Ejemplo de Un Proyecto de Aula en Calculo Diferencial-1

UNIVERSIDAD DE LA COSTA, CUC

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

INTRODUCCION

En el siguiente trabajos resolveremos un problema para el diseño de una cilindro que tendrá que contener una cantidad determinada de refresco, es importante conocer los métodos de la optimización y razón de cambio para poder entender un poco mejor el procedimiento realizado en el problema. También debemos conocer los métodos de la

derivación y tener claro los conceptos del despeje. Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable. Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas




en el problema. En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar.

1.OBJETIVOS

1.1 OBJETIVO GENERAL

Estudiar y aplicar los conceptos de

derivadas y optimización

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

Aplicar los métodos de la derivada de una función para encontrar los puntos críticos.

Optimizar el área superficial de un cilindro recto de un volumen dado.

Graficar el comportamiento




de la función a optimizar

Verificar cálculos con la grafica.

2 MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION

Función creciente y decreciente:

Creciente en xo si para x > xo F(x) ≥ F(xo) ► F ' (xo) ≥ 0

Ya que:

F(x) - F(xo)

F'(xo) =

Lim

————————

≥ 0

x → xo

x - xo

Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es positiva; F '(xo) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima de los ejes X (es positiva).

Decreciente en xo si para x > xo




F(x) ≤ F(xo) ► F ' (xo) ≤ 0

Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es negativa; F '(xo) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).

F(x) - F(xo)

F'(xo) =

Lim

———————

≤ 0

x → xo

x - xo

F(x) = 1/(x2 + 1) Se observa que para x є (- ∞, 0] es creciente, es decir, al aumentar la x, aumenta F(x). Su derivada es positiva en ese intervalo.Para x є (0, + ∞], es decreciente, al aumentar la x disminuye F(x). Su derivada es negativa.Su derivada es: F ' (x) = - 2·x/(x2 +1)2 que como puede observar es positiva para x < 0 y negativa para x > 0.

Máximos y Mínimos Relativos. Puntos Singulares.




Máximos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativo, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (Se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))

Mínimos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b). Para que una función tenga máximo o




mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

Puntos de Inflexión de una función. Máximos y mínimos de la derivada. Concavidad.

Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y

comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función




es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.

En F(x) = x4 - 4·x2 = x2·(x2 - 1) puede observarse que su derivada:F'(x) = 4·x3 - 8·x = 4·x·(x2 - 2) presenta un máximo y un mínimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión.

La optimización es una aplicación directa del cálculo diferencial y sirve para calcular

máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas condiciones. La aplicación práctica de los problemas de optimización es bien clara: calcular superficies o volúmenes máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas figuras...

Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la función a optimizar que suele depender de dos variables. El ejercicio nos dará una condición que liga a ambas y lo que debemos hacer es




despejar una de ellas y sustituirla en la función a optimizar, de forma que tengamos una sola variable. A partir de aquí aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para identificar máximos o mínimos.

3. DESARROLLO DEL PROBLEMA

(PROBLEMA DE OPTIMIZACION)

Análisis numérico, grafico y analítico. Se va a diseñar cilindro circular recto que pueda contener 22 pulgadas cubicas de

refresco (aproximadamente 12 onzas de fluido).

a) En forma analítica completar seis renglones.

b) Utilizando la calculadora para generar

Radio r

Altura Área de la superficie

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2




renglones adicionales de la tabla podemos estimar el área superficial mínima.Ingresando la función:

Partiendo desde 0 de hasta 2.0 de 0.1 a 0.1 tenemos que el área superficial mínima es cuando el radio es igual a 1.5 y el área

superficial mínima es 43.47.

c)Escribir el área superficial S como una función de r

d) Utilizar la calculadora para representar gráficamente la




función del apartado.

x y0.2 220.30.4 111.00.6 75.60.8 59.01.0 50.31.2 45.81.4 43.71.6 43.61.8 44.82.0 47.1

El área superficial mínima es hallada a partir del punto crítico, es decir, remplazamos el punto crítico en la función:

a) Encontrar el punto crítico de la función del apartado y las dimensiones que producirán el área superficial mínima.




Para hallar el punto crítico de la función tenemos que derivar la función, igualarla a 0 y despejar x: Para encontrar las

dimensiones, remplazamos x para encontrar h:




4 CONCLUSION

El calculo diferencial nos entrega unas herramientas o métodos para la solución de diversos problemas en la ingeniería, uno de ellos como se mostro en este trabajo es la optimización de una actividad a partir de ciertas condiciones dadas, por ello la importancia de tener claro los conceptos de puntos críticos, derivadas, máximos relativos y mínimos relativos, puesto tener

estos conceptos claros nos ayudaran en la solución y optimización de problemas a lo largo de nuestra ingeniería.

5 BIBLIOGRAFIA

Leithold EC7 – Edicion 7

http:// www.infoadcom.com/LuisRoche/optimizacion%20funciones.htm

http:// licmoralesvidea.files.wordpress.com/2008/08/resolucion-

http://licmoralesvidea.files.wordpress.com/2008/08/resolucion-problemas-calculo-diferencial.pdf


http://www.infoadcom.com/LuisRoche/optimizacion%20funciones.htm






problemas-calculo-diferencial.pdf

STEWART, James. CÁLCULO Diferencial e Integral. International Thomson

Editores. 1999. http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_cr%C3%ADtico_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_cr%C3%ADtico_(matem%C3%A1ticas)





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