Capıtulo 11

EDP DE SEGUNDO ORDENHIPERBOLICAS

Esquema

• Introduccion: pequenas vibraciones transversales de una cuerda tensa.

• Condiciones de contorno en el problema de la cuerda.

• Condiciones iniciales.

• Forma mas general de la ecuacion en derivadas parciales para un proceso ondulatorio.

• Metodos de resolucion: Condiciones de contorno homogeneas; ecuacion homogenea y no ho-mogenea. Condiciones de contorno no homogeneas.

• Ecuacion de ondas multidimensional.

• Vibraciones de un membrana circular con borde fijo.

• Cuerda vibrante de longitud infinita.

Objetivos

• Saber resolver una edp2 lineal hiperbolica siguiendo los mismos metodos que en las ecuacionesde tipo parabolico.

• Ilustrar las analogıas que existen con el caso unidimensional y los aspectos nuevos que aparecenen dimension mayor que uno.

11.1 Introduccion: pequenas vibraciones transversales de unacuerda tensa

Consideremos una cuerda homogenea, de densidad lineal constante ρ = dm/dx, de longitud L,que esta tensa con una tension T , que esta realizando pequenas vibraciones transversalesen un plano horizontal sin rozamiento y manteniendo sus extremos fijos (despreciamos efectosgravitatorios).

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64 CAPITULO 11. EDP DE SEGUNDO ORDEN HIPERBOLICAS

x

u

x=0 x=L

Sea u(x, t) el desplazamiento transversal respecto de la posicion de equilibrio del elementode cuerda situado en la posicion x en el instante t. Vamos a ver brevemente como se obtienela ecuacion de ondas al aplicar las ecuaciones de Newton al movimiento de un elemento decuerda. Consideremos un pequeno pedazo arbitrario de cuerda, tal como se muestra en lasiguiente figura.

T

x

θ21θ

T

x+dx

Cuando decimos que la cuerda efectua pequenas vibraciones en realidad queremos decirque los angulos θ mostrados en la figura anterior son pequenos para toda la cuerda, de formaque

cos θ ≈ 1, sin θ ≈ θ ≈ tan θ =∂u

∂x.

Apliquemos ahora las ecuaciones de Newton. La fuerza neta en la direccion x es

Fx = T cos θ2 − T cos θ1 ≈ T − T = 0,

y por tanto no hay movimiento longitudinal. La fuerza neta en la direccion transversal es

Fy = T sin θ2 − T sin θ1 ≈ T tan θ2 − T tan θ2 = Tux(x + dx) − Tux(x)

= T

(ux(x + dx) − ux(x)

dx

)dx = Tuxxdx,

y esto sera igual a la masa del elemento de cuerda dm por su aceleracion en la direcciontransversal, utt:

Tuxxdx = uttdm ⇒ Tuxx =dm

dxutt = ρutt ⇒ utt = α2uxx, (11.1.1)

11.2. CONDICIONES DE CONTORNO EN EL PROBLEMA DE LA CUERDA 65

donde hemos puesto α2 = T/ρ. Esta ecuacion recibe el nombre de ecuacion de ondas (unidi-mensional). El hecho de mantener los extremos fijos se traduce en condiciones de contornode la forma

u(x = 0, t) = 0, u(x = L, t) = 0,

que son condiciones de contorno de primera especie homogeneas.

11.2 Condiciones de contorno en el problema de la cuerda

Si en lugar de mantener los extremos de la cuerda fijos les hacemos moverse segun una leydeterminada tendremos cc de primera especie no homogeneas:

u(0, t) = g1(t), u(L, t) = g2(t). (11.2.1)

Supongamos que en lugar de controlar directamente la posicion de los extremos de la cuerdalo que hacemos es aplicarles una fuerza �F (t) que controlamos. En este caso veamos quetipo de cc se obtienen. Estudiemos la ecuacion del movimiento del extremo de la cuerda,que recordemos se encuentra en x = L siempre. Esta ligadura viene representada por unareaccion �R perpendicular a la misma.

T R

F(t)

x=L

En la direccion x tenemos

−T cos θ + Fx(t) + R ≈ −T + Fx(t) + R = 0 ,

ecuacion que nos sirve para determinar la reaccion. En la direccion transversal tenemos

−T sin θ + Fy(t) ≈ −T tan θ + Fy(t) = −Tux(L, t) + Fy(t) = dm utt(L, t) ≈ 0.

La ultima igualdad proviene de que estamos igualando una magnitud finita (la fuerza) conuna magnitud infinitesimal (debido a dm). En definitiva, tendremos

ux(L, t) =1T

Fy(t) ≡ g2(t)

es decir, una cc de segunda especie. Tambien es posible en algunas circunstancias encontrarcc de tercera especie, pero en realidad esto es mas bien poco habitual y por tanto no vamosa considerarlo explıcitamente.

66 CAPITULO 11. EDP DE SEGUNDO ORDEN HIPERBOLICAS

11.3 Condiciones iniciales

Es muy importante darse cuenta de que a diferencia de la ecuacion del calor, que era de primerorden en t, la ecuacion de ondas es de segundo orden en t. Por tanto, para poder encontrar lafuncion solucion en cualquier instante no es suficiente conocerla en t = 0, sino que necesitamosotra condicion adicional para poder determinar “la otra constante de integracion” que aparece(por tratarse de una ecuacion de segundo orden). Esta otra condicion habitualmente estambien una condicion inicial en la que se especifica la velocidad de los elementos de cuerdaen el instante inicial. En concreto, en todos los problemas que estudiaremos tendremos doscondiciones iniciales:

u(x, t = 0) = f(x), ut(x, t = 0) = g(x).

Ası pues, un problema de tipo ondulatorio para un sistema finito unidimensional viene de-terminado por la ecuacion de ondas, dos condiciones de contorno y dos condiciones iniciales.

11.4 Forma mas general de un problema ondulatorio

Ademas de la tension en la cuerda, pueden existir otras fuerzas, como son las siguientes: unafuerza externa aplicada (por ejemplo la gravedad si el movimiento es en un plano vertical),una fuerza de rozamiento de tipo viscoso (es decir proporcional a la velocidad), o una fuerzarestauradora (proporcional a la desviacion del equilibrio). Teniendo en cuenta estas otrasfuerzas en las ecuaciones del movimiento, la ecuacion mas general que suele aparecer en unproblema de tipo ondulatorio es de la forma

utt = α2uxx − β ut − γ u + f(x, t),

que recibe el nombre de ecuacion de los telegrafistas (al menos en electromagnetismo, dondeesta es una ecuacion de gran importancia).

11.5 Metodos de resolucion

Las tecnicas que se utilizan para resolver las edp2 de tipo hiperbolico son exactamente lasmismas que las correspondientes a problemas de tipo parabolico, ya estudiadas. Es decir:

• Caso de tener cc homogeneas y edp2 homogenea: separacion de variables, obtenciondel problema de Sturm-Liouville, resolucion del mismo encontrando los autovalores y lasfunciones propias correspondientes, resolucion de la parte temporal, determinacion de lassoluciones fundamentales, formacion de la serie de soluciones fundamentales y calculo de lasconstantes imponiendo las condiciones iniciales.

• Caso de tener cc homogeneas y edp2 no homogenea: desarrollo en funciones propias delproblema de SL asociado a la ecuacion homogenea y a las cc, determinacion de las ecuacionesdiferenciales ordinarias que deben ser satisfechas por las funciones temporales, resolucion delas mismas y calculo de las constantes imponiendo las condiciones iniciales.

• Caso de tener cc no homogeneas: se efectua el cambio de funcion incognita u(x, t) =S(x, t) + ϕ(x, t), con S(x, t) verificando las cc no homogeneas.

11.5. METODOS DE RESOLUCION 67

En consecuencia, solo vamos a estudiar un ejemplo sencillo: el de una ecuacion homogeneacon condiciones de contorno de primera especie homogeneas, si bien, para variar un pocorespecto a lo hecho para la ecuacion del calor, vamos a mantener explıcitamente una longitudde la cuerda igual a L. Posteriormente generalizaremos la ecuacion de ondas a mayor numerode dimensiones espaciales y resolveremos detalladamente un ejemplo bidimensional.

El problema que vamos a resolver a continuacion es el siguiente:

edp2: utt = α2uxx, cc:

{u(0, t) = 0,

u(L, t) = 0,ci:

{u(x, 0) = f(x),ut(x, 0) = g(x).

(11.5.1)

PASO 1. Soluciones de la edp2Vamos a buscar soluciones de la edp2 utilizando el metodo de separacion de variables:escribimos la solucion en la forma factorizada

u(x, t) = X(x)T (t)

y llevamos esta expresion a la edp2, con lo que se obtiene:

X(x)T (t) = α2X ′′(x)T (t).

Dividiendo toda la ecuacion entre α2X(x)T (t) queda

T (t)α2T (t)

=X ′′(x)X(x)

.

Observamos que el lado izquierdo de la igualdad depende unicamente de t, mientras que ellado derecho depende solo de x. Por tanto, para que ambos lados sean iguales para cualquiervalor de x y de t la unica posibilidad es que ninguno de los dos miembros de la ecuaciondependa de las variables respectivas, es decir, que sean iguales a una misma constante:

T (t)α2T (t)

=X ′′(x)X(x)

= µ.

Otenemos ası dos ecuaciones diferenciales ordinarias:{

T (t) − µα2T (t) = 0,X ′′(x) − µX(x) = 0.

La forma funcional de la solucion para ambas ecuaciones depende del signo de µ:

µ = β2 ⇒ X(x) = Aeβx + Be−βx, T (t) = Ceβαt + De−βαt.

µ = 0 ⇒ X(x) = Ax + B, T (t) = Ct + D.

µ = −λ2 ⇒ X(x) = A sin(λx) + B cos(λx), T (t) = C sin(λαt) + D cos(λαt).

En todos los casos λ y β son constantes reales y positivas; A, B, C y D son constantes realesarbitrarias.

PASO 2. Soluciones de la edp2 verificando las cc

68 CAPITULO 11. EDP DE SEGUNDO ORDEN HIPERBOLICAS

Para encontrar las soluciones de la edp2 con las cc debemos resolver la ecuacion diferencialordinaria para la parte espacial con las cc especificadas que se trasladan directamente a laparte espacial de la funcion:

X ′′(x) − µX(x) = 0,X(0) = 0,X(L) = 0.

Veamos ahora cuales son las soluciones del problema de SL planteado.

• Consideremos en primer lugar el caso en el que µ = β2:

X(x) = Aeβx + Be−βx ⇒ X(0) = A + B, X(L) = AeβL + Be−βL.

Segun las cc que tenemos ambos valoress deben ser nulos. Por tanto:

A + B = 0 ⇒ B = −A ⇒ AeβL + Be−βL = A(eβL − e−βL

)= 0. (11.5.2)

Por tanto, o bien el parentesis es nulo, lo cual es imposible ya que β �= 0, o bien A = B = 0y la solucion que se obtiene es la trivial. Esta opcion no nos origina soluciones no triviales.

• Veamos ahora el caso µ = 0:

X(x) = Ax + B ⇒ X(0) = B, X(L) = AL + B.

Segun las ccB = 0, AL + B = 0 ⇒ A = 0,

que de nuevo es la solucion trivial.

• Analicemos finalmente el caso µ = −λ2:

X(x) = A sin(λx) + B cos(λx) ⇒ X(0) = B, X(L) = A sin(λL) + B cos(λL). (11.5.3)

Al imponer las cc obtenemos:B = 0, A sin(λL) = 0. (11.5.4)

Igual que antes, para la segunda ecuacion tenemos 2 posibilidades: o bien A = 0, lo que nosproduce la solucion trivial, o bien

sin(λL) = 0 ⇒ λn = nπ/L n = 1, 2, 3, . . . (11.5.5)

A cada uno de estos valores de λn le corresponde un autovalor µn = −λ2n, una funcion propia

Xn(x) y una funcion temporal Tn(t), cuyo producto nos dara las soluciones fundamentales:

µn = −n2π2

L2, Xn(x) = sin

(nπ

Lx)

, Tn(t) = Cn sin(nπ

Lαt

)+ Dn cos

(nπ

Lαt

),(11.5.6)

un(x, t) = sin(nπ

Lx) [

Cn sin(nπ

Lαt

)+ Dn cos

(nπ

Lαt

)], n = 1, 2, 3, · · ·(11.5.7)

La solucion mas general de la edp2 que verifica las cc sera una combinacion lineal infinita desoluciones fundamentales:

u(x, t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx) [

Cn sin(nπ

Lαt

)+ Dn cos

(nπ

Lαt

)], (11.5.8)

11.6. ECUACION DE ONDAS MULTIDIMENSIONAL 69

siendo su derivada temporal

ut(x, t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx) nπ

Lα

[Cn cos

(nπ

Lαt

)− Dn sin

(nπ

Lαt

)]. (11.5.9)

PASO 3. Solucion de la edp2 con las cc y la ciPara terminar de encontrar la solucion a nuestro problema original nos falta que la serieanterior satisfaga las condiciones iniciales del problema. Evaluamos la funcion y su derivadatemporal en t = 0 e imponemos que coincidan con las condiciones iniciales:

u(x, 0) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx)

Dn = f(x), ut(x, 0) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx) nπ

LαCn = g(x). (11.5.10)

Por tanto, las constantes Dn han de ser los coeficientes del desarrollo en serie de senos def(x) y las constantes Cn multiplicadas por nπα y divididas por L seran los coeficientes deldesarrollo en serie de senos de la funcion g(x). Si queremos una expresion cerrada para estoshemos de utilizar las propiedades de ortogonalidad de los senos, a saber

∫ L

0dx sin(nπx/L) sin(mπx/L) =

L

2δnm.

Utilizando esta relacion podemos despejar:

Dn =2L

∫ L

0dx f(x) sin(nπx/L), Cn =

2nπα

∫ L

0dx g(x) sin(nπx/L). (11.5.11)

Comentarios:

1. Para el caso de extremos fijos que hemos considerado, las soluciones fundamentalesfısicamente representan ondas estacionarias. Para otro tipo de condiciones de contornola interpretacion es similar.

2. La parte temporal de las soluciones fundamentales representa una vibracion armonicade frecuencia ωn = nπα/L. A la mas baja de todas las frecuencias se le denominafrecuencia fundamental y a las superiores se les denomina armonicos. Esta claroque la frecuencia fundamental corresponde a n = 1 y que las frecuencias de los armonicossuperiores son multiplos enteros de la frecuencia fundamental.

3. Veremos a continuacion que este hecho es una situacion particular de las ondas unidi-mensionales, ya que por ejemplo en las vibraciones de la membrana de un tambor, estarelacion de tipo racional entre las frecuencias de los diversos armonicos no ocurre enabsoluto.

11.6 Ecuacion de ondas multidimensional

La generalizacion de la ecuacion de ondas al caso de dimension espacial mayor que uno sehace sustituyendo la derivada segunda respecto de x por la suma de las derivadas segundas

70 CAPITULO 11. EDP DE SEGUNDO ORDEN HIPERBOLICAS

respecto de todas las coordenadas cartesianas del espacio, es decir, por el operador laplaciano,∇2, es decir, en cualquier dimension podemos escribir la ecuacion de ondas como

utt = α2∇2u. (11.6.1)

La expresion concreta del operador laplaciano depende de la dimension del espacio y tambiende las coordenadas que se utilicen para plantear el problema. Ası tendremos:

• En una dimension: ∇2u = uxx.

• En dos dimensiones:

– En cartesianas: ∇2u = uxx + uyy.

– En polares (simplemente aplicando la regla de la cadena para pasar de cartesianas

a polares): ∇2u = urr +1r

ur +1r2

uθθ.

• En tres dimensiones:

– En cartesianas: ∇2u = uxx + uyy + uzz.

– En cilındricas (regla de la cadena):

∇2u = uρρ +1ρ

uρ +1ρ2

uθθ + uzz.

– En esfericas (regla de la cadena)

∇2u = urr +2r

ur +1r2

uθθ +cotg θ

r2uθ +

1r2 sin2 θ

uφφ.

Observese que en todas las coordenadas referidas anteriormente y para todas las dimensionesla expresion del laplaciano es lineal. Esto no ocurre en general sino solo para algunos sistemasde coordenadas (en concreto para 11 sistemas distintos en el caso tridimensional).

11.7 Vibraciones de una membrana circular con borde fijo

Consideremos las oscilaciones de la membrana de un tambor circular de radio unidad (parasimplificar). Dada la simetrıa del problema, es evidente la conveniencia de utilizar coorde-nadas polares. La funcion que define el desplazamiento del elemento de membrana situadoen el punto de coordenadas r, θ en el instante t con respecto de la posicion de equilibrio, ladenominamos u(r, θ, t) y su evolucion viene determinada por la ecuacion de ondas bidimen-sional

utt = α2∇2u, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 < t < ∞. (11.7.1)

Como el borde del tambor (r = 1) esta fijo, la condicion de contorno es la siguiente:

cc: u(r = 1, θ, t) = 0, ∀θ, ∀t. (11.7.2)

Las condiciones iniciales (dos) nos indican la posicion y la velocidad inicial de cada elementode la membrana:

ci:

{u(r, θ, 0) = f(r, θ),

ut(r, θ, 0) = g(r, θ).(11.7.3)

11.7. VIBRACIONES DE UNA MEMBRANA CIRCULAR CON BORDE FIJO 71

Finalmente hemos de anadir ciertas condiciones, necesarias para poder tomar la solucioncomo fısicamente aceptable: en primer lugar, la funcion u debe permanecer finita en toda laregion espacial estudiada; en segundo lugar, debido a la utilizacion de coordenadas polares, elpunto (r, θ +2πn) y el punto (r, θ) son en realidad el mismo y por tanto el valor de la funcionen esos puntos debe coincidir, es decir, la funcion u debe ser periodica en θ con periodo 2π:

u(r, θ, t) debe ser finita ∀t en la region estudiada, a saber 0 ≤ r ≤ 1.

u(r, θ + 2π, t) = u(r, θ, t).(11.7.4)

Como se trata de una edp2 homogenea con cc homogeneas, utilizamos el metodo de separacionde variables:

u(r, θ, t) = U(r, θ)T (t), (11.7.5)

que llevado a la edp2 nos daUT = α2T∇2U,

o bien,T

α2T=

∇2U

U= µ.

En principio la constante de separacion podrıa ser positiva, negativa o nula. Si la constante noes negativa se puede demostrar que la solucion que resulta es la trivial (al final comentaremosbrevemente como se demuestra esto), por tanto escribimos µ = −λ2. Esto nos da lugar a dosecuaciones diferenciales, una ordinaria y otra en derivadas parciales para las partes temporaly espacial respectivamente:

T + λ2α2T = 0,

∇2U + λ2U = 0.(11.7.6)

La primera ecuacion es la del oscilador armonico, cuya solucion bien conocida; la segundase denomina ecuacion de Helmholtz. A estas ecuaciones hemos de anadirle la condicion decontorno

U(r = 1, θ) = 0. (11.7.7)

y las condiciones de finitud y periodicidad en θ de la funcion U(r, θ).La ecuacion de Helmholtz en coordenadas polares es lineal y homogenea y esta sujeta a

cc homogeneas; por tanto para resolverla podemos de nuevo aplicar el metodo de separacionde variables. La expresion en polares de la ecuacion de Helmholtz es

Urr +1rUr +

1r2

Uθθ + λ2U = 0, (11.7.8)

expresion en la cual sustituimos U(r, θ) = R(r)Θ(θ) y obtenemos

Θ(θ)[R′′(r) +

1rR′(r) + λ2R(r)

]+

1r2

R(r)Θ′′(θ) = 0.

Multiplicando por r2 y dividiendo entre R(r) Θ(θ) resulta

r2

R

[R′′ +

1rR′

]+ λ2r2 = −Θ′′

Θ= β, (11.7.9)

72 CAPITULO 11. EDP DE SEGUNDO ORDEN HIPERBOLICAS

siendo β la constante de separacion.Aparecen de nuevo dos ecuaciones diferenciales, ahora ordinarias las dos, a las que tenemos

que anadir las condiciones de contorno y fisicas:

r2R′′ + rR′ + (λ2r2 − β)R = 0, R(1) = 0, R finita en 0 ≤ r ≤ 1,

Θ′′ + βΘ = 0, Θ periodica con periodo 2π.

Comencemos la resolucion de estas ecuaciones por la ecuacion angular, cuya solucion dependecrucialmente del signo de β: si β < 0 la solucion de la ecuacion es una combinacion deexponenciales reales, que evidentemente no es periodica; si β = 0 la solucion es una funcionlineal Θ(θ) = Aθ + B, que al imponer la periodicidad debe ser tal que A = 0 pero B puedeser cualquier cosa (por tanto tenemos una solucion no trivial correspondiente a un autovalor0); finalmente, si β > 0 entonces la solucion es

Θ(θ) = A cos(√

βθ) + B sin(√

βθ). (11.7.10)

Esta funcion es periodica, pero para que 2π sea uno de sus periodos es necesario tener√β = n = 1, 2, 3, . . . y por tanto

β = n2, Θn(θ) = An cos(nθ) + Bn sin(nθ), n = 1, 2, 3, . . . (11.7.11)

El otro autovalor (β = 0) y funcion propia correspondiente Θ(θ) = cte pueden incluirse enesta misma formula sin mas que permitir tambien el valor n = 0. Conociendo ya la constantede separacion β = n2, vamos a la ecuacion radial que ahora queda

r2R′′ + rR′ + (λ2r2 − n2)R = 0. (11.7.12)

Nos interesan aquellas soluciones que sean finitas en 0 ≤ r ≤ 1 y verifiquen R(1) = 0. Estaecuacion se parece mucho a la ecuacion de Bessel, pero no lo es, debido al factor λ2 de laecuacion. Sin embargo, si efectuamos el cambio de variable x = λr la ecuacion resultante esexactamente la de Bessel:

x2 d2R

dx2+ x

dR

dx+ (x2 − n2)R(x) = 0 (11.7.13)

y por tanto su solucion sera una combinacion lineal de las funciones de Bessel de orden n deprimera y segunda especie, ya estudiadas en un capıtulo anterior:

R(x) = CJn(x) + DNn(x). (11.7.14)

Sabemos que cuando x → 0 las funciones de Bessel de primera especie se comportan esen-cialmente como Jn(x) → xn, mientras que las de segunda especie son tales que N0 → log xy Nn → 1/xn. Es decir, en el origen Jn se mantiene finita, mientras que Nn diverge, y enconsecuencia, la condicion de finitud implica que las soluciones radiales seran de la forma

R = Jn(x) = Jn(λr). (11.7.15)

Finalmente, falta imponer la condicion de contorno R(r = 1) = 0, que da la restriccion

Jn(λ) = 0. (11.7.16)

11.7. VIBRACIONES DE UNA MEMBRANA CIRCULAR CON BORDE FIJO 73

Esta ecuacion nos indica que λ no puede tomar cualquier valor, sino unicamente aquellospara los cuales se anulan las funciones de Bessel (excepto el valor λ = 0 para el cual se anulantodas las Jn con n �= 0, pero que no esta permitido). Ya se indico en el capıtulo en el que seestudiaron estas funciones que todas las funciones de Bessel de ındice entero son oscilantesy por tanto tienen infinitos ceros. Si denominamos jnm al m-esimo cero de la funcion Jn(x),entonces la condicion de contorno implica que solo podemos tener

λ = jnm, n = 0, 1, 2, 3, . . . , m = 1, 2, 3, . . . (11.7.17)

En la siguiente tabla se indican los valores aproximados (solo con dos cifras significativas) delos tres primeros ceros de las tres primeras funciones de Bessel.

n = 0 n = 1 n = 2

m = 1 2.40 3.83 5.13m = 2 5.52 7.02 8.42m = 3 8.65 10.17 11.62

Ya hemos resuelto la parte angular, que nos ha fijado la constante de separacion β y laparte radial, que nos ha fijado la constante de separacion µ y por tanto solo falta resolver laecuacion diferencial de la parte temporal (10.7.6) justo con la restriccion en β (10.7.11) parapoder escribir las soluciones fundamentales y la solucion general como la correspondienteserie. La ecuacion temporal era sencillamente la de un oscilador armonico y su solucion es

T (t) = C cos(jnmαt) + D sin(jnmαt). (11.7.18)

Recapitulando, la parte radial de las soluciones fundamentales es

R(r) = Jn(jnmr),

la parte angular esΘ(θ) = A cos(nθ) + B sin(nθ)

y la parte temporal (10.7.18), con n = 0, 1, 2, 3, . . ., m = 1, 2, 3, . . . (siendo la parte angular den = 0 simplemente una constante). En definitiva, efectuando los productos y desarrollandonos quedan cuatro tipos de soluciones fundamentales:

u(1)nm(r, θ, t) = Jn(jnmr) cos(nθ) cos(jnmαt), (11.7.19)

u(2)nm(r, θ, t) = Jn(jnmr) cos(nθ) sin(jnmαt), (11.7.20)

u(3)nm(r, θ, t) = Jn(jnmr) sin(nθ) cos(jnmαt), (11.7.21)

u(4)nm(r, θ, t) = Jn(jnmr) sin(nθ) sin(jnmαt), (11.7.22)

y la solucion mas general vendra dada como una serie de soluciones fundamentales:

u(r, θ, t) =∞∑

n=0

∞∑m=1

[c(1)nmu(1)

nm(r, θ, t) + c(2)nmu(2)

nm(r, θ, t) + c(3)nmu(3)

nm(r, θ, t) + c(4)nmu(4)

nm(r, θ, t)]

=∞∑

n=0

∞∑m=1

Jn(jnmr)[c(1)nm cos(nθ) cos(jnmαt) + c(2)

nm cos(nθ) sin(jnmαt) (11.7.23)

+c(3)nm sin(nθ) cos(jnmαt) + c(4)

nm sin(nθ) sin(jnmαt)].

74 CAPITULO 11. EDP DE SEGUNDO ORDEN HIPERBOLICAS

Lo unico que falta ya para concluir es determinar las constantes que aparecen en la seriepara que se verifiquen las condiciones iniciales del problema. Con el fin de no complicarexcesivamente la solucion, vamos a restringir un poco la forma general que pusimos paralas condiciones iniciales, sustituyendolas por unas condiciones iniciales de velocidad inicialnula para toda la membrana y posicion inicial con simetrıa radial, es decir independiente delangulo θ:

u(r, θ, 0) = f(r), ut(r, θ, 0) = 0. (11.7.24)

Derivando respecto del tiempo la solucion que habıamos obtenido en (10.7.23) tendremos:

ut(r, θ, t) =∞∑

n=0

∞∑m=1

jnmαJn(jnmr)[−c(1)

nm cos(nθ) sin(jnmαt) + c(2)nm cos(nθ) cos(jnmαt)−

−c(3)nm sin(nθ) sin(jnmαt) + c(4)

nm sin(nθ) cos(jnmαt)].

Particularizando para t = 0 e imponiendo las condiciones iniciales tenemos

u(r, θ, 0) =∞∑

n=0

∞∑m=1

Jn(jnmr)[c(1)nm cos(nθ) + c(3)

nm sin(nθ)]

= f(r), (11.7.25)

ut(r, θ, 0) =∞∑

n=0

∞∑m=1

jnmαJn(jnmr)[c(2)nm cos(nθ) + c(4)

nm sin(nθ)]

= 0. (11.7.26)

De (10.7.26) inmediatamente obtenemos que los c(2) y los c(4) deben ser todos nulos. Encuanto a la primera condicion (10.7.25), observemos que el lado derecho es independientede θ, y por tanto todos los coeficientes que van multiplicando a terminos que dependen deθ en el lado izquierdo han de ser nulos. A simple vista esto parece indicar que todos loscoeficientes deben ser nulos, pero recordemos que para n = 0 el seno es cero y el coseno es1, luego los terminos con n = 0 sı son independientes de θ y por tanto son los unicos quepueden ser diferentes de cero. Teniendo en cuenta ademas que el seno es cero y el coseno esuno, definitivamente nos queda

u(r, θ, t) =∞∑

m=1

c(1)0mJ0(j0mr) cos(jnmαt), con u(r, θ, 0) =

∞∑m=1

c(1)0mJ0(j0mr) = f(r).

Esta ultima es la condicion que nos permite calcular las constantes c(1)0m, que segun la ecuacion

no son mas que los coeficientes del desarrollo de f(r) en serie de funciones J0(j0mr). Siqueremos una expresion explıcita para los coeficientes debemos utilizar las relaciones deortogonalidad de las funciones J0(j0mr), a saber

∫ 1

0dr r J0(j0mr)J0(j0nr) =

12J2

1 (j0m), δnm (11.7.27)

que utilizada de la forma usual nos produce

c(1)0m =

2J2

1 (j0m)

∫ 1

0dr r f(r)J0(j0mr). (11.7.28)

Para concluir este apartado, un comentario relativo a la frecuencia fundamental y losarmonicos superiores. Hemos visto que las frecuencias de vibracion que aparecen en las

11.8. CUERDA VIBRANTE DE LONGITUD INFINITA 75

soluciones fundamentales son ωnm = αjnm. La frecuencia fundamental corresponde al valormas pequeno de todos, que en concreto resulta ser el correspondiente a n = 0, m = 1 y valeω01 = 2.40α. Los armonicos mas altos habra que ordenarlos segun su frecuencia. Ası, elsegundo armonico es ω11 = 3.83α, el tercero ω21 = 5.13α, continuando con ω02 = 5.52α,ω31 = 6.38α, ω12 = 7.02α, ω41 = 7.59α, ω22 = 8.42α, ω03 = 8.65α, . . . Claramente se observaque no existe ninguna relacion sencilla entre las frecuencias de los armonicos y la frecuenciafundamental, ni tampoco entre la de los diferentes armonicos entre sı, al contrario de loque ocurrıa para la cuerda unidimensional. Esto implica que el movimiento general de lamembrana sera oscilatorio pero no periodico (no puede repetirse el estado inicial ya que noexiste una relacion de tipo racional entre las frecuencias de los diversos armonicos). Este tipode movimiento se denomina multiperiodico.

11.8 Cuerda vibrante de longitud infinita

Consideremos el problema de la cuerda vibrante caso de que la longitud no sea finita, demanera que no tendremos condiciones de contorno, es decir el problema de Cauchy sera

edp2: utt = α2uxx, x ∈ R, ci:{

u(x, 0) = f(x),ut(x, 0) = g(x).

(11.8.1)

Este problema se puede resolver del siguiente modo: si se efectua el cambio de variablesindependientes

ξ = x + ct, η = x − ct, (11.8.2)

la ecuacion se transforma en la siguiente

uξη = 0. (11.8.3)

Esta ecuacion se resuelve muy facilmente, su solucion general es

u = p(ξ) + q(η) = p(x + ct) + q(x − ct), (11.8.4)

donde p y q son dos funciones arbitrarias suficientemente regulares (deben ser al menos declase C2(R)). Imponiendo las dos condiciones iniciales se hallan las dos funciones arbitrariasen terminos de f(x) y g(x), llegando tras algunos calculos sencillos a la solucion del problema

u(x, t) =12[f(x + ct) + f(x − ct)] +

12c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds. (11.8.5)

Esta solucion se puede interpretar como la superposicion de ondas que se propagan en sentidoscontrarios con la misma velocidad c.

11.9 Bibliografıa

1. A. Castro, Curso basico de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, Addison-Wesley Iberoamericana.

2. S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Wiley.

3. Tyn Myint-U, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Elsevier.