Ejer13 - Aplicaciones Geometricas 2015

7/23/2019 Ejer13 - Aplicaciones Geometricas 2015

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UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA LENDEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS CLCULO IEJERCICIOS DE APLICACIONES GEOMTRICAS DE LA DERIVADA: Pendientes, tangentes y normalesRECOPILACIN POR MIGUEL NGEL ARREDONDO MORALES

1) )Existen puntos sobre la curva42

1

2

x

xy donde la pendiente sea 3/2. Si existen, hllalos.

2) Existen puntos sobre la curvax

xy21 donde la pendiente sea 3? Si existen, hllalos.

3) Halla los puntos sobre la curva 201232 23 xxxy donde la tangente sea:

a) paralela al eje X;

b) perpendicular a la recta24

1 x

y ;

c) paralela a la recta xy 122

4) Hallar las intersecciones con los ejes de la recta que es tangente a la curva3xy en el punto

(B2,B8).

5) Demuestre que las tangentes a la curvasinx

yx

en x y x se intersecan en ngulo

recto.

6) Hallar los puntos sobre la curva tan ;2 2

y x x

, donde la normal sea paralela a la recta

2

xy . Traza juntas la curva y las normales e indica cada una con su ecuacin.

7) Hallar ecuaciones para la tangente y la normal a la curva xy cos1 en el punto (/2, 1) Trazar

juntas la curva, la tangente y la normal, e indica cada una con su ecuacin.

8) La parbola Cxy 2 debe ser tangente a la recta y x . Hallar C.

9) Demuestre que la tangente a la curva y x 3 en el punto ,a a3 interseca a la curva otra vez en

un punto donde la pendiente es cuatro veces la pendiente en el punto ,a a3 .

10) Para qu valor C de la curvaC

yx

1

es tangente a la recta que pasa por (0, 3) y (5, B2)?

11) Demuestre que la recta normal a cualquier punto del crculo x y a 2 2 2 pasa por el origen.

12) Hallar las pendientes de las siguientes curvas en el punto x 1:

a)2

8 5y x

b)2

3y

x

c)4

1y

x


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13) Hallar las coordenadas del vrtice de la parbola usando el hecho de que en el

vrtice la pendiente de su tangente es cero.

14) Hallar la pendiente de las tangentes a la parbola y x x 2 5 6 en sus puntos de interseccincon el eje x.

15) Hallar el punto de la curva y x x 25 en el que la inclinacin de la tangente es de 45.

16) En la curva y x x 3 hallar los puntos en los que la tangente es paralela a la recta y x 4

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grfica de cada una de las funciones y enlos puntos que se indican:

17)4 3

3 2 1 en 1y x x x x

18) sin cos en 0y x x x

19) 2 en 6y x x

20) Hallar las coordenadas de los puntos de la curva f x x x 2 7 1 en los que la tangente a

dicha curva forme un ngulo de 45 con el eje OX+

21) En qu punto de la curva dada por2

1

xy

x

, la tangente a la misma es paralela a la bisectriz

del segundo cuadrante?

22) Hallar los puntos de la grfica de la funcin y x x 3 3 en los que la recta tangente eshorizontal.

23) Bajo qu ngulo se cortan las parbolas ,y x y x x 2 2 6 12?

24) Sea :f la funcin definida por xf x e .

a) Hallar la ecuacin de la tangente a la grfica en el punto de abscisa x a .

b) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f que es paralela a la recta de ecuacin

2 2 1 0x y .

c) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 0) y es tangente a la grfica de f.

25) Dada la funcin , cuya grafica se

anexa; determinar los puntos de la curva, donde latangente es horizontal. Describa el procedimiento.

y x x 2 4 1

f x x x x( ) 13

3 2 3 4

- 5 0 5

- 5

0

5


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26) Encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal

a la curva en el punto (2, 1).

27) Encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal

a la curva en el punto (4, 5).

28) Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la

curva cuya pendiente sea igual a

13.

29) Dada la funcin , hallar las ecuaciones delas rectas tangentes a la curva en los puntos x = 0, x = 2,x = 3.

30) Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la

curva ; que sean paralelas a la recta

. Describe todo el procedimiento.

yx

8

42

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

0

1

2

y x 2 9

6 - 4 - 2 0 2 4 6

0

2

4

6

f x x x x( ) 3 24 3

1 0 - 5 0 5

0

1 0

2 0

y x x

2

4 4

- 1 0 - 5 0 5 1 0

0

1 0

2 0

y x 3 y x 3 6 0

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

-

- 5

0

5

1 0


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31) Encontrar las abscisas x, de los puntos de tangencia

donde las rectas tangentes a la curva

son paralelas a la recta .

32) Encontrar las ecuaciones de las rectas tangente a la curva

, que pasan por el punto (1, 2).

33) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hiprbola

, trazadas desde el punto (1, 1)

34) Determinar la medida del ngulo agudo, en grados, que

se forma entre las curvas & ensus puntos de interseccin.

35) Encontrar la medida del agudo que se forma en la

interseccin de las curvas y .

y x x x 133 2 3

2 3 0x y

- - 4 - 2 0 2 4 6

- 1 0

- 5

0

5

y x

x

1

3

- - - 2 0 2 4 6

-

- 5

0

5

xy1

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 1 0

- 5

0

5

1 0

y x 2 102 y x

2 2

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 1 0

- 5

0

5

1 0

y x 6 2 y x

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

-

-

-

0

2

4

6


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36) Hallar los ngulos agudos de interseccin de las

circunferencias y

37) Calcular el ngulo agudo de interseccin de la recta

con la curva de ecuacin .

38) Calcular los ngulos agudos de interseccin de las curvas

y

39) Demostrar que la elipse y la hiprbolason perpendiculares en su punto de

interseccin.

En los ejercicios siguientes, hallar las ecuaciones de las rectas que son tangentes y normales a lacurva en el punto dado.

40) ,2 22 9 1 2x y

41) ,3 2 2 1 1x y

42) ,2 5 2 3 2xy x y

43) ,y x x 2

2 4 6 2

44) ,x xy 6 4 1

x x y2 24 0 x y2 2 9

6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 4

- 2

0

2

4

y x 2 0 3 4 12 02y x

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

-

- 4

- 2

0

2

4

x y2 2 36 x y2 5

- 1 5 - 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5

- 1 0

- 5

0

5

1 0

4 9 452 2

x y x y2 24 5

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 4

- 2

0

2

4


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45) ,x y 2 2

3 32 17 1 4

46) y x x x 4 3 27 3 , (0, 3)

47) cosy x x x

2

48) ,xy x y 2 2 2 1 1

49)x

y xx x

23 4

13 5

50) ( ) ,y x x x x 3 2 22 1 1

51) ,x y xy 3 3 2 1 1

52) ,y x 2 5 2 3

53) y x x x 22 112

54) y x tan x x 2 4 3 0

55) ,x y 2 2 13 2 3

56) sin ,x y xy 0

57) Bifolium: ,x y x y 2

2 2 24 1 1

58) Folium de Descartes:

xy

x y

3 3 9

02 (2, 1)

59) ,x xy y 2 32 1 1

60)lnxy x x 1

61)xxy x x 1

62) yx y e , 2 2 1 0

63)xy x x 32 1

64) ,yx y e 2 1 1 0

65)xy xe x 2 1 1

66) x

y x x 1 0

67) ln

en , y ,x

yx e

11 0 1


7/8

Hallar los ngulos de interseccin de cada uno de los siguientes pares de curvas:

68) ,y x x y 2 2 21 13

69) ,y x x y 2 2 26 7 32

70) ,y x y y x 2 2 3 2

71) ,x y x y 2 2 2 24 61 2 41

72) ln , lny x y x 1 7 2

73) ln , lny x y x 23 5

74) sin , cosy x y

75) tan , coty x y x

76) cos , siny x y x 2

Hallar los puntos de contacto de las tangentes horizontales y verticales de cada una de las siguientescurvas.

77) y x x 25

78) y y x 23 6 0

79) x xy y 2 26 25 16

80) x x y 2 28 25 81

81) x xy y 2 224 169 25

82) x xy y 2 2169 10 144

83) Demostrar que la hiprbola x y 2 2 5 y la elipse x y 2 24 9 72 se cortan en ngulos rectos.

84) Demostrar que el crculo x y x 2 2 8 y la cisoide x y x 2 32

a. son perpendiculares en el origen;

b. se cortan en ngulo de 45 en otros dos puntos.

85) Demostrar que las tangentes a la hoja de Descartes x y xy 3 3 2 en los puntos de interseccin

con la parbola y x2 4 son paralelas al eje Y.

86) Hallar la ecuacin de la normal a la parbola y x x

2

5 que forma un ngulo de 45 con el ejeX.

87) Hallar las ecuaciones de las tangentes al crculo x y 2 2 58 que son paralelas a la recta

x y 3 7 59 .

88) Hallar las ecuaciones de las normales a la hiprbola x y 2 24 36 que son paralelas a la recta

x y 2 5 4 .

89) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse x y 2 24 72 que pasan por el punto (4, 4)


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90) Las curvas lny x x 1 y lny x x se cortan en el origen y en otro punto A. Hallar el ngulode interseccin en A.

91) )Dnde la recta normal a la elipse x xy y 2 2 3 , en el punto (B1, 1) cruza la elipse porsegunda vez?

92) Encuentre todos los puntos de la curva x y xy 2 2 2 donde la pendiente de la recta tangente es

1.

93) Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x y 2 24 36 que pasen por elpunto (12, 3).

94) )En cul punto de la curva lny x 2 4 la tangente es horizontal)

95) Encuentre una ecuacin de la tangente a la curvaxy e que es paralela a la recta x y 4 1.

96) Halle una ecuacin de la tangente a la curvax

y e que pase por el origen.

97) Encuentre los puntos sobre la elipse x y 2 22 1donde la recta tangente tenga pendiente 1.

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