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APLICACIONES PROBLEMAS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Existen en el mundo fsico, en biologa, medicina, demografa,

economa, etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o

descomposicin varia en forma proporcional a la cantidad presente, es

decir:

Ejemplo:

Cuando t = 0, haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo

de 6 horas, esa cantidad disminuyo el 3%. Si la razn de

desintegracin, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de

la sustancia presente, calcule la cantidad que queda despus de un

da.

Mg. Edinson Idrogo Burga 2

kxdt

dx

00)( xtx

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Si se tiene un cuerpo a una temperatura T, sumergido en un medio de

tamao infinito de temperatura Tm (Tm no vara apreciablemente con el

tiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la

siguiente enunciado:

La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es

proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y

el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es la

misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya, entonces la

ecuacin diferencial de la ley de enfriamiento es:

)( TaTkdt

dT

3 Mg. Edinson Idrogo Burga

Ejemplos:

1) Un cuerpo se calienta a 110C y se expone al aire libre a una

temperatura de 10C . Si al cabo de una hora su temperatura es de

60C . Cuanto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfre a

30 C

2) La temperatura de una cerveza fra que inicialmente se encuentra a

35F, se eleva a 40F en 3 minutos al encontrarse en un cuarto con

temperatura de 70F. Cul ser la temperatura de la cerveza si se

deja por un espacio de 20 minutos?


PROBLEMAS DE MEZCLA

Considrese un tanque que tiene un volumen inicial V0 de solucin (una

mezcla de soluto y solvente). Hay un flujo tanto de entrada como de

salida y se quiere calcular la cantidad de soluto x(t) que hay en el tanque

en cualquier instante de tiempo t, en funcin de la cantidad inicial de

soluto x0 al tiempo de iniciar el proceso de mezclado.


Supngase que la solucin que se inyecta al tanque tiene una

concentracin de C1 gramos de soluto por litro, y fluye al mismo con

una tasa de Q1 litros por segundo, en tanto que la sustancia contenida

en el tanque se mantiene bien mezclada por agitacin y fluye hacia

fuera de este a una tasa de Q2 litros por segundo.

La concentracin de soluto en el tanque en cualquier instante de tiempo

t, viene dada por la ecuacin:

Donde x(t) es la cantidad de soluto en cualquier instante de tiempo t y V(t) denota volumen de lquido en el tanque en cualquier instante de

tiempo t.

El volumen de lquido en el tanque, en cualquier instante de tiempo t,

viene dado por la ecuacin:

)(

)()(2

tv

txtC

tQQvtv )()( 210


La ecuacin diferencial asociada a problemas de mezclas es la ecuacin

diferencial lineal

Sujeta a la condicin:

Se obtendr la ley de variacin de la cantidad de soluto x(t) en un

instante de tiempo t.

11

210

2 )()(

CQtxtQQv

Q

dt

dx

0)0( xx


Ejemplos:

1. Considere un gran tanque que contiene 1000 L de agua, dentro del cual

una solucin salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad

constante de 6 L/min. La solucin dentro del tanque se mantiene bien

agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 5 L/min. Si

la concentracin de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1

kg/L, Determina la concentracin de sal en el tanque para t = 20 min.

2. Una solucin de salmuera de sal fluye a razn constante de 8 L/min

hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene 100 L de

solucin de salmuera en la cual estaban disueltos 5 kg de sal. La

solucin en el interior del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia

el exterior con la misma rapidez. Si la concentracin de sal en la

salmuera que entra al tanque es de 0.5 kg/L, Determina la cantidad de

sal presente en el tanque al cabo de t minutos.


TRAYECTORIAS ORTOGONALES Consideremos una familia de curvas planas

Donde cada valor del parmetro c representa una curva.

Los problemas que se presentan en los campos tales como

electrosttica, hidrodinmica y termodinmica es de encontrar una

familia de curvas que dependen de un parmetro k.

con la propiedad que cualquier curva de (1) al interceptar a cada curva

de la familia (2) las rectas tangentes a las curvas sean perpendiculares.

(1) 0),,( cyxf

)2( 0),,( kyxg


A las familias de las curvas (1) y (2) se denominan trayectorias ortogonales

Si se tiene la familia de curvas (1), para encontrar la familia de curvas

(2), primero se encuentra la ecuacin diferencial de la familia dada en

(1) y despejamos y obteniendo.

Como la pendiente de las trayectorias ortogonales debe ser la inversa

negativa de la pendiente (3) es decir

Luego las trayectorias ortogonales se la familia dada se obtienen

resolviendo la ecuacin diferencial (4).

)3( ),( yxFy

)4( ),(

1

yxFy


Ejemplos:

1) Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parbolas con

vrtice en el origen y foco sobre el eje Y.

2) Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de

circunferencias que pasan por el origen y cuyos centros estn en el

eje X.


ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Conceptos Bsicos:

Existencia y unicidad

Para una ecuacin diferencial general de orden n, un problema de valor

inicial es:

Resolver:

Sujeto a:

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

10

1

1000 )( ,, )( ,)( n

n yxyyxyyxy


INDEPENDENCIA O DEPENDENCIA DE FUNCIONES

Se dice que un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si existen constantes, escalares tal que:

si alguno de entonces diremos que

son funciones linealmente dependientes

EL WRONSKIANO

supngase que cada una de las funciones

posee n-1 derivadas al menos. El determinante

es el wronskiano

de las funciones

)(,),(),( 21 xfxfxf n

nccc ,,, 21

0 0)()()( 212211 nnn cccxfcxfcxfc

0,,, 21 nccc

)(,),(),( 21 xfxfxf n

)(,),(),( 21 xfxfxf n

)1()1(

2

)1(

1

21

21

n

n

nn

n

n

fff

fff

fff

W


CRITERIO PARA FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Un conjunto de funciones son linealmente

independientes si

Ejemplos:

Demostrar que las funciones dadas son linealmente independientes

1)

2)

)(,),(),( 21 xfxfxf n

IxW ,0

xxx exxfxexfexf 2321 )( ,)( ,)(

xsenexfxexf xx 2)(,2cos)( 323

1


PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN

Si son soluciones de una ecuacin lineal

homognea , la combinacin lineal

En que las son constantes, tambin es una

solucin.

Ejemplo:

Dadas las funciones , ambas son

soluciones de la ecuacin diferencial en

el intervalo . Aplicando el principio de superposicin

encontrar otra solucin para la ecuacin diferencial dada.

kyyy ,,, 21

kk ycycycy ,,, 2211

kici ,,2,1 ,


Lnxxxyxxy 222

1 )(;)(

0423 yyxyx x

TRABAJO PRACTICO (20 min)

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

4) Un termmetro que marca 75F se lleva fuera donde la temperatura es de 20F, cuatro minutos despus el termmetro marca 30F. Encontrar:

(a) La lectura del termmetro siete minutos despus de que este ha sido llevado al exterior y,

(b) El tiempo que le toma el termmetro caer desde 75F hasta ms o menos medio grado con respecto a la temperatura del aire.


)1(coscos )1 2 senxxyxyy

2)0( ,24 )2 2/1 yyeyy x

dxyysenxxdy )(cos )3 2

ECUACIONES DIFERENCIALES

DE ORDEN SUPERIOR Las ecuaciones diferenciales de orden superior son de la forma:

Donde: y R son funciones solo de x o constantes.

La ecuacin (1) se puede escribir en la forma:

Observacin:

- Si , la ecuacin (1) se le denomina ecuacin lineal Homognea

- Si , la ecuacin (1) se le denomina ecuacin lineal no

Homognea

)1()()()()()( 011

1

1 xRyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

naaa ,,, 10

0),,,,( )( nyyyxF

0)( xR

0)( xR


ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGNEAS DE

COEFICIENTES CONSTANTES

Las E.D lineales homogneas de coeficientes constantes son de la forma:

Donde: son constantes.

SOLUCIN DE UNA E. D. LINEAL HOMOGNEA DE COEFICIENTES

CONSTANTES

Consideremos la ecuacin caracterstica:

Como la ecuacin es de grado n, entonces se puede obtener las siguientes

races

)2( 0011

1

1

yadx

dya

dx

yda

dx

yda

n

n

nn

n

n

naaa ,,, 10

0011

1

amamaman

n

n

n

nmmm ,,, 21 18 Mg. Edinson Idrogo Burga

Las cuales pueden ser: reales distintas, reales iguales o races

complejas .

Luego para dar solucin a la ecuacin (2) consideramos los siguientes

casos:

CASO I:

Si las races de la ecuacin caracterstica son reales distintas es decir:

Entonces una solucin complementaria de la ecuacin diferencial (2)

es:

Donde: son constantes reales.

nmmm ,,, 21

xm

n

xmxm

cnecececy 21 21

nccc ,,, 21


Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

Caso II:

Si las races de la ecuacin caracterstica son reales distintas es decir:

Entonces una solucin complementaria de la ecuacin diferencial (2) es:

Donde: son constantes reales

0 )12

2

ydx

yd0652 )2 yyyy

mmm 21

mxmxmxc excxececy2

321

,, 21 cc



044 )1 yyy

033 )2 yyyy

0168 )3 yyyiv

0253 )4 yyyyyiv


Caso III:

Si las races de la ecuacin caracterstica son nmeros complejos, es decir:

Entonces una solucin complementaria de la ecuacin diferencial (2) es:

Donde: son constantes reales

imim 2211 ,

xsenecxecxsenecxecyxxxx

c 242312112211 coscos

,, 21 cc



0 )1 yy

0 )2 yyy

0 )3 yyvi

053 )4 yyyy

0)0( ,1)0( ,054 )5 yyyyy


REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

1) Eduardo Espinoza Ramos. (2010). Ecuaciones Diferenciales y sus

Aplicaciones. Lima Per.

2) Dennis Zill. Ecuaciones Diferenciales con modelado. Mxico: Ed.

Grupo editorial Iberoamrica.

3) R. Kent Nagle, Edward B. Salf. Fundamentos de Ecuaciones

Diferenciales. Ed. Addison Wesley Iberoamericana.


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