Ejemplos de ejercicios Bernoulli1. Un jugador de básquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La

probabilidad de que anote el tiro es de 0.55a) Sea X=1 si anota el tiro, si no lo hace X=0 determine la media y la varianza de X. Eventos probabilidades X=1 si anota 1 0.55 (p)= 1(0.55)= 0.55X=0 si no anota 0 0.45 (1-p)=0(0.45)=__0__ Media= 0.55

(1-0.55)²(0.55)=0.1111375(0-0.55)²(0.45)=0.1361255

Varianza=0.2475 b) Si anota el tiro su equipo obtiene 2 puntos. Si lo falla su equipo no recibe puntos. Sea Y el

numero de puntos anotados ¿tiene una distribución de Bernoulli? Si es así encuentre la probabilidad de éxito, si no explique porque. Eventos probabilidades

Y=2 si anota 2 0.55 (p)= 2(0.55)= 1.1Y=0 si no anota 0 0.45 (2-p)=0(0.45)= 0 No es una distribución Bernoulli porque los eventos que se presentan no son 1 y 0. c) Determine la medida y varianza de Y

Eventos probabilidades Y=1 si anota 2 0.55 (p)= 2(0.55)= 1.1Y=0 si no anota 0 0.45 (2-p)=0(0.45)=__0__ Media= 1.1

(2-1.1)²(0.55)=0.4455(0-1.1)²(0.45)=0.5445

Varianza=0.99d) Por ser un tiro de larga distancia, si anota obtiene 3 puntos, si lo falla 0 puntos. Sea Z el

numero de puntos anotados ¿tiene una distancia de Bernoulli? Si es asi encuentre la probabilidad de éxito, si no explique porque. Eventos Z=3 si anota 3 Z=0 si no anota 0 No es una distribución Bernoulli porque los eventos no son 1 y 0.

e) Determine la media y la varianza de Z. Eventos probabilidades Y=1 si anota 3 0.55 (p)= 3(0.55)= 1.65 (3-1.1)²(0.55)=1.002375Y=0 si no anota 0 0.45 (3-p)=0(0.45)=__0__ (0-1.1)²(0.45)=1.225125 Media= 1.65 Varianza=2.2275

2. En un restaurante de comida básica 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña, en 35% una mediana y 40% una grande. Sea X =1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida pequeña o mediana, Z=0 para cualquier otro caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px

Eventos probabilidades X=1 si es una bebida chica 1 0.25 (p)= 1(0.25)= 0.25X=0 si no lo es 0 0.75 (1-p)=0(0.75)=__0__ Media= 0.25

0.25(1-0.25)=0.1875b) Sea py la probabilidad de éxito de Y. determine py

Eventos probabilidades Y=1 si es una bebida mediana 1 0.35 (p)= 1(0.25)= 0.25Y=0 si no lo es 0 0.65 (1-p)=0(0.75)=__0__ Media= 0.35

0.35(1-0.35)=0.2275c) Sea pz la probabilidad de éxito de Z. determine pz

Eventos probabilidades Z=1 si es una bebida chica o mediana 1 0.60 (p)= 1(0.60)= 0.60Z=0 si no lo es 0 0.40 (1-p)=0(0.40)=__0__ Media= 0.60

0.60(1-0.60)=0.22

d) ¿es posible que X y Y sean iguales a 1?No es posible solo 1 de ellas puede ser posible.

e) ¿es pz=px+py?Si es igual.

f) ¿Es Z=X+Y? explique

3. Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica el 5% es la probabilidad de que se descolore, el 20% de que se agriete, 23% de que se descolore o no se agrieté, o ambas. Sea X=1 si se produce una descoloración X=0 en cualquier otro caso. Y=1 si hay alguna grieta, Y=0 en cualquier otro caso. Z=1 si hay descoloración o grieta o ambas, Z=0 en cualquier otro caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px

Eventos probabilidades X=1 si se decolora 1 0.05 (p)= 1(0.05)= 0.05X=0 si no sucede es 0 0.95 1-p)=0(0.95)=__0__ Media= 0.05

0.05(1-0.05)=0.0475b) Sea py la probabilidad de éxito de Y. determine py.

Eventos probabilidades Y=1 si se decolora 1 0.20 (p)= 1(0.20)= 0.20Y=0 si no sucede es 0 0.80 (1-p)=0(0.95)=__0__ Media= 0.20

0.20(1-0.20)=0.16c) Sea pz la probabilidad de éxito de Z. determine pz.

Eventos probabilidades Z=1 si se decolora 1 0.23 (p)= 1(0.20)= 0.23Z=0 si no sucede es 0 0.77 (1-p)=0(0.95)=__0__ Media= 0.23

0.23(1-0.23)=0.1771d) ¿es posible que X y Y sean iguales a 1?

No es posible solo 1 de ellas puede ser posible.e) ¿es pz=px+py?

No, no es igual.f) ¿Es Z=X+Y? explique

4. Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos sea X= 1 si sale “cara” en la moneda de 1 centavo, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos, Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale “cara” en ambas monedas, Z=0 en cualquier otro caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px Eventos probabilidades X=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50X=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__ Media= 0.50

0.50(1-0.50)=0.25b) Sea py la probabilidad de éxito de Y. determine py

Eventos probabilidades Y=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50Y=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__ Media= 0.50

0.50(1-0.50)=0.25c) Sea pz la probabilidad de éxito de Z. determine pz

Eventos probabilidades Z=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50Z=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__ Media= 0.50

0.50(1-0.50)=0.25d) ¿son X y Y independientes?

Si son independientes.e) ¿es pz=pxpy²?

f) ¿es Z=XY? Explique

5. Se lanzan 2 dados. Sea X=1 si sale el mismo numero en ambos y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la sume es 6 y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale el mismo numero en los dados y ambos sumen 6 (es decir, que salgan 3 en los dos dados) y Z=0en cualquier otro caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px Eventos probabilidades X=1 si sale el mismo numero 1 0.16 (p)= 1(0.16)= 0.16X=0 si no 0 0.84 (1-p)=0(0.84)=__0__ Media= 0.16

0.16(1-0.16)=0.1344b) Sea py la probabilidad de éxito de Y. determine py

Eventos probabilidades X=1 si sale el mismo numero 1 0.064 (p)= 1(0.064)= 0.064X=0 si no 0 0.936 (1-p)=0(0.036)=__0__ Media= 0.064

0.064(1-0.064)=0.059904c) Sea pz la probabilidad de éxito de Z. determine pz

Eventos probabilidades X=1 si sale el mismo numero 1 0.03125 (p)= 1(0.03125)= 0.03125X=0 si no 0 0.96875 (1-p)=0(0.036)=__0__ Media= 0.03125

0.03125(1-0.03125)=0.0302734

d) ¿son X y Y independientes?Si son independientes

e) ¿es pz=pxpy²?Si

f) ¿es Z=XY? Explique

Ejemplos de distribución binomial

1. Se toma una muestra de 5 elementos de una población grande en la cual el 10% de los elementos esta defectuoso.

a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra este defectuoso.p(x=0)= 5 0.1⁰(1-0.1)⁵⁻⁰=0.59049 0

b) Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectos.p(x=1)= 5 0.1¹(1-0.1)⁵⁻¹=0.32805 1

c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén defectuosos.p(x=3)= 5 0.1³(1-0.1)⁵⁻³=0.0081 3p(x=4)= 5 0.1⁴(1-0.1)⁵⁻⁴=0.00045 4p(x=5)= 5 0.1⁵(1-0.1)⁵⁻⁵=0.00001 5

d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tengan defectos.p(x=1)= 5 0.1²(1-0.1)⁵⁻²=0.0729 1

2. Se lanza al aire una moneda 10 veces.a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?

p(x=0)= 10 0.5³(1-0.5)¹⁰⁻³=0.1171875 3

b) Determine la media del número de caras obtenidas.p(x=2)= 10 0.5²(1-0.5)¹⁰⁻²=0.043945312 2

3. En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta imperfección. Se elige aleatoriamente cuatro llanta para instalarlas en el automóvil.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?p(x=0)= 4 0.05⁰(1-0.05)⁴⁻⁰=0.81450625 0

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga imperfección?p(x=1)= 4 0.05¹(1-0.05)⁴⁻¹=0.171475 1

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o mas de las llantas tenga imperfección?p(x=2)= 4 0.05²(1-0.05)⁴⁻²=0.0135375 2p(x=3)= 4 0.05³(1-0.05)⁴⁻³=0.000475 3p(x=4)= 4 0.05⁴(1-0.05)⁴⁻⁴=0.00000625 4

4. En un patrón aleatorio de ocho bits utilizados para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 ó 1. Suponga que los valores de los bits son independientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?p(x=8)= 8 0.50⁸(1-0.50)⁸⁻⁸=0.00390625 8

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los bits sean 1?p(x=3)= 8 0.50³(1-0.50)⁸⁻³=0.21875 3

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 de los bits sean 1?p(x=6)= 8 0.50⁶(1-0.50)⁸⁻⁶=0.109375 6

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?p(x=2)= 8 0.50²(1-0.50)⁸⁻²=0.109375 2

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON

1. Sea X ͠ poisson (4). Determinea) P(X=1)=0.0733 b) P(X=0)=0.0183c) P(X<2)=0.0916d) P(X>1)=0.9084

2. La concentración de partículas en una suspensión es de 2 mL. Se agita ´por completo la concentración y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de partículas que son retiradas. Determine

a) P(X=5)=0.10081b) P(X<2)=0.0555

3. Suponga que el 0.03% de los contenedores plásticos producidos es cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles X representa el numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen esta defecto determine:

a) p(X=3)=0.2240b) p(X<2)=0.4232c) p(1<X<4)=0.5974

4. Una variable aleatoria X tiene una distribución binomial y una variable aleatoria Y tiene una distribución de Poisson, tanto X como Y tienen medidas iguales a 3 ¿Es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las siguientes respuestas

i. Si, X tiene una varianza más grande.ii. Si, Y tiene una varianza más grande.

iii. No, se necesita conocer el número de ensayos, n, para X.iv. No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para Xv. No, se necesita conocer el valor de λ para Y.