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Efectos de la ruptura de isospínsobre el condensado de quarks

de un gas de piones a temperatura finita

Ricardo Torres Andrés

bajo la dirección deÁngel Gómez Nicola

Departamento de Física Teórica IIUniversidad Complutense de Madrid

Resumen

En el presente trabajo se introducirán las herramientas y conceptos fundamentales ne-cesarios a la hora de construir una teoría efectiva de baja energía para la interacción fuerteen física de mesones con sabores ligeros (u y d), haciendo uso de técnicas basadas en lasimetría quiral.

A partir de aquí se estudiarán los efectos de ruptura de isospín en el cálculo del con-densado de quarks del gas a temperatura finita, < qq >T , implementados en la teoría deperturbaciones quiral (ChPT) mediante la combinación de dos mecanismos: la inclusión deefectos electromagnéticos de carga y la ruptura intrínseca mu 6= md.

Índice

1. Física de mesones ligeros 11.1. Dos diferencias sobre SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Grupo de isospín y extrañeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. El modelo quark. The eightfold way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Clasificación de hadrones y el nonete de mesones JP = 0− . . . . . . . . . . . . 21.3. QCD y el régimen de baja energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Grados de libertad y simetrías 52.1. Ruptura de simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. El patrón de ruptura SU(2)L × SU(2)R → SU(2)V en LQCD . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1. Simetrías de la parte fermiónica de LQCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2. Influencia de la ruptura espontánea y explícita de la simetría quiral en

el espectro hadrónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Modelos efectivos en física de piones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1. LσM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2. Mecanismos de SSB y de ruptura explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3. NLσM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Efectos de temperatura finita: restauración de la simetría quiral . . . . . . . . . . 142.4.1. Un modelo sencillo: The bag model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2. El condensado de quarks como parámetro de orden . . . . . . . . . . . . 15

3. Teoría de perturbaciones quiral (ChPT) con dos sabores 163.1. Loops y contaje quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1. Teorema de contaje de Weinberg y desarrollo a baja energía . . . . . . . 183.1.2. Renormalización orden a orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Correcciones térmicas y acoplo electromagnético a un loop sobre el condensadode quarks 194.1. Sector electromagnético de ChPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Funcional generador y condensado de quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3. Correcciones térmicas al condensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.1. Amplificación de los efectos de ruptura de isospín sobre el condensado 264.3.2. Evolución térmica del condensado e 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Efectos de ruptura de isospín intrínseca sobre el condensado 295.1. 〈uu〉 y 〈dd〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6. Conclusiones y futuras líneas de trabajo 30

A. Esquema de regularización dimensional 33

B. Formalismo de tiempo imaginario (ITF) y propagador de Matsubara para el cam-po escalar libre 34B.1. Suma sobre frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1 FÍSICA DE MESONES LIGEROS

1. Física de mesones ligeros

1.1. Dos diferencias sobre SU(3)

SU(3) es el grupo de transformaciones isomorfas al conjunto de matrices unitarias 3× 3con determinante +1.

Como grupo de Lie, puede ser sustituido por su plano tangente en un entorno de laidentidad, esto es, g(θ) = id +

∑8i=1Xiθi, ∀g ∈ SU(3), siendo θi cada uno de los parámetros

continuos de los que dependen los elementos abstractos del grupo, y Xi cada uno de los 32−1=8 generadores (en general, cualquier conjunto de 8 matrices linealmente independienteshermíticas y de traza nula que satisfagan las relaciones de conmutación del grupo, quese expondrán a continuación, son válidas; puede escogerse por ejemplo la representaciónfundamental consistente en las 8 matrices 3 × 3 de Gell-Mann λi8

i=1).El álgebra de Lie de los generadores de SU(3) viene completamente determinada por

las relaciones de conmutación [Xa,Xb] = 2i∑

c fabcXc, donde fabc son sus constantes deestructura.

Señalamos ahora algunos resultados que pueden ser de utilidad a la hora de abordar elestudio de la clasificación de la Física de Partículas:

RESULTADO 1. El conjunto X1,X2,X3 cierra bajo conmutación y forma un subgrupo

SU(2) ∈ SU(3).

RESULTADO 2. X1,X2,X3,X8 forma un subgrupo U(2) ≡ SU(2) × U(1) en SU(3).

RESULTADO 3. El rango de SU(3) es 2, que es también el número máximo de generadores

diagonales del grupo, λ3 y λ8, y el número de operadores de Casimir que pueden formarse.

La representación fundamental de SU(3) es esencialmente un triplete. Sus únicas matri-ces diagonales son

λ3 = diag(1,−1, 0) λ8 =1√3

diag(1, 1,−2)

y sus autovectores pueden elegirse como la base canónica de R3.

1.1.1. Grupo de isospín y extrañeza

El modelo SU(3) de isospín y extrañeza es un modelo fenomenológico que explota elhecho de que los hadrones pueden agruparse en los multipletes que generan las repre-sentaciones irreducibles del grupo SU(3). La idea fundamental se basa en los estudios queHeisenberg llevó a cabo para dotar a los estados del protón y del neutrón de una sime-tría interna aproximada bajo SU(2) definiendo así una única partícula, el nucleón. En estemodelo, la única cantidad conservada (caracterizada por el autovalor del único operadorde Casimir del grupo, Sz) se denominó spin isotópico o isospín. La razón basal de incluirprotón y neutrón como dos estados con isospín distinto de una misma partícula se ajusta alel hecho experimental de que ambas partículas poseen una masa prácticamente igual sólodesequilibrada por el acoplo a interacción electromagnética.

Desde el descubrimiento, en 1947, del pión, muchas otras partículas hadrónicas suscep-tibles de interactuar fuertemente fueron halladas. Sorprendentemente algunas poseían una

1


vida media mucho mayor de acuerdo a la escala de tiempos de desintegración típica enla interacción fuerte, a pesar de ser suficientemente masivas como para desintegrarse enobjetos más ligeros sin violar las leyes de conservación de la carga y el número bariónico.Gell-Mann y Nishijima tomaron estos hechos como una manifestación clara de la existenciade un nuevo número cuántico al que denominaron extrañeza, S. Asignaron a cada hadrónun número entero que la representaba

S = 0 π,N,∆ . . .S = 1 K+ . . .S = −1 Γ,Σ . . .

y que, junto con la asociación de −S para cada antipartícula correspondiente, permitíasuponer una nueva ley de conservación para las interacciones fuertes y electromagnéticas,a saber: S debe conservarse.

De acuerdo a la existencia de un segundo número cuántico conservado, además de latercera componente de isospín I3, se propuso aumentar la dimensionalidad del grupo desimetría interna (hasta entonces SU(2) de isospín) de modo que diera lugar a un grupode rango 2. La propuesta más sencilla fue la del grupo SU(3), que habría de contener acada una de las partículas del espectro hadrónico con características similares en forma demultipletes, del mismo modo que SU(2) agrupaba protón y neutrón como un doblete deisospín.

La estructura de multipletes de SU(3) se consideró equivalente a la clasificación de la tablaperiódica de Mendeleiev y, como ésta, parecía indicar una cierta subestructura subyacente atodo el formalismo.

1.1.2. El modelo quark. The eightfold way

El modelo de quarks surge del grupo de isospín y extrañeza, como consecuencia de laasignación de entidad física a los estados de la representación fundamental del grupo SU(3).De esta manera, aparecen tres estados internos que corresponden a tres quarks: u, d y s 1.De acuerdo a este modelo, todos los hadrones están constituidos de una pequeña variedadde quarks ligados de diferentes formas.

Este grupo SUF (3), llamado de sabor, puede descomponerse en subgrupos de variasmaneras dando lugar a distintos modelos físicos, no todos igual de benévolos respecto alexperimento. En concreto, uno de ellos nos será de gran utilidad puesto que implementa deforma aproximada la simetría SU(2) de isospín a partir de considerar que los quarks u y dtienen la misma masa. El modelo SUF (3) fue propuesto por Gell-Mann en los años 60 y seconoce como the eightfold way .

Los números de isospín e hipercarga, así como del operador Q = I3 + Y2 para los quarks

u, d y s, vienen dados en la tabla (1).

1.2. Clasificación de hadrones y el nonete de mesones JP = 0−

La clasificación de los hadrones se hace a partir de las diferentes representaciones delgrupo SUF (3) (de sabor) a las que pertenece cada partícula. Por ejemplo, los mesones se

1Los quarks pesados c, b y t se descubrieron posteriormente.

2


Quark spin B I3 S Y Qu 1/2 1/3 1/2 0 1/3 2/3d 1/2 1/3 −1/2 0 1/3 −1/3s 1/2 1/3 0 -1 −2/3 -1/3

Tabla 1: Números cuánticos de los quarks ligeros

forman a partir de un quark, en la representación 3; y de un antiquark, en la representación3. Los estados ligados de estas partículas se realizarán en alguna de las representaciones enque se puede descomponer su producto directo, en este caso

3 ⊗ 3 = 8 ⊕ 1

es decir, darán lugar a un octete de mesones y a un singlete formado por una sola partícula(en conjunto: el nonete de mesones). La estructura de multipletes resultante se muestra en lafigura (1) y puede obtenerse rápidamente superponiendo el centro de gravedad del multipleteantiquark-quark en cada elemento del multiplete de quarks.

Figura 1: Nonete de mesones JP = 0−

Hay que tener en cuenta que si este grupo de simetría fuera exacto todos los miembros delmultiplete tendrían la misma masa, cosa que no ocurre ni siquiera de forma aproximada. Porejemplo, en el centro del diagrama de pesos residen las partículas η y η′, cuyo desdoblamientoen masa es mucho mayor del que puede admitir el modelo quark (problema conocido comoη−η′ mass splitting o η−η′ puzzle). De hecho, el singlete de SUF (3) viene representado porla partícula η′ y difiere mucho de las masas típicas del octete. La razón de esta discrepanciase debe a que η′ está relacionada con la anomalía axial de la simetría bajo UA(1), estudiadaen QCD.

1.3. QCD y el régimen de baja energía

La cromodinámica cuántica es, hoy por hoy, la teoría comúnmente aceptada 2 y usadapara la descripción del sector de interacción fuerte en el Modelo Estándar.

Se trata de una teoría gauge no abeliana renormalizable con 8 bosones gauge vectorialescorrespondientes a cada uno de los ocho generadores del grupo gauge SUC(3) o grupo

2Al menos, en palabras de M. Le Bellac, no existe un serio competidor que se oponga a su supremacía.

3


SU(3) de color. En ella los quarks son fermiones de spin 1/2 que se transforman como losmultipletes a los que da lugar la representación fundamental de dicho grupo. Existen seisfamilias de quarks o seis sabores diferentes: up (u), down (d), strange (s), charm (c), beauty (b)y top (t), aunque los últimos tres son considerados pesados y no juegan un papel relevanteen el rango de energías que nos ocupará a lo largo de este trabajo 3.

Está respaldada ampliamente por evidencias experimentales desde su creación e imple-menta dos características fundamentales de la interacción fuerte, a saber: confinamiento ylibertad asintótica. La libertad asintótica aparece en fenómenos de muy alta energía, dondelos quarks interactúan muy débilmente. Fue descubierta en los años 70 por D. Politzer, F.Wilczek y D. Gross, trabajo por el cual recibirían el premio Nobel de Física en 2004. Elconfinamiento es el responsable de que a bajas energías los quarks se encuentren ligadosformando hadrones. Todavía no ha sido demostrado analíticamente pero su existencia esampliamente aceptada debido a dos razones: hasta el momento, no se han encontrado esta-dos de quarks libres; y aparece de forma natural en modelos de QCD basados en simulaciónen retículos (lattice QCD).

En efecto QCD presenta, como todas las teorías gauge renormalizables, una dependenciaen la constante de acoplo, g, respecto a la escala de energías (Q) (running coupling cons-

tant). El carácter no abeliano de la teoría hace que la constante de acoplo tienda a cerocomo la inversa del logaritmo de la escala de energía cuando la escala tiende a infinito,implementando así la libertad asintótica y permitiendo una expansión en serie de potenciasrespecto a la constante de acoplo g(Q2) para fenómenos de alta energía (alta transferenciade momento o hard processes: energías típicas superiores a 1 GeV o, si se quiere ver deotro modo, distancias cortas de aproximadamente r < 0,1 fm).

Cuando la escala de energías decrece la constante de acoplo aumenta impidiendo un trata-miento perturbativo en potencias de g(Q2). Los llamados soft processes (energías menoresde 1 GeV, distancias grandes r > 1 fm) : fenómenos con baja transferencia de momento,o que involucran propiedades hadrónicas de baja energía (masa, anchuras de resonancia,longitudes de scattering, etc.) han de ser estudiados mediante técnicas no perturbativas,principalmente a través de modelos efectivos que incorporan las simetrías relevantes dellagrangiano de QCD, o mediante simulaciones en el retículo.

En el presente trabajo estaremos interesandos en modelos efectivos, y en especial en elmás productivo de los planteados: la llamada teoría de perturbaciones quiral (ChPT), cuyoformalismo se basa en incorporar todas las simetrías del lagrangiano de QCD así comolos mecanismos que provocan su ruptura, en especial los patrones de ruptura de la llamadaSimetría Quiral.

Las teorías de campos efectivas juegan un papel fundamental en la Física, no sólo enel contexto de la interacción fuerte, sino también en otras áreas: interacción débil, modelosde spin, magnetismo, etc. En realidad, una de sus características más importantes es suuniversalidad: el tratamiento para el comportamiento superconductor de láminas compuestasde ciertas sustancias antiferromagnéticas es muy similar al que se efectúa en los modelosefectivos de QCD. La razón es que las teorías efectivas explotan las propiedades de simetríaque subyacen en la teoría y son independientes del modelo que describe la dinámica de loscampos involucrados. Realmente el desarrollo de la teoría de perturbaciones quiral comienza

3De hecho sólo usaremos dos sabores, prescindiendo del quark s.

4

2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS

mucho antes 4 de que se supiera que la interacción fuerte pudiera describirse a través decampos locales.

2. Grados de libertad y simetrías

En 1960 Nambu encontró que la pequeña masa del pión podía ser explicada en basea consideraciones de simetría. Su argumento yacía sobre el concepto de que una simetríacontinua podía ser espontáneamente rota. Si ésto sucedía el espectro de la teoría había decontener indefectiblemente partículas sin masa, llamadas bosones de Nambu-Goldstone5 . Sila simetría era sólo aproximada, los bosones que aparecían en el espectro estaban dotadosde una cierta masa (en general pequeña comparada con el resto del espectro). De acuerdoa este supuesto, los piones son ligeros debido a que son los bosones de Nambu-Goldstonede una simetría aproximada.

A baja energía estos bosones interactúan débilmente unos con otros y con otras partículasmás masivas que puedan incluirse en la teoría por lo que en adelante, para nosotros y eneste régimen, QCD se implementará mediante una teoría efectiva en la que los piones seránlos grados de libertad activos.

2.1. Ruptura de simetrías

Dependiendo del comportamiento bajo la dinámica de la teoría, una simetría dada dellagrangiano puede manifestarse o realizarse físicamente de varias maneras, todas ellas pre-sentes en la naturaleza.

1. La simetría permanece exacta en el lagrangiano y en el vacío. Se realiza entoncesmediante el llamado modo Weyl-Wigner. Aparece, por ejemplo el grupo SU(3) decolor, o la simetría de QED bajo U(1) que da lugar a la conservación de la carga.

2. La simetría es exacta en el marco clásico pero desaparece a nivel cuántico (< ∂µjµ > 6=0). En ese caso se produce una anomalía6 y la simetría no es tal. Por ejemplo dentrodel Modelo Estándar, la simetría global axial bajo UA(1).

3. La simetría se rompe explícitamente por términos del lagrangiano que no son in-variantes bajo el grupo que la implementa. En este trabajo tendremos ocasión de vercómo la simetría de isospín de la parte fermiónica del lagrangiano de QCD se rom-pe explícitamente debido a acoplo electromagnético o a la diferencia de masas de losquarks u y d. Cabe mencionar que quizá estos términos sean pequeños en relación conlas escalas típicas a las que se trabaje y la simetría pueda considerarse aproximada,siendo su utilidad determinada empíricamente.

4. La simetría puede romperse espontáneamente (SSB7) dando lugar a una realizaciónsegún el modo de Nambu-Goldstone. Este fenómeno se produce cuando el lagrangiano

4Alrededor de 1960.5Goldstone estableció las implicaciones de la ruptura espontánea de simetría en una forma matemática precisa.6Las anomalías relacionadas con grupos gauge no están permitidas en el Modelo Estándar.7Spontaneous Symmetry Breaking.

5


es invariante bajo un cierto grupo pero no así el vacío, por tanto la simetría no seobserva en el espectro de estados físicos (generados a partir de |0〉).En realidad una simetría espontáneamente rota no está rota, sigue presente pero surealización implica que está escondida de algún modo y no es posible apreciarla enel espectro8. La existencia de una simetría espontáneamente rota puede caracterizarsepor el hecho de que el valor esperado en el vacío para determinados campos es nonulo

〈0|φ1 . . . φn|0〉 6= 0,

de hecho puede usarse, y será uno de los observables clave a lo largo de este trabajo, unobjeto de este estilo para caracterizar la evolución de la simetría respecto, por ejemplo,a la temperatura. Una aproximación matemática a la ruptura espontánea puede hacersedel siguiente modo: sea exp(iαQ), α ∈ R, un elemento de un cierto grupo de simetríapara el lagrangiano de una cierta teoría, si el vacío es invariante bajo el grupo se tieneexp (iαQ)|0〉 = |0〉, ∀α ∈ R, luego, trabajando en el álgebra de Lie del grupo, se tiene lasiguiente relación para el generador Q

Q|0〉 = 0.

Supongamos ahora que el vacío no comparta el carácter invariante bajo cualquierelemento del grupo; esto es exp (iαQ)|0〉 := |α〉 → Q|0〉 6= 0, ahora bien, Q es unacarga Noether y es conservada luego Q = 0 = [Q,H]; así que |α〉 y el vacío tienen lamisma energía. En efecto, sea E0 la energía del estado de vacío, entonces

H|α〉 = H exp (iαQ)|0〉 = exp (iαQ)H|0〉 = E0|α〉.

Debido a que el grupo de simetría es un grupo de Lie, debe haber una familia continuade estados degenerados con el vacío relacionados mediante transformaciones bajoel grupo generado por Q. Desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos,cualquier excitación del vacío es considerada como una partícula. La energía mínimade excitación se corresponde con la masa de la partícula luego, entonces, la presencia deun mecanismo de ruptura espontánea de simetría en una teoría indica la existencia deexcitaciones de energía cero (partículas sin masa) con los mismos números cuánticosque los generadores del grupo de simetría, o de las cargas Noether conservadas si seprefiere, que no dejan invariante al estado de vacío. Por cada generador roto apareceráun tipo distinto de partícula, lo que puede considerarse un anticipo del teorema obtenidopor Goldstone, descrito con mayor detalle en la sección siguiente.

2.2. El patrón de ruptura SU(2)L × SU(2)R → SU(2)V en LQCD2.2.1. Simetrías de la parte fermiónica de LQCD

Con el fin de extraer toda la información posible relativa a simetrías y construir unateoría efectiva que incorpore todas estas características a baja energía, analizaremos la parte

8Ver [2].

6


fermiónica del lagrangiano de QCD9. Ésta tiene la forma

LfQCD = q

(i /D −M

)q (1)

donde /D incluye el acoplo de los ocho campos gauge de gluones, que no serán consi-derados explícitamente en lo relativo a análisis del patrón de ruptura de la simetría quiralpor resultar identidades en el espacio de sabor; q, en el caso que nos ocupa, es el doblete decuadriespinores (u, d), q su conjugado de Dirac y M = diag(mu,md) ∈ M 2×2 es la matriz demasas.

Para simplificar el análisis separaremos las partes de quiralidad left y right mediante eluso de los proyectores quirales PL y PR.

DEFINICIÓN 1 (Proyectores quirales). PR := 12(1 + γ5), PL := 1

2(1 − γ5)

Con ellos podemos separar los dobletes de campos espinoriales con quiralidad definida

qL = PLq, qR = PRq (2)

y escribir de nuevo el lagrangiano en función de ellos. Ahora evaluemos el comportamientobajo el grupo quiral SUL(2)×SUR(2), donde SUL(2) tiene como elementos eiα

La τa

y SUR(2),eiα

Ra τa

, con ~αL, ~αR ∈ R3 y τa las matrices de Pauli.

RESULTADO 4.

SUL(2) × SUR(2) ≈ SUL+R(2) × SUL−R(2) := SUV (2) × SUA(2)

donde SUV (2) es el grupo vectorial o de isospín y SUA(2) es el conjunto de transformacio-

nes axiales.10

RESULTADO 5. Si M ≡ 0 entonces LfQCD es invariante bajo el grupo

SUV (2) × SUA(2) × UV (1) × UA(1).

Demostración. Las partes que incluyen derivadas covariantes en LR,L entre dobletes dedistinta quiralidad y los términos de masa que involucran dobletes de igual quiralidad seanulan. En efecto, por ejemplo

qLMqL = (γ0qL)†MqL = (PLq)†γ0MqL = q†PLγ0MPLq = q†γ0MPLPRq = 0

ya que PLγ0 = γ0PR . Por otro lado qR(i /D)qL = (γ0PRq)†i /DPLq = iq†γ0 /DPRPLq = 0, puesto

que PRγµ = γµPL. Los términos que no se anulan dan lugar a LQCD = i(qR /DqR + qL /DqL)−

(qLMqR + qRMqL). Hagamos ahora actuar al grupo quiral sobre los dobletes de biespinores

en el lagrangiano con M = 0, mediante SUL,R(2) = eiαL,Ra τa

, es decir

qL,R 7→ qL,R = eiαL,Ra τa

qL,R.

9El resto del lagrangiano presenta invariancia bajo el grupo quiral por lo que nos centraremos sólo en lassimetrías susceptibles de sufrir ruptura a causa de la variación en los parámetros de la teoría.

10~αL = ~αV + ~αA, ~αR = ~αV − ~αA.

7


Resulta entonces que, por ejemplo (γ0qR)† /DqR = qRe−i~αR~τγ0 /De

i~αR~τqR , sin embargo γ0 /Dactúa sobre objetos con índices Lorentz y es una identidad en el espacio de sabor así quei(γ0qR)† /DqR = iqR /DqR. Lo mismo sucede para iqL /DqL luego queda demostrada la invarian-cia bajo el grupo quiral.

La invariancia de LM=0QCD bajo cambios de fase global, es decir, bajo UV (1) es inmediata y

la simetría bajo elementos del conjunto de transformaciones unitarias axiales eiaγ5 ∈ UA(1)se demuestra, por ejemplo, al evaluar el cambio en el lagrangiano tras una transformacióninfinitesimal usando las propiedades de la γ5.

RESULTADO 6. Si M ∝ 1, es decir si mu = md 6= 0, entonces LfQCD solamente es invariante

bajo el grupo de isospín SUV (2).

Demostración. En este caso es más útil trabajar con el álgebra de Lie de los subgruposquirales L y R. Haciendo actuar una transformación infinitesimal sobre el término de masasse tiene

(1 − i~αL~τ + O(α2)

)γ0M

(1 + i~αR~τ + O(α2)

)= γ0M + iγ0M~αR~τ − i~αL~τγ0M + O(α2)

y para que se cumpliera la condición de invariancia debiera ser iγ0M~αR~τ = i~αL~τγ0M,que sólo se cumple si ~αR = ~αL. Nótese que si ~αR = −~αL (correspondiente al conjunto detransformaciones axiales) este término no es invariante.

RESULTADO 7. La presencia del término qMq en LfQCD induce una ruptura explícita de la

simetría bajo el conjunto SUA(2).

RESULTADO 8. Si mu 6= md 6= 0 entonces LfQCD no es invariante bajo ningún subgrupo

quiral.

Demostración. La demostración es inmediata sin más que escribir el lagrangiano completotransformado bajo el grupo quiral:

L∗QCD = i(qL /DqL + qR /DqR) − (qLe

−i~αL~τγ0Mei~αR~τqR + qRe−i~αR~τγ0Mei~αL~τqL).

2.2.2. Influencia de la ruptura espontánea y explícita de la simetría quiral en elespectro hadrónico

El lagrangiano conM = 0 tiene una motivación física evidente en el contexto de partículasligeras, y es particularmente sencillo para investigar las propiedades de simetría de la teoría.Se tiene entonces una simetría completa bajo el grupo quiral que hace que la interacciónfuerte sea invariante bajo rotaciones quirales.

8


La simetría bajo SUV (2) × SUA(2) origina tres corrientes vectoriales y tres corrientesaxiales conservadas11

Vaµ = qγµ

1

2τaq, Aa

µ = qγµγ51

2τaq (3)

cuyas cargas Noether, a nivel clásico, pueden escribirse como

Qa =

∫

d3xqγ01

2τaq, Qa

5 =

∫

d3xqγ0γ51

2τaq. (4)

Estas cantidades conservadas son los generadores del grupo quiral. Vafa y Witten mos-traron [3] que ha de cumplirse Qa|0〉 = 0, sin embargo para las cargas Noether vinculadas ala corriente axial la simetría podría realizarse de dos maneras distintas:

1. Qa5|0〉 = 0. El vacío es invariante bajo rotaciones quirales y la simetría bajo el gru-

po quiral se realiza según el modo Wigner-Weyl. El espectro hadrónico consiste enmultipletes degenerados que se transforman bajo las representaciones irreducibles delgrupo quiral. Dado que SUA(2) deja invariante el vacío, los multipletes de isospín tienencompañeros quirales degenerados en masa y de paridad opuesta (por cada hadrón, esposible generar a partir de una transformación axial vía SUA(2) otro estado con losmismos números cúanticos a excepción de la paridad, que resultaría opuesta respectodel estado original).

2. Qa5|0〉 6= 0. En este caso el vacío no es simétrico bajo rotaciones quirales y se produce

una ruptura espontánea de la simetría quiral (realización de Nambu-Goldstone). El es-pectro consiste en multipletes del subgrupo que deja invariante el vacío (multipletes deSUV (2) o de isospín).

En la naturaleza los multipletes de isospín no aparecen en forma de pares de paridadopuesta así que debemos rechazar la realización de Weyl-Wigner y suponer que la simetríaquiral está espontáneamente rota a bajas energías. En efecto, por ejemplo, el triplete depiones JP = 0− tiene paridad negativa y no se encuentra degenerado en masa con eltriplete de isospín 0+ , uno de sus posibles compañeros quirales formado por las partículasa0, ya que existe una importante diferencia de unos 840 MeV.

Las consecuencias de esta realización vienen caracterizadas por el teorema de Nambu-Goldstone:

TEOREMA 1 (de Nambu-Goldstone). Por cada generador de una simetría continua roto por

el vacío de la teoría, debe aparecer una partícula (bosón de Goldstone) de masa nula con

los mismos números cuánticos que el generador.

COROLARIO 1. En el límite M = 0, la ruptura espontánea de la simetría bajo SUA(2)provoca la aparición de tres partículas de masa nula que se transforman de acuerdo a

πa = ψγµγ51

2τaψ

y por tanto tienen momento angular J = 0, paridad negativa P = −1 e isospín I = 1.

11La invariancia bajo UV (1) y UA(1) no deja más que una corriente conservada en el lagrangiano masslesscompleto de QCD: Vµ

0relacionada con UV (1), ya que la simetría bajo UA(1) presenta una anomalía, es decir,

∂µAµ0 6= 0 a nivel cúantico.

9


Si los piones tuvieran masa nula podríamos identificarlos con los bosones de Goldstoneresultantes de la ruptura espontánea, sin embargo presentan una masa de aproximadamente140 MeV que, si bien es considerablemente menor que la masa de las restantes partículas delespectro hadrónico, no puede considerarse tajantemente nula. ¿Qué sucede? La respuestaes sencilla si se advierte que estamos trabajando en el régimen en el que los quarks u y dtienen masa nula. Sabemos que ésto no es cierto ya que en nuestro mundo de baja energíamu 6= md 6= 0, así que la simetría quiral es sólo aproximada: se encuentra rota explícitamentepor el término de masas y las corrientes Aa

µ y Vaµ ya no se conservan.

El hecho de que los bosones de Goldstone de la teoría tengan masa (constituyendo ensentido estricto pseudobosones de Goldstone) se debe al carácter masivo de los quarks uy d. Sin embargo la masa de éstos es pequeña comparado con la escala Λχ, por debajo dela cual tiene sentido tomar un límite de baja energía en QCD12, y puede considerarse nulaen primera instancia (límite quiral) suponiendo válida la simetría de isospín y una rupturaespontánea de la simetría axial.

Es posible relacionar (ver [2]) las masas de los bosones de Goldstone con los valoresesperados en el vacío de los escalares bilineales uu y dd 13 a tree level, mediante las llamadasrelaciones GOR 14

M2π = −mu +md

F 2π

〈0|qq|0〉 (5)

donde qq representa uu o dd, iguales a primer orden a F 2πB , Fπ es la constante de desinte-

gración del pión y B es un cierto factor. Resulta entonces

M2π = (mu +md)B + Términos de orden superior (6)

Han aparecido ya dos constantes de baja energía que serán importantes a lo largo deltrabajo: Fπ y B. Un tratamiento pormenorizado de estas cuestiones puede verse en [4].

2.3. Modelos efectivos en física de piones

El procedimiento general de trabajo será encontrar un lagrangiano efectivo que imple-mente la física de una teoría más general en un régimen de baja energía. Será posible,entonces, integrar los campos pesados escribiendo la teoría en función únicamente de loscampos ligeros.

Los efectos de campos pesados no tienen por qué ceder toda influencia sobre los modelosefectivos de baja energía ya que pueden manifestarse, por ejemplo, a la hora de renormalizarlos resultados.

2.3.1. LσM

Un modelo tradicionalmente usado para exportar y explotar los conceptos asociados a lasimetría quiral en física de piones es el denominado modelo sigma lineal.

12Ver sección 3. Puede considerarse Λχ ∼ 1 GeV.13Estos valores esperados serán lo que, en breve, llamaremos condensados de quarks.14Gell-Mann, Oakes y Renner.

10


En un principio 15 el LσM fue pensado para estudiar la simetría quiral en el sistemapión-nucleón aunque, posteriormente, se incorporaron mecanismos que implementaban laruptura espontánea. Aunque, como se verá, tiene algunos problemas técnicos en su im-plementación fenomenológica, representa un punto de inicio interesantísimo a la hora deestudiar la física de piones puesto que trabaja con prácticamente la totalidad de los gradosde libertad relevantes en el régimen de baja energía y presenta de forma clara todos losmecanismos físicos interesantes que tienen lugar cuando se rompen las simetrías.

En este documento no tendremos en cuenta campos fermiónicos, aunque pueden incluirsesin problemas nucleones y quarks. La parte mesónica del lagrangiano del modelo sigmalineal consiste en cuatro campos escalares: un campo escalar adicional denominado campoσ y un triplete de campos ~π que usualmente se interpreta como el triplete de piones, comotendremos ocasión de ver a continuación.

Estos campos forman un cuadrivector (σ, ~π) y el lagrangiano de la parte mesónica, inva-riante bajo el grupo O(4) ≈ SU(2) × SU(2) 16, es

LLσM =1

2(∂σ)2 +

1

2(∂~π)2 − 1

2m2σ2 − 1

2m2~π2 − λ

4

(σ2 + ~π2

)2 − ǫσ (7)

donde, como veremos, la parte ǫσ se introduce para dotar a la teoría de una ruptura explícitade simetría quiral y, por tanto, en ausencia de este último término los piones carecen de masa.

Por último, el parámetro m2 se elige negativo para obtener ruptura espontánea de sime-tría quiral en la teoría, como veremos en 2.3.2.

El lagrangiano (7) con en el límite quiral (piones como verdaderos bosones de Goldstoney, por tanto, ǫ = 0) puede ser escrito en términos de la matriz

Σ :=1

v(σ id2×2 +i~π~τ),

con v2 := −m2

λ .

En efecto, de este modo se convierte en

LLσM =v2

4tr(

∂µΣ∂µΣ†)

− m2

4v2 tr

(

ΣΣ†)

− λv4

16tr2(

ΣΣ†)

. (8)

RESULTADO 9. Los campos σ y ~π se transforman, a primer orden, bajo una rotación quiral

en la forma

σ′ = σ +1

2(~αL − ~αR)~π (9)

~π′ = ~π − 1

2(~αL − ~αR)σ − 1

2~π × (~αL + ~αR) (10)

RESULTADO 10. Los objetos iqq y qγ5τq se transforman bajo rotaciones quirales del mismo

modo que los campos σ y ~π.

15Allá por 1960.16Por lo que comúnmente se denomina a toda esta estructura modelo sigma O(4).

11


De este modo resulta posible, a priori, relacionar el campo σ con la resonancia f0(600)dado que ambos tienen los mismos números cuánticos (J = 0, P = +1, I = 0)17, y al triplete~π con el triplete de mesones pseudoescalares π+, π0, π−.

RESULTADO 11. LLσM tiene el mismo comportamiento que la parte fermiónica del la-

grangiano de QCD bajo el grupo quiral a través de las transformaciones L ∈ SUL(2)y R ∈ SUR(2).

Demostración. La prueba se efectúa advirtiendo que el campo Σ se transforma bajo el grupoquiral como

Σ −→ Σ′ = LΣR† (11)

Para la parte massless podríamos haber usado el hecho de que el lagrangiano es inva-riante bajo O(4) y éste es isomorfo a SUL(2) × SUR(2).

2.3.2. Mecanismos de SSB y de ruptura explícita

En lo siguiente analizaremos brevemente los mecanismos de ruptura explícita en elmodelo sigma lineal. Un tratamiento pormenorizado puede encontrarse en [2] ó [7].

En primer lugar analicemos el modelo LσM en el límite quiral: el potencial toma la forma

V (σ, ~π) =1

2m2(σ2 + ~π2)2 +

1

4λ(σ2 + ~π2)2, m2 < 0. (12)

El vacío de la teoría de campos está definido por el mínimo valor esperado del Hamiltoniano.En aproximación de tree level el valor esperado en el vacío de los campos es igual al valorde los campos en el mínimo de potencial, luego buscando el mínimo de (12) encontraremoscandidatos a representar el vacío en el modelo LσM. Es fácil comprobar que el conjunto decampos que satisfaga

σ2 + ~π2 = −m2

λ=: v2 (13)

conduce a un mínimo en el potencial dando lugar a una estructura de vacío, a priori, degene-rada. Elijamos el vacío de la teoría como el cuadrivector (σ0, ~π0) = (v,~0), con lo que vemosque la invariancia O(4) del lagrangiano no se comparte con el vacío de la teoría, que sólo loes bajo O(3) (SUV (2), αL = αR). Aplicando el teorema de Goldstone podríamos colegir quehan de aparecer tantos bosones como generadores rotos por el vacío. En este caso pasamosde N(N−1)

2

∣∣N=4

= 6 a 3, luego se han roto tres generadores y deben aparecer tres partículasbosónicas sin masa. El patrón de ruptura es

SUL(2) × SUR(2) ≈ O(4) → O(3).

Mediante un reescalado del valor de los campos en el mínimo de potencial es posiblereparametrizar el cuadrivector de campos en términos de v. Efectivamente, pueden formarselos nuevos campos

~π, η = σ − v.

17En realidad ésto no es del todo correcto diversas razones, algunas de las cuales serán comentadas más adelante.Sobre este tema pueden consultarse, por ejemplo, [5] y [6].

12


Al escribir el lagrangiano en función de los campos reescalados se obtiene

LLσM =1

2∂µ~π∂

µ~π +1

2∂µη∂

µη − 1

2m2

ηη2 +

λ

4η4 +

λ

4

(~π2)2

+ λvη3 +λ

2η2~π2 + λvη~π2 (14)

donde m2η := −2m2. Es decir, además de no presentar los indicios de simetría bajo O(4)

que presentaba anteriormente (la simetría se ha roto espontáneamente), han aparecido tresnuevos campos y se ha dotado de masa a η.

Añadiendo la ruptura explícita se incorpora un término igual a ǫσ = ǫ4 tr(Σ + Σ†), que

hace que el potencial sea asimétrico. A primer orden en ǫ se cambia el mínimo del potenciala

v =

√

−m2

λ+

ǫ

2m2

que dota a los bosones de Goldstone de una masa m2π = ǫ

v .Veamos ésto con mayor detalle usando la representación exponencial (ver [2]). En ella, el

término de ruptura explícita se escribe

Lr.exp =ǫ

4(v + S) tr

(

U + U †)

=ǫ

4(v + S) tr

(

2 −(~τ~π

v

)2

+ . . .

)

=

ǫ(v + S) − ǫ

2v~π~π + · · · = ǫ(v + S) − m2

π

2~π~π + . . . , (15)

con S :=√

(η + v)2 − ~π2 − v, y U := exp(

i~τ~πv

)

.

La simetría bajo el grupo quiral completo se ha roto pero sigue existiendo una simetríaexacta bajo el grupo de isospín SU(2) ≈ O(3) .

2.3.3. NLσM

El modelo NLσM puede obtenerse desacoplando el campo σ al modelo LσM, es decir,suponiendo que el rango de energías al que se trabaja es lo suficientemente pequeño comopara considerar que el triplete de piones constituye el acervo completo de grados de libertadde la teoría.

El comportamiento del modelo sigma lineal cuando se intenta desacoplar el campo σ seanaliza mejor en la representación exponencial (ver de nuevo [2]), ya que el parámetro Spuede expandirse en serie de potencias inversas de v resultando que el lagrangiano puede

escribirse en función de la matriz de campos Σ := σ + i~π~τ = (v + S)U , con U := exp(

i~τ~πv

)

;

y S :=√

(η + v)2 − ~π2 − v = η + . . . .El NLσM se obtiene de la representación exponencial del modelo sigma lineal con S = 0,

por ello

LNLσM =v2

4tr(

∂µU∂µU †

)

. (16)

Para añadir un término de ruptura explícita consistente con las simetrías del lagran-giano de QCD hay que considerar, como hemos visto en 2.3.2, un término de la formab0 tr

(M(U + U †)

), donde b0 es una constante que no puede predecir el modelo y M es la

matriz de masas diag(mu,md).

13


Deducimos entonces que LNLσM tiene el mismo comportamiento que la parte fermiónicadel lagrangiano de QCD bajo rotaciones quirales. La prueba de esto es inmediata ya que essimilar a la efectuada en LσM ya que la matriz de campos U se transforma bajo L ∈ SUL(2)y R ∈ SUR(2) de la misma manera que Σ, es decir, como (11).

Habría sido posible incorporar un término que rompiera explícitamente la simetría quiraly reprodujera las simetrías correctas a través de la matriz U a orden m2 en la masa de losquarks, sin embargo se elige el término con dependencia lineal en la masa por analogía conel término de masas del lagrangiano de QCD, y por ser el orden lineal en un desarrolloperturbativo en potencias de M . Esta cuestión será estudiada con detalle en la sección 3.

2.4. Efectos de temperatura finita: restauración de la simetría qui-ral

Cuando se incluyen consideraciones termodinámicas en una teoría cuántica de pionesbasada en simetría quiral sucede algo interesante: parece observarse que la simetría serestaura dinámicamente a temperaturas suficientemente altas, y el sistema atraviesa unatransición de fase.

Simulaciones de QCD en retículos sugieren que esto sucede a una temperatura de unos150-200 MeV, dependiendo del número de sabores que se use, y de las masas de los quarks.Se espera que colisiones de iones pesados en el RHIC y LHC puedan alcanzar temperatu-ras suficientes como para permitir estudios experimentales del deconfinamiento y la fasequiralmente simétrica de QCD.

2.4.1. Un modelo sencillo: The bag model

Examinemos un modelo analítico sencillo y soluble que implemente la posibilidad deldeconfinamiento y la libertad asintótica: el modelo de la bolsa (the bag model). Este modelose usa para estudiar la transición entre la fase hadrónica y el llamado quark-gluon plasma(QGP). Sin embargo se cree que la temperatura crítica de restauración de la simetría quiralcoincide con ésta así que usaremos este modelo para estimarla (de forma muy naïve, comoveremos).

Este modelo presenta a los hadrones como burbujas esféricas en un medio confinante.Dentro de cada bolsa los quarks se mueven libres (esta aproximación puede mejorarse inclu-yendo otras interacciones a nivel gluónico, pero no las consideraremos porque únicamentenecesitamos un modelo sencillo). Fuera de la burbuja, quarks y gluones no pueden aparecercomo partículas libres ya que están confinados dentro de la bolsa mediante una densidadde energía constante E . La energía de cada hadrón está compuesta entonces por la energíaasociada a la densidad E y al volumen finito de la misma, y a la energía cinética de los quarksdentro de la burbuja. Asumiendo esfericidad para la bolsa y que la energía cinética es de laforma C/R debido al principio de incertidumbre, encontramos para la energía del hadrónEH

EH =4π

3R3E +

C

R(17)

donde R es el radio de la burbuja. Es posible calcular la masa y la presión de la burbuja

14


para el radio en el que la energía es mínima resultando

M = 16π3 R3E , Peq = 0.

Para obtener una temperatura crítica de transición a la fase QGP en un gas de bosonesde Goldstone en el régimen de potencial químico nulo (µ = 0), se calcula la presión deun gas ideal de bosones sin masa y se compara con la presión obtenida para la fase deplasma (considerando quarks y antiquarks de masa nula, µ = 0 y considerando además lapresencia de gluones). Comparando estas dos presiones y tomando el valor experimental deE como (∼ 200 MeV)4 (calculado a partir del radio típico hadrónico de 0.8 fm), obtenemosuna temperatura crítica de restauración de

Tc =45E17π2

14

≃ 144 MeV (18)

resultado que coincide razonablemente bien con las predicciones de alrededor de 150-200MeV, aportadas por lattice-QCD.

2.4.2. El condensado de quarks como parámetro de orden

Como hemos visto, a bajas energías QCD está gobernada por el confinamiento de color.No es ésta la única propiedad característica ya que, además, existe una estructura de vacío notrivial: el estado fundamental de QCD alberga condensados de pares quark-antiquark debidoa la ruptura espontánea y explícita de la simetría quiral, exacta en el régimen massless.

La ruptura espontánea SUV (2) × SUA(2) → SUV (2) puede ser caracterizada por variosparámetros de orden. En teoría cuántica de campos pueden elegirse en forma de valoresesperados en el vacío para ciertos operadores invariantes bajo el grupo SUV (2) pero que setransforman de forma no trivial bajo el grupo quiral completo. Si este valor esperado es nonulo, el vacío no puede ser invariante bajo el grupo quiral señalando así la existencia unaruptura de simetría 18.

El operador qq es invariante bajo el grupo de isospín SUV (2), pero no lo es bajo el grupoquiral completo ya que es sensible a rotaciones quirales. En efecto

qq = qLqR + qRqL. (19)

Nótese que a temperaturas suficientemente altas y, como hemos visto en la sección 2.4.1,está prevista la existencia de una restauración de la simetría, por lo que se espera que elcondensado tenga un carácter dinámico marcando así la existencia de dos realizacionesde simetría: de Weyl-Wigner para temperaturas por encima de la temperatura crítica derestauración (<qq>= 0), y de Nambu-Goldstone para temperaturas inferiores a ésta (<qq> 6=0).

18Nótese que en el caso mu = md 6= 0 también hay contribución de la ruptura explícita al valor esperado en elvacío.

15

3 TEORÍA DE PERTURBACIONES QUIRAL (CHPT) CON DOS SABORES

3. Teoría de perturbaciones quiral (ChPT) con dos sa-bores

Para nuestro cálculo no usaremos el modelo σ lineal puesto que, para explicar correc-tamente los datos experimentales, exige una constante de acoplamiento cercana a 20, queno permite un desarrollo en potencias. Existe además un inconveniente adicional: no haynecesidad de incluir una partícula σ masiva. La teoría de perturbaciones quiral es la teoríamás general compatible con las simetrías y es independiente de la elección de cualquiermodelo; sin embargo, veremos que los resultados que se presentarán usando ChPT al ordenmás bajo son los mismos que en el NLσM, donde se ha desacoplado este grado de libertady sólo trabajamos con el triplete de piones.

Como hemos dicho, ChPT es una teoría efectiva que implementa todas las simetrías dellagrangiano de QCD a bajas energías y está basada en una doble expansión en momentosy masas de los quarks, respecto a una escala típica de energías, Λχ ∼ 4πF ∼ 1 GeV, quedistingue de forma aproximada el régimen de baja energía.

Esta expansión falla al llegar a momentos del orden de las primeras resonancias pesadas(alrededor de Mρ = 770 MeV). Como ya se comentó en 2.3, en este régimen de energíaestas resonancias pueden tener efectos no locales en la teoría a través de las constantes derenormalización. De cualquier modo se espera que en el caso que nos ocupa (límite de muybaja energía), estos efectos estén solapados por las contribuciones de momentos de ordende p2/Λ2

χ en los procesos considerados.En adelante se considerará, excepto mención expresa, simetría de isospín intrínseca, es

decir mu = md =: m.Para construir la teoría se introduce la matriz unitaria U ∈ SU(2) tal que contiene a los

grados de libertad (bosones de Goldstone)

U = exp

(

i~π~τ

v

)

(20)

y que se transforma bajo los subgrupos quirales en la forma U 7→ LUR†. Asimismo seintroduce el lagrangiano efectivo massless como un desarrollo en derivadas de la matriz decampos

Leff = Leff(U, ∂U, ∂2U, . . . ) (21)

y se analizan los posibles términos compatibles con las simetrías generales Lorentz; C,P,Ty con la simetría quiral. Es fácil darse cuenta de que las únicas posibles contribuciones allagrangiano efectivo tienen un número par de derivadas 19, luego es posible escribir

Leff = L(2) + L(4) + . . . (22)

donde el subíndice hace referencia al número de derivadas.Puede parecer que este análisis es una cuestión imposible puesto que infinitos términos

que contribuyen al lagrangiano. Sin embargo el ingrediente fundamental que ya comentamosal principio es que se trata de una expansión en momentos, es decir, en energía. La moraleja

19El término con ninguna derivada es trivial puesto que no altera la dinámica de la teoría. Efectivamente, conninguna derivada solamente es posible construir algo proporcional a tr(UU †), es decir, igual a una constante.

16


de todo ésto es que no todos los términos contribuyen por igual y, en una teoría efectiva debaja energía, bastará con considerar sólo los términos con un número reducido de derivadas.

Dado que la acción ha de permanecer adimensional puede verse fácilmente, (por ejemploen [2]), que el coeficiente de un término con n derivadas tiene dimensión Λ4−n

χ , donde Λχ ≃ 1GeV es la escala de energías típica, luego el efecto de un vértice correspondiente a un términode n derivadas es de orden pn/Λn−4

χ . Por esto, términos con un número mayor de derivadastendrán un efecto muy pequeño sobre los cálculos a baja energía.

En efecto cuando se consideran elementos de matriz, las derivadas ∂µ se convierten enmomentos de los piones y el desarrollo en derivadas es, entonces, un desarrollo cuadráticoen momentos por lo que a bajas energías, términos superiores contribuirán cada vez menos.Estas cuestiones serán tratadas en el apartado 3.1.

El término a dos derivadas tiene la forma α tr(∂µU∂µU †), donde α es un cierto coeficiente.

Desarrollando la matriz U en términos de los campos de Goldstone resulta el términocinético: Leff ∝ ∂µ~π∂

µ~π + . . . , lo que permite identificar α con v2/4.Llamaremos en adelante contribuciones O(E n) a aquellos términos que involucren n

derivadas. Las correcciones más importantes a estos serán de orden O(E n+2)20. Para ver laexpansión en masas es necesario considerar términos que involucren una ruptura explícitade la simetría quiral. El término más bajo posible (lineal en masas de los quarks) con elmismo comportamiento bajo simetrías que el término de masas en el lagrangiano de QCDes de la forma β tr

(M(U + U †)

), con M la matriz de masas y β un cierto coeficiente.

Debido a la expresión (6) este término lineal en m va como el cuadrado de la masa delpión luego la expansión en masas de los quarks es equivalente a una expansión en pares dederivadas y los términos Mn ∝ M2n

π son de orden O(p2n). He aquí la explicación completadel carácter dual en masa y momento de la expansión en ChPT.

El lagrangiano a orden más bajo (O(E2)) compatible con las simetrías puede escribirseentonces como

Leff =v2

4tr(∂µU∂

µU †) + β tr(

M(U + U †))

+ . . . (23)

Ahora bien, el lagrangiano de esta teoría al orden más bajo coincide con el lagrangianodel NLσM, es decir, escribiendo el término de ruptura en la representación exponencial deLσM , (15); en el caso S = 0, podemos obtener el coeficiente β. Efectivamente, se tiene

Lr.exp =vǫ

4tr(U + U †) (24)

y, recordando que la ruptura explícita dota a los piones de una masa M2π = ǫ/v, podemos

escribir β = M2πv2

8m , dando lugar a que el lagrangiano O(E2) sea

L2 = LNLσM =v2

4tr(∂µU∂

µU †) +M2

πv2

4tr(

U + U †)

. (25)

En órdenes superiores el lagrangiano incorpora muchas más constantes de acoplamientopara cada término compatible con las simetrías, y cuyos valores numéricos ChPT no puedecaracterizar por sí sola. Será necesario efectuar experimentos complementarios para deter-minarlos y poder hacer predicciones con la teoría efectiva. Estas son las llamadas constantes

20Ha de considerarse siempre, pese a la notación usada, que la expansión se realiza en momentos o energíasrespecto a la escala típica de perturbaciones quirales Λχ .

17


de baja energía (LEC’s). Tendremos ocasión de ver que, normalmente, toman un valor 21 re-lativamente pequeño de aproximadamente 1/16π2 ∼ 5 · 10−3 (ver, por ejemplo, [4] o [8]), loque propicia el buen comportamiento de ChPT.

3.1. Loops y contaje quiral

Como ya se ha apuntado anteriormente, la clave en el manejo de los diferentes términosde la teoría efectiva de baja energía compatible con todas las simetrías de la teoría originales el contaje de las potencias de momentos transferidos y masas de piones con las quecontribuye cada término. Si los momentos transferidos o las masas en el proceso son muchomenores que la escala Λχ, se espera que contribuciones de orden superior sean cada vezmás pequeñas haciendo que el principal aporte al proceso provenga de los órdenes bajos.

Por otro lado, será necesario establecer un esquema de regularización y renormaliza-ción para la teoría ya que los loops quirales están representados por objetos divergentes.Veremos que, pese a que ChPT tiene carácter no renormalizable en sentido estricto, pue-de renormalizarse para un cierto proceso hasta un orden dado (renormalización orden aorden).

3.1.1. Teorema de contaje de Weinberg y desarrollo a baja energía

Un detallado estudio del contaje quiral puede verse, por ejemplo, en [2] y [9]. Analicemosun diagrama genérico que contiene Nd vértices que contribuyen cada uno como O(pd), cond el número de derivadas del término considerado en el lagrangiano efectivo. Además, estediagrama puede contener L loops, un número I de líneas internas y un número E de líneasexternas.

Por análisis dimensional, el orden en momentos total para el diagrama es D = 4L−2I+∑∞

d=2 dNd, ya que cada loop introduce un p4 a través de la integración∫d4k, cada vértice

introduce introduce un factor pd y cada propagador interno va con un 1/p2. Además, elnúmero de líneas internas está relacionado con el número de loops y el número de vérticesde todo diagrama conectado: L = 1 + I −

∑

dNd, es decir, I = L− 1 +∑

dNd.Entonces el grado de divergencia superficial es

D = 2L+ 2 +

∞∑

d=2

(d− 2)Nd,

lo que constituye el teorema de contaje de potencias quiral de Weinberg. Ha de notarseque todos los diagramas pueden clasificarse en un cierto orden, O(pD), de acuerdo a esteteorema.

Los diagramas de orden más bajo son aquellos con L = 0 y todos los vértices d = 2, esdecir, procedentes de L(2), es decir, procedentes del lagrangiano leading order de ChPT atree level. Las contribuciones del next-to-leading order, O(p4), vendrán dadas por dos clasesde diagramas:

i. L = 0 con un vértice procedente de L(4), y uno o varios procedentes de L(2).

ii. L = 1 y un vértice procedente de L(2).

21Se dice que cuando las LECs son de este orden toman valores naturales.

18

4 CORRECCIONES TÉRMICAS Y ACOPLO ELECTROMAGNÉTICO A UN LOOP SOBRE EL CONDENSADO DE QUARKS

En ambos casos el incremento de los órdenes de los momentos a través de los loops estásiempre compensado por las constantes con dimensión procedentes de los vértices. De ahíel carácter relativo respecto a la escala Λχ. En efecto, los vértices procedentes de términoscon 2 derivadas aportan el factor F 2 al denominador para mantener las dimensiones delobservable inalteradas. Además, cada loop introduce un factor 1/(4π)2 , haciéndose ahoraverdaderamente evidente el porqué de elegir la escala de perturbaciones quiral como 4πF .

3.1.2. Renormalización orden a orden.

ChPT es una teoría no renormalizable en el contexto habitual en que se tratan las teoríascuánticas de campos, sin embargo admite una renormalización ligada a un concepto másamplio y que requiere la prescripción tanto del proceso como del orden al que se llevaránlos cálculos: la renormalización orden a orden.

Como ya hemos tenido ocasión de ver, los loops dan lugar a integrales divergentesque estropearían todo el cálculo de no ser porque, fijado un cierto orden para un procesodeterminado, es posible arrostrar el problema absorbiendo las contribuciones infinitas delos loops del orden principal con la ayuda de las constantes de acoplo de los términos22 del lagrangiano next-to-leading order. Mediante un procedimiento de aislamiento de ladivergencia en la integral o regularización (ver [A] para más información sobre el esquemausado a lo largo del trabajo) es posible ver que, en efecto, es posible descomponer lasconstantes de baja energía (LECs) en una parte finita de carácter fenomenológico y unaparte divergente que cancela las divergencias procedentes del loop (esencialmente polossimples), y obtener resultados finitos para los observables.

Existe un handicap de índole práctica importante para este algoritmo: a medida que cal-culamos correcciones a órdenes mayores aparecen muchísimas más constantes de energíay es importante darse cuenta de que, pese a que las LECs aparecen en diferentes observa-bles, sus partes finitas e infinitas deben ser las mismas por lo que el cálculo de las partesdivergentes de las constantes puede resultar complicado y tedioso. Además queda pendientela consecución de las partes finitas, de origen fenomenológico, y que puede resultar unatarea altamente no trivial.

Cálculos detallados así como más información acerca de la renormalización orden aorden y LECs puede encontrarse en [10], [11] y [12].

4. Correcciones térmicas y acoplo electromagnético aun loop sobre el condensado de quarks

En adelante introduciremos efectos electromagnéticos en la teoría implementando asíruptura de isospín a nivel de piones, y haciendo la aproximación de que la simetría intrínsecaa nivel quark queda intacta. Posteriormente calcularemos el condensado de quarks a un loopen el régimen de temperatura cero.

Seguidamente, y mediante el formalismo de tiempo imaginario, haremos de ChPT unateoría térmica de campos de modo que se añadan correcciones que describan adecuadamente

22Por razones evidentes éstos serán llamados contratérminos.

19


el gas de piones sometido a un baño térmico. Finalmente se romperá la simetría intrínsecade isospín.

Con todo, se construirán objetos que permitirán describir estas correcciones al conden-sado hasta órdenes O(p4).

Es importante destacar que no hemos encontrado ningún artículo que trate conjuntamen-te las correcciones al condensado de quarks debidas a efectos térmicos, de ruptura intrínsecay de ruptura debida a efectos electromagnéticos de carga; por lo que los distintos cálculosque se expondrán en adelante constituyen resultados originales.

4.1. Sector electromagnético de ChPT

El lagrangiano leading-order de ChPT puede escribirse de forma que permita el tra-tamiento de efectos de ruptura intrínseca, es decir mu 6= md; y efectos electromagnéticos.Considerando el cambio de notación v := F respecto a epígrafes anteriores, para dos saboresy a orden O(E2), toma la forma

Lp2 =F 2

4

(⟨

(DµUDµU †

⟩

+⟨

χ(U + U †)⟩)

− 1

4FµνFµν − λ

2(∂ · A)2 + C

⟨

QUQU †⟩

(26)

donde 〈〉 representa la traza en el espacio de sabor de SU(2) , χ = 2BM en el caso que nosocupa, con M la matriz de masa; Q = e

3 diag(2,−1) es la matriz de carga, Fµν es el tensorcampo electromagnético, C es la constante de acoplo de baja energía para la interacciónelectromagnética, y la derivada covariante Dµ = ∂µ − iQAµ + iAµQ contiene el acoplo conlos fotones 23. Obsérvese que el término C

⟨QUQU †

⟩se ha introducido respetando todas

las simetrías (Lorentz, C,P,T) excepto la de isospín, que queda rota considerando efectos decarga (si Q ∝ id, el término deviene en una constante que no afecta para nada).

La inclusión de fotones no transforma el contaje quiral habitual considerando el criteriológico 24 e ∼ O(p), presente en [13].

La interacción electromagnética induce una ruptura explícita de la simetría de isospín,es decir bajo el subgrupo quiral SUV (2), y las masas de los piones se corrigen, debido a ladistintas cargas de los quarks u y d, en la forma

M2π± −M2

π0 =Ce2

F 2+ O(mq) (27)

donde C ≃ (104.13 MeV) 4, si se tiene en cuenta que F ≃ Fπ = 92,4 MeV y la masa de lospiones: M2

π0 = 135 MeV y M2π± = 139,6 MeV, (ver [14]).

Para renormalizar los resultados del loop piónico necesitaremos el lagrangiano O(p4)de la teoría, que puede escribirse como suma de varias contribuciones

L(4) = Lp4 + Lp2e2 + Le4. (28)

23 λ2(∂ ·A) representa el término de gauge fixing. No será necesario tener más consideraciones ni con él ni con

el término puramente electromagnético FµνFµν ya que nuestros cálculos no involucran diagramas con fotones.Asimismo omitimos la presencia de términos Wess-Zumino-Witten puesto que no trataremos en modo algunoanomalías.

24Esta elección no es casual ya que resulta de comparar el valor de e con la escala típica de ChPT.

20


Las distintas contribuciones han sido estudiadas y pueden encontrarse en [13] ó [15].Dado que en nuestro trabajo supondremos, en primera aproximación, simetría de isospínintrínseca y estamos interesados en el cálculo del condensado, sólo consideraremos términosque involucren la masa quark mu = md := m a tree level

Lqqp4 =

l316

〈χ(U + U †)〉2 +1

4(h1 + h3)〈χ2〉 +

1

2(h1 − h3) det(χ),

Lqqp2e2 = F 2

(

k5〈χ(U + U †)〉〈Q2〉 + k6〈χ(U + U †)〉〈QUQU †〉 + k7〈χ(U † + U)Q

+ χ(U + U †)Q〉〈Q〉)

,

Lqqe4 = 0.

(29)

Como vemos, en Lp4 hay dos constantes de baja energía que pueden dar lugar a términosde contacto; sin embargo veremos que al final se pierde la contribución de h3 y sólo h1 formaparte del cálculo del condensado.

4.2. Funcional generador y condensado de quarks

El funcional generador necesario para el cálculo del condensado es

ZChPT(m) :=

∫

[dAµ][dU ] exp

i

∫

d4x(L(2) + L(4)

)

.

Procedamos ahora al cálculo del condensado de quarks. Veremos más adelante, sección5, que el tratamiento de los condensados individuales 〈uu〉 y 〈dd〉 presenta ciertas sutilezasque es preciso tener en consideración cuando se incluyen efectos electromagnéticos.

En efecto, cuando e = 0 y se asume simetría de isospín intrínseca (mu = md := m) amboscondensados son indistinguibles, pero esta situación cambia cuando se incluyen efectos elec-tromagnéticos puesto que el acoplo de uno y otro quark se ve condicionado por su distintacarga eléctrica, lo que hace que los condensados sean distintos aun en el caso de que tenganla misma masa. Por ello, y sin perder de vista el hecho de que buscamos un parámetrode orden para la restauración de la simetría quiral, en esta sección nos centraremos en elanálisis del objeto 〈qq〉 := 〈uu+ dd〉.

A partir del funcional generador se tiene entonces

−〈qq〉 = − 1

Z(m)

∫

[dq][dq][dAµ] qq exp

i

∫

d4xLQCD+γ

≃ 1

i

(∂

∂mu+

∂

∂md

)(1

βVlogZChPT(m)

)

.

Si consideramos, por compacidad en la extensión de las expresiones, sólo el cálculo enL(2) se llega a

−〈qq〉Lp2 =

1

ZChPT

∫

[dAµ][dU ]F 2B

2

(∂

∂mu+

∂

∂md

)

trM(U + U †)eiR

d4xL(2)

=F 2B

2

⟨

0

∣∣∣∣

(∂

∂mu+

∂

∂md

)

trM(U + U †)

∣∣∣∣0

⟩

.

21


Desarrollando la matriz U en función de los campos de los piones, es decir

U = 1 − i

F~π~τ − 1

2F 2~π~τ~π~τ + O(F−3),

el condensado puede escribirse como

−〈qq〉Lp2 = 2F 2B−B

∫

[d~π][dAµ]~π(x)~π(x)eiR

d4xL(2) = 2F 2B−B∑

i=−0+

⟨0∣∣πi(x)πi(x)

∣∣ 0⟩+O(F−2).

donde el primer y segundo término corresponden, respectivamente, a los diagramas 25 re-presentados en la figura 2.

Figura 2: Expansión perturbativa del condensado al orden más bajo en ChPT

Escribamos las funciones de Green correspondientes a los loops de piones neutro ycargado regularizadas dimensionalmente (ver [A]) , y teniendo en cuenta la invariancia bajotraslación

∆(0),(±)T=0 (0) :=

⟨0∣∣π0,±(0)π0,±(0)

∣∣ 0⟩

=

∫dDp

(2π)Diµ4−D

p2 −M2π0,± + iǫ

∣∣∣∣D=4

= 2M2π0,± λ+

M2π0,±

16π2log

M2π0,±

µ2

∣∣∣∣D=4

donde

λ :=1

32π2

(2

D − 4− log(4π) − 1 + γ

)

+ O(4 −D).

Resulta entonces

−〈qq〉Lp2 = 2F 2B −Bλ

(2M2

π0 + 2M2π±

)− BM2

π0

16π2log

M2π0

µ2− 2BM2

π±

16π2log

M2π±

µ2. (30)

Para absorber las divergencias que aparecen en el cálculo de los loops piónicos necesi-tamos los contratérminos de L(4) a tree level: basta expandir a primer orden la matriz decampos U y derivar respecto a m los términos adecuados en (29).

Tenemos entonces dos aportaciones: Lqqp4 y Lqq

e2p2 . Por un lado, para la parte no electro-magnética la contribución es

25Nótese que el diagrama que corresponde al loop, o de tipo tadpole, contiene los tres loops piónicos respetandola conservación de carga en el vértice, es decir

∑

i=−0+

〈0|πi(x)πi(x)|0〉 = 2π+π− + π0π0

.

22


4M2π0B (l3 + h1) = 6M2

π0Bλ+ 4M2π0B(lr3 + hr

1) (31)

para lo que se ha tenido en cuenta la descomposición 26 de las constantes de baja energíaen su partes divergente y finita efectuada en [13].

En cuanto a la contribución electromagnética, resulta

F 2Be2(

40

9(k5 + k6) +

8

9k7

)

= 4(M2π± −M2

π0)Bλ+ F 2Be2(

40

9(kr

5 + kr6) +

8

9kr7

)

donde se ha tenido en cuenta la descomposición de las LECs efectuado también en [13]

k5 =

(

−1

4− 1

5Z

)

λ+ kr5(µ)

k6 =

(1

4+ 2Z

)

λ+ kr6(µ)

k7 = kr7(µ)

con Z := C/F 4.Juntando todos los efectos podemos escribir el condensado a temperatura cero en función

únicamente de las masas de los piones y de las partes finitas de las constantes de baja energía,de origen fenomenológico

Hemos comprobado que el condensado no depende de la escala µ de energías sin más

que escribir las constantes renormalizadas como lri (µ) = Σi

32π2

(

li + logM2

π0

µ2

)

, donde Σi es el

coeficiente que acompaña a la parte divergente de la constante de baja energía. El carácterfinito e independiente de la escala del condensado con e 6= 0 supone un importante check

de consistencia en nuestro cálculo.Con todo, resulta a temperatura cero,

− 〈qq〉T=0 = 2F 2B

(

1 − M2π0

32π2F 2log

M2π0

µ2− 2M2

π±

32π2F 2log

M2π±

µ2+

2M2π0

F 2(lr3(µ) + hr

1(µ)) +

e2(

20

9(kr

5(µ) + kr6(µ)) +

4

9kr7(µ)

)

+ O(p4)

)

. (32)

26En efecto, es posible partir primero del lagrangiano en notación vectorial O(4) (ver, por ejemplo [16]) yrelacionar las constantes de acoplo correspondientes con las constantes derivadas del cálculo en el modelo deSU(2) a partir de los trabajos de Gasser y Leutwyler [4]. Se encuentra entonces una equivalencia entre las LECs delmodelo vectorial de dos sabores (que coinciden en notación con nuestras l3 y h1 para el modelo SU(2) con el quetrabajamos) y el de SU(3), para el cual se detalla la estructura de la parte divergente (denotadas por un superíndicediv) de las constantes de baja energía:

ldiv3 + hdiv

1 = 16Ldiv6 + 4Ldiv

8 + 2Hdiv2 .

Finalmente, a partir de esta relación puede comprobarse que la parte infinita de H2 es nula y se llega al resultadodeseado

l3 + h1 =3

2λ+ lr3 + hr

1.

23


Es posible calcular la contribución del acoplo electromagnético sin más que escribir

〈0|qq|0〉e 6=0 = 〈0|qq|0〉e=0(1 + Ω

)

donde

Ω =

2M2π0

32π2F 2 logM2

π0

µ2 − 2M2π±

32π2F 2 logM2

π±

µ2 + 209 e

2 [kr5(µ) + kr

6(µ)] + 49e

2kr7(µ) + O(p4)

1 +

[

− 3M2π0

32π2F 2 logM2

π0

µ2 +2M2

π0

F 2

(lr3(µ) + hr

1(µ) + O(p4))] .

Sin embargo respecto al desarrollo en potencias inversas de Λχ ∼ 4πF , el término entrecorchetes del denominador contribuye según el contaje quiral a orden más alto que 1, porlo que, habida cuenta de que al orden considerado F = Fπ (1 + O(m)), podemos escribir

〈0|qq|0〉e 6=0

〈0|qq|0〉e=0=

(

1 +2M2

π0

32π2F 2π

logM2

π0

µ2− 2M2

π±

32π2F 2π

logM2

π±

µ2+ Kr(µ) + O

(p4))

, (33)

con Kr(µ) := 209 e

2 [kr5(µ) + kr

6(µ)] + 49e

2kr7(µ).

Este resultado, como vemos, no depende de términos de contacto y constituye un ge-nuino observable, a diferencia de cada uno de los condensados, que tienen dependenciaen hr

1. Quedan por determinar, no obstante, las constantes fenomenológicas renormalizadasprocedentes de la parte electromagnética. En [17] se detalla su valor en una cierta escala,pero se deja en función de Kr

9 del modelo SU(3) de tres sabores. Pese a que hay trabajos ([18] ) que calculan las contribuciones de resonancia a los valores de las Kr

i , al parecer hayciertos problemas con el caso particular de Kr

9 . En nuestro análisis, consideraremos válidala hipótesis ( [13] ) de que todas cumplen, en la escala µ = Mρ = 770 MeV,

|kri | .

1

16π2∼ 10−3

por lo que es posible establecer una cota máxima para el efecto de ruptura de isospín sobreel condensado a temperatura cero debido al acoplo electromagnético. Teniendo en cuentaque Fπ ≃ 92,4 MeV, obtenemos

∣∣∣∣

〈0|qq|0〉e 6=0

〈0|qq|0〉e=0

∣∣∣∣. 1,0051 (34)

es decir, como máximo un 0,51% mayor que respecto al condensado sin considerar efectoselectromagnéticos de carga, lo que parece indicar que las correcciones son muy pequeñas.En términos absolutos, suponen un resultado de aproximadamente (0,41 MeV)3, siempre ycuando admitamos (240 MeV)3 como valor típico para el condensado e = 0. Los valorespara el error obtenidos a través de procesos experimentales y en lattice para el cálculo delcondensado (ver [19], [20] y [21]) son del orden de (20 MeV)3, por lo que los efectos debidos alacoplo son despreciables. De hecho, en [21] ya se despreciaban efectos de ruptura de isospín.

Además, si comparamos las correcciones puramente electromagnéticas procedentes deltérmino K(µ) con la suma total de términos que involucran masas de piones en (33), adver-timos que son prácticamente del mismo tamaño así que, aunque numéricamente pequeñas,

24


las contribuciones al condensado debidas a ruptura de isospín a través de interacción elec-tromagnética son conceptualmente importantes.

Este hecho ha motivado nuestro interés en buscar una relación que permita obtenerinformación numérica acerca de las constantes de baja energía electromagnéticas que llevea mejorar la precisión de la aproximación de valores naturales. En efecto, admitiendo quelos efectos electromagnéticos aumenten el valor del condensado (puesto que la interacciónreviste de masa a los piones cargados y, por tanto, el parámetro de orden asociado a laruptura explícita de la simetría quiral debe de ser mayor) es posible establecer una cota paralas constantes de baja energías electromagnéticas. Este comportamiento creciente en valorabsoluto para el condensado cuando Mπ 6= 0 respecto de Mπ = 0 ha sido ya previsto en [19].Si admitimos este razonamiento, ha de ser

2M2π0

32π2F 2π

logM2

π0

µ2− 2M2

π±

32π2F 2π

logM2

π±

µ2+ Kr(µ) + O

(p4)> 0

o, equivalentemente,

5(kr5 + kr

6) + kr7 >

9

64e2π2F 2π

(

M2π± log

M2π±

µ2−M2

π0 logM2

π0

µ2

)

≃ −0,0563

en la escala µ = Mρ = 770 MeV. Este resultado mejora la estimación de considerar todaslas kr

i (µ) iguales y tomando valores naturales, como puede verse sin más que sustituir estosvalores en la desigualdad y comprobando que dan lugar a una condición más restrictiva.

Pese a que sólo podemos dar una cota para la influencia de los efectos de ruptura deisospín a través de acoplo electromagnético, y debido a que su valor numérico es pequeñoen relación con las demás cantidades involucradas, en adelante consideraremos el máximovalor para la cantidad Kr(µ) donde fuere necesario, a efectos numéricos.

4.3. Correcciones térmicas al condensado

Si el gas de piones se encuentra sometido a un baño térmico el cálculo del condensadoa un loop toma casi la misma forma que en el caso de temperatura nula. La única parte quese modifica es

−⟨β∣∣qq∣∣β⟩

= 2F 2B −B∑

i=−0+

⟨β∣∣πi(x)πi(x)

∣∣ β⟩

(35)

donde, esta vez, los propagadores piónicos son propagadores de Matsubara y se escribirán(ver [1])

∆(0),(±)(0) =

∫d3~k

(2π)3T

∞∑

n=−∞

1

ω2n + ~k2 +M2

π0,±

:=

∫∑

∆(iωn, ~k,Mπ0,±) (36)

(37)

con β := T−1, y ωn := 2nπβ las frecuencias de Matsubara. Un resumen del formalismo de

tiempo imaginario puede verse en [B].El propagador completo puede escribirse como suma del propagador a temperatura cero

más una contribución térmica no divergente. Esto significa que no hay que acometer una

25


nueva renormalización considerando el baño térmico puesto que ya hemos renormalizadoel loop (ver figura 2) a temperatura cero. Resulta entonces que

∫∑

∆(iωn, ~k,Mπ(α)) = ∆(α)T=0(0) + g1(T,Mπα), α ∈ 0,± (38)

con 27

g1(T,Mπα) :=

∫d3~k

(2π)31

ω(α)k

1

eβω(α)k − 1

. (39)

El condensado de quarks a un loop para un gas de piones en un baño térmico a tempe-ratura T considerando efectos electromagnéticos de carga es, pues,

−⟨β∣∣qq∣∣β⟩

= 2F 2B

1− M2π0

32π2F 2log

M2π0

µ2− 2M2

π±

32π2F 2log

M2π±

µ2+

2M2π0

F 2

[lr3(µ)+hr

1(µ)]+Kr(µ)

− 1

F 2

(1

2g1(T, π

0) + g1(T, π±)

)

+ O(p4)

. (40)

4.3.1. Amplificación de los efectos de ruptura de isospín sobre el condensado

Como aplicación, evaluemos la importancia de la inclusión de efectos electromagnéticos

en ChPT térmica a una temperatura dada. Para ello escribamos

D

β∣∣qq∣∣β

Ee6=0

D

β∣∣qq∣∣β

Ee=0 = 1 + Ω, donde

Ω =

Kr(µ)+ 232π2F 2

(

M2π0 log

M2π0

µ2 −M2π± log

M2π0

µ2

)

− 1F 2

(g1(T, π

±) − g1(T, π0))

+ O(p4)

1− 332π2F 2M

2π0 log

M2π0

µ2 +2M2

π0

F 2 (lr3 + hr1) − 3

2F 2 g1(T, π0) + O (p4).

(41)Es posible utilizar el mismo argumento que al derivar (33), es decir, al orden deseado

pueden despreciarse los términos que acompañan a la unidad en el denominador. Sin em-bargo hay que tener cuidado puesto que ahora la parte térmica puede ser lo suficientementegrande como para tirar por tierra nuestro cálculo. Sería más realista, por tanto, mantener eldenominador para los cálculos; sin embargo esto conduce a la dificultad de no tener datosnuméricos para el término de contacto hr

1. Para evitar este brete seremos cautos y limitare-mos nuestros resultados a la región térmica situada lejos de la temperatura crítica. En esecaso

⟨β∣∣qq∣∣β⟩e 6=0

=⟨β∣∣qq∣∣β⟩e=0

(

1+Kr(µ)+2

32π2F 2π

(

M2π0 log

M2π0

µ2−M2

π± logM2

π0

µ2

)

−1

F 2π

(

g1(T, π±)

− g1(T, π0)

)

+ O(p4)

)

. (42)

27Adoptamos la notación usada en [22] y [23].

26


A la vista de (42) podemos afirmar que la diferencia entre el condensado a temperatura finitaincluyendo correcciones por efectos electromagnéticos de carga y el condensado a la mismatemperatura con e = 0 varía de forma creciente con T , para temperaturas suficientementebajas (hasta unos 100 MeV).

En efecto ésto puede verse considerando la gráfica de (42) en la figura 3, donde esimportante darse cuenta de que la teoría, a este orden, sólo aporta resultados válidos 28

hasta energías térmicas similares a la constante de desintegración del pión Fπ .

Figura 3:⟨β∣∣qq∣∣β⟩e 6=0

/⟨β∣∣qq∣∣β⟩e=0

En este régimen, esta amplificación puede demostrarse sin más que evaluar el compor-tamiento térmico de la diferencia entre los propagadores cargado y neutro que contribuyena (42). En efecto, dado que la única diferencia entre ambos es la masa con la que se revis-ten dos de los piones del triplete vía interacción electromagnética, y ésta es muy pequeñacomparada con la masa del pión neutro; puede escribirse

g1(T, π0) − g1(T, π

±) ≃ ∂g1∂Mπ0

(Mπ0 , T ) δ (M) , (43)

con δ(M) := Mπ0 −Mπ± < 0.La derivada de g1(Mπ0) respecto a la masa ha sido calculada en [23], y se corresponde

con la función −g2(Mπ0 , T ), definida en el mismo artículo. Dado que se demuestra que g2es creciente en todo el dominio de temperaturas reales, el miembro izquierdo de (43) espositivo y la temperatura amplifica el cociente (42).

Para estimar⟨β∣∣qq∣∣β⟩e 6=0

/⟨β∣∣qq∣∣β⟩e=0 en un entorno de la temperatura crítica es posible

dividir numerador y denominador, de forma separada, por alguna cantidad independiente dela temperatura (por ejemplo, con

⟨0∣∣qq∣∣0⟩e=0). El que involucra e = 0 se anulará antes a una

cierta temperatura, y se podrá entonces estimar el valor del otro respecto al condensado dereferencia para esa misma temperatura dando una idea de la diferencia entre consideraro no efectos electromagnéticos. El valor numérico arroja una resultado de 0,0035 veces

28Nótese que, de otro modo, la curva debería tener una divergencia en la temperatura crítica de restauración,ya que los efectos electromagnéticos hacen que esta restauración se produzca a una temperatura mayor que enel caso e = 0.

27


〈0|qq|0〉e=0, es decir, admitiendo un valor aproximado de (−240 MeV)3 para éste último;obtenemos una diferencia de (36,44 MeV)3.

Aunque este último resultado ha sido obtenido usando teoría de perturbaciones quiral aun loop y, por tanto, no es extrapolable a zonas de temperatura de más allá de unos 100 MeV,todo parece indicar que, pese a tener una influencia despreciable a T = 0, las correccioneselectromagnéticas en el rango cercano a la temperatura crítica son importantes en el valordel condensado, aunque como vamos a ver, no es así para la temperatura crítica.

4.3.2. Evolución térmica del condensado e 6= 0

Calculemos ahora la importancia de los efectos térmicos sobre el condensado asumiendoe 6= 0. En ese caso no encontramos problemas ya que

⟨0∣∣qq∣∣0⟩e 6=0 no tiene dependencia en

la temperatura y es posible usar el argumento de desechar las contribuciones distintas de launidad en el denominador. Obtenemos entonces

⟨β∣∣qq∣∣β⟩e 6=0

=⟨0∣∣qq∣∣0⟩e 6=0

(

1 − 1

F 2π

(1

2g1(T, π

0) + g1(T, π±)

)

+ O(p4)

)

. (44)

El comportamiento de (44) con la temperatura viene representado en la figura 4. Comopuede verse, el condensado se anula para una temperatura de alrededor de 317,17 MeV.

Figura 4: 〈β|qq|β〉e6=0

〈0|qq|0〉e6=0

Podrían compararse los efectos térmicos en el caso e = 0 y e 6= 0 hasta una temperaturade 100 MeV (temperatura aproximada a la que, según hemos dicho, podemos llegar en elmarco de la teoría de perturbaciones quiral al orden trabajado). Sin embargo la diferenciaentre ambas curvas es lo suficientemente pequeña como para no proporcionar ninguna in-formación adicional. Como era de esperar la temperatura crítica de restauración es mayoren el caso e 6= 0 debido al revestimiento de masa de los piones vía interacción electromag-nética.

Se espera que esta diferencia en las temperaturas críticas para uno y otro caso sea delmismo orden que las correcciones puramente electromagnéticas sobre el condensado cercade la temperatura crítica. A la vista de los resultados expuestos en la sección 4.3.1 deberíamos

28

5 EFECTOS DE RUPTURA DE ISOSPÍN INTRÍNSECA SOBRE EL CONDENSADO

encontrar una diferencia entre las temperaturas críticas de alrededor del 0.35 % respectode la temperatura crítica calculada, es decir, de aproximadamente 1 MeV. La diferenciaobservada es ≃ 1 MeV, lo que parece corroborar nuestras ideas.

En el límite quiral (m = 0), el pión neutro tiene masa nula y los piones cargados adquierenuna masa M2

π± = Ce2

F 2 ≃ (4,6 MeV)2, por lo que el objeto (44) se convierte en

⟨β∣∣qq∣∣β⟩e 6=0

ch.lim =⟨0∣∣qq∣∣0⟩e 6=0

ch.lim

(

1− 1

2F 2π

∫d3~k

(2π3)

1

|~k|1

e|k|β − 1− 1

F 2π

∫d3~k

(2π)3

(

~k2 +Ce2

F 2π

)−1/2

×

(

exp

(

β

√

~k2 + Ce2/F 2π

)

− 1

)−1

+ O(p4)

)

=

(

1 − 1

24

T 2

F 2π

− 1

F 2π

g1(T,∆M) + O(p4))

,

(45)

con ∆M := Mπ± −Mπ0 . La temperatura crítica es, en este caso, de 262,72 MeV.Una forma elegante de obtener una expresión fácilmente resoluble para calcular la tem-

peratura crítica puede conseguirse teniendo en cuenta que los efectos electromagnéticos sonmuy pequeños. En efecto supongamos la razonable hipótesis de que la función g1(T,∆M)contribuye de la misma forma que g1(T, 0); es decir, podemos aproximar (45) por su análogoen el límite e = 0. Resulta entonces la sencilla expresión

⟨β∣∣qq∣∣β⟩e=0

ch.lim =⟨0∣∣qq∣∣0⟩e=0

ch.lim

(

1 − 1

8

(T

Fπ

)2

+ O(p4))

, (46)

que proporciona una temperatura crítica de 261,35 MeV. Como cabía esperar esta tempera-tura es menor que en el caso en que los piones tienen masa no nula, y aún en el caso desuponer límite quiral conservando el acoplo electromagnético; debido a que el condensadomarca precisamente las rupturas espontánea, en mayor medida, y explícita de la simetríaquiral (en concreto la ruptura explícita de SUA(2), por diferenciar de la ruptura explícita desimetría vectorial en el caso electromagnético).

5. Efectos de ruptura de isospín intrínseca sobre elcondensado

El objetivo de esta sección es el cálculo de los condensados 〈uu〉 y 〈dd〉 por separado,con el fin de construir el objeto 〈uu − dd〉 y estimar su evolución térmica, así como lascorrecciones que los efectos electromagnéticos de carga producen sobre él.

Asumiendo simetría de isospín intrínseca uno estaría tentado de hacer valer la siguienteregla:

〈uu〉 = 〈dd〉 =1

2〈qq〉, (47)

y no estaríamos equivocados si nuestro cálculo no involucrara efectos electromagnéticos.En efecto, si e = 0, (47) es correcta, pero si e 6= 0 los quarks u y d, aun teniendo la mismamasa, dan lugar a condensados distintos debido a que se acoplan al campo electromagnéticode forma distinta a tenor de sus distintas cargas. Analizando (29) y considerando que, como

29

6 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE TRABAJO

veremos a continuación, no hay aportaciones procedentes del loop; advertimos que la únicaconstante de acoplo que da cuenta de esta diferencia es k7 por lo que un objeto de la forma〈uu − dd〉mu=md

ha de tener dependencia sólo en k7. Si se rompe la simetría de isospínintrínseca (mu 6= md) también se espera que colabore h3.

5.1. 〈uu〉 y 〈dd〉A partir de (26) es posible deducir que la parte que contiene masas de quarks del lagran-

giano Lp2 y que, por tanto, contribuye a un condensado de quarks determinado, tiene unadependencia proporcional a (mu +md) por lo que la parte asociada al loop es la misma paralos condensados u y d e igual a

−〈qiqi〉Lp2 = F 2B

(

1 − 1

2F 2

∑

i=−0+

⟨β∣∣πi(x)πi(x)

∣∣ β⟩

)

+ O(F−2). (48)

A partir de ahora todo el trabajo consiste en desarrollar apropiadamente los términos en(29) teniendo en cuenta que la ruptura intrínseca no involucra contribuciones al condensadoprocedentes de nuevos términos con presencia de masa (ver [13]) .

Finalmente recuperamos el valor (40) para −〈β| uu + dd |β 〉, mientras que para la dife-rencia obtenemos

〈β| uu− dd |β 〉 = 4B2(md −mu)h3 −8

3F 2Be2k7. (49)

Ahora bien, puede demostrarse [13], que ni k7 ni h3 tienen componente divergente, luego(49) puede reescribirse en la forma

〈β| uu− dd |β 〉 = 4B2(md −mu)hr3 −

8

3F 2Be2kr

7 (50)

Este es un resultado interesante por dos motivos: por un lado, y a este orden, no de-pende de la temperatura y, por otro, expresa perfectamente la dependencia esperada enlas constantes fenomenológicas kr

7 y hr3, así como el hecho de que, incluso con mu = md,

los condensados se diferencien debido a la inclusión de efectos de carga electromagnéticahaciendo de kr

7 un verdadero parámetro de orden para la ruptura explícita de SUV (2).Ha de advertirse que nuestro resultado discrepa en un signo para el sumando con kr

7

respecto del trabajo de Knecht y Urech en [13]. Esta diferencia nos ha sido confirmada porlos autores recientemente, ratificando nuestro cálculo.

6. Conclusiones y futuras líneas de trabajo

Los apartados marcados con ∗ corresponden a contribuciones que no se han encontradoen la bibliografía conocida y son, por ello, susceptibles de ser consideradas como originales.

i* El cálculo de las correcciones térmicas y electromagnéticas al condensado de quarks hastaorden O(p4), asumiendo simetría intrínseca de isospín, muestra que el cociente entreel condensado e 6= 0 y e = 0 se ve amplificado por la temperatura en el rango en quetiene sentido usar la teoría de perturbaciones quiral al orden dado (aproximadamente

30


hasta unos 100 MeV). No obstante, sus efectos numéricos son muy pequeños (de hastaun 0.6 % cerca de los 100 MeV).

Además hemos mostrado que el tamaño de estas correcciones es mucho menor quelos errores estimados a partir de datos experimentales y del retículo, lo cual es útil paraconfirmar que es razonable ignorar este tipo de correcciones en esos trabajos.

ii* Pese a tratarse de una extrapolación, se comprueba que las diferencias (en torno a 1 MeV,0,32% respecto de la Tc calculada) entre las temperaturas críticas de restauración de lasimetría quiral obtenidas sin considerar acoplo electromagnético y con e 6= 0 son delorden de las correcciones al condensado debidas a efectos puramente electromagnéti-cos a temperaturas próximas a Tc, que representan un 0,35% respecto de 〈0|qq|0〉e=0. Aestas temperaturas, no obstante, la diferencia absoluta entre ambos condensados puedehacerse significativamente grande (de unos (36 MeV)3) dando a entender que las co-rrecciones por ruptura de isospín debidos a efectos de carga son importantes cerca dela temperatura crítica.

iii* Como comentario general, es posible ver que en ninguno de los objetos que hemosconstruido en las secciones 4.3.1 y 4.3.2 hay términos de contacto, por lo que la am-bigüedad del condensado desaparece en éstos y constituyen verdaderos observablesfísicos, aunque su implementación experimental parece cuando menos discutible y po-dría columbrarse como una línea de trabajo en el futuro.

iv* Un resultado importante a la hora de incluir ruptura de simetría intrínseca es que loscondensados para los quarks u y d no se distinguen por efectos térmicos, es decir,las correcciones debidas a temperatura para ambos condensados son las mismas. Estecomportamiento provoca que objetos como 〈uu− dd〉 sean, a este orden, independientesde la temperatura.

v* Es importante destacar que no hemos encontrado ninguna referencia al cálculo explícitodel condensado de quarks tras la inclusión de efectos electromagnéticos en la teoríani a su posterior tratamiento termodinámico, por lo que nuestro trabajo podría aportaralgo nuevo a la bibliografía existente.

vi* A partir de argumentos basados en la ruptura de la simetría quiral para el gas de pionesa T = 0, hemos encontrado una cota para una combinación lineal de las constantesde baja energía electromagnéticas kr

5 , kr6 y kr

7 que afina la aproximación de valoresnaturales.

vii Hemos comprobado que, incluyendo efectos electromagnéticos de carga en la teoría yaun suponiendo simetría de isospín intrínseca, la diferencia entre los condensados paralos quarks u y d es proporcional a kr

7 ; por lo que esta constante constituye un verdaderoparámetro de orden para la ruptura explícita de SUV (2). Si rompemos la simetríaintrínseca de isospín aparece una nueva contribución que involucra la constante h3,procedente de un término de contacto de Lp4 .

viii Aunque con nuestro cálculo no somos capaces de acercarnos a la temperatura críti-ca de restauración generalmente aceptada y predicha por lattice QCD (alrededor de150-200 MeV), tampoco nos mueve a sorpresa puesto que hemos calculado al ordenmás bajo y nuestros cálculos son solo válidos, stricto sensu, hasta temperaturas del

31


orden de 90 MeV ∼ Fπ . Cálculos más precisos en ChPT ([23]) y otros formalimos re-lacionados ([24]), muestran que es posible acercarse hasta una temperatura crítica deaproximadamente 200 MeV.

Asimismo, hay que destacar que los cálculos en ChPT no implican la existencia deuna transición de fase quiral, puesto que en ese caso el condensado de quarks deberíapermanecer en el valor 0 para temperaturas allende Tc.

Los resultados encontrados en este trabajo para el comportamiento de los efectos deruptura de isospín con la temperatura, aunque numéricamente pequeños en el caso delcondensado, pueden ser de interés para el análisis de otros observables en el contexto decolisión de iones pesados. Esperamos, de hecho, que haya correcciones más importantescuando realmente intervengan fotones virtuales: condensado de quarks al siguiente ordenO(p6), scattering de piones, masas térmicas, etc. que constituyen posibles líneas de trabajoen el futuro.

Asimismo planeamos la extensión del cálculo de correcciones electromagnéticas y térmi-cas al condensado en el marco de teoría de perturbaciones quiral con tres sabores, evaluandola forma que toman algunas reglas de suma (estudiando, en especial, la influencia de la ex-trañeza sobre los condensados de los quarks u y d), así como la relación entre las masas delos piones y correladores de QCD a temperatura finita (análogo a la relación GOR).

32

A ESQUEMA DE REGULARIZACIÓN DIMENSIONAL

A. Esquema de regularización dimensional

Con el fin de aislar infinitos en las integrales divergentes que se derivan del cálculo delos loops se introducen los llamados métodos de regularización. En nuestro trabajo usamosel esquema de regularización dimensional ya que, a diferencia de otros esquemas, mantienesin ningún problema las simetrías de la teoría. Consideremos la integral

I =

∫d4k

(2π)4i

k2 −M2 + iǫ,

que, como se observará, aparece en el cálculo del propagador a temperatura cero para lospiones.

El procedimiento es tomar el número de dimensiones D como un continuo y hacer queI = I(D). Es menester, pues, considerar

ID(M2, µ2) = µ4−n

∫dDk

(2π)Di

k2 −M2 + i0+

donde, por conveniencia, hemos introducido la escala de renormalización µ con el fin de quela integral tenga la misma dimensión para un número D arbitrario. Nótese que esta integralsólo es convergente para D<2.

Tras una rotación de Wick resulta

ID(M2, µ2) = µ4−n πD2

Γ(

D2

)1

(2π)D

∫ ∞

0dl

lD−1

l2 +M2.

Teniendo en cuenta propiedades de la función B de Euler y mediante cambios de variableapropiados (ver [25] para un análisis estricto) llegamos a que

ID(M2, µ2) =µ4−D

(4π)D2

(M2)D2−1 Γ

(

1 − D

2

)

.

Obśervese que la divergencia original no se ha perdido puesto que para D = 4 la función Γtiene un polo. Usando el hecho de que Γ(z + 1) = zΓ(z) podemos reescribir

Γ

(

1 − D

2

)

=Γ(1 + α

2

)

(−1)(1 − α

2

)α2

con α := 4−D.Recordando que ax = exp(log(a)x) = 1 + log(a)x + O(x2) podemos expandir la integral

para α≪ 1, resultando

I(M2, µ2,D

)=

M2

16π2

[

1 +α

2log

(4πµ2

M2

)

+ O(α2)

](

− 2

α

)[

1 +α

2+ O(α2)

]

×[

Γ(1) +α

2Γ′(1) + O(α2)

]

.

Finalmente obtenemos

I(M2, µ2,D

)=

M2

16π2

(

− 2

α− Γ′(1) − 1 − log(4π) + log

(M2

µ2

)

+ O(α)

)

,

33

B FORMALISMO DE TIEMPO IMAGINARIO (ITF) Y PROPAGADOR DE MATSUBARA PARA EL CAMPO ESCALARLIBRE

donde −Γ′(1) es la constante de Euler-Masccheroni, aproximadamente igual a 0,5772 . . . Esdecir, expresando α en términos de D resulta

I(M2, µ2,D

)=

M2

16π2

(2

D − 4−[log(4π) + Γ′(1) + 1

]+ log

(M2

µ2

))

+ O(4 −D),

que tiene ya separada la parte divergente (en D=4) del resto de las contribuciones, todasfinitas.

B. Formalismo de tiempo imaginario (ITF) y propaga-dor de Matsubara para el campo escalar libre

A continuación se exponen los pasos básicos para introducir temperatura finita en unateoría cuántica de campos cuyos grados de libertad sean partículas escalares. No pretendeser una lección rigurosa, para ello no hay más que consultar [1], sino un recetario con elque entender la estructura de cálculo de las correcciones térmicas al condensado.

El lagrangiano de un campo escalar real φ viene dado por

L =1

2(∂φ)2 − 1

2m2φ2 − V (φ),

donde m es la masa de la partícula y V (φ) es el potencial de interacción. La acción deMinkowski será, entonces,

SM (φ) =

∫

d4xL(φ)

con lo que

Z =

∫

[dφ]eiSM .

Para introducir la temperatura hacemos el cambio t→ −iτ e integramos en el intervalo[0, β] con β = T−1. Se obtiene entonces

Z(β) =

∫

[dφ]e−SE

donde se ha definido la acción euclídea SE como

SE :=

∫ β

0dτ

∫

d3x

(1

2

((∂τφ)2 + (∇φ)2 +m2φ2 + 2V (φ)

))

.

Para el campo libre la función generatriz es

ZF (β, j) =

∫

[dφ] exp

(

−SE(V = 0) +

∫ β

0dτ

∫

d3xj(x)φ(x)

)

.

de donde puede obtenerse el propagador a temperatura finita

∆F (x− y) := 〈β|φ(x)φ(y)|β〉 =1

ZF (β)

δ2ZF (β, j)

δj(x) δj(y)

∣∣∣∣j=0

.

34


Puede demostrarse que el propagador verifica la ecuación

(−∂2

µ +m2)∆F (x− y) = δ4(x− y),

con condiciones de contorno periódicas (o de KMS 29): ∆F (τ − β) = ∆F (τ). Para resolverlapodemos pasar al espacio de Fourier utilizando la descomposición

∆F (x) = ∆F (τ, ~x) =

∫d3k

(2π)3ei

~k~x T∑

n∈Z

e−iωnτ∆F (iωn, ~k),

con ωn := 2πnβ las denominadas frecuencias de Matsubara, y

∆F (iωn, ~k) =

∫ β

0dτeiωnτ

∫

d3xe−i~k~x ∆F (τ, ~x).

La solución de la ecuación proporciona el llamado propagador de Matsubara para elcampo escalar libre y puede consultarse en [1]. En efecto la ecuación en el espacio deFourier toma la forma(ω2

n + ω2k)∆F (iωn, ~k) = 1, así que la solución tiene la forma

∆F (iωn, ~k) =1

ω2n + ω2

k

(51)

donde ωk := Ek =√~k2 +m2.

Una representación útil del propagador es la llamada representación mixta dada por

∆(τ,~k) = T∑

n

e−iωnτ∆F (iωn, ~k) =1

2ωk

((1 + nB(ωk))e

−ωkτ + nB(ωk)eωkτ)

donde nB(ω) := 1eβω−1

es la función de Bose.Así, las reglas de Feynman en tiempo imaginario son equivalentes a sustituir el propa-

gador libre por el propagador de Matsubara (51), que lleva incorporada la dependencia enla temperatura vía las frecuencias ωn, e integrar sobre las líneas internas de los diagramasconexos con la medida T

∑

n∈Z

∫d3k

(2π)3para cada loop, con los mismos vértices y factores de

simetría que en el caso T = 0.

B.1. Suma sobre frecuencias

Calculemos∫∑

∆(iωn, ~k,Mπ0,±). Como hemos visto, ésto se reduce a evaluar la sumapresente en

∆(0),(±)(0) =

∫d3~k

(2π)3T

∞∑

n=−∞

1

ω2n + ~k2 +M2

π0,±

.

Para ello consideremos que, para una función g(z) = β2 cotanh

(βz2

)

con polos simples

en los puntos z0 = iωn cuyo residuos sean todos iguales a 1, una función f(z) meromorfa

29Kubo-Martin-Schwinger.

35


sin polos en el eje imaginario y un recinto como el de la figura 5(a), es válida la siguienteexpresión

1

2πiβ

∫

γdz f(z)

β

2cotanh

(βz

2

)

=1

β

∞∑

n=−∞

f(z = iωn),

que no es difícil de probar utilizando el teorema de los residuos. Nótese que hubiéramospodido utilizar como g(z) cualquier función con polos simples de residuo 1 en los puntosiωn. El circuito de la figura 5(a) es homólogo al de la figura 5(b), en el sentido de que propor-

(a) (b) (c)

Figura 5: Contornos de integración utilizados para evaluar la suma sobre frecuencias

ciona el mismo valor para la integral sobre el plano complejo. De este modo, reagrupandoapropiadamente las exponenciales de la cotangente hiperbólica podemos escribir

1

β

∞∑

n=−∞

f(z = iωn) =1

2πi

(∫ i∞−ǫ

−i∞−ǫdz f(z) +

∫ i∞+ǫ

−i∞+ǫdz 2f(z)nB(z)

)

.

Teniendo en cuenta que en nuestro caso hemos de hacer f(z) =(ω2

k − z2)−1, con ω2

k =~k2 + M2; vemos cómo se han separado las contribuciones del vacío (propagador a T = 0,correspondiente a la primera integral y que no es sino el propagador libre para bosonesescalares) y de temperatura finita (que implementa la temperatura a través de la función deBose y se anula para T → 0, ó β → ∞).

Teniendo en cuenta que |f(z)g(z)| → 0 cuando |z| → ∞, es posible demostrar que lasintegrales sobre Γ1 y Γ2 correspondientes a las semicircunferencias de la figura 5(c) seanulan, de modo que sólo hemos de considerar los contornos cerrados C1 y C2, que encierransendos polos de la función f(z).

Tenemos entonces, para f(z)g(z)

∫

γ=

∫ i∞+ǫ

−i∞+ǫ+

∫ i∞−ǫ

−i∞−ǫ= −

∮

C2

−∫

Γ1︸︷︷︸

0

−

∮

C2

−∫

Γ2︸︷︷︸

0

= −(∮

C1

+

∮

C2

)

.

36


Puede demostrarse (ver [26]) que la parte del propagador correspondiente a T > 0 toma laforma

g1(T, ωk) =

∫d3k

(2π)31

ωknB(ωk)

que es precisamente el resultado que mostramos en la sección de correcciones térmicas alcondensado. Una deducción más sencilla podría haberse obtenido a partir de las represen-taciones del propagador. En efecto, como ∆(τ,~k) = 1

2ωk

((1+nB(ωk))e

−ωkτ +nB(ωk)eωkτ)

setiene

∆(0),(±)(0) = T∞∑

−∞

∫d3k

(2π)3

∫ β

0dτeiωnτ∆(τ,~k) =

∫d3k

(2π)3

∫ β

0dτδ(τ)∆(τ,~k) =

∫d3k

(2π)31

2ωk×

(

1 + 2nB(ωk)

)

que arroja los mismos resultados, pero haciéndose ahora más evidente la descomposiciónen una parte correspondiente a T = 0 (la del sumando con 1) y otra de T > 0 (la que va con2nB).

37

Referencias

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