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jemplos de Diseño Sismico para Sistemas de Piso de Edificios de Concreto Reforzado
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Camino Fuentes Brotantes No.72
Santa Ursula Xitla, Tlalpan
CP 01420, Mxico, DF
T (01 55) 40991258
EJEMPLOS DE DISEO SSMICO
PARA SISTEMAS DE PISO
DE EDIFICIOS
DE CONCRETO REFORZADO
Mario E. Rodriguez
Miguel A. Torres Matos
Mxico D.F., Febrero 2014
2
PREFACIO
La intencin de la seccin 8.4, Apndices, de las actuales Normas Tcnicas Complementarias por Sismo (NTCS) es el resolver el problema de la evaluacin y empleo
de las aceleraciones absolutas horizontales de pisos en edificios para el diseo ssmico de
sus diafragmas, as como el empleo de estas aceleraciones en elementos apndices en los pisos. Sin embargo, el contenido de esta seccin se debe mejorar tanto en su redaccin
como en el procedimiento de diseo de pisos propuesto. La seccin 8.4 no menciona en
forma clara que todos los sistemas de piso de edificios en zonas ssmicas se deben revisar y
disear para resistir fuerzas ssmicas horizontales. As mismo, es recomendable que el
procedimiento de evaluacin de estas fuerzas deben ser revisadas con base en resultados de
investigaciones recientes. Adems, las Normas Tcnicas Complementarias para Estructuras de Concreto Reforzado no dan criterios especficos de diseo ssmico de sistemas de piso.
En la prctica profesional de la ingeniera estructural del pas, no se lleva a cabo el diseo
ssmico de las losas para fuerzas de inercia en su plano. En particular, es preocupante los
casos de sistemas de piso de edificios construidos con firmes de concreto colados en sitio
en estructuras prefabricadas o sistemas de piso novedosos, en los cuales en general no se
hace la revisin por sismo de sistemas de piso para resistir fuerzas inerciales horizontales.
En estudios de ensayes ante cargas laterales y en mesa vibradora de edificios prefabricados
llevados a cabo en el Instituto de Ingenieria de la UNAM, se ha observado la fractura de la
malla de refuerzo de los firmes de los sistemas de piso de estos edificios. En esos casos las
mallas de refuerzo se disearon siguiendo la prctica en Mexico de disear la malla, considerando slo cambios volumtricos (contraccin y temperatura).
En ensayes en mesa vibradora de la Universidad de California, San Diego, de un edificio de
concreto prefabricado de tres niveles, se observ la necesidad de un firme en el sistema de
piso prefabricado, ya que para la solucin de un sistema de piso sin firme, con conectores
metlicos, en ese caso en las alas de vigas prefabricadas tipo T, se observ fractura de estos conectores, de manera frgil.
Esto sugiere la necesidad de disear por sismo los sistemas de piso de edificios en
estructuras prefabricadas; sin embargo, en sistemas de piso convencionales, colados en
sitio, es posible que tambin sea necesario este tipo de diseo, particularmente en los casos
de sistemas de piso con aberturas, como es el caso cuando se dejan aberturas por ejemplo
para escaleras o elevadores no integrados a la estructura.
En la actualidad hay inters de quienes elaboran las normativas de diseo por sismo en el
pas de llevar a cabo cambios en las normativas vigente relacionado con el estudio de
diafragmas de piso. Patrocinada por la ANIVIP, en esta publicacin se presentan ejemplos
de diseo ssmico detallados, con base en estos cambios, que servirn como herramientas
tiles para llevar a cabo el Diseo de Sistemas de Piso en edificios de concreto, tanto prefabricados, como colados en sitio.
Mxico D.F., febrero 2014
3
Ing. Rafael Betancourt (PREMEX, ANIVIP)
Dr. Mario E. Rodrguez (MR Ingenieros Consultores en Estructuras)
Dr. Miguel A. Torres Matos (MR Ingenieros Consultores en Estructuras)
AGRADECIMIENTOS
La Asociacin Nacional de Industriales de la Vigueta Pretensada, ANIVIP, agradece la
colaboracin en la elaboracin y revisin del presente documento al comit de diafragmas
de la ANIVIP integrado por:
Dr. Amador Tern (UAM Azcapotzalco) Ing. Rafael Betancourt (Presidente ANIVP)
Dr. Mario Rodrguez (Instituto de Ingeniera UNAM) Ing. Andrs Bladinieres (Empresa Prefabricadora)
Dr. Oscar Lpez Batiz (CENAPRED) Ing. Fabin Muoz (Empresa Prefabricadora)
M. Ing. Ral Jean (Ex-presidente SMIE) M.Ing. Daniel Padilla (ANIVIP)
Ing. Oscar de la Torre (Ex-presidente SMIE) Ing. Arturo Gndara (Despacho Ingeniera Estructural)
M. Ing. Alvaro Prez (Vice-presidente SMIE) Ing. Armando Gallegos (Despacho Ingeniera Estructural)
4
ndice
EJEMPLOS DE DISEO SISMICO DE SISTEMAS DE PISO DE EDIFICIOS DE
CONCRETO REFORZADO...................................................................................................... 8
1. INTRODUCCIN .............................................................................................................. 8
2. PROPUESTA PARA LAS NTCS-2014 REFERENTE AL DISEO SSMICO DE
DIAFRAGMAS........................................................................................................................... 9 2.1 Diseo ................................................................................................................................ 9 2.2 Fuerzas ssmicas de diseo para diafragmas incluyendo cuerdas y colectores ............ 9
2.3 Diafragmas de transferencia ........................................................................................... 12 2.4 Factor de reduccin de fuerzas en el diafragma, Rs ...................................................... 12
3. EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO QUE SE ESTUDIAN .............................. 12
4. EJEMPLO 1 .......................................................................................................................... 13
ANLISIS Y DISEO POR SISMO DEL SISTEMA ESTUCTURAL
SISMORRESISTENTE DE UN EDIFICIO DE 20 NIVLES DE ACUERDO CON EL
REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). SISTEMA DE PISO
PREFABRICADO .................................................................................................................... 13 4.1.1 Datos Generales del edificio ....................................................................................... 13 4.1.2 Anlisis de cargas ........................................................................................................ 15
4.1.3 Modelo de edificio de 20 niveles ................................................................................ 16 4.1.4 Anlisis ssmico del edificio de 20 niveles ................................................................ 16
4.1.4.1 Resultados del anlisis ssmico ........................................................................... 17
4.1.4.2 Distorsiones de entrepiso ..................................................................................... 17 4.1.4.3 Cortantes de entrepiso .......................................................................................... 19 4.1.4.4 Revisin del cortante basal .................................................................................. 20
4.2 OBTENCIN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEO DE LOS
DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO............................................................................................. 21 4.2.1 Espectros inelsticos de acuerdo con la NTCSismo 2004. ....................................... 21
4.2.2........................................................................................................................................ 22 Fuerzas inerciales en el diafragma del edificio de nivel azotea obtenidas con el
procedimiento propuesto ...................................................................................................... 22
4.2.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las NTC-S (2004), Seccin 8.4 . 24 4.3 EJEMPLO DE DISEO POR SISMO DEL SISTEMA DE PISO DEL EDIFICIO EN
ESTUDIO .................................................................................................................................. 26
4.4 EVALUACION DE ELEMENTOS MECNICOS CRTICOS EN UN DIAFRAGMA
TPICO DEL EDIFICIO EMPLEANDO EL METODO DEL PANEL Y BARRA (PANEL-
STRINGER) PARA EL CASO DE SISMO EN Y .................................................................. 27
4.4.1 Fuerzas y equilibrio en el panel y barras del elemento panel-barra ......................... 29 4.4.2 Clculo de las fuerzas cortantes actuantes en los paneles del diafragma ................. 30 4.4.3 Clculo de las fuerzas normales en las barras de los paneles del diafragma. .......... 34
4.5.1 Diseo del diafragma empleando acero de refuerzo grado 4200. ............................ 36
5
4.5.2 Diseo del diafragma nivel azotea del edificio con sistema de piso prefabricado.
Empleo de malla electrosoldada........................................................................................... 37
4.6 REVISIN POR FLEXO-TRACCIN DE LAS TRABES EN EL DIAFRAGMA
NIVEL AZOTEA ...................................................................................................................... 38 4.6.1 Traccin mxima que de acuerdo con el procedimiento aproximado se puede
ignorar en trabes en flexo-traccin....................................................................................... 39 4.7 DISEO DE LA UNIN FIRME-MURO ESTRUCTURAL ........................................ 40 4.8 EMPLEO DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL DISEO DE
DIAFRAGMA DEBIDO A LA ACCION DE FUERZAS INERCIALES ........................... 43 4.9 EMPLEO DEL METODO DEL PUNTAL Y TIRANTE PARA LA EVALUACIN
DE FUERZAS INTERNAS EN EL DIAFRAGMA DEBIDO A LA ACCION DE
FUERZAS INERCIALES ........................................................................................................ 44 4.10 CLCULO DE ELEMENTOS MECNICOS (CORTANTES Y FUERZAS
NORMALES) EMPLEANDO EL MTODO DEL PANEL Y BARRA EN LA ZONA DE
DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA CON ABERTURAS DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES
CON SISTEMA DE PISO PREFABRICADO ....................................................................... 49 4.11 REVISIN POR FLEXOTRACCIN DE TRABES .................................................... 59
4.11.1 Caso en el que se emplea firme con refuerzo convencional ................................... 59 4.11.2 Caso en el que se emplea firme con refuerzo de malla electrosoldada .................. 65
4.12 ANLISIS EN LA DIRECCIN X ................................................................................ 70
4.12.1 Elemento mecnicos en zona del diafragma con aberturas debido a fuerzas en la
direccin X. ........................................................................................................................... 74 4.12.2 Revisin de paneles para el caso de refuerzo del firme con acero grado 4200 ..... 75
4.12.3 Revisin del diseo de por flexo-traccin en la zona de aberturas del diafragma 77 4.12.4 Caso con refuerzo convencional en el firme ............................................................ 79 4.12.5 Caso con refuerzo de malla electrosoldada en el firme ........................................... 80
4.13 CLCULO DE FUERZAS SISMICAS EN EL PLANO DEL DIAFRAGMA
EMPLEANDO UN PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO .................................................. 83 4.13.1 Comentarios ............................................................................................................... 85
5. EJEMPLO 2 .......................................................................................................................... 86 ANLISIS Y DISEO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
SISMORRESISTENTE DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES DE ACUERDO CON EL
REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). CASO DEL
EDIFICIO CON LOSA MACIZA COLADA EN SITIO ...................................................... 86 5.1 ANLISIS DE CARGAS .................................................................................................. 86
5.2 ANLISIS SSMICO DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA ....... 87 5.2.1 Resultados del anlisis ssmico del edificio con losa maciza ................................... 87
5.2.1.1Distorsiones de entrepiso ...................................................................................... 87
5.2.2 Cortantes de entrepiso ................................................................................................. 89 5.2.3 Revisin del cortante basal.......................................................................................... 90
5.3 OBTENCIN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEO DE LOS
DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA ....................... 91 5.3.1 Espectros inelsticos de acuerdo con el Apndice de la NTCSismo 2004. ............. 91 5.3.2 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con el procedimiento propuesto ....... 92
5.3.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las NTC-S (2004), Seccin 8.4 . 92
6
5.4 DISEO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES
CON LOSA MACIZA. FUERZAS SISMICAS EN LA DIRECCIN Y. EMPLEANDO
REFUERZO CONVENCIONAL ............................................................................................ 94 5.5 DISEO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO
RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA .................................................. 94
5.5.1 Diseo de paneles ........................................................................................................ 94 5.6 DISEO DE LA UNIN FIRME-MURO ESTRUCTURAL ........................................ 95 5.7 REVISIN DEL REFUERZO REQUERIDO EN LA LOSA DEBIDO A CARGAS DE
GRAVEDAD ............................................................................................................................. 96 5.9 REVISIN POR FLEXO-TRACCIN DE TRABES .................................................... 97 5.11 COMPARATIVA DE VOLUMENES DE CONCRETO (m
3) Y ACERO DE
REFUERZO (kg) REQUERIDOS PARA LOS SISTEMAS DE PISO PROPUESTOS ... 105
6. EJEMPLO 3 ........................................................................................................................ 107
ANLISIS Y DISEO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
SISMORRESISTENTE DE UN EDIFICIO DE 8 NIVELES DE ACUERDO CON EL
REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). CASO LOSA
PREFABRICADA LOSA TUBULAR .................................................................................. 107 6.1 ANLISIS DE CARGAS ................................................................................................ 107 6.2 ANLISIS SSMICO DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES CON LOSA TUBULAR .... 108
6.2.1 Resultados del anlisis ssmico ................................................................................. 109 6.2.2 Distorsiones de entrepiso .......................................................................................... 109 6.2.3 Cortantes de entrepiso ............................................................................................... 110
6.2.4 Revisin del cortante basal........................................................................................ 111 6.3 OBTENCIN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEO DE LOS
DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES .............................................................. 111
6.3.1 Espectros inelsticos de acuerdo con la ntc sismo 2004. ........................................ 111 6.3.2 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con el procedimiento propuesto ..... 112 6.3.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las ntc-s (2004), seccin 8.4 .... 112
6.4 DISEO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO CON LOSA
TUBULAR .............................................................................................................................. 114 6.5 DISEO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO
RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA ................................................ 114 6.5.1 Diseo de paneles ...................................................................................................... 114 6.6 Diseo de la unin firme-muro estructural ................................................................. 115 6.7 VERIFICACIN POR CORTANTE EN la unin firme-muro, DEBIDO AL SISMO
EN LA DIRECCIN CRTICA (DIRECCIN Y) .......................................................... 116 6.8 REVISIN POR FLEXOTENSIN DE TRABES ................................................... 118 6.9 Anlisis en la direccin X ............................................................................................ 121
7. EJEMPLO 4 ........................................................................................................................ 125 ANLISIS Y DISEO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
SISMORRESISTENTE DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES DE ACUERDO CON EL
REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). EDIFICIO CON
LOSA MACIZA COLADA EN SITIO ................................................................................. 125
7.1 Anlisis de cargas ......................................................................................................... 125 7.2 Anlisis ssmico del edificio de 8 niveles con losa maciza ........................................ 126
7
7.2.1 Resultados del anlisis ssmico del edificio de 8 niveles con losa maciza ............ 126 7.2.2 Distorsiones de entrepiso .......................................................................................... 126
7.2.3 Cortantes de entrepiso ............................................................................................... 127 7.2.4 Revisin del cortante basal........................................................................................ 128 7.3.2 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con el mtodo propuesto ................. 129
7.3.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las ntc-s (2004), seccin 8.4 .... 130 7.4 DISEO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES
CON LOSA MACIZA ........................................................................................................ 131
7.5 DISEO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO
RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA ............................................ 132 7.5.1 Diseo de paneles ...................................................................................................... 132
7.6 Diseo de la unin firme-muro estructural ................................................................. 133 7.7 VERIFICACIN POR CORTANTE EN la unin firme-muro, DEBIDO AL SISMO
EN LA DIRECCIN CRTICA (DIRECCIN Y) .......................................................... 133
7.8 REVISIN DEL REFUERZO REQUERIDO EN LA LOSA DEBIDO A CARGAS
DE GRAVEDAD ................................................................................................................ 134 7.9 REVISIN POR FLEXOTENSIN DE TRABES ................................................... 134
7.10 Anlisis en la direccin X .......................................................................................... 137
REFERENCIAS ...................................................................................................................... 139
8
EJEMPLOS DE DISEO SISMICO DE SISTEMAS DE PISO DE
EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO
1. INTRODUCCIN
En la prctica del diseo ssmico de edificios en Mxico es usual que no se revise por sismo
la seguridad estructural de sistemas de piso, tanto en edificios convencionales colados en
sitio, como en edificios en los que se emplea elementos prefabricados de concreto. Algunos
eventos ssmicos ocurridos de diferentes lugares del mundo, as como resultados
experimentales recientes sugieren que esta prctica debe de cambiar. El ignorar el diseo
por sismo de sistemas de piso en edificios, en buena parte se debe a vacos importantes
existentes en la normativa actual para la construccin de edificios, como por ejemplo en la
existente para el Distrito Federal, la cual se emplea no slo en este lugar, sino tambin en
diversos estados de la Repblica, dado que no existe una normativa de construccin a nivel
nacional. Ante esta situacin, ANIVIP encarg a MR Ingenieros Consultores en
Estructuras la elaboracin de una propuesta de diseo de sistemas de piso en edificios para
resistir fuerzas inerciales. Esta propuesta fue elaborada considerando el avance del estado
del arte sobre el problema, esto es investigaciones sobre el tema a nivel internacional, y fue
revisada por un grupo de profesionales convocados por ANIVIP, antes de ser entregado en
2012 a los comits respectivos encargados de la actualizacin de las Normas Tcnicas para
el Distrito Federal, en particular los referentes a Sismo y Estructuras de Concreto.
Como continuacin de este esfuerzo, ANIVIP encarg a MR Ingenieros la elaboracin de
ejemplos especficos de diseo de sistemas de piso para resistir fuerzas inerciales,
empleando como referencia la propuesta de 2012 anteriormente mencionada, estos
ejemplos se terminaron en 2012. Sin embargo, estos ejemplos fueron modificados por MR
Ingenieros en 2014 para tomar en cuenta la propuesta de cambio en la normativa de diseo
ssmico diafragmas de edificios en Estados Unidos, elaborada a fines de 2013 por un
comit especializado por encargo de la Building Seismic Safety Committee (BSSC), y
recientemente aprobada para ser incluida en las recomendaciones de diseo ssmico 2014
de la BSSC. Miembros de este Comit para la BSCC fueron, entre otros, los Drs Jos
Restrepo de UCSD, S.K. Ghosh de S.K. Ghosh Asociados y Mario E. Rodrguez de MR
Ingenieros e Instituto de Ingeniera, UNAM. Especial mencin se debe hacer al trabajo
voluntario y productivo de este comit por alrededor de dos aos, presidido por el Dr S.K.
Ghosh.
En este trabajo se desarrollan ejemplos de diseo de sistemas de piso en edificios para
resistir fuerzas inerciales en su plano. Se estudian los casos de edificios de concreto
reforzado de 8 y 20 niveles, con sistema estructural del tipo dual, y ubicados en la zona del
lago del DF. El objetivo de los ejemplos que aqu se desarrollan es mostrar de manera
amigable el empleo de herramientas necesarias para llevar a cabo este diseo. Se hace
nfasis en este trabajo que el procedimiento propuesto es aplicable tanto a edificios de
concreto reforzado colados en sitio, como a edificios con elementos prefabricados de
concreto, por lo que los ejemplos que aqu se desarrollan resuelven ambos tipos de casos.
9
2. PROPUESTA PARA LAS NTCS-2014 REFERENTE AL DISEO SSMICO DE
DIAFRAGMAS
Esta propuesta fue elaborada tomando en cuenta la propuesta de cambio en la normativa de
diseo ssmico diafragmas de edificios en Estados Unidos, la cual fue elaborada a fines de
2013 por un comit especializado por encargo de la Building Seismic Safety Committee
(BSCC).
2.1 DISEO
Los diafragmas de un edificio incluyendo cuerdas, colectores y sus conexiones con los
elementos verticales se deben disear para resistir fuerzas ssmicas en el plano calculadas
con los requisitos de la seccin 2.2. Los colectores deben transferir las fuerzas ssmicas
que se originan en otras partes de la estructura a los elementos del sistema sismo-resistente
del edificio.
El diseo de diafragmas y su detallado debe tener la capacidad de transferir las fuerzas en
las discontinuidades del diafragma tales como aberturas para escaleras o elevadores y
esquinas en entrantes.
Las expresiones para el diseo ssmico de diafragmas que aqu se presentan emplean el
formato del Apndice A de las Normas Tcnicas Complementarias por Sismo para el DF
(NTCS, 2004). En las prximas NTCS para el DF el actual cuerpo principal de las NTCS
2004 desaparecer, y el cuerpo principal de estas nuevas normas tomarn el formato del
Apndice A de las NTCS 20004.
2.2 FUERZAS SSMICAS DE DISEO PARA DIAFRAGMAS INCLUYENDO
CUERDAS Y COLECTORES
Los diafragmas, cuerdas, colectores, se deben disear para resistir fuerzas ssmicas en el
plano, Fpx, dada por:
pxpx px
s
CF = w
R (2.1)
Donde Cpx es coeficiente de aceleracin de diseo del nivel x, wpx es el peso tributario al
diafragma del nivel x, Rs es el factor de reduccin de fuerzas elsticas en el diafragma, el
cual toma en cuenta la sobrerresistencia y capacidad de comportamiento inelstico del
diafragma. El parmetro Cpx se calcula empleando los parmetros Cp0 y Cpn, los que se
describen ms adelante, y su significado se ilustra en la Fig. 2.1, donde n es el nmero de
niveles del edificio. La relacin hx/hn representa la altura relativa.
En el presente trabajo se sugiere que las conexiones entre los elementos verticales en cada
nivel y el diafragma, se deben disear para resistir la fuerza RsFpx. Esta recomendacin se
basa en el concepto de que para el sismo de diseo es deseable el comportamiento
10
inelstico de los diferentes elementos estructurales, mientras que para las referidas
conexiones en diafragmas es deseable que no tengan comportamiento inelstico.
n2
0 Cpo Cpn
Cpx
hx /hn
n3
0 Cpo Cpn
Cpx
hx /hn
hx /hn > 0.8
hx /hn > 0.8
0
0.8
1.01.0
0
Figura 2.1. Envolvente de coeficientes de aceleraciones de piso para el clculo de los
coeficientes de aceleraciones Cp0 y Cpn, (a) Edificios con n2, (b) Edificios con n3.
La fuerza ssmica Fpx no debe ser menor que
Fpx = 0.5 ao wpx (2.2)
Los coeficientes de aceleracin de diseo Cp0 y Cpn se deben calcular con:
ap0 0C = (2.3)
a
Q
22
pn m1 m2 s2,C = + C (2.4)
El coeficiente Cs2 se debe calcular con el menor valor dado por las ecs (2.5) a (2.7)
0025o oa
na c a
T s2C = . ( )
(2.5)
cs2C = (2.6)
11
2
0025bTc pn
s2C =.
(2.7a)
0s2C = (2.7b) Para n= 1
Rigurosamente Cs2 se debe calcular empleando el espectro elstico de diseo con el periodo
correspondiente al segundo modo; sin embargo, es posible que el segundo modo calculado
con el programa de anlisis que se emplee corresponda en realidad no aun modo puramente
de translacin, sino a un modo rotacional o combinado con un modo de translacin, lo que
podra pasar inadvertido para el ingeniero que ejecuta este anlisis. Para evitar que esto
ocurra, en la derivacin de las ecs 2.5 a 2.7 se consider de manera simplista que el periodo
del segundo modo era del orden de la cuarta parte del valor del periodo del modo
fundamental.
Los factores de contribucin modal m1 y m2 en la ecs (2.4) se deben calcular con las ecs
(2.8) y (2.9)
s 11+ 1-2
m1
z =
n
(2.8)
y
10.9 1-
2
m2 s = zn
(2.9)
Donde el parmetro del sistema zs es igual a:
0.3 para edificios diseados con sistemas de marcos de acero con elementos restringidos
para el pandeo.
0.7 para edificios con sistemas de marcos.
0.85 para edificios con sistemas duales con marcos que deban resistir al menos el 25% de
las fuerzas ssmicas de diseo
1.0 para edificios diseados con otros sistemas sismo-resistentes no incluidos en la
clasificacin que aqu se considera.
12
2.3 DIAFRAGMAS DE TRANSFERENCIA
Los diafragmas de transferencia incluyendo cuerdas y colectores de stos, se deben disear
para las fuerzas obtenidas del anlisis ssmico del sistema sismo-resistente empleando el
coeficiente ssmico a Q,/ , y se deben sumar con las fuerzas obtenidas siguiendo las
secciones 2.1 y 2.2 para el nivel del diafragma de transferencia.
2.4 FACTOR DE REDUCCIN DE FUERZAS EN EL DIAFRAGMA, RS
El factor de reduccin de fuerzas en el diafragma, Rs, se debe tomar igual a 1 para sistemas
de piso donde se emplee malla electrosoldada, e igual a 2 cuando el refuerzo en el
diafragma sea de acero tipos ASTM 615 o ASTM 706, correspondientes a las normas
Mexicanas NMX-B-506-CANACERO-2011 y NMX-B-457-CANACERO-2013,
respectivamente. Esto se debe a que por su fragilidad, las mallas de refuerzo no pueden
tener un comportamiento inelstico deseable, como el que tiene las barras de refuerzo
convencionales, motivo por el cual se deben disear para un comportamiento elstico para
las fuerzas ssmicas de piso.
En diafragmas que tengan un rea de aberturas y/o reas libres originadas por entrantes que
sea 25% mayor que el rea de la planta del edificio en lugar del factor de 2 mencionado
para Rs se deber usar el factor 1.0. Los diafragmas en edificios de concreto prefabricado no
debern tener un rea de aberturas y/o reas libres originadas por entrantes que sea 25%
mayor que el rea de la planta del edificio.
3. EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO QUE SE ESTUDIAN
En los ejemplos que se desarrollan a continuacin se muestra el procedimiento de diseo de
sistemas de piso para resistir fuerzas inerciales en su plano en edificios de concreto
reforzado de 8 y 20 niveles ubicados en la zona de suelo blando de la ciudad de Mxico. Se
resuelven tanto los casos de sistemas de piso en edificios colados en sitio, por ejemplo losas
que se apoyan en las trabes del edificio, as como de sistemas de piso en estructuras de
concreto prefabricado. Para este ltimo caso se consider el sistema de viga tubular y
bovedilla.
13
4. EJEMPLO 1
ANLISIS Y DISEO POR SISMO DEL SISTEMA ESTUCTURAL
SISMORRESISTENTE DE UN EDIFICIO DE 20 NIVLES DE
ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL
DF (RCDF, 2004). SISTEMA DE PISO PREFABRICADO
4.1.1 DATOS GENERALES DEL EDIFICIO
La Fig 4.1 muestra la planta tpica del edificio estudiado de 20 niveles. La Fig 4.2 muestra
la elevacin de este edificio. Como se aprecia en la Fig. 4.1 en el piso tpico y azotea
existen zonas de aberturas para elevadores y escaleras, las que como posteriormente se
muestra, deben disearse para resistir las fuerzas inerciales en el plano del diafragma. El
edificio emplea el sistema estructural sismorresistente del tipo dual, es decir combinacin
de marcos y muros estructurales de concreto reforzado.
A B C D E F
5
4
3
2
1
8.5 8.5 8.5 8.5 8.5
8.5
8.5
8.5
8.5
Elevador
Escaleras
Elevador
2.5
3.5
PLANTA
2.5
4.0
6.0
8.5
8.5
x
y
Figura 4.1. Planta tpica del edificio de 20 niveles
14
8.4m
19 @
4.2
m
4 @ 8.5m
Figura 4.2. Elevacin eje C del edificio de 20 niveles
En la Fig. 4.3, se muestra un detalle de la viga tubular de 30 cm, bovedilla, y firme de 6 cm.
En este caso la separacin entre vigas tubulares es de 100 cm.
30
6
100 100
Viga tubularBovedilla de
poliestireno
P.p. Losa + firme 6cm = 270 kg/m2
Figura 4.3. Detalle de viga tubular de 30 cm, bovedilla, y firme de 6 cm
15
4.1.2 ANLISIS DE CARGAS
Piso tpico
Peso propio losa (Tubular, Manual PREMEX 2007) 270 kg/m2
Peso muerto por reglamento 40 kg/m2
Acabados 120 kg/m2
parapetos y muros divisorios 160 kg/m2
(Carga Muerta 320 kg/m2)
Wm (carga viva mxima) 170 kg/m2
Wa (carga viva accidental) 90 kg/m2
Azotea
Peso propio losa (Tubular, Manual PREMEX 2007) 270 kg/m2
Peso muerto por reglamento 40 kg/m2
Acabados, mortero, rellenos e impermeabilizantes 110 kg/m2
(Carga Muerta 150 kg/m2)
Wm (carga viva mxima) 100 kg/m2
Wa (carga viva accidental) 70 kg/m2
Tabla 4.1
MATERIALES
Concreto (Clase I)
f'c = 400 kg/cm2
Ec = 280000 kg/cm2
Acero de refuerzo principal
fy = 4200 kg/cm2
Es = 2000000 kg/cm2
Tabla 4.2 ELEMENTO ESTRUCTURAL DIMENSIONES
TRABES 50 x 80 cm
COLUMNAS 120 x 120 cm
LOSA TUBULAR h = 36 cm (viga tubular 30 cm,firme 6 cm)
MUROS h = 40 cm
16
4.1.3 MODELO DE EDIFICIO DE 20 NIVELES
La Fig 4.4 muestra una vista del modelo empleado con el programa ETABS (CSI, 2009)
para el anlisis ssmico del edificio de 20 niveles.
Figura 4.4. Vista en elevacin del modelo en ETABS
4.1.4 ANLISIS SSMICO DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES
El edificio analizado se considera ubicado en la zona del lago del DF con un periodo
dominante Ts=1.3 s. La Tabla 4.3 muestra los parmetros que definen el espectro ssmico
de diseo de acuerdo con el Apndice de las NTC Sismo, 2004, para la zona IIIa de la
zonificacin estipulada en las Normas Tcnicas Complementarias por Sismo (NTC Sismo,
2004).
Tabla 4.3 Parmetros que definen el espectro de diseo para un suelo con T s=1.3s
Ts(s) a0 C Ta (s) Tb (s)
1.3 0.22 1.0 0.72 1.6
17
El espectro de diseo elstico especificado por el Apndice de las NTC Sismo 2004 para
los casos de Ts=1s y Ts=1.3s se muestra en la Fig 4.5. En este espectro tambin se muestran
los periodos fundamentales en las direcciones X y Y del edificio. Para comparacin, esta
figura tambin muestra el espectro elstico para la zona IIIa segn el cuerpo principal de las
NTC Sismo 2004, considerando una amplificacin de estas ordenadas con los valores R=2
y R=2.5, segn la zona de periodos. Se aprecia que en la zona descendente del espectro en
los casos de la zona con Ts=1.3s y la zona IIIa, las ordenadas espectrales de ambos casos
son prcticamente iguales.
Se emplear un factor de comportamiento ssmico, Q, igual a 3. Sin embargo, la estructura
es irregular, no satisface los incisos 6.1.1 y 6.1.2 de las NTCSismo-2004, por consiguiente
el factor por irregularidad empleado es igual a 0.8, por lo que el factor de reduccin, Q, se consider igual a 0.8x3= 2.4. La Fig. 4.5 tambin muestra los valores de los periodos
fundamentales calculados para cada direccin del edificio.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 1 2 3 4
a (g
)
T (s)
Zona IIIa
Ts =1s
Ts=1.3s
Ty=2.24s
Tx=2.45
Figura 4.5. Espectro elstico de diseo para la zona del lago con Ts=1s, 1.3s, Apndice, y
para la zona IIIa, del cuerpo principal de NTCSismo-2004 (con R=2 2.5)
4.1.4.1 Resultados del anlisis ssmico
Regla de combinacin modal empleada: CQC
Combinacin direccional: 100% (Sx|Sy)+30%(Sy|Sx)
4.1.4.2 Distorsiones de entrepiso
La Tabla 4.4 muestra las distorsiones de entrepiso calculadas para el edificio en cada
direccin. Estas distorsiones se grafican en la Fig 4.6.
18
Tabla 4.4 Distorsiones calculadas de entrepiso Nivel Distorsin X Distorsin Y
20 0.003663 0.004701
19 0.004095 0.005247
18 0.004683 0.005871
17 0.00531 0.006528
16 0.005934 0.007179
15 0.006534 0.007809
14 0.007101 0.008397
13 0.007626 0.008943
12 0.008157 0.009435
11 0.008652 0.009873
10 0.009096 0.010245
9 0.009483 0.010542
8 0.009801 0.010749
7 0.010026 0.010839
6 0.010131 0.010836
5 0.010071 0.010707
4 0.00978 0.010347
3 0.009159 0.009669
2 0.008058 0.008496
1 0.00471 0.004911
0 0 0
MAX 0.0101 0.0108
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Niv
el
Distorsin (m/m)
U X
U Y
Figura 4.6. Distorsiones calculadas para el edificio de concreto prefabricado de 20 niveles
19
4.1.4.3 Cortantes de entrepiso
La Tabla 4.5 muestra los valores de los cortantes calculados para el edificio, y la Fig 4.7
muestra de manera grfica estos cortantes.
Tabla 4.5. Cortantes calculados para el edificio
Nivel Vx (t)
Vy (t)
20 180.13 201.42
19 391.96 442.69
18 578.21 658.97
17 744.24 854.87
16 893.38 1033.12
15 1028.12 1195.8
14 1150.72 1344.89
13 1263.01 1482.03
12 1366.66 1608.74
11 1463.15 1726.36
10 1553.59 1835.88
9 1638.75 1937.97
8 1719.01 2032.87
7 1794.23 2120.41
6 1863.83 2199.95
5 1926.81 2270.51
4 1981.76 2330.8
3 2026.98 2379.32
2 2060.78 2414.70
1 2084.74 2438.91
0 2084.70 2438.90
MAX 2084.7 2438.90
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Niv
el
Cortante de entrepiso (t)
Vx
Vy
Figura 4.7. Cortantes mximos calculados para el edificio
4.1.4.4 Revisin del cortante basal
La Tabla 4.6 muestra algunos parmetros necesarios para el clculo de los cortantes basales
mximos del edificio. Los valores de cortante basales calculados con el mtodo dinmico
modal espectral cumplen con el requisito de ser mayor que el 80% del cortante calculado
por el mtodo esttico.
Tabla 4.6. Parmetros para el clculo de cortantes basales mximos.
Direccin
X Direccin
Y
Periodo (s) 2.45 2.24
C (g) 0.090 0.107
Peso (t) 26729 26729
V ESTATICO = CW (t) 2406 2860
V DINAMICO (t) 2084.7 2438.9
V DINAMICO/V ESTATICO 0.87 0.85
21
4.2 OBTENCIN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEO DE LOS
DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO
4.2.1 ESPECTROS INELSTICOS DE ACUERDO CON LA NTCSISMO 2004.
La Fig 4.8 muestra los espectros elsticos e inelsticos de diseo para el edificio de 20
niveles de acuerdo con el Apndice A, se indica adems en la grfica el valor del periodo
mostrado en la Tabla 4.7. Para comparacin, tambin se muestra los espectros elstico e
inelstico este ltimo calculado con el factor Q que se indica en la Tabla 4.8.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
a (g
)
T (s)
Zona IIIa Reducido(QR) Apendice_Ts=1.3s
Ty=2.24s Tx=2.45 IIIa_Reducido(Q)
Figura 4.8. Espectros elsticos y reducidos de diseo de acuerdo con el Apndice
(Ts=1.3s), y con el cuerpo principal del RCDF-2004 para la zona IIIa
Tabla 4.7. Periodo fundamental en la direccin Y del edificio
Sentido Y Periodo
(s)
1 2.24
Para la evaluacin del espectro de aceleraciones de acuerdo con el cuerpo principal del
RCDF en su NTC-Sismo (2004) se emple la ecuacin (3.1) de estas Normas, lo que llev
a los valores de la Tabla 4.8..
Tabla 4.8. Parmetros del espectro de diseo
ao a Q' R a / Q'
Cuerpo Principal. 0.1 0.258 2.4 2.5 (implcito) 0.108
22
4.2.2 FUERZAS INERCIALES EN EL DIAFRAGMA DEL EDIFICIO DE NIVEL
AZOTEA OBTENIDAS CON EL PROCEDIMIENTO PROPUESTO
El procedimiento que aqu se sigue para la valuacin de las fuerzas inerciales de los
diafragmas del edificio en estudio es el descrito en el Captulo 2 de este trabajo. Los
parmetros necesarios para la evaluacin de estas fuerzas en el edificio en estudio de 20
niveles (n=20) son los siguientes:
Parmetro Cpo :
De la ec A.2 de las NTC Sismo 2004 se tiene
0 s sa =0.1+0.15(T -0.5) si 0.5 T 1.5 s
Reeplazando en la ec anterior Ts=1.3 s se tiene
ao=0.22
en la ec 2.3
Cpo =ao = 0.22
Parmetros m1 y m2:
de las ecs 2.8 y 2.9:
s 1 11+ 1- 1-2 2
m1
z . = .
n 20
0851 14
1 10.9 1- 1-
2 2
m2 s = z . * . * .n 20
09 085 069
Coeficiente Cs2
El coeficiente Cs2 se debe calcular con el menor valor dado por las ecs (2.5) a (2.7). De la
ec 2.5 y empleando los valores de la Tabla 4.3:
s2C = . ( ) . . * * ( . . ) ..
o oa
na c a
T
200025 022 0025 10 022 076
072
de la ec 2.6:
s2C = c 1
La ec 2.7a, mostrada anteriormente, es la siguiente:
s2C =.
bTc pn
2
0025 (2.7a)
El valor de k requerido para el cmputo de p segn la ec A.6 del Apndice A es: k = . . s sT si T s2 05 16
k= 2-1.3=0.7
El valor de p segn la seccin A.3 del Apndice A y las Tablas 4.3 y 4.7 es
.p = ( ) . ( . ) .
.
bTk kT
2 216
1 07 1 07 085224
23
Reemplazando valores en la ec 2.7a,
s2
.C = . * . * .
. . *
bTc pn
2 216
10 085 870025 0025 20
Empleando el menor valor para Cs2 se obtiene
Cs2= 0.76
Coeficiente Cpn
La ec 2.4 del Captulo 2 es:
a
Q
22
pn m1 m2 s2,C = + C (2.4)
En la ec 2.4 se requiere el valor de a , definido por la ec A.1 del Apndice A:
.a = * . * . * .
.
bTc pT
2 216
1 10 085 0 43224
De acuerdo con la ec A.9 del apndice A, el valor de Q es:
Q' =
.Q' = .
.
b
pQ si T T
k
x
1 1
1 0851 3 1 32
07
Considerando las condiciones de irregularidad en el edificio:
Q= 0.8 x 3.2 = 2.6
Reemplazando valores en la ec 2.4 se tiene
2
2
pn m1 m2 s2,
.C = + C . * . * . . . .
.
a
Q
22043
14 069 076 0036 0277 05626
La fuerza inercial mnima en el diafragma est dada por la ec. 2.2
Fpx = 0.5 ao wpx de donde Fpx/ wpx = 0.5 ao
Fpx/ wpx = 0.5x0.22 = 0.11
La Tabla 4.9 muestra resultados obtenidos con el procedimiento propuesto para el clculo
de las fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la direccin Y.
24
Tabla 4.9. Fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la direccin Y obtenidos con
el procedimiento de clculo propuesto
Nivel hi (m) hi / H Masa Peso
w (t/m2) Cpx
Fpx/Wpx (Rs=1)
Fpx/Wpx (Rs=2) (t.s
2/m) (t)
NIVEL 20 88.2 1.00 111.18 1090.7 0.94 0.56 0.56 0.28 NIVEL 19 84 0.95 136.85 1342.5 1.16 0.48 0.48 0.24 NIVEL 18 79.8 0.90 136.85 1342.5 1.16 0.40 0.40 0.20 NIVEL 17 75.6 0.86 136.85 1342.5 1.16 0.32 0.32 0.16 NIVEL 16 71.4 0.81 136.85 1342.5 1.16 0.24 0.24 0.12 NIVEL 15 67.2 0.76 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 14 63 0.71 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 13 58.8 0.67 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 12 54.6 0.62 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 11 50.4 0.57 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 10 46.2 0.52 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 9 42 0.48 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 8 37.8 0.43 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 7 33.6 0.38 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 6 29.4 0.33 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 5 25.2 0.29 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 4 21 0.24 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 3 16.8 0.19 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 2 12.6 0.14 136.85 1342.5 1.16 0.22 0.22 0.11 NIVEL 1 8.4 0.10 150.19 1473.36 1.27 0.22 0.22 0.11
BASE 0 0
0.22 0.22 0.11
2724.67 26729.06
4.2.3 FUERZAS INERCIALES EN DIAFRAGMAS DE ACUERDO CON LAS NTC-
S (2004), SECCIN 8.4
La Tabla 4.10 muestra resultados de las fuerzas inerciales en diafragmas calculadas en la
direccin Y del edificio de acuerdo con la seccin 8.4 de las NTCSismo 2004. La ltima
columna de la Tabla muestra los valores calculados de las fuerzas inerciales por unidad de
masa, las que estn dadas por ao+c, donde c es el factor por el que se multiplican los
pesos a la altura de desplante del elemento cuando se valan las fuerzas laterales sobre la
construccin.
La Fig 4.9 muestra resultados del clculo de fuerzas inerciales por unidad de masa en
diafragmas obtenidos con el procedimiento propuesto y con las NTCSismo 2004. Estos
resultados muestran que la NTCSismo 2004 llevara a resultados conservadores
comparados con los que se obtendran con el caso de diseo de sistemas de piso que
emplean en los diafragmas acero de refuerzo convencional; sin embargo, estaran del lado
de la inseguridad comparado con el caso de diseo de sistemas de piso donde en los
diafragmas se empleen malla electrosoldada.
25
Tabla 4.10. Fuerzas inerciales en diafragmas (Fi) de acuerdo con las NTC-S (2004),
Seccin 8.4
a= 0.26 Q' = 2.4
Nivel Wi (t) hi (m) Wi hi (t-m) Fi (t) c' = Fi / Wi ao + c'
NIVEL 20 1090.698 88.2 96200 217 0.199 0.299
NIVEL 19 1342.499 84 112770 254 0.189 0.289
NIVEL 18 1342.499 79.8 107131 242 0.180 0.280
NIVEL 17 1342.499 75.6 101493 229 0.170 0.270
NIVEL 16 1342.499 71.4 95854 216 0.161 0.261
NIVEL 15 1342.499 67.2 90216 203 0.152 0.252
NIVEL 14 1342.499 63 84577 191 0.142 0.242
NIVEL 13 1342.499 58.8 78939 178 0.133 0.233
NIVEL 12 1342.499 54.6 73300 165 0.123 0.223
NIVEL 11 1342.499 50.4 67662 153 0.114 0.214
NIVEL 10 1342.499 46.2 62023 140 0.104 0.204
NIVEL 9 1342.499 42 56385 127 0.095 0.195
NIVEL 8 1342.499 37.8 50746 114 0.085 0.185
NIVEL 7 1342.499 33.6 45108 102 0.076 0.176
NIVEL 6 1342.499 29.4 39469 89 0.066 0.166
NIVEL 5 1342.499 25.2 33831 76 0.057 0.157
NIVEL 4 1342.499 21 28192 64 0.047 0.147
NIVEL 3 1342.499 16.8 22554 51 0.038 0.138
NIVEL 2 1342.499 12.6 16915 38 0.028 0.128
NIVEL 1 1473.364 8.4 12376 28 0.019 0.119
BASE BASE 0 0.100
Figura 4.9. Fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas del edificio con piso
prefabricado de 20 niveles
26
4.3 EJEMPLO DE DISEO POR SISMO DEL SISTEMA DE PISO DEL EDIFICIO
EN ESTUDIO
En lo que sigue se muestra el procedimiento de diseo por sismo del sistema de piso de los
edificios en estudio. Como la geometra de la planta de los edificios seleccionados de 8 y
20 niveles es la misma, se resuelve el problema de manera general, en funcin de la fuerza
inercial horizontal Fi que debe resistir el diafragma del nivel i del edificio en estudio. El
valor de esta fuerza se supone igual a F en el desarrollo de los ejemplos siguientes, y
posteriormente se emplea el valor correspondiente de F para el diseo de las secciones
crticas del diafragma.
La planta tpica en estudio se muestra en la Fig 4.10. El diseo del sistema de piso se lleva
a cabo con el mtodo del puntal y tirante, as como el mtodo del panel y barra (panel
stringer, Blaaunwendraad y Hoogenboom, 1996). Adems, con el propsito de mostrar las
tendencias de flujos de fuerzas en el diafragma para resistir las fuerzas inerciales
horizontales, se analiz el diafragma con el mtodo de elementos finitos.
8.5
m8
.5m
8.5
m8
.5m
8.5m 8.5m 8.5m8.5m 8.5m
A B C D E F
5
4
3
2
1
6m
4m
5m
3.5m
Fig 4.10. Planta tpica de los edificios en estudio
27
4.4 EVALUACION DE ELEMENTOS MECNICOS CRTICOS EN UN
DIAFRAGMA TPICO DEL EDIFICIO EMPLEANDO EL METODO DEL PANEL
Y BARRA (PANEL-STRINGER) PARA EL CASO DE SISMO EN Y
Con fines didcticos, al claro de 8.5 m de la planta mostrada en la Fig 4.10 se le da el valor
generalizado de a. Con el propsito de aplicar el mtodo del panel y barra, para la planta
de la Fig 4.10 se consideran paneles cuadrados de dimensiones a x a. Se debe observar que
en el ejemplo que aqu se desarrolla, las dimensiones de los paneles y su nmero se
seleccionaron para que coincidan con las de los tableros del edificio. La Fig 4.11 muestra
los paneles en que se ha dividido la planta del edificio en estudio, en este caso 16 paneles,
cuadrados.
Se considera que la fuerza inercial actuante en cada panel es igual al producto de la masa de
ste por la aceleracin absoluta horizontal mxima del piso. Esto lleva a que la fraccin de
la fuerza horizontal inercial F en el diafragma que acta en cada panel es proporcional al
rea de ste. Esto se basa tanto en la segunda ley de Newton, es decir que la fuerza inercial
es igual al producto de la masa respectiva por su aceleracin, como en la hiptesis de que la
aceleracin absoluta horizontal mxima en el diafragma es constante en cualquier punto de
ste. Aceptando estas hiptesis, y si denominamos Fj a las fuerzas inerciales actuantes en
cada panel de la planta del edificio mostrado en la Fig 4.11, y considerando 16 paneles con
fuerzas Fj, se obtiene la siguiente expresin:
16 jF F (4.1)
de donde 16
j
FF . Por tanto la fuerza inercial actuantes en cada uno de los paneles de la
planta de la Fig 4.10 es igual a 16
F.
Se debe observar que en la derivacin anterior, por simplicidad, se est considerando de
manera conservadora que la masa en los paneles con aberturas es igual a la de los paneles
sin aberturas, y que no existen cargas concentradas.
28
a a
5
4
3
2
1
aa
aa
1
6
5
16
15
2
3
4
7
8
9
10
11
12
13
14
A B C D E Faaa
Figura 4.11. Paneles en la planta tpica para la aplicacin del mtodo del panel y cuerda
El paso siguiente es la obtencin de las fuerzas actuantes en los nudos de los paneles del
modelo propuesto en la Fig 4.11. Como se muestra posteriormente, con estas fuerzas se
definen las fuerzas actuantes en las barras, as como el cortante en los paneles. La Fig 4.12
muestra paneles donde los crculos encierran el valor de la fuerza inercial actuante en el
panel. La Fig 4.12 muestra que la fuerza inercial Fj actuante en el panel j se puede
considerar que resulta de la aplicacin, en cada nudo del panel, de la cuarta parte de esta
fuerza. Con base en esta hiptesis, y considerando las fuerzas inerciales actuantes,
anteriormente calculadas para los paneles iguales a 16
F, la Fig 4.12b muestra las fuerzas
actuantes en los nudos de los paneles de la planta del edificio.
Fj
Fj
14 Fj
14
Fj
14 Fj
14
a F16
F64
F64
F64
F64
a) Panel j b) Panel empleado
Figura 4.12. Distribucin de las fuerzas inerciales en los nudos de paneles
29
Empleando los valores de las fuerzas actuantes en los nudos de los paneles mostrados en la
Fig 4.12b, se obtiene la distribucin y valores de fuerzas actuantes en los nudos de los
paneles del diafragma en estudio que se muestra en la Fig 4.13. Esta figura tambin muestra
que se est considerando que estas fuerzas actuantes estn en equilibrio, con reacciones en
los cuatro muros estructurales en la direccin Y, con un valor igual a 4
Fen cada muro.
F64
64F
F4
F64
3F64
64F
32F
F4
32 F
F64
F64
F16
16F
32F
32F
F4
F4
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
32F
32F
32F
32F
16F
16F
16F
F16
F16
16F
16F
643F
16F
16F
32F
32F
Figura 4.13. Distribucin de las fuerzas inerciales en los nudos de paneles del diafragma en
estudio para el caso de sismo en Y
4.4.1 FUERZAS Y EQUILIBRIO EN EL PANEL Y BARRAS DEL ELEMENTO
PANEL-BARRA
Los elementos panel y barra que se emplean en el mtodo que se desarrolla en este ejemplo
se caracterizan por que el panel est rodeado por elementos barras en las que actan fuerzas
en tensin o compresin, sin momento flexionante. Adems, se admite la hiptesis que en
el panel acta un cortante por unidad de longitud constante, v, en todos los bordes del
panel. Esta fuerza cortante acta adems en la interface entre el panel y las barras. La Fig.
4.14 ilustra lo anterior, muestra las fuerzas actuantes tanto en las barras como en el panel en
un elemento panel-barra tpico. Por ejemplo, en la barra 1-2, de longitud a, parte inferior
de la Fig 4.14, actan las fuerzas 1xN y 2
xN , y el cortante por unidad de longitud, v. El
equilibrio en esta barra lleva a
2 1
x xN N va (4.2)
30
De manera semejante para las otras barras que se muestran en la Fig 4.14 se obtiene:
4 3
x xN N va (4.3)
3 1
y yN N va (4.4)
4 2
y yN N va (4.5)
Las expresiones anteriores indican que las fuerzas normales en la barra varan en la
longitud de sta, debido a que se debe equilibrar el cortante v.
v
N1x
N2x
N3x
N4x
N3y
N4y
N1y
N2y
N4
N2y
v
v
N2x
N4x
N3y
N4y
y y
N1x
N2xv
Figura 4
4.14. Fuerzas en barras y cortante en panel del elemento panel-barra (Blaaunwendraad y
Hoogenboom, 1996)
4.4.2 CLCULO DE LAS FUERZAS CORTANTES ACTUANTES EN LOS
PANELES DEL DIAFRAGMA
La Fig. 4.15 muestra la distribucin del flujo de cortante vi en los diferentes paneles del
diafragma en estudio. Se debe observar que la simetra en geometra del diafragma y en
fuerzas actuantes en los nudos de los paneles a un lado del eje de simetra de la planta del
edificio, lleva a que el flujo de cortante en estos paneles, vi ,, tenga signo diferente al flujo
de cortante al otro lado de este eje. As mismo, en los paneles cuyos centros caen en el eje
de simetra de la planta del edificio, la condicin de simetra implica que las fuerzas
normales en las cuerdas de los paneles entre los ejes C y D tengan el mismo signo y valor,
por lo que para lograr esta condicin es necesario que se cumpla:
3 6 8 10 0v v v v
31
16F
v1
v4
64F F
32
F64
A B C
5
4
3
2
1
v2
v3
-v2
v5
v6
v7
v8
v9
v10
D E F
F32
F32
F32
F64
16F
16F
16F
F4
32F
643F
16F
16F
643F
F64
32F
16F
16F
64F
32F
32F
64F
F4
32F
F4
F4
32F
-v1
-v5
-v4
-v7
-v9
Figura 4.15. Distribucin del flujo de cortante en los paneles del diafragma.
Para valuar las fuerzas cortantes actuantes por unidad de longitud, vi, en los paneles se
plantean ecuaciones de equilibrio en dos ejes del diafragma. La Fig. 4.16 muestra el
diagrama de cuerpo libre del eje A, de donde se obtiene:
1 1 1 1
1 464 4 32 640F v a v a F F F
31 4 16
( )v v a F (4.6)
F64
64F
F4
32F v1
v4
aa
Figura 4.16. Fuerzas actuantes en el eje A.
32
La Fig. 4.17 muestra el diagrama de cuerpo libre del eje B, de donde se obtiene:
31 1 1 1 1
9 7 5 4 2 1 32 16 64 4 32 64( ) ( ) ( ) 0v a v a v v a v v a F F F F F F
2 5 7 9 1 4
1( ) ( ) 0
16v v v v a v v a F (4.7)
F32
3F64
64F
16F
v1
v4
v2
v5
v7
v9
aa
aa
F4
32F
Figura 4.17. Fuerzas actuantes en el eje B.
Las Eqs (4.6) y (4.7) representan un sistema de ecuaciones indeterminado, por lo que es
conveniente recurrir al empleo del teorema del lmite inferior, es decir cumplir con el
equilibrio y que en ninguna seccin la demanda de resistencia exceda a la capacidad. Con
base en esta hiptesis se supone:
1 4v v (4.8)
y
2 5 7 9v v v v (4.9)
Las expresiones (4.8) y (4.9) se obtuvieron empleando el criterio simplista de igualar
cortantes en tableros con geometras semejantes.
De las Eqs (4.6) y (4.8) se obtiene:
3
1 4 32/v v F a (4.10)
33
De las Eqs (4.7) y (4.9) se obtiene:
1
2 5 7 9 16/v v v v F a (4.11)
Es de inters demostrar que otra ecuacin de equilibrio sera una del tipo redundante. Por
ejemplo, la Fig. 4.18 muestra el diagrama de cuerpo libre del eje C, de donde se obtiene:
1 1 1 1 1
2 5 7 932 16 16 16 32( ) 0F F F F F v v v v a
12 5 7 9 4
( )v v v v a F (4.12)
Se observa que la Eq (4.12) es una combinacin de las Eqs (4.6) y (4.7), es decir es
redundante.
F32
16F
16F
F32
16F
v2
v5
v7
v9
-v3
-v6
-v8
-v10
aa
aa
Figura 4.18. Fuerzas actuantes en el eje C.
Con los valores de los cortantes vi dados por las Eqs (4.10) y (4.11), y con la distribucin
de cortantes que se muestra en la Fig. 4.15, se obtienen los cortantes en los paneles del
diafragma que se muestran en la Fig. 4.19.
34
A B C
5
4
3
2
1
D E F
3F32a
3F32a
F16a
F16a
F16a
F16a
F16a
F16a
F16a
F16a
3F32a
3F32a
0
0
0
0
Figura 4.19. Distribucin y valores de cortantes en los paneles del diafragma
4.4.3 CLCULO DE LAS FUERZAS NORMALES EN LAS BARRAS DE LOS
PANELES DEL DIAFRAGMA.
Con la informacin de cortantes mostrada en la Fig. 4.19, y considerando el equilibrio de
fuerzas en una barra, ver por ejemplo la Eq. (4.2) (para la barra mostrada en la Fig. 4.14), es
posible obtener los valores de las fuerzas normales actuantes en las diversas barras que
definen los paneles en que se ha dividido la planta del diafragma en estudio. Como se ha
mencionado estas fuerzas normales en la barra en general son variables en la longitud de
sta, debido a que deben equilibrar la fuerza cortante por unidad de longitud en la barra.
Con este procedimiento se obtuvieron los valores de las fuerzas normales en las barras de
los paneles del diafragma que se muestran en la Fig. 4.20. El signo positivo en estas
fuerzas indica traccin, y el negativo indica compresin.
Para ilustrar el procedimiento empleado para llegar a los resultados mostrados en la Fig.
4.20, se calcularn las fuerzas normales en la barra vertical de longitud a del extremo
inferior del eje B, entre ejes 4 y 5, ver Figs. 4.13 y 4.19. En el extremo superior de esta
barra acta la fuerza 32
F , ver Fig. 4.13, y en las caras laterales de esta barra actan los
35
cortantes por unidad de longitud 3
32
F
a y
16
F
a, ver Fig. 4.19, por lo que el valor de la
fuerza normal en el extremo inferior de esta barra, Nj, considerndola en tensin, se puede
obtener de la siguiente ecuacin de equilibrio:
3( ) ( ) 0
32 32 16j
F F FN a a
a a
de donde se obtiene
0jN
El valor anterior es el graficado en la Fig. 4.20 para la barra en estudio
Con los resultados obtenidos es posible disear tanto los paneles y barras crticas del
diafragma en estudio. Sin embargo, para las zonas del diafragma con aberturas es necesario
un diseo y detallado especial, que se desarrolla posteriormente
64F
7F64
64- F
64- 7F
- 3F32
32- 5F
323F
F16
F64
645F
16-F
-F32
-5F64
64-9F
-F32
32F
32-F
32- 5F
-F32
32F-F
32
32F
-F32
32F
A B C
5
4
3
2
1
Figura 4.20. Fuerza normales en las barras de los paneles del diafragma. Compresin (-),
tensin (+)
36
4.5 DISEO DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS NIVEL AZOTEA DEL
EDIFICIO CON SISTEMA DE PISO PREFABRICADO.
De la Tabla 4.9 se obtiene el valor de la fuerza inercial en la azotea, Fn, empleando el
procedimiento de clculo de fuerzas inerciales horizontales de la propuesta de diseo
ssmico de diafragmas en edificios.
4.5.1 DISEO DEL DIAFRAGMA EMPLEANDO ACERO DE REFUERZO
GRADO 4200.
En aa Tabla 4.9 con el empleo de acero de refuerzo grado 4200 y el valor Rs=2, se obtiene
0.28n
n
F
W , donde es Wn el peso del nivel azotea. Considerando el factor de carga de 1.1
para la condicin de diseo por sismo, se obtiene la fuerza inercial horizontal de diseo, F,
igual a:
1.1 1.1(0.28) 1.1(0.28) (1090.7 ) 336nF Fn W t t
Los paneles entre los ejes E y F tienen una fuerza cortante por unidad de longitud, q, igual a
3
32
F
a, ver Fig 4.19. Este valor es igual a:
3 3 3360003,706
32 32 8.5
F kg kgq
a m m
De acuerdo con las NTCC los diafragmas se disearn con los criterios para vigas comunes o vigas diafragmas, segn su relacin claro peralte (seccin 6.6.4). El ACI 318-
11 especifica que los diafragmas se disearn con los criterios de vigas comunes (seccin
21.11.9.1), por lo que se emplear este ltimo criterio por ser ms conservador. Se
emplear las expresiones de las NTCC para vigas comunes, se considera que en 1 m de
longitud del firme acta Vu=3,706 kg. La expresin de diseo por cortante considera la
suma de la contribucin al cortante del concreto, VcR, y del acero, VsR, es decir:
u cR sRV V V
donde VcR, se calcula con: *0.5cR R cV F b d f
VcR = 0.5 (0.8)(100 cm) (6 cm)(0.8x400) = 4,290 kg
y la resistencia al cortante del acero requerida es:
VsR = Vu - VcR = 3,706g 4,290 kg = -584 kg
El resultado obtenido indica que se debe emplear el refuerzo mnimo para resistencia
cortante, por ejemplo, si se emplea varilla de refuerzo 3/8 con fy=4200 kg/cm2 con
separacin mxima de 35 cm (seccin 6.6.5 de las NTCC) y un firme de 6 cm de espesor, la
cuanta correspondiente es 0.00254. Este valor es aproximadamente igual al mnimo
requerido para resistencia por cortante, 0.0025, mnimo especificado en las secciones 10.4 y
6.6.5 de las NTCC, por lo que por resistencia se acepta este refuerzo 3/8 a 35 cm. Los
otros paneles del diafragma, con cortantes menores, tambin se disearn por resistencia
con el mismo refuerzo de este caso.
37
Si se consideran las recomendaciones propuestas de cuanta mnima por cambios
volumtricos en elementos expuestos a la intemperie, como es el caso del nivel azotea, se
requerira el valor 21/fy, es decir 0.005, que para el caso en estudio corresponde a 3.0
cm2/m, es decir varilla 3/8 una separacin de 23.7 cm, por lo que se sugiere emplear en
todo el diafragma refuerzo de dimetro 3/8 y una separacin de 25 cm.
La Fig 4.21a muestra de manera grfica el acero de refuerzo distribuido en el firme
requerido para la condicin de sismo en Y y por cambios volumtricos en esta direccin,
para los casos de acero de refuerzo fy= 4,200 kg/cm2. .
4.5.2 DISEO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO CON
SISTEMA DE PISO PREFABRICADO. EMPLEO DE MALLA
ELECTROSOLDADA
De la Tabla 4.9 se obtiene el valor de la fuerza inercial en la azotea, Fn, empleando el
procedimiento de clculo de fuerzas inerciales horizontales de la propuesta de diseo
ssmico de diafragmas en edificios y considerando el caso de empleo de malla
electrosoldada (Rs=2). En esta Tabla se obtiene 0.56n
n
F
W , donde es Wn el peso del nivel
azotea. Considerando el factor de carga de 1.1 para la condicin de diseo por sismo, se
obtiene la fuerza inercial horizontal de diseo, F, igual a:
1.1 1.1(0.56) 1.1(0.56) (1090.7 ) 672n nF F W t t
Este valor es el doble del caso correspondiente a refuerzo del firme con acero de refuerzo ,
lo que se debe al diferente valor de Rs requerido para el diseo dependiendo del tipo de
refuerzo en el firme.
Los paneles entre los ejes E y F tienen una fuerza cortante por unidad de longitud, q, igual a
3
32
F
a, ver Fig 4.19. Este valor es igual a
3 3 6720007,412
32 32 8.5
F kg kgq
a m m
Para VcR en una longitud de firme de 1 m se calcul el valor 4,290 kg:
y la resistencia al cortante del acero requerida en esta longitud de firme es:
VsR = Vu - VcR = 7,412 kg 4,290 kg = 3,122 kg
Si se emplea malla electrosoldada de fy = 5000 kg/cm2, el rea requerida en una longitud de
1 m es:
2
2
3,1220.78
0.8(5000 / )
sRv
R y
Vd kgA cm
s F f kg cm
Esta area corresponde a una cuanta de
38
20.780.0013
100 * 100 *6
vA cmpcm t cm cm
Tomando en cuenta la recomendacin de cuanta mnima por cambios volumtricos en
elementos restringidos a la contraccin, se requerira el valor 21/5000= 0.0042, que para el
caso en estudio corresponde a 2.52 cm2/m. Se emplear una malla electrosoldada 8.74
mm a 25 cm, que corresponde a 2.40 cm2/m. Esta malla, como otras que se emplean en
estos ejemplos son ofrecidas por un conocido proveedor de mallas de ingeniera en Mxico.
Se debe observar que se est empleando una separacin de malla de 25 cm., valor igual al
mximo especificado en la seccin 6.6.5 de las NTCC correspondiente a diafragmas. Se
debe mencionar que esta seccin est equivocada, ya que especifica una separacin mxima
de la malla de 25 cm. El ACI 318-11, en su seccin 21.11.7.1, especifica (desde la versin
del ACI 318-99) que esta separacin debe ser mayor que 25 cm. Esto debe ser tomado en
cuenta en diseos de mallas electrosoldadas en Mxico, ya que seguramente el error
mencionado de las NTCC deber ser corregido en un futuro.
La Fig 4.21b muestra de manera grfica la malla electrosoldada distribuida en el firme
requerido para la condicin de sismo en Y.
4.6 REVISIN POR FLEXO-TRACCIN DE LAS TRABES EN EL DIAFRAGMA
NIVEL AZOTEA
El considerar que actan elementos mecnicos en el diafragma, como es el caso del mtodo
del panel y barra, implica que el diafragma se deforma, lo que lleva a que en las trabes
existan fuerzas adicionales en traccin, que actan en la periferia de los paneles en los
cuales se emplea el mtodo, como se ha mostrado en el desarrollo del diseo del diafragma
que aqu se muestra. Por este motivo, cuando la estructura responde a acciones ssmicas, en
este caso de deformacin del diafragma, las trabes adems de momentos flexionantes
estarn sometidas a fuerzas de traccin, es decir las trabes se deben revisar para el caso de
flexo-traccin. Esta condicin de diseo no es usual en el proceso convencional de diseo
ssmico de edificios de concreto reforzado, por lo que en los ejemplos de este trabajo se
dan expresiones aproximadas para su solucin o se especifican los casos en que es
necesario emplear diagramas de interaccin momento-carga axial en traccin.
Con el propsito de simplificar el diseo para esta condicin de elementos mecnicos en las
trabes, en lo que sigue se considera un diagrama de interaccin lineal entre el momento
flexionante resistente en la trabe para carga axial cero y el caso de tensin pura. Adems,
se acepta la hiptesis de que se debe disear por capacidad, es decir se considera para el
refuerzo el valor 1.25 fy, y un factor de reduccin de resistencia igual a 1.
Las consideraciones anteriores llevan a que es posible ignorar el efecto de la traccin en las
trabes si se cumple la siguiente condicin
Tu 0.25Ag fy st (4.13)
39
En el caso que no se cumpla con la relacin anterior, se debe revisar si no se requiere
refuerzo longitudinal adicional, para lo cual se debe verificar la siguiente condicin
aproximada de interaccin momento flexionante y carga axial en traccin:
Tu 1.25Ag fy st (1-Mu/M pr) (4.14)
donde
st : cuanta de refuerzo longitudinal total, igual a la cuanta considerando todo el refuerzo en la seccin en estudio.
Tu: traccin actuante
Mu: momento actuante
Mpr: resistencia probable a flexin de la trabe.
Ag: rea bruta de la seccin transversal del elemento.
La resistencia probable a flexin de la trabe (Mpr) se calcula de forma similar que la
resistencia convencional de trabes, con la diferencia que se emplea la hiptesis de que se
debe disear por capacidad, es decir, se debe emplear un factor de reduccin de resistencia
(FR) igual a 1, y la resistencia de fluencia, fy, del acero de refuerzo, se debe considerar
amplificada por el factor 1.25.
Cuando no se cumplan las condiciones anteriores, se calcula de manera aproximada la
cuanta requerida por flexo-traccin con la siguiente expresin:
st = Tu/[1.25Ag fy (1-(Mu/Mpr)) ] (4.15)
Se sugiere limitar la cuanta st a una cuanta mxima de 4%.
Se debe mencionar que en las expresiones anteriores, por simplicidad en los clculos
iniciales se est empleando la cuanta inicial de refuerzo propuesta slo por flexin. Es
necesario controlar el incremento del momento resistente por flexo-traccin de la trabe, con
el fin de que con el concepto de diseo por capacidad, la trabe no quede subdiseada por
cortante. Para ello se recomienda limitar la cuanta adicional de refuerzo por flexo-tensin a
un mximo de 30% de la cuanta inicial de refuerzo longitudinal de la seccin, es decir
30% st. El criterio de diseo que se recomienda es que para verificar la capacidad de la seccin por flexo-traccin, si la cuanta adicional excede el lmite indicado, es necesario
emplear el diagrama de interaccin correspondiente
4.6.1 TRACCIN MXIMA QUE DE ACUERDO CON EL PROCEDIMIENTO
APROXIMADO SE PUEDE IGNORAR EN TRABES EN FLEXO-TRACCIN
Para el edificio analizado, la cuanta del refuerzo longitudinal total de las trabes de 50x80,
con refuerzo mnimo de 31 en ambos lechos, es igual a:
st = 2*3*5.07/(50*80) st = 0.0076
40
La traccin en la trabes de 50x80, de cualquier nivel, se ignora si el valor es menor que el
siguiente valor (ec 4.13):
0.25(50 cmx80 cmx4200 kg/cm2x0.0076) x10
-3 t/kg = 32 t
Este valor se emplea para verificar posteriormente en algunas trabes del nivel de azotea si
la resistencia por flexo-tensin es adecuada.
4.7 DISEO DE LA UNIN FIRME-MURO ESTRUCTURAL
Como se aprecia en las Figs. 4.15 y 4.19, en la interface muro estructural y firme en el
tablero crtico en estudio, existe un cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F/32 a.
Como se ha comentado, para tomar en cuenta el concepto de diseo por capacidad, para el
diseo de esta zona se debe emplear la fuerza Rs(3F/32a) 7,412 kg/m.
Se acepta la hiptesis de que esta fuerza cortante es resistida a cara del muro por el
mecanismo de resistencia a fuerza cortante por friccin. Esta resistencia, VR, se calcula
como (seccin 2.5.10.2 de las NTCC):
R R vf yV F A f (4.16)
donde:
FR = factor de reduccin de resistencia
= coeficiente de friccin Avf = rea de refuerzo por cortante por friccin
fy = esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo
En la expresin anterior se est suponiendo que no existe fuerza de compresin normal al
plano crtico por cortante, Nu.
En este ejemplo se supone que el firme es colado despus de que se ha colado el muro de
concreto. Con esta hiptesis se emplea el valor de igual a 1.0 correspondiente al caso de concreto colado contra concreto endurecido. Con el valor calculado de q y la ec 4.16 se
obtiene el refuerzo necesario, Avf; en un ancho de losa de 1 m 100 cm:
27,412 0.8 (1.0) 4200vf
kgkg A
cm
Avf = 2.2 cm2
Si se emplea refuerzo 3/8, la separacin requerida, s, del refuerzo ser 2
2
100 (0.71 )32.3
2.2
cm cms cm
cm
41
Sin embargo, este refuerzo mnimo por cambios volumtricos requiere un espaciamiento
mnimo de 25cm, por lo tanto el cortante resistente ser:
VR = (100cm*0.71cm2/25cm)*0.8*1.0*4200kg/cm
2 = 9,452 kg > 7,412 kg, OK
Adems, se debe verificar que la fuerza cortante resistente no debe exceder alguno de los
valores que resultan de aplicar las dos siguientes expresiones (seccin 2.5.10.2 de las
NTCC), donde A es el rea de la seccin definida por el plano crtico, en este caso A=
100cmx6cm=600 cm2:
a) VR = 0.25 FR f*c A = 0.25 (0.8)(0.8x400kg/cm2)(600cm2)=38,400 kg
b) 2 2 214 0.8( ) 0.8 14 800 0.8(2.78 4,200 / ) 16,430R R vf yV F A A f x cm cm x kg cm kg
Se acepta la resistencia a fuerza cortante por friccin de 9,452kg, por ser menor que los dos
ltimos valores de VR.
42
A B C D E F
5
4
3
2
1
En todo3/8"@25cm
3/8"@25cm
3/8"@25cm
a) Acero de refuerzo fy=4,200 kg/cm
2
A B C D E F
5
4
3
2
1
En todo malla8.74mm@25cm
3/8"@25cm
3/8"@25cm
b) Malla electrosoldada (fy=5000 kg/cm2)
Figura 4.21. Refuerzo en la interface muro-firme y en el firme de nivel azotea
requerido por anlisis en la direccin Y
43
4.8 EMPLEO DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL DISEO DE
DIAFRAGMA DEBIDO A LA ACCION DE FUERZAS INERCIALES
El mtodo de elementos finitos se emple para la evaluacin de esfuerzos en el diafragma
debido a la accin de fuerzas inerciales. La Fig. 4.22 muestra la distribucin de fuerzas
inerciales actuantes en el diafragma para el caso de anlisis con elementos finitos con el
programa SAP (CSI, 2005). Como se aprecia en la Fig. 4.22, la distribucin de fuerzas es la
misma que la empleada para el anlisis del diafragma con el mtodo del panel-barra
mostrado anteriormente. El elemento finito empleado para representar al firme fue el
elemento shell del programa SAP. La Fig. 4.23 muestra resultados de valores y direcciones
de esfuerzos principales necesarios para resistir las acciones mostradas en la Fig. 4.22.
Esta informacin se emple tambin para definir el refuerzo necesario en el diafragma
empleando el mtodo del puntal y tirante, que se desarrolla a continuacin.
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
16F
x
y
Figura 4.22. Elementos finitos empleados para el anlisis del diafragma y distribucin de
fuerzas actuantes
44
x
Figura 4.23. Resultante obtenido con el mtodo de los elementos finitos
Los resultados de los programas que usualmente se emplean con el mtodo de elementos
finitos en el caso de esfuerzos se dan en trminos de esfuerzos principales, lo que dificulta
el diseo del refuerzo para resistir estos esfuerzos ya que el acero de refuerzo sigue las
direcciones X y Y , en general diferentes a las direcciones principales. Por esta razn, en
este ejemplo se prefiri no llevar a cabo el cmputo del acero de refuerzo empleando el
mtodo de los elementos finitos, y sus resultados se empelaron slo para definir las
direcciones de los puntales y tirantes en la aplicacin de este mtodo.
4.9 EMPLEO DEL METODO DEL PUNTAL Y TIRANTE PARA LA
EVALUACIN DE FUERZAS INTERNAS EN EL DIAFRAGMA DEBIDO A LA
ACCION DE FUERZAS INERCIALES
La Fig 4.24 muestra resultados de aplicar el mtodo del puntal y tirante para encontrar las
fuerzas en traccin o compresin que deben resistir a la fuerza inercial en el diafragma, F,
en la direccin Y de ste. Se aprecia en esta Figura que la fuerza en traccin mxima se
ubica entre los ejes 3 y 4, y es igual a 0.313 F. Si se considera que esta fuerza en traccin
se desarrolla en un ancho de 8.5 m (medido en la direccin perpendicular a la fuerza), esta
fuerza por unidad de ancho, Tu, es igual a:
0.313 0.313(336000 )12,373 /
8.5u
F kgT kg m
L m
45
Si se emplea acero de refuerzo con fy= 4200 kg/cm2, 3/8 (As =0.71cm
2), la separacin
requerida es:
2 2100 (1.27 ) (4200 / )
24.112,373
cm cm kg cms cm
kg
La cuanta que corresponde a este refuerzo es 0.0047, se va tomar una separacin de 25cm.
Esta cuanta es mayor que la mnima requerida por cortante, 0.0025, y aproximadamente
igual que el valor recomendado como mnimo por cambios volumtricos, 0.005.
Entre los ejes 4 y 5 la fuerza mxima en traccin es 0.25F, valor que se considera cercano
al valor anterior calculado para el caso entre los ejes 3 y 4, por lo que entre los ejes 4 y 5 se
propone emplear el mismo armado calculado para el caso entre los ejes 3 y 4.
Entre los ejes 1 y 2 acta la fuerza en traccin mxima igual a 0.188F, ver Fig. 4.24,
siguiendo el procedimiento anterior se obtiene que el refuerzo necesario entre los ejes 1 y 2
es 3/8a 40 cm, usar separacin a 25 cm, que corresponde a una cuanta de 0.0047.
Entre los ejes 2 y 3 la tensin mxima es 0.125F, Fig. 4.24. Con el procedimiento anterior
se obtiene que el rea de acero de refuerzo en la direccin horizontal entre los ejes 2 y 3 es
3/8a 24 cm, usar separacin a 25 cm. Este refuerzo corresponde a una cuanta de 0.0047,
valor que es mayor que los mnimos requeridos por cortante y cercano al requerido por
cambios volumtricos, 0.005.
Si se emplea malla electrosoldada, con fy = 5000 kg/cm2, para el caso entre los ejes 3 y 4, el
area de malla por metro de ancho, Am, que se requiere para resistir la fuerza en traccin de
12,373 kg es
2
2
24,7454.95
5000 /m
kgA cm
kg cm
En el mercado nacional actualmente no existe malla que cumpla con el valor requerido de
4.95cm2/m y con separacin mayor de 25 cm por lo que con los resultados del mtodo del
puntal y tirante no sera posible emplear malla electrosoldada.
La Fig. 4.25 muestra el armado requerido con acero de refuerzo fy = 4200 kg/cm2
que
resulta de aplicar el mtodo del puntal y tirante en el diafragma nivel azotea para el caso de
sismo en la direccin Y.
46
F
0.177 F
0.17
7 F
0.25 F
0.08
8 F0.088 F
0.188 F
0.044 F
0.177 F
0.17
7 F
0.188 F
0.125 F
0.04
4 F0.088 F
0.04
4 F0.044 F 0.
044
F0.044 F
7.00
7.00
16 0.25 F 0.188 F
0.313 F0.313 F
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F4
F4
F4
F4
A B C D E F
5
4
3
2
1
A B C D E F
5
4
3
2
1
Figura 4.24. Aplicacin del mtodo del puntal y tirante sin considerar aberturas en el
diafragma
47
A B C D E F
5
4
3
2
1
3/8"@25cm
3/8"@25cm
3/8"@25cm
Figura 4.25. Refuerzo en el firme de nivel azotea requerido al aplicar el mtodo del puntal y
tirante para el caso de sismo en la direccin Y.
La Fig. 4.26 muestra resultados de aplicar el mtodo del puntal y tirante considerando el
caso del diafragma con aberturas. Como se aprecia en los resultados mostrados en Fig.
4.26, la diferencia entre estos resultados y los que dan el mtodo del puntal y tirante para el
diafragma sin aberturas, Fig. 4.26, se observa slo en la zona del diafragma con aberturas.
La Fig. 4.26 muestra que la traccin mxima en la zona del diafragma con aberturas es
0.279F, es decir:
0.279 0.279*336,000 93,744F kg kg
El rea de acero requerida, As, para resistir esta traccin es:
2
2
93,74422.3
4200 /s
kgA cm
kg cm
Esta rea corresponde a un refuerzo igual a 83/4 (22.8 cm2). Esta cantidad de varillas es
difcil de acomodar en un ancho razonable y en un espesor de firme de 8 cm, por lo que se
recomienda emplear como alternativa de solucin el mtodo del panel-barra que se
desarrolla en detalle en la siguiente seccin.
48
0.177 F
0.17
7 F
0.313 F
0.25 F
0.08
8 F0.088 F
0.188 F
0.188 F
0.313 F
0.25 F
0.044 F
0.177 F
0.17
7 F
0.188 F
0.125 F
0.17
7 F0.088 F
0.04
4 F0.044 F 0.
044
F0.044 F
7.00
7.00
4.00
6.00
3.50
5.00
0.258 F
0.279
F
0.258 F
0.279 F
14.0
26.6
F16
F4
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F16
F4
F4
F4
Figura 4.26. Modificacin del mtodo del puntal y tirante para considerar el efecto de las
aberturas
49
4.10 CLCULO DE ELEMENTOS MECNICOS (CORTANTES Y FUERZAS
NORMALES) EMPLEANDO EL MTODO DEL PANEL Y BARRA EN LA ZONA
DE DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA CON ABERTURAS DEL EDIFICIO DE 20
NIVELES CON SISTEMA DE PISO PREFABRICADO
Los tableros del diafragma que se encuentran entre los ejes A y B, y 3 y 5, Figs. 4.27 y
4.34, tienen aberturas. El ejemplo que aqu se desarrolla muestra el diseo de estos
tableros.
v4,4
v4,3
327F
16F
3F32
32F64
F
0
0
0.3a
0.3
a0.2
a0.5
a
v4,1
v4,2
16aF
0.3
a0.7
av
1,4v
1,5
v1,1
v1,2
v1,3
A B
5
4
30.3a 0.4a
16aF
64F
32F
3F32
0
A B
3
4
5
0
0
Figura 4.27. Distribucin del flujo de cortante en los paneles adyacentes a las aberturas del
diafragma
La Figura 4.27 muestra la distribucin de flujo de cortante y fuerzas, que se proponen en
esta zona del diafragma con aberturas, ver Fig. 4.13. Como se aprecia en la Fig. 4.27 se
50
proponen nueve paneles con sus cortantes correspondientes. Considerando la solucin
anterior de paneles sin aberturas, en stos actuaban los cortantes v1 y v4, Fig. 4.15. En la
notacin que se est empleando en la Fig. 4.27, el primer subndice de los cortantes indica
que es la misma zona donde acta el cortante v1 o v4 en la solucin de paneles sin aberturas
anteriormente desarrollado.
Se necesita conocer nueve cortantes. Se necesitaran nueve ecuaciones de equilibrio; sin
embargo, para resolver el problema se harn algunas simplificaciones.
El primer cortante que se calcula, por su simplicidad, es v4,4, el cual resulta del equilibrio en
el eje 3, de la Fig. 4.28:
4,4
3(0.3 ) 0
32
Fv a (4.17)
4,4
5
16
Fv
a
v4,4
3F32
0.3a3
0.3a 0.4a
A B
Figura 4.28. Fuerzas actuantes en el eje 3
A continuacin se emplean cinco ecuaciones, que resultan del equilibrio en cinco ejes de
esta zona del diafragma, ejes 5, A, B, B y A, como se muestra a continuacin:
Del equilibrio en el eje 5, Figura 4.29, se obtiene:
1,1 1,2 1,3
3(0.3 ) (0.3 ) (0.4 ) 0
32
Fv a v a v a (4.18)
v1,1
v1,2
v1,3
A B
3F32
0.3a 0.3a 0.4a
5
Figura 4.29. Fuerzas actuantes en el eje 5
51
Del equilibrio en el eje A, Figura 4.30, se obtiene:
1,1 1,4 4,1 4,4
7(0.7 ) (0.6 ) (0.2 ) (0.5 ) 0
32 64 64
F F Fv a v a v a v a
1,1 1,4 4,1 4,4
3(0.7 ) (0.6 ) (0.2 ) (0.5 ) 0
16
Fv a v a v a v a (4.19)
v
327F
64F
0.3a
v
v
v
A
5
4
3
64F
4,4
4,1
1,4
1,1
0.3
a0.2
a0.5
a0.3
a0.7
a
Figura 4.30. Fuerzas actuantes en el eje A
Del equilibrio en el eje B, Figura 4.31, se obtiene:
1,3 4,3(0.7 ) (0.2 ) (2 ) 032 16 32 16
F F F Fv a v a a
a
1,3 4,3
3(0.7 ) (0.2 ) 0
16
Fv a v a (4.20)
52
v4,3
16F
3F32
32F
0
0.3
a0
.2a
0.5
a
16aF
0.3
a0
.7av
1,3
B
16aF
32F
5
4
3
Figura 4.31. Fuerzas actuantes en el eje B
Del equilibrio en el eje B, Figura 4.32, se obtiene:
1,2 1,3 1,5 4,2 4,3( )(0.7 ) (0.6 ) ( )(0.2 ) 0v v a v a v v a (4.21)
53
v4,3
v4,2
v1,5
v1,2
v1,3
B
5
4
3
0.3
a0.2
a0.3
a0.7
a
Figura 4.32. Fuerzas actuantes en el eje B
Del equilibrio en el eje A, Figura 4.33, se obtiene:
1,1 1,2 1,4 1,5 4,1 4,2 4,4( )(0.7 ) ( )(0.6 ) ( )(0.2 ) (0.5 ) 0v v a v v a v v a v a (4.22)
4,4
4,1
0
v4,2
1,4v
1,5
1,1v
1,2
0
A
v
v
v
v
5
4
3
0.3a
0.2a
0.5a
0.3a
0.7a
Figura 4.33. Fuerzas actuantes en el eje A
54
Para simplificar el problema se admite las siguientes igualdades:
1,1 1,4 4,1v v v (4.23)
1,3 4,3v v (4.24)
Las expresiones anteriores se basan en el criterio simplista de igualar cortantes en tableros
con condiciones de borde comparables.
Reemplazando la Ec 4.23 y el valor ya conocido de v4,4 en la ec 4.19 se obtiene:
1,1
5 3(1.5 ) ( )(0.5 ) 0
16 16
F Fv a a
a
1,148
Fv
a
Reemplazando la ec 4.24 en la ec 4.20:
1,3 1,3
3(0.7 ) (0.2 ) 0
16
Fv a v a
1,3
5
24
Fv
a
De la ec 4.18:
1,2
1 5 3( )(0.3 ) (0.3 ) ( )(0.4 ) 0
48 24 32
F F Fa v a a
a a
De la ec 4.21:
1,5 4,2
1 5 5( ) ( ) (0.7 ) (0.6 ) ( ) (0.2 ) 0
72 24 24
F F Fa v a v a
a a a
1,5 4,2
8(0.6 ) (0.2 ) 0
45
Fv a v a
Se admite la siguiente hiptesis que lleva a una nueva ecuacin:
1,5 4,2v v (4.25)
Reemplazando la ec 4.25 en la anterior se tiene:
1,5
2
9
Fv
a
Reemplazando valores de vi,j en la ec 4.22 se puede demostrar que sta es redundante, ya
que es la misma que la ec 4.21.
55
La Fig. 4.34 muestra la distribucin y valores de las fuerzas cortantes actuantes en los
nueve paneles en que se ha dividido la zona de diafragma con aberturas en el nivel azotea.
