Para la ecuacin diferencial :
Anlogamente x p(x) = 2 ( x - 1) , x2 q(x) = - 4x son analticas
en x = 0 R1= R2 = . Existe por tanto solucin por el mtodo de
Frobenius, vlida al menos para x 0.
Sustituyendo en la ecuacin diferencial :
+ 2 - 2 - 4 Coeficiente de xr-1 :
r (r - 3) = 0Difieren en entero: r1 - r2 = 3 = n0. Slo puede
asegurarse en principio la existencia de una solucin y1 en serie de
Frbenius. Para r = r2= 0, se anular el denominador de la relacin de
recurrencia para . n = n0 = 3.
Coeficiente de xn+r-1 :
Se observa que el factor n + r 3 que anula al denominador cuando
r = r2 = 0 y n = n0 = 3, est tambin en el numerador.
. Y tomando a0 = 1:. Es decir:
La relacin de recurrencia, antes de escribirla bajo la forma de
cociente, es:
I (n+r) an + .Y para r = 0 : n(n-3) an= - 2(n-3) an-1
Podr escribirse bajo la forma de cociente: excepto para n=3, en
cuyo caso ser: 3.0.a3 = - 2.0. a2 .
Se obtiene por tanto: a1 = - 2 a0 , a2 = - a1 = 2 a0 y a3 es
libre. Cualquier valor que se asigne a a3 (y a a0 0 ) conduce a una
solucin. La eleccin ms simple es a3 = 0 y a0 = 1. Entonces a4 = a5
=...=0. Y se obtiene una 2 solucin:
Otra forma: Como puede tomarse cualquier valor para a3 , podra
asignrsele el deducido de la relacin de recurrencia , vlido en
principio para n 3.
Entonces: e
Es por tanto otra solucin particular: es decir:
Nota: Se verifica: =
. Es decir:
La solucin general es: y = C1 y1(x) + C2 y2(x), x y = K1 y2(x) +
K2 y2*(x), x
En ambos casos:
