ejemplos de cálculo estructural en madera

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EJEMPLOS DE CÁLCULO

ESTRUCTURAL EN MADERA

INSTITUTO FORESTAL

2014

Informe Técnico N° 182

2ª

Edición

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Informe Técnico N° 182

INSTITUTO FORESTAL UNIDAD DE TÉCNOLOGÍA E INDUSTRIAS DE LA MADERA

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA

Autores

Mario Wagner M.1 Marcelo González R.2

Luís Vásquez V.3 Gonzalo Hernández C. 4

Colaboradora

Javiera Padilla R.5

1 Ingeniero Civil. [email protected]

2 Instituto Forestal. [email protected]



5 Estudiante Ingeniería Civil. [email protected]

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INSTITUTO FORESTAL - Chile 2014 Ejemplos de Cálculo Estructural en Madera Informe Técnico N° 182 Primera edición 2011 Segunda edición 2014 Unidad de Tecnología e Industria de la Madera, INFOR, Sede Bio Bio. Publicación financiada por el Contrato de Desempeño INFOR-MINAGRI 2013. ISBN N° 978-956-318-097-8

www.infor.cl www.construccionenmadera.cl

http://www.infor.cl/

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PRÓLOGO

Estados Unidos (90/95%), Canadá (80/90%), Suecia, Noruega y Finlandia (75/85%) son los

países que a nivel mundial más emplean la madera en la construcción de sus viviendas. Estos

países promueven su uso en consideración a una serie de aspectos: los bosques contribuyen a

mitigar el cambio climático (captura de carbono); la madera presenta bajos consumos de

energía en su ciclo de vida (producción, transporte, construcción, operación de la vivienda y

demolición); la madera es un material reciclable; biodegradable; presenta un buen

comportamiento frente a los sismos; y los sistemas constructivos permiten fabricar viviendas

en menos tiempo.

La realidad internacional está muy alejada de lo que sucede en Chile, donde las viviendas con

estructura de madera rondan el 19%. El bajo consumo de madera en la construcción de

viviendas en Chile se explica por una serie de factores: (a) La escasa disponibilidad de mano de

obra calificada (carpinteros); (b) Número reducido de profesionales de Arquitectura, Ingeniería

Civil y Construcción Civil con especialización en la especificación, construcción, y diseño de

estructuras de madera (c) Oferta no estandarizada de madera para la construcción, aspecto

que no incentiva su uso por parte de las empresas constructoras; (d) Falta de laboratorios de

control de calidad de materiales de la construcción que certifiquen la calidad estructural de la

madera, (e) Ausencia de un programa de difusión masivo del uso de la madera en la

construcción; (f) Número reducido de empresas PYME dedicadas a la industrialización de

componentes; (g) Falta de material técnico de apoyo para la formación de profesionales de la

construcción en madera.

La publicación “Ejemplos de Cálculo Estructural en Madera”, financiada con recursos del

Convenio de Desempeño 2011 suscrito entre la Corporación de Fomento de la Producción

(CORFO) y el Instituto Forestal (INFOR), cubre una de las falencias detectadas que limitan el

uso de la madera en la construcción, transformándose en un valioso material de apoyo para la

formación de profesionales ligados a la construcción en madera.

El autor principal de esta publicación es el Ingeniero Civil Sr. Mario Wagner Muñoz, quien

también participó en la elaboración de la norma chilena de construcciones en madera. Además

participaron de este estudio los profesionales de la Unidad de Tecnología e Industrias de la

Madera del INFOR, Ingenieros Srs. Gonzalo Hernández, Luis Vásquez y Marcelo González.

Finalmente, esta publicación contó con la colaboración de la Srta. Javiera Padilla, estudiante de

Ingeniería Civil de la Universidad Católica de la Santísima Concepción.

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7

INTRODUCCIÓN

La norma chilena NCh 1198: Madera – Construcciones en madera – Cálculo, establece los

métodos y procedimientos de diseño estructural que determinan las condiciones mínimas que

deben cumplir los elementos y las uniones en las construcciones con madera aserrada,

laminada, y de sección circular.

La presente publicación pone a disposición de los estudiantes y profesionales relacionados con

el diseño de estructuras, ejemplos prácticos de cálculo y diseño estructural en madera. En el

desarrollo de ellos se expone la metodología y procedimientos de diseño basados en la última

versión de la norma chilena de construcciones en madera NCh 1198 oficial 2006, cuyo texto se

requiere para el adecuado desarrollo de los ejemplos.

En algunos ejemplos se incorpora información que no se encuentra contenida en la norma, ya

sea porque considera materiales que a nivel nacional no han sido suficientemente

caracterizados, o bien, porque con posterioridad a la última revisión del documento se dispuso

de información que probablemente se incorporará al texto normativo en su próxima

redacción.

En el caso específico de ejemplos que consideran uso de piezas de madera laminada encolada

de Pino radiata, y con el propósito de no alargar excesivamente el desarrollo de los ejemplos,

sus propiedades admisibles se han estimado en forma conservadora con respecto a la estricta

aplicación de las especificaciones de la norma correspondiente, NCh 2165: Tensiones

admisibles para la madera laminada estructural de Pino radiata. Se ha asumido una

materialización híbrida cuando no se mencione específicamente algo distinto; es decir, láminas

Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura de la sección transversal y láminas

Grado B (NCh 2150) en los dos tercios centrales de la altura. En el Anexo C se entrega un

detalle de las situaciones consignadas.

Para los ejemplos que consideran uso de tableros contrachapados, y dado que los fabricados

en el país no se encuentran aún caracterizados desde el punto de vista de las propiedades

mecánicas requeridas para el cálculo estructural, se hace uso de los resultados obtenidos en el

proyecto desarrollado en 1990 por la Corporación Chilena de la Madera, cofinanciado por

CORFO a través del Fondo de Desarrollo Productivo, y cuyos resultados prácticos se resumen

en el Anexo E.

Finalmente se incorpora en el Anexo K una serie de erratas al texto de la última versión de la

norma de construcciones en madera, las que han sido consideradas en la reciente revisión del

documento próximo a oficializarse como NCh 1198 Of.2014.

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ÍNDICE

EJEMPLO 1: Determinación de propiedades mecánicas de diseño .............................................. 1

EJEMPLO 2: Criterio de especificación de especie maderera y grado estructural ........................ 2

EJEMPLO 3: Diseño de pie derecho de tabiquería ........................................................................ 5

EJEMPLO 4: Carga de diseño de columna ..................................................................................... 9

EJEMPLO 5: Pieza Comprimida de sección transversal compuesta no espaciada ...................... 12

EJEMPLO 6: Columna de sección transversal compuesta espaciada .......................................... 18

EJEMPLO 7: Puntal tripartito de columna ................................................................................... 23

EJEMPLO 8: Columna bipartita .................................................................................................... 27

EJEMPLO 9: Capacidad de carga de vigas de piso ....................................................................... 35

EJEMPLO 10: Viga de piso tipo cajón .......................................................................................... 40

EJEMPLO 11: Viga enrejada ......................................................................................................... 46

EJEMPLO 12: Envigado maestro de techo con vigas clavadas de alma llena entablada y cordones de madera laminada encolada. ................................................................................... 54

EJEMPLO 13: Diseño de pie derecho de una tabiquería exterior ............................................... 69

EJEMPLO 14: Sistema de moldaje de muros ............................................................................... 74

EJEMPLO 15: Moldaje losa .......................................................................................................... 82

EJEMPLO 16: Diseño de unión con pasadores ............................................................................ 92

EJEMPLO 17: Diseño de unión con tirafondos ............................................................................ 98

EJEMPLO 18: Diseño de empalme clavado ............................................................................... 104

EJEMPLO 19: Diseño de unión clavada ..................................................................................... 109

EJEMPLO 20: Unión con clavos lanceros ................................................................................... 114

EJEMPLO 21: Diseño de uniones clavadas en una cercha ......................................................... 118

EJEMPLO 22: Diseño de uniones con placas dentadas en una cercha ...................................... 133

EJEMPLO 23: Diseño de uniones con conectores dentados en una cercha .............................. 147

EJEMPLO 24: Diseño de unión de alero de estructura de techo construida con conectores anulares ..................................................................................................................................... 163

EJEMPLO 25: Uniones de contacto: embarbillado .................................................................... 172

EJEMPLO 26: Unión de embarbillado en tracción ..................................................................... 176

EJEMPLO 27: Diseño de sistema de techo con vigas rectas de madera laminada .................... 179

EJEMPLO 28: Sistema de techo a dos aguas con vigas de madera laminada de canto inferior recto .......................................................................................................................................... 184

EJEMPLO 29: Sistema de techo a dos aguas simétrico con vigas de madera laminada con bordes inclinados ...................................................................................................................... 192

EJEMPLO 30: Marco triarticulado de madera laminada ........................................................... 203

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ANEXO A: Propiedades físicas especies madereras comerciales .............................................. 214

ANEXO B: Tensiones Admisibles y Módulos Elásticos madera aserrada de Pino radiata ........ 215

ANEXO C: Tensiones admisibles de piezas homogéneas e híbridas de madera laminada encolada de pino radiata (estimación conservadora) ............................................................... 217

ANEXO D: Expresiones para la estimación de deformaciones verticales en vigas de madera laminada encolada de altura variable. ...................................................................................... 220

ANEXO E: Tensiones admisibles para tableros contrachapados estructurales ......................... 222

ANEXO F: Medios de unión (NCh 1198) .................................................................................... 226

ANEXO G: Especificaciones de diseño y ejecución de uniones con clavos fabricados según norma NCh 1269. ...................................................................................................................... 228

ANEXO H: Propiedades de diseño placas dentadas GN 20 A (Gang Nail) ................................ 230

ANEXO I: Uniones con conectores. De presión Tipo C (EN 1995-1-1) ....................................... 234

ANEXO J: Cargas inducidas por el hormigón fresco sobre los moldajes (American Concrete Institute EEUU) .......................................................................................................................... 245

ANEXO K: Erratas consideradas en la revisión de la norma a oficializarse como NCh 1198.Of 2014 ........................................................................................................................................... 248


I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 1

EJEMPLO 1: Determinación de propiedades mecánicas de diseño

Determinar la tensión de diseño de flexión y el módulo elástico de diseño de vigas de lenga

aserradas en bruto de sección 50 x 150 mm, Grado Estructural N°2 según NCh 1970 Parte 1,

con un contenido de humedad 22 %, para un estado de carga con duración acumulada de 1

año durante la vida útil de la construcción.

Solución:

El contenido de humedad de las vigas es H = 22% ≥ 20 %

De NCh 1198, sección 5.2.4, Tabla 3, dado que H > 20% corresponde considerar condición

verde para la determinación de las tensiones admisibles y del módulo de elasticidad.

Además, de acuerdo con NCh 1198 Anexo A, en condición verde la lenga se asigna al

Agrupamiento E5.

De NCh 1198, sección 5.2.4, Tabla 6, a un Grado estructural N°2 y especies asignadas al

Agrupamiento E5 le corresponde una Clase Estructural F8.

En Tabla 4 de NCh 1198 sección 5.2.4, a la Clase estructural F8 se asigna una tensión admisible

de flexión 𝐹𝑓 = 8,6 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura h = 50 mm) y un módulo de

elasticidad E = 6.900 Mpa.

Aplicación de factores de modificación.

i) Por duración de la carga, NCh 1198, sección 6.1.2

𝐷 = 1 𝑎ñ𝑜 = 365 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60 = 31.536.000 𝑠

𝐾𝐷 =1,747

𝐷0,0464+ 0,295 =

1,747

31.536.0000,0464+ 0,295 = 0,784 + 0,295 = 1,08

ii) Por altura, NCh 1198, sección 7.2.2.3

Como h =150 mm

𝑘ℎ𝑓 = √50

ℎ

9

= √50

150

9

= 0,885

Propiedades de diseño:

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾ℎ𝑓 = 8,6 ∗ 1,08 ∗ 0,885 = 8,2 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 = 6.900 𝑀𝑃𝑎


2 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L

EJEMPLO 2: Criterio de especificación de especie maderera y grado

estructural

Determinar una combinación aceptable de especie forestal (NCh 1990) y grado estructural

(NCh 1970) que permita verificar una disposición regular de columnas de 4 m de largo,

escuadría 145 x 145 mm, con un contenido de humedad H = 18 %, dispuestas según un

reticulado en planta, módulo 3 m, y que deben soportar una densidad de carga q = 4,5 kN/m2.

La duración acumulada del estado de carga condicionante del diseño es 6 meses.

Solución:

Área tributaria que descarga sobre cada columna.

𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 3 ∗ 3 = 9 𝑚2

Fuerza de compresión que solicita cada columna.

𝑁 = 𝑞 ∗ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 4,5 ∗ 9 = 40,5 𝑘𝑁 = 40.500 𝑁

Tensión de trabajo por compresión paralela.

𝑓𝑐 =𝑁

𝑏𝑥ℎ=

40.500

145 ∗ 145= 1,93 𝑀𝑃𝑎

La condición óptima establece la igualdad de la tensión de trabajo con la tensión de diseño de

compresión paralela (Ver NCh 1198, Sección 7.3.2:

𝑓𝑐 = 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆

Factor de modificación por duración de carga, NCh 1198, Sección 6.1.2

𝐷 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 6 ∗ 30,5 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60 = 15811.200 𝑠

𝐾𝐷 =1,747

𝐷0,0464+ 0,295 =

1,747

15.811.2000,0464+ 0,295 = 0,810 + 0,295 = 1,105

Factor de modificación por contenido de humedad. NCh 1198, Sección 6.1.1, Tabla 8.

Gradiente de humedad con respecto a la condición seca

Δ𝐻 = 𝐻 − 12 = 18 − 12 = 6%

𝐾𝐻,𝐹𝑐𝑝 = (1 − Δ𝐻 ∗ Δ𝑅𝑐𝑝) = 1 − 6 ∗ 0,043 = 0,742

𝐾𝐻,𝐸 = (1 − Δ𝐻 ∗ Δ𝐸) = 1 − 6 ∗ 0,0148 = 0,911



El factor de modificación por pandeo se estimará tentativamente asumiendo una Clase

Estructural F8.

De NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4, para F8, Fcp=6,6 MPa ; E=6.900 MPa y conservadoramente

se asumirá un factor de proporcionalidad c=0,80.

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 6,6 ∗ 1,105 ∗ 0,742 = 5,41 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 6.900 ∗ 0,911 = 6.287 𝑀𝑃𝑎

Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.3

Esbeltez reguladora del diseño

𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12

𝑏=4.000 ∗ √12

145= 95,6

Tensión crítica de pandeo para elementos sometidos a compresión

𝐹𝑐𝐸 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠

𝜆2=3,6 ∗ 6.287

95,62= 2,48 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠

=2,48

5,41= 0,458

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,458 ∗ (1 +

95,6200) + 1

2 ∗ 0,8= 1,048

𝐵 =


𝑐=0,458

0,8= 0,573

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,048 − √1,0482 − 0,573 = 0,323

Planteando la condición óptima

𝑓𝑐 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆 ⇒ 1,93 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 1,105 ∗ 0,742 ∗ 0,323

⇒𝐹𝑐𝑝 ≥1,93

1,105 ∗ 0,742 ∗ 0,323= 7,28 𝑀𝑃𝑎

Examinando Tabla 4 de NCh 1198, Sección 5.2.4, se requiere una Clase Estructural F11, que

brinda



𝐹𝑐𝑝 = 8,3 𝑀𝑃𝑎 > 7,28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝐸 = 7.900 𝑀𝑃𝑎

Comprobación:


𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.900 ∗ 0,911 = 7.198 𝑀𝑃𝑎


𝜆2=3,6 ∗ 7.198

95,62= 2,84 𝑀𝑃𝑎


=2,84

6,8= 0,417

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,417 ∗ (1 +

95,6200) + 1

2 ∗ 0,8= 1,01

𝐵 =


𝑐=0,417

0,8= 0,521

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,01 − √1,012 − 0,521 = 0,304

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 6,8 ∗ 0,303 = 2,07 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,93 𝑀𝑃𝑎

Para cumplir con la exigencia de F11 en condición seca, de acuerdo con Tabla 7 de NCh 1198,

5.2.6; se requiere un Grado 4 del Agrupamiento de especies ES4, o un Grado 3 del

Agrupamiento ES5. Es alternativa válida con mayor razón un Grado 2 del Agrupamiento ES6.

De NCh 1198, Anexo A y mencionando solo 2 alternativas de especies por agrupamiento:

ES4: coigue, lenga

ES5: Pino oregón, olivillo

ES6: álamo, ciprés de la guaitecas



EJEMPLO 3: Diseño de pie derecho de tabiquería

Diseño de pie derecho de tabiquería de pared interior (no expuesta al viento) de una vivienda

de 1 piso que soporta la estructura de techo.

Determinar la escuadría y grado estructural adecuados para un pie derecho de espesor

nominal de 2 pulgadas, asumiendo condiciones de servicio secas (H ≤ 12 %). El pie derecho

tiene un largo de 2,44 m, se encuentra simplemente apoyado en sus extremos y resiste cargas

de peso propio: 2,12 kN y sobrecarga de servicio de techo: 1,18 kN. El revestimiento brinda

apoyo lateral completo a los pies derechos en el plano de la tabiquería. Verifique el

aplastamiento ejercido por los pies derechos sobre la solera basal de la misma escuadría de los

pies derechos.

Solución:

Determinación de la combinación de cargas crítica.

Para la componente de estado de carga de naturaleza permanente KD = 0,90 (ver NCh 1198,

anexo G)

Para la componente de estado de carga de sobrecarga de techo KD = 1,25 (ver NCh 1198, anexo

G)

𝐶𝑝𝑝𝐾𝐷

=2,12

0,9= 2,36 𝑘𝑁

𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐

𝐾𝐷=2,12 + 1,18

1,25= 2,64 𝑘𝑁 ⇒ Combinación de cargas crítica



Tanteo con pieza de escuadría nominal 2x3 de Pino radiata Grado G2:

Largo : 2,44 m

Ancho : 65 mm (NCh 2824)

Espesor : 41 mm (NCh 2824)

Área sección (S) = ancho * espesor = 65*41 = 2.665 mm2

Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b.

𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm)

𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,80

Factores de modificación:

𝐾𝐻 = 1,0 (Condición de servicio seca H ≤ 12 % , NCh 1198, Sección 6.1.1)

𝐾𝐷 = 1,25 (Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G)

𝐾ℎ,𝐸 = √ℎ

180

4= √

65

180

4= 0,775 (NCh 1198, Sección 7.2.4.2)

𝐾𝑐𝑛 = √150

𝑙

4= √

150

41

4= 1,38 (NCh 1198, Sección 7.5.3.2)

Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.3:

Tensión de diseño en compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.2

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 6,5 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 8,13 𝑀𝑃𝑎

Módulo de elasticidad de diseño, NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 1,0 ∗ 0,775 = 6.898 𝑀𝑃𝑎



Longitud efectiva de pandeo, NCh 1198 Sección 7.3.1.2

𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 2,44 = 2,44 𝑚

Esbeltez reguladora del diseño, NCh 1198, Sección 7.3.2.2

𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12

ℎ=2.440 ∗ √12

65= 130

Tensión crítica de pandeo para elementos sometidos a compresión


𝜆2=3,6 ∗ 6.899

1302= 1,47 𝑀𝑃𝑎


=1,47

8,13= 0,181

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,181 ∗ (1 +

130200) + 1

2 ∗ 0,8= 0,811

𝐵 =

𝐹𝑐𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠𝑐

=0,181

0,8= 0,226

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,811 − √0,8112 − 0,226 = 0,154

𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8,13 ∗ 0,154 = 1,25 𝑀𝑃𝑎

Verificación:

Tensión de trabajo por compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.1

𝑓𝑐𝑝 =𝑁

𝑆=(2,12 + 1,18) ∗ 1.000

2.665= 1,24 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠

Verificación aplastamiento basal:

Tensión de diseño en compresión normal a la fibra, NCh 1198, Sección 7.5.2

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,38 = 3,46 𝑀𝑃𝑎



Tensión de trabajo por aplastamiento

𝑓𝑐 =𝐶𝑐𝑟𝑖𝑡ℎ ∗ 𝑙

=(2,12 + 1,18) ∗ 1.000

65 ∗ 41= 1,24 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠



EJEMPLO 4: Carga de diseño de columna

Estimar la carga de diseño máxima que puede soportar un cuartón de escuadría nominal 4 x 4,

y largo 4,20 m, de madera aserrada en bruto de Pino radiata Grado G2. El contenido de

humedad de la pieza es 20 %, y la solicitación que condiciona el diseño la originan el peso

propio del sistema y una sobrecarga de servicio con una duración acumulada de 1 año. Los

extremos del cuartón se encuentran impedidos de desplazarse lateralmente.

Solución:

Condiciones geométricas

Largo : 4,20 m



Área Sección (S) = ancho * espesor = 94*94 = 8.836 mm2

Propiedades mecánicas admisibles asociadas al grado G2, NCh 1198, Tabla 4 b



𝑐 = 0.80

Factor de modificación por contenido de humedad verde (H≥20%), NCh 1198, Sección 6.1.1,

Tabla 9 (Ver anexo B de este publicación)

𝐾𝐻,𝐹𝑐𝑝 =2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻

1,75=2,75 − 0,0833 ∗ 22

1,75= 0,524

𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻

1,2=1,44 − 0,02 ∗ 22

1,2= 0,833

Toda pieza con contenido de humedad H ≥ 20 % se asume en condición verde, la que para la

aplicación de estas correcciones se refleja considerando H = 22 % en las expresiones de los

factores de modificación.



Factor de modificación por duración de carga, NCh 1198 Sección 6.1.2

D = 1 año =365*24*60*60 = 31.536.000 s

𝐾𝐷 =1,747

𝐷0,0464+ 0,295 =

1,747

31.536.0000,0464+ 0,295 = 1,08

Factor de modificación por altura para módulo elástico, Nch 1198, Sección 7.2.4.2


180

4

= √94

180

4

= 0,85

Verificación

Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.2:

Longitud efectiva de pandeo, NCh 1198, Sección 7.3.1.2, Tabla 16, Caso 4

𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 4,20 = 4,20 𝑚

Tensión de diseño en compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.2


Módulo elástico de diseño, NCh 1198, Sección 7.1.1 y 7.2.4.2

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 0,833 ∗ 0,85 = 6.305 𝑀𝑃𝑎

NCh 1198 Sección 7.3.2.2

𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12

ℎ=4.200 ∗ √12

94= 154,8


𝜆2=3,6 ∗ 6.302

154,82= 0,947 𝑀𝑃𝑎


=0,947

3,678= 0,258



𝐴 =


∗ (1 +𝜆200

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,258 ∗ (1 +

154,8200

) + 1

2 ∗ 0,8= 0,911

𝐵 =


=0,258

0,8= 0,322

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,911 − √0,9112 − 0,322 = 0,198

Tensión de diseño en compresión paralela considerando inestabilidad lateral, NCh 1198,

Sección 7.3.2.2, parte b.

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 3,68 ∗ 0,198 = 0,73 𝑀𝑃𝑎

𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑆 = 0,73 ∗ 8.836 = 6.448 𝑁 = 6,448 𝑘𝑁

Por lo tanto, la carga de diseño del cuartón asciende a 6,45 kN.



EJEMPLO 5: Pieza Comprimida de sección transversal compuesta no

espaciada

La diagonal interior DF de una cercha de techo de longitud internodal de 1,65 m (en el modelo

reticular análogo), queda solicitada por una fuerza de compresión axial de 15 kN y consiste de

una pieza central de sección 41 x 90 mmm y dos piezas laterales de sección 33 x 65 mm, de

acuerdo con la estructuración indicada en la figura. Se debe diseñar una ligazón por medio de

clavos de calibre 4,3 x 100 mm (4”). Se dispone de piezas de pino Radiata estructural del Grado

C24 acondicionadas a un contenido de humedad H = 12 %.

Solución:

Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b



𝑐 = 0,85

Factor de modificación por contenido de humedad

𝐾𝐻 = 1



Factor de modificación por duración de carga

Por incorporar el estado de carga la sobrecarga de servicio del techo

𝐾𝐷 = 1,25

Análisis con respecto al eje x-x:

Factor de modificación por altura para módulo elástico

𝐾ℎ,1 = √ℎ1180

4

= √65

180

4

= 0,775 ⇒ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,1 ∗ 𝐸 = 0,775 ∗ 10.200 = 7.907 𝑀𝑃𝑎

𝐾ℎ,2 = √ℎ2180

4

= √90

180

4

= 0,841 ⇒ 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,2 ∗ 𝐸 = 0,841 ∗ 10.200 = 8.577 𝑀𝑃𝑎 = 𝐸𝑟𝑒𝑓

𝑛1 =𝐸1𝐸𝑟𝑒𝑓

=7.907

8.577= 0,922


=8.577

8.577= 1,0

Longitud efectiva de pandeo cordón comprimido de estructura reticulada, NCh 1198, Sección

K.2, Anexo K

𝐿𝑝𝑥 = 0,8 ∗ 𝐿 = 0,8 ∗ 1,65 = 1,32 𝑚 = 1.320 𝑚𝑚

Propiedades estáticas de la sección:

𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 33 ∗ 65 = 2.145 𝑚𝑚2

𝐴2 = 𝑏2 ∗ ℎ2 = 41 ∗ 90 = 3.690 𝑚𝑚2

𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 + 𝐴2 = 2 ∗ 2.145 + 3.690 = 7.980 𝑚𝑚2

𝐼1,𝑥 =𝑏1 ∗ ℎ1

3

12=33 ∗ 653

12= 755.219 𝑚𝑚4

𝐼2,𝑥 =𝑏2 ∗ ℎ2

3

12=41 ∗ 903

12= 2.490.750 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 = 2 ∗33 ∗ 653

12∗ 0,922 +

41 ∗ 903

12∗ 1 = 3.883.374 𝑚𝑚4

𝑖𝑥 = √𝐼𝑥𝐴= √

3.883.374

7.980= 22,1 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑥 =

𝐿𝑝,𝑥𝑖𝑥

=1.320

22,1= 59,8



Análisis con respecto al eje y-y:

Longitud efectiva de pandeo cordón comprimido de estructura reticulada, NCh 1198, Sección

K.2, Anexo K

𝐿𝑝𝑦 = 𝐿 = 1,65 𝑚 = 1.650 𝑚𝑚

𝑎1 =𝑏1 + 𝑏22

=33 + 41

2= 37 𝑚𝑚

Se disponen los clavos en dos hileras espaciados a 100 mm en cada hilera (Clavado de a

mitades desde ambos lados)

Clavos 4,3 x 100 mm:

Penetración efectiva de la punta del clavo en el último madero

𝑝𝑒𝑓 = 𝐼𝑐𝑙 − 𝑏1 − 𝑏2 = 100 − 33 − 41 = 26 𝑚𝑚

𝑝𝑒𝑓

𝑑𝑐𝑙=26

4,3= 6,04 > 4 ⇒ 𝐶𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 ⇒ 𝐶 = 700

𝑁

𝑚𝑚 (𝑁𝐶ℎ 1198, 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 14)

𝐾ℎ,1 = √𝑏1180

4

= √33

180

4

= 0,654 ⇒ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,1 ∗ 𝐸 = 0,654 ∗ 10.200 = 6.674 𝑀𝑃𝑎

𝐾ℎ,2 = √𝑏2180

4

= √41

180

4

= 0,691 ⇒ 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,2 ∗ 𝐸 = 0,691 ∗ 10.200 = 7.047 𝑀𝑃𝑎 = 𝐸𝑟𝑒𝑓

Momento de inercia eficaz


=6.674

7.047= 0,947


=7.047

7.047= 1,0

𝑘1 =𝜋2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠 𝑛⁄ )

𝐶 ∗ 𝐿𝑝,𝑦2 =

𝜋2 ∗ 6.674 ∗ 2.145 ∗ (100 2⁄ )

700 ∗ 1.6502= 3,707

⇒ 𝛾1 =1

1 + 𝑘=

1

1 + 3,707= 0,212

𝐼1,𝑦 =𝑏13 ∗ ℎ112

=333 ∗ 65

12= 194.659 𝑚𝑚4

𝐼2,𝑦 =𝑏23 ∗ ℎ212

=413 ∗ 90

12= 516.908 𝑚𝑚4



𝐼𝑒𝑓,𝑦 = 2 ∗ 𝐼1,𝑦 ∗ 𝑛1 + 𝐼2,𝑦 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾1 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12

= 2 ∗ 194.659 ∗ 0,947 + 516.908 ∗ 1 + 2 ∗ 0,212 ∗ 0,947 ∗ 2.145 ∗ 372

= 368.754 + 516.908 + 1.181.773 = 2.067.434 𝑚𝑚4

𝑖𝑦,𝑒𝑓 = √2.067.434

7.980= 16,1 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑦,𝑒𝑓 =

1.650

16,1= 102,5 > 𝜆𝑥

Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.2:

𝐹𝑐𝐸𝑦 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠

𝜆2=3,6 ∗ 7.047

102,52= 2,41 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎


=2,41

10= 0,241

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200) + 1

2 ∗ 𝑐=0,241 ∗ (1 +

102,5200 ) + 1

2 ∗ 0,85= 0,803

𝐵 =


=0,241

0,85= 0,284

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,803 − √0,8032 − 0,284 = 0,202

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,202 = 2,02 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑐 =𝐶

𝐴=15.000

7.980= 1,88 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Control ligazón elástica, NCh 1198, Sección 7.3.3.2:

𝑄𝑖 =𝐶

𝑘𝜆 ∗ 60=

15.000

0,202 ∗ 60= 1.236 𝑁

⇒ 𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥 =𝛾 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎1

𝐼𝑦,𝑒𝑓=0,212 ∗ 1.236 ∗ 2.145 ∗ 37

2.067.434= 9,54 𝑁/𝑚𝑚



Verificación disposición de clavado

NCh 1198, Sección 9.6.1.6, d:

Clavos calibre 4” : 100*4,3 mm

𝑏𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑒𝑓,𝑚í𝑛 = 33 𝑚𝑚

Se analizará la situación de las uniones entre dos piezas laterales de espesor 33 mm con la

pieza central de 41 mm.

Resistencia al aplastamiento en clavos, NCh 1198, Sección 9.6.3.3.3

𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄ en todos los maderos

𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚/1000)1,84 = 115 ∗ (450 1000)⁄ 1,84 = 26,5 Mpa

Tensión de fluencia en los medios de unión, NCh 1198, Sección 9.6.2.3

𝑏1 = 𝑙𝑙 = 33 𝑚𝑚

𝑏𝑐 = 𝑙𝑐 = 41 𝑚𝑚

D = 4,3 mm < 6,4 mm 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎

Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de fluencia II y IIIc no son

aplicables. La capacidad de carga admisible de los clavos se estimará sobre la base de la

capacidad de carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple.

NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36

Kd=2,2 para D < 4,3 mm

Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2

Modos de fluencia:

Modo Ic:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐

𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

2,2= 2.121 𝑁

Modo Il:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙

𝐹𝐴= 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5

2,2= 1.707 𝑁



Modo IIIl:

𝑅𝑒 = 𝑅𝑎𝑝,𝑐 𝑅𝑎𝑝,𝑙⁄ = 26,5 26,5⁄ = 1,0

𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2

3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙2

= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32

3 ∗ 26,5 ∗ 332= 1,198

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴

= 1,198 ∗ 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5

(2 + 1) ∗ 2,2= 681 𝑁

Modo IV:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝐷2

𝐹𝐴∗ √

2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓

3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)= 4,32

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 647

3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁

∴ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.121; 1.709; 681; 635) = 635 𝑁

Capacidad de carga admisible de la superficie de cizalle adyacente a la punta del clavo:

Penetración del clavo en el tercer madero

𝑝 = 𝐿 − (𝑏𝑙 + 𝑏𝑐) = 100 − (33 + 41) = 26 𝑚𝑚

De acuerdo con NCh 1198, 9.6.1.6.f):

𝑝𝑚𝑚 = 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚 < 𝑝 < 8 ∗ 𝐷 = 8 ∗ 4,3 = 34,4 𝑚𝑚 = 𝑝𝑚

⇒ 𝑃′𝑒𝑙,𝑎𝑑 𝑐𝑑 = (0,75 ∗𝑝

𝑃𝑚) ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = (0,75 ∗

26

34,4) ∗ 635 = 360 𝑁

La capacidad de carga admisible promedio en cada junta de contacto asciende a:

𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0,5 ∗ (635 + 360) = 497𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ 𝑘𝐷 = 498 ∗ 1,25 = 622𝑁

Densidad media de clavado requerida para neutralizar el flujo de cizalle (𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥) inducido

por la ligazón elástica:

𝑒′𝑟𝑒𝑞 =𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑑𝑖𝑠𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥

= 622

9,54= 65,1 𝑚𝑚 > 𝑒′𝑒𝑓 =

𝑒

2=100

2= 50 𝑚𝑚

La disposición de clavado permite neutralizar el flujo de cizalle.



EJEMPLO 6: Columna de sección transversal compuesta espaciada

Columna de sección transversal compuesta espaciada de madera laminada encolada de pino

Radiata (constitución híbrida) con tacos de separación, que recibe una carga de techo de 100

kN. La madera se encuentra en condición seca (H ≤ 15%).

Solución:

𝐿𝑝𝑥 = 𝐿𝑝𝑦 = 4,50 𝑚

𝐴 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 65 ∗ 225 = 29.250 𝑚𝑚2

Verificación respecto el eje x-x: La columna funciona como una columna de sección transversal

simple de espesor 130 mm y altura 225 mm.

𝜆𝑥 =𝐿𝑝𝑥 ∗ √12

ℎ1=4.500 ∗ √12

225= 69,3

Verificación respecto del eje y-y:

De Nch 1198, Sección 7.3.3.3 c

𝑏1 = 65 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿𝑝1,𝑚á𝑥 = 60 ∗ 𝑖1 = 60 ∗65

√12= 1.126 𝑚𝑚

Número de subdivisiones:

N = 𝐿𝑝𝑦

𝐿𝑝1,𝑚á𝑥=

4.500

1.126= 4 N = 5

Se disponen tacos en los extremos y en los puntos cuartos del largo de columna

Þ



Fijación de tacos a piezas mediante pernos PØ1/2” + 2 Conectores de hinca Tipo C, calibre 62

mm + 2 golillas Ø55*5 mm. De Anexo I, para este calibre Sbcp=Sp=120 mm y de acuerdo con

NCh 1198, Tabla 18, el factor de flexibilidad f = 2,5.

Asumiendo se disponen 2 pernos alineados, la longitud de los tacos resulta

𝑙𝑡 = 2 ∗ 𝑠𝑏𝑐𝑝 + 𝑠𝑝 = 2 ∗ 120 + 120 = 360 𝑚𝑚

𝐿𝑝1 =𝐿 − 𝑙𝑡𝑁

=4.500 − 360

5= 828 𝑚𝑚

𝜆1 =𝐿𝑝𝑙 ∗ √12

𝑏1=828 ∗ √12

65= 44,1 < 60

𝐼𝑦 =ℎ1 ∗ ((2 ∗ 𝑏1 + 𝑎)

3 − 𝑎3)

12=225 ∗ ((2 ∗ 65 + 135)3 − 1353)

12= 302.798.438 𝑚𝑚4

𝑖𝑦 = √𝐼𝑦

𝐴= √

302.798.438

29.250= 102 𝑚𝑚

𝜆𝑦 =𝐿𝑝𝑦

𝑖𝑦=4.500

102= 44,2

𝑚 = 2 (n° de piezas individuales que conforman la sección transversal)

𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆𝑦2 + 𝑓 ∗

𝑚

2∗ 𝜆1

2 = √44,22 + 2,5 ∗2

2∗ 44,12 = 82,6 > 𝜆𝑥

Madera laminada de pino Radiata:

Control del pandeo condicionado por laminación vertical. De Anexo C.


𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎


𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,9

Estado de carga peso propio + sobrecarga de techo:

𝑘𝐷 = 1,25

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,0 = 7.700 𝑀𝑃𝑎



𝐹𝑐𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠𝜆2

=5 ∗ 7.700

82,62= 5,64 𝑀𝑃𝑎



=5,64

10= 0,564

𝐴 =


∗ (1 +𝜆300

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,564 ∗ (1 +

82,6300

) + 1

2 ∗ 0,9= 0,955

𝐵 =


=0,564

0,9= 0,627

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,955 − √0,9552 − 0,627 = 0,421


𝑓𝑐 =100.000

29.250= 3,42 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Diseño fijación tacos de separación, Nch 1198, Sección 7.3.3.2, letra F

𝑄𝑖 =𝐶

𝐾𝜆 ∗ 60=

100.000

0,421 ∗ 60= 3.961 𝑁

2 ∗ 𝑎1 = 65 + 135 = 200 𝑚𝑚

𝑇1 =𝑄𝑖

2 ∗ 𝑎1∗ 𝐿𝑝1 =

3.961

200∗ 828 = 16.399 𝑁

Se disponen 2 conectores Tipo C D62 por junta de contacto: De Anexo I. Para conectores

calibre 62:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 7.000 𝑁

𝑁𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 2 ∗ 7.000 ∗ 1,25 = 17.500 𝑁 > 𝑇1

𝑓𝑐𝑧,𝑡𝑎𝑐𝑜 ≈1,5 ∗ 𝑇1ℎ1 ∗ 𝑙𝑡

= 1,5 ∗ 16.399

225 ∗ 360= 0,30 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠



En la figura se plantea una distribución triangular de tensiones de compresión normal entre el

taco separador y las piezas individuales. El efecto neto de estos aplastamientos debe

neutralizar el momento inducido por las fuerzas de corrimiento T en los planos de contacto.

Planteando la condición de equilibrio de momentos en el cuerpo libre constituido por el taco y

para la distribución tensional de la figura:

𝑇 ∗ 𝑎 = 𝐶 ∗ 𝑍

Como

𝐶 =1

4∗ 𝑓𝑐𝑛 ∗ ℎ1 ∗ 𝑙𝑡

y

𝑍 =2

3∗ 𝑙𝑡

Despejando la tensión máxima de compresión normal, resulta:

𝑓𝑐𝑛 =6 ∗ 𝑇1 ∗ 𝑎

ℎ1 ∗ 𝑙𝑡2 =

6 ∗ 16.399 ∗ 135

225 ∗ 3602= 0,456 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,5 𝑀𝑝𝑎

Cada perno queda solicitado por una tracción Ft = C/2.

En los comentarios de la norma alemana de diseño de construcciones de madera DIN 1052 se

recomienda incrementar esta fuerza en el 25% de la fuerza que traspasa cada conector, para

incorporar la neutralización del momento volcante que induce el mecanismo de traspaso de

fuerzas entre el taco y las piezas de madera por parte de los conectores.

Consecuentemente la tracción que solicita cada perno es:



𝐹𝑡 = 𝐶

2+ 0,25 ∗

𝑇12= 1

8∗ (𝑓𝑐𝑛 ∗ ℎ1 ∗ 𝑙𝑡 + 𝑇1) =

1

8∗ (0,456 ∗ 225 ∗ 360 + 16.399)

= 6.662 𝑁

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 0,8 ∗𝜋 ∗ 𝐷2

4= 0,8 ∗

𝜋 ∗ 12,72

4= 101 𝑚𝑚2

𝑓𝑡 =𝐹𝑡

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎= 6.662

101= 65,7 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 100 𝑀𝑝𝑎



EJEMPLO 7: Puntal tripartito de columna

Verificar que el puntal tripartito AD de la columna de marco construido con madera laminada

encolada de Pino radiata (constitución híbrida), esquematizada en la figura, tiene la capacidad

de diseño para las solicitaciones originadas por el estado de carga : peso propio + sobrecarga

de servicio de techo: Ctramo inferior = 140 kN y Ctramo superior = 45,4 kN. El punto C, que divide los dos

tramos del puntal, se encuentra apoyado fuera del plano del marco. La madera se encuentra

en condición seca ( H ≤ 15%)

Solución:

Geometría sección transversal:

𝑏1 = 65 𝑚𝑚

𝑏2 = 115 𝑚𝑚

ℎ1 = ℎ2 = ℎ = 185 𝑚𝑚

𝑎 = 65 𝑚𝑚 (Separación entre piezas)

Verificación con respecto eje x-x:

𝐿𝑝𝑥 = 3,4 𝑚 = 3.400 𝑚𝑚

𝐼𝑥 =(2 ∗ 𝑏1 + 𝑏2) ∗ ℎ

3

12=(2 ∗ 65 + 115) ∗ 1853

12= 129.270.677 𝑚𝑚4

𝐴 = ℎ ∗ (2 ∗ 𝑏1 + 𝑏2) = 185 ∗ (2 ∗ 65 + 115) = 45.325 𝑚𝑚2




129.270.677

45.325= 53,4 𝑚𝑚

𝜆𝑥 =𝐿𝑝𝑥𝑖𝑥

=3.400

53,4= 63,7

Verificación con respecto eje y-y:

𝐼𝑦 =ℎ

12((2 ∗ (𝑏1 + 𝑎) + 𝑏2)

3 − (2 ∗ 𝑎 + 𝑏2)3 + 𝑏2

3) =185

12(3753 − 2453 + 1153)

= 609.715.677 𝑚𝑚4


𝐴= √

609.715.677

45.325= 116 𝑚𝑚

𝜆𝑦 =𝐿𝑝𝑦

𝑖𝑦=3.400

116= 29,3

De Nch 1198, Sección 7.3.3.3 c

𝑏1 = 65 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿𝑝1,𝑚á𝑥 = 60 ∗ 𝑖1 = 60 ∗65

√12= 1.126 𝑚𝑚

Número de subdivisiones:

𝑁 =𝐿

𝐿𝑝1,𝑚á𝑥=

3.400

1.126= 3,1 → 5 (se elige el impar inmediatamente mayor)

⇒ 𝐿𝑝1 ≈3.400

5= 680 𝑚𝑚

𝜆1 =𝐿𝑝1 ∗ √12

𝑏1=680 ∗ √12

65= 36,2

Los tacos separadores se fijan mediante P Ø1/2” + conectores Tipo C, calibre D50 (Ver Anexo I)

⇒ 𝑓 = 2,5

Columna tripartita: m = 3

𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆𝑦2 + 2,5 ∗

𝑚

2∗ 𝜆1

2 = √29,32 + 2,5 ∗3

2∗ 36,22 = 76,1 Crítica

(Control del pandeo condicionado por laminación vertical)



Madera laminada de pino radiata, fabricada combinando láminas Grado A y B según NCh 2150

(Ver anexo C):




𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,9

Estado de carga peso propio + sobrecarga de techo:

𝑘𝐷 = 1,25

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,0 = 7.700 𝑀𝑃𝑎


=5 ∗ 7.700

76,12= 6,66 𝑀𝑃𝑎



=6,66

10= 0,666

𝐴 =


∗ (1 +𝜆300

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,666 ∗ (1 +

76,1300) + 1

2 ∗ 0,9= 1,019

𝐵 =


=0,666

0,9= 0,740

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,019 − √1,0192 − 0,740 = 0,472


𝑓𝑐 =140.000

45.325= 3,09 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Diseño fijación tacos de separación, NCh 1198, sección 7.3.3.2, letra f

𝑄𝑖 =𝐶

𝐾𝜆 ∗ 60=

140.000

0,472 ∗ 60= 4.940 𝑁

2 ∗ 𝑎1 = 65 + 0,5 ∗ (65 + 115) = 155 𝑚𝑚



𝑇1 =0,5 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐿𝑝1

2 ∗ 𝑎1=0,5 ∗ 4.940 ∗ 680

155= 10.837 𝑁

Se disponen 2 conectores Tipo C D50 por junta de contacto:

𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 2 ∗ 1,25 ∗ 5.000 = 12.500 𝑁 < 𝑇1



EJEMPLO 8: Columna bipartita

Columna bipartita con ligazón transversal materializada con celosías. Debe resistir una

compresión C = 20 kN, cubriendo una altura de 4,15 m. Sus extremos se encuentran impedidos

de desplazarse lateralmente. La sección transversal consiste de 2 piezas de madera laminada

encolada de pino radiata de sección: 115 x 210 mm. La vinculación estructural de ambas

secciones se materializa con celosías diagonales, también bipartitas de madera aserrada de

pino Radiata, Grados C24, de escuadría: 33 x 115 mm, fijadas con clavos de 3 ½”: 3,9 x 90 mm a

las piezas principales, de acuerdo con el detalle que se indica en las figuras. El contenido de

humedad de la madera durante la construcción y en servicio no supera el nivel H = 15%. El

estado de carga condicionante del diseño tiene una duración acumulada de 10 años.

Solución:

𝐼𝑝𝑥 = 𝐼𝑝𝑦 = 4,15 𝑚

Verificación con respecto al eje x-x:

𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 115 ∗ 210 = 24.150 𝑚𝑚2

𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 = 2 ∗ 124.150 = 48.300 𝑚𝑚2

𝐼𝑥 =2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1

3

12=2 ∗ 115 ∗ 2103

12= 177.502.500 𝑚𝑚4




177.502.500

48.300= 60,6 𝑚𝑚

⇒ 𝜆𝑥 =𝐿𝑝𝑥𝑖𝑥

=4.150

60,6= 68,5

Verificación con respecto al eje y-y:

Esta verificación condiciona para las piezas laminadas una flexión en laminación vertical. Las

piezas se amarran en ambos extremos con 2 piezas de 33 x 115 mm.

De acuerdo con figura:

𝑙𝑝𝑙 ≈𝐿 − 2 ∗ ℎ1

3=4.150 − 2 ∗ 115

3= 1.307 𝑚𝑚

𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 115 ∗ 210 = 24.150 𝑚𝑚2

𝐼1 =ℎ1 ∗ 𝑏1

3

12=210 ∗ 1153

12= 26.615.312 𝑚𝑚4

𝑖1 = √𝐼1𝐴1

= √26.615.312

24.150= 33,2 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆1 =

𝐿𝑝𝑙𝑖1

=1.307

33,2= 39,4 < 60

𝑎1 =𝐻 − ℎ12

=965 − 115

2= 425 𝑚𝑚

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (965

1.307/2) = 55,9° ⇒ 𝑠𝑒𝑛(55,9) = 0,828

𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 55,9) = 0,928

Se disponen en total 12 clavos funcionando en cizalle simple en los extremos de las diagonales,

tal como se aprecia en la figura siguiente:



𝑝𝑒𝑓 = 𝐼𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 90 − 33 = 57 𝑚𝑚

𝐶 = 600 𝑁/𝑚𝑚

𝑚 = 2 (la sección transversal se compone de 2 piezas)

𝐼𝑦 =210

12(9653 − 7353) = 8.777.418.125 𝑚𝑚4


𝐴 = √

8.777.418.125

48.300= 426 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑦 =

4.150

426= 9,74

𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆𝑦2 +

4 ∗ 𝜋2 ∗ 𝐸𝑦 ∗ 𝐴1

𝑎1 ∗ 𝑛𝑐𝑙 ∗ 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)∗𝑚

2= √9,742 +

4 ∗ 𝜋2 ∗ 7.700 ∗ 24.150

425 ∗ 12 ∗ 600 ∗ 0,928∗2

2

= 51,8 < 𝜆𝑥

Entonces,

𝜆𝑚á𝑥 = 𝜆𝑥 = 68,5

Madera laminada de pino Radiata, fabricada combinando láminas Grado A y B según NCh

2150, considerando laminación horizontal (Ver anexo C):

𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,9



𝐾𝐷 = 1,00

𝐾𝐻 = 1,00


𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 9.000 ∗ 1,0 = 9.000 𝑀𝑃𝑎


=5 ∗ 9.000

68,52= 9,6 𝑀𝑃𝑎


=9,6

8,0= 1,20

𝐴 =


∗ (1 +𝜆300

) + 1

2 ∗ 𝑐=1,2 ∗ (1 +

68,5300

) + 1

2 ∗ 0,9= 1,375

𝐵 =


𝑐=1,2

0,9= 1,334

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,375 − √1,3752 − 1.334 = 0,629


𝑓𝑐 =200.000

48.300= 4,14 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Diseño uniones celosía:

Las uniones deben neutralizar el esfuerzo de corte Qi, condicionado por 𝜆𝑦,𝑒𝑓 = 51,8. Por lo

que se debe considera las piezas de madera laminada híbrida, considerando laminación

vertical (ver anexo C):


𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,9

Dado que 𝐾𝐷 = 1,00 y 𝐾𝐻 = 1,00

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1 ∗ 1 = 8,0 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎


=5 ∗ 7.700

51,82= 14,37 𝑀𝑃𝑎




=14,37

8,0= 1,797

𝐴 =


∗ (1 +𝜆300

) + 1

2 ∗ 𝑐=1,797 ∗ (1 +

51,8300

) + 1

2 ∗ 0,9= 1,726

𝐵 =


=1,797

0,9= 1,996

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,726 − √1,7262 − 1,996 = 0,735

𝑄𝑖 =𝐶

0,735 ∗ 60=

200.000

0,735 ∗ 60= 4.537 𝑁

fuerza que solicita las diagonales:

⇒ 𝐹𝐷 =𝑄𝑖

𝑠𝑒𝑛(55,9°)=4.537

0,828= 5.479 𝑁

Derivación de la capacidad de carga de diseño de clavos 3,9 x 90 mm (3 ½”).

Para pino radiata, de NCh 1198, Anexo E

𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄

𝑅𝑎𝑝 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚

1000)1,84

= 115 ∗ (450

1000)1,84

= 26,5 MPa

𝐷 = 3,9 𝑚𝑚

𝐼𝑐𝑙 = 90 𝑚𝑚

𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,9 = 670 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑙 = 𝑏𝐷 = 33 𝑚𝑚

𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 90 − 33 = 57 𝑚𝑚 < 𝑒𝑐 = 210 𝑚𝑚

Modos de fluencia:

𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐𝑅𝑎𝑝,𝑙

=26,5

26,5= 1

𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=57

33= 1,727






𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒

2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡

2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)

1 + 𝑅𝑒

=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,727 + 1,7272) + 1,7272 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,727)

1 + 1= 0,599

𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2

3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑐2

= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 670 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,92

3 ∗ 26,5 ∗ 572= 1,058

𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2

3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙𝑙2

= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 670 ∗ (2 + 1) ∗ 3,92

3 ∗ 26,5 ∗ 332= 1,17

Modo Ic:


𝐹𝐴=3,9 ∗ 57 ∗ 26,5

2,2= 2.674 𝑁

Modo Il:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙

𝐹𝐴=3,9 ∗ 33 ∗ 26,5

2,2= 1.548 𝑁

Modo II:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙

𝐹𝐴=0,599 ∗ 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5

2,2= 927 𝑁

Modo IIIc:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴

=1,058 ∗ 3,9 ∗ 57 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 943 𝑁



Modo IIIl:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴

=1,17 ∗ 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 603 𝑁

Modo IV:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷2

𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,92

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 670

3 ∗ (1 + 1)= 531 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.674; 1.548; 927; 943; 603; 531) = 531 𝑁

𝐾𝐷 = 1,0

𝐾𝐻𝑈 = 1,0

𝑁𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻𝑈 = 531 ∗ 1 ∗ 1 = 531 𝑘𝑁

Capacidad de carga de diseño fijación de extremos diagonales celosía

𝐷𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 12 ∗ 531 = 6.372 𝑁 > 𝐹𝐷 = 5.479 𝑁

Verificación diagonal:

𝑙𝑝 =2 ∗ 𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝛼)

=2 ∗ 425

𝑠𝑒𝑛(55,9°)= 1.026 𝑚𝑚

𝐴𝐷 = 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 33 ∗ 115 = 3.795 𝑚𝑚2

𝐼𝐷,𝑚í𝑛 =ℎ𝐷 ∗ 𝑏𝐷

3

12=115 ∗ 333

12= 344.396 𝑚𝑚4

𝑖𝐷 = √𝐼𝐷,𝑚í𝑛𝐴𝐷

= √344.396

3.795= 9,53 𝑚𝑚

⇒ 𝜆𝐷 =𝑙𝑝,𝐷𝑖𝐷

=1.026

9,53= 107,8

Para pino radiata, grado C24:


𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,85



𝐾𝐷 = 1,00

𝐾𝐻 = 1,00

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1 ∗ 1 = 8 𝑀𝑃𝑎


180

4

= √33

180

4

= 0,65 ≥ 0,67

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 10.200 ∗ 0,67 = 6.834 𝑀𝑃𝑎


𝜆2=3,6 ∗ 6.834

107,82= 2,12 𝑀𝑃𝑎


=2,12

8,0= 0,265

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,265 ∗ (1 +

107,8200

) + 1

2 ∗ 0,85= 0,828

𝐵 =


=0,265

0,85= 0,312

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,828 − √0,8282 − 0,312 = 0,216


𝑓𝑐 =𝐶𝐷𝐴𝐷

=5.479

3.795= 1,44 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠



EJEMPLO 9: Capacidad de carga de vigas de piso

Determinar la máxima luz que pueden cubrir vigas de piso de Pino radiata de escuadría

nominal 2 x 8, Grado C24, espaciadas cada 610 mm, que deben resistir una carga de peso

propio de 1,5 kN/m2 y una sobrecarga de servicio de 1,5 kN/m2. Las vigas sirven de apoyo de

la base de piso consistente de tableros contrachapados de espesor 18 mm. Se acepta una

deformación máxima de 1/300 avo de la luz para la acción combinada del peso propio y la

sobrecarga, con un máximo de 15 mm y una deformación máxima inducida por la sobrecarga

de servicio de 1/360 avo de la luz. Para la luz determinada estimar la longitud de apoyo

requerida en los extremos de las vigas.

Solución:

Solicitación de peso propio:

𝑞𝑝𝑝 = 1,5 𝑘𝑁 𝑚2⁄

𝑞𝑝𝑝̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝑑 = 1,5 ∗ 0,61 = 0,915 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 0,915 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝐾𝐷 = 0,9

Sobrecarga de servicio:

𝑞𝑠𝑐 = 1,5 𝑘𝑁 𝑚2⁄

𝑞𝑠𝑐̅̅ ̅̅ = 𝑞𝑠𝑐 ∗ 𝑑 = 1,5 ∗ 0,61 = 0,915 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 0,915 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝐾𝐷 = 1,0

Carga de diseño:

�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 = 0,915 + 0,915 = 1,83 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 1,83 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝐾𝐷 = 1,0

Condiciones geométricas:

Ancho: 185 mm (NCh 2824)


Sección = espesor * ancho = 41*185 = 7.585 mm2



𝑊 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜2

6=41 ∗ 1852

6= 233.871 𝑚𝑚3

𝐼 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜3

12=41 ∗ 1853

12= 21.633.052 𝑚𝑚4

Propiedades mecánicas asociadas al Grado C24, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b

𝐹𝑓 = 9,3 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≤90 mm)

𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥180 mm)




Factor de modificación por contenido de humedad, NCh 1198, Sección 6.1.1

𝐾𝐻 = 1,0 Condición de servicio seca H ≤ 12 %

𝐾𝐷 = 1,0 Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G

Factor de modificación por altura, NCh 1198, Sección 7.2.2.3

𝐾ℎ,𝑓 = √90

ℎ

5

= √90

185

5

= 0,866

Factor de modificación por altura para módulo elástico, NCh 1198, Sección 7.2.4.2

𝐾ℎ,𝐸 = 1,0 h ≥180 mm

Factor de modificación por trabajo conjunto en flexión, NCh 1198, Sección 6.1.3

𝐾𝑐 = 1,15 Espaciamiento ≤ 610 mm y vinculación por medio de placa de piso



Factor de modificación por volcamiento, NCh 1198, Sección 7.2.2.4

𝐾𝜆𝑣 = 1,0 Volcamiento impedido por la cubierta de piso

Factor de modificación por longitud de aplastamiento para el extremo de la viga, NCh 1198,

Sección 7.5.3.3

𝐾𝑐𝑛 = 0,8

Factor de modificación por longitud de aplastamiento para solera basal, NCh 1198, Sección

7.5.3.2

𝐾𝑐𝑛 = √150

𝑙

4

= √150

41

4

= 1,383

Capacidad de momento de diseño:

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,3 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,866 ∗ 1,15 = 9,26 𝑀𝑃𝑎

𝑀𝑑𝑖𝑠 = 𝑊 ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 233.871 ∗ 9,26 = 2.165.645 𝑁 ∗ 𝑚𝑚

𝑀𝑚á𝑥 =�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥

2

8=1,83 ∗ 𝐿𝑚á𝑥

2

8= 0,2288 ∗ 𝐿𝑚á𝑥

2

En el óptimo,

𝑀𝑑𝑖𝑠 = 𝑀𝑚á𝑥 ⇒ 𝐿𝑚á𝑥 = √2.165.645

0,2288= 3.077 𝑚𝑚

Restricción por deformaciones

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 10.200 ∗ 1 ∗ 1 = 10.200 𝑀𝑃𝑎

𝑔

𝑞=

�̅�𝑝𝑝�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐

=0,915

1,83= 0,5

De acuerdo con NCh 1198, Sección 7.2.4.11, se desprecia efecto del creep en la estimación de

la flecha.



Control deformación inducida por la carga total

𝛿 =5

384∗�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥

4

𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼≤𝐿𝑚á𝑥300

⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼

1.500 ∗ �̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐

3

= √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052

1.500 ∗ 1,83

3

= 3.137 𝑚𝑚

Control deformación absoluta

𝛿 =5

384∗�̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥

4

𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼≤ 15 𝑚𝑚

⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼 ∗ 15

5 ∗ �̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐

4

= √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052 ∗ 15

5 ∗ 1,83

3

= 3.433 𝑚𝑚

Control deformación inducida por la sobre carga de servicio

𝛿𝑠𝑐 =5

384∗�̅�𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥

4

𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼≤𝐿𝑚á𝑥360

⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼

1.800 ∗ �̅�𝑠𝑐

3

= √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052

1.800 ∗ 0,915

3

= 3.719 𝑚𝑚

Por lo tanto, la máxima luz que se puede cubrir queda condicionada por la tensión de diseño

en flexión y asciende a 3,08 m.

Longitud de apoyo requerida:

Dado que en el caso de apoyo de vigas la superficie de aplastamiento sobre el canto inferior de

las vigas limita con el borde de la pieza, por lo que de acuerdo con NCh 1198 Sección 7.5.3.3


𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 = 0,5 ∗ �̅�𝑝𝑝+𝑠𝑐 ∗ 𝐿𝑚á𝑥 = 0,5 ∗ 1,83 ∗ 3.080 = 2.815 𝑁



𝐴𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 = 𝑏 ∗ 𝑙𝑟𝑒𝑞 = 41 ∗ 𝑙𝑟𝑒𝑞

𝑓𝑐𝑛 =𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜

𝐴𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞≤ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ⇒ 𝑙𝑟𝑒𝑞 =

𝑉𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜

𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠=2.815

41 ∗ 2= 34,3 𝑚𝑚 ⟶ 35 𝑚𝑚

NOTA: desde el punto de vista de la solera basal, la tensión de diseño en compresión normal es




EJEMPLO 10: Viga de piso tipo cajón

Viga de piso de una vivienda, armada mediante clavado según esquema de la figura.

Diseño de la ligazón elástica por medio de clavado y verificación estática de la viga compuesta,

sección cajón, que debe cubrir una luz de 4,20 m y resistir una carga uniformemente

distribuida de 3 kN/m, consistente de las cargas de peso propio y la sobrecarga de servicio. El

descenso máximo de la viga no debe exceder el límite L/300, con L: luz.

Se dispone de piezas de madera aserrada Pino Radiata Grado G1 o mejor, según NCh

1207Of.2006, y clavos 4,3 x 100 mm (calibre 4”) con Pel,ad=635 N.

Solución:

Sección transversal viga armada clavada

𝑄𝑚á𝑥 = 0,5 ∗ 𝑞 ∗ 𝐿 = 0,5 ∗ 3 ∗ 4,2 = 6,3 𝑘𝑁

𝑀𝑚á𝑥 =𝑞 ∗ 𝐿2

8=3 ∗ 4,22

8= 6,615 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

Propiedades estáticas

𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 138 ∗ 41 = 5.658 𝑚𝑚2

𝑎1 = 0,5 ∗ (ℎ1 + ℎ2) = 0,5 ∗ (41 + 185) = 113 𝑚𝑚

𝐴2 = 2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ2 = 2 ∗ 41 ∗ 185 = 15.170 𝑚𝑚2



𝑎2 = 0 𝑚𝑚

𝑆1 = 𝐴1 ∗ 𝑎1 = 5.658 ∗ 113 = 639.354 𝑚𝑚3

𝑆2 =2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ2

2

8=2 ∗ 41 ∗ 1852

8= 350.806 𝑚𝑚3

Propiedades mecánicas asociadas a pino radiata grado G1 o mejor, NCh 1198, Sección 5.2.4,

Tabla 4 b:

𝐹𝑓 = 9,5 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≤ 90 mm)


𝐸 = 10.100 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥180 mm)

Factores de modificación

𝐾𝐻 = 1,0 Condición de servicio seca H≤12%

𝐾𝐷 = 1,0 Carga de diseño de 10 años

𝐾ℎ2,𝑓 = √90

ℎ

5

= √90

185

5

= 0,866

𝐾ℎ,𝐸 = 1,0

𝐾𝜆𝑣 = 1,0 Volcamiento impedido por la cubierta de piso

𝐾ℎ,𝐸,𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 = √ℎ1180

4

= √41

180

4

= 0,691

𝐸1 = 𝐾ℎ,𝐸,í𝑒𝑧𝑎𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎 ∗ 𝐸 = 0,691 ∗ 10.100 = 6.979 𝑀𝑃𝑎

Verificación tensional:

𝐸𝑟𝑒𝑓 = 𝐸2 = 10.100 𝑀𝑃𝑎

𝑛1 =𝐸1,𝑑𝑖𝑠𝐸2,𝑑𝑖𝑠

=6.979

10.100= 0,691

𝑛2 =𝐸2,𝑑𝑖𝑠𝐸2,𝑑𝑖𝑠

= 1,00



Se considera un clavado con espaciamiento 80 mm entre clavos consecutivos.

𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠 𝑛⁄ )

𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 6.979 ∗ 5.658 ∗ (80 2⁄ )

600 ∗ 4.2002= 1,473

⇒ 𝛾 =1

1 + 𝑘=

1

1 + 1,473= 0,404

𝐼1 =𝑏1 ∗ ℎ1

3

12=138 ∗ 413

12= 792.592 𝑚𝑚4

𝐼2 =2 ∗ 𝑏2 ∗ ℎ2

3

12=2 ∗ 41 ∗ 1853

12= 43.266.104 𝑚𝑚4

𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12

= 2 ∗ 792.592 ∗ 0,691 + 43.266.104 ∗ 1 + 2 ∗ 0,404 ∗ 0,691 ∗ 5.658 ∗ 1132

= 1.095.362 + 43.266.104 + 40.337.524 = 84.733.317 𝑚𝑚4

Tensiones de trabajo:

Dado que el clavado directo no debilita la sección transversal Ii= Iin, entonces:

𝑀𝑚á𝑥

𝐼𝑒𝑓=

6.615.000

84.372.104= 0,0781

𝑓𝑓1 =𝑀𝑚á𝑥

𝐼𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 +

ℎ12) ∗ 𝑛1 =

= 0,0781 ∗ (0,404 ∗ 113 +41

2) ∗ 0,691 = 3,57 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,5 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑡𝑔1 =𝑀𝑚á𝑥

𝐼𝑒𝑓∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 ∗ 𝑛1 = 0,0781 ∗ 0,404 ∗ 113 ∗ 0,691 = 2,46 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 5,5 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑓2 = 0,0781 ∗185

2= 7,22 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,5 ∗ √

90

185

5

= 8,2 𝑀𝑃𝑎



𝑓𝑐𝑧,𝑚á𝑥 =𝑄𝑚á𝑥

2 ∗ 𝑏2 ∗ 𝐼𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝑠1 + 𝑠2)

=6.300

2 ∗ 41 ∗ 84.372.104∗ (0,404 ∗ 0,691 ∗ 639.354 + 350.806)

= 0,48 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,1 𝑀𝑃𝑎

Capacidad admisible de carga para clavos de 4,3 x 100 mm (4”)

Para el pino radiata, de NCh 1198, Anexo E


𝑅𝑎𝑝 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚

1000)1,84

= 115 ∗ (450

1000)1,84

= 26,5 MPa

𝐷 = 4,3 𝑚𝑚

𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑙 = 𝑏1 = 41 𝑚𝑚

𝑙𝑐 = 𝑃 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏1 = 100 − 41 = 59 𝑚𝑚

𝑏𝑚𝑖𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 𝑚𝑚 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑚𝑖𝑛,𝑒𝑓 = 41 𝑚𝑚

Modos de fluencia:


=26,5

26,5= 1


41= 1,439

Nch 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36



𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒

2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡

2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)

1 + 𝑅𝑒

=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,439 + 1,4392) + 1,4392 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,439)

1 + 1= 0,519



𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 647 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 4,32

3 ∗ 26,5 ∗ 592= 1,064

𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32

3 ∗ 26,5 ∗ 412= 1,130

Modo Ic:


𝐹𝐴=4,3 ∗ 59 ∗ 26,5

2,2= 3.051 𝑁

Modo Il:


𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

2,2= 2.121 𝑁

Modo II:


𝐹𝐴=0,519 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

2,2= 1.101 𝑁

Modo IIIc:


=1,064 ∗ 4,3 ∗ 59 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 1.082 𝑁

Modo IIIl:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴

=1,130 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 799 𝑁



Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=4,32

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 647

3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(3.051; 2.121; 1.101; 1.082; 799; 635) = 635 𝑁

Control flujo de cizalle

𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,1 =𝑄𝑚á𝑥𝐼𝑒𝑓

∗ 𝛾 ∗ 𝑛1 ∗ 𝑠1

=6.300

84.733.317 𝑚𝑚4∗ 0,404 ∗ 0,691 ∗ 639.354 = 13,3 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑠′𝑟𝑒𝑞 =𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,1

=2 ∗ 635

13,3= 96 𝑚𝑚 > 𝑠′𝑒𝑓 =

𝑠

𝑛=80

2= 40 𝑚𝑚

Control deformación

𝑘𝛿 =𝜋2 ∗ 𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1 ∗ (𝑠 𝑛⁄ )

1,25 ∗ 𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 6.979 ∗ 5.658 ∗ (80 2⁄ )

1,25 ∗ 600 ∗ 4.2002= 1,18

⇒ 𝛾𝛿 =1

1 + 1,18= 0,459

𝐼𝑒𝑓,𝛿 = 2 ∗ 𝐼1 ∗ 𝑛1 + 𝐼2 ∗ 𝑛2 + 2 ∗ 𝛾𝛿 ∗ 𝑛1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑎12

= 2 ∗ 792.592 ∗ 0,691 + 43.266.104 ∗ 1 + 2 ∗ 0,459 ∗ 0,691 ∗ 5.658 ∗ 1132

= 1.095.362 + 43.266.104 + 45.829.019 = 90.192.360 𝑚𝑚4

𝛿𝑓 =5

384∗

𝑞 ∗ 𝐿4

𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑒𝑓,𝛿=

5

384∗

3 ∗ 4.2004

10.100 ∗ 90.192.360= 13,3 𝑚𝑚

𝛿𝑄 =𝑀𝑚á𝑥

0,065 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴2=

6.615.000

0,065 ∗ 10,100 ∗ 15.170= 0,7 𝑚𝑚

𝛿𝑡𝑜𝑡 = 𝛿𝑓 + 𝛿𝑄 = 13,7 + 0,7 = 14 𝑚𝑚 ≈4.200

300= 14 𝑚𝑚



EJEMPLO 11: Viga enrejada

Verificación de la viga enrejada de la figura, que cubre una distancia entre apoyos de 4,64 m y

diseño de las uniones de las diagonales con los cordones. La viga soporta un sistema de techo,

que apoya lateralmente la cuerda superior, y recibe una densidad de carga de 2,5 kN/m. El

descenso máximo se limita a 1/300 avo de la luz. Se dispone de piezas de madera aserrada

estructural de Pino radiata Grado C24 de sección 41*135 mm para los cordones y 33*115 mm

para las diagonales. El contenido de humedad de la madera es 12 %. Las uniones se ejecutan

con clavos de 90 x 3,9 mm (3 ½”).

Solución:

𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿

2

8=2,5 ∗ 4,642

8= 6,728 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 = 6.728.000 𝑁 ∗ 𝑚𝑚

𝑄𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿

2=2,5 ∗ 4,64

2= 5,80 𝑘𝑁 = 5.800 𝑁

fueza máxima en diagonales

𝐷𝑚á𝑥 =𝑄𝑚á𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼

=5.800

𝑠𝑒𝑛 45°= 8.202 𝑁



fijación mediante clavos de 3 ½” : 90*3,9 mm

Capacidad admisible de carga según Nch 1198, sección 9.6.2.2.3

𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0 1.000⁄ )1,84 = 115 ∗ (450 1.000⁄ )1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎

Tensión de fluencia de los clavos, Nch 1198, sección 9.6.2.3.

Como D < 6,4,

⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,9 = 670 𝑀𝑃𝑎

Se analizará la situación de las uniones entre dos piezas laterales de espesor de 41 mm con la

pieza central de 33 mm. Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de

fluencia II y IIIc no son aplicables.

La capacidad de carga admisible de los clavos se estimará sobre la base de la capacidad de

carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple.

Modos de fluencia

𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐

𝑅𝑎𝑝,𝑙=26,5

26,5= 1


41= 0,805

De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36:



𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 670 ∗ (2 + 1) ∗ 3,92

3 ∗ 26,5 ∗ 412= 1,111

Modo Ic:


𝐹𝐴=3,9 ∗ 33 ∗ 26,5

2,2= 1.548 𝑁



Modo Il:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙

2 ∗ 𝐹𝐴=3,9 ∗ 41 ∗ 26,5

2,2= 1.923 𝑁

Modo IIIl:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴

=1,111 ∗ 3,9 ∗ 41 ∗ 26,5

(2 + 1) ∗ 2,2= 713 𝑁

Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,92

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 670

3 ∗ (1 + 1)= 531 𝑁

⇒ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(1.548; 1.923; 713; 531) = 531 𝑁

Penetración del clavo en la pieza opuesta del cordón

𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏1 − 𝑏𝐷 = 90 − 41 − 33 = 16 𝑚𝑚

4 ≤ 𝑝

𝐷=16

3,9= 4,1 ≤ 8

𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑎𝑑 = 𝑁𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ (1 + 0,75 ∗𝑝 𝐷⁄

8) = 531 ∗ (1 + 0,75 ∗

4,1

8) = 736 𝑁

Estado de carga incorpora sobrecarga de servicio en techo, NCh1198, Anexo G:

𝐾𝐷 = 1,25

𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑑𝑖𝑠 = 𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 736 ∗ 1,25 = 920 𝑁



𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐷𝑚á𝑥𝑁𝑒𝑙𝑐𝑑,𝑑𝑖𝑠

=8.202

920= 8,9 ⇒ 9

En los cordones se respeta

𝑠𝑝.𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,9 = 39 𝑚𝑚

𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 3,9 = 27,3 𝑚𝑚

En las diagonales se respeta

𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 30 𝑠𝑒𝑛 45°⁄ = 42,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,9 = 39 𝑚𝑚

𝑠𝑛𝑒𝑓 = 45 ∗ 𝑐𝑜𝑠 45° = 31,8 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 45 𝑠𝑒𝑛 45°⁄ = 63,6 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,9 = 58,5 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 0,5 ∗ (115 − 90 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°) = 25,7 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,9 = 19,5 𝑚𝑚

Propiedades mecánicas asociadas a pino radiata grado C24, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b

𝐹𝑓 = 9,3 𝑀𝑝𝑎 (Aplicable a piezas de altura ≤ 90 mm)

𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable a piezas de altura ≥ 180 mm)

Propiedades estáticas de la sección transversal

𝑎1 =𝐻 − ℎ12

=450 − 135

2= 157,5 𝑚𝑚



𝐸1,𝑑𝑖𝑠 = 10.200 ∗ √ℎ

180

4

= 10.200 ∗ √135

180

4

= 9.492 𝑀𝑃𝑎

𝐴1 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 41 ∗ 135 = 11.070 𝑚𝑚2

Propiedades estáticas de la sección diagonal

𝐸𝐷 = 10.200 ∗ √ℎ

180

4

= 10.200 ∗ √115

180

4

= 9.119 𝑀𝑃𝑎

𝐴𝐷 = 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 33 ∗ 115 = 3.795 𝑚𝑚2

Dado que p=16 mm:

4 ≤𝑝

𝑑𝑐𝑙=16

3,9= 4,1 ≤ 8

𝐶𝑒𝑓 = 𝐶 ∗ (1 + 0,75 ∗𝑝 𝐷⁄

8) = 900 ∗ (1 + 0,75 ∗

4,1

8) = 1.246 𝑁 𝑚𝑚⁄

Para vigas enrejadas con diagonales, NCh 1198, sección 7.2.7.2:

1

𝐶𝑒𝑞=

1

2 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼[

𝑎1𝐴𝐷 ∗ 𝐸𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼

+1

𝑛𝐷 ∗ 𝐶𝑒𝑓]

1

𝐶𝑒𝑞=

1

2 ∗ 𝑐𝑜𝑠245°⌊

157,5

3.795 ∗ 9.119 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°+

1

9 ∗ 1.246⌋ = 9,560 ∗ 10−5

𝐶𝑒𝑞 =1

9,560 ∗ 10−5= 10.460 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1𝐿2

∗ 𝐴1 ∗𝑙𝑙𝐶𝑒𝑞

=𝜋2 ∗ 9.492

4.6402∗ 11.070 ∗

1.160

10.460= 5,342

𝛾 =1

1 + 𝑘=

1

1 + 5,342= 0,158

𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ1 ∗ 𝑎12 ∗ (

ℎ12

12 ∗ 𝑎12 + 𝛾) = 2 ∗ 82 ∗ 135 ∗ 157,52 ∗ (

1352

12 ∗ 157,52+ 0,158)

= 120.226.370 𝑚𝑚4



𝑀

𝐼𝑒𝑓=

6.728.000

120.226.370= 0,056

Tensiones axiales en los centroides de los cordones

𝑓𝑐𝑝 𝑡𝑝,𝑔1⁄ = ±𝑀

𝐼𝑒𝑓∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 = ±0,056 ∗ 0,158 ∗ 157,5 = ±1,39 MPa ≪ F𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 ≪ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠

Tensiones máximas de flexión en los cordones

𝑓𝑓 = ±𝑀

𝐼𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 +

ℎ12) = ±0,056 ∗ (0,158 ∗ 157,5 +

135

2) = ±5,17 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

Control de deformación máxima

𝐶𝛿 = 1,25 ∗ 𝐶𝑒𝑓 = 1,25 ∗ 1.246 = 1.558 𝑁 𝑚𝑚⁄

1

𝐶𝑒𝑞=

1

2 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼[

𝑎1𝐴𝐷 ∗ 𝐸𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼

+1

𝑛𝐷 ∗ 𝐶𝑒𝑓]

=1

2 ∗ 𝑐𝑜𝑠245°⌊

157,5

3.795 ∗ 9.119 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°+

1

9 ∗ 1.558⌋ = 7,777 ∗ 10−5

=1

7,777 ∗ 10−5= 12.859 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1𝐿2

∗ 𝐴1 ∗𝑙𝑙𝐶𝑒𝑞

=𝜋2 ∗ 9.492

4.6402∗ 11.070 ∗

1.160

12.859= 4,345

𝛾 =1

1 + 𝑘=

1

1 + 4,345= 0.187

𝐼𝑒𝑓 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ1 ∗ 𝑎12 ∗ (

ℎ12

12 ∗ 𝑎12 + 𝛾) = 2 ∗ 82 ∗ 135 ∗ 157,52 ∗ (

1352

12 ∗ 157,52+ 0,187)

= 136.369.783 𝑚𝑚4

𝛿𝑚á𝑥 =5

384∗

𝑞 ∗ 𝐿4

𝐸1,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑒𝑓=

5

384∗

2,5 ∗ 4.6404

9.492 ∗ 136.369.783

= 11,7 𝑚𝑚 <𝐿

300=4.640

300= 15,5 𝑚𝑚



Verificación diagonal

𝑙𝑝 =2 ∗ 𝑎1𝑠𝑒𝑛(𝛼)

=2 ∗ 157,5

𝑠𝑒𝑛(45°)= 445 𝑚𝑚

⇒ 𝜆 =𝑙𝑝 ∗ √12

𝑏=445 ∗ √12

33= 46,8

Para pino radiata, grado C24:


𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,85

𝐾𝐷 = 1,25

𝐾𝐻 = 1

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1,25 ∗ 1 = 10 𝑀𝑃𝑎


180

4

= √33

180

4

= 0,65 ≥ 0,67

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 10.200 ∗ 0,67 = 6.834 𝑀𝑃𝑎


𝜆2=3,6 ∗ 6.834

46,82= 11,25 𝑀𝑃𝑎


=11,25

10= 1,125

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200) + 1

2 ∗ 𝑐=1,125 ∗ (1 +

46,8200) + 1

2 ∗ 0,85= 1,405

𝐵 =


𝑐=1,125

0,85= 1,324

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,405 − √1,4052 − 1,324 = 0,599




𝑓𝑐 =𝐶𝐷𝐴𝐷

=8202

3.795= 2,16 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠



EJEMPLO 12: Envigado maestro de techo con vigas clavadas de alma

llena entablada y cordones de madera laminada encolada.

Envigado maestro de techo que recibe tijerales dispuestos cada 80 cm y que apoyan

lateralmente la cuerda superior, materializado como viga de alma llena. Los cordones se

consisten de piezas de madera laminada encolada de Pino radiata (constitución híbrida) de

sección 65 x 115 mm, y el alma se construye disponiendo dos estratos contrapuestos de tablas

de pino radiata grado G2, de escuadría 21 x 118 mm, dispuestas inclinadas en 45° con respecto

al eje de la viga. Cada tijeral descarga 4 kN al apoyarse sobre las vigas y el peso propio

estimado de estas últimas es de 0,5 kN/m. La madera se encuentra al 12% de contenido de

humedad.

Sistema y dimensiones:

𝑃1 = 4 𝑘𝑁

𝑞 = 0,5 𝑘𝑁 𝑚⁄



Solución:

Por tratarse de un estado de carga que incorpora cargas permanentes y sobrecarga de servicio

de techo,

𝐾𝐷 = 1,25

Por encontrarse la madera en condición seca (H ≤ 12 %),

𝐾𝐻 = 1,0

Esfuerzos interno del sistema

𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 =𝑛 ∗ 𝑃12

+𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝐿

2=7 ∗ 4

2+0,5 ∗ 6,4

2= 15,6 𝑘𝑁

𝑀𝑘 =𝑃1 ∗ 𝐿

2∗ 𝑘 ∗

𝑛 + 1 − 𝑘

𝑛 + 1+𝑞 ∗ 𝑥𝑘2

∗ (𝐿 − 𝑥𝑘)

𝑀1 =4 ∗ 6,4

2∗ 1 ∗

8 − 1

8+0,5 ∗ 0,8

2∗ (6,4 − 0,8) = 12,32 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

𝑀2 =4 ∗ 6,4

2∗ 2 ∗

8 − 2

8+0,5 ∗ 1,6

2∗ (6,4 − 1,6) = 21,12 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

𝑀3 =4 ∗ 6,4

2∗ 3 ∗

8 − 3

8+0,5 ∗ 2,4

2∗ (6,4 − 2,4) = 26,40 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

𝑀4 =4 ∗ 6,4

2∗ 4 ∗

8 − 4

8+0,5 ∗ 3,2

2∗ (6,4 − 3,2) = 28,16 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

Desarrollo del esfuerzo de corte Q y del momento flector M en las vigas principales



Diseño de sección transversal

Viga de alma llena entablada con cordones bipartitos de madera laminada encolada de pino

radiata. Para este tipo de vigas el adecuado control de las deformaciones requiere de una

altura de sección de al menos

𝐻 =𝐿

10=6.400

10= 640 𝑚𝑚

Cordones:

Alma: Entablado de piezas aserradas en bruto 1 x 5: 𝑏𝐷 ∗ ℎ𝐷 = 21 ∗ 118 𝑚𝑚 Pino radiata,

Grado G2 o mejor según NCh1207.

Clavos: 65*3,1 mm (2 ½”) para fijación de las tablas del alma a los cordones

Clavos: 50*2,8 mm (2”) para clavado recíproco de las tablas del alma a nivel del eje neutro

Las vigas se arman de a mitades clavando las tablas del alma contra los cordones, y

posteriormente se ensamblan por medio del clavado de las almas.

Momento de inercia eficaz:

Sólo se considera el aporte de los cordones

Área sección transversal cordones

𝐴1 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ ℎ1 = 2 ∗ 65 ∗ 115 = 14.950 𝑚𝑚2

𝑎1 =𝐻 − ℎ12

=640 − 115

2= 262,5 𝑚𝑚

Viga híbrida en laminación horizontal. De anexo C, para alturas de sección transversal no

superiores a 375 m:

𝐹𝑓 = 8,9 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑡𝑝 = 4,0 𝑀𝑃𝑎


𝐸1 = 9.000 𝑀𝑃𝑎

2 / b1 *h1 = 2 / 65*115 mm



Tensiones de diseño:

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,9 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 11,1 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 5,0 𝑀𝑃𝑎


Clavos 65*3,1 mm (2 ½”):

𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝐷 = 65 − 21 = 44 𝑚𝑚

𝐶 = 900 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑠 = 32 𝑚𝑚

𝑛 = 2⇒ 𝑠′ =𝑠

𝑛=32

2= 16 𝑚𝑚

De NCh 1198, Sección 7.2.5.5

𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠

′

𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 9.000 ∗ 14.950 ∗ 16

900 ∗ 6.4002= 0,576

⇒ 𝛾 =1

1 + 𝑘=

1

1 + 0,576= 0,634

𝐼1 =𝑏1 ∗ ℎ1

3

12=65 ∗ 1153

12= 8.238.073 𝑚𝑚4

𝐼𝑒𝑓 =∑(𝑛𝑖 ∗ 𝐼𝑖 + 𝛾𝑖∗𝑛𝑖

𝑛

𝑖=1

∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2) = 4 ∗ 8.238.073 + 2 ∗ 0,634 ∗ 14.950 ∗ 262,52

𝐼𝑒𝑓 = 1.339.940.854 𝑚𝑚4

𝑀𝑚á𝑥

𝐼𝑒𝑓=

28.160.000

1.339.940.854= 0,0210

Tensión de flexión máxima en los cordones

𝑓𝑓,1 = ±𝑀

𝐼𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑎1 ∗

𝐴1𝐴1𝑛

+ℎ12∗𝐼1𝐼1𝑛)

= ±0,021 ∗ (0,634 ∗ 262,5 ∗ 1 +115

2∗ 1) = ±4,71 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠



Tensión axial máxima en el centroide de los cordones

𝑓𝑐 𝑡,𝑔⁄ = ±𝑀

𝐼𝑒𝑓∗ 𝛾 ∗ 𝑎1 ∗

𝐴1𝐴1𝑛

= ±0,021 ∗ 0,634 ∗ 262,5 ∗ 1 = ±3,50 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝

Diseño del clavado

Se disponen 2 hileras de 4 clavos por tabla, de acuerdo con el esquema de la figura:

En los cordones se respeta:

𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 32 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚

𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚


𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

En el entablado de alma se respeta:

𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 32 𝑠𝑒𝑛 45°⁄ = 45,3 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚

𝑠𝑛 𝑚í𝑛,𝑒𝑓 = 32 ∗ 𝑠𝑒𝑛45° = 22,6 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 50 𝑠𝑒𝑛45°⁄ = 70,7 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,1 = 46,5 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚



Flujo de cizalle

Cada cordón recibe la mitad del flujo de cizalle

𝑆1 = 𝐴1 ∗ 𝑎1 = 14.950 ∗ 262,5 = 3.924.375 𝑚𝑚3

𝑡𝑒𝑓 =𝑄𝑚á𝑥 ∗ 𝛾 ∗ 𝑆1

𝐼𝑒𝑓=15.600 ∗ 0,634 ∗ 3.924.375

1.339.940.854= 29,0 𝑁 𝑚𝑚⁄

Fuerza de corrimiento desarrollada sobre cada tabla

𝑇1,𝑒𝑓 =𝑡𝑒𝑓

2∗ ℎ𝐷 ∗ √2 =

29,0

2∗ 118 ∗ √2 = 2.418 𝑁

Exigencia de clavado

Capacidad admisible de carga a extracción lateral: clavo 65*3,1 mm.


𝜌0 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄

Luego, según Nch 1198, sección 9.6.2.2.3

𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0 1.000)⁄ 1,84 = 115 ∗ (450 1.000)⁄ 1,84 = 26,5 𝑀𝑝𝑎

Tensión de fluencia de los clavos, Nch 1198, sección 9.6.2.3:

𝐷 = 3,1 𝑚𝑚

𝑙𝑐𝑙 = 65 𝑚𝑚

Como D < 6,4 mm, entonces:

𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,1 = 716 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑙 = 𝑏𝑎 = 21 𝑚𝑚

𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑏𝑎 = 65 − 21 = 44 𝑚𝑚 < 𝑏𝑐 = 65 𝑚𝑚



Modos de fluencia:


=26,5

26,5= 1


21= 2,095

De NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36


Luego, para D < 6,4 mm → FA=Kd ⇒ FA=2,2

𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒

2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡

2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)

1 + 𝑅𝑒

=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 2,095 + 2,0952) + 2,0952 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 2,095)

1 + 1= 0,709

𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 716 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,12

3 ∗ 26,5 ∗ 442= 1,066

𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 716 ∗ (2 + 1) ∗ 3,12

3 ∗ 26,5 ∗ 212= 1,276

Modo Ic:


𝐹𝐴=3,1 ∗ 44 ∗ 26,5

2,2= 1.641 𝑁



Modo Il:


𝐹𝐴=3,1 ∗ 21 ∗ 26,5

2,2= 783 𝑁

Modo II:


𝐹𝐴=0,709 ∗ 3,1 ∗ 21 ∗ 26,5

2,2= 555 𝑁

Modo IIIc:


=1,066 ∗ 3,1 ∗ 44 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 1)2,2= 583 𝑁

Modo IIIl:


=1,276 ∗ 3,1 ∗ 21 ∗ 26,5

(2 + 1) ∗ 2,2= 333 𝑁

Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,12

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 716

3 ∗ (1 + 1)= 347 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(1.641; 783; 555; 583; 333; 347) = 333 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝑘𝑑 = 333 ∗ 1,25 = 416 𝑁

𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝑇1,𝑒𝑓

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=2.420

416= 5,81 < 𝑛𝑒𝑓 = 8



Traspaso del flujo de acoplamiento.

La dualidad del flujo de cizalle genera un flujo de cizalle que a su vez induce una fuerza de

acoplamiento que debe ser adecuadamente neutralizada

𝑎 =𝑡𝑒𝑓

2=29,0

2= 14,5 𝑁 𝑚𝑚⁄

Fuerza de acoplamiento

𝑇1,𝑒𝑓 = 𝑎 ∗ ℎ𝐷 ∗ √2 = 14,5 ∗ 118 ∗ √2 = 2.418 𝑁

Las tablas del alma se clavan entre sí mediante 9 clavos de 2” en los cruces inmediatamente

adyacentes a los cordones.

Verificación de la cantidad de clavos requerida, clavo 50 x 2,8 mm,

𝐷 = 2,8 𝑚𝑚


𝑙𝑙 = 𝑏𝑎 = 21 𝑚𝑚

lc = mín(p= lcl -ba = 50-21= 29 mm;ba = 21mm) = 21mm

Como D < 6,4 mm, según NCh 1198, sección 9.6.2.3:



𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 2,8 = 734 𝑀𝑃𝑎

Modos de fluencia:

𝑅𝑒 =𝑅𝑎𝑝,𝑐

𝑅𝑎𝑝,𝑙=26,5

26,5= 1


21= 1




𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒

2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡

2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)

1 + 𝑅𝑒

=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1 + 1) + 1 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1)

1 + 1= 0,414

𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 734 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,82

3 ∗ 26,5 ∗ 212= 1,233

𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 734 ∗ (2 + 1) ∗ 2,82

3 ∗ 26,5 ∗ 212= 1,233

Modo Ic:


𝐹𝐴=2,8 ∗ 21 ∗ 26,5

2,2= 707 𝑁



Modo Il:


𝐹𝐴=2,8 ∗ 21 ∗ 26,5

2,2= 707 𝑁

Modo II:


𝐹𝐴=0,414 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5

2,2= 293 𝑁

Modo IIIc:


=1,233 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 1)2,2= 291 𝑁

Modo IIIl:


=1,233 ∗ 2,8 ∗ 21 ∗ 26,5

(2 + 1) ∗ 2,2= 291 𝑁

Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=2,82

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 734

3 ∗ (1 + 1)= 287 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(707; 707; 293; 291; 291; 287) = 287 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 287 ∗ 1,25 = 359 𝑁

𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝑇1,𝑒𝑓


359= 6,7 < 𝑛𝑒𝑓 = 9



Verificación del entablado del alma

𝑇 = 𝐶 = ±𝑡𝑒𝑓

2 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼∗

𝑏

𝑠𝑒𝑛𝛼= ±

𝑡𝑒𝑓 ∗ 𝑏

𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝛼)

Como en este caso 𝛼 = 45°

𝑇 = 𝐶 = ±𝑡𝑒𝑓 ∗ ℎ𝐷 = 29,0 ∗ 118 = 3.420 𝑁

𝑓𝑡 = 𝑓𝑐 =𝐶 ó 𝑇

𝑏 ∗ ℎ=

3.420

21 ∗ 118= 1,38 𝑀𝑃𝑎

Propiedades mecánicas admisibles asociadas al grado G2, NCh 1198, Tabla 4 b


𝐹𝑡𝑝 = 4,0 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura no superior a 90 mm)


𝑐 = 0,80

Verificación diagonales traccionadas

𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ √90

118

5

= 4,74 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑡

Verificación diagonales comprimidas

Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198 Sección 7.3.1.2 Tabla 16,

Caso 4

𝐿𝑝 =𝐻 − 2(ℎ1 + ℎ𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛼)

𝑠𝑒𝑛𝛼=640 − 2 ∗ (115 + 118 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°)

𝑠𝑒𝑛45°= 344 𝑚𝑚

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 6,5 ∗ 1,25 ∗ 1 = 8,13 𝑀𝑃𝑎


180

4

= √21

180

4

= 0,58 > 0,67

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 1 ∗ 0,67 = 5.963 𝑀𝑝𝑎

𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12

ℎ=344 ∗ √12

21= 56,7




𝜆2=3,6 ∗ 5.963

56,72= 6,67 𝑀𝑝𝑎


=6,67

8,13= 0,821

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200) + 1

2 ∗ 𝑐=0,821 ∗ (1 +

56,7200) + 1

2 ∗ 0,8= 1,284

𝐵 =


𝑐=0,821

0,8= 1,027

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,284 − √1,2842 − 1,027 = 0,495

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 8,13 ∗ 0,495 = 4,03 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,38 MPa

Control del pandeo fuera del plano del cordón comprimido (Eje y-y)

𝐶 = 600 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑠′ = 16 𝑚𝑚

Viga híbrida en laminación vertical. De Anexo C

𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎


𝐴1 = 𝑏1 ∗ ℎ1 = 65 ∗ 115 = 7.475 𝑚𝑚2

𝑎1 =𝑏12+ 𝑏𝐷 =

65

2+ 21 = 53,5 𝑚𝑚

𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠

′

𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 7.700 ∗ 7.475 ∗ 16

600 ∗ 8002= 23,7

⇒ 𝛾 =1

1 + 𝑘=

1

1 + 23,7= 0,041

𝐼1 =𝑏13 ∗ ℎ112

=653 ∗ 115

12= 2.631.823 𝑚𝑚4


𝑛

𝑖=1

∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2) = 2 ∗ 2.631.823 + 2 ∗ 0,041 ∗ 7.475 ∗ 53,52

= 6.998.197 𝑚𝑚4



𝑖𝑦,𝑒𝑓 = √𝐼𝑦,𝑒𝑓

2 ∗ 𝐴1= √

6.998.197

2 ∗ 7.475= 21,6 𝑚𝑚

𝜆𝑦,𝑒𝑓 =𝐿𝑝𝑦

𝑖𝑦,𝑒𝑓=800

21,6= 37


=5 ∗ 7.700

372= 28,2 𝑀𝑝𝑎

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8,0 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 10 𝑀𝑃𝑎


=28,2

10= 2,816

𝐴 =


∗ (1 +𝜆300

) + 1

2 ∗ 𝑐=2,816 ∗ (1 +

37300) + 1

2 ∗ 0,9= 2,313

𝐵 =


𝑐=2,816

0,9= 3,129

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 2,313 − √2,3132 − 3,129 = 0,823

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐾𝜆 = 10 ∗ 0,823 = 8,23 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑐 = 1,38 𝑀𝑃𝑎

NOTA: el procedimiento aplicado queda levemente por el lado de la inseguridad, dado que no considera

la flexibilidad de la ligazón entre los estratos de tablas que conforman el alma.

Verificación funcionalidad

La flecha máxima no debe exceder el límite L/300.

Momento de inercia eficaz: de acuerdo con NCh 1198, sección 7.2.5.9 para el cálculo de

deformaciones se puede asumir un módulo de corrimiento mayorado.

𝐶𝛿 = 1,25 ∗ 900 = 1.125 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑠

′

𝐶 ∗ 𝐿2=𝜋2 ∗ 9.000 ∗ 14.950 ∗ 16

1.125 ∗ 6.4002= 0,461

⇒ 𝛾 =1

1 + 𝑘=

1

1 + 0,461= 0,684




𝑛

𝑖=1

∗ 𝐴𝑖 ∗ 𝑎𝑖2) = 4 ∗ 8.238.073 + 2 ∗ 0,684 ∗ 14.950 ∗ 262,52

= 1.443.056.396 𝑚𝑚4

Rigidez flexional

𝐸 ∗ 𝐼𝑒𝑓 = 9.000 ∗ 1.443.056.396 = 1,299 ∗ 1013 𝑁 ∗ 𝑚𝑚2

Para la configuración de cargas de la figura, la flecha a mitad de luz asciende a:

𝛿 =𝑃 ∗ 𝑐

24 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼∗ (3 ∗ 𝑙2 − 4 ∗ 𝑐2)

Para las disposiciones de tijerales del problema:

𝛿1 =4.000 ∗ 800

24 ∗ 1,299 ∗ 1013∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 8002) = 1,2 𝑚𝑚

𝛿2 =4.000 ∗ 1.600

24 ∗ 1,299 ∗ 1013∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 1.6002) = 2,3 𝑚𝑚

𝛿3 =4.000 ∗ 2.400

24 ∗ 1,299 ∗ 1013∗ (3 ∗ 6.4002 − 4 ∗ 2.4002) = 3,1 𝑚𝑚

𝛿4 =4.000 ∗ 6.4003

48 ∗ 1,299 ∗ 1013= 1,7 𝑚𝑚

𝛿5 =5

384∗

50 ∗ 6,44

1,299 ∗ 1013= 0,8 𝑚𝑚

𝛿𝑚á𝑥 = 1,2 + 2,3 + 3,1 + 1,7 + 0,8 = 9,1 𝑚𝑚 <𝐿

300=6.400

300= 21,3 𝑚𝑚



EJEMPLO 13: Diseño de pie derecho de una tabiquería exterior

Diseño de pie derecho de una tabiquería de pared exterior de primer piso de una vivienda de 2

pisos.

Determinar la escuadría y grado adecuados de un pie derecho de escuadría nominal de 2

pulgadas de espesor, asumiendo condiciones de servicio secas. El pie derecho tiene un largo de

2,44 m se encuentra simplemente apoyado en sus extremos y resiste cargas de peso propio:

4,8 kN, sobrecarga de servicio de techo: 2,5 kN, sobrecarga de servicio de segundo piso: 1,65

kN y momento flector debido a carga de viento 0,318 kN*m. El revestimiento brinda apoyo

lateral completo a los pies derechos en el plano de la tabiquería. Verifique el aplastamiento

ejercido por los pies derechos sobre la solera basal, construida con la misma sección del pie

derecho.

Solución:

Determinación de la combinación de cargas crítica. De NCh 1198, anexo G:

Para la componente de estado de carga de naturaleza permanente KD = 0,90

Para la componente de estado de carga de sobrecarga de techo KD = 1,25

Para la componente de estado de carga de sobrecarga de piso KD = 1,00



𝐶𝑝𝑝𝐾𝐷

=4,8

0,9= 5,33 𝑘𝑁

𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑡𝑒𝑐ℎ𝑜 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜𝐾𝐷

=4,8 + 2,5 + 1,65

1,25= 7,16 𝑘𝑁 Crítica

𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜𝐾𝐷

=4,8 + 1,65

1,00= 6,45 𝑘𝑁

Adicionalmente se verifica el estado de carga Cpp + Csc,piso + Mviento considerando KD=1,6

Tanteo con pieza de escuadría nominal 2 x 5 de Pino radiata, Grado C16

Largo : 2,44 m



Sección = ancho x espesor = 115 x 41 = 4.715 mm2

Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Tabla 4 b

𝐹𝑓 = 5,2 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≤ 90 mm)





𝑐 = 0,80


Verificación de la solicitación axial crítica:

KH=1,0 (Condición de servicio seca H =12 %, NCh 1198, Sección 6.1.1)

KD=1,25 (Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G)


180

4

= √115

180

4

= 0,894



𝐾𝑐𝑛 = √150

𝑙

4

= √150

41

4

= 1,383

Verificación

Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.1.2, Tabla 16

𝐿𝑝 = 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 2,44 = 2,44 𝑚



NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 7.900 ∗ 1,0 ∗ 0,894 = 7.063 𝑀𝑃𝑎


𝜆 =𝐿𝑝 ∗ √12

ℎ=2.440 ∗ √12

115= 73,5


𝜆2=3,6 ∗ 7.063

73,52= 4,71 𝑀𝑃𝑎


=4,71

9,38= 0,502

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,502 ∗ (1 +

73,5200) + 1

2 ∗ 0,8= 1,054

𝐵 =


=0,502

0,8= 0,628

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,054 − √1,0542 − 0,628 = 0,359


𝑓𝑐 =𝐶𝑐𝑟í𝑡𝑆

=8.950

4.715= 1,9 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠



Verificación aplastamiento basal


𝑓𝑐 =𝐶𝑐𝑟í𝑡ℎ ∗ 𝑙

=8.950

115 ∗ 41= 1,9 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠

Estado de carga que considera solicitación de viento.

𝐶 = 6,45 𝑘𝑁

𝑀 = 0,318 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

Verificación de la solicitación axial crítica:

KH=1,0 Condición de servicio seca H ≤ 12 %, NCh 1198, Sección 6.1.1

KD=1,6 Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G

Kc=1,15 NCh 1198, Seción 6.1.3

𝐾ℎ,𝐹𝑓 = √90

115

5

= 0,952


180

4

= √115

180

4

= 0,894

Condiciones geométricas

𝑊 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎2

6=41 ∗ 1152

6= 90.371 𝑚𝑚3

𝐼 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎3

12=41 ∗ 1153

12= 5.196.323 𝑚𝑚3

NCh 1198 Sección 7. 2.2

𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 5,2 ∗ 1,6 ∗ 1 ∗ 0,952 ∗ 1,15 = 9,11 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑓𝑐,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆𝑣 ∗ 𝐾𝑐 = 5,2 ∗ 1,6 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1,15 = 9,57 𝑀𝑃𝑎





NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ,𝐸 = 7.900 ∗ 1,0 ∗ 0,894 = 7.063 𝑀𝑃𝑎

𝜆 = 73,5

𝐹𝑐𝐸 = 4,71 𝑀𝑃𝑎


=4,71

12= 0,392

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200

) + 1

2 ∗ 𝑐=0,392 ∗ (1 +

73,5200

) + 1

2 ∗ 0,8= 0,96

𝐵 =


=0,392

0,8= 0,49

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,96 − √0,962 − 0,49 = 0,303


Control de interacción compresión y flexión, NCh 1198, Sección 7.6.2

𝐹𝑐𝐸 = 4,71 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑐 =𝐶𝑝𝑝 + 𝐶𝑠𝑐,𝑝𝑖𝑠𝑜

𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛=6.450

4.715= 1,37 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑓 =𝑀

𝑊=0,318 ∗ 1.000.000

90.371= 3,52 𝑀𝑃𝑎

(𝑓𝑐

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠)

2

+𝑓𝑓

(1 −𝑓𝑐𝐹𝑐𝐸

) ∗ 𝐹𝑓𝑐,𝑑𝑖𝑠

< 1,0

(1,37

3,64)2

+3,52

(1 −1,374,71) ∗ 9,57

< 1,0

0,142 + 0,519 = 0,66 < 1,0



EJEMPLO 14: Sistema de moldaje de muros

Un sistema de moldaje de muros se estructura por medio de una disposición abatida de

tableros contrachapados estructurales de Pino radiata, rigidizados por medio de costillas y

largueros de madera aserrada estructural de Pino radiata del Grado C24, según NCh 1207, de

acuerdo con el esquema de la figura. Determinar las separaciones máximas que se deben

respetar entre costillas, largueros y amarras de largueros. Estime la fuerza de tracción que

deben neutralizar las amarras. Las deformaciones laterales máximas aceptadas ascienden a

1/360 avo de la distancia entre ejes de apoyos.

Se considera el vaciado de un hormigón vibrado internamente colocado a razón de 0,91 m/h.

La temperatura del hormigón es 21° C. Para moldajes de uso repetitivo y teniendo presente

que la presión máxima del hormigón fluido es de moderada duración se considera un factor de

modificación por duración de la carga KD=1,25.

Las presiones ejercidas por el hormigón fluido sobre los moldajes se estiman de acuerdo con

las recomendaciones del American Concrete Institute, ACI, que se presentan en el Anexo J.

Los tableros contrachapados se fabrican respetando los procedimientos establecidos en la

norma U.S. Product Standard PS 1, y tienen dimensiones 1.200 x 2.400 mm, se asignan al nivel

tensional S-2 (uso de chapas Grado B en caras y trascaras y Grado C en el interior).



Solución:

Presión del hormigón contra las superficies de los tableros (ACI):

𝑝 = 𝑀í𝑛 {7,181 +1.413,3 ∗ 𝑅

1,8 ∗ 𝑇 + 32; 95; 75; 24 ∗ ℎ}

𝑝 = 𝑀í𝑛 {7,181 +1.413,3 ∗ 0,91

1,8 ∗ 21 + 32; 95; 75; 24 ∗ 2,7}

𝑝 = 𝑀í𝑛{25,6; 95; 75; 64,8} = 25,6 𝑘𝑁/𝑚2

Para todos los materiales de madera se asumirán condiciones verdes, esto es, contenidos de

humedad superiores al 19%, dado que se trata de confinar hormigón fluido y las estructuras

quedan expuestas a la intemperie.

Para los tableros contrachapados se considera una condición de servicio verde y una

disposición con la dirección de las fibras de las chapas de cara y trascara normal a las líneas de

apoyo brindadas por las costillas.

De Anexo E, Tabla E1, para un contrachapado de Pino radiata del Grado S-2 en condición

verde:


𝐹𝑐𝑧,𝑟 = 0,3 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 10.400 𝑀𝑃𝑎

De Anexo E, Tabla E2 para un tablero de espesor 16 mm

𝐴𝑝 = 6.800 𝑚𝑚2 𝑚⁄

𝐼𝑝 = 241.068 𝑚𝑚4 𝑚⁄

𝐾𝑊𝑝 = 25.613 𝑚𝑚3 𝑚⁄

𝐼𝑏 𝑄⁄ = 10.667 𝑚𝑚2 𝑚⁄

Condicionante por flexión:

Se analiza el problema por metro de ancho de tablero

𝑞 = 25,6 𝑘𝑁/𝑚2 ∗ 1 𝑚 = 25,6 𝑘𝑁/𝑚 = 25,6 𝑁/𝑚𝑚



Asumiendo continuidad sobre al menos 3 tramos

𝑀 =𝑞 ∗ 𝑙2

10=25,6 ∗ 𝑙2

10= 2,56 ∗ 𝑙2 𝑁 ∗ 𝑚𝑚

𝑓𝑓 =𝑀

𝑊𝑝=2,56 ∗ 𝑙2

25.613= 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 = 9,2 ∗ 1,25 = 11,5 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝑙 ≤ √25.613 ∗ 11,5

2,56= 339 𝑚𝑚

Condicionante por deformación:

𝛿 =𝑞 ∗ 𝑙4

145,25 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼𝑝=

25,6 ∗ 𝑙4

145,25 ∗ 10.400 ∗ 241.068≤

𝑙

360

⇒ 𝑙 ≤ √145,25 ∗ 10.400 ∗ 241.068

360 ∗ 25,6

3

= 341 𝑚𝑚

𝑙𝛿 = 𝑙 − 6,4 + 𝑏 = 341 − 6,4 + 42 = 376 𝑚𝑚

Condicionante por cizalle rodante:

𝑓𝑐𝑧,𝑟 = 0,6 ∗ 𝑞 ∗ 𝑙 ∗𝑄

𝑏𝐼=0,6 ∗ 25,6 ∗ 𝑙

10.667=

𝑙

694,47≤ 𝐹𝑐𝑧𝑟,𝑑𝑖𝑠 = 0,3 ∗ 1,25 = 0,375 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝑙 ≤ 694,47 ∗ 0,375 = 260 𝑚𝑚

⇒ 𝑙𝑐𝑧 ≤ 𝑙 + 𝑏 = 260 + 42 = 302 𝑚𝑚

𝑎 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑐𝑧) = 𝑀í𝑛(339; 376; 302) = 302 𝑚𝑚

Las costillas se disponen cada 300 mm

𝑎 ≈𝐿𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜 + 3

8=2.400 + 3

8= 300,4 𝑚𝑚

NOTA: se considera una separación de 3 mm entre tableros para considerar dilataciones por

humedecimiento.



Espaciamiento máximo entre apoyos brindados a las costillas por los largueros. Costillas de

Pino radiata C24 2 x 6: 42 x 138 mm. NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4b:

Para G1 y Mejor,




𝐸 = 10,100 𝑀𝑃𝑎

Factores de modificación

KD=1,25

𝐾𝑐 = 1,15 (NCh 1198, Sección 6.1.3)

Condición de servicio verde. Considerar H=22% en fórmulas de KH.

𝐾𝐻,𝐹𝑡 =1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻

1,35=1,75 − 0,0333 ∗ 22

1,35= 0,754

𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻

1,2=1,44 − 0,02 ∗ 22

1,2= 0,833

𝐾𝐻,𝑐𝑧 =1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻

1,13=1,33 − 0,0167 ∗ 22

1,13= 0,852

𝐾𝐻,𝑐𝑛 =2

3= 0,667

𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √90

ℎ

5

= √90

138

5

= 0,918


180

4

= √138

180

4

= 0,936



𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,5 ∗ 1,25 ∗ 0,754 ∗ 0,918 ∗ 1,15 = 9,45 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝐻,𝐸 = 10.100 ∗ 0,833 ∗ 0,936 = 7.876

𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 0,852 = 1,17 𝑀𝑃𝑎

𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 42 ∗ 138 = 5.796 𝑚𝑚2

𝑊 =𝑏 ∗ ℎ2

6=42 ∗ 1382

6= 133.308 𝑚𝑚3

𝐼 =𝑏 ∗ ℎ3

12=42 ∗ 1383

12= 9.198.252 𝑚𝑚3

Considerando caso de viga continua sobre tres tramos

Condicionante por flexión

𝑞′ = 𝑞 ∗ 𝑎 = 25,6 ∗ 0,3 = 7,68 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 7,68 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑀 =𝑞′ ∗ 𝑙2

10=7,68 ∗ 𝑙2

10= 0,768 ∗ 𝑙2

𝑓𝑓 =𝑀

𝑊=0,768 ∗ 𝑙2

133.308≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 9,45 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝑙 ≤ √133.308 ∗ 9,45

0,768= 1.280 𝑚𝑚

Condicionante por deformación

𝛿𝑚á𝑥 =𝑞′ ∗ 𝑙4

145,23 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=

7,68 ∗ 𝑙4

145,25 ∗ 7.896 ∗ 9.198.252≤

𝑙

360

⇒ 𝑙 ≤ √145,25 ∗ 7.896 ∗ 9.198.252

7,68 ∗ 360

3

= 1.561 𝑚𝑚



Condicionante por corte

𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 7,68 ∗ 𝑙𝑄 = 4,61 ∗ 𝑙𝑄

⇒ 𝑓𝑐𝑧 =1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥

𝐴=1,5 ∗ 4,61 ∗ 𝑙𝑄

5.796=

𝑙𝑄838,3

≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,17 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑄 = 838,3 ∗ 1,17 = 982 𝑚𝑚

NCh 1198, Sección 7.2.3.2a

⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ ℎ + 𝑏 = 982 + 2 ∗ 138 + 42 = 1.300 𝑚𝑚

De Sección 7.2.3.2a

𝑏 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑄) = 𝑀í𝑛(1.280; 1.561; 1.300) = 1.280 𝑚𝑚

Los largueros horizontales se disponen cada 1,20 m = b

Largueros: 2 piezas de 42 x 138 mm

Verificación aplastamiento entre costillas y largueros.

𝑃𝑎𝑝 = 𝑞 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 25,6 ∗ 0,3 ∗ 1,2 = 9,216 𝑘𝑁

𝑆𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑏 ∗ 2 ∗ 𝑏 = 42 ∗ 2 ∗ 42 = 3.528 𝑚𝑚2

𝑓𝑎𝑝 =𝑃𝑎𝑝𝑆𝑎𝑝

=9.216

3.528= 2,61 𝑀𝑃𝑎

𝐾𝑐𝑛 = √150

𝑙𝑎𝑝

4

= √150

2 ∗ 42

4

= 1,156


La tensión de aplastamiento excede en 36 % el valor de diseño. Se acepta por tratarse de una

estructura provisoria en la que los aplastamientos no comprometen la seguridad y la

funcionalidad.



Aun cuando en estricto rigor la descarga de las costillas sobre los largueros consiste de cargas

concentradas uniformemente espaciadas, para efectos de simplificación se asumirá que estos

últimos reciben el efecto de una carga uniformemente distribuida.

𝐴 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 2 ∗ 42 ∗ 138 = 11.592 𝑚𝑚2

𝑊 =2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ2

6=2 ∗ 42 ∗ 1382

6= 266.616 𝑚𝑚3

𝐼 =2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ3

12=2 ∗ 42 ∗ 1383

12= 18.396.504 𝑚𝑚4



𝑞′ = 𝑞 ∗ 𝑏 = 25,6 ∗ 1,20 = 30,7 𝑘𝑁/𝑚 = 30,7 𝑁/𝑚𝑚

⇒ 𝑀 =𝑞′′ ∗ 𝑙2

10=30,7 ∗ 𝑙2

10= 3,07 ∗ 𝑙2


𝑓𝑓 =𝑀

𝑊=3,07 ∗ 𝑙2

266.616≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 8,22 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝑙 ≤ √266.616 ∗ 8,22

3,07= 844 𝑚𝑚



145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=

30,7 ∗ 𝑙4

145,25 ∗ 7.876 ∗ 18.396.504≤

𝑙

360

⇒ 𝑙 ≤ √145,25 ∗ 7.876 ∗ 18.396.504

30,7 ∗ 360

3

= 1.239 𝑚𝑚


𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞′′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 30,7 ∗ 𝑙𝑄 = 18,44 ∗ 𝑙𝑄


𝐴=1,5 ∗ 18,44 ∗ 𝑙𝑄

2 ∗ 5.796=

𝑙𝑄

419,2≤ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 1,17 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑄 = 419,2 ∗ 1,17 = 491 𝑚𝑚



⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 = 491 + 150 ∗= 641 𝑚𝑚

*: Longitud de placa supuesta

𝑐 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑄) = 𝑀í𝑛(844; 1.239; 641) = 641 𝑚𝑚

Se disponen amarras cada 640 mm = c

Fuerza de tracción sobre amarras (estimación conservadora):

𝑃 = 1,20 ∗ 𝑞′′ ∗ 𝑐 = 1,2 ∗ 30,7 ∗ 0,64 = 23,6 𝑘𝑁

Superficie de aplastamiento requerida:

Se considera que el contenido de humedad de la superficie exterior de los largueros es menor

que 20 %, por lo que,

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

𝑆 =𝑃

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠=23,6 ∗ 103

2,5= 9.440 𝑚𝑚2

Dado que el ancho de aplastamiento asciende a 2 x b = 2 x 42 mm = 84 mm

𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 ≥𝑆

2 ∗ 𝑏=9.440

2 ∗ 42= 112,4 𝑚𝑚

Se especifica una placa de apoyo de acero de 85 mm x 150 mm x 15 mm.



EJEMPLO 15: Moldaje losa

Determinación las separaciones máximas a, b y c que se deben respetar entre costillas (42 x

138 mm), largueros (2 piezas adosadas de 42 x 185 mm) y columnas (94 x 94 mm) para el

moldaje de losa y alzaprimado de la figura. La losa tiene un espesor de 200 mm y corresponde

al segundo nivel de una vivienda. El radier de primer piso aún no se ha hormigonado de

manera que las columnas se deben apoyar sobre tablones (57 x 235 mm) que a su vez se

apoyan sobre un relleno granular compactado de grano fino con una capacidad de soporte de

100 kN/m2, cuya longitud mínima se debe determinar. La distancia desde la superficie de

relleno y el nivel superior de losa es de 3,00 m. Para el hormigonado se contempla el uso de

equipos de transporte no motorizados.

La carga inducida por el hormigón fluido sobre el moldaje se estima de acuerdo con las

recomendaciones del ACI indicadas en el Anexo J y se asume una duración efectiva de la carga

de 7 días por cada uso de los elementos constitutivos del sistema. Para la madera aserrada de

costillas y largueros y para los tableros se consideran 10 usos, mientras que para las columnas

50 usos. Peso de moldajes asumido: 0,50 kN/m2.

Las piezas de madera aserrada estructural de Pino radiata corresponden a piezas cepilladas del

Grado Mecánico C24, excepto los cuartones, que son aserrados en bruto y del Grado G2 según

NCh 1207; Los tableros contrachapados de espesor 18 mm se fabrican también de Pino Radiata

respetando los procedimientos establecidos en la norma U.S. Product Standard PS 1, y tienen

dimensiones 1.200 x 2.400 mm, se asignan al nivel tensional S-2 (uso de chapas Grado B en

caras y trascaras y Grado C en el interior).

La deformación de las componentes que funcionan como vigas no debe exceder 1/360 avo de

la distancia entre apoyos.



La solución debe considerar adicionalmente el diseño de un sistema de estabilización

horizontal del enmaderado, el que no se solicita en este ejercicio.

Solución:

Estimación de solicitaciones:

Losa : 𝑞 = 26 ∗ 0,20 + 2,4 = 7,6 𝑘𝑁 𝑚2⁄

Moldajes : 0,5 𝑘𝑁 𝑚2⁄

Carga total : 8,1 𝑘𝑁 𝑚2⁄

Para todos los tableros contrachapados y costillas se asumirán condiciones verdes, esto es,

contenidos de humedad superiores al 19%, mientras que para largueros y cuartones se

considera un contenido de humedad 18%.

Separación máxima entre líneas de apoyo de tableros (costillas de 42 x 90 mm)

Para una franja de moldaje de ancho unitario: 𝑞𝑡𝑜𝑡 𝑚⁄ = 8,1 ∗ 1,0 = 8,1 𝑘𝑁 𝑚⁄

Para los tableros contrachapados se considera una condición de servicio verde y una

disposición con la dirección de las fibras de las chapas de cara y trascara normal a las líneas de

apoyo brindadas por las costillas.

De Anexo E Tabla E1, para tableros de Pino radiata del Grado S-2 en condición verde


𝐹𝑐𝑧,𝑟 = 0,3 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 10.400 𝑀𝑃𝑎

y para el espesor 18 mm, de anexo E, Tabla E2

𝐾𝑊𝑝 = 32.927 𝑚𝑚3 𝑚⁄

𝐼𝑝 = 348.638 𝑚𝑚4 𝑚⁄

𝐼𝑏 𝑆𝑝⁄ = 12.000 𝑚𝑚2 𝑚⁄



Control tensional:

Flexión:

𝐾𝐷: 10 𝑢𝑠𝑜𝑠 ∗ 7 𝑑í𝑎𝑠 = 70 𝑑í𝑎𝑠 = 6.048.000 𝑠

De NCh 1198, Sección 6.1.2

𝐾𝐷 =1,747

6.048.0000,0464+ 0,295 = 1,141

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 = 9,2 ∗ 1,141 = 10,5 𝑀𝑃𝑎

𝑀𝑑𝑖𝑠 𝑚⁄ = 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑘𝑊𝑝 = 10,5 ∗ 32.927 = 345.792 𝑁 ∗ 𝑚𝑚

Asumiendo para los tableros funcionamiento de viga continua sobre al menos 3 tramos

𝑀𝑒𝑓 𝑚⁄ =𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙

2

10=8,1 ∗ 𝑙2

10= 0,81 ∗ 𝑙2

𝑀𝑑𝑖𝑠 𝑚⁄ = 𝑀𝑒𝑓 𝑚⁄

⇒ 𝑙 = √345.792

0,81= 653 𝑚𝑚

Control funcional:

𝛿𝑚á𝑥 =𝑞 ∗ 𝑙3

4

145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼𝑝=

8,1 ∗ 𝑙34

145,25 ∗ 10.400 ∗ 349.638=

𝑙34

65,2 ∗ 109≤

𝑙3360

⇒ 𝑙3 ≤ √65,2 ∗ 109

360

3

= 565 𝑚𝑚

𝑙 = 𝑙3 − 6,4 + 𝑏 = 565 − 6,4 + 42 = 601 𝑚𝑚

Control cizalle rodante


𝑄𝑑𝑖𝑠 𝑚⁄ = 0,6 ∗ 𝑞 ∗ 𝑙2 = 0,6 ∗ 8,1 ∗ 𝑙2 = 4,86 ∗ 𝑙2

𝑓𝑐𝑧 𝑚⁄ = (𝑄𝑑𝑖𝑠 𝑚⁄ ) (𝐼 ∗ 𝑏 𝑆⁄ )𝑝⁄ = (4,86 ∗ 𝑙2) 12.000⁄ = 𝑙2 2.469⁄

(𝑓𝑐𝑧 𝑚⁄ ) ≤ 𝐹𝑐𝑧,𝛾,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧,𝛾 ∗ 𝐾𝐷 = 0,3 ∗ 1,141 = 0,342 𝑀𝑃𝑎



⇒ 𝑙2 ≤ 2.469 ∗ 0,342 = 846 𝑚𝑚

𝑙 = 𝑙2 + 𝑏 = 846 + 42 = 888 𝑚𝑚

𝑎 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑐𝑧) = 𝑀í𝑛(653; 601; 888) = 601 𝑚𝑚

Las costillas se disponen en los puntos cuartos de la longitud de los tableros, esto es, cada 600

mm,

⇒𝑎 ≈𝐿𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜+3

4=

2.400+3

4= 601 𝑚𝑚

NOTA: se considera una separación de 3 mm entre tableros para considerar dilataciones por

humedecimiento.

Separación máxima entre apoyos de costillas (largueros de 2 / 42 x 138 mm)

Para piezas de Pino radiata C24 de escuadría 42 x 138 mm en condición verde:




𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎

𝐾𝐷 = 1,141

Condición de servicio verde ⇒ considerar H=22% en fórmulas de KH.

𝐾𝐻,𝐹𝑡 =1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻

1,35=1,75 − 0,0333 ∗ 22

1,35= 0,754

𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻

1,2=1,44 − 0,02 ∗ 22

1,2= 0,833

𝐾𝐻,𝑐𝑧 =1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻

1,13=1,33 − 0,0167 ∗ 22

1,13= 0,852

𝐾𝐻,𝑐𝑛 =2

3= 0,667

𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √90

ℎ

5

= √90

138

5

= 0,918




180

4

= √138

180

4

= 0,936

𝐾𝑐 = 1,15 (Las costillas se disponen cada 600 mm < 610 mm y quedan vinculadas entre

sí por los tableros: NCh 1198, Sección 6.1.3)


𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐻,𝐸 = 10.200 ∗ 0,833 ∗ 0,936 = 7.954 𝑀𝑃𝑎



𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 42 ∗ 138 = 5.796 𝑚𝑚2

𝑊 =𝑏 ∗ ℎ2

6=42 ∗ 1382

6= 133.308 𝑚𝑚3

𝐼 =𝑏 ∗ ℎ3

12=42 ∗ 1383

12= 9.198.252 𝑚𝑚4

𝑞′ = 𝑞 ∗ 𝑎 = 8,1 ∗ 0,601 = 4,87 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 4,87 𝑁 𝑚⁄

Condicionante por flexión:

𝑀 =𝑞′ ∗ 𝑙2

10=4,87 ∗ 𝑙2

10= 0,487 ∗ 𝑙2

⇒ 𝑓𝑓 =𝑀

𝑊=0,487 ∗ 𝑙2

133.308=

𝑙2

273.951≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 8,45 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝑙 ≤ √273.951 ∗ 8,45 = 1.521 𝑚𝑚



145,25 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=

4,87 ∗ 𝑙4

145,25 ∗ 7.954 ∗ 9.198.252=

𝑙4

2,184 ∗ 1012≤

𝑙

360

⇒ 𝑙 ≤ √2,184 ∗ 1012

360

3

= 1.824 𝑚𝑚




𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 4,87 ∗ 𝑙𝑄 = 2,92 ∗ 𝑙𝑄


𝐴=1,5 ∗ 2,92 ∗ 𝑙𝑄

5.796=

𝑙𝑄1.323


𝑙𝑄 = 1.323 ∗ 1,07 = 1.416 𝑚𝑚

⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ (ℎ + 𝑏) = 1.416 + 2 ∗ (138 + 42) = 1.734 𝑚𝑚

𝑏 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑄) = 𝑀í𝑛(1.521; 1.824; 1.734) = 1.521 𝑚𝑚

Los largueros se disponen cada 1.500 mm = b

Largueros: 2 piezas de 42*138 mm

Verificación aplastamiento entre costillas y largueros.

𝑃𝑎𝑝 = 𝑞 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 8,1 ∗ 0,601 ∗ 1,5 = 7,302 𝑘𝑁

𝑆𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑏 ∗ 2 ∗ 𝑏 = 42 ∗ 2 ∗ 42 = 3.528 𝑚𝑚2

𝑓𝑎𝑝 =𝑃𝑎𝑝𝑆𝑎𝑝

=7,302 ∗ 103

3.528= 2,07 𝑀𝑃𝑎

𝐾𝑐𝑛 = √150

𝑙𝑎𝑝

4

= √150

2 ∗ 42

4

= 1,156


La tensión de aplastamiento excede en 7 % el valor de diseño, lo que es aceptable, dado que

en esta aplicación la hipótesis de condición verde para esta superficie resulta excesivamente

conservadora.

Separación máxima entre apoyos de largueros (columnas de 94 x 94 mm).

Se considera un adosamiento de dos piezas de sección 42*185 mm.



Considerando caso de viga continua sobre dos tramos:

𝐴 = 2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 2 ∗ 42 ∗ 185 = 15.540 𝑚𝑚2

𝑊 =2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ2

6=2 ∗ 42 ∗ 1852

6= 479.150 𝑚𝑚3

𝐼 =2 ∗ 𝑏 ∗ ℎ3

12=2 ∗ 42 ∗ 1853

12= 44.321.375 𝑚𝑚4

Contenido de humedad H=18%

𝐾𝐻,𝑓 =1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻

1,35=1,75 − 0,0333 ∗ 18

1,35= 0,852

𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻

1,2=1,75 − 0,02 ∗ 18

1,2= 0,9

𝐾𝐻,𝑐𝑧 =1,33 − 0,0167 ∗ 𝐻

1,13=1,33 − 0,0167 ∗ 18

1,13= 0,911

KH ,cn =1

𝐾ℎ,𝐹𝑡 = √90

ℎ

5

= √90

185

5

= 0,866

𝐾ℎ,𝐸 = 1

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐 = 9,3 ∗ 1,141 ∗ 0,852 ∗ 0,866 = 7,83 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 10.200 ∗ 0,9 ∗ 1 = 9.180 𝑀𝑃𝑎



𝑞′′ = 𝑞 ∗ 𝑏 = 8,1 ∗ 1,5 = 12,15 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 12,15 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑀 =𝑞′′ ∗ 𝑙2

8=12,15 ∗ 𝑙2

8= 1,519 ∗ 𝑙2

⇒ 𝑓𝑓 =𝑀

𝑊=1,519 ∗ 𝑙2

479.150=

𝑙2

315.490≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 7,83 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝑙 ≤ √315.490 ∗ 7,83 = 1.572 𝑚𝑚




𝛿𝑚á𝑥 =𝑞′′ ∗ 𝑙4

184,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=

12,15 ∗ 𝑙4

184,6 ∗ 9.180 ∗ 44.321.375=

𝑙4

6,182 ∗ 1012≤

𝑙

360

⇒ 𝑙 ≤ √6,182 ∗ 1012

360

3

= 2.580 𝑚𝑚


𝑄𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑞′′ ∗ 𝑙𝑄 = 0,6 ∗ 12,15 ∗ 𝑙𝑄


𝐴=1,5 ∗ 7,29 ∗ 𝑙𝑄

15.540=

𝑙𝑄1.421


𝑙𝑄 = 1.421 ∗ 1,14 = 1.626 𝑚𝑚

⇒ 𝑙 ≤ 𝑙𝑄 + 2 ∗ ℎ + 𝑏 = 1.626 + 2 ∗ 185 + 42 = 2.038 𝑚𝑚

𝑐 = 𝑀í𝑛(𝑙𝑓; 𝑙𝛿; 𝑙𝑄) = 𝑀í𝑛(1.572; 2.580; 2.038) = 1.572 𝑚𝑚

Los largueros se apoyan cada 1,50 m

Capacidad de carga de columnas 94 x 94 mm

𝑆 = 𝑏 ∗ ℎ = 94 ∗ 94 = 8.836 𝑚𝑚2

Pino radiata Grado G2, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4b


𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,8


180

4

= √94

180

4

= 0,850

𝐾𝐻,𝑐𝑝 =2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻

1,75=2,75 − 0,0833 ∗ 18

1,75= 0,715

𝐾𝐻,𝐸 =1,44 − 0,02 ∗ 𝐻

1,2=1,44 − 0,02 ∗ 18

1,2= 0,9



𝐾𝐻,𝑐𝑛 = 1

𝐾𝐷: 50 usos * 7 días = 350 días = 30.240.000 s

𝐾𝐷 =1,747

30.240.0000,0464+ 0,295 = 1,081

𝐾𝑐𝑛 = √150

𝑙

4

= √150

94

4

= 1,124


𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 8.900 ∗ 0,9 ∗ 0,85 = 6.809 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1,124 = 2,81 𝑀𝑃𝑎 (En los apoyos contra largueros y tableros

basales)

𝑙𝑝 = 𝑁𝑆𝐿 ∗∗ −(𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 + 𝑡𝑙𝑜𝑠𝑎 + 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑟𝑜 + ℎ𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎 + ℎ𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜)

**: NSL = nivel superior losa

𝑙𝑝 = 3,0 − (0,05 + 0,20 + 0,018 + 0,138 + 0,185) = 2,409 𝑚

𝜆 =𝑙𝑝 ∗ √12

𝑏=2.409 ∗ √12

94= 88,8


𝜆2=3,6 ∗ 6.809

88,82= 3,11 𝑀𝑃𝑎


=3,11

5,02= 0,62

𝐴 =


∗ (1 +𝜆200) + 1

2 ∗ 𝑐=0,62 ∗ (1 +

88,8200) + 1

2 ∗ 0,8= 1,184

𝐵 =


=0,62

0,8= 0,775

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,184 − √1,1842 − 0,775 = 0,392




𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴 = 1,97 ∗ 8.836 = 17.381 𝑁

por efecto de viga continua se asume

𝐶𝑒𝑓 = 1,2 ∗ 𝑞′′ ∗ 𝑐 = 1,2 ∗ 12,15 ∗ 1,50 = 21,87 𝑘𝑁 > 𝐶𝑑𝑖𝑠

La distancia entre cuartones debe reducirse a

𝑐 =𝐶𝑑𝑖𝑠𝑞′′

=17.381

12,15= 1.431 𝑚𝑚⇒ 1.40 𝑚

Control aplastamiento

En el apoyo de largueros sobre columnas:

𝑆𝑎𝑝 = 𝑏𝑐𝑜𝑙 ∗ (2 ∗ 𝑏𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜𝑠) = 94 ∗ 2 ∗ 42 = 7.896 𝑚𝑚2

𝐶𝑎𝑝 = 𝑆𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 7.896 ∗ 2,81 = 22.188 𝑁 = 22,2 𝑘𝑁 > 𝐶𝑑𝑖𝑠

En el tablón de apoyo basal

𝑆𝑎𝑝 = 𝑏𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎2 = 942 = 8.836 𝑚𝑚2 > 𝑆𝑎𝑝,𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑟𝑜𝑠

Longitud requerida de tablones de apoyo de columnas:

𝑏𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 = 235 𝑚𝑚 = 0,235 𝑚 ⇒ 𝐿𝑟𝑒𝑞 =𝐶𝑑𝑖𝑠

𝑏𝑡𝑎𝑏𝑙ó𝑛 ∗ 𝐹𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑜=

17,381

0,235 ∗ 100= 0,74 𝑚

Se especifican tablones de 75 cm de largo como bases de apoyo.



EJEMPLO 16: Diseño de unión con pasadores

Determinar la carga admisible de la unión con pasadores Ø12*160 mm esquematizada en

Figura considerando las dos disposiciones, a y b.

Considere que la unión consiste de piezas de madera laminada encolada de Pino radiata

elaborada con láminas Grado A con un contenido de humedad H = 12 %.

Solución:

Capacidad de carga de los pasadores

Para el Pino radiata, NCh 1198, Anexo E:

𝜌0 = 450 𝐾𝑔 𝑚3⁄ ⇒ En todos los maderos

NCh 1198, sección 9.6.2.2.1, como D ≥ 6,4mm, se tiene:

Pieza central,


Desangulación solicitación pasadores con respecto a la dirección de la fibra,

𝛼𝑐 = 90°



𝑅𝑎𝑝,𝑛 =212 ∗ (𝜌0 1.000⁄ )1,45

√𝐷=212 ∗ (450 1.000⁄ )1,45

√12= 19,2 𝑀𝑃𝑎

Piezas laterales,

𝑏𝑙 = 𝑙𝑙 = 42 𝑚𝑚

Desangulación solicitación pasadores con respecto a la dirección de la fibra,

𝛼𝑐 = 0°

𝑅𝑎𝑝,𝑝 = 77,2 ∗ (𝜌0 1.000⁄ ) = 77,2 ∗ (450 1.000⁄ ) = 34,7 𝑀𝑃𝑎

NOTA: La norma permite un incremento del 20% de las resistencias de aplastamiento cuando se

emplean pasadores. Esta cláusula se eliminará en la nueva redacción de la norma ya que no se ha

justificado experimentalmente a nivel nacional, por lo que dicho incremento no se aplicará en este

problema.

Según NCh 1198, sección 9.6.2.3, se tiene:

D=12 mm > 9,5 mm ⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 310 𝑀𝑃𝑎


=19,2

34,7= 0,553

Según NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 se tiene:

Para D ≥ 6,4 mm

⇒ 𝐾𝛼 = 1 +𝛼𝑚á𝑥360

= 1 +90

360= 1,25

Según NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 35 se tiene:

Por tratarse de pasadores que trabajan en cizalle doble, los modos de fluencia II y IIIc no son

aplicables.

Modo Ic:

4 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴


4 ∗ 𝐾𝛼=12 ∗ 70 ∗ 19,2

4 ∗ 1,25= 3.230 𝑁



Modo Il:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙

4 ∗ 𝐾𝛼=2 ∗ 12 ∗ 42 ∗ 34,7

4 ∗ 1,25= 7.004 𝑁

Modo IIIl:

𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 0,553)

0,553+2 ∗ 310 ∗ (2 + 0,553) ∗ 122

3 ∗ 19,2 ∗ 122= 1,803

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =2 ∗ 𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼

=2 ∗ 1,803 ∗ 12 ∗ 42 ∗ 19,2

(2 + 0,553) ∗ 3,2 ∗ 1,25= 3.420 𝑁

Modo IV:

3,2 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =2 ∗ 𝐷2

3,2 ∗ 𝐾𝛼√2 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝐹𝑓𝑓

3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=

2 ∗ 122

3,2 ∗ 1,25√2 ∗ 19,2 ∗ 310

3 ∗ (1 + 0,553)= 3.641 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(3.230; 7.004; 3.420; 3.641) = 3.230 𝑁

Duración acumulada estado de carga de 10 años (NCh 1198, Anexo G),

𝐾𝐷 = 1,0

Madera seca H=12%,

𝐾𝐻 = 1,0

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 3.230 ∗ 1 ∗ 1 = 3.230 𝑁

Corrección por espaciamiento:

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 100 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 𝑠𝑝 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 12 = 84 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 40 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 3 ∗ 𝑑 = 3 ∗ 12 = 36 𝑚𝑚

𝑠𝑛 = 40 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 3 ∗ 𝐷 = 3 ∗ 12 = 36 𝑚𝑚

⇒ No se corrige por espaciamiento



n = 2 ⇒ no se corrige por longitud

𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 4 ∗ 3.230 = 12.920 𝑁

Verificación madera

Pasadores: NCh 1198, sección 7.4.3, tabla 19,

𝐾𝑐𝑡 = 0,80

𝐾𝐻 = 1,0

𝐾𝐷 = 1,0

Láminas grado A:



𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 5,6 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,8 = 4,48 𝑀𝑃𝑎

Área neta maderos laterales, Aneta:

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2 ∗ 𝑏1 ∗ (ℎ − 2 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗) = 2 ∗ 42 ∗ (140 − 2 ∗ 12) = 9.744 𝑚𝑚2

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 4,48 ∗ 9.744 = 43.653 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁

Desgarro hileras, piezas laterales

𝑠𝑚í𝑛 = 100 𝑚𝑚

𝑡 = 2 ∗ 𝑏𝑙 = 2 ∗ 42 = 84 𝑚𝑚

𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠 = 𝑛𝑖 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑡 ∗ 𝑠𝑚í𝑛 = 2 ∗ 1,1 ∗ 84 ∗ 100 = 18.480 𝑁

Para 2 hileras

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 18.480 = 36.960 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠



Desgarro de bloque piezas laterales

𝑇𝑑𝑖𝑠,ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = 2 ∗ 2 ∗𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑡 ∗ 𝑠𝑚í𝑛

2= 2 ∗ 2 ∗

1,1 ∗ 84 ∗ 100

2= 18.480 𝑁

𝑇á𝑟𝑒𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 = 2 ∗ (𝑠𝑛 −𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜𝑠) ∗ 𝑏𝑙 ∗ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ (60 − 12) ∗ 42 ∗ 4,48 = 18.063 𝑁

𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑑𝑒𝑠𝑔𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 = 18.480 + 18.063 = 36.543 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑞𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁

Análisis control de desgarro pieza central

Caso a.

𝑎 = 500 − 100 = 400 𝑚𝑚

𝐻 = 450 𝑚𝑚

𝑎 𝐻⁄ = 0,89 > 0,70 ⇒No se requiere esta verificación

∴ 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁

Caso b.

𝑎 = 250 − 100 = 150 𝑚𝑚

𝑎 𝐻⁄ = 0,333 < 0,70

𝑐 =4

3∗ √

𝑎

𝐻∗ (1 −

𝑎

𝐻)3

=4

3∗ √0,333 ∗ (1 − 0,333)3 = 0,419

𝑤𝑒𝑓 = √𝑤2 + (𝑐 ∗ 𝐻)2 = √602 + (0,419 ∗ 450)2 = 198 𝑚𝑚

𝑏𝑒𝑓 = 2 ∗ 6 ∗ 𝐷 = 12 ∗ 12 = 144 𝑚𝑚 ≤ 𝑏 = 70 𝑚𝑚

𝐴𝑒𝑓 = 𝑤𝑒𝑓 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 198 ∗ 70 = 13.851 𝑚𝑚2

𝐹𝑡𝑛 = 3,33 ∗ 𝐴𝑒𝑓−0,2 = 3,33 ∗ 13.860−0,2 = 0,494 𝑀𝑃𝑎

𝑓1(𝑎 𝐻⁄ ) =1

1 − 3 ∗ (𝑎𝐻

2) + 2 ∗ (

𝑎𝐻)

3 =1

1 − 3 ∗ (0,333)2 + 2 ∗ (0,333)3= 1,35

𝑓2(ℎ𝑖 ℎ⁄ ) =𝑛

∑(ℎ1ℎ𝑖)2 =

2

1 + (300 400⁄ )2= 1,28



𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝑓1 (𝑎

𝐻) ∗ 𝑓2 (

ℎ1ℎ𝑖) = 13.851 ∗ 0,494 ∗ 1,35 ∗ 1,28 = 11.835 𝑁

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 11.835 𝑁 < 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.920 𝑁

∴ 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 11.835 𝑁



EJEMPLO 17: Diseño de unión con tirafondos

Determinar la cantidad “n” de tirafondos TF Ø5/8”*6” requeridos para anclar una viga de

madera laminada encolada de Pino radiata de sección 115*480 mm a un muro de hormigón

armado usando un flanche de acero Grado A36-24 de sección 6*100 mm, de acuerdo con el

esquema de la figura. La fuerza de anclaje, de magnitud 20 kN, corresponde a una solicitación

sísmica y su línea de acción se considera orientada paralela al eje de la viga.

Nota: La excentricidad en el traspaso de la fuerza genera efectos de segundo orden que deben

ser analizados debidamente. El propósito del ejemplo se centra en el funcionamiento de los

tirafondos.

Solución:

Tirafondo Ø5/8”*6”, de NCh 1198, Anexo M:

𝑙 = 152,4 𝑚𝑚

𝐷 = 15,9 𝑚𝑚

𝐷𝑟 = 11,9 𝑚𝑚

𝑘 = 9,5 𝑚𝑚




D=15,9 mm > 9,5 mm ⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 310 𝑀𝑃𝑎

Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E:


De NCh 1198, Tabla 33, para efecto de las uniones, el Pino radiata corresponde al Grupo B.

Colocación de tornillos con perforación guía de diámetro:

𝜙 ≈ 0,65 ∗ 𝐷 = 0,65 ∗ 15,9 = 10,33 ⇒ 10,5 𝑚𝑚

Desangulación fuerza-fibra

NCh 1198, sección 9.6.2.2.1, como D≥6,4mm, se tiene que para solicitaciones paralelas a la

fibra:

𝜃 = 0° ⇒ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 77,2 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 1.000⁄ ) = 77,2 ∗ (450 1.000⁄ ) = 34,7 𝑀𝑃𝑎

𝐾𝛼 = 1

Flanche de acero Grado A37-24 ES:

𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 1,375 ∗ 𝑅𝑡𝑢 = 1.375 ∗ 370 = 509 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑡 = 𝑡 = 6 𝑚𝑚

Penetración del tirafondo en la madera.

De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.6.1.4 y designaciones de Figura 26.

𝑝 = 𝑙 − 𝑡 − 𝑘 = 152,4 − 6 − 9,5 = 136,9 𝑚𝑚 > 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 15,9 = 63,6 𝑚𝑚

𝑙𝑐 = min(𝑏𝑐; 𝑝𝑒𝑓) = min(480; 136,9) = 136,9 𝑚𝑚


=34,7

509= 0,068

𝑅𝑡 =𝑙𝑐𝑙𝑙=136,9

6= 22,8



Capacidades de carga admisibles:

Los tirafondos trabajan en cizalle simple.

Modos de fluencia:

𝑘1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒

2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡

2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)

1 + 𝑅𝑒

=√0,068 + 2 ∗ 0,0682 ∗ (1 + 22,8 + 22,82) + 22,82 ∗ 0,0683 − 0,068 ∗ (1 + 22,8)

1 + 0,068

= 0,635

𝑘2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 0,068) +2 ∗ 310 ∗ (1 + 2 ∗ 0,068) ∗ 11,92

3 ∗ 34,7 ∗ 136,92= 0,479

𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 0,068)

0,068+2 ∗ 310 ∗ (2 + 0,068) ∗ 11,92

3 ∗ 34,7 ∗ 62= 7,93

Modo Ic:


4 ∗ 𝐾𝛼=11,9 ∗ 136,9 ∗ 34,7

4,0 ∗ 1= 14.149 𝑁

Modo Il:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙4 ∗ 𝐾𝛼

=11,9 ∗ 6 ∗ 509

4,0 ∗ 1= 9.081 𝑁

Modo II:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘1 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙

3,6 ∗ 𝐾𝛼=0,635 ∗ 11,9 ∗ 6 ∗ 509

3,6 ∗ 1= 6.406 𝑁



Modo IIIc:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐

(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼=0,479 ∗ 11,9 ∗ 136,9 ∗ 34,7

(1 + 2 ∗ 0,068) ∗ 3,2 ∗ 1= 7.455 𝑁

Modo IIIl:

3,2 ∗ 𝐾𝛼 = 𝐹𝐴

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒) ∗ 3,2 ∗ 𝐾𝛼

=7,93 ∗ 11,9 ∗ 6 ∗ 34,7

(2 + 0,068) ∗ 3,2 ∗ 1= 2.972 𝑁

Modo IV:


3,2 ∗ 𝐾𝛼∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=11,92

3,2 ∗ 1∗ √

2 ∗ 34,7 ∗ 310

3 ∗ (1 + 0,068)= 3.629 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(14.149; 9.081; 6.406; 7.455; 2.972; 3.629) = 2.972 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻𝑈 ∗ 𝐾𝐷 = 2.972 ∗ 1,0 ∗ 1,6 = 4.755 𝑁

Cantidad de tirafondos requerida:

𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐻


4.755= 4,21⇒ 5

Por alinearse más de 2 tirafondos según la dirección de la fuerza, NCh 1198, sección 9.4.5

requiere considerar adicionalmente un factor de modificación por longitud de hilera.

Módulo de corrimiento de tirafondos: 𝐶 = 370 ∗ 𝐷1,5 = 370 ∗ 15,91,5 = 23.458 𝑁/𝑚𝑚

𝐸𝑐 = 9.000 𝑀𝑃𝑎

𝐴𝑐 = 𝑏𝑐 ∗ ℎ𝑐 = 115 ∗ 480 = 55.200 𝑚𝑚2

𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐 = 9.000 ∗ 55.200 = 496.800.000 𝑁

𝐸𝑙 = 210.000 𝑀𝑃𝑎

𝐴𝑙 = 𝑏𝑙 ∗ ℎ𝑙 = 100 ∗ 6 = 600 𝑚𝑚2

𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙 = 210.000 ∗ 600 = 126.000.000 𝑁



𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙

=496.800.000

126.000.000= 3,94

𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐

=126.000.000

496.800.000= 0,254

Espaciamiento entre medios de unión

𝑠𝑝 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 15,9 = 79,5 → 80 𝑚𝑚

𝑢 = 1 + 𝐶 ∗𝑠

2∗ [

1

𝐸𝑐 ∗ 𝐴𝑐+

1

𝐸𝑙 ∗ 𝐴𝑙]

= 1 + 23.458 ∗80

2∗ [

1

496.800.000+

1

126.000.000] = 1,009

𝑚 = 𝑢 − √𝑢2 − 1 = 1,009 − √1,0092 − 1 = 0,875

𝑘𝑢 = [𝑚(1 −𝑚2𝑛)

𝑛 ∗ [(1 + 𝑅𝐸𝐴 ∗ 𝑚𝑛) ∗ (1 +𝑚) − 1 +𝑚2𝑛]

] ∗ [1 + 𝑅𝐸𝐴1 −𝑚

]

= [0,875(1 − 0,8752∗5)

5 ∗ [(1 + 0,254 ∗ 0,8755) ∗ (1 + 0,875) − 1 + 0,8752∗5]] ∗ [

1 + 0,254

1 − 0,875] = 0,933

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻𝑈 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝑘𝑢 = 2.972 ∗ 1,0 ∗ 1,6 ∗ 0,936 = 4.437 𝑁

𝐻𝑑𝑖𝑠 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 5 ∗ 4.437 = 22.186 𝑁 > 𝐻𝑒𝑓 = 20.000 𝑁

Diseño de unión:

Distancia al borde cargado según la dirección de la fibra

𝑠𝑏𝑐𝑝 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 15,9 = 111,3 → 120 𝑚𝑚



Gramil de borde extremo en el flanche (recomendación DIN 18.800)

𝑎 ≥𝐻

2 ∗ 𝑡 ∗ 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜+2

3∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 =

20.000

2 ∗ 6 ∗ 0,6 ∗ 240+2

3∗ (15,9 + 1) = 22,8 → 30 𝑚𝑚



EJEMPLO 18: Diseño de empalme clavado

La estructura de un techo se construye con cerchas según el esquema de figura, dispuestas

cada 1,2 m, utilizando piezas cepilladas de Pino radiata, Grado Estructural G1, cuyo contenido

de humedad H es 15%. Se solicita:

Diseñar el empalme D del cordón inferior, esquematizado en la segunda figura, utilizando

clavos de 4,3*100 mm (4“), optimizando el espacio disponible. Determine la máxima tracción

que puede resistir su diseño, cuando se respetan las especificaciones de la norma NCh 1198.

Solución:

Estimación de la capacidad de carga de diseño del empalme:

Clavos 4,3*100 mm ⇒ d = 4,3 mm; L = 100 mm

Bordes horizontales son bordes descargados

𝑠𝑏𝑑𝑛 = 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝑑 = 5 ∗ 4,3 = 21,5 𝑚𝑚



Número de hileras:

𝑛𝐻 = [𝐻 − 2 ∗ 𝑠𝑏𝑑𝑛

𝑠𝑛] + 1 = [

138 − 2 ∗ 21,5

21,5] + 1 = [4,4] + 1 = 5

Bordes verticales son bordes cargados

𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝑑 = 15 ∗ 4,3 = 64,5 → 65 𝑚𝑚

𝑠𝑝 = 12 ∗ 𝑑 = 12 ∗ 4,3 = 51,6 → 55 𝑚𝑚

Número de filas:

𝑛𝑓 = [𝐿 − 2 ∗ 𝑠𝑏𝑐𝑝

𝑠𝑝] + 1 = [

260 − 2 ∗ 65

55] + 1 = [2,36] + 1 = 3

En consecuencia, respetando los espaciamientos normativos mínimos entre clavos y a los

bordes, a lo más se pueden disponer 3*5 = 15 clavos.

Estimación de la capacidad admisible de carga a extracción lateral de los clavos:

𝑏𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝑑 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑒𝑓,𝑚í𝑛 = 33 𝑚𝑚

Resistencia de aplastamiento en las piezas de madera

Para el Pino radiata, NCh 1198, Anexo E:


NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D<6,4mm, se tiene:

𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚1.000

)1,84

= 115 ∗ (450

1.000)1,84

= 26,5 𝑀𝑃𝑎

Tensión de fluencia de los clavos


Como D<6,4 mm, entonces,

𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎


=26,5

26,5= 1




aplicables. La capacidad admisible de carga en cizalle doble se estimará determinando primero

la capacidad admisible de carga en cizalle simple, para aplicar lo especificado en NCh 1198,

sección 9.6.1.6 f) y g).

𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32

3 ∗ 26,5 ∗ 332= 1,198




Modo Ic:


𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

2,2= 2.121 𝑁

Modo Il:

𝑃𝑒 𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙

2 ∗ 𝐹𝐴=4,3 ∗ 33 ∗ 26,5

2,2= 1.707 𝑁

Modo IIIl:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴

=1,198 ∗ 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5

(2 + 1) ∗ 2,2= 681 𝑁

Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=4,32

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 647

3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(2.121; 1.707; 681; 635) = 635 𝑁



𝑏𝑙 = 33 𝑚𝑚

𝑏𝑐 = 41 𝑚𝑚

𝑑 = 4,3 𝑚𝑚

La penetración del clavo en la pieza lateral opuesta a la superficie del clavo es

𝑝 = 𝐿 − (𝑏𝑙 − 𝑏𝑐) = 100 − (33 + 41) = 26 𝑚𝑚

Existe cizalle doble parcial, ya que

𝑝𝑚 = 8 ∗ 𝑑 = 8 ∗ 4,3 = 34,4 𝑚𝑚 > 𝑝

[En todo caso: 𝑝 > 𝑝𝑚𝑚 = 4 ∗ 𝑑 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚]

⇒ 𝑃𝑒𝑙,2,𝑎𝑑 = (1 + 0,75 ∗𝑝

𝑝𝑚) ∗ 𝑃𝑒𝑙 = (1 + 0,75 ∗

26

34,4) ∗ 635 = 995 𝑁

H=15 % ⇒ Condición de servicio seca para la unión

KD = 1,25 Por tratarse de una estructura de techo se considera sobrecarga de servicio para el

techo. NCh 1198, Anexo G KD = 1,25

⇒ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,2,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 995 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 1.243 𝑁

Capacidad de carga de la unión:

𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑛ℎ ∗ 𝑛𝑓 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 5 ∗ 3 ∗ 1.243 = 18.647 𝑁

Capacidad de carga de diseño de la madera:

Pino radiata G1:


𝐾𝐷 = 1,25

𝐾𝐻 =1,75 − 0,033 ∗ 𝐻

1,35=1,75 − 0,033 ∗ 15

1,35= 0,93

𝐾ℎ = √90

ℎ

5

= √90

138

5

= 0,918

𝐾𝑐𝑡 = 0,80 (perforaciones de clavos, NCh 1198, sección 7.4.3, tabla 19)



⇒ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 5,0 ∗ 1,25 ∗ 0,93 ∗ 0,918 ∗ 0,8 = 4,27 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 4,27 ∗ 138 ∗ 41 = 24.144 𝑁 = 24,144 𝑘𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑙𝑎𝑣𝑜𝑠 = 18,647 𝑘𝑁



EJEMPLO 19: Diseño de unión clavada

Estimar la capacidad de carga de diseño de la unión de la figura. Las piezas son de madera

aserrada de Pino radiata y se construyen con un contenido de humedad 22 %, secándose hasta

un 18 % una vez puestas en servicio. Se utilizan dos flanches de acero de sección 85*3 mm y

12+12 clavos corrientes de calibre 65*3,1 mm, clavados de a mitades desde ambos lados de la

unión, de acuerdo con el esquema indicado en la figura. La carga es de naturaleza permanente.

Solución:

Clavos 65*3,1 mm: D = 3,1 mm

De NCh 1198, Anexo G, Sección G3

𝐾𝐷 = 0,9

De NCh 1198, sección 9.4.3, Tabla 26, Nota 1

Control de espaciamientos

En el madero horizontal:

𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 < 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚 , sin embargo, se acepta ya que no existe

componente de fuerza ejercido por los clavos según la dirección de la fibra.

KUH = 0, 70



𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 30 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚


𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 185 − (2 ∗ 30 + 70) = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

En el madero vertical

𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 10 ∗ 𝐷 = 10 ∗ 3,1 = 31 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑐𝑝 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 3,1 = 46,5 𝑚𝑚

𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 20 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 0,5 ∗ (115 − 3 ∗ 20) = 27,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 3,1 = 15,5 𝑚𝑚

Control riesgo de falla por tracción normal borde cargado pieza horizontal

𝑎 = 2 ∗ 30 + 70 = 130 𝑚𝑚 ⇒ (𝑎

ℎ) =

130

185= 0,703 > 0,70

De acuerdo con NCh 1198, sección 9.2.1.5, se obvia este control

Derivación de la capacidad de carga de diseño de los clavos.

Para el acero:

𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 1,375 ∗ 𝑅𝑡𝑢 = 1,375 ∗ 370 = 508,8 𝑀𝑃𝑎

Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E :

𝜌0 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄

NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D < 6,4mm, se tiene:

𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 115 ∗ (𝜌0 1000⁄ )1,84 = 115 ∗ (450 1000⁄ )1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎

Clavos 3”:

𝐷 = 3,1 𝑚𝑚






𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,1 = 716 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑙 = 𝑡 = 3 𝑚𝑚

𝑙𝑐 = 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − 𝑡 = 65 − 3 = 62 𝑚𝑚 < 𝑒𝑐 = 90 𝑚𝑚

Modos de fluencia:


=26,5

508= 0,052


3= 20,7




𝑘1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒

2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡

2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)

1 + 𝑅𝑒

=√0,052 + 2 ∗ 0,0522 ∗ (1 + 20,7 + 20,72 ) + 20,72 ∗ 0,0523 − 0,052 ∗ (1 + 20,7)

1 + 0,052

= 0,444

𝑘2 = −1 + √2 + (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 + (1 + 0,052) +2 ∗ 716 ∗ (1 + 2 ∗ 0,052) ∗ 3,12

3 ∗ 26,5 ∗ 622= 0,468

𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 0,052)

0,052+2 ∗ 716 ∗ (2 + 0,052) ∗ 3,12

3 ∗ 26,5 ∗ 32= 7,94



Modo Ic:


𝐹𝐴=3,1 ∗ 62 ∗ 26,5

2,2= 2.312 𝑁

Modo Il:


𝐹𝐴=3,1 ∗ 3 ∗ 508

2,2= 2.151 𝑁

Modo II:


𝐹𝐴=0,444 ∗ 3,1 ∗ 3 ∗ 508

2,2= 954 𝑁

Modo IIIc:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐

(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴=0,468 ∗ 3,1 ∗ 62 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 0,052) ∗ 2,2= 979 𝑁

Modo IIIl:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 + 𝑅𝑒)𝐹𝐴

=794 ∗ 3,1 ∗ 3 ∗ 26,5

(2 + 0,052) ∗ 2,2= 433 𝑁

Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,12

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 508

3 ∗ (1 + 0,052)= 479 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.312; 2.151; 954; 979; 433; 479) = 433 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝐷 = 433 ∗ 0,7 ∗ 0,9 = 273 𝑁

𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑢𝑛𝑖ó𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 12 ∗ 273 = 3.274 𝑁



Verificación flanche de acero

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = (𝑏 − 4 ∗ (𝐷 + 0,2)) ∗ 𝑡 = (90 − 4 ∗ (3,1 + 0,2)) ∗ 3 = 230 𝑚𝑚

𝑓𝑓 =𝑇𝑑𝑖𝑠𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎

=3.274

230= 14,2 𝑀𝑃𝑎 ≪ 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜



EJEMPLO 20: Unión con clavos lanceros

Una tabiquería de pared exterior expuesta a la acción de una presión de viento de 1,5 kN/m2

se estructura con pies derechos de pino Radiata de escuadría 41 x 138 mm (2 x6) de 3,20 m de

altura espaciados cada 410 mm. Cada pie derecho se fija a la solera basal y a la carrera

superior por medio de 2 clavos lanceros de 3,5x75 mm (3”). Se debe determinar si esta

solución es adecuada.

Solución:

Solicitación por clavo:

Carga de viento de viento sobre pies derechos:

𝑞𝑣 = 𝑣 ∗ 𝑑 = 1.500 ∗ 0,41 = 615 𝑁 𝑚⁄

Reacciones en extremos de pie derecho:

𝐻𝑠𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎 = 𝐻𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑟𝑎 =𝑞𝑣 ∗ 𝐿

2=615 ∗ 3,2

2= 984 𝑁

Cada clavo lancero debe traspasar una carga

𝑃𝑒𝑙,𝑒𝑓 =𝐻

2=984

2= 492 𝑁



Derivación de la capacidad de carga de diseño de los clavos.

𝐾𝐷 = 1,6 (estado de carga que incorpora efectos de viento, NCh 1198, anexo G)

𝐾𝐻 = 1,0 (madera seca durante construcción y servicio)

Para el pino radiata, de NCh 1198 Anexo E

𝜌0 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄

NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D<6,4mm, se tiene:

𝑅𝑎𝑝 = 115 ∗ (𝜌0 1.000⁄ )1,84 = 115 ∗ (450 1.000⁄ )1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎

clavos 3”:

𝐷 = 3,5 𝑚𝑚




𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 3,5 = 693 𝑀𝑃𝑎

De NCh 1198, Figura 33

𝑙𝑙 =𝑙𝑐𝑙3=75

3= 25 𝑚𝑚

𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 ∗ (cos 30°) − 𝑙𝑙 = 75 ∗ 0,866 − 25 = 40 𝑚𝑚

𝑙𝑐 = 𝑀í𝑛(𝑝; 𝑒𝑐) = 𝑀í𝑛(40; 41) = 40 𝑚𝑚

Clavos lanceros, NCh 1198, Sección 9.6.4.4.2:

𝐾𝑐𝑙,𝑙 = 0,80

Nota: Este factor se reducirá a 0,50 en la nueva redacción de la NCh 1198 como consecuencia

de resultados de un proyecto de investigación desarrollado por el Departamento de Ingeniería

en Obras Civiles de la U. Santiago, por lo que en el siguiente desarrollo se considerará este

último valor.



Modos de fluencia:


=26,5

26,5= 1


25= 1,6




𝑘1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒

2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡

2 ∗ 𝑅𝑒3 ∗ 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)

1 + 𝑅𝑒

=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,6 + 1,62) + 1,62 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,6)

1 + 1= 0,563

𝑘2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 693 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,52

3 ∗ 26,5 ∗ 402= 1,098

𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 693 ∗ (2 + 1) ∗ 3,52

3 ∗ 26,5 ∗ 252= 1,242

Modo Ic:


𝐹𝐴=3,5 ∗ 40 ∗ 26,5

2,2= 1.682 𝑁



Modo Il:


𝐹𝐴=3,5 ∗ 25 ∗ 26,5

2,2= 1.052 𝑁

Modo II:


𝐹𝐴=0,563 ∗ 3,5 ∗ 25 ∗ 26,5

2,2= 592 𝑁

Modo IIIc:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴

=1,098 ∗ 3,5 ∗ 40 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 616 𝑁

Modo IIIl:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴

=1,242 ∗ 3,5 ∗ 25 ∗ 26,5

(2 ∗ 1) ∗ 2,2= 436 𝑁

Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=3,52

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 693

3 ∗ (1 + 1)= 435 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(1.682; 1.052; 592; 616; 436; 435) = 435 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑙,𝑙 = 435 ∗ 1,6 ∗ 1,0 ∗ 0,5 = 348 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 < 𝑃𝑒𝑙,𝑒𝑓 = 492 𝑁

Se debe incrementar la cantidad de clavos a 4 en cada extremo.



EJEMPLO 21: Diseño de uniones clavadas en una cercha

Diseñar las uniones clavada indicadas en la cercha de la figura solicitada por densidades de

carga 𝑞𝑡 = 1,633 𝑘𝑁 𝑚2⁄ y 𝑞𝑐 = 0,61 𝑘𝑁 𝑚2⁄ que actúan directamente sobre los tijerales

de escuadría nominal 2x6, y la cuerda inferior de escuadría nominal 2x5, respectivamente;

expresadas ambas sobre la superficie de proyección horizontal del techo. Se considera un

espaciamiento entre cerchas de 0,8 m. Se dispone de madera cepillada de pino radiata, grado

C24, en condición seca.

𝑃1 = 𝑙1𝑡 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑡 = 2,5 ∗ 0,8 ∗ 1,633 = 3,266 𝑘𝑁

𝑃2 = 𝑙1𝑐 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑐 = (10 3⁄ ) ∗ 0,8 ∗ 0,61 = 1,627 𝑘𝑁

𝑃3 = 0,5 ∗ (𝑃1 + 𝑃2) = 1.633 + 813 = 2.446 𝑁

Esfuerzos internos y reacciones:



El tijeral y los montantes comprimidos se materializan con piezas de espesor nominal 2’’ (41

mm), la cuerda inferior combina una disposición de dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33

mm) y piezas de espesor nominal 2” (41 mm), mientras que para las diagonales traccionadas

se considera dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33 mm). Las uniones se construyen usando

clavos de calibre 4”:100x4,3 mm.

Solución:

𝑏𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑒𝑓,𝑚í𝑛 = 33 𝑚𝑚

Capacidad de carga de diseño de clavos: se analizará la situación de las uniones entre dos

piezas laterales de espesor 33 mm con la pieza central de 41 mm.

𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄ En todos los maderos

NCh 1198, sección 9.6.2.2.3, como D < 6,4mm, se tiene:

𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 1.000⁄ )1,84

= 115 ∗ (450 1.000⁄ )1,84 = 26,5 𝑀𝑃𝑎

𝑏𝑙 = 𝑙𝑙 = 33 𝑚𝑚



D = 4,3 mm < 6,4 mm

⇒ 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎


aplicables. La capacidad admisible de los clavos se estimará sobre la base de la capacidad de

carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple.

𝑅𝑒 = 𝑅𝑎𝑝,𝑐 𝑅𝑎𝑝,𝑙⁄ = 26,5 26,5⁄ = 1,0

Nch 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36

Kd = 2,2 para D < 4,3 mm




Modo Ic:


𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

2,2= 2.121 𝑁

Modo Il:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙2 ∗ 𝐹𝐴

=4,3 ∗ 33 ∗ 26,5

2,2= 1.707 𝑁

Modo IIIl:

𝑘3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2

3 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 ∗ 𝑙2

= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32

3 ∗ 26,5 ∗ 332= 1,198

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝑘3 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴

=1,198 ∗ 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5

(2 ∗ 1) ∗ 2,2= 681 𝑁

Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=4,32

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 647

3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.121; 1.707; 681; 635) = 635 𝑁

Penetración del clavo en el tercer madero

𝑝 = 𝐿 − (𝑏𝑙 + 𝑏𝑐) = 100 − (33 + 41) = 26 𝑚𝑚



Existe cizalle doble parcial, ya que

𝑝𝑚𝑚 = 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚 < 𝑝 < 8 ∗ 𝐷 = 8 ∗ 4,3 = 34,4 𝑚𝑚 = 𝑝𝑚

⇒𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 𝑐𝑑 = (1 + 0,75 ∗𝑃𝑒𝑓

𝑃𝑚𝑚) ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = (1 + 0,75 ∗

26

34,4) ∗ 635 = 995 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 995 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1.244 𝑁

Nudo A: alero

Esquema de equilibrio estático

Organización de piezas de madera

Determinación fuerza de interfaz F: se analizará la condición de equilibrio estático del cuerpo

libre constituido por la cuerda inferior, considerando las fuerzas externas e internas que

actúan sobre él.



Resultante de fuerzas:

𝑅 = √(8.972 − 813)2 + 15.5382 = 17.550 𝑁

𝜙 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (8.971 − 813

15.538) = 27,7°

La orientación de la fuerza de interfaz determina la naturaleza de bordes del extremo del

tirante indicada en la figura

En el tijeral la fuerza de interfaz F actúa en sentido contrario y desangulada en 𝜙1 = 𝜙 − 𝛼 =

27,7 − 22,8 = 4,9° con respecto al eje de la pieza. Su orientación determina la naturaleza de

bordes indicada en la figura

Cantidad de clavos requerida

𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝐹


1.244= 14,1 → 16

Con el propósito de materializar una unión compacta los clavos se distribuirán en cuatro

hileras y cuatro columnas en ambos maderos.



Espaciamiento normativos mínimos (NCh 1198 Tabla 34)

𝑠𝑝 = 12 ∗ 𝐷 = 12 ∗ 4,3 = 51,6 ⇒ 55 𝑚𝑚

𝑠𝑛 = 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 4,3 = 21,5 ⇒ 25 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑐𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 15 ∗ 4,3 = 64,5 ⇒ 65 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑐𝑛(𝛼<30°) = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 ⇒ 35 𝑚𝑚

La desangulación mínima entre la fuerza de interfaz y los maderos se produce con el tijeral, el

que se define como madero solicitante y con respecto a él se organiza la disposición del

clavado.

Para poder disponer 4 hileras en cada madero la altura de la sección, tanto del tijeral como de

la cuerda horizontal debe ascender al menos a:

ℎ𝑚í𝑛 = 𝑠𝑏𝑐𝑛 + 3 ∗ 𝑠𝑛 + 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 35 + 3 ∗ 25 + 25 = 135 𝑚𝑚

Se selecciona la altura comercial inmediatamente superior definida para madera cepillada de

Pino radiata en NCh 2824: 138 mm

Diseño del esquema de clavado:

NOTA: La disposición alternada de los clavos con respecto a los gramiles evita que una rajadura a lo

largo de la fibra descarte del trabajo estructural a la totalidad de los clavos alineados según la dirección

de la fibra. Este detalle es responsabilidad del carpintero, pero la ITO debe preocuparse de controlar el

correcto proceso de clavado.



Control de espaciamientos:

En el tijeral,

𝑠𝑝,𝑒𝑓 =25

𝑠𝑒𝑛(22,8°)= 64,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝

En el cordón inferior,

𝑠𝑝,𝑒𝑓 =25

𝑠𝑒𝑛(22,8°)= 64,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 =35

𝑠𝑒𝑛(22,8°)= 90,3 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝

Los restantes espaciamientos se impusieron al delimitar las zonas de borde

Nudo B


Organización de las piezas de madera

En la junta de contacto actúan las componentes de compresión

𝐶 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3°) = 3.011 𝑁

y de cizalle



𝑇 = 3.127 ∗ 𝐶𝑜𝑠(74,3°) = 844 𝑁

Verificación del traspaso de la componente C por contacto entre maderos

𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛 =ℎ3

𝑠𝑒𝑛(74,3°)=

90

0,963= 93,5 𝑚𝑚

𝑓𝑐𝑛 =𝐶

𝑏 ∗ 𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛=

3.011

41 ∗ 93,5= 0,79 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,0 𝑀𝑃𝑎

Traspaso de la fuerza T

Se dispone un taco equivalente a un embarbillado de medio talón, por lo que el extremo de

contacto con el puntal se inclina en:

(180 − 74,3)

2 ≈ 53°

con respecto al canto del tijeral .

Por definición en NCh 1198, Sección 10.2.1:

𝛾 = 90 − 53 = 37

Desangulación de la fuerza normal al plano de embarbillado con respecto a la dirección de la

fibra en el puntal diagonal

𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾 = 74,3 − 37 = 37,3

Desangulación fuerza normal al plano de embarbillado con respecto a la dirección de la fibra del

taco

𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜 = 90 − 53 = 27

𝛿 = max(𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔; 𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜) = max(37,3; 27) =37,3

𝐹𝑐,𝛿 =0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠

0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛿 + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠

2𝛿

=0,75 ∗ 10 ∗ 2,5

0,75 ∗ 10 ∗ 𝑠𝑒𝑛237,3 + 2,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠237,3 = 5,53 𝑀𝑃𝑎



Altura de sección requerida para el taco.


𝑡𝑟 = 41 𝑚𝑚 ≥ 𝑃 ∗ cos(𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾)

𝑏 ∗ 𝐹𝑐,𝛿= 3.127 ∗ cos(74,3 − 37)

41 ∗ 5,53= 11,0 𝑚𝑚

El taco se fija con clavos 100*4,3 mm., que funcionan en cizalle simple

NCh 1198, sección 9.6.2.3 Clavos 4”: D = 4,3 mm; 𝑙𝑐𝑙 = 100 𝑚𝑚

Como D<6,4 mm, entonces:

𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑙 = ℎ𝑡𝑎𝑐𝑜 = 41 𝑚𝑚

𝑙𝑐 = min( ℎ𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑙; 𝑝 = 𝑙𝑐𝑙 − ℎ𝑡𝑎𝑐𝑜) = min( 138; 100 − 41) = 59 𝑚𝑚


𝜌0 = 450 𝑘𝑔 𝑚3⁄

Luego, según Nch 1198, sección 9.6.2.2.3

𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (𝜌0 1.000)⁄ 1,84

𝑅𝑎𝑝,𝑐 = 𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 115 ∗ (450 1.000)⁄ 1,84= 26,5 𝑀𝑝𝑎

Modos de fluencia:


=26,5

26,5= 1


41= 1,44





Luego, para D < 6,4 mm → FA=Kd ⇒ FA=2,2

𝐾1 =√𝑅𝑒 + 2𝑅𝑒

2 ∗ (1 + 𝑅𝑡 + 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡

2 ∗ 𝑅𝑒3 − 𝑅𝑒 ∗ (1 + 𝑅𝑡)

1 + 𝑅𝑒

=√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,44 + 1,442) + 1,442 ∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,44)

1 + 1= 0,519

𝐾2 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) +2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 647 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 4,32

3 ∗ 26,5 ∗ 592= 1,064

𝐾3 = −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒)

𝑅𝑒+2 ∗ 𝐹𝑓𝑓 ∗ (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐷

2


= −1 + √2 ∗ (1 + 1)

1+2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32

3 ∗ 26,5 ∗ 412= 1,130

Modo Ic:


𝐹𝐴=4,3 ∗ 59 ∗ 26,5

2,2= 3.051 𝑁

Modo Il:


𝐹𝐴=4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

2,2= 2.121 𝑁

Modo II:


𝐹𝐴=0,519 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

2,2= 1.101 𝑁

Modo IIIc:

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 =𝐾2 ∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐 ∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐(1 + 2 ∗ 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴

=1,064 ∗ 4,3 ∗ 59 ∗ 26,5

(1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2= 1.082 𝑁



Modo IIIl:


=1,130 ∗ 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5

(2 + 1) ∗ 2,2= 799 𝑁

Modo IV:


𝐹𝐴∗ √


3 ∗ (1 + 𝑅𝑒)=4,32

2,2∗ √

2 ∗ 26,5 ∗ 647

3 ∗ (1 + 1)= 635 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑀í𝑛(3.051; 2.121; 1.101; 1.082; 799; 635) = 635 𝑁

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 ∗ 𝑘𝑑 = 635 ∗ 1,25 = 793 𝑁

Cantidad de clavos requerida:

𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝑇

𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠=844

793= 1,1 → 4

La unión se asegura lateralmente con la disposición de sendas cubrejuntas laterales de sección

33*90 mm fijadas por medio de 4 clavos en cada sector.



Nudo C



Se diseñará primero el empalme que permite la transición de la cuerda inferior de sección

bipartita 2/33*138 mm, a sección simple 41*138 mm. La subdivisión de esta en tres tramos

exige materializar el empalme a la izquierda del nudo.

Esquema de cuerpo libre:

Por simple inspección, la fuerza de interfaz es F = 15.538 N, orientada horizontalmente y

solicitando el borde extremo. Los restantes bordes son descargados ya que no existen

componentes de fuerza F que los soliciten.

Cantidad de clavos requerida,



1.244= 12,5 → 15



Se disponen 5 hileras de 3 clavos

𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 =ℎ

𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 + 1=

138

5 + 1= 23 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 5 ∗ 𝐷 = 5 ∗ 4,3 = 21,5 𝑚𝑚

Del diseño del nudo A

𝑠𝑝,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 12 ∗ 𝐷 = 51,6 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 65 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝 = 15 ∗ 𝐷 = 64,5 𝑚𝑚

Diagonal comprimida: 41*90 mm:

En la junta de contacto actúan las componentes de compresión,

𝐶 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(51,6°) = 2.450 𝑁

Y de cizalle,

𝑇 = 3.127 ∗ cos(51,6°) = 1.942 𝑁

Verificación del traspaso de C por contacto entre maderos.

Longitud efectiva de aplastamiento sobre el canto del tirante

𝑢 =ℎ𝑡𝑎𝑐𝑜

𝑠𝑒𝑛(64°)=

41

0,899= 45,6 𝑚𝑚

𝑣 = 𝑢 ∗ cos(51,6 − (90 − 64)) = 41,2 𝑚𝑚



𝑤 = ℎ − 𝑣 = 90 − 40,1 = 48,9 𝑚𝑚

𝑙𝑎𝑝 =𝑤

𝑠𝑒𝑛(51,6°)=

48,9

0,784= 62,4 𝑚𝑚

𝑓𝑐𝑛 =𝐶

𝑏 ∗ 𝑙𝑎𝑝=

2.450

41 ∗ 62,4= 0,96 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

Traspaso de fuerza T:

Se dispone un taco equivalente a un embarbillado de medio talón, por lo que el extremo de

contacto con el puntal se inclina en,

(180 − 51,6)

2= 64°

Con respecto al canto de la cuerda inferior,

𝛾 = 90 − 64 = 26°

Desangulación fuerza normal con dirección de la fibra en el puntal diagonal,

𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾 = 51,6 − 26 = 25,6°

Desangulación fuerza normal con dirección de la fibra taco

𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 = 90 − 64 = 26°

𝛿 = max(𝛿𝑑𝑖𝑎𝑔 ; 𝛿𝑡𝑎𝑐𝑜) = max(25,6; 26) = 26°

𝐹𝑐,𝛿 =0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠

0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛿 + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠

2𝛿

=0,75 ∗ 10 ∗ 2,5

0,75 ∗ 10 ∗ 𝑠𝑒𝑛226 + 2,5 ∗ 𝑐𝑜𝑠226 = 5,42 𝑀𝑃𝑎

Altura de sección requerida para el taco.


𝑡𝑟 = 41 𝑚𝑚 ≥ 𝑃 ∗ cos(𝛼𝑑𝑖𝑎𝑔 − 𝛾)

𝑏 ∗ 𝐹𝑐,𝛿= 3.127 ∗ cos(51,6 − 26)

41 ∗ 5,42= 12,6 𝑚𝑚

El taco se fija con clavos 100*4,3 mm., que funcionan en cizalle simple


𝑛𝑟𝑒𝑞 =𝑇


794= 2,5 ⟶ 4



La unión se asegura lateralmente clavándose a las piezas laterales de la diagonal traccionada

que converge al nudo

Diagonal traccionada: 2 / 33 x 90 mm




1.244= 4,2 ⟶ 6

Se disponen 2 hileras de 3 clavos

𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 =ℎ

𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 + 1=

90

3 + 1= 22,5 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛 = 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 21,5 𝑚𝑚



EJEMPLO 22: Diseño de uniones con placas dentadas en una cercha

Diseñar las uniones y empalme con placa dentada indicadas en la cercha de la figura, solicitada

por densidades de carga 𝑞𝑡 = 1,633 𝑘𝑁 𝑚2⁄ y 𝑞𝑐 = 0,61 𝑘𝑁 𝑚2⁄ que actúan directamente

sobre los tijerales, de escuadría nominal 2 x 6, y la cuerda inferior, de escuadría nominal 2 x 5,

respectivamente, considerando un espaciamiento entre cerchas de 0,80 m. Se dispone de

madera aserrada estructural, cepillada de pino Radiata (NCh 2824), Grado C24, en condición

seca y se utilizan placas GN 20 A Gang Nail (Automated Buildings).


Solución:

Nudo A: alero.



Se selecciona un par de placas 100*225 mm

𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎tan (𝛾)

=100

0,42= 238 𝑚𝑚 > 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 225 𝑚𝑚

Posición balanceada de placas ⇒ Δ = 0,5 ∗ (238 − 255) = 6,5 𝑚𝑚

𝑑𝐸 = (𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 − Δ ∗ tan (𝛾)) ∗ cos(𝛾) = (100 − 6,5 ∗ 0,42) ∗ 0,922 = 89,7 𝑚𝑚

𝑏𝑒𝑓 =𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎

cos (𝛾)=

225

0,922= 244 𝑚𝑚 ⇒ 0,55 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 134 𝑚𝑚 > 𝑑𝐸

La totalidad de la superficie de anclaje es efectiva al cizalle

De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.3.4

𝐴1 = 𝐴2 = 0,5 ∗ 100 ∗ 225 = 11.250 𝑚𝑚2

𝑃3𝑛 = 1.633 ∗ cos(22,8°) = 1.506 𝑁

𝑃3𝑡 = 1.633 ∗ 𝑠𝑒𝑛(22,8°) = 632 𝑁

𝐹𝑛 = 1.506 𝑁

𝐹𝑡 = 𝐶 + 𝑃3𝑡 = 16.853 + 632 = 17.485 𝑁

Solicitación de anclaje sobre el dentado:


𝑓𝑎,𝑁 2⁄ =0,5 ∗ 1.506

2 ∗ 11.250= 0,034

𝑁

𝑚𝑚2

𝑓𝑎,𝑐𝑧 =17.485

2 ∗ 11.250= 0,777

𝑁

𝑚𝑚2

𝑓𝑎 = √0,0342 + 0,7772 = 0,778 𝑁 𝑚𝑚2⁄



Desangulación respecto a la junta de contacto

𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(0,034 0,777⁄ ) = 2,5 °

Desangulación fuerza eje axial de placa

𝛼 = 𝛿 + 𝛾 = 2,5 + 22,8 = 25,3°

Desangulación fuerza-fibra tijeral,

𝛽𝑡𝑖𝑗 = 𝛿 = 2,5°

Desangulación fuerza-fibra cuerda inferior,

𝛽𝑐𝑖 = 𝛿 + 𝛾 = 2,5 + 22,8 = 25,3°

Condiciona la capacidad admisible de carga de anclaje

De Anexo H, Tabla H1

𝐹25,3°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝐹25,3°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎

Interpolando para 𝛽 = 2,5°

𝐹∝,𝛽 =𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝐹𝑎𝑛

𝐹𝑎𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛽 + 𝐹𝑎𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠

2𝛽

𝐹𝑎,𝛼𝛽 =1,1 ∗ 0,74

1,1 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(2,5°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(2,5°)= 1,01 𝑀𝑃𝑎

Para el nudo de alero, de acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.4 si

𝛿 = 22,8° ⇒ 𝜂 = 0,85 −12 ∗ 𝑡𝑎𝑛(22,8°) − 2

20= 0,70

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝜂 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 0,7 = 0,956 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑎



Verificación placa

𝑓𝑐 =0,5 ∗ 𝐹𝑛2 ∗ 𝑏𝑒𝑓

=0,5 ∗ 1.506

2 ∗ 244= 1,54 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑓𝑐𝑧 =𝐹𝑡

2 ∗ 𝑏𝑒𝑓=17.485

2 ∗ 244= 35,8 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝛾 = 22,8°

De Anexo H, Tabla H 2

𝐹𝑝,𝑐 = 36 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝐹𝑝,𝑐𝑧 = 𝐹𝑝,𝑐𝑖𝑧,15 + (𝛾 − 15)

15∗ (𝐹𝑝,𝑐𝑖𝑧,30 − 𝐹𝑝.𝑐𝑖𝑧,15)

= 33 + (25,3 − 15)

15∗ (40 − 33) = 36,6 𝑁/𝑚𝑚

Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3

(𝑓𝑐𝐹𝑝,𝑡

)

2

+ (𝑓𝑐𝑧𝐹𝑝,𝑐𝑧

)

2

= (1,54

36)2

+ (35,8

36,6)2

= 0,958 < 1

Nudo B


En la junta de contacto actúan las componentes de compresión,

𝐶 = 𝐶3𝑛 = 3.127 ∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3) = 3.011 𝑁



Y de cizalle,

𝑇 = 𝐶3𝑡 = 3.127 ∗ 𝑐𝑜𝑠(74,3°) = 844 𝑁

Verificación del traspaso de C por contacto entre maderos

𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛 =ℎ3

𝑠𝑒𝑛(74,3°)=

90

0,963= 93,5 𝑚𝑚

𝑓𝑐𝑛 =𝐶

𝑏 ∗ 𝑙𝑢𝑛𝑖ó𝑛=

3.011

41 ∗ 93,5= 0,79 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,0 𝑀𝑃𝑎

Solicitación de anclaje sobre el dentado:

𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 150 𝑚𝑚

𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = 65 𝑚𝑚

𝑑𝐸 =𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎2

∗ 𝑠𝑒𝑛(74,3°) = 75 ∗ 0,963 = 72,2 𝑚𝑚

𝑠 = 𝑙𝐸 =𝑏𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎

𝑠𝑒𝑛(74,3°)=

65

0,963= 67,5 𝑚𝑚

0,55 ∗ 𝑙𝐸 = 0,55 ∗ 67,5 = 37,1 𝑚𝑚 < 𝑑𝐸

𝐴𝑎 =65 ∗ 150

2− 10 ∗ 67,5 = 4.200 𝑚𝑚2



𝐴𝑐𝑧 = 67,5 ∗ (37,1 − 10) = 1.831 𝑚𝑚2

Solicitación de dentado,

De acuerdo con NCh 1198, Sección 9.9.3.3 para la verificación del anclaje de placa se considera

el 50 % de 𝐶3𝑛

𝑓𝑎,𝐶 2⁄ =0,5 ∗ 3.011

2 ∗ 4.200= 0.18 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑎,𝑐𝑧 =844

2 ∗ 1.829= 0,23 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑎 = √0,182 + 0,232 = 0,29 𝑀𝑃𝑎

𝛿 = arctan (0,18 0,23⁄ ) = 37,9°

Fijación al tijeral,

Desangulación fuerza-eje de placa

∝= 74,4 − 37,9 = 36,5°

Desangulación fuerza-fibra

𝛽 = 𝛿 = 37,9°


𝐹30°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝐹30°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎

𝐹60°;0° = 1,0 𝑀𝑃𝑎

𝐹60°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎



𝐹𝑎36,5;0 = 𝐹𝑎30;0 + (𝛼 − 30)

30∗ (𝐹𝑎60;0 − 𝐹𝑎30;0)

𝐹𝑎36,5;0 = 1,1 + (36,5 − 30)

30∗ (1,1 − 1,0) = 1,08 𝑁/𝑚𝑚2

Interpolando para 𝛼 = 36,5° y 𝛽 = 37,9°



2𝛽

𝐹𝑎36,3,38 =1,08 ∗ 0,74

1,08 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(37,9°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(37,9°)= 0,92 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,25 ∗ 0,92 = 1,15 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎

Fijación a la diagonal

∝= 𝛽 = 74,3 − 37,8 = 36,5°

Interpolando para 𝛼 = 36,3° y 𝛽 = 36,3°



2𝛽

=1,08 ∗ 0,74

1,08 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(36,3°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(36,3°)= 0,93 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ⇒ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,25 ∗ 0,93 = 1,16 𝑀𝑃𝑎 ≫ 𝑓𝑎

Verificación solicitación de placa:

𝑠 = 𝑙𝑒 = 65 𝑚𝑚

𝑓𝑐 =𝐶 2⁄

2 ∗ 𝑠=

1.506

2 ∗ 67,5= 11,2 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑓𝑐𝑧 =𝑇

2 ∗ 𝑠=

844

2 ∗ 67,5= 6,25 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝛾 = 180 − 74,3 = 105,7°



De Anexo H, Tabla H2.

𝐹𝑝,𝑐 105,7 = 𝐹𝑝,𝑐 105 + (𝐹𝑝,𝑐 105 − 𝐹𝑝,𝑐 120)

15∗ (105,7 − 105)

= 60 + (60 − 48)

15∗ (105,7 − 105) = 59,5 𝑁/𝑚𝑚

𝐹𝑝,𝑐𝑧 105,7 = 𝐹𝑝,𝑐𝑧 105 + (𝐹𝑝,𝑐𝑧 105 − 𝐹𝑝,𝑐𝑧 120)

15∗ (105,7 − 105)

= 25,5 + (25,5 − 24)

15∗ (105,7 − 105) = 25,4 𝑁/𝑚𝑚

Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3

(𝑓𝑐𝐹𝑝,𝑐

)

2


)

2

= (11,2

59,5)2

+ (6,25

25,4)2

= 0,096 < 1

Nudo C


Solicitaciones de nudo:

Descarga de cielo,

𝑃𝑡𝑛 = 1.627 𝑁

Fuerza axial cuerda inferior,

𝑇 = 15.538 − 10.359 = 5.179 𝑁



Detalles de nudo:

Verificación de tensiones de anclaje:

Superficies efectivas de anclaje

Cuerda inferior:

0,55 ∗ 𝑙𝐸 = 0,55 ∗ 175 = 96,25 𝑚𝑚 > 𝑑𝐸 = 40 𝑚𝑚

𝐴𝑎 = (40 − 10) ∗ 175 = 5.250 𝑚𝑚2

𝐴𝑐𝑧 = 𝐴𝑎 = 5.250 𝑚𝑚2

Solicitación dentado:



𝑓𝑎,𝑇 =1.627

2 ∗ 5.250= 0,155 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑎,𝑐𝑧 =5.179

2 ∗ 5.250= 0,493 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑎 = √0,1552 + 0,4932 = 0,52 𝑀𝑃𝑎

𝛿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(0,155 0,493⁄ ) = 17,4°

𝛼 = 𝛽 = 17,4°


𝐹17,4°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝐹17,4°;90° = 0,74 𝑀𝑃𝑎



2𝛽

=1,1 ∗ 0,74

1,1 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(17,4°) + 0,74 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(17,4°)= 1,05 𝑀𝑃𝑎


Diagonal 3

𝐴𝑎,3 = (80 − 10)(60 − 10) − 0,5 ∗ 23 ∗ 29 = 3.167 𝑚𝑚2

𝑓𝑎 =3.127

2 ∗ 3.167= 0,494 𝑀𝑃𝑎

𝛼 = 51,6°

𝛽 = 0°

Por medio de interpolaciones en Tabla H1


𝐹𝑎51,6°;0° = 𝐹𝑎30°;0° − 𝛼 − 30

30∗ (𝐹𝑎60°;0° − 𝐹𝑎30°;0°)

= 1,1 − 51,6−30

30∗ (1,1 − 1,0) = 1,03 𝑁/𝑚𝑚2 > 𝑓𝑎



Diagonal 4

𝐴𝑎,3 = (95 − 10)(60 − 10) − 0,5 ∗ 38 ∗ 48 = 3.339 𝑚𝑚2

𝑓𝑎 =5.204

2 ∗ 3.339= 0,78 𝑀𝑃𝑎

𝛼 = 51,6°

𝛽 = 0°


𝐹30°;0° = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝐹60°;90° = 1,00 𝑀𝑃𝑎

Interpolando

𝐹𝑎51,6°;0° = 𝐹𝑎30°;0° − 𝛼 − 30

30∗ (𝐹𝑎60°;0° − 𝐹𝑎30°;0°)

= 1,1 − 51,6−30

30∗ (1,1 − 1,0) = 1,03 𝑁/𝑚𝑚2 > 𝑓𝑎

Verificación solicitación de placa:

𝑠 = 175 𝑚𝑚

𝑓𝑡 =𝑃𝑡𝑛2 ∗ 𝑠

=1.627

2 ∗ 175= 4,65 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑓𝑐𝑧 =𝑇

2 ∗ 𝑠=

5.179

2 ∗ 175= 14,8 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝛾 = 0°


𝐹𝑝,𝑡 = 36 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝐹𝑝,𝑐𝑧 = 26 𝑁 𝑚𝑚⁄

Control interacción, NCh 1198, sección 9.9.5.3,

(𝑓𝑡𝐹𝑝,𝑡

)

2


)

2

= (4,65

36)2

+ (14,8

26)2

= 0,341 < 1



Verificación contra desgarro de cuerda inferior:

𝑙𝑖 = 𝑙𝑑 = 4 ∗ (𝑑𝐸 − 10) = 4 ∗ (40 − 10) = 120 𝑚𝑚

𝑓𝑡𝑛 =𝑃

𝑏 ∗ (𝑤 + 4(𝑑𝐸 − 𝑐))=

1.627

41 ∗ (175 + 120)= 0,13 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎

Se debe reforzar la cuerda inferior el entorno de la unión por medio de tornillos de costura de

rosca larga, o definir una longitud de placa no inferior a 250 mm, o incrementar

simultáneamente los parámetros 𝑑𝐸 y 𝑙𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 hasta reducir la tensión nominal de tracción

normal a la fibra por debajo del correspondiente valor de diseño.

Empalme cuerda inferior.

Disponiendo la placa con su eje axial paralelo al eje de la cuerda inferior ⇒𝛼 = 0°.

Dado que 𝛽 = 0°, Anexo H, Tabla H1 ⇒ 𝐹𝑎 = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑎 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎

Si se dispone el empalme en el tercio central de la cuerda

𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞 =𝑇

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠=10,359 ∗ 103

2 ∗ 1,375= 3.767 𝑚𝑚2



Se selecciona un par de placas de ancho 100 mm dispuestas centradas con respecto al eje del

cordón.

𝐵𝑒𝑓 = 115 − 2 ∗ 10 = 95 𝑚𝑚 < 𝐵 = 100 𝑚𝑚

𝐼𝑎,𝑟𝑒𝑞 =𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞𝐵𝑒𝑓

=3.767

95= 39,7 ⇒ 40 𝑚𝑚

⇒ 𝐿 = 2 ∗ (𝑙𝑎 + 10) = 2 ∗ (40 + 10) = 100 𝑚𝑚

Verificación placa:

𝛾 = 90° ⇒ 𝐹𝑝,𝑡 = 73 𝑁 𝑚𝑚⁄ Anexo H, Tabla H2

𝑓𝑝,𝑡 =𝑇

2 ∗ 𝐵=10,359 ∗ 103

2 ∗ 100= 51,8 𝑁 𝑚𝑚⁄ < 𝐹𝑝,𝑡

Si se dispone el empalme en el tercio central de la cuerda,

𝐴𝑎,𝑟𝑒𝑞 = 15.537

2 ∗ 1,375= 5.650 𝑚𝑚2

𝑙𝑎,𝑟𝑒𝑞 = 5.650

95= 59,5 𝑚𝑚 → 60 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿 = 2 ∗ ( 60 + 10 ) = 140 𝑚𝑚

Verificación placa:

𝛾 = 90° ⇒ 𝐹𝑝,𝑡 = 73 𝑁 𝑚𝑚⁄ Anexo H, Tabla H2

𝑓𝑝,𝑡 =𝑇

2 ∗ 𝐵=15.537

2 ∗ 100= 77,7 𝑁 𝑚𝑚⁄ > 𝐹𝑝,𝑡



Se especifican placas de 115 x 140 mm

𝑓𝑝,𝑡 =𝑇

2 ∗ 𝐵=15.537

2 ∗ 115= 67,6 𝑁 𝑚𝑚⁄ < 𝐹𝑝,𝑡



EJEMPLO 23: Diseño de uniones con conectores dentados en una cercha

Diseñar las uniones con conectores dentados tipo C indicadas en la cercha de la figura

solicitada por densidades de carga 𝑞𝑡 = 1,633 𝑘𝑁 𝑚2⁄ y 𝑞𝑐 = 0,61 𝑘𝑁 𝑚2⁄ que actúan

directamente sobre los tijerales y la cuerda inferior, respectivamente, considerando un

espaciamiento de 0,80 m. Se dispone de madera aserrada estructural, cepillada 4C de pino

Radiata, Grado C24, en condición seca.

𝑃1 = 𝑙1𝑡 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑡 = 2,5 ∗ 0,8 ∗ 1,633 = 3,266 𝑘𝑁

𝑃2 = 𝑙1𝑐 ∗ 𝑎 ∗ 𝑞𝑐 = (10 3⁄ ) ∗ 0,8 ∗ 0,61 = 1,627 𝑘𝑁

𝑃3 = 0,5 ∗ (𝑃1 + 𝑃2) = 1.633 + 813 = 2.446 𝑁




El tijeral y los montantes comprimidos se materializan con piezas de espesor nominal 2” (41

mm), la cuerda inferior combina una disposición de dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33

mm) y piezas de espesor nominal 2” (41 mm), mientras que para las diagonales traccionadas

se considera dos piezas de espesor nominal 1 ½” (33 mm). Las uniones se construyen usando

conectores dentados Tipo C.

Solución:

Nudo A: alero


Organización de piezas de madera

Determinación fuerza de interfaz F:

Se analizará la condición de equilibrio estático del cuerpo libre constituido por la cuerda

inferior, considerando las fuerzas externas e internas que actúan sobre él.



Resultante de fuerzas:

𝑅 = √(8.971 − 813)2 + 15.5382 = 17.550 𝑁

𝜙 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 (8.971 − 813

15.538) = 27,7°

La orientación de la fuerza de interfaz determina la naturaleza de bordes del extremo del

tirante indicada en la figura,

En el tijeral la fuerza de interfaz F actúa en sentido contrario y desangulada en 𝜙1 = 𝜙 − 𝛼 =

27,7 − 22,8 = 4,9° con respecto al eje de la pieza. Su orientación determina la naturaleza de

bordes indicada en la figura,

En las piezas constituyentes de la cuerda inferior se produce la desangulación máxima entre la

fuerza de interfaz y la dirección de la fibra de las piezas: 27,7°.



La unión se diseñará considerando el uso de conectores de hinca tipo C Calibre D 50.

Capacidades admisibles de carga:

Del anexo I, tabla I.1:

𝑃𝑝,𝑎𝑑 = 5 𝑘𝑁

𝑃𝑛,𝑎𝑑 = 4 𝑘𝑁

𝑃27,7°,𝑎𝑑 =𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑃𝑛,𝑎𝑑

𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛾 + 𝑃𝑛,𝑎𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠

2𝛾=

5 ∗ 4

5 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(27,7°) + 4 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(27,7°)= 4,744 𝐾𝑁

𝑃27,7°,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃27,7°,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 4,744 ∗ 1,25 ∗ 1 = 5,93 𝐾𝑁

La solución mínima considera 1 perno y 2 conectores

𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃27,7°,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 5,93 = 11,859 𝑘𝑁

Cantidad de unidades requerida:


𝑃22,7°,𝑑𝑖𝑠=15.538

11.859= 1,48 ⇒ 2

Se requiere disponer 2 pares de conectores

Para calibre de conectores se deben respetar los siguientes espaciamientos mínimos:

Al borde, cargado o descargado, según la dirección de la fibra,

𝑠𝑝 = 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚

Al borde cargado normal a la dirección de la fibra,

𝑠𝑏𝑐𝑛 = 50 𝑚𝑚

Al borde descargado normal a la dirección de la fibra,

𝑠𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚



Entre conectores, según la dirección de la fibra,

𝑠𝑝 = 120 𝑚𝑚

Entre conectores, normal a la dirección de la fibra,

𝑠𝑛 = 56 𝑚𝑚

Espesor mínimo de madera,

𝑏𝑚í𝑛 = 40 𝑚𝑚

Se consideran piezas de 65x162 mm para los tijerales, piezas de 65x90 mm para diagonales

comprimidas y 3 piezas de 41x90 mm para las diagonales traccionadas. La cuerda inferior se

materializa con 2 piezas de 41x138 mm en los tercios laterales, y con una pieza de 65x138 mm

en el tercio central.

Diseño de la unión

La verificación tensional en tracción de la cuerda inferior se desarrollará en el empalme del

elemento.

En la cuerda inferior se debe realizar la verificación tensional (tracción normal a la dirección de

la fibra) tijeral, según NCh 1198, Anexo T, ya que la desangulación máxima entre la fuerza de

interfaz de la unión y la fibra de la madera se manifiesta en este elemento.

𝑎

ℎ=

69

138= 0,5

𝑊 =𝑠𝑛

𝑠𝑒𝑛 (22,8)=

62

𝑠𝑒𝑛 (22,8)= 160 𝑚𝑚

𝑐 =4

3∗ √

𝑎

ℎ∗ (1 −

𝑎

ℎ)3

=4

3∗ √0,5 ∗ (1 − 0,5)3 = 0,333



𝑊𝑒𝑓 = √𝑊2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √1602 + (0,333 ∗ 138)2 = 167 𝑚𝑚

𝑏𝑒𝑓 = min(2 ∗ 𝑏𝑙; 2 ∗ 50 ) = min(2 ∗ 41; 2 ∗ 50) = 82 𝑚𝑚

𝐴𝑒𝑓 = 𝑏𝑒𝑓 ∗ 𝑊𝑒𝑓 = 82 ∗ 167 = 13.660 𝑚𝑚2

𝐹𝑡𝑛 = min(3,33 ∗ 𝐴𝑒𝑓−0,2 ; 0,53) = min(3,33 ∗ 13.660−0,2 ; 0,53)

= min(0,50 ; 0,53) = 0,50 𝑀𝑃𝑎

𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) =1

1 − 3 ∗ (𝑎ℎ)2+ 2 ∗ (

𝑎ℎ)3 =

1

1 − 3 ∗ (0,5)2 + 2 ∗ (0,5)3= 2,00

𝑓2(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) =𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠

∑(ℎ1ℎ𝑖)2 =

1

1= 1

Para conectores especiales

⇒ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈) = 1,1

𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) ∗ 𝑓2(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) ∗ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈)

𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,5 ∗ 13.660 ∗ 2,0 ∗ 1 ∗ 1,1 = 14.902 𝑁

Componente de tracción orientada normal a la dirección de la fibra,

𝑇𝑛 = 𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛(27,7) = 17.550 ∗ 0,465 = 8.158 𝑁 < 𝑇𝑛,𝑎𝑑

Control de espaciamientos

En el tijeral

𝑠𝑏𝑛,𝑒𝑓 = 50 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚

𝑠𝑛,𝑒𝑓 = 62 𝑚𝑚 > 𝑠𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 56 𝑚𝑚



En la cuerda inferior

𝑠𝑏𝑝,𝑒𝑓 =𝑆𝑛,𝑒𝑓,𝑡𝑖𝑗

𝑠𝑒𝑛(22,8°)=

50

0,388= 129 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑚𝑖𝑛 = 120 𝑚𝑚

𝑠𝑝,𝑒𝑓 =𝑆𝑏𝑛,𝑒𝑓,𝑡𝑖𝑗

𝑠𝑒𝑛(22,8°)=

62

0,388= 160 𝑚𝑚 > 𝑠𝑝,𝑚𝑖𝑛 = 120 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑛,𝑒𝑓 = 69 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚

Nudo B



Por traspasarse las fuerzas de compresión por contacto entre maderos, no se requiere del uso

de conectores y la unión se diseñará en forma análoga a la desarrollada en el ejemplo 21 para

una cercha con uniones clavadas.



Nudo C





Se diseñará primero el empalme que permite la transición de la cuerda inferior de sección

bipartita 2/41*138 mm, a sección simple 41*138 mm. La subdivisión de esta en tres tramos

exige materializar el empalme a la izquierda del nudo.

Esquema de cuerpo libre:

Por simple inspección, la fuerza de interfaz F = 15.538 N orientada horizontalmente y

solicitando el borde extremo. Los restantes bordes son descargados ya que no existen

componentes de fuerza F que los soliciten.

Conector Tipo C, calibre D62 (anexo I):


𝑆𝑏𝑐𝑝 = 𝑆𝑏𝑑𝑝 = 120 𝑚𝑚

𝑆𝑏𝑐𝑛 = 55 𝑚𝑚

𝑆𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚

𝑆𝑝 = 120 𝑚𝑚

𝑆𝑛 = 70 𝑚𝑚

𝑃𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 7 ∗ 1,25 = 8,75 𝑘𝑁

𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 8,75 = 17,5 𝑘𝑁 = 17.500 𝑁

Cantidad de unidades requerida



17.500= 0,89 ⇒ 1

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 69 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 50 𝑚𝑚



Verificación tensional madera:

Para madera laminada encolada de Pino radiata híbrida



En la tabla 19 de la NCh 1198, sección 7.4.3 no se mencionan los conectores de hinca. En la

nueva redacción de la norma se definirán valores de 0,6 y 0,7 para el factor de concentración

de tensiones asociado al uso de conectores de hinca en uniones traccionadas para madera

aserrada y madera laminada encolada, respectivamente.

𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 4,0 ∗ 1,25 ∗ 0,7 = 3,5 𝑀𝑃𝑎

Los conectores de hinca tipo C de calibre D62 se usan con pernos de diámetro ½’’, cuya

colocación exige el vaciado de agujeros con diámetro mayorado. Se considera

conservadoramente un diámetro de agujero de 14 mm. La altura del conector D62 es de 16

mm.

Para cada conector D62 se considera un debilitamiento en sección transversal de la pieza de

madera de 200 mm2.

La sección transversal crítica corresponde a la pieza central de la unión

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑏 ∗ ℎ − 𝑏 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 − 2 ∗ ∆𝐴,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 65 ∗ 138 − 65 ∗ 14 − 2 ∗ 200 = 7.660 𝑚𝑚2

𝑓𝑡 =𝑇

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎=15.538

7.660= 2,0 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 3,5 𝑀𝑃𝑎

Verificación desgarro bloques de madera:



Los planos de cizalle de los bloques considerados en el modo de falla se basan en las

dimensiones de los conectores D62 indicadas en el Anexo I. La superficie de cizalle en el borde

cargado se muestra en la figura y se calcula como el área total limitada por la dimensión

exterior del conector menos el área del agujero del perno. Para los planos de cizalle tangentes

al borde del conector se asume un ancho equivalente a la penetración de los dientes del

conector en la madera.

𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1 = 1,375 𝑀𝑃𝑎

𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 𝑠𝑏 ∗ 𝐷𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 + 0,5 ∗𝜋 ∗ 𝐷𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

2

4= 120 ∗ 62 + 0,5 ∗

𝜋 ∗ 622

4= 8.950 𝑚𝑚2

𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 =𝜋 ∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜

2

4=𝜋 ∗ 142

4= 154 𝑚𝑚2

𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 8.950 − 154 = 8.796 𝑚𝑚2

𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 𝑠𝑝 ∗ 0,5 ∗ 𝐻𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 2 ∗ 120 ∗ 0,5 ∗ 16 = 1.920 𝑚𝑚2

Cargas de diseño por desgarro de bloque:

𝑇𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 0,5 ∗ 𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ (𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙) = 0,5 ∗ 1,375 ∗ (8.796 + 1.920) = 7.367 𝑁

Dado que existen dos bloques potenciales de desgarro

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑇𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 7.367 = 14.734 𝑁 < 𝑇𝑒𝑓 = 15.538 𝑁

Se debe incrementar el espaciamiento al borde a 130 mm.

𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 130 ∗ 62 + 0,5 ∗𝜋 ∗ 622

4= 9.570 𝑚𝑚2


𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 130 ∗ 0,5 ∗ 16 = 2.080 𝑚𝑚2

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 0,5 ∗ 1,375 ∗ (9.416 + 2.080) = 15.806 𝑁 > 𝑇𝑒𝑓 = 15.538 𝑁



Diagonal comprimida: 41*90 mm

La fijación de la diagonal comprimida se diseña en forma análoga a la solución desarrollada

para las uniones clavadas en el ejemplo 21.

Diagonal traccionada: 2/41*115 mm:

Esquema de cuerpo libre del extremo de la diagonal traccionada,

Por simple inspección la fuerza de interfaz F = 5.204 N se orienta según el eje de la diagonal y

solicita el borde extremo condiciona la naturaleza de bordes indicada en la figura.

En la cuerda horizontal la fuerza de interfaz actúa con la misma dirección pero con sentido

opuesto, y condiciona la naturaleza de los bordes que se consigna en la figura,

Desangulación máxima entre la fuerza de interfaz y la dirección de la fibra de los maderos

involucrados en la unión: 51,6°.



Conector C50:


𝑃𝑛,𝑎𝑑 = 4 𝑘𝑁

𝑃𝛽,𝑎𝑑 =𝑃𝑝,𝑎𝑑∗𝑃𝑛,𝑎𝑑

𝑃𝑝,𝑎𝑑∗𝑠𝑒𝑛2𝛽+𝑃𝑛,𝑎𝑑∗𝑐𝑜𝑠

2𝛽=

5∗4

5∗𝑠𝑒𝑛2(51,6°)+4∗𝑐𝑜𝑠2(51,6°)= 4,335 𝑘𝑁

𝑃51,6°,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃51,6°,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 4,335 ∗ 1,25 = 5,42 𝑘𝑁

La solución mínima considera 1 perno y 2 conectores

𝑃𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 𝑃51,6°,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 5,42 = 10,838 𝑘𝑁 = 10.838 𝑁

Cantidad de unidades requerida


𝑃𝑑𝑖𝑠=

5.204

10.838= 0,48 ⇒ 1

Se dispone 1 unidad

Verificación tensional diagonal:

Los conectores de hinca tipo C de calibre D50 se usan con pernos de diámetro ½’’, cuya

instalación exige el vaciado de agujeros con diámetro mayorado. Se considera

conservadoramente un diámetro de agujero de 14 mm. La altura del conector D50 es 12,5 mm.

Para cada conector D50 se considera un debilitamiento en sección transversal de la pieza de

madera de 90 mm2.

Sección transversal crítica de la diagonal,

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2𝑏 ∗ (ℎ − 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜) − 2 ∗ Δ𝐴𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 2 ∗ 41 ∗ (90 − 14) − 2 ∗ 90 = 6.052 𝑚𝑚2

𝑓𝑡 =𝑇


6.052= 0,86 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 3,5 𝑀𝑃𝑎



Verificación desgarro bloques madera:

Los planos de cizalle de los bloques considerados en el modo de falla se basan en las

dimensiones de los conectores D62 indicadas en el anexo I. La superficie de cizalle en el borde

cargado se muestra en la figura y se calcula como el área total limitada por la dimensión

exterior del conector menos el área del agujero del perno. Para los planos de cizalle tangentes

al borde del conector se asume un ancho equivalente a la penetración de los dientes del

conector en la madera.

𝐴𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 120 ∗ 50 + 0,5 ∗𝜋 ∗ 502

4= 6.982 𝑚𝑚2


𝐴𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 ∗ 120 ∗ 0,5 ∗ 12,5 = 1.500 𝑚𝑚2

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 0,5 ∗ 1,375 ∗ (6.828 + 1.500) = 11.541 𝑁 > 𝑇𝑒𝑓 = 5.204 𝑁

Verificación tensional (tracción normal a la dirección de la fibra) de la cuerda inferior, según

NCh 1198, anexo T:

𝑎

ℎ=

90

138= 0,652

𝑤 = 0; ya que la unión consta de una fila

𝑐 =4

3∗ √

𝑎

ℎ∗ (1 −

𝑎

ℎ)3

=4

3∗ √0,652 ∗ (1 − 0,652)3 = 0,221

𝑤𝑒𝑓 = √𝑤2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √0 + (0,221 ∗ 138)2 = 30,5 𝑚𝑚



𝑏𝑒𝑓 = min(𝑏 ; 2 ∗ 50) = min(65 ; 100) = 65 𝑚𝑚

𝐴𝑒𝑓 = 𝑏𝑒𝑓 ∗ 𝑤𝑒𝑓 = 65 ∗ 30,5 = 1.981 𝑚𝑚2

𝐹𝑡𝑛 = min(3,33 ∗ 𝐴𝑒𝑓−0,2; 0,53) = min(0,73; 0,53 ) = 0,53 𝑀𝑃𝑎

𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) =1

1 − 3 ∗ (𝑎ℎ)2+ 2 ∗ (

𝑎ℎ)3 =

1

𝑎 − 3 ∗ (0,652)2 + 2 ∗ (0,652)3= 3,59

𝑓2(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) =𝑛

∑(ℎ𝑙ℎ𝑖)2 =

1

1= 1

Para conectores especiales ⇒ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈) = 1,1

𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) ∗ 𝑓2(ℎ1 ℎ𝑖⁄ ) ∗ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈)

𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,53 ∗ 1.981 ∗ 3,59 ∗ 1 ∗ 1,1 = 4.143 𝑁

Componente de tracción orientada normal a la dirección de la fibra:

𝑇𝑛 = 𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛(51,6) = 5.204 ∗ 0,784 = 4.078 𝑁 < 𝑇𝑛,𝑎𝑑

El diseño definitivo del empalme y el nudo se presenta en la siguiente figura.




En el madero diagonal

𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 =48 + 50

𝑠𝑒𝑛(51,6°)= 125 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝 = 120 𝑚𝑚

𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 40 𝑚𝑚

En la cuerda inferior

𝑠𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 90 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑛 = 40 𝑚𝑚



EJEMPLO 24: Diseño de unión de alero de estructura de techo construida

con conectores anulares

Determinar la capacidad de carga de diseño de la unión de alero de una estructura de techo

que se esquematiza en la figura, aplicando las especificaciones de NCh1198 Of.2006. Se

dispone de conectores de acero anulares Ø66,5 mm y piezas de madera aserrada en bruto de

Lenga correspondiente al grado estructural N°3 (NCh 1970). La madera tiene un contenido de

humedad de 25 % durante la construcción y se seca hasta un 15 % en servicio. La inclinación

del tijeral es 30°.

Solución:

Determinación de la fuerza de interfaz (fuerza que se traspasa efectivamente en la unión).

Análisis de cuerpo libre del tirante, considerando la totalidad de las fuerzas externas e internas

que actúan sobre él.

∑𝐹ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = 0 ⇒ 𝐹 + 𝑇𝑑𝑖𝑠 = 0 ⇒ 𝐹 = −𝑇𝑑𝑖𝑠

Fuerza de interfaz F: Magnitud Tdis ; Dirección: horizontal ; Sentido: apunta a la izquierda.

Designación de bordes (NCh 1198, Secciones 9.1.2.6 y 9.1.2.7):

La orientación de la fuerza de interfaz, que se descompone en el 100% según la dirección de la

fibra del tirante, determina la siguiente naturaleza para los bordes del tirante involucrado en la

unión.



bc: Borde cargado; bd: Borde descargado

Carga de diseño de los conectores

En tijeral:

Por el principio de acción y reacción, en este madero la fuerza de interfaz apunta hacia la

derecha. La descomposición de la fuerza según las direcciones paralela y normal a la fibra de la

madera de acuerdo con el siguiente esquema,

Condiciona la designación de bordes, según lo consignado en la siguiente figura:

Geometría disposición de conectores

𝑠𝑐 =65

𝑠𝑒𝑛 30= 130 𝑚𝑚



Desangulación fuerza ejercida por conectores con respecto a la dirección de la fibra del madero

𝛼 = 30°

De NCh 1198, Anexo A, Tabla A.1

Lenga ⇒ Agrupamiento ES4

De NCh 1198, sección 9.7.3 Tabla 41

Para un par de conectores anulares Ø66,5, Grupo ES4 y espesor de madero central 50 mm

𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 = 22,8 𝑘𝑁

𝑃𝑐𝑛,𝑎𝑑 = 8,9 𝑘𝑁

De Sección 9.7.4.2

𝛼 = 30°

𝑃30,𝑎𝑑 =𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑃𝑛,𝑎𝑑

𝑃𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(30) + 𝑃𝑛,𝑎𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠

2(30)=

22,8 ∗ 8,9

22,8 ∗ 0,52 + 8,9 ∗ 0,8662= 16,4 𝑘𝑁

Estructura de techo

⇒ 𝐾𝐷 = 1,25

De Sección 9.4.3, Tabla 26

H > 19% durante la fabricación y H <19 % en servicio ⇒ 𝐾𝑈𝐻 = 0,8


a) entre conectores: De Tabla 44

𝛼 = 30° ⟹ 𝑆𝑐𝑝 = 175 − 85 ∗ 𝛼

60= 175 −

85 ∗ 30

60= 132,5 𝑚𝑚

𝑆𝑐𝑛 = 90 + 𝛼

3= 90 +

30

3= 100 𝑚𝑚

De Sección 9.7.5.3

𝜙 = 30°

𝑆𝑐 = 𝑆𝑐𝑝 ∗ 𝑆𝑐𝑛

√𝑆𝑐𝑝2 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝜙 + 𝑆𝑐𝑛

2 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝜙

= 132,5 ∗ 100

√132,52 ∗ 0,250 + 1002 ∗ 0,75= 121,5 𝑚𝑚

𝑆𝑐,𝑒𝑓 = 130 𝑚𝑚 > 𝑆𝑐 ⟹ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0



b) espaciamiento al borde cargado normal a la dirección de la fibra: De Tabla 43

𝛼 = 30° ⟹ 𝑆𝑏𝑐𝑛 =5 ∗ 𝛼

9+ 45 =

5 ∗ 30

9+ 45 = 61,7 𝑚𝑚

𝑆𝑏𝑐𝑛 > 𝑆𝑏𝑐𝑛,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑆𝑏𝑐𝑛,𝑚𝑖𝑛 = 45 𝑚𝑚

de sección 9.7.5.4, Tabla 45

𝐾𝑠𝑐 = (1 −𝛼

265) +

𝛼

265∗ (

𝑠𝑐,𝑒𝑓 − 45

𝑠𝑐 − 45) = (1 −

30

265) +

30

265∗ (

55 − 45

61,7 − 45) = 0,955

c) espaciamiento al borde descargado normal a la dirección de la fibra De Tabla 43

𝑆𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑆𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚 ⟹ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0

𝐾𝑠𝑐,𝑚𝑖𝑛 = 0,955

Capacidad de carga de diseño:

𝑃𝑐30,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑐30,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑈𝐻 ∗ 𝐾𝑠𝑐 = 16,4 ∗ 1,25 ∗ 0,8 ∗ 0,955 = 15,66 𝑘𝑁

Maderos tirante:

Desangulación fuerza ejercida por conectores con respecto a la dirección de la fibra del

madero 𝛼 = 0°.

De NCh 1198, sección 9.7.3 Tabla 41

Para un par de conectores anulares Ø66,5, Grupo ES4 y espesor de maderos laterales 38 mm:

𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 = 27,8 𝑘𝑁

Control de espaciamientos, NCh 1198, Tabla 44

Entre conectores:

𝛼 = 0° ⇒ 𝑠𝑐𝑝 = 175 −85 ∗ 𝛼

60= 175 −

85 ∗ 0

60= 175 𝑚𝑚

𝑠𝑐𝑛 = 90 +𝛼

3= 90 +

0

3= 90 𝑚𝑚



De NCh 1198, Sección 9.7.5.4, Tabla 45

𝑠𝑐,𝑒𝑓 = 130 𝑚𝑚 < 𝑆𝑐𝑝

⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 0,75 + 0,25 ∗ (𝑠𝑒𝑓 − 90

𝑠𝑐 − 90) = 0,75 + 0,25 ∗ (

130 − 90

175 − 90) = 0,868

Espaciamiento al borde cargado paralelo a la dirección de la fibra

𝑠𝑏𝑐𝑝𝑙,𝑒𝑓 =55

𝑠𝑒𝑛 30°= 110 𝑚𝑚

Por tratarse de un borde inclinado, este valor debe reducirse, de acuerdo con lo especificado

en párrafo 9.7.5.2,

𝐷

4=66,5

4= 16,6 𝑚𝑚

Δ𝑠𝑏𝑝 =16,6

tan 30°= 28,8 𝑚𝑚


𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 110 − 28,8 = 81,2 𝑚𝑚

De NCh 1198, sección 9.7.5.4, Tabla 45

𝑠𝑏𝑐𝑝 = 145 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 81,2 𝑚𝑚 > 𝑠𝑚í𝑛,𝑏𝑐𝑝 = 70 𝑚𝑚

⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 0,25 + 0,75 ∗𝑠𝑐,𝑒𝑓

𝑠𝑐= 0,25 + 0,75 ∗

81,2

145= 0,67

Espaciamiento al borde descargado normal a la dirección de la fibra

𝑠𝑏𝑑𝑛,𝑒𝑓 = 55 𝑚𝑚 > 𝑠𝑏𝑑𝑛 = 45 𝑚𝑚 ⇒ 𝐾𝑠𝑐 = 1,0

𝐾𝑠𝑐,𝑚í𝑛 = 0,67

Capacidad de carga de diseño:

𝑃𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑃𝑐𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝑈𝐻 ∗ 𝐾𝑠𝑐 = 27,8 ∗ 1,25 ∗ 0,8 ∗ 0,67 = 18,626 𝑘𝑁 > 𝑃𝑐30,𝑑𝑖𝑠



En consecuencia, desde el punto de vista de los conectores de capacidad de carga de diseño de

la unión asciende a:

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 15,66 = 31,32 𝑘𝑁

Verificaciones tensionales en la madera

Tirantes:

La tensión de diseño en tracción paralela de la lenga Grado estructural N°3 con un contenido

de humedad H=15% se interpolará entre la condición verde y la seca para el mismo grado.

En condición verde la lenga se asigna al Agrupamiento E5

En condición seca la lenga se asigna al Agrupamiento ES4

E5 y Grado 3 ⇒ Clase Estructural F7 ⇒ Ftp = 4,1 MPa ; Fciz =0,72 MPa

ES4 y Grado 3 ⇒ Clase Estructural F14 ⇒ Ftp = 8,4 MPa ; Fciz =1,25 MPa

Por interpolación, a H=15% le corresponden Ftp = 7,68 MPa ; Fciz =1,16 MPa


𝐾ℎ𝑓 = (50

ℎ)1 9⁄

= (50

150)1 9⁄

= 0,885

De NCh 1198, Sección 7.4.3, Tabla 19

𝐾𝑐𝑡 = 0,50

𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝,15% ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 7,68 ∗ 1,25 ∗ 0,855 ∗ 0,5 = 4,25 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑖𝑧,15% ∗ 𝐾𝐷 = 1,16 ∗ 1,25 = 1,45 𝑀𝑃𝑎

Condicionante por área neta:

Los conectores Ø66,5 se usan con pernos Ø1/2”

Detalles de la unión,



De Sección 9.7.1, Tabla 39

Diámetro externo conector D: 66,5 mm

Altura conector: 19,0 mm

Profundidad de colocación en cada madero: 9,5 mm

De Tabla 40,

Diámetro interior de ranura colocación: 67,5 mm

Ancho de ranura: 4,6 mm

Diámetro interior de ranura colocación: 67,5 + 2*4,6 =7 6,7 mm

Debilitamiento inducido por el conector en cada pieza de madera: 729 mm2

Diámetro de perno, D: 12,7 mm

Diámetro agujero de perno, Da: 14 mm

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 2 ∗ {𝑏 ∗ (ℎ − 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜) − ΔA} = 2 ∗ {38 ∗ (150 − 14) − 729} = 8.878 𝑚𝑚2

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 ∗ 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 8.878 ∗ 4,25 = 37.734 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠



Capacidad de desgarro conectores superiores, 𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠:

𝐴𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 + 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜

𝑆𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝑆𝑏𝑐𝑝,𝑒𝑓 = 110 𝑚𝑚

𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = (2 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒) ∗ (𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎) ∗ 2 ∗ (𝑠𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎)

𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 = (2 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒) ∗ (9,5) ∗ 2 ∗ (110) = 4.180 𝑚𝑚2

𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜) − (𝐴𝑟𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟) − (𝐴𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜)

𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (2 ∗ 𝑆𝑐𝑟𝑖𝑡 ∗ 𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛 + 𝜋 ∗𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛

2

8) − 2 ∗

𝜋

4∗ (𝐷𝑒𝑥𝑡,𝑟𝑎𝑛

2 − 𝐷𝑖𝑛𝑡,𝑟𝑎𝑛2) − 2

∗𝜋

4∗ 𝐷𝑎𝑔𝑢𝑗,𝑝𝑒𝑟𝑛

2

𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = (2 ∗ 110 ∗ 76,7 + 𝜋 ∗76,72

8) − 2 ∗

𝜋

4∗ (76,72 − 67,52) − 2 ∗

𝜋

4∗ 142

𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = 19.103 𝑚𝑚2

𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 + 𝐴𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜

𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 = 4.180 + 19.103 = 23.283 𝑚𝑚2

𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠 = 𝑛𝑖 ∗𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎

2= 2 ∗

1,45 ∗ 23.283

2= 33.808 𝑁 > 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

Condicionante por desgarro del tijeral, según NCh 1198, Anexo T:

Control posibilidad de desgarro borde cargado



𝑊 = 𝑠𝑐,𝑒𝑓 ∗ cos(30°) = 130 ∗ 0,866 = 112,6 𝑚𝑚

𝑎

ℎ=55 + 65

175= 0,686

𝐶 =4

3∗ √

𝑎

ℎ∗ (1 −

𝑎

ℎ)3

=4

3∗ √0,686 ∗ (1 − 0,686)3 = 0,195

𝑊𝑒𝑓 = √𝑊2 + (𝑐 ∗ ℎ)2 = √112,62 + (0,195 ∗ 175)2 = 118 𝑚𝑚

Para conectores sobre ambas caras

𝑏𝑒𝑓 = 2 ∗ 50 = 100 𝑚𝑚 ≤ 𝑏 = 50 𝑚𝑚

𝐴𝑒𝑓 = 𝑊𝑒𝑓 ∗ 𝑏𝑒𝑓 = 118 ∗ 50 = 5.880 𝑚𝑚2 < 10.000 𝑚𝑚2

𝐹𝑡𝑛 = 0,32 𝑀𝑃𝑎

𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) =1

1 − 3 ∗ (𝑎 ℎ⁄ )2 + 2 ∗ (𝑎 ℎ⁄ )3=

1

1 − 3 ∗ 0,6862 + 2 ∗ 0,6863= 4,269

𝑓2(ℎ𝑙 ℎ𝑖⁄ ) =𝑛

∑(ℎ𝑙 ℎ𝑖⁄ )2=

2

1 + (55 20⁄ )2= 1,653

Para conectores especiales ⇒ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈) = 1,0 (estimación conservadora por tratarse de un

conector “artesanal”)

𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 𝐹𝑡𝑛 ∗ 𝐴𝑒𝑓 ∗ 𝑓1(𝑎 ℎ⁄ ) ∗ 𝑓2(ℎ𝑙 ℎ𝑖⁄ ) ∗ 𝑓3(𝑀𝑑𝑈)

𝑇𝑛,𝑎𝑑 = 0,32 ∗ 5.880 ∗ 4,269 ∗ 1,653 ∗ 1,0 = 13.277 𝑁

𝑇𝑑𝑖𝑠 =𝑇𝑛,𝑎𝑑𝑠𝑒𝑛 30°

=13.277

0,5= 26.553 𝑁 < 𝑇𝐷𝐻,𝑑𝑖𝑠

La carga de diseño de la unión queda condicionada por el área neta de los tirantes y asciende a

26,55 kN.



EJEMPLO 25: Uniones de contacto: embarbillado

Estime la máxima compresión C que puede traspasar el puntal inclinado, que soporta un

sistema de techo, sobre el madero receptor (ambas piezas de Pino radiata C16 con contenido

de humedad 15%) para las tres formas de materialización de embarbillados esquematizadas en

la figuras a, b y c. Esta última corresponde a un embarbillado de medio talón (corte frontal

según plano bisectriz del ángulo de incidencia del puntal).

Solución:

Pino radiata Grado C16 con un contenido de húmeda H=15%. De NCh 1198 Sección 5.2.4, Tabla

4b:

𝐹𝑐𝑝,12% = 7,5 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑛,12% = 2,5 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑧,12% = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑡𝑝,12% = 3,5 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑓,12% = 5,2 𝑀𝑃𝑎


Duración de la carga: Por tratarse de cargas de un sistema de techo, de acuerdo con NCh 1198

Anexo G, Sección G3

𝐾𝐷 = 1,25



Contenido de humedad: H=15%

𝐾𝐻,𝑓 = 𝐾𝐻,𝑡𝑝 =1,75 − 0,0333 ∗ 𝐻

1,35=1,75 − 0,0333 ∗ 15

1,35= 0,926

𝐾𝐻,𝑐𝑝 =2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻

1,75=2,75 − 0,0833 ∗ 15

1,75= 0,857

𝐾𝐻,𝑐𝑛 = 1,0

𝐾𝐻,𝑐𝑧 =1,33 − 0,0176 ∗ 𝐻

1,13=1,33 − 0,0167 ∗ 15

1,13= 0,955

FM por altura:

𝐾ℎ = √90

ℎ − 𝑡𝑣

5

= √90

185 − 45

5

= 0,915


𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 = 2,5 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎


𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 3,5 ∗ 1,25 ∗ 0,926 ∗ 0,915 = 3,71 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ = 5,2 ∗ 1,25 ∗ 0,926 ∗ 0,915 = 5,51 𝑀𝑃𝑎

Las tensiones de diseño para las superficies de talón frontal se calcularán respetando la

indicación de Sección 7.3.4.2 de NCh 1198, que limita las componentes paralelas a la dirección

de la fibra de las tensiones de aplastamiento en uniones de contacto al 75% de 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠.

𝐹𝑐,40° =𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛2(40°) + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠

2(40)=

0,75 ∗ 8,04 ∗ 2,5

0,75 ∗ 8,04 ∗ 0,413 + 2,5 ∗ 0,587

= 3,81 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐,20° =𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛2(20°) + 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑐𝑜𝑠

2(20)=

0,75 ∗ 8,04 ∗ 2,5

0,75 ∗ 8,04 ∗ 0,117 + 2,5 ∗ 0,883

= 5,17 𝑀𝑃𝑎

En los tres casos la profundidad de rebaje tr respeta la condición de NCh 1198 Sección

9.10.2.2, dado que 𝛼 = 40° < 50° y 𝑡𝑟,𝑒𝑓 = 45 𝑚𝑚 <ℎ

4=

185

4= 46,3 𝑚𝑚



Caso a)

La desangulación de la fuerza normal, N, de 40° con respecto a la dirección de la fibra del

puntal diagonal condiciona la capacidad de carga de la unión.

𝑁𝑑𝑖𝑠 = 𝑡𝑟 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,40° = 45 ∗ 41 ∗ 3,81 = 7.026 𝑁

𝐶𝑑𝑖𝑠 =𝑁𝑑𝑖𝑠

cos (40°)=7.026

0,766= 9.171 𝑁

Control del cizalle en el saliente

𝐿𝑠 = 200 𝑚𝑚 ⇒ 𝑓𝑐𝑧 =𝑁𝑑𝑖𝑠𝑏 ∗ 𝐿𝑠

=7.029

41 ∗ 200= 0,86 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠

Control de la interacción de la tracción y la flexión en la sección crítica

𝑇 = 𝑁𝑑𝑖𝑠 = 7.029 𝑁

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑏 ∗ (ℎ − 𝑡𝑟) = 41 ∗ (185 − 45) = 5.740 𝑚𝑚2

𝑓𝑡 =𝑇


5.740= 1,22 𝑀𝑃𝑎

𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 =𝑏 ∗ (ℎ − 𝑡𝑣)

2

6=41 ∗ (185 − 45)2

6= 133.933 𝑚𝑚3

Excentricidad,

𝑒 =ℎ − (ℎ − 𝑡𝑟)

2=185 − (185 − 45)

2= 22,5 𝑚𝑚

𝑀 = 𝑇 ∗ 𝑒 = 7.026 ∗ 22,5 = 158.078 𝑁 ∗ 𝑚𝑚

𝑓𝑓 =𝑀

𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜=158.078

133.933= 1,18 𝑀𝑃𝑎

Control de interacción en sección transversal crítica:

𝑓𝑡𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠

+𝑓𝑓

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠=1,22

3,71+1,18

5,51= 0,330 + 0,214 = 0,544 < 1,0

Se obviará este control en los restantes casos



Caso b)

La desangulación de la fuerza normal, N, de 40° con respecto a la dirección de la fibra de la

pieza receptora condiciona la capacidad de carga de la unión

𝑁𝑑𝑖𝑠 = (𝑡𝑟

cos(20°)) ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,40° = (

45

0,766) ∗ 41 ∗ 3,81 = 9.171 𝑁

𝐶𝑑𝑖𝑠 = 𝑁𝑑𝑖𝑠 = 9.171 𝑁

𝐿𝑠,𝑒𝑓 = 𝐿𝑠 + 𝑡𝑟 ∗ 𝑡𝑎𝑛(40°) = 200 + 45 ∗ 0,839 = 238 𝑚𝑚

𝑓𝑐𝑧 =𝐶𝑑𝑖𝑠 ∗ cos (40°)

𝑏 ∗ 𝐿𝑠,𝑒𝑓=9.171 ∗ 0,766

41 ∗ 238= 0,72 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠

Caso c)

Embarbillado de medio talón

El talón frontal se ejecuta según el plano correspondiente a la bisectriz del complemento del

ángulo de incidencia del puntal, 𝛾 =180°−40°

2= 70°, con respecto a la dirección horizontal. En

estas condiciones la desangulación de la fuerza normal con respecto a la dirección de la fibra

de ambos maderos se iguala y asciende a 20°.

𝑁𝑑𝑖𝑠 = (𝑡𝑟

cos (20°)) ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,20° = (

45

0,94) ∗ 41 ∗ 5,17 = 10.159 𝑁

𝐶𝑑𝑖𝑠 =𝑁𝑑𝑖𝑠

cos (20°)=10.159

0,94= 10.812 𝑁

𝐿𝑠,𝑒𝑓 = 𝐿𝑠 + 𝑡𝑟 ∗ 𝑡𝑎𝑛(20°) = 200 + 45 ∗ 0,364 = 216 𝑚𝑚

𝑓𝑐𝑧 =𝐶𝑑𝑖𝑠∗cos (20°)

𝑏∗𝐿𝑠,𝑒𝑓=

10.812∗0,94

41∗216= 1,15 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠



EJEMPLO 26: Unión de embarbillado en tracción

Determinar la máxima fuerza de tracción que puede resistir la unión de embarbillados

esquematizada en la figura. Las piezas de madera laminada encolada de Pino radiata

fabricadas con láminas Grado B se encuentran en condición seca al aire en un clima normal. El

estado de cargas condicionante del diseño tiene una duración acumulada de 10 años durante

la vida útil de la estructura.

NOTA: las dimensiones se indican en mm

Solución:

Madera laminada encolada de Pino radiata con láminas grado B. De acuerdo con NCh 2165


𝐹𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎∗


𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎∗

(Los valores con asterisco son levemente menores a los especificados en NCh 2165)

La eficiencia óptima de los embarbillados de medio talón se alcanza cuando la inclinación del

plano de talón frontal de los puntales con respecto al madero vertical receptor se materializa

según la bisectriz del complemento del ángulo de incidencia, esto es, según un ángulo

𝛾 =180 − 𝛼

2=180 − 45

2= 67,5°



Para esta condición la desangulación de la fuerza normal al plano de contacto del talón frontal

con respecto a la dirección fibra madero de ambos maderos se iguala y tiene un valor

𝛿 = 90 − 67,5 = 22,5°

Las tensiones de diseño para las superficies de talón frontal se calcularán respetando la

indicación de Sección 7.3.4.2 de NCh 1198, que limita las componentes paralelas a la dirección

de la fibra de las tensiones de aplastamiento en uniones de contacto al 75% de 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠

𝐹𝑐,22,5° =0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐹𝑐𝑛

0,75 ∗ 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝑠𝑒𝑛222,5 + 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠

222,5=

0,75 ∗ 6,5 ∗ 2,5

0,75 ∗ 6,5 ∗ 0,3832 + 2,5 ∗ 0,9242

= 4,28 𝑀𝑃𝑎

La profundidad de los rebajes 𝑡𝑟 respeta la condición de NCh 1198 Sección 9.10.2.2, dado que

existiendo incidencia de barras desde lados opuestos al madero rebajado

𝑡𝑟,𝑒𝑓 = 35 𝑚𝑚 <ℎ

6=225

6= 37,5 𝑚𝑚

De acuerdo con NCh 1198, sección 9.10.2.1 a) la capacidad de carga embarbillados:

𝑃𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 =𝑡𝑟 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐,22,5°

𝑐𝑜𝑠2𝛿=35 ∗ 65 ∗ 4,28

0,9242= 11.409 𝑁

Planteando la condición de equilibrio estático según la dirección vertical resulta

𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 = 2 ∗ 𝑃𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏 ∗ cos(𝛼) = 2 ∗ 11.409 ∗ 0,707 = 16.134 𝑁

Capacidad de carga de los salientes:

𝑙𝑠 = 150 + 𝑡𝑣 ∗ tan(𝛿) = 150 + 35 ∗ tan(22,5°) = 164,5 𝑚𝑚

𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1 ∗ 1 = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑙𝑠 = 2 ∗ 𝑙𝑠 ∗ 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 2 ∗ 164,5 ∗ 65 ∗ 1,1 = 23.530 𝑁

Capacidad de carga pendolón como elemento traccionado:

𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = (𝑏 − 𝑑𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜) ∗ (ℎ − 2 ∗ 𝑡𝑟) = (65 − 14) ∗ (225 − 2 ∗ 35) = 7.905 𝑚𝑚2




𝐾𝐷 = 1

𝐾ℎ = 1

𝐾𝐻 = √90

ℎ − 2 ∗ 𝑡𝑟

5

= √90

225 − 2 ∗ 35

5

= 0,897

𝐾𝑐𝑡 = 0,7

𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑡 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾ℎ ∗ 𝐾𝑐𝑡 = 3,15 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,897 ∗ 0,7 = 1,98 𝑀𝑃𝑎

𝑇𝑑𝑖𝑠,𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 ∗ 𝐹𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7.905 ∗ 1,98 = 15.639 𝑁

𝑇𝑑𝑖𝑠 = 𝑀í𝑛(𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑒𝑚𝑏; 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝑙𝑠; 𝑇𝑑𝑖𝑠,𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎) = 𝑀í𝑛(16.134; 23.530; 15.639) = 15.639 𝑁

La capacidad de carga de diseño de la unión asciende a 15,6 kN.



EJEMPLO 27: Diseño de sistema de techo con vigas rectas de madera

laminada

Diseño de un sistema de vigas de techo rectas de madera laminada encolada de Pino radiata

que cubre una luz de 15 m y debe resistir una carga de peso propio de 3 kN/m y una

sobrecarga de servicio de 3 kN/m. Las condiciones de servicio corresponden a un clima normal,

que determina una humedad de equilibrio higroscópico no superior a 15 % para la madera. Las

vigas se fabrican combinando láminas Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura

de la pieza y láminas Grado B (NCh 2150) en los dos tercios centrales. Las vigas sirven de

apoyo a una disposición regular de costaneras, espaciada cada 2,50 m y vinculadas a un

sistema arriostrante, que apoyan a su vez lateralmente el borde superior de las vigas. En los

extremos las vigas se apoyan sobre soleras de escuadría 41*135 mm ancladas a los muros del

recinto.

Para asegurar un buen comportamiento al fuego se considera un espesor de al menos 135

mm.

Solución:

Cálculo de solicitaciones.

𝑞𝑡𝑜𝑡 = 𝑞𝑝𝑝 + 𝑞𝑠𝑐 = 3 + 3 = 6 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 6 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑀𝑚á𝑥 =𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙

2

8=6 ∗ 15.0002

8= 168.750.000 𝑁 ∗ 𝑚𝑚

𝑄𝑚á𝑥 =𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙

2=6 ∗ 15.000

2= 45.000 𝑁

La derivación de la tensión de diseño de flexión de la madera laminada requiere conocer,

aparte de las características de las láminas constituyentes, la naturaleza de las solicitaciones,

las condiciones de servicio, las condiciones de apoyo lateral del borde flexo comprimido, y

otros parámetros geométricos que se pueden definir una vez establecidas las dimensiones de

la viga. Para un primer dimensionamiento tentativo es necesario estimar cuantitativamente

estos efectos y una vez definidas las dimensiones de la sección transversal se debe comprobar

la calidad de las estimaciones.



Diseño tentativo:

De las condiciones del problema:

Componente de estructura de techo: NCh 1198, Anexo G ⇒ 𝐾𝐷 = 1,25

Contenido de humedad ≤ 15 % NCh 2165 ⇒ 𝐾𝐻 = 1,00

Se asumirá un factor de modificación por volumen 𝐾𝑉 = 0,85 , que cubre además el efecto del

volcamiento del borde flexo comprimido.

De Anexo C, para vigas híbridas de altura superior a 375 mm


𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑖𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎


𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1,0 ∗ 0,85 = 8,29 𝑀𝑃𝑎

Definiendo 𝑏 = 𝑏𝑚í𝑛 = 135 𝑚𝑚

𝑊𝑟𝑒𝑞 =𝑀𝑚á𝑥

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠=

168.750.000

8,29= 20.361.991 𝑚𝑚3

ℎ𝑟𝑒𝑞 = √𝑊𝑟𝑒𝑞 ∗ 6

𝑏= √

20.361.991 ∗ 6

135= 951 𝑚𝑚

Se define la sección 135*980 mm:

𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ = 135 ∗ 980 = 132.000 𝑚𝑚2

𝑊 =𝑏 ∗ ℎ2

6=135 ∗ 9802

6= 21.609.000 𝑚𝑚3

𝐼 =𝑏 ∗ ℎ3

12=135 ∗ 9803

12= 10.588.410.000 𝑚𝑚4



Verificaciones:

a. Tensiones de flexión

Factor de modificación por volcamiento:

𝑙𝑎 = 2,5 𝑚 = 2.500 𝑚𝑚

𝑙𝑎ℎ=2.500

980= 2,55 < 7


𝑙𝑣 = 2,06 ∗ 𝑙𝑎 = 2,06 ∗ 2.500 = 5.150 𝑚𝑚


𝜆𝑣 = √𝑙𝑣 ∗ ℎ

𝑏2= √

5.150 ∗ 980

1352= 16,6

Para efectos de volcamiento se debe considerar el módulo de elasticidad en laminación

vertical.

De Anexo C, para vigas híbridas

𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1,00 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1,00 = 9,75 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑓,𝐸 =𝐶𝑓𝐸 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠

𝜆𝑣2 =

0,61 ∗ 7.700

16,62= 17 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑓,𝐸

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ =

17

9,75= 1,74

𝐾𝜆𝑣 =

1 + (𝐹𝑓,𝐸𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ )

1,9− √[

1 + 𝐹𝑓,𝐸 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗⁄

1,9]

2

−(𝐹𝑓,𝐸 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

∗⁄ )

0,95

𝐾𝜆𝑣 =1 + 1,74

1,9− √[

1 + 1,74

1,9]2

−1,74

0,95= 0,944



Factor de modificación por volumen:


𝐾𝑣 = (6,4

𝐿)1 10⁄

∗ (300

ℎ)1 10⁄

∗ (135

𝑏)1 10⁄

𝐾𝑣 = (6,4

15)1 10⁄

∗ (300

980)1 10⁄

∗ (135

135)1 10⁄

= 0,816 (𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜)

𝑓𝑓 =𝑀𝑚á𝑥

𝑊=168.750.000

21.609.000= 7,81 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

b. Deformaciones

𝛿𝑚á𝑥 =5

384∗𝑞𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑙

4

𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐼=

5

384∗

6 ∗ 15.0004

9.000 ∗ 10.588.410.000= 42 𝑚𝑚 ≈

𝑙

360

Se especifica una contraflecha de desarrollo gradual con un máximo de 1,5 ∗ 𝛿𝑝𝑝.

Dado que:

𝛿𝑝𝑝 = 0,5 ∗ 𝛿𝑚á𝑥

Contraflecha máxima: 1,5*0,5*42≈ 32 mm.

c. Corte

𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑖𝑧 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 1,1 ∗ 1,25 ∗ 1,0 = 1,38 𝑀𝑃𝑎

1,5 ∗ 𝑄𝑚á𝑥𝐴

=1,5 ∗ 45.000

132.300= 0,51 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑖𝑧,𝑑𝑖𝑠

d. Aplastamiento

Se respeta una distancia de 150 mm desde el borde de la zona aplastada hasta el extremo de

la viga

𝑙𝑎𝑝 = 135 𝑚𝑚




𝐾𝑐𝑛 = (150

𝑙𝑎𝑝)

1 4⁄

= (150

135)1 4⁄

= 1,03


𝑓𝑐𝑛 =𝑉

𝑏 ∗ 𝑙𝑎𝑝=

45.000

135 ∗ 135= 2,47 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠



EJEMPLO 28: Sistema de techo a dos aguas con vigas de madera

laminada de canto inferior recto

Un sistema de techo consistente de vigas de madera laminada encolada (MLE) de Pino radiata,

de espesor 185 mm, dispuestas cada 6 m y cubre una distancia libre entre apoyos, L, de 19 m.

Las vigas son rectas con borde superior inclinado (pendiente: 8,75 %) a dos aguas simétricas y

borde inferior recto y apoyan costaneras dispuestas cada 2,40 m (en planta), también de MLE

de pino radiata. La base de cubierta de techo se materializa con tableros contrachapados que

estabilizan lateralmente los cantos superiores de las vigas. Las vigas de techo se dimensionarán

asumiendo un armado de calidad híbrida: uso de láminas Grado A, en los sextos externos de la

altura de sección transversal, y láminas Grado B en el interior, verificándose que las tensiones

de trabajo en las zonas críticas de cada pieza no excedan las tensiones de diseño y que el

descenso máximo, 𝛿, no sobrepase el límite L/240.

Como parte de la ingeniería de detalle se estimarán la longitud de aplastamiento requerida en

los apoyos, la contraflecha de fabricación, equivalente a la flecha debido al peso propio, y el

desplazamiento horizontal del apoyo móvil.

Datos:

Peso propio cubierta : 0,26 kN/m2 (s.d.t.)

Peso propio costaneras+cadenetas : 0,09 kN/m2 (s.d.t.)

Peso propio vigas (estimado) : 0,15 kN/m2 (s.d.t.)

Sobrecarga de servicio : 0,40 kN/m2 (s.p.h.)

NOTA: (s.d.t ): Superficie en el plano del techo

(s.p.h): Superficie de proyección horizontal



Solución:

Determinación ángulo de inclinación:

𝑡𝑎𝑛−1(0,0875) = 5°

Estimación de solicitaciones: Peso propio + Sobrecarga

Cubierta: 0,26 kN/m2 (s.d.t)

Costaneras+cadenetas 0,09 kN/m2 (s.d.t)

Sub total 0,35 kN/m2 (s.d.t) =0,35/cos(5°) =0,351 kN/m2 (s.p.h)

Vigas (estimado) 0,15 kN/m2 (s.p.h)

Total peso propio 0,501 kN/m2 (s.p.h)

Sobrecarga 0,40 kN/m2 (s.p.h)

Densidad de carga de diseño 0,901 kN/m2 (s.p.h)

D = 6,0 m ⇒ 𝑞𝑑𝑖𝑠 = 0,901 ∗ 6,0 = 5,408 𝑘𝑁 𝑚⁄

Para madera laminada encolada de armado híbrido, de anexo C:


𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎



𝐹𝑡𝑛 = 0,1 𝑀𝑃𝑎

Por incorporar el estado de carga condicionante del diseño sobrecarga de servicio de techo

𝐾𝐷 = 1,25

𝐾𝑐𝑛 = 1,0 (Hipótesis conservadora)

𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿

2=5,408 ∗ 19

2= 51,376 𝑘𝑁




2

8=5,408 ∗ 192

8= 244,037 𝑘𝑁 ∗ 𝑚


ℎ𝐴,𝑟𝑒𝑞 =1,5 ∗ 𝑉𝐴𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠

=1,5 ∗ 51.376

185 ∗ 1,375= 302 𝑚𝑚

Sea ℎ𝑎 = 450 𝑚𝑚

Longitud de apoyo requerida: Se especifica una saliente de 120 mm del extremo de la viga más

allá del borde de la placa de apoyo

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

𝐿𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 =𝑉𝐴

𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠=

51.376

185 ∗ 2,5= 111 𝑚𝑚

Sea 𝐿𝑎𝑝 = 160 𝑚𝑚

Altura máxima de viga

ℎ𝑚 = ℎ𝐴 + tan(𝜙) ∗ 𝐿 2⁄ = 450 + tan(5°) ∗ (19 ∗ 1.000 2⁄ ) = 1.281 𝑚𝑚

Ubicación de la tensión de flexión máxima

𝑥𝑓,𝑚á𝑥 =𝐿 ∗ ℎ𝐴2 ∗ ℎ𝑚

=19 ∗ 450

2 ∗ 1.281= 3,337 𝑚

𝑀𝑓𝑓.𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓,𝑚á𝑥

2∗ (𝐿 − 𝑥𝑓,𝑚á𝑥) =

5,408 ∗ 3,337

2∗ (19 − 3,337) = 141,318 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝑎 ∗ (2 −ℎ𝑎ℎ𝑚

) = 450 ∗ (2 −450

1.281) = 742 𝑚𝑚

𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =6 ∗ 𝑀𝑓,𝑚á𝑥

𝑏 ∗ ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥2 =

6 ∗ 141,318 ∗ 106

185 ∗ 7422= 8,33 𝑀𝑃𝑎



Tensiones adicionales en el borde inclinado según NCh 1198, Sección 10.7.1.6

𝑓𝑐𝑧 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan(𝜙) = 8,33 ∗ tan(5°) = 0,729 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑐𝑛 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙) = 8,33 ∗ tan2(5°) = 0,064 𝑀𝑃𝑎

Control interacción tensional borde inclinado:

Tensión admisible de flexión en el borde comprimido.


𝐾𝐻 = 1,0 (H < 15 %)

𝐾𝜆𝑣 = 1,0 (Volcamiento impedido por diafragma de techo)

Tensión de diseño en el borde flexo comprimido

𝐹𝑓𝑣 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆𝑣 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎

(𝑓𝑓

𝐹𝑓𝑣,𝑑𝑖𝑠)

2

+ (𝑓𝑐𝑛

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠)

2

+ (𝑓𝑐𝑧

2,66 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠)

2

≤ 1,0

(8,33

9,75)2

+ (0,064

2,5)2

+ (0,729

2,66 ∗ 1,375)2

= 0,77 < 1,0

En el borde flexo traccionado, de acuerdo con NCH 1198, sección 10.3.1.4

𝐾𝑣 = (6,4

𝐿)1 10⁄

∗ (300

ℎ)1 10⁄

∗ (135

𝑏)1 10⁄

𝐾𝑣 = (6,4

19,0)1 10⁄

∗ (300

742)1 10⁄

∗ (135

185)1 10⁄

= 0,794

𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,794 = 7,74 𝑀𝑃𝑎

Como consecuencia de la inclinación del borde superior de la viga la tensión de flexión en el

borde inferior recto se incrementa con respecto a la expresión de Navier, efecto que se

incorpora por medio de la aplicación del factor de amplificación tensional 𝐾𝑓.

Se aplicará el factor que se define para estos efectos en la norma alemana DIN 1052, que

constituye uno de los principales referentes de NCh 1198, pero que se omitió en la actual

redacción de la norma nacional, y que probablemente se incorpore en la próxima redacción.



𝐾𝑓 = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙) = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(5°) = 1,031

𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 8,33 ∗ 1,031 = 8,58 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,74 𝑀𝑃𝑎 No verifica

Se incrementa la altura en el apoyo a 500 mm:

ℎ𝐴 = 500 𝑚𝑚

ℎ𝑚 = ℎ𝐴 + tan(∅) ∗ 𝑙 2⁄ = 500 + tan(5) ∗ 19.000 2⁄ = 1.331 𝑚𝑚

𝑥𝑓,𝑚á𝑥 =𝐿 ∗ ℎ𝐴2 ∗ ℎ𝑚

=19 ∗ 500

2 ∗ 1.331= 3,57 𝑚

𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓,𝑚á𝑥

2∗ (𝐿 − 𝑥𝑓.𝑚á𝑥) =

5,408 ∗ 3,57

2∗ (19 − 3,57) = 148,889 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥 = ℎ𝑎 ∗ (2 −ℎ𝑎ℎ𝑚

) = 500 ∗ (2 −500

1.331) = 812 𝑚𝑚

𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =6 ∗ 𝑀𝑓,𝑚á𝑥

𝑏 ∗ ℎ𝑥𝑓,𝑚á𝑥2 =

6 ∗ 148,889 ∗ 106

185 ∗ 8122= 7,32 𝑀𝑃𝑎

Se verificará solamente el borde recto flexo traccionado:

𝐾𝑣 = (6,4

𝐿)1 10⁄

∗ (300

ℎ)1 10⁄

∗ (135

𝑏)1 10⁄

𝐾𝑣 = (6,4

19)1 10⁄

∗ (300

812)1 10⁄

∗ (135

185)1 10⁄

= 0,787

𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,787 = 7,67 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 7,32 ∗ 1,031 = 7,54 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,67 𝑀𝑃𝑎 Verifica

Verificación tensional a mitad de luz

𝑓𝑓 =6 ∗𝑀𝑚á𝑥

𝑏 ∗ ℎ𝑚2 =

6 ∗ 244,037 ∗ 106

185 ∗ 1.331= 4,47 𝑀𝑃𝑎



Borde flexotraccionado

𝑘𝜃 = 1 + 1,4 ∗ tan(∅) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(∅) = 1 + 1,4 ∗ tan(5) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(5) = 1,164

𝑓𝑓𝑡 = 𝑘𝜃 ∗ 𝑓𝑓 = 1,164 ∗ 4,47 = 5,20 𝑀𝑃𝑎

ℎ𝑝𝑟𝑜𝑚 = ℎ𝐴 + ℎ𝑚 = 0,5 ∗ (720 + 1.331) = 915,5 𝑚𝑚

𝐾𝑣 = (6,4

19)1 10⁄

∗ (300

915,5)1 10⁄

∗ (135

185)1 10⁄

= 0,777

𝐹𝑓𝑡 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,777 = 7,58 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑓𝑡

Tracciones normales en el plano del eje neutro

𝑘𝑟 = 0,2 ∗ tan(∅) = 0,2 ∗ tan(5°) = 0,0175

𝑓𝑡𝑛 = 𝑓𝑓 ∗ 𝑘𝑟 = 4,47 ∗ 0,0175 = 0,078 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎

Control flecha

𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠=0,51

0,91= 0,556 > 0,5

NCh 1198, Sección 7.2.4.11 ⇒ Se debe considerar efecto del creep

𝑘𝑝 =3

2−

𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠=3

2− 0,556 = 0,944

⇒ 𝜌 =1

𝑘𝜌− 1 =

1

0,944− 1 = 0,06

𝛿𝑓,𝑓 = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 𝜌 ∗𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠) = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 0,06 ∗ 0,556) = 1,033 ∗ 𝛿𝑓,0

𝛿𝑄,𝑓 = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 𝜌 ∗𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠) = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 0,06 ∗ 0,556) = 1,066 ∗ 𝛿𝑄,0

𝐴𝑎 = 𝑏 ∗ ℎ𝑎 = 185 ∗ 500 = 92.500 𝑚𝑚2

𝐼𝑎 =𝑏 ∗ ℎ𝑎

3

12=185 ∗ 5003

12= 1.927.083.333 𝑚𝑚4



𝑘𝑓 =(ℎ𝑎ℎ𝑚

)3

0,15 + 0,85 ∗ (ℎ𝑎ℎ𝑚

)=

(5001.331

)3

0,15 + 0,85 ∗ (5001.331

)= 0,113

𝛿𝑓 =5

384∗𝑞 ∗ 𝐿4

𝐸 ∗ 𝐼𝑎∗ 𝑘𝑓 =

5

584∗

5,408 ∗ 19.0004

9.000 ∗ 1.927.083.333∗ 0,113 = 59,7 𝑚𝑚

𝑘𝑞 =2

1 + (ℎ𝑚ℎ𝑎)

23⁄=

2

1 + (1.331500

)

23⁄= 0,685

𝛿𝑞 =1,2 ∗ 𝑀𝑚á𝑥

𝐺 ∗ 𝐴𝐴∗ 𝑘𝑞 =

1,2 ∗ 244,037 ∗ 106

0,065 ∗ 9.000 ∗ 92.500∗ 0,685 = 3,7 𝑚𝑚

Deformación total, incorporando efecto de creep:

𝛿𝑡𝑜𝑡 = 1,033 ∗ 𝛿𝑜,𝑓 + 1,066 ∗ 𝛿𝑜,𝑞 = 1,033 ∗ 59,7 + 1,066 ∗ 3,7 = 65,7 𝑚𝑚

𝛿𝑎𝑑 =𝐿

240=19.000

240= 79,2 𝑚𝑚 > 𝛿𝑓,𝑡𝑜𝑡

Componente de flecha inducida por peso propio

𝛿𝑔 = 𝛿𝑓 ∗𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠= 65,7 ∗ 0,556 = 36,5 𝑚𝑚

Se recomienda especificar contraflecha de 40 mm, que corresponde aproximadamente a la

magnitud de la flecha por concepto de peso propio, para evitar un impacto visual desagradable

del rasgo inferior de las vigas en el largo plazo.

Desplazamiento horizontal del apoyo móvil.

ℎ1 =ℎ𝑎2=500

2= 250 𝑚𝑚

ℎ2 =ℎ𝑚2=1.331

2= 666 𝑚𝑚

𝛿𝐻,𝐵 ≈4 ∗ (ℎ2 − 1,6 ∗ ℎ1)

𝐿∗ 𝛿𝑓 =

4 ∗ (666 + 1,6 ∗ 250)

19.000∗ 65,7 = 14,7 𝑚𝑚



Verificación hipótesis de peso propio del sistema de vigas

Densidad normal del Pino radiata

𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 476 𝑘𝑔 𝑚3⁄

Asumiendo un coeficiente de variación 0,10 y una distribución de densidades obedeciendo a

un patrón gaussiano normal

𝜌12,𝑝95% = 𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ (1 + 0,1645) = 476 ∗ 1,1645 = 555 𝑘𝑔 𝑚3⁄

Incrementando este valor en un 5% para incluir el peso de herrajes y medios de unión

𝜌12,𝑑𝑖𝑠 = 1,05 ∗ 554 = 582 𝑘𝑔 𝑚3⁄

Volumen viga:

𝑏 ∗ 0,5 ∗ (ℎ𝑎 + ℎ𝑚) ∗ 𝑙 = 0,185 ∗ 0,5 ∗ (0,5 + 1,331) ∗ 19 = 3,218 𝑚3

Área tributaria:

𝐷 ∗ 𝑙 = 6 ∗ 19 = 114 𝑚2

𝑞𝑒𝑞 =𝑉 ∗ 𝜌12,𝑑𝑖𝑠𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏

=3,218 ∗ 582

114= 16,4 𝑘𝑔 𝑚2⁄ ≈ 𝑞𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 0,15 𝑘𝑁 𝑚2⁄



EJEMPLO 29: Sistema de techo a dos aguas simétrico con vigas de

madera laminada con bordes inclinados

Un sistema de techo consiste de piezas de madera laminada encolada (MLE) de Pino radiata,

de espesor 185 mm, dispuestas cada 6 m y cubre una distancia libre entre apoyos, L, de 19 m.

Las vigas son rectas a dos aguas simétricas con bordes superior e inferior inclinados

(inclinaciones 17,6 % y 8,7 %, respectivamente) con una transición circular central de 5 m en el

borde inferior. Las vigas apoyan costaneras dispuestas cada 2,40 m (en planta), también de

MLE de pino radiata, que se encuentran vinculadas a sistemas arriostrantes en el plano de

techo. Las vigas de techo se dimensionarán asumiendo un armado de calidad híbrida: uso de

láminas Grado A, en los sextos externos de la altura de sección transversal, y láminas Grado B

en el interior, verificándose que las tensiones de trabajo en las zonas críticas de cada pieza no

excedan las tensiones de diseño y que el descenso máximo, no sobrepase el límite L/240.

Como parte de la ingeniería de detalle se estimarán la longitud de aplastamiento requerida en

los apoyos, la contraflecha de fabricación, equivalente a la flecha debido al peso propio, y el

desplazamiento horizontal del apoyo móvil.

Datos:

Peso propio cubierta : 0,26 kN/m2 (s.d.t.)

Peso propio costaneras : 0,05 kN/m2 (s.d.t.)

Peso propio vigas (estimado) : 0,16 kN/m2 (s.d.t.)

Sobrecarga de servicio : 0,40 kN/m2 (s.p.h.)



Solución.

Estimación de solicitaciones: Peso propio + sobrecarga

Cubierta: 0,26 kN/m2 (s.d.t)

Costaneras 0,05 kN/m2 (s.d.t)

Vigas (estimado) 0,16 kN/m2 (s.d.t)

Total peso propio 0,47 kN/m2 (s.d.t) = 0,47/cos(10) =0,477 kN/m2 (s.p.h)

Sobrecarga 0,40 kN/m2 (s.p.h)

Densidad de carga de diseño 0,877 kN/m2 (s.p.h)

𝐷 = 6,0 𝑚 ⇒ 𝑞 = 0,877 ∗ 6,0 = 5,264 𝑘𝑁 𝑚⁄

𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 =𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐿

2=5,264 ∗ 19

2= 50,003 𝑘𝑁


2

8=5,264 ∗ 192

8= 237,516 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

Altura requerida en apoyos


ℎ𝐴,𝑟𝑒𝑞 =1,5 ∗ 𝑉𝐴𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠

=1,5 ∗ 50,003 ∗ 103

185 ∗ 1,375= 295 𝑚𝑚

Sea ℎ𝐴 = 350 𝑚𝑚

Longitud de apoyos requerida:

Se define una separación de 120 mm entre el extremo de las vigas y el borde de la superficie

de apoyo.

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1 ∗ 1 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

𝑙𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 =𝑉𝐴

𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠=49,59 ∗ 103

185 ∗ 2,5= 107 𝑚𝑚

Por razones constructivas se define 𝑙𝑎𝑝 = 185 𝑚𝑚



𝑐 = 5,00 𝑚 ⇒ 𝑅 =𝑐

2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛿)=

5

2 ∗ 0,087= 28,684 𝑚

ℎ1 = ℎ𝐴 + 0,5 ∗ 𝐿 ∗ (𝑡𝑎𝑛(𝛾) − 𝑡𝑎𝑛(𝛿)) = 350 + 0,5 ∗ 19 ∗ 103 ∗ (𝑡𝑎𝑛(10°) − 𝑡𝑎𝑛(5°))

= 1.194 𝑚𝑚

ℎ𝑚 = ℎ1 + 0,5 ∗ 𝑐 ∗ tan(𝛿) − 𝑅 ∗ (1 − cos(𝛿))

ℎ𝑚 = 1.194 + 0,5 ∗ 5 ∗ 103 ∗ tan(5°) − 28,684 ∗ 103 ∗ (1 − cos(5°)) = 1.304 𝑚𝑚

𝑅𝑚 = 𝑅 + 0,5 ∗ ℎ𝑚 = 26,684 ∗ 103 + 0,5 ∗ 1.304 = 29.336 𝑚𝑚

𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥=ℎ𝐴 ∗ 𝐿

2 ∗ ℎ1=350 ∗ 19

2 ∗ 1.194= 2,785 𝑚

𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥=𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

2∗ (𝐿 − 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

) =5,264 ∗ 2,785

2∗ (19 − 2,785) = 118,841 𝑘𝑁 ∗ 𝑚


𝜙 = 𝛾 − 𝛿 = 10° − 5° = 5°

ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥∗ = ℎ𝐴 + 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

∗ (tan(𝜙)) = 350 + 2,785 ∗ 103 ∗ tan(5°) = 597 𝑚𝑚

ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥= ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

∗ ∗ cos(𝜙) = 597 cos ([10 + 5]/2) = 592 𝑚𝑚

𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 ∗ ℎ2

6=185 ∗ 5922

6= 10.816.554 𝑚𝑚4

𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥

𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥=118,841 ∗ 106

10.816.554 = 11 𝑀𝑃𝑎

Este valor excede considerablemente la tensión de diseño en flexión. Se incrementa la altura

en el apoyo A en 140 mm, por lo que

ℎ𝐴 = 490 𝑚𝑚



Consecuentemente las alturas ℎ1 y ℎ𝑚 se incrementan también en 140 mm, por lo que

ℎ1 = 1.194 + 140 = 1.334 𝑚𝑚

ℎ𝑚 = 1.304 + 140 = 1.444 𝑚𝑚

𝑅𝑚 = 𝑅 + 0,5 ∗ ℎ𝑚 = 26,684 ∗ 103 + 0,5 ∗ 1.444 = 29.406 𝑚𝑚

𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥=ℎ𝐴 ∗ 𝐿

2 ∗ ℎ1=490 ∗ 19

2 ∗ 1.334= 3,49 𝑚

𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥=𝑞𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

2∗ (𝐿 − 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

) =3,49 ∗ 2,785

2∗ (19 − 3,49) = 142,444 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥∗ = ℎ𝐴 + 𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

∗ (tan(𝜙)) = 490 + 3,49 ∗ 103 ∗ tan(5°) = 800 𝑚𝑚

ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥= ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

∗ ∗ cos(𝜙) = 800 cos ([10 + 5]/2) = 793 𝑚𝑚

𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑏 ∗ ℎ2

6=185 ∗ 7932

6= 19.397.626 𝑚𝑚4

𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =𝑀𝑓𝑓,𝑚á𝑥

𝑊𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥=142,444 ∗ 106

19.397.626 = 7,34 𝑀𝑃𝑎

De NCh 1198, Sección 10.7.1.6, tensiones adicionales en el borde inclinado.


𝜙 = 𝛾 − 𝛿 = 10° − 5° = 5°

𝑓𝑐𝑧 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan (𝜙) = 7,34 ∗ tan(5°) = 0,644 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑐𝑛 = 𝑓𝑓,𝑚á𝑥 ∗ tan2(𝜙) = 7,34 ∗ tan2(5°) = 0,056 𝑀𝑃𝑎

Control interacción tensional borde inclinado:

Tensión admisible de flexión.


𝐸𝑙𝑣 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐸𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎



En el borde flexo comprimido

Verificación estabilidad lateral

𝑙𝑎 = 2,40 𝑚 : Distancia entre costaneras


𝑙𝑎ℎ=2,4 ∗ 103

793= 3,03 < 7 ⇒ 𝑙𝑣 = 2,06 ∗ 𝑙𝑎 = 2,06 ∗ 2,4 = 4,944 𝑚

𝜆𝑣 = √𝑙𝑣 ∗ ℎ𝑥𝑓𝑓,𝑚á𝑥

𝑏2= √

4,944 ∗ 103 ∗ 794

1852= 10,71

𝐹𝑓,𝐸 =𝐶𝑓𝐸 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠

𝜆𝑣2 =

0,61 ∗ 7.700

10,712= 41,0 MPa

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎

(𝐹𝑓,𝐸

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ ) =

41,0

9,75= 4,205

𝐾𝜆,𝑣 =

1 + (𝐹𝑓,𝐸𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ )

1,9−

√

(

1+ (

𝐹𝑓,𝐸𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ )

1,9

)

2

−

(𝐹𝑓,𝐸𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠∗ )

0,95

𝐾𝜆,𝑣 =1 + 4,205

1,9− √(

1 + 4,205

1,9)2

−4,205

0,95= 0,985

𝐹𝑓𝑣 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝜆,𝑣 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,985 = 9,60 𝑀𝑃𝑎

Control interacción:

(𝑓𝑓

𝐹𝑓𝑣,𝑑𝑖𝑠)

2

+ (𝑓𝑐𝑛

𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠)

2

+ (𝑓𝑐𝑧

2,66 ∗ 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠)

2

< 1,0

(7,34

9,60)2

+ (0,056

2,5)2

+ (0,644

2,66 ∗ 1,375)2

= 0,616 < 1,0



Verificación tensional en el borde flexo traccionado

𝐾𝑣 = (6,4

𝐿)1 10⁄

∗ (300

ℎ)1 10⁄

∗ (135

𝑏)1 10⁄

𝐾𝑣 = (6,4

19)1 10⁄

∗ (300

793)1 10⁄

∗ (135

185)1 10⁄

= 0,789

𝐹𝑓𝑡 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,789 = 7,69 𝑀𝑃𝑎

Borde inferior recto ⇒ 𝐾𝑎 = 1 + 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2𝜙 = 1 + 4 ∗ 0,08752 = 1,031

𝑓𝑓𝑡,𝑚á𝑥 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝜃 = 7,34 ∗ 1,031 = 7,57 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 7,69 𝑀𝑃𝑎 Verifica

Verificación tensional a mitad de luz

𝑓𝑓,𝑚á𝑥 =𝑀𝑚á𝑥 ∗ 6

𝑏 ∗ ℎ𝑚2 =

237,516 ∗ 106 ∗ 6

185 ∗ 1.4442= 3,70 𝑀𝑃𝑎

En la cumbrera 𝜙 = 10°

ℎ𝑚𝑅𝑚

=1.444

29,406 ∗ 103= 0,049

Borde flexotraccionado

𝐾𝜃 = 1 + 1,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + 5,4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙) + (0,35 − 8 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙)) ∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚

) + (0,6 + 8,3 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 7,8 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙))

∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚

)2

+ 6 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙) ∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚

)3

𝐾𝜃 = 1 + 1,4 ∗ 0,176 + 5,4 ∗ 0,1762 + (0,35 − 8 ∗ 0,176) ∗ 0,049 + (0,6 + 8,3 ∗ 0,176 − 7,8 ∗ 0,1762) ∗ 0,0492

+ 6 ∗ 0,1762 ∗ 0,0493 = 1,367

𝑓𝑓𝑡 = 𝑓𝑓 ∗ 𝐾𝜃 = 3,70 ∗ 1,367 = 5,07 𝑀𝑃𝑎



Altura de viga en el punto del inicio del sector curvo

ℎ𝑐∗ = ℎ𝐴 + 0,5 ∗ (

𝑙 − 𝑐

2) ∗ (tan 𝛾 − tan 𝛿)

ℎ𝑐∗ = 490 + 0,5 ∗ (

19 − 5

2) ∗ (0,176 − 0,087) ∗ 1.000 = 1.112 𝑚𝑚

ℎ𝑐 = ℎ𝑐∗ ∗ 𝑐𝑜𝑠 (

𝛾 + 𝛿

2) = 1.112 ∗ 0,996 = 1.102 𝑚𝑚

ℎ𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎 = 0,5 ∗ (ℎ𝑐 + ℎ𝑚) = 0,5 ∗ (1.102 + 1.444) = 1.273 𝑚𝑚

𝐾𝑉 = (6,4

19,0)1 10⁄

∗ (300

1.273)1 10⁄

∗ (135

185)1 10⁄

= 0,752

𝐹𝑓𝑡,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 ∗ 𝐾𝑉 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 ∗ 0,752 = 7,33 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓𝑓𝑡

Control de tensiones de tracción normales a la fibra en el eje neutro

𝐾𝑟 = 0,2 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + (0,25 − 1,5 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) + 2,6 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙)) ∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚

) + (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙))

∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚

)2

+ (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛2(𝜙)) ∗ (ℎ𝑚𝑅𝑚

)2

𝐾𝑟 = 0,2 ∗ 0,176 + (0,25 − 1,5 ∗ 0,176 + 2,6 ∗ 0,1762) ∗ 0,049 + (2,1 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝜙) − 4 ∗ 0,1762)

∗ 0,0492 + (2,1 ∗ 0,176 − 4 ∗ 0,1762) ∗ 0,0492 = 0,0391

𝑓𝑡𝑛 = 𝑓𝑓 ∗ 𝑘𝑟 = 3,7 ∗ 0,0391 = 0,145 𝑀𝑃𝑎 > 𝐹𝑡𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 0,1 𝑀𝑃𝑎

Las tensiones se deben neutralizar por medio de refuerzos.

Control flecha

𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠=0,48

0,88= 0,544 > 0,5

NCh 1198, Sección 7.2.4.11 ⇒ Se debe considerar efecto del creep

𝑘𝑝 = 1,5 −𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠= 1,5 − 0,544 = 0,956



⇒ 𝜌 =1

𝑘𝜌− 1 =

1

0,956− 1 = 0,046

𝛿𝑓,𝑓 = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 𝜌 ∗𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠) = 𝛿𝑓,0 ∗ (1 + 0,046 ∗ 0,544) = 1,025 ∗ 𝛿𝑓,0

𝛿𝑄,𝑓 = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 𝜌 ∗𝑔

𝑞𝑑𝑖𝑠) = 𝛿𝑄,0 ∗ (1 + 2 ∗ 0,046 ∗ 0,544) = 1,05 ∗ 𝛿𝑄,0

𝐴𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ𝐴 = 185 ∗ 490 = 90.650 𝑚𝑚2

𝐼𝐴 =𝑏 ∗ ℎ𝐴

3

12=185 ∗ 4903

12= 1.813.755.417 𝑚𝑚4

𝑘𝑓 =(ℎ𝐴ℎ𝑚

)3

0,15 + 0,85 ∗ (ℎ𝐴ℎ𝑚

)=

(4901.444)

3

0,15 + 0,85 ∗ (4901.444

)= 0,089

𝛿𝑓 =5

384∗𝑞 ∗ 𝐿4

𝐸 ∗ 𝐼𝐴∗ 𝑘𝑓 =

5

384∗

5,264 ∗ 19.0004

9.000 ∗ 1.813.755.417∗ 0,089 = 48,8 𝑚𝑚

𝑘𝑓 =2

1 + (ℎ𝑚ℎ𝐴)

23⁄=

2

1 + (1.444490

)

23⁄= 0,655

𝛿𝑞 =1,2 ∗ 𝑀𝑚á𝑥

𝐺 ∗ 𝐴𝐴∗ 𝑘𝑓 =

1,2 ∗ 237,516 ∗ 106

(0,065 ∗ 9.000) ∗ 90.650∗ 0,655 = 3,5 𝑚𝑚

Deformación total, incorporando efecto de creep:

𝛿𝑑𝑒𝑓 = 1,025 ∗ 𝛿𝑓 + 1,05 ∗ 𝛿𝑞 = 1,025 ∗ 48,8 + 1,061 ∗ 3,5 = 54 𝑚𝑚

Δ𝑎𝑑 =𝐿

240=19.000

240= 79,2 𝑚𝑚 > 𝛿𝑓

Se recomienda especificar contraflecha de 30 mm, que corresponde aproximadamente a la

magnitud de la flecha por concepto de peso propio.

Desplazamiento horizontal del apoyo móvil.

ℎ1 =ℎ𝐴2=490

2= 245 𝑚𝑚

ℎ2 =ℎ1 − ℎ𝑚 + 𝐿 ∗ tan (𝛽)

2=490 − 1.444 + 19.000 ∗ 0,176

2= 1.198 𝑚𝑚



𝛿𝐻,𝐵 ≈4 ∗ (ℎ2 − 1,6 ∗ ℎ1)

𝐿∗ 𝛿𝑓 =

4 ∗ (1.198 + 1,6 ∗ 245)

19.000∗ 54 = 18 𝑚𝑚

Neutralización tensiones de tracción normal a la fibra en el sector curvo.

Se aplican las especificaciones de NCh 1198, Anexo U.

Refuerzo sector curvo por medio de barras con hilo encoladas con adhesivo epóxico o resina

compatible con madera y acero: Se considera refuerzo consistente de barras de acero con hilo

Ø5/8”

Sector curvo central.

Definiendo 𝑎1 como la mitad central de la longitud de la zona curva del entorno de la

cumbrera (5 m),

𝑇𝑡𝑛 =𝑓𝑡𝑛,𝑚á𝑥 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎1

𝑛=0,145 ∗ 185 ∗ 0,5 ∗ 5

𝑛=66,876

𝑛 𝑘𝑁/𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

Con n: número de barras de acero dispuestas en la mitad central del sector curvo.

Se considera el uso de barras de acero con hilo de diámetro nominal Ø5/8” con una capacidad

admisible de anclaje

𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠 = 1,1 𝑀𝑃𝑎

A 1,25 m de la cumbrera, la longitud de anclaje efectiva de las barras de costura asciende a

𝐼𝑎,𝑒𝑓 ≥1

2∗ (ℎ𝐴 + (ℎ1 − ℎ𝐴) ∗

(0,5 ∗ 𝐿 − 0,25 ∗ 𝑐)

0,5 ∗ 𝐿)

𝐼𝑎,𝑒𝑓 =1

2∗ (490 + (1.334 − 490) ∗

(0,5 ∗ 19 ∗ 103 − 0,25 ∗ 5 ∗ 103)

0,5 ∗ 19 ∗ 103) = 611 𝑚𝑚

En consecuencia la cantidad de barras requerida, n, en el tramo central es

𝑛 ≥2 ∗ 𝑇𝑛

𝑙𝑎,𝑒𝑓 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷 ∗ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠=

2 ∗ 66,876 ∗ 103

622 ∗ 𝜋 ∗ 15,9 ∗ 1,1= 3,9

Se especifican 4 barras de acero con hilo Ø5/8”



Su disposición satisface la exigencia

0,75 ∗ ℎ𝑚 = 0,75 ∗ 1.444 = 1.083 𝑚𝑚 < 𝑎1 =2.500

4= 625 𝑚𝑚 > 250 𝑚𝑚

Verificación tracción en área neta barras con hilo:

𝑓𝑡 =𝑇𝑛

𝑛 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (𝐷2 4⁄ )=

66,876 ∗ 103

6 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (15,92 4⁄ )= 106 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 120 𝑀𝑃𝑎 𝑂𝐾

Verificación de los cuartos externos del sector curvo.

𝑇𝑡𝑛 =2

3∗𝑓𝑡𝑛,𝑚á𝑥 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎1

𝑛=2

3∗0,145 ∗ 185 ∗ 0,25 ∗ 5

𝑛=22,292

𝑛 𝑘𝑁/𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎

A 2,5 m de la cumbrera

𝐼𝑎,𝑒𝑓 ≥1

2∗ (ℎ𝐴 + (ℎ1 − ℎ𝐴) ∗

(𝐿 − 𝑐)

𝐿)

𝐼𝑎,𝑒𝑓 =1

2∗ (490 + (1.334 − 490) ∗

(19 − 5)

19) = 556 𝑚𝑚

𝑛 ≥2 ∗ 𝑇𝑛

𝐼𝑎,𝑒𝑓 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷 ∗ 𝐹𝑎,𝑑𝑖𝑠=

2 ∗ 22,292 ∗ 103

556 ∗ 𝜋 ∗ 15,9 ∗ 1,1= 1,5 ⇒ 2

Se especifican 2 barras de acero con hilo Ø5/8”

Verificación tracción en área neta barras con hilo:

𝑓𝑡 =𝑇𝑛

𝑛 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (𝐷2 4⁄ )=

22,292 ∗ 103

2 ∗ 0,8 ∗ 𝜋 ∗ (15,92 4⁄ )= 70,4 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡,𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 120 𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑘

Verificación hipótesis de peso propio del sistema de vigas:

Densidad normal del Pino radiata

𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 = 476 𝑘𝑔 𝑚3⁄

Asumiendo un coeficiente de variación 0,10 y una distribución de densidades obedeciendo a

un patrón gaussiano normal

𝜌12,𝑝95% = 𝜌12,𝑝𝑟𝑜𝑚 ∗ (1 + 0,1645) = 476 ∗ 1,1645 = 555 𝑘𝑔 𝑚3⁄

Incrementando este valor en un 5% para incluir el peso de herrajes y medios de unión

𝜌12,𝑠𝑖𝑎 = 1,05 ∗ 555 = 582 𝑘𝑔 𝑚3⁄



Volumen viga:

𝑉 = 𝑏 ∗ (0,5 ∗ (ℎ𝑎 + ℎ1) ∗ 𝑙 + 𝑅2 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝛿) −

𝛿 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅2

180)

𝑉 = 0,185 ∗ ((0,49 + 1,334)

2∗ 19 + 28,6842 ∗ 𝑡𝑎𝑛(5) −

5 ∗ 𝜋 ∗ 28,6842

180) = 3,239 𝑚3

Área tributaria:

𝐷 ∗ 𝑙 = 6 ∗ 19 = 114 𝑚2

𝑞𝑒𝑞 =𝑉 ∗ 𝜌12,𝑑𝑖𝑠𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏

=3,239 ∗ 582

114= 16,5 𝑘𝑔 𝑚2⁄ ≈ 𝑞𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 0,16 𝑘𝑁 𝑚2⁄



EJEMPLO 30: Marco triarticulado de madera laminada

Verificación de las dimensiones del marco triarticulado tipo del galpón de madera laminada

encolada de pino Radiata de la figura (armado híbrido; láminas Grado A en los sextos externos

de la sección transversal y láminas Grado B en los 2/3 centrales). Se estructura con columnas

compuestas tipo “cajón” constituidas por dos tapas laterales de altura variable y dos cordones

de borde, a la vez que los tijerales consisten de piezas simples de altura variable que se

empalman “en cepo” con las tapas laterales de las columnas en los aleros, conformando una

unión rígida. La madera se mantiene seca en servicio (H ≤ 15 %). Como sujesor estructural se

considera el uso de conectores de hinca Tipo C (EN 1995-1-1) con pernos y golillas. El diseño de

la unión rígida del alero condiciona una altura de sección de 830 mm tanto para las columnas

como para los travesaños. La esquina interior del encuentro de columnas y tijerales se

encuentra impedido de desplazarse fuera del plano de los marcos mediante la disposición de

puntales diagonales que se apoyan a su vez de una costanera de techo. La estructura se diseña

para una densidad de carga de peso propio de 0,47 kN/m2 (s.d.t) y una sobrecarga de servicio

de 0,4 kN/m2 (s.p.h).



2,11 kN/m

Dimensiones en mm



Solución:

Geometría y solicitaciones

Diagramas de esfuerzos internos

Verificación columnas:

Por tratarse de piezas híbridas, de acuerdo con Anexo C se considerarán las siguientes

propiedades mecánicas admisibles:



𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎

Por incorporar el estado de carga verificado sobrecargas de servicio de techo, de acuerdo con

NCh 1198, Anexo G, 𝐾𝐷 = 1,25

Por respetarse H ≤ 15 %, 𝐾𝐻 = 1,0

a) Análisis c/r eje x-x

Estimación de la longitud de pandeo de la columna en el plano del marco.

Se aplicará el método presentado en la Sección K6 del Anexo K de NCh 1198.

𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑜𝑙 = 25,52 𝑘𝑁

𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑙 = 0,5 ∗ (18,12 + 13,12) = 15,62 𝑘𝑁



ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 = ℎ𝑎𝑝 + 0,65 ∗ (ℎ𝑎𝑙𝑒𝑟𝑜 − ℎ𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜) = 400 + 0,65 ∗ (830 − 400) = 679,5 𝑚𝑚

ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣 = ℎ𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎 + 0,65 ∗ (ℎ𝑎𝑙𝑒𝑟𝑜 − ℎ𝑐𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒𝑟𝑎) = 350 + 0,65 ∗ (830 − 350) = 662 𝑚𝑚

Ángulo de inclinación del tijeral en el modelo análogo

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(900 6.500⁄ ) = 7,9°

Longitud del tijeral en el modelo análogo

𝑠 =6,5

cos7,9°= 6,56 𝑚

𝐼𝑐𝑜𝑙 =2 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙

3

12=2 ∗ 65 ∗ 679,53

12= 3.398.838.190 𝑚𝑚4

𝐼𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑙 =𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣

3

12=138 ∗ 6623

12= 3.336.351.572 𝑚𝑚4

𝑐 =𝐼𝑐𝑜𝑙 ∗ 2 ∗ 𝑠

𝐼𝑡𝑖𝑗 ∗ 𝐻=3.398.838.190 ∗ 2 ∗ 6,56

3.336.351.572 ∗ 5,3= 2,523

⇒ 𝑙𝑝,𝑥−𝑥 = 2 ∗ 𝐻 ∗ √1 + 0,4 ∗ 𝑐 = 2 ∗ 5,3 ∗ √1 + 0,4 ∗ 2,523 = 15,025 𝑚

𝜆𝑥−𝑥 =𝑙𝑃,𝑥−𝑥 ∗ √12

ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙=15.021 ∗ √12

679,5= 76,6

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 10 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑑𝑖𝑠 = 𝐸 ∗ 𝐾𝐻 = 9.000 ∗ 1 = 9.000 𝑀𝑃𝑎




𝐹𝑐𝑥,𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠𝜆2

=5 ∗ 9.000

76,62= 7,67 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠

=7,66

10= 0,767

𝐴 =

𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠

∗ (1 +𝜆300

) + 1

1,8=0,767 ∗ (1 +

76,7300

) + 1

1,8= 1,09

𝐵 =

𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠0,9

=0,767

0,9= 0,852

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 1,09 − √1,092 − 0,852 = 0,51

⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,51 ∗ 10 = 5,1 𝑀𝑃𝑎

Verificación interacción tensional en nudo alero:

De diagramas de esfuerzos internos:

𝑀 = 65,551 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

𝑁 = 25,52 𝑘𝑁

𝐴𝑐𝑜𝑙,𝑐 = 2 ∗ 𝑏𝑙,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑐𝑜𝑙,𝑐 = 2 ∗ 65 ∗ 830 = 107.900 𝑚𝑚2

𝑊𝑐𝑜𝑙,𝑐 =2 ∗ 𝑏𝑙,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑐𝑜𝑙,𝑐

2

6=2 ∗ 65 ∗ 8302

6= 14.926.167 𝑚𝑚3

𝑓𝑐 =𝑁𝑐𝐴𝑐

=25.520

107.900= 0,24 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑓 =𝑀𝑐

𝑊𝑐=65.551.000

14.926.167= 4,39 𝑀𝑃𝑎

Control interacción

Por controlarse el borde flexo comprimido y dado que el volcamiento de la unión se encuentra

impedido

𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑓 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,8 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,75 𝑀𝑃𝑎



𝑓𝑐𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

+𝑓𝑓


5,1+4,39

9,75= 0,497 ≪ 1,0

b) Análisis c/r eje y-y

Sección transversal equivalente.

Se verificará de acuerdo con lo especificado en NCh 1189, sección 7.3.3.2

Conceptualmente la sección funciona como una pieza tripartita simétrica con respecto al eje y-

y.

Ligazón elástica: PØ1/2”+2 Co D50 + 2 GoØ55*5 c/500 mm, en 2 hileras

(CoD50: conector Tipo C con endentado bilateral, de diámetro exterior 50 mm, Go Ø55*5:

golilla de acero circular diámetro exterior 55 mm, espesor 5 mm).

De Anexo I para los conectores de diámetro exterior 50 mm

𝑁1𝑝,𝑎𝑑 = 5 𝑘𝑁

𝐾𝐷 = 1,25

𝐶 = 3.333 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑁1𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 𝑁1𝑝,𝑎𝑑 ∗ 𝐾𝐷 = 5 ∗ 1,25 = 6,25 𝑘𝑁



𝐴1 = 65 ∗ 670 = 43.550 𝑚𝑚2 (Estimación levemente conservadora, ya que h1eq

=679,5 mm)

𝑧 = 0,5 ∗ (𝑏1,𝑐𝑜𝑙 + 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣) = 0,5 ∗ (65 + 138) = 101,5 𝑚𝑚

𝑘 =𝜋2 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 ∗ 𝐴1

𝐶 ∗ 𝑙𝑝,𝑦−𝑦2 ∗

𝑠

2=𝜋2 ∗ 9.000 ∗ 43.550

3.333 ∗ 5.3002∗500

2= 10,3

⇒ 𝛾 =1

1 + 𝑘=

1

1 + 10,3= 0,088

𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦 =2 ∗ (ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙

3 + ℎ𝑐𝑜𝑟𝑑ó𝑛 ∗ 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣3 )

12+ 2 ∗ 𝛾 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑧

2

𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦 =2 ∗ (670 ∗ 653 + 90 ∗ 1383)

12+ 2 ∗ 0,088 ∗ 43.550 ∗ 101,52 = 149.296.694 𝑚𝑚4

𝐴𝑡𝑜𝑡 = 2 ∗ (𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙 + ℎ𝑐𝑜𝑟𝑑ó𝑛 ∗ 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣) = 2 ∗ (65 ∗ 670 + 90 ∗ 138) = 111.940 𝑚𝑚2

𝑖𝑦−𝑦,𝑒𝑓 = √𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦

𝐴𝑡𝑜𝑡= √

149.296.694

111.940= 36,5 𝑚𝑚

⇒ 𝜆𝑦−𝑦 =𝑙𝑝,𝑦−𝑦

𝑖𝑦−𝑦,𝑒𝑓=5.300

36,5= 145,1

𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣 = 7,5 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑝,𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐷 ∗ 𝐾𝐻 = 7,5 ∗ 1,25 ∗ 1 = 9,38 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑙𝑣 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝐸𝑙𝑣,𝑑𝑖𝑠 = 𝐸𝑙𝑣 ∗ 𝐾𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑦,𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠

𝜆𝑦−𝑦2 =

5 ∗ 7.700

145,12= 1,83 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝐹𝑐𝑦,𝐸

𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠=1,83

9,38= 0,195

𝐴 =


∗ (1 +𝜆300) + 1

1,8=0,195 ∗ (1 +

145,1300

) + 1

1,8= 0,716



𝐵 =

𝐹𝑐𝑦,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠0,9

=0,195

0,9= 0,217

𝐾𝜆,𝑒𝑓 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,716 − √0,7162 − 0,217 = 0,172

⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,172 ∗ 9,38 = 1,61 𝑀𝑃𝑎

Conservadoramente se considerará que la compresión es resistida exclusivamente por las

piezas laterales:

𝑓𝑐 =𝐶

2 ∗ 𝑏1,𝑐𝑜𝑙 ∗ ℎ𝑒𝑞,𝑐𝑜𝑙=

25.520

2 ∗ 65 ∗ 670= 0,29 𝑀𝑃𝑎 ≪ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Verificación ligazón elástica:

𝑄𝑖 =𝐶

𝐾𝜆,𝑒𝑓 ∗ 60=

25.520

0,172 ∗ 60= 2.475 𝑁

⇒ 𝑡𝑐𝑖𝑧,𝑒𝑓 =𝛾 ∗ 𝑄𝑖 ∗ 𝐴1 ∗ 𝑧

𝐼𝑒𝑓,𝑦−𝑦=0,088 ∗ 2.475 ∗ 43.550 ∗ 101,5

149.296.694= 6,47 𝑁 𝑚𝑚⁄

𝑒𝑟𝑒𝑞 =𝑛ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑁1𝑝,𝑑𝑖𝑠

𝑡𝑐𝑖𝑧,𝑒𝑓=2 ∗ 6.250

6,47= 1.932 𝑚𝑚 ≫ 𝑒𝑒𝑓 = 500 𝑚𝑚

Verificación travesaño:

𝑘𝑡 =𝐼𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑐𝑜𝑙𝐼𝑐𝑜𝑙 ∗ 𝑁𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑡𝑟𝑎𝑣

=3.336.351.572 ∗ 25,52

3.398.838.190 ∗ 15,62= 1,604

⇒ 𝑙𝑝,𝑡𝑟𝑎𝑣 = 𝑙𝑝,𝑐𝑜𝑙 ∗ √𝑘𝑡 = 15,02 ∗ √1,6 = 19,03 𝑚

𝜆𝑡𝑟𝑎𝑣 =𝑙𝑝,𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ √12

ℎ𝑒𝑞,𝑡𝑟𝑎𝑣=19.030 ∗ √12

662= 99,6

𝐹𝑐𝑥,𝐸 =5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠

𝜆𝑡𝑟𝑎𝑣2 =

5 ∗ 7.700

99,62= 3,88 𝑀𝑃𝑎

⇒ 𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠

=3,88

10= 0,388



𝐴 =


∗ (1 +𝜆300) + 1

1,8=0,388 ∗ (1 +

99,6300) + 1

1,8= 0,843

𝐵 =

𝐹𝑐𝑥,𝐸𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠0,9

=0,388

0,9= 0,432

𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2 − 𝐵 = 0,843 − √0,8432 − 0,432 = 0,315

⇒ 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾𝜆 ∗ 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 0,315 ∗ 10 = 3,15 𝑀𝑃𝑎

Verificación interacción tensional en el tramo:

Reacciones en la cumbrera.

𝐻𝑐 = 13,38 𝑘𝑁

𝑄𝑐 = 𝐻𝑐 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 = 1,835 𝑘𝑁

𝑁𝑐 = 𝐻𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠 7,9 = 13,254 𝑘𝑁

Sector momento flector positivo.

𝑞𝑛 = 𝑞𝑠𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠2 7,9 + 𝑞𝑝𝑝 ∗ 𝑐𝑜𝑠 7,9

𝑞𝑛 = 1,80 ∗ 0,981 + 2,11 ∗ 0,991 = 3,86 𝑘𝑁/𝑚



Punto de momento nulo

𝑙0 = 2 ∗ 𝑄𝑐𝑞𝑛

= 2 ∗ 1,835

3,86= 0,952 𝑚

ℎ𝑙0 = ℎ𝑐 + (ℎ𝐵 − ℎ𝑐) ∗ 𝑙0

𝑠= 350 +

(830 − 350) ∗ 0,952

6,562= 420 𝑚𝑚

Máximo momento positivo

𝑥 = 𝑙0

1 +ℎ𝑙0

ℎ𝑐⁄

= 0,952

1 + 420350⁄

= 0,433 𝑚

Por simple inspección se descarta la verificación en el tramo de momento positivo,

considerándose la sección correspondiente al 65 % de la longitud del travesaño (en el modelo

análogo).

𝑥 = 0,65 ∗ 6,52 = 4,265 𝑚

ℎ𝑥 = ℎ𝑐 + 0,65 ∗ (ℎ𝐵 − ℎ𝑐) = 350 + 0,65 ∗ (830 − 350) = 662 𝑚𝑚

𝐴 = 𝑏𝑡𝑖𝑗 ∗ ℎ𝑥 = 138 ∗ 662 = 91.356 𝑚𝑚2

𝑊𝑥 =𝑏𝑡𝑖𝑗 ∗ ℎ𝑥

2

6=138 ∗ 6622

6= 10.079.612 𝑚𝑚3

𝑀𝑥 = 𝑄𝑐 ∗ 𝑥 − 𝑞𝑛 ∗𝑥2

2= 1,835 ∗ 4,265 − 3,86 ∗

4,2652

2= 27,250 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

𝑁𝑥 = 𝑁𝑐 + 𝑞𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 ∗ 𝑥 = 13,254 + 3,856 ∗ 𝑠𝑒𝑛 7,9 ∗ 4,265 = 15,531 𝑘𝑁

𝑓𝑐 = 𝑁𝑥𝐴𝑥

=15,531 ∗ 1.000

91.356= 0,17 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑓 = 𝑀𝑥

𝑊𝑥=27,250 ∗ 106

10.079.612= 2,70 𝑀𝑃𝑎

Control interacción

(𝑓𝑐

𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠) +

𝑓𝑓

(1 −𝑓𝑐𝐹𝑐𝑥,𝐸

) ∗ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠

= (0,17

3,15) +

2,7

(1 −0,173,88) ∗ 9,75

= 0,293 ≪ 1,0



Verificación interacción tensional en nudo alero:

𝑀 = 65,551 𝑘𝑁 ∗ 𝑚

𝑁 = 18,12 𝑘𝑁

𝐴𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 = 𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 = 138 ∗ 830 = 114.540 𝑚𝑚2

𝑊𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐 =𝑏𝑡𝑟𝑎𝑣 ∗ ℎ𝑡𝑟𝑎𝑣,𝑐

2

6=138 ∗ 8302

6= 15.844.700 𝑚𝑚3

𝑓𝑐 =𝑁𝑐𝐴𝑐

=18.120

114.540= 0,16 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑓 =𝑀𝑐

𝑊𝑐=65.551.000

15.844.700= 4,14 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑐𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠

+𝑓𝑓


10+4,14

9,75= 0,440 ≪ 1,0



ANEXO A: Propiedades físicas especies madereras comerciales (Anexo E NCh 1198)

especie

densidad anhidra densidad normal

kg/m3 kg/m3

valor medio característico valor medio característico

Álamo 370 357 399 385

Alerce 460 385 492 412

Canelo 470 440 502 470

Ciprés de la Cordillera 470 393 502 420

Pino radiata 450 370 476 391

Pino oregón 410 326 441 350

Coigüe 650 400 691 425

Laurel 510 427 543 455

Lenga 540 476 573 505

Lingue 596 498 629 526

Mañío 520 435 553 463

Olivillo 550 460 583 488

Raulí 510 426 543 454

Tepa 520 442 552 469

Eucalipto 800 543 830 564

Roble 630 527 668 559

Tineo 700 583 736 613

Ulmo 630 525 660 550



ANEXO B: Tensiones Admisibles y Módulos Elásticos madera aserrada de

Pino radiata

Valores derivados de los resultados del programa experimental desarrollado por la

Corporación Chilena de la Madera, CORMA y ensayos realizados por W. Santana para su tesis

de título de Ingeniero Civil en la Facultad de CCFF y MM de la U. de Chile (Fcp, Fcn y Fciz)

Grado

estructural

Tensiones admisibles de Módulo de

elasticidad

en flexión

Ef 2

(MPa)

Índice de

aplastamiento

en compresión

normal

Ecn,h

(MPa/mm)

Flexión 1

Ff

(MPa)

Compresión

paralela

Fcp

(MPa)

Tracción1

paralela

Ftp

(MPa)

Compresión

normal

Fcn

(MPa)

Cizalle

Fcz

(MPa)

a. Visual

GS 11,0 8,5 6,0 2,5 1,1 10.500 5,65

G1 7,5 7,5 5,0 2,5 1,1 10.000

G1 y mejor 9,5 7,8 5,5 2,5 1,1 10.100

G2 5,4 6,5 4,0 2,5 1,1 8.900

b. Mecánico

C24 9,3 8,0 4,7 2,5 1,1 10.200 5,65

C16 5,2 7,5 3,5 2,5 1,1 7.900

1) valores aplicables sobre piezas de altura de sección transversal 90 mm

2) Valores aplicables sobre piezas de altura de sección transversal ≥180 mm. El módulo de elasticidad

característico inherente al percentil del 5%, Efk, se puede estimar como 0,60 Ef.

Para escuadrías de altura "h" > 90 mm, considerar

590,,

90*

hFF fhf ;

Ftp,h = Ftp,90 *90

h5



Para escuadrías de altura "h" < 180 mm, considerar

E f ,h = E f ,180 *h

1804

Aquí Ff h , Ff 90 y Ftp h , Ftp 90 corresponden a las tensiones admisibles de flexión y tracción

paralela para piezas de altura h [mm] y 90 [mm], respectivamente. Los módulos elásticos deben interpretarse en forma análoga. Las propiedades indicadas se han referido a un contenido de humedad de la madera H = 12%.

Para otros contenidos, la norma incorpora factores de modificación calculados de acuerdo con

las correspondientes expresiones de la norma ASTM D 2915-84, y que se presentan en lo

siguiente:

Tensión admisible de flexión: KH ,Ff=

1, 75- 0,0333* H[ ]1,35

;

Módulo de elasticidad: KH ,E =1, 44 - 0,02* H[ ]

1,2

Tensión admisible de compresión paralela:

KH ,cp =

2, 75- 0,0833* H[ ]1, 75

;

Tensión admisible de tracción paralela: KH , tp =1, 75- 0,0333* H[ ]

1,35;

Tensión admisible de cizalle:

KH ,cz =

1,33- 0,0167* H[ ]1,13

Tensión admisible de compresión normal:

KH ,cn = 0,667 si H >19%

Aquí son: H = contenido de humedad al que se desea referir la propiedad admisible, [ % ]. El subíndice "H" designa la referencia a esta última condición de humedad. Expresiones aplicables sólo si H ≤ 22 %. Para contenidos de humedad superiores, considerar H = 22 %. Para valores H menores que 12%, considerar el valor correspondiente a este último límite.



ANEXO C: Tensiones admisibles de piezas homogéneas e híbridas de

madera laminada encolada de pino radiata (estimación conservadora)

Las propiedades mecánicas admisibles que se indican en lo siguiente son aplicables para piezas

de dimensiones normales con contenido de humedad no superior a 15 % y estados de carga con

duración 10 años.

Piezas híbridas de madera laminada encolada de Pino radiata, laminación horizontal

Piezas homogéneas

Láminas Grado A

Ff = 9,3 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e

inestabilidad lateral.

Ff = 8,2 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e


Fcp = 9,5 MPa

Ftp = 5,6 MPa

Fcz =1,1 MPa

Fcn = 2,5 MPa

Ftn = 0,1 MPa

E = 10.000 MPa

Láminas Grado B

Ff = 7,2 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e


Ff = 6, 4 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen e


Fcp = 6,5 MPa

Ftp = 3,15 MPa (No incorpora efectos de volumen)



Fcz =1,1 MPa

Fcn = 2,5 MPa

Ftn = 0,1 MPa

E = 8.000 MPa

Piezas híbridas

Excepto cuando indique expresamente en el enunciado del problema, para piezas de madera

laminada encolada se asume el uso de vigas de pino radiata que en su fabricación combinan

láminas Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura y láminas Grado B (NCh 2150) en

los dos tercios centrales de la altura de la sección transversal.

Laminación horizontal.

Ff = 8,9 MPa para vigas de altura no superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen y de


Ff = 7,8 MPa para vigas de altura superior a 375 mm. No incorpora efectos de volumen y de


Fcp = 8,0 MPa

Ftp = 4,0 MPa (No incorpora efectos de volumen)

E = 9.000 MPa

Fcz =1,1 MPa

Fcn = 2,5 MPa

Ftn = 0,1 MPa



Piezas híbridas de madera laminada encolada de Pino radiata, laminación vertical. Vigas

constituidas de al menos 4 láminas.

Piezas homogéneas

Láminas Grado A

Ff = 9,5 MPa para vigas de altura no superior a 90 mm. No incorpora efectos de altura e


Fcp = 9,0 MPa

E = 9.000 MPa

Láminas Grado B



Fcp = 6,7 MPa

E = 7.000 MPa

Piezas híbridas


Inestabilidad general

Fcp = 7,2 MPa

E = 7.700 MPa

Fcz = 0,9 MPa

Fcn = 2,5 MPa

Ftn = 0,1 MPa



ANEXO D: Expresiones para la estimación de deformaciones verticales en

vigas de madera laminada encolada de altura variable.

Para la estimación de los descensos verticales de este tipo de estructuras se aplican las

expresiones que se considera en la literatura técnica alemana para el cálculo de las componentes

de flecha por concepto de flexión y de corte.

Para vigas de bordes rectos y altura variable según los desarrollos geométricos de la figura D1.

La deformación vertical consta de una componente debida a la flexión, f, y una componente

debida al corte, q . Por exigencias de funcionalidad se debe verificar que:

= f + q ≤ ad.

Figura D1: Desarrollo de tensiones axiales y transversales en vigas de altura variable

En forma simplificada se puede considerar

f =Mmáx * l2

9,6*E * Ia

*k f

con Ia =b* ha

3

12 y k f =

ha

hm

æ

èç

ö

ø÷

3

0,15+ 0,85*ha

hm

q =1,2*Mmáx

G*Aa

*kq

con Aa = b*ha y kq =

2

1+hm

ha

æ

èç

ö

ø÷

2 3



En las expresiones anteriores ha corresponde a la altura de sección en el apoyo y hm a la altura

máxima. En vigas con borde inferior inclinado según el segundo esquema de la Figura 1, en lugar

de hm se debe considerar

h1 = ha + 0,5*L (tg(øt) – tg(øb))

Aunque no resulta evidente, en vigas de altura variable los descensos verticales inducen empujes

horizontales inherentes al efecto de arco que alcanza a generarse. Por ello resulta necesario

materializar uno de los apoyos con posibilidades de desplazamiento horizontal, de manera de

evitar la generación de fuerzas de compresión axial que podrían llegar a comprometer la

estabilidad lateral de la viga. Por medio de una modelación simplificada del desarrollo

geométrico de la viga y aplicando el principio de trabajos virtuales es posible estimar el

desplazamiento horizontal H del apoyo móvil como un ponderado del descenso vertical. La

expresión resultante es

dH =4*(H2 +1,6*H1)

L*d

Dónde: H1 = 0,5*ha y H2 = 0,5*ha + 0,5*L*tg(øt) – 0,5*hm

Figura D 2: Desplazamiento del apoyo móvil asociado al descenso vertical



ANEXO E: Tensiones admisibles para tableros contrachapados

estructurales E.1 Tensiones Admisibles para tableros contrachapados estructurales (MPa). Proposición

sobre la base de resultados obtenidos en Proyecto CORFO-CORMA 1990

Propiedad

Especie cara

Nivel tensional del Grado (1)

S-1 S-2 S-3

verde seca verde seca sólo

seca

FLEXION DE LA FIBRA

EXTREMA

Ff

GE1 y PR

GE2

10,0

7,5

14,0

10,5

9,0

6,0

13,0

8,5

13,0

8,5

TRACCIÓN Ft

Fibra de la cara

paralela o

perpendicular a la

luz. (a 45° c/r a

la fibra de la cara Use

Ft /6)

GE1 y PR

GE2

9,0

4,6

13,0

6,5

7,5

3,7

11,0

5,2

11,0

5,2

COMPRESIÓN EN EL

PLANO DE LAS

CHAPAS Fc

Paralela o

perpendicular a la

fibra de la cara (a 45°

de la fibra de cara,

Use Fc/3 )

GE1

PR

GE2

8,5

8,5

6,0

15,0

15,0

10,5

8,0

7,5

5,5

14,0

13,0

10,0

14,0

13,0

10,0

CIZALLE Fcz

Paralelo o

perpendicular a la

fibra de cara (a 45°

de la fibra de cara,

Use 2 Fv)

GE1

PR

GE2

1,05

0,95

0,75

1,3

1,20

0,95

1,05

0,95

0,75

1,3

1,20

0,95

1,1

1,0

0,80

CIZALLE RODANTE

Fcz,r

Paralelo o normal a la

chapa de cara (a 45°

de la chapa de cara

use 1-1/3 Fs)

ESTRUCTURAL

I

Otros (2)

0,4

0,3

0,5

0,35

0,4

0,3

0,5

0,35

-

0,33



Propiedad

Especie cara

Nivel tensional del Grado (1)

S-1 S-2 S-3

verde seca verde seca sólo

seca

APLASTAMIENTO

Fcn

Perpendicular al

plano de las chapas

GE1

GE2 y PR

1,5

1,25

2,5

2,0

1,5

1,25

2,5

2,0

2,5

2,0

MÓDULO DE

CORTE G

GE1 y PR

GE2

500

360

625

450

500

360

625

450

565

450

MÓDULO DE

ELASTICIDAD EN FLEXIÓN

E

Fibra de cara paralela

o perpendicular a la

luz

GE1

PR

GE2

10.400

7.500

7.500

12.5000

9.000

9.000

10.400

7.500

7.500

12.5000

9.000

9.000

12.5000

9.000

9.000

(1) Para calificar en el nivel tensional S-1, las líneas de cola deben ser de tipo exterior permitiéndose sólo el

empleo de chapas grado N, A, y C (naturales, sin reparaciones) en las caras y trascaras. Para nivel tensional

S-2, las líneas de encolado deben ser de tipo exterior, permitiéndose chapas de Grado B, C tapón y D en las

caras y trascaras.El nivel tensional S-3 incluye todos los tableros con líneas de encolado interior o

intermedio (IMG).

(2) Reducir las tensiones en un 25% para tableros de 3 capas (4 o 5 chapas) de espesor superior a 5/8".



E.2 Propiedades estáticas efectivas de tableros contrachapados elaborados de acuerdo con

especificaciones de armado de norma APA PS 1-95. Proposición sobre la base de resultados

obtenidos en Proyecto CORFO-CORMA 1990

GE1 : Roble, Ulmo

Espesor

nominal

Solicitación paralela a la fibra de la cara Solicitación normal a la fibra de la cara

A I KW Ib/Q A I KW Ib/Q

Sección Momento

de Inercia

Módulo

resistente

eficaz

Constante

de cizalle

rodante

Sección Momento

de Inercia

Módulo

resistente

eficaz

Constante

de cizalle

rodante

mm mm2/m mm4/m mm3/m mm2/m mm2/m mm4/m mm3/m mm2/m

12 4.800 89.723 12.711 8.000 3.200 21.744 3.478 4.133

16 6.800 241.908 25.703 10.667 5.000 61.893 6.890 5.733

18 8.800 349.563 33.014 12.000 5.000 76.707 8.076 6.267

PR : Pino radiata

Espesor

nominal



Sección Momento

de Inercia

Módulo

resistent

e eficaz

Constante

de cizalle

rodante

Sección Momento

de Inercia

Módulo

resistente

eficaz

Constant

e de

cizalle

rodante


12 4.800 89.373 12.661 8.000 3.200 20.960 3.400 4.133

16 6.800 241.068 25.613 10.667 5.000 60.081 6.757 5.733

18 8.800 348.638 32.927 12.000 5.000 74.078 7.901 6.267



GE2 : Tepa, Coigue, Olivillo, Lenga

Espesor

nominal



Sección Momento

de Inercia

Módulo

resistente

eficaz

Constante

de cizalle

rodante

Sección Momento

de Inercia

Módulo

resistente

eficaz

Constante

de cizalle

rodante


12 4.352 89.020 12.611 8.378 2.304 16.992 2.623 4.133

16 6.352 240.354 25.538 11.174 3.600 47.668 5.161 5.733

18 8.016 347.445 32.814 12.569 3.600 59.718 6.078 6.267



ANEXO F: Medios de unión (NCh 1198)

I. Factores de modificación por contenido de humedad de la madera, KUH.

Medio de unión Condición de la madera1 Factor de modificación

durante la fabricación en servicio KUH

Extracción lateral

Pernos, tirafondos,

pasadores y clavos

≤ 19 % ≤ 19 % 1,00

> 19 % ≤ 19 % 0,40 1)

cualquiera > 19 % 0,70

Placas metálicas

dentadas

≤ 19 % ≤ 19 % 1,00

> 19 % ≤ 19 % 0,80


Conectores 2)

≤ 19 % ≤ 19 % 1,00

> 19 % ≤ 19 % 0,80


Extracción directa

Tirafondos y tornillos Cualquiera ≤ 19 % 1,0

Cualquiera > 19 % 0,7

Clavos

≤ 19 % ≤ 19 % 1,0

> 19 % ≤ 19 % 0,25

≤ 19 % > 19 % 0,25

> 19 % > 19 % 1,0

NOTAS:

1) KUH = 0,7 para medios de unión con diámetro, D, menor que 6,3 mm.

KUH = 1,0 para uniones consistentes de:

- un único medio de unión, o

- dos o más medios de unión dispuestos en una única hilera paralela a la dirección de la fibra, o

- medios de unión dispuestos en dos o más hileras paralelas a la fibra, con cubrejuntas individuales

para cada hilera

2) En uniones con conectores, las restricciones de humedad rigen hasta 20 mm de la superficie.



II. Factores de modificación por temperatura, KUt

Condición de servicio KUt

T ≤ 38 °C 38°C < T ≤ 52°C 52°C < T ≤ 66°C

Seca 1) 1,0 0,8 0,7

Húmeda 1,0 0,7 0,5

1) Uniones en madera con contenido de humedad ≤ 19%, y usada en condiciones permanentemente secas, como es el caso de la mayoría de las construcciones cubiertas

2) Madera no secada, o parcialmente secada o uniones expuestas a condiciones de servicio húmedas.



ANEXO G: Especificaciones de diseño y ejecución de uniones con clavos

fabricados según norma NCh 1269.

ESPESORES DE MADERA, PENETRACIONES MÍNIMAS Y CAPACIDADES ADMISIBLES DE CARGA POR SUPERFICIE DE

CIZALLE DE CLAVO EN UNIONES CON MADERA DE PINO RADIATA SECA: H ≤ 19%.

designación del clavo espesor

mínimo de

madero

penetración mínima del clavo cantidad de

clavos por

kilo

Tradicional NCh 1269 cizalle simple cizalle múltiple

lcl lcl*dcl a mín sm smm sm smm

pulgadas mm*mm mm mm mm mm mm

2 50*2,8 20 33,6 16,8 22,4 11,2 362

2 1/2 65*3,1 22 37,2 18,6 24,8 12,4 222

3 75*3,5 25 42 21 28 14 145

3 1/2 90*3,9 28 46,8 23,4 31,2 15,6 103

4 100*4,3 31 51,6 25,8 34,4 17,2 66

5 125*5,1 36 61,2 30,6 40,8 20,4 37

6 150*5,6 40 67,2 33,6 44,8 22,4 24

SEPARACIONES MÍNIMAS ENTRE CLAVOS Y A LOS BORDES, REFERIDAS A LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA

Espaciamiento mínimo de

clavos

Método de hinca

Clavado directo 1

perforación guía 2

Desangulación fuerza-fibra para cualquier

0˚ ≤ α < 30˚ 30˚ ≤α< 90˚ Desangulación

diámetro de clavo, d para cualquier

diámetro ≤ 4 mm > 4 mm ≤ 4 mm > 4 mm

entre sí paralela a la

fibra

sp 10*d 12*d 10*d 12*d 5*d

normal a la

fibra

sn 5*d 5*d 5*d 5*d 5*d

al borde

cargado

paralela a la

fibra

sbcp 15*d 15*d 15*d 15*d 10*d

normal a la

fibra

sbcn 5*d 7*d 7*d 10*d 5*d



Espaciamiento mínimo de

clavos

Método de hinca

Clavado directo 1

perforación guía 2

Desangulación fuerza-fibra para cualquier

0˚ ≤ α < 30˚ 30˚ ≤α< 90˚ Desangulación

diámetro de clavo, d para cualquier

diámetro al borde

descarga

do

paralela a la

fibra

sbdp 7*d 10*d 7*d 10*d 5*d

normal a la

fibra

sbdn 5*d 5*d 5*d 5*d 3*d

Notas: 1: Si durante la construcción H > 25%, incrementar sp, sbcp, sbdp en un 50%

2: De diámetro aproximado 0,85*d



ANEXO H: Propiedades de diseño placas dentadas GN 20 A (Gang Nail)

Designaciones:

c: espaciamiento mínimo de clavos “efectivos” a los bordes de madero, c ≥ 10 mm

lpl : longitud de anclaje

bef :longitud nominal efectiva de placa en la sección más desfavorable

de : profundidad de anclaje; de ≥ 50 mm

Aa : área de anclaje efectiva para el cálculo de la tensión de anclaje

Aciz: área de anclaje efectiva para el cálculo de tensiones de anclaje de cizalle. Se consideran

efectivos solo los clavos ubicados a no más de 0,55*de la junta de cizalle

α : ángulo entre la fuerza y el eje axial de placa

β : ángulo entre fuerza y fibra de la madera



Diseño y verificación

a) Control de la tensión de anclaje de los clavos

disaa Ff , con HDadisa KKFF ,

b) Control de la tensión en las placas

cizctpcizctp Ff ////

En solicitaciones combinadas de tracción o compresión con cizalle

1

22

/

/

cizp

cizp

ctp

ctp

F

f

F

f

TABLA H1

Capacidades admisibles de anclaje para placas GN 20A en uniones traccionadas, comprimidas y

en cizalle con piezas madera de Pino radiata

Desangulación

fuerza-eje axial

placa:

α

Desangulación

fuerza – fibra:

β

Para 0° < b < 90°

22,

cos

anap

anap

aFsenF

FFF

en unión de alero: aa FF

85,0

20

21285,065,0

tg

0° 90°

Fap Fan

MPa MPa

0° a 30° 1,1 0,74

60° 1,0 0,74

90° 0,95 0,74



Tabla H2. Capacidades admisibles de carga para placas GN 20A en tracción, Fp t,

(Compresión, Fp c) y cizalle, Fp ciz

Desangulación Fpt (Fpc) Fpciz

N/mm N/mm

0°

36

26

15° 33

30° 40

45° 50

60° 48 60

75° 60 44

90° 73 27

105° 60 25,5

120° 48 24

135°

36

24,5

150 25

165° 25,5

180° 26

Criterio para determinar la naturaleza del ángulo g en le estimación de la tensión admisible de

cizalle de placas , czpF ,



TABLA H3 Designaciones verificación de placa.

Solicitación de anclaje de placa, fa, para distintos tipos de solicitación.

Solicitación de anclaje caso de aplicación

a

aA

TbienoCf

2

En uniones de piezas comprimidas (C) o traccionadas

(T)

a

aA

Cf

2

2

En uniones comprimidas de tope rectas y normales

cuando la totalidad de la fuerza se traspasa por

contacto directo entre maderos

ciz

aA

Sf

2

En el traspaso de una fuerza de cizalle S

22

22

ciza

aA

S

A

Tf

En una combinación de solicitaciones de tracción y

cizalle

22

22

2

ciza

aA

S

A

Cf

En una combinación de solicitaciones de compresión y

cizalle, donde la totalidad de la fuerza de compresión

se traspasa por contacto directo entre maderos

Solicitación de placa, fpt,c,ciz , para distintos tipos de solicitación

Solicitación de placa Caso de aplicación

fp,t/c/ciz =T o bienC o bien S

2*bef

En uniones que transmiten fuerzas de tracción,

compresión o cizalle

ef

cpb

Cf

2

2,

En uniones comprimidas de tope rectas y normales

cuando la totalidad de la fuerza se traspasa por contacto

directo entre maderos

ef

cizp

ef

cp

b

Sf

b

Cf

2

2

2

)1

,

,

En solicitaciones combinadas de compresión y cizalle; se

debe verificar adicionalmente que la totalidad de la

componente de compresión, C, se puede traspasar por

contacto directo entre los maderos

bef: longitud nominal efectiva de una placa, en mm, en la sección transversal mas desfavorable

1) componente de fuerza de cizalle



ANEXO I: Uniones con conectores. De presión Tipo C (EN 1995-1-1)

Aun cuando en la norma se considera una sección dedicada a las uniones con conectores, esta se

refiere únicamente conectores de precisión que se fabrican recortando tubos de acero y que se

deben colocar en vaciados materializados previamente en los maderos de la unión, que en

nuestro país prácticamente no se han utilizado. Por otra parte existe en el país una experiencia

de más de tres décadas con el uso de conectores importados desde Europa, designados en la

categoría C, cuya colocación no requiere de un trabajo de vaciado previo en la madera y cuya

capacidad de carga ha sido verificada en estudios realizados en el INFOR y en las universidades de

Chile, Santiago y de Concepción. Por esta razón los problemas de uniones con conectores

consideran el uso de este tipo de conectores, cuyas características se presentan en lo siguiente.

La nueva redacción de la norma incorporará especificaciones relativas a Conectores Tipo C,

similares a las que se presentan en lo siguiente.

Metodología de diseño de uniones.

En lo siguiente se presenta una metodología sistematizada de diseño de uniones con conectores

de presión Tipo C , consistente de 12 pasos y que permite solucionar las situaciones de ocurrencia

habitual.

1. Resolver la estructura y definir la disposición de las piezas de madera que convergen en cada

una de las uniones y empalmes.

2. En función de las cargas exteriores aplicadas sobre la unión y de las fuerzas interiores de las

barras convergentes, resolver estáticamente la unión, determinando claramente en magnitud,

dirección y sentido, las fuerzas de interfaz para cada uno de los planos de contacto entre

maderos. Para estos efectos se debe decidir primeramente sobre qué maderos actuarán las

fuerzas exteriores, para posteriormente descomponer la unión en cuerpos libres y plantear sobre

éstos, las condiciones de equilibrio estático. Las fuerzas equilibrantes de cuerpo libre

corresponden a las fuerzas de interfaz entre maderos, y son las fuerzas que deben ser

transferidas por los conectores.

3. Determinar para cada madero la desangulación entre la fuerza de interfaz y la dirección de la

fibra, identificando a continuación la naturaleza ( cargada o descargada ) de los bordes de

madero comprometidos en la unión (ver Sección 9.1.2 de NCh1198).

4. Atendiendo a la magnitud de las fuerzas a traspasar y a las dimensiones de los maderos

convergentes a la unión, seleccionar el calibre de conector más adecuado. En la tabla 1 se

entrega, para los distintos calibres de conectores, información relativa a las dimensiones

transversales mínimas exigidas para los maderos y a las capacidades básicas de carga según la

dirección de la fibra y normal a la dirección de la fibra, N1p y N1n . Las capacidades básicas de

carga se asimilan a condiciones normales de servicio, esto es, madera con un contenido de



humedad no superior a 19% y duración acumulada de 10 años para el estado de carga

condicionante del diseño (ver Secciones 9.3 y 9.4 de NCh 1198)

5. Adecuar la capacidad de carga básica N1 a las condiciones específicas de diseño, a través de la

incorporación de los efectos del contenido de humedad de los maderos y de la duración

acumulada del estado de carga que condiciona el diseño de la unión o empalme, por medio de la

aplicación de los factores de modificación correspondientes (ver Secciones 9.4.2 y 9.4.3 de NCh

1198). Conservadoramente el factor de modificación por duración de la carga se aplica solo sobre

la capacidad N1p. Se obtiene así la capacidad de carga de diseño N1,dis . Eventualmente cuando

la desangulación fuerza-fibra en algún madero corresponda a un ángulo α, distinto de 0° y 90°,

determinar la capacidad de carga aplicando la fórmula de Hankinson

N =

Tabla I.1

Características básicas de conectores Tipo C

Tipo

de

conector

diámetro

exterior

dimensiones transversales

mínimas de maderos ante una

disposición unilineal de

conectores y desangulación

fuerza-fibra

capacidad básica de carga

D 0° a 30°

sobre 30° a 90° Paralela a la

fibra

Normal a la

fibra

h/b h/b N1p N1n

mm mm / mm mm / mm kN kN

Circular 48 o 50 100/40 100/40 5,0 4,0

62 100/40 110/40 7,0 6,0

75 120/50 120/50 9,0 8,0

95 120/50 140/50 12,0 10,5

117 150/80 180/80 16,0 14,0

140 170/80 200/100 22,0 18,5

165 190/80 230/110 30,0 24,0

Cuadrado 100 130/60 160/60 17,0 14,5

130 160/60 190/80 23,0 19,0

N1p * N1n

N1p * sen2a + N1n *cos2 a



6. Establecer, para cada plano de contacto entre maderos adyacentes, los que designaremos como

"c" y "d", el mayor valor entre los dos cuocientes nc y nd de la fuerza de interfaz Fcd y la capacidad

de carga de diseño del conector en cada madero, N1c,dis y N1d,dis. El número de conectores

efectivamente requeridos por cada plano de contacto, ncd,ef , se determina como el número

entero inmediatamente superior al mayor valor entre nc y nd .

7. Distribuir uniformemente los conectores en los planos de contacto entre maderos, respetando

los espaciamientos mínimos entre conectores vecinos, sc, y los espaciamientos mínimos sb entre

los conectores perimetrales y los bordes de madero vecinos, tomando debida consideración en

este último caso de la naturaleza del borde. En la tabla I.2 se indican los valores de los

espaciamientos mínimos básicos, sp y Sbp que se deben respetar según la dirección de la fibra,

entre conectores vecinos y al borde, respectivamente, cuando los conectores se disponen en una

única hilera y los espaciamientos mínimos a los bordes medidos normal a la dirección de la fibra

Sbn.

Tabla I.2

Tipo diámetro

conectores

bilaterales

conectores

unilaterales

espaciamientos

mínimos

D

altura

H

espesor

t

altura

H

espesor

t

diámetro

Di

Sp= Sbp

Sbn

mm mm mm mm mm mm mm mm

Circular 48 o 50 12,5 1,00 6,6 1,00 12,9 120 50

62 16 1,20 8,7 1,20 12,2 120 50

75 19,5 1,25 10,3 1,25 16,2 140 70

95 24 1,35 12,8 1,35 16,2 140 70

117 29,5 1,50 16,0 1,50 20,2 170 75

140 31 1,65 200 85

Cuadrado 100 16 1,35 170 65

130 20 1,50 200 80



a) disposición sin alternación

b) disposición alternada

Figura I.1: Espaciamientos mínimos en uniones con más de una hilera de conectores

Para uniones con varias hileras (ver figura I.1), los espaciamientos entre conectores vecinos según

la dirección de la fibra, scp, las separaciones mínimas entre hileras, scn, y los espaciamientos

entre las hileras exteriores y los bordes de madero, sbn, deben respetar las exigencias adicionales

establecidas en la tabla I.3. Las restricciones se deben respetar simultáneamente en todos los

maderos que convergen en la unión o empalme.

El espaciamiento al borde medido según la dirección de la fibra, sp, puede ser reducido a la

mitad, cuando dicho borde es de naturaleza descargada. No será aplicable, en este caso, la

reducción adicional de espaciamientos planteada en el punto 10 de esta metodología.

Los espaciamientos mínimos entre hileras, medidos normal a la dirección de la fibra, scn,

indicados en Tabla I.3, rigen también en uniones perpendiculares según el esquema de la figura

I.2.



Para esta última situación resulta prudente verificar adicionalmente, en el madero solicitado, la

capacidad de tracción perpendicular a la dirección de la fibra (Ver Sección 9.2.1.5 de NCh 1198).

Esta verificación podrá obviarse cuando la altura de la pieza solicitada, según la dirección

perpendicular a la fibra, no excede de 300 mm y el centroide "G", de la disposición de

conectores, se desplaza del borde cargado en al menos la mitad de la altura de la pieza.

Tabla I.3

Espaciamientos mínimos entre conectores y al borde

disposición de los

conectores

espaciamiento

mínimo

scn

espaciamiento

mínimo

scp

espaciamiento

mínimo al borde

sbn

Alineada D + Z sp h/2

D + Z sp

Alternada * D 1,1* sp h/2

0,5*(D + Z) 1,8* sp

*) las situaciones intermedias se pueden interpolar linealmente

En la tabla anterior, D corresponde al diámetro exterior del conector, y Z , a la penetración

efectiva de los dientes en cada madero, valor que se puede estimar en función de la altura, H, y

del espesor, t, del conector, especificadas en tabla I.2.

Figura I.2: Espaciamientos mínimos en uniones perpendiculares



8. Cuando se alinean varios unidades individuales de conexión (perno y conectores) según la

dirección de la fuerza se debe considerar una cantidad efectiva de unidades

nef < n, tal que

Pn,dis = nef* P1 ad

La cantidad efectiva de conectores alineados según la dirección de la fuerza se debe estimar

como

nef = 2 + 1-n

20

æ

èç

ö

ø÷* n- 2( )

é

ëê

ù

ûú*

90 -q( )90

+ n*q

90

Aquí son:

n :cantidad de unidades de conección alineadas según la dirección de la fibra

(n > 2)- Para efectos de cálculo n ≤ 10.

q : desangulación entre la fuerza que cada conector ejerce sobre la madera y la

dirección de la fibra de la madera.

Como consecuencia de la corrección anterior, podría resultar necesario incrementar la cantidad

de conectores, debiendo rediseñarse la disposición de éstos en la unión.



9. Los espaciamientos al borde medidos según la dirección de la fibra en maderos con

extremos inclinados, deben medirse sobre un eje desplazado en D/4 del eje de alineamiento de

conectores, a la vez que la distancia desde el borde inclinado al eje del conector debe ascender

al menos a h/2 , con h definido en Tabla I.1 (Ver Sección 9.7.5 y Figura 42 de NCh 1198).

Como una forma de agilizar la determinación de los espaciamientos, en la siguiente tabla se

presentan los valores redondeados que resultan de aplicar las restricciones señaladas

anteriormente.

Tabla I.4

Valores numéricos de D+Z , scp y sbn

Diámetro exterior espaciamiento entre conectores espaciamientos al borde

D scn =D+Z scp Sbn

mm mm mm mm

48 o 50 54 120 50

62 70 120 50

75 84 140 70

95 106 140 70

117 132 170 90

140 154 200 100

165 180 230 115

100*100 108 170 80

130*130 140 200 95

* espaciamientos al borde para espesores de madero no inferiores a 60 mm

En uniones desanguladas los espaciamientos mínimos, medidos según la dirección de la fibra de

los maderos, pueden estimarse por medio de un proceso de interpolación entre los valores

correspondientes de scp y scn.

La figura I.3 indica los espaciamientos mínimos entre conectores y al extremo "E", para una unión

inclinada entre un tijeral y vinculada por medio de piezas de acero a una columna, en función de

la desangulación α entre tijeral y la columna.



Figura I.3: Espaciamientos mínimos en uniones desanguladas

En lo siguiente se desarrollan las expresiones analíticas de los espaciamientos mínimos s1 y s2,

medidos según la dirección de la fibra, según las designaciones de la figura 3.

columna de acero traccionada: columna de acero comprimida:

s1 = sp s1 = sp - 0,5* sp *

s2 = scn + (sp - scn)* s2 = scn + (sp - scn)*

Casos especiales:

α Columna de acero traccionada Columna de acero comprimida

S1 S2 S1 S2

90° Sp scn sp scn

135° Sp 0,5*(scn + sp) 0,75*sp 0,5*(scn + sp)

180° Sp sp 0,5*sp sp

a - 90

90

a - 90

90



10. Cuando la capacidad de carga de diseño no se aprovecha completamente, se pueden

reducir proporcionalmente los espaciamientos medidos según la dirección de la fibra. La forma

más rápida de calcular el grado de aprovechamiento de la capacidad de carga de diseño es

evaluando el cuociente entre la cantidad de conectores requerida, nij,req , (habitualmente un

número fraccionado), y la cantidad de conectores efectivamente decidida, nij,ef, (un número

entero). En ningún caso las reducciones de espaciamientos pueden ser superiores al 25%.

11. Especificar los diámetros de pernos y dimensiones de arandelas correspondientes al

calibre de conector utilizado, respetando las indicaciones de la Tabla I.5.

Tabla I.5

Tipo diámetro

conector

diámetro

perno

lado

arandela

(cuadrada)

diámetro

arandela

(circular)

espesor

arandela

debilitamiento

transversal

D d a da ta A

mm pulgada mm mm mm cm2

circular 48 o 50 1/2 50 55 5 0,9

62 1/2 50 55 5 2,0

75 5/8 60 65 6 2,6

95 5/8 60 65 6 4,7

117 3/4 70 80 8 6,9

140 7/8 95 105 8 8,7

165 7/8 95 105 8 11,0

cuadrado 100 3/4 70 80 8 2,7

130 7/8 95 105 8 4,5

12. En las piezas de madera traccionadas cabe verificar la tensión efectiva de tracción,

considerando la fuerza solicitante, la sección transversal bruta que resulta de deducir los

conectores (ver Tabla 5), y el factor de concentración de tensiones kct definido en Tabla 19 de la

Sección 7.4.3 de NCh 1198 modificado para el caso de conectores de hinca ( 0,60 para madera

aserrada y 0,70 para madera laminada encolada ), aplicable sobre la tensión admisible de

tracción paralela a la fibra de la madera.



UTILIZACION DE CONECTORES Tipo C UNILATERALES

Los conectores unilaterales se emplean preferentemente para uniones de madera con piezas de

acero, sean estas planchas o cubrejuntas. Es necesario verificar que el espesor de las piezas de

acero asegure una rigidez flexional suficiente como para evitar efectos de volcamiento. En la

tabla 6 se indican espesores mínimos, que al ser respetados aseguran el cumplimiento de la

exigencia anterior. Las piezas de acero deben cubrir completamente la superficie del conector.

Tabla I. 6

Espesor mínimo para cubrejuntas de acero en uniones con conectores de hinca Tipo C

unilaterales.

Diámetro o lado del conector (mm) espesor mínimo (mm)

48 o 50; 62 5

75 y 95 6

110 y 117 8

130; 140 y 165 10

Los agujeros en las cubrejuntas se deben perforar con el diámetro Di de Tabla I.2. Para piezas que

se galvanizan con posterioridad a la perforación se acepta un agujero equivalente al diámetro de

perno incrementado en 1 mm.

La zona roscada del perno puede quedar incorporada en la cubrejunta, en la medida que la

proyección de la zona lisa del vástago no sea inferior a 4 mm, para los conectores de diámetro o

lado no superior a 117 mm, o a 6 mm, para los calibres superiores.

Si por alguna razón excepcional no se cumpliera la restricción anterior y con el propósito de

controlar la posibilidad de deformaciones excesivas, las capacidades admisibles de carga de los

conectores se deben reducir en un 50%.

Referencias:

NCh 1198. OF 2006. Madera - Construcciones en madera - Cálculo

DIN 1052 Teil 2, “Holzbauwerke; Mechanische Verbindungen". Brüninghoff et Al. "Eine

ausführliche Erläuterung zu DIN 1052 Teil 1 bis Teil 3.Ausgabe April 1988" Beuth. Bauverlag 1.

Auflage 1989.



Figura I.4: Conectores Tipo C bilaterales

Figura I.5: Conectores Tipo C unilaterales



ANEXO J: Cargas inducidas por el hormigón fresco sobre los moldajes

(American Concrete Institute EEUU)

Presiones sobre columnas, p [kN/m2]

p = min 7,181+1.413,3* R

1,8*T + 32

æ

è ç

ö

ø ÷ ;144; 24 * h

ì í î

ü ý þ

R velocidad de vaciado [ m/h ]

T temperatura hormigón [ ° C ]

h altura de hormigón fresco sobre el punto considerado [ m ]

(para velocidades de vaciado de hasta 2,1 m/h considerar h=2,70 m; para velocidades de

vaciado superiores considerar

h = 1,5* R[m] )

Presiones sobre paredes, p [kN/m2]

R ≤ 2,13 m/h

p = min 7,181+1.413,3* R

1,8*T + 32

æ

è ç

ö

ø ÷ ; 95,75;24 * h

ì í î

ü ý þ

2,13< R ≤ 3,05 m/h

p = min 7,181+2.078

1,8*T + 32+

439,7* R

1,8*T + 32

æ

è ç

ö

ø ÷ ; 95,75;24 * h

ì í î

ü ý þ

R > 3,05 m/h

p= 24 * h

Peso de diseño para el hormigón (incluye enfierraduras) en el diseño de moldajes de losas, q

[kN/m2]

q= 26* t + 2,4 uso de equipos de transporte no motorizados

q= 26* t + 3,6 uso de equipos de transporte motorizados

t: espesor de losa [ m ]

Control de deformación (asume condición de viga continua sobre dos tramos)

d =q* L4

184,6* E * I£

L

360£ 6,4 mm



Fórmulas para diseño de moldajes:

tensiones de flexión:

viga continua sobre 2 tramos : f f =q* L2

8* KW

viga continua sobre 3 tramos : f f =q* L2

10* KW

L: distancia entre ejes de apoyos

tension de cizalle interlaminar : fcz =Vap, i *Q

b* I

viga continua sobre 2 tramos

Vap, i = 0,5*1,25*q*L2

fcz = 0,625*q* L2 *Q

b* I


fcz = 0,6*q* L2 *Q

b* I

L2: separación libre entre apoyos

Control flecha:



L3 = separación libre + 6,5 mm b = 41 mm

L3 = separación libre + 16 mm b = 90 mm

dQ =C*q* t2 * L2

2

105,833*0,91* E* I

C = 120 para tableros dispuestos con fibra cara normal a líneas de apoyo

C = 60 para tableros dispuestos con fibra cara paralela a líneas de apoyo

d £ L 360

d f =q* L3

4

145,25* E* I

h =1,5 kN / m



Moldajes de muros

Exigencia ACI: Para h ≥ 2,40 m, considerar la situación más desfavorable entre:

- h =1,5 kN / m actuando en el borde superior, normal al muro en ambos sentidos,

- presión de viento: 0,5 kPA normal al muro



ANEXO K: Erratas consideradas en la revisión de la norma a oficializarse

como NCh 1198.Of 2014

Página 22

Línea 20

Dice: CVE ¾ ≤ 0,11

Debe decir: CVE ≤ 0,11

Línea 22

Dice: lV =lV *h

b2

Debe decir: lV =lV *h

b2£ 50

Página 38

Última línea

Dice: Tabla 53

Debe decir: Tabla 46

Página 53

Línea 14

Dice: lef se puede calcular

Debe decir: lef se debe calcular



Página 80

Tabla 26

Línea 3

Dice: Pernos, tirafondos, pasadores y clavos

Debe decir: Pernos, tirafondos, pasadores, tornillos y clavos

Página 83

Línea 1

Dice: Am y As

Debe decir: Ac y Al

Eliminar último párrafo: “En el extremo de las piezas traccionadas, unidas mediante pernos …

… en los extremos de piezas traccionadas.”

Página 84

Figura 22 (inferior)

En el gramil horizontal

Dice: g

Debe decir: sp



Página 86

Figura 23

Dice:

Debe decir:

Página 90

Sección d) Eliminar desde “La penetración mínima de la zona roscada del vástago……, hasta se

debe reducir mediante el factor de modificación, Kpct, de expresión:

Kcpt =p

8* D”



Página 92

Sección f) Eliminar desde “La penetración de atornillado p, en mm, ……, hasta se debe reducir

mediante el factor de modificación, Kpct, de expresión:

Kcpt =p

8* D”

Página 95

Sección f) Reemplazarla por:

Para efectos de cálculo no se aceptan penetraciones efectivas, p, inferiores a 6*D, en uniones de

cizalle simple o inferiores a 4*D en uniones de cizalle múltiple.

Si p < 8*D en uniones de cizalle múltiple, la capacidad admisible de carga de la sección de clavo

adyacente a la punta se debe reducir mediante el factor de modificación, Kpct, de expresión:

Kcpt =p

8* D.

Página 107

Tabla 35

Fila 3, Columna 2

Dice: Modo Il

Debe decir: Modo Il:

Línea 7

Dice: longitud de apoyo del pasador en la pieza principal, mm

Pel =2*D* l l *Rap,l

2*Ka

Pel =2*D* l l *Rap,l

FA



Debe decir: longitud de apoyo del medio de unión en la pieza principal, mm

Línea 8

Dice: longitud de apoyo del pasador en la pieza lateral, mm

Debe decir: longitud de apoyo del medio de unión en la pieza lateral, mm

Página 109

Párrafo 9.6.2.2.1

Línea 8:

Eliminar la frase: Para pasadores se acepta incrementar el valor de Rap en un 20 %.

Página 112

Párrafo 9.6.2.7.2

Agregar: Para se considera la proyección de la penetración de la punta del clavo en el madero

basal:

Página 119

Tabla 41

Línea 3

Dice: Grupos ES 6 y ES 5

Debe decir: Grupos ES 6 y ES 5 y Pino radiata

lc

p*cos30



Página 172

Línea 4

Dice:

Debe decir

Página 133

Párrafo 9.10.13, Línea 5

Dice: respectivamente:

Fca,dis =Fcp,dis * Fcn,dis

Fcp,dis *sen2a + Fcn,dis *cos2 a

Debe decir: respectivamente, debiendo reducirse el primero de ellos, de acuerdo con lo

especificado en 7.3.4.2, en un 25 %:

Fca,dis =0, 75* Fcp,dis *Fcn,dis

0, 75* Fcp,dis *sen2a + Fcn,dis *cos2 a

Página 150

Anexo A

Eliminar e los Grupos E6 y ES5 la especie Pino Insigne

lp

c = 2* h*1 1+ 0,4 *c

lp

c = 2* h* 1+ 0,4 *c



Página 172

Sección K.6, línea 4

Dice: lp

c = 2*h*1 1+ 0, 4*c

Debe decir: lp

c = 2*h* 1+ 0, 4*c

Página 199

Párrafo 5, Línea 4

Dice: 330 MPa ¾ Ff ¾ 956 MPa

Debe decir: 330 MPa ≤ Ff ≤ 956 MPa

Página 206

Línea 15

Dice: ancho efectivo de unión, en cm

Debe decir: ancho efectivo de unión, en mm

Página 208

Línea 21

Dice: f1(a/H)

Debe decir: f1(a/h)



Página 164

Anexo H

Actualizar párrafos y tabla H.1

Factor de modificación por temperatura.

Los valores admisibles deben multiplicarse por los factores de modificación por temperatura,TK ,

en Tabla H.1 para piezas estructurales de madera que experimentarán una exposición sostenida a

temperaturas elevadas de hasta 66°C.

Tabla H.1: Factor de modificación por temperatura, tK (NDS for Wood Construction 2006)

Propiedad CH de servicio T £ 38°C 38°C< T £ 52°C 52 < T £ 66°C

Ft, E, Ek Seco o verde 1 0,9 0,9

Ff , Fciz, Fcp y Fcn Seco (H≤19%) 1 0,8 0,7

Verde (H>19%) 1 0,7 0,5

OFICINA DIAGUITAS

Km 5 costado aeródromo La Florida, La Serena

Fono / Fax: (56-51) 543627

SEDE METROPOLITANA

Sucre 2397, Ñuñoa, Santiago

Fono: (56-2) 23667100. Fax: (56-2) 23667131

SEDE BIO BIO

Camino a Coronel km 7,5, San Pedro de la Paz, Concepción

Fono / Fax: (56-41) 2853260

SEDE VALDIVIA

Fundo Teja Norte s/n, Valdivia

Fono: (56-63) 218968

OFICINA PATAGONIA

Camino Coyhaique Alto km 4, Coyhaique

Fono: (56) 98831860

www.infor.cl

www.construccionenmadera.cl

Documents

ejemplos de cálculo estructural en madera