ed_1_3_exactas

Ecuaciones Diferenciales Unidad 1 – ED de primer orden

19

M.C. Ángel León Rubio

1.3. Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante ______________________

Consideremos una función ( ),U x y , la cual, al ser derivada produce una ecuación

diferencial con la forma

( ) ( ) ( ), , ,dU x y M x y dx N x y dy= + (Ec. 4)

Como ( ),U x y evidentemente es una función de dos variables, para poder diferenciarla

debemos obtener el diferencial total, esto es

( ) ( ) ( ) ( ), ,

, ,U x y U x y

dx dy M x y dx N x y dyx y

∂ ∂+ = +

∂ ∂ (Ec.5)

Así, al comparar la expresión anterior podemos percibir que

( ) ( ) ( ) ( ), ,

, ,dU x y dU x y

M x y N x ydx dy

= = (Ec. 6)

Vamos a derivar la primera ecuación ( ),dU x y

dxrespecto a y , y la segunda

( ),dU x y

dyrespecto a la variable x

( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , ,

U x y M x y U x y N x y

y x y xdy x

δ δδ δ

∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

Bajo las consideraciones pertinentes, el orden de diferenciación resulta indistinto

( ) ( )2 2, ,U x y U x y

y x xdy

∂ ∂=

∂ ∂ ∂, por lo cual, las expresiones anteriores se relacionan de la

siguiente manera

( ) ( ), ,

M x y N x y

y x

δ δδ δ

= (Ec. 7)

La ecuación 7 es la condición necesaria para decir que una ecuación diferencial es exacta, esto es, el criterio de exactitud. Si esto se cumple, podemos asumir que existirá una función ( ),U x y que será la solución de la ecuación diferencial y para la

cual se cumplirá que ( ) ( ),

,U x y

M x yx

δδ

= y que ( ) ( ),

,U x y

N x yy

δδ

=


20


En pocas palabras, si una ecuación diferencial puede escribirse de la forma

( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = y se cumple que ( ) ( ), ,

M x y N x y

y x

δ δδ δ

= entonces podemos

afirmar que es una ecuación diferencial exacta, y que su solución será la función

( ),U x y que cumple con ( ) ( ),

,U x y

M x yx

δδ

= y además con

( ) ( ),,

U x yN x y

y

δδ

=

EJEMPLO 10 Verificar si la ecuación diferencial 2

0ydx x dyy

+ + =

es exacta.

Solución. Identificamos los términos ( ),M x y y ( ),N x y , recordando que son aquellos

términos que multiplican a dx y dy respectivamente. Por lo tanto

( ) ( ) 2, ,M x y y N x y x

y= = +

De acuerdo al criterio para saber si la ecuación diferencial es exacta tenemos que:

( ) 21 1

yM Nx

y y x x y

δδ δ δδ δ δ δ

= = = + =

Dado que se cumple M N

y x

δ δδ δ

= , decimos que la ecuación diferencial es exacta.

Hasta ahora, somos capaces de determinar si una ecuación diferencial es o no exacta, para encontrar la solución de esa ecuación diferencial realicemos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 11 Resuelva la ecuación diferencial ( )2 22 3 0xy x dx x dy+ + =

Solución. Dado que la ecuación diferencial ya está expresada en la forma estándar de una exacta, solo debemos identificar los términos ( ),M x y y ( ),N x y

( ) ( )2 2, 2 3 ,M x y xy x N x y x= + =

Verificamos si la ecuación diferencial es exacta

( ) ( ), ,2 2

M x y N x yx x

y x

δ δδ δ

= =


21


Como la ecuación es exacta, se garantiza la existencia de la solución ( ),U x y , la cual

cumplirá con lo establecido en la ecuación 6. Ahora nos falta determinar la función ( ),U x y . De acuerdo a la ecuación 6, sabemos que

la derivada parcial de ( ),U x y respecto a x es

( ) 2,

2 3U x y

xy xx

δδ

= +

Por separación de variables

( ) ( ) ( )2 2 3, 2 3U x y xy x dx x y x h y= + = + +∫

Nótese que se ha remplazado a la constante de integración c por una función ( )h y , esta

función tiene la misma función que la constante, completar la solución de la ecuación diferencial. De acuerdo a la integración de funciones de varias variables, si se integra respecto a x entonces todo término y o toda función ( )f y es considerada como constante, por ello es

que se permite la inclusión de un término ( )h y .

Para encontrar finalmente la solución completa de la ecuación diferencial resta calcular el valor de ( )h y , para ello, de la ecuación 6 derivamos respecto a ya ( ),U x y obtenida

anteriormente y el resultado lo igualamos con el coeficiente ( ),N x y . Como se ha

derivado, tendremos un término ( )'h y el cual posteriormente se deberá integrar

( )

( )

( )

2

2 3 2

2 2

,

'

U x yx

y

x y x h y xy

x h y x

δδ

δδ

=

+ + =

+ =

Despejando a ( )'h y tenemos que

( )' 0h y =

Por integración encontramos ( )h y


22


( ) ( )( )

' 0h y h y dy c

h y c

= = +

=∫

De manera que la solución de la ecuación diferencial es

( ) 2 3,U x y x y x c= + +

Debido a la forma estándar de una ecuación diferencial exacta, la solución se expresaría como

2 3

2 3

c x y x

c x y x

− = += +

EJEMPLO 12 Resolver la ecuación diferencial ( ) ( )2cos 2 sen 1 ' 0y yy x xe x x e y+ + + − =

Solución. Podemos darnos cuenta que la ecuación diferencial no está escrita en su forma necesaria para verificar si es o no exacta.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

cos 2 sen 1

cos 2 sen 1

cos 2 sen 1 0

y y

y y

y y

dyy x xe x x e

dx

y x xe dx x x e dy

y x xe dx x x e dy

+ = − + −

+ = − + −

+ + + − =

Ahora podemos identificar que

( ) ( ) 2, cos 2 , sen 1y yM x y y x xe N x y x x e= + = + −

Verificando si la ecuación diferencial es exacta

( ) ( )

( ) ( )2

cos 2,cos 2

sen 1,cos 2

y

y

y

y

y x xeM x yx xe

y y

x x eN x yx xe

x x

δδδ δ

δδδ δ

+= = +

+ −= = +

Como sabemos, el criterio de exactitud nos garantiza la existencia de la solución

( ),U x y tal que


23


( ) ( ),,

U x yM x y

x

δδ

=

E integrando resulta

( ) ( )( )

( ) ( )2

, cos 2

, cos 2

, sen

y

y

y

U x y y x xe dx

U x y y xdx e xdx

U x y y x x e h y

= +

= +

= + +

∫

∫ ∫

Para encontrar ( )h y , derivamos la expresión ( ),U x y respecto a y e igualamos con

( ),N x y

( ) ( )

( )

( )

2

2

2 2

,,

sensen 1

sen ' sen 1

y

y

y y

U x yN x y

y

y x x e h yx x e

y

x x e h y x x e

δδ

δδ

=

+ + = + −

+ + = + −

Despejando ( )'h y

( )' 1h y = −

Integramos ( )'h y

( ) ( )'h y h y dy dy y c= = − = − +∫ ∫

De manera que la solución estará dada por

( ) 2, sen yU x y y x x e y c= + − +

De donde

2sen yc y x x e y= + −


24


EJEMPLO 13 Resolver 2

2

2 1

2

dy xy

dx x y

+= −

Solución. Buscamos si es posible expresarla como una ecuación diferencial exacta

( ) ( )2 22 1 2 0xy dx x y dy+ + =

De aquí que ( ) 2, 2 1M x y xy= + y ( ) 2, 2N x y x y= , por el criterio de exactitud

( ),

4M x y

xyy

δδ

= ( ),

4N x y

xyy

δδ

=

La ecuación es exacta, lo que garantiza que ( ) ( ),

,U x y

M x yx

δδ

= y que ( ),dU x y

Ndy

=

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, , 2 1 2U x y M x y dx xy dx xy dx dx x y x h y= = + = + = + +∫ ∫ ∫ ∫

Con el valor de ( ),U x y obtenido

( ) ( )

( )2 2

,,

2 ' 2

U x yN x y

y

x y h y x y

δδ

=

+ =

Por lo cual ( )' 0h y = , integrando

( ) ( )' 0h y h y dy c c= = + =∫

La solución de la ecuación diferencial será

( ) 2 2,U x y x y x c= + +

De otra manera 2 2c x y x= +

Figura 9. Solución implícita de ( ) ( )2 22 1 2 0xy dx x y dy+ + =

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2


25


EJEMPLO 14 Resolver ( ) ( )2 22 sec 2 0xy x dx x y dy− + + = sujeta a las condiciones iniciales

( )0 2y =

Solución. De la forma estándar de la ecuación diferencial exacta vemos que

( ) 2, 2 secM x y xy x= − y que ( ) 2, 2N x y x y= + y de acuerdo al criterio de exactitud

( ) ( ), ,

2M x y N x y

xy x

δ δδ δ

= =

Por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, , 2 sec 2 sec tanU x y M x y dx xy x dx xydx xdx x y x h y= = − = − = − +∫ ∫ ∫ ∫

De ésta manera

( ) ( )

( )2 2

,,

' 2

U x yN x y

y

x h y x y

δδ

=

+ = +

Resolviendo para ( )'h y e integrando el resultado

( )

( ) ( ) 2

' 2

'

h y y

h y h y dy y c

=

= = +∫

La solución será

( ) 2 2

2 2

, tan

tan

U x y x y x y c

c x y x y

= − + +

= − +

Aplicando las condiciones iniciales

( ) ( ) ( ) ( )2 20 2 tan 0 2 4c = − + =

La solución particular será

2 24 tanx y x y= − +


26


Figura 10. Solución de ( ) ( )2 22 sec 2 0xy x dx x y dy− + + =

EJEMPLO 15 Resolver ( ) ( )1 2 0x x xe y xye dx xe dy+ + + + =

Solución. Si ( ), 1 x xM x y e y xye= + + y ( ), 2xN x y xe= + , entonces, verificando si es exacta

resulta

( ) ( ), 1x x xM x y e xe e xy

δδ

= + = + y ( ) ( ), 1x x xN x y xe e e xx

δδ

= + = +

Es exacta, así

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, , 1

,

,

x x

x x x xu x du dxdv e dx v e

x x x x x x

x

U x y M x y dx e y xye dx x ye y xe dx

U x y x ye y xe e dx x ye xye ye h y

U x y x xye h y

= == =

= = + + = + +

= + + − = + + − +

= + +

∫ ∫ ∫

∫

Por lo tanto

( ) ( )

( )

, ,

' 2x x

U x y N x yy

xe h y xe

δδ

=

+ = +

Resolviendo para ( )'h y e integrando, la solución será

( )

( )' 2

2 2

h y

h y dy y c

=

= = +∫

( ), 2

2

x

x

U x y x xye y c

c x xye y

= + + +

= + +

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


27


EJEMPLO 16 Resolver la ecuación diferencial ( ) ( )2 23 0dy

xy y x xydx

+ + + =

Solución. Identificamos los términos ( ),M x y y ( ),N x y , para ello, reacomodamos la

ecuación

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

3

3

3 0

dyxy y x xy

dx

xy y dx x xy dy

xy y dx x xy dy

+ = − +

+ = − +

+ + + =

De aquí vemos que

( )

( )

2

2

, 3

,

M x y xy y

N x y x xy

= +

= +

Verificamos si la ecuación diferencial es exacta

( ) ( )

( ) ( )

2

2

3,3 2

,2

xy yM x yx y

y y

x xyN x yx y

x x

δδδ δ

δδδ δ

+= = +

+= = +

Como se ve, la ecuación diferencial no es exacta y por lo tanto siguiendo el procedimiento detallado anteriormente nos resultaría inútil tratar de encontrar una solución. Sin embargo, esto no significa que no se pueda resolver. Algunas veces es posible convertir una ecuación diferencial que no sea exacta al multiplicarla por una función ( ),x yµ adecuada, a esta función le llamaremos factor integrante.

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