Ejercicio: Dado que

Mtodos Numricos / Mdulo 4Teora, ejemplos y linealizacin de datos La finalidad de regresin lineal es la de ajustar una funcin lineal a un conjunto de datos mediante el mtodo de mnimos cuadrados. Supongamos que deseamos encontrar una funcin lineal que ajuste a un conjunto de parejas de datos observados:(X1, Y1), (X2,Y2)......(X n, Y n), luego la funcin lineal esta dada por : Y = a0 + a1x +

Donde a0 y a1 son los coeficientes a determinar y donde es el erroro residuo entre el modelo y las observaciones. = y - a0 - a1x, se conoce como la desviacin de cada dato. Criterio: la lnea de regresin se escoge de tal manera que se minimice la suma de los cuadrados de los residuos. Ejemplo 1: Asumamos que tenemos la siguiente tabla de datos:

Calculemos los coeficientes de la ecuacin de regresin Clculo de:

Aqu hay un error de la frmula (el ltimo termino debe ir elevado al cuadrado, ver ms adelante en NOTA) , pero los clculos estn bien Clculo de:

a0 = 1.2567 - 1.7645*(0.55) = 0.2862

Luego la recta de regresin es:

NOTA: Tener en cuenta lo siguiente para calcular correctamente los coeficientes de la recta de regresin a y b (a1 y ao; A y B)

Ejemplo 2: Dada la siguiente tabla de datos:

Realizar un ajuste por mnimos cuadrados de los mismos a una recta y a una cuadrtica. Cul de los dos ajustes es mejor?

Solucin:

Para encontrar la recta de interpolacin, de la forma , resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

, por tanto, el sistema a resolver ser:

, de donde se obtiene:

, y por tanto se tendr que el polinomio est dado por:

Para ajustar los datos a una cuadrtica (polinomio de grado ), resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

, el sistema a resolver es:

, cuya solucin est dada por:

, por lo tanto, la cuadrtica de ajuste es:

Para este caso, el ajuste por mnimos cuadrados a una recta resulta mejor que el ajuste a una cuadrtica. VERIFICARLO!La siguiente Tabla 5.6 (tomada del libro de Mtodos Numricos de John H. Mathews) puede ser usada para linealizar algunos datos.

La tabla que sigue a continuacin en un complemento de la tabla anterior y es tomada del libro del Profesor Tito Flrez Caldern:

MTODOS NUMRICOS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA

3. Dada la siguiente tabla de datos,

x12345

f(x)0.51.73.45.78.4

, ajustar la tabla a una funcin de la forma

Solucin:

Usamos la linealizacin y con ayuda de dicha linealizacin fabricamos la siguiente tabla:xylog(x)log(y)

10.50.0-0.301

21.70.3010.226

33.40.4770.534

45.70.6020.753

58.40.6990.922

Una regresin lineal usando las dos ltimas columnas nos da que A=1.75 y B=-0.3, o sea

, o sea que la funcin pedida es

La finalidad de regresin lineal es la de ajustar una funcin lineal a punto de datos mediante el mtodo de mnimos cuadrados.

Supongamos que deseamos encontrar una funcin lineal que ajuste a un conjunto de parejas de datos observados:

( X1, Y1) , ( X2,Y2))......(X n, Y n), luego la funcin lineal esta dada por :

Y=a0 + a1x +

Donde a0 y a1 son los coeficientes a determinar, donde es el error o residuo entre el modelo y las observaciones

= y - a0 - a1x , se conoce como la desviacin de cada dato.

_1285417662.unknown

_1285419624.unknown

_1285419759.unknown

_1285418461.unknown

_1252302012.unknown