Ecuaciones Tomo II

Planteo de Ecuaciones TOMO II

1

Tomo II

Planteo deEcuaciones


2

OBJETIVOS:

Desarrollar en el estudiante la capacidadinterpretativa de situacionescontextualizadas a travs de Ejercicios yproblemas con enunciados.

Ejercitar la capacidad de abstraccin parainterpretar y trasformar los datos, de unproblema, en un lenguaje matemtico.

Lograr una destreza al traducir el lenguajeliterario (enunciado) al lenguajematemtico (ecuacin), mediante el uso desmbolos, variables y operacionesmatemticas fundamentales.

Elevar la capacidad creativa para modelarnuevos procedimientos o nuevos problemasque involucren la resolucin de unaecuacin.

Relacionar matemticamente hechos denuestra rutina diaria.

PRODUCCIN:

La contextualizacin de problemas implicautilizar nuestro lenguaje para crear un tramadode palabras y frases que contengan relacionesmatemticas. El planteamiento de ecuacionespuede considerarse como un proceso inverso,donde el alumno debe interpretar el mensaje yencontrar las relaciones que se plantean en elproblema para su posterior resolucin.

Desde la poca de los Vedas, los matemticosde la India se interesaron en estas ecuaciones;el primer uso geomtrico de estas se remota alos Shulba Sutras, los cuales fueron escritosentre los ss. VIII y VI a.c. Su estudio fue uno

de los favoritos entre los matemticos griegosde Alejandra, siendo Diofanto (entre los aos200 y 290 a.n.c.) el primer matemticohelenstico que estudi estas ecuaciones. En suprincipal obra la Arithmetica, tratado de 13libros donde plantea y resuelve 150 problemasde lgebra, se dedica casi exclusivamente a laresolucin exacta de ecuaciones determinadase indeterminadas e investiga un mtodo paraencontrar las soluciones enteras. Por todo ello,a las ecuaciones de primer grado con dosincgnitas se les llama, tambin, ecuacionesdiofnticas, ya la rama del anlisis que sededica a su estudio se conoce hoy en da comoanlisis diofntico.

Resolver una ecuacin no es adivinar unresultado, es seguir un proceso lgico, basadofundamentalmente en las propiedades de lasoperaciones de adicin, multiplicacin,sustraccin, divisin etc. Para hallar el valor dela incgnita; o variable antes de resolver unaecuacin cualquiera, nos interesa sobre manerasaber formar dicha ecuacin que no es otracosa que traducir un enunciado abierto de suforma verbal a su forma simblica .Losproblemas matemticos son ms antiguos quela matemticas, estos se encuentran enunciadosen forma de rompecabezas o en lenguajepotico en los escritos ms antiguos. En unpapiro Egipcio que data del ao 2200 A.C.pregunta: Un ramo de flores y su sptimaparte dan 19. Qu tan grande es el ramo deflores?

En un escrito de la India (1150 A.C.) se tieneel siguiente problema: De un ramo de floresde Loto, la tercera, la quinta y la sexta parte seofrecieron a los Dioses Siva, Vishnu , y , aqueltiempo ,el Sol, respectivamente; un cuarto de1


3

ramo original se le ofreci a Bhavani los seislotos restantes se le dieron a un venerablepreceptor, Diga rpidamente el nmero totalde flores de Loto . Como puedes apreciar, lamayor parte (por no decir todos) de losproblemas que encontramos en nuestros librosno son nuevos como puedes suponer, si no masbien los mismos (los antiguos) peroactualizados a nuestra poca. Desde el tiempode los Griegos , los problemas han estimuladoel desarrollo de las Matemticas y hanconducido a los matemticos a inventar nuevosmtodos y crear nuevos conceptos.

La resolucin de problemas nunca fue uncampo de dominio exclusivo de losMatemticos. En todos los tiempos han sido unestimulo intelectual y de diversin paramuchos profesionales de otros campos, Losprimeros matemticos, quienes fueron losmesopotmicos, que inventaron un notablesistema de numeracin y los mtodosfundamentales del lgebra , considerada comoel arte de resolver ecuaciones, Histricamente,se le acredita el desarrollo de la representacinsimblica al matemtico y hombre de leyesfrancs Francois Vite (1540-1603) alrededorde 1600 ,en su libro In Artem emplea vocalespara representar las cantidades desconocidas yconstantes para las conocidas. Unos aos mstarde, el sabio y filsofo francs RenDescartes (1596-1650) utiliza x e y; comovariables en la creacin y desarrollo de lageometra analtica.

Plantear una ecuacin es traducir el lenguaje,escrito (enunciado de un problema) a unlenguaje matemtico o simblico (ecuacin).Para la correcta traduccin de un enunciado auna ecuacin, tenga algunas recomendaciones:

Leer detenidamente el enunciado delproblema hasta interpretar el tratado.

Ubicar los datos y la pregunta claramente.

Elegir las incgnitas que se desea conocer.

Plantear la ecuacin relacionando los datosinterpretados.

Resolver la ecuacin planteada. Veamosalgunos ejemplos de traduccin dellenguaje escrito al lenguaje matemtico.

Problema en elLenguaje Literal

En el LenguajeAlgebraico

Un comerciante teniauna cierta cantidad dedinero.

x

En el primer da gastS/. 100 x = 100

Aument luego a loque quedaba un terciode ste.

x-100+31

(x-100) =

34

(x-100)

Al da siguientevolvi a gastar S/.100en telas chompas, conlo cual nuevamentetiene la cantidad quetuvo al inicio.

34

(x-100) 100 = x

3700x4

= x

Cual fue la capitalinicial? x = 700

Tuvo inicialmente S/. 700.00

Lenguaje Escrito LenguajeAlgebraicoLa suma de tres

nmerosconsecutivos es 120

x + (x+1)+(x+2)=120

El triple de unnumero, aumentado

en 53x + 5

Josy S/. 40 mas queRay

Josy Ray1 + 40 x

El triple de unnumero aumentado

en 23(x + 2)

El objetivo de este captulo es ayudarle atransformar un problema verncular en unaexpresin algebraica (ecuacin).

Lenguaje LiteralVernacular

LenguajeMatemtico

Traduccin


4

La parte ms difcil al resolver un problema deaplicacin suele ser su traduccin en unaecuacin.

Por tal motivo antes de resolver algunosproblemas, practicaremos la traduccin delproblema a su representacin algebraica.

PLANTEO DE ECUACIONES

Uno de los motivos ms interesantes de lasmatemticas, consiste en el arte de interpretar(traducir) un problema en el lenguaje literal(vernculo) a un lenguaje matemtico, conayuda de smbolos, variables y operacionesfundamentales

Este motivo se denomina Arte deplantear, ecuaciones :

Leer cuidadosamente el texto del problemahasta comprender de que se trata.

Ubicar los datos y la pregunta.

Elegir la(s) variable(s) con las cuales se vaha trabajar.

Relacionar los datos con las variables paraplantear una o mas ecuaciones que alresolver nos den la solucin del problema.

Veamos a continuacin algunos ejemplos detraduccin parcial de un problema.

Lenguaje Castellano(Enunciado)

LenguajeMatemtico

(Simbolgica)Un numerodisminuido en 7 x 7

Mi edad es 2 veces tuedad

Tu: xYo: 2x (2 veces)

Mi edad es 2 vecesmas que la tuya

Tu: xYo: x + 2x = 3x(dos veces ms)

El triple de un 3x + 5

numero aumentadoen 5El triple, de unnumero aumentadoen 5

3(x + 5)

La suma de los 3nmerosconsecutivos

x + (x+1) + (x + 2) (x 1) + x + (x + 1)

El exceso de A sobreB es 5 A B = 5

A es excedido por Ben 5 B A = 5

La suma de dosnmeros es 13

1x + y = 13 xy (13 - x)

A es a B como 3 es a5 5

3BA A=3k;B=5k

Por cada 3 varoneshay 7 nias

Varones: 3kNias: 7k

Qu parte de A esB? A

B

Qu tanto por cientode A es B? A

Bx 100

7 menos 3 veces unnumero 7 3x

7 menos 3 veces unnumero 3x 7

A es 9 mas que B A B = 9La mitad de x estanto como elquntuple de y 2

x= 5y

Plantear una ecuacin significa representarmediante igualdades las condiciones orelaciones que existen entre las incgnitas y losdatos del problema.

Plantear una Ecuacin

ENUNCIADO EXPRESIN MATEMTICA(Forma Verbal) (Forma Simblica)

LenguajeComn

(Enunciado)

LeerInterpretarSimbolizar

Lenguajematemtico(Ecuacin)

Resolucin de laecuacin


5

Enunciado ExpresinMatemticaEl triple de un nmero susequivalentes. 3 veces unnmero. 3x2 veces ms que un nmero.

3x

El cudruple de lo que tengo,disminuido en 5 4x 5

El cudruple de lo que tengo,disminuido en 5 4(x - 5)

La suma de dos nmeros es20

Si uno es x,entonces elotro ser:

20 xA es 2 veces B A es el doble de B B es la mitad de A

A 2B A: 2xB x

A es 2 veces ms que BA es 3 veces BEN GENERAL:n veces mas n + 1 veces

A = B + 2BA = 3B

A excede a B en 3; o susequivalentes:A es mayor que B en 3; elexceso de A sobre B es 3; Bes excedido por A en 3; ladiferencia entre A y B es 3.

A B = 3

A: x + 3B: x

A es a B como 2 es a 3; A esa 2 como B es a 3; larelacin entre A y B es 2/3;por cada 2 de A hay 3 de B

32

BA

A: 2kB: 3k

5 menos 3 veces un numero. 5 3x5 menos de 3 veces unnumero 3x 5

El producto de 3 nmerosconsecutivos.

x(x+1)(x+2) (x+1)x(x+1)

Un numero impar

Sea ten un enterocualquier, entonces 2x8a par y ( 2x + 1) es un

nmero Impar

Tres imparesconsecutivos

La diferencia entre dosnmeros imparesconsecutivos es 2.

Sea ( 2x + 1) el Imparms pequeo entonces,108 nmeros pedidos

sern:(2x+3) y (2x + 5)

La edad de Juan es eldoble que la de Luis yla de ste es el tripleque la de Ricardo.

Sea edad de Ricardo = xLa de Luis ser = 3x

Y la de Juan = 6x

Expresar cada una deestas edades en funcin

do una de ollas

Una fraccin cuyonumerador es Igual a

cuatro veces eldenominador menos 3

unidades

Sea x eldenominador. Elnumerador ser:

4x 3 y la fraccin:

x3x4

RECUERDA

ENUNCIADO SMBOLOS

La suma de tresnmerosconsecutivos es 70

x+(x+1)+(x+2) = 70

La edad de Lenin esdos veces la edad deBryan

Lenin Brayan2x aos x aos

La edad de Jos esdos veces ms que laedad de Juan.

Jos Juan3x aos x aos

Yo tengo la mitad delo que tu tienes y ltiene el triple de loque tu tienes.

YO TU ELx 2x 6x

El triple de unnmero, aumentadoen 10

Sea x el numero3x + 10

El triple, de unnmero aumentadoen 10

Sea x el numero3(x + 10)

El exceso de Asobre B es 50 A B = 50

En una reunin haytanto hombres comoel doble del nmerode mujeres.

Hombres Mujeres2x x

Ha comprado tantascamisas como solescuesta cada una.

Compro: x camisasc/u cuesta: S/. x

Any tiene S/. 50 msque Lela.

Any LelaS/. (x+50) S/. x


6

Ahora les toca a ustedes.

1) Traducir al lenguajesimblico los siguientesenunciados:

Enunciado Verbal LenguajeSimblico1) El triple de un numero,

aumentado en sieteveces el numero

2) A 36 le quitas 2x ynos da la tercera partede 12

3) El doble de su edaddentro de tres aos es20.

4) La altura de un edificioms su cuarta parte es250m.

5) La edad de Rosa hace 5aos, menos su edadhace 12.

6) Los 2/3 del numero dehojas de un libro,agregado en 18 nos da58.

7) 70 se fracciona en trespartes tal que cada unoes el doble de laanterior.

8) 60 se divide en dospartes, tal que una es 12mas que la otra.

9) 140 se descomponeproporcionalmente atres, cuatro y siete.

10) Un numero es 30 masque otro y su suma es120

PLANTEO Y RESOLUCINDE PROBLEMAS

A continuacin se Indican algunasrecomendaciones para resolver un problema:

Lea el problema con cuidado.

De ser posible, haga un dibujo que le ayudea visualizar el problema.

Determine la cantidad que se debeencontrar, elija una letra para representar aesta cantidad desconocida. Escriba conexactitud lo que representa (significa). Sihay ms de una cantidad desconocidarepresente todas las otras en trminos de laprimera.

Escriba el problema como una ecuacin.

Despeje la incgnita de la ecuacin.

Responda a la o las preguntas planteadas.

RECUERDE!

Leer bien el enunciado y entenderlo.

Ubicar la Incgnita y representarla.

Traducir el enunciado del problema, partepor parte.

Teniendo la ecuacin planteada, resolverla.

Comprobar el resultado.

Ahora debes conocer elequivalente matemticode frases muy comunes.

( + )Sumar, agregar, aumentar el total,Se ganan, dentro de n aosUna herencia se reparteUn nmero se fraccionaSe descompone en a partes

( )Quitar, disminuir,Descontar,Perder,Hace n aosEl exceso de 10 sobre 6

( )El producto de tres nmeros... los factor s...Dos veces = el doble = 2xTres veces = el triple = 3xCuatro veces = el cudruple = 4x

n veces = n ple = nx


7

( / )El cociente de dos nmeros...Dos nmeros son entre sDos nmeros son como...Dos nmeros estn en la relacin de...Dos nmeros son proporcionales a...

Un medio de = la mitad... = x

Un tercio de = la tercera parte... = 1/3x

Un cuarto de = la cuarta parte... = 1/4x

Un n avo = la n sima parte... = x/n( = )

Es igual a; se obtiene; nos da; es tanto como;equivale; en la misma medida

Nmeros ConsecutivosEjemplo:

Simplemente Pares ImparesConsecutivos Consecutivos Consecutivos

+1 +1 +1 +2 +2 +2 +2 +2 +2

7 ; 8 ; 9 , 20; 22; 24; 31, 33, 35,

Forma general:

x, x+1, x+2 Simplemente

x-1, x, x+1 Consecutivos

Pares consecutivos

Forma x, x+2, x + 4

General x-2, x, x + 2 (x par)

Impares consecutivos

x, x+2, x + 4

x-2, x, x + 2 (x impar)

EJEMPLO:

La suma de tres nmeros consecutivos es 33.Cul es el mayor?

RESOLUCIN:

* Sean los consecutivos: x 1, x, x + 1 Mayor

* Su suma: x l + x + x + 1 = 33

3x = 33

x = 11

* El mayor es: x + 1 = 12

EXCESO: Es la cantidad adicional que unente tiene respecto a otro. Es lo que sobrepasa,lo que supera, lo extra, lo adems.

EXCEDE: Es la cantidad mayor.

EXCEDIDO: Es la cantidad menor.

Cul es el exceso en I, II y II?

Quin excede? Quin es excedido?

EXCESO

EXCEDE

EXCEDIDO


8

Para hablar de exceso siempre hay quecomparar dos o ms cantidades, el exceso seplantea de tres formas equivalentes.

Cantidad Mayor - Cantidad Menor = Exceso

Cantidad Mayor - Exceso = Cantidad Menor

Cantidad Menor + Exceso = Cantidad Mayor

EJEMPLO:

80 excede a 60 en 2x. Hallar x :

RESOLUCIN:

80 - 60 = 2x

20 = 2x x = 10

SIGAMOS REPASANDO!

ENUNCIADOS:

Siete sumado al doble de un nmero.

La suma del doble de un nmero ms siete.

El doble de un nmero aumentado en siete.

Siete ms el doble de un nmero.

REPRESENTACIN: 2x+7

ENUNCIADOS:

Tres menos que el doble de un nmero.

El doble de un nmero, disminuido en tres.

La diferencia del doble de un nmero y tres.

Tres restado del doble de un nmero

REPRESENTACIN: 2x 3

ENUNCIADOS REPRESENTACINDos nmeros difieren en tres x ; x + 3Un nmero es el quntuplo deotro x ; 5x

La suma de dos nmeros es 18 x; 18 xEl triple de un nmero x ; 3xTres veces mayor x; 3xTres veces ms x; 4x

ENUNCIADOS REPRESENTACINDos nmeros proporcionales a4 y 5

A= 4x;B=5x

Dos nmeros en relacin de 4a 5Dos nmeros son como 4 es a5La relacin de dos nmeros es4/5La razn de dos nmeros es4/5

TAMBIN:54

BA ;

5B

4A ;5A = 4B

ENUNCIADOS REPRESENTACINA excede a B en 7.

A B = 7;A = x + 7;

B = x

B es excedido por A en 7.El exceso de A sobre B es 7.A es mayor que B en 7.B es menor que A en 7.La diferencia entre A y B es 7.

ENUNCIADOS REPRESENTA-CINA es el triple de B. A= 3B

A = 3x yB = xNota:

m veces ms< >

m +1 veces

A es tres veces BA es tres veces mayorque BA es dos veces ms que B

B es un tercio de A

ENUNCIADOS

Un nmero mltiplo de 7 7x, 7n, 7k

Un nmero par (mltiplo de 2) 2x, 2n, 2k

Tres nmeros pares consecutivos.

2x, 2x + 2, 2x + 4 (los nmeros paresaumentan o disminuyen de 2 en 2)

2x, 2x 2, 2x 4

Dos pares que preceden a 2x. 2x 2, 2x 4

Un nmero impar. 2x + 1 2x 1


9

Tres nmeros impares consecutivos.

2x + l, 2x + 3, 2x + 5

(Los nmeros impares aumentan de 2 en 2) otambin 2x l, 2x 3, 2x 5.

Tres nmeros consecutivos.

x, x + 1 , x + 2 x , x l, x 2

El cuadrado de la suma de dos nmeros A y B.

(A + B)2

La suma de los cuadrados de los nmeros Ay B

A2 + B2

El cubo de la suma de los nmeros. A y B

(A + B)3

La suma de los cubos de los nmeros A y B

A3 + B3

La inversa de un nmero x 1/x

El reciproco de x 1/x

La suma de las recprocas de X e Y

y1

x1

La suma de los inversos de las reciprocas de Xe Y

x + y

El doble de un nmero, ms 7. 2x+ 7

El doble, de un nmero ms 7. 2(x + 7)

ALGO QUE RECORDAR:

PALABRA SIGNIFICADOVeces ProductoDe, del, de los ProductoComo ...es a...en relacin

ProporcinProporcin

Es, en, sea, tiene,tendr, equivaletanto como

Igualdad

Razn, relacin Cociente

NOTA:

En los problemas verbales la palabra essignifica es igual a y se representa con unsigno de igualdad ( = ).

Los siguientes son problemas traducidos aecuaciones.

Ocho ms el doble de un nmero es 14

Ecuacin: 2x + 8 = 14.

Un nmero disminuido en 2 es 3 msque su doble.

Ecuacin: x 2 = 2x + 3.

Tres veces un nmero, disminuido en5 es cuatro veces el nmero aumentadoen 2

Ecuacin: 3x 5 = 4x + 2.

Tres veces la diferencia de un nmero y treses cuatro menos que seis veces el nmero.

Ecuacin: 3(x 3) = 6x 4


10

Escribir cada problema como una ecuacin.

01.- Un nmero es seis menos que el doble deotro, su suma es 18.

02.- Un nmero es cinco veces otro, la suma es96

03.- La suma de dos enteros consecutivos es47.

04.- Una quinta parte de la suma de un nmeroy 10 es 150.

05.- Un nmero es 3 ms que seis veces otro ,el producto es 408

06.- Un nmero aumentado en 10% es 22

07.- El costo de una videograbadora con undescuento del 120% es de 120 dlares

08.- El costo de un auto ms el Impuesto del7% es 13 600 dlares

09.- Mara tiene 6 aos ms que Daniel. Lasuma de sus edades es 48

10.- El producto de un nmero y del mismonmero ms un 5% es de 120

11.- Un tren recorre a 8 km menos del dobleque otro. La distancia total recorrida por amboses de 1000 km.

12.- Jaime gast 2/3 de lo que no gast, sitena 1000 dlares.

13.- Mara pierde un quinto de lo que nopierde, si al inicio tena 600 soles.

14.- Si A es a 2 como B es a 3, adems A + B= 950

15.- Ricardo tiene tres veces ms que Roberto,si Ricardo le da a Roberto 60 soles, ambostendran igual cantidad.


11

CMO ADIVINAR EL NUMEROPENSADO POR ALGUIEN?

Piensa un nmero, multiplicado por 6, smale7, rstale el doble del nmero que pensaste ydime el resultado.

Te ensear a hacerlo matemticamente ynunca fallars, para esto ordenamos el trabajocomo sigue

Datos referencialesdictados por el

adivinador

Representacinsimblica deladivinador

Piensa en un numero x

Multiplcalo por 6 6x

Smale 7 al resultado 6x + 7

Rstale el doble delnumero pensado 6x + 7 2x

Dime el resultado,RESPUESTA 39 6x + 7 2x = 39

El numero quepensaste es 8 x = 8

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1:

Calcular dos nmeros sabiendo que su suma esigual a 21 y que uno de ellos es igual al dobledel otro.

RESOLUCIN:

* Sean los nmeros: x y 2x

* Luego: x + 2x = 21 3x = 21

* Por lo tanto: x = 7

Los nmeros pedidos son 7 y 14.

EJERCICIO 2:

Calcular dos nmeros sabiendo que su suma es37 y que si se divide el mayor por el menor, elcociente vale 3 y el resto 5.

RESOLUCIN:

* Sea x el nmero mayor, entonces el menorser: 37 x, Ahora como: D = dq + r

* Luego: x = 3(37 x) + 5

* resolviendo: x = 29

* Luego los nmeros son: 29 y 8

EJERCICIO 3:

Qu edad tiene Chistian, si sabemos que alcuadruplicar y agregarle 44 obtendremos susxtuplo disminuido en 4 aos?

Me dio 39 Ah! entoncespensaste en el

numero 8

Si, efectivamente pens en el numero8. Cmo haces para hallar el nmero

pensado?

Vers! Esmuy fcil!


12

RESOLUCIN:

Qu edad tieneChistian? x

Si sabemos que alcuadruplicar 4x

Y agregarle 4x +

44 aos 4x + 44

Obtendremos 4x + 44 =

Su sptuplo 4x + 44 = 6x

Disminuido 4x + 44 = 6x

En 4 aos 4x + 44 = 6x 4

Despejando: 48 = 2x

RPTA: x = 24

EJERCICIO 4:

Hallar la longitud de un puente si sabemos queel sxtuplo de dicha longitud disminuido en300 metros es equivalente al triple de dichalongitud disminuido en 60 metros.

RESOLUCIN:

Hallar la longitud delpuente x

Si sabemos que elsptuplo de ella 6x

Disminuido 6x

En 300 metros 6x 300

Equivale a 6x 300 =

Al triple de dichalongitud 6x 300 = 3x

Disminuido en 60metros 6x 300 = 3x 60

Despejando: 3x = 240

RPTA: x = 80

EJERCICIO 5:

Cul es el nmero que al aumentarle el doblede a + b nos da el quntuplo de a 2b?

RESOLUCIN:

Sea el numero x

Que al aumentarle x +

El doble de a + b x + 2(a+b)

Nos da x + 2(a+b) =

El quntuplo dea 2b x + 2(a+b) = 5(a2b)

Despejando:

RPTA: x = 3a 126

EJERCICIO 6:

Cuanto tengo de dinero, si cuando me regalan10000 soles poseo los 9/7 de lo que teniainicialmente?

RESOLUCIN:

Cunto tengo dedinero? x

Si cuando meregalan 10000 x + 1000

Poseo x + 10000 =

Los 9/7 de lo quetenia inicialmente x + 10000 = 9x/7

Despejando: 10000 = 9x/7

RPTA: x = 14000


13

EJERCICIO 7:

Compro cierto nmero de caramelos y repartoentre mis sobrinos del modo siguiente : A Luisla tercera parte del total, a Eduardo la quintaparte, a Gustavo los 2/15 del total y a Mnicalos 10 restantes Cuntos caramelos compr?

RESOLUCIN:

Compro cierto # decaramelos MCM(3;5;15) = 15x

A Luis la terceraparte Luis: 5x

A Eduardo laquinta parte Eduardo: 3x

A Gustavo los 2/15del total Gustavo: 2x

A Mnica los 10restantes Mnica: 10

Cuntoscaramelos compr? 5x+3x+2x+10 = 15x

Despejando: 15x = 30

RPTA: x =2

EJERCICIO 8:

Hallar el nmero de hojas de un libro sisabemos que si arrancamos 25 quedarn lamitad de hojas si el libro tuviera 50 hojas ms.

RESOLUCIN:

El nmero de hojasde un libro x

Si arrancamos 25hojas x 25

Quedara x 25 =

La mitad de hojas x 25 =

Si el libro tuviera50 hojas ms x 25 = (x + 50)

2x 50 = x + 50

RPTA: x = 100

EJERCICIO 9 :

Si ganara $.300, tendra el triple de lo que mequedara si hubiera perdido $.300 Cuntotengo?

RESOLUCIN:

Tengo x

Si ganara x + 300

Tendra x + 300 =

el triple de lo queme quedara sihubiera perdido

x + 300 = 3(x - 300)

Despejando:

RPTA: x = 600

EJERCICIO 10

Por un trabajo a Campos se le pag $.10 msque a Salarrayn, a Grigoleto el doble de loque recibi Salarrayn y a Salas el triple, de loque recibi Salarrayn y Campos juntos. Si elpago total que se hizo fue $.540 Cuntorecibi Grigoleto?

RESOLUCIN:

* Primero se representa a: Salarrayn

Salarrayn : x Campos : x + 10

Grigoleto : 2x Salas: 3(x + x + 10)

* Luego la suma de todos debe ser igual a$.540

x + x +10 + 2x + 3(x + x + 10) = 540

4x + 10 + 6x + 30 = 540 10x = 540

x = 50

RPTA: 2(50) = 100


14

EJERCICIO 11:

Se sabe que en un campeonato, Benaventemeti cinco goles ms que Herrera. Los golesde Cuba excedieron en dos a los de Benaventey fue excedido por un gol de Paredes, quien asu vez hizo la misma cantidad de goles queCastaeda. Si hubo un total de 53 golesCuntos goles meti Paredes?

RESOLUCIN:

* Los goles de Herrera son la incgnitaprincipal, por lo tanto:

Herrera hizo x

Benavente meti Cinco golesms que Herrera x + 5

Los goles de Cuba excedieronen dos a los de Benavente x + 7

fue excedido por un gol deParedes x + 8

Si hubiera 53 goles Total = 53

1x + x + 5 + x + 7 + x + 8 + x + 8 = 53

5x + 28 = 53

5x = 25 x = 5

RPTA: 5 + B = 13

EJERCICIO 13:

Rybert tiene 160 soles en monedas de 2 y 5soles. Sabiendo que en total tiene 50 monedas,Calcular el nmero de monedas de 5 soles.

RESOLUCIN:

N de monedas de 5 soles = x

N de monedas de 2 soles = 50 - x

* Luego: 5x + 2(50 x) = 160

* Resolviendo: x = 20

Existen 20 monedas de 5 soles

EJERCICIO 14:

En una bolsa hay 230 pesetas en monedas de 5;25 y 50 pesetas, sabiendo que el nmero demonedas de 25 es igual al doble del de 50, yque el nmero de monedas de 5 es igual aldoble del de 25 menos 2. Calcular el nmerode monedas de cada clase.

RESOLUCIN:

N deMonedas

Valor enPesetas

Monedas de 50 x 50x

Monedas de 25 2x 50x

Monedas de 5 4x 2 20x 10

Luego: 50x + 50x + 20x 10 = 230


* Por tanto hay 2 monedas de 50, 4 de 25 y 6pesetas de 5.

PLANTEO DEINECUACIONES

Al igual que el planteo de las ecuaciones,consiste en leer, interpretar, simbolizar yfinalmente transformar el lenguaje literal allenguaje matemtico, que en este captulo sonlas inecuaciones; a continuacin los prrafosms comunes del planteo de las desigualdades.


15

ENUNCIADO DESIGUALDADINECUACIN

Un nmero es menorque 7, pero es mayorque 3

x < 7 x > 3 3 < x < 7

Cierta cantidad no esmayor que 10

x < 10 x = 10 x 10

El doble de mi edad esmenor que tu edaddisminuida en 7 aos

2x < y 7

"Un nmero estacomprendido entre 7 y21

7 < x < 21

La suma de nuestrasedades sobrepasa los100 aos

x + y > 100

Mi edad al cuadrado noes menor que 16, perono alcanza los 144 aos.

x2 16 x2 < 1 16 x2 < 144

NOTA:

Hay que tener en cuenta el sentido de lasdesigualdades, tratando siempre de transformartodos los datos en un solo sentido.

EJEMPLO 1:

Rallar un nmero entero y positivo quesumado con 11 resulte mayor que el triple del, disminuido en 7 y que sumado con 5 resultemenor que el doble de l, disminuido en 2.

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 12

RESOLUCIN:

Sea x el nmero entero.

Primer Dato:

x + 11 > 3x 7

18 > 2x

9 > x (I)

Segundo Dato:

x + 5 < 2x 2

7 < x (II)

De (I) y (II): 7 < x < 9 x (7; 9)

7 8 9

Pero como x es entero,

* Luego: x = 8

RPTA: "C"

EJEMPLO 2:

Una persona fabrica un nmero determinadode sillas. Si duplica su produccin y vende 60,le quedan ms de 24. Luego fabrica 10 ms yvende 28. Tendr entonces menos de 10 sillas.Seale cuntas sillas se fabricaron.

A) 43 B) 45 C) 88

D) 53 E) 96

RESOLUCIN:

* Si x es el # de sillas producido:

2x = el # duplicado, primeramente

2x 60 > 24

x > 42 (I)

* Luego:

[(2x 60) + 10] 28 < 10

x < 44 (II)

* De (I) y (II), considerando el nico valorentero:

42 < x < 44 x = 43

RPTA: "A"

x


16

PROBLEMA 1:

Un holgazn duerme normalmente todas lashoras de cada da menos las que duermeCuntas horas permanece despiertodiariamente?

A) 24 B) 6 C) ninguna

D) 12 E) absurdo

RESOLUCIN:

Todas las horas: 24

* Horas que duerme: x

* Horas que permanece despierto:

TODAS DUERME (SE RAZONA)

Del enunciado:

DUERME = TODAS DUERME

x = 24 x

2x = 24

x = 12 (DUERME)

DESPIERTO = 24 12 = 12

RPTA: "D"

PROBLEMA 2:

En un saln de clase, si los alumnos se sientande 2 en 2 se quedarn de pie 4 alumnos. Encambio, si se sientan de 3 en 3; 2 carpetasquedaran vacas cuntos son los alumnos?

A) 10 B) 24 C) 13

D) 8 E) 34

RESOLUCIN:

Sea x el nmero total de carpetas, luego:

Total de Alumnos: 2x + 4 = 3(x 2)

2x + 4 = 3x 6

10 = x

* Luego el nmero total de alumnos ser:

2(10) + 4 = 24

RPTA : "B"

PROBLEMA 3:

Averiguando el nmero de los miembros deuna familia, el hijo mayor contesta: Tengo eldoble de hermanos que de hermanas, pero lania menor contesta: mis hermanos son eltriple que mis hermanas. Entonces el total dehijos (varones y mujeres) es :

A) 7 B) 10 C) 15

D) 13 E) 11


17

RESOLUCIN:

* Sea el nmero de hermanas del hijo mayorigual a x , luego:

Entonces podemos deducir que:

Total de varones: 2x + 1

Total de mujeres: x

Luego, de lo que dice la nia menor,plantearemos:

2x + 1 = 3(x 1)

2x + 1 = 3x 3 4 = x

* Piden el total de hitos, que ser:

2(4) + 1 + 4 = 13

RPTA: "D"

PROBLEMA 4:

En una granja hay 30 animales, entre gallinas yconejos. Si se cont 74 patas en total. Cuntasms son las gallinas respecto al nmero deconejos?

A) 7 B) 13 C) 16

D) 17 E) 12

RESOLUCIN:

* Total de animales: 30

Sea el nmero de gallinas igual a x entonces como en total son 30 animales, elnmero de conejos ser: 30 - x; luego, elnmero total de patas es 74 y sabemos quecada gallina tiene 2 patas y cada conejo tiene 4patas, con lo que plantearemos:

2x + 4(30 x) = 74

2x + 120-4x = 74

46 = 2x 23 = x

* Entonces hay 23 gallinas y 7 conejos.

Nos piden: 23 7 = 16

RPTA: = C

PROBLEMA 5:

Hallar un nmero que excede a 23, en tantocomo es excedido por 39.

A) 30 B) 31 C) 32

D) 29 E) 28

RESOLUCIN:

* Sea x el nmero, luego imaginemos losiguiente:

Del enunciado: x 23 tanto como 39 x

x 23 = 39 x

2x = 62 x = 31


18

RPTA: "B"

PROBLEMA 6:

Si subo una escalera de 2 en 2, doy 6 pasosms que subiendo de 3 en 3. Cuntosescalones tiene la escalera?

A) 24 B) 12 C) 36

D) 48 E) 6

RESOLUCIN

Nmero de pasos:2x

Nmero de pasos:3x

Segn enunciado, los primeros son 6 pasosms que los del segundo caso; luego:

32xx

= 6

Resolvemos: x = 36 (Total de escalones)

RPTA: "C"

SEGUNDO MTODO:

Para que el nmero de escalones sea divisiblepor 2 y 3 a la vez, entonces debe ser mltiplode 6 luego asumimos que el total de escalonessea 6x ; al subirlos de 2 en 2, doy 3xpasos y al subirlos de 3 en 3 doy 2x pasos;siendo los primeros 6 ms que los segundos :

x 2x = 6

x = 6

Total de escalones: 6(6) = 36

PROBLEMA 7:

Una persona sube una escalera de 2 en 2gradas y desciende de 3 en 3, dando un total de150 pasos. Cuntos escalones tiene laescalera?

A) 240 B) 30 C) 60

D) 180 E) 200

RESOLUCIN:

Como el nmero total de escalones, lo vamosha dividir de 2 en 2 y de 3 en 3; luegoasumiremos que:

MCM (2, 3)

Nmero total de escalones: 6x, cosa que alsubirlos de 2 en 2, dar 3x pasos, y albajarlos, dar 2x pasos; y que segnenunciado:

3x + 2x = 150 x = 30

* Luego el total de escalones ser:

6x = 6(30) = 180

RPTA: "D"

PROBLEMA 8:

Los nietos de don Julio deciden comprarle unobsequio. Si no colaborasen cinco de ellos, acada uno de los restantes le correspondera S/.4ms y si no colaborasen tres , a cada uno de los


19

otros le correspondera S/.2 ms. Cuntosnietos tiene don Julio?

A) 13 B) 15 C) 16

D) 14 E) 11

RESOLUCIN:

Sea n el nmero total de nietos de Don Julio ysea x el aporte de cada nieto.

Dividimos (I) : (II):

xx

nn

35

)3(2)5(4

n = 15

RPTA: B"

PROBLEMA 9

Con los alumnos de un aula se form uncuadrado compacto y sobran 9 alumnos; paraque se forme un cuadrado compacto sin quesobre ningn alumno tendra que haber 18alumnos ms como mnimo. Cuntos alumnoshay en el aula?

A) 178 B) 181 C) 154

D) 205 E) 126

RESOLUCIN:

Consideremos que en cada lado del primerohay x alumnos, entonces en el lado delsegundo habr x + 1 alumnos as:

x2 + 9 = x2 + 2x + 1 18

26 = 2x 13 = x

Total de alumnos: 132 + 9 = 178

RPTA: A

PROBLEMA 10:

Una competencia se inici con unadeterminada cantidad de personas entrehombres y mujeres, Luego, 8 mujeres salieronde la competencia, quedando 2 hombres porcada mujer. Finalmente se retiraron 20hombres y quedaron 3 mujeres por, cadahombre. Con cuntas personas se inici lacompetencia?

A) 40 B) 44 C) 50

D) 48 E) 5

RESOLUCIN:

Del enunciado se tiene:

AlInicio

Luegoque se

retiran 8mujeres

Luego quese retiran

20hombres

# mujeres M M 8 M 8

# hombres H 2M 16 2M1620


20

Del cuadro tenemos: M 8 = 3(2M 36)

Resolviendo: M = 20 H=2(20) 16 = 24

Total de personas: 20 + 24 = 44

RPTA: "B"

PROBLEMA 11:

Si reparto tantos caramelos a cada nio, comonios hay, me faltan 2, pero si doy un carameloa cada nio me sobran 70 caramelos. Cuntosnios hay?

A) 7 B) 9 C) 8

D) 12 E) 6

RESOLUCIN:

Considerando el total de caramelos,igualaremos:

x2 2 = x +70

x2 x = 72

x (x l) = 9 x 8 x = 9

RPTA: "B"

PROBLEMA 12:

Cierto nmero de gorriones estn volando y seposarn en postes con travesaos. Cuando haya6 gorriones en cada poste, quedarn 4gorriones volando; pero cuando en cada postehaya 8 gorriones, quedarn 4 postes libres.Cuntos postes hay?

A) 16 B) 18 C) 14

D) 20 E) 22

RESOLUCIN:

Sea, nmero de postes: x

* Si 6 gorriones se posan en cada poste,quedarn 4 gorriones volando.

Nmero de gorriones = 6x + 4

* Si 8 gorriones se posan en cada poste,quedarn 4 postes libres.

Nmero de gorriones = 8 (x 4)

#de postes ocupados

Entonces 6x + 4 = 8(x 4) x = 18

Por lo tanto el nmero de postes: 18

RPTA: "B"

PROBLEMA 13:

Elena paga por 2 pollos y 5 pavos un total de495 pesos. Si cada pavo cuesta 15 pesos msque un pollo Cuntos pesos cuestan un pollo yun pavo juntos?

A) 120 B) 105 C) 145

D) 95 E) 135

RESOLUCIN:

GASTO TOTAL = 495


21

2x + 5 (x + 5) = 495

7x = 420

x = 60 (Precio 1 pollo)

60 + 15=75 (Precio 1pavo) 60 + 75 = 135

RPTA: "E"

PROBLEMA 14:

Lucas lanz un dado veinticuatro veces y elpuntaje total que obtuvo fue 98. Si el puntajeque obtuvo en cada lanzamiento no es menorque 3 ni mayor que 5 y adems en cuatrolanzamientos obtuvo el menor puntaje, encuntos lanzamientos obtuvo puntaje par?

A) 8 B) 12 C) 16

D) 14 E) 6

RESOLUCIN:

En el problema, Lucas

Lanz 24 veces un dado.

Puntaje total: 98 puntos.

En cada lanzamiento obtuvo 3 4 5 puntos.

En cuatro lanzamientos obtuvo el menorpuntaje, es decir, 3 puntos.

Sea x el nmero de veces que se obtuvo unpuntaje par, es decir, 4 puntos.

3(4) + 4(x) + 5(20 x) = 98

* Resolviendo obtenemos: x = 14

En 14 lanzamientos se obtuvo puntaje par.

RPTA: "D"

PROBLEMA 15:

Si hoy gasto lo mismo que ayer, maanagastara la mitad de hoy, entonces me quedarasin dinero alguno; pero en cambio, si ayer

hubiese gastado la mitad de lo que gast, hoytendra que gastar $.30 ms de 10 que gastrealmente ayer. Cunto tena ayer?

A) $7 B) $ 10 C) $ 8

D) $ 30 E) $ 15

RESOLUCIN:

Sea lo que gast ayer igual a 2x

* De la primera parte: Si hoy gasto lo mismoque ayer, maana gastara la mitad de hoy yme quedara sin dinero tenemos:

Ayer Hoy Maana

2x 2x x Total = 5x (I)

La suma 5x se acabara.

Luego: Si ayer hubiese gastado la mitad de loque gast, hoy tendra para gastar 10 solesms de lo que gast realmente ayer, entonces:

Ayer Hoy

x 2x + 30 Total = 3x + 30 (II)

Como el total es el mismo, igualamos (I) y (II):

5x = 3x + 30

x = 15

Ayer tena: 2(15) = 30

RPTA: "D"

PROBLEMA 16:

Mis camisas son de colores verdes, azules yblancos. Si todas mis camisas son blancas,menos cuatro; todas son azules, menos cuatro;y todas son verdes, menos cuatro, Cuantascamisas tengo en total?

A) 16 B) 5 C) 6

D) 8 E) 10

RESOLUCIN:

Sea x: Total de camisas


22

* Luego segn datos:

Blancas : x 4 Sumando

Azules : x 4 miembro a

Verdes : x 4 miembro

x = 3x 12

x = 6 (Total)

RPTA: "C"

PROBLEMA 17:

Un matrimonio dispone de una suma de dineropara ir al teatro con sus hijos. Si compraentradas de S/.7 le faltara S/.17 y si adquiereentradas de S/.4 le sobrara S/. 10 Cuntoshijos tiene el matrimonio?

A) 3 B) 4 C) 7

D) 1 E) 9

RESOLUCIN:

* Si el nmero total de personas igual a x; sicompra entradas de 7 soles le faltara 17 soles;entonces el dinero que tiene no le alcanza porlo tanto:

7x = (dinero que tiene) + 17 (I)

* Si compra entradas de 4 soles, le sobraran15 soles, o sea:

(Dinero que tiene) = 4x + 10 (II)

* Reemplazamos: (I) en (II).

7x = (4x + 10) + 17

3x = 27 x = 9

* Entonces son 9 personas en total, incluidos elpap y la mam.

El nmero de hijos es: 9 2 = 7

RPTA: "C"

PROBLEMA 18:

En un simulacro de admisin, el nmero depreguntas es 140, la calificacin es de 4 puntospor respuesta correcta y me descuentan 1 puntopor cada incorrecta, si obtuve 260 puntos yrespond todas las preguntas Cuntas noacert?

A) 40 B) 60 C) 80

D) 160 E) 2

RESOLUCIN:

No Acert Acert

Por cada una se Por cada preguntaDescuenta 1 se le pone 4

Se deduce que la nota final se obtendr:

Puntaje acumulado _ Puntaje acumulado = NotaPor las buenas Por las malas Final

4(140 x) l(x) = 260 560 4x x = 260

300 = 5x 60 = x

RPTA: "B"

PROBLEMA 19:

En una iglesia asisten 399 personas entrehombres, mujeres y nios. Si el nmero dehombres es el quntuplo del nmero demujeres, y el de mujeres es el triple que el delos nios. Cuntas mujeres hay?

A) 21 B) 63 C) 315

D) 84 E) 42

RESOLUCIN

* Sea: Nmero de nios = x

??

EXAMEN de140 Preguntas

x Preguntas (140 x) Preguntas


23

* Entonces:

Nmero de mujeres = 3x

Nmero de hombres = 5(3x) = 15x

Por condicin del problema:

N hombres + N mujeres + N nios = 399

15x + 3x + x = 399

19x = 399

* Donde : x = 21

* Luego: 3x = 3(21) = 63

RPTA: B

PROBLEMA 20:

En la ciudad se observa que existen 5 gatos porcada 2 ratones, pero un virus elimina 5 ratonespor cada 2 gatos, si sobrevivieron 84 gatos yningn ratn. Cuntos ratones habainicialmente?

A) 100 B) 40 C) 50

D) 22 E) 60

RESOLUCIN:

* Como la relacin de nmeros de gatos yratones es de 5 a 2, entonces:

Llamamos:

5x = N de gatos que haban inicialmente.

2x = N de ratones que haba inicialmente.

* De acuerdo a la condicin el problema,elaboramos el siguiente cuadro:

Al inicio Sobreviven Mueren

N Gatos 5x 84 5x 84

NRatones 2x 0 2x

Por dato, mueren 5 ratones por cada 2 gatos, esdecir:

25

8452

xx

4x = 25x 84(5)

21x = 84(5) x =21

)5(85 x = 20

Al inicio habran 2(20) = 40 ratones

RPTA: "D"

PROBLEMA 21:

En una familia se encuentran varios nios ynia. Alguien les pregunt: Cuntos son? yla nia mayor responde que tiene tantoshermanos como 2 veces el nmero dehermanas; pero el nio mayor dijo que tenatantos hermanas como la mitad de el nmerode hermanos. Cuntos nios son en total?

A) 5 B) 4 C) 7

D) 9 E) 6

RESOLUCIN:

* Sea el nmero de hermanas de la nia mayorigual a x.

Primero, la nia mayor dice que tiene tantoshermanos como 2 veces el nmero dehermanas o sea:

Hermanas Hermanos

x 2x

* Entonces podemos deducir que:

Total de varones = 2x

Total de mujeres = x + 1

Nia Mayor


24

* A partir de esto, podemos indicar:

Hermanas Hermanos

2x 1 x + 1

Luego, de lo que dice el nio mayorplanteamos:

2x 1 =2

1x

Resolviendo: x = 1

* Finalmente, el nmero total de nios, entrevarones y mujeres es: 3x + 1 = 3(1) + 1 = 4

RPTA: "B"

PROBLEMA 22:

Mi ta va al cine 3 das consecutivos de lasemana; y lo hace al mes en tres semanasconsecutivas. S el primer da de un ciertomes es mircoles y la suma de las fechas, delos das que fue al cine en ese mes es 198.Qu da ser la sexta vez que asisti al cine endicho mes, si asiste siempre los mismos das?

A) Mircoles 22 B) Lunes 20

C) Viernes 23 D) Jueves 23

E) Martes 22

RESOLUCIN:

* Sea x la fecha del primer da que asiste alcine, luego:

xPrimera x + 1Semana x + 2

x + 7Segunda x + 8Semana x + 9

x + 14Tercera x + 15Semana x + 16

9x + 72 = 198

x = 14

* Se pide que da cae 14 + 9 = 23, sabiendoque:

+7 +7 +7 +1

1 8 15 22 23Mircoles Mircoles Mircoles Mircoles Jueves

Respuesta

RPTA: "D"

PROBLEMA 23:

Pitita recibi 4 soles y tuvo entonces 4 veces loque hubiera tenido si hubiera perdido S/. 2Cunto tena al principio?

A) 6 B) 8 C) 4

D) 10 E) 12

RESOLUCIN:

* Tena: x

* Recibi S/.4: x + 4(Tuvo) 4 veces

* Perdi S/.2: x 2(Hubiera tenido)

* Luego: x + 4 = 4 (x 2)

x + 4 = 4x 8

8 + 4 = 4x x

12 = 3x

Nio Mayor

+


25

4 = x (Tena)

RPTA: "C"

PROBLEMA 24:

Si se forman filas de 8 nios sobran 4 perofaltaran 8 nios para formar 3 filas de 7 nios.Cuntos nios son?

A) 64 B) 76 C) 84

D) 92 E) 72

RESOLUCIN:

* x : nmero de filas

* Luego analizando el total:

Sobran Faltarn

8x + 4 = 7(x + 3) 8

Total de nios Total de nios

8x + 4 = 7(x + 3) 8

Resolviendo x = 9

Total de nios: 8(9) + 4 = 76

RPTA: "B"

PROBLEMA 25:

De los S/.20 que tena, gast la tercera parte delo que no gaste. Cunto gast?

A) 10 B) 15 C) 5

D) 20/3 E) 6

RESOLUCIN:

* Tercera Parte

* Tena : 20 tercera parte

* Gaste : x

* No gaste: 3x Debe ser mltiplo de 3Para evitar fracciones

TENIA: 20

GAST = x NO GASTE = 3x

De la figura: GAST + NO GASTE = TENA

x + 3 = 20

4x = 20

x =420

x = 5 ....(GAST)

RPTA: "C"

PROBLEMA 26:

Hallar un nmero, donde la suma de su mitad,cuarta y octava parte, resulta dicho nmerodisminuido en una unidad.

A) 7 B) 8 C) 9

D) 16 E) 14

RESOLUCIN

* Sea el nmero: x

Su mitad :2x

Su cuarta :4x

SUMA = x 1 (Enunciado)

Su octava :8x

2x

+4x

+8x

= x 1

(Multiplicando por MCM (2, 4, 8) = 8)

8

84

82

8 xxx = 8 (x 1)

4x + 2x + x = 8x 8

7x = 8x 8


26

8 = 8x 7x

8 = x (Nmero Pedido)

RPTA: "B"

PROBLEMA 27:

Si Karol tuviese 9 aos menos, el tiempo quehubiera permanecido durmiendo sera la quintaparte del tiempo que hubiese permanecidodespierto si es que tuviese 9 aos ms. Si en eltranscurso de su vida dreme 8 horas diarias.Cuntos aos lleva durmiendo?

A) 5 B) 7 C) 9

D) 11 E) 21

RESOLUCIN:

LA TERCERA PARTE

TIEMPO DUERME DESPIERTO

En 1 da 24 horas 8

Edad actual 3x x

Si tuviese 9aos menor 3x 9 x 3

Si tuviese 9aos ms 3x + 9 x + 3 2x + 6

Segn enunciado:

x 35

62 x 5x 15 = 2x + 6 x = 7

RPTA : "B"

PROBLEMA 28:

En una reunin hay 28 personas, si Berthabaila con 9 varones, Pocha con 10, Lourdescon 11 y as sucesivamente hasta que Miriam,la ltima, baila con todos los caballeros;cuntos caballeros hay en la fiesta?

A) 10 B) 12 C) 18

D) 15 E) 20

RESOLUCIN:

* De los datos del problema se deduce que:

Seorita Ordinal Caballero

Bertha 1 9

Pocha 2 10

Lourdes 3 11

Miriam (La ultima) n n + 8

Adems:

(N de seoritas) + (N de caballeros) = 28

* Reemplazando:

n + n + 8 = 28 2n = 20 n = 10

* Por lo tanto, el total de caballeros es igual a,n + 8 = 18

RPTA:"C"

PROBLEMA 29:

En una reunin hay 40 personas, cuando seretiran 8 varones y 6 damas, la diferencia entreellos y ellas es 10 Cuntos varones quedaron?

A) 20 B) 14 C) 26

D) 18 E) 8

RESOLUCIN:

VARONES MUJERES

INICIO V MDESPUS

(QUEDARON) V 8 M 6

TOTAL = 40 V + M = 40 .... (a)

DIFERENCIA = 10


27

(V 8) (M 6 ) = 10

V 8 M + 6 = 10

V M = 12 .... ()

* Luego: (a) + () para eliminar M

V + M = 40

V M = 12

2V = 52

V = 26 (Inicio)

Quedaron: 26 8 = 18

RPTA: "D"

OTRO MTODO:

* Como la suma de varones y mujeres al inicioes 40

INICIO DESPUS (QUEDARON)

VARONES: x - 8 x 8

MUJERES: 40 x - 8 34 x

(x 8) (34 x) = 10

x = 26

Despus varones: 26 8 = 18

RPTA: "D"

PROBLEMA 30:

Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 yestn en relacin de 3 a 2. En cunto tiene quedisminuir el gasto para que dicha relacin seade 5 a 3?

A) 16 B) 24 C) 32

D) 15 E) 20

RESOLUCIN:

COBRA= 3K

Luego debe disminuir el gasto en x

GASTA: 2K

3

)(5

DESPUESGASTACOBRA (Enunciado

al final)

600 = 5K

120 = K 3)120(2

5)120(3 x

3 x 360 = 5 (240 x)

10 x 80 = 1200 5x

5x = 1200 1080 5x = 120

RPTA: "B"

PROBLEMA 31:

En un banquete, haban sentados 8 invitados encada mesa, luego se trajeron 4 mesas ms yentonces se sentaron 6 invitados en cada mesa.Cuntos invitados haba?

A) 32 B) 64 C) 36

D) 21 E) 96

RESOLUCIN:

# demesas

# depersonas

pormesa

Total de(No

invitadosvaria)

INICIO n 8 8n

DESPUS n + 4 6 6(n + 4)

8n = 6 (n + 4) 8n = 6n + 24 2n = 24

n = 12 Total de invitados: 8n = 96

RPTA: "E"


28

PROBLEMA 32:

Preguntando a un alumno por su nota en unexamen responde: si cuadruplico mi nota yresto 40 tendra lo que me hace falla paraobtener 20. Qu nota tiene?

A) 12 B) 14 C) 17

D) 16 E) 15

RESOLUCIN:

* Sea su nota: x

* Cuadruplica: 4x

* Disminuir en 40: 4x 40

* Lo que le falta para 20: 20 x

Lo que le faltaSu nota a x para 20

X X X

X x X

20 x

X 20 X

4x 40 = 20 x (segn enunciado)

5x = 60 x = 12

RPTA: "A"

PROBLEMA 33:

En un campeonato de ajedrez, dondeintervienen 60 jugadores, compitiendo cadauno de ellos una sola vez, se observa que elnmero de ganadores era igual al nmero deempates Cuntos jugadores perdieron?

A) 30 B) 15 C) 10

D) 20 E) 60

RESOLUCIN:

(Dato)

# Jugadores Ganadores: x



TOTAL DE JUGADORES: 60 = 3x

20 = x

RPTA: "D"

PROBLEMA 34:

Cul es el nmero cuyo cudruplo sumando almismo el igual al doble del nmero, ms eltriple del mismo?

A) 2 B) 3 C)

D) 0,5 E) Todo valor

RESOLUCIN:

Sea x el nmero:

4x + x = 2x + 3x (enunciado)

5x = 5x (igualdad)

Como la expresin 5x = 5x es una igualdadentonces se cumplir para cualquier valor dex

RPTA: "E"

PROBLEMA 35:

Un estante puede guardar 24 libros de RM y 20libros de RV 36 de RM y 15 de RV Cuntoslibros de RM puede contener el estante?

A) 86 B) 82 C) 84

D) 72 E) 66


29

RESOLUCIN:

* Las magnitudes son el ancho de :

24 libros 36 libros

* 1 libro (RM) = a 24a (RM) 36a (RM)

20 libros 15 libros

* 1libro (RV) = b 20b(RV) 15b(RV)

* Estante = x = + 24a+20b = 36a + 15b

20b 15b = 36a 24a

5b = 12a

Pero lo que nos piden x en funcin de a (RM)

x = 24a + 20b = 24a + 4 x 5b

x = 24a + 4 x 12a

x = 72a (RM)

OTRO MTODO:

Rpta : 72 (R.M) Y (Ninguno de RV)

RPTA: D

PROBLEMA 36:

A los habitantes de un pueblo le corresponde60 litros de agua diarios, al aumentar lapoblacin en 44 habitantes, a cada uno lecorresponde 2 litros menos Cuntoshabitantes tiene ahora el pueblo?

A) 1276 B) 1320 C) 1762

D) 2310 E) 1220

RESOLUCIN:

60x = 58 (x + 44)

x = 1276 Inicio

* Ahora: 1276 + 44 = 1320

RPTA: "B"

PROBLEMA 37:

Tito gasta todos los das la mitad de 10 queposee ms S/.10, al cabo de 3 das ha gastadotodo cunto tena al inicio?

A) S/. 100 B) S/. 120 C) S/. 80

D) S/. 140 E) S/. 90

RESOLUCIN:

* Sea x la cantidad inicial:

GASTA LE QUEDA

1er Da2x

+ 102x

10

2do Da2

102

x

+ 102

102

x

10

3er Da

2

102

102

x

+ 10 2

102

102

x

10


30

Pero como el tercer da gast todo, luego:

2

102

102

x

10 = 0 x = 140

RPTA: "D"

PROBLEMA 38:

En un ao bisiesto se cuentan los das de lasemana y se observa que hay ms jueves yviernes que los dems das. Qu da de lasemana cae 28 de julio de ese ao?

A) Mircoles B) Jueves C) Viernes

D) Martes E) Lunes

RESOLUCIN:

* Averiguando el nmero de semanas en unao bisiesto.

366 7

2 das 52 semanas2 ltimos das debe serjueves y viernes.

* En el 31 de diciembre fue viernes, ahorarecordar:

Dic Nov Oct Set Ago Julio

31 30 31 30 31 31 30 29 28

* Del 31 de diciembre al 28 de Julio hay:.

30 + 30 + 31+ 30 + 31+ 4 = 156 = 7 + 2

Das, por lo que caer 2 das antes que viernes,o sea mircoles.

RPTA: "A"

PROBLEMA 39:

En el mes de abril un estudiante sum a losaos que tiene todos los meses que ha vivido,obteniendo como resultado 232. En qu meses su cumpleaos?

A) Abril B) Marzo C) Octubre

D) Mayo E) Junio

RESOLUCIN:

Aos + Meses = 232

x + 12x = 232

x =13232

= 171311

aos = 17aos13

1211

= 17aos 10132

mes

= 17aos 11 meses

* Se deduce que le falta un mes para cumplirotro ao, es decir en mayo.

RPTA: D

PROBLEMA 40:

Un obrero gasta diariamente las dos tercerapartes de su jornal para su mantenimiento y laquinta parte en otras atenciones. En un mes haeconomizado S/. 50 habiendo dejado detrabajar dos das. Cules el jornal del obrero?

A) 20 B) 25 C) 30

D) 35 E) 15

RESOLUCIN:

* Sea x el jornal, luego gan 28x ya quedej de trabajar 2 das, pero gast por 30 das ycomo el gasto diario es:

1513

532 xxx


31

* Entonces gast en total 301513x

= 26x

De donde se deduce que ha economizado:

28x 26x = 50 x = S/. 25

RPTA: "B"

PROBLEMA 41:

Dos cirios de igual calidad y dimetro difieren12cm de longitud. Se encienden al mismotiempo, y se observa que en un momento lalongitud de uno es 4 veces la del otro y mediahora despus se termin el ms pequeo. Si elmayor dura 5 horas. Cul era la longitud delms pequeo?

A) 32cm. B) 24cm. C) 28cm.

D) 40cm. E) 36cm.

RESOLUCIN:

La diferencia de 12 cm. siempre se mantiene(ya que se prenden a la vez).

Luego:

hora < > 4cm.

1 hora < > 8 cm.

5 horas < > 40 cm. (Longitud del ms grande)

La expresin a calcular ser:

40 12 = 28 cm Longitud del mas pequeo

RPTA: "C"

PROBLEMA 42:

Dos negociantes en vinos, entran en una ciudaddonde hay que pagar derechos de entradas.

Uno de ellos lleva consigo 64 barriles de vino;el otro, 20 barriles. Como no tienen bastantedinero para pagar los derechos, el primero paga5 barriles de vino y S/. 40; el segundo 2barriles de vino pero recibe de vuelto S/. 40Cul es el precio de cada barril, teniendo encuenta que los barriles entregados en calidadde pago, no abonan derechos?

A) S/. 96 B) S/. 108 C) S/. 110

D) S/. 130 E) S/. 98

RESOLUCIN:

Sea x el precio de cada barril, adems quedeben pagar los derechos en formaproporcional a la cantidad de barriles por losque se pagan, luego:

220402

564405

xx x = 110

RPTA: "C"

PROBLEMA 43:

Un grupo de monos est dividido en dosbandos: la octava parte de ellos al cuadrado sesolaza en el bosque, mientras que los otrosdoce juegan en el campo. La mayor cantidadde monos que podemos tener es:

A) 56 B) 64 C) 32

D) 48 E) 8

RESOLUCIN:

* Sea x el nmero total de monos, luegosegn el enunciado:

2

8

x + 12 = x

x2 64x + 12 x 64 = 0

(x 16) (x 48) = 0


32

x = 16 x = 48

RPTA: D

PROBLEMA 44:

De los S/. 60 que tena; si no hubiera compradoun regalo que me cost S/. 16 tan slo hubieragastado los 2/3 de lo que no hubiera gastado.Cunto gast?

A) S/. 20 B) S/. 32 C) S/. 40

D) S/. 24 E) S/. 36

RESOLUCIN

Tena: S/. 60

Gast: S/. x

No gast: S/. (60 x)

Si no hubiera comprado el regalo:

x 32

(60 x) 3x = 120 2x

5x = 120 x = S/. 24

Pero realmente gast S/. 16, luego gast entotal:

24 + 16 = 40 soles.

RPTA: "C"

PROBLEMA 45:

Un cubo de madera de x centmetros de aristaes pintado totalmente, luego se corta en cubosde 9 cm. de arista cada uno. Si entonces hayexactamente 96 cubos que tienen dos de suscaras pintadas, la longitud x era de:

A) 108 B) 90 C) 80

D) 96 E) 100

RESOLUCIN:

En cada arista habr:

x 2(9) cm. de longitud

En 12 aristas habr: 12 (x 2(9)) cm., y esto esigual a: 9 cm x 96 cubos.

* Luego tenemos la ecuacin:

12 (x 2(9)) = 9 x 96

x 18 = 8 x 9 x = 90

RPTA: "B"

PROBLEMA 46:

Un carpintero pint la superficie de un cubo demadera, luego hizo marcas en cada arista delcubo, de tal manera que, sta quedaba divididaen m partes iguales. Una vez seca la pinturaserruch el cubo por las marca y obtuvo 488cubitos de al menos una cara pintada. Hallarm.

A) 6 B) 8 C) 10

D) 14 E) 12


33

RESOLUCIN

Observando y analizando la figura, se tendrque:

Cubitos con al menos una cara pintada = 488

Slo 1cara + Slo 2 caras = Slo 3 carasPintada Pintadas Pintadas

6(m 2)2 + 12(m 2) + 8 = 488

6(m 2)2 + 12(m 2) 480 = 0

(m - 2)2+ 2(m - 2) - 80 = 0

m 2 - 8m 2 8 = 0

m 2 - 8m 2 8 = 0

* Luego: m = -8 m = 10 (solucin)

RPTA: "C"

PROBLEMA 47:

En una sucesin de 5 nmeros enterosconsecutivos y positivos, la suma de loscuadrados de los 3 primeros es igual a la sumade los cuadrados de los 2 ltimos.

Entonces el segundo trmino de la sucesin es:

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11 E) 12

RESOLUCIN:

Sean: x 2; x 1; x; x + 1; x + 2; los trminos(enteros positivos) de la sucesin, luego:

* Suma de cuadrados de, los 3 primeros:

(x - 2)2 + (x l)2 + x2

* Suma de cuadrados de los 2 ltimos:

(x + 1)2 + (x + 2)2

* Por condicin:

(x 2)2 + (x 1)2 + x2 = (x + 1)2 + (x + 2)2


* Piden: x l = 11

RPTA: "D"

PROBLEMA 48:

Del dinero que t me has dado, para pagar loque le debes a l, slo le entregue la mitad delo que no le entregu, compre un auto y gastla mitad de lo que no gaste, pero luego meobligaste a completar tu deuda, por lo que tuveque dar la mitad de lo que me qued qu partede lo que yo tuve al inicio representa el costodel auto?

A) B) 2/3 C) 2/5

D) 2/3 E) 5/7

RESOLUCIN:

* Tuve al inicio: x; me has dado: 3y


34

* Del ltimo grfico:

2y + 4y = x + 2y 4y = x

21

42

yy

tuveyoauto

RPTA: "A"

PROBLEMA 49:

Se tienen 6 cestas con huevos; que contienen:5; 6, 12; 14; 23 y 29 huevos respectivamentecada uno. Si quitamos una cesta, nos quedarel doble de huevos de gallina que de pato.Qu cesta es?

A) 5 B) 6 C) 12

D) 23 E) 29

RESOLUCIN:

* Total: 5 + 6 + 12 + 14 + 23 + 29 = 89

* Luego: 89

2x x y

# de huevos # de huevos la cestaDe gallina de pato que quitamos

3x + y = 89 x = 29 +3

2 y

x = 29 3

2y (x puede ser cualquier

cesta la suma de algunas cestas presentes)

* Entonces:

y 5 14 23 29

x 28 25 22 20

y = 29 x = 6 + 14 6 + 14

2x = 5 + 12 + 23

RPTA: E

PROBLEMA 50:

Los ahorros de Pil constan de:

(p + 1), (3p - 5) y (p + 3)

Monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente.A cunto asciende sus ahorros? si alcambiarlo en monedas de 25 soles , el nmerode monedas obtenidas es el doble del nmerode monedas de 5 soles.

A) S/. 350 B) S/. 700 C) S/. 250

D) S/. 400 E) S/. 920

RESOLUCIN:

* Recuerda que si multiplicamos el nmero demonedas de una denominacin por el valor ensoles de cada moneda, nos resulta el monto ensoles.

Entonces. Pil tiene:

De 5soles

De 10soles

De 20soles

# monedas p + 1 3p 5 p + 3

Monto ensoles 5(p+1) 10(3p 5) 20(p+3)

Total ahorrado

= 5(p + l) + 10(3p 5) + 20(p + 3)

Total ahorrado = 55p + 15 (I)

* Luego, al cambiar el total de sus ahorros enmonedas de 25 soles, el nmero de monedasque obtiene, segn el dato es 2(p + 1).

* Entonces el total ahorrado = 25 x 2(p + 1)

= 50p + 50 (II)

* Pero se entiende que slo se ha cambiado eltipo de moneda ms no el total de lo ahorrado,lo que significa que debemos igualar (I) y (II)as:


35

55p + 15 = 50p + 50 p = 7

* Reemplazamos: p = 7 en (II)

Total ahorrado = 400 soles.

RPTA: "D"

PROBLEMA 51:

Con las alumnas de un saln de clase se puedeconformar un nmero exacto de equiposdiferentes de vley (6 jugadores por equipo).Se sabe que en el saln hay 5 alumnas ms quealumnos. Cuntos alumnos y alumnas hay?

A) 55; 60 B) 30; 25 C) 25; 30

D) 40; 45 E) 15; 20

RESOLUCIN:

* El problema es reconocer quien ser nuestraincgnita. Analizando bien, tanto el N dealumnos con el N de alumnas contiene elmismo nmero de equipos.

Luego, nuestra INCGNITA ser:

N de equipos = x

* Si por cada equipo de vley hay 6 jugadoras,es decir: N de ALUMNAS = 6x

Si por cada equipo de bsquet hay 5 jugadoresentonces en x equipos habr 5x jugadores, esdecir:

N ALUMNOS = 5x

* Por dato:

N alumnas = N de Alumnas + 5

6x = 5x + 5

* De donde: x = 5

* Luego: N de Alumnos = 5(5) = 25

N de Alumnas = 6(5) = 30

RPTA: "C"

PROBLEMA 52:

Trinidad juega el Tiro al Blanco, con lacondicin de que por cada tiro que acierterecibir S/. 5 y pagar S/. 2 por cada uno de losque falle. Despus de 18 tiros ha recibidoS/.55. Cuntos tiros acert?

A) 5 B) 12 C) 13

D) 7 E) 9

RESOLUCIN:

ACIERTA FALLA

De S/.2 cada uno De S/.5 cada uno

* Como recibe al final S/.55, se deduce que loque l gana por los aciertos es mayor de lo quel paga por los que falla; luego la diferencia eslo que recibe:

5x 2(18 x) = 55

5x 36 + 2x = 55 7x = 91 x = 13

RPTA: "C"

PROBLEMA 53:

Se reparten 96 chocolates en partes iguales aun grupo de nios. Si hubiese 8 nios ms,entonces a cada nio le tocara 6 chocolatesmenos. Cuntos nios son?

A) 6 B) 8 C) 12

D) 16 E) 4

RESOLUCIN:

* Segn el enunciado, hay 2 casos que tomaren cuenta, un caso real ( x nios) y un casosupuesto ( x + 8 nios); en caso real cada

EFECTA18 tiros

x tiros 18 x tiros


36

nio recibir: 96/x chocolates y en el otro caso:96/x + 8 chocolates.

A) 35 B) 25 C) 37

D) 12 E) 24

REAL SUPUESTO

Total dechocolates 96 96

Numero denios x x + 8

Numero dechocolatespor nio x

968

96x

x

96 8

96x

= 6

)8(

9689696

xxxx

= 6

96 x 8 = 6x(x + 8) 16 x 8 = x(x + 8)

Por comparacin: x = 8

RPTA: "B"

PROBLEMA 54:

El peso de la leche pura es de 1,03 kg. (Ellitro). Si la leche de un depsito que contiene 8litros pesa 8180 gramos, la cantidad de aguaque tiene es :

A) 2 litros B) 5 litros C) 3 litros

D) 6 litros E) 4 litros

RESOLUCIN:

* Debemos tomar en cuenta que 1 litro de aguapura, pesa 1kg 1000g.; luego:

Segn esquema plantearemos:

1000x + 1030(8 x) = 8180

Peso total Peso total Peso total de

del agua de la leche la mezcla

1000 x + 8240 1030x = 8180

60 = 30x 2 = x

RPTA: "A"

PROBLEMA 55:

En un tringulo rectngulo el triple del catetomenor excede en una unidad al cateto mayorpero le falta una unidad para ser igual a lahipotenusa Cul es la longitud del catetomayor?

A) 35 B) 25 C) 37

D) 12 E) 24

RESOLUCIN:

HipotenusaCateto Menor c

a

Cateto Mayorb

Teorema de Pitgoras c2 = a2 + b2

Segn el problema:

(Cat. Menor)2 + (Cat. Mayor)2 = (Hipotenusa)2

x2 + (3x 1)2 = (3x + 1)2

x2 + 9x2 6x + 1 = 9x2 + 6x + 1


37

x2= 12 x x x x = 12x

x = 12 (menor)

mayor = 3(12) 1 = 35

RPTA: A

PROBLEMA 56:

En un corral se observa 3 gallinas por cada 5patos y 4 conejos por cada 3 patos. Si en totalse cuentan 176 cabezas Cul es el nmerototal de patas?

A) 412 B) 484 C) 512

D) 521 E) 544

RESOLUCIN:

TOTAL DE PATAS: 72 + 120 + 320 = 512

RPTA: "C"

PROBLEMA 57:

Un abuelo, el hijo y el nieto tienen juntos 100aos. El abuelo dice: Mi hijo tiene tantassemanas como mi nieto das y mi nieto tienetantos meses corno yo aos la edad delabuelo es :

A) 40 B) 50 C) 60

D) 70 E) 80

RESOLUCIN:

# de semanas = # de das

(HIJO) (NIETO)

1 semana = 7 das 1 da

17 veces

# de meses = # de aos

(NIETO) (ABUELO)

1 mes 1 ao = 12 meses

12

7 veces 12 veces

EDAD HIJO + EDAD NIETO + EDAD ABUELO = 100

7x + x + 12x = 100

x = 5

Edad (ABUELO) = 12 (5) = 60 aos

RPTA: "C"

PROBLEMA 58:

Con S/.16464 se han comprado latas desardinas, en cierto nmero de cajones, cadauno de los cuales contiene un nmero de latastriple del' nmero de cajones. Cada lata desardinas, cuesta un nmero de soles doble delnmero de cajones. Cuntas son las latas desardinas?

A) 14 B) 438 C) 588

D) 42 E) 196

RESOLUCIN:

Cuando el hijotenga una semana,el nieto tendr un

da

Cuando el nietotenga un mes, elabuelo tendr un

ao


38

Pero EL COSTO TOTAL= 16464

6x3 = 16464 TOTAL DE LATAS

x3 = 27443 x2 = 3(14)2 = 588

x = 14

RPTA: "C"

PROBLEMA 59:

La hierba crece en el prado con igual rapidez yespesura, se sabe que 60 vacas se la comeranen 25 das y 40 en 45 das Cuntas vacas secomeran toda la hierba en 75 das?

A) 28 B) 35 C) 36

D) 40 E) 30

RESOLUCIN:

#DE VACAS #DE DAS #TOTAL DE HIERBA

60 25 I +25C

40 5 I + 45C

x 75 I + 75C

I: Hierba inicial C: Crecimiento diario

Hierva consumida en 1 da por una vaca:

256025

CI =4540

45

CI =x

CI75

75

I = 75C

Reemplazando x = 30

RPTA: "E"

PROBLEMA 60:

Ray no sabe si comprar 56 tajadores o por elmismo costo 8 lpices y 8 lapiceros. Si decidicomprar el mismo nmero de artculos de cadatipo. Cuntos compr en total?

A) 19 B) 20 C) 21

D) 18 E) 24

RESOLUCIN:

TAJADOR LPIZ LAPICERO

COSTOC/U x y z

* Sea n , el nmero de artculos de cada tipoque se compr,

* Luego segn enunciado:

56x = 8y + 8z = n (x + y + z)

* Resolviendo: n = 7; pero se compr en total:

3n = 21 artculos

RPTA: "C"

PROBLEMA 61:

Un grupo de nios est formado de modo quehay tantos nios por columnas como filas.

Para formar con un nio ms por columna y unnio ms por fila, haran falta 13 nios.

Cuntos son los nios?

A) 9 B) 16 C) 25

D) 36 E) 46

RESOLUCIN:

* Sea x el nmero de nios por fila comopor columna, luego, el nmero de nios es x2.Para que haya (x + 1)2 hacen falta 13, entonces:

(x + 1)2 x2 = 13

x2 + 2x + 1 x2 = 13

2x + 1 = 13 x = 6

* Piden: 62 = 36

RPTA: "D"

PROBLEMA 62:

Habindose concertado un match de ajedrezentre los equipos A y B, y no habiendo asistido


39

todos los jugadores, el capitn del equipo Bpropuso que sus jugadores se midieran contratodos los del equipo A; el capitn del equipo Areplic que como sus jugadores eransuperiores, cada uno se poda enfrentar contra2 del equipo B. Contando al capitn de cadaequipo. Cuntos jugadores asistieron en total?

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

RESOLUCIN:

Cuando el capitn de B propone que susjugadores se enfrenten contra todo el equipo A,nos estn informando que los primeros tienen 1jugador ms (el capitn):

# Jugadores (A) = x

# Jugadores (B) = x + 1

Cuando el capitn de A propone que susjugadores se enfrenten cada uno contra dos delequipo B, nos estn informando que losprimeros menos uno (su capitn), son la mitadde los otros:

x 1 =2

1x x = 3

En total hay: 3 + 4 = 7 jugadores.

RPTA: "E"

PROBLEMA 63:

Tres docenas de limones cuestan tantos solescomo limones dan por S/. 1600, Cunto valela docena de limones?

A) S/. 80 B) S/. 160 C) S/. 180

D) S/. 240 E) S/. 280

RESOLUCIN:

* Precio de cada limn: x

* Segn enunciado: 36x =x

1600 x =

320

* Entonces el costo de la docena de limonesser:

12 x3

20 = S/. 80

RPTA: "A"

PROBLEMA 64:

Juan da a Ral tantas veces 5 centavos comosoles tiene en su bolsillo, sabiendo que an lequedan S/. 57. Cunto tena al encontrarsecon Ral?

A) S/. 80 B) S/. 60 C) S/. 100

D) S/. 90 E) S/. 120

RESOLUCIN:

Nmero de soles del bolsillo de Juan: x

Juan da a Ral: x veces S/. 0,05

Le queda: S/. 57

Luego: x x x 0,05 = 57

x 20x = 57 x = 60

RPTA: "B"

PROBLEMA 65:

Si a un nmero de tres cifras que empiezan en9, se le suprime sta cifra queda 1/21 delnmero. Dar la suma de las decenas y unidadesdel nmero.

A) 3 B) 7 C) 10

D) 9 E) 6

RESOLUCIN:

* Sea el nmero: ab

Del enunciado tendramos:

ab =21

9ab 21ab = 9ab


40

* Descomponiendo el segundo miembro:

21ab = 900 + ab 20ab = 900

* Simplificando tendramos que: ab = 45

* Nos piden: a + b = 9

RPTA: "D"

PROBLEMA 66:

Cementeria lleva huevos al mercado y vende lamita de los que tena ms 1 huevo; dejaencargado la mitad de los que le quedaba ms1huevo; obsequia la mitad del nuevo resto ms1 huevo; si despus de esto no se qued conningn huevo cuntos tena al inicio?.

A) 6 B) 7 C) 9

D) 14 E) 21

RESOLUCIN:

(Primer Mtodo):

* Sea x el nmero de huevos al inicio;vende la mitad ms 1 , entonces le queda:

2x 1

Esto es la otra mitad menos 1

* Encarga la mitad, ms 1, luego le quedar(resto):

1122

1

x

* Obsequia la mitad ms 1, quedndole alfinal:

011122

121

x

* Despejando: x =14

RPTA :"D"

Segundo Mtodo:

Nmero de huevos al inicio: 2x

* Como cada vez disminuye la mitad ms 1,luego le quedar la otra mitad pero menos l.

Piden: 2(7) = 14

RPTA :"D"

Tercer Mtodo: (Cangrejo)

Como cada vez va quedando la otra mitad (quees lo mismo que dividirlo entre 2), menos 1;luego:

Empecemos por lo ltimo, aplicando lasoperaciones inversas a las dadas:

([(0 + 1) x 2 + 1] x 2 + 1) x 2 = H 14 = H

RPTA:"D"

PROBLEMA 67:

Un galgo persigue a una liebre que lleva 90saltos de adelanto, sabiendo que el galgo da 7saltos, mientras la liebre da 6 y que 4 saltos dela liebre equivalen a 3 del galgo. Cuntossaltos dar el galgo para alcanzar a la liebre?

A) 129 B) 135 C) 189

D) 210 E) 60


41

RESOLUCIN:

Para un mismo tiempo el galgo da 7 de sussaltos, mientras que la liebre da 6.(Equivalencia de tiempo)

Para un mismo espacio el galgo necesita dar3 de sus saltos, mientras que la liebre 4(equivalencia de espacio).

Ahora como el galgo avanza en grupos de 7 yde 3, nos conviene considerar cada MCM (7,3) = 21 saltos de galgo, lo cual equivale a 4 x 7= 28 saltos de liebre, y la liebre en ese mismotiempo dar 6 x 3 = 18 de sus saltos, entoncesen un intervalo de tiempo el galgo ledescuenta: 28 18 = 10 saltos de liebre, peropara alcanzarlo necesita descontarle 90 saltosde liebre, con lo que necesitar: 90/10 = 9intervalos de tiempo, durante los cuales elgalgo dar : 9 x 21 = 189 saltos de galgo.

RPTA: "C"

PROBLEMA 68:

Dos empleados trabajan juntos, el primerogana S/.10 ms que el segundo por da; sidespus de haber laborado el mismo nmerode das; el primero recibi 270 soles y elsegundo 180 soles. Cunto gana diariamenteel segundo?

A) S/. 10 B) S/. 20 C) S/. 30

D) S/. 25 E) S/.40

RESOLUCIN:

Si el segundo gana x diariamente, luego elprimero ganar: x + 10, y como en total hanganado S/.180 y S/.270 ,entonces el nmero dedas que han trabajado ser :

10270180

xx

(segn enunciado, ambos

trabajaron el mismo numero de das)

180x + 1800 = 270x

1800 = 90x 20 = x

RPTA: "B"

PROBLEMA 69:

Un ganadero estaba indeciso entre comprar156 gallinas o por el mismo precio comprar 13vacas y 13 cerdos. Decide al fin comprar elmismo nmero animales de cada clase.Cunto compr en total?

A) 24 B) 27 C) 36

D) 39 E) 45

RESOLUCIN:

* Sea: G : Costo de cada gallina

V : Costo de cada vaca

C : Costo de cada cerdo

n : Nmero de animales de cada clase.

* Luego: 156G = 13V+13C (Sacando treceava)

12G = V + C

* Ahora: nG + nV + nC = 156G

n(G + V + C) = 156G

12G

n x 13G = 156 G n = 12

* Entonces compr en total:

n + n + n = 3n = 3(12) = 36

Gallinas Vacas Cerdos

RPTA: "C"


42

PROBLEMA 70:

A un alambre de 95 mts. de longitud se le handado cortes de manera que la longitud de cadatroz sea igual al anterior aumentado en sumitad. Cul es la longitud del trozo mslargo?

A) 25 B) 30 C) 45

D) 55 E) 40

RESOLUCIN:

Primera suposicin:

* Para evitar esos 3/2x (la fraccin),multiplicaremos todo por 2:

4x + 6x + 9x = 95

19x = 95 x = 5

* Pide 9x = 9(5) = 45m

RPTA: "C"

PROBLEMA 71:

Juan da a Pedro 10 mts. de ventaja para unacarrera de 100mts; y Pedro le da a Carlos unaventaja de 20 mts. para una carrera de 180 mts.Cuntos metros de ventaja debe dar Juan aCarlos para una carrera de 200 mts?.

A) 40 mts. B) 30 mts. C) 50 mts.

D) 45 mts. E) 55 mts.

RESOLUCIN:

* En la carrera entre Juan y Pedro:

Juan debe correr 100 metros mientras Pedroslo debe correr slo 90 metros. Luego losespacios recorridos estn en relacin.

90100

PJ (I)

* De la misma forma entre Pedro y Carlos:

160180

CP (II)

* Multiplicando (I) x (II):160180

90100

CP

PJ

* Luego:160200

CJ

Juan le da a Carlos una

ventaja de: 200 160 = 40m.

RPTA: "A"

PROBLEMA 72:

Un grupo de abejas, cuyo nmero era igual a laraz cuadrada de la mitad de todo su enjambre,se poso sobre un jazmn, habiendo dejado muyatrs a 8/9 del enjambre; slo una abeja delmismo enjambre, revoloteaba en torno a unloto, atrada por el zumbido de una de susamigas que cay imprudentemente en latrampa de la florecilla de dulce fragancia.Cuntas abejas formaban el enjambre?

A) 70 B) 71 C) 72

D) 98 E) 200

RESOLUCIN:

* Total de abejas: x

Segn el enunciado: x = 29

82

xx

Considerando: x = 18 k2


43

18k2 =9188

218 22 kk

+2 2k2 = 3k + 2

2k2 3k 2 = 0 (2k + 1) (k 2) = 0

k = 2

x = 18 x 22 x = 72

RPTA: "C"

PROBLEMA 73:

A 10 parejas de novios le va a entregar 2 panespor persona. En el momento de la entrega seobserv que faltaban algunos panes, por lo quese orden traer tantos panes como la mitad delo que hay, ms un pan; para cumplir laentrega. Cuntos panes se orden traer?

A) 11 B) 12 C) 13

D) 14 E) 15

RESOLUCIN:

# DE PANES QUE SE: x (faltan)MANDO A TRAER

* Luego:

Quedaron: 40 x (hay)

40 x +2

40 x + 1 = 40 x = 14

RPTA : "D"

PROBLEMA 74:

Un edificio, tiene 4 pisos, el nmero dehabitaciones de cada piso son nmerosconsecutivos crecientes y cada habitacin deledificio tiene tantas ventanas comohabitaciones hay en el respectivo piso. Si elnmero de ventanas del ltimo piso y elnmero de habitaciones del primer piso suman69. Cuntas habitaciones hay en el ltimopiso?

A) 8 B) 7 C) 9

D) 6 E) 4

RESOLUCIN:

* Sea x el nmero de habitaciones delltimo piso del edificio:

Piso # dehabitaciones

# deventanas

/ hab.

Total deventanas

4 x x x2

3 x 1 x 1 (x 1)2

2 x 2 x 2 (x 2)2

1 x 3 x 3 (x 3)2

* Ahora sumamos el nmero de ventanas delltimo piso con el nmero de habitaciones delprimer piso.

* Resolviendo: x2 + (x 3) = 69

* Factorizando: x2 + x 72 = 0

x + 9 = 0 x 8 = 0

* De donde: x + 9 = 0 x = -9

x 8 = 0 x = 8

RPTA: "A"

PROBLEMA 75:

Un pasajero que lleva 63Kg de equipaje pagaS/. 198 por exceso de equipaje, y otro que lleva38 Kg paga S/. 48. Cul es el peso que puede,transportarse sin pagar ningn costo adicional?

A) 30Kg B) 25 Kg C) 33 Kg

D) 35 Kg E) 31 Kg

RESOLUCIN:

* Si llamamos x al peso que puede llevarsesin costo adicional el primer pasajero pagS/.198 por los (63 x) Kg restantes, mientrasque el segundo pag S/. 48 por los (38 x) Kgrestantes; como el pago debe ser proporcionalal peso tenemos que:


44

48198

3863

xx

48

4819838

)38()63(

xxx

648

48150

3825

x

= 38 x x = 30

RPTA: "A"

PROBLEMA 76:

Un deportista apuesta a tirar al blanco con lacondicin de que por cada tiro que aciertarecibir a soles y pagar b por cada unode los que falle. Despus de n tiros harecibido e soles Cuntos tiros dio en elblanco?

A)bacan

B)cacan

C)bacbn

D)cacan

E)bcabn

RESOLUCIN:

* Sea x el nmero de tiros acertados.Entonces, el nmero de tiros errados sern x.

* Como por cada tiro acertado recibir a soles, por los x tiros acertados percibir ax soles.

* Se sabe tambin que por cada tiro erradopagar b soles; entonces por los n xtiros errados tendr que pagar b (n x) soles.

* Luego, la cantidad final que recibe es:

c = ax - b(n x) = ax - bn + bx

c = (a + b)x bn x =ba

bnc

RPTA: "C"

PROBLEMA 77:

Un padre reparte una herencia entre sus hijosde la manera siguiente: Al primero le da unasuma a y la ensima parte del resto, elsegundo la suma 2a , y la ensima parte del

resto, despus de hacer el recuento, le da altercero una suma 3a y la ensima parte delresto, y as sucesivamente. Al final seencuentra que cada uno de ellos ha recibido lamisma cantidad. Cul es el nmero de hijos?

A) n B) n 1 C) 2n 5

D) 2n E) n2 1

RESOLUCIN:

* "El primero le da a y la ensirna parte delresto.

Herencia

nx

a x (n 1)x

1er Hijo Resto (queda)

Herencia: nx + a

Al segundo 2a y la ensima parte del nuevoresto

Resto

(n 1)x 2a (Nuevo resto)

2an

axn 2)1(

2do Hijo

Y as sucesivamente con todos los hijos.

Al final todos reciben la misma cantidad dedinero.

Recibido = Recibidopor el 1ro, por el 2do.

a + x = 2a +n

axn 2)1(

* Resolviendo: x = na 2a


45

* Reemplazando:

Herencia: n(na 2a) + a = a(n 1)2

Pero al 1ro le toc: a+x = a+na 2a = a(n l),que es lo mismo que le toc a todos, luego:

# de hijos =)1(

)1( 2

nana = n 1

RPTA: "B"

PROBLEMA 78:

Se tiene una cierta cantidad de vasos cuyocosto total es de 8400 soles. Si se vendiera,cada uno a 400 soles se obtendra ciertaganancia; pero si cada uno se vendiera a 380 seproducira cierta prdida.

Cunto se ganara de venderse a 500 solescada vaso?

A) 2000 B) 2400 C) 2600

D) 2800 E) 8000

RESOLUCIN:

Debemos considerar n vasos, que sivendiera a S/.400 cada uno se obtendra:

400n > 8400 (Debida a que se va a ganar)

n > 21 (I)

Pero si se vendiera a S/. 380 se obtendra:

380n < 840 (Debido a que se va a perder)

n < 22,1 (II)

De (I) y (II) :

21 < n < 22,1

22 (Ya que el nmero de vasos debe serentero)

Luego, si vendemos cada uno de los 22 vasosa S/. 500 por unidad, se recaudara:

22 x S/.500 = S/. 11000

Se ganara: 11000 8400 = S/. 2600

RPTA: "C"

PROBLEMA 79:

Un libro cuesta a soles, el cual se vendeganando tanto como se rebaj si al momentode vender. De no haber rebajado, se hubieraganado b soles ms de lo que cost.Cunto se rebaj?

A) b/4 B) (a + b)/2 C) (b a)/2

D) b/2 E) a/2

RESOLUCIN:

Precio Fijado (lo que publico en tienda)

a x x

Costo Ganancia Descuento

Precio de Venta (Lo que se rebaj)

* Del grfico, si no se hubiera rebajado,entonces se hubiese ganado 2x, que segn elenunciado es b soles ms de lo que cost,luego plantearemos.

Costo

2x = a + b x =2

ba

RPTA : "B"

PROBLEMA 80:

En un cierto momento en una fiesta, el nmerode hombres que no bailan es al nmero depersonas que estn bailando como 1 es a 6;adems al nmero de damas que no bailan es alnmero de hombres como 3 es a 2. Encontrarel nmero de damas que estn bailando, si eltotal de personas que asistieron a la fiesta es455.

A) 56 B) 84 C) 215

D) 105 E) 300


46

RESOLUCIN

* Debemos tomar en cuenta que:

Hombres que bailan = Damas que bailan

* Luego:

Bailan No Bailan

Hombres x y

Damas x z

* Del ler. dato:61

2

xy

x = 3y

* Del2do. dato:23

yxz

2z = 12y

z = 6y

* Del ltimo dato:

x + x + y + z = 455 3y + 3y + y + 6y = 455

y = 35

* Piden el nmero de damas que bailan:

x = 3y = 3(35) = 105

RPTA: "D"

PROBLEMA 81:

En dos oficinas, informtica y contabilidad deun ministerio, haba en el ao 2006, un ciertonmero de empleados. En 2007 se aumentaron5empleados a la oficina de informtica y 6 a lade contabilidad, resultando esta con el doblenmero de funcionarios que los de informtica.En 2008 se aumentaron 2 a contabilidad ycesaron a 4 empleados de informtica,resultando este departamento con la terceraparte de funcionarios que contabilidad.Cuntos empleados haba en la oficina deinformtica en el ao 2006?

A) 8 B) 9 C) 10

D) 7 E) 6

RESOLUCIN:

* Consideremos que en 2007:

Doble

Contabilidad Informtica

* En 2008: 2x x

Contabilidad Informtica

2x + 2 x 4

Tercera

Parte

x 4 =3

22 x x = 14

* Piden los de informtica de 2006, que sern:

x 5 = 14 5 = 9

RPTA: "B"

PROBLEMA 82:

Una familia acord preparar una pachamancapara el da del Trabajador, para ello se sac unpresupuesto, el cual se cubrira en partesiguales por los miembros de familia; pero alrealizar las compras se gast S/.240 por lo quecada miembro tena que aportar S/.6 ms de loprevisto, entonces 3 de ellos acordaron noparticipar, por lo tanto los restantes tuvieronque aportar el doble de lo previsto, para cubrirel gasto. De cuntas personas consta lafamilia?

A) 8 B) 15 C) 8 15

D) 10 16 E) 12 18

RESOLUCIN:

# de personas: x

Pago previsto por persona: y


47

Cuando se gast S/.240, entonces cadapersona deba pagar:

x240 = y + 6 (I)

Pero al renunciar 3 de ellos, luego cada unode los (x 3) restantes debi pagar:

3240x

= 2y (II)

De (I) y (II) se tendr:

3240x

= 2

6240

x

3120x

=x

240 6

xx

403

20

1

* Resolviendo: x = 8 x = 15

RPTA: "C"

PROBLEMA 83:

En un examen de n preguntas un estudiantecontesta correctamente 15 de las primeras 20.De las preguntas restantes contestacorrectamente un tercio. Todas las preguntastienen el mismo valor. Si la nota del estudiantees de 50% de la nota mxima, Cuntosvalores diferentes de n puede haber? (nodisminuye el puntaje por respuesta incorrecta)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIN:

* El puntaje resultante final ser:

15k +

320n

k = 50% (nk)

Puntaje por pregunta Correcta

15 +23

20 nn

Resolviendo: n = 50

Entonces el nmero de valores que puedetomar n ser 1.

RPTA: "A"

PROBLEMA 84:

Si te doy lo que a ti te falta para tener lo que yotenga y t me das todo lo que te pido, que es loque me falta para tener el doble de lo quetienes; resulta que lo mo es a lo tuyo como 5es a 4. En qu relacin se encontraban lo quetenamos inicialmente?

A) 11/10 B) 11/7 C) 11/9

D) 11/3 E) 11/5

RESOLUCIN:

Inicialmente: Yo tengo: x

T tienes: y

* Si yo te doy: x y (lo que te falta)

y t me das : 2y x (lo que te pido)

* Entonces resulta:

45

TUYO

MIOLO

45

)2()(2)(

xyyxyxyyxx

45

223

yxxy

*Despejando:711

yx

RPTA: "B"

PROBLEMA 85:

Un escolar gast cierta suma de dinero paracompra una cartera, un lapicero y un libro. Sila cartera, el lapicero y el libro costarn 5, 2 y3 veces ms caros respectivamente, la compracostara 326 soles y s, en comparacin con elprecio original, la cartera costar 2 veces mscaro, el lapicero 4 veces ms caro y el libro 2veces ms caro, por la misma compra elescolar pagara 190 soles.


48

Cunto vale la compra, si el precio de lacartera es el doble del precio del libro?

A) S/. 130 B) S/. 62 C) S/. 36

D) S/. 60 E) S/. 92

RESOLUCIN:

Cartera Libro Lapicero

Costo(Original) 2x x y

* Primera suposicin:

Libro

2x + 5(2x) y + 2y x + 3x

12x + 3y + 4x = 326

16x + 3y = 326 (I)

* Segunda suposicin:

2x + 2(2x) + y + 4y + x + 2x = 190

9x + 5y = 190 (II)

* De (I) y (II) se obtiene: x = 20 y = 2

* Piden:

Costo total: 2x + x + y = 3x + y = 3(20)+ 2 = 62

RPTA: "B"

PROBLEMA 86:

En un baile social al que asistieron 42personas, se observ en un momento dado queel nmero de hombres que no bailan ni lopoda hacer era la tercera parte de los que si lohacan; el nmero de damas que no bailabanpero que podran hacerlo es el doble de loshombres de modo anlogo y esta ltimacantidad inferior en 2 al de mujeres que nobailaban y no podan hacerla. Calcule ladiferencia entre el nmero de mujeres yvarones.

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

RESOLUCIN:

Bailan No Bailanni PuedenNo Bailan pero

si pueden

Hombres 3x x yMujeres 3x y + 2 2y

Pero el total: 6x + x + y + 2 + y + 2y = 42

7x + 4y = 40 (POR TANTEO)

Ser 3 Ser 4

* Piden: (3x + y + 2 + 2y) - (3x + x + y)

= 2y + 2 x = 2(3) + 2 4 = 4

RPTA: A

PROBLEMA 87:

Un examen consta de 4 preguntas. La 1ra. Vale3 puntos, la 2da. vale 4, la 3ra. vale 6 y la 4ta.Vale 7 puntos, un alumno contesta bien dospreguntas, contesta regularmente una preguntay deja de contestar la restante. Por preguntabien contestada recibe el puntajecorrespondiente, por la pregunta regularmentecontestada recibe el puntaje correspondientedisminuido en 3 puntos. El alumno aprob connota par mayor que 10, Qu pregunta nocontest?

A) La 1ra. B) La 2da. C) La 3ra.

D) La 4ta. E) No se puede determinar.

RESOLUCIN:

* Debemos plantear:

3 + 4 + 6 + 7 3 x > 10

Puntaje de la que no contest.

7 > x Debe ser impar


49

* Se deduce que x = 3, entonces dej decontestar la primera.

RPTA: A

PROBLEMA 88:

Considere los tres menores nmeros naturalesconsecutivos de tres cifras, cuya suma es uncuadrado perfecto. La menor cifra del mayorde estos tres nmeros es:

A) 1 B) 0 C) 4

D) 2 E) 3

RESOLUCIN:

* Sean los naturales de 3 cifras:

N 1; N y N + 1, su suma es:

3 x N = K2

3 x 62Mnimo

* Luego: N + 1 = 109

La menor cifra es cero.

RPTA: B

PROBLEMA 89:

Cuntas estacas se necesitan para cercar unterreno de forma cuadrada, cuya rea es de9025 m2, si las estacas se colocan cada 10 m?

A) 38 B) 35 C) 34

D) 30 E) 36

RESOLUCIN:

* Para calcular el nmero de estacas hay quecalcular el permetro del cuadrado:

* Luego, como las estacas se colocan cada10m. se tiene:

# De estacas = PermetroSeparacin entre estaca y estaca

10

495 = 38

RPTA: A

PROBLEMA 90:

A una fiesta asistieron 56 personas entre damascaballeros, en dicha reunin se observ queAnita, bail con 9 caballeros, Betty bail con10 caballeros, Carmen bail con 11 caballerosy as sucesivamente hasta llegar a Zulema quees la ltima dama, quien bail con todos loscaballeros asistentes a la reunin. Segn estoindicar qu proposiciones dadas a continuacinson verdaderas:

I) Zulema bailo con 30 caballeros

II) Asistieron 24 mujeres

III) Asistieron 34 hombres

IV) El nmero de caballeros excede alnmero de mujeres en 8.

A) Slo IV B) II y IV C) Slo II

D) I y IV E) I y II

RESOLUCIN:

* Como la 1ra. bail con 9, la 2da. con 10 y assucesivamente la ltima dama con todos los


50

caballeros, esto significa que la diferenciaentre el nmero de varones y damas es :

9 1 = 10 2 = = V D = 8

Luego: V + D = 56

V D = 8

2V = 64

V = 32 Y D = 24(varones) (damas)

Entonces: I) F II) V III) F IV) V

RPTA: "B"

PROBLEMA 91:

Al multiplicar dos nmeros reales positivosuno de, los cuales es superior al otro en 16unidades, un escolar err disminuyendo en 3 lacifra de las decenas y en 5 la cifra de lasunidades de dicho producto. Sin embargorealiz bien la comprobacin para lo cualdivide el producto obtenido por el menor de losfactores obteniendo 41 en el cociente y 19 enel resto. Hallar la suma de los factores.

A) 76 B) 60 C) 70

D) 78 E) 80

RESOLUCIN:

Al disminuir 3 en las decenas de un nmero,es lo mismo que quitarle 3(10) = 30 al nmero,anloga mente si disminuimos 5 a las unidades,ser lo mismo que quitar 5(1) = 5 al nmero.

En el problema, sean los factores x y(x + 16), entonces el producto real ser:x(x + 16) y el errado ser:

x(x + 16) 30 5 = x(x + 16) 35

Que al verificarlo se tendr:

x2 + 16x 35 x

19 41

Por el algoritmo de la divisin se obtiene:

x2 + 16x 35 = 41x + 19

x2

Documents

Ecuaciones Tomo II