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1.

Utilizando las reglas de derivacin, encuentre, en cada caso, la derivada de lafuncin f.

a)22 )5()( xxxf b) )8)(5()( 3 xxxxf c) xxxf cos)( 6

d) )(tan)( 4 xxxf e)x

xxf

sec

3)( f) 235 )5()( xxxxf

g)

1

2)(

2

x

xsenxf h) 231)( xxf i) xxxf cos64)( 2

j) xxxf csc)( 4

k) xxf 2

csc)( l) xxf 2

cos)(

m) xxxf tansin)( n) xxxf ln)1()( 2 )3

21)(

xx

xxf

o)x

xxxf

53

32)(

p) xxxf 3

5 2 log)( q) )ln()( 7 3xxf

r) xxxf cscsin)( s) xxf 3cos)( t)2

5

3)(

xxxf

u) xxxf 2ln)( v) )()( 5 xxsenxf w) xexf )(

x)73

)( x

xxf y) xxxf )1()( 2 z)x

xxf

1

2ln)(

a) )arcsin()( 3

xxf b) )/1arctan()( xxf c) )(sin 35

)( xexf

d) 5 ))tan(cos()( xxf e))cos()( xxxf f) xxxf sec)(sin)(

g) )arcsin()( 5 xxxf h)x

xxf

)arcsin()( i) )ln(arctan)( xxf

2. Resuelva los siguientes problemas de razones de cambio relacionadas

a) Todas las aristas de un cubo estn creciendo 3cm/seg. Con qu rapidez cambia el volumen cuando la

arista mide 5 cm?. Con qu rapidez cambia el volumen cuando ste vale 216 cm3?.

b) A un depsito cnico de 5m de dimetro y 6m de altura, con el vrtice hacia arriba le entra agua a

razn de 600 litros por minuto. con qu velocidad aumenta el nivel del agua cuando ste se encuentra

CUARTA LISTA DE EJERCICIOS

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

LM Semestre 2015-2

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a 2m del fondo? , con qu velocidad aumenta el nivel del agua cuando ste se encuentra a 5m del

fondo?

c) Una bola esfrica de hielo se est derritiendo de forma uniforme en toda la superficie a razn de 50 cm3

por minuto. Con qu velocidad est disminuyendo el radio de la bola cuando este mide 15 cm? ycuando el radio mide 3 cm?

d)Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un crculo cuyo radio cambia a razn de1.8 m/min. A qu razn est creciendo el rea de la regin incendiada cuando el radio alcanza 60 m?

e) Se vierte arena en el suelo a razn de 0.4 m3por segundo. La arena forma en el suelo una pila en la

forma de un cono cuya altura es igual al radio de la base. A qu velocidad aumenta la altura de la pila

10 segundos despus de que se empez a vertir la arena?f) La longitud de un rectngulo est creciendo 7 cm/seg y su anchura decreciendo 3 cm/seg. Cuando la

longitud es de 12 cm y la anchura es de 5 cm, hallar el ritmo de cambio del rea.

g) Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto, con el vrtice hacia arriba, de 12 m de alto

y 6 m de radio. Si se suministra agua al tanque a razn de 30 litros por minuto, cul ser la razn decambio del nivel del agua en relacin al tiempo cuando la profundidad es de 3m.?

h) La Ley de Boyle de los gases asevera que PV = C donde P es la presin, V el volumen y C una

constante. En cierto momento el volumen es de 55 pulg3, la presin es de 28 lb/pulg

2

.Si el volumen

cambia a razn de 3 pulg3/min Cul ser la rapidez de cambio de la presin en ese momento?

i) Encuentre la razn a la que est aumentando el volumen de un globo esfrico, sabiendo que el radio

aumenta a razn de 1 cm/minuto, cuando V = 250 cm3.

j) Una placa en forma de tringulo equiltero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta arazn constante de 2 cm/h. Con qu rapidez crece el rea cuando cada lado mide 8 cm?

3. Derivando implcitamente encuentre, en cada casodx

dyen el punto indicado.

a)x2+y

2= 2 en (1,1) b)x

3-y

3= 7 en (2,1)

c)x3+y

3= 9 en (1, 2) d) 0122 422 yxxyx en (2,1)

e) 2cos23 yxxyx en (1,0) f) 485 22 yxxyyx en )0,1(

g) 532 22 yx en (1, 1) h) 63 xyyx en (1, 4)

i) 8ln 3 yxyx en (2, 1) j) 6arctan3 yxxy en (1,1)

k) xyyx 633 en (3, 3) l) 3244 yx en (2, 2)

4. Encuentre los mximos y mnimos relativos, puntos de inflexin, regiones de monotona,

(creciente, decreciente) concavidad y grafique:

a) 55)( 23 xxxxf b) )8()( 3 xxxf c) 18)( 24 xxxf

d) 42212)( xxxf e) 35 3)( xxxf f) 532)( 2 xxxf

g)3

21

)(x

xxf

h) 32)( xxf i) xxxxf 60253)( 35

j) 4)( 2 xxf k) 3 2 441)( xxxf l) xxxf 3)(

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5. En cada caso se muestra la grfica de una funcin )(xf . Bosqueje la grfica de la funcin )(' xf

justificando grficamente, donde se localizan los mximos y mnimos relativos, as como los puntosde inflexin de f.

6. En cada caso se muestra la grfica de la derivada )(' xf de una funcin )(xf . Bosqueje la grfica de

una posible funcin )(xf justificando grficamente, donde se localizan los mximos y mnimos

relativos, as como los puntos de inflexin de f.

7. Resuelva los siguientes problemas de optimizacin

a) Resuelva los problemas de optimizacin de la primera lista de ejercicios.

b) Encuentre el punto de la recta x- y + 2 = 0 que se encuentra ms prximo al punto (1,5).

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c) Cules son las dimensiones del tambo de 200 lts. sin tapa que resulta ms econmico?

d) Se dispone de 3 m2de lmina para construir una caja de base rectangular sin tapa. Si el largo de la

base ha de ser el doble del ancho cules son las dimensiones de la caja de volumen mximo.

e)

Cules son las dimensiones de la caja rectangular de base cuadrada sin tapa, de 2 litros decapacidad, que resulta ms econmica?

f) Las pginas de un libro deben tener 600 cm2de rea, con mrgenes de 2 cm abajo y a los lados, y

3 cm arriba. Encuentre las dimensiones de la pgina de mayor rea de impresin.

g) Inicialmente un barco B se encuentra a 100 km al oeste de un barco A. El barco B navega hacia

el este a 20 Km/hr y el barco A navega hacia el norte a 30 Km/hr. En qu momento estarn los

barcos ms prximos uno del otro.

h) Encuentra los coeficientes de la funcin cbxaxxf 2)( , sabiendo que la curva

correspondiente toma un mximo relativo en el punto (5, 12) y corta al eje y en (0,3).

i) La velocidad con la que una empleada de Banamex cuenta billetes nuevos est dada por elsiguiente modelo matemtico: R(t) = 2t

3-42t

2+ 198t+ 60 billetes/minuto, donde trepresenta el

tiempo transcurrido a partir del inicio de su turno, a las 8:30 de la maana.

i. A qu hora era ms veloz esta empleada?ii. Con qu velocidad empez su turno?

iii. Cul fue la mxima velocidad que desarroll?

20 de Noviembre de 2015