Ejemplo serie de Taylor

Determine

(a) El segundo y

(b) El tercer polinomio de Taylor para ( ) ( ) respecto a y use estos polinomios para

aproximar ( ).

(c) Con el tercer polinomio de Taylor y su trmino de residuo aproxime

.

Solucin: Como es una funcin continua en , el teorema de Taylor se puede aplicar para cualquier

. Adems, ( ) , ( ) , ( ) y ( )( ) de modo que ( ) ,

( ) , ( ) y ( ) .

(a) Para el polinomio de Taylor de segundo grado (n = 2) y tenemos

( ) ( )( )

( )

( )

( ( ))

donde ( ) es un numero entre 0 y 1 (vase la figura). Para x = 0.01, el polinomio de Taylor y el

trmino de residuo son: ( )

( )

( )

( ( )) ( ( )) donde

. Puesto que | ( ( ))| para toda x, tenemos | ( ) | de modo

que la aproximacin 0.99995 coincide por lo menos con los primeros cinco dgitos de , y

. La cota del error es mucho

mayor que el error real.

-2 -1 0 1 2 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

f(x) = cos x Taylor 2

(b) Como ( ) , el polinomio de Taylor de tercer grado con su residuo en torno a es

( ( ))

Donde ( ) . El polinomio de aproximacin es el mismo y la aproximacin aun es

0.99995, pero ahora tenemos una mucha mejor garanta de precisin. Puesto que

| ( ( ))| para toda x, tenemos |

( ( ))|

( ) ( ) de modo que

| ( ) | y

Conclusiones: En las primeras partes de este ejemplo se ilustran los dos objetivos del anlisis

numrico. El primero es encontrar una aproximacin, que los polinomios de Taylor

proporcionan en ambas partes. El segundo es determinar la precisin de la aproximacin. En

este caso, el polinomio de Taylor de tercer grado fue mucho ms informativo que el segundo,

aunque ambos dieron la misma aproximacin.

(c) Usamos el tercer polinomio de Taylor para obtener

(

)

( ( )) [

]

( ( ))

( )

( ( ))

( ( ))

Por lo tanto

. Se puede determinar una cota para el error en esta aproximacin a

partir de la integral del trmino del residuo de Taylor y el hecho de que | ( ( ))| para toda x:

| ( ( ))

|

| ( ( ))|

Como el valor real de esta integral es:

[ ]

el error real ser

, que esta dentro de la cota de error.

NOTA: Se puede utilizar MATLAB para generar la serie de Taylor de una funcin alrededor de un

punto. Consultar la documentacin (doc taylor) para ms informacin