Conducción en estado inestable, 1D, sin generación

Método de Transformada de Laplace1

Dr. Bernardo Hernández Morales

Considera una placa semi-infinita, inicialmente a 0◦C, como se muestra en la figura:

x

T(x,t)

Objetivo: Determinar una expresión para la distribución espacial de temperatura comofunción del tiempo: T (x, t).

Formulación Matemática

La ecuación diferencial que describe al problema de conducción de calor es:

∂2T (x, t)

∂x2=1

α

∂T (x, t)

∂ten 0 ≤ x <∞, t > 0 (1)

sujeta a las condiciones de frontera

C.F.1 : T (x, t) = T0 en x = 0, t > 0 (2)

C.F.2 : T (x, t) = 0 en x→∞, t > 0 (3)

y la condición inicial

C.I.: T (x, t) = 0 x ≥ 0, t = 0 (4)

1M. N. Öziçik. Transferencia de Calor. McGraw-Hill. México, 1979.

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Solución

El método de transformada de Laplace consiste en aplicar el operador transformada deLaplace (L) a la Ec. 1:

L(∂2T (x, t)

∂x2

)= L

(1

α

∂T (x, t)

∂t

)(5)

con lo que se obtiene2 la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal:

d2T (x, s)

dx2− s

αT (x, s) = 0 en 0 ≤ x <∞ (6)

sujeta a las condiciones de frontera

C.F.1a : T (x, s) =1

s· To en x = 0 (7)

C.F.2a : T (x, s) =1

s· 0 = 0 en x→∞ (8)

Nótese que al aplicar el operador transformada de Laplace se ha removido la derivadaparcial con respecto al tiempo y se ha introducido la función temperatura transformada(T (x, s)

).

La solución de la Ec. 6 es:

T (x, s) = C1 exp

(−√s

αx

)+ C2 exp

(+

√s

αx

)(9)

aplicando la C.F.1a:

To

s= C1 exp

(−√s

α(0)

)+ C2 exp

(+

√s

α(0)

)= C1 + C2 (10)

aplicando la C.F.2a:

0 = C1 exp

(−√s

α(0)

)+ C2 exp

(+

√s

α∞)

0 = 0 + C2 exp

(+

√s

α∞)

∴ C2 = 0 (11)

susbtituyendo en la Ec. 10:

C1 =To

s(12)

Substituyendo C1 y C2 en la Ec. 9 se obtiene:

2L [f(t)] = f(s)L [constante] = 1

s·constante

L[df(t)

dt

]= sf(s)− f(0)

2

T (x, s) = To exp

(−√s

αx

)(13)

Para retornar al dominio t, se procede a invertir la solución:

L−1(T (x, s)

)= L−1

(To exp

(−√s

αx

))(14)

Las funciones inversas de la transformada de Laplace están disponibles en tablas (p. ej.en M. N. Özi̧sik. Heat Conduction. John Wiley and Sons, 1980, pp. 259-262), de donde seobtiene:

T (x, t) = To erfc

(x

2√α t

)(15)

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