EDP’s no-lineales y Curvas Caracterısticas

Roberto Riesco Alvarez

10 de diciembre de 2012

ABSTRAC:

En el trabajo, comenzaremos hablando sobre las soluciones tipo kink en determinado tipode ecuaciones diferenciales no lineales y veremos un ejemplo.

Luego veremos el desarrollo de las curvas caracterısticas en las ecuaciones y como esto nospuede llevar a la solucion de la ecuacion por un camino distinto al visto en clase. Veremos dosejemplos de como aplicar estos conocimientos.

Por ultimo, habiendo visto una ecuacion similar en el apartado anterior, analizaremos unmodelo del trafico de vehıculos que modela los atascos.

1

1. Solitones y Kink

Cuando estudiamos las soluciones de sistemas con una determinada simetrıa discreta,pueden aparecernos una serie de defectos en estos sistemas que daran lugar a solucionesen sus ecuaciones muy caracterısticas. Estos defectos suceden cuando, en un sistema quese caracteriza por tener una propiedad discretizada(el spin, por ejemplo), sus componentessiguen una determinada simetrıa(spin positivo) y en una zona localizada cambia la simetrıa(aspin negativo) y esta permanece hasta el final(o un espacio suficientemente grande para poderdecir esto). Es decir, se produce una ruptura de simetrıa que esta determinada por condicionesdel sistema. Esto, por ejemplo, es habitual en las transiciones de fase que se dan en un cambiode estado. Este defecto genera una superficie de transicion que separa las dos regiones condiferente parametro de orden1.

Estas soluciones que vienen determinadas por el cambio en el parametro de orden, sedenominan Kink’s. Por ejemplo, cuando tratamos de calcular la energıa libre por unidad dearea del Landau mean-field. Una de las condiciones que impone la Teorıa de Landau es quetenga simetrıa Hamiltoniana, de forma que, para nuestro nivel de conocimientos lo trataremoscomo si fuera algo parecido la ecuacion de un Hamiltoniano.

F

A=

∫ +∞

−∞dz

[f(φ) +

1

2c

(dφ

dz

)2]

=

∫ +∞

−∞e(z)dz

Figura 1: A la izquierda, la energıa libre en funcion del parametro de orden con dos mınimosenergeticos. A la derecha, la representacion espacial del kink que estudiamos.

1El parametro de orden es una variable termodinamica que nos mide como de ordenado se encuentra elsistema. Por lo general, aumenta segun disminuye la temperatura. Ademas, en el equilibrio, cada estado de lamateria tiene bien definido un parametro de orden.

2

Como podemos ver en la integral, existen dos terminos dentro de la ecuacion. El primertermino f(φ), es el termino de densidad de energıa, el segundo, es un termino relacionado conel gradiente.

Figura 2: Representacion idealizada del kink.

El termino de densidad de energıa, es una funcion que toma todos los valores del parametrode orden a lo largo de la distancia l, luego ∼ ε0l. El otro termino, asociado a la variacion

espacial del parametro de orden ira como ∼ 12c (φ1−φ2)

2

l. Ası que la variacion de la energıa sera

proporcionar a la suma de ambos:

F

A∼ ε0l +

1

2c(φ1 − φ2)

2

l

1.1. Solucion Analıtica

Para hallar una solucion analıtica para este problema, lo que haremos sera utilizar laecuacion de Euler-Lagrange para el caso de sistemas continuos, puesto que sabemos queen un estado de equilibrio este parametro es constante. Es decir, tenemos un extremal delparametro de orden en los estados de equilibrio.

δ

δφ

(F

A

)= −cd

2φ

dz2+df

dφ= 0

Esta ecuacion la resolveremos multiplicando en ambos lados por dφdz

y haciendo el cambio

de variable dφdz

= ψ:

cd2φ

dz2=df

dφ

cd2φ

dz2dφ

dz= ψ =

df

dφ

dφ

dz= ψ =⇒ cψdψ = df

ψ =dφ

dz=

(2

cf +B

) 12

Y ahora aplicamos las condiciones de contorno impuestas por el propio sistema, que nosllevaran a B = 0:

dφdz

= 0 con z −→ ±∞φ = φ1 con z −→ −∞φ = φ2 con z −→ +∞f = 0 con φ = φ1 o φ = φ2

3

E integramos en φ para obtener una funcion de z que invertiremos:

z − z0 = ±∫ φ(z)

φ(z0)

dφ

(2cf(φ))

12

Lo normal es escoger el valor z0 como el centro del kink. Si es el kink es simetrico, lonormal es que z0 = 0.

1.2. Ejemplo: Modelo de φ4

Una de las soluciones analıticas que se puede ver en este tipo de ecuaciones, viene dadapor el modelo de f = −1

2rφ2 + uφ4, que nos da un soliton en la forma de e(z) y tiene una

transicion suave del parametro de orden desde −φ0 a φ0, con φ0 = ( r4u

)12 . Asi que, escribiendo

f en funcion de φ0:

f =1

4r

(φ2 − φ20)

2

φ20

z − z0 = ±(

2c

r

) 12∫ φ(z)

φ(z0)

|φ0| dφφ2 − φ2

0

= ±(

2c

r

) 12

tanh−1(

φ

|φ0|

)Si llamamos ξ = ( c

r)12 , y lo sustituimos todo, llegamos a:

φ(z) = ±φ0tanh

[(z − z0)√

2ξ

]

e(z) = (8

3)(√

2ξ)|f0|sech4[

(z − z0)√2ξ

]

Figura 3: A la izquierda, φ(z). A la derecha, e(z).

4

2. Curvas Caracterısticas en EDP’s

En esta parte tratare el problema de las curvas caracterısticas en una Ecuacion en De-rivadas Parciales. Analizare en detalle el caso mas simple, las ecuaciones lineales de primerorden, y extendiendolo brevemente para el caso cuasi-lineal.

2.1. Ecuaciones de primer orden lineales

Comenzaremos por caso de ecuaciones de primer orden para dimension n, siendo la situa-cion mas general:

n∑i=1

bi(x)uxi = C0(x) + C1(x)u

Mas concretamente por la situacion homogenea, C0 = C1 = 0:

n∑i=1

bi(x)uxi = 0

Podemos expresar esto como un productor escalar usual, y trabajarlo hasta expresarlocomo una derivada direccional:

<~b(x), ~5u >=‖ b(x) ‖<~b(x)

‖ b(x) ‖, ~5u >= 0 =⇒ D~vu = 0

De esta forma, si encontramos una curva γ tq ∀x ∈ γ que tenga un vector tangente

~v(x) =~b(x)‖b(x)‖ , entonces u sera constante a lo largo de la curva. Esto es:

Si γ(s) = (γ1(s), γ2(s)); γ′(s) = (γ′1(s), γ′2(s)) = ~v(γ(s))

d

ds(u(γ(s))) =

d

dsu(γ1, γ2) = uxγ

′1(s) + uyγ

′2(s) =< ~5u, v >= D~vu = 0

2.2. Ejemplo

ut + xux = 0 En este caso, como el vector tangente viene dado por los terminos queacompanan cada derivada: < (1, x), ~5u >= 0. Buscamos una γ, cuya derivada sea igual a ~v,luego:

γ′(s) = (t′(s), x′(s)) = (1, x)

t′(s) = 1 =⇒ t(s) = s+ cx′(s) = x =⇒ x(s) = αes

}−→ x = αet−c = βet

5

Donde las curvas caracterısticas vendran dadas por la constante β:

xe−t = β =⇒ u(x, t) = f(xe−t)

El caso inhomogeneo lo ilustraremos unicamente para dos variables, por una cuestion deagilizar los calculos y poder tener una superficie real de 3D. De otra forma lo que obtendrıamosserıa una Hipersuperficie de n-1 dimensiones para una ecuacion de n variables.

a(x, y)ux + b(x, y)uy = C0(x, y) + C1(x, y)u

Buscaremos una solucion cuya grafica contenga a la curva γ(s) = (γ1(s), γ2(s), γ3(s)),sera una superficie solucion T = (x, y, u(x, y), que usaremos para obtener el vector normal adicha superficie para operar:

Tx = (1, 0, ux)Ty = (0, 1, uy)

}−→ ~n = ~Tx × (x) ~Ty = (−ux,−uy, 1)

De esta forma, el vector ~v(x, y) = (a(x, y), b(x, y), u(x, y)) tendran que ser perpendicularal vector normal de la superficie solucion:

< (a(x, y), b(x, y), u(x, y)), (ux, uy,−1) >= 0

Ası que lo que haremos para obtener la superficie solucion, sera superponer las cur-vas tangentes al vector ~v. Para resolver este problema necesitaremos unas condiciones ini-ciales: C.I. P = (xp(0), yp(0), up(0)). Las curvas caracterısticas tendran coordenadas: ζ =(xp(t), yp(t), up(t)). Y aplicamos de nuevo que la derivada de ζ sera igual al vector tangente~v. El sistema caracterıstico sera:

x′p(t) = a(xp(t), yp(t))y′p(t) = b(xp(t), yp(t))u′p(t) = C0(xp(t), yp(t)) + C1a(xp(t), yp(t))up(t)

Para resolver este sistema tenemos que exigir que a y b cumplan localmente la condicionde Lipschitz, para asegurar la existencia y unicidad de las soluciones.

Si ahora movemos P a lo largo de la curva inicial γ como P = (γ1(s), γ2(s), γ3(s)), habremosobtenido todas las curvas caracterısticas ζ contenidas en la superficie solucion, obteniendoası una parametrizacion de la superficie.

T = (x(s, t), y(s, t), u(s, t))

6

Figura 4: Interpretacion geometrica de la superficie solucion y las curvas comentadas.

Ademas de la condicion de Lipschitz, sera necesario exigir tambien la condicion de trans-versalidad, necesaria para justicar que t = t(x, y) y s = s(x, y), y que es invertible, es decir,u(s, t)→ u(x, y).

∣∣∣∣ a bγ′1 γ′2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣xt ytx′s y′s

∣∣∣∣ 6= 0⇐⇒ (a, b) no es paralelo a (γ′1, γ′2)

Esto se debe a que no se pueden dar datos en la direccion de γ. Para obtener las superficiescaracteristicas, lo que haremos sera utilizar las formas x = x(s, t) y y = y(s, t) y utilizar unas = cte a la hora de dibujarlas.

7

2.3. Caso cuasi-lineal

Para el caso cuasi-lineal, la unica variacion notable es que los terminos que acompanan alas derivadas y el termino inhomogeneo dependen ademas de u, pero seguiran siendo linealesrespecto a ux y uy.

a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u)

Con γ(s) = (γ1(s), γ2(s), γ3(s)) y en t = 0 (x, y, u) = (γ1(s), γ2(s), γ3(s)) De esta forma elsistema caracterıstico para las ecuaciones cuasi-lineales sera:

dxdt

= a(x, y, u)dydt

= b(x, y, u)dudt

= c(x, y, u)

Imponiendo la transversalidad obtenemos los t = t(x, y) y s = s(x, y), que combinandoloscon las soluciones del sistema caracterıstico nos dara la u(x,y).

2.4. Ejemplo

uy + (1− u)ux = 0 Dato: u(x, 0) = h(x)

El sistema caracterıstico con γ = (s, 0, h(s)) sera:

dxdt

= 1− udydt

= 1dudt

= 0

=⇒

x = (1− C1)t+ C3

y = t+ C2

u = C1

En t = 0, (x, y, u) = (s, 0, h(s)), de forma que las constantes: C3 = s, C2 = 0 y C1 = h(s).La superficie solucion sera entonces:

S = (x(t, s), y(t, s), u(t, s)) = ((1− h(s))t+ s, t, h(s))

Y comprobamos que cumple la condicion de transversalidad:

∣∣∣∣ a bγ′1 γ′2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣xt ytx′s y′s

∣∣∣∣ = −1

8

De aquı podrıamos, despejar t = t(x, y) y s = s(x, y) y obtener la solucion de la ecuacionu = u(x, y). Pero lo que nosotros vamos a hacer, es hallar las curvas caracterısticas de laecuacion:

{x(t, s) = (1− h(s))t+ sy(s, t) = t

=⇒ y(x, s) =x

1− h(s)− s

1− h(s)

Cada curva caracterıstica viene determinada por el parametro s siendo constante durantetodo el dibujo. En este caso, lo que obtenemos son rectas de pendiente 1

1−h(s) :

Figura 5: Rectas de pendiente 11−h(s)

9

3. Modelo del Trafico

Nos encontramos frente a un tramo de carretera que no tiene ni salidas ni incorporaciones.

ρ(x, t) = lımh→0

{No coches en [x, x+ h] en el instante t}h

Densidad espacial

φ(x, t) = lımk→0

{No coches quepasanporxen[t, t+ k]}k

Densidad temporal

De forma que podemos hallar el numero de coches que se encuentran en un intervalo[x1, x2] para un instante t determinado.∫ x2

x1

ρ(x, t) = No coches en [x1, x2] en el instante t

Si derivamos esta integral, obtendrıamos el incremento de la densidad temporal de cochesen el intervalo [x1, x2], que es expresable tambien en terminos de φ(x, t):

d

dt

∫ x2

x1

ρ(x, t)dx =

∫ x2

x1

∂

∂tρ(x, t)dx

d

dt

∫ x2

x1

ρ(x, t)dx = φ(x2, t)− φ(x1, t)

φ(x1, t)− φ(x2, t) = −∫ x2

x1

∂

∂xφ(x, t)dx

Combinando estos terminos podemos obtener una ecuacion en derivadas parciales de pri-mer orden sobre el trafico: ∫ x2

x1

∂ρ

∂t+∂φ

∂x= 0 =⇒ ∂ρ

∂t+∂φ

∂x= 0

10

Una forma para resolver esta ecuacion y que cuadrarıa muy bien con un modelo del trafico,es que la densidad espacial y temporal esten relacionadas. Es decir, φ debe depender de ρ:φ = φ(ρ).

∂ρ

∂t+∂φ(ρ)

∂x= 0

Uno de los posibles modelos de trafico y uno de los mas sencillos es:

φ(ρ) = Cρ

(1− ρ

ρ1

)= Cρ− C

ρ1ρ2

Recapitulando, hemos obtenido una EDP’s y hemos sustituido nuestro modelo que rela-ciona las densidades espacial y temporal, de forma que hemos llegado a una EDP’s no lineal.Ahora analizaremos las caracterısticas de la ecuacion para justificar los atascos en nuestromodelo.

∂ρ

∂t+

(C − 2C

ρ1ρ

)∂ρ

∂x= 0

ρ(x, 0) = ρ0(x)

Buscaremos un x(t) tal que ρ(x(t), t) = cte, que nos dara los puntos de la carretera a lolargo del tiempo en los que la densidad es constante. De esta forma:

K = ρ(x(t), t) −→ 0 =∂ρ

∂x(x(t), t) · ∂x

∂t+∂ρ

∂t

∂ρ

∂t+

(C − 2C

ρ1ρ

)∂ρ

∂x= 0

11

Combinandolas podemos obtener la derivada temporal de x, obteniendo ası las posiblesfunciones x(t), que seran las trayectorias de los coches.

x′(t) =

(C − 2CK

ρ1

)x(t) = x0 +

(C − 2CK

ρ1

)t con x0 =

(C − 2CK

ρ1

)t0

Se puede dar el caso que: ρ(x0) < ρ(x1), con x0 < x1. Lo que nos lleva a los problemas decirculacion, que se dan cuando las trayectorias de coches con distintas velocidades se crucenen un t determinado, ocasionando frenazos, atascos, retenciones...

12

3.1. Interpretacion del modelo del trafico

Vamos a tratar de interpretar el modelo expuesto sobre el trafico:

φ(ρ) = Cρ

(1− ρ

ρ1

)= Cρ− C

ρ1ρ2

Lo primero dos graficos:

Figura 6: En esta grafico, dejamos el parametro ρ1 constante y variamos el parametro C

Figura 7: En esta grafico, dejamos el parametro C constante y variamos el parametro ρ1

13

En la primera grafica, lo que vemos es la variacion del parametro C. Segun realizamos unaumento del valor de C, obtenemos una parabola mas estrecha, manteniendo el maximo dedensidad temporal. Podemos interpretar esto como la velocidad con la que se genera el atasco,es decir, la diferencia que hay entre las velocidades de los coches.

En la segunda grafica estamos realizando una variacion del parametro ρ1. A medida queaumentamos este, podemos ver como la parabola crece manteniendo la forma y el origenconstante. Es un parametro que sirve para adaptar el modelo a la densidad caracterısticadel tramo de carretera. Es decir, si tenemos un tramo con mucha afluencia de coches, ambasdensidades deben crecer respecto a ese numero de coches.

Este modelo tan muy sencillo que nos sirve para modelar el atasco en un tramo de carretera.La primera parte de la parabola de derivada positiva, es decir, el tramo creciente, nos explicacomo se genera el atasco. La cantidad de coches que pasan por un determinado punto, crece amedida que aumenta la densidad lineal, pero dicha cantidad reduce la velocidad de crecimientohasta estancarse en un maximo. En ese momento podemos decir que se forma el atasco.

El numero de coches que pasar por un punto en un instante de tiempo se reduce, lo queimplica que todos los coches en general han reducido su velocidad y tardan mas en pasar porun determinado punto. Cuando la densidad temporal se hace cero, implica que ningun cochese esta moviendo.

Luego este modelo, nos sirve para explicar como se forman los atascos, pero su simpleza nonos da ninguna solucion para este. Se produce un embotellamiento en el tramo de carreterahasta que deja de fluir el trafico, lo que no es real. Para esto, tal vez deberıamos acudir a unpolinomio de mayor orden que diverja con el aumento de ρ, por simpleza un polinomio detercer grado.

Figura 8: Mostramos un grafico de un polinomio de tercer grado, en el que vemos que el traficovuelve a fluir tras el atasco.

14