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EJERCICIOS:
I) Calcular la suma de las series:
1) 1)1(
11
=+
∑∞
=n nn 2)
4
1
)2)(1(
13
=++
∑∞
=n nn 3)∑
∞
= −3 2 14
1n n
4)6
1
4
1
3
12 11
=
+∑
∞
= −−n nn 5)∑
∞
=
−3 4
12n n
n
6)2
1
)1(2
11
=+
∑∞
=k kk
7)3
10
10
30
=∑∞
=n n 8) 3
3
20 1
=∑∞
= −n n 9)
2
15
5
430
=+
∑∞
=n n
nn
10)4
1
)2)(1(
11
=++
∑∞
=n nnn 11)
2
3
3
210
−=
−∑
∞
=n n
n
12)∑∞
=
−
0 100
6
10
25n nn
13)2
1
2
10 1
=∑∞
= +n n 14)
4
1
2
10 3
=∑∞
= +n n 15)∑
∞
=
+
0
3
3
2n n
n
16) 1)1(
121 22
=+
+∑
∞
=n nn
n 17)∑
∞
=
+1 1n n
nLn 18)
n
n
e∑
∞
=
1 π
19) ......1 21+++++
−−− neee 20) ( )
n
n
−∞
=∑1
12 21)∑
∞
=
+1
1n n
nLn
22)∑∞
= −−0 2 3816
4n nn
23)
n
n e∑
∞
=
1
π
II) Estudiar la convergencia de las series:
1)∑∞
= −⋅⋅⋅⋅⋅1 )12(531
!n n
n 2)
( )
( )∑
∞
=+
+1 3
1
1n
n
nLn 3)
1
1
2
24
5+
∞
=∑
+
+n
n n
n
4)∑∞
= −+
+1 3 12
)(n nn
nLnn 5)∑
∞
= +
+1 31
21n n
n
6)∑∞
=2
)(n n
e
nLn
7)
2
2
1n
n nnSen∑
∞
=
8)
( )[ ]∑
∞
=2
1n k
nLnn 9)
( )[ ]∑
∞
= −2 15
1n k
nLnn
10)
2
2 1
1n
n n
n∑
∞
=
−
+ 11)
( )∑
∞
=+
+0 3 4 1
2n
n
nSen 12)
( )∑
∞
=++
−0 5 28 135
3n
nn
nCos
13)
n
n n
3
1
11
−∞
=∑
− 14)∑
∞
=
−
1
2
n
nne 15)∑∞
=+
+−+1 5
3 22
3
112n
n
nn
16)( )
( ) ( )∑
∞
= ++++
1 31
3
21
!5n nn
n
nn
n 17)
( )∑∞
=
+2
2 1n nnLn
n 18)∑
∞
= +
+1 24
53n n
n
n
19)∑∞
= +
+1 2
22n n
n
ne
n 20)
2
2 1
2n
n n
n∑
∞
=
+
+ 21)
( )∑
∞
=
−⋅⋅⋅⋅⋅1 !
12531n n
n
22)( )∑
∞
=
+2
12n nnLn
n 23)
( )
( )∑∞
= ⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅1 3963
23741n n
n 24) ∑
∞
=1
!n n
n
n
25)
nn
n n
n2
1
2
3
2+
∞
=∑
−
+ 26)
12
1
2
12
++∞
=∑
+
nn
n n
n 27)∑
∞
=
−1 2 12n nCos
π
28)( )
∑∞
=+
⋅+
1 3 2 1
11
nn
nSenn
29)( )( )
( )( )∑
∞
= ⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅1 41284!
451161n n
n
nen
nn 30)
( )∑∞
=
+
1
11
n nSenLn
31)( )( )∑
∞
=−−
1 3
3
1512n
nn
n 32)∑
∞
=−
1 3
1n
nnn 33)∑
∞
=1
2
!2
)!(n n
n
34)( )[ ]
∑∞
=
+2
1n n
nLnn
n 35)∑
∞
=
1
1n n
Tag 36)
1
1 2
22
35
54+−
∞
=∑
−+
+−nn
n nn
nn
37)
−
+⋅∑
∞
= 1
111 n
nLn
nn
38) ( )
∑∞
=1
2 1
n n
nSen
39)∑∞
=
1
1n
nArcSen
40)( ) ( )
∑∞
=+
2 3
1n
nLnnnLn 41)
+∑
∞
= 2
2
1
1
n
nLn
n
III) Estudiar si la serie converge absolutamente, condicionalmente o si diverge:
1) ( )( )
∑∞
=
+
+
−−
1 2
21
1
781
n n
n
ne
n 2)
( )
( )∑
∞ −2
1
nLnn
n
3) ( )( )
∑∞
=
+ −−
1 3
21 1
1n
n
n
n
4) ( )
∑∞
=
⋅−0 32
71n n
nn
5) ( )( )
∑∞
=
+ +−
1
1 11
n
n
nn
n 6) ( )
( )
( )[ ]∑∞
=
+
+−
1 2
1
11
n
n
nLnn
nLn
7) ( )
⋅
−∑
∞
= nn n
n
tag22
11
π 8) ( )
( )∑
∞
=
−
+
+−
1
1
1
11
n
n
n
nLn9) ( )
1
1
2
12
21
++
∞
=∑
+
+−
nn
n
n
n
n
10) ( )∑∞
=
+−
1 12
11
n
n
narctag 11)
( )( )∑
∞
= −
−1
2
!12
101n
nn
n 12)
( ) ( )( )∑
∞
= −⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−1 13852
1275311n
n
n
n
13)( ) ( )( )( )( )∑
∞
= +++
−1 21
2
1
!31n nn
nn
nn
n 14)
( )∑
∞
= +
+−1 35
131n
n
n
n 15)
( )∑
∞
=
−
+
−1
1
1
1n
n
n
n
16)( ) ( )
( )∑∞
=
−
+⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅−1
1
521197
237411n
n
n
n 17)
( )∑
∞
=
−2 )(
1n
n
nLn
n 18)
( )∑
∞
=
−
+
−1
1
1
)(1n
n
n
nLn
19)( )
∑∞
=
−
+
−1 2
31
23
151n
n
n
n 20)
( )∑
∞
=
−1 1
1n
n
n
n
21)( )
( )∑∞
= +
−1 12
31n n
nn
n
22)( )
( )∑
∞
=−
+−1 2
2
52
31n
n
n
n 23)
( )
( )∑
∞
=+
−1 3
1
!1n
n
n
n 24)
( )∑
∞
= +
+−0 31
411n n
nn
IV) Encontrar el intervalo o dominio de convergencia:
1)( ) ( )
( )∑∞
=
−
−⋅⋅⋅⋅⋅
−
1
1
12531
23!1
n
nn
n
n
xn 2)
( ) ( ) ( )
( )∑∞
=
−−
1 3
12
31
n
nn
n
nLn
x 3)
( )[ ]∑
∞
=2
1n x
nLnn
4)( )
( )( )n
n
n
xn
n2
1
211
3
−⋅+
+−∑
∞
= 5)
( ) ( )( )∑
∞
=
−
−⋅⋅⋅⋅⋅
−−1
1
12531
1!1n
nn
n
xn 6) ( )n
nx
n
n2
!
26421
−⋅⋅⋅⋅⋅
∑∞
=
7)( ) ( )
( )∑
∞
=
−−−
1
1
!22
2!1n n
nn
n
xn 8)
( ) ( )∑
∞
=
+−−
1
121
n
nn
nn
x 9)
( )∑
∞
=
−2
1n
nn
nLnn
x
10) ( )
( )∑∞
=
+
++
−5 3
1
)1(1
1n n
nn
nLnne
x 11)
( )∑
∞
=
+
+1
1
1n n
n
x
x 12)∑
∞
=0 !n
n
n
x
13)( ) ( )
( )∑∞
= +
−+1 1
131n
nn
n
xnLn 14)
( ) ( )∑
∞
=
−
⋅
⋅⋅−1 2
1
3
21n n
nnn
n
xnLn 15)
( )∑
∞
=
+
+2
1
1
3n n
nn
xn
x
16) ( )
∑∞
=
+
+1
1
1
3n n
nn
xn
x 17)
( )∑
∞
= ⋅1 2n n
n
n
Lnx 18)
( )
( )∑∞
=
−
⋅1
1
3n n
n
nLnn
Lnx
19)( )
∑∞
= ⋅1
4n n
n
n
arcsenx
π 20) ( )
( )
( )∑
∞
=++
−−
0112
31
n
nn
nn
x 21) ( )
( )( )∑
∞
=
−
+
−+−
0
31
12
311
n
nn
n
xn
22)( )
( )n
nx
n
nLn5
11−
+∑
∞
= 23) ( )n
nx
n
nn2
13
31 2
2
−
+
+∑
∞
= 24)
( )∑
∞
=⋅
1
1n n
Lnxn
25)( ) ( ) ( )
( )∑∞
=
−
−⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−
1
1
127531
13
21
n
nnn
n
x 26)( )
[ ]∑
∞
=
−2
1n n
n
Lnx 27)
n
nx
n
n∑
∞
=
+
+1 1
2
28) ( )( )
[ ]∑∞
= ++
1 2 1)(1
n
n
nLnn
nLnx 29)
[ ]∑
∞
=⋅+
+0 25
1
12n n
xn
n 30)
[ ]∑
∞
=−
12
n nx
n
31)∑∞
= −⋅1 12
2
n nn
n
n
x 32)
( )( ) ( )∑
∞
= ++
−⋅1
2
11
32n
nn
nLnn
x 33) ( )
2
213
312
1 2
2n
n
nx
n
nn−
+
++
∞
=∑
34)( )
[ ]( )n
nx
n
n4
!2
!1
2
+∑∞
= 35)
( )( )n
n nex
e
nLn−∑
∞
=1 36) n
n
n
xn
n⋅∑
∞
=1 !
37)( )
12
04
1 +∞
=⋅
−∑ n
n nx 38) ( )
!11
2
1 n
x
n
nn
n⋅+∑
∞
= 39) ( )n
nLnx
n
n⋅∑
∞
=1 !5
3
40) n
nLnx
n
n⋅∑
∞
=1 5
3 41)∑
∞
=
−
1n
nxe
V) Desarrollo en serie de potencias.
a) !!4!3!2!1
1432
n
xxxxxe
nx
++++++= LL converge para ∞<x
b) ( )!12
)1(!9!7!5!3
129753
+−+−+−+−=
+
n
xxxxxxsenx
nn
LL converge para ∞<x
c) ( )( )!2
1!6!4!2
1cos2642
n
xxxxx
nn
−++−+−= LL converge para ∞<x
d) 12
)1(!9753
129753
+−+−+−+−=
+
n
xxxxxxArctgx
nn
LL
e) ( ) ( )n
xxxxxxLn
nn 1
432
1432
1−
−++−+−=+ LL converge para 1<x
f) Binomial
Converge para 1<x
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
!
121
!3
21
!2
111
32
n
xnppppxpppxpppxx
np +−−−
++−−
+−
++=+L
L
A) Desarrollar en serie de potencias de “x” y hallar su intervalo de
convergencia:
1) ( ) xexxf
2−⋅= 2) ( ) xsenxxf cos⋅= 3) ( ) xxf
2cos= 4) ( ) 3 8 xxf +=
5) ( ) ( )xLnxf += 2 6) ( ) 21 xexf x+= 7) ( )
x
xxf
cos1−= 8) ( )
21
1
xxf
−=
9) ( ) xexxf ⋅=
2 10) ( ) senxxxf2
= 11 ( ) 2cos xxf = 12) ( ) senhxxf =
13) ( ) ( ) 221
−+⋅= xxxf 14) ( ) ( ) x
exxf−
⋅+= 1 15) ( )
+
++=
2
21
111
1
x
xLn
xxxf
B) Calcular usando series de potencias:
1) 21
112
2
20
=
−
+
→ x
xLn
xLim
x
2)6
13
0
−=−
→ xsen
ArcsenxxLim
x
3) 12
0
=−
−−−
→ Arctagxx
xeexx
xLim 4)
( ) 31
120
−=+
−
→ xLnx
xArctgxLim
x
5)( )
21
12
1
=−
−
→ x
xsenLim
x
6)( )( ) senxxLn
xLim
x ++
−+
→ 1
11 21
0
7)2823 2
0 −+
−
→ x
xArcsenxLim
x
8)3
4
416
39
2
2
0
=−+
−+
→ x
xLim
x
9)2
1242
0
=−+
→ Arctgx
xLim
x
10)( )
21cos
20
−=→ x
xLnLim
x
11) ( )233 23xxxxLim
x
−−+∞→
12)( )
( )1
1
0 −⋅
−+
→x
x ex
ArcsenxxLnLim
13)4
13
0
=−
→ x
senhxTagxLim
x
14)( )
5
3
0
2
3cos2
x
exxxsenxx
xLim
+−+
→
15)( ) 6
113
0
=+
−
→ xLnx
ArctgxsenxLim
x
16) −∞=−
→3
0
sec
x
xTagxLim
x
17)( )
+∞=−
−
→2
0 cosh1 x
senhxxLim
x
18)
x
xArtg
xLim
x 1
12
1
−
∞→
19)
−
−
−
→
xx
x
xLim
x
cosh12
51212
2
60
20)
−
−→ xxLim
x cos
1
1
1
0
21)
−
→
xtagx
xLim
x 4
42
2
2
π 22)
x
xLim
x −
−
→ 1
1
1
23)( )
2
cos
0 xsen
xex
xLim
−
→
C) Resolver las siguientes integrales:
1) dtt
sentx
∫0
2) ∫−
t
tdte
0
2
3)( )
dtt
tLnx
∫+
0
1 4) ( )∫ +
x
dttLn0
21
5) dtt
ex t
∫−
0
1 6) dt
t
ex t
∫−
0
12
7) ∫−
x
t
dt
041
8) ∫−
x
tdtte
0
cos
D) Aplicando desarrollos en series de potencias, encontrar el valor aproximado
de: (con 3 cifras decimales).
1) dxx
ex
∫−
−21
0
1 2) dx
x
Arctgx∫2
1
0
3) 621,0
1
0
=∫ dxx
senx 4) 608,0cos
1
0
3 =∫ xdxx
5) dxx
x∫
−1
0
2
cos1 6)
( )dx
x
xLn∫
+21
0
1 7) 508,01
21
0
3=+∫ dxx 8) 189,0
1
0
2 2
=∫−x
ex