EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA

A) Cálculo de Ángulos Promedios y Ángulos Compensados

ET Lecturas Promedio Error Comp.

1ª 4ª

E1 68º 09’ 42” 272º 30’ 00” 68º 07’ 30” -5” 68º 07’ 25”

E2 79º 11’ 06” 316º 45’ 30” 79º 11’ 23” -5” 79º 11’ 18”

E3 32º 41’ 06” 130º 45’ 30” 32º 41’ 22” -5” 32º 41’ 17”

180º 00’ 15” -15” 180º 00’ 00”

B) Cálculo de lados promedios

Lado Medición L. Promedi

o1ª 2ª 3ª

E1 E2 40.90 40.88 40.92 40.90

E2 E3 70.41 70.39 70.40 70.40

E3 E1 74.39 74.41 74.40 74.40

185.70

C) Cálculo de Azimut y Rumbos

Cálculo de Azimut

NM

E1

E2

E3Z 3 - 2 = 345º 48’

Z 3 - 2 = 345º 48’ 00”z 2 - 3 = 165º 48’ 00” Z 2 - 4 = 86º 36’ 42” Z 1 - 2 = 266º 36’ 42” 1 - 3 = 198º 29’ 17”

Z 3 - 1 = 18º 29’ 17”

S

N

+

+

+

-

-

-

R = Z

R = Z - 180 R = 180 - Z

EW

R = 360 - Z

R3-2 = N 14º 12’ W

R = N 86º 36’ 42” E

R = S’ 18º 29’ 17” W

Z3-2 = 345º 48’ 359º 60’

345º 48’ 14º 12’

Z2-1 = 86º 36’ 42”

Z = 198º 29’ 17”

Px = Lado Sen RPy = Lado Cos R

185 0.03 185 -0.11

70.40 X1 = +0.01 70.40 1/1 = -0.04

40.90 X2 = +0.01 40.90 1/2 = -0.03

74.40 X3 = +0.01 74.40 1/3 = -0.04

D) Cálculo de Proyecciones

Lado Longm

Rumbo Proyecciones

Error Proyecc. Correg.

Px Py x y x y

E3 E270.40 N 14º 12’ 0” w -17.27 +68.25 +0.01 -0.04 -17.26 +68.21

E3 E140.90 N 86º 36’ 42” E +40.83 +2.42 +0.01 -0.03 +40.84 +2.39

E1 E374.40 S 18º 29’ 17” W -23.59 -70.56 +0.01 -0.04 -23.58 -70.60

185.70 -0.03 +0.11 +0.03 -0.11 0.00 0.00

E) Cálculo de Coordenadas E3 (500; 1000)

E3 500.00 1000.00-17.26

+68.21

E2 482.74 1068.21+40.84

+2.39

E1 523.58 1070.60

23.58 -70.60

(Comprob.) E3 500.00 1000.00

F) Dibujo del Plano

NM

N1250

N1000

N750

E250 E500 E750 E1000 E1250

L

15000

G) Trazo de Paralelos

t = 250 m.

1 = 5 cm. t = 25000 cm.5000 t

nnnn

Tipos de Precisión de la Poligonal

15” 30” 1’

1’ 30”

Espec.1º Orden 2º Orden 3º Orden 4º Orden

Error angular 15” 30” 1´ 1´30”

Error relativo No debe exceder de 1/10,000

No debe exceder de 1/5,000

No debe exceder de 1/3,000

No debe exceder de 1/1,000

Área: Máxima Mayores de 500 has. 100-500 (Ha) 100 Has. 100 Ha.

lectura de aprox.

30” 30” Al minuto Al minuto

Se desprecia las pendientes menores de

Se observa m menores de 1%.

Se observa m menores del 2%.

2% 3%

Usos Plano de población. -Plano de población.-Líneas jurisdiccionales

Trazo de carreteras.Vías férreas.

Ante proyectos.

nn n n

EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA

(libro: Feliz García)

58º 47' 30"

58º 47' 30"

65º 46' 38"

306º 12' 30"

FIG. Nº 29

Norte

A

D

B

C

A) Cálculo de Ángulos Promedios y Ángulos Compensados

ET Lecturas Promedio Error Comp.

1ª 4ª

EA85º12’35” 340º 51’ 20” 85º 12’ 50” -9” 85º 12’ 41”

EB119º 34’10” 118º17’ 12” 119º 34’ 50” -9” 119º 34’ 09”

EC75º35’ 00” 302º20’ 20” 75º 35’ 05” -9” 75º 34’ 56”

ED79º38’ 20” 318º33’ 32” 79º 38’ 23” -9” 79º 38’ 14”

360º 00’ 36” -36” 360º 00’ 00”

Compensación de ángulos:

A = 85º 12’ 50” – 9” = 85º 12’ 41”B = 119º 34’ 18” – 9” = 119º 34’ 09”C = 75º 35’ 05” – 9” = 75º 34’ 56”D = 79º 38’ 23” – 9” = 79º 38’ 14”

360º 00’ 36” – 36” = 360º 00’ 00”

B) Cálculo de lados promedios

Lado 1ª Medic.

2ª Medic.

3ª Medic.

A B 238.11 238.16 238.15

B C 375.78 375.72 375.69

C D 401.23 401.3 401.25

D A 433.4 433.42 433.44

A B = 238.00 + 31 (0.11 + 0.16 + 0.15) = 238.14 n

B C = 375.00 + (0.78 + 0.72 + 0.69) = 375.73 n

C D = 401.00 + (0.23 + 0.30 + 0.25) = 401.26 n

1,448.55 n

31

31

Cálculo de la longitud promedio de los lados:

C) Cálculo de Azimut y Rumbos

Z A B = 126º 12’ 30” + R A B = S 53º 47’ 30” R

180ºZ B A = 306º 12’ 30” +

B = 119º 34’ 09” 425º 46’ 39” -

360ºZ B C = 65º 46’ 39” + R B C = N 65º 46’ 39” R

180ºZ C B = 245º 46’ 39” + C = 75º 34’ 56”Z C D = 321º 21’ 35” - R C D = N 38º 38’ 25” 0

180ºZ D C = 141º 21’ 35” + D = 79º 38’ 14”Z D A = 220º 59’ 49” - R D A = S 40º 59’ 49” 0

180ºZ A D = 40º 59’ 49” + A = 85º 12’ 41”Z A D = 126º 12’ 30” (comprobación)

D) Cálculo de Proyecciones

Lado Longitud n Rumbo lado Proyecc. X

Proyecc. Y

A B 238.14 S 53º47’30” E + 192.15 n

- 140.07 n

B C 375.73 N 65º46’39” E + 342.65 n

+ 154.15 n

C D 401.26 N 38º38’25” O - 250.56 n

+ 313.42 n

D A 433.42 S 40º59’49” O - 284.35 n

- 327.12 n

       SUMA - 0.09 n - 0.22 n

E) Cálculo de errores en los ejes, error de cierre y error relativo:

Los errores en los ejes se obtienen por suma algebraica de las proyecciones, siendo para el caso, los siguientes:

ex = - 0.09 n ey = - 0.22 n

El error de cierre o error absoluto, será:

ec = 22 (0.22)(0.09) = 0.25 n

El error relativo, será:

er = 5,500/1tomándose,5,7941

1,448.550.25

F) Cálculo de Coordenadas E3 (500; 1000)

Estación X Y

A 5,000.00 + 192.16

10,000.00 – 140.63

B 5,192.16 + 342.67

9,859.37 + 154.21

C 5,534.83 – 250.53

10,013.58 + 313.48

D 5,284.30 – 284.30

10,327.06 – 327.06

A 5,000.00 10,000.00

1º CASO: FALTAN LA LONGITUD Y RUMBO DE UN LADO

Lado Longitud n Rumbo

A B 195.62 N 75º 16’ 30” O

B C 290.15 N 45º 30’ 28” E

C D 252.47 S 32º 17’ 45” E

D A No medido Desconocido

Ejemplo:

Calcular los valores desconocidos para la siguiente poligonal cerrada.

A

DB

C

D Ax

D Ay

FIG. Nº 30

SOLUCIÓN:Con los datos, puede calcularse:

Lado Proyección X Proyección Y

AB - 189.20 n + 49.72 n

BC + 206.98 n + 203.34 n

CD + 134.89 n - 213.41 n

Suma: + 152.67 n + 39.65 n

En consecuencia, si la propiedad es cerrada, necesariamente se tendrá que:

(D A)x = - 152.67 n y (D A)y = -39.65 n

Entonces:D A = = 157.73 n

22 (39.65)(152.67)

Rumbo D A = Arc Tg =

= Arc Tg = Arc Tg 3.8504413

Rumbo D A = Sur 75º 26’ 29” Costo

Observación:

Los signos de las propiedades, son los que dan el cuadrante donde se ubica el rumbo.

y

x

A)(DA)(D

39.65-152.67-

2º CASO: FALTA LA LONGITUD DE DOS LADOS (Consecutivos o no)

Ejemplo:Calcular los valores de las longitudes de los lados: BC y DE, para la poligonal cerrada de la Fig. Nº 31, siendo los datos:

Lado Longitud n Rumbo

A B 248.16 N 29º 30’ 15” O

BC No medida N 76º 54’ 13” O

CD 250.32 S 36º 13’ 24” O DE No medida S 21º 18’ 30” E

EA 389.77 N 70º 04’ 43” E

Lado Longitud n Rumbo

A B 248.16 N 29º 30’ 15” O

BC No medida N 76º 54’ 13” O

CD 250.32 S 36º 13’ 24” O

DE No medida S 21º 18’ 30” E

EA 389.77 N 70º 04’ 43” E

Gráfico: Fig. Nº 31

A

D

B

C

FIG. Nº 31

E

SOLUCIÓN:Con los datos, puede calcularse:

Lado Proyección X

Proyección Y

A B - 122.22 n + 215.98 n

C D - 147.92 n - 201.94 n

E A + 366.45 n + 132.81 n

Suma: + 96.31 n + 146.85 n

En consecuencia, es factible formular las siguientes ecuaciones:

- B C Sen 76º 54’ 13” + D E Sen 21º 18’ 30” = - 96.31 n+ B C Cos 76º 54’ 13” - D E Cos 21º 18’ 30” = - 146.85 n

Tomando los valores de las funciones trigonométricas, se tendrá:

- B C (0,9739902) + DE (0.3633867) = - 96.31 n+ B C (0,2265899) + DE (0.9316384) = - 146.85 n

Sistema de ecuaciones que al ser resuelto, da como valores:B C = 173.43 nD E = 199.81 n

3º CASO: FALTA LA LONGITUD DE UN LADO Y EL RUMBO DEL LADO CONSECUTIVO

Lado Longitud n Rumbo

A B 91.82 S 34º 30’ 15” E

B C 103.54 S 82º 51’ 18” E

C D 133.68 N 30º 10’ 20” E

D A No medida N 62º 43’ 37” O

E A 146.55 Desconocido

Este caso es posible resolverlo cuando una línea auxiliar de cálculo tal como se observa en el ejemplo que a continuación se detalla.

Ejemplo:

AD

B

E’

C

E

Lado auxiliar

FIG. Nº 32

Ángulo interno en E: mayor que 90º

SOLUCIÓN:

Como se observa en la Fig. Nº 32, este caso tiene dos posibilidades de solución, por lo cual debe tomarse una referencia adicional en el campo y que para nuestro caso es que el ángulo interno en el vértice es mayor que 90º, lo cual concretiza el caso.Con los datos, es posible calcular:

Lado Proyección X Proyección Y

A B + 52.01 n - 75.67 n

B C + 102.74 n - 12.88 n

C D + 67.19 n + 115.57 n

Suma: + 221.94 n + 27.02 n

Entonces:(D A) x n – 221.94 n y (D A) y n – 27.02 n

Valores con los cuales puede calcularse:

D A = 223.58 <m>Rumbo D A = Sur 83” 03’ 31” OesteAzimut D A = 263º 03’ 31”

Tomando el triángulo: A D E, puede calcularse:

Ángulo D = Z D E – Z D A = 297º 16’ 23” – 263º 03’ 31”= 34º 12’ 52”

Son E = = 0.8578451

Ángulo E = 120º 55’ 28”

Ángulo A = 180º - (34º 12’ 52” + 120º 55’ 28”)

= 24º 51’ 40”

146.5552"12'34ºSen233.58

Entonces:

Azimut B A = Z B D + Ángulo D = 117º 16’ 23” + 120º 55’ 28” = 238º 11’ 51”

Rumbo E A = Sur 58º 11’ 51” Oeste

Asimismo:D E = = 109.57 n

52"12'34ºSen40"51'24ºSen146.55

4º CASO: FALTA EL RUMBO DE DOS LADOS CONSECUTIVOS

Este caso, con el anterior, se soluciona tomando una línea auxiliar de cálculo. Asimismo, tiene la posibilidad de encontrarse dos soluciones, por lo cual debe tomarse alguna referencia adicional en el campo para que concretice el caso.Ejemplo:Calcular los valores desconocidos, para la poligonal de la Fig. Nº 33, si:

Lado Longitud n Rumbo

A B 89.15 S 49º 35’ 00” E

B C 91.92 N 78º 10’ 30” E

C D 89.98 N 18º 24’ 10” O

D A 75.57 Desconocido

E A 70.32 Desconocido

A

D

B

B’

C

E

FIG. Nº 33

El ángulo interno de la poligonal en el vértice E es mayor que 180º

SOLUCIÓN:

Lado Proyección X Proyección Y

A B + 67.87 m - 57.80 m

B C + 89.97 m + 18.84 m

C D - 28.41 m + 85.38 m

Suma: + 129.43 m + 46.42 m

Entonces:(D A)x = – 129.43 <m>(D A)y = – 46.42 <m>

Valores con los cuales se puede obtener:

D A = 137.50 mRumbo D A = Sur 70º 16’ 11” Oeste

Se conocen las longitudes de sus tres (3) lados es posible calcular:

Cos E = = - 0.7762886

E = 140º 55’ 19”

Cos D = = + 0.946608

D = 18º 48’ 26”

Cos A = = + 0.9380663

A = 20º 16’ 15”

Con la cual es posible calcular las orientaciones de los lados: D E y E A

Azimut D E = Azimut D A – Ángulo D= 250º 16’ 11” – 18º 48’ 26” = 231º 27’ 45”

Rumbo D E = Sur 51º 27’ 45” Oeste

Azimut E A = Azimut E D + Ángulo E (poligonal)= 51º 27’ 45” + 219º 04’ 41” = 270º 32’ 26”

Rumbo E A = Norte 89º 27’ 34” Oeste

70.32)x75.57x(2-75.5770.32137.50 222

75.67)x137.50x(2-75.57137.5070.32 222

70.32)x137.50x(2-70.32137.50-75.57 222