Ecualcin diferencial linealEste artculo o seccin necesitareferenciasque aparezcan en unapublicacin acreditada, como revistas especializadas, monografas, prensa diaria o pginas de Internetfidedignas. Este aviso fue puesto el 4 de mayo de 2013.Puedesaadirlaso avisaral autor principal del artculoen su pgina de discusin pegando:{{subst:Aviso referencias|Ecuacin diferencial lineal}} ~~~~

Unaecuacin diferencial linealordinaria es unaecuacin diferencialque tiene la forma:

O usando otra notacin frecuente:

Para que unaecuacin diferencialsealineales que no aparezcan productos de la funcin incgnita consigo misma ni de ninguna de sus derivadas. Si usamos la notacinpara denotar eloperador diferencial linealde la ecuacin anterior, entonces la ecuacin anterior puede escribirse como:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura deespacio vectorialde dimensin finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.ndice[ocultar] 1Ecuacin lineal de primer orden 2Ecuaciones lineales de ordenn 2.1Resolucin caso general 2.2Resolucin con coeficientes constantes 2.3Ejemplos 3Vase tambin 4Enlaces externosEcuacin lineal de primer orden[editar]LasEcuaciones diferenciales de primer ordense caracterizan por ser de la forma:

Dondeysonfunciones continuasen un intervalo abierto. La solucin de esta ecuacin viene dada por:

[ocultar]Resolucin detallada

Es posible encontrar una forma explcita para las soluciones de esta ecuacin, la idea consiste en encontrar una funcinque nos permita transformar:

en laderivada de un producto.Para ello necesitamos que. En efecto, si despejamos p(x) e integramos ambos miembros tenemosdentro de la integral y por resolucin de integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y as obtenemos

Ahora si multiplicamos laecuacin diferencialporobtenemos:

Lo que equivale a escribir:

ConFinalmente, todas las soluciones de la ecuacin diferencial pueden ser calculadas usando la expresin:

Ecuaciones lineales de ordenn[editar]Del mismo modo que se ha definido la ecuacin diferencial lineal de primer orden podemos definir una ecuacin diferencial de ordenncomo:

Donde la derivada mayor que aparece es de ordenn-simo.Resolucin caso general[editar]Esta ecuacin se dice que es lineal si la funcin incgnita o sus derivadas no estn multiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas (por ejemplo,). Una ecuacin diferencial lineal de orden superior puede atacarse convirtindola en un sistema denecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto se definen lasnfunciones incgnita adicionales dadas por:

Puesto que:

Elsistema de ecuaciones diferencialespuede escribirse en forma de ecuacin matricial como:

Resolucin con coeficientes constantes[editar]La resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuacin de primer orden la bsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayora de los casos a una ecuacin en derivadas parciales. Si la ecuacin es de orden superior, a no ser que sea una ecuacin de Euler o similar, tendremos que proponer una solucin que no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los mtodos preferidos (sin contar el clculo numrico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el mtodo de losvalores propiosya que en ese caso la matriz resultante de la reduccin de la ecuacin a un sistema de primer orden es constante y puede encontrarse fcilmente su solucin calculando laexponencia de la matrizdel sistema.Para estudiar otros mtodos de encontrar la solucin a parte de la exponenciacin de matrices consideraremos una ecuacin del tipo:

Dondeson coeficientes constantes conocidos. Observemos que la derivadan-sima va acompaada por el coeficiente unidad. Definimos el polinomio caracterstico de la ecuacin como

que es una ecuacin algebraica de ordenn. Se demuestra que si hallamos lasnracesdel polinomio caracterstico la solucin de laecuacin homognea:

Al calcular las racesdelpolinomio caractersticopueden darse los siguientes casos: Races reales distintas: En este caso la solucin viene dada directamente por, donde, siendoconstantes de integracin. Races reales repetidas: Ilustraremos este caso con un ejemplo; sea una ecuacin de segundo orden con coeficientes constantes cuyo polinomio carcterstico tiene la razdoble. En este caso no podemos expresar la solucin como, ya que si lo hacemos de este modo tenemos una informacin redundante. En este caso particular la solucin de la ecuacin es. En general, en una ecuacin de ordenn, si una razaparece repetidaqveces la solucin parcial asociada a ella es:

Races complejas: Si las races son del tipodebemos expresar la solucin como combinacin lineal de senos, cosenos y exponenciales en la forma

Si las races complejas conjugadas estn repetidasqveces, la ecuacin es del tipo

Una vez resuelto el problema homogneo podemos atacar elproblema completo. Para tener la solucin del problema completo debemos sumar una solucin particular a la solucin homognea ya obtenida:

Para hallarempleamos el mtodo de la conjetura razonable, consistente en analizar el trmino inhomogneo de la ecuacin y proponer funciones del mismo tipo como solucin. Ntese que no es necesario quesea un coeficiente constante.Ejemplos[editar] Tenemos. Proponemos(polinomio de primer orden). Las constantesyquedan determinadas tras aplicar los requerimientos de la ecuacin a la solucin particular (derivar n veces, multiplicar porcoeficientes constantes, etc.). Tenemos. Proponemos. Las constantesyse determinan como en el ejemplo 1.