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Sergio Yansen Nez

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Actividad N1

Sea +IRM . Resuelva el siguiente problema

+===

++=

M

xxxuMtMutu

tMxttuu

xx

xxt

22cos)0,(,2),(,0),0(

.0,0,)cos(32

mediante la sustitucin tttsentxutxv +=2)(),(),(

Solucin:

Sea tttsenuv += 2)(

12)`cos(12)cos( ++=+= ttvuttuv tttt (1)

xxxx uv = (2)

Reemplazando (1) y (2) en )cos(32 ttuu xxt ++= se obtiene:

( ) )cos(3212cos ttvttv xxt ++=++

2+= xxt vv

condiciones:

( ) ( ) 0,0,0 == tutv xx

( ) ( ) MtMutMv xx 2,, ==

( ) ( )

+==

M

xxxuxv

22cos0,0,

Se resolver el problema:

2+= xxt vv (3)

( ) 0,0 =tvx , ( ) MtMvx 2, = (4)

( )

+=

M

xxxv

22cos0,

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Sea ( ) ( ) ph vtxvtxv += ,, , donde ( )xfvp = es una solucin particular que satisface (3) y

(4)

Por tanto,

( ) 2" =xf ( )21

2 cxcxxf ++=

( ) 00' =f 01 =c

( ) MMf 2' = T M 22 = , por lo tanto, IRc 2 . Consideremos02 =c

Luego, 2xup =

Ahora consideraremos el problema:

xxt vv =

( ) ( ) 0,,0 == tMvtv xx

Sea ( ) ( ) ( )tTxXtxv =, , reemplazando en xxt vv = y agrupando trminos se obtiene:

==X

X

T

T "'

0" = XX

( ) 0')0(' == MXX

Luego,

2

=

M

kk

, 0INk , ( )

= x

M

kxX kk

cos

kT

T=

' ( )

tMk

etT kk

2

=

, 0INk

Por superposicin:

( )

=

=

0

2

cos,k

kh

t

M

k

exMkCtxu

( )

=

+=

0

2

2

cos,k

k

tMk

exM

kCxtxu

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condicin:

+=

M

xxxu 22

cos)0,(

Luego,

=

+=

+

0

222coscos

k

k xM

kCx

M

xx

=

=

0

2coscos

k

k xM

kC

M

x

=

=

+

0

cos2

2cos1

k

k xM

kC

M

x

Luego,

2

10 =C ,

2

12 =C , { }20 = INkCk

( )t

Mex

Mxtxu

222

cos2

1

2

1, 2

++=

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Actividad N2

Determine la temperatura del estado estacionario de una placa que tiene la forma de un

sector circular de radio unitario y ngulo polar2

como indica la figura, si las

temperaturas de los lados se mantienen a 10 y 20. La temperatura del arco circular

depende del ngulo de acuerdo a la funcin .1020)6()( ++=

senf

Solucin:

011

2 =++ u

r

u

r

u rrr

2

0,10

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Reemplazando ( ) ( ) ( ) = rRruh , en 011

2 =++ ur

ur

u rrr se obtiene:

0"1

'1

"2

=++ Rr

Rr

R

=++

RRrRRr

1/0"'"2

0"'"2

=

++

R

Rr

R

Rr

=

=+

"'"2

R

Rr

R

Rr

Considerando 0" =+

( ) 02

0 =

=

Se obtiene:

( ) ( ) nsennn 2= con24nn = , INn

Considerando nR

Rr

R

Rr =+

'"2 se tiene:

0'"2 =+ RrRRr n (ecuacin de Euler homognea de segundo orden)

04'" 22 =+ RnrRRr

Ecuacin indicial:

222 404)1.( nn ==+

nn 22 ==

La solucin general de 04'" 22 =+ RnrRRr es

( ) nrbnrarR nnn22

+

=

Para una solucin acotada, se debe cumplir la condicin ( ) 0,lim0

=

rur

. Por tanto,

0=na para todo INn .

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Luego, ( ) nrbrR nn2

=

Por superposicin:

( ) ( ) nsennrBrun

nh 22,

1

=

=

( ) ( )

nsennrBru

nn 2

22010,1

=

++=

Condicin: 1020

)6(),1( ++=

senu

( )

nsenBsen

nn 2

201010

20)6(

1

=

++=++

( ) nsenBsenn

n 2)6(1

=

=

Se tiene que 13 =B , { }30 = INnBn

Luego, ( )

6

2010),( 6senrru ++=

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La solucin general de 036'" 22 =+ RnrRRr es

( ) nrbnrarR nnn66

+=

Para una solucin acotada, se debe cumplir la condicin ( ) 0,lim =

rur

. Por tanto,


Luego, ( ) nrbrR nn6

=

Se tiene que ( ) ( ) ( ) nnn rRru =, es solucin. Por superposicin:

( ) ( ) nsennrBrun

n 66,

1

=

=

Considerando la condicin: ( ) ( ) 6,1 =u se tiene:

( ) ( ) nsenBn

n 661

=

=

Luego, ( ) ( ) dnsenfLn

B L 62

0= donde ( ) ( )

6,6

== fL

( ) ( ) ( )

= =

n

ndnsennB 1133

266

12 60

Por tanto, una solucin acotada es

( ) ( ) ( )

nsennrn

nru

n

66113

1

3

2,

1

=

=

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Actividad N4

Resuelva el problema:

011

2 =++ ur

ur

u rrr , 21

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016'" 22 =+ RnrRRr

Ecuacin indicial: nnnn 4416016)1.( 222 ====+

La solucin general de 036'"

22=+

RnrRRr es

( ) nrbnrarR nnn44

+=

Se tiene que ( ) ( ) ( ) nnn rRru =, es solucin. Por superposicin:

( ) ( ) ( )

=

+=

1

444,n

nn nsennrBnrAru

Considerando la condicin: ( )

=

4

,1u se tiene:

( ) ( )

=

+=

1

44 n

nn nsenBA

Luego, ( ) ( ) dnsenfL

BA Lnn 42

0=+ donde ( )

==

4,

4fL

( ) ( )

= =+

n

n

dnsenBA nn 1134

14

4

8 40

Considerando la otra condicin: ( ) ( ) ( ) 2cos44,2 2senu = se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

=

+=

1

44

24

22cos442

nnn nsen

nB

nAsen

Adems se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 8424cos1422cos44 2 sensensensen +=+=

Por tanto,

18282,24242 2211 =

+=

+ BABA

y 04242 =

+ nBnA nn para todo INnn ,3

Luego

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( )( )

( )182452

1822

1621,1

=

=

BA

8282

1

8282

12,2

== BA

( ) ( ) 382121

31822

1,

nnB

nnA nn

== , para todo nn ,3 impar

0== nn BA , para todo nn ,4 par

Por tanto,

( )( )

( ) ( )[ ] ( )

[ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

124

1 31211282

1241282124

2

1

8888282

1

4446241621822

1,

+

= +

+

++

+

+

=

ksenk kk

krkkr

senrr

senrrru

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Actividad N5

Resuelva el problema P:

4 ( ) 15 (8 )t xxu u sen x sen x = + + ; 0 1 , 0x t< < >

0),0( =tu ; 0>t

( )1, 0u t = ; 0>t

( ,0) 0u x = ; 0 1x< <

Solucin:

Consideremos ( ) ( ) ( )xptxwtxu += ,,

( )xp satisface ( ) ( ) ( )xsenxsenxp 8154"0 ++= y ( ) ( ) 010 == pp

( ) ( ) ( )xsenxsenxp 8154" =

( ) ( ) ( ) 18cos8

15cos

4' Axxxp ++=

( ) ( )( )

( ) 2122 88

154AxAxsenxsenxp +++=

( ) 00 2 == Ap

( ) 01 1 ==Ap

Luego, ( ) ( )( )

( )xsenxsenxp

88

15422

+=

Se desea determinar ( )txw , solucin del problema

xxt ww =

( ) 0,0 =tw ( ) 0,1 =tw

Sea ( ) ( ) ( )tTxXtxw =,

==X

X

T

T "'

( ) ( ) 010

0"

==

=

XX

XX

( ) ( )xksencxX kk = ,22 kk = con INk

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( ) tketTkT

T

T

Tkkk

2222'' ===

Por superposicin:

( ) ( ) ( )

=

=

1

,k

kk tTxXtxw

( ) ( )

=

=

1

22,

k

k

tkexksenatxw

( ) ( ) ( )xptxwtxu += ,,

( ) ( ) ( )( )

( )xsenxsenexksenatxuk

k

tk

88

154,

221

22++=

=

( ) = 00,xu ( ) ( )( )

( )xsenxsenxksenak

k

88

1540

221

++=

=

( )( )

( ) ( )

=

=

122

88

154

k

k xksenaxsenxsen

Luego,

21

4

=a , ( )28

8

15

=a

Finalmente

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )xsenxsenexsenexsentxu tt

88

1548

8

154,

2222

282

++=

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Actividad N6

Determine l1a solucin en estado estacionario del problema:

2 ( )t xxu u u T = ; 0 x L< < , 0>t

0(0, )u t T= ; 0>t

1( , )u L t T = ; 0>t

( ,0) 0u x = ; 0 x L< <

Solucin:

Sea ( ) ( )txuxvt

,lim

=

Dado que 0lim = tt u se tiene que:

( ) 0" 2 = Tvv

Consideramos Tvw =

( ) xx eAeAxwww +== 212 0"

( ) TeAeAxv xx ++= 21

( ) 0210 TTAAv =++=

( ) 121 TTeAeALv LL

=++=

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Del sistema

TTAA =+021

TTeAeA LL

=+

121

se obtiene:

( )( )LL

L

ee

eTTTA

=

01

1

( )( )LL

L

ee

TeTTTTA

+=

10

02

Finalmente

( ) ( )( ) ( )( )

Teee

TeTTTTe

ee

eTTTxv

xLL

Lx

LL

L

+

++

=

10

0

01

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Actividad N7

Las vibraciones transversales en estado estacionario de una placa con forma de sector

circular de radio 1, cuya frontera adopta la forma grfica de la ecuacin 2010 += u ,estn determinadas por el problema en coordenadas polares:

011

2 =++ u

ru

ru rrr

20,10

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0"1

'1

"2

=++ Rr

Rr

R

=++

RRrRRr

1/0"'"2

0"'"2

=

++

R

Rr

R

Rr

=

=+

"'"2

R

Rr

R

Rr

Considerando 0" =+

( ) 0

2

'0 =

=

Se obtiene:

( ) ( )( ) 12 = nsenCnn con ( )2

12 = nn , INn

Considerando nR

Rr

R

Rr =+

'"2 se tiene:

0'"2 =+ RrRRr n (ecuacin de Euler homognea de segundo orden)

( ) 012'" 22 =+ RnrRRr

Ecuacin indicial:

( ) ( )222 12012)1.( ==+ nn

( )1212 == nn

La solucin general de ( ) 012'" 22 =+ RnrRRr es

( ) ( ) 1212 +

= nrbnrarR nnn

Para una solucin acotada, se debe cumplir la condicin ( ) 0,lim0

=

rur

. Por tanto,


Luego, ( ) 12 = nrbrR nn

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Por superposicin:

( ) ( )( ) 1212,1

=

=

nsennrBrun

nh

( ) ( )( ) 12122010,1

++=

=nsennrBru

nn

( )( ) 1212201020102010),1(1

++=++=

=

nsennrBun

n

( )( )121201

=

=

nsennrBn

n

Se tiene que INnBn = 0

Luego, 2010),( +=

ru

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