UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
SECCIN JAN
FACULTAD DE INGENIERA
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Hallar los momentos estticos respecto a los ejes X e Y, las
coordenadas del centro de gravedad del arco de lo astroide situada
en el primer cuadrante.
Solucin:
Desarrollando la integral
Evaluando los valores
Haciendo cambio de variable
Remplazando en u Evaluando los valores
2. Hallar el centro de gravedad de la regin finita, en el primer
cuadrante, comprendida entre la curva y el eje XSolucin:
Integracin por partes
Desarrollando por integracin por partes
3. El Centro de gravedad de la regin acotada por las curvas ; es
un es un punto de abscisa igual a 2. Hallar el valor de m
Solucin:
Intersecciones
Evaluando los valores
Desarrollando la integral
Evaluando los valores
4. Hallar el centro de masa de un cono homogneo circular recto
de altura h y radio de base r.
Solucin: Hallando la recta
Evaluando los valores
Calculando el Mx
Evaluando los valores
En
5. . Hallar el centro de gravedad del arco de la circunferencia
de radio a, el cual se tiene el ngulo central .
Solucin:
Como el arco AB es simtrico respecto
al eje X: y =0, entonces .
Solo hallemos: = ?
Usemos la ecuacin polar de la circunferencia r=a.
Conclusin:
6.
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de un arco
completo de la cicloide : ,
Solucin:
El Grfico es:
Hallar
El arco es simtrico respecto a la recta, entonces
Hallar
,
Conclusin:
7. Determinar el cancroide del arco de la CARDOIDESolucin:
El grafico es:
Hallar
La curva es simtrica respecto al eje X:
y=0 entonces Hallar
8.
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco del
cardiode desde, hasta .
Solucin:
9. Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la
astroide el cual se halla en el primer cuadrante.
Solucin:
Hallar
La curva es simtrica respecto a la recta
Entonces.
Hallar
,
10.
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la
espiral logartmica (desde ).
Solucin:
Hallar donde:
,
,
Conclusin:
14. Una fuerza de 600 dinas estira un resorte de su longitud
original de 30 cm a 35 cm. Calcular el trabajo que se realiza al
estirar el resorte de su longitud original a 40 cm.Solucin:
Calculando F(x)
Realizando transformaciones: (N.m)
Por lo tanto la ecuacin queda definida:
De la variacin del trabajo tenemos:
15. Hallar la longitud de un muelle metlico pesado, si el
trabajo efectuado al alargarlo desde una longitud de 2 pies hasta
una longitud de 3 pies es la mitad del trabajo efectuado al
alargarlo desde una longitud de 3 pies hasta una longitud de 4
pies.
16. Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paraleleppedo
rectangular de 5 pies de profundidad, 15 pies de ancho y 25 pies de
largo. Calcular el trabajo necesario para bombear el agua del
tanque hasta un nivel de 1 pies arriba de la superficie del
tanque.Solucin: De la variacin del volumen
Transformando a m2:
De la variacin de la fuerza:
De la variacin del trabajo:
El trabajo para bombear un nivel 1 pies ms arriba del tanque es
272.25J
17. Un depsito cilndrico vertical de radio 2 metros y altura 6
metros se encuentra lleno de agua. Halar el trabajo al bombear el
agua:a) Hasta el nivel ms alto del depsito.b) Hasta el nivel de 5
metros por encima de dicho depsito. ( = 1000kg/m3)
Solucin:
De las variaciones del volumen, fuerza y trabajo; tenemos:
Integrando en el intervalo de 0 a h (altura):
Para: r = 4 y h = 6
18. Un tanque rectangular lleno de agua tiene 2 pies de ancho y
8 pies de profundidad, encontrar la fuerza debida a la presin del
lquido sobre un extremo del tanque.
De la variacin de la fuerza de presin, rea tenemos:
Integrando:
19. Una superficie tiene la forma de una elipse de semiejes a y
b se sumerge verticalmente en un lquido con su eje mayor paralelo a
la superficie del lquido hasta que el centro de la elipse se
encuentre a una profundidad h. Cul es la presin del lquido sobre la
superficie?
Solucin: De la variacin de la fuerza de presin:
Integrando para un intervalo de la elipse:
depende de a y b.
20. Un tanque cisterna tiene la forma de un slido engendrado
haciendo pirar, alrededor de su eje vertical, un segmento de
parbola terminado por una cuerda perpendicular al eje de 3m de
largo, a una distancia de 3m del vrtice. Si la cisterna est llena
de agua, determinar el trabajo que necesita realizar un hombre para
bombear el 50% de su capacidad, hasta su borde superior.
ANALISIS MATEMATICO II LIC: ELADIO SANCHEZ CULQUI
