ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ecuación Trigonométrica.- Una ecuación trigonométrica es una igualdad en las cuales todas las variables

están afectadas por funciones trigonométricas y se verifica para determinados valores de la variable.

Ecuación Trigonométrica Elemental (E.T.E.) .- Una ecuación trigonométrica se llama Elemental o Simple

si tiene la siguiente estructura:

F.T.= Función Trigonométrica ; Ax+B = Argumento ; x : variable angular; N = Valor numérico.

A los valores de la variable que verifican dicha igualdad se les denomina Soluciones o Raíces de la

Ecuación.

Conjunto Solución..- Es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación trigonométrica

Solución General (Sg).- Es el conjunto de todos los valores angulares que asume la variable angular.

Solución Principal ( Sp ).- Es el menor valor no negativo que asume la variable angular.

Solución Básica (S b).- Se denomina así al conjunto de valores angulares que satisfacen la ecuación y se

encuentran en el intervalo [ 0; 2.

Valor Principal (Vp) .- Es el valor que asume el argumento de la ecuación trigonométrica elemental.

F .T .( Ax+B )⏟argumento

=N El valor principal está comprendido en el siguiente intervalo:

/ 2 Vp (Seno) /2 0 Vp (Coseno) / 2 < Vp (Tangente) < /2

EXPRESIONES GENERALES DE LOS ARCOS PARA UNA ETE

E.T.E. CONDICION SOLUCION GENERAL

Sen x = a a [ -1; 1] Sg = k + (-1) k VpCos x = a a [ -1; 1] Sg = 2k VpTan x = a a R Sg = k + Vp

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS NOTABLES

30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º 8º 82ºSen 1 / 2 3 / 2 2/2 3/5 4/5 7/25 24/25 2/10 72/10Cos 3 / 2 1 / 2 2/2 4/5 3/5 24/25 7/25 72/10 2/10Tan 3 / 3 3 1 3 / 4 4/3 7/24 24/7 1/7 7

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

∢R.T.

0º90º=

π2

180º= 270º=

3π2

360º=2

Sen 0 1 0 –1 0Cos 1 0 –1 0 1Tg 0 ND 0 ND 0

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Resolver: 2 tg2x + 3secx = 0; kZ

a) k π3

b) 2k π3

c)

k 2π3

d) 2k 2π3

e) k π6

2) Calcular la suma de las tres primeras

soluciones positivas de la ecuación:

2cos2x = -4cosx – 3

COLEGIO BILINGÜE COMPUTARIZADO “ALEXANDER VON HUMBOLDT” - PISCO

TRABAJO PRACTICO DE TRIGONOMETRIATEMA: ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

QUINTO GRADO DE SECUNDARIA

F.T. (Ax + B) = N

a) 720º b) 540º c) 450º d) 360º e)

840º

3) Resolver : cos2 x + cos2 2x = cos2 3x + cos2 4x e

indicar el número de raíces en e intervalo 0; ]

a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 8

4) Resolver: cos6x + cos4x – cosx = 0; kZ

a) (2k+1)π2

b) 2kπ5±π30

c) 2kπ5±π15

d) a b e) a c

5) Si x ⟨0 ; π2 ⟩ resolver: 2

secx2=tg x

2+ctg x

2

a) /6 b) /4 c) /3 d) 2/3 e)

5/6

6) Calcular la menor solución positiva de la

ecuación: csc2x – sec4x = 2

a) /20 b) /10 c) /5 d) /4 e) /3

7) Halle el valor de “x” en:

11+senx

+ 11−senx

=8

a) 30º b) 60º c) 45º d) 37º e) 53º

8) Señala la suma de las tres primeras

soluciones positivas de la ecuación: 2sen2x

= 3 cosx

a) 780º b) 720º c) 440º d) 420º e) 540º

9) El menor valor positivo que satisface la

ecuación: sen8x + sen4x + 2 sen 2 x = 1 es:

a) 7/72 b) /36 c) /20 d) /18 e) /12

10) Hallar la suma de los valores de x 0;

que verifican la ecuación: tag 2 3x + 1 = 2

tag3x

a) 5/6 b) 3/2 c) 7/6 d) 13/12 e) 5/4

11) Señale la suma de las soluciones

comprendidas en 0; de la ecuación:

4sen 4 x + 2 sen 2 x . cos2x = 1

a) b) 5/4 c) 2 d) 3 e) 3/2

12) Calcular la suma de las tres primeras

soluciones positivas de la ecuación:

2cos2x = –4cosx – 3

a) 720º b) 540º c) 450º d) 360º e) 840º

13) Resolver: 2senx – cscx = 1 ; x 0; 2.

Indicar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14) Resolver: 2tag = sec 2

a) 2k ; k Z b) k +

π4 ; k Z c) k ; k

Z

c) (2k+1)

π2 ; k Z e) (2k -1)

π4 ; k

Z

15) Hallar el conjunto solución básico de la

ecuación: senx = √3 cosx – 1

a) 3/2 b) /4; 3/2 c) /4; /6 d) /6; 3/2 e)

/6

16) Resolver: cos 4 x – sen 4 x = ½ ; 0º < x <

180º

a) 120º ; 30º b) 20º ; 130º c) 30º; 150º

d) 45º; 90º e) N.A.

17) Resolver: sen 4 x + cos 4 x = ½ indicar la

suma de las cuatro primeras soluciones

positivas.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

18) Resolver: sen5x + sen3x = sen4x

Indicar el número de soluciones para 0;

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

19) Resolver 2senx . sen3x + cos 2 2x = 1

indicar la suma de las 5 primeras soluciones

positivas.

a) 3 b) 5 c) 7 d) 2 e) 4

20) Al resolver: √3 senx+cos x=1 se

obtiene:

a) 15º b) 30º c) 0º d) 60º e) 90º

21) Al resolver: cot 2 x – cscx – 1 = 0 se obtiene

a) /3; b) /6; /2 c) /3;

2

d) /6; 3/2 e) /2; 3/2

24). Resolver: sen22x + cos2x = 1 + senx y dar como

respuesta la suma de valores de x comprendidos

en el intervalo 0; 2

a)7 b) 7/2 c) 5/2 d) 3/2 e) 9/2

25). Resolver: sen2x + sen 2 2x + sen 2 3x = 1,5 e

indicar el número de soluciones en 0; 2

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12

26). Resolver:: cos 4 3x – sen 4 3x =

1

√2 e

indicar la suma de las dos mayores

soluciones del IC

a) 3/5 b) 2/3 c) 2/7 d) 5/6 e) 4/5

27). Resolver: 4 cos 2 3x – 6 cos3x = 3.

a) k; k Z b) 2k; k Z c) k

π2 ; k Z

d) k

π3 ; k Z e) k

π4 ; k Z

28). Si x 0; 5

π2 hallar la suma de las soluciones

de la ecuación: 2 sen2 x + √3 sen2x = 3

a) 300º b) 720º c) 480º d) 610º e) 530º