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Ejemplo del péndulo invertido

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Ejemplo del péndulo invertidoEsquema.

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DESCRIPCION DE LA PLANTA

Hay un péndulo invertido montado en un carro con propulsión a motor.

Se considera solamente el problema bidimensional.

El sistema es inestable en el sentido de que se puede caer en cualquier instante a menos que se le aplique al carro una fuerza de control adecuada.

Se supone que la masa del péndulo esta concentrada en el extremo de la varilla, como se muestra en la figura.

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Datos para el ejemplo

Al finalizar cada proceso de control, es deseable que el carro regrese a x=0, la posición de referencia.

Diseñar un sistema de control de modo que, dada cualquier condición inicial el péndulo sea llevado de retorno a la posición vertical y que también el carro vuelva a su posición de referencia rápidamente (tiempo de establecimiento de 2 seg), con un amortiguamiento razonable (por ejemplo equivalente a 0,5 en sistema estándar de segundo orden).

Suponga los siguientes valores numéricos:M = 2 Kg, m = 0,1 Kg, l = 0,5 mts

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DESARROLLO

• Las ecuaciones de movimiento de este sistema para un ángulo pequeño están dadas por:

(M+m)x” + ml”=umx” + ml” = mg

De donde se puede puede obtener la función de transferencia:

(s) / -U(s) = 1/ (M.l.s^2 – (M +m)g

(s) / -U(s) = 1/ (s^2 – 20,601) = 1/ (s^2 – (4,5)^2)

El sistema es inestable!

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Desarrollo• Las ecuaciones de estado para este sistema

son:

x1’ 0 1 0 0 x1 0x2’ = (M+m)g/(M.l) 0 0 0 x2 +-1/(M.l) ux3’ 0 0 0 1 x3 0x4’ -mg/M 0 0 0 x4 1/M

x1 y1 = 1 0 0 0 x2 y2 0 0 1 0 x3

x4

Donde x1’= x2’= ‘, x3 = x, x4 = x’

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Desarrollo

x1’ 0 1 0 0 x1 0x2’ = 20,601 0 0 0 x2 + -1 ux3’ 0 0 0 1 x3 0x4’ -0,4905 0 0 0 x4 0,5

x1 y1 = 1 0 0 0 x2 y2 0 0 1 0 x3

x4

Reemplazando por los valores numéricos tenemos:

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Desarrollo

Si se utiliza el método de ubicación de polos:

u = -Kx

1) Se verifica la condición de controlabilidad completa de estado:

M = [B A.B A^2.B A^3.B]

0 -1 0 -20,6M = -1 0 -20,6 0 0 0,5 0 0,5

0,5 0 0,5 0

Es de estado completamente controlable!.

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Desarrollo2) La ecuación característica esta dada por:

sI-A = s^4 + a1 s^3 + a2 s^2 + a3 s + a4 = s^4 – 20,6 = 0

Luego a1 = a3 = a4 = 0 y a2 = -20,6

3) Se establece la ubicación deseada de los polos de lazo cerrado según los requerimientos de tiempo de establecimiento y amortiguamiento:

u1 = -2 + j 3,464, u2 = -2 - j 3,464, u3 = -10, u4 = -10

La ecuación característica deseada es: s^4 + 1 s^3 + 2 s^2 + 3 s + 4 = 0 s^4 + 24 s^3 + 196 s^2 + 720 s + 1600 = 0

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Desarrollo

4) Se halla el valor de K:

K = [a aaa1] T^-1

T = MW

Donde M, la matriz de controlabilidad fue hallada anteriormente. y W esta dada por:

a3 a2 a1 1 0 -20,6 0 1W = a2 a1 1 0 = -20,6 0 1 0 a1 1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0

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Desarrollo

-0,5/9,81 0 -1/9,81 0T^-1 = 0 -0,5/9,81 0 -1/9,81 -1 0 0 0

0 -1 0 0

Reemplazando M y W determinamos T y luego la inversa:

Entonces finalmente se halla K:

K= [-298,15 -60,697 -163,099 -73,39]

La señal de control u estará dada por:

u = - Kx = 298,15 x1 + 60,697 x2 + 163,099 x3 +73,39 x4

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DesarrolloReemplazando la ecuación de control en la ecuación de estado:

x1’ 0 1 0 0 x1x2’ = -277,5 -60,7 -163,1 -73,4 x2x3’ 0 0 0 1 x3x4’ 148,6 30,3 81,5 36,7 x4

Esta ecuación de estado que consiste en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden, se debe resolver con una computadora. (utilizando el método de Runge Kutta por ejemplo)

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OBSEVADORES DE ESTADO

• En la práctica no todas las variables de estado están disponibles para su realimentación. Entonces se requiere estimar las variables de estado: observación.

• Observador u observador de estado: dispositivo o programa de computadora que estima u observa las variables de estado.

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OBSEVADORES DE ESTADO

• Observador de estado de orden completo: Capta todas las variables de estado del sistema.

• Observador de estado de orden reducido: estima menos de n variables de estado, donde n es la dimensión del vector de estado. Observador de orden mínimo es un caso particular

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OBSEVADORES DE ESTADO

• Los observadores de estado pueden diseñarse si y solo si se satisface la condición de observabilidad. x~ Vector de estado

observado

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Considere el sistema definido mediante:

OBSEVADORES DE ESTADO

)~(~~ xCyKBuxAx

Cxy

BuAxx

e

Término de corrección

El estado x se aproximará mediante:

Matriz de ponderación

Salida medida Salida estimada

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OBSEVADORES DE ESTADOObservador de estado de orden completo

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