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EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL. EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL. Función. Racional. Tipo de función. Se excluyen las raíces del denominador. Dominio. EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL. Función. Continuidad. g(x) no es continua. - PowerPoint PPT Presentation
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EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función 1
96)(
2
2
x
xxxf
Tipo de función Racional
DominioSe excluyen las raíces
del denominador
1,1)(_ xfDom
),1()1,1()1,()(_ xfDom
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Continuidad g(x) no es continua
Existe una discontinuidad
x=1 y x=-1Estudiar el limite de
f(x) x=1
Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito
1
96)(
2
2
x
xxxf
Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito
Estudiar el limite de f(x)
x=-1
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Simetría
Par f(x) =f(-x)
Impar f(x) =-f(-x)
1
96)(
2
2
x
xxxf
1
96
1)(
9)(6)()(
2
2
2
2
x
xx
x
xxxf
)()( xfxf
)()( xfxf
f(x) no es simétrica
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función 1
96)(
2
2
x
xxxf
PeriodicidadPeriódica si se cumple
que: f(x) =f(x+T)
1)(
9)(6)()(
2
2
Tx
TxTxTxf)()( xfTxf
En nuestro caso g(x) no es periódica
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Asíntotas
Oblicuas
Horizontales
Verticales
Asíntota en y=mx+b, siempre que el grado numerador sea una
unidad mayor que el de denominador:
Las raíces del denominador que no lo
son del numerador
Asíntota en y=k, siendo k: kxfx
)(lim
y=mx+b es el cociente
1
96)(
2
2
x
xxxf
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Asíntotas VerticalesLas raíces del
denominador que no lo son del numerador
1012 xxLas raíces
del denominador 169)1(6)1()1(
49161)1(2
2
p
p
Las raíces del denominador no lo son
del numerador:
Asíntota vertical en: x=-1
1
96)(
2
2
x
xxxf
Asíntota vertical en: x=1
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Asíntotas Oblicuas
No hay ya que el grado del numerador es igual
que el del denominador
Horizontales
Asintota en y=k Asíntota
horizontal en y=1
1
96)(
2
2
x
xxxf
kxfx
)(lim
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Máximos y Mínimos
Primera derivada
1
96)(
2
2
x
xxxf
2
2
22
2323
22
22
)1(
6206)(
)1(
181226262)(
)1(
)96)(2()1)(62()(
x
xxxf
x
xxxxxxxf
x
xxxxxxf
I
I
I
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Máximos y Mínimos
Se iguala a cero la 1ª derivada
3
3/106206
)1(
6206)( 2
22
2
x
xxx
x
xxxf I
Puntos candidatos
Se calcula la 2ª derivada
Puntos candidatos
32
23
32
2323
32
22
42
2222
)1(
20366012
)1(
24802420201212)(
)1(
)6206(4)1)(2012(
)1(
)6206)(2)(1(2)1)(2012()(
x
xxx
x
xxxxxxxf
x
xxxxx
x
xxxxxxxf
II
II
1
96)(
2
2
x
xxxf
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Máximos y Mínimos
Se iguala a cero la 1ª derivada
Puntos candidatos
Se calcula la 2ª derivada
3x 3/1xPuntos candidatos
0).( candidatoptof II 0).( candidatoptof II
MAXIMO MINIMO
3x3
1x
1
96)(
2
2
x
xxxf
3
23
)1(
20366012)(
x
xxxxf II
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función 1
96)(
2
2
x
xxxf
MonotoníaMáximos y mínimos
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la 1ª derivada
0)( xf I 0)( xf I
Función g(x) decrece
Función g(x) crece
),3[]3/1,1()1,( ]3,1()1,3/1[
22
2
)1(
6206)(
x
xxxf I
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Punto inflexión
Cambio concavo a convexo o viceversa
22
2
)1(
6206)(
x
xxxf I
Igualar 2ª derivada a
cero
Comprobar 3ª
derivada distinta de cero
1
96)(
2
2
x
xxxf
3
23
)1(
20366012)(
x
xxxxf II
0203660120)1(
20366012)( 23
3
23
xxx
x
xxxxf II
x=4.4048 es punto de inflexión
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la
2ª derivada
0)( xf II 0)( xf II
Función f(x) concava
Función f(x) convexa
]4048.4,1()1,(
Punto inflexión
Curvatura
),4048,4[)1,1(
1
96)(
2
2
x
xxxf 3
23
)1(
20366012)(
x
xxxxf II
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
• Representación de la función 1
96)(
2
2
x
xxxf
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL