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Control estadístico de procesosEcuacionesIngenieria quimica
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Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Mendoza Ctedra: Control Estadstico de Procesos
2012 Ing. Graciela Lpez -- JTP
1
ECUACIONES Y TABLAS (3 EVALUACIN)
Z = x = P(error tipo I) ; = P(error tipo II)
Potencia = 1 - = Prob. de rechazar correctam. Ho
Cp = LSE - LIE 6s
2dRS =
=
3
,
3min LSELIEpkC
T= 0,5(LSE+LIE)
La fraccin de la banda de las especificaciones: P = (1 / Cp) 100%
Intervalo de confianza para Cp
=S/C4 si n>25 C4 = 4(n-1)/(4n-3) Herramientas estadsticas para la mejora continua
Diagramas:
- La carta de verificacin. - El diagrama de Pareto. - El diagrama de causa-efecto. - Histograma. - Diagrama de dispersin o correlacin
Recta de regresin
- pendiente
- ordenada origen
Coeficiente de correlacin lineal Pearson
1616
21,2/
21,2/1
nSLIELSEC
nSLIELSE n
pn
xbay . +=
( )( )( )
=
n
xx
n
xyyx
bi
i
iiii
22
xbya =
yx
yxCr
),(=
=
=
n
iii yyxx
nyxC
1))((1),(
Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Mendoza Ctedra: Control Estadstico de Procesos
2012 Ing. Graciela Lpez -- JTP
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- Grficas de control. - Diseo de experimentos
Experimento Unidad Experimental Variables de respuesta Factores controlables Factores no controlables o de ruido Factores estudiados Niveles y Tratamientos Error aleatorio Error experimental
1. Experimentos con un solo factor
Modelo estadstico
Teora General
Anlisis de Varianza ANOVA
Notacin de puntos
representa la j-esima observacin en el tratamiento i.
Suma de las observaciones del tratamiento i=
Media de las observaciones del i-esimo tratamiento=
Suma total de las N mediciones =
Media global o promedio de todas las observaciones=
Descomposicin de la variabilidad total: Una medida de la variabilidad total presente en las observaciones de la tabla es la suma total de cuadrados dada por
Se suma y resta dentro del parntesis la media del tratamiento i ( )
Desarrollando los cuadrados
Donde el primer componente es la suma de los
==== koH ...: 21jH 11 :
ijiijY ++=
ijY
.iY
.iY..Y
..Y
( )=
=
=
k
i
in
j ijTYYSC
1 1
2..
( )= =
+=
k
i
n
jiiijT
i
YYYYSC
1 1
2
.. ..
( ) ( ) = = =
+=k
i
k
i
in
jiYijYYiYinTSC
1 1 1
2.
2...
TRATSC
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2012 Ing. Graciela Lpez -- JTP
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cuadrados de los tratamientos ( ) y el segundo es la suma de cuadrados del error ( )
Suma total de cuadrados del error
Como hay en total N observaciones, SCT tiene N -1 grados de libertad. Como hay k tratamientos o niveles del factor de inters (A, B, C, D), SCTRAT tiene k -1 grados de libertad Mientras que SCE tiene N k grados de libertad.
Las sumas de los cuadrados divididas entre sus respectivos grados de libertad se llaman cuadrados medios.
Cuando la hiptesis nula es verdadera, ambos cuadrados medios estiman la varianza 2 Con base en este hecho se construye el estadstico de prueba como sigue: se sabe que SCTRAT y SCE son independientes, por lo que Y son dos variables aleatorias independientes con distribucin ji-cuadrada con N k y k 1 grados de libertad, respectivamente. Estadstico de prueba
Sigue una distribucin F con k 1 grados de libertad en el numerador y N k grados de libertad en el denominador. Si Fo es grande, se debe rechazar la hiptesis nula, es decir que se rechaza que los tratamientos sean todos iguales.
En cambio si Fo es pequeo se confirma la validez de la hiptesis nula. Es decir que elegido un determinado , si el valor P es ms pequeo que l, se rechaza la hiptesis nula.
Si por el contrario se rechaza la hiptesis nula es necesario investigar cuales tratamientos resultaron diferentes o cuales provocaron la diferencia.
Mtodo de la diferencia mnima significativa LSD Este mtodo se basa en probar la igualdad de todos los posibles pares de medias con la hiptesis
Para toda ij . Para k tratamientos se tienen k(k-1)/2 pares de medias.
Si todos los tratamientos tienen el mismo nmero de rplicas, la cantidad LSD se reduce a:
La validez de los resultados obtenidos en cualquier anlisis de varianza queda supeditado a que los supuestos del modelo se cumplan.
Estos supuestos sobre Y se traducen en supuestos sobre el trmino error () en el modelo. Es una prctica comn, si se elige la forma grfica, utilizar la muestra de residuos (diferencia entre la respuesta observada y la respuesta predicha por el modelo en cada prueba experimental) para comprobar los supuestos del modelo.
ESC
ETRATT SCSCSC +=
1=
kSCCM TRATTRAT
kNSCCM EE
=
2/ESC2/TRATSC
E
TRATo CM
CMF =
LSDnn
CMtYYji
ekNji =
+
11,2/.. f
neCMkNtLSD /2).,2/( =
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Los residuos, eij, se definen como la diferencia entre la respuesta observada Yij y la respuesta predicha
por el modelo , lo cual permite hacer un diagnostico ms directo de la calidad del modelo, ya que su magnitud seala que tan bien se ajusta el modelo a los datos del problema.
Recordemos el modelo en el que se basa el diseo completamente aleatorizado (DCA)
Donde Yij es el j-eimo dato en el tratamiento i; es la media global, es el efecto del tratamiento i y representa el error asociado con la observacin
El residuo asociado de la observacin Yij , est dado por
Prueba de Shapiro-Wilks para normalidad
Los pasos para la prueba de Shappiro-Wilks son:
1) Se ordenan los datos de menor a mayor, por X1, X2, Xn 2) De la tabla correspondiente se obtienen los coeficientes a1, a2,ak, donde k es igual a n/2 y donde n es el nmero total de mediciones 3) se calcula el estadstico W definido como
4) Si el estadstico W es mayor que su valor crtico al nivel seleccionado de la tabla de Shappiro-Wilks, se rechaza la normalidad de los datos.
Prueba de Barlett para homogeneidad de varianzas
Supongamos que se tienen k poblaciones o tratamientos independientes, cada una con distribucin normal, donde las varianzas son desconocidas. Se quiere probar la hiptesis de igualdad de varianzas dada por:
para algn i distinto de algn j
El estadstico de prueba para la hiptesis planteada es donde
k tratamientos
ijiijY ++=
i ij
.iijij YYe =
2
1)())1((2)1(
1
=
+
=
k
iiXinXia
SnW
2222
21 ...: ==== koH
22: jiAH
c
qo 3026,22
=
=
=
k
iiip SnSkNq
1
210
210 log)1(log)(
+= =
k
ii kNnk
c1
11 )()1()1(311
kN
SnS
k
iii
p
=
=1
2
2)1(
ijY
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Muestreo para aceptacin por atributos Distintos planes de muestreo ..
Puntos importantes de CO que siguen distribucin binomial
Diseo CO
Se aplica procedimiento a nomograma o tabla militar estudiado.
Muestreo para aceptacin por variables
Estadstico
Diseo plan Supongamos que sean y los puntos de inters de la curva OC. Del monograma correspondiente obtenemos el valor de k y de n
Se compara ZLIEk se toman decisiones de acuerdo al resultado
Mtodo M
Se siguen los pasos convenientes y se toman decisiones. Para dos lmites especificados
Se toman decisiones.
Aplicacin de la regla militar STD 414
Se aplica tabla y procedimiento estudiado
P(
=
=
c
d
dnd ppdnd
n
01 )1()(1
=
=
c
d
dnd ppdnd
n
022 )1()(
NnNpPAOQ a )( =
LIExZLIE
=
),( 2 p )1,( 1 p
36,0249
509,11
2)1(1
=
=
n
nk
s
LIExZ LIE
=
s
xLSEZLSE
=