EJEMPLO: TRACE LA GRÁFICA DE f SIENDO

x - 1 f(x) =

x2 – x - 6

ACONDICIONAMIENTO: ES CONVENIENTE FACTORIZAR EL DENOMINADOR PARA ENCONTRAR SUS RAÍCES

f(x) = (x + 2) (x – 3)

x - 1

Obtendremos la gráfica siguiendo los pasos indicados.

PASO 1: OBTENER LAS RAÍCES DEL NUMERADOR.

x – 1 = 0

Despejando x , obtenemos que la raíz está en x = 1

Representamos el punto (1,0) en la gráfica, como se muestra en la figura 1.1

y

x

Fig. 1.1

PASO 2: OBTENER LAS RAÍCES DEL DENOMINADOR.

x + 2 = 0

x – 3 = 0

Despejando x , obtenemos que la raíz está en x = -2

Despejando x , obtenemos que la raíz está en x = 3

Entonces las rectas x = -2 y x = 3 son asíntotas verticales que representamos con líneas punteadas como se ve en la figura 1.2

x

y

Fig. 1.2

-2 3

PASO 3: ENCONTRAR EL SIGNO DE f(x) EN LOS INTERVALOS QUE DETERMINAN LAS RAÍCES DE g(x) y h(x)

(- , -2), (-2, 1), (1, 3), (3, )

Intervalo Prueba de signo Signo de f(x) Posición de la Gráfica

(- , -2) f(-3) = -2/3 - Debajo del eje x

(-2, 1) f(0) = 1/6 + Encima del eje x

(1, 3) f(2) = -1/4 - Debajo del eje x

(3, ) f(4) = 1/2 + Encima del eje x

PASO 4: DETERMINAR EL COMPORTAMIENTO DE f(x) CERCA DE CADA ASÍNTOTA VERTICAL.

(a) Considerando la asíntota vertical x = -2, observamos que la gráfica se encuentra por debajo del eje x en el intervalo (- , -2), entonces f(x) - cuando x -2- .

Como la gráfica se encuentra por encima del eje x en el intervalo (-2, 1), entoncesf(x) cuando x -2+ .

Trazamos porciones de la gráfica a cada lado de la recta x = -2. Fig. 1.3

y

x

Fig. 1.3

-2 3

(b) Considérese la asíntota vertical x = 3. La gráfica se encuentra por debajo del eje x en el intervalo (1, 3), por consiguiente, f(x) - cuando x 3- .

La gráfica está por encima del eje x en el intervalo (3, ). Tenemos f(x) cuando x 3+ .

Igual que en el caso anterior, trazamos porciones de la gráfica a cada lado de la recta x = 3. Fig. 1.4

y

x

Fig. 1.4

-2 3

PASO 5: DETERMINAR LA FORMA EN LA QUE LA GRÁFICA CORTA AL eje x.

La cuarta columna del paso 3, indica que la gráfica cruza el eje x en (1,0) como se muestra en la figura 1.5

y

x

Fig. 1.5

-2 3

PASO 6: DETERMINAR EL COMPORTAMIENTO DE f(x) CUANDO x ó x -

Para determinar lo que ocurre cuando x ó x - , dividimos el numerador y el denominador de f(x) por x2 y obtenemos

(1/x) – (1/ x2)f(x) = 1 – (1/x ) – (6/ x2)

Cuando x es numéricamente grande, las expresiones que están entre paréntesis se acercan a 0 y por lo tanto,

0 – 0f(x) 1 – 0 – 0

= 0

Esto indica que f(x) 0 cuando x y f(x) 0, cuando x -

Se deduce que, la recta y=0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la gráfica.

Usando la información de los pasos 4, 5 y 6, así como la representación de algunos puntos, obtenemos la gráfica de la fig. 1.6

PASO 7: TRAZAMOS LA GRÁFICA

y

x

Fig. 1.6

-2 3

Se puede generalizar el método que se utilizó en el paso 6. Para estudiar el comportamiento de cuando x o cuando x - , si el grado

de g(x) no es mayor que el grado de h(x), se divide numerador y denominador por xk, donde k es el grado de h(x). Se puede demostrar que cuando el grado de g(x) es mayor que el grado de h(x), f(x) crece o decrece sin límite cuando x o x -

g(x)f(x) = h(x)