Reflexiones Matemáticas. Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas. Prof. Joel Amauris Gelabert S. 829-292-9484.

LOGARITMOS NATURALES.

Propiedades de los logaritmos.

1.- El logaritmo de la base es igual a la unidad.

Log x x=1.

2.- El logaritmo de la unidad es igual a cero.

Log x 1=0.

3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Log x (A x B)= log x A + Log x B.

4.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

Log x ay= y log x a.

5.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido entre el índice de la raíz

Log =

6.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Log

= log A – Log B.

7- Los números negativos no tienen logaritmo.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella ecuación en la cual la variable está afectada por la operación de logaritmación.

Ejemplos.

Log2 (x+2)3=6

Log3 (x+4)+Log3(x-4)=2

Log5 (x+64)-Log5 (x-8)=2

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA

Para resolver una ecuación logarítmica debemos dar los siguientes pasos:

1.- La ecuación dada se expresa como el logaritmo de una sola expresión.

2.- Se expresa de la forma exponencial.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

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EJERCICIOS RESUELTOS.

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1.- Log3 (x-4)+ log3 (x+4)=2

Expresamos la ecuación como el logaritmo de una sola expresión.

Log3 [(x-4) (x+4)]=2 Expresamos la ecuación de la forma exponencial.

(x-4)(x+4)=32

X2 +4 x-4x-16=9

x2 – 16= 9

x2 = 9+16

x2 = 25 Se aplica radicación en ambos lados.

= Se busca raíz cuadrada en ambos lados.

X = 5

2.- Log4 (x2 +12x+35)-Log4 (x+7)=2

Log4

=2

(x+5)=42 Expresamos de la forma exponencial. X+5=16 x=16-5

x = 11

3.- Log4 (2x2+6x+12)2=3

(2x2+6x+12)2=43

(2x2+6x+12)2= 64

=

2x2+6x+12= 8

2x2+6x+12-8=0

2x2+6x+4=0

2(2x2)+2(6x)+2(4)=0

Hacemos a=2x

a2+6a+8=0 Buscamos los factores de este trinomio. (a+4)(a+2)=0

(2x+4)(2x+2)=0 Se sustituye a a por 2x

=0 Divido por 2 para volver el trinomio a su forma original

(x+2)(2x+2)=0

Se iguala cada factor a cero

x+2=0 Los valores de x son: 2 y 1 x= 2

Se factoriza trinomio 2x2+6x+4 para hallar el valor de x se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del término cuadrático y el 6 por 2.

Se aplica la propiedad del opuesto aditivo y se transpone el 5

Expresamos la ecuación como el logaritmo de una sola expresión y factorizamos el numerador.

Efectuamos el producto de (x-4) (x+4) y se transpone el 16

2x+2=0 2x = 2

=

x= 1

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4.- (x+1)+ (x 1)=0

[(x+1) (x 1)]=0

(x+1)(x 1)=

1=8

= 8+1

= 9

=

x=9

5.- =

(x+1)

= 0

= 0

=

=1

=12 =

=1

5x+1=x+1

5x x=1 1 4x=0

=

x= 0

6.- x2 + x =1

[(x2) (x)]=1

x3 =271

x3 =27

=

x=3

Observa el procedimiento que se llevó a cabo para resolver cada ecuación logarítmica.

Recuerda que:

1.-

=

2.-

=

3.-

=

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Evaluación.

Aplique las propiedades de los logaritmos y calcule el valor de las siguientes operaciones.

1.- Log

=

2.- Log

=

3.- Log [(720)(245)]=

4.- Log (368)4 =

5.- Log

=

6.- Log

=

Exprese de forma exponencial a logarítmica y viceversa.

1.- 625 =4

2.- = 343

3.- 4,096 =4

4.- 1,728=3

5.- =256

6.-

=2

7.-

= 3

8.- = 216 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1.- Log (x2 16) Log (x+4)=2

2.- (x3 27) (x2+x+1)=3

3.- (x 6)+ (x+6)=2

4.-

=1

5.-

=2

Es hora de poner en práctica lo que aprendiste.