Ecuaciones exactas y homogneas.

Ecuacin diferencial exactaEn matemticas, una ecuacin diferencial exacta es una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0, Donde las derivadas parciales de las funciones M y N: yson iguales. Esto es equivalente a decir que existe una funcin F(x, y) tal que:

Dnde: Dado que F(x, y) es una funcin diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

Mtodo de resolucin. Para resolver una ecuacin diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos: Comprobar la exactitud de la ecuacin, esto es, verificar si las derivadas parciales deM(con respecto ay) y deN(con respecto ax) son iguales. Se integraMoNa conveniencia (Mrespecto axNrespecto ay) obtenindose de este modo la solucin general de la ecuacin aunque con una funcin incgnitagque aparece como constante de integracin. Esto es:

Para despejar la funcingse derivacon respecto a la variable independiente deg. Se igualag'conMoN(si se integrMse iguala aNy viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente deg; de este modo se encontrar la funcing. Finalmente se reemplaza elgencontrado en la solucin general.

Factor integrante.Si una ecuacin diferencialnoes exacta, podra llegar a serlo si se multiplica por una funcin especialllamadafactor integrante, tal que:sea exacta.Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero slo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fcilmente:Factor integrante solo en funcin dex.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto ax(es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:

Cabe decir que para queexista, es condicin necesaria y suficiente que el miembrotiene que ser funcin nicamente de x. (Aclarando queyequivalen a las parciales de estas;yrespectivamente).Factor integrante solo en funcin dey.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto ay(es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:

Factor integrante solo en funcin dex+y.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto ax+y(es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:Con

Factor integrante solo en funcin dexy.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto axy(es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:ConDondeMxCabe mencionar que:

Ejemplo1.- sea la funcin diferencial:

Solucin

Para ver si es diferencial exacta hacemos:

Puesto que se verifica la condicin necesaria y suficiente, podemos poner:

E integrando:

Derivando ahora respecto de y e igualando a Q:

Con lo que la solucin general de la ecuacin ser:

Ejemplo2. sea la funcin diferencial:

Solucin.

Operando como en los casos anteriores se comprueba que esta ecuacin no es una ecuacin diferencial exacta, no obstante, si multiplicamos todos los trminos por 1/xy nos queda:

Con lo que obtenemos una ecuacin diferencial que si cumple las condiciones de ser diferencial exacta y a la que podemos aplicarle el mtodo que estamos desarrollando:

Derivando respecto de y e igualando a Q:

Y de esa forma, la solucin general ser:

Ecuaciones diferenciales homogneasExisten algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogneas es necesario definir lo que es una funcin homognea.Definicin[Funciones homogneas]

Una funcinse dice homognea de gradosi

Para todoy todo.

Ejemplo1. La funcines homognea de grado.2. Las funciones,,son homogneas de grado 0.3. Las funciones,,son homogneas de grado 2.Ahora definimos lo que es una ecuacin diferencial homognea.Definicin[Ecuacin diferencial homognea]

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, , es homogneasi la funcines homognea de orden cero.

Observacin:si la ecuacin diferencial est escrita en la forma

Seran homogneos s y slo s los coeficientesyson funciones homogneas del mismo grado.Teorema

Si la ecuacin diferencial ordinaria de primer orden

Es homognea, entonces el cambio de variablela reduce a una ecuacin diferencial en variables separadas.

Demostracin:Al hacer la sustitucin obtenemos

Pero comoes una funcin homognea de grado cero tenemos que

De donde

La cual es separable, como se quera.

Ejemplo1Resuelva la ecuacin diferencial

La ecuacin diferencial es homognea puesyson homogneas de grado dos

Haciendo la sustitucin

De donde

Integrando y volviendo a las variablesyobtenemos

Note quees una solucin singular de la ecuacin diferencial dada.Observacin:Cuando la ecuacin diferencial homognea est escrita en la forma

Conviene ms rescribirla en la forma

Y aplicar qu el cambio de variable.Ejemplo2

Resuelva la ecuacin diferencial

Factorizando

Haciendo la sustitucin

Integrando

Y despejando

Universidad de la costa

Trabajo de ecuaciones diferenciales

Profesor: Alexis vela

Facultad de ingeniera

Grupo: AD1

02/03/15