TEOREMA DE LAGRANGE

EJEMPLOS Una caja rectangular sin tapa se hace con12m2 de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja. 

Buscamos maximizar: V=xyz con restricción: g ( x , y , z)=2xz+2 yz+xy=12  Ahora aplicamos lo que nos dice el método de los multiplicadores de Lagrange.∇V=λ∇gg ( x , y , z)=12

Entonces:V x=λ gxV y= λg yV z=λ gz 2 xz+2 yz+xy=12

Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en: yz= λ (2 z+ y )xz=λ (2 z+x )xy= λ(2 x+2 y )2 xz+2 yz+xy=12

Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo xyz por lo tanto la primera la multiplicamos por x la segunda por y y la tercera por z, quedaría de la siguiente manera: 

xyz= λ (2xz+xy )xyz= λ (2 yz+xy )xyz= λ(2 xz+2 yz )

Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto: 2 xz+ xy=2 yz+xy2 yz+xy=2 xz+2 yz

de la segunda ecuación sabemos que: xy=2 xz entonces: y=2 z. Si se hace x= y=2 z sustituimos en la ecuación: 2 xz+2 yz+xy=12y nos quedaría de la siguiente manera: 4 z2+4 z2+4 z2=12Por lo tantoz=1entonces: y=2 y x=2.