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Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Rubrica 2. Problemas de la Estimación de ParámetrosTrabajo Realizar los siguientes ejercicios:
1. Una muestra de cinco medidas del diámetro de una esfera se registraron como
6.33, 6.37, 6.36, 6.32 y 6.37 pulgadas. Determinar los valores estimados de μ y
σ 2.
2. La media y la desviación estándar para los promedios de puntuación de una
muestra aleatoria de 36 estudiantes de los últimos semestres de una carrera
profesional son 8 .6 y 1, respectivamente. Obtenga los intervalos de confianza de
95% y 99% de la media de todo el grupo de estudiantes.
3. Se va a vender un nuevo cereal para desayuno, como prueba de mercado
durante un mes en las tiendas de una cadena de autoservicio. Si se desea
estimar la suma promedio de ventas con aproximación de ± $100 con 99% de
confianza y se supone que la desviación estándar es de $200. ¿Qué tamaño de
muestra se necesita, suponiendo que las ventas se distribuyen normalmente?
4. En un experimento de laboratorio, 50 estudiantes de ingeniería midieron por
separado el calor específico del aluminio, obteniendo una media de 0.221 calorías
por grado centígrado y por gramo y una desviación estándar de 0.024. ¿Qué
podremos asegurar con una probabilidad de 0.95 con respecto a la posible
magnitud de error, si la media de la muestra se utiliza para estimar el verdadero
calor específico del aluminio?
5. En una muestra aleatoria de 85 soportes para el cigüeñal de un motor de
automóvil, 10 tienen un terminado que es más rugoso de lo que las
especificaciones permiten. Por consiguiente, una estimación puntual la proporción
de soportes en la población que exceden la especificación de rugosidad es
p̂=x /n = 10/85 = 0.12. Calcule un intervalo de confianza del 95% para “p”.
¿Cuán grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza de 95% de
que el error al utilizar p̂ como estimación de “p” sea menor que 0.05?
6. En una muestra aleatoria de 500 familias propietarias de aparatos de televisión en
cierta ciudad, se halló que 340 se suscribieron a HBO. Obtenga un intervalo de
confianza de 95% para estimar la proporción real de familias en la ciudad que se
suscribieron a HBO.
7. De un lote determinado se tomó una muestra aleatoria de 1000 artículos y se
hallaron 12 artículos defectuosos. Obtenga un intervalo de confianza de 99% para
la proporción de artículos defectuosos en el lote.
8. El contralor de una cadena de tiendas de departamentos quiere determinar la
cantidad promedio que gastan todas las personas con tarjeta de crédito en éstas
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
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tiendas. Seleccionó una muestra aleatoria de 25 tarjetahabientes que dio como
resultado una media de $750 con una desviación estándar de la muestra de $200.
Él quiere tener una seguridad del 95% de que un intervalo obtenido incluye el
promedio real de la población. Se supone que el gasto con tarjeta de crédito se
distribuye aproximadamente en forma normal.
9. El contenido de 7 contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4,
9.8, 10.0, 10.2 y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la
media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente
normal.
10. Se toma una muestra aleatoria de 12 pernos en un estudio de la dureza de la
cabeza de un tipo de perno. Se realizaron mediciones de tal dureza en cada uno
de los 12 pernos, lo que dio un valor promedio de 48.5, con una desviación
estándar de 1.5. Suponiendo que las mediciones se distribuyen en forma
aproximadamente normal, determine un intervalo de confianza de 90% para la
dureza media de la cabeza del perno.
11. 35 muchachos y 36 muchachas del tercer año de secundaria presentaron un
examen de matemáticas. Los muchachos obtuvieron una calificación promedio de
80 con desviación estándar de 5, en tanto que la calificación promedio de las
muchachas fue de 75 con desviación estándar de 3. Encuentre el intervalo de
confianza de 95% para la diferencia de medias μ1−μ2 donde
μ1 es la
puntuación media de todos los muchachos y μ2 la de todas las muchachas.
12. Se compara la resistencia de dos tipos de rosca de tornillo; 50 piezas de cada tipo
de rosca se prueban en condiciones similares, con el siguiente resultado: las
piezas de la marca A tienen una resistencia media a la tensión de 78.3 kg y una
desviación estándar de 5.6 kg, en tanto que las de marca B tienen una resistencia
media a la tensión de 87.2 kg con una desviación estándar de 6.3 kg. Determine
un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las resistencias medias de
las dos poblaciones de roscas μB−μA .
13. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B.
Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizaron 50
experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se
utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio
de gasolina del motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B
es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre
μB−μA . Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para
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los motores A y B, respectivamente.
14. Los siguientes son los pesos en kilogramos de 10 paquetes de semillas de pasto
distribuidas por cierta Compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2
y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los
paquetes de semillas de pasto que distribuye ésta Compañía, suponga una
distribución normal.
15. Un experimentador quiere verificar la variabilidad de un equipo diseñado para
medir el volumen de una fuente de audiofrecuencia. Tres mediciones
independientes registradas con éste equipo fueron 4.1, 5.2 y 10.2. Estime σ2
con un coeficiente de confianza de 0.90.
16. El departamento de zoología del IPN y el Instituto Tecnológico de Cd. Madero
llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo
químico medido en dos estaciones diferentes de cierto río. El ortofósforo se mide
en miligramos por litro. Se reunieron quince muestras de la estación 1 y 12
muestras de la estación 2. Las quince muestras tuvieron una desviación estándar
de 3.07 mg/lt, mientras que las doce muestras de la estación 2 tuvieron una
desviación estándar de 0.80 mg/lt. Suponga que las observaciones vienen de
poblaciones normales con varianzas diferentes. Justifique ésta suposición
mediante la construcción de un intervalo de confianza del 98% para
σ12
σ22
.
17. Una Compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Una de las
operaciones consiste en esmerilar el terminado de una superficie particular con
una aleación de titanio. Pueden emplearse dos procesos de esmerilado y ambos
pueden producir partes que tienen la misma rugosidad superficial promedio. Al
ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el proceso que tenga la menor
variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de 12
partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar de 5.1
micropulgadas, y otra de 15 partes del segundo proceso, la cual tiene una
desviación estándar de 4.7 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de
confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas
σ12
σ22
, suponiendo que los
dos procesos sean independientes y que la rugosidad de la superficie está
distribuida de manera normal.
18. Una base de taxis está tratando de decidir la compra de neumáticos de las
marcas A y B para sus vehículos. Para estimar la diferencia entre las dos marcas,
se realiza un experimento empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se
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hacen correr hasta su desgaste total. Encontrando una desviación estándar de
5000 y 6100 kilómetros para la marca A y B, respectivamente. Calcule un
intervalo de confianza de 95% para
σ12
σ22
, suponiendo que las poblaciones se
distribuyen en forma aproximadamente normal.
19. En un estudio que se lleva a cabo en el Instituto Politécnico y Universidad Estatal
de Virginia sobre el desarrollo de ectomycorrhizal, una relación simbiótica entre
las raíces de los árboles y un hongo en la que se transfiere minerales del hongo a
los árboles y azucares de los árboles de los hongos, se plantan en un invernadero
20 robles rojos con el hongo Pisolithus tinctorus. Todos los arbolitos se plantan en
el mismo tipo de suelo y reciben la misma cantidad de luz solar y agua. La mitad
no recibe nitrógeno en el momento de plantarlos para servir como control y la otra
mitad recibe 368 ppm de nitrógeno en forma de NaNO3. Los pesos de los tallos,
que se registran en gramos, al final de 140 días se registran como sigue:
Sin
nitrógeno
Con nitrógeno
0.32 0.26
0.53 0.43
0.28 0.47
0.37 0.49
0.47 0.52
0.43 0.75
0.36 0.79
0.42 0.86
0.38 0.62
0.43 0.46
Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los pesos
medios de los tallos entre los que no recibieron nitrógeno y los que recibieron 368
ppm de nitrógeno. Suponga que las poblaciones están distribuidas normalmente
con varianzas iguales.
20. Los siguientes datos, registrados en días, representan el tiempo de recuperación
para pacientes que se tratan al azar con uno de los medicamentos para curar
infecciones graves de vejiga:
Medicamento 1 Medicamento 2
n1=14 n2=16
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x1=17 x2=19
s12=1 .5 s1
2=1 .8
Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia μ1−μ2 en el
tiempo promedio de recuperación para los dos medicamentos, suponga
poblaciones normales con varianzas iguales.
Contenido Mostrar las fórmulas utilizadas en cada cálculo de los datos.
Toda fórmula deberá realizarse en el editor de ecuaciones 3.0 que se encuentra en el “menú insertar objeto” de Word.
El trabajo deberá ajustarse bajo los requerimientos del formato “estructura de los trabajos”.
Formarán equipos de 5 personas y solo el jefe del equipo será quien sincronice el trabajo al Dropbox.
ADVERTENCIA: Todo trabajo igual o similar a los demás equipos en automático tendrán 0 pts. para todos los integrantes.
Criterios de calificación
¿Los ejercicios están correctos? 50 pts. 42.5¿Muestran la Técnica de Dowin en cada ejercicio? 20 pts. 20
¿Las fórmulas que utilizaron están hechas en el editor de ecuaciones 3.0?
10 pts. 10
¿Cumple con los requerimientos del formato “estructura de los trabajos”?
05 pts. 05
¿El equipo está formado por 5 integrantes? 03 pts. 03Puntualidad de entrega 10 pts. 10Ortografía 02 pts. 01
TOTAL DE PUNTO OBTENIDOS 91.5Fecha de entrega 22 DE MARZO DEL 2013
INTEGRANTES DEL EQUIPO
NO. NOMBRE DEL ALUMNO NÚMERO DE CONTROL
1 Susana Amairany Damián Arredondo 11IGE059
2 Gelacio Hernández Sandoval 11IGE101
3 Pablo Antonio Hernández Mendoza 11IGE075
4 Alma Yadira Rubio Hernández 11IGE020
5 Karen Melissa Hipólito Lázaro 11IGE025
Nota: queda totalmente prohibido cambiar el formato de esta rúbrica, en caso de hacerlo, de su
calificación final se les disminuirá 40 puntos.
Observaciones:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
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Susana Amairany Damián Arredondo,[email protected]
Problemas de la Estimación de Parámetros
1. Una muestra de cinco medidas del diámetro de una esfera se registraron como 6.33, 6.37,
6.36, 6.32 y 6.37 pulgadas. Determinar los valores estimados de μ y σ2
.
Datos:
6.33
6.37
6.36,
6.32
6.37
Fórmula 1:
χ=Χ1+Χ2+ χ3 . .. . . χ η
η
Solución:
X=X1+X 2+X3 . . .. Xn
n=6 . 33+6 . 37+6 . 36+6 .32+6 . 37
5=31. 75
5=6 .35
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
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Fórmula 2:
σ 2=∑ χ2−ΝΜ2
Ν
Solución:
σ 2=∑ X 2−NM 2
N=
(31 .75 )2−5 (6 . 35 )2
5=161.29
Conclusión:
Los resultados muestran los valores estimados de μ=6 .35 y σ2=161 . 29para la muestra de las
5 medias del diámetro de una esfera.
2. La media y la desviación estándar para los promedios de puntuación de una muestra aleatoria
de 36 estudiantes de los últimos semestres de una carrera profesional son 8 .6 y 1,
respectivamente. Obtenga los intervalos de confianza de 95% y 99% de la media de todo el
grupo de estudiantes.
Datos:
n=36x=8 .6σ=1
95%α=0 . 05α=1− .95
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
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α2=0 . 025
α2=0 . 025
Fórmula:
x−zα2
σ
√n≤μ≤x+ zα
2
σ
√n x−zα
2
σ
√n≤μ≤x+ zα
2
σ
√n
Soluciones:
8 . 6−1 . 96( 1
√36 )≤μ≤8 . 6+1 . 96( 1
√36 )
8 . 6−2 . 57( 1
√36 )≤μ≤8 . 6+2 .57 ( 1
√36 )
Resultados:
8 .2734≤μ≤8 . 9266 8 .1717≤μ≤9 . 0283
Conclusión:
De acuerdo a los datos obtenidos de 8 .2734≤μ≤8 . 9266 con el intervalos de confianza 95% y
8 .1717≤μ≤9 . 0283 con el intervalo de confianza de 99%, se concluye que de los 36 estudiantes
se toma una puntuación aceptable para el último semestre de su carrera profesional.
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3. Se va a vender un nuevo cereal para desayuno, como prueba de mercado durante un mes en
las tiendas de una cadena de autoservicio. Si se desea estimar la suma promedio de ventas
con aproximación de ± $100 con 99% de confianza y se supone que la desviación estándar
es de $200. ¿Qué tamaño de muestra se necesita, suponiendo que las ventas se distribuyen
normalmente?
Datos:
σ=200∈=0 . 01
Fórmula:
Sustitución:
=( (2.57 ) (200 )0. 01 )
2
Resultado:
=2641960000
Conclusión:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
. 99 ¿+. 005 ¿¿2. 57 ¿ . 0 . 995 ¿ ¿¿99 %α=. 01
α2=0 .01
2=. 005
α2=
0 .012
=. 005
n=( zα2∗σ
∈ )2
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Llegamos a la conclusión que para la correcta estimación de dicho producto (cereal) se debe tener
una muestra de n=2641960000 , para que la prueba de mercado sea segura con un 99% de
confianza.
Incorrecto
4. En un experimento de laboratorio, 50 estudiantes de ingeniería midieron por separado el calor
específico del aluminio, obteniendo una media de 0.221 calorías por grado centígrado y por
gramo y una desviación estándar de 0.024. ¿Qué podremos asegurar con una probabilidad de
0.95 con respecto a la posible magnitud de error, si la media de la muestra se utiliza para
estimar el verdadero calor específico del aluminio?
Datos:
n=50X=0 .221σ=0 . 024
Fórmula:
X−Zα2
σ√n
≤μ≤X+Zα2
σ√n
Solución:
0 .0221−1 .96( 0 . 024
√50 )≤μ≤0 . 0221+1. 96 ( 0 .024
√50 )
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95%
α2=0 .025
Z0. 025
=1.96
α2=0 .025
Z0. 025
=1.96
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Resultado:
0 .2143≤μ≤0 .2276
Conclusión:
Dado el rango de la muestra que es de 0.21 a 0.22 con un intervalo de confianza del 95%,
podemos asegurar que la diferencia es mínima con respecto a la magnitud de error del calor
específico del aluminio.
Y claro se requiere un intervalo más grande para estimar el verdadero calor específico.
5. En una muestra aleatoria de 85 soportes para el cigüeñal de un motor de automóvil, 10 tienen
un terminado que es más rugoso de lo que las especificaciones permiten. Por consiguiente,
una estimación puntual la proporción de soportes en la población que exceden la
especificación de rugosidad es p̂=x /n = 10/85 = 0.12. Calcule un intervalo de confianza del
95% para “p”. ¿Cuán grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza de 95% de
que el error al utilizar p̂ como estimación de “p” sea menor que 0.05?
Datos:
n=85x=1095 %
p̂=. 12q=1− p̂q=1−. 12q=0 .88
α /2=0 . 025−zα /2=−1. 96
α /2=0 . 025zα /2=1.96
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
95 %α=0 . 05
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. 95+0 .025=0. 975
Formula:
p̂−zα /2 √ p̂ q̂n n<p< p̂+zμ2 √ p̂ q̂n
Sustitución:
( . 12 )−1 .96 √ ( .12 ) (0 .88 )85
< p< ( .12 )+1 . 96√ ( . 12 ) (0 .88 )85
Resultado:
0 .0509< p<0 . 1890
Conclusión:
De 0.0509 a 0.1890 es el parámetro de confianza con un 95% de una estimación puntual de
proporción de soportes en la población para un motor de automóvil por ello este parámetro excede
con las especificaciones lo cual hay que realizar un ajuste en este proceso.
Calculación de la muestra:
Datos:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
. 99 ¿+. 025 ¿¿1 . 96 ¿. 0 . 975 ¿ ¿¿95 %α=. 05
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i .c=95 %
∈=0 . 05
Fórmula
n=( zα2
∈ )2
P(1−P )
Sustitución:
=( 1. 960 .05 )
2
( . 95 )(1−. 95)
Resultado:
=72 . 9904¿73
Conclusión:
Como conclusión tenemos que las proporciones de soporte tendrá un tamaño de muestra de 72.9904
¿73 , utilizando la estimación puntual y el intervalo de confianza de un 95%.
Incorrecto Ustedes debieron haber tomado la probabilidad de 0.12 ok.
6. En una muestra aleatoria de 500 familias propietarias de aparatos de televisión en cierta
ciudad, se halló que 340 se suscribieron a HBO. Obtenga un intervalo de confianza de 95%
para estimar la proporción real de familias en la ciudad que se suscribieron a HBO.
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
α2=
0 .052
=.025α
2=
0 .052
=.025
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Datos:
n=500X=340
p̂=340 fam500 fam
=0 .68
P̂=1−P̂=1−0 .68=0 .32
Fórmula:
p̂−zα /2 √ p̂ q̂n < p< p̂+zα /2√ p̂ q̂nSustitución:
0 .68−1 .96√( 0.68 )(032)500
¿¿
Resultado
=0.64¿¿
Conclusión:
Dentro de los parámetro 0.64 - 0.72 se encuentra la proporción real de las familias en la ciudad,
esto significa que la mayor parte de las familias están suscritas a HBO a través de un intervalo
de confianza de 95%.
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
95 %¿=0 .05
¿ /2=0 .025z¿/2=1.96
¿ /2=0 .025−z¿/2=−1. 96
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7. De un lote determinado se tomó una muestra aleatoria de 1000 artículos y se hallaron 12
artículos defectuosos. Obtenga un intervalo de confianza de 99% para la proporción de
artículos defectuosos en el lote.
Datos:
n=1000x=1
p¿
=xn
p¿
=121000
=0 .012
q¿
=1−p¿
q¿
=1−0. 012=0 .988
α=1− .99α=0 . 01
α
2=0 .005
α
2=0 .005
Fórmula:
p¿
−zα2√ p
¿
q¿
n< p< p
¿
+ zα2√ p
¿
q¿
n
Sustitución:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
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0 .012−2 .57 √(0 . 012)(0 . 988 )1000
< p<0 .012+2 .57√ (0 . 012)(0 . 988)1000
Resultado:
0 .003150< p<0 .02084
Conclusión:
De acuerdo a los datos obtenidos que son 0 .003150< p<0 .02084 del problema con un
intervalo de confianza de 99 % , se concluye que de la muestra aleatoria los artículos que se
encuentran defectuosos son pocas de ellas.
8. El contralor de una cadena de tiendas de departamentos quiere determinar la cantidad
promedio que gastan todas las personas con tarjeta de crédito en éstas tiendas. Seleccionó
una muestra aleatoria de 25 tarjetahabientes que dio como resultado una media de $750 con
una desviación estándar de la muestra de $200. Él quiere tener una seguridad del 95% de que
un intervalo obtenido incluye el promedio real de la población. Se supone que el gasto con
tarjeta de crédito se distribuye aproximadamente en forma normal-
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Datos:
α /2=0 . 025t 0.025
α /2=0 . 025t0.025
Fórmula:
X−tα /2 .S
√n¿¿
Sustitución:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
talignl¿ 0.025 ¿V=24 ¿¿ }2 .064n=25X=750S=200
V=n−1V=25−1=24
95 %α=1− .95=0 . 05
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750−2.064 (200
√25 )¿¿
¿¿
Resultado:
667 . 44¿¿¿
¿
Conclusión:
Con los resultados obtenidos se puede asegurar, que el rango de la cantidad de todas las personas
que usan tarjeta de crédito esta dado de 667.44 a 832.56 con un intervalo de confianza del 95%.
9. El contenido de 7 contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2
y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los
contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal.
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
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Datosn=79 .8, 10 .2, 10 . 4, 9 . 8, 10. 0, 10 .2 y 9.6
x=x1+x2+. . .. .. . xnn
x=9 .8+10 . 2+10.4+9 . 8+10+10 . 2+9 .67
x=707
=10
2 .447
α=1− .95α=0 . 05
Fórmula 1:
S=√∑( x−x )2
n−1
( x−x )2
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
v=n−1v=7−1=6
α2=0 .025
v=6
α2=0 .025
α2=0 .025
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
S=√ 0 .486
=0 .2828
v=n−1v=7−1
α2=0 .025 2 . 447
v=6
Fórmula 2:
x−tα2
S
√n<μ<x+tα
2
S
√n
Sustitución:
10−2. 4470 . 2828
√7<μ<10+2.447
0 . 2828
√7
Resultado:
9 .7384<μ<10 . 2615
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Conclusión:
De acuerdo a los datos obtenidos 9 .7384<μ<10 . 2615 con un intervalo de confianza de 95%
se concluye que la mayor parte de la media de los contenedores si son similares al ácido sulfúrico.
10. Se toma una muestra aleatoria de 12 pernos en un estudio de la dureza de la cabeza de un
tipo de perno. Se realizaron mediciones de tal dureza en cada uno de los 12 pernos, lo que dio
un valor promedio de 48.5, con una desviación estándar de 1.5. Suponiendo que las
mediciones se distribuyen en forma aproximadamente normal, determine un intervalo de
confianza de 90% para la dureza media de la cabeza del perno.
Datos:
n=12X=48 .5σ=1 .5
Fórmula:
X−t α2
S
√n≤μ≤X+t α
2
S
√n
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
α2=0 .01
2=0 . 05
t0.05=1 . 796
α2=0 .01
2=0 .05
−t0.05=1 . 796
90%
V=n−1=12−1=11
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Sustitución:
48 . 5−1 . 796( 1. 5
√n )≤μ≤48 .5+1 .796 ( 1.5
√n )
Resultado:
47 . 7224≤μ≤49 .2776
Conclusión:
Obteniendo los resultados nuestro rango de la dureza de los 12 pernos se encuentra entre 47.7224
a 49.2776, lo cual demuestra con un intervalo de confianza del 90% que la diferencia de dureza
entre los pernos es mínima.
11. 35 muchachos y 36 muchachas del tercer año de secundaria presentaron un examen de
matemáticas. Los muchachos obtuvieron una calificación promedio de 80 con desviación
estándar de 5, en tanto que la calificación promedio de las muchachas fue de 75 con
desviación estándar de 3. Encuentre el intervalo de confianza de 95% para la diferencia de
medias μ1−μ2 donde
μ1 es la puntuación media de todos los muchachos y μ2 la de todas
las muchachas.
Datos:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
n1=35 n2=36x1=80 x2=75σ 1=5 σ 2=3
α=1− .95α=0 . 05
α2=0 . 025
α2=0 . 025
Fórmula:
(x1−x2)−zα2(√σ 1
2
n1
+σ 2
2
n2)<μ1−μ2<(x1−x2) ´+zα
2(√σ 1
2
n1
+σ 2
2
n2)
Sustitución:
(80−75)−1.96(√52
35+3
2
36 )<μ1−μ2<(80−75 )+1 .96 (√52
35+3
2
36 )
Resultado:
3 .0753<μ1−μ2<6 . 9246
Conclusión:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
z=1 . 96
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
De los 35 muchachos y 36 muchachas del tercer año de secundaria que presentaron el examen
de matemáticas sus calificaciones están dadas 3 .0753<μ1−μ2<6 . 9246
en un intervalo de
confianza de 90%, por lo que se comprueba que existe una gran diferencia entre las calificaciones
de los hombres y las mujeres.
12. Se compara la resistencia de dos tipos de rosca de tornillo; 50 piezas de cada tipo de rosca se
prueban en condiciones similares, con el siguiente resultado: las piezas de la marca A tienen
una resistencia media a la tensión de 78.3 kg y una desviación estándar de 5.6 kg, en tanto
que las de marca B tienen una resistencia media a la tensión de 87.2 kg con una desviación
estándar de 6.3 kg. Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las
resistencias medias de las dos poblaciones de roscas μB−μA .
Datos:
50
50
2
1
n
n
σ 1=5 . 6kg .σ 2=6 . 3kg .
X1=78 . 3kg .X 2=87 . 2kg .
.95+.025=.975
Fórmula:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
α /2=. 025z=1 . 96
−α /2=. 025−z=1 . 96
95%α=0 .05
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
( x1−x
2)−Zα 2√ σ12
n1
+σ2
2
n2
¿¿¿
Estimación puntual:
( x̄A− x̄B )=( x1−x2)¿87 . 2−78 . 3¿8 .9
Sustitución:
8 .9−1 .96√31. 3650
+39 .6950
<μ1−μ2<8 .9+1.96√31.3650
+39 .6950
Resultado:
6 .5635<μ1−μ2< 11.2364
Conclusión:
La resistencia a la tensión de tornillos de la marca B es superior a la marca A; y estos dos tipos de
roscas se encuentran de los parámetros 6.5635 a 11.2364 con un intervalo de confianza del 95%.
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
13. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el
rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizaron 50 experimentos con el motor tipo A
y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen
constantes. El rendimiento promedio de gasolina del motor A es de 36 millas por galón y el
promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96%
sobre μB−μA . Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los
motores A y B, respectivamente.
Datos:
X A=36σ=6σ 2=36
X B=36σ=8σ 2=64
Estimación puntual
(XB−X A =X1−X2 )
=42−36=6
Fórmula:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
An= 50
Bn= 75
0 .96+0 . 02=0 . 98
α2=0 .04
2=0. 02
Z0. 02=2 .05
α2=0 .04
2=0 .02
−Z0.02=2 .05
96%
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
(X1−X2)−Zα2 √ σ1
2
n1
+σ2
2
n2
¿ μ1−μ2¿ ( X1−X2 )+Zα2 √ σ1
2
n1
+σ 2
2
n2
Sustitución:
6−2.05√3650
+6475
<μ1−μ2<6+2 .05√3650
+6475
Resultado:
3 .4286<μ1−μ2<8 .5713
Conclusión:
Obtenido el rango entre los motores A y B siendo este de 3.4286 a 8.5713 con un intervalo de
confianza del 96%. Podemos asegurar que existe una diferencia considerable entre el rendimiento
de gasolina de millas por galón entre ambos motores.
14. Los siguientes son los pesos en kilogramos de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas
por cierta Compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un
intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que
distribuye ésta Compañía, suponga una distribución normal.
Datos:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
46.4 46.1 45.8 47 46.1
45.9 45.8 46.9 45.2 46.
S2=
n∑i=1
n
X i2−(∑i=1
X i)2
n (n−1 )
∑ =21273 .12
S2=10 (21273 .12 )−212705. 4410 (9 )
¿0 .2862
Fórmula:
(n−1 ) S2
X α2
2 ¿σ2 ¿(n−1 )S2
X1−α
2
2
Sustitución:
9 (0 .2862 )19 . 023
<σ 2<9 (0. 2862 )
2.700
Resultado:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
X1−α
2
X 0. 975
¿2 .700
X α2
X 0.025
¿19 . 023
95%
V=n−1=10−1=9
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
0 .1354<σ2<0 .954
Conclusión:
Contiene la diferencia de los promedios variables de dos muestras de kg. Con el intervalo de
confianza de 95% que se encuentra entre los parámetros de 0.1354 a 0.954.
15. Un experimentador quiere verificar la variabilidad de un equipo diseñado para medir el volumen
de una fuente de audiofrecuencia. Tres mediciones independientes registradas con éste equipo
fueron 4.1, 5.2 y 10.2. Estime σ2
con un coeficiente de confianza de 0.90.
Datos:
n=3
S2=n∑i=1
nx1
2−(∑x=1
nx1 )
2
∑ x1
1
∑ x12
4 . 1= 16 . 81
5 .2= 27 .04
10 . 2= 104 .04
19 . 5147 . 89
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
90 %α=0 . 1
x α2=0 . 05
x 0. 05=5 . 991
x 1−α2=−0.05
x 0. 95=0. 103
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Fórmula:
(n−1)S2
x2α /2
<σ2<(n−1)S2
x2α /2
Sustitución:
(3−1 )(10 .57 )2
5.991<σ2<
(3−1 )(10 .57 )2
0.103
Resultado:
3 .5286<σ2<205 .2427
Conclusión:
Se puede decir que la variabilidad del equipo diseñado para medir el volumen de la fuente de
audiofrecuencia se encuentra entre 3.5286 y 205.2427 lo cual indica que existe una diferencia
considerable dentro del intervalo de confianza del 90%.
16. El departamento de zoología del IPN y el Instituto Tecnológico de Cd. Madero llevó a cabo un
estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos
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estaciones diferentes de cierto río. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron
quince muestras de la estación 1 y 12 muestras de la estación 2. Las quince muestras tuvieron
una desviación estándar de 3.07 mg/lt, mientras que las doce muestras de la estación 2
tuvieron una desviación estándar de 0.80 mg/lt. Suponga que las observaciones vienen de
poblaciones normales con varianzas diferentes. Justifique ésta suposición mediante la
construcción de un intervalo de confianza del 98% para
σ12
σ22
.
Datos:
n1=15S1=3 .07mg /lt .n2=12
S2=0 . 80mg / lt .
V1=14
V2=11
f α /2( v1 , v2 )1f 0. 01(14 ,11)
=1430
=0. 23
f α /2( v2 , v1 )f 0. 02(11 ,14 )=3 .87
Para encontrar los grados de libertad:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
98%α=0 . 02
V1
V1 10 11 12
14 3.94 3 .87 3.80
V2
V2 12 13 14 15
11 4.40 4 .30 4.25
98%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 02
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4 . 40−4 . 253
=0. 05
f 0.01(14 ,11)=4 .25+0. 05=4 . 30
3 .94−3.802
=0 .07
f 0.01(11 ,14 )=3 .80+0 .07=3 .87
Fórmula:
S12
S22
.1
f α /2 (v1 , v2).<σ 1
2
σ 22<S1
2
S22f α /2( v1 , v2 )
Solución:
(3 . 07)2
(0 . 80)2.(0 .23 )<
σ12
σ22<(3 .07 )2
(0 .80 )2(3 . 87 )
Resultado:
3 .3870<σ1
2
σ22<56 .9911
Conclusión:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Se puede concluir que la diferencia de los promedios reales de ortofósforo de estas dos muestras
reales de los lugares del departamento de zoología determinó con un nivel de confianza del 98%.
Con
σ12
σ22
en un intervalo de 3 .3870 a 56 . 9911 con una diferencia bastante grande.
17. Una Compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Una de las operaciones
consiste en esmerilar el terminado de una superficie particular con una aleación de titanio.
Pueden emplearse dos procesos de esmerilado y ambos pueden producir partes que tienen la
misma rugosidad superficial promedio. Al ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el
proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una
muestra de 12 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar de 5.1
micropulgadas, y otra de 15 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar
de 4.7 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente
de las dos varianzas
σ12
σ22
, suponiendo que los dos procesos sean independientes y que la
rugosidad de la superficie está distribuida de manera normal.
Datos:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
n1 = 12 2. 79−2 .72
3=0 .023
= 15
S1 = 5.1 S2 = 4.7
V 1=11
V 2=14
α /2=0 .102
=0. 05
90 %α=1
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Para encontrar los grados de libertad:
Formula
S12
S22× 1f α /2 (V 1 ,V 2)
<σ1
2
σ 22<S1
2
S22× 1f α /2 (V 2,V 12)
Formula
S12
S22× 1f α /2 (V 1 ,V 2)
<σ1
2
σ 22<S1
2
S22× 1f α /2 (V 2,V 12)
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
V2 V1
14
10 11 12
2.60 2.53
V1 V2
11
10 11 12
2.79 2.72
f α /2 (v1 , v2)f . 02 (11 ,14 )=2. 743
f α /2 (v1 , v2)12 .53
=0 .3952
2. 79−2 . 723
=0 .0232. 60−2.53
2=0 . 035
F 0 .05 (11,14 )= 2.53+0 .035=2.565 F 0 .023 (14,11)= 2 .72+0 . 023= 2 .743 .
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Solución:
(5.1)2
(4 .7 )2∗(0 .38 )<
σ12
σ22<
(5.1 )2
( 4 .7 )2∗(2 .743 )
Resultado:
0.4474 <
σ12
σ22
< 3.229
Conclusión:
Podemos concluir que el proceso de esmerilado en la rugosidad de la superficie va desde 0.4474
a 3.229 micro pulgadas con un intervalo de confianza del 90% lo cual indica que sería mejor utilizar
la segunda opción.
18. Una base de taxis está tratando de decidir la compra de neumáticos de las marcas A y B para
sus vehículos. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se realiza un experimento
empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se hacen correr hasta su desgaste total.
Encontrando una desviación estándar de 5000 y 6100 kilómetros para la marca A y B,
respectivamente. Calcule un intervalo de confianza de 95% para
σ12
σ22
, suponiendo que las
poblaciones se distribuyen en forma aproximadamente normal.
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Datos:
n1=12 n2=12s1=5000 s2=6100
v1=n−1 v1=12−1=11v2=n−1 v2=12−1=11
α=1− .95α=0 . 05
1f α
2
(v1 , v2)
1f 0. 025(11 ,11 )
f α2
(v1 , v2)
f 0. 025 /11 ,11)
Interpolación
v2 10 11 12
11 3 . 53 3 . 43
3 .53−3 . 432
=0 .05
3 .43+0 . 05=3 . 48
Fórmula
s12
s12∗ 1f α
2
(v1 , v2)<σ1
2
σ22<s1
2
s12∗f α
2
( v2 , v1 )
Sustitución:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
(5000 )2
(6100 )2 ( 13 . 48 )< σ1
2
σ22<(5000 )2
(6100 )2(3 .48 )
Resultado:
0 .1930<σ1
2
σ22<2 .3380
Conclusión:
Para la base de taxis le es más conveniente comprar el tipo de neumático B porque su nivel de
vida es mejor considerable al neumático tipo A, y se comprueba con los datos
0 .1930<σ1
2
σ22<2 .3380
con un nivel de confianza de 95%.
Incorrecto
19. En un estudio que se lleva a cabo en el Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia
sobre el desarrollo de ectomycorrhizal, una relación simbiótica entre las raíces de los árboles y
un hongo en la que se transfiere minerales del hongo a los árboles y azucares de los árboles
de los hongos, se plantan en un invernadero 20 robles rojos con el hongo Pisolithus tinctorus.
Todos los arbolitos se plantan en el mismo tipo de suelo y reciben la misma cantidad de luz
solar y agua. La mitad no recibe nitrógeno en el momento de plantarlos para servir como
control y la otra mitad recibe 368 ppm de nitrógeno en forma de NaNO3. Los pesos de los
tallos, que se registran en gramos, al final de 140 días se registran como sigue:
Sin Con nitrógeno
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nitrógeno
0.32 0.26
0.53 0.43
0.28 0.47
0.37 0.49
0.47 0.52
0.43 0.75
0.36 0.79
0.42 0.86
0.38 0.62
0.43 0.46
Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los pesos medios de los tallos
entre los que no recibieron nitrógeno y los que recibieron 368 ppm de nitrógeno. Suponga que las
poblaciones están distribuidas normalmente con varianzas iguales.
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Sin nitrogeno
Con nitrogeno
0.32 0.26 0.06 0.0510760.53 0.43 0.1 0.0707560.28 0.47 -0.19 0.0005760.37 0.49 -0.12 0.0021160.47 0.52 -0.05 0.0134560.43 0.75 -0.32 0.0237160.36 0.79 -0.43 0.0696960.42 0.86 -0.44 0.0750760.38 0.62 -0.24 0.0054760.43 0.46 -0.03 0.018496
-0.166 0.33044
id
d
2dd i
Sd=√∑ (d i−d )2
n−1
Sd=√ 0 . 330449
=0 . 19159
V=n−1=10−1=9
Fórmula:
X−t α2
Sd
√n≤μ≤X+t α
2
Sd
√n
Sustitución:
−0 .166−2 . 262( 0. 19159
√10 )≤μ≤−0.166+2 . 262( 0. 19159
√10 )
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
α2=0 . 05
2=0 . 025
t 0. 025=2. 262
α2=0 . 05
2=0 .025
−t0. 025=2.262
9%5
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Resultado:
−0 .3031≤μ≤−0 .0289
Conclusión:
Se puede asegurar que existe una diferencia observable entre los tallos que recibieron 368 ppm de
nitrógeno y los que no, estando la diferencia entre -0.3031 a -0.0289 con un intervalo de confianza
del 95%.
20. Los siguientes datos, registrados en días, representan el tiempo de recuperación para
pacientes que se tratan al azar con uno de los medicamentos para curar infecciones graves de
vejiga:
Medicamento 1 Medicamento 2
n1=14 n2=16
x1=17 x2=19
s12=1 .5 s1
2=1 .8
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia μ1−μ2 en el tiempo promedio de
recuperación para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales.
Datos:
n1=14x̄1=17
S12=1 .5
n1=16x̄2=19
S12=1 .8
V=14+16−2V=28
α /2=0 . 005V=28 = 2.763
α /2=0 .005
α /2=0 . 005
Fórmula:
( X̄1− X̄2)−tα /2√ S12
n1
+S2
2
n2
<μ1−μ2<( X̄1−X̄2 )+tα /2√ S12
n1
+S2
2
n2
Solución:
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito
99%
α=0 . 01
Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial
(16−14 )−2. 763√ 1 .5141
+ 1.816
<μ1−μ<2(16−14 )+2. 763√ 1 .5141
+ 1. 816
Resultado:
0 .7050<μ1−μ2<3 .2949
Conclusión:
Podemos concluir que de 0.70 a 3.29 existe una diferencia de los dos tipos de medicamentos con
en el tiempo en que tarda en recuperarse los pacientes con un intervalo de confianza del 99% lo
cual muestra que hay una diferencia entre los medicamentos considerable.
Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito