 1 , d M d N 1 1 1Sea g(y) = - - - ( —------ — ) = -----(--- (— ))

M dy dx y_ x xx

A 2 2 2g(y) = — ( - ) = — => g(;y) = —

v a y

Luego el factor integrante es. u(y) = ej g (y )d y J-

2 dy

En efecto:M = \ - y

A

N = y — x

d M -1dy d M d N , ,.r . , H

como----- = ------la ecuación diferencial es exaet;id N _ j dy dx

dx

3 f ( x , y) tal que V - = M , de donde d = \ - y integrando respecto a x.dx dx

/(* y ) d x + g ( y ) = ------- xy + g{y )x

u(y) = e " ln-v = ——. que multiplicado a la ecuación diferencial dada se tiene:y"

J ty¡ x— dx + ( y -----— )dy — 0, que es exacta,xy y-

En efecto:

M1

xy

N = y-Lnx

d M _ ___1_

dy xy"

d N ___1_

dx ~ xy2


Como — = — , la ecuación diferencial es exactad y dx

d f ( x y) d f (x y) 1=>3 f ( x , y ) , tal que J = M , de donde = — integrando respecto a x.

dx dx xy

f ( x , y ) = \— + g(y) = — + g(y) derivando J xy y

d f ( x , y ) Lnx d f ( x , y )’ -----— + £ ( ) ' ) • C o m o — — = N, entonces

dy dy

LnxN = ----- — + g Xy) de donde se tiene:

y

Lnx Lnx , y— ~ + g (y) — y — — => g ( y ) = y => g(y) = — + c

. -, . Lnx y-Luego f ( x , y ) = -----+ — + C

y 2

(xy + x 2y + y 3)dx + ( x 2 + 2 y 2)dy = 0

y 2

JM =xy + x 2y + y 3

[ N = x2 + 2 y 2

Solución

dy

d N

dx= 2x

d M d N ...C om o----- * ------ la ecuación diferencial no es exacta.

dy dx

Sea u (x,y) = f (x ) . g (y ) un factor integrante para esto, empleamos la ecuación (4)

d M d N N f \ x ) M g\y)

dy dx f \ x ) g '(y)

l'cuaciones Diferenciales de Prim er Orden 93

x + x2 + 3y2 - 2x = (x2 + 2 y 2 ) - U y + x2y + y3 )f ( x ) g (y )

x 2 + 3 y2 - x = ( x2 + 2 y 2) ^ - ^ - - ( x y + x2\ + y 3) ^ - - ^ -f ( x ) ' ' g (y )

f \x)

f ( x ) fin / ( x) = 2x I f ( x ) = e

g ’(y ) _ 1 [ln g (y ) = ln y [g (y ) = y

g (y ) y

2x

Como u ( x , y ) = f ( x ) . g ( y ) = ye2x factor integrante ahora multiplicamos a la ecuación

diferencial por el factor integrante u(x, y) = ye2x .

ye2x (xy + x 2 y + y 3 )dx+ ye2x ( x 2 + 2y 2 )dy = 0

es una ecuación diferencial exacta, es decir:

| M = ye2x (xy + x2 y + y3

[ n = ye2x( x2 +2y2)

—— = e2x (2xv + 2x2 v + 4 v3 ) dy

—— = elx{2 xy + 2x2 y + 4v3 ) dx

d M d N ...Como ----- = ----- , la ecuación diferencial es exacta.

d y dx

=> 3 /■(.*,y ), tal que A’ ~V'> = M , de donde. dx

d f (x, y) 2x< 2 "K •---- -— :— = ye (xy + x y + y ) integrando respecto a x.

dx

Jf ( x , y) — I ye~x(xy + x -y + y3) d x + g ( y ) = ^ ~ I d(e2x( x 2 + y~)) + g ( y )

f ( x , y) = ~ e 2x( x 2 + y 2) + g (y ) derivando respecto a y.

Eduardo Espinoza KamosI i'citaciones Diferenciales de Prim er Orden 95

d f ( x , y ) _ 2 x ^ 2 + 2 y 2 ) + g ' ( V) . Como ^ ^ X--}- - = N entonces.dy ' ay

N = ye2x( x 2 + 2 y 2) + g ' ( y ) , de donde

y = e 2* (x 2 + 2 y2) + g ' (y ) = ye2jr(x 2 + 2 y2) , simplificando g '(;y) = 0 => g(y ) = C

2 2x, 2 , 2\ ,. . y e ( x + y ) = k

por lo tanto el factor integrante es u(x, y) = — que al multiplicar a la ecuación (1) sexy

2 1 2tiene: —d x - ( —+ y ~ ) d y - 0, que es exacta, en efecto:

v2e2xLuego f ( x , y ) = - - ( x2 + y 2) + C

2 y d x - x d y = xy dy

2y dx - (x + xy 3 )dy = 0

i d M

Solución

M = 2 y

N = - (x + xy3)

d y

d N

d x

= 2

= - l - y i

d M d N , ., . . Jcomo----- * ------la ecuación diferencial no es exacta

dy dx

Sea u(x ,y ) = x " ' y n un factor integrante, entonces.

2xm y n+' dx - (x m+] y n + x m+i y n+idy = 0

d M d Npara que sea exacta debe cumplirse

[ m = 2 xmyn+1

[ N = - ( x m+1 y" + xm+l yn+3 )

dy dx

d M

d y= 2(n+l ) x y

— = - (m + l ) (x ,nyn + x " 'y n+3) d x

igualando tenemos 2(n + l ) x my" = - ( m + \)x'" y" - (m + \)x'n yn+i

Luego:2 (n + l) = —(m + 1) í n = - 1

m = - 1

M = -d M

= 0d y d f ( x v)

entonces 3 f ( x , y ) tal q u e--------1— = M ,d N _ d x

d x

. . . d f ( x , y) 2 .de donde ---- ------ = — , integrando respecto a x.

dx x

í/(■*. >’) = — dx+ g (y ) = 2Lnx + g ( y ), derivando

d f ( x , y ) d f ( x , y )= g (y ) * Pero como -— ------- = N entonces

dy dy

N = g \ y ) => - ( — + y2) = g'(y) => g(y) = -(ln y + - —) + C y 3

Luego / (x , y ) = 2 1nx-ln y - ~ + c 2 ln x - ln y ------= K3

( 5 ) e 'd x + ( e xc tg y + 2 y eosecy)dy = 0

I M = e x

[N = exc tg y + 2y eos ecy

Solución

d M■ 0

dy

d N x-----= e cot yd x

d M d NComo —— ^ —— la ecuación diferencia) es exacta,

dy dx


, , 1 ,d M d N s O - e Y t g ySea g (y ) = ----- (—--------— ) = ----------------

M d y d x ex

\ g(y)dy I c tg ydyg(y ) = ctg y u ( y ) - e J - e ¡

n(y) = e ln<senv) = seny => u (y ) = sen y

ahora multiplicamos a la ecuación diferencial por u (y) = sen y, es decir:

e x sen y dx + (.e* eos y + 2y)dy = 0, que es una ecuación diferencial exacta.

' d M

en efecto:M = ex sen y

[N = ex eos y + 2y

dy

d N

dx

- e eos y

■■ ex eos y

Como la ecuación diferencial es exacta.d y dx

entonces 3 f ( x , y ) tal que — M de donded x

d f ( x , y ) x——— — = e sen y , integrando respecto a x.

d x

f ( x , y) = 1 ex sen ydx + g (y ) = ex sen y + g (y ) derivando

= ex Cos y + g \y), pero como ^ = N ent,Micesd x ' dy

N = ex cos y + g ' (y ) de donde se tiene:

ex cos y + g '(y ) = ex cos y + 2y => g ' (y ) = 2y => g (y) = y 2 + C

Luego f ( x , y ) - e x sen y + y 2 + C ex sen y + y - K


(<i) (x cos y - y sen y) dy + (x sen y + y cos y) dx = 0

Solución

d MM — x sen y + y cos y

N = x cos y - y sen y

dy

d N

d x

= x cos y + cos y - y sen y

cos y

d M d N ...Como ----- -------- la ecuación diferencial no es exacta.

dy dx

1 dN _ *cos y + cos y - y sen y -c o s ySea J {x ) — — (—------- — ) - --------------------------------------------1-------- :---------- ---------- -1

N dy d x- x cos y - y sen y

/(jc)díLuego el factor de integración es u(x) = eJ = e ahora a la ecuación diferencial, lo

multiplicamos por el factor integrante u (x ) = ex , es decir:

(e jrjrcos y —exy sen y)dy + (xex sen y + yex cos y)dx = 0

que es una ecuación diferencial exacta, en efecto.

r<?MM = ex x sen y + ex y cos y

[N = exx c o s y - e xysen y

dy

d N

d x

xe cos y + e' cos y - ye sen y

= xex cos y + ex cos y - yex sen y

d M d N .,Como ----- = ------ la ecuación diferencial es exacta.

dy dx

d f (Jt, y)entonces 3 f ( x , y ) tal que - = M , de donde

d f { x , y ) , z----------- = xe sen y + ye cos y integrando respecto a x.

dx

1Eduardo Espinoza Ramos

/ ' (x, y) = xeX sen y - eX sen y + yeX eos y + g ( y ) derivando

d f{x, y)

dy

d f ( x , y )

dy

= xex eos y - ex eos y + ex eos y - yex sen y + g '(y)

d f ( x , y )= xex eos y - yex sen y + g '( y), pero como

dy= N

N = xex eos y — yex sen y + g ' ( y ) , de donde se tiene:

xex eos y — yex sen y + g ' (y ) = xex eos y - e xy sen y => g ' (y ) = 0 => g (y) = C.

Luego f (x, y) = xex sen y - e x sen y + yex eos y + C

xe* sen y — ex sen y + yex eos y = K

Observación: Veremos un caso particular de factor integrante, por ejemplo, hallar un

factor integrante u = ip (x + y 2) de la ecuación diferencial

(3y 2 - x)dx + (2y 3 - 6xy)dy = 0 y luego resolver la ecuación.

Solución

I M = 3y‘ - x

\n = 2 y3 -6 x y

d M

dy

d N

. dx

■ 6 y

= - 6 y

d M d N como ----- ^ ——

d y d x

La ecuación no es exacta, ahora calculamos el factor integrante de la formfl

u - cp (x+y2) = (p(z) donde z = x + y2 dz . d .¿ —*■ = 1 , - — = 2 y

d x dy

_ d M d N du duC o m o ------------- = N --------- A/—— entonces

dy d x udx udy

d M d N d ln(w) . ,d \ n u- = N — r------- M

d y d x d x d y... (1)

I rum iones Diferenciales de Prim er Orden 99

d \nu d ln u d z d \nu

d x dz d x dz d\nu d\nu dz „ d\nu— = 2 y.

(2 )

d y dz d y dz

reemplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene:

d M d N .,d\nu d\nu d M d N d ln u-----= ----- M 2 y - => -------- — = ( N - 2 y M ) —-—

d y d x dz dz dy d x dz

£ ¿ 3 ¿ , 3 . . r f ln « 2 , d ln u6 y + 6 y = ( 2 y - 6 x y - 6 y + 2 xy )------- => 1 2 y = -4 y(y + x ) -------dz ' dz

d ln u 3 3 .d z------- = ---- ------= — entonces a (ln ít) = -3 —

dz y~ + x z z

-3 1 1integrando se tiene: ln u = -3 ln z = ln z ; levantando el logaritmo u = — = —---------- ,

z3 i y 2 + x f

multiplicando a la ecuación diferencial se tiene:

3y2 - x 2y 3 - 6 xy ,dx + ------— dy - 0 es una ecuación diferencial exacta. La solución se

(y 2 + x )3 ( y 2 + x )3

x — y" x - y2obtiene agrupando, tenemos d (------ ----- ) = 0 integrando ------------ = C

O - y 2 )2 (x + y 2 )2

x — y 2 = c (x + y 2)2

a. Combinación Integrable.

En una ecuación diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, para encontrar un factor de

integración en muchos casos es dificultoso, sin embargo mediante el reconocimiento

de ciertas diferenciales exactas comunes, se puede obtener la solución en forma

mucho más práctica, a esta forma de agrupamiento de los términos de una ecuación

diferencial denominaremos combinación integrable. Esta forma de resolve. las

ecuaciones diferenciales es mucho más rápido, sin embargo requiere de un buen

conocimiento de diferenciales y una cierta pericia en determinar cómo deben

agruparse los términos y para esto daremos algunas sugerencias de diferenciales

exactas.

VEduardo Espinoza Ramos

I o x dy + y dx = d (xy)

5- = < 1 ( 1 * 1 »xy x

xdy-ydx 1= — d (Ln (------ ))

x2 - y2 2

2° xdx ± ydy = — d (x 2 ± y 2)

xdy -ydx x^" ~ — = d ( ----- )

v- y

xdy -ydx y— — = d(arctg(—))

x- + y2 x

xd y -ydx 1 , ^ + y~~~ Cl )

x - y

xdy -ydx y- = d (are. sen(—))

.2 X¡ 2 K\Jx - y10°

( x - y ) 2 2 x - y

ydx-xdy ^ 1

( x + y )2 2 x + y

11°

13°

xdy + ydx _ __ 19 9

x y ^12° dX + d- = d (L n (x + y ) )

x + y

xdy+ ydx

xy- d (Ln(xy))

Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

(x 2 + y 2)(xdy + y dx) = xy(xdy - y dx)

Solución

La ecuación diferencial dada expresaremos así:

xdy + ydx — 3^^ j g acuercj0 a jas sugerencias 6G y : ■1 ¿e tiene:xy x + y

ydLn(xy) = d(arctg(—)) integrando se tiene:

jd \ n (xy ) = j ed ln(xy) = | d(arctg(—))dx + C , de donde ln(xy) = arctg(—) + C

©

©

( 2) 3ydx + 2x dy + 4xy2dx + 3x2 y dy = 0

Solución

Multiplicando a la ecuación dada por x 2y , es decir:

3x 2y 2dx + 2x3 y dy + 4x3 y 3dx + 3x4 y 2d = 0

de acuerdo a la sugerencia l°s e tiene: d (x 3y 2) + d (x 4y 3) = 0 integrando se tiene:

j d ( x 3y2) + j ( d x 4y3) - C de donde

xdy - ydx = x2 yjx2 - y2 dx

I mariones Diferenciales de Prim er Orden 101

x 3y 2 + x 4y 3 = C

Solución

A la ecuación diferencial dada, escribiremos así:

xdy-ydxI 2 2Kyjx - y

= xdx, de acuerdo a la sugerencia 9o se tiene:

d(arcsen(—) ) = d ( ~ ) integrando se tiene: Jd(arcsen(—)) = | d ( ^ - ) + C, de dondey x „ aresen — = - - \-Cx 2

x 'dy — x 2 y dx = x 5 y dx

Solución

A la ecuación diferencial dada expresaremos: xdy - ydx = x ydx, para x * 0

xdy - vdx i , y x3—-— ;-= x dx, de acuerdo a la sugerencia 5o se tiene: dLn(—) = d (— ) integrando.

xy x 3

d (— ) + C, de donde 3

Ln(—) = — + C


) ■>Jy2 - l ( l - y V x 2 -1 )dx + \lx2 - l ( l - x \ ] y n -\ )dy = 0

Solución

La ecuación diferencial dada expresaremos así:

y¡y2 - \dx - yyjx2 - 1 yjy2 - 1 dx + \lx2 - Id y - xyjx2 - 1 J y 2 - Idy = 0

y]y2 - Idx + ' j x 2 - Id y - yjx2 - l-J y 2 -K y d x + xdy) = 0

c,x + fy.— ~(ydx + xdy ) - 0, de acuerdo a las sugerencias del 1 ° se tiene:

V *2 -1 J y 2 -1

^X + ^ ..... - d (xy) = 0 , integrando [ . - f d(xy) = C

de donde: Ln | x + x 2 - 1 1 - L n \ y + y]y" - 1 1 —xy = C ... (1)

por lo tanto (1) expresaremos asi: arccoshx - arccoshy = xy + C, de donde

cosh (arccoshx - arccoshy) = cosh (xy + C)

xy + senh (arccoshx). senh (arccoshy) = cosh (xy + C)

además se sabe que , senh x = ---------- Luego se tiene:2

arccos/Lf _ -árceoshx aresenh \ -aresenhy^ + (£-----------£----------)(£---------- -£----------) = cosh(xy + O

dL = y ^ . p L . . Parax = 1 ; y = -2 dx y ( ] - x ) - X

Solución

— - = ■■■ i y { \ -x2) - x\dy = y(xy + \)dxdx _y(l — jc ) — a: L J

/ madones Diferenciales de Prim er Orden 103

y dy — yx^ dy = xy2 dx + y dx , agrupando y d y - ( y x 2dy + xy2dx) = xdy + y dx

mediante la sugerencia de I o se tiene: y d y -d ( -—-— ) = d(xy) integrando

( ! )

j y d y - j d ( —y ~ ) = ^d {xy ) + K , de donde y 2 - x 2y 2 =2xy + C

para x = 1, y = -2, se tiene 4 - 4 = -4 + C => C = 4

Luego la solución particular es: ( l - x 2) y 2 -2 x y = 4

( y + x ( x 2 + y 2))dx + ( y ( x 2 + y 2) - x )d y = 0

Solución


y d x + x(x~ + y “ )dx+ y (x 2 + y 2)dy -xdy = 0 , ahora agrupamos

xd\ - vdx------2— — H xdx + y dy = 0 , mediante la sugerencia de 2o y 6° se tiene:

x + y

- d (are. tg(—) ) + ^ -d (x2 + y 2) —0 .integrando - |<f(arctg(—)) + — [ d ( x 2 + y 2) = C x 2 J x 2 J

( ! )

-2arctg (^ ) + x 2 + v 2 = Kx

x + 2 -J l- y 2 cosy arc. sen ydx H-------- ■ ' ------- — dy = 0

Solución

A la ecuación diferencial dada expresaremos así: are.sen ydx + — + 2eos ví/v *- 0

d (x .are.sen y) + 2 eos y dy = 0, integrando


J <7 ( jc arcsen y) + J 2 eos ydy ~ C de donde x arc.sen y + 2 sen y = C

b. EJERCIC IOS PROPUESTOS.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(Ay3 + l)d x + x 2 y 2dy = 0

y 2dx + x : dy — 2xy dy = 0

( x 2 + y )d x -x d y = 0

(2xy2 - 3y 3 )dx + (7 - 3xy 2 )dy = 0

y dx + ( 2 x - y e y)dy = 0

( y 4 + x 3)c?A + 8Ay3dy = 0

(5a3 + 3Ay + 2 y2)dx + (A2 + 2xy)dy - 0

x 1 y 2dx + (x 3 y + y + 3)dy = 0

x 2d x - ( x 3y 2 + y 2)dy = 0

( a t 2 + a 2 v 2 + 3 )dx + x 2ydy = 0

e * (x + Y)dx + ( e y y - xex )dy = 0

( x - x 2 y)dy - y d x = 0

(5x3y 2 + 2y)<ix + (3x4y + 2x)ú!y = 0

(e x + xey )dx+ xeydy - 0

3 -

Rpta. e~ v (x + 3 ) = c

Rpta. e2x( x 2y 2 +3 ) = c

Rpta. 2A f' ' + y 2 = c

Rpta. 2 _v - Ay 2 - ca = 0

Rpta. x 5y J + x 2y 2 = c

(lS ) (3x2 y + 2xy + y 3 )dx + ( x 2 + y 2 )dy = 0

1 1 naciones Diferenciales de Prim er Orden

Rpta. 2x3y 3 + 3 x2 = c

Rpta. x y - y 2 = K x

Rpta. x 2 - y = Kx

Rpta. x 2y - 3 x y " - 1 - Ky

Rpta. xy2 - y 2e y + 2 y e y - 2 e y = K

Rpta. V x (7y4 + x3) = K

Rpta. a5 + x 3y + x 2y 2 = AT

„ 4 x V + v 3 3y2Rpta. ------------- H------ = c

3 2

©

©

Rpta. ex+y + r í * .Jo '

a:

@

©

©

(M)

@

E> ®

® (B>

®

dx + (---- sen y)í/y = 0y

ydx + (2 x y -e 2y) d y - 0

@ (x 2 + y 2 +2x)rfx + 2yífy = 0

m (3a2 - y 2 )dy - 2A y dx = 0

(xy - l)dx + (x -Ay)c/y = 0

Rpta. (3x 2y + y3)e3x = c

Rpta. xy + y eos y - sen y =

Rpta. Ae2v- ln | y |= c

Rpta. a 2 + y 2 =ce~x

Rpta. - - cy y

Rpta. xy - Ln\ x\—^ ~ = c

2y (x2 - y + x)dx + ( x 2 -2 y )d y = 0 Rpta. y (x 2 - y ) = ce~2x

y (4 x + y )d x -2 (x 2 - y)dy = 0 Rpta. 2x2 +xy + 2y ln | y | =

(2 y 2 + 3 x y -2 y + 6x)dx + x (x + 2y-\ )dy = 0 Rpta. x 2( y 2 + x y - y + 2x)

y 2dx+(3xy + y 2 - l )d y = 0 Rpta. y 2( y 2 + 4 x y -2 ) = c

2 y (x + y + 2)dx + ( y 2 - a 2 - 4 x -\ )d y = 0

2 (2y2 + 5 x y -2 y + 4)dx + x (2 x + 2 y -\ )d y

3 (x2 + y 2 )dx + a ( x 2 + 3y 2 + 6y)dy = 0

y (8x - 9y) dx + 2x (x - 3y) dy = 0

y (1 + xy) dx - xdy = 0

dx + (x tg y - 2 secy) dy = 0

Rpta. x 2 + 2a^ + y 2 +4 x + 1

■0 Rpta. x4( y 2 + 2 A y - y + 2) =

Rpta. a ( x 2 + 3y2) = ce~y

Rpta. x 3 y (2 x -3 y ) = c

n . 2 2 aRpta. a h-----= c

y

Rpta. x secy - 2 tg y = c

Eduardo Espinoza Ramos Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden 107

( a '4 \n x - 2 x y 3)dx + 3x2y 2dy = 0

(\ f y 2 )dx - 2xy dy = 0

( 2x2 y + 2y + 5 )dx + (2x3 + 2 x)dy = 0

Rpta. y + x (ln | x ¡ -1 ) = ex '

Rpta. x ln|x|-y

Rpta. 5 arc.tg x + 2xy = c

(x + sen x + sen y ) dx + eos y dy = 0

(1 + xy)dx + x (— + x)dy - 0

(sec x + y tg x) dx + dy = 0

2(x + >’(sec2 x + tg x)dx + tg x dy = 0

— dx + ( y3 - Lnx)dy = 0

Rpta. 2ex seny + 2e't ( x - l ) + e ï (s en x -eosx ) = <■

Rpta. K = xyexy

Rpta. y sec x + tg x = e

Rpta. ( x + y ) t g ‘ x = c

y2 Ln | x |Rpta. -— H-

2 y= c

3— sen“ x

senx(2 + 3y sen2 x)dx + secxdy - 0 Rpta. ye4 +2 (senxcosx)e4 dx + c

y sen xydx - ( C° S - x sen xy )dy = 0 Rpta. y eos xy = c

(x eos y - y sen y ) dy + (x sen y + y eos y ) dx = 0a

Rpta. (x sen y - y eos y -- sen y)e ~ CM

— dx - (1 + xy 2 )dy = 0x

1Rpta. ey(y 2y + 2 + —) = c, u

x x

(x 2 + 2x + y)dx + (1 — x 2 — y)dy — 0 Rpta. ex~y( x 2 + y ) = c , u = e x~y

(eos x - sen x + sen y ) dx + (eos x + sen y + eos y) dy = 0

Rpta. e*+>l(cosx + seny) = c , u = e x+yí

I ®("«)

©sen y eos v + 2e x eos x ,

(---------2e sen x)dx + -— ----------------- dy =y y

0

Rpta. ex seny + 2yeosx — c , u = yex

© (-3 y 4 + x 3y)dx + (xy3 - 3 x 4)dy = 0 Rpta.9 9

y3 + x 3 = ex4y 4 , y = x my n

©y(2 x2 + y)dx + x (y - x 2 )dy = 0 Rpta.

0-----h ln xy = Cy

© 2y dx + 3x dy = 3x~ldy Rpta. y 3(x 2 - l ) = c •■■■,)

© x dy + 2y dx = x 3y 3dy Rpta. x 2y (x 2 + c ) + 2 = 0

© y (4xy + 3) dx + x (3xy + 2) dy = 0 Rpta. 4 3 , 3 2 „x y + x y = C

© 4x dy - 3 y dx = y “3 x dx Rpta. 2y4 + x = ex3

© y dx + 2x dy = x 3 y dx Rpta. 31n(xy2) = x 3 + c

© y dx - 2x dy = xy5 dy Rpta. 51n(xy-2) = y 5 + c

( m )n,x 2 xsenxs ,

(sen x -- xcos x)dx + 2(— -----------)dyy“ y

= 0

Rpta. 2xy- y " sen x = ex , m ( x , y ) = x^2 y 2

3 11

© 3 y d x -2 x d y = x 4y 2dx Rpta. 1 lx 2 - yx2 =cy

(¡mí) 3y dx + Axdy = 5x2 y~^dx Rpta. x 3(y 4 - x 2) = c

(4xy2 + 6y)dx + (5x2y + 8x)dy = 0 Rpta. x 3y 4(xy + l) = c

|y2 — 2x2( x + y )2 - y { x + y )2 \dx + \y2 - 2 x 2( x + y )2 + x (x + y )2]dy = 0

(2 y+ 3x2y 3 )dx+ (3x + 5x3 y 2 )dy = 0 , w(x, y) = x~9y ’ 13

(2xey + y2ex + 2x)dx + ( x 2ey + 2 ' ex )dy = 0

dy _ x2 - y2 — 2y

dx y2 - x 2- 2x

xdy - ydx = x^jx2 - y2 dy

y dx = (2x2 y 3 - x)dy . y ( 1 ) = 1

dx ex + 2y ' '

[_v4(jc3 + x 2 - 2 x + l ) + (x 2y + y 3 + xy2)]dx

Rpta. (3x4 + 4 x 3 -12x

x d y -y d x — x 2ydy

( x - 2 y3)dy = ydx

xdy + y d x - 3x2dx , y (2) = 1

x 2D xy - x y = x 2 - y 2, y ( l ) = 0

.vdy - y d x + ( y 2 -1 )dy = 0

xdy + y dx - x 2 y dy

y (2 + xy) dx + x (1 + xy) dy = 0

xdx + ydy ^ xdy - ydx _ f)

dy _ ey

dx 2 y - x e y

Eduardo Espinoza Ramos -------------------------------------------

Rpta. x 2ey + y 2ex + x 2 = c

Rpta. ( x + y ) e x+y = c ( x —y)

Rpta. y = x - sen (y + c)

Rpta. xy3 -2 xy + l = 0

Rpta. ex = y ( l + 21ny)

(x 3 + xy2 + x 2 \)dy - 0 j+12x)y3 +12xv2 + 6x2y + 4x3 = c y 3

Rpta. 2y = xy2 + c

Rpta. x = cy - y3

Rpta. xy - x3 - 6

Rpta. x + y = x 2( x - y )

Rpta. y 2 - x +1 = cy

Rpta. x ~ 'y _1 + ln y = c

Rpta. x 2ye = K

Rpta.1 1 -> yJ x 2 + y + - = c

x

Rpta. y 2 = xey + c


( 77) x dy + y dx = y 2 dx

<3

@

@

ÍS0

xdy = ( x 2 + y 2 +y )dx

ex ( y 3 + xy3 +\)dx + 3y2 (xex - 6 )dy = 0

x d y -y d x + ( x 2 + y 2)dx = 0

3xdy = 2ydx - xy cos xdx

ex(x + l )d x + (y e y —xex )dy — 0

Rpta. y = x tg (x + c)

Rpta. xexy i + e x - 6 y 3 = c

Rpta. y (1 + ex) = 1

Rpta. y = x tg (c - x)

Rpta. x 2 = cy3e senx

Rpta. 2xex y + y 2 = c

xdy - y dx = (1 + y )dy *„ x 1Rpta. — = ----+ y + c

y y

xdy = (x 5 + x 3y 2 + y)dxX X

Rpta. arc. tg (—) = -------1- cy 4

( - - - ^ ¿ + ( - ^ - ^ = 0 >’ x" +y~ x~ + y" y “

x yRpta. — + arc.tg(—) = c

y ' x

x d y -y d x - 2 x 2y 2dy , y (1) = -2 Rpta. 3 y -2 x y -10x = 0

y (2 x+ y 3 )dx — x (2 x - y 3 )dy = 0 Rpta. ——+ xv = cr

(Hÿ

©

©

y (x 3 — y 5 )dx — x (x 3 + y 5)dy = 0

(x 3y 3 + \)dx+ x A y 2 dy = 0

y ( y 3 - x)dx + x (y 3 + x)dy = 0

x (x + y ) " (dx + dy) = m(x dy - y dx)

Rpta. x4 = y 4 (c + xy)

Rpta. x 3y 3 = -31n(xc)

Rpta. 2x1’3 - * 2 = cy2

Rpta. x (x + v ) =3 my

(2 xz + y ‘ - 3)(x dy + y dx) = (xy )J (4x dx + 2y dy) Rpta. (xy)~¿ + 2 ln(2x2 + y 2 3) c


í> x d y -y d x = y3( x 2 + y 2)dy Rpta. y y4are. tg— = — + c x 4

i) y (x 4 - y 2)dx + x (x 4 + y 2) d y - 0 Rpta. y(3x4 + y 2) = ex3

2) y (x 3exy - y ) d x + x ( y + x 3exy)dy = 0 Rpta. 2x2e " + y 2 —, ex2

3) y 2( l - x 2 )dx + x (x 2y + 2x+ y)dy = 0 Rpta.? 2 x y + x + y = cxy

i) y (x 2y 2 -m )d x + x (x 2y 2 + n)dy = 0 Rpta.rxm

x2 v2 = 2 Ln(---- -)y"

í> x d x + y d y - ( x 2 + y 2) 3 (xdy - y dx) Rpta., , y s 1 6arc.tg ( )+ - c

x (x + y )

$ y d x -x d y = ( x 2 + y 2) 2 (x d x + y d y ) Rpta. are.tg (—) = — ( x 2 + y2)2 +ey 4

i) xdy — ydx = yj4x2 + 9 y2 (4xdx + 9ydy) Rpta. arctg— = 6(4x2 + 9 y 2)^ + C 2x

s> y (2 - 3xy) dx - x dy = 0 Rpta. x 2( l - x y ) = cy

* ) y (2x+ y 2 )dx + x(y 2 - x)dy = 0 Rpta. x ( x + y 2) = cy

5) 2x5y ' = y(3x4 + v 2 ) Rpta. x 4 = y 2 (\ +ex)

S ) (x ny "+1 + ay)dx + ( x n+l y n +bx)dy = 0

Rpta. s i n ^ O , x " y" = » ln (c x “ y b ) , : n = 0, x y - c y ay b

103 ( x n+' y n + ay)dx + (x " y n+l +ax)dy = O

Rpta. si n * 1, (n - l ) (x y )" _1 (x 2 + y 2 - c) = 2 « , si n = 1, x 2 + y 2 — c = —2a ln(xy)

IO4) x d y + y d x = xy3dx Rpta. — Î-— = — + e' ' ( x y ) 2 x


© x dy - y dx = (xy) y 2 dy Rpta.

© xdy - y dx - (x~ + xy -2 y ~ )d x Rpta.

y (y d x -x d y )+ 3y[y4 - x 4 (ydx + xdy) - 0

(D

X X

ye ydx — (xe y + y3 )dy = 0 Rpta.

d) e x (eos y dx - sen y dy) = 0 Rpta.

© (xyjx2 + y 2 + y )dx+ (yy jx2 + y2 +x)dy = 0 Rpta.

(D

~cos( 'v' i (X(jy + ydx) + esen * .(?sen v (eos xdx + eos ydy ) = sen(xy)

Rpta.

© (3x2 ln x + x 2 + y)dx + xdy = 0 Rpta.

x

(£ ± ÍI) =x - y

-2 + y2)3/2 -------------- i-xy = K

Rpta. 21n(sen(xy)) + escnJt.eí,t'n' = c

[113) y( , * --------1 . r = )¿ r + ( . — -----^ ~ j ) d y = O* 2 + y 2 x ^ x - y + y

v yRpta. arctg — + arcsen — - K

x x

114) y [ sen (x + y) + x eos (x + y) ] dx + x [ sen (x + y) + y eos (x + y ) ] dy = 0

Rpta. xy sen (x + y ) = c

HS) exy ( ydx + xdy ) + —= = = = = (xdx- ydy) + yjx2 . y “dy = 0 Rpta. ex> + yyfx' V

■y2

Ilíi) xy2(x b - y 6 )(2y dx + 3x dy) - 24x2 y 3 ( x 5 dx - y3 dy) Rpta. x 2y 3 = ( x 6 - v ) *' A’


| ‘ xv mu (x f y) + y sec (x + y) | dx + | 2xy sen (x + y) + x sec (x + y) ] dy = O

Rpta. sen~(x + y) + ln(;ty) = c

2 y dx - x dy = xy3 dy Rpta. 31n(x2y _1) = y 3 + c

n — t , , -ydx + xdy = yjx2 + y 2(xdx + ydy) Rpta. 3xy = (x 2 + y2) 2 + c

d M d N kProbar que si --------------= N — entonces x es un factor integrante de

d y d x x

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Demostrar que si la ecuación diferencial (axy - b) ydx + (cxy - d) xdy = 0 es dividida

entre xy [(axy - b) - (cxy - d) ] entonces es exacta.

Resolver la ecuación diferencial usando el factor de integración

u(x , y ) = [xy{2x + v )]_1. (3xy+ y2) + xy(2x+ y )— = 0dx

y[2(x + v) + (1 + x 2) arctg x\dx + ( x ? +2 x 2y + x + 2y) arctg xdy = 0

Considerando una ecuación diferencial de la forma

[y + x f ( x 2 + y 2)]dx + [y f ( x 2 + y 2) - x]dy = 0

a) Demostrar que una ecuación diferencial de esta forma no es exacta.

b) Demostrar que —^ —- es un factor integrante de una ecuación diferencial de estax- + y .

forma.

Resolver la ecuación diferencial [y + x (x 2 + y 2 ) 2\dx + [y (x 2 + v 2) 2 -x ]d y = 0

Rpta. Aarc. tg — + ( x + y ) = Ky


¡126) y (x 2 + y2 -\ )dx + x ( x 2 + y 2 +l)dy = 0, u = — -—— Rpta. xy + a rctg (l) = cx~ + y2 x

127) ( x 2 + y 2 +\ )dx -2xy dy = 0, u(x, y ) = (p(y2 - x 2)

2 2 1 1Rpta. 1 + y - x =cx, m, = -------------— , u2 = —1 (1 + y — x ) x1

[ 128) xdx + ydy + x (xdy - ydx) = 0, u = (p (x2 + y2)y -1 1

RPta- “ = , „2,3/2\¡x2 + y2 (x 2 + y2)3

[129) (3 y2 - x )d x + (2y's -6xy)dy = 0, m = (p (x + y2)

Rpta. (x + y 2)2c = x — y2, u =(x2 + y2)3

,130) ( y - x y 2 \nx)dx + xdy = 0 , u = cp (xy) Rpta. 2 + xyLn2y = cxy, u = ——x y

131) (xv - y)dx + (xy -\ )xd y = 0 Rpta. ln(Ááy) = ------xy

(— +>■ , 'V x )dx + ( - l — — r ^—T)dy = 0 Rpta. ln | x - y | - arctg 1 = cx - y x + y y - x x + y x

133) [y + x ( x 2 + y 2 )]dx + [ y (x 2 + y 2) — x\dy = 0 Rpta. x2 + y2 - 2 arctg — = K

2

2

[135) ( l x 4y - 3 y ’i )dx + (2x :' -9 x y í )d y = 0 Rpta. x 1 y 2 - x 3y 9 = K

134) x(l - aJx2 + y2 )dx + ydy = 0 Rpta. yjx2 + y2 = ^ - + c

1 \ x + 2Jl - y 2 eos v „'136) arc.sen vdx + ------■ ■ ■■'■■■■■------— dy = 0 Rpta. x are.sen y + 2 sen y = c

V1 - y 2

1 3 3 2 1 ^ v )2dy y - x - x - y + xy + 2 x 2 2, 2137) — = ---- "~r------ Rpta. K (x - y ) = e 2

dx x - xy" + x y - y + 2y

I 14 Eduardo Espinoza Ramos

¡3)

!S>

S)

Aplicando cl ejercicio 122 resolver: ( y 4 + x 3 )dx + 8xy3 dy = 0I

Rpta. x 2 (7 y4 + x3 ) = c

(5a ' +3xy + 2y2)dx + ( x 2 +2xy )d y=0 Rpta. x 5 + x 2y + x 2y 2 = c0 )

I4(í) Demostrar que -----í----- , donde Mx + Ny ^ 0, es un factor integrante de la ecuación'—s Mx + NvM x + N y

diferencial homogénea M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

14l) Demostrar que -----í-----, donde Mx - Ny 0, es un factor integrante para la ecuaciónMx + Ny

diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy = y f (xy) dx + x g (xy) dy

( x 4 + y 4 )dx - xy3dy = 0 Rpta. y 4 = 4x4 In x + ex4

y"dx + ( x 2 - x y - y 2)dy = 0 Rpta. ( x — y )y 2 = c(x + y)

( y 2 - xy )d x + x 2dy = 0 Rpta. x = Key

{x^ - y 3 )dx + xy2dy - 0 Rpta. y 3 + 3x3 ln kx = 0

(x 3 - 3 x y 2)dx + ( y 3 - 3 x 2y)dy = 0 Rpta. x 4 - 6 x 2y 2 + y 4 = c

y (x + 3 y )d x + x2dy = 0 Rpta. x 2y = c (2 x+ 2 y )

y (2x3 - x 2y + y3)dx - x (2x3 + y 3 )dy - 0 Rpta. 2x2 y \n(cx) = 4 x 3 - y 3

y (x 2 + y 2 )dx + x (3x2 - 5 y 2 )dy - 0 , y (2) = 1 Rpta. 2 y + I x 1 y 3 +3x = 0

50) (2 — — - - -- )dx + ( — X - r)dy = 0 Rpta. — + arctg — = cy x~ + yz x" + y y x

1y (x 2 + y 2 +2)dx + x ( 2 - 2 x 2y 2)dy = 0 Rpta. x = cy2e xy


3-vy+l

152) y(2xy + ])dx + x(\ + 2 x y - x 3y3)dy = 0 Rpta. y = ce 3x y

Rp(a x2 + y 2 + 2 m s C KdX X+ X2y + y 3 X

(^£4) Demuéstrese que la ecuación diferencial x pq (ocydx+ ¡3xdy) + x r y s(yydx + dxdy) = 0

donde p, q, r, s, a , (3,y.8 son constantes conocidas, tienen un factor integrante de la

forma x ay b en que a y b son constantes adecuadas.

\_ ]_I55J ( x 2y + 2y4)dx + ( x 3 +3xy3)dyf=: 0 Rpta. 5x2v2 +12x10_v15 = c

dy y (y 2 —x2 —1) ,1 :'’156) Demuéstrese que —- = ----- ----- puede resolverse efectuando una transformación a

dx x ( y - x 2 + 1)

coordenadas polares r y 0 en la cual x = r eos 0, y = r sen 0 y hallar su solución.

Rpta. x 2 + cxy + y 2 = 0

(l57 ) Si <|) es un factor integrante de la ecuación diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0.

demostrar que <|) satisface a la ecuación de derivados parciales.

M U , y ) ^ - N ^ + M ( x ' y ) - ') N U y ) ) = 0 < É )d y d x dy dx

Demuéstrese que si la ecuación diferencial M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 es tal que

1 d N d M f /(«)</«------------(—-------- — ) = F{xy) es decir una función del producto, entonces eJ esxM - yN d x d y

un factor integrante siendo u = xy.

(l5 9 ) ( y 2 + xy + l)dx + (x 2 + xy + l)dy = 0 Rpta. exy(x + y) = c

f 160) (x 3 + xy2 + yjdx - x dy = 0 Rpta. x2 - 2 arctg — = c


3) (.x - y j x 2 + y 2 )dx + i y - y ] x 2 + y 2 )dy = 0

3) (a 3 +yí)ú?A + (A2y-A)£/y = 0

5> (a 2 + y 2 +y )dx + ( x 2 + y 2 - x ) d y - 0

S> ( a - a 2 - y 2)dx + (y + a" + y~ )dy = 0

3 (A2y + y 3 - x)dx + ( x 3 +A y2 - y )dy - 0

S (xy2 +Asen2 A -s e n 2 x )d x -2 ydy = 0

® (5.vy + 4y 2 +1 )dx + ( x 2 + 2xy)dy - 0

( a 3 + x y 2 - y)dx + ( y 3 + x 2y + x)dy = 0

( y 2 eos x - y)dx + (x + y 2 )dy - 0

(a + a 3 sen2y )dy -2ydx = 0

(2y sen x - eos3 x)dx + eos xdy = 0

(2x + 2xy 2 )dx + ( x 2y + 2y + 3 y 3 )dy = 0

Rpta. yjx2 + y 2 = x + y + c

Rpta. x 3 + x y 2 - 2 y - e x

yRpta. x + y - arctg — = c

x

Rpta. ln | a 2 + y 2 | + 2_v-2a = c

Rpta. ln(A2 + y 2) = 2Ay + c

Rpta. x 2 - 2 ln (y 2 + sen2 x) = c

Rpta. 4x5y + 4x4y 2 + x 4 = c

Rpta. y 2 sen 2x - c + 2 x 0 + y + y 2 )

Rpta. r 2 eos2 0 + r = c. eos 0

Rpta. r 2 see 0 + tg 0 = re

Rpta-. ( x 2 + y 2) 2 - c -4 x y

Rpta. 2arctg— - c - x 2 - y 2 x

Rpta. y 2 - .v ~ y(c - sen x)

Rpta. A2(c + cos2y) = 2y

Rpta. y = (x4-c)cos2 x

Rpta. ( x 2 + y2)\J\ + y 2 = c

^168) (3 + y + 2 y 2 sen2 x)dx + (a + 2xy - y sen 2x)dy = 0

169j eos 0(1 + 2 r eos Q )d r + rsen0( l - r c o s 6 )d0 = 0

(;r 2 sen0-tg0)d/' + rsec0(sec0+/"' tg0)rf0 = O

(x 3 + x y 2 + y )d x + (y 3 + x 2y + x)dy = 0


_ , . N x - MyProbar que si ------------= R, donde R depende solo de xy, entonces la ecuación

xM - yN

diferencial Mdx + Ndy, tiene un factor integrante de la forma M (xy), Hallar una fórmula

general para este factor integrante.

(l78 ) Hallar un factor integrante y resolver la ecuación diferencial

( 2 y 3 + 2 x 2y - b y ) d x - ( 2 x i + 2 xy2 - 2 bx)dy = 0

^179) (.x + y ) 2( x d y - y d ) + [ y 2 - 2 x 2(x. + y ) 2){dx +dy) = 0

g ) Encontrar la solución general de la ecuación (xy - x 2 )dx + (xy - y 2 )dy = 0 . aplicando un

factor integrante de la forma u = (p(y - x) Rpta. x 2 - y 2 = c

Resolver la ecuación diferencial y(2xy + \)dx + (x + 2x2y - x Ay i )dy = 0, sabiendo que u

es factor de la forma u = -----------, donde Mx - Ny * 0.M x - N y

Rpta. - 1 — + — i — + ln 37 = cx -y2 3x y

1182) Resolver la ecuación diferencial (3a + — )dx + (— + — )dy = 0 encontrando un factory y jc

integrante de la forma u = <p(x - y). Rpta. x 3y + y 3 +3A2 = c

9 d v2a - y senCyy) + (3y - a sen Ay) — = 0

dxRpta. a 2 + y3 - sen Ay = k

yexy - 8 x + (2y + xex} ) — = 0 ■ dx

Rpta. - 4 x 2 + 2 y 2 - c


J.8. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.-

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria:

dyQ] ( x )—~ + a2(x )y = f ( x )

dx(1)

donde al7 a2 y f son funciones solamente de x ó constantes.

Suponiendo que ai (x ) z 0. entonces, dividiendo a la ecuación (1) por a, (x ) se tiene dy , a2(x ) f ( x )

y = ■dx ax (x ) o, (x )

de donde se tiene:

cfy

dx+ P (x )y = Q(x). (2)

a la ecuación (2) llamaremos ecuación diferencial lineal de primer orden en y.

Si Q (x) = 0, la ecuación (2) toma la forma:

d idx

+ p (x )y = 0 ... (3)

a la ecuación (3) llamaremos ecuación diferencial lineal homogénea y es una ecuación

diferencial de variable separable y su solución es:

y = Ke

Si Q (x) ¿ 0, la ecuación (2) es decir:

-Jp (x )dx

dy_

dx+ p (x )y = Q(x) llamaremos ecuación diferencial lineal no homogénea.

Como Q(x) * 0, la ecuación (2) no es exacta.

Luego hallaremos un factor de integración para su solución.

Si l(x) es un factor integrante solo de x a la ecuación (2) lo expresaremos así:

I rumiones Diferenciales de Primer Orden 119

[p(x) y - Q (x )] dx + dy = 0, al multiplicar por I(x).

I(x) [p(x) y - Q (x)] dx + l(x ) dy = 0, es una ecuación diferencial exacta,

d I ( x ) (p ( x ) y -Q (x ) ) d í (x )por lo tanto: — -— — —------= — — , efectuando:

ay ax

I ( x ) p ( x ) = --- - - , de donde agrupando = p (x )d x , integrando con respecto a x.dx l { x )

j * y = J p(x)dx => ln I ( x ) = J* p(x)dx de donde:

f p(x)dxl ( x ) = eJ , el factor de integración

ahora multiplicamos a la ecuación diferencial.

f p{x)dx( p ( x ) y - Q ( x ) ) d x + dy = 0 por I ( x ) = es

\p(x)dx \p(x )dx^ [p (x )y -Q (x ) ]d x + eJ d)’ = 0 agrupando

f p(x)Jx \ p(x)dx í p(x)dxe' p(x)ydx + dy = e ' Q(x)dx

[p (x )dx í p(x)dx \p(x)dx r í l>(x)dxd (eJ y ) = e} Q (x )d x , integrando: e y = \ e Q(x)dx + c , de donde:

- f p{ x)dx [• í pi -X)dxy = e ' Ili."1 0(x )dx + c]

Que es la solución general de la ecuación 2)

a. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

(7 ) — + 2v = x2 +2xW dx '

Solución

— + 2y = x2 + 2x, de donde p (x) = 2, Q (x ) = x 2 + 2x dx

- [ p (x )d x r J r< x )d xComo la solución general es: y = e • [ l e Q{x)J\ + c]

- ¡ 2 dx (• h dxy = e J [ l e (x + 2x)clx + c] efectuando.

120 Eduardo Espinoza Rumos

_7v f 2x ? ■ + 2x~1y — e [ I e (x + 2x)dx + c] integrando por partes se tiene: y = -------—--------f ce

( l ) x ln x — — y = x~ (3 In | x |-1)

Solución

V = e

dy 1 x2 (3 ln j x | -1 ) 1A la ecuación diferencial escribiremos así: —----------- y = ------------------- , ecuación

dx x ln x ln x

lineal en y. Como la solución general de la ecuación es:

- f ¡ i( x )d x r i p (x )d x[ e Q(x)dx + c] reemplazando

Í dx f dx 7

^ F [ f eJ J 'X (3 ln 1* 1 ~ 1) dx + c]J ln|x|

r -inflnM) x2(31n|x|-l)' . . ,y = e ( m)(\ e ----------'— !— - dx + c ) , simplificando

J ln | x |

y = ln | x | ( í X ——dx + c) , poniendo bajo un diferencialJ ln2 | x ¡

v = ln | x | ( Í í/(—^— -) + c) = ln | x | (— — - + c) y = x 3 +c.ln | x |J ln x I11 x

I cuaciones Diferenciales de Prim er Orden 121

© ^j- + <j>\x)y-(j)(x)(j) '(x) = 0 dx

Solución

dyA la ecuación diferencial expresaremos así: — + 0 \x)y = <¡>(x)c¡) '(x)

1 dx

- f p (x )d x r J p {x )d xComo la solución general es: y - e J ( l e Q(x)dx + c) reemplazando

- L \x)dx r J V « *y = e J ( l e <¡>(x)<¡>'dx + c )

y = e * (x*\e (¡>(x)(¡) \x)dx + c) integrando por partes.Ju = 0 (x )

dv = e^(x) <¡>'(x)dx

du = (j) '(x)

-

y = e~Mx)W x ) e ¥x) - e ¥x) + c ) y. y = <p(x) - 1 + c.e <p(x)

©dy __________! _______

dx x sen y + 2 sen 2 y

Solución

dy 1 dx

dx x sen y + 2 sen 2 y dy

dx

= xseny + 2sen2y

dy= -(sen v)x = 2 sen 2y, ecuación lineal en x.

-f-sen.w/y j* J-senW yx = e J ( l e 2 sen 2ydy + c ) , calculando la integral

1cos y I cosyecos y 2 sen 2 ydy + c de donde


D

D

•Icosy

A = e (4 I e sen y. eos ydy + c) integrando por partes.

x = e cos'v(-4 co sy ecos>+ 4 ecos v + c ) , simplificando x = 8 sen2 ^ + ce cosy

dy _ 2 K n~ ,—— yctgx = 2 x - x ~ c t g x , y(—) = ------bldx 2 4

Solución

La solución general de la ecuación diferencial es:

r J-y = e J [J é ’-' (2x - x2c tg x)dx + c j , efectuando la integral

/• -Ln sen*

y = et,lsenj:< I e (2x - x2r tg x)dx + c ) , simplificando

j* 2 x - x 2c

J sen j

y = sen x( | X c t£ x ¿x + c) integrando

2 2 K T Cy = senx(*~ + cosecx + c) = x~ + esen*, para y = —— + \

_ 2 2i - t i 2----- f-1 = -----he => c = 1, por lo tanto y = x + senx

4 4

o o dy R(1 + x )ln (l + x ) —— 2xy = ln(l + x )-2 x a rc tgx donde y - » - — cuando x —»

dx

Solución


2x 1 2x arctg xdy____________________ y ____________________________

dx (x 2 + \)Ln(x2 +1) V 1 + x2 (l + x2)Ln (l + x2)


i'.cuaciones Diferenciales de Prim er Orden 123

-2 x d x j- -2 x d x

— e <;r2+1)/j,(-t2+1> [ [ J (x2+i)Ln(x2+\) (__1_________2xarctg x ^ ^j 1 + x2 (1 + x 2)L « (1 + x 2)

i r -L n i ,L n (x 2 + D ) , O m r r t c r vL„(Ln(i+, - ,1 r ( i — 2 :arclg A w x + c ]

J 1 + x2 (1 + x )L;j(1 + x )y - e

y = Ln(\ + x2 )[ í [ -------^ ------------------- 2-yarctg x ^ + c]J (1 + x )Ln ( l + x ) (1 + x )Ln (1 + x )

2, r f , , arctgx 2 arctgx'Iy = Ln{ 1 + x - )[ | r f ( _ _ £ _ _ ) + c] = ¿ „ ( 1 + x~)( _ _ ° ' 2 + c)L « ( l + x~) L » ( l + x )

, y arctg x - ny = arctgx + xln (l + x ) de donde c - ----- -— ----------------— para y - > — , a

Ln(l + x ) Ln(\ + x ) 2

7r ni j

c = —------- ± = 0 - 0 = 0 => c = 0. Luego la solución particular es: y = arctgxoo oo

® — - 2xy = eos x - 2xsen x, donde y es una función acotada, cuando x — dx

Solución

— - 2xy = eos x - 2xsen x, la solución general es: dx

- f —2 x dx f í -2 x dxy = e J [\ e (eos x - 2x sen x)dx + c ] , simplificando

x2y = ex [ l e (eos x - 2xsen x)dx + c ] , poniendo bajo un diferencial

2 2 2 2 y = ex ( I d(e~x senx) + c ) = ex (e~x senx + ceA ))

y = sen x + c e1 , como sen x varía entre -1 y 1 además y es acotado

Cuando x -h> °° y c = , por lo tanto y = sen x

—>oo


dy _ 1

dx ey - xSolución

A la ecuación diferencial expresaremos así: — = — -— => - = de donde:dx ey - x dy

dx— + x = ey ecuación diferencial lineal en x cuya solución general es:dy .

- f dy f j d yx = e J [ j e e 1 dy + c ] . integrando tenemos:

r _ g 2y £ yx=?e vlJ e ydy + c] = e - (—— + c) por lo tanto x = — + ce



x tg 2 y dy + x dy = (2x2 + tg y)dx Rpta. tg y = x (2senx + c)

dy X 1 1 r 1----- e y = —— sen----- e eos -dx x x x

exy = — -sen — ex eos — Rpta. y = eos — + cee2 x x x

x _,2x sen QdQ +(x3 - 2 x 2 cos0 + cos0)rfx Rpta. cos 6 = — + cxe

x 2iy + xydx = 8x2 cos2 xdx Rpta. xy = 2x2 + 2 x sen2x + cos2x + c

2(x 5 + 3y)dx - x d y - 0 Rpta. y = .v1 ( ~ + c )

dy = x~5(4x4y + 3x4y~l +256y1 +768>'5 + 864y3 + 432y + 81y- ' )dx

dy sen(2x) „ _ „ ,— ~y.c tgx = ---------- Rpta. v = K sen x + sen" xdx 2

cos y . dx = (x sen y + tg y ) dy Rpta. x = K secy - secy . Ln cosy


( 9) (2 x “ + y)\/l + x = \ + 2xdx

Rpta. y + 1 + xv x

10) x ( l - x 2) - - y + axi = 0dx

Rpta. y = ax +cx

( n ) ( y 2 -1 )dx = y (x + y)dy Rpta. x = V y2 -\ (L n (y + yjy2 - l ) + C ) - y

(1 + y2 )dx = (-y/l + y2 sen y -xy )dy Rpta. Xyji+y2 + cos y = c

dy-^ -+ y cos x = sen x cos x dx

Rpta. y = ce sen * + sen x -1

dy_

dx(x cos y + a sen 2y) = 1 Rpta. x = ce y - 2 a (l + sen y)

dy

dx+ y = sen x Rpta. y = ce x + — (sen x - cos x)

dy---- 1- xy. 2xdx

Rpta. y - c e 1 + 2

18 —

x ~ d y - sen 2x dx + 3xy dx = 0

dy 3 + xy

dx 2x~

JC — H---= 1 —AT2dx 1 + x

Rpta. 4x y + 2x cos 2x = c sen 2x

Rpta. y = csfx - I

X x ¿ 1Rpta. y = l + - — — + c ( l + - )

2 2 x

( x + y )2( x d y - y dx) + [ y 2 - 2 x 2(x + y )2](dx + dy) = 0

Rpta. ( y - x 2 - jcy)(x+ y )3 = K (y + 2x2 +2yy)

(x 2 + l)i/y = (x 3 + xy + x)dx Rpta. y = x2 +1 + cVx2 +1


dy _ 1 - xy

dx l - x 2Rpta. y - x + c j l - x 2

Ayx( - — y) = x - y

dxRpta. xy = cex - x - 1

2xdy = ( y - 3 x ln x)dx

dy y— + x sen x = — dx x

dy _ 2y + ( 2 x - l ) e x

dx 2x +1

dy y _ x - y

dx x x - 2

dy - ( x + \)ydx

x2 + 4x + 2= dx

2xRpta. y = — ----x 2 Lnx + c^fx

Rpta. y = x eos x + ex

Rpta. y = e x + c { 2x + l)

Rpta. (x - 2) y = x (x + e)

Rpta. y = ce 2 - x - 3

( x 2 + 2 x - l ) y ' - ( x + l )y = x - l Rpta. y = c>jx2 + 2 x - l + x

Sug. para la integral d (—) = ^ - —

(x + l )d y - [2 y + (x + l ) 4]¿/x = 0 Rpta. y = c(x + l )2 + - ( x + l )4 2

x Lnx. (1 + Ln(x )) v H - (2 + Lnx) = 0 Rpta. v = ex Lnx + \fx dx 2

i ^ X_y - y = 2xe Rpta. y = e x+x + cex

xy'= y + x~ sen x Rpta. y = -x eos x + ex

la laciones Diferenciales de Prim er Orden 127

@ x (x -\ )y '+ y = x (2x —1)

(!<5) y' eos y + sen y = x +1

© y'+ sen y + x eos y + x = 0

„ ex 9Rpta. v = ----- + x"

‘ x — 1

Rpta. sen y = x + c e x , sug. z = sen y

Rpta. t g ~ = ce x ~ x + l

sug: sen 2y = 2 sen y eos y, cos' y =1 + eos 2 v

©

(■W.

y ’------— v = ^ ( x + l ) ' !x + 1

( y 3 - y )dx + (xy~ —x —y +í)dy = 0

dxx — + y(xc tg x +1) = c tg x

dx

(x + sen y - 1 idy + eos y dx = 0

(e y - 2 xy)y '= y 2

i i i Vy - x y = y y e

43) x —- - 3 y = x4dx

©

(42)

44) y ’+ y c tg x = 2xcosé?cx

0

y '+ y = -1

l + e2x

y '+ y - 2 x e ~ X + X 2

47) (1 + x 2 )dy + 2xy d x - c tg x dx

Rpta. y = (x + 1) (c + e )

Rpta. x( y 2 -1 ) = y 2 +1 + cy

Rpta. (xy - ! ) sen x = c

Rpta. x (sec y + tg y) = y + c

Rpta. xy2 = e v + c

Rpta. x = yev + cy

Rpta. y = x 4 + cx 3

Rpta. y — x ‘ eos ecx + c. eos ecx

Rpta. y = e A aixtge x +ce x

Rpta. y = x 2e x + x 2 - 2 x + 2 + cc"

Ln( sen x ) cRpta. y = -------- r---- f------

1 + X 1 + X

128 Eduardo Espinozu Ramos

4 H) (x + 3 y )d x -x d y = O

@ 2(2xy + 4 y - 3)dx + (x + 2 )2 dy = O

50)

S>52)

(2xy + x 2 + x 4)d x - ( l + x 2 )dy = O

(y - e o s " x)dx + eosxdy = O

(y - x + xy ctgx) dx + xdy = O

2 y (y 2 - x )d y = dx

Rpta. 2y = x 5 + ex3

2 cRpta. y = ------ + -

x + 2 (x + 2)

Rpta. y = (l + x 2)(c + x -a re tgx )

Rpta. y (secx + tg x) = c + x - cosx

Rpta. xy senx = c + senx - x cosx

2 2 Rpta. x = y - 1 + ce '

& )

55)

'■5y

©

(1 + xy)dx - (1 + x " )dy = O

dx - (1 + 2x tg y) dy = O

(1 + eos x )y ' = sen x(sen x + sen x. eos x - y )

y + -x —1

■ X — 1

(x + l ) y ' - ( l - x ) y = xe~

dy , Xx sen x -----h (sen x + x eos x) v = xedx

dy y i 7 ,x — + —,—_— r = (1 + y 1 — x )e

dy(1 + senx) — + (2cosx )y = tgx

dx

x (x + l )y '+ y = x (x + 1) e

Rpta. v = x + c(l + x " ) 2

Rpta. 2x eos2 y - y + c + sen y eos y

Rpta. y = ( 1 + cosx) (c + x - sen x)

Rpta. y = —(x -1 )3 + A 'i (x - l )2 + K 26

Rpta. y

Rpta. y

cex - (2 x + l)e

4 (x2 +1)

e ' ( x - l ) + c

x sen x

i + \¡\-ex Rpta. y = ( ------------- )(e + c )

Rpta. y =sen x + Ln( 1 - sen x) + c

(1 + senx)2

1 1 2Rpta. y = — (1 + — ) ( c - e x )

2 x

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 129

63) y '- (tg x )y = e'’enx p a ra O < x < :n

Rpta. y = sec x.esenx +cos ecx

64) y + 2xy = xe Rpta. y = — e x +ce x

. . . dy6 5) — + my = e

dx

-m x . „ - m xRpta. y = xe +ce

dy66) — + (sen x)y = Kx

dxRpta. y = ceC0SX + Kemsjí j e tg<ndt

67) (1 - x 2) — + xy = Kxdx

Rpta. y = K + o / jj-x 2

. dy 2x68j — + — — y = x

dx x 2 +1

x4 + 2x2 + c Rpta. y = ------ --------

4(x +1)

y =2y ln y + y — x

Rpta. x = y ln y + -

70) x (x3+ l )y '+ (2 x 3- l ) y = -cx 1

Rpta. y = —r— + — x +1 x

(7 j) y'+ xsen2y = xe ■* eos" yX2 _ 2

Rpta. tgy = (c + — )e x , swg.z = tgy

11) x y ' - x - y + tgx Rpta. xy eos x = c + eos x + x sen x

7.M (sen x . sen y + tg x) dx - eos x eos ydy = 0 Rpta. eos x . sen y = Ln (cosec x)

K sen x7-j) x sen x.y '+ (sen x - xeos x )y = sen x.eos x - x Rpta. y = -----------heosx

75) (2x —l ) y 2 y =l - 4 x

Rpta. y = c (2 x - l ) + -1


[ lb ) y'+ sen x.y = 2xec

[ IT ) x 2dy + xy dx = 8x" cos 2xdx

Í78) dy + 2ydx = sen 3x . dx

(79) dx - x dy = Ln ydy

85)

86)

Rpta. y - (x 2 + c )ecos A

Rpta. xy = 2x2 + 2x sen 2x + cos 2 + c

1Rpta. y = — (2sen3jc-3cos3x) + ce'

Rpta. x + ln y = ey ---- dyí;(80) (sen x + cos y)dx + cos xdx - senydy = 0 Rpta. sen x + cos y - ce

(81) (x 2 + x + l)yy ’+(2x + l ) y 2 = 2 x - l Rpta. y2(x2 + x + l ) 2 = x4 + - x 3 + 2 x2 - 4 x + n

J82) I <f)(ax)da - n<j)(x)

Í83) ( 1 + 2x . ctg y)dy = dx

(84) f (x )d y + 2 y f (x )d x = f ( x ) . f ( x ) d x

dxf 2(y)— +3f ( y) f ' ( y ) x = f ' ( y)

dy

n—1Rpta. <f>(x) = c.e "

Rpta. x = sen2 y ( c - c tg y)

Rpta. 3y - f ( x ) + c .(/ (x ))

Rpta. 2x./3(;y) - f 2(y ) + c

-2

cos x .y "+ see x.y'+(sec x. tgx + cosx)y = 2 see2 x. tg x

Rpta. y = cos x + c.e~'sx f elsU>dt + KJo

(i87) cosxdy + 3 ysen xd x -co s2 xdx = 0

® cosx— + senx = 1 - y dx

(89) y'sen x = y cos x + sen “ x

Rpta. y sec x = 2 tg x + c

Rpta. y (secx + tgx) = x + c

Rpta. y = (x + c) senx


(9tí) xyy'+y2 = sen x Rpta. x 2 y 2 = 2 sen x - 2xcos x + c , sug. x = y :

( 91) x (x 2 + l)y '+2 y = (x 2 +1 )3 Rpta. x2y - ^ ( x 2+ l ) 3+ c (x 2 + l )

(92) y '= l+ 3 y t g x Rpta. 3ycos3 x = c + 3sen x-sen 3 x

93) (x + a ) y '= b x - ny , a, b, n constante, n í- 0. n # -1

Rpta. n(n + l )y = h {n x -a ) + c (x + a )~n

94) (cos 2y - sen x) dx - 2 tg x sen 2y dy = 0 Rpta. senx cos 2 .y -Se” X - c

95) (3x2 + l)y '-2xy = 6x ' Rpta. y = -3 + k(x2 + 1)

96) (x 2 + l )y '+ xy = (1 - 2x)>/x2 +1 Rpta. y =x - x2 + c

•y/x2 +1

97) x - j - + —= = = : = 1+V2x + 1 Rpta. y - ( - — )[2z-21n|z + l|+c ], z = \l2 x+ lax s¡2x+\ z - 1

98) sen x cos x ^ - + y = tg2 x Rpta. v = 1 + k ctg xdx "

99) x 2dy + (2xy- x + l)dx = 0 Rpta. y = — — + —2 x x

^100) xy'+(l + x )y = e * Rpta. y = e~x( l + ~ )x

I0 i j y '+ = x2 - x Rpta. y = ( l - x ) ( c - ^ - )

2y 2102) y ' = -j-ÿ— + (l + x )3 Rpta. y = (x + l )2[x + - + c]

103) xdy = (2y + 3x4 + x 2)dx Rpta. y = x2i ^ - + ln x + c)

132

.106

(109)

©

©

©

©

II.

®

©

©

©

©


y'Ylxy + x = e

dy

dy

dx+ y tg x = e * ( t g x - l )

;i05) ~- - + x y - x - + x3( y - x ) 2 =1

3 £

107) (5 y - 2x3 y 2 )dx + x4 y 2 dy = 0

(io s ) Supongamos que <|> es una función con derivada continua en 0 < x < 1 que satisface

3 , , 1</>'(x) - 20(x) < 1 y <j>(0) = 1 probar que 0 (x )< — e~ - —

y "+ (tg x )y '+ see2 x.y) = cosx ' Rpta. y = eos x [ln|sec x|+c.Ln|sec x + tg x |+k]

(ny + (x + 1 )"+l ex )dx - (x + 1 )dy = 0 Rpta. y = ( x + l ) nex + c ( x + lY'

2 2 i 2 2 2 2(x + 2x + sen(x + y ' ) + 2xcos(x + y )dx + 2ycos(x + y )dy - 0

dy + (4 x2y - x 2e x )dx = 0

y '+ (—~ r )y = 3x > y(3) = 4x - 2

[113) sen(2x)^- + 2sen2 x.y = 2senx


Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones dadas.

dy 2 cosx . _ senx~+~.V = ' 2

dx x x~, y(n ) = 0, x > 0 Rpta. y =

x y '+ y - e A = 0 , y (a) = b

y '----- -1 - x = 0, y(0 ) = 01 -x

y '- y t g x = ------ , y (0 ) = 0cosx

y '-(1 + —)y = x + 2, y (l ) = e — l x

Rpta. y =ex + a b - e a

Rpta. y = -i ( xa/ 1 - x2 + are. sen x ) J -1 + x I

Rpta. y = -cosx

Rpta. y = x 3ex - x

©

©

©

©

®

®

®

®

©

©

©

dy „ ,x - — 2y = x +x , y (l) = 1

dx

dy ,y — - 2 x = 3y -2 , y (l) = l

dx

y d x -A xd y — y6dy , y (4) = 1

Rpta. y = x lnx + 2x — x

Rpta. x = 3y2 ln y +1

Rpta. 2x = y 4( y 2 +7 )

y'-2xy = co sx -2 xsen x , y es una función acotada cuando x o o Rpta. y = sen x

2 V x y y = — sen >/x - eos V x , yes acotada cuando x —> 4- oo Rpta. y = eos

y '- .v ln 2 = 2se,1'í (c o s x - l ) ln 2, y es acotada cuando x —» + °° Rpta. y = 2sen>

2x y '-xy = 2xcosx-3sen x , y —> 0, cuando x —> + oo Rpta. y =sen x

sen' xy s e n x -y c o s x = ------ -— , y 0, cuando x —> » Rpta. y =

senx

y ’- e x y = -L. sen — e* eos —. y —>2, cuando x —> -oo Rpta. y = e f +cos-x“ x x

y '-y ln x = -(1 + 2 ln x )x x , y —> 0, cuando x —» + oo . Rpta. y = x

di E - KL — + Ri = E , donde L, R, E son constantes, i (0 ) = 0 Rpta. / = — ( 1 -e 1 )

dt R

di---- 1- Ri = E. sen co t, cuando t = 0, i=0dt

Rpta. i = EZ ¿(R.sencot-a>Lcos(ot + (oLe L ) donde Z 2 = R 2 + v t L2

( Í k) (3x4y - l )d x + x5dy = 0 , y (1) = 1( f

Rpta. x 4v = 2 x - l, <


( I 9) (y '+ y tgx ) = sen2x, y (0) = 2 Rpta. y = 4 co sx -2 cos2 x

dx20) — + x = e2', x(0) = 1

dtRpta. y = — + -

3 3

2.9. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLL-

Las Ecuaciones diferenciales de la forma:

d\- j - + p (x )y = Q (x )y ; n * l dx

... (1)

Se conoce con el nombre de Ecuación Diferencial de Bernoulli.

La ecuación (1) no es una ecuación diferencial lineal.

Luego para resolver la ecuación (1), primero se transforma a una ecuación diferencial

lineal, mediante el procedimiento siguiente:

I o A la ecuación (1) se multiplica por y~ " , es decir: y~" — + p (x )y x " = Q (x)dx

2° A la ecuación diferencial del I o paso se multiplica por (1 - n), es decir:

( l - n ) v + (1 - n ) p ( x ) y l n =(1 - n )Q ( x ) dx

3o Sea z = y1~n => — = ( l — n)y " — dx dx

4o Se reemplaza el 3o paso en el 2° paso, es decir:dy

dx+ (1 - n) p (x )z = (1 - n)Q (x)

Que es una ecuación diferencial lineal en z de primer orden y la solución esj

conocida de acuerdo a 2 .1 1 .

a. Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:


(D 2 x ~ - + 2y = xydx

Solución

A la ecuación diferencial dada expresaremos así: —- + —y = — ; multiplicando por v 1dx x 2

dy 1 1y — + —y multiplicando por (1 - n) es decir por-2.

dx x 2

„ dy 2 _2~2y 1 — y 1 - ( i )dx x

- 2 dz ' , _ 3 dySea z - y => — = ~2y — ; reemplazando en (1)

dx dx

dz 2— z = -1, ecuación diferencial lineal en z, y la solución general es:dx x

- f - - d x j* J - f * rz - e J x j \e ( - l )¿ v + c] efectuando z = e [~ \ e ¿Lnxdx + c]

-2 , 2 .. y = x + c.x

© dx x 1y + y i

Solución

dy x dx x2y + y 3 dy ,— r => — - — 1— :— , de donde — - x y = y x , multiplicando por x.dx x y + y dy x dx 1 1

dy 9 ox ----- y r - = y , multiplicando por (1 - n) o sea por 2 .

dx


Sea z = x2 => — = 2x— reemplazando en (1) dx dy

dz -x— - 2yz = 2 y , ecuación diferencial lineal en z, y la solución general es: dy

- f - 2 ydy (* f7 = e. J r I

-2 y dx P -2 ydy ~ 2 f _ 2 -,■ e J ! I eJ 2 y í/y+ c] = ey | I e y 2y dy + c] integrando por partes.

z = e y [ - y 2e y - e y + c ] simplificando (x ‘ + y ~ + l ) e ' = c

y "1 ( y 6 - x 2 )y ’ = 2x

Solución

9 g"y i dx 9 f 7 í/.X V V — 1

y (y - x ‘ )y = 2x => 2x — = y ~ ( y - x ) de d o n d e---- — x = — xdy dy 2 2

. . .. . ¿x y 2 2 y 8multiplicando por x: x ---- 1---- x = —

dy 2 2

dx 9 2 omultiplicando por (1 - n) o sea por 2 se tiene: 2x ---- f y "x = y ... ( 1 )

dy

Sea r.= x 2 => — = 2x— reemplazando en (1)¿/y í/y

— - + y 2s = y8, ecuación diferencial lineal en z, y la solución general es: dy

P . ¿3 „8 ,

- f y 2dy r j y 2dy - j - rz = e J [\ e y dy + c ] , integrando se tiene: z = e 3 11 e y dy + c]

3 3-2L y* 2v3

integrando por partes z = e 3 [9 (~ ------+ 2)e 3 + c] simplificando

_ ¿.'. x~ — y6 - 6 y 3 + 18 + ce 3


(7 ) ydx + (x — y ) d y = 0

Solución

■3. dx l X . _3

A la ecuación diferencial dada expresaremos asi: — + — x = — , multiplicando por xdy y 2

_•> dx 1 2 1 „ -3 clx 2 _2 ,x --1— x = — => 2x ' ------1— x =1

dy y 2 dy y

-? dz dxSea z = x => — = -2x ~ — , reemplazando.

dy dy

~ — + — z = \ => — — — z = —1 ecuación lineal en z, Luego la solución es:dy y dy y

! l dv . f - 2<J J . j J , i u . ; . i ; „ t ___________________________ 2 ¿ n > . I „-2Lny,z - e J y [ j J y ( - l )d y + c ] , integrando z = e2Lnyi~ Je ¿Lnydy + c ] , simplificando

y

( 5) 3xdy = y (l + xsen x - 3 y 3 sen x)dx

Solución

3x dy = y(1 + x sen x - 3y3 sen x)dx expresaremos así:

dy 33x—- = y (l + x sen x - 3y sen x) de donde

dx

dy 1 + xsenx ■ senxx 4 , .—---------------- y = - ( —— )y , multiplicando por ydx 3x ’ x

_4 dy 1 + xsenx _3 senx

dx 3x x


C -3 dz _4 dySea z = y = > -------= y — , reemplazando.

3 dx ' dx

dz 1 + xsenx senx dz. 1 + xsenx sen*----------------------z = --------- = > -------1------------- z = 3-------

3dx 3x x dx x x

que es una ecuación diferencial lineal en z, cuya solución general es:

fl+xsen.* . m j* 1+xsen.v- dx

z = e J x [\ e 3--------dx + c ] , integrandox

/. Lnx-cosx cosx .

z - e "A+C0SAr[J e -------- dx + c], simplificando z = -[3 J e cosx sen xdx + c]

C O SX o

Z = ------ [3 e~COSX+c] y -3 = - + — -----

. dy x33 x - - 2 y = —

dx v

Solución

dy 2A la ecuación diferencial expresaremos así: —------- y - x 1y~1, multiplicando por y 2

dx 3 x '

2 dy 2 ? ^y —------- y 3 = x 2 ...(1 )

dx 3x

Sea z = y3 => — = 3y2 — , reemplazando en ( 1) dx dx

dz 2 2 dz 2 2 ., ,-----------z - x => ---------------z = 3x~, ecuación lineal en z, cuya solucion general es:3 dx 3x dx x

( 2 d x f j *z = e J x [ l e x 3 x1 dx + c] = e2Lnx[ e 2Lnx3x2dx + c]

de donde y 3 = x 2(x + c) => y3 ~ x 3 + c x 2

( T ) (2xy3 - y)dx + 2xdy = 0

Solución

A la ecuación diferencial escribiremos en la forma:

2 , ^ + 2 ^ ’ - , = 0 => & - ± y = - /dx dx 2x

-5 _ dy 1 _2multiplicando por y" se tiene: y ------------- y - - 1 ... (1)

dx 2 x '

Sea z = y-2 => — = -2y~3 — reemplazando en (1) dx dx

dz 1 dz 1 . ,------------- z = - l => -— + — z = 2 ecuación lineal

2 dx 2x dx x


( d x . j- dx

Cuya solución general es: z = e x [ I e* x 2dx + c]

z = e lnA[ I e,nx2 dx + c] z - —[x 2+ c ] => y 2 = x + -x x

( s ) 2y = ~ + y 2ctgx = cosccx ' dx

Solución

A la ecuación diferencial expresaremos en la forma:

dy c tg x cosccx ,— H------ . y - --------- v , multiplicando por y.dx 2 2

dy c tgx , cosecxy - r + —^—-y = — -— ...(1)

dx 2 2

Sea z = y 2 => — = 2 y— reemplazando en (1) í/x ' J x

dz c tg x eos ecx dz------ 1--------z = --------- = > ---- 1- c tg x.z = eos ecx2<¿x 2 2 dx


que es una ecuación diferencial lineal en z, cuya solución general es:

f \ct&xd*7 = J [ I e (eos ec

z = eosecx[x + c] => y ¿ = x co s e cx + c.cosecx.



( x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0 Rpta. y4 + 2x2y 2 + 2 y " = K

dx x + 1 2

(x 2 + l )y '= x y + x 2y 2

dy 4 sen y

R p t a . J _ = í ^ ± 1 L + c ( x + d 2

Rpta. — = !—-——~ (~ Ln | x + V i + x2 | —x>/1 + x2 + c)y \ l i+ x 2 2

dx x5 + x tg y

(x 2 + y 2 + (y + 2x )x _1)dy = (2 (x 2 + y 2) + (y + 2x)x~2y)dx

Rpta. x (K - ln tg y) = tg y

* 2y yRpta. ( y - 2 x ) “ = — - + 10arctg- sug: y= u x

x x

(x y 2 ) ’ = (x y )3(x 2 + 1)

d y - y sen x ¿ c = y ln (yecos* )dx

(x + y 3) + 6xy2y ’ = 0

Rpta. y =45

45cVx -5 x 5 - 9 x 3

Rpta. y = - eK e - C O S X

Rpta. y3 = ——+ C.X 2

(xy 2 + xsen 2 x -s en 2 x )d x -2 y d y = 0 Rpta. y =sen x + c.e


1°) -J- + ——r y = 5(x - 2)yfÿ«x x — 2

© 3y2^ + — ---- 8(x + l) = 0, y (0) = 0dx x +1

141

©

©

i _\ _

Rpta. y 2 = c (x - 2 ) 2 + ( x - 2 )2

Rpta. y3(x + l) = —[(x + l)3 - 1]

dy y

dx e2x + y 2

2 eos y d x - ( x sen y - x 3 )dy = 0

( u ) dy + — y dx = 3x2 y 2dxx '

(T í) dy + y dx — 2xy2e xdx

.d y 3 4 43— + — y = 2x y

dx x

dz

2 zRpta. y - = (c-21n I y \)e~x sug: z = e~x = > d x = ~—

Rpta. secy = x2 (c + tg y)

3x2Rpta. xy{c — — ) = 1

x = (x s e n y - ’l)dy

dy 3x2 dx x3 + y + 1

© 8Ay’-y = - 3 1V x+ I

dy -,2 sen x— + ycosx = y (x cosx -sen x )

dx '

dy y x (x + lnx) x —- + ■ '

Rpta. 1 = yex ( c - x 2)

Rpta. x~3y ~3 + x 2 = c

1 v 1Rpta. — = ce + — (sen y + eos y )

x 2

Rpta. x 3 = c.ey — y —2

Rpta. y 4 = cVx + x/x+1

1Rpta. — = x+AT.senx

y i

dx lnx y lnx

3 x 2 - 6 x 3 x2 -1 2 x 1 3x2 -7 2 x + c 'Rpta. y = [3x + — (———— ) ——(------- ; - ) + - ( -------------------5--------- )13

2 lnx 2 lnx2 4 (lnx )3


§> ( j - D — - 2 y = J u z - l ) y B dx

S>xsen veos y

+ x c tg y .dy = —;— —---- - dyx* sen" y + 1

S>2

dx + (—)x d y = 2 x 2y 2dvy

© d x -2 x y dy = 6x3y “e dy

0 (12e2-*y2 - y)dx = dy , y (0) = 1

®dv 2,

x ---- h y = y -Ln xdx

0 2 xy — - y 2 + x = 0 dx

yey = ( y 3 + 2x e v) y ’

® xy3dx = (x 2y + 2)dy

©dy 4x3y

dx x4 + y2

® x 3dy + 3x2dx = 2 eos y dy

© x 3dx - (x 4 + y 3 )dy = 0

© yy '+y2 = cosx

y = [(1 - x )(c + \^Ln(x + yjx - 1) - \lx “ - 1]2}|

Rpta. x 2 sen2 y + 21n(xsen y ) = sen“ y + c

Rpta. x~xy~2 = c - 2 y

-2 2v2 3Rpta. x e - c - A y

Rpta. y " V * = 1 3 -1 2 « ’

Rpta. cxy + y (Ln x + 1 ) = 1

? , k Rpta. y~ = x ln (- )x

Rpta. x = y2( c - e ~ y)

2i 2 v

Rpta. x‘ = 1 1-c.ey

Rpta. x 4 - y 2 +cy

Rpta. x 3 = ..en y + eos y + ce~y

Rpta. x 3 = sen y + cosy + c.e

2 4Rpta. y:2 = c.e~2x + — sen x + —cos x |

v y 5 5


dy ,eos x — - y sen x + y " = 0

dxRpta. — = sen x + K. eos x

dy + y _ x

dx x yRpta. ye 2 y

t dy _ y(2x + 3y~)

dx x2Rpta. x 2 = ( c - 3 x )y :

dycosx.— = ysenx + y tgx

dxRpta. y =

2 cosx

K. eos2 x — 1

x — - y = 2 x2y (y 2 - x 2) dx

Rpta. x~ = (1 + c.ex )y~

(4 - x 2 + y 2 )dx + 4y dy = 0, y(2) = 1 Rpta. y " = ( x - 2 )2 + e

42J y '2 xv

2 2 2 x - y - aRpta. x 2 + _v2 - a 2 = cy

43) 3 y '+x2 + a 2

x (x 2 - a 2) '

x(3 x2 - a 2) 12 2 2 x - í 7 y

ex2 2

X

44)

S)

46)

ydx = (y -x )d y

(x - l )d y - y (2 x -3 y )d x = 0

ydx + ( x 2y 4 -3x )dy = 0

Rpta. 4xy = y 4 + c

Rpta. x " - l = y(3x + c)

Rpta. 7 y 3 = x( y 7 + c)

dx 3x 3D * -3 * 3 2xRpta. v = — + -----h4x

5 3

o dy , 'x ----- xy + y e = 0

dxRpta. x 2 = y 2(2ex + c)

4‘í) xy 2y '+ y 3 = xcosx ,, . 3 9cosx 18senx 18cosxRpta. y = 3 sen x h------------------ ------------ — +

X X 2 X 3


6 y 2dx - x(ax 3 + y)cíy = 0 Rpta. (2x3 - y ) 2 = c y x 6

® 2x3y '= y ( y 2 + 3 x2) Rpta. y 2( c - x ) x 3

0 2 y dx + x (x 2 ln y - 1)dy = 0 Rpta. y (l + x 2 - x 2 ln y ) = ex2

© 2xyy'= y 2 - 2 x 3, y ( l ) = 2 Rpta. y 2 = x (5 - x 2)

0 ( y 4 —2xy)dx + 3x2dy = 0, y (2) = l Rpta. x 2 = y 3(x + 2)

® (2 y 3 - x i )dx + 3xy2dy = 0 , y ( l ) = l Rpta. 5x2y 3 = x 5 +4

0 (x 2 + 6y2)d x -4 x y dy = 0 , y ( l ) = l Rpta. 2y2 = x 2(3 x - l )

0c/y y2 s en x -yeo s2 x _— = ------------ ---------- Rpta.dx senx. eos x

y = (sen x. ln | eos ec2x + c tg 2x | + sen x)

©3x

(x 2 + 1 )y[yy ' = x e 2 + (l - x )2 y j yl _2 2

Rpta. y = ex(— + c (x2 + 1) 2)3 2

©l

y 2 , y(0) = 2, Rpta. y = (\Í2e2x + e2x - e * )2

y '-y = - y 2( x 2 + x + l ) , y (0) = ll

RPta- >’ = —x — x + 2 — e

©

ix y ' - 2 y - 4x3y2 , y ( l ) = 0 Rpta. y - ( x i - x ) 2

0 xy'+y = x 2y 2 ln x , y (l) = -l

Rpta. y -x + x - x ln x

?—v yv/'(x)—y2 ¥ (x )63\ y ' = — ----------- donde \i/(x) es una función dada Rpta. y = ------C x y/ (jc ) X + C


65) xdx = (------y3 )dyy

Rpta. x 2 = y 2( c - y ¿ )

66) y'H-------- by~ = 0“■ J x + l

Rpta. y =(1 + x ) [ c + Ln 11 + x |]

[i{yx~¿Y + 2yx~¿]dx Rpta. 6yx~2 — 4 ln | 3yx-2 + 2| = 3x2 + c.8 - 2

(67) xdy — 2 ydx = — -— r v w '2^ i i „ v ‘ 2U v ¿..„-2

y - y' eos x = y eos x (l - sen x)

yy'+y tgx = eo s "x

<v + 2y = 2V ÿ

eos x

Rpta. y =tg x + sec x

c + sen x

.2 _ / t . . , ____„ 2Rpta. y ~ = (2 x + c )cos x

Rpta. y - (c + ln I eos x I ,

-4------- i + t got)2

T Í ) 2xyy'+ (l + x )y 2 = e x, y ( l ) = Vé Rpta. y = (•X 0 — y l

e + e --)2

dx x + l v"Rpta. I2 (x + l ) 2y 3 = 3 x 4 + 8 x 3 + 6 x 2 + c

dy \ x2----- xy = y ¿xedx

3 dy 4y ---- h xy - xe

dx

Rpta. 3y2 = e x + ce ‘

Rpta. e~x y —2ex + c

( l - x 2) ~ - + xy = x ( l - x 2)y l/2, y(0 ) = l dx

2 y dx = (x 2y 4 +x)dy , y ( l ) = l

77) xy’+y = y" lnx

l i-2^4Rpta. 3y2 + l - x " = 4 ( l - x “ ) í|

Rpta. I0x = (9 + xy ) y 2

Rpta. y ( l + Ln x + ex) =


xy '- A y - x yjy = O Rpta. y = — Ln ' [ xK |

79)1 1

(x + l)dy = y [y (x + l)L/7(;t + l)-l]<£t, y = — , x = -e e

dy 2 n— - y tg x + y eos x = Odx

Rpta.2y 1 (jc — 1) 1 = 3 -[ln (x + l ) ]2

Rpta. y (x + c) = secx

8 ¡) ydy-ay , bdx - — dx = — r-

. . 2 - 2 a l xRpta. y =c.e

82) xdy = y (xy - y) dx Rpta. xeAv = c

J3 ) 2x2^ + y = 4y3 Rpta: y “ = --------p

c + 4ex

84) (e y -2 x y )y ' = y Rpta: xy2 = e y + c

4 ..385) x y '+ y - x y Rpta: — = - x 4 +cx2

86) y - x y ' - y ' y e2,y Rpta: x = ye y + cy

87) xy2y '+ y3 = xcosx Rpta: y3 - 3 sen x +9 eos x 18senx 18cosx

- 3 - + ex-3

88) <¿y + (4 y -8 y 3)xdx = 0 Rpta: y = [2 + c.e 8 ] 4


ydx = (3x + y3 - y 2 )dy ; y (1) = -1 Rpta: x = y~ [1 + y ln (-y )]

dx 2xRpta: u — - 4x , y = j ¡ =

x Vu

dy x

dx x2v + y 3Rpta: (x 2 + y~ + l)e y = c

3 xy'+y + x 2 y4 = 0

(3 sen y - 5x)dx + 2x c tg y dy = 0

y 'tgx .sen2y = sen“ x+.cos2 y

Rpta: y 3 = x 2 +cx

Rpta: x 3(sen y - x ) 2 = c.sen2 y

Rpla: (sen2 x + 3 eos2 y ) sen x = c

eos y.sen2xdx + (cos2 y - c o s 2 x)áy = 0 Rpta: eos2 x (l + sen y ) = eos y (y + c -e o s y)

(97) y (x tg x + Ln y) dx + tg x dy = 0 Rpta: sen x . Ln y = x eos x - sen x + c

2. 2yy + y tgx = cos x Rpta: y = (2x + c ) eos x

dy 3y c tgx + senxeosx

dx 2 yRpta: y " + sen x = c. sen ~ x

. dx t + 1 t +1100) — + ----- x = -----

dt 2t xtRpta: x2

A + e 'c

101) ydx + (xy ~ + x - y)dy = 0 Rpta: x =1 + c.e 2

102) y -

^103)

Q

2x

1 + * 2 V l+ x 2aretgxy1/2

y 3 see2 x dx - (1 - 2 y ~ tg x)dy = 0

x ¿y dx + (3x4 - y 3 )¿/y = 0

Rpta: -Jy = V i + x2 [arctg2 x + c]

Rpta: y 2 tgx = lnfcy|

Rpta: 15x4y 12 = 4 y15 +c


y dx = x (ì + xy4)dy Rpta: >(5 + xy ) = cx

dv— = tg y.c tg x - sec y. eos x dx

Rpta: sen y + sen x . Ln (c sen x) = 0

dx 1 - 2xy'-, y(0) = l Rpta: xy2 - ln | y |= 0

dxRpta: (n + K - \ ) y x " =(1 - n ) x K + c.x* ” , n * 1, K + n * 1

K =/¡:in| — t ,n = 1 ,K * 0 ; y = cx¿ , n = l , K = 0,

•' " = ( l - n ) x 1 " In I ex I , n ^ l , K + n = l

(x 3 +cos2 x + l x 2y 2 +sen2 x )d x+ 2 x i ydy = 0 Rpta: x y" - — - ln x + c

dy (x + \)Lnx - x(3x + 4) y

dx (x3 + 2 x 2 - l ) y 2

. sen2x , ,, i111) --------y + y = (1 + eos x )y J

( x 2 + x + \)yy'+(2x + \)y = 2 x - l [113) 2(1 - x 2 )y '- ( l - x 2)y = xy3e x

[y eos x - y 3(x eos x - sen x)]dx + 2 sen x dy = 0

xy'-3y = 2x, y ( l ) = 0 116) (xy2 + x y '+ 3 )d x + (x y)dy = 0

3 y " v ' H — ------- 8 x + 8 — 0x + 1

118) 2— = ———j , y ( l ) = ldx x y

xy(\ + xy2) ^ - = \ , y ( l ) = 0 dx

i .d y120) 3(l + x2) — = 2 x y (/ - l )


2.10. ECUACION DIFERENCIAL DE RICCATL-

Consideremos la ecuación diferencial de la forma:

dy

dx= P (x )y + Q (x )y - + R (x ) - (1)

donde P ( x ) , Q (x) y R(x) son funciones sólo de x.

A la ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuaciones diferenciales de “R iC C A T r.

Estas ecuaciones diferenciales no se puede resolver por métodos hasta este momento

estudiados, pero sin embargo si se conoce una solución particular, se puede hallar la

solución de la ecuación diferencial suponiendo que y = \|/ (x ) sea una solución particular

entonces se puede hallar la solución de la ecuación diferencial, haciendo y = \\i (x) + /.

donde z es una función incógnita, que se va ha determinar con la ayuda de la ecuación

diferencial.

Es decir: y = y/(x) + zdy dz— = y/ (x ) h---- reemplazando en la ecuación (1) se tiene:dx dx

V (x ) + - j- = P(x)(\¡/(x) + z) + Q(x)(if/(x) + z )2 + R (x ) dx

... (2)

Agrupando los términos de la ecuación (2)

dz

dxP (x ) + 2Q(x)y/(x))z - Q(x)z~ + (y/\x) - P(x)y/(x) - Q(x)yi~ (x ) - R (x ) ) = 0 ... (3)

Como y = y (x) es una solución de la ecuación diferencial de “R1CCATI” entonces se

tiene: y ' (x ) - P{x)\\i(x) - <2(x)y ‘ (x ) - R(x ) = 0 (4)

de las ecuaciones (4) y (3) se tiene:dz

dx■ (P (x ) + 2 Q(x)yf(x))z = Q (x ) : ... (5)

Luego la ecuación (5) es una ecuación diferencial de Bernoulli y la solución de eslas

ecuaciones ha sido estudiado en (2.12).


a. Ejemplos: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

dv 1 1 2_ vX?

— - —y + — y - l , donde una solución es y = \|/ (x) = xdx x~ ~2

Solución

Sea y = \|/ (x ) + z = x + z, la solución de la ecuación diferencial dada, donde z es una

función por determinarse, entonces — = 1 + — , reemplazando en la ecuación diferencialdx dx

dada.

\ + — = —(x + z ) + —r - ( x + z j2' - \ simplificando dx x x

~ - — z - — z 2, ecuación diferencial de Bernoullidx x x

d z 3 1 2 - 2 -------- z = — z , multiplicando por zdx x x"

z~2 — - — z~^ multiplicando por (1 - n) o sea por-1dx x x~

_2 dz 3 _1 1 . . . i- z — + — z = — 7 - ( 1 )

dx x x “

—i dco _2 dzSea co = z => — = - z — ••• (2)

dx dx

d(ú 3 1 ,reemplazando (2) en (1) se t i e n e : ------1- —z = — r-, ecuación lineal en co.

í/x x x"

r 3 f—í¿r ^y la solución general es: co = e ^ x ¡ j *e (—— ) + c] calculando la integral

(0 = e~3Ua\- í e 31n v ^ + c] = ^ r ( ~ — + c)J x" x 2

/ < naciones Diferenciales de Prim er Orden 151

1 _ 1 c 2 c - x 2 2x3

z 2x x3 2x3 ~ 2 c - x 2

2 ex + x3Luego la solución general es y = x + z /. y = -----------

2 c - x 2

© c/y l 2 t o— = x + (----x ) y + y~, donde una solución es y = w(x) = xdx x

Solución

Sea y = x 2 + z , la solución de la ecuación diferencial dada, donde z es una función por

, . dv n dzdeterminarse, entonces - = 2x4---- reemplazando en la ecuación diferencial dada.

dx dx

2x + — = x + (— x2) (x 2 + z) + ( x 2 + z )2 simplificando dx x

dz 1 2 \ 2 ,----- (— + x" )z = z ecuación de Bemoullidx x

multiplicando a la ecuación diferencial por z -2

z~2 — - ( — + .v2)z _1 =1; de donde co = z_1 se tiene: dx x

dm _2 dz , , ,---- = z — ■ reemplazando obtenemosdx dx

dco , 1 o dco 1— -— (—+ X )íO = l = > ----- f ( — + x" )co = -1

dx x dx x

— f~ (—+ x 2)d x r f - ( —•+ x 2)dxes una ecuación lineal en co cuya solución es: co = e J x [ I eJ A ( -d x ) + < \


b. EJERCICIOS PROPUESTOS.


dy 7 1 1 1— — y ----y + 1------ —, una solución es ip (x) = — + tg xdx ' x ' 4x 2x

1------------------- K sen x + eos x Rpta: y = -----1

2x K eos x - sen a

2cxcx “I- xx i y '= x 2y + y 2 - x 2 , una solución es (p (x) = x Rpta: y = ------ -----

2 ce* —1

2dy o x -h c

x ( x - l ) — - ( 2 x + l )y + y ~ + 2 x - 0 , una solución es cp (x ) = x Rpta: y = --------dx ' ' x + c

y '-x y 2 + (2 x - l )y = x - 1 , una solución es (p (x ) = 1 Rpta: y = 1-t------------ —1 - x + ce '

eos Xy ' - sen2 x.y2 H------- -------y + eos2 x = 0, una solución es (p (x ) :

sen x eos x ' senx

senx 2i 1 -iRpta: y = ------ (1 + (c.e sen A— ) *)

eos x 2

y '+y2x ~ ( l + 2ex ) y + e2x = 0, una solución es y = ex

y'+xy2 - 2x2 y + x 3 = x + 1, una solución es <p (x ) = x - 1

dy o o ^— = -8xy + 4 x (4 x + l )y - (8 x + 4 ;r -1 ) una solución es (p (x ) = x dx

Rpta: y = [2 + ce "x ] 1 + x

2 5dy V i ? s— = — + x y —x una solución es (p (x) = x Rpta: c.ei -dx x y + x


dy 2 2senx , 1 _ 3cos2x10) t-y senx = ---- -— , una soluciones y - ------ Rpta: y = secx + -

dx ' eos2x cosx c - eos3 x

5 x— = 3y + y 2 -4 , una solución es cp (x ) = 1 Rpta: y = —dx c - e 5x

12) y '= x + (1 - 2 x )y - (1 - x)y~ una solución es <p (x ) = 1 Rpta: y = l + — —

13) — = ( l - x ) y 2 + (2 x - l ) y - x , una solución es (p (x ) = 1dx

Rpta: y - ( x - 2 + ce x ) +1

. dy 2eos2 x -s e n 2 x + y714) — = ----------------------- -— , una solucion es (p (x ) = sen x

dx 2cosx

Rpta: y = senx + (/í c o s x - — senx)-12

15) y ' — — —~ — + y 2, una solución es cp (x) = — Rpta: y = x ~ *+ 2 x (x 2 +2x)~ 'X A* X

16) y '= l + x -2 x y + y una solución es (p (x) = x Rpta: y = x + ( c - x )

® dy 2— • = - y + xy +1 una solución es (p (x ) = x

dx

dy _r , , ., v .. .. e x p (2 x -e r)18) — = e -y e ' + e y ' , una solucion es y = e Rpta: y = e - -

dx c + exp (x - <,r )

2.11. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE Y CLAIROUTS.-_________________________________________________

a) Las ecuaciones diferenciales de Lagrange son de la siguiente forma:

...(IIy = x f ( ÿ ) + g ( ÿ )


Para resolver la ecuación diferencial de Lagrange se transforma en otra ecuacióndy

diferencial lineal en x como función de P, haciendo — = P de donde dy = P dxdx

dyLuego se sustituye — = P en la ecuación; (1)

dx

y = x f (P ) + g (P ) ...(2 )

diferenciando la ecuación (2) se tiene: dy - f ( P )d x + x / ' (P )dp + g ' (P )d p ... (3)

reemplazando en la ecuación (3). dy = Pdx se tiene:

P d x - f (P )dx + x / ' (P )dp + g ’(P )dp ...(4 )

dx f ( P ) g \ P )La ecuación (4) se puede expresar en la forma: — + ------------ x = — —— — -

1 F dp f ( P ) - P f ( P ) ~ P

Que es una ecuación diferencial lineal en x, cuya solución general es x = (p(P,c)

donde Pds un parámetro y la solución general de la ecuación (1) se dá en forma

paramétrica.

f x = (p(P,c)< , P es un narametro[y = <p(P, c ) f ( P ) + g (P )____________

b) Las ecuaciones diferenciales de Clairouts son de la siguiente forma:

y = xy’+ g (y ' )

La solución de la ecuación diferencial de Clairouts se obtiene siguiendo el mismo

procedimiento del caso de la ecuación diferencial de Lagrange.

c) Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales,

l ) 2y - xy' + y' ln y'

Solución

y' y'iny'A la ecuación diferencial expresaremos en la forma: y = a H ----- - — ... (1)


dySea y ' = — = P => dy = P dx. reemplazando en (1)

dx

P P\nPy = x — i---------- , diferenciando se tiene:

2 2

P x ln/5 dpdy = — dx + —dp + dp + — . reemplazando dy = p dx

P x ln P dp pdx — — dx + — dp h— -— dp H—— , simplificando

dx 1 ln P +1---------x —--------- , que es una ecuación diferencial lineal.dp P P

[ dp f dp, 1 - | - r r J „ lnP + 1

cuya solucion de esta ecuación es: x - e '\ — p— dp + c] = - \ n P - 2 + pe

y la solución general de la ecuación diferencial es:

( T ) y = 2xy' + sen y’

X — p e - LnP — 2

c r> , P es un parámetroy = -2 P - - r

Solución

dySea y' - — = P => dp = p dx, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

dx

y = 2xp + senP. diferenciando se tiene: dy = 2xdp + 2pdx + cosPdp,

reemplazando dy = pdx, pdx - 2xdp + 2pdx + eos Pdp, simplificando

dx 2 eos P-----1— x = ---------, que es una ecuación lineal cuya solución de ésta ecuación es:dp P P


de donde la solución general de la ecuación diferencial es:

cos P cx = ------ ----sen P h— -

P 2 P 2

2c 2 cos Pv = ----------------- sen P

P P

,P es un parámetro

3 ) y = xy '+-

Solución

Sea y' = — = P => dy = p dx, reemplazando en la ecuación diferencial se tiene: dx

y = xp h— —, diferenciando ambos miembros

dy = xdp + p d x \ d p , reemplazando dy = p dx

2ci 2 apdx — xdp + pdx---- — dp => ( x ---- -)dp ~ 0

p i p i

de donde x = v dp = 0 =» P = c Luego

2 a

y = xc + -

4 ) y - x y '+ y '2

Solución

Sea y' = — = P => dy = p d x reemplazando en la ecuación dada: y = xp + P 2 dx

diferenciando => dy = xdp + pdx + 2pdp al sustituir dy = pdx se tiene:

pdx = xdp + pdx + 2pdp => (x + 2p) dp = 0 de donde

x + 2P = 0 x = -2 P 1 x = —2cdonde

dp = 0 P = c y = xe + c"


d. EJERCIC IOS PROPUESTOS.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

© y = 2xy'+ ln y' Rpta.

_ c 1

~ p 2 P

2cv = — + LnP - 2

P

©

©

©

©

y = — xy,2+ y '2+l

y = 2xy'—2y' + l

y = 2xy' +y'

Rpta.je = 2(1 - P ) + ce~

I y = 2(1 - P ) + ce~p([ + P ) + P

Rpta. (y —l ) 2 = c(jc-1 )

Rpta.x ( 2 P - \ r = L n P - 2 P + c

y = 2 xp2 + P

© y = —xy '+ey Rpta.

C o 2 ^ 2 sx - — - 2 e (— -----7 + — )P P P 2 P 3

3c r, p ,, 3 3y = — - - 2 e (1 - — + — )

2P P P 2

©>2 1 y = Xy -------

yRpta.

cp + 2 p - \

2p2( P - \ ) 2

cp2 + 2 p -\ 1

2 (P -1 )2 P

© y = (x + l)y Rpta.

2 p 2■ p + C

( p - i y

y = (x + l ) P

© y = xsen v' + cos y' Rpta.f eos u du f senj< du f eos a , ,

rexp( I —--------- ) = ------------ exp( ----------- dz)duJo senu - u J0 senu - u J0 s e n j - j ^

y = xsen P + cosP


y = 2xy' — 2 ÿ + 1

y ÿ 2+ { 2 x - l ) ÿ = y

y = - Xy ’2 + y 2 + 1

y = (y ’- ï ) x + aÿ+b

y = mxy' + aÿ + b

y + xy'= y '2

y'3 -x y '+ 2 y = 0

2y'2 +xy' - 2 y = 0

2y'3 + x y ' -2 y - 0

y = xy' + y '2

v = x y ' -3 y '3

1y - xy'+-

y

y = xy +ay

y = xy +a x / i+ ÿ

Rpta. ( y - 1 )2 = c ( x - l )

Rpta. y 2 = 2(l + 2c)(x + c)

Rpta. y = 1 + (c — \ / l -x )2,y = 1

Rpta. y = (x + a) Ln (x + a) + c (x + a) + b - x

Rpta. m (y - b) = (1 - m) (mx + a) Ln (mx + a)

Rpta.2 p ~-

X = ------- \ - CD 23

y = -x p + P 2

fx = P ( c - 3 P ) Rpta. ^

[2y = P 2( c - 4 P )

Í x = 4 PLn( pc)Rpta. {

[y = P 2[\ + 2Ln(pc)]

ix = 2P(3P + c) Rpta. \

[2y = P - (4 p + c)

Rpta. y = cx + c 2

Rpta. y = ex - 3 c

Rpta. y = ex +

Rpta. y - ex +

1

ac

A T ?

2 2 2

, x 3 + y 3 = a 3

Rpta. y = ex + a Vl + c2 , x2 + y2 = a 2

¡ ( naciones Diferenciales de Prim er Orden 159

©> a y — xy H —

y'Rpta.

ay = xc + —

c

© y = xy' + sen y' Rpta. y = ex + sen c

® ÿ = ln(xy’ - y ) Rpta. y = c x - e °

© y = x y ' - y '2 Rpta. y = ex - c .

© y = x y '+ ^ \ -y '2 Rpta. y = cx + ^ l l - c 2

© y - xy' — ey Rpta. y — c x - e c

©1

V — Y*V - Rpta.1

y xy ^ i------y y ' - l

y - cx+ -----V c -1

© y = x y ' - ^ l - y ' 2 - arccosy' Rpta. y - cx + y j l - c 2 -

© y + y '2 = ÿ x Rpta.2y = ex - c

© y = xy ’+ a ^ j l - y '3 Rpta. y = cx + a ^ J l -c3

©

CII1>

Rpta. y = ex - Ln c

© y = x ÿ - 3 ÿ 3 Rpta. y = c x -3 c 3

© y = ( x + l ) y '+ y '2 Rpta. y = cx + c + c 2

© y - x y ' + y ' - y ' 2 Rpta. 2y = cx + c - c

0 y = (x + l ) y ' - l . Rpta. y = ex + c - 1

0 y = xy'+y¡l + y ’ Rpta. y = ex + V l + c

0 oII1â(N+1 Rpta. y = cx + 'Jl + c 2


2.12. ECUACIONES DIFERENCIALES NO RESUELTAS CO______ RESPECTO A LA PRIMERA DERIVADA.-_________________________

I o Ecuación de primer orden y de grado n con respecto a y'

Las ecuaciones diferenciales de primer orden y de grado n con respecto a y ’ son de

la siguiente forma:

(y' ) n + P\ (x, y )(y ' ) " + p2 (*. y x y ) " “ + pn-1 (■*. y)y'+ pn t*. y) = 0 ..(1 )

Para encontrar la solución de estas ecuaciones diferenciales, se resuelve la ecuación

(1) con respecto a y '; como la ecuación (1) es de grado n, entonces se puede tener:

y '= f i ( x , y ) , y ' = f 2(x ,y ) , y’= /3(x, y ) ...... y '= f K (x, y ) , (K = n) ...(2 )

que son las soluciones reales de la ecuación (1)

Luego el conjunto de las soluciones de la ecuación (2) es:

<p1(x ,y ,c 1) = 9, cp2(x, y ,c2) = 0 , (p* (x, y ,cK ) = 0

donde <p,(x,y,c,) = 0 , i = 1,2,..., K es la solución de la ecuación diferencial

y'= f . ( x , y) c, i=l,2,...K y que representa la solución general de la ecuación (1).

2° Ecuaciones diferenciales de la forma f(y, y ') - 0

Cuando en esta ecuación diferencial se puede despejar y' se obtiene ecuaciones

diferenciales de variable separable, por lo tanto nuestro interés está en los demás

casos.

a) Si en la ecuación diferencial / (y , y ' ) = 0 se puede despejar y es decir:

y = (p(y')

■ dy _ ,entonces para obtener la solución se introduce un parametro en

ecuación (1), es decir: y = <p(P) — (2)


ahora diferenciando la ecuación (2) se tiene: dy = cp' (P )dp (3)

dyComo — = P => dy - pdx que al sustituir en (3)

dx

se tiene: pdx = (.p' (P )dp de donde dx(p'(P)

dp

y la solución de la ecuación diferencial se ha dado en forma paramétrica:

x = I ------- dp + cJ P

y = (p(P)

b) Si en la ecuación diferencial / (y , y ’ ) = 0 , no se puede despejar ni y, ni y',

pero estas últimas pueden expresarse en forma paramétricas mediante algún

parámetro t.

y = (p(t); y 1 = <p(t) ( P = — )dx

dyy' = — = (p(t) => dy=(p(t)dx

dx

Como y = (p(r) => dy = <p(t)dt, de donde

cp(t)dx = (p(t)dl => dx = — de donde x-<P(0

j" (p'(t)dt

J 9it)+ r

y la solución de la ecuación diferencial es dada en forma paramétrica.

\t)x = f ^J (pit)y = (pit)

-dt + i

3o Ecuaciones diferenciales de la forma f(x ,y ') = 0

Si en la ecuación diferencial / (x , y ') = 0, se puede despejar x es decir:

x = (p(y') . » ( i )


de donde para obtener la solución se hace y' —P de donde en la ecuación (1) se

tiene: x = (p (P ) => dx = dx = — (3)dx P

de (2) y (3) se tiene ^ = (p \P)dp de donde dy = P q ' (P )d p => y = f P(p ’( P)dp

Luego la solución general de la ecuación diferencial es dada en forma paramétrica: ;

x = (p(P)

y = J P<p'(P)dp

a. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones,

l ) y'2- ( 2 x + y)y' + (x~ + xy) = 0

Solución

y '2- (2 x + y )y ' + ( x 2 + xy) = 0 , despejando y ' se tiene:

2x+y±\ ](2x+y )2 - 4 ( x 2 +.rv) _ 2x+ v±yde donde

2

f y ' i = x + y

l y ' i = x

y i - x — 1

X

y2 = Y + c

2) xy’2 +2 xy'—y = 0

Solución

, -2 x ± J 4 x ~ +4xy)xy +2xy'-y = 0 , despejando y 's e tiene: y = ------------------------- simplificando

2x

J x + y 2y ’ = —l ± r — de donde z = x + y

Vx


2z— = l + v ' => y' = 2z— — l de donde 2z — -1 = - 1 ± —j= 2z— = ± ~ =dx dx dx Vx dx Vx

2dz - ± —j= integrando z = ±V x + c Vx

x + y = x + c2 ± 2cVxtJx + y = ± y [x + c

y - c 2 =±2c\fx => ( y - K ) 2 =4K x

y = y'~ c y

Solución

Sea y ' - P -=> dy = pdx, remplazando en la ecuación dada

y = p 2e p dy = (2 p ep + p í e p )dp, de donde pdx = (2pep + p 2e p )dp

dx = (2ep + pep )dp , integrando x = e p + p e p + c

©

j x = ep + pep + c

l y = p 2ep

2 2 2 y5 + y '5 = o 5

SeaI y = a eos t

! y ' = a sen'-11 = P

Solución

dx =dy 5flcos tênt

asen- tdt - -5 c tg tdt

4 , , 5ctg tdx = -5c tg tdt integrando x = ---------- ■ 5c tg f + 5í + c

5c tg t

y - a cos' t

■5ctgf+ 5/ + c


y4 - y ' 4-y y '2 = oSolución

Sea y ' - y t reemplazando en la ecuación y 4 - y 4f 4 - y 3í 2 = 0 => y - y t —t~ = 0

í2 2í5 + 2íy ( l - t 4) = t2 => y = ----- - diferenciando dy = ------ — d/ ... (1)

1 - í4 ' (1 -r )

como y '= P => y = — puesto que y '=y t t

—— P 4 - — = 0 => P = — - Como P = — í4 t 1 - í4 dx

t3dy = ------é/x ...(2 )

1 - í4

, 2í5 + 2í , 2(í4 +1 )dt . ,de (1) y (2) se tiene: ----- - = ------ r-zd t => dx = — ;-------— integrando

1 - í4 (1- í4) 2 (r - l ) r

„ Ç a b c d e-2 ( - + — + + + -

J t t í+1 í - 1 íEt + F u T— -)dt

2 + l

2 i / +1, _jc = — +ln ---- |-2arctgí + c

t í - 1

y =í 2

i - / 4

v = ln y’ + sen y'

Solución

Sea y '= P => dx = — P

x = Ln P + sen P diferenciando se tiene: dx = — + eos p.dp como dx = —P P


dy dp— = — + cos pdp => dy= dp+ P eos pdp. integrando

y = P + P sen P + cos P + cx = LnP + senP

y - P + p sen P + cos P + c

©

©

©

©

©

©

©


Resolver los siguientes ejercicios.

y '2—2yy'= y 2(ex -1 )

x2y,2+3.xyy’+2y2 =0

xy —2yy'+x = 0

y '2—2y' —8x2 = 0

y' + (x + 2 )e y = 0

.3 ,2 ' » i 2 ^y -y y —x y + x y = 0

Rpta. Ln (K y) = x ± 2 e*1

Rpta. xy = c, x y = K

ex 1Rpta. y = ------1---- , y = ±x

2 2c

Rpta. y - 2 x 2 + c , y ~ - x 2 + K

- l í Rpta. 4e 3 = ( x + 2) 3 + c

X X “Rpta. y = — + c , y = — — + K , y = A e>

y'4 ~ (x + 2y + l )y '3 + (x + 2 y + 2xy)y '2 -2 xyy' = 0

Rpta. y = Cj, y = x + c 2 , 2y = x + c 3 , y = c4 2x

©

©

xyy,2+ ( x 2 + xy + y 2)y'+x~ + xy = 0

sug: y '(y '- l ) (y '- x ) (y '- 2 y ) = 0

Rpta: 2xy + x 2 —c — 0 , x 2 + y 2 = c

(x 2 + x)y'2 +(x2 + x - 2 x y - y ) y ' + y 2 - xy = 0 Rpta: y = c (x + 1), y = -x - Ln c x

x 2y'2+ x y f - 6y2 = 0 Rpta: y = ex2, y = - ~x

166

'Eduardo Espinoza Ramos

^ xy'2+ ( y - l - x 2) y ' - x ( y - l ) = 0 Rpta: 2 y - x 2 = c , xy - x = c

12) yy'2 + (x - y )/ - x = 0 R p ta :y = x + c, y 2 + x 2 = C

13) xy’2-2yy'+4x = 0 Rpta: y + sjy2 - x 2 - c x 2(y + s]y2 - x2 ) = c

14) y'4 - ( x + 2y + 1) y '3 + (x + 2y + 2xy)y'" ~2xy.y' = 0

Rpta: y = c, y - x = c, 2y - x 2 = c , y = ce2x

3 ) xy/2+ (x 2 +xy + y 2)/ + x 2 + xy = 0 Rpta: 2xy + x 2 - c = 0 , x 2 + y2 - c = 0

5 ) ( x 2 + x )y '2+ (x 2 - x - 2 x y - y)y'+y2 - x y = 0 Rpta: y - c (x + 1) = 0, y + x Ln (ex) = 0

5 ) x 2 v '2+xyy '-6v2 = 0 Rpta: y - ex2 = 0 , y = ex 3

3) xy'2+ ( v - x 2 - l ) y ' - x ( y - l ) = 0 Rpta: 2y - x 2 + c = 0 , xy - x + c = 0

5) xy'2 -2yy'+4x = 00 2

Rpta: cy ~ x + c

g ) 3x4 y'2 -xy '-y = 0 Rpta: xy = c (3 c x - 1)

3) dy 9 dy ? y = a(— )~ + b(— ) , a,b constantes.

dx dxRpta:

3 bp2x = 2ap H---------b c2

y = PLnP

§> y = y'ln y' Rpta:(L 11P + 1)2

x = - --------- — + c2

y = PLnP

§) y ~ y ' ( 1 + / C 0 S / ) Rpta:x = LnP + sen P + P.cos P + c

y = P + P 2 cos P

S) y = ( ÿ - \)ey Rpta:x = ep +c

y = ( P - l ) e p, y = - 1


y = arcsen y' + ln (l+ y ) Rpta:r\ f D I |l + V l - P 2 , x = 2 arctg P - ln |--------------—------ 1 + c

y - arcsen P + ln(l + P 2 )

y ' - e y Rpta:

x = ln(ln P ) + -------1- cIn P

ln p

y '2+ e y - 2 Rpta:1 , i p - ^ i X = —pr ln -------- =■ +C

V2 P + yl2

y = \ n (2 -P 2)

2 2■y3 + v '3 - i Rpta:

x = 3t + 3c tg t + e

y = eos31

x = y'2- 2 ÿ 2+2 Rpta:x = P - 2 p + 2

y = l p 3- p 2+ c3

30) x (l + y '2 ) = 1 Rpta: y + c = ± (V x - x2 + arcsen J x )

y '¿ x = ey Rpta:

x = -

ep ( P + 1) , y = ------------- he

32) x ( l + / - ) 2 = a Rpta:x = a eos t

[ y = - a sen t + c

33) x = y'+ sen v' Rpta:

x = P + sen P

y = — + P sen P + eos P + i2

VIftK Eduardo Espinoza Ramos

52) Xyj\ + y '2 = y ' Rpta: Vi+ P A

y =i i

7 + C+ P ¿

x = y —y Rpta:x = P i - P

3 P 4 P 1- + c

2.13. SOLUCIONES SINGULARES.-

Consideremos una ecuación diferencial de la forma: F (x , y, y ' ) - 0 ... (1)

Llamaremos solución singular a y = <p(x) de la ecuación (1) si en cada punto se infringe

la propiedad de unicidad, es decir, si por cada uno de sus puntos (x0, y0) además de esta

solución pasa también otra solución que tiene en el punto ( a' 0 , v0) Ia misma tangente 1

que la solución y = cp (x), pero no coincide esta última en ningún entorno del punto 1

(x 0, y0) arbitrariamente pequeño.

A la gráfica de una solución singular se denomina curva integral singular de la ecuación

(1).

dF dFSi F (x ,y , y ' ) = 0 y sus derivados parciales —— y —— , son continuas con respecto a

ay ay

todos sus argumentos x, y, y ' .

Entonces cualquier solución singular de la ecuación (1).

d V (jc, yy y )También satisface a la ecuación: ------ — = 0

dy... (2)

Por lo tanto para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) se elegirá y entre las

ecuaciones ( l ) y (2) obteniendo la ecuación.

... (3)

Ecuaciones Diferenciales de Prim er Orden IM

A la ecuación (3) se denomina P - discriminante de la ecuación (1) y la curva determinada

por la ecuación (3) se denomina curva P - discriminante (C.P.D.) siempre ocurre que una

curva P - discriminante se descompone en unas cuantas ramas, en este caso debe

averiguarse si cada una de estas ramas por separado es solución de la ecuación (1) si es

afirmativo se debe comprobar si es solución singular, es decir, si se infringe la unicidad

en cada uno de sus puntos.

Llamaremos envolvente de una familia de curvas. <j> (x, y, c) = 0 ... (4)

a la curva que en cada uno de sus puntos es tangente a una de las curvas de la familia (4)

siendo cada segmento de la misma tangente a una infinidad de curvas de la familia (4).

Si la solución (4) es la integral general (1), la envolvente de la familia de curvas (4), en

caso que exista, será una curva integral singular de esta ecuación.

En efecto, en los puntos de la envolvente los valores x, y, y' coinciden con los valores

correspondientes de la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x,y), por

lo tanto en cada punto de la envolvente los valores x,y, y' satisfacen a la ecuación

F (x , >’, y ' ) = 0 es decir la envolvente es una curva integral.

Además en cada punto de la envolvente se infringe la unicidad, puesto que por cada punto

de la misma pasan al menos dos curvas integrales en una misma dirección, la envolvente

y la curva integral de la familia (4) que es tangente a esta en el punto considerado.

En consecuencia, la envolvente es una curva integra! singular, además por el curso de

análisis matemático se conoce que la envolvente forma parte de la curva c - discriminante

(C.C.D.) determinada por el sistema de ecuaciones:

<¡)(x,y,c) = 0

• d<p(x, y,c) _ (5)

. d e

Una rama de la curva c - discriminante es envolvente, cuando en ella se cumple las

condiciones siguientes.


I o Que las derivadas parciales existan y sus módulos están acotados.dx dy

| — | < M , | 1 < N donde M y N son constantesdx dy

2o * 0 ó sino * 0 dx dy

Observaciones

a) Las condiciones Io y 2° solamente son suficientes, por lo cual pueden ser

envolventes también las ramas de la curva c - discriminante en las que no se cumple

algunas de estas condiciones.

b) En el caso general, el P - discriminante contiene:

i) A la envolvente (E)

ii) A l lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (C 2)

iii) A l lugar geométrico de los puntos cúspides (ó de retroceso) (R)

Ap = E .C 2.R

c) El c - discriminante contiene:

i) A la envolvente (E)2

ii) A l lugar geométrico de los puntos Anocdales al cuadrado (A )3 Iiü) A l lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo(/? )

A c = E . A 2. R 3

Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular)

de la ecuación diferencial.

Esta figura tanto en la curva P - discriminante como en la curva c - discriminante a

la primera potencia, circunstancia que facilita la averiguación de la solución

singular.


a) Ejemplos:

( 7 ) Encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación:

(— )2 + 4x5 — _ ] 2x4 y = 0 dx dx

dySea — = P => dy = pdx

dx

Solución

p 2 + 4x5 p - 12x4 y = 0 diferenciando

2 pdp + 20 x 4 pdx + 4x5dp - 48x3 y dx -12 x 4 dy = 0

2pdp + 20x4pdx + 4x5dp- 48x3( P P )d x - 12x4pdx = 012x

(2 p + 4x5 )dp + 20x4 pdx - 4 -/,- + 4 r p ) dx -\ 2 x 4 pdx = 0

( 2p + 4x5 )dp 4- 8x4 pdx - dx - 1 6x4 pdx = 0

2(2p + 4x5) d p - ( —— + &x4 p)dx = 0 => 2x(p + 2x5) — —4 p (p + 2x5) = 0

x dx

(p + 2x5) ( x — - 2 p ) = 0 <=> ( p + 2x5) = 0 v x — - 2 p = 0 dx dx

r, • dp dp 2 dx . 2 2Si x — = 2p => — = ----- => Lnp = 2Lnx+ LnK => Lnp = LnKx => P = K.\'

dx p x

reemplazando p = K x4 en la ecuación p 2 + 4x5p - 1 2x4y = 0

se tiene A"2x4 +4A ’x 7 = 12x4v => K 2 + 4 K x 3 = l2 y

K (K + 4x3) = 12y solución general.

Eduardo Espinoza Ramos *SI /* t » O => p = - 2 x 5 reemplazando este valor en la ecuación dada tenemos:

4.v'° -8a10 = \2x4 =$ 3y = - x 6 solución singular.

lincontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación:

dx dxSolución

dySea — = p => dy = pdx , reemplazando en la ecuación dada

dx

x3p 2+ x 2py + 1 = 0 => y - - x p — diferenciandox -p

dy = -xdp - pdx + + - - - -- ; pero dy = pdxx p p 'x

, , 2dx dppdx = -xdp - pdx + — — +

x p p x(2 p — \-)dx + ( x ----^ ) d p = 0

x p p x

x ( l -l T Æ + 2 /> ( l - - i — ) = 0 =* ( i - . J — ) ( x ^ - + 2p ) = 0p -x dx x p x 'p - dx

1----r~r" = 0 V x — + 2 p = 0x p dx

Si A . 2 , = 0 =* — + 2— = 0 dx p x

KLn p + 2 Ln x = Ln K => ln px2 = ln K => px2 = K => p = —

x~

reemplazando en la ecuación x 3 p 2 + x 2 pv + 1=0

K , ,— +A/y + l = 0 => K '+ K x y + x = 0 solución general.x


Si 1 - ^ = 0X p

p 2 — => p - x 2 reemplazandox

en la ecuación x 3p 2 + x 2py + 1 = 0 se tiene l + x2x 2;y + l = 0 => 2 + Vxy = 0

2 2y = — -= => y x - 4 = 0 solución singular

Vx

( T ) Encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación:

x (— )3 - 2y(— )2 - 1 6x2 = 0 dx dx

dySea — = p => dy = pdx

dx

Solución

xp3 - 2yp2 -16x2 = 0xp 8x*

2 " " " ^

diferenciando dy = - d p + — d x - dx + ^ X dpP P2 2

^ , x , p , 16x , 16x'dpComo dy = pdx => pdx = — dp -t— dx---------------- -d x - i-- —

2 2 p- p

-v ,, „ ■ A 16x ,d p ,1 16x% „(— i----T-)dp - (— H— —)dx = 0 , factonzando x (— + — —) ---p (— + — 5- ) = 0

1 ' " 7 )Z p 3 dx 2 p 3

x 16x‘ , p 16.V1 \ À,-. ( £_ . 1 \

2 P~2 P 3

1 16x dp 1 16x dp

2 D3 dx r 2 p3 dx

dp „ dp dx n .Si x — - p - 0 => — ----- = 0 integrando

dx P x

Ln p - ln x = ln K => ln — = ln K => p = Kxx


reemplazando en la ecuación y =2 p i

se tiene y ■■Kx 8x Kx~ 8

2 K 2x 2 2 K 2

2K 2 y — K 3 x 2 —16 es la solución general

. 1 16x „ 16x _ 1 p 3Si - + — - = 0

2 p3 p 3 2 16x

p3 - ~32x => p = -2x74a'3 reemplazando en la ecuación

xp 8xy = -------—y se tiene y -

2 P

x(-2^/4x3) 8x2

4%/íóx3

2 y3 +27x4 = 0 solución singular


Encontrar la solución general (S.G) y también la solución singular (S.S.) si ella

existe de las siguientes ecuaciones diferenciales.

©

©

y = x - - 2 ( ^ l ) 2 dx dx

dx dx

x (— )2 - 2 y — + 4x = 0 dx dx

Rpta: S.G.: y = k x - 2 k 2 ; S. S.: 8y = x 2

Rpta: S.G.: y + 3 k x -k " = 0;S.G .:9x2 + 4 y3 = 0

Rpta: S.G.: k 2x 2 -k y + \ \ S.S.: y 2 - 4 x 2 = 0

I maciones Diferenciales de Prim er Orden 175

( 4) x(-^—)2 — 2v + x + 2 v = 0 Rpta: S.G.: 2x2 + 2 k ( x - y ) + k 2 - 0dx ' dx

S.S.: x 2 + 2 x y - y 2 = 0

© (1 + y '2 ) y 2 -4 yy '-4 x = 0 Rpta: S.S.: y 2 = 4x + 4

© y ’2-4 y = 0 Rpta: S.S.: y = 0

© y '3-4xyy’+8y2 = 04 3

Rpta: S.S.: y = 0 , y = — x

© y '2- y 2 = o Rpta: No hay S.S.

© (— )2 + x3 — —2x2y = 0 dx dx

Rpta: S.G.: k 2 + kx2 = 2 y ; S.S.: 8y = - x 4

@ 2x(- j~Ÿ - 6y(-y-)2 + x4 = 0 dx dx

Rpta: S.G.: 2k3x 3 = 1 - 6 k 2p ; S.S.: 2y =

©dy. 2 dy

(— ) - x — + y = 0 dx dx

Rpta: S.G.: y = k x -k ~ ; S.S.: 4y = x"

©dy dy 2

v = x — + K ( - f - y dx dx

Rpta: S.G.: y = kx + k 2c ; S.S.: x 2 =-4ky

© x8(— )2 + 3x— + 9v = 0 dx dx

Rpta: S.G.: x 3 (y + k~) + k = 0 = 0 ; S.S.: 4x(’ y

© x(— )2 - 2 y — + 4x = 0 dx dx

Rpta: S.G.: x 2 = k ( y - k ) ; S.S.: y = 2x, y =

©o 4 .2 dy 3x (— ) - x ----- y = 0

dx dxRpta: S.G.: xy = k ( 3 k x - l ) S.S.: 12x".v-

© x A 2 + ( x - y ) ! j - + l - y = 0 dx dx

Rpta: S.G.: xk2 + ( x - y)k +1 - y = 0

S.S.: ( x + y ) 2 = 4x

76

rEduardo Espinoza Ramos

3 x ^ - 3 , = 0 dx dx

, = x ‘ A > - Adx dx

x A 4 - 2 y ( % 3+\2x3 = f i dx dx

20) Á ’ - Á + b O dx dx

21) A * , 4 = 3 /ay ay

Rpta: S.G.: 3xy = k (xk ~ - 3 ) ; S.S.: 9x y ‘ = 4

Rpta: S.G.: fcty = k ( k \ x - l ) ; S.S.: 27x3y 2 = 4

Rpta: S.G.:2k 3y = k 4x 2 +12; S.S.:3y2 = ±8x•^ „2 - 4-8v5'

Rpta: S.G.:x£3 —yk2 +1 = 0 ; S.S.:4y3 = 27x

Rpta: S.G.: 3y = k (1+ k x y ) ; S.S.:12xy2 =

X < x )3- 2 , ( 4 , ! + 4 x! = 0«x dx

Rpta: S.G.: x 2 = 4 k (y -8 k 2) ; S.S.:8y3 = 27x4

4x5(— ) 2 + 12x4y — + 9 = 0dx dx

Rpta: S.G.: x i {2ky-\) = k 2; S.S.: x 3y 2

( 4 + l)2( , - * 4 ) = 1dx dx

Rpta: S.G.: (& + l )~ (y - fc t ) = 1

S.S.: 4 (x+ y )3 = 27x2

25) 4v (— )2 — 2x— + y = 0^ ‘ dx dx

Rpta: S.G.: kx = y 2 + k ¿ ; S.S.: x = ± 2y

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 177

C A P I T U L O I I I

3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.-

3.1. PROBLEMAS GEOMETRICOS.-

Consideremos una curva C descrita por la ecuación

C : F (x, y) = 0

y tomemos un punto P0 (x 0, y0) de la curva C

y la ecuación de la recta tangente es: L, : v - y 0 = v { , (x - x 0) ... (1)

La pendiente de la recta normal es: mLN mL, y'o

y la ecuación de la recta normal es: ' - y - y 0 = — r y o

... (2)


ahora calculamos el punto de intersección de la recta tangente con el eje x.

Sea A e Lf a eje x => y = 0, de la ecuación de la tangente se tiene:

y0 y- y 0 = y '0( x - x 0) => x = x0 ---- ^ de donde A(xo - - ^ - ,0 )

y 'o y o

También calcularemos el punto de intersección de la recta normal y el eje x.

Sea B e L n a eje x => y = 0, de la ecuación (2) se tiene:

—y0 = — — ( x - x 0) => x = x0 + y0y'o de donde B(x0 + y0y{,,0)yo

La longitud del segmento de la tangente entre el punto P0 y el eje x es Lr = d(A, P )

¿r = J(*o - (*o - + (>-0 - O)2 = ■~ n/1 + /o2v y o y o

La longitud de la sub tangente es la proyección del segmento tangente AP0 sobre el eje x

es decir:

= d (A ,c ) = ] ( x 0 - ( x 0 - ^ - ) ) 2 + 0 = ^ -t____________ y y o__________y o _

La longitud del segmento de la normal entre el punto P(l y el eje x es: L N = d (B , PQ)

l n — ^¡(xo ~ ( xo + yo>’ p)) + ( >’o ~Q) = yo'v/i + y(T

La longitud de la sub normal es la proyección del segmento normal BP0 sobre el eje x,

es decir

LSn = d (C ,B ) = sJ(x0 + y0y'0- x 0) 2 + (0 - 0 )2 = y0y ’0

Generalizando estas longitudes en cualquier punto p(x,y) de la curva

C: F (x,y) = 0 se tiene:


L f = — J l + y ' 2 _ longitud de la tangentey

l s t = — _ longitud de la sub tangentey

Ln - yy¡i+y'~ = longitud de la normal

l s n = »■ ' = longitud de la sub normal

para el caso en que la curva está dado en coordenadas polares. Consideremos la curva:

C: r = f (0) y P (r ,0) e C entonces:

tga = r — , donde a es el ángulo comprendido entre el radio vector y la parte de l.i

tangente dirigida hacia el origen de la curva.

o d0r tga = r~ — es la longitud de la sub tangente polar.

dr

re tga - — , es la longitud de la sub normal polardB

d0r sena = r~ — . es la longitud de la perpendicular desde el polo a la tangente.


ds = J id r j1 + r 2(d d j2 = r2 + (— ) 2dd es un elemento de longitud de arco.V d0

r 'ddes un elemento de área.

a. PR O B LEM AS RESUELTOS

© Hallar la ecuación de las curvas, tales que la parte de cada tangente, comprendida entre el

eje Y , y el punto de tangencia, queda dividido en dos partes iguales por el eje de las X.

Solución

En el A M A P rectángulo se tiene:

tg0 =AP

MAt g e - J

tg0 = — . además se tienex " .X

— = tg0 de dondedx

= => = 2dx integrando J — - J2dx

dx x+ c =i> In y = 2 ln x + c => y = Kx"

y

© Hallar la ecuación de las curvas, tales que la parte de cada tangente, comprendida entre el

eje de las x y el punto de tangencia, está dividido en dos partes iguales por el eje de las y.

Solución

En el A M A P se tiene:

^ A P ^ .Vtg0 =•

MA 2x

yComo tg d =2x


Además — = tg 0 =dx dx 2x

dy dx .— = — . integrando se tiene:y 2x

. LnxLn\ = -----+ c

2v = Kx

( 7 ) La tangente en cualquier punto de una curva y la recta que une ese punto con el origen

forman un triángulo isósceles con base en el eje de las x. Hallar la ecuación de la curva

sabiendo que pasa por el punto (2,2)

Solución

Como LN I L i - » tga .tg# = -1 - » tg0 = - c t g a = ~ —x

además — = tgé? = - c ta ^ = —Z, de donde dx dx x

— + — = 0. integrando Ln xy =Lnk, es decir: C: xy=kx .V

© Hallar la ecuación de una curva tal que, si en un punto cualquiera de ella, se trazan la

normal y la ordenada, el segmento que ambos interceptan sobre el eje de las x es una constante a.

dy aSe conoce que — = tg 6 = ±c tg a para e tg a - ..

dx y


dy dy , aLuego — = ± r t g a —» — = ± —, de donde

rlv (¡x v

dy = ± a d x integrando se tiene: y' ±2ax = c

Hallar una curva para la cual el área a Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos

ordenadas.y

x = 0, x = x, sea una función dada de y: Q = a" Ln —n

Solución

Q = [ ydx = axLn — \\ derivando se tiene:Jo

y_

a

dy

dx 2 ay - a — -----> y - — •—

y ay dx

■ = c - x

de donde y - — — (hipérbolas)c - x

© Demostrar que la curva, que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un

punto constante es una circunferencia.Solución

Sin perdida de generalidad podemos asumir que

c(h,k) = c (0,0).dy

Sea LN: y = bx, donde m L N, ademas mLt = —dx

y como LN _L LT, entonces:

1 dx dxes decir que b - — —

mLt dy dy

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales IK

©

como y - b x —> b de donde — = —— —» vdx + xdx = 0 integrando x 2 + y 2 = Rx x dy

Hallar la curva para la cual, la razón del segmento interceptado por la tangente en el cji

OY, al radio vector es una cantidad constante positiva.

Solución

Por dato se tiene: — = c La ecuación de la redid2

tangente es: Lt : y — y0 = m(x — x0) , de donde

L, ■ y = y ' (x 0) x - y \ x 0)x0 + y 0

para x = 0 se tiene d ] = y0 - y' (x0) x0 además d2 = yjx^ + y2t , luego :

y0-y '( x 0)x0 y - y ' x— - — — — c, generalizando se tiene: ..... = c

\R¡ + y ¡

y - x y ' = c j x 2 + y2 =* (c\jx2 + y2 - y)dx + xdy = 0

Sea y = ux —> dy = udx + xdu

(c\lx2 + u 2x 2 - ux)dx + x(udx + xdu) = 0, para x # 0

(c\li + u2 - u)dx + udx + xdu = 0 => c\¡\ + u2dx + xdu = 0, separando las variables.

c — + —JÛ- = 0 integrando cLn (x )+ Ln(u + \¡l + u2) = Lnk* V H v

r___ I ~ + 2"Lnxc (u + \J\ + u~) = Lnk => x (u + \ + u‘‘ ) — k, de donde : xc (— + —------ -—) =• k

y + \Jx2 + y2 = kx] c => \Jx2 + y2 = kx' c - y, elevando al cuadrado


2 2 , 2 2 ^ ” C 1—C 2 i i i 1 » 1 - C 1x + y = x - 2kyx + y , de donde y = —kx - — .A+c

D Hallar la línea para la cual la subnormal en cualquier punto sea a la suma de la abscisa y

la ordenada como la ordenada de este punto es a la abscisa.

Solución

Sea P (x,y) un punto cualquiera de la línea.

dyLa subnormal en el punto P(x,y) es y

dx

Luego de acuerdo a las condiciones del problema se tiene:

dyx — = x + y - » (x + y )dx -xdy = 0

dx

x dy - y dx = x dx de dondexdy - y dx dx

d (—)=- — integrando — - Ln(xc) —> y = xLn(xc)X X X

Hallar la línea para la cual la distancia que media entre la normal en cualquier punto suyo

el origen de coordenadas y la que media entre la misma normal y el punto (a,b) están en

razón constante e igual a k.

Solución

A,Sea L, : y = mx + A —> mLN : y = ------(- c

m

■ b + a

d i = - j ^ L y d 2 = m ~ c1 +

m1 + -

condición del problema: — = k de donde d { = kd9 considerando c positivo


se tiene:(b + -----c)

= k- m

1 + - 1 +1

c = k (b+ - c ) como y = - + c m m

T X 1 , . aLuego: y + — = k (b i------------- y -)m m ' m

my + x = k (bm + a - my - x)

t dy

[a k - (k + 1) x] + [kb - (k + 1 ) y] m = 0

[ak - (k + l)x ] + [kb — (k + l )y ]— = 0 =» fak - (k + 1 ) x] dx + [kb - (k + 1 ) y] dy = 0dx

■ , , k + 1 2 ,, k +1 iintegrando: akx---- ---- x~ + kby---- — y~ = c¡

1 2 1 k ,x + y -------- (ax + by) = ck + 1

Hallar la curva que posee la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del

origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto.

Solución

Por dato del problema se tiene: d = x„

además m Lt\p = y ’ (x 0), y la ecuación de la

recta tangente es: Lt:: y - y0 = m L t(x~ x0 )

7 Es decir: t:xy’ (x0) - y + y0 - yx0, y ’ ( x 0) = 0L. '

d (0 ,L t )= ^l> , por condición del problema se tiene: d(0, Lt) = x0yj[y’(x0) f +1

1 y o ~ x 0 y '(x0)|

■yjl + \y\x0) ] 2: x0 generalizando en cualquier punto

i = x - » | y - xy ' ¡ = y j i+ (y ' )2.. V 1 + ( y T


y 2 - Ix y y '+ x 1 y '2 = x 2 + x 2y'2 de donde y 2 - x 2 - 2xyy' = 0 => ( y 2 - x 2)dx-2xydy = 0

Sea y = ux —> dy = udx + xdu

2 2 2 2 (u~x — x )dx — 2x u (ud x - xdu) = 0 para x ^ O

(w - \)dx - 2u'dx - livcdu = 0 => —(u +1 )dx — luxdx = 0, separando las variables.

dx 2 udu . t— + — ---- = 0 integrando Lnx + Ln(u~ + 1) = Lnkx u~ +1

de donde se tiene: Lnx(u 2 +1) = Lnk => x(u 2 +1) = k

y" ? !reemplazando u se tiene: x (— + l ) = k => x + y = kxOX“

Dada la figura adjunta, determinar todas las curvas para las cuales PR es tangente y

al mismo tiempo es QR ortogonal al radio vector OP

Solución


RQ a eje y => x = 02 2

>’ = — => OR = —y y

(2)

d e ( l ) y (2) se tiene: O T = ............ (3)yy'

... (3)

T: y - y 0 = y '( x - x 0)

T a eje y => x = 0 => OR = y -x y '

X 2 2 2de (2) y (4) se tiene: — = y - x y ' => (x - y )dx + xydy = 0

y

(4)

Sea y = ux dy = udx + xdu

(x 2 - » 2x 2 )dx + x 2 y(u dx + x du) = 0 => (1 — u~ )dx + u ~dx + xudu = 0

dx + ux du = 0 => — + udu = 0 , integrando Lnx + — = c => Lnx2 + —— = kx 2 v2

12) Calcular la curva para la cual la longitud de la porción de la normal comprendida entre la

curva y el eje X es proporcional al cuadrado de la ordenada.

dy_______■ = dx integrando — ln | ky + J k 2y2 +1 \ = x + c

f i v + \ k


~ ln I y + J y 2 + ~2 1 = x + c i l n l y + J r + - I \ = kx+kclkx

b. PRO B LEM AS PROPUESTOS.

La normal en el punto p(x.y) de una curva corta el eje de las x en M y al eje de las y en

N. Hallar la ecuación de las curvas para las cuales p es el punto medio de MN.

Rpta. y ‘ = k

Determinar una curva tal que si por un punto M de ellas se traza la tangente MA a la

parábola y 2 = 2 p x , la tangente M T a la curva buscada es paralela a OA.

Rpta.

x = co

_ (O

c +3 ct)3

c + í J L3ft)3

d\

dx

(O

El eje de las x, la tangente y la ordenada en cada punto de una curva forman un

triángulo de área constante k. Hallar la ecuación de la curva, obteniendo los valores!

correspondientes de k y de la constante de integración, suponiendo que pasa por los j

puntos (0,4) y (1,2). Rpta. y + xy - 4 = 0

Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,2) y tal que la tangente en un

punto cualquiera p y la recta que une este punto con el origen determinan ell2 I - *

ángulo complementario con el eje de las x. Rpta. y~ - x~ - 3

La parte de la normal comprendida entre el punto p (x,y) de una curva y el eje de lasj2 2 21

x tiene una longitud constante k. Hallar la ecuación de la cu,:. a.Rpta. y + ( * —c) = k |

jLa normal en el punto p (x,y) de una curva corta al eje de las x en M y al eje de las y en:

N. Hallar la ecuación de las curvas, para las cuales N es el punto medio de PM.1 2 Rpta. y~ + 2x = k

Las normales en todo punto de una curva pasan por un punto fijo. Hallar la ecuación de

la curva. Rpta. ( x - h ) + ( y — k ) = R

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

©

189

©

©

@

O )

Hallar la ecuación de una curva, tal que el área comprendida entre la curva, el eje de las

x, una ordenada fija y una ordenada variable, sea proporcional a la diferencia entre estas

ordenadas. Rpta. y — A ek

El área del sector formado por un arco de una curva y los dos radios que van desde el

origen a sus extremos, es proporcional a la diferencia de esos radios. Hallar la ecuación

de la curva. Rpta. i (6 + c) + 2k = 0

El arco de una curva es proporcional a la diferencia de los radios trazados desde el origen

0 ca sus extremos. Hallar la ecuación de la curva. Rpta. L n (£ ) :

-1

El área limitada por y = f(s), el eje de las x, y dos ordenadas es igual al producto de

las ordenadas.Comprobar que f(x ) = 0 es la única solución.

El área limitada por el eje de las x, una curva y dos ordenadas es igual al valor medio

de las ordenadas multiplicado por la distancia entre ellas. Hallar la ecuación de la curva.

Rpta. y c ( x ~ x 0) ,y

Hallar la línea que pase por el punto (2,3) y cuya propiedad sea la siguiente: el segmente'

de cualquier tangente suya comprendido entre los ejes de coordenadas se divide en dos

partes iguales en el punto de contacto. Rpta. xy = 6

Hallar la ecuación de una curva tal que la suma de los intersectos de la tangente

en cualquier punto es una constante k. Rpta. y = ex + kc

La tangente a una curva en cualquier punto, forma con los ejes de coordenadas

ckun triángulo de área 2k. Hallar la ecuación de tal curva. Rpta. y = ex ±y¡\ + c 2

Por cada punto de una curva se trazan paralelos a los ejes para formar un rectángulo

con dos lados sobre los ejes. Hallar la ecuación de la curva sabiendo que cada

rectángulo de esta clase queda en dos partes cuyas áreas son el doble una de la otra.

Rpta. y 2 - ex ó x 2 = ey


I fallar la ecuación de la curva cuya normal en cualquier punto pasa por el origen.

'y 2 2Rpta. x + y = c

Si el producto de las distancias de los puntos (-a,0) y (a,0) a la tangente de una curva

en cualquier punto en una constante k. Hallar la ecuación de dicha curva.

Rpta. y — cx±yjk + (k + a2)e

Hallar una curva que pasa por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de ¡

la tangente en cualquier de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto,!3 x

aumentada tres veces. Rpta. y = - l e

Hallar la línea que pase por el punto (2,0) y cuya propiedad sea la siguiente: el segmento j

de la tangente entre el punto de contacto y el eje de ordenadas tiene la longitud constante !

e igual a dos. Rpta. y = v 4 - x + 2 ln2 - 4 A - x 2

Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n

veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.

Rpta. y = kx"

Hallar todas las líneas para las cuales el segmento de la tangente comprendida entre

el punto de contacto y el eje de las abscisas se divide en dos partes iguales en el2

punto de intersección con el eje de ordenadas. Rpta. parábolas y" = ex

2Encontrar las curvas cuyas subnormales son constantes. Rpta. y" = 2kx + c

Hallar todas las líneas para las cuales la subtangencias sea proporcional a la abscisa

del punto de contacto. Rpta. yk - ex

Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten2 2

de un punto dado, al reflejarse, son paralelos a una dirección dada. Rpta. y~ - 2ex + c ¡

\plicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 191

(¿ft) Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de

ordenadas por la normal a cualquiera de sus punto, es igual a la distancia desde este

1 7 1punto al origen de coordenadas. Rpta. y = — (ex — )

2 e

(27) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la

magnitud del segmento interceptado en el eje O y por la normal, es igual al duplo del

cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas. Rpta. .t2 + y2 = e.\1

( ís ) Hallar la línea que pase por el punto (a ,l) y cuya subtangente tenga la longitud

e ( x - a )constante a. Rpta. _v :

q

(29) Hallar la línea para la cual la longitud de la normal sea la magnitud constante a.

Rpta. ( x - e y + y = a~

(30) Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenadas un triángulo tic, 2 2area constante S = 2a~. Rpta. xy = ±a~

Hallar la línea para la cual la suma de las longitudes de la tangente y de la subtangente en

cualquier punto suyo sea proporcional al producto de las coordenadas del punto de

contacto. Rpta. y = —\r\\e(k2x 2 -X)\k

( 32) Hallar la curva por la cual el segmento de la tangente, comprendido entre los2 2 2'

ejes coordenadas tiene una longitud constante a. Rpta. x 3 + y3 = a3

( 33) Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto

(excepto en x = 0) se biseca por el eje x. Rpta. y " + 2 x 2 = 6

( 34) Hallar una curva que pase por el punto (0,1) y que la subtangente sea igual a la ‘.urna <!<•X

las coordenadas del punto de contacto. Rpta. y = ey

Eduardo Espinoza Ramos.

En todo punto P en una curva, la proyección de la normal sobre el eje x y la abscisa de

P son de longitud igual. Encontrar la curva que pasa por un punto (2,3).

Rpta. y2 - x~ = 5 ó x~ + y" =13

Hallar la línea para la cual el cuadrado de la longitud de un segmento recortadc

por cualquier tangente del eje de ordenadas, sea igual al producto de las coordenadas del

punto de contacto. Rpta. x = ce ' '

Hallar la curva, sabiendo que la suma de los segmentos que intercepta la tangente a

la misma en los ejes de coordenadas es constante e igual a 2a. Rpta. y - (\¡2a ± sfx)2

La suma de las longitudes de la normal, y de la subnormal es igual a la unidad. Hallar la

ecuación de la curva, sabiendo que esta por el origen de coordenadas. Rpta. y " = 1 - e

Encontrar la curva en el punto (0,2) tal que la proyección de la tangente sobre el eje

; siempre tenga la longitud 2. Rpta. y ' = 4e

Hallar la curva, para la cual, ángulo formado por la tangente con el radio vector del punto__ „„a<l>

de contacto es constante. Rpta. r - ce

Hallar la línea por la cual la ordenada inicial de cualquier tangente es igual a la

subnormal correspondiente. Rpta. x = y Ln (cy)

Encontrar la familia de curvas que tienen las siguientes propiedades: la perpendicular del2 2

origen a la tangente y abscisa de tangencia son de igual longitud. Rpta. x + y - ex

Encontrar la curva que pasa por el punto (2,1) tal que la intersección del eje X

2 2-(“ > 1la tangente es el doble de la ordenada del punto de tangencia. Rpta. y ' - e 'con

Hallar la curva, sabiendo, que el área comprendida entre los ejes de coordenadas,

esta curva y la ordenada de cualquier punto situado en ella, es igual al cubo de esta

ordenada. Rpta. 3>’2 - 2 x = k


©

( 45) Hallar la curva, para la cual, el segmento que intercepta la tangente en el eje OX, e igual

2 2 2a la longitud de la propia tangente. Rpta. x + (y - b) = b~

Hallar la línea para la cual la ordenada inicial de cualquier tangente sea dos

unidades de escala menor que la abscisa del punto de contacto. Rpta. y = ex - x Ln |x| - 2

Hallar la curva, para la cual, el segmento de tangente, comprendido entre los ejes de9 2 MI

coordenadas se divide en dos partes iguales por la parábola y~ = 2 x . Rpta. y + \ 6x = 0

Encontrar las curvas para las cuales cada normal y sus intersección con x tiene la2 2misma longitud. Rpta. x" + y - e x

Hallar las curvas en el plano X Y para las cuales, el segmento de cada

tangente, comprendido entre los ejes de coordenadas, es bisecado por el punto de

tangencia. Rpta. xy = c

Hallar las curvas en el plano xy para las cuales, la pendiente de las normales en todos sus

puntos es igual a la razón de la abscisa a la ordenada. Rpta. xy = c

( s i ) Hallar la línea para la cual la longitud de su normal sea proporcional el cuadrado de la

ordenada. El coeficiente de proporcionalidad es igual a k. Rpta. y = — [ e ^ 0 +e~Uy+r) |2 k

©

©

©

Hallar la curva, para la cual, la normal a cualquiera de sus puntos es igual a la distancia

desde este punto hasta el origen de coordenadas. 2 2 7 ?Rpta. y — x = c ó x ~ + y = c

Hallar la línea para la cual el área comprendida entre el eje de abscisa, la misma linca

y dos ordenadas una de las cuales es constante y la otra variable, sea igual a la relación2 o 3 9

del cubo de la ordenada variable a la abscisa variable. Rpta. (2 y —x ) = ex'

Hallar la ecuación de las curvas que corta al eje de abscisas en x = 1 y que tiene

la siguiente propiedad: la longitud de la subnormal en cada punto de la curva es igual al

promedio aritmético de las coordenadas en este punto. Rpta. (x + 2y)(x - y)3 = I


Una curva que se halla en el primer cuadrante pasa por el punto A(0,1), si la

longitud del arco comprendido entre A(0,1) y un punto de la curva p(x,y) es

numéricamente igual al área limitada por la curva, el eje X, el eje Y y la coordenada del

ex + e~xpunto p(x,y). Encontrar la ecuación de la curva. Rpta. y = --- — —

La normal en cada punto de una curva y la recta que un dicho punto con el origen

de coordenadas forma un triángulo isósceles cuya base está en el eje de abscisas.]2 2

Hallar la ecuación de la curva. Rpta. x~ - y = c

Hallar la ecuación de la familia de curvas en el plano xy de tal manera que el triángulo

formado por la recta tangente a la curva, al eje de las abscisa y la recta vertical que

pasa por el punto de tangencia siempre tiene una área igual a la suma de los cuadrados de

2 x + 4 ylas coordenadas del punto de tangencia. Rpta. ln cy = —j== arctg(— ==—p

x

Hallar la curva para lo cual el segmento de tangente comprendida entre los ejes9 2 1

coordenados se divide en partes iguales por la parábola y ' = 2 x . Rpta. y" + 16x = 0

Hallar la línea para la cual el área del rectángulo construido sobre la abscisa de cualquier

punto y sobre la ordenada inicial de la tangente en ese punto es una magnitud constante

2 a2e igual a (a ) . Rpta. y = ± — + xc

2x

Encontrar la ecuación de una curva tal que si se traza una normal en un punto M

cualquiera de ella encuentra al eje x en el punto P, y la línea que une los puntos medios de

M P describe una parábola de ecuación y = 36.v.

Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,0) y goza de la siguiente

propiedad: “ si por un punto cualquiera P de ella se traza la tangente geométrica y la

normal respectiva, la tangente corta el eje Y en T y la normal corta al eje x en N resulta2 2

TN perpendicular a, OP, siendo O el origen de coordenadas. Rpta. x + y = x


(62) Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2,1) y para la cual el área del

triángulo que forma el eje x de abscisas, la tangente a la curva en cualquiera de los

puntos y el radio vector de dicho punto, sea constante e igual a 4 unidades cuadradas.

4Rpta. x = ------2y

y

^ 3 ) Determinar la ecuación de una curva que pasa por (1,1) y tenga la siguiente propiedad:

por un punto P de ella se traza la recta tangente y la recta normal de modo que la primera

corta al eje de las y en el punto A y la segunda al eje de las x en el punto B.

cumpliéndose la siguiente condición OA = O B , donde O es el origen de coordenadas.

2 2 yRpta. ln(x" + y ) + 2arctg — = cx

( m ) Supongamos que un halcón H, se encuentra en el punto (1,0) y divisa una paloma Q en el

origen volando en dirección del eje y, con una velocidad V. el halcón vuela

inmediatamente en dirección de la paloma con una velocidad w = 2V ¿Cuál es la

trayectoria que debe seguir el halcón y en que punto alcanzaría a la paloma?

, x -, - a ■ > ■ 2aRpta. y = (—).(—) — (ax)~ + — ecuación trayectoria (0,— ) es el punto pedido.

3 a 3 3

(65) Determinar la ecuación de la familia de curvas que gozan de la siguiente

propiedad: El área del trapecio por lo ejes coordenados, la tangente en un punió

cualquiera de la curva y la ordenada del punto de tangencia sea siempre igual a, b3unidades cuadradas. Rpta. 3(cx' - x y ) = 2b

El triángulo formado por la tangente a la curva, el eje de las abscisas y la recta vertical

que pasa por el punto de tangencia siempre tiene un área igual a la suma de los cuadrados

de las coordenadas del punto de tangencia.

(u y El área del triángulo formado por la tangente a la curva, el eje de abscisas y la normal a la

curva es igual a la mitad del valor de la abscisas de intersección de la recta tangente.

(f>x) La normal en cada punto de una curva y la recta que une dicho punto con el origen de

coordenadas forma un triángulo isósceles cuya base está en el eje de abscisas. Hallar la

ecuación de la curva.


Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (3,5), que tiene la siguiente

propiedad: “ La normal en cualquiera de sus puntos y la recta que une el punto

considerado con el origen de coordenadas forman un triángulo isósceles con base en el eje

de abscisas Rpta: y 2 —jc2 =16

Sea una curva C en que la tangente y la normal de la curva C en un punto P(x,y) corten al ,

eje X en A y y al eje Y en B y B] respectivamente. Además considere el punto E

(x,0) y 0 el ángulo que forma A P con el eje X. Considere a los segmentos como distancias

dirigidas. Determine la ecuación de la curva si el área del triángulo PEAi es igual a una

constante k. Rpta: y = 6 kx + c

Hallar la curva cuya propiedad consiste en que el producto del cuadrado de la distancia

entre cualquiera de sus puntos y el origen de coordenadas por el segmento separado en el

eje de las abscisa de ese punto. Rpta: y 4 + 2x 2 y 2 = c

Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (2, 4) y es tal que: “La abscisa del

centro de gravedad de la figura plana limitada por los ejes coordenados, la curva y por la

3ordenada de cualquiera de sus puntos, sea igual a — de la abscisa de este punto” .

Rpta: y = x 2

Encontrar la ecuación de una curva tal que si se traza una normal en un punto M

cualquiera de ella encuentra al eje X en el punto P. y la línea que une los puntos medios

__________ X

de M P describe una parábola de ecuación y 2 = a x Rpta: y2 = ax + a2 + c lea

Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,3) para la cual: “La ordenada

PN de cualquier punto P(x,y) corta a la recta 2x + y - 10 = 0 en un punto Q y si sobre PN

tomemos un punto M tal que PM = NQ entonces la recta OM resulta paralela a la recta

tangente a la curva en P” . Rpta: y = 2x ln x + 10 - 7x

Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (4, 8) y es tal que: “La tangente de la

curva en un punto P(x, y ) cualquiera de ella corta al eje X en un punto M equidistante del

punto P y del punto A(0,4 )” . Rpta: — + — + y - cA)


© Se da un punto sobre el eje y, M (0,b): se pide calcular la ecuación de una curva que goza

de la siguiente propiedad: "Si un punto P(x,y) cualquiera de la curva, se traza una

tangente a la curva, esta corta al eje X en el punto R, que equidista de M y P, además la

9 9 9 7 4 -{■ Z?curva pasa por el punto (7,5). Rpta: x + y~ +b~ = y (— -— )

( 77 ) Hallar la ecuación de las curvas para las que el radio de curvatura proyectado sobre el eje

X, es el doble de la abscisas. Haga el correspondiente gráfico.

Rpta: y = -^ rJx (c i - x ) + — arctg — — + c,C, V q - J C

Si X ( t ) = f ( t - s ) e (' s)esds . Calcular el valor de: X " ( t ) + 2 X ' ( t ) + X ( t )Jo

( 79) Determinar la curva tal que:

a) Cuya subnormal es la media aritmética de la abscisa y la ordenada del punto de esta

curva. Rpta: ( y - x ) 2(x + 2y) = c

b) Cuya subtangente es la media aritmética de la abscisa y la ordenada del punto de

esta curva. Rpta: ( y - x ) - ky

Hallar la curva para la cual el segmento de tangente comprendida entre los ejes

coordenadas se divide en partes iguales por la parábola y 2 = 2 x . Rpta: y 2 +16 v = 0

a) Graficar y hallar la ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un

punto cualesquiera M forme un ángulo 0 con el eje OX y que se verifique

K0 - 0 = — . siendo <¡> el ángulo que Om forme con OX.

4

b) Resolver la ecuación diferencial hallada en (a).

c) Hallar, partiendo de la ecuación diferencial, la relación entre el radio de curvaiuia en

M y OM.

( « f l

Eduardo Espinoza Ramm

■ >i < * > I pitillo de corto de la tangente a una curva en P(x,y) y el eje y. Si la circunferencia

ruyo diámetro es QP pasa por un punto fijo F(a,0). Hallar la ecuación y resolver*

Graficar.

La normal en un punto P de una curva encuentra al eje X en Q. Encontrar la ecuación do I

la curva si pasa por el punto (0,b) y si el lugar geométrico del punto medio de PQ es I

y 1 = k x .

Sea A el punto de corte de la tangente a una curva en P(x,y) y el eje Y, si la 1

circunferencia cuyo diámetro es AP, pasa por un punto fijo (a,0). Hallar la ecuación de la í

curva.

3.2. TRAYECTORIAS ORTOGONALES.-

Consideremos una familia de curvas planas.

f ( x , y , c ) = 0 ... (1)

donde cada valor del parámetro c representa una curva.

Los problemas que se presentan en los campos tales como Electrostática, Hidrodinámica i

y termodinámica es de encontrar una familia de curvas que dependen de un parámetro k. 1

g (x ,y ,k ) = 0 . . . (2)

Con la propiedad que cualquier curva de (1) al interceptar a cada curva de la familia (2)1

las rectas tangentes a las curvas sean perpendiculares.

Y

a las familias de las curvas (1) y (2) se denominan trayectorias ortogonales.

dilaciones de las Ecuaciones Diferenciales 199

©

Observación. Como ejemplo veremos los casos siguientes:

© En el campo Electrostático, a una familia de curvas se denomina curvas Equipo

tenciales y la otra familia de curvas denominan líneas de fuerza.

© En el campo Hidrodinámico, a una familia de curvas se denomina curvas de

potencial de velocidad y otra familia se denomina líneas de corriente o líneas de

flujo.

© En el campo Termodinámico a una familia de curvas se denomina líneas isotermas

y a la otra familia de curvas denomina líneas de flujo de calor. Si se tiene la

familia de curvas (1), para encontrar la familia de curvas (2), primero se encuentra la

ecuación diferencial de la familia dada en (1) y despejamos y' obteniendo.

F (x , y ) ...(3 )

Como la pendiente de las trayectorias ortogonales debe ser la inversa negativa de la

... (4)pendiente (3) es decir:1

yF (x ,y )

Luego las trayectorias ortogonales de la familia dada se obtiene resolviendo la

ecuación diferencial (4).

a. Ejemplos

Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parábolas con vértice en el origen \

foco sobre el eje X.

Solución

La ecuación de la familia de parábola es de la forma: >’ = 4 px , p * 0

r

dy

— = 4p diferenciando se tiene: ^ 0 => 2 x d y - y d x = 0

— — — y la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales son: — = - — de dx 2x dx y

2 ydonde 2x dx + y dy = 0 resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene x~ + <

c 0 luego las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas son las elipses de centro

en el origen.


Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centro en el

origen de coordenadas.

Solución

La ecuación de la familia de circunferencias de centro en el origen es de la forma:2 2

x + y = c , su ecuación diferencial se obtiene diferenciando. 1

se tiene x dx + y dy = 0dy _ x

dx y

y la ecuación diferencial de las trayectorias

dy yortogonales es — = — resolviendo esta ecuación

dx x

se obtiene:dy dx

ln y = ln kx => y = kx,ly x

Luego las trayectorias ortogonales a la familia de

circunferencias son la familia de rectas y = kx.

Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las hipérb ! . equiláteras de centro en el

origen de coordenadas.

Solución

, / 2 2 La ecuación que corresponde a una familia de hipérbolas es: x - y = c, e * 0, su

ecuación diferencial se obtiene diferenciando a la ecuación, x dx - y dy = 0 de donde

dy x— = — , y la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es:dx y


dy x dy dx ,— = — => — + — = ln k ,dx y y x

de donde Ln yx = Ln k => xy = k ecuación de la familia de las trayectorias ortogonales.

( í ) Encontrar las trayectorias ortogonales de las circunferencias que pasan por el origen

con centro en el eje X.

Solución

2 2La ecuación que corresponde a esta familia de circunferencias es: x " + y = < v. su

ecuación diferencial se obtiene diferenciando a la ecuación

2xy — = y2 - x 2 => — = —---- — y la ecuación diferencial de las trayectoriasdx dx 2 xy

dy 2xv , .ortogonales es: — = —-— resolviendo esta ecuación

dx v - x

©

2 xydx - x2dy = - y 2dy2 xydx - x2dy x

= —dy => d (— ) = -dy integrando se ti'-ncy

- = - y + lc => x2 + y2 = ky ecuación que corresponde a las trayectorias ortogonalesy

que son circunferencias con centro en el eje Y.


2 2Encuéntrese la trayectoria ortogonal que pase por (1.2) de la familia x + 3y = rv

Rpta: y" = x “ (3x + 1)


© Encontrar las trayectorias ortogonales de ax + y2 = kx donde a es un parámetro fija y

k es una constante. Rpta: y = c [ ( a - 2 ) x 2 - y 2], a ^ 2 ; yey = c para a = 2 J

© Encontrar las trayectorias ortogonales de eos y - acoshx = k senhx, donde a es una 1

constante fija y k es un parámetro.*•<,- I

© Probar que las trayectorias ortogonales de y = ln | tg(x + sen x + k) | es 2senh x + tg — = c I

© Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dadas.

a) y = ax , a es un parámetro Rpta: x +ny = k

b) x2 + ~ ~ = a2 Rpta: y" = 2 bx

2c) x2 - ^ - = a2 Rpta: xy3 = b

2 2 3d) ,v - .vy + y = c Rpta: x ~ y = k ( x + y)

© Encontrar las trayectorias ortogonales, que pasan através del punto especificado, de

cada una de las siguientes familias de curvas.

■") Oa) y~ = kx, (-2 ,3 ) Rpta: 2x~ + y" - 17

b) y " = x 2 + ky ,( 1,-2) Rpta: x 3 + 3xy~ = 13

c) y2 = 2 x + l + ke2x , ( o ,e ) Rpta: x = y2[\- Lny]

© Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de elipses con centro en (0,0) y

dos vértices en (1,0) y (-1,0) Rpta: x 2 + y2 = 2 Ln(kx)

© Encontrar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas.


a) (x — 1) + y~ + kx. = 0 Rpta: + y 2 - 1 = cy

b)2 2 , - 3

x = y + ky2 2

Rpta: 'bx" + y - e x

c)2 3

y = ex Rpta: 2x~ + 3 y " = k~

d) x . -y e + e = c Rpta: ey - e x = k

e) y = ce Rpta: y = \¡2x + k

f) y = tg x + cx sen 2x

Rpta: y = --------------- + k2 4

8) x 2 + 3y2 = ky . Rpta: y 2 - x 2 = ex3

h) y = k(sec x + tg x) Rpta: y 2 = 2(c - sen x)

( í ) Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por los

puntos P(0.-3) y Q (0,0). Hacer la gráfica para ambas familias.

Rpta: —------h y - 3 L « I 2y + 3 |= r2v + 3

(Tij) Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas >’ - x t g - ( y + k)

n 4- 2 . 2 ^Rpta: x 4- y - c e

(77) Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas P " = k ( P sen 0 - 1 )

(Í2 ) Encontrar la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curv;

b2r = 4acos0 tg0 Rpta: r ---- — — ---- —

cos '0 + 2sen"0

(Í3 ) La temperatura de una placa delgada está dada por T(x, y ) = e y cosx. Enconiiai

la ecuación de las líneas de flujo de calor. Rpta: y = Ln ¡sen x| + k

(77) Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencia que pasan por lo

puntos (0,0) y (2,0). Rpta: x 2 4 y" + k ( l - x ) = 0

Eduardo Espinoza Ramos Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 205

I lallar la ecuación de la familia de trayectoria ortogonales a todas las circunferencias

que pasan por el origen de coordenadas y cuyo centro está en la recta y = x.

Rpta: x +y~ = ( y - x ) k

Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisface la

siguiente propiedad; la recta tangente a las curvas en cualquier punto P, es la bisectriz

del ángulo determinado por la recta vertical que pasa por P y la recta que une P con

el origen de coordenadas.x~c

Rpta: y = '—~ + c

Hallar el valor de “m” de modo que x ' + y + 25 = kx sea las trayectorias ortogonales

2 ^de las circunferencias x + y - 2cy = 25 Rpta: m = 2

Una familia de curvas goza de la siguiente propiedad: si por un punto cualquiera P(x,y),

de cualquiera de las curvas que componen la familia, se traza la recta normal, el segmento

de normal comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante de 4

unidades de longitud; se pide hallar la ecuación de la curva, que pasa por el punto

(4,0) y es ortogonal a la familia de curva que se menciona.

Hallar la ecuación de la familia de trayectoria ortogonal a la familia de curvas, que

cumple la propiedad “si por un punto cualquiera de las curvas de la familia, se trazan la

recta tangente y normal a la curva, el área del triángulo formado por las rectas tangente y

kx2normal con el eje y es igual a — - donde k es la ordenada del punto, en que la tangente

intercepta al eje y.

Demostrar que la familia de trayectorias de la familia ( x - y ) ( 2 x + y )" = Lx con una

rotación de 90° en el origen está dado por (jc+ y ) ( x - 2 y ) 2 - cy6.

Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto P (2 ,l) y para la cual el área del

triángulo que forman el eje X, la tangente a la curva en cualquiera de sus puntos y el radio 1

vector de dicho punto es una constante e igual a ku2.

Determinar una curva tal que si por un punto M de ella se traza la tangente MA a la

parábola y 2 = 2 p x , la tangente a la curva buscada es paralela a CA. ■

'S

§>28)

Determinar una curva tal que si por un punto M de ella se traza la tangente MA a la

parábola y 2 = 2 p x , la tangente M T a la curva buscada es paralela a OA.

Encontrar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas definida por

(jc -1 )2 + y 2 +kx = 0

Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia y = x tg— (y + &)

Hallar la curva que pasa por el punto (1,1) y corta a las parábolas semicúbicas y 2 - kx1

Encontrar las trayectorias ortogonales de y = ln tg(x + senx + k)

Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia de circunferencia que pasan por el

origen y con centro en el eje Y.

Hallar las trayectorias ortogonales de la función de curvas C : 2ay2 = x ( x 2 + y 2) donde

a > 0 es una constante.

Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = 2cix2 +1

Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x 2 - ay2 =1

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas ( - a - x ) y 2 = x 2( x - l a )

Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisfacen la siguiente

propiedad; “La recta tangente a una de la curva en un punto cualquiera P, es la bisectriz

del ángulo determinado por la recta vertical que pasa por P y la recta que une P con el

origen de coordenadas” .

Hallar la ecuación de las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisfacen la

propiedad: “ Si por un punto cualquiera P(x,y) de una de las curvas se trazan la recta

tangente y la recta normal a ella, entonces el área del triángulo formado por la recta

vtangente, el eje x, y la recta normal es siempre igual a — - .

(32)

(33)

Eduardo Espinoza Ramos Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 207

Una familia de curvas goza de la siguiente propiedad: ‘ ‘Si por un punto cualquiera P(x,y)t, 1

de cualquiera de las curvas que componen la familia, se traza la recta normal, el segmento 1

de normas comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud e igual a 6 1

unidades” . Se pide hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (6,0) y es 1

ortogonal a la familia de curvas que se menciona.

CAMBIO DE TEMPERATURA.-

La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de temperatura de

un cuerpo en cualquier tiempo t, es proporciona! a la diferencia de las temperaturas del I

cuerpo y del medio circundante en el tiempo t. Consideremos a T la temperatura del 1

cuerpo en el tiempo t y a Tm la temperatura del medio circundante y a T0 temperatura fl

inicial del cuerpo (t = 0).

Como la variación de la temperatura puede ser que aumente o disminuya.

Luego de acuerdo a la Ley de enfriamiento de Newton se expresa mediante la ecuación

diferencial.

— = k (T -T m ) ó - — = - K ( T - T m ) ya sea que aumente o disminuya, donde k es el dt dt

factor de proporcionalidad.

Si — = - k ( T - T m ) =$ — + KT = kTm que es una ecuación diferencial lineal de dt dt

primer orden y su solución es: T = e~k' [ I eh .kTm dt + c] de donde T - T m + A e ~ k‘

además se debe cumplir que para t = 0, T - T(). Luego T - Tm + (T( ) - T m )e ’k'

DESCOMPOSICION, CRECIMIENTO Y QUÍMICAS.-

REACCIONES

La rapidez de descomposición de una sustancia radiactiva en un tiempo particular t es

proporcional a la cantidad presente en ese tiempo.

La rapidez de crecimiento del número de bacterias en una solución es proporcional al

número de bacterias presente. Si S representa la masa de una sustancia radiactiva presente

en el tiempo t, o el número de bacterias presente en una solución en el tiempo t, entonces

dSla Ley de descomposición y de crecimiento, esta expresado por - — = —KS para la

dt

descomposición y — = KS para el crecimiento, en donde K es un factor de dt

proporcionalidad.

Como — = KS , las variables s y t son separables. Luego: — = kd t , integrandodt s

Ln(s ) = kt + c —» S = Aek' que es la solución general. Si S 0 representa a la cantidad

inicial es decir: 5 = S0, cuando t = 0, S() = .4

PR O B LEM AS RESUELTOS

Según la Ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es

proporcional a la diferencia en la temperatura T del cuerpo y la temperatura Tm del aire.

Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C a

60°C.¿En cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C?

Solución

Sean T = temperatura del cuerpo ; Tm = Temperatura del aire = 20°C

T0= Temperatura inicial

La descripción matemática es: - - k ( T —Tm)dt

y la solución de acuerdo a lo descrito es: T = Tm + (7q - Tm)e

para t = 20° , T = T0 = 60°C Entonces:

-kt

60=20+(100-20)e -20* 40 = 8 Oí'-20 K £ = +Ln 2

20

IH>1 Ui luniu

para t = ?

A = 2~'/20 8


- Ä /' = 2Ü + 8ÜÍ- 20

T = 30° C

T = 20 + 80eLn2 ' -ti 20

7 = 20 + 80.2 i/20

30= 20 + 80.2 -i/20

2-3 _ 2~'/20f = 60'

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Sea S = cantidad de sal por disolverse

dsLa descripción matemática es: — = ks . k factor de proporcionalidad

dt

La solución de la ecuación diferencial es:

S = A ékt ’, determinaremos A. para t = 0, s = 2 kgr. —> A = 2

209

Determinar el camino S recorrido por un cuerpo durante el tiempo t. Si su velocidad es

proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo recorre 100 mts. y en 15 segs.

200 mts.

Solución

dsSean S = el camino recorrido ; t = tiempo en segundos; V= — = velocidad del cuerpo

dt

La descripción matemática es: — = ksdt

La solución de la ecuación diferencial es: S - Ae ' , para t = 10 seg. S = 100 mts.

100reemplazando se tiene: 100 = Aewk —» A =

10 A'

200para t = 15 seg. S = 200 mts., reemplazando se tiene: 200 - A e —> A = —— ... (2)

e

igualando (1) y (2) se tiene: K ■■Ln( 2)

, reemplazando en f l ) o en (2) se tiene: A = 25.

Luego el camino recorrido es: S = 25.25

Cierta cantidad de una sustancia indisoluble que contiene en sus poros 2 Kgr. de sal

se somete a la acción de 30 litros de agua. Después de 5 minutos se disuelve 1 Kgr. de

sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal? I

Solución

©

Luego S = 2ekl, determinaremos k. para t = 5 min. s = 1 kgr. —> k =

-in (-) 1 -por lo tanto S = 2e5 2 —> 5 = 2(—) ?

para determinar t. se tiene que buscar el 99% de s es decir: S = 1.98 kgr.

1 - 1 - 5L«(0.99)entonces: 1.98 = 2(—)5 —> 0.99 = (—)5 . Luego: t = ------------------- ---------- min.

Ln( - )

Un termómetro que marca 18°F, se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 70°F,

un minuto después la lectura del termómetro es de 31°F. Determínese las

temperaturas medidas como una función del tiempo y en particular encontrar la

temperatura que marca el termómetro cinco minutos después que se lleva al cuarto.

Solución

Sean T = temperatura del cuerpo ; Tm = temperatura del cuarto = 70°F

La descripción matemática es: — = K ( T - T m ) , K es el factor de proporcionalidad. I .adt

solución de la ecuación diferencial es: T - T m + (T() - Tm )eu para determinar k s .ene:

t= 1 min., T = 31°, Tm = 70°F

39 39 3Luego 31 = 70 + (18-70)é>a ek = — de donde k = Lni1—) = L n ( - )

52 52 4

w

Eduardo Espinoza Ramos \plicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 211

/In(-f-)pot In tnnto: /' = 70-52e 4 La descripción matemática es: ^ = —fcc

para t = 5 min. T = ? se tiene: T = 7 0 -5 2 (—)5 = 58°F , T = 58°F4

La solución de la ecuación diferencial es: x = Be ' , determinaremos B.

A la 1 p.m. un termómetro que marca 70°F, es trasladado al exterior donde el ai:

tiene una temperatura de - 10°F a las 1.02 p.m. la temperatura es de 26°F a las 1.05

p.m. el termómetro se lleva nuevamente adentro donde el aire está 70°F, ¿Cuál es la

lectura del termómetro a las 1.09 p.m.?

Solución

Sean T = temperatura del cuerpo ; Tm = temperatura del aire = -10°F

clTLa descripción matemática es: — = K ( T - T m ) , k el factor de proporcionalidad

dt

La solución de la ecuación diferencial es: T = Tm + Aek> para t = 0, 7’ = 70 se tiene:

T = Tm + (T 0 - T m)e kl esto es a la 1 p.m. y a la 1.02 p.m. t = 2, t = 26°F

26 = -10 + 80<?2<: -> k = — ln(— )2 20

— In(— ) • 9 -Luego T = -10 + 80e2 8() es decir T = -10 + 80(— ) 2

9 -a la 1.05 p.m., t = 5min. se tiene: T = -10 + 80(— ) 2 —> 7’ = 0.88°F

20

Supóngase que una reacción química se desarrolla con la ley de descomposición si la

mitad de la sustancia A ha sido convertida al finalizar 10 seg. Encuéntrese en cuánto

tiempo se transforma nueve décimos de la sustancia.

Sea x = cantidad de la sustancia A

Solución

- k t

©

Determinaremos k, para esto se tiene: t = 10 seg. x = — . Entonces:

—10* ln(2)

10

— -ln(2 )Es decir. x = xQe 1(1 , ahora para t = ?, .v =

9x__o10

entonces: 9xo10

: xne 101" 2 - » — = 2 10 10

101n(— )ln — = - — ln(2) —> i - --------- ~ = 33seg. Luego: t = 33seg.

10 10 ln(2)

La conversión de una sustancia B sigue la Ley de descomposición. Si sólo una cuarlí

parte de la sustancia ha sido convertida después de diez segundos. Encuéntrese cuanu

tardan en convertir — de la sustancia.10

Solución

Sea x = cantidad de sustancia B. Según los datos del problema se tiene:

X * 0 3-yo

4%10

1 0 10 t

La descripción matemática es: — = -kx, k factor de proporcionalidaddt

Eduardo Espinoza Raimts

3xn.10f 4 dx pío 1 3

La solución es: 4 — = - x dx => k --------ln (- )J* x Jo 10 4

10

0 , r \ 10hV ■1 — = -£ dt => t = ----— = 8 0 «,g. t=80seg . 1

h ’ Jo ,„(3,4

Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas. Encontrar que tanto

tiempo toma el 90% de la radiactividad para disiparse.

Solución

Sea x = cantidad de la sustancia radiactiva. Según los datos del problema se tiene:

X x0 *2

9x01 0

t 0 38 t

La descripción matemática es: — - = —kx, k factor de proporcionalidaddt

*38La solución es: I = -A I dt —> k =»: \ 2 ^ = - k [

K x Jo 38

« 2 ) 1 "

J „ " 38 J / ' - * S o T - ' = 126a“os

Lina población bacteriana B se sabe que tiene una taza de crecimiento proporcional

a B misma, si entre el medio día y las 2 p.m. la población se triplica. A que tiempo, si no

se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que el medio día?

Solución

Sea x = cantidad de la población bacteriana B. Según datos del problema se tiene:

X xo 3,v0 1 (X)x0t 0 2 t


dxLa descripción matemática es: — = kx, k factor de proporcionalidad.

dt

f iX°dx , f 2 La solución de la ecuación es: I — = k I

J.X, X Jo

f m *°dx _ ln3 f '

J*, * 2 Jo

i ln 3) dt => k = ------

dt => t = ~ ^ = 8.38hrs. t = 8.38 horas.ln(3)

s.

(m ) Se sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad proporcional a su

cantidad de material presente. Un bloque de ese material tiene originalmente una musa

de 100 gr. y cuando se le observa después de 20 años, su masa ha disminuido a 80 gi

Encuentre una expresión para la masa de ese material como función del tiempo

Encuentre también la vida media del material.

Solución

Sea x (t) = cantidad de sustancia radiactiva en cualquier t la descripción matemática es:

dx(t)

dt■ = -kx (t )

Resolviendo la ecuación se tiene: x(t) = Ae k' determinaremos la constante A, para esto

se tiene:

Para t = 0, x (t) = 100 gr. —> A = 100, Luego reemplazando se tiene: x(t ) = 100e u

terminaremos la constante k. para esto se tiene:

para t = 20 años, x (20 ) = 80 entonces: 80 = 100e~2í)l -> ln (- )

Luego x (t ) = !00exp[— — ln(—)]20 4

(T i ) Un isótopo radiactivo del carbono, conocido como carbono 14 obedece a la Ley tic

decaimiento radiactivo ^ = KQ, donde Q(t) denota la cantidad de carbono Idt

presente en el tiempo t.


a) Determínese K, si la vida inedia del carbono 14 es de 5568 años.

b) Si Qq representa la cantidad de carbono 14, presente al tiempo t = 0. Encuentre una

expresión para Q como función del tiempo.

c) En años recientes se ha hecho posible hacer medidas que conducen a conocer la

Q (0razón

Qopara algunos restos de maderas y plantas que contienen |

cantidades residuales de carbono 14. Los resultados de a, y b, pueden usarse

entonces para determinar el tiempo pasado desde la muerte de estos restos, esto es,

el período durante el cual ha tenido lugar el decaimiento. Encuentre una expresión

para t en términos de Q, Q0 y K. Encuéntrese el intervalo desde que principió el

decaimiento, sí el valor actual de — es 0.20.fio

Solución

El carbono 14, obedece a la Ley de decaimiento radiactivo.

dQ(t)

dt= KQ (t) y la solución de esta ecuación

es: Q(t) = ce ' ' de donde para t = 0, 0 (0 ) = Q0

c = Q0 Luego Q(t) = Q0ekl

a) Determinaremos k, para esto se tiene que:

La vida media del carbono es 5,568 años es decir:

para t = 5,568 Q (t) = entonces: = g ^ 5-568*

Ln( 2)

5,568-1.245*10- *= -1 .2 4 5 + 10'

b) Hallaremos Q como función del tiempo.

Iplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 215

Q(t) Got 0

tLn(2)x r\/*\ - r\ „ 5,568de la parte (a), se tiene: Q (t) = Q0e ó <2(7) = Q0e =» Q{t) = Q0

c) Hallaremos una expresión para t en términos de: Q, Q0 y K

- ( 1.245*10 * )t

de la parte b) se tiene Q = Q0e

lLn( 2)

5,568

ln(<2) = ln(G0)-5.568

ln(2)t ln(2) _ in Qo5,568 Q

r = ^ m Aln(2) Q

t = -t——— Lní,— ) = —•—— — L«(0.20) de donde t = Ln(5) —12,930 añosLn{ 2) Q() Ln( 2) Ln{ 2)

‘ Isótopo.- Cuerpo que tiene igual número atómico y ocupa el mismo lugar que otro en la

tabla periódica de los elementos, pero que se distinguen de aquel por la diferenk-

constitución y peso de sus átomos” .

Un cuerpo cuya temperatura es de 30°C requiere de 2 minutos, para descender

su temperatura a 20°C, si es colocado en un medio refrigerante con temperatura

constante de 10°C. Cuanto tiempo tardará el mismo cueipo para bajar su temperatura de

40°C a 35°C, si ahora el medio está a la temperatura constante de 15°C?

Solución

Llamemos: T = Temperatura del cuerpo en el instante t.

Tm = Temperatura del medio exterior (refrigerante)

T0 = Temperatura inicial del cuerpo (t = 0)

Suponiendo que se cumpla la Ley de Newton. para el intercambio de temperaturas,

entonces:

dT_

dt-K {T - Tm) donde K es el factor de proporcionalidad.


La solución para la ecuación diferencial es: T = Tm + ce kl

determinaremos c, para esto se tiene: para t = 0, T = T0 , C = T0 —Tm

por lo tanto: T = Tm + (T 0 + Tm)e~kt determinaremos k, para esto se tiene:

t = 2 min. T = 20°C. T0 = 30°C , Tm = 10°C de donde T = Tm+ (T0 + Tm )e~h

20 = 10 + (30 -10 )e“2/:, que al despejar k se tiene: k = 0.348

por lo tanto: T = Tm + (T0 + Tm ) e 4nm '

de donde al despejar t se tiene: t = 0.64 minutos.

Una sustancia radiactiva A se descompone dando lugar a una sustancia radiactiva B, la

que a su vez se desintegra para dar un producto estable C, según el esquema siguiente: ..

A —» B —> C

En el instante t = 0, se tiene 10 mgrs. de A, mientras que B y C no se tiene cantidad]

alguna. La vida media (es decir el tiempo que debe transcurrir para que la cantidadj

original de sustancia se reduzca a la mitad) de A es de 2 horas, mientras que la de B es

hora, ¿Cuál es el valor de B y C después de 2 horas?

Solución

Llamemos ml , w 2 y m3 a las cantidades de sustancias radiactivas de A, B y ( '

respectivamente en el instante t.

dm.Entonces la ecuación diferencial que gobierna a: m] es: -----= - K lml ...(1 )

dt

cuya solución es conocida: m{ = ni(].e~k'' ...(2 )

siendo K . = con T = 2 horas es la vida media y m0l =10 mgrs. es la cantidad!t

inicial de A. Para la sustancia B, la ecuación es: — - - = - K 2m2 + K lml ...(3 )dt


■ „ dm,y para la sustancia C es: — - = K~,m-, ... (4)

dt

estas ecuaciones se resuelven del modo siguiente: de (2) en (3) se tiene:

dm2 „ „ ~ k ,t-------1- K 2m2 = K¡m0¡e 1

dt

y la solución de esta ecuación es: m2 = —l-—— e K]' + ce k- , c constante de integraciónk2

usando las condiciones iniciales de que en : t = 0, m, = 0 —» e = - ¿V »01 k2

1 , kimm r — k,t _por lo tanto: m2 - 1 Ul [g 1 - e 2 ] ...(5)k2 k\

ahora de (5) en (4) se tiene: — — = \e _ e V idt k2-k ,

integrando directamente, usando la condición inicial de que en t = 0, m3 = 0 se tiene:

/ i ~k')tri k?e 1 - L e - , m3 = ^ j . f l — 2— — — i------] ... (6)

2 1

finalmente podemos reemplazar valores numéricos en.

0 , Ln(2) Ln( 2) , Ln( 2) , ^y (6) con k¡ = ------- = — -— y k2 = -= Ln(2) y m Q ^ lO m g rs .

x 1 2 x 2

obteniéndose: m2 =2.5 mgrs.; m3 =2.5 mgrs. y también de (2), m, =5 mgrs.

EJERCIC IOS PROPUESTOS.-

( 0 Supongamos que la razón a que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia emu

la temperatura del cuerpo y la temperatura del aire que lo rodea un cuerpo originalmente a

120°F se enfría hasta 100°F en 10 minutos en aire a 60°F. Encontrar una expresión para la

2 1temperatura del cuerpo en un instante cualquiera t. Rpta: T = 60 + 60(—) 10 V/

3

218 Eduardo Espinoza Ramos Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 214

I )

D

2 )

3

D

Para una sustancia C, la velocidad de variación con el tiempo es proporcional al

cuadrado de la cantidad X de sustancia no convertida. Sea k el valor numérico de la

cantidad de sustancia no convertida en el tiempo t = 0. Determinar X. V t > 0

Rpta: X =1 + x0kt

V / > 0

Un químico desea enfriar desde 80°C hasta 60°C una sustancia contenido en un matraz

se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 15°C. Se]

observa que después de 2 minutos la temperatura ha descendido a 70°C. Estimar el

tiempo total de enfriamiento. Rpta: t = 4.45 minutos.

Un termómetro que marca 75°F se lleva fuera donde la temperatura es de 20°F. j

Cuatro minutos después el termómetro marca 30°F. Encontrar:

a) La lectura del termómetro siete minutos después de que este ha sido llevado j

al exterior y,

b) El tiempo que le toma el termómetro caer desde 75°F hasta más o menos medio]

grado con respecto a la temperatura del aire. Rpta: T = 23°, t = 11 minutos.

Dentro de cuanto tiempo la temperatura de un cuerpo calentado hasta 100°C j

descenderá hasta 30°C. Si la temperatura del local es de 20°C y durante los primeros j

20 minutos el cuerpo en cuestión se enfría hasta 60°C. Rpta: t = 60 minutos.

Si el 45% de una sustancia radiactiva se desintegra en 200 años. ¿Cuál es su vida media? j

En cuanto tiempo se desintegrará 60% de la cantidad original?. Rpta: t = 319.4 años

Se tienen dos recipientes con soluciones a temperaturas constantes, la primera a 30°C y 1

la segunda a 25°C un termómetro que marca la temperatura de la primera solución es ]

puesto en contacto con la segunda, cuatro minutos después marca 27°C más

adelante el termómetro es puesto nuevamente en contacto con la primera solución, 101

minutos después del comienzo del experimento el termómetro indica 28°C, ¿Cuándo j

fue llevado el termómetro del segundo al primer recipiente? Rpta: t = 4.73 minutos.

Un cierto material radiactivo tiene una vida media de dos horas. Encuentre e l :

intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada de este material decaiga hasta ]

un décimo de su masa original.2 ln(l 0) ,

Rpta: t = ----------horasln(2)

©

©

@

Suponer que una gota de lluvia esférico se evapora a una velocidad proporcional a su

área superficial. Si originalmente el radio es de 3 mm., 1 hora después se ha reducido a

2 mm. Encontrar una expresión para el radio de la gota como función del tiempo.

Rpta: r = 3 - 1 mm, 0 < t < 3

El azúcar se disuelve en el agua con una rapidez proporcional a la cantidad que queda

sin diluir. Si 30 lbs. de azúcar se reduce a 10 lbs. en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se

4¿n(20)habrá diluido el 95% del azúcar? Rpta: t

Ln( 3)

El radiactivo tiene una vida promedio de 5600 años aproximadamente. ¿En cuantos-5600L«(0.20)

años desciende el 20% de su cantidad original? ¿Al 10%?Rpta: t - -Ln( 2)

El radio se descompone con una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente.

Supóngase que se descubre que en 25 años aproximadamente 1.1 % de una cierta cantidad

de radio se ha descompuesto. Determínese aproximadamente que tanto tiempo tomará el

radio para que se descomponga la mitad de la cantidad original. Rpta: 1,566.7 años

Dos sustancias A y B se convierten en un sólo compuesto C, en el laboratorio se ha

mostrado que para estas sustancias se cumple la siguiente ley de conversión. La velocidad

de variación con el tiempo de la cantidad x de! compuesto C es proporcional al producto

de las cantidades de las sustancias no convertidas A y B, supóngase que las unidades de

medida se eligen de tal forma que una unidad del compuesto C esta formado de la

combinación de una unidad A con una unidad B. Si el tiempo t = 0, hay “ a” unidades de

sustancia A ,“b” , unidades de sustancia B y ninguna del compuesto C presente. Muéstrese

dxque la ley de conversión puede expresarse con la ecuación — = k{a - x)(b - x ) resolvet

dt

esta ecuación con la condición inicial dada. Rpta: x =a b [e x p (a -b )k t - l ]

b exp(a - b)kt - aa * b

Cierta cantidad de sustancia, que contenía 3 kgrs. de humedad, se colocó en una

habitación de lOOm’ de volumen donde el aire tenía al principio el 25% de humedad. I I

aire saturada, a esta temperatura, contiene 0.12 kgr. de humedad por lm\ si durante el

primer día la sustancia perdió la mitad de su humedad. ¿Qué cantidad de humedad

quedará al finalizar el segundo día? Rpta: 0.82kg. Sug.— k.\(\ + 6) dt


I ,i ■ ilmiicm de un primer recipiente pasa a otro, a razón de 2 decalitros/min., y laj

iImmh-ki del segundo recipiente pasa al primero a razón de 1 decalitro/min. En un

principio hay 1 hectolitro de salmuera, conteniendo 20 kgrs. de sal, en el primera

recipiente, y I hectolitro de agua en el segundo recipiente. Cuanta sal contendrá el primer |

recipiente al cabo de 5 minutos. Se supone que en todo momento es homogénea la mezc

2de sal y agua en cada recipiente. Rpta: 6—kgr

Salmuera que contiene 2 kgr. de sal por decalitro entre un primer tanque a razón de 9

decalitros/min. del primer tanque pasa la salmuera a un segundo tanque a razón de 9

decalitros/min., y sale de éste segundo tanque a razón de 3 decalitros/min. En un

principio, el primer tanque contiene 1 hectolitro de salmuera con 30 kgrs. de sal, y el

segundo tanque contiene 1 hectolitro de agua pura. Suponiendo las solucionesi

homogéneas en cada tanque. Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 5

minutos. Rpta: 19.38 kgr.

Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenía originalmente un radio de — dej4

pulgadas, tiene un radio de — de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore8

a un índice proporcional a su superficie. Encuéntrese el radio en función del tiempo;|

después de cuántos meses más desaparecerá por completo.

Rpta: r = (2 - t) 8 después de 1 mes más a

El Presidente y el primer Ministro piden café y reciben tazas a igual temperatura y

al mismo tiempo. El Presidente agrega inmediatamente una pequeña cantidad de crema

fría; pero no se toma café hasta 10 min. después. El primer Ministro espera 10 min. y, '

luego añade la misma cantidad de crema fría y comienza a tomarse su café. ¿Quién

tomará el café más caliente? Rpta: El Presidente.

Supongamos que un elemento radiactivo dado A, se descompone en un segundo elemento ]

B y que, a su vez B se descompone en un tercer elemento, C. Si la cantidad de A presente

inicialmente es de X 0 , si las cantidades de A y B presentes en un momento posterior son

X y Y respectivamente y si K { , K 2 son las constantes de rapidez de esas dos reacciones.

Encuéntrese y en función de t. Rpta: 5 : K, * K 2y = - ^ — ( e ^ ‘ - e ^ ° ‘ )K 2 — Kj


© Se desea enfriar una solución contenida en un matraz y que está a 90° C. Se coloca el

dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 18° C y se observa que

después de 2 min. la temperatura desciende 10° C. Halle el tiempo total de enfriamiento.

© Se mezclan “ a” grs. de sustancia A y “b” grs. de sustancia B para formar el compuesto X

con m partes en peso de A y n partes de B. Encontrar la cantidad de X formado durante el

tiempo t.

.1.5. APLICACIONES A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS SIMPLES.-

Consideremos circuitos eléctricos simples compuestos de un resistor y un inductor o

condensador en serie con una fuente de fuerza electromotriz (f.e.m.), a estos circuitos

mostraremos en la figura a) y b) y su funcionamiento es simple de entender.

Ahora estableceremos las relaciones siguientes.

I o Una fuerza electromotriz (f.e.m) E (Volts) producido casi siempre por una batería

o un generador, hace fluir una carga eléctrica Q (coulombios) y produce una

corriente I (Amperios). La corriente se define como la rapidez de flujo 'e la carga Q

y puede escribirse: I = ... (1)J 1 dt

Un resistor de resistencia R (ohms) es una componente del circuito que se opone

a la corriente y disipa energía en forma de calor. Produce una caída de voltaje

que está dada por la ley de ohm. E R = Rl ... (2)

3° Un inductor de inductancia L (henrios) se opone a cualquier cambio en la

cllcorriente produciendo una caída de voltaje de: E¡ = L — ... (3)

222

©

Eduardo Espinoza Ramam

4° Un condensador de capacitancia C (farandios) acumula o carga. A l hacerlo se resisi

al flujo adicional de carga, produciendo una caída de voltaje de: Ec - — ... (4)

Las cantidades R, L y C son generalmente constantes dependientes de los componentéj

específicos del circuito; E puede ser constante o una función del tiempo. El principij

fundamental que gobierna estos circuitos es la ley de los voltajes de Kirchoff. "La sum;

algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito cerrado es cero .

En el circuito de la figura (a), el resistor y el inductor produce caídas de voltaje E R y

E , , respectivamente, pero la f.e.m. produce un aumento de voltaje E. (es decir, una caídá

de voltaje de -E). Entonces la ley de los voltajes de Kirchhoff da:

E R + E l - E = 0

di

... (5)

reemplazando (3), (4) en (5) se tiene: L — + R1 = Edi

EJERCICIOS D ESARRO LLAD O S

Una inductancia de 2 henrios y una resistencia de 10 ohms se conecta en serie con

una f.e.m. de 100 volts, si la corriente es cero cuando t = 0. ¿Cuál es la corriente despué;

de 0.1 seg?

Solución

Como L = 2, R = 10 y E = 100 entonces la ecuación que gobierna es:

L — + R I = E reemplazando tenemos: 2---- ¡-107 = 100 simplificandodt dt

— + 5/ = 50 ecuación lineal en I. dt

50 dt + c] - e 'v [ I 5 0 e 'dt + c]

I ( t ) = e s'[10<?51 + c] => /(í) = 10 + c.e ^ Como 1(0) = 0


0 = 10 + c => c = -10 /(0 = 10 (l- íT 5')

ahora para t = 0.1 =* /(0.1) = 10(1 — e“05) = 3.93 amp.

( i ) Un circuito en serie consiste de una resistencia de 120 ohms. y una inductancia de

6 ,— henrios un generador de cc. de 220 voltios, se encuentra en serie con un generador

de c.a. de 220 voltios (frecuencia de 60 ciclos) y de combinación conectada a un circuito

por medio de un interruptor. Encontrar:

a) La corriente en el tiempo t después que se ha cerrado el interruptor.

b) La corriente después de —— seg.20?r

c) La corriente en estado permanente (o estacionaria)

d) El voltaje en la inductancia y el voltaje en la resistencia cuando t = —— ses20k

Solución

Datos: V0 = 220 voltios ; V = V0 sen cor = 220sen cor jV -é -

W = 2n f = 120 rad/seg. ; R = 120 ohms.

L = — henrios n

s L

a) La ecuación que gobierna la corriente en el circuito al cerrar el interruptor S, es

dado por la segunda Ley de Kirchoff.

L — + R - V0 + V í Vr0(l + sétiH'f) => — + — i = — (1 + sen wt) dt dt L L

La solución de esta ecuación diferencial es:

. ,, r 1 R sen wt - Lweos wt,' = V q - + -------- r-----r—r-------] + ce u

R R + l }w

...(1 )

... (2)

224 Eduardo Espinoza Ramos ' p aciones de las Ecuaciones Diferenciales 225

aplicamos ahora la condición inicial, evidente de que para t = 0 —» i - 0

c = V0[1 Lw

R R 2+ L 2w2—] y reemplazando en (2)

l —---- 1"R

R J r 2+ L 2 \¡ R2 + [ }w 2

Lw i * , / Lwsen wt---- ---- —— eos wt] + V0 (— -----¿ -yR2 + L 2w2 R- + L w

De u

definimos el ángulo 0 del modo siguiente:

RLWtg (?= -----, COSÍ? =

R sIr 2+ L 2w2, sen0 =

Lw

\l R 2 + Ú w 2

entonces: i = (— ) + - sen( wt - 9 ) + V0 (-----* y¡ R 2 + l?w2

que es la solución final.

Reemplazando los valores numéricos dados, en (3)

i = — [1 + 4 = sen0 207rt - arctg 6) — e 20ír' ] 6 l V37 37

R2 + L 2w2 R

1 ^- - ) e L (3)

... (4)

b) reemplazando en (3) í = ^ — seg.

i = — [1 + —5L=sen (6-arctg6 )— e ’ ] ~ 0.969amp.6 V37 37

observe que el argumento de la serie es dado en radianes

c) La corriente permanente (o estacionaria) corresponde a t muy grande, entonces

e ~ 2 0 m y por lo tanto la ecuación (4) se reduce.

/ = — [1 + -jLrsen(120^í -arctg 6)16 V37

_ di 220 Vr —L ---— ----

L dt V37[6cos(1207I7-arc.tg6) + — =Lre 20;r' )/ =

V37 207TV L = 42.3 vlts.

© En un circuito RC el condensador tiene una carga inicial q0 y la resistencia R varía

linealmente de acuerdo a la ecuación. R = kl + k2t , con A:, > 0 y k2 > 0

La segunda Ley de Kirchoff, que suponemos válida pese a que R no es constante asegura

que: Rí + — = Eq estoes: (&, + k2t ) — + — q = E0 c d t c

Encontrar i cuando t = 0.3 segundos.

Si q0 = 2 coulombios, k] = 1 , k2 = 0,1, c = 0.05 farandios , E 0 =50 voltios

Solución

De la ecuación dada se tiene:

dq 1-q

dt c (kt +k^t) kx+k^tDn esta ecuación diferencial es:

y la solución de

q = e te-*>[J ) o+ k2t

q = £ [¿rt.W i.+V) — - Q dt + C0]+ k2t

_ 1 _L ^_LA r- ,. ^ , 1 _ , ck^ ,

'IA'í) ' ‘ £ ()f// + C0l=>^ = C£'0 +*, 2 (?0 -C E q) ^ +k2t) 2

da ~~ ay derivando para hallar la corriente eléctrica, i = — = (&, ) r*; (£ n ~ — )(k, + k^t) :k

dt C

ahora reemplazando los valores numéricos:

t = 0.3 seg. q0 = 2 coul, k¡ = 1, k2 = 0.1, c = 0.05 farad. E0 = 50 voltios

d) VR = iR = 0.969x120 = 116.3 voltios.encontrándose: i = 0.0244 amperios


Hallar la intensidad de corriente que circula por un circuito RL impulsada por la

fuerza electromotriz: V = V0e_2( eos 21 cuando L = 0.4 henrios.

R = 5 ohmios, VQ = 100 voltios, i = 0 para t = 0

Solución

De acuerdo a la segunda ley de Kirchoff, la

corriente en el circuito es gobernada por la

ecuación:

Ri + L — = V y reemplazando V = VQe 21 eos 21 dt

di R . Vq 1— i = (— )e ~ eos 2/dt L L

R , ohm— = 12.5---------- yL henrios L

V° = 250-VOltÍOShenrios

dientonces — +12.5/ = 2 5 (te 2í eos 2nt y la solución de esta ecuación es:

dt

i = e~12'5' [J e l2'5'250e~2' eos2 dt + c]

siendo C una constante de integración efectuando la integral se tiene:

105, [10.5 eos 27T/ + 27r sen 2ti7]i = e~x2-5'[250e

[ ( io .5 r + (2 ^ r- + C]

í = 1.66c 2110.5 eos 2;tf + 2n sen2m + ce l"'5'

usando ahora las condiciones iniciales de que para t = 0. i — 0, entonces: C = -17.43

— 12.5/Por tanto: i = 1.66[105cos2^r + 2n sen2;rr]e “ -17.43e

Se introduce una f.e.m. en un circuito que contiene en serie una resistencia de 10 ohsms.i

y un condensador no cargado cuya capacidad es de 5x l0~4 faradios. Encontrar la

corriente y la carga en el condensador cuando: t = 0.01 seg.


a) Si V = 100 voltios b) Si V = 100 sen 120 t volts.

Solución

La ecuación para el circuito se obtiene de la segunda Ley de Kirchoff. Ri + — = V

dq 1 . dq ^— h------q = V ( s e u s a i= — )dt RC dt

y la solución de esta ecuación diferencial es:

— CeRC 1/?C[ £___;J R

. t : Vq = e RC[| ------- dt + c] ... (1)

a) Si V = 100 voltios constantes, entonces en (1) e integrando, q = VC + C0e RC

y usando la condición inicial de que para t = 0, q = 0, se halla C0, luego:

t

q = VCÍ\ -e~*C ] ...(2 )

dq V 'y la corriente eléctrica i es dado por: i = — = — e Rr ...(3 )

dt R

reemplazando valores numéricos en (2) y (3) para t = 0.01 seg. se encuentra:

q = 0.043 coul. ; i ® 1.35 amp.

b) Si V = 100sen207Tt volt, entonces reemplazando en (1) e integrando y a la ve/

reemplazando los valores numéricos salvo, t se tiene:

q = 0.0022(5 sen 12071/ - 3071 eos 120m) + C0e~200‘ y usando la condición:

t = 0 —> q = 0 se halla C0 = 0.0207 , de modo que:

q = 0.0022(5 sen 1 20tu - 3071 eos 120 m ) + 0.0201e ~200'


i = í*£ = 0.83(5eos 120m + 3n sen\20nt)-4.\4e 2m dt

y para t = 0.01 seg. se tiene: q = 0.0131 coul. ; i = -8.5 amperios.

el signo menos en i indica que el sentido de la corriente en el circuito es contraria al caso (a)

ó ) Una f.e.m. de 100 voltios se introduce en un circuito que contiene en serie una

resistencia de 10 ohsms y un condensador no cargado cuya capacitancia es de 5x10 4

faradios. Cuando se ha alcanzado el estado permanente (o estacionario), se desconecta la

f.e.m. del circuito. Encontrar la corriente y la carga del condensador 0.01 seg. después de

la desconexión de la f.e.m.

Solución

Este problema en su primera parte es decir cuando está conectado V, es igual a la parte (a)

del problema anterior y por lo tanto se cumple:

— y — q = V C [ l—e RC] , i = ( - ) e RC

R

el estado permanente (o estacionario se cumple cuando t es un tiempo muy grande y t

entonces: e RC tiende a cero, por tanto los valores finales de carga y corriente serán:

q = VC = 0.05 Coulb., i = 0.

R En la segunda parte, cuando se desconecta la fuente

en f.e.m. V del circuito (instante inicial t = 0, H) se

tiene: para t = 0 —> q = q n - 0.05 coulb. y la ecuación

para el circuito de acuerdo a la segunda ley de

Kirchoff, con V = 0 será:


i = dL dt

. 3 l e RCRC

.(2 )

Reemplazando los valores numéricos en (1) y (2) para: t = 0.01 seg. se encuentre

q = 0.00677 coul, i = - 1.354

El signo menos en i se refiere a que ahora el sentido de la comente es contrario al caso en

que la fuente de f.e.m. estaba conectada al circuito.

( 7 ) Una inductancia de 1 henry y una resistencia de 100 ohms. están conectadas en serie

con una fuente constante E (volts.) por medio de un interruptor. El interruptor se cierra y

0.01 seg. más tarde la corriente es 0.5 amp. Encontrar E.

Solución

Cuando se cierra el interruptor la ecuación diferencial

para la corriente de acuerdo a la segunda ley de

Kirchoff es: L — + Ri = £\ de donde — + — / = —dt dt L l.

Luego la solución de esta ecuación diferencial.

R-<~)t (* (-)< Ei - e L |J e 1 — dt + C]

ESiendo C constante de integración de donde: i - — + Ce L por condiciones iniciales se

R

E Etiene: para t = 0, i = 0 - » C - ---- por tanto: / = — [ 1 -e L I

R R

aquí reemplazando los valores para t = 0.01 seg. i = 0.5 amp., junto con el resto ilc

50valores numéricos y despejando E : E = -

1 -e -i 79.4 volts.


En el movimiento de un objeto a través de un cierto medio (aire a ciertas presiones es

un ejemplo) el medio efectúa una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la

velocidad del objeto móvil, supóngase que el cuerpo cae por acción de la gravedad, a

través de tal medio. Si t representa el tiempo y v la velocidad positiva hacia abajo, y g es

la aceleración de la gravedad constante usual, y w el peso del cuerpo, usando la ley de

Newton, fuerza igual a masa por aceleración, concluir que la ecuación diferencial del

movimiento es: — — — w — kv~. donde kv* es la magnitud de la fuerza de resistencia! g dt

efectuada por el medio.

Solución

La descripción matemática es: — = -k v 2, además F = w -k v 2dt

dv w , „ w dvpara F = m.a, también a = — y m = — Luego: r = ----- —

dt g g dt w

Por lo tanto se tiene: “ fuerza viscosa es obtenida en forma experimental” .

w dv , 2 — ■— — w — kv g dt

Resuélvase la ecuación diferencial del ejercicio (8) con la condición inicial que j

v = v0 cuando t = 0 introducir la constante a2 = — para simplificar las fórmulas.

Solución

w dv ,2 w dvComo la ecuación diferencial es: (—) — = w - k ( —) ------------

g dt g w -k v= dt

, w . dv 2 w a~dv , 2(— i----------------------------= dt, como a = — se tiene: ---= gdt —> agk w .2 k " "---- v

ka —v

f dv

J 1 2J a —v= gt + c i

a . a + v. , a + v\— ln(----- ) - g t + ci —> ln(------ ) = -----+ k2 a —v a - v a


a + v 2 —------= ce a para t = 0, V = v na - v

a + v0 a + v a + v,, 2 gt ------- c -> para t >0 ; -------= -------2-exp(— - )f l - v 0 a - v a - v 0 a

(To) Hay medios que oponen una fuerza de resistencia al paso de los cuerpos que los

atraviesa proporcional a la primera potencia de la velocidad. Para tales medios plantear y

resolver problemas similares a los ejercicios 8 y 9, excepto que, por conveniencia, debe

wescogerse una constante /? = — para reemplazar a la constante a" del ejercicio 9. Mostrar

que b tiene las dimensiones de una velocidad.

Solución

La descripción matemática es: — = - k v , además F = roa de donde:dt

,w dv wdv , w j* dv f w( - ) - — = w -k v -> --------= gd t, integrando — --------= gdt + c, pero b = —g dt w -k v r j w j r k

k ---- vk

gtb | ------- = I gdt + ci => L n ( b - v ) - — ^ + ci b - v - c e h

îra t = 0, v = v0 se tiene: b - v 0 = c

8' _gt_

Luego v = b - c e b => v = b - ( b - v 0)e h v = b + (v0 - b ) e h , t > 0

(^lj) Dos corrientes están conectados mediante una cañería, tal como se muestra en la

figura adjunta. Cada uno contiene 50 lts. de solución, con 10 gr. de soluto al tanque No, I

y 5 grs. al tanque No. 2. Se abren las tres cañerías, haciéndose entrar agua a través de A.

Por A, B y C circula líquido a razón de 2 litros/min. Encontrar la cantidad de soluto de

ambos recipiente después de 30 minutos (las soluciones se mantienen homo' incas

mediante agitadores).

T232 Eduardo Espinoza Ramos

Solución

Antes de proceder a resolver el problema consideremos el caso más simple de un sólo

recipiente de v litros de agua en el que se encuentra una mezcla de agua y sal (soluto). Se

accionan simultáneamente las llaves de A y B haciéndose ingresar agua pura por A a

razón de 5 litros/min. y se extrae solución por B en la misma proporción, para describir la

cantidad de sal (soluto) x en función del tiempo se razona del modo siguiente:

Consideremos un intervalo de tiempo muy pequeño At minutos, entonces:

S A t = cantidad de solución que sale por B en A t minutos.

X

Vconcentración uniforme de sal en la solución (gr/lts)

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 23.:

Si en el lugar de agua pura entra una solución salina con una concentración.constanti

de c gr/lts por B, un análisis simiiar conduce fácilmente a la ecuación diferencial:

di V... (2)

Usando estas ideas es inmediato plantear el problema dado:

Llamemos: = volumen del recipiente No. 1.

X , = Cantidad de soluto del recipiente No. 1 en el instante t.

X 2 = Cantidad de soluto del recipiente No. 2 en el instante t.

V2 = Volumen del recipiente No.

entonces se cumple:dt V,

dx k c— 1 = (— )X - ( — )X , dt V, 1 V2 2

La ecuación (3) se puede integrar directamente reemplazando:

S 1= 0.004—:— y usando la condición inicial que

V, min.

paia t = 0, A', = X 01 = lOgrv. de soluto

(3)

(4)

X(— )SAt = cantidad de sal que sale por B en t minutos por tanto la variación de sal el |

5recipiente Ax durante el Ates dado por: Av = - ( — )X A t

V

Y SLuego — = —(—)X y en el límite en que At —> 0:

t y

dx S— = - ( —)X que será la ecuación que gobierna X en el recipiente: dt V

0.04;(5)Luego: X { = \0e gr. de soluto

5 1reemplazando (5) en (4) con — = 0.04------

V-, min.

— - + 0.04.1, = 0Ae~°M ' de donde la solución es: x2 = e~0M' [ \ (e0 04')(0.4e'_no4' )dí + <■ dt

V234

©

©

©


donde C es una constante de integración, integrando esta ecuación, usando la condición

inicial de que para t = 0, X 2 = X02 = 5grs. se tiene: x2 = (0.4/ + 5)e-0.04/ ... (6)

finalmente reemplazando en (5) y (6).

t = 30 minutos se encuentra:

EJERCICIOS PROPUESTOS.

X x = 3.01 gr. de soluto y X 2 =5.12 gr. de soluto

Supongamos que el circuito RL de la figura (a) tiene los valores dados para la resistencia,

la inductancia, la f.e.m. y la corriente inicial.

Halle una fórmula para la corriente en cualquier tiempo t y calcule la corriente después

de un segundo.

a) R = 10 ohms.,

b) R = 8 ohms.,

c) R = 50 ohms.,

d) R = 10 ohms.,

e) R = 10 ohms.,

L = 1 henrios,

L = 1 henrios,

L = 2 henrios,

L = 5 henrios,

L = 10 henrios,

E = 12 volts.,

E = 6 volts.,

E = 100 volts.,

E = lOsen t, volts.,

E = e‘ volts.,

1(0) = 0 amp.

1(0) = 1 amp.

1(0) = 0 amp.

1(0) = 1 amp.

1(0) = 0 amp.

Use la resistencia, la capacitancia, la f.e.m. y la carga inicial dada para el circuito R C de

la figura (b). Halle una expresión para la carga en cualquier tiempo t.

a) R = 1 ohms., C = 1 farad., E = 12 volts., Q(0) = 0 coulomb.

b) R = 10 ohms., C = 0.001 farad., E = 10 eos 6 0 1 volts, Q(0) = 0 coulomb.

c) R = 1 ohms., C = 0.01 farad., E = sen 6 0 1 volts., Q(0) = 1 coulomb.

d) R = 100 ohms., C = 10'4 farad., E = 100 volts., Q(0) = 1 coulomb.

e) R = 200 ohms., C = 5x105 farad., E = 1000 volts., Q(0) = 1 coulomb.

Se conecta en serie una inductancia de 1 henry y una resistencia de 2 ohms, con una

batería de 6é’”00001' volts, inicialmente no fluye ninguna corriente. ¿Cuándo llegará la

corriente a 0.5 amperios?

\t>licaciones de las Ecuaciones Diferenciales 23.‘

©

©

©

©

©

©

Una resistencia variable R = -5 + 1

ohms. y una capacitancia de 5 + 10 6 farad, si

conecta en serie con una f.e.m. de 100 volts. ¿Cuál es la carga del condensadoi

después de un minuto si Q(0)= 0?

Halle la corriente de estado estacionario, si se conecta en serie una resistencia di

2,000 ohms. y una capacitancia de 3.X-10“6 farad, con un alternador de 120 eos 2t volts.

Un condensador de capacitancia 4.vl0~4 faradios descarga a través de una resistencia di

100 ohms, si al corriente es 1 amp. al final de 0.01 seg. ¿Cuál era la carga inicial del

condensador?. ¿Cuanta resistencia debe sacarse del circuito para obtener la mitad di

la corriente en el mismo tiempo? Rpta: q = 0.0487 coulomb., R = 2.49 ohms.

Un condensador sin carga, de capacitancia c (farads) se descarga una fuente de voltaje

constante a través de una resistencia R (ohms) ¿Cuando será la corriente (amps) igua

en magnitud a la carga (coulomb) del condensador? Rpta: t = Re ln(/?c + I

Re-)seg

Una f.e.m. de 100 sen 120jit volts, se introduce en un circuito que contiene en serie un;

resistencia de 100 ohms. y un condensador con capacitancia de 5 jcIO-4 faradios se tiene

una carga inicial en el condensador al tiempo t = 0, cuando la f.e.m. se introduce, tal que

la corriente en el tiempo cero es 1 amp. (positiva) encontrar la corriente 0.1 seg. más

tarde. Rpta: 0.181 amp.

1 hia resistencia de 10 ohms. se conecta en serie con una inductancia de L henrios. El

circuito está conectado por medio de un interruptor a una fuente constante de E voltios si

3la corriente alcanza las — de su valor de estado permanente en 0.1 seg. Encontrar L.

Rpta: 0.721 henrios.

Un cierto relevador (o interruptor magnético que está diseñado de manera que cieñe

un circuito cuando se aplica 60 voltios a sus terminales (es decir, cuando y = 60 voltios),

La bobina del relevador tiene una inductancia de ~ henry y opera de una fuente de

120 voltios c - c. Si el circuito se cierra 0.05 seg. después de conectado a la fui-ñu-

Encontrar:


a) La resistencia del relevador.

Despreciar la resistencia de los puntos.

b) La corriente cuando se cierra el circuito.

Rpta: a) R = 6.95 ohms.

b) i = 8.63 amperios.

© Una bobina de impedencia que tiene una resistencia de 14 ohmios y una inductanciaB

de 0.05 henrios, y una rama que tiene una resistencia no inductiva de 15 ohmios y unj

condensador de capacidad lO*4 faradios en serie, están conectados en paralelo a través dd

los terminales de una f.e.m. de 220 voltios. Hallar las expresiones en función del tiempo«

para la carga del condensador, la corriente en la bobina de impedencia. la corriente en la¡

resistencia no inductiva y la corriente total. Ver figura.

(l.l) De la figura No. 2, deducir las leyes de Kirchoff. i = i x + i 2, R ix = E s e n w l

aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 23'

2 . 000/

Rpta: q = 0.022(1 - e 3 )

/, = 15.71(1- e " 2S°')

44 - h = — e 2 3

2.0003 1

(R>

i = i + u = 15.71(1 — e -28°/ . 44

T e

2.000/

Para el sistema representado en la figura No. 1 obtener mediante la ley de la corriente e n

el punto A, i = /, + i2 y por la ley de la f.e.m. aplicando a los circuitos A R H G y A B M

di,G. L = —L =E senw t , Ri2 = Esenwt resolver estas ecuaciones para e i en*

dt

función de t, determinar una constante de integración teniendo en cuenta la condicioi*

i = 0 cuando t = 0.

Rpta: L = — sen u-72 R

¡l = -— (1 -cosw í) Lw

©

i fc Je

i2dl = - = E sen wi Hallar q, i , , ¡\ e y en función de t.c J , c

Rpta: í[ = — sen wt, q = cE sen wtR

i2 = cEw eos wt I = í, + í 2

Deducir para el sistema indicado en la

figura, tres ecuaciones aplicando las leyes

de Kirchoff. supóngase que la carga del

condensador es nula cuando t = 0 y

dedúzcase que siempre i2 = 2 amperios y

que /, = — e 1 10

-10/ teniendo tanto

rápidamente a cero.

Si al principio la carga del condensador

de la figura indicada es q0 e í, =0 .

Demostrar que

"Observación e = 0” .

L + L ,7.COS I—-----—t

W l 2

Hallar i en función del tiempo t en el

sistema representado en la figura

indicada, si con cero todas las corrientes

iniciales y la carga del condensador.

vQJ

LQ

.

238 Eduardo Espinoza Ramosi

l ’n punto material de masa igual a 1 gr. se mueve en línea recta debido a la acción de unftfl

fuerza que es directamente proporcional al tiempo, calculando desde el instante t = 0, o ;

inversamente proporcional a la velocidad del punto. En el instante t = 10 seg. Ltn

velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?

cmRpta: V = 10\/725-

segSug. = 2 0 -

dt v

Suponiendo que la velocidad de gasto de agua (volumen por unidad de tiempo) a travéj de un orificio en el fondo de un tanque sea proporcional al producto del área del orificiol por la raíz cuadrada de la profundidad del agua, la ecuación diferencial es: t

A — = -K B 'J h , donde h (m) es la profundidad del agua y A ( n r ) es el área de la] dt

superficie del agua en cualquier tiempo t (seg.) y B ( n r ) es el área del orificio. Lal

constante de proporcionalidad, K (---- ) se puede determinar empíricamente. Encontrar el]seg

tiempo requerido para vaciar un tanque cúbico de 1.20 m. por lado. El tanque tiene uní agujero de 5 cm. de diámetro en el fondo y originalmente está lleno de agua (tomar j

k = 2.65) Rpta: t = 10.2 minutos.

A un tanque contiene 400 lts. de agua fresca, se le incorpora salmuera que contiene!

y la mezcla mantenida uniforme por agitación, abandona el1 kg , lf de sal a razón de 8----8 It min

tanque a razón de 4 - ^ - . Encontrar: min

a) La cantidad de sal presente cuando el tanque contiene 500 lts. de salmuera.

b) La concentración de sal en el tanque al final de 1 hora.

Un tanque originalmente 100 galones de agua fresca. Se vierte agua que contiene mediagal

libra de sal por galón dentro del tanque a una velocidad de 2----- , y se permite que salga jmin

la mezcla con la misma rapidez. Después de diez minutos se para el proceso, se vierte jgal

agua fresca dentro del tanque a la velocidad de 2----- , dejando salir también la mezcla amin

la misma velocidad. Encontrar la cantidad de sal en el tanque al final de los 20 minutos. J

Rpta: g = 5 -e -°2 ( l - e 92)lb

¡¡'lit aciones de las Ecuaciones Diferenciales 239

( í l ) Un tanque con capacidad de 500 galones contiene originalmente 200 galones de agua

con 100 libras de sal en solución. Se introduce dentro del tanque agua que contiene una

libra de sal por galón, a la velocidad de 3—— y se permite que la mezcla fluye afuera delmin

galtanque a una velocidad de 2----- . Encuéntrese la cantidad de sal en el tanque para

min

cualquier tiempo (en libras por galón), anterior al instante cuando la solución principia a

exceder la capacidad del tanque. Q = 200 + 1 - l ibras t < 300(200 + t )2

Un cuerpo de masa constante m se proyecta verticalmente hacia arriba con una

velocidad inicial v0 suponiendo que la atracción gravitacional de la tierra es constante, y

despreciando todas las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo, encontrar:

a) La máxima altura alcanzada por el cuerpo.

b) El tiempo en el que se alcanza la máxima altura.

c) El tiempo que tarda el cuerpo en retomar al punto de partida.

Rpta: a) b) c) g g

en un( 23) Un cuerpo es dejado caer verticalmente hacia abajo, con un velocidad inicial V(i

idio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuclillóse

una relación entre la velocidad v y el tiempo t; y también la velocidad límite r, que

_kt

alcanza después de un largo tiempo. Rpta: V = + (V() - m~-)eK K

( 24) Un objeto de masa m se deja caer desde el reposo en un medio que ofrece una lesisloiu 1a proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuéntrese el intervalo de 1 u-m|» > quo

transcurre antes de que la velocidad del objeto alcance el 90% de su valor limito

m

KRpta: t = — LnlO

«

240 Eduardo Espinoza Ramo»----------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------- —«fK

(25) Un hombre y un bote de motor pesan juntos 320 libras . Si el empuje del motor es

equivalente de 10 Ib. en la dirección de movimiento que si la resistencia del agua al

movimiento es numéricamente igual a dos veces la velocidad en Ps/seg. y si el bote está |

inicialmente en reposo encontrar:

a) La velocidad del bote al tiempo t. b) La velocidad límite.

Rpta: a) b = 5 (l-<r°-2' ) — b) Iim V = 5— 1seg t-*oo seg I

(26) Un cuerpo con masa m es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial V() j

es un medio que ofrece una resistencia proporcional a la raíz cuadrada de la magnitud de ■

la velocidad. Encuéntrese la relación entre la velocidad V y el tiempo t; así como la 1

velocidad límite. Rpta: 2 - ( J v ^ - y ¡ V ) + 2^-~~-; ln|— ---- [ = t ; V, = C ^ - ) 2K K 2 mg — K\¡V K

(27) Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia

proporcional al cuadrado de la velocidad. Encuéntrese la relación entre la velocidad v y el j

tiempo t, así como la velocidad límite. Rpta:K 2 kg , V K

e J — t + 1V m

¡28) Comenzó a nevar una mañana y la nieve siguió cayendo continuamente durante todo j

el día. A l medio día, un quitanieves comenzó a limpiar una carretera a un ritmo constante, j

en términos del volumen de nieve retirado a cada hora. El quitanieves limpió 2 millas

para las 2 de la tarde y una milla más para las 4 de la tarde ¿Cuando comenzó a trabajar?

Rpta: (>/5 — 1) antes del medio día.

¡29) Un depósito contiene 100 gl. de agua pura. A partir del tiempo t = 0 se introduce!

salmuera que contiene 1 Ib. de sal, por galón a razón de 1 gal. por minuto, la mezcla se

mantiene uniforme ya que se resuelve al mismo ritmo ¿Cuando habrá 50 Ib. de sal ¡

disuelta en el depósito? Rpta: Después de 100 en 2 minutos.

\ libraciones de las Ecuaciones Diferenciales 241

( II)) Un gran depósito contiene 100 gl. de salmuera en la qué están disueltas 200 Ib. de sal.

A partir del tiempo t = 0, se introduce agua pura a razón de 3 galones por minuto y la

mezcla (que se mantiene uniforme resolviéndola) sale del depósito a razón de 2 gl. por

minuto. ¿Cuanto tiempo se necesitará para reducir la cantidad de sal que hay en el

depósito a razón de 2 gl. por min. ¿Cuánto tiempo se necesitará para reducir la cantidad

de sal que hay en el depósito de 100 Ib.? Rpta: 100(V2-1 ) min.

U». APLICACIONES A LA ECONOMIA.-

Para el planteamiento de las ecuaciones diferenciales aplicadas a la economía, es

necesario dar algunos conceptos de los términos económicos.

a) Costo.- Sea “y”, el costo total de producir y comercializar “x” unidades

de una mecánica, está dado por la función y = F(x), Entonces:

y F ( x)El costo promedio por unidad es: — = ------ .

x x

Si la producción total se incrementa en una cantidad A x a partir de un cierto nivel

“x” y si el correspondiente incremento en costo A y, entonces el incremento

Aypromedio del costo por unidad de incremento en la producción es — . Luego el

Ax

Ay dycosto marginal definiremos por: lim — = — - F ' (x ) , es decir que el costo

Ax- >0 Ax dx

marginal es la derivada del costo total y = F(x).

b) Ingreso.- Sea y = f (x ) cualquier función de demanda donde "y ” representa el

precio unitario y “ x” el número de unidades.

El ingreso total R es el producto de “x” por “ y” es decir:

R = x y = x f (x )

El ingreso marginal con respecto a la demanda es la derivada del ingreso total conrespecto a x.

dR .

242 Eduardo Espinoza Ha

c) Elasticidad.- La elasticidad de punto de la función y = f(x ) en el punto x cslrt (

como la razón del cambio proporcional y con respecto al e*f

unitario x.

dy

Ey _ y _ x dy

Ex dx y dx

x

d) Renta Nacional, Consumo y Ahorro.- Se llama función de consumo a la id

entre la recta nacional (total) dispon^

el consumo nacional (total).

Luego la función consumo expresaremos mediante la ecuación:

c = f(x )

donde c representa el consumo nacional total y “ x” la renta nacional (Id

entonces la propensión marginal al consumos es:dx

= f \ x )

mediante una análisis teórico se tiene, la renta nacional es igual 1 consumo inA

ahorro la cual se expresa.

: C + S

deLa propensión marginal al consumo es: — = / '(x)

dx

La propensión marginal del ahorro es:ds

dx

de

dx

Ejemplos.

© La relación entre el precio P y la cantidad demandada X es tal que la i;isrt ;

disminución en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional n

cantidad demanda e inversamente proporcional a la suma del precio más una conslnlf

Encontrar la función de demanda si. P ■

Solución

; P0 cuando X = X 0 .

limi \ de las Ecuaciones Diferenciales 243

*.< .i X = X (P ) la función de la demanda, de acuerdo al problema la descripción

dX bx , , , dx dpmaicmática es: ---- = —------ de donde — = ------- integrando

dp p + a x p +a

YIn .Y = \n(p + a)bc => X = ( p + a)bc => C = ----------.ahora para P0 = P , X = X „

( p + a)b

I uceo la función de demanda es: X =(■Po+a )

I .i tasa de incremento del costo total y, a medida que crece el número de

unidades fabricadas, es proporcional a la suma de las unidades fabricadas más una

i onstante e inversamente proporcional el costo total. Hallar la función de costo si y = y ()

i liando x = 0, graficar la relación hallada.

Solución

Sean X = unidades fabricadas.

Y = Y (x ) costo total de las unidades fabricadas,

ilc acuerdo al problema la descripción matemática es:

dy _ a (x + b)

dx y, de donde y dy = a (x + b) dx

y ’ a(x + b ) 2 _ , _- = —— ---- + C , determinaremos C para esto:

2 2 ^ 2

y = y„ cuando x = 0 —> — = ab2+ C —> — Es decir:2 2 2

-> ^ 2 ? t_____________________________

v* a(x + b)~ yf) ab~ ? 2 ^ , 2 2 I ,1 2— = ------------- ------------- => y - a x + 2 ab + y n y = Jax + 2 ab ■+ v(l2 2 2 2

Supóngase que una suma de dinero está colocado a un interés que se

acumula continuamente. Si la cantidad es S0 . ¿Cuándo el capital alcanzará la suma

.V = 2S0 si el grado de interés anual es 3%, 4%, 5%?

244

®

Eduardo Espinoza Ranún

Solución

Llamemos: S(t) = inversión en cualquier momento ; S(0)= inversión original, K= inicié«

dS ( t )La descripción matemática es:

dt■ = KS(t ) 5(/) = AeK

determinaremos A, para esto se tiene: para t = 0 S (0) = A,

luego 5(7") = 5 (0)ekl, para un interés del 2%, (k = 0.02),

S (t) = 2S (0) , 25(0) = 5 (0)e 0 .021 Ln (2) = 0.02 t

t =

t =

Ln( 2)

0.02

Ln( 2)

0.03

L n ( 2) 0.04

Ln( 2)

0.05

t = 34.66 , para un interés del 3%, k = 0.03

t = 23.10 , para un interés del 4%, k = 0.04

—» t = 17.33 , para un interés del 5%, k = 0.05

Un cierto hombre tiene una fortuna que aumenta a una velocidad proporcional ■

cuf.drado de su riqueza presente. Si tenía un millón de pesos hace un año, y ahora l ic f l

dos millones. ¿Cuánto tendrá dentro de seis meses?. ¿Dentro de dos años?.

Solución

Sea S (t) = fortuna del hombre. La descripción matemática es:

S' (t ) = K S 2 ( t ) , que resolviendo se t i e n e . ---- = Kt + C , encontraremos C.H S(t )

para t = 0, S (0) = S, luego C = -------- , entonces5(0)

L = K t ---- í—5 0 ) 5(0)

l/i/ii m iones de las Ecuaciones Diferenciales 24.‘

1

r5(0) tS{t) S ( t ) 5(0)-kt

i _ i - k t ( s m s 5(0)

5(r) 5(0) l-ifcíS(O)

además 5(0) = 1 x 10006 pesos = cantidad original

S (t) = cantidad actual en t años.

1 1 1Como K ■ 1 ■ = —KT6

tS( 0) tS(t) lx l O6 2x106 2

a) A los 6 meses = .0.5 años.

Si hace un año tenía 106 pesos, entre seis meses ha transcurrido t= 1 +0.5 = 1.5 años

5(1.5):10ft

10“6 31-. 106 (1.5) l - T

2 4

10- — = 4.106 => S(1.5) = 4'000,000 de pesos

l>) A los 2 años, S (2) = ? para t = 2 años

5(2) =10° 10b

l - i ^ . 1 0 ‘ ,22

= oo => S (2 ) = oopesos

Un fabricante ha encontrado que el cambio en el costo de distribución D, í

medida que aumenta las ventas S, es igual a una constante multiplicada por las ventas, n

es otra constante Si D = 0, cuando S = 0. Hallar D como una función de S y diagramar I;

relación obtenida.

Solución

Sean D = costo de distribución D , S = las ventas

dID

dS= cambio en el costo de distribución D


a medida que aumenta las ventas S. Según el problema, la descripción matemática cs¡|

^ - - a S + b de donde: dD = (aS + b)dS integrando D = ^ — + bS + CdS 2

La relación entre el costo de manufactura por artículo, M. y el número de clases de’

artículos fabricados, N, es tal que la tasa de incremento del costo de manufactura, a

medida que aumenta el número de clases, es igual a la razón del costo por artículo más el

número de clases, dividido todo entre el número de clases de artículos que se

manufactura. Obtener la relación entre el costo de fabricación por artículo y el número de

clases de productos fabricados. Si M = M 0 cuando M = 1.

Solución

M = costo de manufactura por artículo

N = número de clases de artículos fabricados.

La descripción matemática del problema es:

— = - - - - - - de donde N dM = (M + N ) dNdN N

que es una ecuación diferencial homogénea de donde

M = uN => dM = u dN + N du

N(u dN+ N du) = (uN + N)dN, simplificando

U dN + N du = u dN + dN de donde

dN f dN MN du = dN => du = — , integrando u - \----- i-c => u = ln N + c como u - — - i

N J N N i

M— = \nN + c como M = M n cuando N = 1N 0

M 0 = 0 + c => c = M 0

— = \nN + M 0 => M = N(ln N + M 0)N


(V ) Supóngase que la tasa de crecimiento en el costo “y” de elaborar un pedido y

supervisarlo, a medida que crece la magnitud o extensión del pedido a surtir, es igual a la

razón de la suma de los cuadrados del costo y la magnitud dividida entre el doblo

producto del costo y la extensión o tamaño del pedido. Determinar la relación entre ei

costo de ordenar y controlar, y el tamaño o magnitud de la orden si y = 3 cuando s = 1.

Solución

y = costo de elaborar y controlar un pedido

s = magnitud de la orden o pedido

La descripción matemática del problema es —- = ~y + -ds 2 sy

Esta ecuación es equivalente escribir así:

2sy dy = ( y 2 + s2 )ds ecuación diferencial homogénea

Sea y = us => dy = u ds + s du, de donde

2us2{uds + sdii) = (s2u2 + s2)ds simplificando 2u(uds + sdu) = (u2 + l)ds

2u~ds + 2usdu = u2ds + ds => (u2 - l )d s + 2usdu = 0 , separando las variables

ds 2u du , [d s C2udu ,- + —z---- = 0 , integrando — + \ ~ -----~ c => lns + lnO - l ) = c

s u 2 - 1 J s J u2 -1

248 Eduardo Espinoza Ram

In s(u2 -1 ) = c =» s(u2 -1 ) = ec = k , como u = —s

2 £s(— = => y2 - s 2 =ks => y = (s2+ks)2

s

I . icomo y = 3, s = 1 =* 3 = (l + fc)2 => k = 8 > = (s2 +8.s)2

8_) El cambio en el precio "y " según el cambio en la cantidad demandada x. de una ciert

, , dy 2xy + 24x , , , imercancía, esta dado por: — = --------------. Determine la relación entre el precio y la

dx x +16cantidad demandada, si el valor del primero es 7.5 cuando la segunda vale 4.

Solución

A la ecuación diferencial dada expresaremos en la forma (2xy + 24x)dx + (x 2 +16)dy = 0

2x(y + l2)dx + ( x 2 + \6)dy = 0 , separando las variables

2xdx dy . f 2xdx f dy . , .—:-------1--------- = ü , integrando se tiene: I — -------- v — -— = c , de donde:x +16 y + 12 J x +16 J y + 12

ln(x" +16) + ln(y +12) = c => ln(x2 + 16)(>’ + 12) = c

=> (x2 +16 )(y + 12) = c , para y = 7.5, x = 4

(32X13.5; = c => c = 432

l i>licaciones de las Ecuaciones Diferenciales 249

(x 2 +16)(y + 12) = 432 es la solución particular

T í ) Una empresa fabricante ha encontrado que el costo c de operar y mantener su equipo esta

relacionado con la amplitud x del intervalo existente entre las revisiones generales del

de b - 1 bamismo por la ecuación

dx x x

función de x si c = cQ cuando x = x0 .

Solución

c = — - en donde a y b son constantes, obtener c como

A la ecuación dada expresamos en la forma

de b - 1 ba ., ,. , . .,------------c = — - , es una ecuación lineal en c cuya solucion es:dx x x “

'I

c = xb '[ I ) d x + k] => c = xb '[ f — —‘J x*+1dx + k]

c = xb x[ ~ + k] = — + kxh ' , para c = c0, x = x0

ü , /,_i . bc0 = ---- ¥kx0 => x0c0 = a + kx0

x0

... ¥ 0 - fl => c = £ + £ q 3 l_ £ ^ - ix xbQ

Eduardo Espinoza Ramo*

------------------------------- '

La unidad de control de costos de una importante firma de contadores públicos M

encontrado que, a medida que se ampliaba la empresa, el costo promedio mensual “y dq

los artículos de oficina está relacionado con el número x de empleados (además del jefe o

director de la oficina) por medio de la ecuación — + 2y = y2 e ' , obtener y como funcióndx

de x si y = 3 cuando x = 0.

Solución

— + 2y = y2e~x es una ecuación de Bernoulli dx

y“2 —- -r 2 y-1 = e~x , hademos un cambio de variabledx

dz -? dy _2 dy dzZ = y => — = - y — => y — = -----

7 dx dx ' dx dx

- — + 2z - e ~ x => - ~ 2 z = -e~x (lineal en z) dx dx

donde la solución es: z = e I -2 dx11 eJ (~e X)dx + k]

i aciones de las Ecuaciones Diferenciales 251

z = e2xl j e 2x( - e . x)dx + c] => z = e2x[ ~ y 3xdx + c ]

—3x — x ~xz = e2x (----- + c) = — + c.e2x de donde' v_1 = ------h c.e2x, para x = 0, y = 3

3 3 3 , 7

1 1 é~x— + — = c => c = 0 por lo tanto y-1 = --- => y = 3eA3 3 3

PRO BLEM AS PROPUESTOS.-

La razón del incremento de las ventas S, a medida que crece la gestión de propaganda X

es igual a una constante menos la venta divididas por una constante más la gestión de

propaganda. Hallar la relación entre las ventas y gestión de propaganda^ si S ,Vn

Q _ Xcuando X = 0 graficar la relación obtenida. Rpta: S = S0 ---------

b

Supón¡. se que la tasa de incremento en el costo de ordenar y sostener y. a medí.la

que crece la magnitud de la orden S, es igual a la relación entre la suma de los cuadrado*

del costo y 1.' magnitud, dividida por el doble producto del costo y el tamaño llall.n 1«

relación entre el costo de ordenar y sostener y el tamaño de la orden si y = 3 cuandi > I

2graficar la relación obtenida. Rpta: y = (85 + s2 ) 2

252 Eduardo Espinoza Ramon

© La relación entre el ingreso R y la cantidad demandada X es tal que la tasa de

incremento en el ingreso, a medida que aumenta la cantidad demandada, es igual al doble

del cubo del ingreso menos el cubo de la cantidad demandada, todo dividido por el triple

del producto de la cantidad demandada y el cuadrado del ingreso. Encontrar la relación

entre el ingreso y la cantidad demandada si R = 0 cuando X = 10, graficar la relación

obtenida. ' Rpta: R = (10x2 - x3) 3

© La relación entre el costo de fabricación por cada ítem M y el número de clases de

ítem fabricados N es tal que la tasa de incremento del costo de fabricación, a medida que

aumenta el número de las clases de ítem, es igual a la razón del costo por ítem más el

número de clases de ítem dividido por el número de clases de ítem. Hallar la relación

entre el costo de fabricación por ítem y el número de clases de ítem fabricados si fl

N = M 0 cuando N = 1. Rpta: M = N ( M 0 + \ n N )

© La relación entre el costo de operar un almacén de depósito y fel número de galones de

dyaceite almacenados en el depósito está dado por — = Kx + a donde y es el costo mensual

dx

de operar el depósito (en dólares) y x es el número de galones de aceite almacenados. Si

y - y o (costo fijo) cuando x = 0, hallar y como función de x, y graficar.

kx2Rpta: y = ---- + ax + c

© La relación entre la utilidad neta P y el gasto de propaganda x es tal que la tasa de 1

incremento de la utilidad neta a medida que crece el gasto de propaganda, es proporcional

a la diferencia entre una constante y la utilidad neta. Hallar la relación entre la utilidad

neta y el gasto de propaganda, si P = P0 cuando x = 0 y graí .ar.

Rpta: P = a - ( a - P 0)e~kx

© La razón del incremento en el costo y a medida que crece el número de unidades 1

fabricados x es igual del doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de

unidades dividido por el producto del costo y el número de unidades. Hallar la relación

entre el costo y el número de unidades fabricadas si y = 3 cuando x = 1.

Rpta: y = V8x4 + x 2

tilinaciones de las Ecuaciones Diferenciales 253

La razón de crecimiento del volumen de ventas S, a medida que el precio P decrece,

es proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional a la diferencia entre el

precio y una constante. Hallar la relación entre el volumen de ventas y el precio, si

P - bS = S 0 cuando P = P0 . Rpta: S = S 0(-^-----)a

P - b

(*>) La relación entre la utilidad neta P y el gasto de propaganda X es tal que la tasa de

incremento de la utilidad neta, a medida que crece el gasto de propaganda es proporcional

a la diferencia entre una constante y la utilidad neta. Hallar la relación entre la utilidad

neta y el gasto de propaganda, si P = P0 cuando x = 0. Rpta: P = a - ( a - P 0)e~kx

@ La relación entre el costo promedio "y " y el número de unidades producidas “x” es tal

que el cambio en el costo promedio, a medida que crece el número de unidades es igual a

la relación del número menos el costo promedio, dividido por el número de unidades.

Determinar la relación entre el costo promedio y el número de unidades producidas, si

■—■ 9 — j 4y = — cuando x = 1, graficar la relación obtenida. Rpta. y = — + —

( u ) El arrendamiento de un apartamento (dos alcobas, muebles “ estándar” ) en un colegio

varía con la distancia del apartamento al campus. Supóngase que esta relación está dada

por:

£^ = - ( — + a) , 1 < x < 10dx x

en que “ y” es el arrendamiento mensual (en dólares) y “x” es la distancia (en millas > K \

a son una constantes, si y = 225 cuando x = 1. Hallar "y ” como una función de \ s

diagramar la relación obtenida. Rpta: y = 225 + a - ax - K Lnx

( Í 2) La tasa del incremento de las ventas v a medida que crece el gasto en publicidad es

igual a una constante más el gasto publicitario. Halle la relación entre las vcntn ■ du lm

costo si v = v0 cuando x = 0. Grafique la relación obtenida. Rpta. r - <\t ti,,


( o ) La renta de los apartamentos para estudiantes (con dos recamaras y muebles comunes) efl

lugar cercano a una universidad, varía según sea la distancia de la vivienda con respecto ||

al institución educativa. Suponga que tal relación está dado por — = - ( — + a ) , 1 < x í I lidx x

en donde y es la renta mensual (en unidades monetarias determinadas) y x es la distancié

(en kilómetros) a la universidad; k y a son constantes. Exprese a “ y” como una función de

x si y = 225 cuando x = 1, grafique la relación obtenida. Rpta. y = 225 + a - ax - k ln

( ¡ i ) La tasa de incremento en el costo “y” a medida que crece el número x de unidaduM

fabricadas, es igual al doble del cuadrado del costo menos el cuadrado del número do

unidades, dividido todo entre el producto del costo y el número de unidades. Determine la

relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si y = 3 cuando x = 1. Grafique:

la relación obtenida. Rpta. y = \¡Sx4 + x2

( l i ) El cambio en la utilidad neta P a medida que cambia el gasto en publicidad x, está dado] dP

por la ecuación — - = k - a (P + x ) , en donde a y k son constantes. Establezca P como una i dx

función de x, si P = P0 cuando x = 0. Rpta. P = - x + (P0 + — -)e~axa a

( l ó ) La tasa de crecimiento del volumen de ventas v, a medida que decrece el precio P, es

proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional al precio menos una)

constante. Halle la relación entre dicho volumen de ventas y el precio, si v = v0 cuanddj

P = P0 . Rpta. v = Vo(/° - c)a í(P ~ c ) a

( Í 7 ) Un íabricante ha descubierto que el cambio en el costo de distribución D a medida que

aumentan las ventas V, es igual a una constante multiplicada por las ventas más otra

constante. Halle la relación entre el costo de distribución y las ventas si D = 0 cuando]

K, oV = 0, trace la grafica de la relación obtenida. Rpta. D = v + k2v

( í s ) El cambio en el costo c de elaborar un pedido (u orden) y supervisado, a medida que

de c Lcambia la cantidad x, está dado por la ecuación — = a ----, en donde a es una constante.]

dx x

Halle c como función de x, si c = c0 cuando x = x0 . Rpta. c -ax2 + 2cqx 0 - axg

2x


( l ‘>) Si el interés es capitalizado continuamente,

a) Determine la cantidad de que se dispone a los 10 años si se depositan $ 5000 al 4%.

b) Evalué el monto disponible a los 20 años si se depositan $ 20000 al 6%.

Rpta. a) $ 7460 b) $ 66402

Si el crecimiento de una población es continua a razón de 5% al año, y el número original

de individuos es 200, ¿Cuál será el tamaño de la población a los 10 años? Rpta. 329.8

( 2T ) Si el incremento de población es continua y la tasa r es proporcional al número N de

dNindividuos presente en una población, entonces = r N , r > 0 crecimiento, r < 0

decrecimiento. Si N = N 0 , cuando t = 0, obtenga una fórmula para el número de

individuos de la población al tiempo t. Rpta. N = N 0en

© Los costos c de fabricación y comercialización están relacionados con el número x de

deproductos según la ecuación---- 1- ac = b + kx , en donde a, b y k son constante. Establezca

dx

c como función de x si c = 0, cuando x = 0. Rpta. c = ab — (1 -g ax) + — xa a

( í i ) El cambio en el consumo c de una cierta mercancía, a medida que cambia el ;ngreso I

deestá dado por la ecuación — = c + k e ' , en donde k es una constante. Obtenga c comí

di

función de I si c = c0 cuando I = 0. . Rpta. c — el (kl + c 0)

( 24) La productividad marginal de un proceso está dado por — = — — , donde x representa" dx 32 — 4x

la inversión (en miles de dólares). Encuentre la productividad para cada una de las

siguientes inversiones si la productividad es de 100 unidades cuando la inversión es de

$ 1000.

a) $ 3000 b) $ 5000

c) ¿Pueden las inversiones alcanzar $ 8000 de acuerdo con este modelo? ¿Por qué?

Eduardo Espinoza Ranún

Suponga que el producto nacional bruto (PNB) de un país particular ca!CÉ|

exponencialmente, con un incremento constante de 2% por año, hace diez años, el PNll

era de 105 dolare ¿Cuál será el PNB en 5 años? Rpta. aprox. $ 1.35x10' 1

La razón a la que el número de bacterias en un cultivo está cambiando desde | i

dyintroducción de un bactericida, está dado por: — = 5 0 - v , donde y es el número de 1

dx

bacterias (en miles) presentes en el tiempo x. Encuentre el número de bacterias presen ton®

en cada uno de los siguientes tiempos si habia 1000 miles de bacteroas presentes en e l f l

tiempo x = 0.

a) x = 2 b) x = 5 c) x = 10

Rpta. a) 178.6 mil b) 56.4 mil c) 50 mil

Una compañía ha encontrado que la razón a la que una persona mueve en la línea de 1

dy a ~i • ¡¡1ensamble produce artículos es — = 15e 4 y , donde x es el número de días que la 1

dx

persona ha trabajado en la línea ¿Cuantos artículos cabe esperar que un trabajador nuevo®

produzca en el octavo día si no produjo ninguno cuando x = 0? Rpta. aprox. 10 1

Se depositan $ 10,000 en una cuenta de ahorros al 5% de interés compuestM

continuamente. Suponga que se hacen retiros continuos de $ 1000 por año.

a) Escriba una ecuación diferencial que describa la situación.

b) ¿Cuánto quedara en la cuenta después de 1 año?

, /ARpta. a) — = 0.05A-1000 b) $9487.29

dt

La razón a la que un nuevo trabajador de cierta fabrica produce artículos está dado por: 1

dy x I— = 0.2(125- y ) , donde y es el número de artículos que el trabajador produce por día, x Idx

es el número de días trabajados y la producción máxima por día es de 125 artículos.!

Suponga que el trabajador produzca 20 artículos el primer día en su trabajo (x = 0).


a) Encuentre el número de artículos que el nuevo trabajador producirá en 10 días.

b) De acuerdo con la función de solución de la ecuación diferencial ¿Puede el trabajador producir 125 artículos en un día?

Rpta. a) aprox. 11 artículos b) no exactamente

El ritmo al que la gente oye hablar sobre un nuevo aumento de tarifas postales es

proporcional al número de personas del país que no han oído hablar sobre el. Exprese el

número de personas que han oído hablar sobre el aumento como una función del tiempo.

Rpta. Q(t) = B - Ae~k‘

(Q = número de personas, B = población total del pais, A = constante)

258 Eduardo Espinoza Ramin

C A P I T U L O I V

4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDENSUPERIOR.-

En las ecuaciones diferenciales de orden superior consideraremos dos tipos especiales:

I o caso: Las ecuaciones diferenciales de la forma:dnydx"

= / (x)

donde f (x ) es una función sólo de x.

La solución de la ecuación (1) se obtiene por integración sucesivas, es decir:

d

dxf ( x ) dx + cx

. í ’ j

—^ = J[J/(a:) dx + cx]dx + c2

-JH. I f (x )d x + c¡....]dx + cn

2° caso: Las ecuaciones diferenciales de la forma:d 'y

1 7donde g es una función solo de y.

para obtener la solución de la ecuación (2) se hace del modo siguiente:

d2v dy' dx' dx ,dx'— — = = v — , pero comodx2 dx dy dx ' dy

(2)

Icuaciones Diferenciales de Orden Superior 2i

©

d2y , , dy’— T = 8 (y ) entonces y — = g ( y ) , de donde dx dy

y'dy'= g(y)dy integrando se tiene: j y ' d y ' = j g ( y ) d y + c¡ => J*i2

g(y)dy + cl

■J->’ ’ = J 2U g(y)dy + c{] separando las variables

dy = a/2[J* g(y)dy + c, ]dx, de donde J -j - ^ __ = j d x + c

2|íL2

g(y)dy + c¡]

. ■. d3yen forma similar si se tiene — — - g(y)

dx

a a d 2y ,d 2y' dx\2.se deduce que — f = y [ y - v + ( ) ]

dx ' d y dy

3° caso: Las ecuaciones diferenciales de la forma. F (x ,y (k), y (*+l\...,.y(n)) = 0 (3)

donde la ecuación (3) no contiene a y, se puede rebajar el orden de la ecuación tornandi

como nueva función incógnita la derivada de orden inferior de la ecuación dada, ó se

y a> = z ■ Obteniéndose la ecuación F (x ,z ,z\ ~ . ,z (n~k)) = 0

a) Ejemplos.- Resolver las siguientes diferenciales.

4 - » 'dxSolución

ñ dx3

d3y x d y f x x x— — = xe => — — = I xe dx + c, = xe - e + c,"3 dx- J

dy f— = I (xex —ex + cx)dx + c2 = xex —2ex + c¡x + c2

f e x 2y = U x e x - 2 e x + c¡x + c2)dx + => y = xex - 3ex + + c2x + c-,

260 Eduardo Espinoza KumM

© .d 2y n — + ay = 0 dx

Solución

d‘ y , dy' tdy'Como — — = y ---- => y —— (- a y = 0

dx~ dy dyy'dy' + aydy = 0 , integrando se tiene;

j y 'd y ' + J a2y dy = c.

' = a/2 c , - a v ¿/y= (¿V

I ay ay—arcsen - 7 = = x + x0 => arcsen( .jL _) = ax +ac-,

7 2 ^ 2

«y— sen(ax + ac2 ) => y = K y sen ax+ K 0 cos ax

( ? ) xy" = y 'ln (— )

Solución

y ' = z => x z '~ z ln(—) , z , z : = — ln —x x

es una ecuación homogénea z = ux de donde dz = udx + xdu entonces

z zdz - — ln(—)dx => u dx + x du = u ln u dx

x x

xdu = (u Ln y u - u) dx, separando la variable.

du dx

u \ n u -u xIn (ln u - 1 ) = ln ex => Ln u - 1 = ex => Ln u = 1 + ex

u = e,~rx = » - = eI+CT z = x *1+c*

'lunes Diferenciales de Orden Superior 261

Z (x )d x

= xe,+cx => dy = xel+cxdx integrando y - —ew' x — - e 1 +k dx c c¿

Resolver x y ' (y y " - {y ' )2 - y ( y ' ) 2) = x4? 3

Solución

¡Z ( x ) d x i Z (x )d x \ Z ( x ) d x .Sea: y = e■* => y ’ = Z (x )e ' a y" = Z ' (x )e * + (Z (x ))~ e

fzOOdx f z u v í t fz (-t )d * , ¡ Z ( x ) d x , 2 Í z ( x ) d xLuego: X Z (x )eJ [e} (z ' (x )eJ + ( z ( x ) ) - e J ) - ( z ( x ) ) ' e J ]

[ z ( x . ) d x . 2 ¡ Z ( x ) d x , 3 ÍZ (x )dx-e * (z (x )) e J = x e J

31 x dx ■> /• 1 - i 1e J [xz(x)z'(x) + x(z(x)):3 -x(z(x))3 -(z(x))2] = x4e J [xz(x)z'(x)-(z(x)) ] = x

z '(x )- (—)z(x) = x3(z(x))_1. Ecuación Diferencial de Bernoulli en z conn = -l

- 2 f-rfjr 2 f - d x , 7 5 , / I=> z2 =<? J* [2 e Jjr x ax + c] = x (x + c ) => z = x\]x + c

y2y 3yy ' y ”+ 2(y ’)3 + - ( y y (y ')2 ) =3

2X X

Solución

f z ( j ) d í f z (x )d x \ z ( x )d x \ z ( x )d xSea: y = eJ => y ’ = z (x )eJ a y " = z \ x )e J + z eJ A

Í 'z dx I z d x I z dx , I+ zz'eJ + 2zeJ z'+z eJ

z dx

Reemplazando en la Ecuación Diferencial dada:

262 Eduardo Espinoza lümiiit

2 1 z dx \ z dx Izdx , I z dx 21 zdx izdx , \z dx , 3 f : </i 1e J ( z V + 3 zz'eJ + z V ) - ( 3 e J ) ( z 'e J + z V ) + 2z3e •' t

. \ z d x I z dx I z dx . I z dx 2 \ z dx _ * I Í“ V (eJ ( z 'e J + z2eJ ) ) - z 2e J ] = x 2<'-M

3 1 z dx _ i - i 7 3 j z dx 1e J [z "+ 3 zz ’+ - -3 z z '-3 z +2z + x z '+ x z - x z~] = x e ' => z " + - z 'a M

x 1

Sea: t = ¿ => t ’- z "

1Luego la ecuación diferencial es de la forma: t '+ — t = x ecuación diferencial en t

, v-2 av , . lnx c

■Jln a- , f dx---- dx + c I —

x J xy - e

*+ln x )d x

y = y ' t g x - ( y ' ) 2 see2 xSolución

Sea: z = senx —> z ' = (cosx) — ; (z ' = — )dy dy

1 , Z . 1 . 2 / X ' s2y = — (— x ) - ( — ) ( — )

x z x z

z 1

z' (z')2 ’

Sea: z’= P => P 2 -z/? + l = 0 de donde

P 2 + 2 y P ^ — P ^ - . z ^ - = Q => P 2 + 2 y P ^ ~ - P 2 - z ^ f - = 0 dy dy dy ■ dy dy

~j~ (2yP — sé = 0 => “ “ = 0 => p = c\ => Z = c 1y + c 2

2 2 en: yq - (s e n x )q +1 = 0 es decir: c, y - c , sen x+ 1 = 0

y Xz') - zz ’+1 = 0

/. senx = cIy + c2

>iiun iones Diferenciales de Orden Superior 263

z ¿fe dy2yP - z = 0 => P = — => — = — integrando se tiene:

2 y z 2 y

1 - 2 Lnz= — Lny + LnK => z = Ky2 sen“ x = Á’1y

^ x y y " - x (y ' ) 2 - yy '= 0Solución

Sea: y '= y z => y ''= y'z + yz'— yz2 + yz' , es decir: y " = y (z2 + z ' )

Reemplazando en la ecuación diferencial

xy'2 ( z 2 + z ' ) - x 3' 2z 2 - x 2z ;=0 de donde xz2 + x z ’-x z ~ —z = 0

dz dx . zxz' - z = 0 de donde — --------= 0 integrando Lnz — L x = Le, es decir: — = q

z x x

y ' y ' dy ct 7Como: z = — =» — = c, => — = qxdx integrando se tiene ln y = — x + c 2

y yx y 2

n k->x2y = k ,e

x 2 y y " = (y - x y ’ ) 2Solución

Sea: y '=y z => y " = y ( z 2 + z ’ ) => x 2y 2 = ( z 2 + z ’ ) = [y - x y ( z )]2

es y 2 [x 2z 2 + z 2 + z ] = y 2 [ l - x z ] 2 => x 2z 2 + x 2z'= l + x 2z 2 - 2xz

2 1 f p * 1 z'h— z — —T- => z - e Jx [| e Jjr .— dx + c] integrando

X X"

z = x2[x + c] => — = x '+ c x 2 => — = (x 1 +cx 2)dx

lny = lnx + — + c2 y = xke x La solución: y = c2e3x

264

©

Eduardo Espinozít K u H I , unciones Diferenciales de Orden Superior 265

Observación.- Cuando la ecuación diferencial es homogénea para la función y vv"-2 vv'ln y - y'2 = 0

derivadas, la sustitución y '=yz ó y = J reduce el orden do ufl(

ecuación diferencial una unidad.

4x2yy '=9 xy2 + 6x + 54y6 +108y4 + 7 2 y2 +16

Solución

4x2yy '= 3x(3v2 + 2 ) + 2(3y" + 2 )3

2 9 3 3Sea: z = 3y2 +2 => z '=6 yy ' — x2z ' = 3xz + 2z3 => z '- — z = ■

Bemoulli en z con: n = 3

21 - i r J'-2 f - — dx T,J 2 x ___ dx + c ] - x 9(-6 .^ - + c)

ecuación: (3y2 + 2 )21

3 _[ -9---X + ex4

(3 y2 + 2)2

- 2 3 _ iz - — x + ex-9

4x

-3x + 4c

(3 y 2 + 2 ) 2( - 3 x 8 + 4 c) - 4 x ° = 0

xyy"+x(y')2 = 2yy’Solución

Sea: y '=yz => y ''= y (z 2+ z ') => x>’" (z 2 + z') + xy2z~ = 2y~z

2 02xz2 + xz' - 2z = 0 =>X z '— z = -2 z2 Bemoulli con n = 2

= o , integrando se tiene: ln z - 2 ln x = ln c => z = cx~z x

©

©

©M i

Peio: z = — => —- - c x 2dx integrando se tiene: Lny = — x3 f q y - kxe 2y y 3

Sea: P = y ' => y " = P

■dp

Solución

dp dp 2— => y " ------2 y P L n y -P ~ = 0 , factorizando se tiene:ay dy

P ( y ------2 Lny~P ) = 0 => P - 0 => y = c,dy

( j |

ó -------- P = 2 ln y ; lineal en Pdy y

, -J -7 , f i .Luego: P = e J y [ j e J' y .2\n y dy + c{] = > [^ ln 2 y + c j

¿y

i 2— = y ln )> + £’,)> integrandodx í í/y

yin y + c,y■ = dx

J ¿y ln y= <& => arctg(-----) = x + c2 => ln y = c, tg(x + c2 )

yin y + Cjy



d 2x

dt2

¿ 2y _— f = xc \ y(0 ) = 1, y '(0) = 0 dx~

Rpta: x = — + c,t + c-, 12 1 2

Rpta: y = (x + 2)c * + x - l

d4y 2 1 1— r - c o s 2x, y (0 )= — , y ’(0), y ”(0) = - , y ’"(0) = 0 ax n32

„ , x4 x2 cos2xRpta: y = — + — + --------48 8 32

266 Eduardo Espinoza Ranwi

©

©

©

©

©

©

^ - y = xsenx, y (0) = 0, y '(0) = 0 dx

y ".= 2 sen x eos" x - sen3 x

Rpta: y = x co s x -3 s en x + x~ + 2x

cpn vRpta: y = — ^— + Cjx+ c2

3xy " '= x e y (0 ) = 0, y’(0) = 2, y " ( 0) = 2 Rpta: y = - (x + 3)e v + 7^— + 3

y" = (2y + 3 ) - 2 y ’" = 0

1 + y - yy"

yy' ’- y ' " = o, y (0 ) = 1, y' ( 0) = 2

Rpta: — L «(2 y + 3) = c,x + c2

x + cRpta: y = K cosh(------ )

K

Rpta: y = e2x

,, ,2 2 j yy - y = y Lny Rpta: Lny = cxe + c 2e

© y ( l — Lny)y"+ ( 1+ Lny)y ' = 0

y' U + y) = y'2+y'

V =

• f y

Rpta: y = e 1

Rpta: /.«[<•, (y + 1) ~ 11 = c, (x + c2)

Rpta: x = ^ J y ~ \n(2y[ y + c l) + c2

y " - ~ = x (x -\ ) , y(2 ) = 1, y'(2) = - 1JC — 1

Rpta: v = — (3x4 - 4 x 3 —36x2 +72x + 8) ' 24

15) (1 - x ~ )y " - x y '= 2

( ] + x 2 )y " + l + y '2 = 0

Rpta: v = (aresenx) + c, arcsenx + c2

J xRpta: y = ( l + - - )L n ( l + Cjx)------ i- c 2

I citaciones Diferenciales de Orden Superior 267

@ y ' " ( x - 1) - y " = 0, y (2 ) = 2 , y ( 2 ) = l, y ’ ( 2 ) = l

1 7Rpta: y = —(x - 3 x + 6x + 4)

6

© y" cosx(cosx + 2 y y ') = 2y senx(cosx + 2yy ')y '-4 yy 'cosx sug: y2 = z, senx = <y

© y " - y +yy'3 = 0, y (0 ) = 1, y (0 ) = l Rpta: y2 - 2 y - 2 e x~y = 2 x - 3

(lo ) Hallar la ecuación de una curva que satisface a la ecuación diferencial: yy'' — 2 ( y ' f + y2

y tenga pendiente \¡3 en el punto (0,1) Rpta: 2y = sec(x + —)• 3

@ ( y "+ y ' )e x + (cosx + x “ )y '+ (2 x - senx)y = -s en x + 2 x

(22) 2yy"—3y'2 = 4 y 2 (23) xy’ ( y y " - y ’2 ) - yy " = x4y 3

! @ - 32 W dx

24) y2 y ”'~ 3yy' y "+2y '3+ — { y y y ,2) = 1 — (25) - y = x + senx

d 2 y a + bx /C2\ d 2y , 226) — = — — (27) X— ~ — 1 + x

dx~ x z dx2

28) y " '= xL n x , y ( l ) = y ' ( l ) = >’"(1 ) = 0 (29) y ’ " = x + cosx

© y'" = — ——r . y (l) = y '( l ) = y " (l) = 0 (3 l ) y = a < r vw (x + 2) w

32) - y = — (33J y y " = -1, y ( l ) = 1, y ’ ( l ) = 0dx~ y

(34) y " = e2y, y (0 ) = 0, y ’ (0 ) = 1 @ ^ = | v 2, y '( l ) = y (l ) = lv— dx“ 2

I d y _ „y ..'/m _ 1 _ n ^36) 2— f = y '(0 ) = -1, y(0 ) = 0 (37) y" = ---- dx2 w 2y


38) y " y = \ , y = l y' = 1 para x = - [39) y y ' - y ' = -[ + x

40) y ” = senycosy, y (0 )= — , y ’(0) = - l (41) y y " -y ' - y y

42) y ' " = x e ~ * , y(0) = y '(0) = / ’(O) = 0 (43) (y'+2)é? • y " = 1

44) yl'-y '2+yy'3 = 0 @ y = / tg.v - y ’2 secx

..2.."2 2 . ... ,,'2 _ A /'d7\ i r 2 J-v2U'"46) x 2y " 2- x 2y 'y ' " - y = 0 (47) (x H-y 1 y " = (1 + y' ) (x y ' -y )

- a , , , ry+c\+J(<y+cx)2 - a 2 , , x + c 2 i48) a"y = 1 + y , ± (x + c2) = «ln [------^ --------------------] o y + c , = ± acosh (— — )

49) = see2 v.tg v, y ' = -l, x = ln2, y - - ~dx 4

50) cos3 y-^-^ = seny, y ' = V 2, y = 0, x = 0 ^ dr"

la laciones Diferenciales Lineales de Orden n 269

C A P I T U L O V

*

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son de la forma siguiente:

+ ... + a0(x )y = .K(x) (1)

donde aQ, a x,a 2, . . . ,a n y R son funciones solo de x ó constante.

La ecuación diferencial (1) se puede escribir en la forma:

F ( x , y ' , y " , . . . , y <n)) = 0 ... (2)

La ecuación (2) nos indica que están relacionadas, la variable independiente x, la variable

dependiente y, y las derivadas y ', y ” y (n)

Si en la ecuación (1) la función R (x) = 0, se obtiene:

d ny d n y ^dya« ( T T + ( 'v) ~7ü m + - + « i W - + floW .v = 0

dx dx dx... (3)

A la ecuación diferencial (3) se denomina ecuación diferencial lineal homogénea.

Si en la ecuación (1), la función R (x ) * 0, la ecuación diferencial (1) se denomina

ecuación diferencial lineal no homogénea.

Si y , , y2 son soluciones de la ecuación diferencial (3) y si c, y c 2 son constantes

arbitrarias, entonces y = C|y1+ c 2y 2 es una solución de la ecuación (3).

Como y , , y2 son soluciones de la ecuación (3) entonces:

270 Eduardo Espinoza Kamos licuaciones Diferenciales Lineales de Orden n 271

©

a„ (x)y<i" ) +an- l ( x)y\n "+ ...+ a1(jc)y ’|+ a0(x )y ,= 0

an ^ y i2 > + a n-\(x ')y{2 _l,+---+ ai {x )y '2+ a0(x )y 2 = 0

sumando y agrupando se tiene:

an(x ) ( c xy\"] + c 2y ‘") ) + a,i_1U )(c 1y ]<"“ l> + c2y 21~1)) + a0(x )(c l y , + c2y 2) = 0

" , , U ) ( q y i + c 2y 2) (" ’ + a „ _ , ( x ) (c , y 1 + ) (n~0 + a0 ( x ) ( c 1y 1 + c 2y 2) = 0

entonces c, y, + c 2y2 es una solución de la ecuación diferencial (3)

En general si, y¡, i = 1, 2,..., n son soluciones de la ecuación diferencial«

lineal homogénea de (3) y si c , , i = 1, 2,..., n son constantes, entoncesj

y — c¡y, + c 2y2 + ... + c nyn , es una solución de la ecuación diferencial (3).

5.1 INDEPENDENCIA LINEAL I)E LAS FUNCIGNES.-

Consideremos un sistema finito de n funciones: /, (x), f 2(x ) , . . . , fn(x ) definidas en algún

intervalo (a,b), diremos que estas funciones son linealmente independientes si existen

a l , a 2,...,an escalares tal que:

« i / j (x ) + a 2f 2(x ) + ... + a nf n(x ) = 0 entonces a , = a 2 =... = a „ = 0

Si alguno de los a , , a 2, e s diferente de cero, entonces diremos que / ,,/ 2

sen funciones linealmente dependientes.

Ejemplos: Averiguar si las funciones dadas son linealmente independientes.

f l (x ) = x , f 2(x ) = 2x, /3(x ) = x 2

Solución

Por determinar si a 1/1(x ) + a 2/2(x ) + a 3/3(x ) = 0 entonces a ] = a 2 = a 3 = 0 .

Luego a , x + a 2 2x + a..v 2 = 0 , derivando

a , + + 2 a2 + 2 a ví = 0 , derivando nuevamente.

2oí3 = 0 - » a 3 = 0 -> a ! = - 2 a 2

Como a 3 = 0 y = - 2 a 2-> / 1(x ) , f 2(x ) y /3(x ) no son linealmente independientes.

5.2. EL WRONSKIANO.

Suponiendo que las n funciones: / j(x ),/ 2(x),..., f „ ( x ) son diferenciables cada uno al

menos (n - 1) veces en un intervalo a < x < b, entonces de la ecuación

c \f\ +C2Í 2 + — + c nfn = 0 Por diferenciación sucesiva se tiene:

Ci f l + C 2f 2 + - + Cn f n = 0

C j \ + C 2f ' 2 + - + Cn f ' v = 0

C\f'\+C2r 2+.:+Cnf " n =0

(a )

c j ¡ n- l )+c2f t [ )+ - + c nf t l )=0¡

Consideraremos a (a ) como un sistema de ecuaciones en c ¡ , c 2,—,c n

El sistema de ecuaciones (a ) no tiene solución, excepto cuando todos los c 1,c 2,—,< „

son ceros.

Si el determinante de los coeficientes de c ¡ , c2,..., c„ no es nulo es decir:

/. f i •• f n

f \ / ' 2 ••• f ' n

r i / ” 2 ••• f ’n

s i n - 1) f ( n - l ) r ( n - 1)J 1 J 2 J n

= 0 , entonces diremos que las funciones:

272 Eduardo Espinoza Rumok

f $*)» f 2 (•*)>—, f n (x ) son linealmente independientes, al determinante de los coeficienii'l

del sistema (a ) denotaremos por W, es decir:

W =

/| Í 2 •- fn

/■ 1 f \ • • f ' n

f \ • ■ f ' n

f (n -1) f(n-$ r(n-1)J\ J 2 •“ Jn

Llamaremos el Wronskiano de las funciones: f x (x), f 2 (x),..., f n (x )

Ejemplo N ° l: Demostrar que las funciones: ex ,e 2x,e 3x son linealment#!

ir dependiente.

Soluciónex e2x eix

w = ex 2elx 3eix = 2e6x , V x e R

ex 4e2x 9e3x

entonces las funciones ex , e2x ,e 3x, son linealmente independiente.

Ejemplo N°2: Demostrar que las funciones e^.cosx, senx son linealmente]

independiente.

Solución

W

e eos x sen x

ex - sen x eos x

ex -c o sx -sen x

= 2e-x íO , V x s R

Entonces las funciones e ' , eos x, sen x son linealmente independiente.

Ejemplo N°3: Hallar el Wronskiano de las funciones: f x (x ) = x , f 2 (x ) = —x

Solución

I l itaciones Diferenciales Lineales de Orden n 273

/ j(x ) f 2(x )

f ' i (x ) / ’2(x )

x —X

X X

Luego W = — ; para x * 0x

O BSERVAC IO N

Que el Wronskiano W * 0, para que las funciones sean linealmente independiente es una

condición necesaria pero no suficiente, por ejemplo las funciones:

/ iW =x si - l < x < 0

0 si 0 < x < 1

Í0 si - l < x < 0/2W = 1 2 . . .

[x si 0 < x < l

son linealmente independiente y su

Este sistema de funciones es linealmente independiente puesto que para

= a 2 — 0, se cumple la identidad: G-\f\ +OL2f 2 = 0 . En efecto:

S ix e [-1,0] => a 1/ ,(x ) + a 2/2(x ) = 0

x 2 + a 2.0 = 0 = » a t.x2 = 0 => a , = 0

S ix e [0,1] => a ,/ 1(x ) + a 2/2(x ) = 0

a ,.0 + a 2.x2 = 0 => a 2.x2 = 0 => a 2 = 0 . Luego a , = a 2 = 0

Consideremos el Wronskiano en [-1,0] y en [0,1]

Wx2 0 oII II 0 x2

2x 0 0 2x— 0. Por lo tanto: W [ f { , f 2] = 0 en | 1,1



I. Obténgase el Wronskiano de las siguientes funciones indicadas:

© 1, x, x 2,..., x n~] para n > 1 Rpta: W = 0! 1! ... (n - 1)!

© donde m y n son enteros y m í n Rpta: W = (n - m )eim+n)x

© senhx, coshx Rpta: W = -l

© x, xex Rpta: W = x 2e x

©e x sen x, e x eos x Rpta: W = - e 2jr

© eos2 x, l + cos2x Rpta: W = 0

©

1*l

Rpta: W = e - lx

©* x —xe ,2e Rpta: W = 0

© 2, eos x, eos 2x Rpta: W = -8 sen3 x

@ e~3x sen 2x, e~3x eos 2x Rpta: W = -2e~6x

II. Mediante el Wronskiano, demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos :

linealmente independiente.

© l ,e~x,2e2x ( ? ) Ln x, x Ln x

©

i iX2,X3 ( ? ) eM sen bx, eax eos bx, b 0

© 1, sen2 x, 1 - eos x © ln — . 1 w x + 1

©V 1—X2, X (^8) sen^cos2x

©2 4 8

X ,x ,x (lO ) í ' , x a , i V

1 1 naciones Diferenciales Lineales de Orden n 275

III. Demostrar que las funciones dadas son linealmente independiente y su Wronskiano es

cero, construir las gráficas de estas funciones.

0 si 0 < x < 2 f ( x _ 2 ) 2 si o < x < 2

(x — 2)2 si 2 < x < 4 ' [ O si 2 < x < 4

© f . j x 3 si - 2 < x < 0 [ 0 si -2 < x < 0/i(x )= n . n , - /2W = i o

0 si 0 < x < 1 \ x~ si 0 < x < 1

( "0 / i(x ) = x 2, /2(x ) = x|x| ,-l < x < 1

(7 ) Demostrar que el Wronskiano de las funciones: e*1* e 1"2* . . .ek"k es

1 1 1

K k2 .. kn

*> k22 -

k r l •• K ~ l

( ? ) Demostrar que las funciones: e 2jr,x e2jt,í;2jc senx,e2jr cosx son linealmente

independiente.

( 7 ) Demostrar que el Wronskiano de las funciones: x “ ,x^. x T es:

a + P + y - l1 1 1

« P ra ( a - 1) P ( P - l ) x ( y - l )

276 Eduardo Espinoza RamoI

5.3.___ ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS ] ■ _______COEFICIENTES CONSTANTES.-_________________________ .3

Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes son de jM

forma:

d nv jn-l“ v dyan— - + a„_x------T + ... + ax—- + a0)> = 0" dxn dxn~' dx

... (1)

donde a0,a { ,...,a„ son constantes.

Para resolver estas ecuaciones diferenciales, primero consideramos el polinomio!

característico de la forma siguiente:

P ( r ) = a n r " + a n_, r " '+ . . . + « , r + ci0 = 0

Como el polinomio característico P(r) = 0 es de grado n entonces se puede obtener las,«

siguientes raíces r j, r2, r3,..., los cuales pueden ser, reales distintos, reales d e fl

multiplicidad o números complejos.

Luego para dar la solución de la ecuación (1) consideremos los siguientes casos: I

I o Caso Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(r) = 0 son reales y distintos:

r\ < r2 < •••< rn entonces el sistema fundamental de soluciones de la ecuación (1) tiene la

forma siguiente e r'x , e r-x , . . . , e r"x , y la solución general de la ecuación diferencial linealJ

homogénea (1) es:r,A r j x r „ X

y = c , e ' + c 2 e - +...+cn e

2° Caso Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(r) — 0 alguna de las raícesj

son de multiplicidad, consideremos rl = r 2 = . . . - r k = r y donde r es la raíz d<

multiplicidad k, y n - k son las demás raíces y distintas.

Luego el sistema fundamental de soluciones tiene la siguiente forma:

i cuaciones Diferenciales Lineales de Orden n 2*

y la solución general de la ecuación diferencial (1) es:

yg - Cje + c 2xen + c^x2erx+....+ckx k le rx + ck+lerk*'x+...+cner"x

3 Caso Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(r) = 0 alguna de estas raíces s< complejas: > -,= «,+¿ (3 ,, r2 = a , - / p , , r3 = a 2 +/p2 , r4 = a 2 -/ p 2

y las demás raíces supongamos que sean reales y distintas.

Luego el sistema fundamental de soluciones son de la forma siguiente:

ea'x cosp1jr,c“ 1'c senPjX.e“ 2' c o s P ^ e “ 2'* senfi2x ,e r5X,...,ernX

y la solución general de la ecuación diferencial (1) es:

yg = cií''°V eos$lX+ c 2eai* senp,.v+c3ea2J: cosp2.v+c4e“ 2'r senp2x + c 5er5J: +...+cner,,A

a. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

d 2y

dx1© Ü - y - o

Solución

El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial — ? - - y = 0 idx2

P ( r ) = r ~ -1 = 0, y sus raíces r¡ =1 , r2 = —1, de donde el sistema fundamental (

soluciones es: e 1 ,e 2 es decir ex ,e~x y la solución general es: = cêx + c 2e '

© —3 ^ - + 2y = 0dx* ax

Solución

El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial.

d y „ dy ,— ^ --3 — + 2y = 0 es P ( r ) - r - 3 r + 2 = 0 dx¿ dx

de donde rx = 1, r2 = 2 , luego el sistema fundamental de soluciones es: <•' , c ' y

solución general yg - c ¡ex + c 2e 2x


y " - 4 y ' + 4y = O

Solución

El polinomio característico a la ecuación diferencial:

y"-4y '+4y - 0 es P ( r ) = r~ - 4 r + 4 = 0 de donde r = 2 de multiplicidad 2.

Luego el sistema fundamental de soluciones es: e2x , xe2x y la solución general es:

?jr 9 yyg - c xe íx + c 2xeÁX

y"+y = oSolución

El polinomio característico de la ecuación diferencial:

y''+y = 0 es P ( r ) = r 2 +1 = 0 de donde: rx - i , r2 = - i .

Luego el sistema fundamental de soluciones es: eos x, sen x, y la solución general es:

yg = c ¡ eos x + c 2 senx

y"+y'+y = oSolución

El polinomio característico a la ecuación diferencial.

y " + ),'+ )' = 0 , es P ( r ) = r 2 + r + \ = 0 , de donde r ,= r, = /2 2 2 2

_£ ^Luego el sistema de solución es: e 2 eos— -.r, e 2 sen— x y la solución general es:

- f ^ - f 73y . = c,e z eos— x + c7e 1 sen — x

g 2 2

y' ’ '—2y' '-y '+2y = 0

Solución

El polinomio característico a la ecuación diferencial es:

p ( r ) = r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0, de donde: r, = - l , r2 = l , r3 = 2 , luego

el sistema fundamental de soluciones es: e~x ,e x , e 2x y la solución general es:

i mariones Diferenciales Lineales de Orden n 279

v„ = r . í ' A ¡ ese ' +c-,e2xVg ‘r t '2 c3

i ( t) y '" + 3 y + 3 / + y = 0

Solución

El polinomio característico de la ecuación diferencial es:

P ( r ) = r 3 + 3 r 2 +3r + l = 0, de donde r , = - l de multiplicidad 3, luego el sistema

fundamental de soluciones es: e~x , xe~x , x 2e~x y la solución general es:

y g = c ¡e~x + c 2xe~x + c i x 2e~x

® y’" - y” + y’- y — 0

Solución


P ( r ) = r 3 - r 2 + r - 1 = 0 , de donde: r, = 1, r2 - i , r3 = - i , luego .el sistema

fundamental de soluciones es: ex , eos x, sen x, y la solución general es:

yg = c , e x + c 2 eosx + Cj sen.v

y '” - 6y" + 1 \y' — 6y = 0Solución


P ( r ) = r 3 - 6 r 2 + l l r - 6 = 0 , de donde: rx = 1, r2 = 2, r3 = 3, luego el sistenui

fundamental de soluciones es: ex , e2x,e3x y la solución general es:

y = c¡ex + c 2e 2x + c 3e3x

280 Eduardo Espinoza Ramus

@ y 'v - y = 0Solución


P ( r ) = r 4 - 1 = 0, de donde: r¡ = —1, r2 = 1, r3 =/, r4 ——i , luego el sistema

fundamental de soluciones es: e~x , ex , eos x, sen x y la solución general es:

y g = cxe~x + c 2e x + c3 eosx + c4 senx

( l l ) y ,v _4y'"+6y"-4y'+J! = 0

Solución


P { r ) = r 4 - 4 r J + ó r2 — 4r + 1 = 0 , de donde: r = 1 de multiplicidad 4, luego el sistema

fundamental de soluciones es: ex , a-?*, x 2e*, y la solución general es:

y g = c ¡ex + c 2xex + c 3x 2ex + c4x 3e x

@ y 'v — 8v’ '-Hl 6 v = 0

Solución


P ( r ) = r 4 - 8 r 2 +16 = 0 , de donde: ( r 2 - 4 ) 2 = 0

r, = -2 de multiplicidad 2 ; r2 = 2 de multiplicidad 2

Luego el sistema fundamental de soluciones es: e~2x , xe~2x , e 2x, xe2x y la solución

general es: yg =c¡e~2x + c 2xe~2x + c 3e 2x + c4xe2x

(15) y'v +2y"+y = 0Solución


ixuaciones Diferenciales Lineales de Orden n 281

P ( r ) = r 4 + 2 r 2 +1 = 0, de donde: r, = i de multiplicidad 2 y r2 = - i de multiplicidad 2

Luego el sistema fundamental de soluciones es: eos x, xcosx, senx, xsenx y la solución

generales: yg = c , cosx + c2xcosx + c3 senx + c4xsenx

/r\ d6\ d4y d 2y(14) — r + 6—~ t + 9— f + 4y = 0W dxh dx4 dx2 '

Solución


P ( r ) = r 6 + 6 r4 +9/2 +4 = 0, de donde:

r, = i de multiplicidad-2 ; r2 = - i de multiplicidad 2 ; r3 = 2 i , r4 = -2 i

De acuerdo al tercer caso, el sistema fundamental de soluciones es: eos x, sen x, x eos x,

x sen x, eos 2x. sen 2x y la solución general es:

vg = c , cosx + c , senx + c3xcosx + c4xsenx + c5 eos2x + c6 sen2x

h) EJERCIC IOS PROPUESTOS.-

(T) ^ - 1 - 3 — + 2 y = 0 Rpta: v = c¡ex + c 2e 2x^ dx2 dx

( 2) ^ - 1 - 4 — + 4y = 0 Rpta: y = e2x( c ¡ x + c 2)dx" dx

( i ) = 0 Rpta: y = c x cosx + c2 senxdx2

( 7 ) —- 7 - + — + 3' = 0 Rpta: y = e 2[cl cos— x + c i sen— 1 v|w dx2 dx

,2 1( ? ) — - + 2— + 2y = 0 Rpta: y = e_jr(C] cosjc + c2 sen v)

dx“ dx

282 Eduardo Espinoza Romm

©

©

©

©

3

3>

§>

13)

y " ' -2 y " -y '+ 2 y = O

y " '+ 3 y "-3 y '+ y = O

y " ' - y ' '+ y ' - y = O

y " ' - y = O

y ,V - V = O

y !v - 4 y '' '+6y' '-4 y '+ y = O

6y’ " - y " - 6 y '+ y = O

y” ' - y " - 3 y ' - y = O

Rpta: y = c ¡ex + c 2e x + c3e~x

Rpta: e~x(c¡ + c 2x + c 3x 2) = y

Rpta: y - c 1ex + c 2 eosx + c3 sen x

x “I r V 3 7 3 .Rpta: y = qe ' + e - [c2cos-^-x + c3sen~— |

Rpta: y = cxex + c 2e~x + c3 eosx + c4 sen jrf

Rpta: y = ex (c l + c 2x + c 3x 2 + c4x3)

Rpta: y = c ]ex + c 2e x + c 3e x ! 6

Rpta: y - c te ' + c 2e a+ 2)x + c3e (1- 2 ) x

14) y v‘ - y = 0

D . _x V3 V3 , -| r V3 V3 ¡Kpta: y = cxe + c 2e + e 2[c3 eos x + c4 sen— -x] ve 2 [c5 eos — x +r¿'sen — x]

Rpta: y = c \ + c 2e x + c 3e 3x

_2xRpta: y = c l + ( c 2 + c3x)e

Rpta: y = c le x + c 2e~x + c3 eosx + c4 senx

■

Rpta: y = (c l + c2x )cosx + (c3 + c4x)senx

©d v

dx3- 2 — ~

dx2- 3 — = 0

dx

d3y

dx3A C { 2 y+ 4— f

dx+ 4 — = 0

dx

©d^y

dx4= y

dx4

„ d 2v

+ 2Í ?+ y = 0

©d4y

dx4+ 3 ^

dx~- 4 y = 0 Rpta: y = c ¡ex + c2e "x + c 3 eos 2a: + c 4 sen 2x

11 unciones Diferenciales Lineales de Orden n 283

cu )dx dx dx

Rpta: y = c¡ + c2x + (c3 + c4x)e

d3v d 2y dy2— t ------ f - 2 - f - + y = 0

dx' dx~ dx

^d y „ dy „2— f - 7 — + 2y = 0

dx dx

Rpta: y = c¡ex + c 2e x + c 3e2

y/2 42- (-1+— ) X

Rpta: y - c ^ e x + c 2e 2 + c 3e

^ Z _ 1 4 £ l + y = o Rpta: y = c / 2+S)x + c2e ^ 3)x + c ,¿ ~ 2+S)x + c4e ^ 3)xdx4 dx2 ’

©

dx

^2

+ kzy = 0

^ - 2 ^ + 4y = 0 dx2 dx

4 7 t + 5 t t - 9 ? = odx dx

Rpta: y = A coskx + B senkx

Rpta: y = ex(Aeos \Í3x + B sen \¡3x)

3 3Rpta: y = q eA+ c 2 e A+ c 3 eos^x + c4 sen —x

27) í L Z + 4v = 0 dx4

Rpta: y = e A(c, cosx + c2 senx) + e A(c3 cosx + c4 sen x)

i í i _ 2 Í í + í ! | + 2 ^ - 2 y = 0 dx dx dx dx

Rpta: y = c ¡e l + c 2e A+ e A(c3 eosx + c4 senx)

d 5y „ d 3y , „ d 2y dy ,n —4 + 2— f + 10— f + — +10y = 0 dx dx dx' dx

Rpta: y = c1e -2't + c 2 eosx + c3 senx + e * (c 4 cos2x + c5 sen 2x)

*2 v "-3 y ’+y = 0 Rpta: y = q e 2 + c 2eA

(31)

0

©

0

©

0

©

0

©

0

0

0

0

0

0

0

Eduardo Espinoza Ramo\

y"-9y '+9y = 0

y"+y '-2y = 0, y(0) = 1, y '(0 ) = 1

y ’ ' -6 y’+9y = 0, y(0) = 0, y' (0) = 2

y"+8y '-9y = 0 , y ( l ) = 1, y '( l ) = 0

y"+4v = 0 , y(0) = 1, y '(0 ) = l

y' '+4y '+5y = 0, y(0) = 1, y' (0) = 0

y '” -y "-y '+ y = 0

y 'v -5 y "+ 4 y = 0

(9+3x/5).t (9-?y¡5 )x2Rpta: y = c¡e 2 + c2e

Rpta: y = ex

3xRpta: y = 2xe

Rpta: y - — e 9(x [ ) + — ex 1 10 10

Rpta: y = --sen2x

Rpta: y = e ~2x eos x + 2e ~2x sen x

Rpta: y = c ¡ex + c 2xex + c 3e x

Rpta: y = c ¡ex + c 2e~x + c 3e 2x + c4e\- 2*1

y " - 3 y " + 3 y "— y = 0 Rpta: y = c ¡ e x + c 2xex + c 3x 2ex + c 4e x + c 5xe x + c 6x 2e 1

y v - 3 y ,v + 3 y "'-3 y "+ 2 y '= 0 Rpta: y = c¡ + c 2ex + c 3e 2x + c4 cosx + c 5 senx i

y ,v- 8 y '= 0 Rpta: y = c, + c2e 2x + r(c3 eos \¡3x + c4 sen V 3 x )i

y v‘" + 8y,v + 16y = 0

Rpta: y = ex [(c¡ + c 2x )cosx + (c3 + c 4x)sen] + e _;i[(cs + c 6x )cosx + (c7 + c 8x )s e n x ] l

Rpta: y = c l + c 2x + (c3+ c 4x)e

X

Rpta: y = q e ■* +(c-> + c 3x)e2

Rpta: y = (q + c2x )e2x + (c3 + c4x)e 2

Rpta: y = c ( + c 2x + c 3x 2 + c 4ex - c 5e

( 47) y ‘v - 2 y " ’-3 y ” +4y'-(-4y = 0

I l itaciones Diferenciales Lineales de Orden n 285

©

©

($4)

©

y ,v + 6 y " '+ 9 y "= 0

4 y '" -3 y '+ y = 0

4 y ‘v - 4y"'-23y"+12y'+36y = 0

y v - y ' " = 0

3.1

-x5C -1

Rpta: y = ( r ! + c 2x)e x + (c 3 + c4x)e 2x

y ,v + 2 y '" -6 y "-1 6 y '-8 y = 0 Rpta: y = (c, + c 2x)e 2x + c3a+^ )x + c4e° ^ )x(48)

©

@

(5 l) y '" + y ” - y ' - y = 0, cuando x = 0, y = 1, cuando x=2, y=0 y también cuando x -4 00,

y " '-3 y '-2 y = 0 cuando x = 0, y = 0, y '= 9 , y " = 0 Rpta: y = 2 e " +(2>x-2)e

y ,v + 3 y " '+ 2 y "= 0 cuando x = 0. y = 0, y '= 4 , y " = - 6 Rpta: y = 2 (x + e x - e ~x)

V-> 0. Rpta: y = — (2 - x )e ' 2

y"-6y '+25y = 0 Rpta: y = e?lX(c l cos4x + c2 sen4x)

y " - y = 0, cuando x = 0, y = y0 , y' = 0 Rpta: y = y0 cosh x

y' '+y = 0 , cuando x = 0, y ,= y0 , y' = 0 Rpta: y = y0 eos x

y"'+5y"+17y'+13y = 0 , cuando x = 0, y = 0, y '= l . y " = 6

Rpta: y = e~x - e ~ 2x eos 3x

+ k2 x - 0, k real cuando t = 0, x = 0, y — = v0 Rpta: x = (— ) sen ktdt2 dt

■YiK

(s?) y " '+ y "+ 4 y '+ 4 y = 0 , cuando x = 0, y = 0, y ' = - l , y " = 5 Rpta: y = e x -eo s 2

d 2x dx dx------ \ -2 b - + k" x = 0, k > b > 0 cuando t = 0, x = 0 y — = v0dt2 dt dt

Rpta: x = (— )e - bt sen at donde: a = \Jk2 - b 2 a

y '"+6y"+12y '+8y = 0 , cuando x = 0, y = l , y ' = —2 , y " = 2

y ,v + 2 y '"+ 4 y ” -2 y '-5 y = 0 Rpta: y = c ex + c j í x + c e~x cos2x+ c e ' sen2\

286

©

(62)

(64)

@

©

©

©

(70)

(3 )

©

@

©

©

(76)

Eduardo Espinoza Kainot I i citaciones Diferenciales Lineales de Orden n 287

Rpta: y = c j + c2ex cosx + c3e x sen xy ’ " -2 y "+ 2 y ' = 0

y w" +8 y 11' + 16y = 0

Rpta: y = e '[(<?, + c2x )cosx + (c3 + c4x )senx] + e_JC[(c5 + c6x )co sx + (c-¡ + cgx)sen \|

y iv — 4 y '"+ 4 y "= 0

y ,v - y " = 0

y iv - 8 v = 0

2 y '"—4y''-2y'H-4y - 0

y " ' -3 y ' -y = 0

y" -5 y "+ 4 y = 0

Rpta: y = c ¡ + c 2x + c 3e 2x+ c 4xe2x ¡

Rpta: y = c { + c 2x + c3ex + c 4e~x + c 5 cosx + c6 sen*

Rpta: y = c¡ + c2e2x + e~x [c3 eos \¡3x + c4 sen \¡3.\ |

Rpta: y = c ¡ex + c 2e 2x + c 3e~x

Rpta: y = c ] ex + c 2xex + c 3x 2ex

Rpta: y = c ¡ex + c 2e x + c 3e + c 4e ~ ^

( k?)y " -3 y " '+ 3 y "—y = 0 Rpta: } ’ — c ]e x + c 2xex + c 3x ex + c 4e x +c$xe * + c 6a

y vi + y = 0

Rpta: y = c¡ cosx+ c2 sen a + 2 t (c3 eos~ + c4 sen-^) + e~'/3l2x(c5cos^+chsen : )■ --V3/2a

2

y v - 3 y " + 3 y '" -3 y "+ 2 y ’ = 0 Rpta: y = c, + c 2ex + c 3ex + c 4e x + c 5 eos x + c6 sen l

y " '+ y '= 0 , >’" (0 ) = 1, / ’ (O) = l , y (0 ) = 0 Rpta: y = 2 - 2 eos x + sen x

y” '~y"+y '~y = o Rpta: y — A eos x + B sen x + cex

y " '+ y '= 0 Rpta: y = A eos x + B sen x + c

y ' " - y " - y '+ y = 0 Rpta: y = (c, + c 2x )ex + c 3e~x

y ,"-6 y "+ 1 2 y ,-8 y = 0 Rpta: y = (c¡ + c 2x + c 3x 2 )e2x

Rpta: y = c ¡ex + c2e~x + c 3e ixy " '—6 y "+ l 1 y'—6 y = 0

y"-12y'+35y = 0

y iv -8 y '"+ 4 2 y ” -104y'+169y = 0 Rpta: y = e2x[ (c l + c2x )sen 3 x+ (c3 + c4x)cos3a|

Rpta: y = (c, + c2x)e9y"-30y'+25y = 0

yn' -6 y '"+ 7 y "+ 6 y '-8 y = 0

y " -4 y ’+2y = C

y ' ' ' -2 y' '+3 y '-6 y = 0

y lv - 4 y " '+5y' '-4y'+4y = 0

y '"+ 9 y '= 0

y iv — 13y"+36y = 0

y ,v + 2 y " '+ y "= 0

y iv - 8y"-16y

y '"- !3 y '-1 2 y = 0

Rpta: y = c ie íx + c 2e lx

5x, 3

Rpta: y = c ¡ex + c 2e x + c3e2x + c 4e4x

f . V2 V2Rpta: y = e 3 [q sen-^-x + c 2eos — x\

Rpta: y = q e2x + c2 sen y¡3x + c3 eos y¡3x

Rpta: y = (c, + c 2x )e 2x + c 3 sena + c4 cosa

Rpta: y = c, cos3x + c2 sen3x + c3

Rpta: y = cle2x + c 2e 2x + c 3e3x + c 4e 3x

Rpta: y ;= c , + c 2x + c3e x + c 4xe

Rpta: y = {c{ + c 2x )e2x + ( c 4 + c 3x)e

Rpta: y = c xe x + c 3e 3x+ c 3e4x

-2x

; ,v + y = 0 Rpta: y = e ^ ( c l c o s - j= + c2sen - j= ) + e ^ ( c 3 c o s -^ + c4 sen-^=

(o i) 64 y v'" +4 8 yv' +12y'v + y " = 0

Rpta: y = (q + c2 x + c3 x2) eos + (c4 + c5 x + c 6 x2)sen - + c7 x + c8


92) y(” ) + 1 y (-» + y(n-2) + + n y ,+ y = 01.2

Rpta: y = e x(c¡ + c 2x + c i x 2 +... + c nx nV )

93) y ' " = y', y (0) = 2, / (O ) = O, y " (0 ) = - l Rpta: y = 1 + eos x

_ . » , d x ^n dx94) 4---------20— + 25x = O

dt2 dt

2.51Rpta: x = ( c l + c 2t)e

95) y '" + 8 y iV+ 1 6 y "= O Rpta: y = c, + c2x + (c3 + c4x)cos2x + (c5 + c6x)sen2x

96) y '1'+ 4 y '"+ 8 y '+ 4 y = o Rpta: y = e x [ (c { + c2x )c o s x + (c 3 + c4x)senx]

97) y ,v + 4 y " ’+5y"+4y’+ y = 0

-3—\Í5 /rn A A -r/2 -Jf/2 v -Rpta: y = cle - + c 2e 2 + c 3e eos — x + c4e sen-^-x

99)

100)

y ‘v + 4 y,v +4_y"=0 Rpta: y = c) + c 2x + (c3 + c4x)cos>/2x + (c5 + c 6x)seny/lx

y " '-2 y "+ 4 y '-8 y = 0 Rpta: y = c ie 2x + c 2 cos2x + c3 sen2x

y '"+ 2 y "= O, cuandox = 0, y = -3, y '= 0 , y " = 12

i

5.4. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEA DE COEFICIENTES CONSTANTES.-

Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes son de ¡

la forma siguiente:

d ny dn ’ y dy1 — — r + - + « i ~ +a oy = r w

dxn dxn 1 dx...(1 )

donde an, an_j,..., « 0 son constantes reales.

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n 289

Para obtener la solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

de coeficientes constantes, primero se determina la solución general de la ecuación

diferencial lineal homogénea Yg , y después se busca una solución particular cualquiera

de la ecuación diferencial no homogénea Yp , y la solución general de la ecuación

diferencial lineal no homogénea es igual a la suma de la solución general de la ecuación

diferencial homogénea más la solución particular de la ecuación diferencial no

homogénea, es decir:

Y - Y + Yg p

Es decir que el problema se reduce a encontrar una solución particular Y de la ecuación

diferencial lineal no homogénea. Cuando la función R(x) de la ecuación (1) tiene la

forma:

R(x) = eax[ (P n (x ) cos(Px) + Qm (x ) sen(Px)]

donde Pn(x ) y Qm(x) son polinomios de grado n y m respectivamente, entonces la

solución particular Yp de la ecuación (1) es de la forma:

Yp - x ' e m [P K (x ) cos((ix) + Q k ( x ) sen(px)]

donde K = m á x {n,m} y s es el orden de multiplicidad de la raíz r = a ± i(3; PK (x ) y

Q k ( x ) son polinomios en x de grado K, de coeficientes indeterminados, para determinar

la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.

Consideremos los siguientes casos:

I o Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función

R(x) = Pn (x ) entonces:

a) Si r = 0, no es raíz de la ecuación característica P(r) = 0, entonces la solución

particular es:

Yp = P n( * )

290 Eduardo Espinoza Ramo*

b) Si r = 0, es raíz de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución particular 1

es:

Yp = x ' P n(x )

donde s es la multiplicidad de r = 0

2o Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función

R(x) = e^P,, (x ) donde a es real, entonces:

a) Si r = a no es raíz de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución

particular es:

= « * £ < * ) ■

b) Si r = a es raíz de la ecuación característica P(r) = 0, entonces la solución particular I

es:\ r X (XX r\ s \Yp = x e Pn(x )

donde s es la multiplicidad de r = a

3o Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la 1

función R (x j = Pn(x )eo s (3* + Qm(x)sen|3x donde Pn(x ) y Qm(x ) son 1

funciones polinómicas de grado n y m respectivamente, entonces:

a) Si r = ± i (i no son raíces de la ecuación característica P(

particular de la ecuación diferencial es:

YP ~ P¡k ( x > CÜS( Px >+ Q k ( ■ sen( /**)

donde K = máx {n,m}

b) Si r = ± i{3 es raíz de la ecuación característica P(r)


Yp = x s [ (PK (x ) eos px + Q k ( x ) sen /3x)]

donde K = máx {n,m} y s es la multiplicidad de r = ± ip

(r) = 0 entonces la solución

= 0, entonces la solución

11 naciones Diferenciales Lineales de Orden n 291

4° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial (1) es la función

R (x ) = ea í [Pn (x)eos(3x + Qm (x)sen (3xJ ] donde Pn (x ) y Qm(x ) son

funciones polinómicas de grado n y m respectivamente, entonces:

a) Si r = a ± i(3 no es raíz de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución


Y = e ax[{PK {x) eos (ix + Q k ( x ) sen px)j

donde K = máx { n,m}

b) Si r = a ± i|3 es raíz de la ecuación característica P(r) = 0 entonces la solución


Y„ = x seax [<PK (x ) eos Px + Q k ( x ) sen (3x)]

donde K = máx {n,m¡ y s es la multiplicidad de r = a ± ip

a) Ejemplos:, Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

í 2 + 3 ^ = 3 dx~ dx

Solución

Sea P ( r ) = r 2 +3 r - 0 la ecuación característica donde ^ = 0 , r2 = - 3, luego la

solución general de la ecuación diferencial homogénea o solución complementaria es:

i? . 3 xYg = c , + c 2 e

para la solución particular se obtiene de acuerdo a la parte b) del 1° Caso, es decir:

Yp = Ax

Como Y„ = Ax Yp = A => Yp - 0 , reemplazando en la ecuación

de donde 0 + 3A = 3 = > A = l , por lo tanto Yp = x y la solución general de la ecuación

diferencial no homogénea es: Y = Y +Y

es decir: y = c x+ c 2e 3x+ x


© 7 - 2 — -15 y = —(] 5jt2 + 4x + 13) dx1 dx

Solución

Sea P ( r ) = r ~ -2 r -1 5 = 0 el polinomio característico, de donde: r, = -3 y r2 = 5|

luego la solución complementaria o solución general de la ecuación diferencial'

homogénea es: y o ~ c\e 3* + c 2e5x

Para la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea, se obtiene de

acuerdo a la primera parte del primer caso es decir: y = A x2 + Bx+ C

de donde y p = 2 Ax + B —» yp = 2 A, que reemplazando en la ecuación diferencial

dada se tiene:

2 A -4 A x -2 S -1 5 A x 2 - \ 5 B x - l5 C = -(15x2 + 4x + 13)

-\ 5 A x 2 - ( 4 A + l 5 B )x + 2 A -2 B -\ 5 C = -(15x2 + 4x+13)

de donde por identidad se tiene:

-15A = -15

- ( 4 A + 15fi) = -4

2 A -2 B -1 5 C = -13

A = 1

B = 0. Luego: yp = x 2 + 1

C = 1

©

por lo tanto la solución general de la ecuación es:- y = y (, + y p

es decir: y ^ í”-3* + c 2e5jc+ x 2 +1

d4y d 2y <— r - 3 — £ - 4y = -4x + 390x dx4 dx2

Solución

El polinomio característico es: P ( r ) = r 4 - 3 r 2 - 4 = 0 de donde:

r¡ = - 2 , r2 = 2 , r3 = i y r4 = - i

y la solución complementaria o solución general de la ecuación homogénea es:

la laciones Diferenciales Lineales de Orden n 29

y = c ¡e 2x + c 2e lx + c 3 cosx + c4 senx

Para la solución particular se debe tener en cuenta la primera parte del I o Caso de dond

se tiene: y = Ax5 + Bx4 + Cx3 + D x2 + Ex + F , de donde derivando y reemplazando e

la ecuación diferencial dada se tiene:

—4A = —4

-4 5 = 0

-60A - 4C = 0

- 3 6 B - 4 D = 0

120A-18C-4/, =390

2 4 B -X 2 D -4 F = 0 .

de donde

A = 1

C = -15

B = D = E = F = 0

Luego y = x 5 - 15x3 y la solución general es:

y = c¡e 2x + c 2e2x + c 3 cosx + c4 senx + x 5 -1 5 x3

© y " + 3 y '= e x .Solución

El polinomio característico es P ( r ) = r 2 +3r = 0, de donde r , = 0 , r2 - —3, luego

solución complementaria de la ecuación diferencial homogénea es:

yg = C| + c 2e~3x y de acuerdo a la parte a, del segundo caso la solución particular es:

y = A eA de donde y p = Ae* —■> y p = Aex

como y " + 3 y '= e v => A ex + 3A ex = e x => A = —

Luego la solución particular yp = — y la solución general de la ecuación no homogéi

, • - 3 x ees: y = y „ + y „ es decir: y = c ¡ + c 2e + —

'Eduardo Espinoza Ramos

y " - 4 y ' = xe 4x

Solución

El polinomio característico es: P ( r ) = r 2 - 4 r = 0 de donde r¡ = 0 , r2 = 4 , luego la j

solución general de la ecuación diferencial homogénea es: y g = c, + c 2e 4x y de acuerdo

a la parte b, del segundo caso se tiene la solución particular de la forma:

„4*y = x (A x + B )e

Es decir: y p = (Ax + Bx)e

homogénea es: y = y g + y p

y " + y = s en x -cosx

4x la solución general de la ecuación diferencial no

Solución

El polinomio característico es: P (r ) = r 2 +1 = 0, de donde: r, = i , r2 = - i . Luego la

solución complementaria de la ecuación diferencial homogénea

y g = c¡ cosx + c2 senx

La solución particular de acuerdo a la parte b. del 3er. caso es de la forma:

yp = x (A eos x + f í senx)

Es decir: yp = Axeos x + Bx sen x y la solución general de la ecuación diferencial nd|

homogéneaes: y = y g + y p es decir: y - c, cosx + c2 senx + Axcos x + Bxsen x

y " — 4y' + iy = e 2v(sen 2 x -cos 2x)Solución

El polinomio característico es: P ( r ) - r 2 —4r + 8 = 0 , de donde:

r¡ = 2 + 2/, r2 = 2 — 2 i , luego la solución general de la ecuación diferencial homogén^

es: y p =xe~x(A co s 2 x + B s e n 2 x ) de donde y = y g + y p

y " - y ’-2 y = e + e■ 2x

Solución

1 1 naciones Diferenciales Lineales de Orden n 295

\

El polinomio característico es: P ( r ) = r 1 - r - 2 = 0 , de donde: r¡ = -1 r2 = 2

Luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:

y = c ie x + c 2e 2' y de acuerdo a la parte a, del 2do. caso la solución particular es de la

forma: yp = Aex + Be 2x

v ' ' '—4 y' = xe 1 + sen x + x~

Solución

El polinomio característico es: P ( r ) = r 3 —4r = 0, de donde: r, = 0 , r2 = - 2 , r, = -2 ,

luego la soiución general de la ecuación diferencial homogénea es:O ^

y . = c , + c 2e~~x + c }e x y de acuerdo al 1er y 2do. y 3er. caso la solución particular es

de la forma:

y p = x (A x + B )e2x +C cos x + Dsen x + x (E x2 + K x + G )

y p = 2 (A x 2 + Bx)e2' + (2 A x + B )e2x - C sen x + D eos x + 3Ex2 +2 Fx + G

yp = 8 (A v2 + Bx)e2' +12(2A.r+ B )e2x +12 A e2x + C s e n x -D c o s x + 6E

reemplazando en la ecuación diferencial e igualando coeficientes se tiene:

12A + 8B = 0 - 5D = 0 6E - 4G = 0

16A = 1 - 12E = 1

5C = 1 - 8F = 0

dedonde: A = — , B = — , G = D = F = 0 , £ = - — , G = - - , Es decir:16 32 5 12 8

e2x _ ■ > , cosx x'1 xy. = ---- (2x -3 x ) + ------------------p 32 5 12 8

Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial no homogénea es: y = y ,, + \ „


y"+2y'+2y = e x cosx + xe~

Solución

El polinomio característico es: P ( r ) = r 2 + 2r + 2 = 0 de donde r,

luego la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:

-1 + í , r7 = —1 —

yg ~ e X(c x eos x + c 2 sen x) y de acuerdo al 2do. y 4to. caso la solución particular es:

y „ = xe x (A eos x + B sen x) + (Cx + D)e '

derivando y reemplazando en la ecuación diferencial e igualando coeficientes se tiene

1 _ que: A = 0, B = —, C = 1. D = 0 es decir: v„ = - e” 1 sen x + xe x y la solución-

2 Jp 2

general de la ecuación diferencial no homogénea es: y = yg + y p

I.-


Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

©d y dy _ 2 dx2 dx

X X 3 2Rpta: y = cx+ c 2e~ - — - x ‘ —2x

©

©

©

d~ y dy— Z _ 4 _ Z _ 5 y = 5x dx2 dx

d y dy

dx dx■ x + 1

d~ y dy— " 4 — + 4y = 4(x —1)dx2 dx

Rpta: y = c,e J + c2e5' - x + -

Rpta: y = cx+ c 2e' - c 3e • - — - x

Rpta: y = e (c,x + c2) + x

©

©

d ~ y dy— f + 2 — dx dx

2 + 2—— b 2 y — 2(x +1)

y " '+ y "+ y' + y = x 2 + 2 x - 2

Rpta: y = e ' (c, eosx + c2 sen x ) + x ‘

Rpta: y = c,e A + c2 eosx + c3 sen x + x ' - 4


©

©

©

©

©

Í2)

2 2/ v + 4y" = 8(6x2 +5 ) Rpta: y = c,x + c2 + c3 cos2x + c4 sen2x + x (x + 2 )

y " _ 3y " + 3 y '_ y = (2 + x ) (2 - x ) Rpta: y = ex (c ¡x 2 + c2x + c 3) +x~ + 6 x + $

©

2 y " - 9 y ' + 4y = 1 8 x -4 x '

y " - 2 y " + y = x 2 - 5

y ,v - 3 y " + 2y’= 6x (x -3 )

^ l l - - 2 — + 5 \ = 25x2 +12 dx2 dx

^ 1 - 2 — = 12x-10 dx2 dx

d 2y , dy

Rpta: y - c xe 2 + c 2e4x + l - x z

Rpta: y = ex (c tx + c 2) + e \ c 3x + cA) + x -1

* - 2 * 3Rpta: y = c ,+ e (c2x + c3) + c4e + x

Rpta: y = e* ( q cos2x + c2 sen 2x) + 2 + 4x + 5x

Rpta: y = c, + c2e"x + 2x - x

- I x

dx' dx+ — - 2 y = 2x, y(0 ) = 0, y 'CO) = 1 Rpta: y = e - -

15) y' ' + 4y’= x , y(0) = y '(0 ) = 0 , y " (0 ) = 1 Rpta: y = — (l-c o s 2 x ) + x

y iv + 2 y " + y = 3x + 4 , y(0 ) = y '(0 ) = 0 , y " (0 ) = y ’ " (0 ) = 1

Rpta: y = (x — 4) eos x — (— x + 4) sen x + 3x + 4

- V3 x4@ y iv + y " '= x Rpta: y = c, + c 2x + c3x2 + c4c_Jr + e 2(c5eos— x + c 6sen — * ) + - -

y " + 2y' + 3y = 9x Rpta: y = cxe~x eos4 l x + c2e~x sen 4 l x + 3x - 2

_ 2 x 2y " + y '- 2 y = 14x + 2 x -2 x 2 Rpta: y = cxex + c2e~' + x - 6

y " + y = x 2 + 2 , y(0 ) = y ’ (0) = 2 Rpta: y = x2 +2senx

298 Eduardo Espinoza Ha

R R•5 'y „ / 'y \ —Jt/2 v iy " + y '+ y = x +4 x +12x Rpta: y = c¡e “ eos — x + c2e “ sen — x + j *

y ' " - 3 y ” + 3y'— y = 2x2 — 3jc—17 Rpta: y = (c, + c2x + c3x" )e * - 2 x 2 - 9x + 21

&

25)

y " —6y' + 9y = 2x - x + 3

y' + 4 y '-5 y = 1

y " ' - 4 y " + 5 y '-2 y = 2x + 3

y v + y" ' = x 2 - l

Rpta: y = (c ,+c- ,x )e3x+ — x¿ + ~ x + 41 2 9 27 27

Rpta: y - c te ' + c2e 5x — 0.2

Rpta: y - (c, + c2x)e* + c3e2x - x - 4

v5 v3X X 2Rpta: v = --------- + c,x +c\x + c-, + c A cosx + cc sen $60 2 2 3 4 5 ■

y '" - y' = 3 (2 - x ) , y (0 ) = y’(0) = y ' '(0 ) = 1 Rpta: y = e* + x 3

y - y = xr X

Rpta: c, + c 2e + c3e —-— = v

(29)

®

(3 l )

y " - 2 y '+ y = -2

y " + 9 y -9 = 0

y '" + y "= 1

Rpta: y = ( c , + c nx)e - 2

Rpta: y = c, sen 3x + c2 cos 3x +1

Rpta: y = c’j + c2x + c3e A +

32) 5 y " ' - 7 y " - 3 = 0

33) y iv — 6 y " ' + 6 = 0

Rpta: y = c¡ + c2x + c3e 5 —- 3x2

14

Rpta: y = c, + c,x + c3x2 + c 4e6x + —6

,3

3y,v + y " '= 2 Rpta: y - c¡ + c2x + c3x~ + c4e 3 + :

y - 2 y - 2 y ' + y = 1 Rpta: y = c¡ eos x 4- c2 sen x + (c3 + c^x)«* - 1

ihcv Diferenciales Lineales de Orden n 299

'+2y'+2y = l + x Rpta: y = e I (cl sen.r + r0cosjc) + -2

7 v "—y '= 14x Rpta: y = c, + c 2e1 - 7 x 2 -9 8 x

y " '—y " + y '= +XO * f V3 f V3 X3 3x2Rpta: y = c.e*- eos----x + c-,e- sen — xh------------+ --1- v

2 2 3 2

y"-4v '+4y = x

v"+8v' = 8x Rpta: y =c,+c - , e 8x + —-----—1 2 2 8

y"-2 y '+ y = x Rpta: y = ( q + c2x )ex + x 3 + 6x“ + 18x + 24

y + y " = x + x4 3

X XRpta: y = c¡ + c2x + c3 eos x + c4 sen x + — h-------- x 2

12 6

y " - 6 y + 9y = x2 - x + 3, y (0) = —, y '(0 ) = — Rpta: y = (1 - 3x)eJ'v + — + — +X" x 1

27 9 27 3

4 — J 3y " ’- y = 2x, y (0 ) = y ' (0) = 0 , y " (0 ) = 2 Rpta: y = — 7= e 2 sen — x + 2x

V 3 2

y' '-4y'+4y = x Rpta: y = (c, + c2x )e2v + - (2 x 2 + 4 x + 3)

y " —y '+ y — x +6SRpta: y = e2(c¡ cosx— + c2 senx— ) + x3 +3x2

V3

2

y " —y = 2 - x 2 , y(0) = 2, y '(0 ) = 0.2 .,/m _ O .,'/m _ a ( 48) y "+6y ’+10y = x 4 + 2 x 2 +2

y '”+3y"+3y’+ y = x 4 + 4x3 + 10x' + 2 0 x + 1

300 Eduardo Espinoza RamM

II.-

©

©

©

©

©

©

©

©

@

©

Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:

y " —1 y' +\2y = - e Ax

y " - 2 y '+ y = 2ex

3 x , 4 x 4 xRpta: y = c,e + c~,e - xe

Rpta: y - ex (c¡ + c2x + x )

y " = x e x + y Rpta: c¡ex + c2e x +( x - - x ) e x

y " -A y ' + Ay = xe

y " - 6 y ' + 9y = ex

y " - 3 y '- 4 y = 30<’

y " - 3 y '- 4 y = 30e

y " - y = Sxex

y ‘v - y - e~x

2 x

4 x

x3Rpta: y = (c, + c 2x + :— )e2x

6

Rpta: y = (r, + c2x)e3x +

Rpta: y = c,e4 ' + c 2e A - 5 e x

4 xRpta: y - (c, + 6x)e + c2e

Rpta: y = c¡e x + e x(c2 - 2 x + 2 x )

Rpta: y = c, e ' + ( c 2 - —)e x — c3 eos x + c4 sen x

y" + y = \0e¿x cuando x = 0, y = 0 a y '= 0 Rpta: y = 2(e2x- c o s x -2 s e n x )

A x„4*y " + 3y '-10y = 6e

y " + 10y' + 25y = lAe~5x

Rpta: y = cxe2x + c2e 5x +

y " - y ' - 6 y = 20e

2 y " - 4 y '- 6 y = 3e

2 y " + y ' - y = 2ex

■2x

2 x

n , - 5 x , -5jc , n 2 - 5 xRpta: y - cxe + c2e + l x e

Rpta: y = c¡e3x + c2e ~x - Axe ~x

. e2x Rpta: y = c¡e x + c 2e x — —

Rpta: y - c,e ' +c2e2 + ex

h unciones Diferenciales Lineales de Orden n 301

I (ft) y" + a 2y = ex Rpta: y = c, cosox + c2 senax + — ----a- +1

© y" + 4y '+ 2 y = xe~2x

(Th) 6 y " + 2 y '- y = 7 x (x + Y)ex

Rpta: y = yg - V 2*

30Rpta: y = yg + ( x 2 - 3 x + — )ex

(p j) y ' " - 2 y ’ ' + 10y'= 3xex Rpta: y = y ? + —x - 1

T

2(1) y " - y'+ ~ - xe¿

X X

Rpta: y = c¡e2 + c2e 2 + y

@ y " -y '= 6x5ex Rpta: v = c, + (x 6 - 6x5 + 30x4 - 102x3 + 360x~ — 720x + c2 ) e *

(22) y " - y = 2ex Rpta: y = c¡e x + c 2ex + xex

© y ' '- 4 y ' + 3y = Ae3x Rpta: y - c ¡e3x + c 2e Á + 2 x e3x

- 2 x24) y " + 2 y '+ y = e

25) 3y ‘v + 8 y '" + 6y” = (x 3 - 6 x 2 + 12x-24)e~

Rpta: y = ( c !+ c 2x)e x + e 2x

— V2 y¡2 Rpta: y - c ¡ + c 2x + e 3v[c3sen + c4cos — x] + (x3- 6 x 2 +12x)e *

26, ^ - 2 ^ + y = 2 í2'dx~ dx

Rpta: y = ( c ¡ + m c 2x )ex + 2 e 2'

í 4 + 2í l = lx e ‘ dx2 dx

Rpta: y = c¡ + c2e 2x + xex — ex

28) y"-2ky ' + k2y = ex , k ± 1„ . kt eRpta: y - ( c t + c 2x)e +

( k- \ Y

302

30)

31)

(32)

33)

34)

35)

37)

(38)

(39)

(.40)

(41

Eduardo Espinoza Ramo A

(29) y " - A y '+ 3y=9e -3x 3* . _ --.t 9 ___-3.tRpta: y = c¡e x + c 2e ' — xe

- 3 xy" + 3y' = 3xe

y " + 5y' + 6 y = 10(l-x)<?“2jc

Rpta: y = cx + c2e 3a - (— + —)e 3 ' ^

Rpta: y = c,e’ 3A + c2e~2x+ ( 2 0 x -5 x 2)e~2x

9 , - 4 V3 V3 , , x 2 x 1 xy " + y ' + y - ( x + x )e Rpta: y = e 2 (c, sen-^-x + C jsen -^ -^ + C -y -^ -+

y ” -3 y ' + 2y = xex

y " + y' — 2y = x 2e4x

y " - 3 y ’ + 2y = (x 2 + x )e 3x

Rpta: y = cie2x + (c2 - x — —)ex

A x

Rpta: y = c¡ex + c2e 2' + —— - x + —- )18 18

9 e3x 9 Rpta: y = cxex + c2e x + —— (x - x + 2)

Í36) y ,v - 2 y " ' - 2 y '+ y Rpta: y = c1¿r* + c 2xe2x + c 3eosx + c4senx + —

y " - 5 y ’ + 6 y = (12x-7 )e A, y(0 ) = (0) = 0 Rpta: y = e2x - e3x + xe~

y " - 2 y ' - 3 y = { x - 2 ) e x

y " —5y' + 6 = (x + l ) 2e~2x

X

4 y " - 4 y '+ y = ( x - l ) e 2

y " ~ 2 y '+ y = ( x + l ) e x

x 1

4 2

3* 29 441 _2xRpta: v = c,e‘ + c ?e + ( -----1------ xh-------- )e

1 • 1 2 20 200 4000

Rpta: y = e2 (c1x + c2) + x 2( ^ - ^ ) e 224 8

JC 1Rpta: y = ex(c1x + c2) + x 2(— + —)ex

24 8

2 , x , k ..x m

(42) y " ' + 2 y "= (4 x¿ + 6x —l)e 2*

6 2

Rpta: y = c1+ c 2x + c3e A+ —(x - l ) e

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

@ y " — Ay = 6ex , y (0) = -1 , y '(0 ) = 0

( 45) y " + 4y ’ + 5y = 10e~3A, cuando x = 0, y = 0, y ’= 0

III.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

I mariones Diferenciales Lineales de Orden n 303

44) y M, + y ' - lOy = 29e 4 x

y” + y = 3 sen 2x + x eos x

y " + y = co sx -sen x

y " + 9y = cos3x

y " + y ’ - 6 y = sen x.cos x

y " + 2 y ’+ y = sen2x

y ' '- 4 y ' + 5y = cosx + senx

Rpta: y = c, eos x + c2 sen x - — eos 2x — sen 2x

Rpta: y = c¡cosx + c-,senx + — (eosx + senx)

Rpta: y = q sen 3x + c2 eos 3x + — sen 3x

Rpta: y = c¡e2x+ c 2e 3x-y^ -(5 sen 2 x + cos2x)

Rpta: y = e x( c ¡ + c 2x ) - — (3sen2x + 4cos2x)

r» . 2 x / > COSXRpta: y = e (c¡ cosx + c2 sen x)H--------

y " ’ - y = s en x -2 cosx Rpta: y = cxex + c 2e Jr+ c 3cosx + c4senx + —(cosx + 2senx)

¿x2

d 2y

dx 2

+ y = sen x

+ 4y = eos x

Rpta: y = q cosx+ c2 sen X - —eos x

Rpta: y = c, eos 2x + c2 sen 2x +cosx

d y ~ d 'y— - r - 2 — —+ y = 5sen2xdx4 dx2

d 2y

Rpta: y = (c, + c2x)ex + (c 3 + c4x)e x +sen 2x

dx'+ 9y = 4xsenx

12) y " + 4 y '-2 y = 8sen2x Rpta: y = C jg ( ' + c 2e

Rpta: y = c, cos3x + c, sen3x + — s e n x - ^ ^ - 3 2 8

~(S+2)x . „ < V6- 2)* 12sen 2x+ 16eos 2x

25

304

14)

15)

16)

(18)

@

@

©

©

(26)

Eduardo Espinoza R a m o /, naciones Diferenciales Lineales de Orden n

1

305

f 120 y " + y = 4xcosx Rpta: y — c , cosx + c2 senx + x~ sen x + x eos jí

y ' ' - 2my' + m2y = sen(nx) Rpta: y = (q + c2x)em' +

y" + a 2y = 2 cos(wx) + 3 sen(mx ) , m ^ a

2 cos(mx) + 3 sen(»jx)

(m —n ) sen(nx) + 2mn eos nx

(w 2 + n 2)2

Rpta: y = q cos(ax) + c2 sen(ax) +

4 y " + 8y' = xsenx

2 2 a - m

(17) y " + y = x senxX X3 X 2

Rpta: y = (c, + -------- ) eos x + (c2 + - —) sen x |

®I®

©

4 6

73 73 1y " — y = senx Rpta: y = c¡ex + e 2(c2cos — x + c3— -x) + - (e o s x -s e n ) 1

y " + y = 2 cosx , y ( 0 ) = l , y '(0 ) = 0

y " + 4y = senx, y(0 ) = y '(0 ) = 1

y ' ' + 4 y = 4(sen 2x + eos 2 x ), y(n) = y' (re) = 2

2 J 2 2

Rpta: y = eos x + x senx

Rpta: y -e o s 2 x + j(s e n 2 x +senx)

©

©

Rpta: y - 37rcos2x + — sen2x + x (sen2x-cos2x) |

y" + 4y = -12sen2x Rpta: Y = Acos2x + Bsen2x + 3xeos2x

y " + y = -9 co s2 x , y (0) = 2, y '(0 ) = l Rpta: y = senx - eosx + 3cos2x

y ''+ 2 y ' + 2y = - 2 eos2x- 4 sen2x, y (0) = 1, y '(0 ) = l Rpta: y = e "* sen x + eos 2x1

y " + 2v' + 2y = 2 sen 2 x -4 cos2 x , y (0) = 0, y ’ (0) = 0.Rpta: y = le~x sen x + sen 2x

y " + 4y' + 3y = 4senx + 8cosx, y (0) = 3, y '(0 ) = -1 . Rpta: y = 3e ' + 2 senx 1

5^

©

©

©

©

©39)

y " + y = 2eosx Rpta: y = q senx + c2 eosx +xsen x

y " - 3 y ' + 2y = 14 sen 2x-18cos2x Rpta: y - c xex + c 2e 2x +sen 2x + 3cos2x

y " + k y = sen(Z?x), k * b

y "-7 y ' + 6y = senx

Rpta: y = q sen(kx) + c2 cos(kx) + sen^ Ak~ - b

5 sen x + 7 eos xRpta: y = q e6jc + c2ex +

74

17 _ eos 2.xy "+ 2 y '+ 5 y = — —cos2x Rpta: y = e * (q cos2x + c2sen2x)----^ - - 2 s e n 2 x

y "+ y' + sen2x = 0, y(n) = y'(Jt) = 1„ _ 1 senxRpta: y = — sen 2 x --— —-e o s x

3 3

y " - 4 y ' + 3y = 2eosx + 4senx Rpta: y - c¡eA + c2e3' + eosx

y '" — y " + y' — y — 4 senx Rpta: y = c ¡ex + ( c 2 + x )e o s x + (c3 -x )s e n x

y " + v = 2cosx , y(0) = 0, y(jr) = 0 Rpta: y = (c + x)senx

y " - 4 y ' + 3y = 20eosx Rpta: y = c1ex + c2e3x + 2 eosx - 4 senx

y " + y '- 2 y = -6(sen 2x + 3eos 2 x ), y (0) = 2, y '(0 ) = 2

y ” + y = -6 0 sen4x, y (0) = 8, y '(0 ) = 14

y ' ' + 4y ’ + 5 = 8(sen 3x - 3 eos 3 x ), y (Ó) = 1, y '(0 ) = - 7 .

IV’.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

©d~v „dy „ 9r

' -3— = 2 e 's e n x„ 2 .t

dx2 dxRpta: y = c¡ + c 2e3x- j e 2x s e n x - ~ - c o s x

© 4 y " - 5 y '+ y = ^ (s en 2 x -co s2 x ) Rpta: y = cxex + c 2exl4 + —— (- lls e n 2x + 5cos2 v)146

306

©

©©

©©

©

©

Eduardo Espinoza Ramo,

©

V .-

©

©

' + y " - 2 y = e x (2 cosx + x senx)

Rpta: y = C\ex + e ' (c2 cosx + c3 sen a )xe

- sen x

v" + 4y' + 4_v = e 2x sen x Rpta: y - e ~x (c lx + c 2) - e sen x

xe~2x 1v' ' + 4y' + 5y = e “2* eos x Rpta: y = e“2*(c, cos x + c2 sen x ) + —— sen x

xey " - 2 y ' + 2y - e x cosx

y '" + 4 y "-1 2 y '= 8e2* cosxsenx

Rpta: y = ex (c, cos x + c2 sen x ) + — - sen x

Rpta: y = Cj + c2e2x + c3e"~6x - — e2x (5 sen 2x + 3 cos 2x) 68

y " + 2y' + y - e x cosx

y " + 2y' + 5y = e ' sen2x

Rpta: y = c p * + c2xe~x + ~ (3 c o s x + 4senx)

xeRpta: y = e x (c, cos 2x + c2 sen 2 x )---- — cos _x

12) y

y” - y ' = e x senx Rpta: y = c, + c 2ex -^ - (s e n x + cosx)

y " + 2y '+ y = x 2e x cosx Rpta: y = cye~x + c 2xe~x ( - x 2 cosx+ 4 x senx + 6cosx)

ex' - 3y '' + 3y ' - y - e x eos2x Rpta: y = (c, + c2x + c3x )ex ------sen2x8


y " + 9y = x 2eix +6

' + 2 v ' = 3 + +sen 2x

2 1. 3, . 2Rpta: y: v = c¡ cos3x + c2 sen3x + — (x~ x + r ) e +

Rpta: y = c, + c 2e - ÎX 4-

18v 3 9 3

3x sen 2x cos2x

i,maciones Diferenciales Lineales de Orden n 307

( ' ) y " + 4y = x 2 +3ex , y (0) = 0, y ’ (0) = 2

7 „ 1 9 x2 1 3 ,Rpta: y = — sen2x----- cos2xh----------+ — e

10 40 4 8 5

x3( •J ) y " - 2 y ’+y = xe ' + 4 , y (0) = y '(0 ) = 1 Rpta: y — 4xex —3ex -----ex +4

6

~ 3 9( s ) 2y "+3y '+y = x 2 + 3 sen x Rpta: y = cie~x + c2e 2 + (x 2- 6 x + 1 4 )- — sen x - — cosx

© 2 „ . -,/2 V3 ~ V3 1 sen2x 3cos2xy ' ’+ y '+ y = sen“ x R pta :y = c,e 'eo s — x + c2e - sen — x + --------------- i----------

2 2 2 13 26

® _ ,/2 VÎ5 ~ s[\5 ex e~xy '+ y ’+y = 2senhx Rpta: y = c1e cos—^ - x + c2e z sen—^ - x + —-----—

2 x - ^ x_ r 9 r xe e~ y " —y'—2y = cosh2x Rpta: y -c ^ e ' + c 2e~ H— -— i— —

(jT) y ''+ 2 y ’+5y = e '(2 x + sen2x)

xe x _Rpta: y - (c, cos 2x + sen 2 x )---- — .cos2x + — e *

4 *2 10) y W y - =Jc^ - i Rpta: y = — + c,x3 + c2x2 + c3x + c4 + (— - 4x + c5 )ex

( j j ) y' ' 4y' = xe2x + sen x + x~

->r - I r COSX X 3 X e2x 2 „Rpta: y = c , + c 7e + c-,e "' + --------- —--------1------(2x“ -3 x )

1 3 5 12 8 2

12) y"+2y '+2y = e cosx + xe

X _ _Rpta: y = -ê Xsenx + xe x +e l (c, cosx + c2 senx)

f308

14

s í9

©

fÍ8 )

Eduardo Espinoza Ram oli l /, unciones Diferenciales Lineales de Orden n------------------------------------------------------------------------------------------

309

Í13) y'v + 2 y '"+ 2 y "+ 2 y '+ y = xex +COSA

Rpta: y = (— ~ —)ex + (q + c 2x)e x + (c3 - - )c o s x + c4 sen a8 4 8

3

y "+ y '= eos" x + ex + x Rpta: y = ct + c 2e x + ( - - x2+ 2 x ) + — +ex sen a eos 2x2 20 10 I

[15 ) y' + 4 y " ' = e ' + 3 sen 2 x+ l

ex x3 3xRpta: v = q + c-,x4-c3x~ + c4 cos2a + c5 sen2A + — + — + — sen2x

y y ' = x2 - e x + ex

y " - 3 y - 1 + e ' + cosx + senx

y' 4y' = 4x + sen a + sen 2x

Rpta: y = (c, + c2x )ex + x + 1 h

Rpta: y = c ¡ + c 2e * + - x~ + 2x + xe ' + - j

1 „ eos 2 a— (4cosx + 3senx) + --------25 8

a ex eos a — 2 sen x

y " -2 v '+y = xex + 4 , y (0 )= l , y '(0 ) = lx3 ex

Rpta: y = 4xex - 3ex + —— + 4

2 y' '+3y'+y = x~ +3 sen x Rpta: y = cle + c 2xe + — (3cosx + 4senx)

y' '-8y'+15y = (15x¿ +14 x + 1) + eJ Rpta: y = c¡e3x + c2e5x + (x + 1)2 + —

y’"+ 4 y '+ 4 y -e 2x + 8(x + l) Rpta: y = c¡ + e 2x(c2x + c3) + x2x2e~2x

y"' \2x1 -2 4 x + e~x

- V3 \Í3 e~Rpta: y =c, + c2x + e2[c3 eos— -x + c4 sen — x] + (x 4 -1 2 x2) h—

y ‘v -8y "+1 6y = xsenhx(2x)

Rpta: y = e2x(c¡x + c2) + e zx(c3x + c4) + x ¿e~x(— ------— ) - x Je zx(— + —:—)- 2 x 2 , . 2 x , X 1 3-2*, X 1

192 128 192 128

y’ " - y ' = (x + eX) 22 x 2_ € X X

Rpta: y = c¡ + c 2ex + c 3e~x + ------- x(-— + 2) + — ( x - 3 ) e x6 3 2

Í19) y ''-4 y '+5y = 1 + eos x + e"

Rpta: v = (c, eos x + c2 sen x +1 )e + — +3 eos2x 4 sen 2 x

10 130 65

y '"+ y "+ y '+ y = xcosh(-x)

ex 3 xRpta: >’ = c,e * + c 2 eosx + c3senx + — (x — ) + — (x + 2 )e

8 2 8

Í20) y '" - 2 y + 4 y = ex eosx + x~ + sen2x

Rpta: y = C\e 2x + (c2cosa: + c3 senx)ex + —(2xz + 2 x + 1)4-

1 xe+ — (sen 2x + 3 eos 2x) + :— (3 sen x - eos x)

40 20

v’ '+2 v' = 3 + 4 sen 2x Rpta: y = c¡ + c 2e 2x + -----3.: sen2x cos2x

2 2

m y " ' + 2 y "+ y '= sen x + 2cos2x

sen x 1Rpta: y = c ,+ e J:(c2x + c3) - —— - — .(3sen2x + 4cos2x)

Dar la forma de la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales

v " - 4 y '= x 2e 2x

y " + 9y = cos2x

Rpta: y = xe2x (A x 2 + B x + C )

Rpta: y = A eos 2x + fi sen 2x

© y " - 4 y ' + 4y = sen 2x + e2x Kpta: y p = Acos2x + Z?sen l x + cx2e2x

© y "+ 2 y ' + 2 y - e x senx Rpta: y p = e '(A c o s x + 5senx )

( ¿ ) y ' ' — 5>>’ + 6^ = ( x 2 +\)ex + x e 2x Rpta: yp = ex (A x 2 + Bx + C ) + x e 2x (D x + E )

( ó ) y " - 2 y ' + 5y = xex c o s l x - x 2e x sen2x

Rpta: yp = xex[ (A x 2 + Bx + C ) eos 2x + (D x 2 + Ex + F ) sen 2x]

( ? ) v " + 3 y '= 2 x 4 + x 2e~3x + sen3x

Rpta: y = x (A ,x4 + A 2x 3 + A 3 x 2 + A 4 x + A5) + x (f i ,x 2 + B2x + B3)e~3x + D sen3x+£cos3x

( ¿ ) + y = x (l + sen::) Rpta: y p = A ,x + A2 + x(B¡x + B2) senx + x (D ¡x + D 2) eosx 1

( ¿ ) y " + 5y’ + 6y = ex eos 2x + e 2t (3x + 4) sen x 1

Rpta: y = ex (A eo s2 x + B sen2x) + ( D x + D 7x )e2;l senx + (E xx + E 2)e2x cosx

(lO ) y " + 2y' + 2y = 3e~x + 2e~x eosx + 4e~xx 2 senx

Rpta: y p = Ae~x + x (B xx 2 + B2x + B3)e~x eosx + x (C tx 2 + C 2x + C3 )e~x senx

(T i ) y " + 3y' + 2y = e x ( x 2 + 1 )sen2x + 3ex cosx + 4eA

Rpta: y = (A ,x 2 + A 2x + A 3)e't sen2x + (Z?¡x2 + B2x + B3)ex cos2x +

+ e3x (D cosx + £sen x )+ Fex

(¿ 2) y 1' + 4 y '= x 2 sen2x + (6x + 7)cos2x

Rpta: y p = x (A ,x 2 + A 2x + A3)sen2x + ( f i1x 2 + 5 2x + B3)cos2x

( Í 3) y " - 4 y ' + 4y = 2x2 + 4 x e2x+xsen2x

Rpta: y p = Axx 2 + A2x + A3 + x 2 (B xx + B2)e 2x + (C ,x + C2)sen 2x \-(Dxx + D 2) cos2x

310 Eduardo Espitioza RamoH 1 1 naciones Diferenciales Lineales de Orden n 311

©

©

y " - 4 y ’ + 4 = x(2e2'1 +xsen x )

y ' " - 3 y '- 2 y = ex ( l + xex )

y " —4y' + 8y — e 2x (1 + sen 2x)

y '" + 3y” - 4 y = 9xe~2x +4x

15) y " + 2y' + 2y = x 2 —3xe 2a cos5x

17) y ‘v + 5 y ” + 4y = 2cosx

y ' " - y ' ' + y = 2(x + 2e~x )

s .5. MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETRO.-

Consideremos una ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constante de tercer

orden.

d \

dx

d -y dy •a, — f + a2- f - + a3y = ./ (x )

dx3 ' dx2•(1)

donde al ,a-l ,a i son constantes y f (x ) es una función sólo de x ó constante.

Suponiendo que la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:

y g = í ' l > ' l + C 2 > '2 + C 3>'3

Luego la solución particular de la ecuación (1) es:

yp = M1yi+M 2y2 +M3y3

donde ul ,u2,u3 son funciones incógnitas que satisfacen a las condiciones siguientes.

“ '1 yi + 11 '2 y 2 + u 3 yi = 0u 'j y + u 2 y '2 + u '3 y '3 = 0

«'1 y "i + í(,2 y "2 + « ' 3 y "3 = / ( * )

. . . (2)

La ecuación (2) es un sistema de ecuaciones en u\, u '2, u\, el método consiste en;

1ro Escribir la solución general de la ecuación diferencial homogénea.

y„ = c,y, + c 2y2 + c 3y}

Eduardo Espinoza Ramon

Reemplazar c ¡ , c 2,c 3 por las funciones incógnitas ux,u2,u3 obteniendo f l

solución particular de la ecuación (1).

y = w,y i + u 2y 2 + u 3y3

3ro Formar el sistema bajo las condiciones de la ecuación (2).

4'° Por medio de integración obtenemos m,,m2 y u3 .

a) Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

d*y

dx:- + y = eos ec x

Solución

Hallaremos la solución general de la ecuación homogénea para esto se tiene:

p ( r ) - r~ +1 = 0 => r¡ — i , r2 = - i de donde yg = c, cosx + c2 sen*

la solución particular de la ecuación diferencial es: y - u¡ eos x + u2 sen x , tal que

u eos x + u '2sen x = 0

u ¡sen x + u '2 eos x = eos ec x ; de donde

0 sen xeos ecx eos xeos X sen x

- sen x eos x

cosx 0

- sen x eos ecx

eos x sen x

-senx cosx

= c tgx => u '2 - c tgx => u2 - L n ( senx)

y = - x eos x + sen x. ln(sen x)


I ¡ naciones Diferenciales Lineales de Orden n 313

©

y = y g + y = c, eos x + c2 sen x - x eos x + sen x. ln(sen x)

y = Cj eos x + c2 sen x - x eos x + sen x. ln(sen x)

y " + 4y = 4sec2 xSolución

Hallaremos la solución general de la ecuación diferencial homogénea, para esto se tiene:

P ( r ) = r 2 + 4 = 0 => r , = 2 í , r 2 = -2 i por lo tanto y = c, cos2x + c2 sen2x

la solución particular de la ecuación diferencial es: yp = m, eos 2x + u2 sen 2 x , tal que

í u 'j eos 2x + u 2sen 2x = 0

[ - 2 « ',sen 2x + 2u \ eos 2x = 4sec" x... (a )

reemplazando el sistema (a ) se tiene:

u , =

0 sen 2x

4sec2x 2cos2x -4 see xsen2x

eos 2x sen 2x

-2sen2x 2cos2x

= -2sec- x.sen2x => «, = 4L«(cosx)

li 9 —

eos 2x 0

-2 sen 2x 4see2 x 4 see2 x.cos2x

eos 2x sen 2x 2

-2 sen 2x 2 eos 2x

u'2 = 2sec2 x(cos2 x -s e n 2 x) = 2 - 2 t g 2 x => u2 = 4 x - 2 t g x

Como y = m, eos x + u2 sen 2 x , al reemplazar se tiene:

y =4cos2x.ln (cosx) + (4 x -2 tg x )s en 2 x

Luego la solución general de la ecuación diferencial dada es: y = yg + y p

I314

®

Eduardo Espinoza Ramos I < naciones Diferenciales Lineales de Orden n 315

d 'y— r- + y = sec‘ xdx2

Solución

Hallaremos la solución general de la ecuación diferencial homogénea, para esto se tiene: ■

P ( r ) = r +1 = 0 => r, = /, r2 = - i ; de donde yg = c¡ cosx + c2 sen x

la solución particular de la ecuación diferencial es y p = ut cosx + w2 sen x , donde!

m¡ , u2 son funciones incógnitas, que cumplen la condición siguiente:

u \ cosx + « ' 2senx = 0

- u ',sen x + u '2 eos x = sec2 x

resolviendo el sistema (a ) se tiene:

(a )

0 senx

sec2 x cosx

cosx senx

-senx cosx

= — tgx.secx

cosx 0

- sen x sec" x

cos x sen x

- sen x eos x

= sec x => u 2 = ln(sec x + tg x)

Como yp =m, c o sx + m2 senx reemplazando se tiene: y p = - 1 - sen xln |secx + tgx ¡

y la solución general de la ecuación diferencial es: y = y g + yp

dx2+ y = eos ecx.c tg x

Solución

Hallaremos la solución general de la ecuación diferencial homogénea, para esto se tiene:

P (r )= - r +1 = 0 => r, = / , r2 = - i . Por lo tanto > . - c, cosx + c2 senx

©

©

©

©

©

la solución particular de la ecuación diferencial es y p - í/i cosx + u2 sen x , donde

son funciones incógnitas, que cumplen la condición siguiente:

u eos x + it \sen x = 0

u ’¡sen x + m '2 eos x = eos ecx.c tg x

resolviendo el sistema (a ) se tiene:

... (a )

0 senx

cosecxctgx cosx

cosx senx

-sen x cosx

: c tg x => u¡ = -ln (senx)

U , =

cosx 0

-sen x eos ecx.c tg x

eos x sen x

-sen x cosx

= c tg “ x => u2 = - c t g x - x

Luego yp = - eosx.ln|senx|-(ctgx + x )senx y la solución general de la ecuación

diferencial es: y = y g + yp


+ y = c tg xd 2y

dx~

d 2y— Y + y = sec x dx“

Rpta: y = c, eosx + c-, senx — senx. Ln|cosec x-ctgx|

Rpta: y = c, cosx + c2 senx + xsenx + cosx. ¿«|cosx|

d -y

dx2+ 4y = 4ctg2x Rpta: .y = Oj sen2x + c2 cos2x + sen2x.Ln|coscc2x-clg 2 i|

y'*+2>>,+2v = e 1 secx

a . . -2 -2 *y +4y +4 v = x e

Rpta: y = e x (c¡ + x )sen x + e x[ c 2 + ln (cosx)]cos »

Rpta: y =e~2x[c¡ - l + c2x - ln x ]

316

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

Eduardo Espinoza RamoS I , naciones Diferenciales Lineales de Orden n

y +y = tg" x

y +y = sec" x.cscx

y " -2 y '+ y - e "x ( e x + 1)

„2*y " -3 y '+ 2 y = -

1 +e

y "+ y = sec x

y' '+y = tg x

y " - y = e 2x sen(e~x )

y"-3y '+2y = cos(e~x )

9y "+ v = sec(—)3

y - y = seri x

y"~ y = x2e 2

y"-2y '+ 2y = 3x + e x tgx

r. . ,1 I Sen2 X ,Rpta: y = v + senx.ln secx + t g x ------------- 1' s 2cosx

Rpta: y = yg ~ sen x. ln(csc 2x - c tg 2x)

Rpta: y = y g + e x ln( 1 + ex )

e2x iRpta: y = ys + ex arctg(e_* ) — — Ln(l + e~2x)

Rpta: y = y +sec x

Rpta: y = y - cos x. ln(sec x + tg x )

Rpta: y = yB -sen e x - e x cose x

Rpta: y = y - e x coste x )

X X X XRpta: y ^ t q + —]sen —+ [c2 +ln (cos—)]cos —

Rpta: y = cxex + c2e x ------2 sen" x

5 5

Rpta: y = cxex + c 2e x + e 2

y'-'+y — x cos x

3x 3Rpta: y = (c, sen x + [c2 -L n (s e c x + tgx )]cosx)e* + ~ - + —

x ~ xRpta: y = (c, + — ) sen x + (c2 + —) cos x

y " ’ -7y '-6y = 26e x cosx Rpta: y - c xe x + (c 2 + 2 ser x + 3 cosx)e 2 jr+ c 3¿>’ '

0 $y"+3y'+2y = seni e* )

©y"+4y - sec2x Rpta:

©y"+2y '+y — e x ln(x)

1 r e~2x©

y "+ 4y '+ 4y = — —x

y ” -2 y '+ y = —e x senx

y"-4 y '+ 4 y = (3x2 +2 ) e

© y " ' - y " - y '+ y = 4xex

©y '" —y' = senx

@ y " '-3 y " -y '+ 3 y = 1 + e x

© y " '—2 y " — 4(x + 1)

© y ’ "-3 y '-2 y = 9e v

©y' ' ’-7 y'+6y = 2 sen x

© y " '- y '= senx

©iv 1 1 X

y - y = 2xe

Rpta: y - c xe + (c2 +sen<? )ex \ ~ 2 x-\

cos2x

4

x— sen2

„-x , J 2 - x / 1Rpta: y = ( c ¡ + c 2x)e x + x e x{— ln(x)-

n , - 2 x , - 2 x - 2 x i -2>Rpta: y = c xe + - e In x - e

Rpta: y = (c x + c 2x )ex - c o s x .e x

Rpta: y = cxe x + (c2 + c3x)ex + (—-— + — )e

Rpta: y = c, + c2e~x + c3ex + :

x3 x2 x

3 2 2 4

cosx

Rpta: y = qe* + c2e“x + c3e3* - - ì “3a - 2j;

2* 3 2 3 3Rpta: y = c, + c 7x + c,e~ - ( -------- x + —x + —)i 2 3 3 2 2 4

2X 3xRpta: y = cxe + c 2xe + c3e~ — — e

, , l Rpta: cxex + c2e~x + c 3e + — (4cosx + 3senx)

Rpta: y = cx+ c 2e + c 3e’ +cosx

- x x 5Rpta: y = c2 +C3 X + C4 Í' + x + q )r '

318

35)

y"-5 y '+6 y = l e '

y' -y ' -2y = l e


Rpta: y = y + e

Rpta: y = y g - - T e2x

3

(36) y' '+4y = 3 csc 2x , 0 < x < -3 3 _

Rpta: y=y + —sen2x.Lrc(sen 2 x )— xcos2 « * 4 2

-2x(37) y "+ 4 y ’+ 4 y = ~ ~ , x > 0 Rpta: y = c,e 2x+ c2xe lx - e ~x \ n x - e

2»

(38) y"+2y'+y = 3e~

(39) ? " - y ' = x

(40) y " - l y ' + y = x ¿+ 1

3xl .Rpta: y= yg + - y - e

Rpta: y= A + Bex +ce x — j

Rpta: y = ex(c¡x+c2) + (x~ +4x + 7)

41 ! ! A 1 A 2x , ~2xy —4y +4y = e +ee~2x x2

Rpta: y=.e2x(cix+c2) + —— + — e2 16 2

[42)

(43)

y '" - 2 y " - 3 y ,= 9 (x + l)

y '"+2 y " - y ' = cosh(x)

Rpta: y = q + c2e x + c 3e x - — (3x + 2)

Rpta: y = ctex +c2e~x + c3e~,2x + ± ex - ^ e *

( 44) y "-8y '+12y = 4xsenh2x Rpta: y =>c / x + c2ekxT^ (2 x + 1 )- — (8x + 3)e128

(45) y' ' '+y' ' - y ' - y = senh xX X

Rpta: y = cxex + c2e~'+c3xe x + ~ e x +-— e

(46ij y" + 5y' + 6y = (x + l ) ‘ Rpta: y = cle lx + c2t 3a - — (1 8 x 2 + 6 x + 7)j

11 naciones Diferenciales Lineales de Orden n 31'

<* y " + 5y '+6y = ( x + l ) ¿ Rpta: y = q e x + c 2e ------ (18x +6x + 7)1.8

y " + 4 y ' - 5 y = 12cosh x3

Rpta: y = cxex + c 2e~^x + xex ----e

y " ' - 2 y " - y ' + 2 y = (x + lY Rpta: y - c xe x + c2ex + c3e + — (2x + 6x + 9)

y " ' + 3y' ' - y '- 3y = e* + e “3* Rpta: y = c,ex + c2e~x + c3e~3x + - e x + - e~3x

y' " - 3 y " + 3y' - y = ex +\x3ex

Rpta: y = cxex + c2xex + c3x ex h-------

y "+ 2 y ' + 2y = sen 2x + c o s 2 x , y(0) = 0, y '(0 ) = l

„ , . 3 11 sen 2x 3Rpta: y = e + (— cosxh senx) + --------------- cos2x

10 10 10 10

y " - y ' - 2 y = e3x, y(0) = 1, y '(0 ) = 2 Rpta: y =e - x l e 2x ¿ X

12 3 4

y " + 2 y '-3 y = 1 + xe '1 -> 1

Rpta: y = y„ + — (2x - x ) e x — 16 3

y " + 4y = 3xcos 2x Rpta: y = ye + A x cos 2x + Bx sen 2x

y " + y ' - 2 y = 2x -40cos2x—9 x

Rpta: y = cxex + c2e — cos x

y " + 3y '+2y = 1 + 3x + x Rpta: y = c¡e x + c2e 2x + ~ -

f320 Eduardo Espinoza Ramos

5.6. ECU. X IO NES DIFERENCIALES DE EULER.-

Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma:

,,-i d n 1 y dya„x — + a .x — p+... + alx -----h a0y = 0

1 dx„« d"y

-------- r idx" i/x"

donde a0,a l ,a 2,~.,an son constantes.

... (a)

Para resolver la ecuación diferencial (a ) se transforma a una ecuación diferencial]

homogénea de coeficientes constantes, mediante la sustitución.

dx ,x = e => t = Ln x, ademas — — e

dt

dy

también — = ~ = e~' — de donde dt dx dt

dt

dy dy

~dt ~ £ ~dt

d y dy'!di _ df_ _ g-, d_^ - , dy_.)

dx2 dx dx/dt dt dt dt

d 2y _ -, dy d 2y

dx~= e ( e — + e — —) de donde

dt dt

d 2 y _ - i t d 2y dys» 7 7 i '

dx‘ dt dt

en la misma forma se hace los cálculos si la ecuación diferencial es de orden 3, 4, etc.

También son ecuaciones diferenciales de Euler las ecuaciones de la forma siguiente:

a (ax + b)" - + a , (ax + b f 1 —— (ax + b ) - ~ + any = 0dx" dx"- ' 1 dx o*

.(P)

Para obtener la solución de la ecuación diferencial (P ) se transforma en forma similar al

caso anterior mediante la sustitución:

dxax + b = e ‘ = » t = Ln (ax + b). Además — = —

dt a

11 naciones Diferenciales Lineales de Orden ti

dydy dt -t dy , , , . dy dy— = — = ae — de donde se tiene — = ae — dt dx dt dt dt

dt

d_ l_d 2y dy' dt -t dv' - ¡ d , -t dy 2 _t<. dy , d~y — - = = -ü i- = ae - ae — (ae — ) = a e (e — + e — —)dx2 dx d± dt dt dt dt dt~

dt

d 2y i -7¡rd2y dv,de donde: — — = a~e ' [— ------------—]

dx2 d f dt

Las ecuaciones diferenciales no homogéneas de Euler son de la forma:

anxn ~ + a„_xx n 1 + ... .+axx ^ - + aQ y = xaPm(Ln (x ) )dx" dx" dx

... (Y)

donde m es el grado de Pm (ln (x))

Para resolver la ecuación diferencial (y) se transforma en forma similar a los

anteriores.

a. Ejemplos.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

2 d 2y dy® 2 d y , ay nX — y + x - — y = 0

dx2 dxSolución

, , , . dy _r dy d~y - 2 t f d y dySea x = e => t = Lnx, ademas — = e — ; — — = e (— ------—)

dx dt dx2 dt2 dt

reemplazando en la ecuación diferencial.

e2t .e 2r - — ) + e‘ .e 1 — - y = 0 , simplificandodt2 dt dt

2-— - v = 0 , ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes.d t2


Sea P ( r ) - r 2 ~ \ - 0 => r, = l , r 2 = - l .

Luego la solución es y(t) = c¡e ' + c 2e~' , de donde > = c , jc + -=-

© ( x + 2 ) 2 y " + 3 (x + 2 )y ' - 3 y = 0Solución

Sea x + 2 ~ e ' —> t = Ln (x + 2) además: — = =dx dt d r dt~ dt

Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

21 -2t,d~y dy , dye~'.e ' (— i------ —) + 3e .e ' ^ - - 3 y = 0d r dt dt

de donde al simplificar se tiene: -— - + 2 — - 3 y = 0 . que es una ecuación diferenciald r dx

homogénea de coeficientes constantes:

Sea P ( r ) = r" + 2 r - 3 = 0, de donde: r , = - 3 , r 2 = l

Luego la solución es: y(t) = c xe~3' + c 7e' y = ----- —- + c2(x + 2)(x + 2)

( 5 ) jc2y " + xy '+ y = x (6 - ln a)Solución

C '■■■', t / \ - dy ! dy d 2y - 2t , d 2y dySea x - e t = Ln x) ademas. — - e — - -— T ~ e (— i----- T>

dx dt dt2 dt2 dt

Reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

e2t ,e~21 - — ) + e' .e~' — + y = el (6 - t ) , al simplificar se tiene:dt2 di dt

= (6 - t ) e ‘ , ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes:

I


Sea P ( r ) = r 2 +1 = 0, de donde: rx = i , r2 - - i

Luego la solución complementaria es:

y g - c*| eos t + c 2 sen t y la solución particular es:

yp - ( A t + B)e ' => yp - Ae' + (A t + B)e’ => yp = 2Ae' + (A t + B)e'

como - ^ - + y = (6 - t ) e ' entonces 2Ae‘ + 2 (A t + B)e ' + (A t + B )e ‘ = ( 6 - t ) e ' dt¿

2At + 2A + 2B - 6 - 1 => A = - ~ , B = -2 2

Luego yp + » V solución general es: y(/) = yg + yp = c, eost + c 2 s e n í- ^ +

y - c, cos(ln x) + c2 sen(ln x) - (ln x - 7)

@ (2x + \)2y '" + 2(2x + \ )y "+ y '= 0

Solución

Sea 2x + l = e ' t = L n (2 x + l ) , además: — = 2e~' — ; ^-%- = 4e~2'(^ —% --— )dx dt dx2 dt2 dt

Reemplazando en la ecuación diferencial dada:

¿ .J S ,- » ( £ l + 2 ^ ) + t í M - V & - - * ) + t í ' Í L = 0 dt dt2 di dr dt dt

&, - [^ - 3 ¿ í + 2 * l + t e - ' ( í i - S 1 + 2 « - > ± = 0 dt3 dt2 dt dt2 dt dt

4 , f í ! Z - 3 ^ + 2 * ] + 4 | ^ - ^ l + = 0 = » 4 í f - g ^ + 5 ^ = 0 dt- dt dt dt~ dt dt dt dt2 dt

to | -

J

324 Eduardo Espinoza Ramos 1 I cuaciones Diferenciales Lineales de Orden n 325

©

©

©

©

©

©

©

©

©

©

Sea P ( r ) = 4 r3 - 8 r 2 + 5r = 0, de donde: rx =0, r2 = 1 + - , ^ - l - -

, 1 t ry la solución general de esta ecuación es: y (í) = c1+ c 2e eos —+ c3e sen ^

ln(2x + l), _ ,s ,ln(2x + l)v = c, + c2(2x + l)cos(—--------- ) + c3(2x + l)sen(----- ------ )


Resolver los siguientes ejercicios:

x 2 y' '+2xy'-2y = 0

x 2y"+xy'+9y = 0

4x2y"-8xy'+9y = 0

x 2y"-3xy'+7y = 0

Rpta: y = c, | x\ + c 2 \ x |

Rpta: y = c, sen(3 ln | x |) + c2 cos(3 ln | x |)

3 3

Rpta: v = c,x2 + c2x2 lnx

Rpta: y = qx2 eos V3 ln x + c2x 2 sen S ln

x 2 y "+ x y ' -p 2 y - 0 , p es una constante. Rpta: y = c, | x\p + c2 \ x | p , p * 0

x 3y '"—2x2y "—17xy'—7y = 0 Rpta: y=|x| (cj + c 2 ln|x|) + c3 |x|

x 3y '"+ 4 x2y " - 2 v = 0

2x y "+ xy '-y = 0

x 3 y' ’ -3 x 2 y ’ '+6xy'-6y = 0

Rpta: y = q | x | 1 +c2 | x +c.1-V2

Rpta: y = c,x +

x y"+3xy'+y = 0

Rpta: y = c,x + c2x + c3x 3

Rpta: y = — (c, + c 2Ln |x|) x

x

( í l ) x 2y"+2xy'+6y = 0i /o 23

Rpta: y = —7= [q cos(~— ln,.*)) + c2 sen(— —ln(x))]

© xy”+ y ' - 0 Rpta: y = C[ + c 2 ln | x |

© (2x +1) 2 y " - 2(2x + l)y ' + 4y = 0 Rpta: y = c, ( 2x + 1) + c 2( 2x + 1) ln(2x +1 j

© x 2y '" - 3 x y " + 3y'= 0 Rpta: y - c ¡ + c 2x 2 + c 3x 4

© (x + l ) 2 y " ’ - 1 2y ’ = 0 Rpta: y = Cj + — r- + c3(x + l )5 (x + 1)2

©4v ' 2

y ’,+— + - r y = oX X

Rpta:cx C9

y = — + ~ rX X

© y " - - y ’+ 4 = 0X X*

Rpta: y = x(C| lnx + c2)

©- 5 . 5 y + - y + - r y = 0

X XRpta: y = —y[C| eos(L / j( x ) ) + c-, sen(Ln(x))]

X "

© 9 y " + - v '+ 4 = 0X X 2

Rpta:i

y = x 3 (c, ln x + c2 )

© +=!-¡

1 4

+‘

*k>|

^

Vi II o Rpta: y =

S V3= x 2 [c , cos(— ln(x)) + c , sen(— ln(x)) 1

2 2

© , - + i , - + i z : + 4 = oX X x3

Rpta: y = c1x _l + c 2 cos(lnx) + c3 sen(lnx)

© , - + í z : + 4 + 4 = oX X - X

Rpta: y - c ¡x + x~' ( c 2 lnx + c 3 )

© , - + 4 - 4 = »X X

Rpta: y = x [c,(ln (x )) 2 + c 2 ln(x) + c3]

3 y " y y — v ,y'"H-------+ —r- + —y = 0 Rpta: y = c,x + x 2[c,cos(— lnx) + c2 sen(— ln > i

x x x 2 2

326

I fEduardo Espinoza Kamos

Rpta: y = ( x - l ) 2[ci ln (x - l ) + c2]

26) y ”+ —¿— +x - 2 ( x - 2 y

= 0 Rpta: y = x 3[q cos(V3 ln(x - 2) + c2 sen(\/3 ln(x - 2))]

27) 4y"+- y( x - a f

28) y + - £ --------= ox + a (x + a)

, - + * : + - y'

Rpta: y = 4 x - a [cxLn(x - a) + c2]

Rpta: y = c l (x + a )4 + c 2(x + a) - 2

x + a (x + a )- (x + a)

— 3 3Rpta: y = cl ( x + a ) + (x + a) 2[c2cos(— ln(x + a)) + c3 sen(—ln(x + a))]

30) x y " — xy '+ y — 2x

31) x y " + 4xy'+2y = 2 lnx

16 In x

Rpta: y = x\c{ + c 2 ln(x) + c3 ln "(x )]

„ C1 C? , J Rpta: y = — + — -+ L «x—x x~

32) x~y "- .xy '-3y = -

x 2 y " + xy' + 9y = sen(ln x 3)

x 3y '" + 4 x 2 y " + xy '+y = x

Rpta: y = — (cj + c 2x4 + Ln(x ) + 2Ln (x ))

Rpta: >> = v„ — ( L n (x ) )cos(Ln x )' s 6

Rpta: y = yg + -

x 2y” + 4xy' + 2y = 21n‘ x + 12x Rpta: y = — + —|- + ln2x-31nx + 2x + 7x x"

36J x v " + xy1 — y = xw |m| & 1 Rpta: v = ---------r r -' + —m~ - ! x

licuaciones Diferenciales Lineales de Orden n 327

x 2y” -2 x y ' + 2y - x^ - 2 x + 2 Rpta: y = cjx + c2x 2 + l + (x 2 + 2x )lnx

2 ¿y dyx —^ + x ----- y = 0

dx2 dx •

„ c ,Rpta: y = q x + —|-

x

, ,..A d~y 2 dy 2y(39) — r-------r + —r = xLn(x)

dx¿ x dx x

jc 3xRpta: y = q x + c2x2+ — ( ¿ « ( x ) ) - —

(40)

©

x y " -2 x y ' + 2y = 0

x y " —6y = 0

Rpta: y = C]X + C2X

Rpta: y = c jx 3 + c 2x 2

x2v "+ — = 0 Rpta: y = (q + c2Ln (x ) )\x

45)

x 2y " - x y '+ y = 0 Rpta: y = [c, + c 2 ln(x)]x

x 2y " -4 x y ' + 4y = 0, y (1) = 4, y '( l ) = 13 Rpta: y = x + 3x4

x 2y"-3xry' + 3y = 0, y (1) = 0, y ’ (1) = -2 Rpta: y = x - x 3

x y "-3 x y ' + 4y = 0 , y (1) — 1, y '( l ) = 3 Rpta: y = (l + ln(x))x

x 'y ' " + x y "-2 x y ' + 2y —0 Rpta: y = — + c2x + c3x x

i d y „ í/y x — f + 3x-;- + y - 0

dx2 dx -Rpta: y = (q + c2Lnx)

1

2y

x2

2Rpta: y = q x + —

x 2y "-4 x y ' + 6y = x 3 2 - ^Rpta: y = cxx + c 2x + —

(l + x )2y " + 3(l + x)y ' + 4y = (1 + x )3 Rpta: y = (x + l ) 2[q + c 2 ln (x+ 1)| + (x + I )'

328 Eduardo Espinoza Ramni

(52) x 2y " + xy' + 4y = 0 Rpta: y = c, cos(2 ln(x) + c2 sen(2 + ln(x)| 1

(53) x 2y " + 4xy' + 2y = 0 Rpta: y = c,x_1 + c 2x~2

(54) (x - 1 )2y " + 8(x —l)y ' + 12y = 0 Rpta: y = c , ( x - i r 3+ c 2(x - l )~ 4 ■___ I

3

55) 2x2y " -4 x y ' + 6y = 0 Rpta: y = c, | x |2 c o s a t a | x\) + c2 | x|2 sen(— In | x|)\->--- i v!2

□

56) (x - 2 )2 y " + 5(x - 2)y' + 8v = 0

Rpta: y = c , (x -2 )~ 2 cos(2In|x - 2 |) + c2( x - 2 ) “ : sen(2In|x - 2 1)

5?) x 2y " + 7xy' + 5y = x Rpta: y = c,x~' +c„x~5 + c 2x~5 + - j -" 12

58) x 2y " -3 x y ’ + 4y = lnx Rpta: y = q x 2 + c 2x2 lnx + -Unx + A

59) x 2y "-2 x y ' + 2y = 3x2 + 21nx Rpta: y = c2x + c2x2 + x 2 lnx + lnx + -

4 4

3

60) x 2y” + xy’ + 4y = sen(lnx) Rpta: y = q cos(21nx) + c2 sen(21nx) + -sen (lnx)

_26 l) 3x2y " + 12xy' + 9y = 0 Rpta: y = c,x 2 cos(— lnx) + c2 lnx f c 2x 2 sen(— lnx)

• , d v í/v 1 ~ c, c, cosx Ln x62) x — - + 4x— + 2y = cosx + — Rpta: y = •- + — ----- — + ----- -" J dx dx x x x x z x

63) (jc4-1)3/ ’ + 3(x + 1)2y'+.(x + l)y = 61n(jr + l) Rpta: y = -+-----1Ca + c'2 Ln (jc + 1) + Ln \x +1) !

x + l

64; x3 — r-- 3x2 ^ + 6x— - 6y = 0 Rpta: y = c lx + c2x " + c ,x dx3 dx dx

*

I i unciones Diferenciales Lineales de Orden n

2A') X3 — 7 - x 2 — ^ - 6x— + 18y = 0 Rpta: y = (c, + c 2 lnx)x3 + c ,

dx dx~ dx. 3 ^ x -2

Hit) ■> d “ v ¿y . „ ,x — —+ x — + 4y = 2xlnx, x > 0

dx dx

Rpta: y = cl sen(ln x2 ) + c2 cos(ln x2 ) +2 x ln x ‘ 4x

5 25

M¿X' ì/x dx

x ' x¿ ~ r t ~ 2 x ~ ~ 2 y = x3 Rpta: y = (c ,+ c2 lnx)x + c3x2+ —

(2 x -3 )2^ - 6 ( 2 x - 3 ) ^ + 12y = 0 Rpta: y = c , (2 x -3 ) + c2(2 x -3 )¿ydx dx

(ftWV / 70) x 3y ' " - 3 x 2y " + 6 xy '-6 y = 0

©

x y " ’ + 3 y "= 0

x 2y " + x y '-9 y = x 3 +1

3 d3y 4 2d 2y . dyx — - + 4x~— —- 5 x -------15v = xdx3 dx2 dx

x 3 y '"+ 4 x2y' '-8xy'+8y = 0

x 2 y' " + xy" + 4y' = 1 + cos(2 ln x)

(76) (3 + x )3 + 3(3 + x )2 + (6 + 2x) — = 0dx3 dx2 dx

329

.3


C A P I T U L O V I

6. OPERADORES DIFERENCIALES.-

Supongamos que D denota la diferenciación con respecto a x, D 2 la segunda]

diferenciación con respecto a x y así sucesivamente, es decir, para el entero k positivo, a

D ky =dk y

dxk

Luego a la expresión: L (D ) - aQD n + a lD " 1 +...+an_lD + an

se le llama OPER VDOR DIFERENCIAL DE ORDEN ” n"’ ; y es tal que, al aplicarse |i

cualquier función “y” produce el resultado siguiente:

{ L ( D ) } ( y ) - a 0D "y + a lD n ' y+ . D y + any

donde los coeficientes a0, a ¡ ,..., an pueden ser funciones de x ó constantes. J

Observación.- Dos operadores L, y L 2 son iguales si y sólo si producen el mismql

resultado sobre alguna función.

es decir: L, = L 2 <=s> L\ (v ) = L 2 (y )

Observación.- ( L } .L 2)y - L ] ( L 2(y ) ) , y si los operadores L , y L tienen]

coeficientes constantes entonces se cumple.

Zj| . — ¿-5. L |

6.1. LEYES FUNDAMENTALES DE QPERADORES.-

¿j + L2 = L 2 + /., ( L i + L2) + i , — + ( L2 + L j )

@ ( L ,. ¿2 ). Z 3 - ( ¿2 . ¿3 ) © L j. ( + L3) — Z.|. L-, + Z-j L3

© Si/«. n e Z + => £)'"+" = /)"’ , d ”

Operadores Diferenciales 331

6.2. PRQPIEDADES.-

Sean m, n, r, k constantes reales r . k e z +, entonces se cumple

1ro D k(e rx) = r kerx

ahora deduciremos el efecto de un operador L sobre emx .

para esto. Sea: L (D ) = a0D n + a {D n 1 +...+an D + an

==> { Z>(Z))} (é> ) = í/0 D e +í/jD <? +...+ an_xDe + a ne

n m x , n-1 m , , m x= aQ m e + a ]m e +...+an ]me + a ne

emx( a m’ ' + a mn~l + . . . + a m + a )0_________1________ ________ n - 1_______ «

L(m)

Es decir: { L {D ) } (e nvc) = e”" L (m ) ; por lo tanto se tiene:

2du { L (D ) } ( e mx) = emxL(rn)

Observación.- Si m es raíz de L (m) = 0, entonces L (D )e mx = 0

Determinar el efecto del operador ( D - m ) k sobre x ke’"x , es decir:

. ^ x/ k m u , A'-l m x t k m x k inx , k - 1 mx( D - m )(x e ) = kx e + mx e - mx e - kx e

(D - m )2( x ke"1* ) = k(k - l ) x k ~e'm

( D - m ) 3( x kemx) = k(k - l ) ( k - 2 ) x k~3e'm

( D - m )k ( x kemx) ~ k\emx = e"‘x D k x k, por lo tanto:

^ro , \ k , k m x N , m x3 ( D - m ) (x e ) = k\e

Observación.- Si, n > k => ( D - m ) " ( x kemx) = 0

332 Eduardo Espinoza Ramo»

4to Para cada función con “n” derivando se cumple: (D - m)" (e"l'u ) = e"‘x D"u

5to Si L {D ) = ( D - r ) k (p ( D ) entonces

L ( D ) ( x ke * ) = ( D - r ) k (p ( D ) ( x kerx) = k l(erx)(p (D )= k\(p ( r ) e rx

1 „ xkerx-.e = -

L (D ) k\<p(r)

Ejemplo. D (D - 2 )3 (D + l )y = e~x

6to Si L es un polinomio => L (D ) (e rxu) - e 'x L (D + r)u

Ejemplo.- ( D - 3 ) 2( D + \ ) \ y ) = x 2e2x

6.3. METODOS ABREVIADOS.

1ro La ecuación ( D - r ) " y = erx (b0 + Z?,x+...... +bpx ), bp * 0

tiene una solución particular única de la forma: yp = x ' e ' Rp (x )

donde Rp(x )e s un polinomio de grado p. dado por:

b,, h,x b x'R (x ) —-------------1------------------ 1- — H— ---------------------- —

p 1.2.3 n 2.3.... (#i + l) ( p + l ) (p + 2).... ( p + n)

2d0 La ecuación ( D - r f y = esxQ p(x), r * s , r , s e donde Qp(x ) es un polinomio de

grado “p” ; tiene una solución particular única de la forma:

yp = e rxu donde u = eax (b0 + b ix+...+bpx p )

donde a = s - r y luego aplicamos el método de los coeficientes indeterminados.

3ro La ecuación (a uI ) n + 0 ,0 " ' +...+an_xD + a n)y - /?„ con R () = constante yj

Ri)an * 0 ; tiene como solución particular a yp = —


4to La ecuación (auD " + a xD n +...+akD " ) y = R 0 con R 0 = constante y ak * 0;

V *tiene como solución particular a ypaL

5to Aplicamos ahora el operador inverso: — í— , definido por — !— (L (D ))y = v ahoraL (D ) K L (D ) •

si aplicamos este operador a: (a^D" + a XD " l+...+an)y = b (x ) se obtiene:

es decir: v = — í— .— — .— -— ...— !— b(x)...(*) D - r { D - r 2 D - r 3 D - r n

La ecuación (* ) se resuelve de acuerdo al siguiente cuadro.

Hacer Por Resolver Obtener

z = -—-— b(x) D - r „ z ' - r „ z = b ( x ) z = er‘xj e - r' x*x)dx

V = ----- ------ z(x)D — r„—l

v'~r„_ ,v = z (x) v = er"-'x J* e~r”-'x z(x)dx

y = w(x) D -r ,

y ' - r , y = w(x) y = er,x J* e~r'xw(x)dx

Obtenemos y = er‘xJ e (r2 r,)xj e (r> r,)x. . . je (r" r" l>xJ e r"x>xb(x )(dx )n

6tn Suponiendo que / ( D ) = ( D - r¡) ( D - r2)... ( D - rn) en el cual los factores son todos

distintos, entonces existe el desarrollo de fracciones parciales.

i A, A, A” - 7 ------— + ------------------ > en el que A ., . . . ,A son constantes. Entonces:

f ( D ) D - r . D - r 7 D - r

Eduardo Espinoza Kamot

’ = A¡er'x j b ( x ) e - r'xdx + A2er- í j b ( x ) e - ^ + . . . + A y ' - ' j e - ^ b(x)dx

al calcular tanto las integrales de 5t0 , 6to se descartaran las constantes de integracidM

cuando aparecen, de otro modo estaríamos calculando la primitiva en vez de la intcgrfl

particular de la ecuación diferencial.

7t0 Una integral particular de una ecuación diferencial lineal F (D )(y ) = b(x) c o j

1------- iF (D )

coeficientes constante está dado por <pp = — — b(x) y para ciertas formas de b ( j f

se abrevian el cálculo de éste operador.

a) Si b(x ) = eax => <f> = — -— eax = — !— eax; F ( a ) * 0 p F (D ) F (a )

b) Si b (x ) = sentar + ¡3 ) ó b (x ) = cos(cu + p ) entonces

<P„ = — —r sen(ax + P ) = ---- í— -sen (a x + B): F ( - a 2) * 0P F {D ) F ( - a )

ó </)p = ~ ~ ¡ - x p = ( a 0 + a iD + a2D 2 +... + apD p) x p,a0 * 0

Obtenido desarrollando — -, según potencias crecientes de D y suprimiendo

todos los términos potencias D p, puesto que D nx p = 0 para n > p

d) Si b(x ) = eaxR (x ) =* <¡>p = - ^ L - e axR (x)F (D )

e) Si b(x) = x R(x) => <pD = - ^ — xR (x ) = x — — /f(x )— — ~ R ( x )p F ( D ) F (D ) ( F { D ) )

il¡ifiadores Diferenciales 335

g) 1 -senh(ax) = _ — senh(ax) si F (a ) . F(-a) * 0F (D ) F (a ) .F ( -a )

h) — -— cosh(ax) = — F D)— cosh(<7x) si F (a ) . F(-a) * 0F (D ) F (a ) .F ( -a )

. . 1 x" ratsen ax = ------ ;— sen(«x-------)

( D 2 + a 2) n (2 a)nn\ ' 2

j )1 x” nn

cosax = -------— cos(ax------)( D 2 + a 2)n (2a)" ni

a)

©

Observación:

\e'P x = cos/íx + ¿sen/}x

I e~‘P x = eos P x - i sen px

\e x = cosh P x + senh Px

[e~P x = cosh P x -sen P x

=>

COS P X -

sen P x =

senh P x -

ei p x +e~ip

eip x + e -ipx

2 i

J x _ - P X

cosh P x =ep +e

Ejemplos.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

(D 4 - 8Z)2 + 16)(y) = xe2x

Solución

F (D ) = D 4 - 8 D 2 +16 = 0 => /', = r2 = 2, r3 = r4 = -2

Luego la solución general de la ecuación homogénea es:

0r(x ) = (î + c xx )e 2x + (c 2 + c i x)e~2x, para la solución particular se tiene:

xe,2.i

<t>D(x ) = — -— xe2x = - p F (D ) ( D - 2 ) - ( D + 2)

— donde r, =2 , r2 = 2, r3 = -2 , r4 = -2

336 Eduardo Espinoza Hamot

0p(x ) = er'xj e ^ ~ r' )xj e(r )x j e (r^ )x j e ~ v b(x)(dx) 4

4>p (x ) = e2xj e ° j e ^ j e ° j e 2xxe2x(d x f = e2< J J e~4x f J xeAx(dx)4

. . 16 32

■ . ■ 2 x / X 3 A

0' W = e

X3 3x2y = <¡)c(x) + (¡> p (x ) = (c0 + c, x)<?2'1 + (c3 + c4x)¿? 2jr + e2* (— ------- )

96 64

© D ( D - l ) 3(y ) = ( x 2 + 2 x ) = ex

Solución

P (r ) = r ( r - l ) 3 = 0 => r, = 0, r2 = r3 = r4 = 1, entonces

2 r0c(x) = c, + (c2 + c3x + c4x )e ; ahora calcularemos la solución particular:

<t>P(x) = ------ ---- 3(x 2 + 2x)elx = ------í---- T— — (x ‘ + 2x)ex ] ... (1)D (D - l ) D (D - l ) 2 D - l

haciendo z = — — (x^+2x)<r' entonces: — - z = (x 2 +2x )ex cuya solución es £>-1 dx

\ - d x r í —dx f v3 T— e J [\ e J (x + 2x )exdx] \ ( x ~ + 2x)dx = (~^~ + x )e* reemplazando en (1)

1 rx3 r 1 1 x3<¡>P(X) = ------ — - [ — + x2]é* = ------------ [----- - ( — + x2)ex ] ... (2)

D (D - l ) 3 D (D - 1) D — l 3

1 o dz x *Sea z = -----------------------------------------------------------(— + x2 )ex entonces--- z = (— + x 2 )ex , cuya solución es:

D - 1 3 3

-d x r \ - d x j -4z = e J [ \ e J (— + x y^rfx] = e + ~ ] > reemplazando en (2)

O/madores Diferenciales 337

1 X4 X3 J 1 1 X4 X3 J.ó p (x ) = ----------- (— + — )e = — [-------(— + — )e ] ...(3 )V D (D - l ) 12 3 D D - l 12 3

1 x4 V3 dz A-4 x 3Sea z = ------(— + — )ex entonces — - z = (— + — )ex cuya solución es:

D - l 12 3 dx 12 3

- j*—dx f [ - d x X 3 V5 X 4z = e J [ I eJ (— + — )exdx] = e (— + — ), reemplazando en (3).

J 12 3 60 12

I V5 V4 r X5 X4 x5é „ ( x ) = — (-----1— -)cr => c (x ) + (¡>p (x )

<¡> (x ) = C[ + (ct + t 3x + c4x2 )e r + — ex60

0 ( D - l ) 3(D - 2 )3y = x 2e3xSolución

Sea P (r ) = ( r - l ) 3( r - 2 ) 3 = 0 => r, = 1 de multiplicidad 3 y r2 = 2 de multiplicidad 3

/ 2 v x / , 2 v 2 *yc = (c, + c2..+ c3* )e + (c4 + r5* + c6* )<?

ahora calcularemos la solución particular.

1 ^ 3 * = g3x 1________x 2( D - l ) 3(D - 2 )3 (D + 2)3(D + 1)3

- g3-t 1____j 1_________r2j(D + 2)3 D 3 + 3D2 + 3D +1

y = e 3x-----!— - (1 -3 D + 6D2)x 2 = e 3x-----í— - ( x 2 -6 x + 12)p (D + 2)3 (D + 2)3

y = ------- J----------- (x z - 6x + 12)D +6D " +12D + 8


y = e3x( - - — D + ~ D 2){x2 - 6 x + \2) => yp = e3x( ^ - - | * + 3) ■ P 8 1 A p 8 816 16

La solución general es: y = yc + y

(D 3 - 4 D 2 + 3 D )(y ) = x 2Solución

Sea P ( r ) = r~ — 4r + 3r = 0 => r| = 0, r2 - 1, r3 = 3

de donde (¡>c ( x ) = c¡ + c2eX + c3c 3a; ahora calcularemos la solución particular.

< M * ) : * = - ( -1 1

D - 4 i r + D ) D D - - 4 D + 1- )x l

0 (x ) = — ( - + - D + — D 2)x2 = — (— + — + — ) => <t> (x ) = — + -^— + — x D 3 9 27 D 3 9 27 " « Q

.v3 4x2 26---- 1--------1-----9 9 27

, 3x x3 4x2 26Luego la solución general de la ecuación es: y = c ¡+ c 2e + c3e' + — + -— + “ *

(Z T - l ) ( y ) = x ‘Solución

Sea P ( r ) = r - 1=0 => r, = 1, r2 = - l ; de donde 0 (x ) = c xe + c2e

calculando la solución particular se tiene: ó n (x ) = —-----' D 1 -1

Luego la solución general es 0 (x ) = <¡>c (x ) + <¡> ( x )

1 .2 _ / 1 r ,2 w 2 _ „2: (-1 - D )x = —x - 2

0 (x ) = c ¡ex + c 2e x - x ~ - 2

D 4 (D 2 — l ) (y ) = x 2

Sea P ( r ) = r 4( r 2 - 1) = 0 => r, = 0 multiplicidad 4 y , = 1, r3 = -1 de donde

Solución


2 3 x —x(x ) = ct + c 2x + c3x + c 4x + c 5e + c 6e ; ahora calcularemos la solución particular

1

®

®

D 4( D 2- 1) D4x2 = -1 - (-1 - D 2 )x2 = - L ( - x 2 - 2)

D

1 . X ¿ _ . l . X 4 2 > 1 , X5 x3 6 4JC JC

360 ” 1^

y la solución general es (¡) ( x ) = (¡)c ( x ) + (j)p (x )

(D 4 + 10D2 + 9 )(y ) = cos(4x + 6) + sen(2x + 3)

Solución

Sea P ( r ) = r 4 + 10r2 + 9 = 0 => ( r 2 + l ) ( r 2 +9 ) = 0

de donde r¡ = i, r2 = - i , r3 = 3í, r4 = -3/ entonces

yc = c, eos x + c2 sen x + c3 eos 3x + c4 sen 3x; calculando la solución particular.

yp = — ---- !— ----- (cos(4x + 6) + sen(2x + 3))D 4 +10D2 +9

1

(D 2 +1)(D 2+9)

l

cos(4x + 6) ----- ----- — ------ sen(2x + 3)

■yp cos(4x + 6) +

( D 2 +1 )(D 2 +9 )

1

(—16 + 1)(—16 + (-4 + 1X-4 + 9)sen(2x + 3)

cos(4x + 6) 1 .. . , ., .= -----— — — - — sen(2x + 3 ); y la solucion general es y = yc + y p

( D 4 + 3D 3 - 15D 2 - 19D+ 30)(y ) = e4*

Solución

Sea P { r ) = r4 + 3r3 - 15r2 - 19r + 30 = 0 de donde

r¡ = 1, r2 =3, r3 = -2, r4 = -5 entonces yc = cxex + c2e3x + c3e 2x + c4e 51


. 1 4 xcalculando la solución particular se tiene: y„ = — -------- r-------- z-------------- e

' p D + 3D -15D -19L> + 30

- - 1 .¿ **= -------------- I------------- e4* - —p (D - l ) (D - 3 ) (D + 2)(D + 5) (4 - l ) (4 - 3 ) (4 + 2)(4 + 5) 162

4 x■ ✓ X 3 x —2 x —5a: €

Luego la solución general de la ecuación es: y = cxe + c2e + c 3e ~ + cAe +

( ? ) (D 8 + 39 D 6 + 138D4 + 126D2 + 900)(y) = sen(4x +1) + cos(6x + 2)

Solución

P ( r ) = r 8 + 39r6 + 138r4 + 126r2 + 900 = 0 de donde

( r 2 + 1)(r2 + 9 ) (r 2 + 4 ) (r 2 +25) = 0 => se tiene

rt = i, r2 = - i , r3 = 3i, rA = -3 i, r5 = 2i, rb = -2 i, r7 = 5i, r8 = -5 i

yc = c¡ eos x + c2 sen x + c3 eos 3x + c4 sen 3x + c5 eos 2x + c6 sen 2x + c7 eos 5x + c8 sen 5x ;

ahora calculando la solución particular:

1-[sen(4x +1) + cos(6x + 2)]

D + 39D +138D4 +126D- +900

v = ------------------------ ---------- -------- sen(4x + l) +' p ( D 2 + 1 ) ( D 2 + 9 )(D + 4) ( D 2 + 25)

cos(6x + 1)(.D 2 +1 )(D 2 + 9){D2 + 4)(£»2 + 25)

sen(4x +1) cos(6x + l)

}’p (—16 + 1)(—16 + 9)(—16 + 4 )(—16 + 25) ' (—3 6 + 1)(-36+ 9)(—36 + 4 )(—36 + 25)

y = ---- í— sen(4x + l) + ----- ---- cos(6x + l)p 11340 332640

La solución general es (p (x ) = yc + yp

( )peradores Diferen dales 34 ]

10) (D~ + 3D + 2 )(y ) = xcos2x

Solución

Sea P ( r ) = r ~ + 3r + 2 - 0 => r ¡ = - l , r 2 = - 2 entonces y c = c xe x + cê~2x

ahora hallaremos la solución particular

1 o 1 2D + 3y = _ ----------- xcos 2x = x — ---------------------------------------------eos 2 x -------- ---------- -cos2xD '+ 3 Z ) + 2 D -+ 3 D + 2 (D ~+3 D + 2)2

eos 2x 2D + 3y = x — ----------------- -------- --------- --------------- .eos 2xD + 3 D + 2 D + 6 D + 13D +12D + 4

1 o- 2D + 3y„ = x — ... cos2x-------- --------------------------------------cos2x-4 + 3D + 2 (- 4 )“ + 6 (-4 )D + 13(—4) + 12D + 4

1 ' 2D + 3 3D + 2 . (2D + 3 )(3 D -8 )y„ = x -------- eos 2x-\--------- cos2x = x ---------- cos2x + ----------- ----------cos2x

p 3 D - 2 4(3 D + 8) 9D 2 - 4 4(9£>2 -6 4 )

* n 1 /6£)2 - 7 D -2 4y„ = ----- (3D + 2)cos2x + — (------------------- )cos2x

p -40 4 -100

x 1yp = —^-(3sen2x-cos2x ) + -----------------------------------------------(24cos2x-7sen2x) ( ¡ ) ( x ) = yc + y

-20 200

( l j ) ( D A + 8 D " + 9 )(y ) = cos3x + e

Solución

Sea P ( r ) = r 4 + 8r~ - 9 = 0 => r¡ = 1, r2 = —1, r3 = 3i, r4 = -3 i

<t>c (x ) = cxex + c2e x + c3 cos3x + c4 sen3x; calculando la solución particular se tiene:

= ~ 7 ----~2---- (cos 3x + e2X) = — 7------ — 7---- eos 3x + — ----- — ----- e 2xD + 8£>i - 9 (D + 9 ) (D -1 ) ( D 2 + 9 ) (D 2 -1 )

. . 1 cos2x e2x , 3¡x9,AX> - —ñ------------- + ----- ; pero se observa que cos3x = Re(e ) entonces

p D 2+ 9 10 39


. . . 1 , e2r 1 e e2x<Pp(x) = ---------5------eos 3.i+ — = ---------------- ----- + -----

P 10(D +9 ) 39 10 (D + 3/) +9 39

1 e3ix 1 , 10 »('v) = ~ 7r —ñ---------------- H--------e => a0(D + 6i) = l => afí = —

P 10 D +6 iD 39 0 6 í

Re(c3“ ) e2;t £'cos3.x-sen3;r e2t xsen3jc e2jr<pjx) = ---------+---- — jc(--------------------------------------------------- ) +---- =* ó (x) = --- — +---p 60 i 39 60 39 p 60 39

Luego la solución general es: y = <¡>c (x ) + p (x )

12J ( D + l ) ( D - 2 ) 3(y ) = x V A ■ + « '

Solución

Sea P ( r ) = (r + l ) ( r - 2 ) 3 = 0 => r , = - l , r2 —2 multiplicidad 3.

entonces yc(x ) = c¡e x + c2e~x + c3xe~x + c4x~e~x

calculando la solución particular se tiene:

yp = --------- ------- - ( x 2e2x + xex ) = ---------- 1— — - [ —i - - (x2e2x + xex)] ...(1 )(D + l ) (D - 2 )3 (D + l ) (D - 2 )2 D - 2

Sea Z - —---- ( x 2e2x+ x e x) de donde: — — 2z = x2e2x + x e x, ecuación lineal en z.D - 2 dx

= e ^ [ j e ^ ( x 2e2x +xex)dx] => z - e2x[ j e 2x(x 2e2x+ xex)dx]

- e2x j ( x 2 + jxe~x)dx = e2x(— - x e ' - e ~ x) = — e2jr - j t e v - e 2" ... (2)3 3

reemplazando (2) en (1) se tiene:

y„ = -------- --------T( - e 2x-x e x - e 2x) = ---------------- [— ¿ e 2Í- x e x - e 2x)]... (3)P (D + l) (D -2 ) 3 (D + 1)(D—2) D -2 3

1 X3 1 9Sea z = -(— e x - xex - e x ) de donde

D-2 3

(tperadores Diferenciales 343

— - 2 z = — e2x - x e x - e 2x ecuación lineal en z dx 3

f \-ldXl X' y ‘t

z = e2x [ J — xe~x -1 )dx] = e-2* (y^- - xe~x - e~x - x )

1 Xreemplazando (4) en (3) se tiene: yn - -[— e x - xex — ex - xe x

F p (D + l ) (D - 2 ) 12

.4

(4)

y = _ L _ [_ 1 _ ( Í L > - j« * _ ^ - x í2jc)] ... (5)p (D + l) D - 2 12.

i .4

Sea z = ------------ (— e2x - xex - ex - xe2x) de dondeD - 2 12

d x^— - 2z = (-------x ^ 2* - ( * + l)e* ecuación lineal en zdx 12

- f - 2 d x r í - 2 dx r 4 ~z = g j [ I [(— - x ) e x ~ ( x - l ) e ]c£x]

z = <r2* f(— -jc-(jt+ l)«-*)<¿c = (— - — )e2j: + (2 + x)e~x ... (6)J 12 60 2

1 r ^ 5[ ( ^ ~ ) e + ( x + 2)e~x]p (D + l) 60 2

¿/y y-45— —+ y = ( ----------)e + ( * + 2)e * lineal en zdx p 60 2

yP = e J [~ ídX[\ e dx[(— - — )e2x+ ( x + 2)e~x]dx] =e~x[ \ [ ¿ - ^ - ) e 3x + ( x + 2 ) e 2x\dx\ J 60 2 J 60 2

x5 t jc4 3 ^ 5y = (---- e2x-------+ — )e3x - ( — + —)ex ; La solución general es y = y,. + y „

180 108 81 2 4 "


13) ( D 1 - 4 D + 3) (y ) = lO O xV * + 340ex cos2x

Solución

Sea P ( r ) = r 2 - 4 r + 3 = 0 => r¡ =1, r2''=3 entonces yc - c ¡ex + c 2e3x

calculando la solución particular se tiene:

y n = ------- í------- (lO O xV * +340ex cos2x) = ---------?-------- (lO O xV * + 340e* cos2x) ¡P D - 4 D + 3 (D -3 )(D —1)

y _ = 1OOe3* ------------ ------------- x4 + 340ex ------------ í-------------eos 2x' p (D - 3 + 3 ) (D - l + 3) (D - 3 + l ) (D - l + l)

y n = 100e3 t----- í----- x4 + 3 4 0 «*------------ eos 2xp D ( D 2) D ( D - 2)

y„ = 100e3v — ( - - — )x4 + 340er — ------eos 2xp D y 2 4 ' D — 2D

1 X 1yn = 100c3t — (---------------- x3) + 340^* <-eos 2x)

p D 2 - 4 - 2 D

V = 100e34 ( ^ - x 3)í/ x - ^ £ : ^ c o s 2 xP J 2 2 £)2 — 4

v = 1 OOe3* 170ex ~2> eos 2x = 100e3 < ( - - £ - ) + — ( D - 2) eos 2x10 4 - 4 - 4 10 4 4

y n = 10x5e3j: -2 5 x 4e3t - — eo s2 x - — sen2xp 4 4

La ecuación general es:, y = c¡ex + c2e3x + (10x5 - 25x4 )e3x — — ( sen 2x + eos 2x)

14) ( D 2 + D + l ) (y ) = e3x + 6ex -3 e ~ lx +5

Solución


2 , „ 1 + 73/ 1-V3íSea P ( r ) = r - + r + 1 = 0 =s> r, = ---------- r9 = -------------- entonces

2 2

V3 %/30 ,(x ) = (c, cos-^ -x + c2 sen — x)e x/2, ahora calcularemos la solución particular

t { x ) = ^ +6e' ^ +5) ------- -----------e'2* + - T - 5---------Z^+D +l D r + D + 1 £ r+ D + l E? +D+1 Z^+D+1

, . > e3* 6e* e '2* _ e3* . , e~2* .( x ) —----------- 1------------------------ (-5 —----- t-2é?--------- f-5

p 9+3+1 1+1+1 4 -2+1 13 3

¿ x - I x

, , w = _ * v _ _ +5_

5 5e° 5e°------------- = — — — = --------- = 5. Luego la solución general es: y - /, = -1, r2 = i, r3 = - i entonces

</>f (x ) = c,e x + c 2 cosx + c3 senx

ó . (x ) = --------- í----------(e c + e~x + sen 2x) , entonces:p D3 + D 2 + D + l

1 1 1<M x) = — r----------------------------------------------------------------- « + — ---------- e + — ---------- sen 2xp (D 2 + l) (D + l) (D -+ 1 )(D + 1) (D -+ 1 )(D + 1)

. , s ex 1 1 14> n (x ) = — + ------------------------------------------------------------------------------------- e ------sen2x ...(1 )p • 4 2(D + 1) 3 D + l

e~x dz -x .Sea z = ------- => — + z = e , cuya solucion es:

(D + l) dx

*

346 Eduardo Espinoza Ramo\ Operadores Diferenciales

- J dx i* ■- f dx _ _Z = e J [ I e J e xdx] = e~xx => z = xe~x ■ (2)

i o - 16 X C i i s — ireemplazando (2) en (1) se tiene: é „ ( x ) = — + :----------------------------- (-------- ) sen 2x

p 4 2 3 o 2 - l

ex xe~x 1 ( D - l ) 1 1<PD (x ) = ---- i-:-------------------- sen 2x = — (ex + 2xe x) + — (2 eos 2x - sen 2x)p 4 2 3 -5 4 15

La solución general es: <j){x) = <¡>c (x ) + <p , (x )

6.4 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER MEDIANTE EL OPERADOR D.-

Para resolver las ecuaciones diferenciales de Euler mediante el operador D, se tiene en 1

cuenta el criterio siguiente:

i d "y i d 3y--2 - = D ( D - l ) y ; x3 — f = D ( D - l ) ( D - 2 ) v

dx

generalizando se tiene:dx"

= D (D - Í ) (D - 2)...(D - n +1); n = \,2,...,y x = e‘

Ejemplo: Resolver la ecuación x y"+xy'+y = x

Solución

x 2y"+xy'+y = x => (£>(£>-1) + D + \)y = e‘

1( D 2 +\)y = e‘

D2 +1 2 y p - 2

y = c, eos x + c-, sen x + :

• 2 3Ejemplo: Resolver la ecuación x y"—xy'+y = xLn x

Solución

2 3x y"~xy'+y — xLn x pasando a operadores

( D ( D - \ ) - D + l )y = t 3e’ => ( D 2 - 2 D + \)y = t 3 e'

cuya solución complementaria es yc = cxe‘ + c2te' , yc - c lx + c2xLnx

La solución particular es y = ---- — -- t3e' = e‘ ——t3(D —1) D 2

yp = e, 1 í4 _ ; í5 _ Ln5 x

- = eD 4 20 20

La solución general de la ecuación es: y - yc + yp = cl x + c2xLnx + x

I») EJERCIC IOS PROPUESTOS

Ln5 x

20

Encuentre una solución particular de:

0 ( D + 2 )2 y = 12xe■2x Rpta: y p = 2 x 3e

0 ( D - 2 ) 3 y = 6xe2xy 4x 2 xRpta: yp = — e

2 - 3 x ■0 ( D + 3)3y = 15x e

0 D 2( D - 2 ) 2 y = I6e2x

0 ( D 2 - D - 2 ) y = I8xe~x

0 ( D - 2 ) 2 y = 2 0 - 3xe2x

Rpta: yp = — ex_ - l x4

0 (D + \)2 y = e x + 3x

Rpta: y = 2x~e~x

Rpta: y = (3x? + 2x)e

Rpta: yp = 5 - ^ - e 2x

x2e~xRpta: yp = ------ - + 3 x -6


( D 2 - 4 ) y = 16xe~2x + S x + 4

( D 2 - 4 D + 4)y = 6x2e2x

( D - 3 ) 2y = e3x

D (D — 2)y = e 2x

D 2( D + \)y = e~x

D~ + 4 D + 5)y = 4e 2x cosx

D " - 4 D + 13) y = 24e~x sen3x

D 2 - 3D + 2 )y = 12xe~x

D 2 + 4) y = 12(senx + sen 2x)

D " + 4 )y = 20(ex -cos2 .r)

D 2 + 16 )y = 8(x + sen x)

9D + 4 )y = 8senxcosx

D 2 + 4 )y = 8 eos2 x

D 3 + D 2 + D + \)y = 2e2’

Rpta: yp = - (2 x + l)(xe 2x + 1)

Rpta: yp = ~ e 2x

Rpta: y, = - e3*

Rpta: yp = ^ e 2x

Rpta: yp = xe

_2 xRpta: yp — 2xe " senx

~t XRpta: y p = -4xe cos3x

Rpta: yp = 2(6x + 5)e~x

Rpta: yp = 4 sen x - 3x eos 2x

Rpta: yp = 4 e ' -5xsen2x

Rpta: yp = x . ( ~ ~ c os4x)

Rpta: y p — -x cos2 x

Rpta: yp = 1 + x sen 2x

R p ta : yp = ^ e2‘


( i » ) (D 2 + 4) y = eU

(24) ( D - l )y = 2senh/

-112(25) D ~ (D + 2)y = 2 + e

( lb ) ( D 2 + \)y = 3t4

(27) (2 D + l )y = 0 f-3 )< f

(28) ( D - 3 D + 2)y = 2 + t

Rpta: yp = -

Rpta: yp = — .coshí

16 ~Rpta: y p = - + — e 2

Rpta: y =3r4 -36 f + 72

Rpta: yp - (1 - t ) e

» * l - 2 t Rpta: yp = —

(29) ( D 4 + 2 D 2 + l ) y = cost Rpta: y = — .eos/

( 30) ( D 2 + l )y = 3sen2 ? - 2 eos2í Rpta: yp = -s en 2 í + -e o s2 í

II. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales siguientes:

Q ( D 3- 5 D 2 + S D - 4 ) y = e

©

2x Rpta: y = cxex + c2e2x + c3xe2x + e2x

( D 2 - 3 D + 2)y = ex + e 2x2 x

@ D 2( D - 2 )3y = 4Se2x

( 4) ( D 2 + 16)y = 14cos3x

0 ( D3 + 3D2 - 4 )y = xe~2x

( ó ) (D 2 -4 D + 1 3 )y = 24e2't cos3x

Rpta: y = (c, - x )e x + (c2 + x)e

2 3 2 xRpta: y - c¡ + c2x + ( c 3 + c4x + c 5x + 2 x )e

Rpta: y = c¡ eos4x + c2 sen 4x + 2 eos 3x

Rpta: y = c ¡e x + c 2e 2x+ c 3xe 2x - - ^ ( x 3 + x 2)e 2x

2 xRpta: y - e~ (c, cos3x + c2 sen3x + 3cos t)


© (D~ - 4 D + 13)y = 24e~* eos3x Rpta: y = e2x(c t eos3x + c2 sen 3x + 4x sen 3a)

(8 ^ ( D + 4 )y = 2cosxeos3x

© (D ‘ + 25 )y = sen5x

Rpta: y = c, eos 2x + c2 sen 2x + — sen 2x -eos 4x

4 12 l

Rpta: y = c, cos5x + c2 sen5x-0.1xeos5x

10) D(D~ + l )y = sen x Rpta: y = ci + c2 eosx + (c3 - — )senx

© ( D 2 - 9 D + 18)y-3 x e~3x

Rpta: y = c,e3jr + (c2 H— -— )e6x

12) D (D~ + l )y = sen x Rpta: y = c¡ + c2x + (c3 + —) eosx + c4 sen x

^ 3 ) ( D ~ + D + 2 )y = 2(1 + x - x 2) Rpta: y = c¡ex + c2e 2x + x ‘

14} (D~ - l )y = sen' x

( D 2 - l ) y = ( } + e ~ x )~2

( D~ - 3 D + 2)y = sene

Rpta: y = c¡ex + c 2e x — — +eos 2x

2 10

Rpta: y = c ,ex + c 2e~x - l + e'~x InO + í’ * )

¥1 , x , 2 x 2 x - xRpta: y = cxe + c2e - e sene

3x

( D 2 + D + l ) y = e 3x + 6ex - 3 e 2x +15 Rpta: yp = ~ - + 2ex -e ~ 2x +5

-3*18) (D 3 + 2D 2 - 6 D + 8 )y = xe 3a Rpta : y = c,ex + c2e4x + c3e~2x---------(28x + 34)¿ j 784

19) (D + l )y = eosx Rpta: y — <¡>c (x ) + — (eos x — sen x)

20) (D~ + 4 )y = sen2x Rpta: y = (¡>r (a ) ■x eos 2x


( í l ) (D 3 + D~ + D + l )y = ex + e ' + senx

1 _ JfRpta: y = 0 .(x ) + — (ex + 2xe x) — (senx + eosx)

4 4

25x2 -13 „ 3x22) ( D - l ) y = x sen3x Rpta: y = c,e x +c,e x ---------------sen3x— -eos3x‘ J y }y 1 1 250 25

30jc 7 5jc 1223) (D~ + 3D + 2 )v = xsen2x Rpta: y = c,e-j: + c?e~2A----- -----cos2x— ------- sen2x

J y 200 100

24) D 4(£ )2 - l )y = x 2 Rpta: y = <¡>c ( x ) - ^ ^ ( x 6 +30x4)

1 £ X COS X25) (D~ - 2 D - \ ) y = ex cosx Rpta: y = <f>c ( x ) -------------

26) ( D 2 - 4 D + 3 )y = 2xe3x + 3ex eos 2x

e x 3Rpta: y =c¡ex + c 2e3x + - ( x 2 - x ) - —ex (eos 2x +sen 2x)

27) (D 3- 2 D + 4 )y = x 4 + 3 x2 -5 + 2

„ , - 2, x , . x4 x3 3x2 5x 7Rpta: y = c,e + e (c2 eosx + c, senx) + — + ----1------------------

3 4 2 2 2 8

28) (D 2 + 2 )y = x 3 + x 2 + e “x + eos3x

r . . x / \ 1 / 3 2 -> ,> <?_2a cos3xRpta: y = <¡>c (x ) + — (x + x - 3 x - l ) + ----------------2 6 7

29) (D 2 +5D + 6)y = e~2A sen" x ( l + 2 tgx ) Rpta: y = 0f (x ) + e ~A tg x

30) ( D 2 + D ) ( D - 2) 3(y ) = e2jr + e_A sen 3x

7 ? x3 7 e_jrRpta: y = c0 +C[e A + (c2 + c3x + c4x )e x + — e x -í---------(6cos3x-3sen3x)

36 7860

31) ( D 2 + 6D + 9 )(y ) = 2xe3A + 9x2 - 3 Rpta: y = (c0 + c ]x)e3x + — e3jr + x 2 + — + '3 3 3

(32)

©

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©

©

rEduardo Espinoza Ramos H Operadores Diferenciales 353

( D~ + 6D + 9 )(y ) = 2e senx

(£>3 + 6 D 2 + 9 D ) (y )= : x 3 + e x

—3 x —2.xRpta: y = (c0 + c^x)e ' - e cosx

3, ex x4 2x3 3x2 24_L _ L _ L ________I_____Rpta: y = c0 + (c¡ + c2x)e x + — + :— +

4 36 27 27 2165

[(£> - 1 )(3 - D ) (4 + D )(6 + D ) - 40 ](y ) = e xx c o s ( -2 x )

y <12) +12y (10) + 4 8 y (S) +65y (6) + 12y(4) +4 8 y (2) +64y = cos3x-senx

-v4 rx2(64 D° + 48 D + 12D + D~ ) ( y ) = sen(;c / 2) + cos(x / 2) + e

D 2( D 4 - 4£>3 + 6D2 - 4D + !)(> ’) = ( x 2 + 1)( 1 - e ' )

( D 3 - D~ - D + l ) (y ) = 7 - 6x - 3x~ + x 3 + x4e5'

(D 8 - 2D4 + l ) (y ) = ( 2 x - l)cosh2 x

(£>‘ +64 ) (y ) = coshx + cos8 + sen8x

40) y (l00) + 100 y = cos x + x 100

&

51)

0) ( D 9 + 4 D )y = 8cos2x + 4©

©

®

©©III.

©

y (12) +21>’(10) + 147yw + 344y'0’ + 21yw + 147yw + 343y = 4 + cos2x.(2)

(D 5+2£>3 +10D 2 + D +10)y = 0 52) ( D 2 + l )y = 2sec3 x

( D - 4 D ) y = 6e x - 3 e x , y = 7, Dy = 9, D *y = 19 Cuando x = Ln 2

55) ( D 4 - D 3 - I D 2 + 3 D )y = e3xx 2

(D 4 - 2 D 3 + 2 D 2 - 2 D + \ )y = ex cos2x (57) (D 3- D ) y = l + x 5

(3D 4 + 8 D 3 + 6D2 )y = (x 3 - 6 x 2 + 12x-24)<? x

(D 8 + 8£>4 +17) = e2x + cos 3x 60) D 3{D + 1)4 y = senx + c o s x + 1

(D 5 + 4 D 4 + 14£)3 + 6 2 D 2 + 149D+130) v = ÓOe100"

Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

x 2y"+xy'+4y = sen(Lwx) Rpta: y = C[Cos(21nx) + c2sen(21nx) + -sen (lnx)

( D - l ) 3( Z) - 2 )4 ( D - 3)3 ( y ) = e^ (2 - 3x + 4x2) + e2"'(3 - 2x + x 2 - x3) + x V x ( ? ) x "y ' '+7xy'+5y = xw-» , C, c 2 XRpta: y = r !: + -+-H----

1 ' . ,5 Y2

( D - 2 ) ( D ~ - 2 D + 5 )2(y ) = xex cos2x

(D~ - 2D + 2) (y ) = e * (2 x c o s x - 6senx) + xe

y (5) + 4 y (4) + 14y(3j + 62y(2) + 149y(1) + 149y + 130y = e* + x

VIII „ IV , . ,y - 2 y + y = cos4x+sen6x

V/ , n /V 2 i 12y + 9 y +24y +16y = £> + x

V IH , V/ „ /V . -4 * u cy +13y +60y +112y +64y = e + cos x + sen x + cosh 5x

y 'X +3 y VU' + 8 yV// +16y ’" +2 3 yv + 2 9 y ‘v + 1 8 y '" + 20y" + 12y' + 4 y = e - * +4senh xVI v IV , , o H I

0 3x2y"+12xy'+9y = 0 Rpta: y-

©

©

-^r-cos(— In I x I )4— sen(— ln | x| )3 2 3 2

M 2 U P

x 2 y' '-3xy'4-4y = ln x

(D 4 + 8 D 2 +16 )3(y ) = cos5x + sen2x + e 3x

Rpta: y = (c¡ + c 2x + c3x 2 + c 4x 3 + c 5x 4 + c 6x 5 ) sen2x

« . 2 2 , ln x 1Rpta: y = c[x“ + c 2x lnx + - ^ - + —

cos5x 6 sen (2 x -3 ^ ) e -3x

p 216- + X

4 .6! (13)


x 2y"-2xy'+2y = 3x2 + 2 Lnx (j7 ) x y"+xy'+4y - sen(Lnx)

y ’"+ 'V H-------~— - — - = (x + a)~{ cos(3Ln(x + a))x + a ( x + a ) (x + a)

x2y "+ 4 xy ’+ 2 y = cosx + — ( í o ) x 3y " '+ 2 x 2y "-x y '+ y = x 2 Lnx J

x 'y ''+ xy '+ 4 y = cos(2Lnx) ( l2 ) x~y"+4xy'+2y = 2Ln~x + 12x J

(x + 1)3 y "’+ (x +1 )2 y "+ 3(x +1) y 8 y = ----— -

(X + 1 )2

(2x + l ) 4 y"+3 (2x + l ) 3y '+ (2x + l ) 2 y = 6 L «(2 x + l)

x 3y '" - 4 x 2y ' ’+8xy'-8y = 4 Lnx + eos (Lnx4) + sen(2L«x)

x 2y"+xy'+9y = sen(Lnx3) + cos (L «x3) 17 x 2y ’ "+ xy "+ 4 y '= l + cos(2L/?x)

x 3D 3y - 3x~D~y + 6xDy - 6y = 60x6 + 12x18

x 4y /V - 6 x3y W/ + 15x2y 7/ + 9xy'—9y = eos(Lnx ) + x 4 +sen(Lnx3)

(Z )4 — l ) (y ) = cosx + cosx senx+ x3e* (2 l ) (Z34 + 8 D “ +32 ) = xe +1

yV/+ 9 y /V +24y"+16y = e2' + x 7 ^23) (£ )6 + 1 )2 (y ) = e ' + x "4)

(3 x - l ) 3y /l/ + (3 - 9 x )2y " '+ (3 x - l ) y " = 36x2 -2 4 x + 4

( D 2 + 81)8 (y ) = eos(9x + b3) + sen(9x + 2 - ¿>3), donde b es cualquier constante real.

licuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables 355

C A P I T U L O V I I

7. ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES

Las ecuaciones diferenciales de orden n, de coeficientes variables son de la forma:

... ( 1), d ny d y , ,dy

an(x ; - ~ + an_x(x ) — - f + ... + a1( x ) - f - + a0(x )y = j ( x ) dxn A^n 1 /lrdxn dx

donde a0(x ) ,a x(x ) , . . .a n( x ) , f ( x ) son funciones de variable real x,y continuas en un

intervalo.

Suponiendo que an (x ) t- 0, entonces la ecuación (1) se puede expresar en la forma:

+ bi W ^ 1 T + - + V i + b" (x )y = g ( 'r)dxn dx 1 dx. . . (2)

La solución de la ecuación (2) es la suma de la solución general y g de la ecuación

diferencial homogénea correspondiente, más una solución particular de la ecuación

diferencial correspondiente.

Si y , , y 2,...y „ es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación (2) entonces la

solución particular de la ecuación (2) es:

y „ = c 1(x )y 1 + c 2( x )y 2+...+cn(x ) y„ ... (a)

donde c, (x ) , ..., cn (x ) son funciones incógnitas de x por determinarse.

Para determinar las funciones incógnitas se forma el siguiente sistema:

Sea C [(x )y j + c 2(x )y 2+...+cn(x )y n = 0 , entonces:


(ß)

y,c\ ( x ) + y2c '2 (x) +... + ync (x ) = 0

y \ c \ (x )+ y '2c ’2(x ) + ...+ y 'nc 'n(x ) = Q

yi c \ (x )+ y2 c2(x ) + ...+ yn c 'n(x ) = g{x )

de (jc)al resolver el sistema (¡3) se obtiene: — ----- = f ¡ (x ) , i = l,2,...,n donde

dx

c¡ = J"/i ( x )d x , este resultado se sustituye en (a ) obteniéndose la solución particular y p

Veremos para una ecuación de 2do. orden.

y "+ p (x )y '+ Q (x )y = R (x ) , donde y i,y ¡ , es un sistema de soluciones.

Luego la solución particular es: y = c¡ (x )y ¡ + c, (A )y2

donde c , (x ) , c2( x ) son funciones por determinarse para esto formaremos el sistema

siguiente:

yic\ (x ) + y2c '2(x ) = 0

y \ c \ ( x ) + y '2c '2(x ) = R (x )de donde VV[ y,. y? ] = yi y 2

y\ y '2= yxy \ - y '1 y2 Entonces!

c ', (x ) =

c \ ( x )

0 y 2 R ( x ) y 2 R ( x ) y 2

W [ y i , y i ] W [y , . y 2] J W[yv

R (x )y2dx

y-i

y, 0

y '1 R ( x ) R ( x ) y 1c2(x ) = 1R (x )y {dx

W [ y l t y2] W [ y , , y 2]

Ejemplo:

© Resolver la ecuación diferencial siguiente:

x 2 x( c o s a - sen *)y "+2sen.ic.y-(senx + cosx )y = e (c o sx -s en x ) , y¡ = e , y2 =sen x

Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables 357

Solución

La ecuación diferencial dada se puede escribir en la forma:

2senx , senx + cosx x,y H-----—-------— y ------------------y = e (eos x - sen a )

eos x — sen x ' eos x - sen x

La solución particular es yp = c, (A )y , + c2 (x )y 2

donde c, (a ), c2 ( a ) son funciones incógnitas de x por determinarse:

Í> ’1c '1( a ) + _v2c '2( a ) = 0Luego:

y \ c ’] (a ) + y '2 c '2 (a ) = ex (eos x - sen a)

I ex .c ( a ) + sen a .c \ (a ) = 0

[ex ,c '] (* ) + cos a .c '2 (a ) = ex (cos a — sen x)

c\ ( a ) =

0 sen a

ex( c o s x - sen a ) COSA

e-1 sen a

COSA

- - sen a —> c, ( a ) = cos a

c '2 ( a ) ■

0

ex ex (cos a — sen a )

ex sen x

ex cosa

= ex —> Ct( x) = ex

©

Luego la solución particular es yp = ex eos x + ex sen a y la solución general es:

y = cxex + cn sen x + ex eos x + ex sen a

3 3 X2 x 2 - x 2Resolver la ecuación diferencial: x y " -y ' -4 x y = 16a e , y¡ = e , y2 = e

Solución

y"— y '-4x2y = I6x2ex ; La solución particular es: yp = c ,(a )> ,] +c2(x)y2

■

358 Eduardo Espinoza Ramo» I Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables 359

donde cx(x ) , c 2(x ) son funciones por determinarse:

\ex c\{x ) + e~x c '2( x ) - 0Luego:

3„*‘, de donde se tiene:

\2xex c\ (x ) — 2xe x c '2(x ) - I6x e

c ' , ( x ) =

C '2 ( x) =

0 e~x

16x3ex -2xe~x

exl e~xl

2xex' 2xe~x

ex2 0

2xex 1 6 x V

= 4x —> c, ( a ) = 2x

e e

2xex 2xe~x

= -4xe2x - » cn (x ) = - e 2x

■> x2 x 2 x 2 - x 2 x 2 2 x \Luego y = 2x~e - e y la solución general es: y = c{e + c2e - e + 2x"e

d~u d V . dv „ dvcluV— T + (— - + P ( x ) — + Q(x)v)u + (P (x )v + 2— )- — = 0

dx~ dx~ dx dx dx

d 2u d 2v P (x ) dv .. . . 2 dv.du n— T + (------ + - i - — + Q(x))u + (P (x ) + - — ) — = 0dx~ V dx V dx V dx dx

... (1)

ahora daremos la forma deseada, escogiendo v (x ) de modo que P (x ) + —— = 0, dev dx

1 dv 1 1 f “ f r‘(xMxd o n d e----- = — P (x ) entonces lnv = — I P (x )dx de donde v = e 2J

v dx 2 2 J

Luego la ecuación (1) se reduce a:

1 d 2v P (x ) dv

d 2u 1 d 2v P (x ) dv A— + (-----— + — + Q(x))u = 0dx~ v dx~ v dx

haciendo f ( x ) = —— — H------------ + Q ( x ) , la ecuación (2)v dx v dx

queda en la forma:d 2u

dx2+ f ( x )u = 0

. (2)

d 2y dyTEO R EM A.- Mostrar que la ecuación diferencial — — + P ( x )--- ^Q(x)y = 0 sidx2 dx

+ f ( x )u = 0 , haciendo el cambio de¡transforma end 2u

dx2variable y = u(x).v(x), y escogiendo V (x ) en forma apropiada

Demostración

Sea y = u vdy ,, du dv — = V — + u— dx dx dx

d^v d 2u - du dv d 2v_ r ¿. = v _r _ + 2 — dx~ dx~ dx dx dx

ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada.

d 2u , du dv d 2v du dv. . „v — r- + 2--hm— - + P (x ) ( v — + u — ) + Q(x)uv ~ 0

dx~ dx dx dx dx dx

d u dEjemplo.- Resolver la ecuación diferencial x — - + 2— + xy = 0

dx dxSolución

d -y 2 dyA la ecuación diferencial dada escribiremos así: — — + --------h y = 0

dx x dx

donde P (x ) = — y Q (x) = 1; haciendo el cambio y = uvx

donde v - e

2_ _ J _

/(*) = — + P .- + ß00 = Jf + - ( - f i ) + l ,v y I V- I2 2

i * l X X

+ 1 = 1

X X

( 1)

. . . (2)

360 Eduardo Espinazo Rmmn- .......— ---- --------------------------------------------------- ..... -.. - ....- — ----- -------------------------------------------------------------------

2 2 |como la ecuación (1) se transforma en la forma — ^ + f ( x )u = 0 entonces — — + /i -II

dx dx"

de donde P ( r ) = r 2 +1 = 0, cuyas raíces son r, = i , r2 = - i

La solución es u = c xcosx + c 2x como v - u v = => u - x yx

La solución es xy — cx eos x + c 2 sen x

Observación: Si y! es una solución de la ecuación diferenofl

y "+ p (x )y '+ Q (x )y = R (x ) se puede determinar la segunda soluddj

y2 de la ecuación diferencial mediante la expresión: y 2 =v (.\ )y l

donde v(x) es una función por determinar.

T e o re m a .- Si y, es la solución particular de la ecuación diferencial

d 2 v d\— f + P ( x ) ^ - + Q (x )y = 0 dx2 dx

, - \ p { x ) d xr € , » 1

Demostrar que Y2 = cYx I ------ ----- dx es también solución de la ecuación diferencial ;J Yx

Demostración

Como Y-, es una solución de la ecuación diferencial entonces

Yx + P ( x ) Y x + Q ( x ) Y x — 0 (lo verifica)

de acuerdo a la observación se tiene Y = Yxz es la solución general donde z es la funció!

incógnita derivando se tiene Y '=Y ¡z ' + Y] ' z

Y " = Y l z "+ 2 Y l 'z '+ Y ] " z

ahora reemplazando en la ecuación diferencial

Yxz" + 2YX' z ' + Y j " z + P (x ) (Yxz' + Y¡' z) + Q ( x % z = 0

11 naciones Diferenciales de Coeficientes Variables 361

YiZ"+ (2Yx'+ P(x )Yx) z '+ (Yx + P(x )Yx'+ Q(x)Yx) z = 0

Yxz'' + (2Yx'+P (x )Yx)z '= 0 => z"+(.2— + Pi.x))z ' = 0 ... (1)*1

haciendo z '= u => z "= u ' reemplazando en (1) se tiene:

u ' + (— — + P (x )+ )u = 0 => — = (— — + P (x ) ) integrando lnw = 2LnYx I P(x)dx + c]

P {x )d x

\nuYx = | P(x)dx + L\ levantando el logaritmo

? - f P (x )d x+ c ¡ - [ p ( x ) d x e JuYr = e J - c . e J entonces u = c ------------ pero u = z'

y?

- J P (x )d x P (x )d x

z' = c —---- j — integrando se tiene: z - c I —---- -----dx + c, como Y = Y¡zY{ J Y{

AP (x )d x - 1 P {x )d x

Y ~ Y\lc \~---- 2---- dx + cx]= c .Y x f - ----------dx + cxYxj yx- j yj

Se observa que la segunda solución de la ecuación diferencial es dada por:

- \ p ( x ) d x

-dx

Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial

j2

dx2 dx

Solución

d d(1l - x 2) — \ - 2 x — + 2y = 0 donde Y ) = x es la solución particular.

AP ix )d x

de acuerdo al teorema anterior la segunda solución es: Y2 = c.Yx J*-—— ------d x ... (1)

362

©


Luego a la ecuación diferencial expresaremos en la forma.

É—L — ÉL + _ J L _ y = o de donde P (x ) = , ahora reemplazamos en (1).dx2 l - x 2 dx l - x 2 ' 1 - x ~

r e ~ S P M d x reJ C ^ d x r e - in<i-*v r= cY¡ J — ¿ - d x = exJ — ^ ¿ x = cx j — — ¿x = exJ

Í-—2 J l - x 2 dx

x2( l - x 2)

-x 2 1 + xf , 1 1 / 1

Yj = c x [-— ln ( l - x ) + —ln(l + x )] => Y2 = c [ - 1 + —ln(---------- )]2 X 2 2 2 l - x

X . ,1 + X .Luego la solución general es F = + c 2y2 Y ~ c\x + c2Í~^ + n^ _

Ejemplos:

Hallar la segunda solución de la ecuación diferencial: y ” —4xy' + (4 x2 —2) y = 0 donde

<(>, (x ) = e '

Solución

2 , x 2 x 2Sea <¡>t ( x ) = vex donde v '=u derivando se tiene: 0 '2 (x ) = v 'e + 2xve

2 20 " , (x ) = ex v"+4xex v " ( 4 x 2 + 2)ex~v, reemplazando en la ecuación diferencial

2 2 2 2 2 2

ex v"+4xex v '+(4x + 2 )e x v — 4xe ' v'—8x e v —2e v, = 0

2 2 2 e* v " + ( 4 x - 4 x ) e x v ’+ (8x2 - 8x2 + 2 - 2)ex v = 0


©

u = 1 pero v' = u v '= l -> v = x

Luego la segunda solución es: (¡>2 (x ) = xe

y la solución general es: y = ciex + c2xex

Resolver la ecuación diferencial: y".y'+ye2x = xe2x -1 , y¡ = sen e x

Solución

Sea y2 = y t v , la segunda solución de la ecuación diferencial homogénea.

y2 — sen e v.v => y\ = v 'sene ' + cose* ,exv

y " 2 = sene'' .v” +2e ' cosev.v'+e ' (coseA - e ' sene"' )v = 0

Luego: senex.v"+2ex c o s e '.v'+ex [cosex - e x s en e^ v^ O

simplificando se tiene: sene t .v"+(2ej: co sec - s e n e l )v ’ = 0 , v '=u

sene .u"+ (2e cose' -s en e )u '= 0 => — t- 2exc tg e x — 1 = 0 , integrando se tieneu

2 x ^ x x xLnu+ Ln sen~ e = x => Lnu. sen" e = x —> «s e n ‘ e = e '

u - ex ese2 ex —» v '= e x ese2 ex

v = - c tge como y2 = sene .v => y2 = -s e n ecose'

sene=> y-, = -co se

Luego la solución complementaria es: y = c, sene' + c-, cose '

Ahora hallaremos y p por método variación de parámetro:

I sen exu + eos exu ’2 = 0

ex eos exu - ex sen exu \ = xe2x -1

u \ = xex eos ex —eos e COS 6

u = xex eosex ----- -— , integrando se tiene:

m

364 Eduardo Espinoza Rainot ■ I citaciones Diferenciales de Coeficientes Variables

©

©

©

©

©

©

©

365

, i , sen e" , | eos e , xu, = xsene - e ------- - d x - I --------dx = xsene -

eos e

u-, = xsene* + —------ , como y „ = u, sene* + w, cose* se tiene: y n = x al simplificarp - p

Luego la solución general es: y = x + c, sen c ' + c2 eos ex


Resolver las siguientes ecuaciones:

2 2 2 2 2 2

x y ' ' - y ' - 4 x i y = \6xi e*~ , y = ex* , y = e~x Rpta : ‘y = c lex + c 2e + (2 x ‘ - \ ) e x

x ( l - x £ «x )y "+ ( l + x 2Ln x)y '-(x + l )y = (V -xLnX )2ex , >•[ = eA, y2 - L n x

Rpta: y = c ]ex + c, Lnx + ex(x + xLnx + Lnx)

x 2(Lnx~\)y"+xy '+y = 0 . yx ~ x Rpta: y = c l Lnx + c2x

y "± (tg x -2 c tg x )y '+ 2 c tg 2 x.y = 0, y, = sen x Rpta: y = c¡ senx + c2 sen x

2 , C 2 v 42 11 t o c 4x y -xy -3 y = 5x , y, = —x

Rpta: y = c,x h------i-x

x ( x - l ) y " - ( 2 x - l ) y ’+2y = x 2(2 x - 3 ) , y, = x 2 Rpta: y = x +CjX + c 2( 2 x - l ) j

( x - l ) y " —xy'+y = ( x - l ) 2.ex , y, = e '

y' '-2xy'+2y = 0, y¡ = x

x y "- (x + l)y '+ y = 0 , y ( = í '

xy" + 2 y' + xy = 0

Rpta: y = c,x + c2e ' + (-------x )e '

Rpta: y2 = x

10) x y"-7xy'+15y = 0 , y , - x

Rpta: v = —--------+2 2

0 7Tsenx.y" + 2 eos x.y'. sen x.y = 2 eos 2x, tal que y (—) =

Rpta:

= i , y ' ( | ) = o

1 - eos 2x

2 senx

© y " - 4 y '- 1 2 y = 0 , yl = e 6x Rpta: c¡e6x+ c 2e2x

© x 2y " + 2 xy '-2 y = 0, y, = x Rpta: c2y = c1x + ~X

©2eos x. y -senxcosx. y - y = senx, y j= s e c x , y 2 = tgx

©o 2 3

(x “ D -2x£> + 2 )y = x ln x , sabiendo que y = c ,x + c2x es la solución de la ecuación

homogénea

©O

(x4 - x3 ) y "+ (2x3 - 2x2 - x )y ' y = ^ ^ , yt = —X X

© x y " - y '- 4 x 3y = 0 , y{ = ex ( l 9 ) (1 - x 2 )y ' '-2xy'+2y = 0 , y¡ = x

© (2x + l )y " + (4 x -2 )y ' + 8y = 0 , Y¡ = e mx

© y" + y' tg x + y eos2 x = 0 , Y¡ = eos x(sen x)

© x 4y"+2x3 y'+y = x -2 , Y\ = sen (-)X

© (l + 2x )y " + 4 xy '-4 y = 0, F, = e~7* 0 ) ( l - x 2)y " -2 x y ' + 2y = 0

© (x + 1 i2 y " - 2(x + 1)y '+ (x 2 +2 x + 3)y = 0

7.1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES I)K SEGUNDO ORDEN.-

1er Problema.- Trayectoria de un proyectil.-

Consideremos un proyectil de peso p lanzando con un ángulo a sobre el plano vertical.

Estudiaremos la forma de una trayectoria, despreciando la resistencia del aire.


------ ► X

A causa de la dirección de la velocidad inicial v0, el proyectil tiende a elevarse pero como

consecuencia de la fuerza vertical de la gravedad p = mg., la trayectoria se curva hacia el*

suelo, ubiquémonos en el punto M de la trayectoria, al cabo del tiempo t después deli

lanzamiento, y sean x e y las coordenadas de ese punto. Como se observa en la figura, i

Como la única fuerza aplicada al proyectil es la gravedad, proyectamos éste sobre los dos

ejes aplicando la fórmula fundamental F = ma:

Sobre el eje horizontal = 0dt2

d 2 ySobre el eje vertical m—— = - p = ~ m g .

dt

Con el signo -, puesto que la fuerza p actúa en sentido contrario al positivo de y, resulta,'j

^ = 0, de donde — : dt2 dt

entonces para t = 0, x = 0 de donde c = 0

Obteniendo: x = v0/cosa ...(1 )

m d 2 y dyTambién: — r = ~8 => — = - g t + c

dt2 dt

para t = 0, y como — que es la proyección vertical de la velocidad v0 es igual a v0 es!dt

dyiguala v0 senoc de donde: v0sena = 0 + c => — = - i?/ + v^sena

¡ citaciones Diferenciales de Coeficientes Variables 367

que al integrar se tiene —g — + v0 sen a + K

para t = 0, y = 0 se tiene k = 0 de donde y = - g — + v0 sena

de la ecuación (1) y (2) se elimina el parámetro t

gx

- (2)

2 vi cos2 a+ x tg a = -a x + bx

que representa una parábola de eje paralelo al eje y, pasando por un máximo.

2dn Problema.- Problema del resorte vertical.-

Un peso p es atraído por un punto fijo A proporcionalmente a la distancia. Cuando este

peso se coloca en “O” a una distancia OA = a y debajo del punto A, la atracción de A

sobre el peso p es igual y opuesto al peso p.

Hallar la ecuación del movimiento del peso p.

Suponiendo que se le abandone sin velocidad inicial en el punto A. ¿Cual es la duración

de la oscilación del peso p y cual es su velocidad cuando llegue a O? No se considera

resistencia « d e l aire.

Llamamos x a la distancia del peso p al origen A, en

un instante cualquiera y contemos positivamente hacia

abajo se tiene p = mg.

Además la fuerza atractiva hacia A es de la forma -kx,

dirigida en sentido inverso al peso, y la ecuación

fundamental es:

d 2xde las fuerzas = mr, nos da: m g -k x = m — —

dt~

0

mgpor otra parte, de acuerdo con el enunciado, se tiene en O mg = ka=> k = — de donde;

a


d~x mgm — —- H------ x = mg

dt2 a dt a

ecuación fundamental de segundo orden incompleto, cuya solución es:

x - M cos,j— t + N sen. — t + a a \ a

dx 9para t = 0, x = 0, así como — se tiene M = -a y N = 0 , de donde

dt

x = a - a eos J —t a

~ = yfga sen J —t dt Ala

( 1)

por lo tanto el movimiento x = f(t) es sinusoidal y el peso p oscila de 0 a 2a. el período es

K / QEn 0, x = a y de acuerdo a la ecuación (1) se tiene: T = — —

2 \¡g

dx i—de donde la velocidad es v = — = Jag

dt

3er Problema.- Movimiento de un punto atraído o repelido por un centro fijo o, ]

proporcionalmente a la distancia.-

En este problema consideremos dos casos:

a) El primer caso de atracción


Sea P0 la posición normal de la abscisa x0,v0 la velocidad inicial dirigida hacia el

entero O, y llamaremos m a la masa del cuerpo.

'y 2La fuerza que actúa sobre el cuerpo es: F ~ - k ~ x (k" es una constante positiva)

Como el signo -, puesto que f se dirige en sentido inverso de x.

d 2 x 2La fórmula fundamental del movimiento F = ma dá m — — = —k x

dt2

2 2. . . 2 k - . d X 2 r\

que haciendo (ú = — se tiene: — -- + co x - 0m dt

ecuación diferencial de segundo orden y su solución es:

x = A eos cot + B sen cot que es sinusoidal.

Ahora calculando A y B se tiene: para t = 0, x = x0 se tiene A = x0

dxAdemás v = — = -Acó sen cot + Bco sen cot

dt

v0y para t = 0, v = v0 se tiene v0 = Bco => B = —

(O

vnde donde se tiene: x = x0 eos cot H-----sen cot = M sen (cot - cp)

co

el coeficiente de t es la pulsación ©, de donde el período

T es: T = — = 2n J siendo independiente de las condiciones iniciales.co k

La frecuencia es f se tiene un movimiento periódico sinusoidal: es decir, el más

sencillo de todos los movimiento periódico, se llama también movimiento pendulai o

movimiento armónico.-

370 Eduardo Espinoza Ramm

La cantidad x se denomina elongación o amplitud instantánea de la vibración, M es l.i

amplitud de y, cp la fase.

Si en un fenómeno vibratorio, la amplitud instantánea viene dado por: x = A sen co t l.t dx

velocidad es: v = — = Acó eos cot y la aceleración. dt

dv 2 2r = - — = -A (o sen o)t = -co x la fuerza que produce el movimiento (o la fuer/u

dt

resultante), es, llamado m a la masa del cuerpo en movimiento y “a” a la aceleración:

F = ma = -m a r x = km2

resultando proporcionaimente a! cuadrado de la frecuencia,

b) Segundo caso de repulsión

Siendo la fuerza F = + k 2x

d y d XLa ecuación del movimiento es: m -— - - F = ------- co2x - 0 , (co2 = — )

dt2 dt m

d 2^y la solución de — ~ - co¿x = 0, es: x = Aem + Be

dt

d X 2 . coi n -m

Con las condiciones del primer caso se calcula A y B obteniendo finalmente:

em +e~m , v0 em - e ~ m , vnx = x0 (----- --) + — (-------------- ) => x = xn eos cot + — senh tot

2 co 2 co

4' ' Probíema.- Sólido girando alrededor de un eje.-

d^GSea I el momento de inercia con relación al eje y ------ la aceleración angular entonces laj

dt20fórmula fundamental de los cuerpos que giran alrededor de un eje es:

I — — = ) de los momentos de las fuerzas dt2

Sea 0 el ángulo de desviación de la posición de equilibrio y e 0 el momento resultante de

las fuerzas aplicadas.

/ 1 naciones Diferenciales de Coeficientes Variables 371

Momento que supondremos proporcional al ángulo 0.

Como este momento actúa en sentido inverso al del ángulo 0, es negativo, de donde la

ecuación.

, d 20 „ r d 2d , _ nI ----- = - c d => I — — + c0=O

dt2 di

al resolver la ecuación se tiene: 0 = 00 sen(^w - (p)

el movimiento resulta perpendicular ó sinusoidal, y como el coeficiente de t representa la

pulsación co se deduce el período.

r = — = 2tt (o Ve

que es independiente de la amplitud.

Esto es lo que se produce cuando el par c 0 es debido a la torsión de un hilo elástico y un

resorte espiral o un muelle, como ocurre en el balanceo en espiral o un reloj, o en el

cuadro móvil de un aparato eléctrico de medida.

7.1.1 A P L IC A C IÓ N A L PÉND ULO SIM PLE.-

Tomemos el ángulo 0, el momento de la fuerza p = mg, que tiende a volver al estado de

equilibrio, es momento = p . ^ sen 0 = mg^1 sen 0, y si se supone que el ángulo 0 es lo

bastante pequeño para que se puedan confundir el seno y el ángulo (0 < 1 0o a 2 0o),

podrá escribirse.

momento = mg^ 0 = c 0

0

372 Eduardo Espinoza Unmut

Por otra parte, el momento de inercia con respecto al eje es / = m 2, el periodo T es, pflfl consiguiente

T = 2 n ] - = 2 ¡ — = 2 n l - = > T = 2 n Î m g í \ g ] ¡g

5t0 Problema.- Oscilaciones forzadas de un sistema oscilante cualquiera, resonancia.- 1

Considerando el caso general de una masa de peso m, sometida a una fuerza proporciona

con la amplitud x del desplazamiento, dirigida en sentido inverso y sin amortiguación. I

d 2xLa ecuación del movimiento es: m — — = - k 2x, (k 2 > 0)

dt2

d~ X ,2m — — + k x = 0

dt2

en consecuencia, el sistema es oscilante y la amplitud instantánea es:

x = x0 sen . — t es decir, una sinusoide sin amortiguar.V m |

2 k2Sea co~ = — y supongamos ahora que este sistema, capaz de oscilar, está sometido ■

m

una causa exterior, sinusoidal y de pulsación co, será pues, una fuerza impuesta que v a f l actuar sobre el sistema, y si x0 es la amplitud máxima, la ecuación del movimiento s i

convierte en:

d~X i 2 i 2 .m — ^ + k x = k sencot ...(1 )d r

ecuación de segundo orden, cuya solución es: x = A sen (cot + cp)

— = Acócos(íar + cp) => = -Aco~ sen(cot + cp) = -co~xdt dt2

reemplazando en !a ecuación (1) se tiene:

- A m a " sen(ft)/ + cp) + k 2A sen(<yr + (p) = k 2x0 sen cot

i unciones Diferenciales de Coeficientes Variables 373

A (k 2 -m c o 2)sen(cot + (p) = k 2x0 sen cot, por lo tanto:

k2xSi k2 < mco2uco < 0)0,A = — — -, (p = 0

k -meo

k2xSi k2 > mco2uco > co0,A = ----- u (p = n

meo" - k

resulta que: para co < co0 el movimiento está en fase

para co > co0 el movimiento está en operación

Si co = ®0, A = oo, hay resonancia: la amplitud del movimiento crece considerablemente,

y hay de enornes fuerzas.

Así la resonancia (mecánica aquí) permite, con fuerzas pequeñas, obtener intensos e

incluso violentos efectos.

En radio y con circuitos oscilantes se obtiene efectos análogos, lo que permite corregir

intensas y de tensiones muy altas o sobretensiones útilísimas para amplificadores ó

emisiones.

+ — sen 6 = 0 (cuando 0 no es pequeño) dt2 L

6t0 Problema.- Establecimiento de la fórmula fundamental de resistencia de materiales

(flexión de vigas).

Suponemos una viga horizontal apoyada en dos puntos, pero, por razones de simplicidad

y claridad, tomemos antes una viga horizontal sujeta a un extremo y sometido a otro a una

fuerza p.

374 Eduardo Espinoza Ratnoí

Sea O ó la fibra neutra, donde el esfuerzo es nulo, es decir, donde la longitud no cambín,

encima la materia se estira y debajo se comprime.

Llamemos, asimilando la viga curvada a un arco de círculo.

S la sección de la viga.

p el radio de curvatura de la fibra neutra.

1 la longitud inicial de la viga.

y la distancia de una fibra cualquiera encima de la línea neutra.

Se tiene para la fibra media.

P.=pd

y para la fibra a la distancia y, de la longitud ha aumentado en d i

i + d t — ( p + y ) 6

de donde df. = \ 9 - y —P

el alargamiento unitario i es ■ = á i = L e ~ p

denominemos “a” el espesor de la viga (perpendicular al plano de la figura) y sea dy un

pequeño aumento de y.

Sobre la superficie a.dy se ejerce una fuerza d F.

naciones Diferenciales de Coeficientes Variables 375

Sea n el esfuerzo por unidad de superficie, n = — = -----ds ady

ahora bien, i es proporcional a n, en tanto que no sobrepasa el límite de elasticidad (la Ley

de Hooke), y puede escribirse, n = ki donde k es una constante, que ha sido calificada

módulo de elasticidad E.

Sea, por consiguiente n = E i

r l F ' V f l F '-----= £ (—) de donde dF = — - ydy ... (1)ady p p

es la suma de todos los dF sustituida la parte izquierda de la viga supuesta elevada, y

equilibrando con la fuerza de la derecha.

En efecto, estando en equilibrio todo el sistema, tomemos los momentos con respecto al

punto “O” de todas las fuerzas, y escribamos que la suma algebraica de todos los

momentos es nula, o incluso que: I de los momentos de las fuerzas de la izquierda = Z de

los momentos de las fuerzas de la derecha.

Es decir J ydF = M que se llama también momento de flexión.

Multiplicando la ecuación (1) por y se tiene:

ydF = — y2dy, integrando í y dF = M = — \ay2dy P Jo P J

ahora bien, ay2dy es el momento de inercia de la lámina dy con respecto a la lí ea neutra

y si se llama Y el momento de inercia de la sección s con respecto al eje que pasa por O y

por G.


- \ay2dy

E l ( l + y '2) 2 ise tendrá M = — , por otra parte el radio de curvatura es: p = -----—---- pero como las

p yflexiones de las vigas son siempre muy ligeras, y' que es la pendiente, resulta

prácticamente nula en cada punto, por lo tanto p = — , lo que dá M = El y ' 'y"

es decir:d y _ M

~ d ? ~ ~ É ¡

Fórmula fundamental de la flexión en resistencia de materiales.

7mo Problema.- Cálculo de la flexión de una viga.-

Consideremos una viga horizontal apoyada en dos puntos en sus extremos, esta viga se va

a flexionar, para esto tomemos el eje de la viga como eje de las x y llamemos y la

desnivelación vertical de la viga en un punto cualquiera, es decir la flexión.

Si se considera:

i = momento de inercia de la sección de la viga con respecto a su centro de gravedad.

E = el módulo de elasticidad del metal.

M — suma de los momentos de todas las fuerzas situadas a la derecha (o a la izquierda) de

la sección considera a la distancia x, comprendido los momentos debidos a la

reacciones de los puntos de apoyo.

P = radio de curvatura de la viga, en un punto cualquiera de la abscisa x.

d"y MSe tiene la misma fórmula que en el caso de la viga sujeta: — —, ------

ex E Icuya solución da la flexión y en un punto cualquiera.

Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables 37/

8™ Problema.- Vibraciones de una masa pendiente de un muelle.-

Para formular la ecuación diferencial de este problema se necesita dos leyes de la física

la segunda de Newton y la ley de Hooke.

La segunda Ley de Newton establece que la variación de la cantidad de movimiento de ui

cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre e

cuerpo y su sentido es la de la fuerza resultante.

Expresando en forma matemática es: — (mv) = KFdt

donde m es la masa del cuerpo, v su velocidad, F la fuerza resultante que actúa sobre él, F

una constante de proporcionalidad.

Si m se considera constante => m— = K Fdt

de donde F = K m a, donde a = —dt

La ley de Hooke establece que la magnitud de las fuerzas necesarias para producir un

cierta elongación en un muelle es directamente proporcional a la elongación, supuesto qu

ésta no es demasiado grande, en forma matemática se tiene: | F | = Ks

donde F es la magnitud de la fuerza, s la elongación y K es una constante d proporcionalidad a la que llamaremos constante del muelle.

Para formular el problema consideremos lo siguiente.


a) longitud natural L b) masa en equilibrio, c) masa a una distancia x

muelle con deforma- por debajo de posición

ción L + Ü. de equilibrio; longitud

del muelle con deforma

ción L + í + x.

Ahora consideremos las fuerzas que actúan sobre la masa m.

1 ° La fuerza de gravedad Fx = mg g es la aceleración debido a la gravedad.

2° La fuerza recuperadora del muelle, por la ley de Hooke se tiene F2 = - K ( x + ( ) por

ser la fuerza recuperadora F-, igual a la magnitud pero de sentido opuesto a las

fuerzas de gravedad, y que para la posición x = 0, se tiene:

-m g = —K (0 + £ ) => mg = K t por lo tanto F2 - - K x - mg

3° La fuerza de resistencia del medio llamado fuerza de amortiguamiento, que so„ dx

expresa asi: F - , = - a — , a > 03 dt

4o Cualesquiera fuerzas exteriores que actúan sobre la masa que será expresado potj

Fa = F ( r ) ahora aplicando la segunda ley de Newton F = ma, donde

d 2 jc d-xF - F¡ + F-, + F + F, se tiene: m — — = mg — K x -m g - a — + F ( t ) de donde:

dt dt

d 2x dx .. .m — zr + a ---- h Kx = F ( t )

d r dt

Que es la ecuación diferencial del movimiento de la masa sujeta al muelle.

9no Problema.- Movimiento libre no amortiguado.-

^2X dxDe la ecuación diferencial del movimiento, m — —+ a ---- 1- Kx = F ( t )

d r dt

para el caso del movimiento libre no amortiguado

i ( ilaciones Diferenciales de Coeficientes Variables

d 2± . „ „ . ,2 K

dt2 mse tiene a = 0 y F(t) = 0 V t entonces: m— — + K x = 0 si, X" = —

d 2x

dt2- + X x = 0 , cuya solución es: x = Cj eos Xt + c 2 sen Xt

donde c ¡ , c 2 constantes arbitrarias y para

vnx(0) = x0, x' (0) = v0 se tiene q = — , c 2 — x 0

X

x = — eos A í + xnsenA t X 0

!o

expresaremos en la forma siguiente: x = c (— eos Xt + — sen Xt)

v________ _o

donde c - . l ( — ')2 + > 0 siendo — = -sentí»x o c

x IK— = cos^ obteniendo x = c eos (X, t + <|>) x = c cos( í— 1 + <¡>)c

por lo tanto el movimiento libre no amortiguado de la masa es un movimiento armònici simple.

1 0m" Problema.- Movimiento libre amortiguado.-

d x dxDe la ecuación diferencial del movimiento m — - + a -— + K x = F ( t ) , para el caso V

dt2 dt

movimiento libre amortiguado se tiene: F(t) = 0 V t resultando la ecuación diferencia

mÉ—L + a — + Kx = 0 de donde ^ -^+2 fr — + X2x = 0 siendo 2b = — , X2 = — dt2 dt dt" dt m m

para la solución de este problema se presenta tres casos que dependen del signo dt

b2 - X 2 .

380 Eduardo Espinoza Raninl

Caso 1.- Movimiento Oscilatorio Amortiguado.-

Si b < X, entonces la solución es: x = e hr [c, sen Vá - b ~ t + c2 eos VA" - b ~ t ]

que también se puede expresar en la forma: x = e hl cos[vA" -b~t+<¡>] donde

c - J e 2 + c2 > 0 y <() está determinado por las ecuaciones:

-sen® = ; cos0 =

+ c~

Caso 2.- Amortiguador Crítico.- Si b = A.; La solución es x - ( c l + c 2t)e

Caso 3.- Amortiguamiento Super Crítico.- Si b > X

Entonces la solución es: a = c¡en' + c2er-

donde r¡ = —b + \¡b2 — A2, r2 = —b — \¡b — A

l l v o Problema.- Circuitos eléctricos.-

En las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a circuitos en serie contiene una fuerz|

electromotriz, elementos de resistencia, inducción y capacidad.

Una fuerza electromotriz (por ejemplo una batería o un generador) produce un flujo di

corriente en un circuito cerrado y que esta corriente produce lo que se llama caída dfl

tensión (o voltaje).

Para la caída de tensión en cada elemento de resistencia, inducción y capacidad se tiene

las tres leyes siguientes:

10 La caída de tensión en un elemento de Resistencia es dado por E R - Ri donde R es

una constante de proporcionalidad llamada resistencia e i la intensidad de la]

corriente.

11 naciones Diferenciales de Coeficientes Variables 381

La caída de tensión en un elemento de inducción es dado por: E, = L — s donde LL dt

es una constante de proporcionalidad llamada inductancia e i la intensidad de la

corriente.

La caída de tensión en un elemento de capacidad o condensador es dado por:

Ec = —q donde c es una constante de proporcionalidad llamada capacitancia y q esc

la carga eléctrica instantánea en el condensador.

Como i = — entonces: £' = — dt c I- dt

Las leyes fundamentales en el estudio de los circuitos eléctricos son:

a) Ley de Kirchoff (forma 1).- La suma algebraica de las caídas instantáneas de

tensión, a lo largo de un circuito cerrado en un sentido específico es cero.

b) Ley de Kirchoff (forma 2).- La suma de las caídas de tensión en los elementos

de inducción, resistencia y capacidad, es igual a la fuerza electromotriz total en

un circuito cerrado.

Consideremos el circuito siguiente:

En este diagrama y en los posteriores emplearemos los siguientes símbolosconvencionales.

--------------- 'VWWVW---------------

(E

■ U lM M r

E fuerza electromotriz (batería o generador)

R resistencia

\ Q Q QQy---- L inductor

----- ------ C Condensador

Eduardo Espinoza Ramon

\|'litando la ley de Kirehoff, al circuito y utilizando las leyes de caídas de tensión se

di

dt

di 1 obtiene la ecuación: L — + Ri + — q - E

Como i =di

dt

di d 'q . d~=> — = — r- entonces: L

dt d r dt

n dq 1 -■+ R — + — q = E

dt c

de esta ecuación se tiene: L l i dt2

„ di 1 . dE + R — + -1 = -

dt c dt

Por lo tanto se tiene las dos ecuaciones.

Ecuaciones diferenciales para la carga q y la corriente i:

diSi el circuito no tiene condensador la ecuación se reduce a: L — i- Ri = E

dt

y así se tiene inductor, la ecuación se reduce a: R — + — q = Edt c

Ejercicios Propuestos.-

En el extremo de un muelle espiral sujeto al techo, se coloca un peso de 8 libras. El pésol

queda en reposo en su posición de equilibrio, en la que el muelle se ha alargado ■

pulgadas. A continuación, el peso se desplaza 3 pulgadas por debajo de la posición del

equilibrio y se abandona en t = 0 con una velocidad inicial de 1 pie/seg., dirigida hacia!

abajo. Despreciando la resistencia del medio y suponiendo que no existen fuerzas j

exteriores, determinar la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento resultante:

Rpta:

Amplitud del movimiento - pie

. , - 7T nel periodo 2 (— ) = — seg.

8 44

frecuencia es — oscilaciones/seg. n

( 2) En el extremo inferior de un muelle espiral sujeto al techo se suspende un peso de 12

libras. El peso queda en reposo en su posición de equilibrio, en la que el muelle queda

alargado 1.5 pulgadas. A continuación se lleva el peso 2 pulgadas por debajo de su

posición de equilibrio y se abandona partiendo del reposo en t = 0. Hallar el

desplazamiento del peso en función del tiempo. Determinar la amplitud, periodo y

frecuencia del movimiento resultante. Rpta: x = C0SJ . ~ P ‘es , oscilaciones/seg.

( T ) A l extremo inferior de un muelle espiral suspendido del techo se liga un peso de 4 lbs. El

peso queda en su posición de equilibrio en la que el muelle está alargado 6 pulgadas. En

el instante t = 0 se golpea el peso de modo que se pone en movimiento con una velocidad

inicial de 2 pie?'seg. dirigida hacia abajo.

a) Determinar el desplazamiento resultante y la velocidad del peso en función del

tiempo.

b) Hallar la amplitud, período y frecuencia del movimiento.

c) Determinar los instantes en los que el peso se encuentra 1.5 pulgadas por debajo de

su posición de equilibrio y moviéndose hacia abajo.

d) Determinar los instantes en que se encuentra 1.5 pulgadas por debajo de su posición

de equilibrio y movimiento hacia arriba.

d * \ sen 8/ , , 1 n A ,Rpta: a) x = --------- b) — pies; — seg, — oscilaciones/seg.

4 4 4 ;r

, „ n rui _ , 5n nn . „ ,c) t = — + — (n =,0,1,2,...) d) t = — + — (n = ,0 ,l.....)48 4 48 4

( T ) La naturaleza de un muelle espiral es tal que un peso de 225 lbs. le deforma 6 pulgada-

El muelle se encuentra suspendido del techo, a su extremo inferior se liga un peso de l(i

lbs. que, a continuación, queda en su posición de equilibrio. Entonces se lleva a una

posición 4 pulgadas por debajo de la del equilibrio y se abandona en t = 0 con una

velocidad inicial de 2 pies/seg. dirigida hacia abajo.

I cuaciones Diferenciales de Coeficientes Variables 383

a) Determinar el desplazamiento resultante como función del tiempo.

Eduardo Espinoza lio mm

b) Hallar la amplitud, período y frecuencia del movimiento resultante.

c) ¿En qué instante atraviesa el peso su posición de equilibrio y cuál es su veloddml # ■

ese instante?

„ . „ senlOr coslOí -s/34 . k , . 5 . . . ,11Rpta: a) x - -------------v-------- b) ------pies; — (seg), — oscilaciones/sctJ

5 3 15 5 7r

c) 0.103 seg ;-3.888 pies/seg.

De un resorte vertical cuya constante de rigidez es igual a 300 Kg/m. se suspende un pcHfl

de 118 Kg. Si el peso se levanta 76.6 mm. sobre su posición de equilibrio y luego so l<

suelta, calcular el instante en que el peso se halla a 38.3 mm. debajo de su posición < fl

equilibrio y moviéndose hacía abajo. Halle también la amplitud, período y frecuencia dolí

movimiento. Rpta: x = 7.66sen(5f + - ) , amplitud 7.66 cm

El periodo , la frecuencia ciclos/seg.

Un peso de 1.84 Kg. suspendido de un resorte lo estira 76.5 mm. se tira del peso hasta

bajarlo 153 mm. de su posición de equilibrio y luego se le suelta. Suponiendo que el pe sel

actúa una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 3 v kg. siendo v la velocidad

instantánea en m/seg, hallar la ecuación del movimiento del peso después de haberla

soltado. Rpta: x = 0.153-\/2e 8' sen(8f+—)4

Una masa de 100 gr. se suspende de un extremo de un resorte y el otro extremo s e l

suspende de un soporte fijo dejando que el sistema alcance el reposo. En la posición d e l

equilibrio el resorte se estira 5 cm. La masa se tira 5 cm. hacia abajo y se suelta con una

velocidad de 7 cm/seg. Encuentre la ecuación del movimiento de este sistema para las

siguientes fuerzas de amortiguamiento.

a) 2 . 8 0 0 ^ - ^ ^ b) 3,500—seg2 dt Seg2

Rpta: a) x = (5 + l l t ) e ~ H' b) x = l e ' 1' -2 ?~28'

iones Diferenciales de Coeficientes Variables

Una masa m se proyecta verticalmente hacia arriba desde "O " con una velocidad inicial

v0 . Hallar la altura máxima alcanzada, suponiendo que la resistencia del aire es

proporcional a la velocidad. Rpta: altura máxima x = —[v0 — — ln(—— ^ - ) ]k k g

Se ha colocado una cadena sobre una clavija pulida, colgando, de un lado 8 dm. y del otro

12 dm. Hallar el tiempo que la cadena tarda, al resbalar, en caerse.

a) Si se prescinde del rozamiento.

b) Si el rozamiento es igual al peso de 1 dm. de cadena.

f l0 . 1 f i ó x + 2 + yJx2 + 4 xRpta: a) t = I— «rr.cosh —(x + 2 ) = — L n ---------------------

V 8 2 \ g 2

ÍÍO, 2 , 3 / 2 , \b) i - I— Ln — (x + — + y x~ + 3x)3 2

En el extremo inferior de un muelle sujeto al techo se fija un peso de 32 libras. El peso

queda en reposo en su posición de equilibrio, en la que el alargamiento del muelle es de

2 pies. A continuación se lleva dicho peso 6 pulgadas por debajo de la posición de

equilibrio y se abandona t = 0, no existe fuerzas exteriores, pero la resistencia del medio

dx dxen libras es numéricamente igual a 4— , donde — es la velocidad instantánea en pies

dt dt

por segundo. Determinar el movimiento resultante para el peso pendiente del muelle.

Rpta: x = - e ~ 2' cos(2\/3?-—)3 6

Al extremo inferior de un muelle espiral suspendido del techo se sujeta un peso de 8 Ibs.

que queda en reposo en su posición de equilibrio con el muelle alargado 0.4 pies, se lleva

entonces el peso 6 pulgadas por debajo de dicha posición de equilibrio y se abandona

en t = 0. La resistencia del medio es, en libras, numéricamente igual a 2 — donde esdt dt

la velocidad instantánea en pies por segundo.


a) Escribir la ecuación diferencial del movimiento, así como las condiciones iniciales. 1

b) Resolver el problema de valores iniciales planteado en la parte a) para determina: i*l

desplazamiento del peso en función del tiempo.

1 d 2x dx 1Rpta: a) - í í - f + 2 — + 20* = 0, * (0 ) = - , x '(0) = 0

4 d f dt 2

, , -4, ,sen8í eos 8 í.b ) x = e (------ + --------)

4 2

( l2 ) En el extremo inferior de un muelle espiral suspendido de un soporte fijo se coloca un

peso de 8 Ibs. El peso queda en reposo en su posición de equilibrio, posición en la que e l

muelle se encuentra deformado 6 pulgadas. A continuación se desplaza el peso 9 pulgadas

por debajo de dicha posición y se abandona en t = 0. El medio ofrece una resistencia que

es, en libras, numéricamente igual a 4— , siendo — la velocidad instantánea en pies por]dt dt

segundo. Determinar el desplazamiento del peso en función del tiempo.

Rpta: x - (6í + — )e 8í4

^ 3 ) Se ha suspendido un peso de 7.26 Kg. cuya constante de rigidez es 7.44 Kg/m. se aplica

una fuerza externa dada por F(t) = 10.9 senlOt. t > 0, se supone que actúa una fuerza de

amortiguamiento que expresada en Kg. es numéricamente igual a 5.95 v, siendo v la

velocidad instantánea del peso en m/seg. inicialmente el peso se encuentra en reposo e n l

su posición de equilibrio. Halle la posición del peso en cualquier instante.

Rpta: x = 0.2925éf155' -0.212e_6'45r -0.0915 sen 1 Oí -0.0813 cosí Oí

( l4 ) Se suspende un peso de 14.5Kg.de un resorte vertical cuya constante de rigidez es

5.95 Kg/m. se aplica una fuerza F(t) = 7.26 sen2t. t > 0. Suponiendo que cuando t = 0

el cuerpo se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y que la fuerza

amortiguadora es despreciable, determine la posición y la velocidad del peso en cualquier

instante. Rpta: x = 0.61 sen 2t - 1.22t eos 2t y = 2.44 sen 2t

naciones Diferenciales de Coeficientes Variables 387

Una viga horizontal de 21 metros de longitud está apoyada en sus extremos. Hallar la

ecuación de su curva y su máxima deformación vertical (flecha) cuando tiene una carga

uniformemente distribuida de 00 Kg/m.

Rpta: y = —— (4¿x3 - x 4 -8 £ 3x) ; - y max = ^ - 24EI 24 E l

Resolver el problema 15) si actúa, además, una carga de W Kg en medio de la viga.

Rpta: y = ——— (4¿x3 — x4 —8£3x) + - ^ - ( 3 £ x 2- \ ( ~ x \ 3 - 6 t 2x + ( 3)24 E l 12EI

5 (o í4 we3-ym ax = ---------1-------

24 E l 6 El

Una viga horizontal de l metros de longitud está empotrada en un extremo y libre en el

otro. Hallar la ecuación de su curva elástica y la flecha máxima si la carga uniformemente

repartida es coKg/m. Rpta: y - (4£x3 - 6 £ 2x 2 - x 4) ; - v m a x = —F 24 £Y 8 E l

Una viga horizontal de í metros de longitud está empotrada en ambos extremos. Hallar la

ecuación de la curva elástica y la flecha máxima si tiene una carga uniformemente

distribuida de co Kg/m. Rpta: v = (2 £ x -£ 2 - x 2) , -ym ax = — ----24 E l ' 384 E l

Resolver el problema 18) si además actúa un peso W Kg. en el punto medio de la viga.

Rpta: y = — (2 íx3 - t 2x2 - x 4) + — (£3 - 6 í 2x + 9£x2 - 4x3), - < x <1' 24£7 48£7 2

- y max = ---- ----- ( o £4 + 2 W t3)384 El

Una viga de longitud 3 l está libremente apoyada en los extremos. Hay una carga

uniforme co por unidad de longitud y carga co aplicada a una distancia i de cada extremo.

Tome el origen en el punto medio de la viga y halle la ecuación de la curva elástica y la

máxima de flexión.


1 , ( » .9 .2 2 A - , , 3 , 2 * 3 ^ 3 fRpta: y = — [— (— l x -■— )] + u>(—£ x ------------- + — ) , — < x < —£7 2 8 12 4 6 8 48 2 2

—y m ax= -—í— (405&)/:4 +368<w/3)384£7

( 21 ) Un circuito eléctrico consta de una inductancia de 0.1 henrios, una resistencia de 2 fl

ohmios, y un condensador cuya capacidad es de 25 microfaradios (1 microfaradio = 10

faradios). Hallar la carga de q y la corriente y en el tiempo t, siendo las condicione»

iniciales:

a) q = 0.05 coulombios, i = — = 0 , para t = 0dt

b) q = 0.05 coulombios, i = -0.2 amperios para t = 0

Rpta: a) q = e l00' (0.05 eos 624.5/ + 0.008 sen 624.5/) ; i = -0.32<f100' sen 624.5/ j

b) q = e~m ' (0.05 eos 624.5/ + 0.0077 sen 624.5/)

i = e~m ' (-0.2 eos624.5/ -3 2 .0 sen 624.5/)

( 22 ) Un circuito consta de una inductancia de 0.05 henrios, una resistencia de 20 ohmios, un

condensador cuya capacidad es de 100 microfaradios y una f.e.m. de E = 100 voltios.

Hallar i y q siendo las condiciones iniciales q = 0 i = 0 para t = 0.

Rpta: q = e~200' (-0.01 eos400/ - 0.005sen400/) + 0.01 ; i = 5e~200' sen400/

(23) Sea L = 10 henry (h), R = 250 ohms (r), C = 10 ’ farads (f ) y E = 900 volts, (v ) en el

circuito de la figura. Suponga que no hay carga presente y que no está fluyendo corriente

en el momento t =0 en que se aplica E, calcule la corriente y la carga para todo valor t> 0.

---------------m m ---------------

I naciones Diferenciales de Coeficientes Variables 389

0 En los ejercicios, halle la corriente de estado estacionario en el circuito RLC de la figura

de 23) donde:

a) L = 5 henrys, R = 10 ohms. C = 0.1 farad, E = 25 sent volts.

b) L = 10 henrys, R = 40 ohms, C = 0.025 farad, E = 100 cos5t volts.

c) L = 1 henrys, R = 7 ohms, C = 0.1 farad, E = 100 senlOt volts.

d) L = 2.5 henrys, R = 10 ohms, C = 0.08 farad, E = 100 cos5t volts

) Halle la corriente transitoria en el circuito RLC de la figura de 23) para los ejercicios de

24).

Dado que L = 1 henrys.-R = 1200 ohms, C = 10'6 farad, Y (0 )=Q (0 ) = 0 y E = 100 sen

600 t, volts, determine la corriente transitoria y la corriente de esta estacionario.

-6001 .R Pta: =-——— (297 sen 800/-96eos800/) ; I E = ------(24eos600/-27 sen 600/)

2320 580

Se conecta una inductancia de L henrios, una resistencia R ohms. y una capacitancia C

farads, en serie con una f.e.m. de E 0 sen co/ volts, suponga que Q(0) = 1(0) = 0 y

4L > R 2C .

a) Halle la expresión para Q(t) y I(t). b) ¿Qué valor de co producirá resonancia?

' ^ - r 2Rpta: b) (O = v ^

2 L

Resuelva el ejercicio 27) para 47, < R 2C Rpta: b) ningún co produce resonancia.


C A P I T U L O V I I I

8. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES CONSTANTES.-

Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las funciones {

incógnitas. x { = yfx (r), x 2 = y/2( t ) ..... xn = y/n ( t ) es de la forma siguiente:

dx.i _= f l ( t ,x i ,x2,...,xn) dtdx,

= f 2(t ,x {,x2,...,xn)dt

~ = f „ ( t . x i ,x2,...,xn) dt

N O T A C IO N V E C T O R IA L

dxx = (xx, x 2, . . . ,xn) 6 v n , / = (/, ,/2, “ = /Cr,.r)

donde x¡ = y/¡ ( t ) , . . . , 'xn = t//H(f)son diferenciables y con derivadas continuas en (a.b)

llamadas solución del sistema.

Un sistema de “n” ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de “ n ’ funciones

dxdx: 'ST~'incógnitas se puede escribir en la forma: — - = > a (/)

dt x —i tM

+b ,(t);

Si b¡(t ) = 0, el sistema se llama homogénea y si b ¿ ( t ) * 0 el sistema se llama no

homogénea. Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales existen los siguientes

métodos:

Sistema de Ecuaciones Diferenciales 391

M ETO D O : Reducción de un Sistema a una Ecuación Diferencial de n-Esimo Orden.-

Consideremos un sistema de dos ecuaciones:^ = ax + by + f ( t ) .............. (1)dt

~ = cx + dy + g ( t ) .............. (2)dt

donde a, b, c ,d, son constantes f(t), g(t) son funciones conocidas: x(t), y(t) son funciones✓ 1 dx

incógnitas de la ecuación (1) despejamos y = — (------ a x - f ( t ) )b dt

reemplazando y en (2) se obtiene:

d A dx d ,dx . . . .— a x - J ( t ) ) ] = ex+ - ( - — a x - f ( t ) ) + g (t )

dt b dt b dt

1 d~x adx d , d .dx r/ x .-------------------- ( f ( t ) ) - c x - - { - — a x - f ( t ) ) - g ( t ) = 0b dt¿ dt dt b dt

d “~ x dxsimplificando se tiene: A — - + B — + c x = R(t)

dt2 dt

donde A. B, C son constante que es una ecuación diferencial de coeficientes constantes.

Ejemplo.-

® Resolver :

dxdtdy_dt

= 3-2y...

= 2 x -2 t .

.(0

..(2)

Solución

1 dxDe (1) se tiene y = — (3 ----- ) Reemplazando en (2):

2 dt

d 3 1 dx 1 d 2x „ d 2x .- (---------- ) = 2 x -2 t = > --------— = 2x — 2t => — - + 4x = 41

dt 2 2 di 2 dt2 dt

es una ecuación no homogénea.

392 Eduardo Espinoza Ranun ' Sistema de Ecuaciones Diferenciales 393

El polinomio general de la ecuación homogénea es: r 2 + 4 = 0 —> r¡ = 2i, r2 = - 2 i.

La solución general de la ecuación homogénea es: x = c, cos2í + c2 sen 21.

Solución

dyde (2) despejamos x es decir x = y + — , reemplazando en (1)

dt

©

La solución particular es: x p = At + B

x = A -> x = 0 ■—> 0 + 4( At + B) = 4tp p

4A = A A = 1, B = 0 - » Xp = t

La solución general de la ecuación no homogénea es: x = xg + xp = cl eos2/ + c2 sen 21 t

dx

Resolver:x - 2 y.

dtdy , — =- x + 3y.

U r

.(1)

■ (2 )

Solución

De (1) se tiene y = —( x ----- ) reemplazando en (2)2 dt

- [ —( je - — )] = x + — ( x - — ), calculando la derivada dt 2 dt 2 dt

1 dx 1 d~x 3 3 dx , . ..... . d 'x . dx . n-------------- —= x + —x --------, al simplificar se tiene: — r - - 4 ------i-5x = ü2 dt 2 dt2 2 2 dt ■ dt2 dt

El polinomio característico es P ( r ) = r 2 - 4 r + 5 = 0 de donde rx = 2 + i , r2 = 2 - i

La solución general es: x = c.em eos /ir + c-,ea' sen fix

©

dy. d~y .dv— (y + -— ) + 3(yH---------------------------------- ■) + y = 0 , efectuando la derivada se tiene: - + 4— + 4y = 0dt dt dt dt2 í/f

Polinomio característico P (r ) = r 2 + 4r + 4 = 0, de donde r = -2 de multiplicidad 2.

-21 -2 íx = c,e " + c 2fe ‘ , x (0 ) = 1 —» Cj = 1, remplazando en (1)

-2c,e - 2c2te + c2e + 3c¡e 2l + 3c2te~~’ + y ( t ) = 0

-?t -2t -°t *c{e “ + c 2te ~ + c0e + y (t ) = 0

e 21 + c 2te 2> + c 2e 21 +1 = 0 => 1 + c 2 +1 = 0 c2 = —2

la solución es x = e r - 2te 21, análogamente para y = e 21 ( l + 2t)

... (1)

. . . (2)

- 2 /

Resolver:

dx 1 2 1 3— = 3x— v-3/ — t + — dt 2 ’ 2 2dy

dt= 2 y - 2 t - \

Solución

1 , dx . 2 1 3— y = 3x--------3r — ? + — , reemplazando en (2)2 ‘ dt 2 2

= 12x-4 — - 1 2 r - 2? + 6 - 2 í - l , al simplificar2 dt 2 dt 4 dt

©

es decir: x = cie2x co%x + c2e lx senx

Resolver:

dx - „— + 3x+ y = 0.. dt

•(1)

É L .dt

x(0 ) = y (0) = 1

-x + y = 0 .. •(2 )

2 ^ -^ -1 0 — + 12x = 12í2 -8 / -6 => ^ - £ - 5 — + 6x = 6 í2- 4 r - 3 —> r2- 5 r + 6 = 0 d r dt dt2 dt

—» r = 2, r = 3; x = c1e“í + c2e31, la solución particular es:

xp = At + Bt + c x = 9At + B => x „ = 2A

394 Eduardo Espinoza Kaum

reemplazando en la ecuación diferencial:

2 A - 10A t - 5 B + 6A t2 + 6Bl +6c = 6t2 - 4/ - 3

6A = 6 -> A = 1

(-10A + 6B) = -4 -> B = 1

2A - 5B + 6C = -3

2 - 5 + 6C = -3

C = 0 x = x „ + x „g p

x = cxe~‘ + c2eit + t ~ + t

M ETO D O : Matrioial para Sistema de Primer Orden con Coeficientes Constantes.-

dx , , ,— ""t- 2 *2 ...... n

dtdx-,

Consideremos el siguiente sistema: ,dt

dx„dt

,(1 )

Las soluciones de este sistema de ecuaciones es de la forma:

x l = p lert, x2 = P 2e " , . . . ,x n ~ P ner‘ , donde P¡, i = l,...,n son constantes

dx,Xl = P¡e" - » ^ = p

x2 = P2er

dtdx

dt

re

2- = P 2rer'

Como

x „=ßnerdx,

dt- = ß„re‘

. . . (2)

Sistema de Ecuaciones Diferenciales 395

Reemplazando (2) en (I) se obtiene:

A ren = an P xen + a l2P 2en + ... + ahlP nert

P 2rerl - a 2lP 2en + a 22P 2er' +... + a2nP nen

A ™ ” =a«i/V r' +an2P2 er' + - + annPner'

simplificando se obtiene:

P \ r - a \\P] + a \2P 2 + ■■■ + a 2„Pn

P 2r — a2xPx + <*22 2 + ■■•+ a2 nPn

P nr = a n l P \ + a n2P2 + - + a nnPn

\au - r ) P l + a 12P 2 +... + ainPn = 0

a2iP\ + ( ai2 ~ r ) P 2 +... + a2npn = 0

(a ) • ’

a n\P\ + a b2p2 + - + K „ - r ) P „ = 0

a es un sistema de ecuaciones homogéneas y tiene solución no nula sí y solo sí:

12

a 21 a 22 2n

= 0

ani ün2

Luego P(r) = 0 valores propios del sistema y cada valor de r determinará (3,


Veremos para el caso de 3 ecuaciones.

dx .— = ax + by + cz dtdy .—— — a, X + í>, y + c, z dt 1 1 1

dz , ,— = a2x + b- y + c2z dt

i-i II >> Os > y = uert , z - n e

x = A e " —>dx

~dt

ÎS.II

r t dy r ty = ue —>dt

= ue

r t —> ÉL r tz - nedt

= ue

Reemplazando (3) en (1) se obtiene:

Xren = aAe" +buen +cner'

uren = a,Xert +b ]uen , simplificando se tiene:

nren = a2kerl +b 2uen + c 2nerr

Ar = aX + bu + en

■ Kr = «[A + /?|W + e,n igualando a cero

nr = a2X + b2u + c2n

a - r b c

Luego: p ( r ) = a, £>| - r cl = 0

a2 b c 2 i

(a - r )A f bu + cn = 0

a, A + (bx - r ) u + cn = C

a2A + b2u + (c2 - r)n =

= 0 -> p(r) = 0

Si rp r2, r3 son las raíces del polinomio

P(r) = 0 Si r = rx , se resuelve el sistema y se obtiene: \ x,u {,n x

-, son constantes.

... (3)

0

Si r = , se resuelve el sistema y se obtiene: X2, u2,n2

Sistema de Ecuaciones Diferenciales

©

Si r = r3, se resuelve el sistema y se obtiene: X

Obteniéndose las soluciones particulares:

g 'i' V Vx, = \ e , yx = u ¡e ' , z, = n,e

i 'v ry rx2 =A 2e , y2 = u 2e , z2 = n 2e-

'V rx3 = x3e , x3 = w3e , z3 = n3e -

La solución general es:

x = C|X] + c2áy, + c3-

.y = c,x2 + c2_y2 +c3

z = c,x3 + c2y3 + c3

Ejcmplos.-

Resolver:

dx— = 2 x—v + 3z dt

d y j .— = x + v —zdt

dt ^

Solución

2 - r -1 3 ■ n -1p ( r ) = 1 1 - r -1 = 0 => . r2 = -1

0 1 —1 — r '3 = 2

© Resolver:

= 2x-_y + 3i

= x + y — z

Solución


a — r b c 2 - r -1 3

P ( r ) = a¡ bx —r c, = 0 reemplazando p ( r ) = 1 1 —r -1

a2 b2 c2 —r 0 1 -1 - r

= 0

(2 - r )[-1 (1 - r ) ( l + r ) + !] + (-! - r) + 3 = 0

( 2 - r ) [ - ( \ - r ) + \\ + 2 - r = 0 => ( 2 - r ) r ¿ + ( 2 - r ) = 0 => ( r A + 1)(2- r ) = 0 => r =

(a — r )A + bu + cn = 0

ct\A, + (b\ - r ) u + cxn = 0 , reemplazando los datos se tiene:

a2Ä + b 2u + c2n = 0

0>l — u + 3n = 0

A - u - n = 0

OA + w —3w = 0

ii = 3«

X = 4«, « = 1

u = 3, A, = 4

Ejercicios Propuestos.-

Resolver los siguientes ejercicios:

)

cbc— = y + z dt

= z + xdy

~dtdz— = x + y dt

©

dx

dt- y + z

^ « 3 j r + z dtdz— = 3x + y dt

!>

dtdy

dt dz_

dt '

---2z

■ 2x + 8 y - 2z

©

dx

dtdy_

dt

= 6 x — y

= 3x + 2y

D

dx

Jtdy_

dt

■ 3 x - 4 v

■ = 2 x - 3 V©

dx

dtdy

dt

= 2x - y

= 9x + 2y

ÜWi'/na de Ecuaciones Diferenciales 399

— = x — y + /

— = x —2 y + 2/ d/

x(0) = ■

y(0) =

7

95

9

©

dx

dx dy _

dt dt

w

¿L + *L = e- t dt dt

■y

2 dx dy------ = sen/-2yd/ d/

x(0) = -2

y(0 ) = 1

dx— = x + 4y dtdy— - x + y dt

©

2— = 6 x - y - 6 r - i + 3 _d/ *(0 ) = 2

— = 2y - 2 t - \ [d t

y(0) = 3

dx— = x + 3y dtdy

. dt= y

©~ = 2 x + y dt

dy

dt■ 2x + 3y

— - —2x dtdy

dt-3x+ y

dx . ,— = 4 x - y + / + l dtdy

dt■ 2 x + y + t - \

= 5 x -4 y

— = 2x + y dt

dx - .— = 7x + 4y dt

— = —x+ 3 y dt

dx

dt dy_

. dt

= x - 3 y + e'

= 2y + e

dx

dt= x + 4y + 3te'

dy ,— — x + y + e

[d t

dx

dtdy_

dt

- 2 x - 3 y

- 3 x + 2y

x ( k ) = —1

y (n ) = 0


dx _ — = x - i y dtdy_

dt■ 3 x + y

dx

dtdy

dt

- 4 x - 2 y

= 5x + 2 y

dx

dtdy_dt

■2x + 2 — = 2 - 4e2'

dx Q l o dy2----- 3x + 3------- v = 0

dt dt

dx

~dtdy_

dt

= 5x + 4y

= — X+ v

d 2x dy— — + x - 2 — - l ì dt2 dt

„ dx dy2 ----- xH------- 2y = 7

dt dt

D x - ( D + \)y - e

lx + (D - l ) y = e21

(D + 2)x + (D + l )y = t

5x + (D + 3)y - t 2

] (D + l ) * + (2D + 7)y =

\-2x + (D + 3)y = e' -1

\ (D -\ )x + (D + 3)y = e~' -1

$D + 2)x + (D + $y = e2' + t

e' +2

Resolución por Series de Potencias 401

C A P I T U L O I X

*). RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALESMEDIANTE SERIES DE POTENCIAS

Procedimientos.- El método para obtener la solución de una ecuación diferencial en

serie de potencias es similar a la técnica de los coeficientes indeterminados para ello se

necesita conoce, la derivada de una serie de potencias y de las propiedades de series de

potencias.

OO oo

© =y J a n + 2 X " + 2 =y^ a k + 2 x k

n - 2 n = 0 *=0

© = ^ a n - 2 X "

n = 0 n = 2

©n x n + p _ V 1 n + p + k

/ j t i + m * / t u n + m + k A

n = k n=0

El proceso para obtener la solución en serie de potencia de una ecuación diferencial veremos mediante el siguiente ejemplo.

dyHallar la solución en serie de potencias de la ecuación diferencial----- 2xy = 0.

dxSolución

dySuponiendo que la solución de la ecuación diferencial — -2 x y = 0 — (1)

dx

en serie de potencia es: y = cnx" ... (2)

«=o


ahora determinaremos los coeficientes cn , para que (2) converja a una función qu

satisfaga (1) para esto derivamos (2) término a término, es decir:

y = y cn x entonces

n = 0

dy = ydx Árnmá

n-\

nc„xn - 1

ahora reemplazamos en la ecuación diferencial (1):

£ - 2 = £ < í - ' - ^ c . í = ó

n= \ n- 0

enseguida debemos de igualar las potencias y se obtiene aplicando las propiedades de las

series de potencias

dy_

dx

dx

- 2xv = ( « +1 )cn+lxn - 2y cn_¡x'' - 0 , ahora igualamos los inicios es decir:

n =0 n=1

- 2 x y - c x + (n +1 ,)cB+1 x" - 2c„_ = 0

n=l

Luego efectuamos la suma de las series c¡ + ^jjT ( ( n + l )cn+l - 2cB_, )x" = 0

n=i

aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualamos término a término se

tiene: Cj = 0

(n + í)pK+1 - 2cn. ¡ = 0 para u = 1,2, 3,.......

2c,n - 1L«+l n +1

para n = 1 , c2 = —— = c0

2c,

se llama fórmula de recurrencia

2cn

n = 2 , c, = -----= 0

H( solución por Series de Potencias 403

n = 3 , cA =2Co Cn Ci2 _ 2 _ c0 _ 0 4 ” 2 " 2 ~~ 2!

2c3n = 4 , Ce = ----- = 0

n = 5 , c6 = -2c, Cn c4 _ _ ^0_

6 2.3 3!

a 2c5 nn = 6 , c, = ----- = 07 7

n = 7 c - 2c6 - c° = c° ' 8 8 3! 4 4!

como y = 2 ^nxn = c0 +c,x + c2x2 + c 3x3 + c4x4 +...

n=0

y = c0 + c0x2 + — x4 + — x6 + — x8 2! 3! 4!

2 x4 x6 x8 x _ V x2ny — Cn(l + X H-----H------ 1------K..) —Cn / -----0 2! 3! 4! n°

n=0

Que es la solución de la ecuación diferencial.

‘U . SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN ENTORNO A PUNTOS ORDINARIOS.-

Consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden

d~y . . y■— — + a ,(x ) — dx dx

(1)

la ecuación (1) se escribe en la forma.

d~ y dy+ P (x ) — + Q(x )y = 0

dx2 dx. . . (2)


a ,(x ) añ (x )donde P (x ) = -— — y Q (x ) = — —

a2 (x ) a2 (x )

para obtener la solución de la ecuación diferencial (1) entorno a puntos ordinarios

daremos las siguientes definición.

Función Analítica.- Una función f(x ) se dice que es analítica en x = x0, si se puede

representar en serie de potencia en (x - x0) con radio de convergencia R > 0.

Observación General.- Las funciones elementales (todas las funciones que conocemos) '

se puede escribir como una serie de Taylor y por lo tanto serán analíticas.

Definición.- Se dice que x = x0 es una punto ordinario de la ecuación (1) si P (x) y Q (x l

tienen una serie de potencia en ( x - x 0) con un radio de convergencia R > 0.

Si un punto no es punto ordinario, se dice que es un punto singular de la ecuación.

Ejemplo.- En la ecuación diferencial — ^r + ex — + (sen x )y = 0, todo valor finito de xdx dx

es un punto ordinario. En particular vemos que x = 0 es un punto ordinario puesto que

2 v-3 x5 1ex =1 h-----1------ h +... v sen x - x + -— h:— + ...convergencia para todo valor finito de x

1! 2! 3! 5!

d VEjemplo.- La ecuación diferencial x -—~ + (s en x )y= 0 tiene un punto ordinario er

dxA

x = 0 puesto que se puede demostrar que Q (x ) = sen-~ tiene el desarrollo en serie dex

2 4 .6

potencias Q (x ) + que ccmver&e Para tG(ios *os valores ^n tos x- |

d y n i jEjemplo.- La ecuación diferencial — '— + {Ln x )y = 0 , ene un punto singular erdx"

x = 0, puesto que Q (x) = Ln x no tiene un desarrollo en serie de potencia de x.

Re solución por Series de Potencias 405

Observación.- Estudiaremos primeramente el caso en que la ecuación

d~ y dya2( x ) — — + al ( x ) -----1- a(} (x )y = 0, sus coeficientes son polineales y no tiene factores

dx dxcomunes, un punto x = x0 es.

i) Un punto ordinario sí a2 (x 0 ) í 0 ii) Un punto singular sí a2 (x {)) = 0

Ejemplo.-

a) Los puntos singulares de la ecuación diferencial (x~ - 4)y"+2xy'+6y ~ 0 son las

soluciones de x 2 - 4 = 0 es decir x = ± 2. todos los otros valores finitos de x son

puntos ordinarios.

b) Los puntos singulares no necesariamente son números reales. La ecuación2 * j

( x " + 4 )y "+ x y ' -y = 0 , tiene puntos singulares para las soluciones de x “ + 4 = 0

es decir x = ± 2i, todos los otros valores finitos de x, reales ó complejos, son puntos

ordinarios.

Notas.- Ahora encontraremos soluciones en serie de potencia entorno a puntos ordinarios

para ecuaciones diferenciales de tipo (1) y para esto enunciaremos el siguiente

teorema sin demostrarlo.

Teorema.- Si x = x0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial

dv, siempre podemos encontrar dos« i (x ) — T- + a, ( x ) - f - + a0 (x )y = 0

dx" dx

soluciones distintos en serie de potencias, que son de la forma y = cn (x - x0)" .

n=0

Una solución en serie converge por lo menos para | x - x 0 \< R ¡ , donde R¡ es la distancia

al punto singular más cercano, para resolver una ecuación diferencial de segundo orden

d" y dya-,(x) — — + ííj (x ) — + üq (x )y = 0, buscamos dos conjuntos diferentes de coeficientes

dx dx

cn de modo que se tenga dos series de potencias linealmente independientes y,(.v) y

>’2 ( x ) , ambas desarrolladas entorno al mismo punto ordinario x = x0.

I

406 Eduardo Espinoza Ramos Resolución por Series de Potencias 407

Luego la solución general de la ecuación diferencial es y - c , y¡ (x ) + c 2 y2 (x )

d~yEjemplo.- Resolver la ecuación diferencial de segundo orden. — —

dxSolución

■ 2xy = 0

Nota.- Para simplificar, supondremos que un punto ordinario está siempre localizado

en x = 0, ya que si no la está, la sustitución r = x - x 0 traslada el valor

x — x0 a t = 0.

Si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial entonces y = cnxn es la

n=0

solución en serie de potencias de la ecuación dada de donde.

2.«-i d y

y = 2/«-*n=0

dy

dx 1 'n =1

d ypor lo tanto al reemplazar se tiene: — — -dx

— T = n(n — l )cnx n 2dx'

n=_

2^7 = n(n - l )cnx" 2 - 2cnx"+l = 0

n=2 «=0

ahora debemos de igualar las potencias y para esto se aplica las propiedades de las series

de potencias: (n + 2)(n +1 )cn+2x" - ^ 2c„_1x" = 0

n=o n~0oo oo

Luego igualando los inicios es decir: 1.2,c2 + ( « + 2)(n +1 )cn+2 x" - 2cn_¡ x" = 0

;i=l n=1

ahora efectuaremos la suma algebraica de las series

1,2.c2 + «n + 2)(n + l)cn+2 - 2c„_, )x” = 0

n=l

aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando término a término sd

tiene: .2 c2 = 0 => c2 = 0

(n + 2 )(«-í l)cn+2 ~ 2cn_¡ = 0 para n = 1, 2, 3, 4,...

La ultima expresión es equivalente a. cn+2 =2c,«-i

(n + 2)(n + l )n = 1,2,3,

ahora iterando se tiene: n = 1, c3 =

n = 2, c.

2gp _ 2c0

2.3 ~ 2.3

2c,

3.4

2c,n = 3, cs = — — = 0

4.5

n = 4, c6 = -2c, 2 c,o

n = 5, c7

5.6 2.3.5.6

2 ca 2 c.

6.7 3.4.6.7

2c,n = 6, Co = ---- = 0 , etc.

como y = 2> c nxn = c0 + c,x + c2x2 + c3x3 + c4x4 +...

fi—0

2 Cq 3 2c, 4 2 c, ^y = Ca + C, X H------X H------ X H-----------X +...

u 1 2.3 3.4 3.4.6.7

2c0 „3 . 2‘ C0 6 23c,y =? cn H------x H-----------x +

0 2.3 2.3.5.6 2.3.5.6.Í

2c,1 „4X + . . . + C.XH------- X1 3.4

02 3+ 2 ¿ + ___ i ü ____x10 +

3.4.6.7 3.4.6.7.9.10

, 2 3 2 “ g 2 9 ,V = Cn ( l + ----- X H---------------X + ------------------- X + . . . )

u 2.3 2.3.5.6 2.3.5.6.8.9

2x4 22/ ¿X A l 2' 10+Ci (xH------- 1----------X H-----------------A‘ + ...)

3.4 3.4.6.7 3.4.6.7.9.10

Ejemplo.- Resolver la ecuación de segundo orden — — + x — + y = 0dx dx

Solución

de acuerdo a la nota el punto ordinario se toma x = 0 entonces la solución en serie d(|2 ,


potencia es 3' = ^ " ' cnxn => — = ncnx" 1 => — n (n -\ )cnxn 2 ahom¿—i dx a—* dxn=0 ai—1 n - 2

reemplazamos en la ecuación diferencial

OO OO OO

y + x C- ~ + y = w (7i-l)cnx"-2 + x ^ ^ n c nxn"' + ^ c „ x " = 0 , ahora ponemos las xjjdx n=2 n=1

en una misma potencia ^ (n + l)(n + 2)cn+2xn + ncnx" + cnxn - 0

n=0 n=1 n=0

N [ ( « + l)(n + 2)cb+2 + cn ]xn + y ncnx n = 0 igualando los inicios de las series se tiene.»

n=0 n=l

2c2 + c0 + [ (n +1 )(n + 2)cn+2 + cn ]x” + ^ ncnxn = 0

n=1 n=l

efectuando la suma algebraica de la serie:

2c *2 + C0 + [(n + 1)(« + 2)c„+2 + (n + l)c„ ]x" = 0

n=l

aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando términos a términd

se tiene.

2c2 + c0 = 0 2 2

(n + l)(n + 2)cn+2 + (n + l)c„ = 0 _ c,Cn+2 n + 2

c,para: n = l , c3 -

Hi‘solución por Series de Potencias 409

C ') Cr\n = 2, c4 = — - = -2 -

4 4 2.4

n = 3, c5 = - — = —5 5 3.5

C a Cnn = 4, c6 = — i = ------2_

6 6 2.4.6

(-1n = 5, c7 = — — = ~ :

7 3.5.7

(—1 )% (l)"c .Generalizando se tiene: c2n = --------------- y c2n+l —

2.4.6...,(2n) 1 1.3.5.....(2n + l)

2 3 2n , 2n+l ,como y = c0 + c,x + c2x + c3x +...+c2nx + c 2n+[x +...

v ( _ D " _ £ o f — + y^ 2.4.6...(2«)2.4.6...(2n) Z-íl.3.5...(2w + l)n=0 n =0

¿/y t . .Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 1 + y", mediante series de potencia de

dxx, sabiendo que y (0) = 0

Solución

Tomamos a x0 = 0 como punto ordinario, por lo tanto la solución es y = cn x n ,

n=0ahora determinaremos los coeficientes cn , obteniéndose mediante la derivada

dy

dx2=0 n =1

OO OO

y = cn x" entonces ~ ncnxn~{ , reemplazando en la ecuación dada se tiene:

n C n X>1 ' = 1 + ( y / , x n ) 2 = > ^ 1 - ^ C „ X n C „ X " = 1

n = \ n =0 «=1 rt=0 n = 0

^ n c nx"_1- S < I ckcn-k M " = 1; ahora ponemos las x en una misma potencia.

h=1 n —0 /:=0

*410 Eduardo Espinoza Ramos Resolución por Series de Potencias 411

£ (n + l)q ,+1x" - £ ( £ q )x " = 1 ; efectuando la suma algebraica de la serie.

n =0 n =0 k =0

( ( « + 1 )C „+1 - ck .cn_k )x" = 1

n=0 k = 0

como se tiene un término independiente en el segundo miembro entonces desarrollamos

0 oo n

para n = 0 en la serie: q - q ,c_k + [ ( « + l)q ,+] ~ ^ ck ,cn..k ]x" = 1

£=0 n=l ¿=0

aplicamos el método de los coeficientes indeterminados e igualando términos a término11

se tiene: c, - c02 = 1 y (n + l)c„+1 = 0

k =0

Luego:

q - 1 + c0n

“n+1 ~ 77 ^ / C<: 'C"_M + lk = 0

V « > 1aplicando la condición inicial y(0)= 0 se tiene.

y ~ / c„x = c0 + q x + q,x~+... + q x +...n=0

y(0) = c0 = 0 => c0 = 0 de donde q = 1

para: n = 1, c2 = ^ ^ ck -ci-k = ^ [co -ci + ci -¿o ] = 0A-=0

1

n = 2 ’ c 3 = | ^ ° k ■C2- * = ^ fC0 r l + C1 r l + C2 r 0 1 = Jk = 0

3

n = 3, sc4 = i q .c3_A. = i [c0 .r2 + q .q + c2 .q + c3 .c0 ] = 0

k =0

n = 4, c5 q - = “ [«6r 4 + ci-c3 + ( . ■ t A i r i + c4-co 1 = "k = 0

15

n - 5, q - - £ q . ^

fe-0

6

A ¡. = 0

a 1 V 17n = 6, c7 = — > q .q_,. = -----7 7 k 6 k 31 5

jfc=0

Luego la solución queda en la forma: y = cnx" = c0 + c 1x + c2x : +... + cnx n +.

1 3 2 5 17 7y — jM— X -l------X -i--------- X + . . .3 15 315

••• y = tgx.

Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial — —- 2 x — - 3 y = 0dx dx

Solución

Tomemos a x0 = 0 como punto ordinario, por lo tanto la solución en serie de potencias

alrededor de x0 = 0 es: y = cnxn

n =0

d 2yde donde — = ^ * nc„x" 1 =>

dx L a dx2n= 1 n - 2

= n(n - l )q x " 1


n{n - l )cnx n~2 - 2 x ^ ncnxn~l - 3 ^ ^ q xn = 0

n = l n - 0

n(n " 0q ,xn 2 - 2 « q x” - 3^jT q x " = 0 poniendo las x en una misma potencia

n=2 n=l n= 0

n + 2)(n + l )cn+2x" - 2ncnxn 3 q x " = 0

n = 0 n=1 n=0

ahora poniendo los inicios iguales se tiene:

2c2 - 3c0 + ( « + 2 )(« + l )q 1+2 x" - 2ncn x" - 3q, x" = 0

«=i


efectuando la suma algebraica de la serie.

2c2 - 3c0 + f(n + 2)(n + l)c„+2 - (2n + 3)cn Jx” = 0

n=l

efectuando el método de los coeficientes indeterminados e igualando término a término.

2c2 - 3c0 = 0 y (n + 2)(n + l)c „+2 - (2n + 3)c„ = 0

3c0 (2n + 3)cc2 — — y c„+2 = -------------— , V n > 12 2 (n + 2)(n +1)

5c,para n = 1, c, = ----

3 2.3

l c 2 3.7 n = 2, c4 = — — ---------- cn4 3.4 2.3.4.5 °

, 9ci 5.9n = 3, cs = -----= ----------- c,5 4.5 2.3.4.5 1

11 3.7.11n = 4, c, = ----c4 = ------------cn

6 5.6 4 2.3.4.5.6 0

reemplazando en la solución se tiene, y = cnx " = c0 + q x + c2x + c3x ...

n=0

3 2 5q 3 3.7 4 5.9.C, <5 3.7.1 lc0 ¿■ — cnx + — L x + ---------X + --------- X + — X2 0 2.3 2.3.4.5 2.3.4.5 2.3.4.5.6

y = co (1+T-x +3 2 1 3.7 „ 4 , 3 /M 1 _ j(6+ „ )+ c ; ^ + J _ x3 + _ | 4 _ , 5+ ...)

2.3.4.5 2.3.4.5.6 2.3 2.3.4.5

1.3.7...(4n -1 ) 2bi 1.5.9....(4n +1)y = c0U + --------- -------- x “"\ + c, > ------ — — x

2n+\

n=0(2 » ) ! n—0

(2n + l ) !

Resolución p or Series de Potencias 413

d 2 y dyEjemplo.- Resolver la ecuación diferencial (x ‘ + 1)----- + x ------

dx2 dxde potencias de x.

Solución

Tomando como punto ordinario a x0 = 0 entonces la solución es

c o o o ~ OO

V n dy V 1 n-1 d -yy = > c„x => — = > nq,x entonces —— = > n ( n -¿ - i n dx n dx2 ^n = 0 «=1 71=2

ahora reemplazamos a la ecuación diferencial dada.

(.v2 + 1 )^^/ i(;í-1 )c í)x"~2 + x ^ ^ n c n x"-1 - ^ ^ c „ x " = 0

n=2 * n=l n=0

oo oo oo oo

+ x ^ / i ( m - 1 )c„ x " “ 2 + ^ jT m :„x " - ^ c „ .

«= 2 n=2 n=l «= 0

poniendo las x en una misma potencia.

oo oo oo oo

^ n ( w - l ) c „ x ” + (/¡ + l)(w + 2)q,+2x'' + ^ n c „ x " ~ ^ c ,

«=2 «= 0 ^=1 n=0

ahora poniendo los inicios iguales se tiene:

^ \ ( n - l ) c nx” + ^ C(n + l)(n + 2)cn+2 - q ¡ ] x " + n q , x '1 = 0

n - 2 n =0 n=l

-j(w -l)c „xn + 2 c2 - c 0 + ^ [ ( , + l ) (W + 2)cn+2 - c „ +n c„]x " =

/i=2 /I=l

2c2 - c 0 + 6.c3x + ^ T [/í(h-1)c,, + (n + l)(n + 2)cn+2 - c „ +ncn]x" =

n = 2

2c2 - c 0 + 6.c3x + [(n - 1)(?7 + 2)cn+2 + (w + l ) (n - l )e „ ]x " = 0

n = 2

y = 0, mediante series

l)cnx - 2 ,

" = 0

x n = 0

0


aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando término a término *|j

tiene:

c =1c 2 ~~ Cq = 0 2

6 c3 = 0 => c3 = 0

(/i + 1)(h + 2)c„+2 + (n + \ )(n -\ )cn = 0 n - 1 w .n+2 ~ -------- r c „ , V n > 2

h + 2

para n = 2, c4 = - — c2 = — — = —4 2 2.4 22.2!

n = 3, c5 = - c3 = 0

n = 4, c _ _ 3c4 _1-3c06 23.3!

4c,n = 5, c7 = — — = 0

7

n = 6> 5c6 _ J . 3 . 5 . c0

8 24.4!

6 cnn = 7, cq = ----- - = 0

9

„ 7cs 1.3.5.7.cnn = 8, c10 = ------- = ---------- -, etc.

10 2 .5 !

como y - y

n= 0

, , , x 2 1 4 1.3 6 1-3.5 8 1.3.5.7 ,0y = c , x + c n ( l + ----------- -— x H--------- x ------------x + — --------- a + . . . )

2 2 2! 2 3 ! 244! 2S5!

, , , X 2 1 4 1.3 6 1-3.5 8 .3.5.7 10yt (x ) = c0( 1 + - ------- X + —— A-6 ---- - A + - —----A +...)

2 2 2! 2 3! 244! 2S5!

Kcsolución por Series de Potencias 415

y,w = < ;0( i ^ + £ ( - i ) - ix i< i

n—2

y2(x) = c lx y = k lyl (x) + k2y2(x) la solución general.

Ejemplo.- Determinar el valor de r para que la ecuación diferencial

— - - 2 x — + o , = 0 ' tenga soluciones en series de potencias de x de ladx2 dx

forma y = cn x"

n=0

Solución

tomando a x0 = 0 . como punto ordinario entonces la solución es

oo oo ^ ^

C xn = » — = ' V nc„xn~l , entonces — = n ( n - l ) c nxn' 2 , ahora reemplazando" dx dx2 ¿ i

n=0 n=1 n=2

en la ecuación diferencial dada.

oo oo f•

n ( n - l) c nxn~2 - 2 x y » q x ' - 1 + r ^ ^ c nxn = 0

n=2 n=l w=0oo OO oo

y « ( B - l ) c / ' : 2ncnx" rr„x" = 0 poniendo las x en una misma potencia

«=2 «=1 «=0OO '

^ (n + l) ( n + 2 ) c n+2x n - 2ncnx" + r c „ x " = 0

n=0 «=1 «=0OO °°

[ ( « + 1)(« + 2 )c „ +2 + rcn ]xn 2 c „ x " = 0 ahora poniendo los inicios iguales se tiene.

n=o n=ioo oo

2 c2 + rc0 + [(« + l ) ( n + 2 ) c „ +2 + r c „ ] x " - 2 w c „ x " = 0

n=1 «=1

efectuando la suma algebraica de las series.

2c2 + rc0 + [ ( « + 1)(« + 2)c„+2 + (r - 2n)cn ]x" = 0

n=l

416

*Eduardo Espinoza Ramos ><<solución por Series de Potencias 417

aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando término a término sí

tiene:

2 c2 +rc0 = 0

(n + 1 ){n + 2 )cn+2 + (r - 2 n)cn = 0

i r - 2 para n = !, c-, = — -— c,3 2.3

c2 - 2 C°

r — 2n-n + 2 ( « + ! ) ( « + 2)

- c„ Vn > 1

r — 4 r ( r - 4 )n = 2, c, = -----------c2 =

r — 6 ( r - 2 ) ( r - 6 )n = 3, Cr = -------- c, = ——------------ c,

4.5 3 2.3.4.5 1

, r - 8 r (r — 4 )(r — 8)n = 4, c6 = - — — c4 = ------ —-------— cn

3.6 2.3.4.5.6

, r - 19 ( r - 2 ) ( r - 6 ) ( r - 10)n = 5, c7 = --------- Ct = ---------------------------- c ,, etc.7 6 _? 5 2.3.4.5.6 .7

como y = 2 ^ c nx n = c 0 + c lx + c2x 2 + c 3x3 + ... + cnx" +...

n = 0

r i r — 2 3 r (r — 4) 4 ( r - 2 ) ( r - 6 ) 5y = c0 + c ,x - — x c0 ----— CjX + - ; — - c0x + ------ —------ c¡x

r ( r - 4 ) ( r - 8 ) 6 r ( r - 2 ) ( r - 6 ) ( r - 10 ) 7-cñx ----------

6 ! 7!

r 2 , r (r ~ 4 ) 4 r ( r - 4 ) ( r - 8 ) 6y = cn( l -----x + ---------- x -------------------- x + ...)■

0 2! 4! 6 !

+ c, ( x ----------- X +1 3!

- 2 .3 , ( r - 2 ) ( r - 6 ). 5 rt - 6 ) < r - 10) 75! 7!

x ' +...)

y = c0( l + > ( - 1)r ( r - 2 ) ( r - 6 ) ( r - 1 0 ) . . . ( r - (4 n + 2)) 2«+i

n= 0(2/7+1) !

+cl ( x + Y f ( - iy

n=0

„+l r (r — 2 )(r — 6 )(r — 10)...(r — (4/i + 2)) 2„+1

(2n + l ) !

■ (x +1)>’ = 0 mediante series de

Los valores de r son para todo r ^ 0, 2n, donde n e z+

d 2 yEjemplo.- Resolver la ecuación diferencial — — ■

dx~potencia de x.

Sea y = V c 1Ix" la" solución en serie de potencia de x derivando se tiene

Solución

n=0

¿ y _ V • »-idx Z ^ IK,,X

n= 1

diferencial dada.

d2ydx2

r t ( « - l )c „x " 2 ahora reemplazando en la ecuación

©O OO

y ^ [ ( » - l ) c „ x " ~ 2 ~ (x + l ) ^ ^ cnxn = 0

n - 2 n - 0

y n (n - l )c „x "~ 2 - y cnxn+l - y cnx n = 0 ; poniendo las x en una misma potencia.

n-2 n = 0 n=0

(77 + l)(n + 2)c,1+2x" - c„_]X" - c„x" = 0

« —0 n=l n=0

Y ( (n + l)(n + 2)c„+2- c n ) x n c ^ x " = 0

/1=0 «-1

2c2 - c0 + V [ ( « + l)(n + 2)c„+2 - c„ - c„_j ]x" = 0

n=l

aplicando el método de los coeficientes indeterminado e igualando término a término so tiene:

W


(2 c2 - c 0 =0

1 (n + IX« + 2)c„+2 - cn - c„_, = 0

c, = ‘'O

2

Cn+2 ( « + ! ) ( « + 2), V « > 1

para simplificar en estos casos, primero podemos elegir c0 * 0 , q = 0 , y esto nos dará j

una solución; la otra solución proviene de elegir c0 = 0 , c, * 0 .

Para el primer caso se tiene:

r. + r„para n = l , c3

2.3 2.3

C2 +C\ n = 2, c = -

n = 3, cs

3.4 3.4 2.3.4 24

c3 + C2 _ / C° , c 0 ) 1 _ c ° e t c

4.5 2.3 2 4.5 30 ’

luego una solución en series es: y = c0 + c,x + c2x 2 + c3x 3+...+cnx"+ ...

• ! 0 2 6 24 30 0 2 6 24 30x2 x3 x4 c5

la otra solución es para c0 = 0 , c, ^ 0 .

3 4 ^c \ 3 c \ 4 C1 5 X X Xy, (x ) = c,x + — x + — x + ---- x +... = c, (x + ----- 1-----+ ------ 1-...)

2 1 6 12 120 1 6 12 120

La solución general de la ecuación diferencial es.

x3 X4 X5X2 X3 X 4 X 5 - „V = Cm (1 H--------- 1— ---1----------------------------------------------------------------------- i--I" •••) + Ci (x H-----------i---------------1---------------b .. . )

0 2 6 24 30 6 24 120

2 d yEjemplo.- Resolver la ecuación diferencial (x + x) — — + (x - 2) y = 0, mediante seriesdx '

de potencias de x - 1 .Solución

Los puntos orfanarios son V x * 0, x * -1, en particular es punto ordinario x0 = 1,

entonces la ecuación diferencial admite una solución en serie de potenciaOO OO

y = cn (x - 1)" de donde sus derivadas son ~ ncn (x - 1)"_1 y

n=0 n=1

d 2y

dx2^ n ( n - l ) c n( x - l ) " 2 , para que el procedimiento sea más sencillo haremos el

n —2siguiente cambio de variable.

u = x - 1 => x = u + 1 de dondedy _ dy du _ dy

dx du dx du

n = 1, c3 = — = ^ -3 2.3 6

d~y _d y^_d y^ du _ d y ' _ d ^ y d~y

dx2 dx du dx du du du du2

n = 2, c.C*2 Cj C,

3.4 3.4 12

n = 3, c, =C3 c 2 Cy 1

4.5 2.3.4.5 120, etc.

como:

dy ’V n „_i- = 2

n= 1

É1 Ldx2

77 («-l)C n( x - l ) 71—2

11=2

dy_

du

d 2y

du2

n—1

n (n -\ )c nun—2

n=2

Luego la solución en serie es: y = ^ cnxn = c0 + c¡ ■X ./ C-rX -f.-. + C 'X 1 + ...

n=o

d 2y

dx2al reemplazar en la ecuación diferencial x (x + l ) — —+ ( x - 2 )y = 0

420 Eduardo Espinoza Ranún

d 2y(u + 1)(m + 2) — —+ (m- l)y = 0, de dondedu~

(u + \){u + 2 )^ j^ n (n -\ )cnun 2 + ( « - 1 )^ T ncnun = 0

n= 2 n=0

n (n - l )c nu" + 3 ^ ^ n ( « - l ) c ntt'!_1 + 2 ^ ^ n (n -\ )c nu"~2 + ( u - l )^ ^ n c nun = 0

n=2 az=2 n=2 n=0

poniendo en una misma potencia a u.

OO oo oo oo oo

n ( n - l ) c n« " + ^ ^ 3 « ( n + l ) c n+1w'' + 2(n + l)(n + 2)cn+2un + ^ ^ c „ m ” +i - ^ ^ c nu” = 0

n-2 n=1 n=0 n=0 n=0

^ n ( r i -\ )c nun + ^ T 3n(n + l )cn+lu” + ^ jT (2 (n + ! ) ( « + 2)c„+2 -c „ )m " + ^ T c„_jMn = 0

n=2 n=l n—0 n=l

' * ^ n (n - l ) c rtun + ^ T (3n(n + l ) c „ +1 - c „ _ , ) h " + ^ T (2 (n + l) (n + 2 )c „+2 - c n)un = 0

n=2 n=l n=0

ahora poniendo los inicios iguales se tiene.

4c2 - c 0 + (12c3 + 6c2 - c , + c0 )u + ( « ( « - 1) - l ) c „ + c n_j +

n=2

3 n(n + l)c„+1 + 2 (n + l)(n + l)cn+2 )m" = 0

aplicando el método de los coeficientes indeterminados e igualando término a término se

tiene:

4c2 - c0

1 2 c 3 + 6 c 2 - C j + c 0 = 0

3«(n + l)c „+1 + 2(n + l)(n + 2)cn+2 + (n(n - 1 ) - l)c „ + cn_[ = 0

de donde c, = — y c, ■= — (c, - — cn)2 4 3 1 2 1 2 0

Ki solución por Series de Potencias 421

Cn+21

2(n+ ! ) (« +2 )(-c„_, - ( n 2 - n - 1 )c„ -3n(n + l)cn+1) , V n > 2

1 7 5 ,para n = 2, c4 = ------ (— cn — c,)F 4 2.3.4 2 0 2 1

1 , 107 10 ,n = 3, Ce = ------ ( ------- cn - — c-|)

5 2.4.5 24 0 3 1

1 . 263 421 .n = 4, cfi = ------ ( --------c0 ------- c , )

6 2.5.6 24 0 48 1

como la solución en serie será. y(u) = y ' cnu" = c0 + c xu +c2u + c 3m3 + c 4m4 +...

n=0

ahora reemplazando los valores de c„ .

y(u ) = c0 + c iu + -^ u + — (c l - - c 0) u + — ( - c 0 - - c l )u +

1 107 10 , 5 1 , 263 421 , 6 ,+ — ( -------cn + — c,)u + — (------- cn ------- c,)u +...

40 24 0 3 1 60 24 0 48 1

M 5 3 7 4 107 <5 . . M3 5 4 wy (í l ) = Cn(lH-------------U H------U ---------U + .. . ) + C ,(«H ------------- II H--------f-...)J 4 24 48 960 1 12 48 12

como u = x - 1 entonces al sustituir se tiene:

y (x ) = c0[l + ^-------- ( x - 1)3 + — ( x - 1)4 - — ( x - 1)5 +...]0 4 24 48 960

+Ci[(jr_ l ) + _ A U _ i )4 +1 12 48 12

d\Ejemplo.- Hallar la solución de la ecuación diferencial (1 - jc) — + y = l + x , que

dxsatisface la condición inicial y (0) = 0 .


Solución

aplicando la serie de Taylor y (x ) = solución en serie ahora derivaniim

n—0

— = y 1 ncnxn~x , reemplazando en la ecuación diferencial dada se tiene.dx

n=\

n=1 n=0

(1 - a ) > nc„xn + > c„xn =\ + x => > ncX nc» x"_1 ~ X ,,c" x " +sn=l «=1 n=0

n c „ x " + > C „ a " = 1 + .V

poniendo las x en una misma potencia. Oi + l)c„+1x'' ~ y ncnxn + ^ c „ x " = 1 + a

n=0 n=1 n=0

oo oo^ [ ( n + l)c„+1 + cn]A'" - ^ „ x " = l + x; ahora poniendo los inicios iguales.n=0 n=1

c, + c0 + (2c2 + q - q ) a + 2 ^ [ ( « + l)c„+i + Cn - ncn \x" = 1 + an=2

c, +c0 =;

2c2 = 1 c, = -

(n +1 )cn+] + c n - ncn = 0, V n > 2

q =1 - c 0

2.« -1

c«+l — ~7ck n + 1

para n = 2, c3c2 1

T ” 23

, 2 1n = 3, c, = — Cr, = —

4 4 3 3.4

3 1n = 4, cs = — cA = ----

5 5 4 4.5

aplicando la condición inicial y (0) = 0 se tiene: c0 = 0 1 le donde, por lo tanto, si

la solución en serie de potencia es

Ki solución por Series de Potencias 423

II

y (x ) = c0 + c¡x + c2x + c 3a +...+cnu" +... es decir

V2 i v4 v5y (x ) = x + -----1- — a H------------ 1------------ 1- . . .

2 2.3 3.4 4.5

y (x ) = a + y

v-n+l

n=ln(n + 1)

Ejemplo.- Halla la solución en serie de potencia de la ecuación diferencial

7 d2 y dy(x ~ - 1) — ~ + 3x — + A)> = 0 que satisface las condiciones iniciales

dx“ dx

y(0)= 4, y '(0 ) = 6

Solución

Tomando a x0 = 0 como punto ordinario, entonces la solución en serie de potencia es00 00 _ 00

dy _ V 1____ K-1 d y _ V „1.-2

n—1■ cnx" , derivando se tiene = y nc„x’' 1 y — r = n(n - l)q,x'

n=0 n=l

ahora reemplazamos en la ecuación dada.

( a 2 - 1 )^T n (n - X)cnxn~2 + 3 x ^ ^ ncnxn~l + x ^ jT cnxn - 0

n=2 n=l n=0

y n (n - l)c„a" - y n (n - l)q ,x ” 2 + ^ ^ 3 n c nx n c„x"+1 = 0

n=2 n=2 «=1 n=0


OO OO OO 00

(n + l)(n + 2)cn+2a" + x ^ ’incnx" + ^ c lH x" =0

n=2 n=0 n=l n=l

poniendo los inicios iguales se tiene:

y n(n - l)c„a" - 2c2 - (n + ! ) ( « + 2)cn+2x" + ^ (3«c„ + c„_, )x" = 0

n=2 n=1 n=l

-2q, + (3q + c0 - 6c3)x + [ ( n 2 + 2n)q, + - (n + l)(n + 2)q,_2]x ” = 0

n-2


.................................... [ - 2c 2 = O ° 2 °aplicando termino a termino se tiene: < => |

[3 c ,+ c 0 - 6c3 = 0 c3 = — (c0 + 3c,)6

(n2 + 2 «)cn + cn_, - (n + 1) ( « + 2)cn+2 = 0 para V n > 2

, , , c„ , +n (n + 2)c„de donde cn+1 = — ---------------- V n > 2

(n + IX« + 2)

c, + 8c, c,para n = 2, c, = —------- = —

3.4 3.4

c, + 15c, 3 ]n = 3, c, = —------- - = - c , = — (c0 + 3c,)

4.5 4 3 2.4 0 1

n = 4, c,_ c 3 +24c4 c0 +15c.

5-6 5.62

de las condiciones iniciales se tiene v(0) = c0 =4

v' (0) = c, = 6 entonces se tiene: c0 = 6 , c, = 6 , c2 = 0

11 1 11 47c, = — , c, = —, c, = — , c = 3 4 2 5 4 6 90

como la solución es: y (x ) = c0 + c ,x + c2x 2 + c 3x 3 + c4x 4 + c ,x 5.

r ¿ 11 3 .V4 11 5 47 6y ( x ) = 4 + 6 x + — x + ------- H — x~ h------x +.

3 2 4 90

Observación.- El método de solución de las ecuaciones diferenciales por medio de seriesl

de potencia, se puede aplicar cuando los coeficientes no son polinomios. 1

Ejemplo.- Hallar la solución de la ecuación diferencial por medio de series de potencia.

v " + (cos x)y = 0

Solución


x2 x4 x6Se conoce que eos x = 1 — — i------- ----- h..., como xc, - 0 es un punto ordinario entonces

2! 4! 6!

la solución en serie de potencia es j = cnxnn=0

de donde sus derivados son:dy_

dxnc„x..n- 1

rt=1

d y .dx2 n=2

ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada

„2 4 6

y "+ (eosx)y = «(>! —l)c „x " 2 + + = 0n=2 n=0

7 3= ( 2 c2 + 6c3x + 1 2 c4x " + 2 0c5x + ...) +

2 4 6+ (1 - — + —— — +...)(cn + c ,x + c2x2 + c3x3 + ...)

2! 4! 6!

= (c0 + 2 c2 ) + ( c , + 6 c3 ) x + ( - - ^ - + c2 + 1 2 c4 ) x ¿ + ( 2 0 c5 + c3 - - y ) x 3 + ... = 0

por el método de los coeficientes indeterminados

c0 + 2 c2 = 0

c, + 6 c3 = 0

c-, = —

c, =-

-2- + C, +12c4 = 0 => 2 2 4

— + c3 + 20c, = 02 3 5

Ca = -12

30

2 3 4 5como y = c0 + cxx + c2x + c3x + c4x + c5x .


d 2 yEjemplo.- Hallar la solución de la ecuación diferencial — — + y = sen x en serie de

dx

potencias que satisface las condiciones iniciales y (0) = y' (0) = 0 .

Solución

como x0 = 0 es un punto ordinario, entonces suponemos que y = ^ jT c nx" es lan=o

solución de la ecuación diferencial dada, de donde sus derivados son — = ncnx" ‘ y

«=i

dy

dxH — 1

d y

dx= ’>y ' n (n -\ )c nxn 2 , además se conoce senx —

n=2 n=0

\fí 2n+$-1 r * r

( 2 n + l ) l '

reemplazando en le ecuación diferencial se tiene:

ahora

2 ^ n(n — l)c„ x +

n-2 n=0 n=0

( - l ) " x 2n+I

(2n + 1)!

a las series del primer miembro ponemos en la misma potencia.

oo oo oo

y ( « + ! ) ( « + 2 ) c n+ 2x " + , y , C» * " = y y

n=o 11=o n=0

( - 1)” x2n+l

(2n + 1)!

£ [ ( „ + 1) ( „ + 2 )cb+2 + c J x " = ] T ^ -

n—0 n=0

( - 1)" x2n+1

(2n + l)\

La serie del primer miembro lo expresaremos como la suma de una serie de potencias

impares de x en una serie de potencias pares de x, puesto que la serie de potencias d e l

segundo miembro contiene solo potencias impares de x.

^ [ ( 2 « + 2)(2« + 3)c2„+3 + c 2n+l]x2n+' + ^ [ (2 / I + 1)(2« + Í )c 2„+4 + c2„ ]x 2" = - x2" ^

n=0 n=0 íi-0¿(2n+\y.

por el método de los coeficientes indeterminados se tiene:


c2 +3 = --------- !--------- 1- 1 **------ c, 1, V n > 0- (2n + 2)(2n + 3) (2n + l ) l “n+lJ

íormula de recurrencia.

c - 2n2n( 2n + ${2n + 2 )

1 Cnpara n = 0, c, = — [1- c , ] , c, = — —

3 2.3 1 2 1.2

(-1 f e .o4.5 3! 3! 1.2.3.4

n = 2, C ;= - L l l - a ] , C t=6.7 5! 5! 6 1.2.3.4.5.6

como la solución y = ^ c Bx" = c0 +c,x + c2x2 + c 3x3 +...

n=0

y (x ) = c0 + c, X + c0x2 + [1 — c, ]x3 + c0 X4

+ 2. + £ l]x5 + Í ^ l CoXo + + .

4.5 3! 3! 6 ! 0 6.7 5! 5!

y (x ) = c0(l + - x 2 + i - ^ - x 4 + ^ - x 6 + ...) 0 2! 4! 6 !

-‘3 x5 x7 x3 2x5 3x7 ,+ c , (x ----- + - ---------+ ...) + [------------ + ----- + ...]

3! 5! 7! 3! 5! 7!

v(x ) = cn eos x + c, sen x + > -----------x2"+1, V x e R(2;í + 1)!(2/1 + 1)!

n-\

como y (0) = y' (0) = 0 => c0 = 0 y c , = 0 .\ y (x ) = ^( 2« + l ) !

n=1

w


Ejemplo: Hallar la solución de la ecuación diferencial + -~ 2 y - ex en serie dedx dx

potencia que satisface las condiciones iniciales y(0 ) = / (O) = 0 .

Solución

como x0 = 0 es un punto ordinario, entonces suponemos que y = ^ ^ c nxn es la solución

n=0

de la ecuación diferencial dada, de donde sus derivadas son:

dy , d~ y '*C~' x "— = y nc x " , — — = > n (n - l )c „ x n además se tiene: ex = > — , luego al dx ¿x2 ¿ - t A - ín \

n- 1 rt-2

reemplazar en la ecuación diferencial dada se tiene:

£ n (n - l ) c nxn~2 + x £ n c „ x " _1 - 2

n= 2 n=l n= 0

ahora ponemos en potencias de x iguales.

n=0

(n + l)(n + 2)c +7x ‘

n=0 n=1 n=0 n=0

£ [ ( » + IX » + 2)cn+2 - 2cn ].v" + £ « C„x " = £

n=0 n=l n=0

poniendo los inicios iguales se tiene.

2c2 - 2c0 + [ ( « + 1)(« + 2)cn+2 - 2cn + ncn ]x n = 1 + ^

n- 1 «=1

aplicando el método de los coeficientes indeterminados.

2c2 - 2c0 =1

(n + IX « + 2)cn+2 - 2c„ + «c„ = — , V n > 1n!

O, = - + Cn

n=0

(;? + l)(/; + 2) 77!

aplicando las condiciones iniciales en la solución y = = c 0 + c,x + c2x2 +.

n-0

y(0 ) = y '(0 ) = 0 = c0 = c, entonces c2 = —

1 r, i 1 1para n = l , c, = — [l + c,J = — = — 3 2.3 1 2.3 3!

13.4 2 2.3.4 4!

i 1 r1 i 1 r1 * i nn = 3, Ce = — [— c3] = — [--] = 05 4.5 6 3 4.5 6 6

1n = 4, c6 = ----

6 5.6

1n = 5, c~j —

6.7

24

1120

- — 2c a

- 5 c.

6!

7!

como la solución es y — c0 + cvx + c 2x~ + c3x 3...x 2 x3 x4 x6 x1

y _ ---------1-----------1----------------------- 1----------- (- .

2 3! 4! 6! 7!

| •). 1.1 SOLUCIÓN ENTORNO A PUNTOS SINGULARES.-

Se ha estudiado la solución en series de potencias de la ecuación diferencial

d~ y dyan(x ) -------ha,(x) — + a0(x )\ = 0 en tomo a un punto ordinario x = x0 sin mayores

dx2 dx

dificultades , sin embargo cuando x = x0 es un punto singular no siempre es posible

encontrar una solución de la forma y = c„ ( x - x 0 )" ; entonces nuestro problema sera

71=0

de encontrar una solución en series de potencias de la forma y = cn (x - x „ ) '" ' ,

donde r es una constante que se debe determinar.

n=0

430 Eduardo Espinoza Ramoh

9.1.2 PUNTOS SINGULARES REGULARES E IRREGULARES.-

Un punto singular x = x0 de la ecuación diferencial ^ -^ -+ P (x ) — + Q (x )y = 0 sedx2 dx

denomina punto singular regular si ( x —x0) P (x ) y ( x - x 0) 2(2(x) son ambas analítica» f

en x0 , en otros términos ( x - x 0)P (x ) y ( x - x 0) 2 Q (x ) tienen una serie de potencia

en (x - x0) con radio de convergencia R > 0.

Un punto singular que no es regular se denomina punto irregular de la ecuación.

Observación: Cuando en la ecuación diferencial a1 (x )^—%- + al ( x ) — +ao (x )y = 0 los 1dx1 dx

coeficientes son polinomios sin factores comunes, la definición anterior es equivalente a: I

Sea a2(x 0) = 0, obtenga P(x) y Q (x) simplificando ü l í í l y a° (A1 respectivamente*a2 (x ) a2 (x )

hasta que estas sean fracciones racional irreducible. Si el factor x - x 0 es a lo más d e l

primer grado en el denominador de P(x) y a lo más de segundo grado en el denominador®

de Q (x) entonces x = x0 es un punto singular regular.

Ejemplo: En la ecuación diferencial (x 2 - l ) 2 ^ - ^ + ( x - l ) — + y = 0, los puntosBdx' dx

singulares son x = -1, x = 1, al dividir a la ecuación diferencial entre I

,(x2 —l )2 = (x + l ) 2( x - l ) 2 obtiene P (x ) = ---------—-----— y Q (x ) = — —— !-------- I I( x - i ) ( x + i ) ' ( x - i ) 2( x + i ) 2| | ;

analizando a P (x) y Q (x) en cada punto singular para que x = -1 sea un punto singular I j

regular, el factor x + 1 puede aparecer a lo sumo elevado a la primera potencia en el I

denominador de P(x) y a lo sumo elevado a la segunda potencia en el denominador de I

Q (x ) observamos que P(x) y Q (x) no cumple la primera condición por lo tanto I

concluimos que x = -1 es un punto singular irregular, para que x = 1 sea un punto

singular regular, el factor x 1 puede aparecer a lo sumo elevado a la numera potencia en

el denominador de P(x) y a lo más elevado a la segunda potencia en e! denominador da

Q (x) por lo tanto analizando P(x) y Q (x) ambas verifican la condición, Luego x = 1 es un

punto singular regular.

Kt solución por Seríes de Potencias 431

Ejemplo: A la ecuación diferencial x2(x + l )2 - + (x 2 - l ) - ^ + 2y = 0 dividimosdx2 dx

i i , . d 2y x -1 dy 2 „entre x (x + l ) ‘ , es decir: — r + —;--- T + -

dx2 x2(x + l) dx x2(x + l )2

Luego x = 0 es un punto singular irregular, puesto que (x - 0) aparece elevado a la

segunda potencia en el denominador de P (x) pero x = -1 si es un punto singular regular.

Ejemplo: A la ecuación diferencial ( l - x 2) ^ - ^ - 2 x — + 30y = 0 dividimos entredx dx

, , . d 2y 2x dy 30 A1 es decir: — --------------------------1-----------------y = 0

dx (1 - *)0 + * ) dx (1 - x )(l + x)

Los puntos x = 1, x = -1 son puntos singulares regulares.

d 2 v dyEjemplo: En la ecuación diferencial x — —- 2 x — + 5y = 0 x = 0 es un punto

dx2 dx

singular irregular puesto que Q (x ) = —- .x

I *> 2. MÉTODO DE FROBENIUS.-

La solución de las ecuaciones diferenciales a2( x ) — — + al (x )-^ - + a0(x )y - 0 en serie dedx2 dx

potencia entorno a un punto singular regular, se obtiene mediante el siguiente teorema

debido a “Ferdinand George Frobenius” .

Teorema: Si x = x 0 es un punto singular regular la ecuación diferencial

a, (x ) + a, (x ) — + a0 (x )y = 0 existe al menos una solución en seriesdx2 dx

oo OO

de potencias de la forma y = ( x - x 0) r ^ T c „ ( x - x 0)" = ^ ^ c „ ( x - x 0) ,,+r donde el

>1=0 n= 0

número r es una constante a determinar.

La serie convergerá al menos en algún intervalo 0 <| x - x0 |< R .


d 2 dEcuación Indicia!: A la ecuación diferencial a2 (x )— %- + aí (x ) — + a0(x )y = O

dx2 dx

escribiremos en la forma ^ - 7 + P (x ) — + Q (x )y - 0 ...(1 )dx' dx

Si x — x0 es un punto singular de la ecuación diferencial (1), entonces quiere decir que x|

p(x) y x 'Q (x ) son analíticas en x0 = 0 y en consecuencia admite desarrollo en series de

potencias, a la ecuación cuadrática en r dado por r ( r - l ) + P0r + q0 =0 se denomina

“Ecuación Indicial” de la ecuación diferencial (1) donde P0 = lim xP (x ) yx—>0

<70 = lim x -Q (x ) a los valores r, y r2 de la ecuación indicial se le llama raíces indicíales Ix->0 1

ó exponentes de la singularidad.

Teorema: Demostrar que la ecuación indicial de la ecuación diferencial

d 2 y dy— — + P ( x ) —— + Q (x )y = 0 alrededor del punto singular regulardx~ dx

x( l =0 es r ( r - \ ) + PQr + q0 = 0 .

Demostración

como Xq — 0 es un punto singular regular entonces por el teorema de Frobenius existe

una solución en serie de potencias de la forma y = xr cnxn + r ahora

n=o n=02.

n+r-2calculamos las derivadas — = " V (n + r)cnxn+r 1 ; = (n + r)(n + r - l ) x ‘dx dx2

’ 1=0 71=0

por otra parte, como x0 = 0 es un punto singular regular, entonces x p(x) y x 2Q (x ) son

analítica x0 = 0 en consecuencia admiten desarrollo en series de potencias es decir:

xp(x ) = y ' Pnx" , r e ( x ) = „ x " , donde ambas series convergpn en un71=0 71=0

intervalo | x | < R, centrado en x0 = 0 , ahora reemplazando en la c cuación diferencial: ]

l<csolución por Series de Potencias 433

É l l + p M ± + Q {x)y = 0 dx2 dx

^ (n + r) (n + r - \)cnx”+r“2 + Pnxn (n + r )cnxn+r 1 + qnxn cnxn+r = 0, , = 0 ' 71=0 71=0 n= 0 71=0

oo oo OO °o °°

( « + r) (n + r - l ) c nx"+r~2 + P„xn ^ (n + r )cnx" + — qnxn cnxn =0n=Q n=0 n=0 n= 0 n= 0

(n + r) (n + r - l)c„xn+r- 2 + xr- 2 ^ [ £ ( r + k)cn Pn_k ]x" + xr"2 ck qn_k }xn = 0,,= 0 n=0 n= 0 rt=0 k=0

00 ^^ i(n + r) (n + r - l)c„ + ( k + r )ck Pn_k + ckqn_k ]x"+r ‘ = 0„ = 0 k=0 k=0

por el método de los coeficientes indeterminados se tiene:

II( n + r) (n + r - \ ) c n + y \ ( k + r )Pn_k + q n_k]ck = 0, V n > 0

k=0

pero n = 0, se tiene; r ( r - l ) c 0 + ( rP 0 + q 0) c0 =0

como c0 * 0, entonces r ( r -1 ) + rP0 + q0 = 0.

Que es la ecuación indicial de la ecuación diferencial.

d d\Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial x — ~ + 3 - j - - y = 0 aplicando el método de

dxdx

Frobenius.Solución

Sea x0 = 0 un punto singular regular de la ecuación diferencial entonces por Frobenius la

solución en series de potencias es y = ^ ^ c „ x ',1"r , cuyas derivadas son

«

434 Eduardo Espinoza Ramos Resolución por Series de Potencias


(n + r)(n + r -1 )cnxn+r~2 + 3^jT (n + r)cnxn+r~' - cn

n= 0 n= 0 n=

( n + r)(n + r - \ ) c nx n+r' ' + ^ 3 (n + r )cnxn+r~l - ^ c „ x n+r = 0

n=0 ii—O n=0

x r [ ^ [ ( / ! + r ) ( « + r - l ) c „ + 3 ( n + r ) c n U " “ 1 - ^ c n jrn ] =

Jl=()

x r [^ T [O + r ) « n + r -1 ) + 3)c„ ]^"_1 - cn

xn+r = 0

x" -11 = 0W = l

, r ( r + 2 )c0+ ^ + r ^ n + r + 2 ^r n ~ Cn~ 1 K ' ] = 0

n=1

, V n > 1¡ r ( r + 2)c0 = 0

\(n + r ) (n + r + 2 )cn -c„_, = 0 ’

Luego r(r + 2) = 0 => ^ = 0 , r2 = - 2.

para r, = 0 , cn = ‘-n-In(n + 2)

V n > 1

i 0para n - 1, c, = —' 1.3

n = 2 , c, = Í L = - f o = j f íL" 2.4 1.2.3.4 2 ! 4 !

n = 3, c3

n = 4, Ca =

3.5 3!5 !

c3 _4.6 4 ! 6 !

(a)

2cn= ' -, V n = 1,2,3.

n !(« + 2) !

por lo tanto una solución en serie es: K, = ^ —2 c0xn

- c n2xn

!(« + 2)! "¿mmin\(n + 2)!n=0 n=0

cuando r2 = -2 , la ecuación (a ) se transforma en

(n - 2)n.cn - c n_! = 0 V n > 1 =n-l

" ( n - 2)n

para n = 1 yn = 2,

1 C2 n = 3, c-, = —3 1.3

- c , - c 0 =0

c2 -c , = 0

c0 - 0

C[ = 0

n = 4, c4 - l3 l 2 _2.4 1.2.3.4 2 ! 4 !

c4 _ 2c2

3.5 3 !5 !

_ c L 2c2

3.5 3 !5 !

2 c2

” ( « - 2 ) ! « ! ’

Luego la otra solución es: y = ^

n = 3,4,5.

2c2 ^ - 2

n=2(/? — 2 ) ! /í !

435

para |x| < °°

436 Eduardo Espinoza Kamos

9.2.1 CASOS DE RAICES IND1CIALES.-

Para aplicar el método de Frobenius se distinguen tres casos de acuerdo con la naturale/u

de las raíces indicíales; para simplificar, supongamos que r¡ y r2 son las solucione»

reales de la ecuación indicial, donde r, es mayor que r2. La solución en series tic

potencias de la ecuación diferencial entorno a un punto singular regular lo trataremos en

el siguiente teorema.

Teorema.- Sea xQ = 0 un punto singular regular de la ecuación diferencial de segundo

d 2 y dy 2orden— —+ P (x ) — + Q (x )v = 0 , supongamos que x p(x) y x 'Q ( x ) son

dx2 dx

analíticas en el intervalo | x | < R y sean r, y r2 las raíces reales de la ecuación indicial

r ( r — \) + P0r + q0 = 0 , donde > r2, entonces la ecuación diferencial dada tiene dos

soluciones linealmente independientes Yl (x ) y Y2 ( x ) , validez para |x|< R donde la

primera solución es Y, (x ) = x x cnxn = ^ c n/ +í , donde c0 = 1 y la segundan=0 n=0

solución Y2 ( x ) depende de r, - r2 es decir;

a) Si r, — r2 no es un entero positivo, entonces: Y-, (x ) = x 2 ' ^ ' bnx" =

n=0 n=0

donde b0 = 1.

b) Si rx - r 2 es un entero positivo, entonces:. Y2 (x ) = x ri y ' bn x" +cY{ (x)Ln \ x |,n=o

donde b0 =1.

c) Si r, = r2 , entonces la segunda solución es: Y2 (x ) = Y. (x)Lnx + bnxn ,n= 0

donde b0 = 0.

Nota: En la parte b) del teorema se tiene si r, - r2 es un entero la segunda solución se/* £ - P ( x )d x

puede obtener en la forma Y? (x ) = Y, (x ) I — -------dx siempre que Yx (x ) sea unaJ tfWd 2 y dv

solución conocida de la ecuación diferencial — — + P (x ) — + 2<x) v = 0.dx- dr

Resolución por Series de Potencias437

d 2 y dEjemplo: Resolver la ecuación diferencial 2x— —+(jc + 1) — + y = 0. aplicando el

dx2 dx

método de Frobenius.Solución

como x0 = 0 es un punto singular regular entonces existe solución en series de potencia

de la forma, y = cnxn+r , donde r es constante por calcularse.

n=0

Calculando las derivadas se tiene:

— = Y (n + r )cnx"'rr~' y — ^ = ^ ' (n + r) (n + r - l ) c nxn+r~2 reemplazando en la dx ¿—i ‘ dx2

n=0 * n=0

ecuación diferencial dada.° ° oo OO

2 x ^ ( n + r)(n + r - l ) c nx"+r~2 +(x + l ) '^ ( n + r)cnxn+r~i + ' ^ c nxn+r = 0n-0 n=0 n=0

+ r)(n + r - l ) c nxn+r~] + (n + r)cnxn+r + ( « + r )cnxn+r~' + cnx

n=0 n=0 n=0 n=0

(n + r ) {2n + 2 r - 1 )cnxn+r~l + \ ( n + r + 1 )cnxn+r = 0— nn=0 n=0

poniendo las x en potencias iguales se tiene:

oo <x>

(n + r ) (2n + 2 r - l )cn xn+r~' + Y ( n + r )cn_lxn+r 1 = 0 ; poniendo los inicios iguales.

n=0 n=t

r ( 2 r - l ) c 0x r~' (n + r ) (2n + 2r - \ ) c nx"+r~l + ( n + r)c„_txn+r~' = 0

n=1 n=1

r ( 2r — I)*''-1 + xr~l [ ( « + r ) (2n + 2 r - l)cn + (n + r)cn_, ]xn) = 0

n=1

ahora aplicando el método de los coeficientes indeterminados

438 Eduardo Espinoza Ramili ’ Hf solución por Series de Potencias

r (2 r - l ) = 0

(n + r ) (2n + 2r - ì ) c n + (n + r)cn_x = 0

r(2r - 1 ) = O entonces ri = ~ > r2 = 0 .

para n > 1. para n = 1, cl = — —

ci _ co3 1.3

439

c„ =2n + 2r - \

la fórmula de recurrencia. n = 3, c3 = — =1.3.5

para r, = - se tiene c„ = — — , n = 1,2,3,4...,2 2«

n = 4, c4 = £ l = __£ o _ " 7 1.3.5.7

para n = l , c, = — — 2.1

n = 2, c, = — fL = _Í2_

n = 3, c, =

n = 4, c.

2.2 222 !

- _ i l . _ co2-3 23.3!

2.4 24.4!

(-1 ) c0c„ = --------- - , n = 1,2,3...2".n !

y, (X) = £ c„x"+' = X2 (c0 + £ c nx" ) = x l c 0( 1 + £ í d l l x" ) n=0 «=1 „=1 2 ” '

X ( - l ) " „+1— — X 2 es la primera solución, para r2 - 0, se tiene la segunda2 n !rt=0

solución. Si-l2 « - l

para n = 1,2,3,4...

( - l )V or —------ --------------paran — 1,2,3,..." 1.3.5...(2n-l)

o° oo

Y2(x ) = V cnxn+r = cnxn puesto que r = r2 = 0

n=0 >1=0

Y2 (x ) = c0 + ^ c „ x " = c 0 i ,3 .5 , . , ;L -T ) x" para | x | < 1n=l n=l

Luego la solución general es: Y (x) = c, F, (x) + c2 Y2 (x)

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial x + 3 — - y = 0dx2 dx

Solución

Del ejemplo, el método de Frobenius proporciona solamente una solución de esta■) O

Nk 2 x x xecuación dado por (x> = > ------------- x" = 1 + — + — + T7T + ~-

n !(«-i!(n + 2)! 3 24 360

de la observación se tiene una segunda solución. Y2 (x ) = Y{ (x ) J,-íP (x )d x

F,2 (x )dx

440 Eduardo Espinoza Ramos Resolución de Series de Potencias

Y ,(x ) - ü m J-

-dx

- dx = Fj (x ) J- dx

Y\2(x ) J 3 X x2 x 3 21 x [1 + - + — + -----+ ...]

3 24 360

= Y\ (x ) Jdx

3 r, 2 1 2 X' ,X [ 1 + - X + ---X + — + ...

3 36 30

2 1 19

2 x- 19: Y, (x ) -— (1------------------------------x + -----x +...)dx

l i o 3 4 270

3x2 4x 270 2x 3x 4 270

1 1 2 19: - K 1(x )ln x + ( x ) ( ----- - + — - — - X + ...)4 2x 3x 270

Luego la solución general en el intervalo 0 < x < es

Y (x ) - c. Y, (x ) + c, [ - Y, (x ) ln x + Y, (x )(----— + — - — x +....)]11 - 4 1 1 2x 3x 270

d~ v dy jEjemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial x — — + ----- 4 y = 0 \

dx2 dxSolución

como x0 = 0 es un punto singular regular, entonces la solución en series es ]

dyy = / c nx n ' , de donde sus derivadas es

dx5 (n + r ) c , X +^ y

« = 0 n = 0

— ■— = y (n + r )(n + r -\ ) c nxn+r 2 dx~ X-

n-0

ahora reemplazamos en la ecuación diferencial dada

xY , (n + r)(n + r - 1 )cn x

n—0

n+r-2 + £ ( « + r> c„.vn- 1 - 4 ^ c „ .n=0 n-0

xl,+r = 0

L (n + r )(n + r *1 )cnx ‘

n=o «=o

1+ £ ( n + r)c„xn+,- 1- £ 4 "r =0

^ ( n + r ) 2cnx n+r~] - ^ 4 c nxn+r = 0 =* £ ( H + r)2c„x"+'- 1 - J / c , ,—~n »7 = 1/z=0 77=0 n=0

r2c(1J•0< - 1+ £ [ ( « + r )2c„-4c„_1]x"+r- 1=0

«=1

r 2c,,xr 1+ xr-1£ [ ( n + r )2c „ -4 c „_ 1]x'‘ = 0

«=1

ahora aplicando el método de los coeficientes indeterminados. r ? = 0 => r,

4c„( « + r ) ' c n - 4 c „ _ , - 0 ‘=> c„

. 4c0para n = 1, c, - ——

n-l(n + r)~

como r, = r2 = 0 entonces

n = 2, c4cj _ 42c0 _ 4-c0

22 (1.2)2 (2!)2

4c2 43 c0n = 3, c3 = —a— ,

3 (3!)

4" Ca

" («O 2

X 4”x" | | .------ para | x | < °°

(n!)n=u

para obtener la segunda solución linealmente independiente hacemos c0 — 1

-J P(x)dxcomo se conoce Y? (x ) = Yi (x )

n (X)-dx


- I f dxY2(x ) = Yl ( x )\ ^ ——-dx = Yl (x )\ - ----------

J *1 J x[l + 4x + 4x2 + — x3+...]29

Y, (x ) I ------------------— .............. .. = Y, (x ) f —(1 — 8x+40x2 x3 +...)dx) f ---------------djL~ Y --------- = w f - <J v-ri a v_i_ o/i v2 ,-3 i J xx[l + 4x + 24x~ + — x +...]

9 9 1

= Y1( x ) \ ( - - 8 + 4 x - ^ p - x 1 +...)dx = Yt (x )\ ln x -% x + 2 x 2 - ^ ^ x * +...]

•j 1472 *K (x ) = Y, (x)In x + y, (x )(-8x + 2x - - — - x 3 +...)

27

Luego la solución general de la ecuación diferencial es:

-> 1472 5Y (x ) = C, Y. (x) ln x + Y. (x ) ( - 8x + 2x2 _ ± Z i± x 3 +...)

27

Ejemplo: Encontrar la solución general de la ecuación diferencial 1

'j d 2 y dy ■2 x ' — —- x — + (l + x)y = 0 alrededor del primer punto singular regular«

dx2 dx

x0 = 0 .

Solución

como x0 = 0 es un punto singular regular, entonces la primera solución diferencial dadaj

es: y,(x) = V c,¡x"+r , calculando sus derivadas F 'j(x ) = ( « + r)c„x"4r 1 y

n=0 n=0

i/í -r r ) \ n t r — i ) u n " n+r 2

«=0

ahora reemplazando en la ecuación diferencial dado.

Y, (x) = } (n + r)(n + r - 1 )cnxn

oo oo oo

2x2 \ (n + r)(n + r - l ) c nxn+r- 2 - x^ T (n + r)ónxn+r~l +(l+ ^c„x"4r =0n=0 n=0 n-0

Resolución de Series de Potencias 443

Y 2 (n + r) (n + r - 1 )c„x',+f - (n + r )cnxn+r + c„x''+r + c„;/í=0 n= 0 n=0 n=0

oo oo

^ {2(n + r) (n + r - \ ) c n ~ (n + r )cn + cn]xn+r + ^ c „ x f‘+r+l = 0n=0 «= 0

(« + r-l)(2w + 2r-l)c„x"+r + ^ ^ c n_1x"1"' = 0n=0 n=l

(r — l) (2 r — l)c0xr + ^ (n + r —1)(2/; + 2 r - l)cnx'1+r + ^ ^ c (1.v''+r = 0n=l n=\

( r - l) (2 r - l)c0xr + [(n + r - l ) (2n + 2 r - l)c„ + c„_, ]xn+r = 0

.H+r+1

n=l


| (r - l ) ( 2 r - l ) c 0 = 0 , c0 / 0

[(n + r - l ) ( 2 n + 2 r -l )c „ +c„_! = 0entonces

r. = 1, r-, = -

(n + r-l)(2n + 2 r-l )

r. = 1 se tiene c„ = - - Ln- 1n(2/i +1)

para n > 1

n = 2 , Cr, ----------

n = 3, c3 = ■

n = 4, c. - -

C1 co2.5 1 .2 .3.5

C2 . co3.7 1.2.32.5.7

c3 _ co

4,9 1.2.32.4.5.7.9

r444 Eduardo Espinoza Ramos

n — 5, Ct¡5-11 1.2.3 .4.52.7.9

como Y,(x) = ' £ c nxn+r = x ^ c nx" = x ^ c nx"

Y, (x ) = x(\ + (-1 )"

« = 1 1.2.32.4.52.6.72.8.9....xn)

(—1)" xny, (x) = x(\ + > - — ) para c0 = 1 * 0 .

¿ -J n \(2n +1) 0

ahora calculamos la segunda solución.

como r¡ - r 2 — — no es un entero entonces de la parte a) del teorema se tiene

Y2 (x ) - x 2 y bnxn donde b0 = 1.n=0

b„ = - «-i _ n-i

( « - 1 ) 2 « n(2w- 1> 2

, V n > 1

para n = l , h = - ~

n = 2, b r = - X - b°2.3 1.2.3

i i 2 0n = 3, ¿>, = ----- i - = --------y—3-5 1.2.32.í

n = 4, b ^ - ^ - - b°

4.7 1.2.32.4.5.7

lie solución de Series de Potencias 445

bAn = 5, f t ,= — 4- = -

b

5.9 1.2.32.4.52.7.9

(- i )" *b _ ( - i r ¿o

” 1.2.32.4.52.6.72.8... «!(2 n —1)

K, (x) = a-2 [/?0 + V ( l ) para b0 = 1 *0n=\

i V 1 (-1 ) X ,1'=W ^ 2ll + S ^ 2 ^ >

/I*=l

Luego la solución general es dado por: Y(,x) = c,K, (x ) + c2y2(x )

Ejemplo: Aplicando Frobenius, hallar la solución general de la ecuación diferencial

d y dy x — f + — + v = 0

dx2 dxSolución

como x0 - 0 es un punto singular regular, entonces la primera solución es:

y( (x ) = y c „ x " +r , calculando las derivadas -y— = {n + r ) c n x n + ' - x y

n = 0 n = 0

— - = ( « + r)(/i + r - l)c Jt"+r 2 reemplazando en la ecuación diferencial dada sedx2 ¿ - f

n=0oo oo °°

y (n + r)(n + r - l)c„.x',+''~2 + (n + r)cnx"+r~l + c„n=0 1=0 n=0

£ (n + rXn + r - D c .jc "^1 + ] £ ( « + '-)q1* '!+'" 1 + c„x"+r = 0

tiene: x y (n + r)(n

n=0

c.,xn+r =0

n=0

OO OO

poniendo las x en igual potencias se tiene: ( « + r )‘ cnx"*r_1 + £ ^ c n_xxn+r 1 =0n=0 n=l


poniendo los inicios iguales.

o o

r2CoXr_1 + ^ ( n + r ) 2cnx n+r- 1 + ^ \ „ . lXn+r~l =0n=1 „=1

r -c oXr 1 + xr 1 ^ [(« + r )2 cn + c„_, ]x" = 0n=1


r , = r , = 0í r 2c0 = 0

l ( « + r ) 2 c „ + r „ _ , rrO(n + r)-

para r = rx = r 2 = 0, c„' = — Vn > l .n~

para n = 1, c, = — -1 i2

n = 2,

n = 3,

c 2 — 7 - ~T22 2

c, c, c, = — =- =

32 22.32

42 22.32.42

(-D "c0c„ = -.... para c0 = 1(n i )

YAx) =1„=o (” !)

2

ahora calculamos la segunda solución Y 2 (x) pero coirn r. - r2 - 0 por la parte c) del teorema se tiene

I


Y2 ( x ) = ^ bn xnrr + Yx (x ) ln x => Y2 (x ) = bnx" + 7, (x ) ln x , donde r = 0.

n=0 n=0

'V”"1 (—1) XYn (x) = > b x '1 + ( > — — — ) ln x ; calculando las derivadas se tiene:

L m " (n i )2n= 0 n=0 V

K,(x) = > «b x,! + (

X n 2 \ ^ n ( n - l ) ( - i r y ," \ 1 V«ín -1 )b„x ‘ J-) ln X + 2 ,

« (n - lX ~ l)"x "-2 x]_ _ , V » ( —l)n 2 | Y » ( - l ) " /

----- (ni) (nl)~ (nl)~n=2 ' ' «=1 «=!'.

ahora reemplazamos en la ecuación diferencial

'ST' » i n ( n - \ ) ( - l ) n xn~] . n ( - l )nx" 1X " {n - l)b”x + (X — } ln x + 2 .

^ n ( - l ) " x n V , »-i n (-\ )nx ny y ■ .+ > Hfc„x" + ( > -----------;-----)ln x¿ i (n i )2 (n i )n=1 «=1 n=1

n-1

2_

(„1)2 Z -r n ¿ u ( « ! )n=0 n=0 n-0

-) ln x = 0

agrupando las series se tiene:

00 00

( ^ n ( n - \ ) b nxn- 1 + ^ n b nx n- 1 ^ b nxnn

n= 1 n—0

y » ( „ - » ( - ■ )■ v - ' . + y

t ? < " «2 t í «” !>2 é í <” » '

n (- l )h x"_1 V S . » ( - l )nx V 1 ( - l ) " x "

+<^ ’’ t r < "!>2 ~


448 Eduardo Espinoza Ramos Resolución de Series de Potencias 449

n (n - l ) b n+1x" + ( n + l)¿>n+lx" bnxn) +

n- 1 n=O n-O

+ 1) ( - 1) "+1A'" (/I + 1)( —1 )” +* x" + y ( - lY 'x '

((n + 1)!)2 + 2 * ((n + 1)!)2 + {n \ÿn=O n-U

t (y (n + l ) ( - l ) n+'x " | y n ( - l ) nx" | y (-1 )'1.

+ 2 - i ((n + 1)!)2 + (n!)2 („!)•

-)ln j

í > -H=0

n (n + 1 )/?„+, x" + ^ ((n + l)Z?,!+l + ¿>n)x " ) +n= 0 n=O

+ ( y (n + l ) ( - l ) ,,+lx'1 | y ( (n + 1)(

+ ( ( « +1 ) !)2 ((n + 1n = l n = 0

__________D ”+1 | ( - i ) "

^ ' ((n + 1)!)2 («O2n=0

-)x'! ) In x +

+ ( y (í í ü k z I ^ + í z ^ i , , . + y = o■¿■J ( ( « + 1>!) ( » ! ) - A * ( n !)2n=O n= 1

poniendo los inicios iguales tenemos

-1)”+1 | (-1 )"(6, + b0 + Y ((n + 1)2 bn+l + bn )x “ ) + Y ( - - - - y

¿ - f ^ ((n + 1.n=1 n=1

/ i---------------r— + ——-r)x".ln-v^ ((n + 1)!)2 (n!)2n= 1

+ y ( ( « + i x - i r i + (H +D (= i ) l )jc, =0

^ ((n + 1)!)2 (n !)2

v 2 / , n2 + 2n , „ V (n - l ) ( - l ) " „ _-i '-o '• / , [ ( » + !) bn+\ +bn + -— ;■ 2 ( _ l) 1* + / , 7 ‘t t - * lnA~ °

(n + l)(n!)~ ' (n + l)(n!)n=l n=1


b¡ +b0 = 0 => b¡ = —bQ

b¡ +

=> b{ = -b {

,n2 , , n2 + 2n(n + 1) bn+l + bn + -----— —

°\ - ~ ° o

n2 +2n ( 1)B _ Q para Í>0 =1 => = -1

(n + l)(n !)2

fc„+i =-1 n + 2n

t IA, + 2(n + 1) (n + l)(n!)

(-1 )" ] V n > 1

1[ b - ü l

1 _ 31 _ 15" 8316 3 24. 16 216 24 _ 1728

para n = 1, ¿?2 = — - — ] = —F 2 22 2 8

l r. 8 . 1 r5 2 31n = 2, = — [i>2+ — ] = — [ - + - ] = --------9 - 12 9 8 3 216

n = 3, b4 = —

K (x ) = (1 -x ■t — x 2 - - ü - x 3 + - x 4 + ...) + K (x )lnx 2 8 216 1728 1

Luego la solución general es Y (x ) = c lYl (x ) + c 2Y2(x )

Ejemplo: Aplicando Frobenius, hallar la solución general de la ecuación diferencial.

x2 ^ Z + ( x 2 _ 2 x )^ + 2 y = 0dx¿ dx

Solución

como x0 = 0 es un punto singular regular, la primera solución es F, (x ) = ^ cn

n-0

= (n + r)(n + r -1 )c„dy_

dxcuyas derivadas son: — = (n + r )cnxn+r 1 y

n=0

£ ydx2

,n+r- 2

n= 0

reemplazando en la ecuación diferencial dada.

oo oo OO

x2^ ( n + 0(n + , - l )c „ x — 2 + (x 2 -2 x )^ T (n + r)c„x"+r_1 + 2 ^ T cnx,,+ '' =0

n= 0 n= 0 n= 0

^ (n + r)(n + r - l)c„x"+'' + (n + r)c„x”+r+l - 2(n + r)cnxn+r + 2 ^ c„n=0 «=0 n=0 /í=

OO OO

^ ^ [ (n + r)(n + r - 3 ) + 2 ]cnx ,l+r + '^ ^ (n + r )cn x "* r+i = 0

xn+r =0

«=o

450 Eduardo Espinoza Ramon Resolución de Series de Potencias 451

xn+r = 0


oo

y , [ ( « + r ) (n + r - 3) + 2 ]cn xn+r + (n + r - .:n=0 n=1


oo OO

\ r ( r -3 ) + 2]c0xr + T [(n + r ) (n + r - 3 ) + 2]cnxn+r + (n + r - l)cn_,xn+r =0n—1 /i=l

[r (r -3 ) + 2]c0xr + ( [ ( « + r) (n + r - 3) + 2 ]cn + (n + r - l)cn_, )x n =0n=i

[ r 2 - 3r + 2]c0x r + >r [(n + r - 1)(« + r - 2 )cn + ( n + r - l)cn_,]x " = 0n=i


i r “ — 3r + 2 = 0 => rx = 2, r2 = 1

[ ( « + r-l)0? + r-2 )c„ + (n + r -l )c „ _1 =0

«-in + r - 2

n - l

V n > 1

Para n = 1, c¡ = -

n = 2, c2 — ■2 *1.2

n = 4, c4 3 _ L0

4 1.2.3.4

( - 1 )% _ ( - ! ) %

" 1.2.3.4...« ni

como n+z = c 0x2 + 2 ^ cnxn+1

n=0 n -1

(-1 ) *~n+2

n !n=0

para c(o V ' ' (-1 ) x

o = 1 * 0 - y ,(-D = * : ¿ — ¿ r =n=0

( - » V — X2 e~*:

ahora calculamos la segunda solución y 2(x )

pero como r¡ - r2 = 2 -1 = 1 es un entero, entonces la solución es

y2 ( * ) = 2 ^ "x " ri + c° yi ln x ’ donde bo = i

n=0

para calcular bn y c0 utilizaremos un método alternativo en lugar de usar el método de

derivar y reemplazar en la ecuación diferencial.

El método alternativo consiste en lo siguiente:

SeaK,ú) = — [ ( r - r 2)í(r1x )]L =r , donde los coeficientes de K (r ,x )= \ ^ cnx " u ser)r ' 2

mantiene en función de r, de acuerdo a la fórmula de recurrencia. cn

n=0

C,n-lr + n - 2

■ V n i

452Eduardo Espineta Ranún

n = 2, c2 = - C-L = S d Lr r ( r ~ 1)

n = 3, €*3 = — 2 _ C—0 c-0r + 1 r(r —l ) ( r + 1)

n = 4, c4 = - 3 ( - l ) 4c0r + 2 r ( r - l ) ( r + l ) ( r + 2)

Y(rxx ) - c0x + c tx ' + c 2x r+~ + c 3x r+3 + c 4x r+4+...

Y(r,x) - c0x r +^— —c0x r+1 + ———— c0xr+2 + -— -——------- c0xr+:!1 0 r —ì 0 r ( r - 1) 0 r ( r - lX r + l)

( r - r2 )y (r lX) = ( r - l)y (r,x ) = c0[(r - l)xr + (-1 )1 x r+l + xr+2 + U L f — +...r r(/- + l)

— ( r - l ) ( r ix ) = c0[x r + ( r - \ ) x r In * + (-1 )1 x r+1 l n x - ~ x r+2

+ — xr+2 lnx + - 2r + 1 x r+3 - - X - x r+3 lnx + .( r 2 + r )2 r 2 + r

y2W = 3 7 [ (r -1 )>'(,l ^ r = l = c 0[ x - x 2 ln x -x 3+ x 3 lnx + —x4 - — lnx + ...j4 2

Y2( x ) - c0(x — x + — x4 + ...) + c0( - x ‘ + x 3 — — + ...)lnx

T 2Y2 (x ) = c0x( 1 - x 2 + + —) + c0x2( - l + x - - ^ - + ...)ln.

para c0 = 1 * 0 se tiene.

3 2 oK2(x ) = x ( l - x 2 + — x3 + . . . ) -x 2( l - x + - — ...) = x ( l - x 2 + — X3 +...) —ii (-v) In .

4 91 a 1

H( solución de Series de Potencias 453

Luego la solución general de la ecuación diferencial es: Y (x ) = c {Yx(x ) + c 2Y2( x ) .

2 d 2y dy 3Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial (x - x )— —+ 3------ 2y = x + — ,

dxdx x

alrededor del punto singular regular x0 = 0 .

Solución

En primer lugar hallaremos la solución en series de potencias de la ecuación diferencial

homogénea Yg (x ) y después hallaremos una solución particular Yp (x ) de la ecuación

diferencial no homogénea.

Entonces calcularemos la solución en series de potencia de la ecuación diferencial

dv x ^(x2 - x ) — -+ 3 ~ — 2y=0 la solución Io en series de potencias es Y{( x ) = \ cnxn+r donde

d r dxn=0

sus derivadas son:

^ = Y (n + r )cnxn+r 1 y É-JL,= \ ' ( « + r) (n + r - l ) c nxn+r 2dx ¿—i dx~

«=0 11=0


(x2 - x )^T (n + r)(n + r -1 )c„xn+r~2 + 3^jT (n + r )cn xn+r~l - 2^T cnxn+r = 0n=0 w=0 n=0

(n + r)(n + r - l ) c nxn+r ~ ' ^ ( n + r ) (n + r - \ ) c nxn+r 1 + 3(n + r)c„x'n=0 n=0 n=0

- 2n=0

OO oo

í(n + r)(n + r - 1) - 2]c„x',+r + [3(n + r ) - ( n + r ) (n + r - l)]c„ x"+r“1 = 0

n=0 n=0

oo oo

^ [ (/ ? + r)(n + r - l ) - 2 ] c nx"+r - -4 )]c„x"+''“1 =0

2cnxn+r = 0«=o

/i=0 11=0

454 Eduardo Espinazo Ramos

oo oo

[(n + r — l)(n + r - 2) - 2]c„_] x n+r~l - ( r - 4 ) c 0xr_1 ~y ^ (w + r)(w + r - 4)c„ xH+r" 1 = (n=1 n-1

r (r -4 )c 0xr_l + jT (n + r)(n + r -3 )c n_1x"+r~1 - '^ j ^ ( n + r ) ( n + r - 4 ) c l lx n+r~l =0n=\ n-\

r ( r — 4)c0x '” 1 + [ (« + r)(n + r - 3)cn_¡ - (n + r)(n + r - 4 )cn]x n+r~1 = 0n-\


j r ( r - 4) = 0 => r2 = 0, r¡ = 4

) ( « + r)(n + r - 3)cb_j - (n + r)(/i + r - 4)cn = 0

= („ + f -3)c,_, V n 2 1 w + r - 4

para r = rx = 4 , cn = ^ -^ - c n_x, V n > 1n

para n = 1 , C1 — —c ~ 2 c- J c 0 - 0

n = 2 , ^2 ~ 2 C' ~ ^ c°

n = 3, C34

= ~ c2 = 4c0

Yt(x )- i ' .

n= 0

xn+r --= x ' J ^ c „ x ”

n=0

" c„x" = x4 (« + l)c0x" para c0

Y¡ (x) = x4 ^ (n + l)x '!

Se conoce que x" = —í— ==> ^ nxn 1 = --—— => (n + l)x” =1 — x X-sí ( l - x ) 2 ^(1 - x rn=0 «=1 V n=0 v

2


v e ■> 4 1 * 4>1 (* ) = •»•(1 - x ) 2 (1 x) 2

ahora calculamos la segunda solución Y2 (x) como rx - r2 = 4 entero, entonces la

segunda solución es: Y2 (x ) = ~ - [ ( r - 0 ) y ( r x ) ] ^ r=Q, donde Y(rx ) = ^ c „ x ”+r de lan=o

d r

c + r — 3fórmula de recurrencia se tiene: c„ - -—-— — c „ , V n > 1n a n in + r - 4

1 r _ 2 para n = l , c¡ = ------ c 0r — 3

_ o _ r ~ l _ r_1n - 2’ C2 - 0 C1 ~ o cor - 2 r -3

. r rn = 3, c3 = ----- - c 2 = ---- - c 0r — 1 r -3

r + 1 r + 1n = 4, c4 = ------- c3 = ---- — Cq

r r - 3

r + 2 r + 2n = 5, c5 = --- - c 4 = — - c 0

r+1 r -3

y(rx) = x r (c0 + C[X + C2X2 + c3x? + ...)

r r - 2 r - 1 2 r 3 r + 1 4 r + 2 5 .= * (t'o + — ~ cox + ---- ~ cox + — + — r cox + — z cox +••■)r -3 r -3 r -3 r -3 r -3

w , , r r ( r - 2) r+1 r ( r - l ) r+2 r2 r+3 r(r + l) r+4 r(r + 2 ) 5r } (rx) = crl(rx H---------- x H---------- x + ------ x + --------- x H-------- — x +...)

0 r -3 r -3 r -3 r -3 r -3

Y2 (x ) = - [ rY (rx )}\ = c0(l + x + ~ ) para c0 = 1d r \r - u 3 3

2x x2Y2 ( x ) = 1 + —- + — ; Luego la solución general de la ecuación homogénea.

■456 Eduardo Espinoza Ramos Resolución de Series de Potencias 457

x4 , , . 2x x 2Y2 ( x ) = c¡ — - — - + c2 (1 + — + — ) ; ahora calculamos una solución particular

(1 ~ x Y 3 3

7 d~ y dy 3Y (x ) de la ecuación ( x ~ - x )— —+ 3 — - 2 y - x + —

dx dx x~

La solución particular Yp (x) se puede calcular por cualquiera de los métodos anteriores,

variación de parámetros ó reducción de orden, en particular lo calcularemos por series, i

para esto aplicaremos el método de superposición.

oo

Sea Yp\(x) = ^ ' cnxn+r una solución de la ecuación diferencial

n=o

7 d 2y dy ( * “ - x ) + 3-------2y = x calculando sus derivadas se tiene:

dx2 dx

y d ~Yp' Wdx

= ( n + r)(n + r - l ) c nx ‘n+r- 2dYp{ (x) _

dxn=0 n=0

reemplazando en la ecuación diferencial (Ver la parte de la primera solución)

- r ( r - 4 ) c 0x r~] + [(« + r)(n + r - 4 ) c n ~ (n + r ) (n + r - 3 ) c n_l ]xn+r~i = x

n=1

La igualdad se cumple sí y sólo sí. r - l = l y n + r - l = l, de donde r = 2, n = 0

se observa que n no admite más valores entonces:

1 r x2—r(r — 4)c0 = 1 => 4c0 = 1 => c0 = — como Yp (x) = c0x r = —

en la misma forma calculamos Yp (x ) = ' 'ÿ ' cnx n' r

n=0

d 2 d ^la solución {x2 - x ) — - + 3 - - 2 y = — ; haciendo todos los cálculos anterior se tiene:

dx2 dx x 2

- r ( r — 4)c0xr 1 [(w + r)(n + r - 4 ) c n - ( n + r)(n + r -3 )c n_, ]x"+r 1 = 3x 2

n=i

la igualdad se cumple sí y sólo sí r - 1 = -2 y n + r - 1 = -2 de donde r = -1 y n = 0

además - r ( r - 4 ) c 0 =3 para r = -l =* -5c0 = 3 => c0 = - —

r 3x-1Yp2(x ) = c0x = -

La solución particular es Yp(x) = ------x2 3x_14 5

La solución general es Y (x) = Y (x) + Y p (x)

c,x

(i - x Y

T 7/ X /i ¿X X xY (x ) = — — r + c2(l + — + — )2x x2. x2 3x 13 3 4 5

9.3. DOS ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES.-

‘>.3.1 EC UACIO N DE BESSEL Y FUNCIO N DE BESSEL DEL PRIM ER TIPO.-

La ecuación diferencial K2 + x — + (x 2 - p 2)y = 0dx2 dx

se llama ecuación de Bessel de

orden P con P > 0, la ecuación de Bessel es una ecuación diferencial de segundo orden.

La ecuación de Bessel surgió en el estudio de la radiación de energía y aparecen

frecuentemente en estudios avanzados de matemática aplicada, física e ingeniería y

particularmente en aquellos en que el modelo matemático se expresa naturalmente en

coordenadas cilindricas; ahora buscaremos las soluciones en serie de potencias alrededor

del punto x0 = 0 el cual es un punto singular regular; sea Ypx (x) = ^ ' cnx n+r lan=0

primera solución, calculando las derivadas se tiene:


dy idx

„ + r _ ,

y ¿x2= (n + r) (n + r - 1 )cr x ‘n+r-2

n=0 «= 0


o° oo °°

x 2 ( n + r)(n + r -1 )cnxn+r~2 + x ^T (« + r)c„x"+''“1 + (x2 - p~ =0

n= 0 «= 0 n=0

' ^ ^ (n + r) (n + r - l ) c nxn+r + ^ ( « + r)c„x"+r + ^ c „ x " +r'r2 P~cnx "+r =0n -0 n~0 n=0 n=0

oo oo

^ ( ( n + r )2- P2)V w + ^ , r 2 =0

;i=0 n-0

oo

poniendo las x en una misma potencia. yj > [ ( n + r ) 2 - p 2 ]cnxn+r + < V 2xn+r = 0 ,

poniendo los inicios iguales.n= 0 n=2

( r

oo

2 - p 2)c0x r + ((1 + r )2 - p 2 )c,xr+1 + y j ( n + r )2 - p 2]c „/ tr + ^ c«-n=2 «=2

,x"+r =0

( r 2 - p 2)c0xr + [(1 + r )2 — /?2 ]c, xr+1 + [ ( ( « + r )2 - p 2 )c„ +c„_2]x "+r = 0

aplicando el método de los coeficientes indeterminados

( r 2 - p 2 )c0 - 0

((1 + r)2 ~ p 2 )ci =0

[(n + r )2 - p 2 ]cn + c n_2 =0

r, = p, r2 = - p

( r 2 + 2 r + l — p 2 )c l =0

de donde: Ln - 2(n + r )2 - p 2

V n > 2

para r, = p => (/>2+2/7 + l-/7 2)c, =0 => (2p + l)c, = 0 => c, = 0


como c, = -— — V n > 27í(2/? + 7j)

Cnpara n = 2, c2 = -

2(2 p + 2 )

n = 3, c, = ------- —----- = 03 3(2p + 3)

n = 4, c4 = -4 (2p+ 4) 2.4(2p + 2)(2p + 4)

n = 5, c,5(2 p + 5)

= 0

n = 6, cfi = -6(2p + 6 ) 2.4.6(2p + 2)(2p + 4)(2p + 6)

n = 7, c7 = -l ( 2 p + l )

■ - 0

n = 8, o» = —8(2/7 + 8) 2.4.6.8(2 p + 2)(2 p + 4)(2 p + 6)(2 p + 8)

n = 9, Cg = —9(2p+ 9)

= 0

Luego la solución y, (x) queda expresado así:

y ,(x ):î > ' " I

( - l ) nc0x2"+p

n=0 ;í=0 22”./2 \{p + l)(p + 2)(p + 3)...(p + n)

donde c0 es una constante arbitraria. En particular tomamos c0 = ---------------2rrxp + i)

anterior se transforma en la siguiente solución particular.

la solución

460 Eduardo Espinoza Ramo*

Y ( x ) = Y_________^ _________x2n+p22n+p.n $p + $(p + 2 ) (p + 3)...(p + n )T (p + 1)

En forma simplificada queda en la forma: Y, (x ) = > ---------- ;——-------— (—)"H 1 ^ r ( « + l).r (B + p + l) 2

_______ ( 1)_________/^_\2n+p

U n + \n=o

La cual se denomina “Función de Bessel de orden P de primer tipo, y denotaremos por

( -D ” {x )2n+PT(n + l).r(n + p +1) 2

J ( x ) , es decir: J (x ) = Y ---------- — -------------(—)p p Z ^ r (n + n .n n + p + i ) 2

n= 0

Observación: Como casos particulares

Si r = p = 0 se tiene J0 (x ) = 7n= 0

( - 1 ) " , X 2n

(n !)2 2

C2 ) Si r = m = entero no negativo, nos queda: Jm (x ) = Y ' ----- '—--W ¿ - i n\...(n + m)\ 2

n= 0

ahora calculamos la segunda solución Y2 (x ) , en este caso debemos tener cuidado en la

solución Y 2 ( x ) , para dar la solución general de la ecuación de BESSEL.

I o caso. Si rx - r 2 - 2 p de un entero y P > 0 entonces estamos en la parte a) dcll

teorema anterior por lo tanto una segunda solución se obtiene sustituyendo P poli

(-1 )"’ - p yA> ^ T ( n + \ ) T ( n - p + \ ) '2 '

-P es decir: J_ n (x) = Y --- ------------------------n=0

Luego la solución general de la ecuación de BESSEL de orden P es:

Y (x ) = cxJ p (x ) + c 2J _p (x )

2° caso. Si rx = r2 = p - 0 se observa que J ,,(x) y J_p (x ) son iguales.

3o caso. Cuando r, ~ r 2 = 2p es un entero y P es un entero. La segunda solución esl

eos P n J ( x ) - J _ (x )J~,{x) = J^ ( x ) , donde Y (x ) = — — — ------------ ----- , y la soluuion generaU

' sen Pn


eos P n J A x ) - J _ A x )Nota: A la función Y„ (x ) = ---------- - ------------- ----- se denomina funciones de Bessel

p sen Pnde segundo tipo.

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación

x2 ^— - + x — + (x 2 - —)y = 0 e n 0 < x < ° ° . dx2 dx 4 '

Solución

-> 1 1 1Identificamos que P~ = — =» P = — , P = -----

H 4 2 2

Luego la solución general de la ecuación diferencial es: Y (x ) = c, J , (x ) + c2J , (x )2 ~2

2 d 2 y dy 2Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación x — — + x -----\-(x -9 )y = 0

dx2 dxSolución

identificamos que P 2 - 9 de donde P - 3; la solución general es:

Y ( x ) = c í J 3 ( x ) + c 2Y 3 ( x )

-> d 2 y dyEjemplo: Resolver la ecuación diferencial 4x — — + 4 x ----h (x - 4)y = 0

dx2 dxSolución

Lo transformamos a una ecuación de Bessel mediante la sustitución u=^[x => x-u~

mediante la regla de la cadena se tiene:

462 Eduardo Espinoza Hanim


4u du 4u du 2u du

w2 ^ - ^ - - u — + 2u — + (u 2 - 4 ) y = 0 fdu2 du du

~ d ~ y dy ? u — — + u — + (u - 4 )y - 0 es la ecuación de Bessel de orden 2.

du2 du

Ahora identificando P 2 - 4 de donde P = 2

Luego la solución general de la ecuación es: Y (u ) = c ¡J 2(u) + c 2J 2(« )

Y ( x ) - c l J 2(y[x) + c1J 2(-Jx)

9.3.2 ECUACIO N PARAM ETRICA DE BESSEL.-

La ecuación diferencial de la forma: i d " y dy . - ¡ t i 2 \ nx- — ¡r + .T-~- + (A ~ jr - p )y = 0

dx2 dx

se denomina “Ecuación paramétrica de Bessel” y la solución general es dado por:

Y(x ) = c ]J p (Xx) + c 2yp (Xx)

n d 2y dy 2 Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial. x~ — +- + x — + (9x~ -4 )y = 0

dx2 dxSolución

Identificamos que X2 = 9 y / ,2 = 4 d e donde X - 3, P = 2.

Luego la solución general es: Y(x ) = c^J 20 x ) + c 2Y2{?>x)

2 d 2 v dy 2 1Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial x " ------- + x — + (4x — )y = 0

dx ' dxSolución

Hrsolución por Series de Potencias463

Identificamos que X2 = 4 y P 2 = — de donde X = 2, P = \ .9 3

Luego la solución general es: F(jc) - c ¡ J ¡ (2x) + c2Y, (2x)

|'i,3.3 ECUACIÓN DE LEGENDRE.-

A la ecuación diferencial de la forma: (1 - x2) - 2 x ^ + n(n +1) y = 0dx2 dx

se denomina Ecuación de Legendre de orden n.

[»>.3.3.1 SOLUCIÓN DE LA EC UACIÓ N DE LEGENDRE.-

Como x0 - 0 , es un punto ordinario de la ecuación de Legendre

( l - ; c 2 ) — ^ - - 2 .x ' — + n(n + l ) y = 0 dx dx _____

entonces

derivadas son

s admite una solución en serie de potencia Y{x) - ' ^ ^ c kxk , de donde susk=0

dy- I = X ' - a "

l )ckx ‘k- 2

dx " dx~


00 00 c”(1 - x2)Y , k ( k - l)ctxk~2 -2x*y* kckxk~' +n(n + l ) } ckxk =0

; . _ r \k-2 k=\ k= 0

00 00 00 00

Y k(k - l)ckxk~2 ~ ^ k ( k - 1 )ckxk 2kckXk + ^ j n(n + \)ckxk = 0

k=2 k=2 *=1 k=0

poniendo las x en un mismo exponente.



£ [ ( * + 1X* + 2)c*+2 + n(n + l)ck Ja* * (* -1 )ckxk - 2*q. x* =0k=0 k=2 *=1

2c2 + n(n + l)c0 + (6c3 + n(n + l)c, )x - 2c¡x +

+ [(* + 1)(/: + 2)ck+2 +n(n + \)ck ]xk - *(* - l)c¿.xk - 2kckxk = 0<fc=2 k=2 k=2

2c2 + n(n + l)c0 + (6c, + [n(n + l) - 2]c1)x +

+ ((* + IX* + 2 )q +2 +[n(n + l) -k (k + l)]c¿ )xk = 0k= 2

ahora aplicamos el método de los coeficientes indeterminados.

2c2 + « (n + l)c0 = 0

6c3 + ( « ( « +1) - 2)c, = 0

(k + IX* + 2)ck+2 + ( « ( « +1) - * (* + \)ck = 0

. . . . n(n + 1) n(n + 1)de donde se tiene que: c2 = - -— - — c0 = - -———- c0,

n (« + l ) - 2 (n + 2 )(n -l )c3 = ------------------c, = ---------------------c,

6 1 3! 1

_ n(n + l) — *(* + 1) _ ( n - *)(/i + * + l)Ck+2 ~ ( * + lX * + 2) °k ~ (* + 1)(* + 2) °k

( . - t x . + n - D

(* + IX* + 2) kes la fórmula de recurrencia.

Para Je = 2. c< = - (-'l-~? )('1 + 3) < - 2X» + » » ( » + 3)4 3.4 t 4! 0

Rt’solución por Series de Potencias 465

( n - 3)(n + 4) (n - 3)(n -1 )(n + 2) ( « + 4)k = 3, Ce = ---------------------o-, = ---------— ----------------------- c,

4.5 5!

( « - 4)(/? + 5) (ai - 4)(w - 2)n(n + 3)(« + 5)£ _ Cq5.6 4 6 ! 0

(/¡ -5 X «+6) (n - 5)(n -3 X » - IX« + 2X« + 4Xn+6)---------------- c _ c,6.7 5 7!

etc., así, por lo menos para | x | < 1 se obtiene dos soluciones en series de potencia

linealmente independiente.

/j(m + 1) 7 (n-2)/j(n + lX« + 3) 4 (n -4X «-2 )n (/i + 3Xn + 5) 6^ iW = co ------— ■x' co f ------- —— — * co ------------------------^ -----------------? co + -

(n - lX « + 2) 3 (n -3 )(n -l)(n +2 )(n +4 ) 5Y2 (x) = c, x -------------------x q + -----------------------------------* c,

3! 5!

(n -5 X n -3 X rt-lX « + 2Xn + 4Xn + 6) 7 ---------------------------------------------------------x c, +...

7! •

,7 , , ,, « ( « + 1) 2 (n -2 )« (n + l)(n + 3) 4 ( « - 4X« - 2)n(n + 3)(« + 5) 6K,(x) = cn[ l ------------ a + -----------------------------x ------------------------------------------ x +...

1 0 2! 4! 6 !

(n -lX n + 2) 3 (/i-3X/i-1X« + 2X« + 4) 5 Y2( x ) = cl [ x ----------—-------x + -----------------—---------------- -v -

(/ i -5 X « -3 )(w - l ) ( « + 2X« + 4 )(« + 6 ) 7---------------------------------------------------------x + . . . 1

7!

Luego la solución general de la ecuación de Legendre es: Y (x ) = (x ) + a2Y2( x )

observemos que si n es un entero par, la primera serie termina, y la segunda K2 (a ) es una

serie infinita en forma similar cuando n es un entero impar la serie Y2 (x ) termina con

x " , es decir, que se obtiene una solución polinomial de grado n de la ecuación de

Legendre.

k - 4,

k = 5.

466 Eduardo Espinoza Ramos Resolución por Series de Potencias

En la solución de la ecuación de Legendre se acostumbra a elegir valores específicos pan

c0 y c, dependiendo si n es entero positivo par ó impar respectivamente, para n = 0,

elegimos c0 = l , y para n = 2, 4, 6 , c0 = (-1 )"/2 h l ^ - 1 — 11 ( en tanto que pañi2.4.6...«

— 13 nn = 1 elegimos c l =1, y paran =3,5,7.... c¡ = (-1 ) 2 -------------- -— por ejemplo para

n = 2, ( l - x ~ ) ,dx

d 2y _ dy2x — + 6y = 0dx

2.4.6.. . ( n - l )

n = 3, (1 -x 2) —- ^ -2 x — + \2y - 0dx" dx

El polinomio general de Legendre se expresa en forma general por:

n = 4 se tiene. |n/2]

p,M ) 9 " ¿— t

( - I f (2n - 2k)\ xn-2k

Yy (x ) = (-1)2 — (1 - 10x2 + — x4) = - - — X2 + — X4 = - (35x4 - 30x2 + 3) 2.4 3 8 8 8 8

2” k \ (n -k )\ (n - 2k)\k=o

donde I ” ] es el mayor entero menor ó igual a —2 z

9.3.3.2 POLINOM IOS DE LEGENDRE.-

A las soluciones polinomiales especificas de grado n de la ecuación de Legendre se 1

denominan “Polinomios de Legendre” y denotaremos P„(x) con las series obtenidas

para Y¡ (x ) , Y2( x ) y los valores dadas para c0 y q , encontramos que, los primeros

polinomios de Legendre son:


Resuelva cada ecuación diferencial mediante series de potencias de

X ‘y — 7 c„x .

n=0

W = 1 P, (x) = X ©dy 2 n — - x y = 0dx

©

P2(x) = ^ (3 x2 -1 )1 2

, P3 (x) = — (5x - 3x) ©{ \ + x ) ~ - - 2 y = 0

dx©

P4 (x) = — (35x4 - 30x2 +3) 8

P . (x ) - - (63.í" - 70a'? - 15.Í) 8 0

^ - + x3y = 0 dx

©

Observemos que P0 (x), l\ (x), P2 (x), P3 (x),... son a su vez soluciones particulares de las 1 © ( x - 2 ) ^ + y = 0dx

©

ecuaciones diferenciales.

,2 j © H3

-+ II o @

dydx

» 1 -

3 dy xJ — = 2y dx

t s d~y „ dy n = 0, ( l - x ‘ ) — -— 2x — = 0

dx dx II. Resolver cada ecuación diferencial por medio de las series de potencias.

467

la forma


©

©

©

©

III.

©

©

©

©

©

©

©

©

©

21)

d 'y

dx2- y = 0 ©

£ i . dx2

(x + l )y = 0

2 ^ f + ^ = 0 dx dx

© (1 + x2 ) —~y + x — — y = 0dx2 dx '

d 'y dy+ x ——I- y = 0

dx ' dx

d 'y 2 dy „— f + x2 - ^ + 2xy = 0 dx ' dx

d 'y— + xy = 0 dx~

d 'y i dy — — — x ------ 3xy = 0dx' dx

Encuentre en cada ecuación diferencial dos soluciones en series de potencias entorno al punto ordinario x = 0 que sean linealmente independiente.

(x 2 - \ )y " + 4xy '+2y = 0

(x 2 + l)y " + 6xy' + 4y = 0

( x 2 — l ) y " — 6xy' + l 2y = 0

( 2 - x 2)y " -x y ' + 16y = 0

y " + x y '+ 2y = 0

y " + 2xy' + 4y - 0

y" + xy' + y = 0

5y"-2xy ' + 10y = 0

y " -x y ' + 2y = 0

( x 2 + 2)y" + 3xy '-y = 0

( x 2 + l )y " -6 y = 0

©

© (x 2 -3 )y " + 2xy'=0

© ( x 2 - l ) y " + 8xy’ + 12y = 0

(^T) (x 2 + 3 )y"-7xy ' + 16y = 0

y" —x y' — 3xy = 0

JO) (x 2 -4 )y ” + 3xy' + y = 0

n ) (x 2 +2 )y " + 4xy' + 2y = 0

14) 3y” + xy’’-4 y = 0

y "=xy

y" + x y' + xy = 0

20) (x 2 —l)y " + xy'~ y = 0

22) y” - ( x + l )y '- y = 0

¿ y

Í8)


@ y" —xy' —(x +2 )y = 0 (24) (x + 2)y" + xy'- y = 0

© y" + (l + x + x 2)y = 0 ^ 6 ) ( l - x )y ' ' + (2 + x )y '-2 y = 0

© (l + x )y" + 2y!- y = 0 (28) ( l - x 2)y " -2 x y '+ 2y = 0

© xy'' + y' + xy = 0 (30) (l + x 2)y " + x y '-y = 0

© (2x2 -3 x + l)y " + 2xy'-2y = 0 ^ 2 ) y” - ( l + x)y = 0

© (x 2 + 1)2 y " -4 x (x 2 + l)y' + (6x2 —2)y = 0 (34)

OII>JV,

7kCN

© y" + 2xy' + 2y = 0 (36) (x —l)y "+ y '= 0

IV. Mediante series de potencias resuelva los problemas con condiciones iniciales.

© (l + x 2)y " + 2xy'-2y = 0, y(0) = 0, y'(0) = l

© (x + l ) y " - (2 - x )y ' + y = 0, y(0) = 2, y'(0) = - l

© y” + 4y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 3

©

l' ro +’ II O O II O O II

© y" + y’-2 y = 0 , y (0 )= l , y’(0) = -2

© y" + xy '-2y = 0 , y(0) = 1, y'(0) = 0

© (x 2 +-6x)y" + (3x + 2 )y '-3v = 0 , y(-3) = 0, y '(-3 ) =■ 2

© y" + (x - l )y ' + y = 0, y (l) = 2, y’(l) = 0

© y"-2 xy ' + 8y = 0, y(0) = 3, y'(0) = 0

© (x 2 + l)y " + 2xy'=0 , y(0) = 0, y'(0) = l

© (2 x -x 2)y " -6 (x - l ) y ’-4 y = 0 , y (l ) = 0, y’(l) = l

470

@ ( x 2 - 6 * + 10)/,-6 ( j t - l )y ,-4;y = 0 , y (l) = 0, / ( ! ) = !

© y " -A y '+ y - l = 0, y(0) = y’(0) = 0

© (4jf2+16x + 17 )y"=8y, y (-2 )= l, y '( - 2) = 0

V. Resuelva las siguientes ecuaciones mediante series de potencias.

© v" + (sen x)y = 0© y " + e xy - 0

cosjc.y" + y = 0© y " + exy '- y =0

© y " - x y = 1© xy" + (sen x)y = 0

© xv" + sen x.y' + xy = 0©

HII11

VI. Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando el método de FROBENIUS.

© 2xy" + ( \ - 2 x 2 )y ' -4 x y = 0© xy" + 2y'+9xy = 0

© x y " - y' + 4x2y = 0© x y "+ y ' + x(\ + x )y = 0

© Xy"+ \ y '+ \ y = 0 ©9AT" + 9y' + xy = 0

© x y "+ y ' + 4xy = 0© xy'' + 2y'-4,ry = 0

© 2xy" - y + 2y = 0 © 3xy" + (2-.x)>''->> = 0

© 2x(l - 2x)y " + (4x2 +1) v' - (2x + l)y = 0© x2y " + x ( x - ^ ) y ' + ^ y = 0

© x 2y" + (l + 3x )xy '-(l + 6x)y = 0 © x y " + 2y' + xy = 0

© 2xy"+5y ' + xy = 0 © x 2y " + x ( x - l)v ' + y = 0

© 4.vy" + 8y' + xy = 0© 3x2 y " + 2xy' + x 2 y = 0

Eduardo Espinoza Ramos Resolución por Series de Potencias 471

VII.

© 2x>'” + (jc + 1)/ + y = 0© 3xy" + 2y '+2y = 0

2x 2 y " + xy '- (\ + 2x 2)y = 0

2x2y" + x y ' - ( 3 - 2 x 2)y = 0

2x 2 y " — xy'+ ( x 2 + l)v = 0 2x2y " + ( - 1 + 2 x)xy' + (7 - 5 x )y = 0

3 l) 2x2y " + 3 x y '+ (2 x -\ )y = Q

( 33) 2 jc2y ' + x ( f + i ) y - ( 2x + i )^ = o

(3 5) x 2 y' ' + x(l + x)y' - (1 - 3x + 6a 2 )_v = 0

(37) x 2 y" + (2x+ 3x2)y' - 2 y = O

(39) 2x(l - x )y ’' + (1 - 2x)y' + (2 + *)>>= O

(4Ì) 2xy" + (\ -x )y ' ~(\ + x)y = O

43) * 3(x - l )y " + (x -l);y , + 4xy = 0

( 2 x 2 + 5 x 3 ) y " + ( 3 x - x 2 ) y ’ - ( l + x ) y = 0 (4<j) 9 x ( l - x ) y " - l 2 y ' + 4 y = 0.x2>,” - 2 xv' + 4(x4 — l)y = 0 @ 2x 2y " - ; t ( x - l ) / - y - 0

50) x ( l - x )y " -3 y ’ + 2y = 0

20) 2*V' + 3 / -y = 0

22) 2xy' ' + (1 - 2x2 )y' - 4jcy = 0

24) 2,v2y" + 7x(l + jc )y '-3y = 0

6x 2 y " + 1 x y ' - ( x 2 +2 )y = 0

¡28) 2xy "~ (3 + 2x )y '+ y - 0

3 ) 2x2y " + 3 x y ' - ( x 2 + l)y = 0

^32) x ( x - 2 ) y " + y ' - 2y = 0

¡34) x 2y'' + 3xy' + (\ + x + x 3)y = 0

^ 6 ) 4x2y" — 4xy' + (3 -4 x “ )y = 0

(38) x 2y " - x y ' + ( x 2 + l ) y = 0

(33) jrU -2 )2y " -2 U -2 )y ’ + 2y = 0

(42) x 2y" + (2 x 2 -3 x )y ' + 3y = 0

44) 2A-3y,'-x (2 -5 x )y ,+ y = 0

x 2>’" + (x2 -3x )v ' + 4y = 0

Mediante series de potencias encuentre la solución general de la ecuación diferencial

dada, en 0 < x < °° (Bessel)


©2 H 9 1x y +xy + ( / - - ) y = 0 © x 2y" + xy’+ ( x 2 - l)y = 0

© x 2 y "+ x y '+ ( x 2 - i ) y = 0 4 © x 2 y "+ xy '+ (x 2 - —)y = 0

© xy "+ y' + xy = 0 © ~ (xy ') + (x - —)y = 0(IX X

© x2 y "+ xy '+ (4x2 - i ) y = 0© x2 y "+ xy ’+ (36x2 - i ) y = 0

4

© 4x 2y" + 4xy'+ (4 x 2 -2 5 )y = 0 © 16x2y" + 16jy' + (16x2 — l)v = 0

x 2y" + xy' + (9x2 -4 )y = 0© xy" + 3y' + xy = 0

© x y " - y’+ 36x3y = 0 © x “y "-5 xy ! + (8 + x)y = 0

© 2x2y" + 3 x y '-2 (4 -x 5)y =0 © 4x 2y " -\ 2 xy ' + (\5 + \6x)y = 0

© x 2y" + 3xy' + (l + x 2)y = 0 © 16x2y" + 24xy’ + (l + 44jr3)y = 0 1

© 36x~ y" + 60xy' + (9x3 — 5)y = 0 0 x 2y " + xy' + x 2y = 0

VIII.

© Comprobar que la ecuación diferencial

solución particular y = x nJ n(x )

xy" + (l - 2n)y' + xy = 0 x > 0, tiene la

© Comprobar que la ecuación diferencial

solución particular y = x ~n .1 n (,r)

ry" + (l + 2/;)y’ + jy = 0, x > 0, tiene la 1

© Comprobar que la ecuación diferencial x 2

solución particular y = J x J v (A .r), X > 0.

y " + (Á : x2 — v2 + —), y = 0. X 0, íicne la 14

CAPITULO XEcuaciones en Diferencias

[~10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS.-

Suponiendo que y = f(x) es una función definida para valores enteros de x, o sea

x = 0,1,2,3,... y para el estudio de las ecuaciones en diferencias, a la función y = f(x)

denotaremos por: yx

El cambio en y cuando-x varia de x a x + 1, es: la primera diferencia de yx y que

expresamos así:

A.v.t = yA+i -

se observa que Ayx es también función de x.

A es un operador que proporciona la regla para evaluar yx .

Las diferencias de orden superior se obtiene como diferencias de diferencias aplicando el

operador A.

La primera diferencia de yx , es: Ayx = yx+i - yx

La segunda diferencia de yx es:

Ay; = A(Ayx) = Á (yx+{ - y x) = Ayx+l - Ayx

= (yx+2 - y x +\ ) - ( y x + \ -y J = y x +2 - 2^ + i+ y x

La tercera diferencia de yx es:

Ay3 = A(Ay2) = A(yx+2 - 2yx+x + yx ) = Ayx+2 - 2Ayx+l + Ayx

= (yx+3 - yx+i ) - 2(yx+i - yx+0 + (yx+\ -y x )


= 3'x+3 - 3>'x+2+3 ^ +1 -> ’x

La k-esima diferencia de yx es:

1=1

10.1. DEFINICIÓN.-

Una ecuación en diferencias es una ecuación que relaciona varios términos de imn

sucesión

Ejemplos.- Son ecuaciones en diferencias las siguientes ecuaciones dadas.

(D y*+3 - 4 yx+2 + yx+1 - 6yx = x2

© y*+2 + 4 yx+\ - cos x yx = 0

10.2. ORDEN DE UNA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS.-

E1 orden de una ecuación en diferencias es la diferencia entre el índice mayor y el índicá

menor que aparece en la ecuación.

Ejemplo.- Indicar el orden de las siguientes ecuaciones en diferencias.

© yx+2 ~7yx+i + 5 yJt = 3x , es de orden 2

© 2>yx+ 2 + 4yx+l = 2x , es de orden 1

10.3. ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS.-

Una ecuación en diferencias se dice que es lineal si es expresado en la forma:

an(x )yx+n+ a n-l(x )yx+n-l + •"+ « 1<X>>Vh + CJ0(x )y x ~ R (x )

en donde a0,al ,...,an y R son funciones solo de x, definidas para x = 0,1,2..

I citaciones en Diferencias 475

La ecuación (1) es de gado n

Las siguientes ecuaciones son ecuaciones lineales en diferencias.

© 1 %yx+2 - 6 y x = 5 x , es de orden 2.

© 8* y,+3 - 3a yt+2 + 9a yx+1 + 2yx = 3, es de orden 3

a una ecuación en diferencias de orden n, puede escribirse como función implícita en la

forma.

F (yx+n’ yx+„ -t; - ; y , ) = Q

también puedt expresarse como función de y y sus primeras n diferencias.

F (An y x, A”-1 yA.,..., Ay^, y x) = 0

10.4. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS.-

Una solución de una ecuación en diferencias es una funcional definida para enteros

positivos y que satisfacen a la ecuación en diferencias.

La solución general de una ecuación en diferencias de orden n es la que contiene n

constantes arbitrarios, una solución particular de una ecuación en diferencias se obtiene

de la solución general asignando valores particulares a las constantes arbitrarias de una

ecuación en diferencias que son determinados por medio de condiciones de frontera o

condiciones iniciales.

10.5. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

Q Determine el orden de cada una de las siguientes ecuaciones lineales en diferencias.

a) 3yx+2 - 3 y x+i= 3xsolución

El orden de una ecuación en diferencias se obtiene de la diferencia del índice mayoi

con el índice menor, es decir:

El orden es: (x + 2) - (x + 1) = 1, es de orden 1.

Eduardo Espinoza Ramus

b > 8v*+3-:v , =4solución

El orden es: (x + 3) - x = 3, es de orden 3

c) 7 y x+ i - 5 y x = 5 x

solución


d> 6 >’x+ 2 ~ 1 y x = 5 x

solución


Si y = x2 + 2 x , evalué A2yx

solución

a2.Vx = A(Ayx) = A (yx+t - yx) = Ayx+| - Ay,

= ( y x+2 - y x + i ) - ( y x+\ - y x ) = y x+2 - 2 y x + i + x*= [(X + 2)2 + 2(x + 2)] - 2[ (x + 1)2 + 2(x + 1)] + x2 + 2x

= (x 2 + 4x + 4 + 2x + 4 )-2 (x 2+2x + l + 2x + 2) + x2+2x

= (x~ + 6x + 8) - 2( x 2 + 4x + 3) + x2 + 2x

= x2+6x + 8 -2 x 2-8 x -6 + x2+2x = 2 A 2yx = 2

Si y = ex, determine A 2 yx

solución

Se conoce: A2yr = yx+2 - 2yx+x + yx

= ex+2 - 2ex+l + e x = e x(e2 - 2e + l ) = ex( e ~ \)2

Pruebe que yx - c¡ + c 2.2X - x , es una solución de yx+2 - 3 yx+¡ + 2 yx = 1 y determine

una solución particular si y0 = 0, y, = 3

licuaciones en Diferencias 477

solución

yx+ 2~3yx+i + 2 Xi - t ci + c 22x+2 - ( x + 2 )]-3 [c , + c 2 2 vtI - ( x + 1 )]+ 2(c, + c 2ex - x )

= c¡ + 2c22 '+l —x — 2 — 3c, — 3c22x+i + 3x + 3 + 2c, + 2c22x — 2x

= 3c, + 3 x - 2 x + 3 - 2 + 3c22 '+i - 3 c 22 '^1 = 1

por lo tanto yx = c, + c2 2X - x es solución de la ecuación diferencias.

Como yx = c, + c2 2X - x , y0 = 0, y, = 3

de donde " l por lo tanto yx = -4 + 4.2* - x = 4(2v - l ) - x0 = c, + c, , c, = —4

3 = c, + 2 c2 - 1 . c, = 4

© Demuestre que yr = — — , es una solución de yx+l = ^ y obtenga una solución 1 + cx l + y*

particular si y0 = - 4 .

solución

V't+I 1 + c (x +1) 1 + c + ex

c

(1)

l + cx = ___ £____ ... (2)

1 + cx

yxal comparar (1) y (2) se obtiene: yx+[i+ y

como y0 C A= -4 entonces se tiene: -4 = ------ =i> c = -41 + 0

-4por lo tanto yx =

1—4x 4 x —1

(6 ) Demuestre que yx =c, + c2x + c3.3* , es una solución de yx+3 -6 y x+2+ l ly x+, - 6 y, = 0

y obtenga una solución particular si y0 = 1, y, = 1, y2 = -1 .

Eduardo Espinoza ¡i a mm

solución

y* +3 = ci + c2.2'v+3+c3.3jr+3 = q + 8c22;r + 27c3.3’t

~ 6 >'*+2 = ~ 6ci ~6c2.2x+2 - 6 c 3.3x+2 = - 6q -24c2.2l -54c3.3jc

1 ly ,+l = lie, +1 1c2.2x+i +1 lc3.3x+1 = 1 lq + 22c2.2v +33c3.3j:

-6 yx = -6 q - 6c2.2* - 6c} .3* = -6 q — 6c2.2x - 6c3.3x

yx+3 - t>yx+2 +11 y*+i - £>yx = o+o+o = o

Luego yx = q + c2.2A + cv3v es la ecuación en diferencias

Como yx = c, + c2.2A + c3.3 \ y0 = 1, y, = 1, y2 = - l

11 = q + c2 + c3 q = 0

• l= q + 2 c 2+3c3 de donde c2 = 2 yx = 2.2* - — = 2Jr+l -3-1 = q + 4r2 + 9 c3 c3 = -1

Pruebe que y = q + c2x + c3x2 + c4x3, es una solución de

yx+4 - 4yx+3 - 6yx+2 ~ 5 j*+1 + y x = 0 y encuentre una solución particular si y0 = 1.

y, = 5 , y2 = 9 , y3 = 7 .

solución

^x+4 = ci + c2(x + 4) + c3(x + 4)2+c4(x + 4)3 1

-4yA.+3 = —4c, - 4c2(x + 3) - 4c3 (x + 3)2 -4 c4(x + 3)3

6 yx+2 = 6q + 6c2 (x + 2) + 6c3 (x + 2)2 + 6c4 (x + 2)3

-4 v *+| = -4 q - 4 c 2(x + 1 )-4 c 3(x + 1)2 - 4 c 4(x + 1)3

yx = q + c2x + c3x2 + c4x3

y ,+4 -4 .y c+3 + 6 y x+2 -4 .Vjr+1 + y x = 0

la laciones en Diferencias 479

Luego yx = q +c2x + c3x2 +c4x4, es solución de la ecuación en diferencias.

Como yx = q + c2x + c3x2 + c4x3, y0 - 1, y, = 5 , y2 - 9, y3 = 7

1 = c,

5 = c,1 ’ ' ' 3 ■* de donde

9 = q + 2 c2 + 4c3 + 8c4

7 = c, + 3c2 + 9c3 + 27c4

q =1c — 2

por lo tanto y = l + 2x + 3x2 - x 3c3 = 3

c4 = -1

0 Escriba cada una de las siguientes ecuaciones de diferencias en términos de valores de y

solucióna) Ayt =10

4v, = yt+i - y x =10b) A2y - 3Ayx -5 = 0

solución

A2y* = y*+2 -2 y ,+1 + y*

-3Ay = -3yx+I + 3yv, sumando

a2^ - 3AyA. -5 = y,+2 - 5yv+l +4 y f -5 = 0

••• -v.i+2 - 5y*+l + 4 y - 5 = 0

c) A2yx - 4 y x = 2solución

y* = yx+2 ~ 2yx+, + yx

A.v, = y*+i - y *

A 2yx - 4Avx = yx+2 - 2yx+l + y x - 4yx+t + 4 y x = 2

••• y x+2 - 2 y ^ i ~ 3 y x = 2

d) A3.v,+5Ava = yx


solución

A3y = A (A2y) = A(yx+2 - 2yx+¡ + yx)

:(yx+3 yx+2)~ 2(yx+2 ~yx+i)+ {yx+\~yx)

3’x+3 -3 ^+2 +3^ +i

A3>’v +5A.V* = yí+3 - 3 y ’x+2 + 3vr+l - )-x + 5yjr+I - 5 y x = y,

-v t+ 3 " 3 X v+ 2 + 8 ->’.v+l ~ 7 y.v = 0

10.6.__ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ______ ORDEN CON COEFICIENTES CQNSTANTES.-

Una ecuación en diferencias lineal y de primer orden se expresa en la forma:

« í^ + i+ ^ o ^ = b, x = 0,l,2,3,.... j

. n a() b 1como a¡ * 0 , tí0 * 0 , entonces se tiene: yx+l = — — y v H-----

o, a,

yx+\ = Ayx + B > Por 1° tanto la ecuación general lineal en diferencias de primer orden y

con coeficientes constantes es:

?*+i = Ayx + B ... (a )

La solución de esta ecuación se puede obtener por inducción:

y, = Ay0 + B

y7 — Ay, + B = A( Ayq + B) + B — A”yQ + AB + B

v3 = Ay2 + B = A (A 2yn + AB + B) + B = A 3y0 + A2 B + AB + B

licuaciones en Diferencias 481

y 4 = A y 3 + B = A (A i yQ + A2B + AB + B) + B = A 4y0 + A í B + A 2B + A B - B

y, = A xy0 + Ax- lB + Ax~2B + Ax~3B + Ax~4B + ...+ AB + B

= Axy0 + B (l + A + A 2 + A 3+...+ Ax ')

1 -A *y, = A 1 yn + B(-------- ) , por lo tanto la solución de la ecuación (a ) es:1 - A

1 - A xpara A * l , x - 0,1,2,..., es yx = A xy0 + 5 (—— — )

para A = 1, x = 0,1,2,..., es yx = y0 + Bx

como se puede observar esta solución obtenida por inducción, satisface a

X*+i = Ayx + B .

En efecto:

Para A * 1; yx+l - Ayx + B = A (A xy0 + B (~ — ■■■)) + B1 /i

= Ax+l y0 + B (^ ~ ~) + B = A x+'y 0 + + 1 ~ A )1 - A 1 - A

1 — 4 t+l

= >’o + f i (T ^ r )

para A = 1; yx+l = yx + B = (y0 + Bx) + B - y 0 + B (x + 1)

En el análisis de datos de Administración y Economía en la ecuación yx+, =

presenta tres casos especiales.

Ira. La diferencias de primer orden es una constante yx+i - y x = B y la

yx = y0 + Bx

la ecuación

Ayx + B se

solución es

482 Eduardo Espinoza Kamin

2do. La diferencia de primer orden es proporcional a la variable yx+i ~ y x - a y x+] (ciisn

especial A — —i— , B = 0) y la solución es v, = (—-— )x yn ■1- a x 1-a

3er. La diferencia de primer orden es función lineal de la variable.

yx+ i~ y x = a y x+\+ P (caso especial A - ■■■* , B = —!— ) y la solución es:1-a 1-a

y\ ~ ( r - ')* + ~ Kr— )A - 1-a a 1-a

Ejemplo.- Resolver cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias.

© 3 ^ = 2 y ,+ 3solución

2 2 A la ecuación Jada expresaremos así: yx+l = — yx +1, de donde A = — , B = 1

2 1 -A *como A = — * 1, la solución es y = Axy0 + B(----------)

3 1 -A

2que al reemplazar A - — y B = 1 se obtiene:

yx = ( f )* y o + K— = (| )x % + 3 ( i - (| )" )

1_ 3

yx = (|)-v(y0 -3 )+ 3 Xv = ( ~ r ( y0-3 )+ 3

© yx+\ + 3* - 2 = 0Solución

Como yx+l = —yx + 2, de donde A = -1, B = 2

i - Axcomo A = -1 *1 , la solución es yx = A xy0 + B ( --------- )

1 -A

la laciones en Diferencias483

que al reemplazar A = 1 y B — 1, se obtiene.

= (-1 )" yn + 2(~" j~"|~- ) = (-1 )" 3’0 + * - (-1 )"

© 2-V,+i + ^ - 3 = 0Solución

A la ecuación dada escribiremos en la forma

1 3 1 3Xr+i = — - y x + —, de donde A = — , B = —

2 2 2 2

1 1 — Axcomo A = — * 1, la solución es y x - Ax y0 + B(--------- )

2 1 — A

1 3 1 1

1H—2

••• y , » ( “ ) ' ( % - D + i

® ^ + i +3^ = 0Solución

Como yx+l = -3 yx , de donde A = -3, B = 0

1 -A *como A = -3 *1 , la solución es: yx = Axyü + f i ( -— — )

y t = (-3 )* y0

© 3>’ +i ~ 3 va + 7 = 0 y encontrar una solución particular para y0 = 3

Solución


A la ecuación dada escribiremos en la forma:

7 7y*+i = yx — ’ de donde A = 1, B = —

3 3

7como A = 1, la solución es = y0 + Bx de donde yx = y0 - — x si y0 = 3

yx = 3 ——x , la solución particular

© 3yx+1 - 9yx + 8 = 0 y encontrar la solución particular para y0 = i

Solución


yx+i = 3yx - - , de donde A = 3, B = —3 3

1 — A xcomo A = 3 * 1, la solución es: yx = A*y0 + B(-------- )1 - A

al reemplazar A = 3, B = se obtiene:

8 1 3* j _i _i

yx =3Xyo~-(— — ) = 3 v0 + — (1 — 3v) de donde ^ = 3 '(y0 - - ) + -

1 4para y0 = - se tiene: y x - — - 3 , es la solución particular.

10.7. COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN! j EN DIFERENCIAS.____________________________________ ¡

La solución de una ecuación en diferencias es una función definida para valores enteros!

positivo de la variable independiente, por lo tanto la solución de una ecuación enj

diferencias es una sucesión y cuando la variable independiente es el tiempo, a dicha

sucesión se llama a veces “Trayectoria de tiempo” de la variable dependiente.

Ecuaciones en Diferencias 485

Para el caso de una ecuación en diferencias lineal y de primer orden, la especificación de

y0 genera una sucesión de solución y0,y\,y2 y-i — > donde cada término se determina a

partir de la ecuación en diferencias yA+1 = Ayx + B , x = 0,1,2,...

O en forma equivalente, a partir de la solución.

1 - A*yx = Axy0 + B (-------- ) , para A ^ l , x = 0,1,2,...

1 - A

yx = y0 + Bx , para A = l , x = 0,1,2,3...

El comportamiento de la sucesión que es una solución particular de una ecuación en

diferencias es de un interés muy importante en muchas aplicaciones, donde dicho

comportamieuto depende de los valores de y0 , A, B tal como se muestra en la tabla

siguiente.

“El Comportamiento de la solución de yx+i = Ayx + B es”

Caso A B yo yx , x = 1,2,... Comportamiento de la solución

a) A * 1

*IIO yx = y * Constante: yx - y*

b) A > 1 y0 > y*

*>sA* Diverge en +<*> (Monótona

decreciente)

c) A > 1 y0<y* Vi * A * Diverge en (Monótona

decreciente)

d) 0 < A < 1 y0 > y*

*A* Converge en y* (Monótona

decreciente)

e) 0 < A < 1 y0<y* y x < y * Converge en y*’ (Monótona

creciente)

f) -1 < A < 0 yo* y* Converge en y* (Oscilatoria

Amortiguadora)

g) A = -1 y o * y * Diverge (Oscila finitamente)

h) A < -1 yo* y* Diverge (Oscila infinitamente)

i) A = 1 co ii o v: II V o Constante yx - y0

j) A = 1 B > 0 * V o Diverge en +°° (Monótona

creciente)

k) A = 1 B <0 oVX Diverge en (Monótona

decreciente)

486 Eduardo Espinoza Ramos licuaciones en Diferencias487

Mediante el siguiente teorema recurriremos los resultados de la presente tabla.

TEOREMA.- La ecuación en diferencias lineal y de primer orden yx+l = Ayx + H ,

x = 0,1,2,3..., tiene la solución

yx — Ax(y0 — y*) + y * si A * l , x = 0,1,2,3...

yx = y 0 + Bx, si A = 1, x = 0,l,2,3...

donde y* = -— — si -1 < A < 1, la solución converge a y*; de lo contrario diverge, a no

ser que yx = y 0.

Ahora daremos un esquema de cada tipo de comportamiento en la figura siguiente.

a)

1 2 3 4 5 6

i) Y

Vo

1 2 3 4 5 6 X

488

Ejemplos.- Resolver cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias y determine el

comportamiento de la solución y calcule los primeros valores de la solución

© .vJ+i - > ’x - i o = o. y0 = 2 jSolución


yx+i = yx + 10 , de donde A = 1, B = 10 I I

La solución es: yx = y0 + Bx - y0 + lOx como y() = 2 entonces yx = 2 + lOx

Como A = 1, B = 1 0 > 0 del cuadro la parte (j) se tiene que diverge a +°° y es

monótona creciente y así mismo se tiene: x = 0, y0 = 2 ; x = 1, y, =12; x = 2,

y2 = 22 ; x = 3, y3 = 32 ; x = 4, yA - 42; x = 5, y5 = 52

© ?;c+l = 7.V* + 6 > >0 =1 I ]Solución

Como yI+l = 7y. + 6 de donde A = 7, B = 6

1 - A xComo A * 1 la solución es y, = Axyn + B(-------- )1 - A

De donde y, = l x y0 + 6 ( y ^ - ) = 7* y0 - (I - 7 ) !

y = 7*(yn+1 )-1 = 2.7*-1 además y* = —— = —— - - 11- A 1 -7

del cuadro de la parte c) A = 7 > 1 y y0 = l > y * = - l , entonces el

comportamiento de la solución diverge en +°° y es monótona creciente, así mismo se

tiene: y0 = 1, y, =13, y2 = 97 , y3 = 685 . y4 = 2400

Eduardo Espinoza Kainnt

© Sy^j +4yx - 3 = 0, y0 = 1

Solución

I citaciones en Diferencias489


1 3 J J , 1 o 3yr., = — y Y + —, de donde A = — , B = —2 8 2 81 1 — Ax

como A = — * 1, la solución yr - Axyn. + B (-------- )2 x 0 1 - A

l - ( ——)xde donde y, = ( - | ) A y0 + | ( -------- ) = (“ £ % + ( l - ( - ^ ) Jt)

1 + 2

- lx 1 1, Kx 1••• — ^ + 4

3B 8 1y* = -------= = — de acuerdo a la parte (f) del cuadro se tiene que -1 < A < 0,

i + i 42

y o * y* entonces el comportamiento de la solución yx = ^ - ( - i ) A +^- , es qui

converge en y* (oscilatoria amortiguada), así mismo se tiene los valores de I;, 1 1 5 7 17

»la c ó n

© vy( =

Solución

A la ecuación dada expresaremos en la forma:

3 1 J I J . 3 B 1y,.., = - y, H-----, de donde A = - , B - —' 8 16 8 16

como A = - * 1, la solución es: yx - Axy0 + B ( ■ --)8 \ — A

490 Eduardo Espinoza Hanno l,citaciones en Diferencias

ahora analicemos el comportamiento de la solución

■y* — B _ 16 _ 1 3 1de la parte (a) del cuadro A = — * 1, y0 = —- =- uv ia pane ya) uci uuauro /i = — T 1 , y0 = — = yl1 — A j _ _ 10 8 10

81

y. - — es constante.10

© 3yx+l- 2 y x - 3 = 0, y0 = 5

Solución


2 2 Xt+i = Xa + 1 > de donde A = — , B = 1

1 - A xcomo A = — * 1, la solución es y, = Axyn + B(-— — )3 0 1 —A

9l - í -Y *2----------------------------------2 2

de donde yr = (—)x + ------ = (—)* + 3(1 - (—)* )' 3 i _ — 3 3

3

••• y.x - (~yx(yo -3 ) + 3 = 2 ( j )J + 3

ahora analicemos el comportamiento de la solución

B 1y* = -— - = — = 3 , de la parte (d) del cuadro 0 < A < 1 1 - A j _ 2.

3

y0 = 5 > y* = 3 , converge en y* y es monótona decreciente.

13 35 97además se tiene: y0 = 5 , y, = — , y2 = —-, y3 = — , y4 =81

© 3>’x+i - 2^ = | - ^ = 5

Solución

A la ecuación dada escribiremos en la forma

2 2 2 2y„., = — v. + —. de donde A = — , B - —* x+l 3 5 3 5

2 1 - Axcomo A = — * 1, la solución es: y = A xyt) + B (-------- )

3 0 1 - A

\ - ( - ) x

de donde yx = (y )x y0 + 1 (-----y - ) = ( | ) x y0 + - (1 - ( - ) ' )

,2 , 6n 6 4 2 , 6••• ^ = ( 3 ) - 5 ( 3 ) + ?

ahora analizamos el comportamiento de la solución

2

y* = 5 = - , de la parte (e) del cuadro se tiene: 0 < A

y0 = — < — = y * ,la solución converge en v* = — y es monótona creciente.5 5 5

10.8. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

Determine el orden de cada una de las siguientes ecuaciones lineales en diferencias.

a > 5yJ+4 + 4yx+2 + yx+\ = 4 b > 3^+ 3 + 2 y x+2 + 5 ^ +i + 7 y x = 3

c) yx+2 - +i - ■ = 1 d> yx+2+ y »\ = 4

e) >’j+2+53'x =:4

Rpta. a) Orden 3 b) Orden 3 c) Orden 2

d) Orden 1 e) Orden 2

491

< 1,

492 Eduardo Espinoza Ramo\ licuaciones en Diferencias493

©

©

©

Escriba cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias en términos de valores de y,

a) Ayx =7 b) A 2yx + 2Ayx - l = 0

c) A 2yx - l A y x =3 d) A3yx + lA y x = yx

Resuelve cada una de las ecuaciones en diferencias

a> y*+i = ~ y x

c) 2yx+¡ = 3 yx

e) 2 yx+¡ + 2yx = 6

S) 2yx+¡ = 4yx +3

»> 6 y,+i + 2yx = 0

Rpta. a) yx = y0( - ) x

b) yx+\ = -3 yx

d) yx+i ~ 2yx =3

f) 5 ^ +4yx =14

h) 3yx+| =2>yx - l

J) 3yJt+1-9 y ;c +8 = 0

b) yx = 3 'o ( - 3 ) A c) yx = y0( f x

d) yx = - 3 + y02x e) yx = £ + ^ ( - 1 ) * f) y% = M + yo(_ ± ) * i

g) yx - (3 'o + - )2 a - - h) yx = y - - X i) yx = ( - -y y 0

j ) yx = ( y 0 - ^ y + ^

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias y determine el

comportamiento de la solución y calcule los primeros valores de esta solución.

a) 3 ^ - 2 ^ - 6 = 0, y0 =4

c) > W + 4 >V + 12 = 0, yo = 6

e> 7)'x+i+2>'a. - 7 = 0, y0 =1

b> 4yx+¡ - y x -3 = 0 , y01

d> 15>’v+i-1 0yJr-3 = 0, y0 =1

V 2yx+¡ - yx = 2 , >o-4

g) >\+i = 3>’x - 1 ■ >'o = -i 6 2 h) 3yx+i - 2 yx = — , y0 = -

Rpta. a) yx = -2 (—)'c + 6 , monótona creciente, converge a y* - 6

b) v = - ( —)(—) r +1, monótona creciente, converge a y* = 12 4

c) y - — (-4 )* - — , diverge, oscila de modo infinito.

2 , 2 , 3 , . . . * 3d) y = — (—Y + - , monotona decreciente, converge a y* = -

* 5 3 - 5 5

2 2 , 1 , „ 7e) v. = —(— ) + —, oscilatoria amortiguada, converge a y* = —

9 7 9 9

f) y = 2(—) x + 2, monótona decreciente, converge a y* = 2 2

g) y = ^ , constante.

4 ,2 ,, 6 . , * 6h) y = — (—) + —, monotona creciente, converge a y* = —

5 3 5 5

@ Resolver y determinar el comportamiento de cada ecuación.

a) >’jr+i + 3yx +1 - 0, y0 - l

C) yx+¡ + yx + 2 = 0 , y o =3

e) 8yJC+1+ y x - 4 = 0, y0 = -

g) 9y;t+1+ 5 y ^ -1 8 = 0 , y0 - l

b) Xh-i = y , - i . % = 5

d> 5 ^ 1 — y, —60 = ° , y0 = i5

e) 4yx+1 + 3yx - 4 = 0, y0 = l

494 Eduardo Espinoza Rainat

Rpta. a) yx = (-3 )* (y0 + —) — monótona decreciente, converge a y* =4 4 4

b) yx = 5 - x , monótona decreciente y diverge a -»o

c) yx = 4 ( - l )x -1 , oscila finitamente y diverge

d) yx = 5, constante

e) + — , oscilatoria amortiguada, converge a y* = —9 8 9 9

3 3 v 4 4f) yx = y + y > oscilatoria amortiguada, converge a y * - —

2 5 9 9g) >’A- = + — , oscilatoria amortiguada, converge a y* = —

10.9. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS EN MODELOS ECONOMICAS.-____________________________________ j

Estudiaremos algunos modelos económicos sencillos utilizando las ecuaciones en

diferencias de primer orden, entre los modelos económicos que estudiaremos tenemos: el

modelo de Harrod, el modelo general de Cobweb, un modelo de consumo y un modelo

del ingreso - consumo - inversión.

© M ODELO DE HARROD.-

Para el análisis del ingreso nacional, el presente modelo fue propuesto por Harrod. 1

S, = ay,

S '= r ,<y0 - y0 (valor conocido en t = 0)

a > 0 , /3 > 0

donde s es el ahorro, I es la inversión, y es el ingreso, y cada una de estas variables!

es función del tiempo t.


De las tres primeras ecuaciones del modelo se obtiene la siguiente ecuación en

diferencias.

ay, = s , = I , = p (y, - y ,_ ,), de donde ay, - ¡iy, = -0y,_, => y, = yt-i

como A = — * 1, la solución es y, = A1 y0f i - a

y = (—- — )' y0 , de donde se obtiene: /, = s, = a y, = a (— - — )' y0 13 - a p - a

Suponiendo que yQ > 0, el comportamiento de la solución depende del valor de la

constante ——— , pero como y representa el ingreso, y se supone que no es negativo f i - a

^ - > 0, pero por el modelo, a > 0, (3 > 0, entonces ^ > 1p _ a

BComo y* = -------= 0 (por la parte b) se tiene que la solución {y ,} es monótona

1 - Acreciente, diverge a +°°

NOTA.- Es un modelo clásico utilizando para estudiar el crecimiento del ingreso

nacional en una economía en expansión.

© M ODELO GENERAL DE COBWEB.-

E1 ajuste de la oferta y de la demanda se puede estudiar con el siguiente modelo.

Oferta : q, = a + ¡5p,_x ■■■ (1)

Demada: p , = Y + $q, — (2)qQ = q0 (valor conocido en l = 0)

P > 0 , 5 < 0

donde p es el precio, q es cantidad y ambas son funciones del tiempo.

La ecuación (1) reemplazamos en la ecuación (2)

p, = y + Sq, = y + S (a + Pp,_¡ ) , de donde


p, = SP pt_ j + y + aS de donde A = 8(3 y B = y + a8

B y + a 8p * =

* 7 + ocSp * = -----------

1 -5¡51 - A 1 -8 P

ahora reemplazamos (2) en (1) obteniéndose

q, —a + P (y + 8 qt_{) , lo que es igual escribir

q, - P 8 q,_i + a + Py de donde A = p8 y B = a + Py

„ * - a + P r* _ B _ a + pY1 - A 1 -p S \ - p s

nos interesa ver el comportamiento de la solución en cada caso, como P > 0, 8 < 0

entonces p8 < 0 por lo tanto la solución es siempre oscilante.

El punto de equilibrio s: (» * , q*) = (- +0C^-, a )i - p s \ - p s

Si -1 < PS < 0, las sucesiones {/?,}, {q, } son amortiguadas y convergen a (p*,q*). 1

Si p8 = -1, la sucesión oscila de manera finita.

Si p 8 < -l, las sucesiones oscila de modo infinito.

Por lo tanto, el equilibrio es estable solo si -1 < PS < 0

© M ODELO DE CONSUMO.-

Es un modelo simple de consumo.

c , + s , = y ,y, =as ,_ ]

c, = yy,>’o = v0 (valor conocido en t - 0)

a > 0 , 0 < 7 < 1

donde c es el consumo, s el ahorro, y es el ingreso y cada una de estas variables es

función del tiempo t; y es la propensión marginal al consumo


y icomo y, = as,_j => st = — y c, = y y,

a

Yy,+— = y,a

que al reemplazar en la primera ecuación

ay y, + y,+i = «>’,

v,+] = a ( 1 - y)y, de donde A = a ( 1 - y), B = 0

1 — A 1 --------------------------y la solución es y = a'y0 + B(--------) de donde y, = (a - a y )' y0

1 - A --------------------------

como c1 -y y , = y ( a - a y ) ' y 0 como c0 = y y 0 ; c , ^ ( a - a y ) ' c 0

además c, + 5, = y, => s, = y t —c,

s, = ( a - a y ) ' y 0 - y ( a - a y ) ' yQ = ( l - y ) ( a - a y ) ' y0

y como í0 = ( 1 _7)>'o í s, = ( a - a y ) ' s 0

como 0 < y < 1, a - ay > 0, las sucesiones {y ,}, {c,} y { i , } son monótonas

crecientes y divergen a +°° si a (l - y) > 1; son monótonas decrecientes y

convergen a y* = 0

si oc( 1 - y) < 1; y son constantes en y* = 0 si a (l - y) = 1

(? ) M ODELO DE INGRESO - CONSUM O - INVERSIÓN.-

E1 modelo de ingreso - consumo - inversión se considera cuando los cambios en el

tiempo ocurre periódica y no continuamente, en este el modelo puede ser planteado

en términos de ecuaciones en diferencias en la forma siguiente:

c, = ay, + /3

i, =yy, + g4v,-i = 0 [cl_l + I ,_ l - y , _ l ]

yo = yo0 < a <1 , 0 < y < l , O <0 <1

. . . (1)

...(2)

... (3)

498 Eduardo Espinoza Ramos Ecuaciones en Diferencias 499

como Ay(_, = y, - y,_,, entonces a la ecuación (3) escribiremos en la forma

y t -y t -\ = 9 { ct - \ + h -\ -y , - i ] dedonde y, =0[c ,_x + /,_,] + ( l -0 )y (_, ...(4)

ahora reemplazamos (1) y (2) en (4)

y, = 0 [a y ,_ ,+ ^ + yy,_1 + g ] + ( l -0 )y t_1 = [0 (a + j8) + (l -0 )]y ,_1 + 9 ( P + g )

Luego la solución de esta ecuación en diferencias es:

y, ^ [6 (a + ( } ) + (1 -0 )]' y0 + 0(j3 + g ) 1 ~ [e (a + y) + (1~ ^ )]' Il - [0 ( a + y) + ( l - 0 ) ]

y es estable si -1 < 0(a + y) + (1 - 9) < 1

1 1 , ,— < a + y + — 1<1e e

1 — < a + y < le

como 0 < 0 < 1 y a + y > 0 se verifica la desigualdad 1 - — < a + y , de donde la0

condición de estabilidad es a + y < 1.


D

Encuentre la solución del modelo de Kahn j ' ' 1 ^ en donde c es consumo, y es -

ingreso c I es inversión.

Resuelva el modelo siguiente de crecimiento de ingreso nacional en una economía en

y, = C, +I,c, = a + Py,

expansión: y(+1 - y, = yl, en donde y es el ingreso, c el consumo e 1 la

% ~ yo ’ co = co > = 0a > 0 , 0 < < 1 , y > 0

© Resuelva el modelo siguiente de inventario simplificado de Metzler

y, = u, + v0

w, = ßy,~\y o = yo o< ß <1

en

i©

donde y es el ingreso producido, y es el numero de unidades producidas para la venta (se

han seleccionado apropiadamente las unidades de medición), v0 es la constante de

inversión no inducida, y (3 es la proporción marginal a consumir de un año con respecto al

ingreso del año anterior.

Resuelva el modelo siguiente, determine el comportamiento de la solución para y, e 1, y

establezca algunas restricciones “lógicas” adicionales para los parámetros

s, = a y , + P

il = r(y ,-y t-\)st =81, en donde s es ahorro, y es ingreso e I es inversión.

yo = yoa > 0 , p > 0 , y > 0 , ¿>>0

10.11. ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES Y DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.-___________________

La ecuación en diferencias lineales, de segundo orden y con coeficientes constantes es

expresado en la forma:

yx+2 + Aiyx+\+ A 2y* = 8 (x )

si g(x) = 0, la ecuación (* ) toma la forma

Xt+2+Ay.r+l + A)>’0 = 0

... (* )

. . . (* * )

inversión.

La ecuación (* * ) se llama ecuación en diferencias lineales homogénea de segundo orden

de coeficientes constantes.

Si g(x) * 0, la ecuación (* ) se llama ecuación en diferencias lineales homogénea de

segundo orden de coeficientes constantes.


Para obtener la solución de la ecuación (* * ) es decir:

^ +2+ A 1^+1 +A2 ^ = °

se forma la ecuación auxiliar

. . . (* * )

m + Axm + A2 =0

donde las raíces puede ser reales diferentes, reales iguales, o bien numero complejos y la

solución de la ecuación (* * ) depende las raíces de m2 + Axm + A2 = 0

1ro. Si mx y m2 son las raíces reales y diferentes (m, ^ m2 ) .

La solución es: yx = cxmx + c 2m2

2do. Si mx y m2 son reales e iguales (mx = m2 = m)

La solución es: yx = cxmx +c-,xmx

3ro. Si mx y m, son complejos (m, = a + bi, m2 = a - b i , i = %/-!)

2 T" fc)a~ +b~ . 0 = arctg(—)La solución es:

Ejemplos.- Obtenga la solución general para cada una de las ecuaciones en diferencias.

© 2 ^ - 5 ^ , + 2 ^ = 0Solución

Formamos la ecuación auxiliar: 2m2 - 5m + 2 = 0

Ahora calculamos sus raíces, para esto factorizamos

(2m - l)(m - 2) = 0 de donde m, = i , m2 - 22

La solución general es: yx = c¡ (—) x + c2 (2 )x

© ^ + 2 + 2 v.v+i Ly r = °Solución


Formamos la ecuación auxiliar: m2 + 2m +1 = 0

Ahora calculamos sus raíces, para esto a la ecuación dada expresamos así:

(m + 1)2 = 0 de donde m = -1 es una raíz de multiplicad 2 y la solución general es:

yx - c x( -\ ) x + c 2x ( - l ) x

® 3yx+2 - 6yx+x + 4yx = 0Solución

Formando la ecuación auxiliar: 3m~ - 6m + 4 = 0

2 1 2 1de donde m ~ - 2m + \ = — => ( m - 1)" = —3 3

, 4 . ^ - «i j . , ^ V 3 . V3.m - 1± — i ; de donde m, =1 + — i , n u = \ ---------13 3 3

r = = ,g e ^ e = £V 3 3 3 6

, , .4 ^ 7TX 7TXnLuego la solucion general es: yx = (—) [Oj eos-------\-c2sen— \

3 6 6

© Halle la solución general para la ecuación en diferencias yx+2 + 2yx = 0 y la

solución particular para y0 = 1, yx = 4 2

Solución

La ecuación auxiliar es: m2 + 2 = 0 de donde mx = y¡2i, m2 = —y¡2i

tg 6 = = °° => 6 = — , r = V20 2

, r „ 7TJC 7TX,La solucion general es: yx = (v2 ) [c, eos— + c2sen— \

como >’0 = 1 es decir x = 0, y = 1


de donde 4\c2 = 1

/— Tí X TÍXLuego la solución particular es: yr = (V2)-*[cos------ 1-sen— ]

2 2

10.12. COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCIÓN.-

E1 comportamiento de la solución particular de una ecuación diferencial depende de las

condiciones iniciales de las raíces de la ecuación auxiliar, es decir:

1ro. Si las raíces reales y diferentes mx m,

cuando \mx\>\m2 \ => | — 1<1 => - 1 < ^ - < 1m¡ m¡

y la solución es yx = c{m¡ + c2m2

El comportamiento en el limite expresamos así:

Si |w,|<l, la solución converge

Si | wij |> 1, la solución diverge

Si -1 < m, < 0, la solución es oscilatoria amortiguada

Si w, < -1 , la solución oscila infinitamente.

2do. Si las raíces reales son iguales m, = m2 = m ,

Si | m | > 1, la solución diverge, a menos que c, = c2 = 0

Si | m | = 1, también diverge, a menos que c2 = 0

Si | m | < 1, la solución converge a cero.


3ro. Si las raíces son complejas /n¡ = a + b i , m2 = a — bi la solución es oscilatoria.

0 < \Ja2 + b 2 < 1, converge a cero

si \[a^+b2 >1 , diverge

Existe un caso en el que la solución para que la ecuación en diferencias lineal homogénea

de segundo orden converge en cero para cada posible par de valores iniciales, que

daremos en el segundo teorema.

TEOREM A.- Si p = max{| w, |,| m2 |}, en donde mi y m2 son las raíces de la

„'.nación auxiliar de la ecuación en diferencia lineal homogénea de

segundo orden yx+2 + A,yv+I + A2yx = 0, entonces:

Si p < 1, es una condición necesaria y suficiente para que la sucesión {y^} converja con

limite igual a cero, para todos los valores iniciales y0, y ,.

Luego la definición de p es de la forma siguiente.

1ro. Si w, y m2 son reales y diferentes p = max{| m, |,| m2 |)

2do. Si w, y m2 son reales e iguales, mx - m 2 = m entonces p = | m |

3ro. Si m, y m2 son números complejos: ml = a + b i , m2 = a - b i

p = ' ] a 2 + b 2

Ejemplos.- Resolver cada una da las ecuaciones en diferencias y determine el

comportamiento de la solución y calcule los primeros valores de la solución.

® yx+2 - 5y*+i +6yx = 0 '’ yo = 2< y¡=5

Solución

La ecuación auxiliar es: m2 - 5m + 6 = O, de donde ml = 3, m2 - 2

como p = max {|3|, | 2 |} = 3 > 1

I504

Eduardo E spinoza R«w J/, CMact0Mg,y en Diferencias

La solución diverge y como y0 = 2, y, =5

yx = c,3x + c ,2 x

yx = y + 2x

2 = c, +'l + c2

=5 entonces

c, =1

5 - 3 c , + 2 c 2 1 c2 = 1

>’o , y2 13 , y3 _ 35 , y4 - 97 y así sucesivamente.

(D yx+2 -4yx+\ + 4^ = 0 ; >»0 = 1 ,J ; % = L y, = 6

Solución

i

donde p = J — + — = .ft- = — , tg 6 = = 1 => 0 = —P V4 4 V2 2 i 4

2

72p = -y - < 1, la solución es oscilatoria y converge a cero, como se puede observ;

partir de los primeros valores de la solución particular.

, y ¡ 2 , r„ 7 tX . K X ,y, = (— ) 3cos------h2se«— ]

2 4 4

La ecuación auxiliar es: m2 - 4m + 4 - 0 de donde m = 2 de multiplicidad 2 y la solución general es: yx =c¡ 2X + c2x 2X

Como m, = m2 = 2 entonces p = 2 > 1, la solución es divergente, como podemo observar de los valores

%5 1 3 5

= 3 , y, = - .y 2 = - 7 . >4 = “ 7 ’ >,5 y asi sucesivamente2 4 4 8

y0 = ! = <:,, y, = c, .2 + c2.2 = 6

Luego

ci + c 2 =3 => c2 =3

ego yx - 2x + 2x 2 \ y0 = 2, y, = 6 , y2 =20, y3 =56, y.

así sucesivamente.> 4 = 144, y5 = 352

Solución

La ecuación auxiliar: m2 1m H— = 0 de donde 2

1 1mz —m + — = —~ — ^ 2 14 4

=> (m —~ )2 = ~ - - => m = - ± L 2 4 2 2

1 i 1 i , , .,entonces in, = — + — ; m, = ------- y la solucion general es:

1 2 2 - 2 2

/ "V " \ jc r 7T X 7t XyY = (— ) [c, eos — + c0sen— ] * 2 4 4

¡10.13. ECUACIONES F N DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN 1 i HOMOGÉNEAS.-______________________________________________

La ecuación en diferencias lineal de segundo orden no homogé y x+2 + A yx+1 + A2yx = g (x ) tiene la solución general yx + yp , donde yx es la solu

de la ecuación en diferencias homogénea y yp es una solución particular de la ecua

en diferencias no homogénea. La forma yp depende de la función g(x)

Si g(x) = c, c constante entonces yp = k

Si yp = k es solución de la ecuación yx+2 + A,yx+l + A2yx - c entonces

k + A,k + A-,k = c => k = ---------------1 - 1 + A ,+A 2

Resumiendo si g(x) = c es una constante tiene una solución particular yp

si 1 + A, + A2 * 0,y 1 + A, + A2

v = — - — * 0 si A, + 2 * 0 y” A ,+2

yp = | x 2 si 1 + A, + A2 = 0 ; A, + 2 = 0


Ejemplo.- En cada una de las ecuaciones en diferencias, determine la solución general

y la solución particular para los valores especificados.

O yx+2 + 4>Vn +8y, = 26 ; y0 = 6, y, = 3

Solución

La ecuación auxiliar es: m2 + 4m + 8 = 0, de donde

m2 + 4m + 4 = -4 => (m + 2)2 = -4 => m + 2 = ± 2i

entonces mt = -2 + 2 i , m2 = - 2 - 2i

r = \¡4+~4 = 2\¡2 , tg 0 = - ^ = - 1 =>

yx = ( 2yj2 Y [c l c o s ^ - - c 2s e n ~ ] es la solución general de la ecuación en

diferencias homogénea, calculando la solución particular de la ecuación no

26homogénea, v„ = — — — = 2 .

p 1+4+8

Luego yp = 2 es la solución particular por lo tanto la solución general no

/— TCX TÍXhomogénea es: y j = (2>/2) [q eos— + c2sen— ] + 2

y0 = 6 = q —0 + 2 => q = 4

¡— V2 V 2 7y, = 3 = 2v2[— q + c2 — ] + 2 , de donde 3 = 2c,+2c2+2 ==> c2 = - —

.•. yx = (2V2)JC[4cos — - — sen— ] + 2 A4 2 4 “

© ^ + 2 + 8^ +i +16y.t = 25 ; y0 = 0, y, = 4

Solución

La ecuación auxiliar es: m2 + 8m + 16 = 0 , de donde


(rn + 4 )2 = 0 => m = -4, de multiplicidad 2, y la solución general de la ecuación

en diferencias homogénea es: yx = q (-4 )* + c2x(-4 )*

ahora calculamos la solución particular y se tiene:

2 5 _ 2 5 _ 1}’p 1 + 8 + 16 25 ^ }p

Luego la solución general de la ecuación en diferencias no homogénea es:

yx = c x( - 4 Y + c 2x ( -4 )x +\

y0 = 0 = q + 0 +1 => q = - 1

1y, = 4 = -4 c¡ - 4c2 +1 y x = - ( - 4 Y + - ( - 4 Y + 1

x 4

@ y x+2 - 8^ +i -9 y x = 24, y0 = 2, y, = 0

Solución

La ecuación auxiliar es: m2 - 8m - 9 = 0 , de donde

(m - 9)(m + 1) = 0 entonces mx= - 1, m2 = 9

Luego la solución general de la ecuación homogénea es: yx = q (~ l )x + c 29x

ahora calculamos una solución particular de la ecuación no homogénea

24yo 1 - 8 - 9

«fex v .»

Luego la solución general de la ecuación no homogénea es: yx = q ( - l ) + c 29 - -

y0 ■ 2 = q + c2 - c¡ = 3de donde 1

= 0 = -c. + 9c,c, = -

JI>=3( _ i ) . + i . 9 » - 2

508

f


10.14. EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD.-

Sea y t+2 +A¡yx+l + A2yx = k , una ecuación en diferencias no homogénea, entonces la

solución de la ecuación homogénea correspondiente converge a cero solo si

2 ± A, > 1 - A2 > 0, lo cual implica que 1 + Ax + A2 * 0 ; por lo tanto la solución de la

ecuación homogénea converge a cero solo cuando la ecuación no homogénea tiene una

k msolución particular y = -— - , es decir: Si la solución de la ecuación homogénea #

1 + A, + A2

correspondientes converge en cero, la solución de la ecuación no homogénea

¡cyx+2 + A yx+\ + A y x = k converge en - si la solución de la ecuación

1 + Al + A 2

homogénea correspondiente divergera, también diverge la ecuación no homogénea.

Si la ecuación er. diferencias yx+2 + Áxyx+x + A 2yx - k tiene una solución particular

k

1 + Aj -f A-,entonces y es un valor de equilibrio de y, y se denotara por y*.

Diremos que el valor de equilibrio se dice que es estable, o que la ecuación en diferencias

yx+2 + A y x+\ + A y x es estable, si toda solución de dicha ecuación converge en y*

para cada conjunto posible de condiciones iniciales y0 y yx.

kUna condición necesaria y suficiente para que el valor de equilibrio y* = ---------------sea

1 + A, 4- A

estable es p < 1, donde p = max{| mx |,|m2 |) donde m¡, nt2 son las raíces de la

ecuación auxiliar m1 + Axm + A2 = 0.

Ejempío.- Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones en diferencias, determine el

comportamiento de la solución particular.

(D 6yx+2 + 5yx+x - yx = 20 , y0 = 3 , y, = 8

Solución

La ecuación auxiliar es: 6m2 + 5m - 1 = 0, de donde

Ecuaciones en Diferencias509

(6m - l)(m + 1) = 0 entonces w, = -1 , nu - ~6

Luego la solución general de la ecuación homogénea yx = c, (—1)A + c 2(—)A6

20calculando la solución particular de la ecuación no homogenea: yp = 6 + 5_'j' ~ 1

por lo tanto la solución general de la ecuación no homogénea es:

yx = q í - l ) * +c^(—)■* + 2, ahora calculamos los valores de c, y c26

>’o =3 = 0, + c 2 + 2 , _ §c de donde \ 1 -y = - 5 ( - \)x + 6{ - ) x + 2

| yx = 8 = —<7, +-T- + 2 V 2 = 6 66

ahora determinaremos el comportamiento de la solución particular, como mx * m 2 y

p = max{\ mx \,\ m2 \ ) = \ entonces es divergente (oscilatoria)

© 4yJt+2- y x =15, y0 = 5 , y, =10

Solución

La ecuación auxiliar es: 4m1 -1 = 0 , de donde ni, = ; n u = —1 2 ‘ 2

la solución de la ecuación homogénea es: yx = c ,(-^ -)jr + c 2( ^ ) x

15 ,calculando una solución particular de la ecuación no homogenea yp - - — - - 5

Luego la solución general de la ecuación en diferencias no homogénea es:

yx = c , ( -~ ) '1 + c 2^\y ’ calculando los valores de c, y c2


ío =15 = C|+C2+5 iC, c, de donde \ 1 .-. y = 1 0 (- )Jt+5y =10 = — Lh-_2. + 5 } c -1 0 ,x 22 2 L

como ml * m 2, p = max{|/Wj |,|/n2 |} = < 1 entonces converge

© 8^ +2 - 6^ +i + ^ =9 , y0 =10, y, =5

Solución

La ecuación auxiliar es: 8m2 - 6m +1 = 0 de donde

(2m - 1 )(4m - 1) = 0 entonces m, = —, m-, = —2 " 4

La solución general de la ecuación homogénea yx = q (—) x + c2(—)x2 4

Calculando una solución particular yp de la ecuación en diferencias no homogénea

9 9 ,» ' i r ^ r r r 3 * ■v'>=3

Luego la solución general de la ecuación no homogénea

1 , 1 ,yx = q (—) + c2 (—) + 3 , ahora calculamos los valores de q y c2

y0 = 10 = q + c2 + 3 r _

c c\ c2 o dedonde f ! , y* = ( - ) Jt+ 6 ( - )Jt+3V, =5 = -J- + -¿ + 3 c, = 6 2 42 4 1

ahora determinaremos el comportamiento de la solución particular.

Como m{ wij y p = max{| m] |,| |} = — < 1 entonces es convergente

(■*) >'x+2 - 43’x+i + 43'x = 1. y0 =0,^1 =1

Solución


La ecuación auxiliar es: m~ - 4m + 4 = 0, de donde

{m — 2)2 = 0 => m = 2, de multiplicidad 2

Luego la solución general de la ecuación homogénea yx = q 2X + c 2x 2 X

calculamos una solución particular yp de la ecuación en diferencia no homogénea

yP = ,..I ■■■■■ =1 => yP = i 1 - 4 + 4 ^

por lo tanio la solución general de la ecuación en diferencias no homogénea.

yx = q 2X + c2x 2x + 1 , ahora calculamos los valores de q y c2

y0 = 0 = q + 0 + l ] q = - lde donde \ 1 yr = - 2 X + x 2 x + 1

y, =1 = 2q +2c2+ l lc2 =1

ahora determinaremos el comportamiento de la solución particular.

Como | m | = 12 | = 2 > 1, la solución es divergente.


( T ) Obtenga la solución general para

a) >*♦2 - y x = 0

b) yx+2 + 2yx+\ ~ 3 y x = °

c) yx+i -B vjt+i + 16y.v = o

d) y*+2 +4y^ - o

e) yx+2 + 4 yx+i - 12 yx = °

f) yx+2 - 6 y x+i + 9 y ^ = 0

las ecuaciones en diferencias siguientes

Rpta. yx = q + q > (-l)Jr

Rpta. yx = q ( l ) jr+ c2(-3 )jr

Rpta. yx = (q + c 2x)4X

t» 4- o x r XTZ K XRpta. yx = 2 [c, eos — + c2sen — |

Rpta. yx = c i ( - 6) x + c 22x

Rpta. yx = c,3* + c2x3x

cada una de

r

g) yx+2 + 4>’.í+1 +3yx =0 Rpta. yx = q (-1 )* + c2 (-3 )*

X— Tí X T í X

h) y*+2 ~2yx+l +1 y x - 0 Rpta. yx - 22[c, eos — + c2sen— ]

— 3TC X ^TTX¡) yx+2 + 2)Vh + 2yx = O Rpta. yA. = 22[c,cos—^ - + c2íen—p ]

j ) y*.2 - 3 6 ^ = 0 k) yx+2+8xt+6+16>'J(=0

D ^ 2 - 1 3 ^ 1 + 4 2 ^ = 0 II) y*+2+2yx+I +y x =0

© Obtenga la solución general para la ecuación en diferencias yx+2 + 3yx+1 +3 yx = 0 y la

l— Tí X i— T í Xsolución particular si y0 = 3 , y, = 0. Rpta. yx = (V3)J[3cos-------- 3\¡3sen— ]6 6

© Obtenga la solución general para la ecuación en diferencias 3yx+2 - 10yj:+1 + 3yx = 8 y la

solución particular si >0=5 , y¡ = 3. Rpta. yx = + ~ (3 )* -8

© Resuelva el problema con valores iniciales.


a) y x+2 - ty x+ i

IIoc+

0, y0 = Ví II O

b) y x+2 - 9 y x+\ + 20y, = 0, y0 := 1, y, =4

c) y x+2 + lOy.+i + 25y,. = 0, y0 = y, = 2

d) yx+2 -4 y JC+, + 4 yx = 0, y0 = II ool

e) yx+2 + 2yx+\ 1 00 >< II o . y0 = 2 - y{ = i

0 yx+2 + 2yx+\ + 2 yx = o, y0 = 6, y, = 0

g) y x+2 + 2yx+1 + 2yx = o, y0 = yi = 2

h) yx+2 -16vx+i + 64yx = 0, y0 = 0, y, = 8


( 5) Resuelva cada una de las ecuaciones en diferencias y determine el comportamiento de 1;

solución particular y calcule los primeros valores de esta.

a) yx+2 -3^+1 +3y, =5 y0 = 5 , y, = 8

Rpta. yx = 2{\Í3)Xs e n ^ - + 5 , divergente (oscilatoria)

b> 6yx+2 + 5 yx+i - yx = 20- >0=3 , y, = 8

Rpta. v = -5 ( - l ) * + (—Y~l +2 , divergente (oscilatoria)6

c) 8yx+2 - byx+l + y; = 9 y0 = 1 0 = 5

1 iRpta. >’ = 6 ( - )A + (—) x + 3, convergente

4 2

d) yx+2 ~5yx+\ + 6 yx = 4 , y0 = ° - y\=s

Rpta. yx = 3X+1 -5 (2 )* + 2, divergente

e) yx+2 - 2yx+i + 2yx = 3 , y0 = 5 , y, = 6

Rpta. yx = ( j 2 ) x(2 c o s ^ - + s e n ^ - ) , divergente (oscilatoria)

f) 12y,+2- 7 y x+1+ y x =18, y0 = 0 , y, =3

Rpta. yr = ~12(—)x + 9 ( - )A + i , convergente4 3

© Resuelva cada una de las ecuaciones en diferencias y determine el comportamiento de I

solución particular y calcule los primeros valores de esta.

» ) 9yx+2 ~ 6 yx+1 + yx = 16 > = 0 > y¡ = 3

I r I rRpta. y, = —4(—) + x ( - ) + 4, convergente3 3


b) 4y*+2 - y x = 15’ 3'0 = i5,

Rpta. yx = 10( —)x + 5 , convergente

c> 3'J+2-7> 'x+i+12yA.= 2 , y0 = 0 , y, =1

Rpta. yx = -2 .3 ' + “ 4’1 + -j , divergente

d> ^ +2- 4^ = 9 , y0 = 0 , y i = l

Rpta. yx = Y ( -2 ) * + 2X - 3 , divergente

e) 3yt+2 + 5yA.+1 + 2yx = 4 , y0 = 0, yv = 1

3 2 2Rpta. yx = - ( - —)•' - ( - ! ) * + — , divergente

Apéndice 515

A P E N D I C E

I. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.-

© sen (A ± B) = sen A eos B ± eos A sen B

© eos (A ± B) = eos A eos B + sen A sen B

© eos2/1 = cos2 A -s e n 2A © sen 2A = 2 sen A eos A

( i ) sen2A = — (l-co s2 A ) ( ó ) eos2 A = ^ ( l + cos2A)

© sen mA.cosnA = ^ sen( m + + Sen{m - n )A ]

senmA.sennA = — [eos(m - n ) A -eos(w + /i)AJ

© eos /nAeos nA = - [cos(/n - n)A + cos(m + n) A]

( ío ) sen (tc - A ) = sen A ; eos (rt - A ) = -eos A

senA = cos (j4 -y ) = co s (^ -/ l)

© eos A = sen(A + —) = sen(— - A)2 2

^ 3 ) sen (-A ) = - sen A ; eos (-A ) = eos A

A + B A 13( u ) sen A + sen B - 2 sen (— - — ) cos(— - — )

® A + B A - Beos A + eos B ~ 2 cos(— -— ) cos(— - — )


16) cos A -cosB = 2 sen(—^ - ) .s e n (~ — —)2 2

© tg (A + B ) = -tg A + tgB

- tgA .tgB

II. FUNCIONES HIPERBOLICAS.-

© senh A -

© tghA

A - A e - e

eA - e ~ AA . - Ae + e

( 5) cosh2 A -s e n h 2A = 1

( l ) l - c t g h 2A = -cosech 2A

III. LOGARITMOS.-

18) t g ( A - B ) =t g A - t g B

\ + tg A .tg B

( 2) cosh A =

( 4 ) ctgh A =

„A . „-A e +e

„ A , „ - A e +eA - Ae - e

( ó ) 1 - t g h 2A = sech2A

© cosh 2A - cosh2 A + senh2 A

a x - N , a > 0 <=> x= \ o g a N x — ey <=> y = log x = Lnx

© loga AB = loga A + loga B

( 5 ) log. A" = n loga A

© l°S a^ = ôga A -\ o g a B

@ loga V a = - l o g 0A

® log Nlogfo N ~ log, a.log N = — -— (cambio de base)

1r\rr h!og hb

IV. SUMATORIAS.-

n

© I / - -n(n + 1) © X 'S (n + l)(2n + l)

Apéndice 517

@ V ¿ 3 = w2(w + 1)2 @ ¡ 4 = ^ ( n + l)(6n3+9n2+ n - l )

1=1 1=1

© A . —íí— © = y (%-*(,*^ A k ( n - k ) ^ k

k=0

V. ECUACIONES CUARTICAS.-

x4 + 2px3 + qx2 + 2rx + s= 0, sumando (ax + b)2

x4 + 2px3 + q: + 2 rx + s + (ax + b)2 = (ax + b)~

x■4 + 2px3 + (a2 + g)x2 + 2 (r + ab)x + s + b2 = (ax + b)2

(x + p x + k ) = (l2X + )

x4 + 2/?x3 + (p2 + 2k)x2 + 2pkx + k2 = (ax + b)2

p ~ + 2k = a " + q\2pk - 2 r = 2ab

2pk = 2( r + ab) - '

k2 -s+b2

7 7( p k —r)~ = a~b~

pk —4 = ab

I a~ — p~ + 2k — q

Ib~ - k 2 - s

(pk - r)2 = a2 b2 = (p2 + 2kp - q) (k2 - s)

simplificando: 2k3 - qk2 + (2pr - 2s)k - p2 s - r2 + qa = 0

Hallando las raíces de k se tiene: (x2 + px + ky = (ax + by

x2 + px + k = ± (ax + b) de donde■ x 2 + ( p - a ) x + k - b = 0

x2 +(/> + a )x + £+¿ = 0


VI. ECUACIONES CUBICAS.-

x3 + px2 + qx + r = 0 haciendo x = y - ~

2 3

se transforma en y3 + ( q - — )y + — — — + r = 03 27 3

y3 + Qy + R = 0

se hace y = A + B

3 R , IR 2 , 0 3 r»3 * R2donde: A' = -----+ . — H------ , # = ------------. — +2 V 4 27 2 1 4

VII. DERIVADAS ELEMENTALES.-

© y = f ( x ) = c => ~ = f ( x ) = o ax

© y = k f ( x ) = c => ^ = k f ' ( x )dx

© >> = / ( x ) ± £ ( x ) => ^ = / ' ( x ) ± g ( x )ax

G ) y = . f ( x ) = x 11 => = f ' ( x ) = nx"-1títJC

d ) >> = / ( * ) • £ ( * ) => ^ = / ' ( x ) . g ( x ) + / (x ). ,g '(x )£7X

( T ) ... ^ ( x )s ( * ) g ( x ) 2

© y = ( / ( * ) ) " => ~ = n ( f ' { x ) ) n ' f { x )

to 1

(0

Apéndice 519

VIII. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS.-

© y = sen (/ (x )) => y - = e o s / (x ) ./ '(x )dx

© y = eos ( / ( * ) ) =* = -sen ( / (x ) ) . f ' ( x )dx

© y = tg( / ( * ) ) => ^ = sec2(/ (x ) ) . / ' ( x )fix

© y = c tg (/ (x )) y - = -cosec2(/ (x ) ) . / ' ( x )dx

© y = sec (/ (x )) => ^ = s e c (/ (x ) ) .t g (/ (x ) ) ./ '(x )

© y = cosec(/(x )) => ^ = -c o s e c (/ (x )).c t g (/ '(x ) ) ./ '(x )

© y = are. sen (/ (x )) => ^ - = - = L i = L =dx y j l - f 2 ( x )

® * ‘ ore'cos(/w)^ £ ' ; ^ r j %

® , = « re. t g (/ ( , ) ) * |

(ÍO ) y = arc.ctg(/ (x )) — ^ ^

© y = arc. see ( / (x ))

¿x- l + / - ( x )

¿y _ / ' ( * )dx

|/W |J /2 W - 1

yEduardo Espinoza Ramos

©i r / w dy - f ( x ) v = are. cosec( f [x )J => — = ------------- — -------

dx \ f ( x )\ J f 2 ( x ) - l

IX. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.-

© y - f o S a ( f ( x ) ) =* 3 = Sa • / ’(*)> a * 0 , ldx f (x)

© y = ln (/ (x ) ) => ? l = L M ” dx f ( x )

© y = a/W => — = a/ W . ln a . / ’(x) dx

© y _ e/W dy_ = ef(x) . / ' ( * ) dx v ;

© y = ( / W ) s(v) =* £ = * ( x ) ( / ( x ) f W ~’ . f ( x ) + ( f ( x ) f x ) l n ( f ( x ) ) . g ' ( x )

X. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS.-

© y = senh (/ (x )) => J = co sh -(/ (x ))./ '(x )

© y = cosh( / (x )) => ^- = se n h (/ (x ))./ '(x )

© v = tgh (/ (x )) => ~ = sech2 ( f ( x ) ) . f ' ( x )

© y = ctgh( f ( x ) ) => ~ = -cosec*2 ( / ( * ) ) . / '(x )

© y = sec/i(f ( x ) ) => ^ - = -s e c 7 i (/ (x )).tg h (/ (x )) ./ '(x )

Apéndice 521

( ó ) y = cosech(/(.x)) => ^ =-cosech ( / ( * ) ) . ctgh ( / ( * ) ) . / ’(x )

( ? ) y = arc.senh(/(x)) => ^ - = '

dx

dy / ' ( * )

dx y ¡ f 2 ( x ) + 1

® , = orc.cosh (/ (*)) =» £ = - í Í M -

( ? ) y = are.tgh (/ (x )) =» ^ < 1

@ y = arc.ctgh (/ ( a )) =» £ = j ’ / W > 1

( n ) y = arc.sec/i(/(x)) => ^dx f ( x ) y j l - f 2 ( x )

(Í2 ) y = arc.cosech(/(x)) ^

XI. TABLA DE INTEGRALES.-

( T ) jc iá t = ax + c ( 2) J f c / W í t e - iJ / W d x

0 J d (/ (x )) = / (x ) + c

( 4 ) j (/ (x )±g (x ))í/x = | f ( x ) d x ± j g(x)dx

( T ) J xndx = ——-j- + c, « * - 1 ( ó ) J undu - n + ^+ c ’ n * - \

( 7 ) J — = Lw|«| + c ( ¿ ) Je“í/u=eM+c


( 9) \a“du=-^— + c, a > O, a * 1J lno

@ ) , = —arctg —+ cJ a" + u~ a a

J a -u ~ 2a

( Î Î ) f - * - = -LinJ u - a 2a

u — a

u + a+ c

U+ au -a

13) f ... F = arc. sen(—« yja~ — ü

) + c

du

yfu“ + a '

í

du

yju2 - a 2

■ - Ln

= Ln

u + sju2 + a 2

I 7 2"w + yju~ - a“ + c

-¿zrc. sen— (-c a

( íó ) jV a 2 - u 2du = ^ 4 a 2 - u 2 + ~

(Í t ) j j u 2 - a ¿d u = ^ y j u 2 - a 2 - ^ - L n u + sju2 -

f / 2 . 2 1 w f~2 2" x / 2 TIVw + a d u = — \¡u~+a + — L n u + yju + a +j 2 2

19) fsenwúÍM = — cosm + c

( 2 1 ) J tg udu = -L«|cos«j + c

© J see udu - Ln |sec m + tg «| + c

(24) JcosecMí/« = L/í|cosecM-ctgw| + c

^ 5 ) Jsec udu - tg ¡i + c

20) J eos udu = sen u + c

J etg udu = Ln |sen u\ + c

(26) J cosec2 udu = - etg u + c

Apéndice 523

( 2?) j sec « tg u du - see i/ + c (28¡

(29) f senh udu = cosh u + c (30)

^3l) J tgh udu = Ln jeosh 11 ¡ + c ($2

© J see h2udu = tgh u + c (34

© J see hu. fgh udu = - see hu+c

36) j eoseeh u. ctgh udu = - cosech u + c

au „ , au (asen(bu')-bcos(bu))euu sen(6w )du = eau------------ 5----- 5-----------+ c

a~ +b~© J

1 au „ w au(acos(bu) + bsen(bu)) : ^(38) e eos (bu )du=e ------------ ----- ------------ + c

a + b

XII. NUMEROS COMPLEJOS.

z = a + b i , Zi = c + di números complejos

(T ) z, + z 2 = ( a + c ) + (b + d ) i ( 2 )

® z, ac + bd b c -a dT = T + - T - ^ 'c +d~ c +d~

XIII. FORMULA DE MOIVRE.

© (a + bi)" = r" (eos nd + i sen nd )

© „/-----— - , ,9 + 2kn, . 9 + 2knyja + bi = r " [cos(------------ ) + 1 sen(----------- )]

n n

J cosee u.ctg u du = sec u 4 r

J cosh udu = senh u + c

J ctgh udu = Ln |sec hu\ + c

J cosech2 udu = - ctgh u + c

Z] .Z2 = (a c -b d ) + (bc - ad )i

524

BIBLIOGRAFIAEduardo Espinoza Ramos

D Matemáticas Superiores para Ingeniería por: C.R. - W YLIE , JR.

1) Matemática Avanzada para Ingeniería. Volumen I por: ERW IN KREYSZIG.

D Ecuaciones Diferenciales por: KREIDER - KULLER - OSTBERG.

5 Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

por: A. K ISELIOV - M. KROSNOV - G. M AKARENKO.

D Ecuaciones Diferenciales por: DONALD - L. KREIDER.

D Ecuaciones Diferenciales por: RALPH PALM ER AGNEV.

z) Ecuaciones Diferenciales Aplicadas por: M.R. - SPIEGEL.

5) Ecuaciones Diferenciales Elementales por: L.M. KELLS.

E) Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera

por: W IL L IA N E. BOYCE - RICHARD C. PRIMA.

2) Matemáticas Avanzadas para Ingeniería por: ERW IN KREYSZIG Tomo 11

5) Ecuaciones Diferenciales por: TAKAUCHI - RAM IREZ - RUIZ.

3> Ecuaciones Diferenciales por: KAJL NIELSEN.

3> Ecuaciones Diferenciales por: SHEPLEY L. ROSS.

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© Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones

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5) Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones por: F. SIN MON S.

5) Curso Elemental de Matemática Superior. Tomo V por: J. QUINET.

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Hibliografía 525

(1 9 ) Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

por: W ILL IA N E. BOYCE Y RICHARD C. DIPRIM A.

(20) Ecuaciones Diferenciales y Calculo Variacional por: L. EL SGOLTS.

(S í) Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por: EARL Y. CODDINGTON.

(2 2 ) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático

por: G. BARANENK O V - B. DEM IDOVICH.

(23) Ecuaciones Diferenciales por: H. B. PHILLIPS.

(24) Ecuaciones Diferenciales por: HARRY W . REDDICK y DO NALD E. KIBBEY.

(2 5 ) Introducción al Análisis Lineal

por: KREIDER - KULLER - OSTBERG - PERKINS. Tomo II.

(26) Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones por: BETZ BURCHAM EW ING.

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^ 8 ) Matemática Superior en Ejercicios y Problemas por: T. y A. K O ZH E ’VNIKOVA.

^ 9 ) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático por: G.N. BERM AN.

(30) Matemática para Administración y Economía

por: JEAN E. DRAPER, JANE S. K LING M AN. JEAN WEBER.

(31) Matemática para Economistas por: TARO Y AM ANE.

^ 2 ) Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por: CARLOS IM O Z - ZOENEK VORKL.

(3 3 ) Matemática Superior para Matemáticos, Física

e Ingenieros. Volumen II por: R. ROTHE.

(m ) Análisis Matemático por: PROTTER - MORREY.

(35) Análisis Matemático. Volumen II por: HAASER - LA SALLE - SULLIVAN.

(3ó) Calculus. Volumen II por: TO M M. APOSTOL.

^ 7) Ecuaciones Diferenciales por: F. M ERCELLAN, L. CASASIAS, A. ZARZO.

526 Eduardo Espinoza Ram os

(38) Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones por: DENNIS G. ZILL.

(39) Matemáticas Avanzadas para Ingeniería por: PETER V. O ’NEIL.

(40) Ecuaciones Diferenciales por: C.H.EDWARDS, JR. DAVID E. PENNEY.

Matemáticas para Administración y Economía por: S.T. Tan

(42) Matemáticas para Administración y Economía por: Ernest F. Haeussler

(43) Matemáticas para Administración y Economía por: Lial Hubmerford

(44) Matemática Aplicada a la Administración

y Economía por: Jagdish Arya, Robin Lardner

^ 5) Cálculo Aplicado para Administración y Economía por: Laurence D. Hoffmann

(46) Matemáticas para Administración y Economía por: Jean E. Weber

(•47) Matemáticas Finitas para Economistas y

Administración por: G. Hadley, M.C. Kemp

(48) Métodos Fundamentales de Economía matemática por: Alpha C. Chiang

(49) Matemática, Aplicaciones a la Ciencias

Económica - Administrativas por: Michael L. Kova Cic

(50) Métodos Matemáticos para Economistas por: J. Colin Glass

(sT) Matemáticas y métodos Cuantitativos,

para Comercio y Economía por: Stephen P. Shao; Cristina Rodríguez

Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura.

Catedrático de las principales Universidades de la Capital

OBRAS PUBLICADAS

► Solucionario de Análisis Matemático por Demidovich tomo III► Solucionario de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II► Solucionario de Leithold 2da. Parte.► Geometría Vectorial en R2► Geometría Vectorial en R3

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