Embed Size (px)
Citation preview
EJERCICIO 11. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentido1. Una deuda se expresa en sentidonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadonegativo. Luego inicalmente el estadoeconómico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.económico de Pedro es - 60 bs.Al recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitalAl recibir 320 bs. Aumenta su capitaltantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncestantos bs. como ha recibido; entoncesla operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comola operaciòn queda expresada comose indicase indicase indicase indicase indica
− + = +60 320 260 bs.
2. 2. 2. 2. 2. 1 170 1 515 345. .− = − sucres
3. 3. 3. 3. 3. 200 56 189 67+ − = +$
4. 4. 4. 4. 4. − − + = +665 1 178 2 280 437. . soles
5. 5. 5. 5. 5. 20 15 40 75 30− + − = −$
6. 6. 6. 6. 6. − + − + = −67 72 16 2 9$
7. 7. 7. 7. 7. 200 78 81 93 41 59 70− − − + − = − colones
8. 8. 8. 8. 8. − − − + − =45 66 79 200 10 0
EJERCICIO 2
1. 1. 1. 1. 1. 12 15 3− = − !
2. 2. 2. 2. 2. − + − = −3 8 6 1!
3. 3. 3. 3. 3. ( )15 3 15 3 18− − = + = !
4. 4. 4. 4. 4. ( )− − + = + =8 5 8 5 13!
5. 5. 5. 5. 5. − + + − = −4 7 2 11 6!
6. 6. 6. 6. 6. − + ⋅ = − + = − →
− + ⋅ = − + = →
− + ⋅ = − + = + →
8 4 1 8 4 4 7
8 4 2 8 8 0 8
8 4 5 8 20 12 11
!
!
!
am
am
am
7. 7. 7. 7. 7. − − ⋅ = − − = − →
− − ⋅ = − − = − →
− − ⋅ + ⋅ = − − + = − →
− − ⋅ + ⋅ = − − + = + →
1 2 2 1 4 5 10
1 2 3 1 6 7 11
1 2 3 3 1 1 6 3 4 12
1 2 3 3 3 1 6 9 2 2
!
!
!
!
am
am
am
pm
8. 8. 8. 8. 8. − + = −56 7 49!
9. 9. 9. 9. 9.
( )− + = −
− + − = −
71 5 66
15 5 20
!
!
long
lat.
10. 10. 10. 10. 10. 18 3 21
65 4 61
+ =+
- =+
!
!
long
lat.
11. 11. 11. 11. 11. - + =+75 135 60 años
EJERCICIO 3
1. 1. 1. 1. 1. + −32 16m m;
2. 2. 2. 2. 2. + −10 4m m;
3. 3. 3. 3. 3. 50 85 35− = − m
4. 4. 4. 4. 4. − ⋅ = −6 11 66m
5. 5. 5. 5. 5. - × =-
× =+
8 6 48
9 6 54
m
m
6. 6. 6. 6. 6. 400 2 800
400 3 1 200
⋅ = + →− ⋅ = − →
m corredor
m yo.
7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste7. Los 40 pies de longitud del poste se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen se reparten asi: 15 pies que sobresalen - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . - se asumen en sentido positivo- . 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. 25 pies que se encuentran enterrados. - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . - se asumen en sentido negativo - . Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan Al introducir 3 pies màs, se adicionan a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben a los que estan bajo el suelo y se deben descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. descontar de los que estan por encima. Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa: Aritmèticamente significa:
40 15 25
25 3 28
15 3 12
= +− − = −+ − = +
pies
pies
8. 8. 8. 8. 8. 55 52 3− = + m
9. 9. 9. 9. 9. − + = −32 15 17m
10. 10. 10. 10. 10. 35 47 12− = − m
11. 11. 11. 11. 11. − + = +39 56 17m
12. 12. 12. 12. 12. 90 58 36 4− − = − m
13. 13. 13. 13. 13. 72 30 1 72 30 42
72 30 2 72 60 12
72 30 3 72 90 18
72 30 4 72 120 48
− ⋅ = − = +− ⋅ = − = +− ⋅ = − = −− ⋅ = − = −
m
m
m
m
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( )( )
− − − ⋅ = − + = −
− − − ⋅ = − + =
− − − ⋅ = − + = +
− − − ⋅ = − + = +
120 60 1 120 60 60
120 60 2 120 120 0
120 60 3 120 180 60
120 60 4 120 240 120
Km
Km
Km
EJERCICIO 7.1. 1. 1. 1. 1. x x x+ =2 3
2. 2. 2. 2. 2. 8 9 17a a a+ =
3. 3. 3. 3. 3. 11 9 20b b b+ =
4. 4. 4. 4. 4. − − = −b b b5 6
5. 5. 5. 5. 5. − − = −8 9m m m
6. 6. 6. 6. 6. − − = −9 7 16m m m
7. 7. 7. 7. 7. 4 5 9a a ax x x+ =
8. 8. 8. 8. 8. 6 8 141 1 1a a ax x x+ + ++ =
9. 9. 9. 9. 9. − − = −+ + +m m mx x x1 1 15 6
10. 10. 10. 10. 10. − − = −− − −3 42 2 2a a ax x x
11. 11. 11. 11. 11. 1
2
1
2
1 1
2
2
2a a a a a+ =
+= =
12. 12. 12. 12. 12. 3
5
1
10
6
10
7
10ab ab
ab abab+ =
+=
13. 13. 13. 13. 13. 1
3
1
6
2 1
6
3
6
1
2xy xy xy xy xy+ =
+= =
14. 14. 14. 14. 14. − − =− −
= − = −1
5
4
5
1 4
5
5
5xy xy xy xy
15. 15. 15. 15. 15. − − =− −
= −5
6
1
8
20 3
24
23
242 2 2 2a b a b a b a b
16. 16. 16. 16. 16. − − = − − = −a a a a7
8
8 7
8
15
8
17. 17. 17. 17. 17. 8 9 6 23a a a a+ + =
18. 18. 18. 18. 18. 15 20 36x x x x+ + =
19. 19. 19. 19. 19. − − − = −7 8 9 24m m m m
20. 20. 20. 20. 20. − − − = −a b a b a b a b2 2 2 23 5
21. 21. 21. 21. 21. a a a ax x x x+ + =3 8 12
22. 22. 22. 22. 22. − − − = −+ + + +5 3 5 131 1 1 1a a a ax x x x
23. 23. 23. 23. 23. a a a a a+ + =+ +
=1
2
2
3
6 3 4
6
13
6
24. 24. 24. 24. 24. − − − =− − −
= −x x x x x2
3
1
6
6 4 1
6
11
6
25. 25. 25. 25. 25. 1
5
3
10
2 3 10
10
15
10
3
2ax ax ax ax ax ax+ + =
+ += =
26.26.26.26.26. − − − =− − −
= −3
4
5
6
9 10 12
12
31
122 2 2 2 2a x a x a x a x a x
27. 27. 27. 27. 27. 11 8 9 11 39a a a a a+ + + =
28.28.28.28.28. m m m m mx x x x x+ + + + ++ + + =1 1 1 1 13 4 6 14
29. 29. 29. 29. 29. − − − − = −x y x y x y x y x y2 2 2 2 28 9 20 38
30. 30. 30. 30. 30. − − − − = −3 5 6 9 23a a a a am m m m m
31. 31. 31. 31. 31. 1
2
1
4
1
8
4 2 1 8
8
15
8a a a a a a+ + + =
+ + +=
32.32.32.32.32.2
5
1
2
1
10
1
20
8 10 2 1
20
21
20ax ax ax ax ax ax+ + + =
+ + +=
33. 33. 33. 33. 33. 0 5 0 6 0 7 0 8 2 6, , , , ,m m m m m+ + + =
34. 34. 34. 34. 34. − − − −
=− − − −
= − = −
1
7
1
14
1
284 2 1 28
28
35
28
5
4
ab ab ab ab
ab ab ab
35. 35. 35. 35. 35. − − − −
=− − − −
= −
2
3
1
6
1
9
1
1224 6 4 3
36
37
36
3 3 3 3
3 3
x y x y x y x y
x y x y
36. 36. 36. 36. 36. ab ab ab ab ab ab2 2 2 2 2 27 9 21 39+ + + + =
37. 37. 37. 37. 37. − − − − − = −m m m m m m8 7 3 20
38. 38. 38. 38. 38. − − − − − = −+ + + + + +x x x x x xa a a a a a1 1 1 1 1 18 4 5 19
39. 39. 39. 39. 39. 1
2
1
3
1
4
1
5
1
630 20 15 12 10
60
87
60
29
20
a a a a a
a a a
+ + + +
=+ + + +
= =
40. 40. 40. 40. 40. − − − − −
=− − − − −
= −
1
3
1
6
1
2
1
12
1
912 6 18 3 4
36
43
36
ab ab ab ab ab
ab ab
EJERCICIO 8
1. 1. 1. 1. 1. 8 6 2a a a− =
2. 2. 2. 2. 2. 6 8 2a a a− = −
3. 3. 3. 3. 3. 9 15 6ab ab ab− = −
4. 4. 4. 4. 4. 15 9 6ab ab ab− =
5. 5. 5. 5. 5. 2 2 0a a− =
6. 6. 6. 6. 6. − + =7 7 0b b
7. 7. 7. 7. 7. − + =14 32 18xy xy xy
8. 8. 8. 8. 8. − + =25 32 72 2 2x y x y x y
9. 9. 9. 9. 9. 40 51 113 3 3x y x y x y− = −
10. 10. 10. 10. 10. − + =m n m n m n2 2 26 5
11. 11. 11. 11. 11. − + =15 40 25xy xy xy
12. 12. 12. 12. 12. 55 81 263 2 3 2 3 2a b a b a b− = −
13. 13. 13. 13. 13. − + =x y x y2 2 0
14. 14. 14. 14. 14. − + =9 9 02 2ab ab
15. 15. 15. 15. 15. 7 7 02 2x y x y− =
16. 16. 16. 16. 16. − + =101 118 17mn mn mn
17. 17. 17. 17. 17. 502 405 97ab ab ab− =
18. 18. 18. 18. 18. − + = −1024 1018 6x x x
19. 19. 19. 19. 19. − + =15 15 0ab ab
20. 20. 20. 20. 20. 1
2
3
4
2 3
4
1
4a a a a− =
−= −
21. 21. 21. 21. 21. 3
4
1
2
3 2
4
1
4a a a a− =
−=
22. 22. 22. 22. 22. 5
6
5
12
10 5
12
5
122 2 2 2a b a b a b a b− =
−=
23. 23. 23. 23. 23. − + =− +
=4
7
9
14
8 9
14
1
142 2 2 2x y x y x y x y
24. 24. 24. 24. 24. 3
8
5
4
3 10
8
7
8am am am am− =
−= −
25. 25. 25. 25. 25. − + =− +
= −am am am am3
5
5 3
5
2
5
26. 26. 26. 26. 26. 5
6
7
8
20 21
24
1
24mn mn mn mn− =
−= −
27. 27. 27. 27. 27. − + =− +
= −a b a b a b a b2 2 2 23
11
11 3
11
8
11
28. 28. 28. 28. 28. 3 4 5 6 2 24 3 4 3 4 3, , ,a b a b a b− = −
29. 29. 29. 29. 29. − + =12 3 4 2 2, , ,yz yz yz
30. 30. 30. 30. 30. 4 2 2a a ax x x− =
31. 31. 31. 31. 31. − + =+ +8 8 01 1a ax x
32. 32. 32. 32. 32. 25 32 71 1 1m m ma a a− − −− = −
33. 33. 33. 33. 33. − + =+ +x xa a1 1 0
34. 34. 34. 34. 34. − + =− +
=− − − −1
4
1
2
1 2
4
1
42 2 2 2a a a am m m m
35. 35. 35. 35. 35. 5
6
7
12
10 7
12
3
12
1
41 1 1 1 1a a a a am m m m m+ + + + +− =
−= =
36. 36. 36. 36. 36. 41
3
12 1
3
11
32 2 2 2a a a a− =
−=
37. 37. 37. 37. 37. − + =− +
= −53
4
20 3
4
17
4mn mn mn mn
38. 38. 38. 38. 38. 8 25 172 3 2 3 2 3a b a b a bx x x x x x+ + + + + +− = −
39. 39. 39. 39. 39. − + =− +
=7
8
7 8
8
1
8a b a b a b a bm n m n m n m n
40. 40. 40. 40. 40. 0 85 0 5 0 35, , ,mxy mxy mxy− =
EJERCICIO 9
1. 1. 1. 1. 1. 9 3 5 11a a a a− + =
2. 2. 2. 2. 2. − + − =8 9 0x x x
3. 3. 3. 3. 3. 12 23 5 16mn mn mn mn− − = −
4. 4. 4. 4. 4. − + − =x x x19 18 0
5. 5. 5. 5. 5. 19 10 6 15m m m m− + =
6. 6. 6. 6. 6. − − + =11 15 26 0ab ab ab
7. 7. 7. 7. 7. − + − = −5 9 35 31a a a aX X X X
8. 8. 8. 8. 8. − − + =+ + +24 15 39 02 2 2a a aX X X
9. 9. 9. 9. 9. 2
3
1
3
2 1 3
3
0
30y y y y y+ − =
+ −= =
10. 10. 10. 10. 10. − + − =− + −
= −3
5
1
4
1
2
12 5 10
20
17
20m m m m m
11. 11. 11. 11. 11. 3
8
1
4
3 2 8
8
3
82 2 2 2 2a b a b a b a b a b+ − =
+ −= −
12. 12. 12. 12. 12. − + + − =a a a a a8 9 15
13. 13. 13. 13. 13. 7 11 20 31 15ab ab ab ab ab− + − = −
14. 14. 14. 14. 14. 25 50 11 14 02 2 2 2x x x x− + + =
15. 15. 15. 15. 15. − − − + =xy xy xy xy xy8 19 40 12
16. 16. 16. 16. 16. 7 21 80 53ab ab ab ab ab+ − − = −
17. 17. 17. 17. 17. − + + − = −25 11 60 82 362 2 2 2 2xy xy xy xy xy
18. 18. 18. 18. 18. − + − + =72 87 101 243 157ax ax ax ax ax
19. 19. 19. 19. 19. − − − + =82 71 53 206 0bx bx bx bx
20. 20. 20. 20. 20. 105 464 58 301 03 3 3 3a a a a− + + =
21. 21. 21. 21. 21. 1
2
1
3
1
4
1
5
30 20 15 12
60
13
60x x x x x x− + − =
− + −=
22. 22. 22. 22. 22. 1
3
1
3
1
6
1
12
4 4 2 1
12
1
12y y y y y y− + − =
− + −=
23. 23. 23. 23. 23. 3
5
1
6
1
318 5 10 30
30
7
30
2 2 2 2
2 2
a b a b a b a b
a b a b
− + −
=− + −
= −
24. 24. 24. 24. 24. − − + −
=− − + −
= − = −
5
6
1
6
3
820 4 24 9
24
9
24
3
8
2 2 2 2
2 2 2
ab ab ab ab
ab ab ab
25. 25. 25. 25. 25. − + − + − = −a a a a a a8 11 15 75 64
26. 26. 26. 26. 26. − + + − + =7 21 14 30 82 80c c c c c c
27. 27. 27. 27. 27. − + − − + =mn mn mn mn mn mn14 31 20
28. 28. 28. 28. 28. a y a y a y a y a y2 2 2 2 27 93 51 48 0− − + + =
29. 29. 29. 29. 29. − + − + − + =a a a a a a a3 6 3
30. 30. 30. 30. 30. 1
2
2
3
7
6
1
23 4 7 3 6
6
3
6
1
2
x x x x x
x x x
+ − + −
=+ − + −
= − = −
31. 31. 31. 31. 31. − + + + −
=− + + + −
= − = −
23
4
1
4
5
648 18 6 24 20
24
20
24
5
6
x x x x x
x x x
32. 32. 32. 32. 32. 7 30 41 9 73 0a a a a ax x x x x− − − + =
33. 33. 33. 33. 33. − + − − + =+ + + + + +a a a a a ax x x x x x1 1 1 1 1 17 11 20 26
34. 34. 34. 34. 34. a a a a a a a+ − + − + =6 20 150 80 31 88
35. 35. 35. 35. 35. − − − − − + = −9 11 17 81 110 9b b b b b b b
36.36.36.36.36. − + + − − + = −a b a b a b a b a b a b a b2 2 2 2 2 2 215 85 131 39 162
37. 37. 37. 37. 37. 84 501 604 715 231 165
1340
2 2 2 2 2 2
2
m x m x m x m x m x m x
m x
− − − + +
= −
38. 38. 38. 38. 38. 5
6
2
3
1
4
5
84
20 16 6 15 96
24
111
2437
84
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 58
3 2
a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b
+ − − +
=+ − − +
=
= =
39.39.39.39.39. 40 81 130 41 83 91 16 28a a a a a a a a− + + − − + = −
40.40.40.40.40. − + − + − − − =21 52 60 84 31 23 0ab ab ab ab ab ab ab
EJERCICIO 10
1. 1. 1. 1. 1. 7 6 9 4
7 6 13 9 4 13
13 13
a a b b
a a a b b b
a b
+ − −+ = − − = −
= −
2. 2. 2. 2. 2. a b c b c c a
a a b b c c c
+ − − − + −− = − = − − + =
=
2
0 0 2 0
0
3. 3. 3. 3. 3. 5 11 9 20 1
5 20 25 11 12 9 1 10
25 12 10
x y x y
x x x y y y
x y
− − + − −+ = − − = − − − = −
= − −
4. 4. 4. 4. 4. − + + − − − −− − − = − − = − = −= − + −
6 8 5 6 11
6 6 13 8 7 5 11 6
13 7 6
m n m n m
m m m m n n n
m n
5. 5. 5. 5. 5. − + + − + + −− + = + − = − + ==
a b b c a c b
a a a b b b c c
a
2 2 3 2 3
3 2 2 3 0 2 2 0
2
6. 6. 6. 6. 6. − + − + + + −− + + = + − = −= −
81 19 30 6 80 25
81 80 0 19 6 25 0 30
30
x y z y x x y
x x x y y y z
z
7. 7. 7. 7. 7. 15 6 8 20 5 31
15 8 8
6 5 12 20 31 11
8 12 11
2 2 2
2 2 2 2
2
a ab a ab a ab
a a a a
ab ab ab ab
a ab
− − + − − + −
− + =− − − = − − = −
= − −
8. 8. 8. 8. 8. − + − + − + − −− − + − =
+ − − = −= −
3 4 6 81 114 31
3 6 31 21
4 81 114 30
21 30
a b a b b a a b
a a a a a
b b b b b
a b
9. 9. 9. 9. 9. − − + + − +
− + − + = −
− + =
= −
71 84 50 84 45 18
71 50 45 18 48
84 84 0
48
3 4 2 3 4 2 3 3
3 3 3 3 3
4 2 4 2
3
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b
a b
10. 10. 10. 10. 10. − + − + + + − − − − − +− + − = − + − =− − + = − − = −= − −
a b c a b c a b c
a a a a b b b
c c c
a
8 2 2 19 2 3 3 3 3
2 3 2 2 3 0
2 3 0 8 19 3 14
2 14
11. 11. 11. 11. 11. m mn m mn m m m m
m m m m m m m m mn mn mn
m m mn
2 2 3 2 2 3
3 3 3 2 2 2 2 2
3 2
71 14 65 115 6
6 7 14 115 129 71 65 6
7 129 6
+ − − + − − +
+ = − − − = − − =
= − +
12. 12. 12. 12. 12. x y x y x y x y x y x y x y x y y
x y x y x y x y x y x y x y x y
x y x y y
x y x y y
4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3
4 4 4 4 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 3
4 3 2 3
8 10 7 9 21 50
8 21 14 7 7
0 10 9 50 31
14 7 31
− + − − − + − − + − +
− + = − + − = −
− = − − − + =
= − − +
13. 13. 13. 13. 13. 5 3 8 5 50 4 65 90 7
8 7 0 3 4 0 5 5 0 50 65 90 25
25
1 2 3 1 2 2 3 3
3 3 3 2 2 2 1 1
a b c a b b c c
c c c b b b a a
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
− − − − + − − + + +
− + + = − + − = − = − − + = −= −
14. 14. 14. 14. 14. a x a x a x
x x x x a a a a
x a
m m m m m m
m m m m m m m m
m m
+ + + + + +
+ + + + + + + +
+ +
− − + − + − + −
− + − = − − + = − − + − = −
= − − −
2 3 2 3 2 3
3 3 3 3 2 2 2 2
3 2
5 8 3 5 6 5
5 5 3 5 8 6 3
3
15. 15. 15. 15. 15. 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 9 3 3 3
0 3 0 6 3 2 7 0 4 0 7 3 3 3 0 5 0 9 3 3 4
2 7 3 3 3 4
, , , , , ,
, , , , , , , , ,
, , ,
a b c a b c a b c
a a a a b b b b c c c c
a b c
+ + − − − + − −− + = − − = − − − = −
= − −
16. 16. 16. 16. 16. 1
2
1
32 3
3
4
1
6
3
4
1
21
22
3
4
2 8 3
4
7
4
1
33
1
6
2 18 1
6
17
6
3
4
1
2
3 2
4
1
47
4
17
6
1
4
a b a b a b
a a a a a b b b b b
a b
+ + − − − + −
+ − = + − = − − = − − = − − = − =
= − +
17. 17. 17. 17. 17. 3
52
1
10
1
32 2
3
5
1
102
6 1 20
10
13
102
1
32
6 1 6
3
1
313
10
1
3
2 2 2
2 2 2 2 2
2
m mn m mn mn m
m m m m m mn mn mn mn mn
m mn
− + − + −
+ − =+ −
= − − − + =− − +
= −
= − −
18. 18. 18. 18. 18. − + − + − + − −
− + =− +
= − − =− −
= −
− + − =− + −
= − = −
= − −
3
4
1
2
5
62
3
4
1
6
1
32
3
4
7
3
9 28
12
19
12
1
2
3
42
2 3 8
4
9
45
6
1
6
1
3
5 1 2
6
6
619
12
9
4
2 2 13
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
a ab b a ab b b ab
a a a a ab ab ab ab ab
b b b b b b
a ab b
19. 19. 19. 19. 19. 0 4 313
80 6
2
50 2
1
46
0 42
5
2 2
50
3
80 2
3 16
8
14
80175
0 61
4
2 4 1
4
14
40 35 31 6 25
0175 0 35 25
2 2 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 3
, , ,
, ,, ,
,
,, ,
,
, ,
x y xy y x y xy y
x y x y x y xy xy xy xy xy
y y y y y
xy y
+ + − − − + −
− =−
= − =−
= =
− + = − + = − = − − =
= − +
20. 20. 20. 20. 20. 3
25
7
50
3
5
1
250 2
1
53
25
3
50 2
3 15 5
25
13
25
7
50
1
25
1
5
7 2 10
50
1
5013
25
1
50
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
1 2
a b a b a b
a a a a a b b b b b
a b
m m m m m m
m m m m m m m m m m
m m
− − − − − −
− − − − − − − − − −
− −
− + − − +
+ − =+ −
= − − + =− − +
=
= +
,
,
EJERCICIO 11
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4
1. 1. 1. 1. 1. 3 3 1 2 6ab = ⋅ ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 5 5 1 2 3 5 8 3 1202 3 2 3a b c = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. b mn2 221
2
1
3
4
6
2
3= ⋅ ⋅ = =
4. 4. 4. 4. 4. 24 2412
13
14
61
2714
6108
118
2 32 3
m n p=
⋅ = ⋅ ⋅ = =
5. 5. 5. 5. 5. 23
23
1 212
23
418
824
13
4 2 3 4 23
a b m = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
6. 6. 6. 6. 6. 7
127
123
14
12
18912
116
12
189384
63128
3 2 32
c p m= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
7. 7. 7. 7. 7. m n pb c a =
⋅ = ⋅ ⋅ =
12
13
14
14
127
14
1432
2 3
8. 8. 8. 8. 8. 56
56
112
56
12
512
1 2 2 13 2
a mb c− − −−
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
9. 9. 9. 9. 9. 2 2 2 3 4 9 36 62 2bc = ⋅ ⋅ = ⋅ = =
10.10.10.10.10. 4 12 41
212 2 3 2 216 2 6 1223 23 3m bc⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
11. 11. 11. 11. 11. mn a b⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = =81
2
1
38 1 2
1
664
8
6
4
34 3 4 3
12. 12. 12. 12. 12. 4
3
4 1
3 2 3
4
18
2
9
a
bc= ⋅
⋅ ⋅= =
13. 13. 13. 13. 13. 5 5 212
13
14
2014
112
51
12
602 2
22
b mnp
=⋅ ⋅
⋅=
⋅= =
14. 14. 14. 14. 14. 3
42
3
3
42
2
33
3 8
42 9
3
24
418
3
6
61
3
2
3
2
b
c=
⋅
⋅=
⋅
⋅ = = =
15. 15. 15. 15. 15. 2 2
12
13
119
113
32 2
mn
=⋅
= = =
16.16.16.16.16.24
2
2412
13
213
14
246
219
116
4
21
144
4
21
12
416
24
2 2 2 2
mnn p⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
=⋅
=⋅
= =
17. 17. 17. 17. 17. 3 64
2
3 64 2 3
21
2
3 64 8 729 3 373 248 3 72 2163 63 3 63
3 3⋅ =⋅ ⋅ ⋅
⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
b c
m.
18. 18. 18. 18. 18. 3
53
2125
3
51
1
42
3
2125 2
1
2
3
5
4
4
3
2
250
2
3
51
3
2125
3
53
25
3
515
2
6
75
2
25
2
3
2
3 33
⋅
⋅=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅=
⋅
⋅=
⋅
⋅=
⋅= = =
apb
bm
EJERCICIO 12
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4
1. 1. 1. 1. 1. a ab b2 2 2 22 3 2 3 4 4 9 24 16 1− + = − ⋅ ⋅ + = − + =
2. 2. 2. 2. 2. c cd d2 22 2
213
213
12
12
19
13
14
4 12 936
2536
+ + =
+ ⋅ ⋅ +
= + + =
+ +=
3. 3. 3. 3. 3. a
c
b
d+ = + = + =
31
3
41
2
9 8 17
4. 4. 4. 4. 4. c
d
m
n− + = − + = − + =
− += −2
1
31
2
61
4
22
324 2
2 72 6
3
64
3
5. 5. 5. 5. 5. a b m2 2 2 2 2 2
3 2 6
3
3
4
2
6
6
9
3
16
2
36
63 8 6 1− + = − + = − + = − + =
6. 6. 6. 6. 6. 3
5
1
22
3
5
1
3
1
24 2
1
2
1
52 1
1 10 5
5
4
5c b d− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
− += −
7. 7. 7. 7. 7. ab
n
ac
d
bd
m+ − =
⋅+
⋅−
⋅= + − = + − =
+ −= =
3 41
4
31
31
2
41
26
121
4
11
2
2
648 2
1
3
144 6 1
3
149
349 2
3
8. 8. 8. 8. 8. b n m+ + = + + ⋅ = + + =+ +
= =6 41
46 6 2
1
26
4 1 12
2
17
28 1
2
9. 9. 9. 9. 9. c a d b n d3 16 81
33 3
1
216 4
1
48
1
2
1
33
1
216
1
42 1 8
1
2
2 16 1
2
13
262 2 1
2− + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =− +
= − = −
10. 10. 10. 10. 10. md
a
b =
= = ⋅ =612
2161
16
216 16 34563
4 .
111111. 1. 1. 1. 1. 34
4 3134
4146
134
146
112
124
2 124
324
18
22
2 2
cnm
+ =
+
= + = + =+
= =
12. 12. 12. 12. 12. 4
216
21 2
12
814
124
816
112
12
1 1 1 02 2 2 2d n
+ − = ⋅ + ⋅
− = + − = + − = − =
13. 13. 13. 13. 13.
a b
c
b m
d
+−
+=
+−
+= − = − =
3 41
3
4 61
2
71
3
101
2
21 20 1
14. 14. 14. 14. 14.
b a
n
m b
da
−+
−+ =
−+
−+ ⋅ = + + = + + =5
4 31
4
6 41
2
5 311
4
21
2
15 4 4 15 23
15. 15. 15. 15. 15. 12
2
16 1 121
33
2 4
161
43
6
11
2
4 3
8
4 3
62
1
8
1
62
3 4 48
24
47
24123
24
c a
b
n a
m d
−−
−+ =
⋅ −
⋅−
⋅ −+ =
−−
−+ = − + =
− += =
16. 16. 16. 16. 16. 43
3
6
64 4
3 3
3
6 6
616
9
3
36
64
3
3
6
64 1 1 4b
a m+ − = ⋅ +
⋅−
⋅= + − = + − = + − =
17. 17. 17. 17. 17. b d c d+ − + =+ ⋅
−⋅ + ⋅
= + − + = − = − =2
2
3 8
4
4 21
22
31
38
1
24
2 1
2
1 2
4
3
2
3
4
6 3
4
3
4
18. 18. 18. 18. 18. 2
33 2
42 3 4
3
3 212
43
14
2 1443
394
43
12
2 123
332
432
243
924
32
898
32
64 9 128
618
7
2 2 2 2 2
2
58
⋅+
⋅ +− ⋅ =
⋅ ⋅+
⋅ +
− ⋅ =⋅
+⋅
− ⋅
=⋅
+⋅
− = + − = + − =+ −
= =
a b da n
EJERCICIO 13
Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores:a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )a b c d+ ⋅ − = + ⋅ − = ⋅ − = − =1 2 3 4 3 3 4 9 4 5
2. 2. 2. 2. 2. ( )( ) ( )( )a b b a+ − = + − = ⋅ =1 2 2 1 3 1 3
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )b m c n a− − + = −
−
+ ⋅ =
−
−
+ = ⋅ + = + =
+= =4 2
12
323
4 14 1
29 2
34
32
73
472
47 8
2152
72 2 12
4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( )2 3 4 212
323
414
2 1 2 1 4 3 5 152 2m n p b+ + = ⋅ + ⋅
⋅ +
= + + = ⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( ) ( ) ( )4 8 6 412
814
1 2 623
4 2 2 3 0 02 2 2 2m p a b n d+ + − = ⋅ +
+ ⋅ −
= + ⋅ ⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )( ) ( )( )( )c b d c b a m p− − − − = − − − −
= ⋅ ⋅
−
=3 2 4 3 2 1
12
14
1 1 12 1
414
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( )b c d a m n x2 2 2 2 562 2 3 4 1
12
23
2 0 4 73 4
628
76
168 76
1616
26+ − + + = + − +
+ ⋅ = ⋅ −
+
= − =
−= =
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )2 6 4 212
0 6 2 3 4 4 6 4 9 4 16 6 13 64 78 64 142 2 2 2 2 2mx b c d+ + − = ⋅ ⋅ + + − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ − = − =
9. 9. 9. 9. 9. 89
16 812
923
1614
21
4183
42
46
223
22 6
383
2 23
mn
pb
a+
=
⋅
⋅+
⋅
⋅ = + = + = + =+
= =
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( )x m a d cb c a+ + − = + + − = + − = ⋅ =012
1 4 312
1 64 312
62 312 3 1
11. 11. 11. 11. 11. ( )4 412
14
11 2
34
2 14
1 49
434
59
359
275
52 2
2
2 2
225
m pa
a bc
+÷
+=
+
÷+
=+
÷
+= ⋅ ÷ = = =
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( )( )( )( )
2 3 4 8 6 4 9 20
212
323
414
814
623
412
923
2014
1 2 1 2 4 2 6 5 4 4 11 176
m n p p n m n p+ + + − +
= ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ − ⋅
⋅ + ⋅
= + + + − + = ⋅ ⋅ =
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )c m n d m p b n p2 2 2
2 2 2 212
163
12
23
412
14
223
14
976
1634
41112
212
124412
126 144 4412
2612
2 2
+ − + + +
= +
− +
+ +
= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
− += = =
14. 14. 14. 14. 14. c d
a dm
2 2 2 212
2 3 41
24
12
9 161
22
12
251
22
12
512
52
2+
÷
=
+÷
⋅ =
+÷
⋅ = ÷
⋅ = ⋅ = =
15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
4 2 18 24 2 8 2 40
414
2 2 1823
2414
2 812
2 4014
1 1 4 12 6 2 4 2 11 5 6 2 66 30 132 162
p b n p m p a+ − + + +
= ⋅ + ⋅
⋅ − ⋅
+ ⋅ +
⋅ +
= + − + + = ⋅ + ⋅ = + =
16. 16. 16. 16. 16. a
db
d bm
p
+
−⋅
+=
+
−⋅
+
=
+
⋅
+
= ⋅+
= ⋅+
= ⋅ = ⋅ = =5
21
42
4 2
5212
14
2 422
5214
116
622
5 81
16
32
5 81
16
32
131
16
32
2086242
3122
2
2
2
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )a b c b m n+ ⋅ + − ⋅ = + ⋅ + ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − = − =
−= = =2 2 2
246
238 1 2 3 8 2
12
23
3 2512
23
3 526
1526
90 26
886
14 14
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )a c n
bc d p
++
÷ + ⋅ =
++
⋅
÷ + ⋅ = +
÷ ⋅ = =
26 1 3
2
623
23 4
14
42
42
712
272
47
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )
( ) ( )
3 32 2 162
3 3 2 3212
2 4 1 1614
223
3 16 6 462
3 4 6 2 3 12 12 3 3
c b m d a pn
− ⋅ − − ⋅ −
= − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = − − = −
20. 20. 20. 20. 20. ( )
( )
62 8
32
6 1 2 32 8 2
312
23
2 2 1
3 423
14
1 2 336
2 161
226
68
12
13
18 12 824
2224
1112
abcb
mnb a
cdnpabc⋅
+−
−
=⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅+
⋅ ⋅
−−
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅=
⋅+ − = + − =
+ −= =
21. 21. 21. 21. 21. ( )( ) ( )( )a bb a
a b a b2 2
2 2
2 2
2 2233 2 3
1 22 1
3 1 2 2 1 3 253
3 3 853
725 216
32213
73+−
+ + + =+−
+ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ = + =+
= =
22. 22. 22. 22. 22. ba b b c n m
22
2
2
2 212
1 1 1 1 1 1
211
12
12
13
123
112
432
56
32
2 454
72
214
494
704
352
17
+ +
+
+ +
= + +
+
+ +
= + ⋅
+ +
= + +
= + = = =
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )( )( )
2 3 4 2 4
212
323
414
2 3 412
23
1 2 1 6 414
49
3 749
2149
189 49
1859
20
2 2
2 259
m n p c m n+ + −
= ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
−
= + + − ⋅ ⋅ = ⋅ − = − =
−= =
24. 24. 24. 24. 24.
bc
ab m
n
b m
2 2
32
23
3
2 1 21
2
2
3
21
2
3
41
2
2
33
2
37
2
4
9
6
7
4
9
54 28
63
26
63
−
−−
−=
−
⋅ ⋅ −−
−=
−− = − = − =
−=
EJERCICIO 14
1. 1. 1. 1. 1. a b m+ +
2. 2. 2. 2. 2. m b x2 3 4+ +
3. 3. 3. 3. 3. a a+ +1 2;
4. 4. 4. 4. 4. x x− −1 2;
5. 5. 5. 5. 5. y y y+ + +2 4 6; ;
6. 6. 6. 6. 6. ( )$ a x m+ +
7. 7. 7. 7. 7. m n−
8. 8. 8. 8. 8. ( )bs x. − 6
9. 9. 9. 9. 9. ( )x m Km−
10. 10. 10. 10. 10. ( )$ x a m+ −
11. 11. 11. 11. 11. ( )m a b c Km− − −
12. 12. 12. 12. 12. ( )$ n − 300
13. 13. 13. 13. 13. ( )365− x días
14. 14. 14. 14. 14. $ ; $15 ; $8a a ma
15. 15. 15. 15. 15. 2 32
a bc
+ +
16. 16. 16. 16. 16. a b m⋅ 2
17. 17. 17. 17. 17. 23 2n m
18. 18. 18. 18. 18. x m2 2
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )$ ; $3 6a b ax bm+ +
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )a b x y+ +
21. 21. 21. 21. 21. ( )$ 8 48x +
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )bs a x. − +8 4
23. 23. 23. 23. 23. 75
xsucres
24. 24. 24. 24. 24. $am
25. 25. 25. 25. 25. 3 000
1
.
ncolones
−
26. 26. 26. 26. 26. x
asoles
−3
27. 27. 27. 27. 27. m
m14
28. 28. 28. 28. 28. x
akm
h+1
EJERCICIO 15
29. 29. 29. 29. 29. $a b
m
+−2
30. 30. 30. 30. 30. x xx
hab+ +
2
2.
31. 31. 31. 31. 31. 10003
24
. − + +
aa a
sucres
1. 1. 1. 1. 1. m n m n, → +
2. 2. 2. 2. 2. ( )m n m n m n, − → + − = −
3. 3. 3. 3. 3. − → − +3 4 3 4a b a b,
4. 4. 4. 4. 4. 5 6 6 5b a a b, → − +
5. 5. 5. 5. 5. ( )7 6 7 6 7 6 1, − → + − = − =
6. 6. 6. 6. 6. − → − + =6 9 6 9 3,
7. 7. 7. 7. 7. − → − +2 3 2 3x y x y,
8. 8. 8. 8. 8. ( )5 5 5mn m mn m mn m, − → + − = −
9. 9. 9. 9. 9. 5 7 5 7 12a a a a a, → + =
10. 10. 10. 10. 10. ( )− − → − + − = − − = −8 5 8 5 8 5 13x x x x x x x,
11. 11. 11. 11. 11. − → − + = −11 8 11 8 3m m m m m,
12. 12. 12. 12. 12. 9 15 9 15 6ab ab ab ab ab, − → − = −
13. 13. 13. 13. 13. − − → − − = −xy xy xy xy xy, 9 9 10
14. 14. 14. 14. 14. ( )mn mn mn mn mn mn mn, − → + − = − = −11 11 11 10
15. 15. 15. 15. 15. 1
2
2
3
1
2
2
3a b a b, − → −
16. 16. 16. 16. 16. 3
5
3
4
3
5
3
4b c b c, → +
17. 17. 17. 17. 17. 1
3
2
3
1
3
2
3
3
3b b b b b b, → + = =
18. 18. 18. 18. 18. − − → − − = − = −1
2
1
2
1
2
1
2
2
2xy xy xy xy xy xy,
19. 19. 19. 19. 19. − −
− − = − = −
3
5
2
53
5
2
5
5
5
abc abc
abc abc abc abc
,
20. 20. 20. 20. 20. −
− + = − + = −
43
8
43
8
32 3
8
29
8
2 2
2 2 2 2
x y x y
x y x y x y x y
,
21. 21. 21. 21. 21. 3
8
3
43
8
3
4
3 6
8
3
8
mn mn
mn mn mn mn
, −
− =−
= −
22. 22. 22. 22. 22. a b c a b c, , → + +
23. 23. 23. 23. 23. a b c a b c, ,− → − +
24. 24. 24. 24. 24. a b c a b c, ,− → − +2 2
25. 25. 25. 25. 25. 3 2 4 3 2 4m n p m n p, ,− → − +
26. 26. 26. 26. 26. a ab b a ab b2 2 2 27 5 7 5, ,− − → − −
27. 27. 27. 27. 27. x xy y x xy y2 2 2 23 4 3 4, ,− − → − −
28. 28. 28. 28. 28. x x y x x y3 2 3 26 6, ,− → − +
29. 29. 29. 29. 29. 2 3 2 3 5a b a a a b a b, ,− → + − = −
30. 30. 30. 30. 30. − − → − − + = − −m n n m n n m n, ,8 4 8 4 4
31. 31. 31. 31. 31. − − → − + − = −7 8 7 8a a b a a b a b, ,
32. 32. 32. 32. 32. 1
2
2
3
3
41
2
3
4
2
3
4 6
8
2
3
1
4
2
3
x y x
x x y x y x y
, , −
− + =−
+ = − +
33. 33. 33. 33. 33. − − −
− − − =− −
− = − −
3
5
2
33
5
2
3
3 5
5
2
3
8
5
2
3
m m mn
m m mn m mn m mn
, ,
34. 34. 34. 34. 34. − −
− − + + = − + +
7 5 3
7 5 3 8 5 3
2 2 2
2 2 2 2 2
a ab b a
a a ab b a ab b
, , ,
35. 35. 35. 35. 35. − + − − = −7 17 5 4 10 92 2 2mn mn m m mn m
36. 36. 36. 36. 36. x x x y x y x x y3 3 2 2 3 27 8 4 5 6 4 5− − + + = − − +
37. 37. 37. 37. 37. 5 9 6 7 4 3 72 2 2 2 2x x xy xy y x xy y− + − + = + +
38. 38. 38. 38. 38. − − + − −
= − − −
8 5 11 7
9 6 7
2 2 2 2 3
2 2 3
a b a b ab ab b
a b ab b
39. 39. 39. 39. 39. m m n m n mn n
m m n mn n
3 2 2 2 3
3 2 2 3
8 7 7
7
− + + −
= − + −
40. 40. 40. 40. 40. 1
2
1
4
2
3
1
56
2 1
4
10 3
156
1
4
13
156
a a b b
a b a b
− + + −
=−
++
− = + −
41. 41. 41. 41. 41. a a b b c c b− − + − + =3 4 8 8
42. 42. 42. 42. 42. m m m m n m n mn
m m n mn
3 3 3 2 2 2
3 2 2
5 5 4 4 7
8 7
+ − − − −
= − −
43. 43. 43. 43. 43. 9 11 6 4 6 8 17 2x x y y z z x y z− − − + − = − −
44. 44. 44. 44. 44. 6 9 5 7 8 11
15 5 15 11
2 2 2 2
2 2
a a ab b b
a ab b
+ − − − −
= − − −
45. 45. 45. 45. 45. − + − + − −
= − −
x y x y xy xy y
xy y
2 2 2 2 3 3 4
3 4
5 7 4 8
2 4 8
46. 46. 46. 46. 46. 31
2
1
24 6
6 1
2
1 2
22
5
2
1
22
a a b b
a b a b
− + − − +
=−
+−
+ = − +
47. 47. 47. 47. 47. 1
2
3
4
2
3
1
3
5
6
5
62 3
4
2 1
3
5
4
1
3
2 2 2 2
2 2
x x xy xy y y
x xy x xy
+ + − + −
= + + − = +
48. 48. 48. 48. 48. 5 5 6 5 8 81 1 1 2 2ax ax a a a a ax x x x x− − + + + =+ + + + +
49. 49. 49. 49. 49. 3
4
2
3
1
3
1
35
3 4
4
3
3
1 15
3
7
4
16
3
2 2 2 2
2 2 2 2
x x xy xy y y
x xy y x xy y
+ − − + +
=+
− ++
= − +
50. 50. 50. 50. 50. 3
4
1
4
1
2
1
2
5
63 1 4
4
3 3 5
6
3
2
1
6
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b a b ab ab ab
a b ab a b ab
− + + + −
= − + + + − = +
EJERCICIO 16
1. 1. 1. 1. 1. 3 2
2 3
5 5
a b c
a b c
a b
+ −+ +
+
2. 2. 2. 2. 2. 7 4 5
7 4 6
a b c
a b c
c
− +− + −
−
3. 3. 3. 3. 3. m n p
m n p
+ −− − +
0
4. 4. 4. 4. 4. 9 3 5
4
5 4 9
3
x y
x y
x y
x
− +− − +
− + −
5. 5. 5. 5. 5. a b c
a b c
a b c
b
+ −+ −
− − +2 2 2
3 3
2
6. 6. 6. 6. 6. p q r
p q r
p q r
r
+ +− − +
+ −
−
2 6 3
5 8
4
7. 7. 7. 7. 7. − − +− −
− + +
−
7 4 6
10 20 8
5 24 2
2
x y z
x y z
x y z
x
8. 8. 8. 8. 8. − + −− +
− + −
− − −
2 3 6
3 8 8
5 10
4 4 8
m n
m n
m n
m n
9. 9. 9. 9. 9. − − −− +
− + −
− −
5 2 3
7 3 5
8 5 3
6
a b c
a b c
a b c
a c
10.10.10.10.10. ab bc cd
ab bc cd
ab bc cd
ab
+ +− − −
+ +
−
8 3 3
5 2 2
2
11. 11. 11. 11. 11. ax ay az
ax ay az
ax ay az
ay az
− −− − −
+ +
+
5 7 6
4 9 8
12. 12. 12. 12. 12. 5 7 8
4 6
3 8 9
2 23
x y
x y
x y
x
− +− − +− + +
− +
13. 13. 13. 13. 13. − + −− − +
− −
−
am mn s
am mn s
am mn s
am mn
6 4
5 6
3 5 2
4
14. 14. 14. 14. 14. 2 3
6 4
8
9 4
a b
b c
a c
a b c
+−
− +
+ +
15. 15. 15. 15. 15. 6 3
4 5
5
5 7
m n
n p
m p
m n
−− +
− −
−
16. 16. 16. 16. 16. 2 3
5 4
8 6
7 9
10 3 12 7
a b
c
a
c
a b c
++ −
++ −
+ + −
17. 17. 17. 17. 17. 2 3
5 9
6 4
3 5
8 5
x y
z
x
y
x z
−+ +
−−
+
21. 21. 21. 21. 21. 5 3 7
8 5 9
11 5 16
14 7
a a a
a a a
a a a
a a
x m n
x m n
x m n
x m
− −
− + −
− + +
− +
22.22.22.22.22. 6 7 5
4 7
5 3 12
5 11 6
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
m m m
m m m
m m m
m m m
a a a
a a a
a a a
a a a
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
− −
− −
− + +
− +
23. 23. 23. 23. 23. 8
3 4 2 3
4 5 3 4
9 2
3 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
y z u
+ + +− − − +
+ + −− − + +
+ +
7. 7. 7. 7. 7. m n
n mn
m n
m mn
2 2
2
2 2
2
4 3
5 5
4 3
+
+ −
− −
− −
8. 8. 8. 8. 8. 3
4 5
4 6
3 1
3
2
3 2
x x
x
x x
x
+
− +
− + −
−
9. 9. 9. 9. 9. x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3 2
3
3 2
− +
− + −
+ −
+ −
10. 10. 10. 10. 10. a ab b
a ab b
a ab b
b
2 2
2 2
2 2
2
3
5
2 8
− +
+ − −
− + −
−
11. 11. 11. 11. 11. − + −
+ −
− − +
− + −
7 5 6
4 8 9
7 14
4 6 1
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
18. 18. 18. 18. 18. 8 3
5
7 4
19 3
a b c
a b c
a b c
a b c
a c
+ −− +
− − −− +
+
19. 19. 19. 19. 19. 7 2 4
9 6 5
3 6
8 3 5
15 7 3 10
x y
y z
y z
x y
x y z
+ −+ − +− + −− −
+ − −
20. 20. 20. 20. 20. − − −+ −
− + ++ −
− + + −
m n p
m n
m p
m n
m n p
2 5
6 3 4
5 2 8
3 2 9
24. 24. 24. 24. 24. a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a c
+ − +− + −
− + − +− − + −
− +
2 3 2
3 3 4
3 2
25. 25. 25. 25. 25. 5 3 4
2 2 3
2 4 3
3 6
2
ab bc cd
bc cd de
ab bc de
ab bc cd
ab
− ++ + −
− + +− − −
26. 26. 26. 26. 26. a b
b c
c d
a c
c d
a d
a d
a
−−
+−
−− +
−
2
12. 12. 12. 12. 12. a a
a a
a a
a a a
3
3 2
2
3 2
4 5
2 6
7 4
2 11 15
− +
− +
+ − +
− − +
13. 13. 13. 13. 13. − + −
− +
− + −
− + −
x x
x x
x x
x x
2
3 2
3
2
6
7 5
8 5
8 9 6
14. 14. 14. 14. 14. a b
a b ab
a ab b
a a b ab b
3 3
2 2
3 2 3
3 2 2 3
5 4
7
2 5 11 2
−
+ −
− −
+ − −
15. 15. 15. 15. 15. x xy y
x x y y
x xy y
x x y xy y
3 2 3
3 2 3
3 2 3
3 2 2 3
5
2 4 5
4 5 3 5
+ +
− −
− −
− − −
16. 16. 16. 16. 16. − +
+ + −
− + +
+ +
7 4
6
7 5
6 8
2 3
3 2 3
3 2 3
2 3
m n n
m mn n
m m n n
mn n
1. 1. 1. 1. 1. x x
x x
x x
2
2
2
4
5
2
+
−
−
2. 2. 2. 2. 2. a ab
ab b
a ab b
2
2
2 2
2
+
− +
− +
3. 3. 3. 3. 3. x x
x
x x x
3
2
3 2
2
4
2 4
+
− +
− + +
4. 4. 4. 4. 4. a a
a a
a a a a
4 2
3
4 3 2
3
4
3 4
−
+ +
+ − +
5. 5. 5. 5. 5. − +
+
− + +
x x
x
x x x
2
3
3 2
3
6
3 6
6. 6. 6. 6. 6. x x
x
x
x x
2
2
2
4
7 6
3 5
4 11 1
−− +
−
− +
EJERCICIO 17
17. 17. 17. 17. 17. x x x
x x
x x
x x x x
4 2
3 2
2
4 3 2
4 5
7 4 6
2 3 11
− +
+ − +
+ − +
+ + − +
18. 18. 18. 18. 18. + + +
+ − +
+ − −
+ + + − −
a a
a a
a a
a a a a a
6 4
5 3
3 2
6 5 4 3 2
6
3 8
14
2
19. 19. 19. 19. 19. x x
x x
x x
x x x x x
5
4 2
3
5 4 3 2
9
3 7 6
3 4 5
3 3 7 3 2
+ −
+ − +
− − +
+ − − − +
20. 20. 20. 20. 20. a a
a
a a
a
a a
3
2
2
2
3
5
4 7
8 6
5 1
+
+ +
+ +
− −
+ −
21. 21. 21. 21. 21. x x y
x y xy
xy y
x y
x x y x y xy y
4 2 2
3 3
3 4
2 2
4 3 2 2 3 4
5 6
4
4 6
5 5 2 6
−
− +
− +
− −
− − + + −
22. 22. 22. 22. 22. + +
− + −
− + +
− − +
− + −
x xy
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 7
6 5
6 4
7 7
23. 23. 23. 23. 23. a ax x
ax x a x
a x a x
a ax x
a x
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3
3 3
8
6 5
3 5
14
5 2
− +
− − +
− −
+ −
−
24. 24. 24. 24. 24. − + −
+ − +
− + −
+ − −
− + − −
8 6
5
4 4 3
7 4 6
3 3 6 6
2 2 3
3 2 3
3 2 2
2 2
3 2 2
a m am m
a am m
a a m am
a m am
a a m am
25. 25. 25. 25. 25. x x y xy
x y x y y
x y xy y
x xy y
x x y x y x y
5 3 2 4
4 2 3 5
3 2 4 5
5 4 5
5 4 3 2 2 3
2 3
3 4
5 2
2 2 2 3
− −
+ + −
+ − −
+ +
+ + +
26. 26. 26. 26. 26. a a a
a a
a a
a a a
a a a
5 6 2
4 3
2
5 2
6 4 3
6
3 8 5
4 6 5
4
+ +
+ + +
+ − +
− − + −
+ + + +
27. 27. 27. 27. 27. a b
a b a b ab
a a b a b
a b a b b
a ab b
4 4
3 2 2 3
4 3 2 2
3 2 2 4
4 3 4
3 5 4
4 3 3
2 4
−
− + −
− + −
− + −
− − −
28. 28. 28. 28. 28. m n m n
n m n mn
m n mn
m n m n
mn
3 3 2
3 2 2
3 3 2
3 3 2
2
6
4 5
6
2 2
11
− +
+ − +
− +
− + −
29. 29. 29. 29. 29. a a
a a
a a
a a
a a a a
x x
x x
x x
x x
x x x x
−
+ +
+ +
+ −
+ − +
−
− −
− −
− −
− − −
3
5 6
7
13
6 3
2
1 3
3 4
1 3
1 2 4
30. 30. 30. 30. 30. − + +
− − +
− + −
+ − +
− + + −
⇒ − + −
+ +
+ − −
+ +
− − +
+ + +
+ + +
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a
a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
1 2
3 1 2
3 2
1 2 2
1 3 2
3 2 1
3
4 5
2 3
3 2
EJERCICIO 181. 1. 1. 1. 1.
1
2
1
31
2
1
4
1
2
2 3
6
1
4
1
2
5
6
1
4
2
2
2 2 2 2
x xy
xy y
x xy y x xy y
+
+ +
++
+ = + +
2. 2. 2. 2. 2. a ab
ab b
ab b
a ab b a b
2
2
2
2 2 2 2
1
21
4
1
21
4
1
5
2 1 1
4
5 2
10
3
10
+
− +
− −
+− −
+−
= +
3. 3. 3. 3. 3. x xy
xy y
xy y
x xy y
x xy y x xy y
2
2
2
2 2
2 2 2 2
2
31
65
6
2
3
4 1 5
6
3 2
32
6
5
3
1
3
5
3
+
− +
− +
+− −
++
= − + = − +
4. 4. 4. 4. 4. 3
4
1
22
5
1
61
10
1
3
3
4
4 1
10
3 1 2
6
3
4
3
10
2 2
2
2
2 2 2
x y
xy y
xy y
x xy y x xy
−
− +
+ +
+− +
+− + +
= −
5. 5. 5. 5. 5. 2
3
1
5
1
25
6
1
10
1
61
12
1
20
1
3
8 10 1
12
4 2 1
20
3 1 2
617
12
3
20
4
6
17
12
3
20
2
3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
a ab b
a ab b
a ab b
a ab b
a ab b a ab b
+ −
− +
− + −
+ −+
− ++
− + −
= + − = + −
6. 6. 6. 6. 6. 5
6
2
3
3
41
6
1
8
1
21
3
1
4
5
6
5 1 2
6
16 3 6
24
9 6 10
122
6
7
24
13
12
1
3
13
12
7
24
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x y xy
x y xy
x y xy
x y xy
x y xy x xy y
− +
− + −
− + +
− −+
− + ++
− +
= − + ⇒ + −
7. 7. 7. 7. 7. a ab b
ab b a b
a b a b
a ab b a b
a ab b a b a a b ab b
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
1
23
82
5
61
4
3
5
1
2
4 1
4
4 3
8
5 10 3
5
5 3
65
4
7
8
8
5
2
6
5
4
1
3
7
8
8
5
− +
− − +
− −
++
− −+
− −+
−
= − − + ⇒ + − −
8. 8. 8. 8. 8. x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x x x x
4 2
3
4 3
4 2 3
4 2 3 4 3 2
5
32
3
3
83
5
5
6
3
4
5 3
52
4 5
6
3 6
82
52
9
6
9
8
2
5
3
2
9
82
− +
− + −
− + −
−− + +
++
− −
= − + + − ⇒ + − − +
9. 9. 9. 9. 9. 2
3
1
4
2
51
8
3
5
1
61
2
2 3
3
2 1
8
2 3 5
5
1 3
65
3
1
8
6
5
2
6
5
3
1
3
1
8
6
5
3 2 3
2 3 2
3 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
m mn n
mn n m n
m n m n
m mn n m n
m mn n m n m m n mn n
− +
+ − +
− −
++
− ++
− −+
−
= − − − ⇒ − − −
10. 10. 10. 10. 10. x x y y
x x y y xy
x y y x y
x x y y xy x y
x x y y xy x y
x x y x y xy y
4 2 2 4
4 2 2 4 3
2 2 4 3
4 2 2 4 3 3
4 2 2 4 3 3
4 3 2 2 3 4
22
75
6
3
8
1
14
1
61
4
1
7
5
6
6 5
6
16 3 2
8
4 1 2
14
1
6
5
61
6
17
8
5
14
1
6
5
61
6
5
6
17
8
1
6
5
14
+ +
− + − −
− + −
−+
+ −+
− +− −
= + + − −
⇒ − + − +
11. 11. 11. 11. 11. x x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
5 3
5 2
3 2 4
3
5 3 2 4
5 3 2 4
5 4 3 2
2
3
4
5
31
10
3
81
6
1
4
2
31
12
3
54
28 2 1
12
8 1 6
10
3 2
8
2
34
27
12
13
10
1
8
2
34
22
3
7
12
1
8
13
104
− +
− − +
+ − −
− + −
− +− + −
+− +
+−
− −
= − − + + − −
⇒ − − − + + −
12.12.12.12.12.2
9
5
6
1
33
7
7
8
1
92
3
1
2
1
4
2 6
9
6 7
14
20 21 6
24
3 1
94
9
1
14
7
24
4
9
3 2 3
2 2 3
3 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
a ax x
a x ax x
a a x ax
a a x ax x
a a x ax x
+ −
− − −
− + −
−+
− ++
− −+
− −
= − + − −
13. 13. 13. 13. 13. a a a
a a a
a a
a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
6 4 2
5 3
4 2
6 4 2 5 3
6 4 2 5 3
6 5 4 3 2
3
5
3
8
1
23
7
5
86
3
86
7 3
7
8 5
8
3
5
3
8
4 3
810
7
3
8
3
5
3
8
7
83
5
10
7
3
8
3
8
7
8
− +
+ − −
− − +
− −
+− −
+−
+ − +− −
= − + + − −
⇒ + − − + −
14. 14. 14. 14. 14. x y
x y xy y
y x y x y
x y y x y
x x y xy y x y x y
x x y xy y x y x y
x x y x y x y xy y
5 5
3 2 4 5
5 4 2 3
3 2 5 4
5 3 2 4 5 4 2 3
5 3 2 4 5 4 2 3
5 4 3 2 2 3 4 5
1
10
3
4
1
61
9
3
5
5
62
5
1
32
1 4
10
3
4
18 3 2 6
18
3 10
5
5
63
10
3
4
29
18
13
5
5
613
5
3
10
5
6
3
4
29
18
−
+ − −
− + −
− − +
+−
− +− − − −
++
−
= − − − + −
⇒ + − − − −
EJERCICIO 19
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5
1. 1. 1. 1. 1. 4 5
3 6 8
2 8
2 4 8 8 8 0
x y
x y
x y
y
−− + −− +
−⇒ ⋅ − = − =
2. 2. 2. 2. 2. x x
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
5 8
10 30
6 5 50
6 10 72
6 5 10 5 72 6 25 50 72
150 50 72 172
− +
− + −
− + −
− + −
⇒ − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ + −= − + − = −
3. 3. 3. 3. 3. x y
x x y
x x y xy
x y x y x y xy
x x y x y xy y
4 4
4 2 2
4 3 3
4 4 2 2 3 3
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
2 5 8
4 7 10
5 8 7 10
7 5 10 8
5 7 5 4 5 5 4 10 5 4 4 8
625 28 125 5 25 16 50 64 256 8
625 3 500 2 000 3 200 256 8 3 811
−
− −
− + +
− − − − + +
⇒− + − + − −
= − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − −= − + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − −= − + − + − − =. . . .
4. 4. 4. 4. 4. 3 5 6
6 20 8
12 20 12
9 45 2
92
345
1
52
18
3
45
52 6 9 2 1
m n
m n
m n
m n
− +− − +
− −
− +
⇒ ⋅ − ⋅ + = − + = − + = −
5. 5. 5. 5. 5. nx cn ab
nx cn ab
nx ab
nx cn ab
+ −− −
− −
− − −
⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
= − − ⋅ −
= − − − = −
8 2
5
10 3 5
101
55 10
1
53 2 3 5
50
5
10
56 3 5
10 2 18 5 15
6. 6. 6. 6. 6. a b
a b ab b
a ab
a b b
a ab b
3 3
2 2 3
3 2
2 3
3 2 3
3 2 3
3 8
5 6 8
3 2
4 2 2 8
4 2 2 2 3 2 3 8
4 8 4 9 2 27 8
32 36 54 8 42
+
− + −
− − +
+ −
− + − +
⇒− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ += − ⋅ + ⋅ − ⋅ += − + − + = −
7. 7. 7. 7. 7. 27 1259 25
14 810 11
27 22 125 8
2723
23
15
2223
15
12515
8
27827
49
15
443
125
1251
1258
8445
4475
1 8445
4475
1
20 132
3 3
2 2
2
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
m nm n mn
mnm n mn
m m n mn n
+
− +
− −
+ +
+ + + −
⇒ ⋅
+
⋅ + ⋅ ⋅
+ ⋅
−
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −
= + + + − = + +
=+ + 225
225377225
1152225= =
8. 8. 8. 8. 8. x y mx y m
y m
x y m
a b x
a b x
b x
a b x
− − −
− − −
− −
− − −
− −−
+ +
− −+ −
+ −
⇒ ⋅ + ⋅ −
= + − =
1 2 4
1 2 4
2 4
1 2 4
2 1 3 25 4
2 2 23 2
3 2 3
3 5 2 4 323
15 8 2 21
9. 9. 9. 9. 9. n mn mn m
m
b x
b x
b x
x
− −
− −
− −
−
−
− +
− − ++ −
⇒
=
=
1 3
1 3
1 3
3
5 3 2
85 3 104 5 18
23
23
49
10. 10. 10. 10. 10. x y xy
x y x x y
xy x y
xy y
x y xy x y
x x y xy y
3 3
3 4 2 2
3 2 2
3 4
3 3 4 4
4 3 3 4
4 3 3 4
5
5 6
6 2
3 1
6 4 2
6 4 2
5 6 5 4 4 5 4 4 2
625 24 125 20 64 256 2
625 3 000 1280 256 2 2 091
− +
− + −
− + +
+ + −
− + + −
⇒ + − − +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − += + ⋅ − ⋅ − += + − − + =. . .
11. 11. 11. 11. 11. 3
4
2
31
3
1
91
6
1
3
3
4
2 1
6
6 1 3
93
4
1
6
4
93
42
1
62 3
4
93
3
44
1
66
4
99 3 1 4 6
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
a b
ab b
ab b
a ab b
a ab b
+
− +
+ −
−− +
++ −
= − +
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
12. 12. 12. 12. 12. 9
172534
14
734
517
12
15
734
14
30
3
18 7 734
25 1034
1 2 1 124
45
1834
3534
124
45
917
453534
3
917
23
4523
15
3534
15
3
917
49
9015
3534
125
3
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
m n
m n mn
m mn
m n mn
m n mn
m mn n
+ −
+ + −
− − −
+
+ −+
++
− + − +−
= + + −
⇒ − + +
=
− ⋅ ⋅ +
+
= ⋅ − + ⋅ +
= − + + = + −
=+ −
= − = −
417
635
8503
417
7170
3
40 7 510170
463170
2 123170
14. 14. 14. 14. 14. 0 2 0 4 0 5
0 6 0 3 0 8
0 4 0 8 6
0 2 15 0 9
01 01 6
01 01 6
01 2 3 2 3 01 3 6
0 3 4 2 9 01 27 6
12 18 2 7 6
25 5
3 2 2
2 2 3
3 2
3 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 3
, , ,
, , ,
, ,
, , ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
a ab a b
ab a b b
a a b
a a b b
ab a b b
a b ab b
+ −
+ − −
− − +
+ +
− + +
⇒− + + +
= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ += − ⋅ + ⋅ + ⋅ += − + + +=
13. 13. 13. 13. 13. 1
2
3
52
3
4
1
106
1
4
1
254
1
82
3
5
4 6 2 1
8
30 5 2 100
50
10 30 20 3
57
8
67
50
43
5
7
83
2
3
67
5010
1
5
43
57 9 2
24
67
50
43
5
126
24
670
250
43
5
21
4
67
25
43
5525 268 860
100
1 653
10016
2
2
2
2
2
2 2
53100
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
b m cn
− −
− +
− + +
− + +
+ − −+
− − + ++
− + + +
⇒ + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
=⋅ ⋅
+ + = + + = + +
=+ +
= =.
EJERCICIO 20
1. 1. 1. 1. 1. − − = −8 5 13
2. 2. 2. 2. 2. − − = −7 4 11
3. 3. 3. 3. 3. 8 11 3− = −
4. 4. 4. 4. 4. ( )− − − = − + =8 11 8 11 3
5. 5. 5. 5. 5. ( )− − − = − + =1 9 1 9 8
6. 6. 6. 6. 6. 2 3 2 3a b a b− = −
7. 7. 7. 7. 7. 3 2 3 2b b− = −
8. 8. 8. 8. 8. 4 6 4 6x b x b− = −
9. 9. 9. 9. 9. − − = − −5 6 5 6a b a b
10. 10. 10. 10. 10. ( )− − − = − +8 3 8 3x x
11. 11. 11. 11. 11. − − = − −9 5 9 52 2 2 2a b a b
12. 12. 12. 12. 12. ( )− − − = − +7 5 7 5xy yz xy yz
13. 13. 13. 13. 13. 3 4a a a− = −
14. 14. 14. 14. 14. 11 25 142 2 2m m m− = −
15. 15. 15. 15. 15. ( )− − − = − + = −6 6 52 2 2 2 2x y x y x y x y x y
16. 16. 16. 16. 16. ( )11 7 11 7 183 2 3 2 3 2 3 2 3 2a m a m a m a m a m− − = + =
17. 17. 17. 17. 17. ( )− − − = − + =8 8 8 8 02 2 2 2ab ab ab ab
18. 18. 18. 18. 18. ( )31 46 31 46 772 2 2 2 2x y x y x y x y x y− − = + =
19. 19. 19. 19. 19. ( )− − − = − + =84 84 84 84 02 2 2 2a b a b a b a b
20. 20. 20. 20. 20. 3 5 3 51 2 1 2a b a bx x x x+ + + +− = −
21. 21. 21. 21. 21. − − = − −+ +8 11 8 112 2x xa a
22. 22. 22. 22. 22. ( )6 5 6 5 11a a a a an n n n n− − = + =
23.23.23.23.23. ( )− − − = − + =− − − − −45 60 45 60 151 1 1 1 1a a a a ax x x x x
24. 24. 24. 24. 24. ( )54 86 54 86 1401 1 1 1 1b b b b bn n n n n− − − − −− − = + =
25.25.25.25.25. ( )− − − = − + =35 60 35 60 25m m m m ma a a a a
26. 26. 26. 26. 26. 512
512
10 12
112
5 12− −
= + =
+= =
27. 27. 27. 27. 27. − − =− −
= −2
3
3
4
8 9
12
17
12
28. 28. 28. 28. 28. 13
23
13
23
33
2 2 2 2 2 2x x x x x x− −
= + = =
29. 29. 29. 29. 29. 45
56
24 2530
4930
3 3 3 3x y x y x y x y− −
=
+=
30. 30. 30. 30. 30. − − −
=
− +=
18
34
1 68
58
2 2 2 2ab ab ab ab
31. 31. 31. 31. 31. − − = −2 3 5
32. 32. 32. 32. 32. ( )7 1 7 1 8− − = + =
33. 33. 33. 33. 33. ( )− − − = − + = −8 5 8 5 3
34. 34. 34. 34. 34. ( )5 4 5 4 9− − = + =
35. 35. 35. 35. 35. ( )− − − = − + =7 7 7 7 0
36. 36. 36. 36. 36. ( )2 5 2 5a a− − = +
37. 37. 37. 37. 37. − − = − −3 3x b x b
38. 38. 38. 38. 38. − − = − −2 5 2 5n m n m
39. 39. 39. 39. 39. ( )3 6 6 3b a a b− − = +
40. 40. 40. 40. 40. ( )8 5 5 83 3b a a b− − = +
41. 41. 41. 41. 41. ( )− − − = − +7 9 7 9a a
42. 42. 42. 42. 42. ( )25 25 25 25ab ab− − = +
43. 43. 43. 43. 43. ( )3 3 4a a a a a− − = + =
44. 44. 44. 44. 44. ( )− − − = − + = −4 3 4 3b b b b b
45. 45. 45. 45. 45. ( )54 11 54 11 653 3 3 3 3x x x x x− − = + =
46. 46. 46. 46. 46. 78 14 642 2 2a b a b a b− =
47. 47. 47. 47. 47. ( )− − − = − + = −54 43 54 43 112 2 2 2 2a y a y a y a y a y48. 48. 48. 48. 48. − − = −ab ab ab9 10
49. 49. 49. 49. 49. ( )− − − = − + =31 31 31 31 02 2 2 2x y x y x y x y
50. 50. 50. 50. 50. − − = −3 4a a ax x x
51. 51. 51. 51. 51. ( )311 7 311 7 3181 1 1 1 1a a a a ax x x x x+ + + + +− − = + =
52. 52. 52. 52. 52. 105 9 96m m mx x x− =
53. 53. 53. 53. 53. − − = −− − −31 18 491 1 1a a ax x x
54.54.54.54.54. ( )− − − = − + = −236 19 236 19 217m m m m ma a a a a
55. 55. 55. 55. 55. − − = −+ + +85 54 1392 2 2a a ax x x
56. 56. 56. 56. 56. ( )14
614
6− − = +a a
57. 57. 57. 57. 57. ( )− − − =− +
=23
52 15
3133
58. 58. 58. 58. 58. − −
=− −
= − = −
7
10
3
856 30
80
86
80
43
40
3 3
3 3 3
m m
m m m
59. 59. 59. 59. 59. 56
1112
10 1112
2112
74
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b a b
a b a b a b
− −
=+
= =
60. 60. 60. 60. 60. − −
=− −
=−
= −
1
945
1 405
9
406
945
3 2 3 2
3 2 3 2 19
3 2
a b a b
a b a b a b
EJERCICIO 21
1.1.1.1.1. a b
a b
b
+− +
2
2. 2. 2. 2. 2. 2 3
2
3 5
x y
x y
x y
−−
−
3. 3. 3. 3. 3. 8
3 4
11 4
a b
a
a b
+−
+ −
4. 4. 4. 4. 4. x x
x
x x
2
2
3
5 6
2 6
−−
+ −
5. 5. 5. 5. 5. a a b
a b ab
a a b ab
3 2
2 2
3 2 2
7 9
8 9
−
− −
− −
6. 6. 6. 6. 6. x y z
x y z
− +− + −
0
7. 7. 7. 7. 7. x y z
x y z
x y z
+ −+ −
+ −2 2 2
8. 8. 8. 8. 8. x y xy
x y xy
x y xy
x xy y
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3 4
2 2
2 2
+ −
− + +
− + +
⇒ − + +
9. 9. 9. 9. 9. x x
x x
x x x
3 2
2
3 2
6
5 6 4
6 4
− +
− − +
− +
10. 10. 10. 10. 10. y y
y y y
y y y y
y y y y
2 3
2 4
2 4 3
4 3 2
6 8
3 2 6
4 2 6 6 8
2 6 4 6 8
+ −
− −
− + − −
⇒ − + + − −
11.11.11.11.11. a ab a
a a b
a ab a a b
a a b ab a
3 2
2
3 2 2
3 2 2
6 9
8 15 5
6 17 15 5
15 6 17 5
− +
+ − −
− + − −
⇒ − − + −
12. 12. 12. 12. 12. x xy y
y x y x y
x xy y x y x y
x x y x y xy y
4 3 4
4 3 2 2
4 3 4 3 2 2
4 3 2 2 3 4
9 11
20 8 6
9 31 8 6
8 6 9 31
+ −
− + +
+ − + +
⇒ + + + −
13. 13. 13. 13. 13. a b c d
a b c d
a b
+ + −+ − +
+2 2
14. 14. 14. 14. 14. ab ac cd de
ab ac cd de
ab ac cd de
+ − −− + + −
− + + −
2 3 5
8 4 5 5
7 6 2 10
15. 15. 15. 15. 15. x x x
x x x
x x x
3 2
3 2
3 2
6 9 19
6 11 21 43
5 17 30 24
+ − −
− + − +
− + − +
16. 16. 16. 16. 16. y y y
y y y y
y y y y y y y y y y
5 3 2
3 2 4
5 3 2 4 5 4 3 2
9 6 31
31 8 11 19
40 14 11 19 31 11 40 14 19 31
− + −
− + + +
− + + + − ⇒ + − + + −
17. 17. 17. 17. 17. 5 9 6 8
5 21 14 18
9 27 22 18 27 22 9 18
3 3 2 2
3 2 2
3 2 2 2 2 3
m n m n mn
m m n mn
n m n mn m n mn n
− + −
− + − +
− + − + ⇒ − − +
18. 18. 18. 18. 18. 4 19 6
25 51 32
29 32 38 29 38 32
3 3 4 2 2
3 3 2 2 4
3 3 4 2 2 4 4 3 2 2 3 4
x y xy y x y
x y xy x y x
x y xy y x y x x x y x y xy y
− + −
+ − +
+ + − + ⇒ + − + +
19. 19. 19. 19. 19. m m n m n
m n m n mn
m m n m n m n mn m m n m n m n mn
6 4 2 2 4
2 4 3 3 5
6 4 2 2 4 3 3 5 6 4 2 3 3 2 4 5
9 19
30 61 13 16
21 80 13 16 13 21 16 80
+ − +
+ + + −
+ + + + − ⇒ + + + − +
20. 20. 20. 20. 20. − + − +
+ + −
− + + + − − +
a b a b ab
a a b a b b
a a b a b a b a b ab b
5 3 3 5
6 4 2 2 4 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 18 42
8 11 11 9
8 11 6 11 18 9 42
21. 21. 21. 21. 21. 1 3 6
24 30 8 15
25 29 7 12 6 6 7 29 12 25
2 4 3 5
2 4 6
2 4 3 5 6 6 5 4 3 2
− + − + −
+ − − +
+ − − − − + ⇒ − − − + − +
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x
22. 22. 22. 22. 22. − + − + −
+ + − + −
− + + + − + − ⇒ + + − − + −
6 8 23 80 18
51 21 80 9
6 8 28 101 98 9 8 28 101 6 9 98
2 3 5 4 3 2
4 3 2 5 4
2 3 5 4 3 2 5 4 5 4 3 2 2 3 4 5
x y x x y x y
x y x y y xy
x y x x y x y y xy x x y x y x y xy y
23. 23. 23. 23. 23. m m n m n mn
m n m n mn n
m m n m n m n m n mn n
6 4 2 2 4 5
5 3 3 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
8 21 6 8
23 14 24 8 14
23 8 14 21 18 8 22
− + − +
− + − +
+ − − + + − +
24. 24. 24. 24. 24. x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
7 5 2
6 4 3
7 5 2 6 4 3 7 6 5 4 3 2
8 16 23 15
51 18 8 25 30
59 16 23 3 8 25 30 8 16 25 30 23 59 3
− + − −
− + + − +
− + − + + − + ⇒ + + − + − − +
25. 25. 25. 25. 25. 9 15 31 14
15 3 25 53 9
9 31 4 25 53 9 14 9 25 53 31 9 4 14
6 4 2 2 4 6
4 2 6 5 3 3 5
6 2 4 6 5 3 3 5 6 5 3 3 2 4 5 6
a a b a b b
a b b a b a b ab
a a b b a b a b ab a a b a b a b ab b
− + − +
+ − − − +
+ − − − + + ⇒ − − + + − +
26. 26. 26. 26. 26.
a a a
a a a
a a
x x x
x x x
x x
+ −
− + +
− +
+ +
+ +
+
1 2
1 2
1
5 6
4 7
27. 27. 27. 27. 27. m m m
m m m m
m m m m m m m m m m
a a a
a a a a
a a a a a a a a a a
− +
− − −
− − − − ⇒ − + − − −
− −
− + −
− − + − + − − −
1 2
2 1 3
1 2 1 3 1 1 2 3
3
4 5 3 8
5 2 3 8 3 5 2 8
28. 28. 28. 28. 28. a a a a
a a a a
a a a a a a a a a a a a
m m m m
m m m m
m m m m m m m m m m m m
+ + −
+ − + +
+ + − + + + + + + −
− − +
+ + + +
+ − + + + ⇒ + + + − +
4 2 1
2 1 3 1
4 2 1 3 1 4 3 2 1 1
7 8 6
14 8 5 11
7 8 14 5 11 5 7 11 8 14
29. 29. 29. 29. 29. x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x
a a a a
a a a a
a a a a a a a a a a a a
+ − −
− + −
+ − − + − + + − − −
− + +
− − + −
− − + + − ⇒ + − − + −
2 1 2
1 1 3
2 1 2 1 3 2 1 1 2 3
7 9 25
19 45 11 60
26 36 25 11 60 11 26 36 25 60
30. 30. 30. 30. 30. m m m m
m m m m m
m m m m m m m m m m m m
n n n n
n n n n n
n n n n n n n n n n n n
+ − − −
− − − −
+ − − − − + − − − −
− + −
− − − − −
− + − − − ⇒ − − + − −
1 2 3 5
2 3 5 4
1 2 3 5 4 1 2 3 4 5
6 8 19
5 6 9 8
11 2 28 8 8 11 2 28
EJERCICIO 22
1. 1. 1. 1. 1.
b a
b a
b a a b
−−
− ⇒ − +2 2 2 2
2. 2. 2. 2. 2. 2 3
4
x y
x y
x y
+− +
+
3. 3. 3. 3. 3. − +−
− + − ⇒− − +
7 5
5
2 5 2 5
a
a b
a b a b
4. 4. 4. 4. 4. − +
− +
− + + ⇒ − + +
x
x x
x x x x
2
2
2 2
6
5
2 6 5 2 5 6
5. 5. 5. 5. 5. x y xy
xy x
x y xy x x x y xy
2 2
2 3
2 2 3 3 2 2
5
6 6
+
+ −
+ − ⇒ − + +
6. 6. 6. 6. 6. 7 5
6 8
5 8 8 5
2 2
2 3
2 2 3 3 2 2
a b ab
a b a
a b ab a a a b ab
+
− +
+ + ⇒ + +
7. 7. 7. 7. 7. − + −− + −
− + −
a b c
a b c
a b c
2 3
2
2 3 5
8. 8. 8. 8. 8. − + ++ − −
− + + ⇒ − +
3 4 5
2 3 4 3 2 4
n m p
n m p
n m p m n p
9. 9. 9. 9. 9. x y z
x y z
x y z
+ −− +
+ −
3 6
2 2 5
10. 10. 10. 10. 10. − + +
− −
+ − ⇒ − + +
5 8
6 3
7 2 2 7
2 2
2 2
2 2 2 2
b ab a
b ab a
b ab a a ab b
11. 11. 11. 11. 11.
− − +
− + +
− +
5 6
3
6 9
2 2
2 2
2
m n mn
m n mn
m mn
12. 12. 12. 12. 12. − + −
+ − +
− + − + ⇒ − + −
8 5 4
6
8 6 10 8 6 10
2
3
2 3 3 2
x x
x x
x x x x x x
13. 13. 13. 13. 13. 14 8 16
14 9
8 7 8 7
2
2 3
3 3
m n
m m
n m m n
− +
− − −
− + − ⇒ − − +
14. 14. 14. 14. 14. 8 5 6
6
7 6
ab bc cd
ab bc cd
ab bc
+ +− + −
+
15. 15. 15. 15. 15. a a b b
a b b ab
a a b ab
3 2 3
2 3 2
3 2 2
9
25 8
34 8
− −
− + +
− +
16. 16. 16. 16. 16. 6 8 6
6 4
6 8 7 6 4
3 2 2
2 3
3 2 2 3
x x y xy
xy y
x x y xy y
− −
− + −
− − + −
17. 17. 17. 17. 17. m n c
m n c d
n c d c d n
2
2
9 11 14
7 8
16 19 14 19 16 14
− + +
− − + −
− + + − ⇒ − − +
18. 18. 18. 18. 18. 5 9 40 6
7 8 5
5 2 8 45 5
4 3 3 4
3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a a b ab b
a b a b ab b
a a b a b ab b
+ − +
− + − −
+ + − +
19. 19. 19. 19. 19. x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
5 4 2
2 3
5 4 2 3
5 4 3 2
8 25 15
6 7 6 9
8 19 22 6 9
8 6 19 9 22
− + +
− + − +
− + + − +
⇒ − − + + +
20. 20. 20. 20. 20. − − − +
− − − +
− − − + − +
⇒ − − + − − +
3 8 19 18
6 25
9 8 44 18
8 9 44 18
4 3 2 5
4 5 5 2 3
4 3 2 5 5 2 3
5 3 2 2 3 4 5
xy x y y
xy y x x y
xy x y y x x y
x x y x y xy y
21. 21. 21. 21. 21. x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
3 4 2
3 2 5
3 4 2 5
5 4 3 2
6 8 9 15
25 18 46 25 11
24 6 26 37 10 11
11 6 24 26 10 37
− + − +
− + + − +
− − + + − +
⇒ − − + − +
22. 22. 22. 22. 22. a a b ab b
a b a b a b ab
a a b a b a b ab b
5 3 2 4 5
4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
26 8 6
8 15 45 8
8 27 15 53 14
− + − +
− − + + +
− − + + − +
23. 23. 23. 23. 23. y y y
y y y y
y y y y y y
y y y y y y
6 3 2
3 4 5
6 3 2 4 5
6 5 4 3 2
9
23 5 8 15 8
22 14 8 15 8
15 8 22 8 14
+ + +
− + − + +
− + + − + +
⇒ + − − + + +
24.24.24.24.24. x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
8 6 4 2
7 5 3
8 6 4 2 7 5 3
8 7 6 5 4 3 2
3 5 9
36 7 5 23 51
3 5 45 7 5 23 51
7 5 3 23 5 51 45
− + − −
− − − + −
− + − − − − + −
⇒ − − − + + − − −
25.25.25.25.25. x x y x y x y
x y x y y x y xy
x x y x y x y y x y xy
x x y x y x y x y xy y
7 5 2 4 3 2 5
4 3 2 5 7 3 4 6
7 5 2 4 3 2 5 7 3 4 6
7 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
3 35 8 60
60 90 50
3 95 7 60 90 50
3 95 90 7 50 60
− + − +
+ + − − +
− + − + − − +
⇒ − + − − + − +
26. 26. 26. 26. 26. a a
a a a
a a a a
a a a a
x x
x x x
x x x x
x x x x
+ +
+ +
+ + +
+ + +
− −
+ − +
− − − +
⇒ − − + −
3 1
1 2
3 1 2
3 2 1
8 5
5 6
3 5 6
3 6 5
27. 27. 27. 27. 27. − + + +
− − − −
− + + −
⇒− − + +
− − −
− − −
− − −
− − −
8 16 15
7 5 8
15 16 10 8
15 8 10 16
4 2 3
2 3 1
4 2 1
1 2 4
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
28. 28. 28. 28. 28. 15 5 6 41
9 18 31
15 14 6 59 31
15 14 31 6 59
3 2 1
2 1 1 4
3 2 1 1 4
4 3 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
+ + −
+ − + +
+ + − + +
+ + + + −
+ − +
+ + − +
+ − + − +
⇒ + + − − +
29. 29. 29. 29. 29. 9 21 26 14
5 12 8
14 33 26 14 8
14 33 26 8 14
1 2 3 5
1 2 4
1 2 3 5 4
1 2 3 4 5
a a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
m m m m
m m m m
m m m m m m
m m m m m m
− − − −
− − −
− − − − −
− − − − −
− + +
− + +
− + + + +
⇒ + − + + +
30.30.30.30.30. − + − − +
+ + +
− + + − − +
+ + − −
+ + + −
+ + + + − −
15 50 14 6 8
23 6
15 23 56 14 5 8
3 1 1 2
4 2 1 1
4 3 2 1 1 2
m m m m m
m m m m
m m m m m m m
x x x x x
x x x x
x x x x x x x
EJERCICIO 23
1. 1. 1. 1. 1. 1
1
2
− +
− +
a
a
2. 2. 2. 2. 2. 08
8
− +
− +
a
a
3. 3. 3. 3. 3. −
− − +
− − − ⇒ − − −
9
3 5
3 4 3 4
2
2 2
a a
a a a a
4. 4. 4. 4. 4. +
− + −
− + ⇒ −
16
5 16
5 5
2
2 2
xy x
xy x x xy
5. 5. 5. 5. 5. 1
1 1
3 2 2
3 2 2 3 2 2
− + −
− + − ⇒ − + − +
a a b ab
a a b ab a a b ab
6. 6. 6. 6. 6. x
x x y xy
x x y xy
3
3 2 2
3 2 2
8 6
2 8 6
+ +
+ +
7. 7. 7. 7. 7. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
8 6
8 6
+ − +
+ − +
8. 8. 8. 8. 8. +
− +
− + +
y
x y x y xy
x y x y xy y
4
3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 7 8
5 7 8
9. 9. 9. 9. 9. m
m am a m a m a
m am a m a m a
4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
5 18 7
4 18 7
− + − − +
− + − − +
10. 10. 10. 10. 10. 16
14
30 30
− + − −
− + − − ⇒ − − − +
b a c d
b a c d a b c d
11. 11. 11. 11. 11. x
xy y
x xy y x xy y
2
2
2 2 2 2
1
1 1
−
− −
− − − ⇒ − − −
12. 12. 12. 12. 12. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
6
5 8
5 8 6
+
− + −
− + − +
13. 13. 13. 13. 13. x y
x y xy
x x y xy y
3 3
2 2
3 2 2 3
5 17 5
5 17 5
+
+ − +
+ − + +
14. 14. 14. 14. 14. x
x y x y xy
x x y x y xy
4
3 2 2 3
4 3 2 2 3
1
9 8 15
9 8 15 1
−
− + +
− + + −
15. 15. 15. 15. 15. a b
a b a b a b ab
a a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
5 5
4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
11 2 8 4
11 2 8 4
11 8 2 4
+
+ − − +
+ − − + +
⇒ + − − + +
16. 16. 16. 16. 16. x x
x x
x x x x
4 2
3
4 3 2
50
5 25
5 25 50
+ +
− +
− + + +
17. 17. 17. 17. 17. y y
y y y y
y y y y y y
y y y y y y
6
5 4 3 2
6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
41
9 17 18
41 9 17 18
9 17 18 41
+ −
− − + −
+ − − − + −
⇒ − − + − + −
18. 18. 18. 18. 18. a a b a b
a b a b ab b
a a b a b a b a b ab b
6 4 2 2 4
5 3 3 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
9
15 17 14
15 9 17 14
+ +
+ − + +
+ + − + + +
19. 19. 19. 19. 19. x x x
x x
x x x x x x x x
4 3
2
4 3 2 4 3 2
11
5 34
16 34 16 34
+ −
− + +
+ − + + ⇒ + + − +
20. 20. 20. 20. 20. m
m n mn n
m m n mn n
3
2 2 3
3 2 2 3
1
7 3
7 3 1
−
− − +
− − + −
EJERCICIO 24
1. 1. 1. 1. 1. 1
21
4
1
3
2
5
2 1
4
1
3
2
53
4
1
3
2
5
2
2 2
2 2
2 2
a
a ab b
a ab b
a ab b
+ −
+ + −
= + −
2. 2. 2. 2. 2. 15
4
5
2
3
5
9
4
5
2
3
135 5
94
5
2
3
140
94
5
2
315 5
9
− − +
− − ++
= − − +
= − − +
xy yz
xy yz
xy yz
xy yz
3. 3. 3. 3. 3. 3
51
6
3
4
2
9
18 5
30
3
4
2
93
4
13
30
2
9
bc
bc ab cd
bc ab cd
ab bc cd
− + +
− + +
⇒ + +
4. 4. 4. 4. 4. 1
2
2
34
5
2
9
1
2
5 8
10
6 2
9
1
23
10
8
9
1
2
a b
a b
a b
a b
−
− − +
− − + +
= − − +
5. 5. 5. 5. 5. 5
9
3
81
10
5
7
3
11
5
9
30 8
80
5
7
3
115
9
38
80
5
7
3
115
9
5
7
19
40
3
11
2 2
2
2 2
2 2
2 2
x y
y xy
x y xy
x y xy
x xy y
−
− − +
−+
− +
= − − +
⇒ − − +
6. 6. 6. 6. 6. 5
6
2
91
5
1
2
3
8
5
6
10 9
45
1
2
3
85
6
1
2
3
8
19
45
3 3
3 2 2
3 3 2 2
3 2 2 3
m n
n m n mn
m n m n mn
m m n mn n
+
+ + −
+ + + −
⇒ + − +
7. 7. 7. 7. 7. 3
7
1
3
3
55
14
1
2
1
8
6 5
14
2 3
61
14
1
6
3
5
1
8
2 2
2
2
2 2
a ab b
a ab
a ab
a ab b
+ −
− − +
− + −
− − +
8. 8. 8. 8. 8. 3
8
5
6
1
103
5
3
102
15 24
40
50 18
60
1 20
1039
40
68
60
21
10
39
40
17
15
21
10
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y x xy y
+ −
+ −
+ + + − +
= + − = + −
9. 9. 9. 9. 9. a a a
a a
a a a
a a a
3 2
2
3 2
3 2
5
67
8
9
10
7
8
8 7
8
10 9
10
20 21
2415
8
19
10
1
24
+ − +
+ − −
+ + − + + −
= + − −
10 . 10 . 10 . 10 . 10 . m mn n
mn n m n
m mn n m n
m m n mn n
3 2 3
2 3 2
3 2 3 2
3 2 2 3
7
12
4
75
9
5
21
1
8
21 20
36
4 7
7
5
21
1
85
21
1
36
11
7
1
8
+ −
− − + +
+−
−+
+ +
⇒ + + − +
12. 12. 12. 12. 12. 1
2
3
5
7
8
8
97
20
1
8
1
9
7
8
1
2
12 7
20
7 1
8
8 1
9
7
81
2
19
20
8
8
9
9
7
81
2
19
20
7
8
a b c d
b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ − +
+ − + −
+ + − + + + −
= + − + −
= + − + −
6. 6. 6. 6. 6. 5
8
1
4
1
37
86
5
6
5
8
2 7
8
1 18
3
5
65
8
9
8
19
3
5
65
6
5
8
9
8
19
3
2 2
2 3
2 2 3
2 2 3
3 2 2
a b ab
ab a
a b ab a
a b ab a
a a b ab
+ −
+ − −
++
−+
−
= + − −
⇒− + + −
7. 7. 7. 7. 7. 2
11
5
14
1
36
7
8
2
9
2
11
20 49
56
3 2
96
2
11
29
56
5
96
3 2 2 3
4 2 2 3
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
m n m n mn
m m n mn
m m n m n mn
m m n m n mn
+ + −
− +
+ + − + + −
= + − + −
8. 8. 8. 8. 8. − + + + −
− + −
− + − + + + − +
= − − + + −
= − − + + −
7
8
1
14
2
3
1
37
1
2
3
7
1
8
2
9
1
2
7
8
1 6
14
2
3
8 3
24
63 2
91
2
7
8
5
14
2
3
11
24
65
91
2
7
8
5
14
2
3
11
247
4 3 2 2 3 4
5 3 2 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 29
x y x y x y xy
x x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
1. 1. 1. 1. 1. 3
8
5
65
6
9 20
24
5
6
11
24
5
6
2
2
2 2
a a
a
a a a a
−
−
− − = − −
2. 2. 2. 2. 2. 8 6 5
1
2
3
5
16 1
2
30 3
55
15
2
33
55
a b
a b
a b a b
+ −
− +
−+
+− = + −
3. 3. 3. 3. 3. x x y
x y
x x y x x y
3 2
2
3 2 3 2
2
36
7
9
6 7
96
1
96
+ −
−
+ − − = − −
4. 4. 4. 4. 4. a b c
a b c
a b c a b c
+ −
− + −
− + + − + = + −
1
2
3
4
2
3
2 1
2
4 3
4
3 2
3
1
2
7
4
5
3
5. 5. 5. 5. 5. 2
3
5
6
1
2
2 3
3
5 6
6
1 2
2
1
3
1
6
3
2
m n p
m n p
m n p m n p
+ +
− − +
−+
−+
+= − − +
11. 11. 11. 11. 11. 3
5
3
4
5
7
2
35
8
1
3
5
6
3 5
5
3
4
5
8
15 7
21
4 5
62
5
3
4
5
8
8
21
1
6
4 3 3 4
4 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
x x y xy y
x x y xy y
x x y x y xy y
x x y x y xy y
+ − +
− − + −
− + − − − + −
= − + − − −
EJERCICIO 25
9. 9. 9. 9. 9. 7
9
2
3
1
8
2
137
9
1
11
7
9
6 7
9
1
8
11 1
11
2 13
13
7
9
13
9
1
8
12
11
15
13
5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 4 2 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 6 6 5 4 2 3 3 2 4 6
x y x y x y x y xy y
x x y x y xy y
x x y x y x y x y y x x y x y x y x y y
+ − − + +
− + − − +
− + + + − − + + + = − + + − − +
10. 10. 10. 10. 10. 1
3
7
9
5
8
7
11
2
52
3
1
6
3
46
1 2
3
14 3
18
5 6
8
7
11
2 30
5
11
18
1
8
7
11
32
5
3 2 2 3
3 2 2
3 2 2 3 3 2 2 3
x x y xy y
x x y xy
x x y xy y x x y xy y
− + − −
+ − −
+ − − + − − − + = − − − −
11. 11. 11. 11. 11. 3
10
3
7
5
92
13
7
20
5
14
1
3
3
5
2
13
6 7
20
6 5
14
5 3
9
3
5
2
13
13
20
11
14
2
9
3
5
4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6
6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6
m n m n n
m m n m n n
m m n m n n m m n m n n
− +
+ − − +
+ + − + + − + = + − + +
12. 12. 12. 12. 12. 3
8
7
22
7
12
1
2
1
335
5
11
5
6
3
4
3
13
3
8
7 10
22
7 10
12
1
2
3
4
13 9
3935
3
8
17
22
17
12
1
2
3
4
22
3935
5 4 3 2 2 3 5
4 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
c c d c d c d d
c d c d cd d
c c d c d c d cd d
c c d c d c d cd d
+ + + − −
+ + − −
+ + + + + − − + −
= + + + − − −
EJERCICIO 26
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5
1. 1. 1. 1. 1. a abab b
a ab b
2
2
2 2
2 2
3
4
1 4 1 2 2 1 8 4 11
−
− −
− −
= − ⋅ ⋅ − = − − = −
2. 2. 2. 2. 2. a b
b a b ab
a b a b ab a a b ab b
3 3
3 2 2
3 3 2 2 3 2 2 3
3 2 2 3
2 5 6
3 5 6 5 6 3
1 5 1 2 6 1 2 3 2 1 5 2 6 4 3 8
1 10 24 24 11
+
+ + −
+ + − ⇒ + − +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅= + − + =
3. 3. 3. 3. 3. 1
21
2
5
3
1 2
2
1
2
5
3
1
2
1
2
5
31
21
1
22
5
33
1
21 5
1 2 10
2
7
23 1
2
a
a b c
a b c a b c
− − +
− − + = − − +
⇒− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − +
= − − + = =
4. 4. 4. 4. 4. 3 5
10 8
2 15 8 2 8 15
232
832
25
1525
294
4810
345
92
245
125
45 48 2410
2710
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
m nm n mn
m n mn m mn n
−
− − −
− − ⇒ − −
=
− ⋅ ⋅ −
= ⋅ − − ⋅
= − − = =− −
= −
5. 5. 5. 5. 5. x x y y
x y xy y
x x y x y xy y
4 2 2 4
3 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
18 15
16 6 9
16 18 6 6
4 16 4 5 18 4 5 6 4 5 6 5
256 80 64 18 16 25 24 125 6 625
256 5120 7 200 3 000 3 750 4 926
− +
+ −
+ − + +
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅= + − + + =. . . . .
6. 6. 6. 6. 6. a am mam m a m
a am m a m a a m am m
3 2 3
2 3 2
3 2 3 2 3 2 2 3
3 22 3
75 5 8
2 6 8 8 2 6
1 8 132
2 132
632
1242
294
6278
1 1292
814
4 48 18 814
194
− ++ + −
− + − ⇒ − − +
= − ⋅ ⋅ − ⋅
+
= − − ⋅ + ⋅
= − − + =− − +
=
7. 7. 7. 7. 7. 2
3
7
8
1
51
6
1
10
4 1
6
7 8
8
2 1
10
1
2
1
8
1
101
21
1
81 2
1
102
1
2
2
8
4
101
2
1
4
2
5
10 5 8
20
3
20
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a ab b
a ab b
a ab b a ab b
+ −
− − +
−+
−−
−= − −
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − −
= − − =− −
= −
8. 8. 8. 8. 8. 23
34
12
16
14
12
4 16
3 14
56
32
56
32
25
32
25
278
56
1820
32
425
278
34
1250
675 150 48200
873200
2 2 3
2 2 3 3
2 2 3 3 2 2
3 2 2
m n mn n
m n mn n m
m n mn m m m n mn
+ −
+ + +
++
++ = + +
=
+
⋅ +
= + ⋅ + ⋅
= + + =+ +
=
9.9.9.9.9. a a b b
a b a b
a a b a b a b b
5 2 4 5
4 2 3 3
5 4 2 3 3 2 4 5
5 4 2 3 3 2 4 5
3
5
5 3
1 1 2 5 1 2 3 1 2 2
1 4 5 8 3 16 32 1 4 40 48 32 21
− +
− +
− + − +
= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ += − + ⋅ − ⋅ + = − + − + =
10. 10. 10. 10. 10. − + −−
− + −
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= − + − = −
ab mn mx
ab
ab mn mx
10 8
15
16 10 8
16 1 2 103
2
2
58
3
24
32 6 48 74
11. 11. 11. 11. 11. a
a b ab b
a a b ab b
3
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
11 9
11 9
1 11 1 2 9 1 2 2
1 22 36 8 7
− + −
− + −
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −= − + − =
12. 12. 12. 12. 12. 1
642
3
5
6
3
8
1
64
2
3
5
6
3
81
644
2
34
5
64
3
8
432
3
20
6
3
8
96 256 80 9
24231
24
77
89
4
2
4 2
4 2
58
x
x x
x x x
− − +
− − +
= ⋅ − ⋅ − ⋅ +
= − − + = − − +
= − = − = −
13. 13. 13. 13. 13. x x y xy
x xy y
x x y xy y
x x y xy y
3 2 2
3 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3
16
2
53
4
3
5
1
25
4 3
4
3
16
2 3
5
1
251
4
3
16
1
5
1
251
44
3
164 5
1
54 5
1
255
1
464
15
1616
4
525
125
2516 15 20 5 56
+ −
− + +
−+ −
−+
⇒ + + +
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= + + + =
EJERCICIO 27
1. 1. 1. 1. 1. + +
− − − +
+ − − +
ab b a
a b a ab b
a ab b ab b
2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 4
4 4
2. 2. 2. 2. 2. a
a
+− + −
−
8 1
6 14
14 13
3. 3. 3. 3. 3. − +
+ +
− + + +
−
− − −
− − −
x xy
x y y
x x y xy y
x y
x x y xy y
x x y xy y
3 2
2 3
3 2 2 3
2
3 2 2 3
3 2 2 3
4
5
5 4
7
5 4
12 4
4. 4. 4. 4. 4. − + −
− + −
+ −
3 4 5
3 4 5 4
4 5 4
3 2 3 4
3 2 3 3
3 4 3
m n mn n m
m n mn n n
n m n
5. 5. 5. 5. 5. 8 9 3 6
7 9 3
5
a b c a
a b c a
a a
+ −− − + −
6. 6. 6. 6. 6. a b c a b c
a b c a
a a b c
− + + −− + −
− + −
2
2
14.14.14.14.14. 2
5
5
6
9
2 5
5
5 54
63
5
49
6
13
51
49
61
13
5
49
6
30 18 245
30
257
308
1 3 2
1 3 2
1 3
1 3
4 4 1 4 3
1730
a a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x
x x x
x x x
x x x
− − −
− − −
− −
− −
− −
+ − +
− + −
− + − −
⇒ − +
= − ⋅ + ⋅
= − + =+ − +
= =
7. 7. 7. 7. 7. − + − − +− + − + −
− +
m n p m n p
m n p m n p
m n p
2 2 2
0
8. 8. 8. 8. 8. 9 5 3
9 7 25 25 6
6 25 24 5 3
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
ax a x ax a
ax a x x a
a x x ax a
− − +
− + + − −
+ − − −
9. 9. 9. 9. 9. 5 6 4 1
2 8 6 2 5 2 2
2 5 2 2 5 2 3
2 3
3 3 2
3 2 3 2
a a a
a a a a a
a a a a a a
+ − −
− + − − + −
+ − + − − + −
10. 10. 10. 10. 10.
5 9 4 1
11 7 6 11 2 9 6 4
11 2 9 6 4 12 2 9 6 5
3 2 4
4 3 4 3 2
4 3 2 4 3 2
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
− + −
− − − + + + −
− − − − + + + + −
11. 11. 11. 11. 11. 35 7 11
7 35 8 6 7 5
7 5 8 5
2 2 3 3
3 2 2 3 2
3 2 3 2 3
a b ab a b
a a b ab a ab
a ab a ab b
− − +
− − + + − +
− + − − + +
12. 12. 12. 12. 12. − + − +
− + −
− + + − +
− +
− − + −
+ − − + −
11 14 25 8
19 6 9 4
11 19 8 16 4
7 4
11 19 8 16 4
11 26 8 20 4
4 2
3 2
4 3 2
5 3
4 3 2
5 4 3 2
n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n n n
13. 13. 13. 13. 13. − + −
− − −
− − + − −
− +
− + + − + +
− + + − + +
6 5 6
7 5 11 6
7 11 11 5 6 6
8
7 11 11 5 6 6
6 11 3 5 7 6
3 3
4 3 2 2 4
4 3 2 2 3 4
4 2 2 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a m am
a a m a m m
a a m a m am m
a a m m
a a m a m am m
a a m a m am m
14. 14. 14. 14. 14. − + −
− + + −
− − + + − −
− + +
+ − − + +
+ − − + +
4 13 9
6 8 2
6 4 8 13 8 2
30 40
6 4 8 13 8 2
7 4 38 13 48 3
4 2 3 4
5 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
x y x y xy
x x y xy y
x x y x y x y xy y
x x y xy y
x x y x y x y xy y
x x y x y x y xy y
15. 15. 15. 15. 15. a b a
a b a b
a b
+− − +
2
2
2
16. 16. 16. 16. 16. 8 9 8 6 4
6 5 2
8 6 4 8 6 6
x x y
y
x y x y
+ + +−
+ + + +
17. 17. 17. 17. 17. x y x xy y
xy y y
x xy y x xy y
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
6 7 34
7 40 9 16
7 34 7 43 16
− − +
− + −
− + − + −
18. 18. 18. 18. 18. 4 8 5 5
7 6 4
5 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a ab b a ab b
a ab b a ab b
a ab b a b
+ − + +
− + − − +
+ + +
19. 19. 19. 19. 19. x y
x y xy
x x y xy y
x x y xy y
x y
x x y xy y
3 3
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
3 3
3 2 2 3
14 5
14 5
14 5
3 19
4 14 5 20
−
− +
− + −
− + −
−
− + −
20. 20. 20. 20. 20. x x y y x x y y
x y y x x y y
x x y y
4 2 2 4 4 2 2 4
2 2 4 4 2 2 4
4 2 2 4
6 2 32
8 31 2 32
2 32 0
− + − +
+ + − − −
+ +
21. 21. 21. 21. 21. − + +
+ − − −
− + + − −
− + + − −
+ + −
− + + − −
6
7 8 6
6 7 8 6
6 7 8 6
3 8 19
6 4 15 8 25
5 4 2
3 2
5 4 3
5 4 3
6 4 3
6 5 4 3
n n n
n n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n n
22. 22. 22. 22. 22. a a b ab
a b a b ab b
a a b a b ab b
a a b a b ab b
a b a b b
a a b a b a b ab b
5 3 2 4
4 3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
4 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
3 6
22 10 11
22 7 5
22 7 5
5 7
17 7 7 5 2
− +
+ + − −
+ + − −
+ + − −
− + −
+ + + − −
23. 23. 23. 23. 23. 4 5 2 3 5 6 4
7 8 4 5
3 5 6 4 3 5 6 1
3 2 3 2
3 4
3 2 4 3 2
m m m m m m
m m m
m m m m m m m
− − − − + +
− + + −
− − + + − − + −
24. 24. 24. 24. 24. 7 11 2 8
7 11 8 4
2 8 2 4
2 2 2
2 2
2 2
a ab b b
a ab b
b b
− + −
− + + − +
− −
25. 25. 25. 25. 25. 3 4 5
7 8 11 5 6 2 11
2 7 2
5 6 2 11 6 7 11
a b c
a b a b c
a b c a b c
a b c a b
− +− + − − + − −− + − − + +
− + − − − + −
26. 26. 26. 26. 26. 5 14 19 8
9 1
3 1
5 17 10 6
3 5
2 8 17 10 1
3 2
5
4 2
5 4 3 2
4 3
5 4 3 2
a a a
a a
a a
a a a a a
a a
a a a a a
+ − +
+ −
− + −
− + + − +
− + −
− + + − +
27. 27. 27. 27. 27. m m n n
m n m n mn n
m m n m n mn n
m m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
4 2 2 4
3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
10 15
11 14 3
11 4 3 16
6 7 8
11 4 3 16
5 11 11 11 17
+ +
− − − +
− − − +
+ + −
− + + + −
+ + + −
28. 28. 28. 28. 28. a a b ab b
a b a b ab b
a b a b ab
a a b a b a b ab b
a a b ab
a a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
5 3 2 4 5
4 2 3 4 5
3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
5 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
4 8
7 15 25 3
3 5
7 3 18 22 2
3 6 21 6
7 3 18 22 2
2 7 3 24 2 6
+ + −
− + − +
− + −
− + + − +
− − −
− + − − + −
+ − − + − −
EJERCICIO 28
29. 29. 29. 29. 29. x y
x y x y x y y
x x y x y x y
x x y x y x y xy y
x x y x y x y
x y x y xy y
5 5
4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3
4 3 2 4 5
3 21 18
3 21 18
32 26 18 2
3 21 18
29 47 2
+
+ + −
+ + +
+ − + − +
− − − −
− − +
30. 30. 30. 30. 30. 3 6
7
4
8 7 12
4
8 7 5 13
1
1 2
1 2
2 1 1
1 2
2 1 1 2
a a
a a a
a a a
a a a a
a a a
a a a a a
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x
+
− +
− +
− − +
− + −
− − + −
−
− −
− −
+ + −
− −
+ + − −
6. 6. 6. 6. 6. a x x a x ax x
a ax a a x ax x
a a x ax x a a x ax x
a a x ax x
a a x ax x
a x ax
2 3 2 2 3
3 2 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
3 5 11 11
3 4 6 8
3 3 9 17 3
3 3
9 17 3
10 14
− − + −
+ − + +
+ + − − + −
+ + −
− + − +
−
7. 7. 7. 7. 7. x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4 2
3 3 2
4 2 4
4 3 2 4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
3
3 5 7 8 3 4
5 4 3
2 4 2 7 8 3 1
2 4 2
7 8 3 1
6 12 4 1
+ −
− − + − + − +
− + −
− − + + − + − +
− − + +
− + − + −
+ − + +
1. 1. 1. 1. 1. x x x x
x x
x x x x
2 2
2 2
5 4 2 1
2 6 6 2
2 1 2 2 3
+ − + −− − + −
+ − + −
2. 2. 2. 2. 2. 3 5 7 4 6 2
3 8 3 7 7 3
4 6 2 7 7 3 3
a b c a b a b c
a b c b c a b c
a b c a b c a b c
− + + − −− − − − − + +
− − − − − + +
3. 3. 3. 3. 3. x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
3 3 2
3 2 2 2
3 2 2 3 2
1 9 4 6 8
5 7 3 1 3 8 5
6 8 3 8 5 6 2 8 3
+ + − +
− + − − + − −
− + − + + + − +
4. 4. 4. 4. 4. a a a a
a a a a
a a a a a a a a
2 4 3 2
3 4
3 2 4 4 3 2
1 2
1 2
+ + +
− − − −
+ + − + + −
5. 5. 5. 5. 5. ab bc ac ab bc ac ab bc ac
bc ac ab bc ac ab ac
ab bc ac ab ac ab bc
+ + − + − + −− + − − + + − −
− + − + − − −
5 3 4 6 9 9
7 8 9 3 5 4 9
6 9 9 4 9 3 6 9
8. 8. 8. 8. 8. m n
m n m n mn m m n m n mn n
m m n n m n mn m m n mn
m n m n mn n m m n mn m m n m n mn n
4 4
3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
4 2 2 4 2 2 3 4 2 2 3
3 2 2 3 4 4 2 2 3 4 3 2 2 3 4
17 4 7 6 17 2 7 81
6 80 4 2
17 2 7 81 2 17 3 8 81 2
−
− − − + + − −
− + − − + − + − −
+ − − − − + + + + − − −
9. 9. 9. 9. 9. + + −
− − + − − + − + − − +
− − + − − − + − + + +
− + − − + − + − − − − − − +
a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
3
5 4 2 4 3 2 5 4 3 2
2 3 2 4 3 2
5 4 3 2 4 3 2 5 3 2
7
6 8 4 11 10 27
5 11 26 16 8 7 15 12 7 7 15
11 10 27 12 7 7 15 11 4 3 42
10. 10. 10. 10. 10. 3 3 20 11 8
11 9 14 19 8 9 3 11 8 14
3 11 8 14 20 11 8 17 14
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x y x xy y x xy y
xy y x xy y x xy y
x xy y x xy y x
− − − − +
− + − − + − + − +
− + − − + +
11. 11. 11. 11. 11. a a
a a
a
a a
− −− + −
− +
− +
1 3
1 4
0 3 8
2 1
2
2
12. 12. 12. 12. 12. a ab b
a ab b a ab b a ab b
a ab b ab b a ab b
a ab b a ab b ab b
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 8 7 9 3 4
5 11 17 8 7 2 9
2 9 4 5
− +
− + − + + − + −
− + − − − − +
− + − − + − − +
13. 13. 13. 13. 13. m
m m m m m m m
m m m m m m m m
m m m m m m m m m m m
4
3 2 5 5 4 2
2 4 2 4 3 2
4 3 2 5 4 2 5 4 3
1
8 6 5 16 16 7 19
7 1 16 7 3 7 13 5
7 13 5 16 7 19 17 13 24
−
− + − + − − + −
− − + − + − − + − + −
− + − + − + − − + + −
14.14.14.14.14. x y
x y x y x y y x y x y xy x x y x y x y xy y
x y xy xy x y x y xy
x x y x y x y xy y x y x y xy x x y x y x y xy y
5 5
4 3 2 2 3 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5
3 2 4 4 4 3 2 4
5 4 3 2 2 3 4 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5
2 5 7 3 7 11 2 2 7 6 4 8
7 6 8 1 7 10 1
2 2 7 6 4 8 7 10 1 9 7 4 4 7
−
− + − − − + − + + + − + +
− + − − − − + −
− − − + − − − + − − + + + + + +
15.15.15.15.15. − + −
− + − +
− − − + − + − + − − + − +
− + − + − + − + + − + − + −
− − + − + − + − − + − + + − − +
a a a
a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
6 4
5 3 2
4 3 4 2 5 4 3 2
3 2 5 3 2 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 3
7 8
3 11 4
6 11 2 8 3 7 8 5 5 3 7 48 58 13
5 5 4 1 5 7 41 50 8 3 5 4 14 13
3 5 4 14 13 5 3 7 48 58 13 8 4 2 44 2 44− a
16. 16. 16. 16. 16. a a x a x x
a x a x ax a x a x a x
a x ax x a
a a x a x a x ax x a a x a x a x x
a a x a x a x x
a a x a x a x ax x
5 3 2 3 2 5
4 2 3 4 4 3 2 2 3
3 2 4 5 5
5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
7 9 18 4 8
20 21 19 9 17 11
9 7 80 36
20 2 21 26 71 9 11 4 28
9 11 4 28
20 2 21 26 71
11
− + + − −
− + − − − +
+ − + − +
− + + − + − − + + − +
− + + − +
− + − − + − +
a x a x a x ax x4 3 2 2 3 4 510 26 5 99− − + − +
1. 1. 1. 1. 1. a b a
a b a b
a b a b
a b a b
+
− + − −
−+
+ −−
= + = −
1
2
3
42
3
3
4
1
3
5
4
3 2
3
2 3
4
9 4
12
5
41
3
5
4
5
12
5
4
2. 2. 2. 2. 2. 3
86
1
2
3
55
6
3
5
5
6
3
5
3
86
5
6
3
5
3
86
3 5
6
3
86
4
3
3
86
3 2
3 2 3 2
3 2 3
3
a a a
a a a a a
a a a a a
a a
− +
− + − − +
− + + −+
− +
= − +
3. 3. 3. 3. 3. a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
+ + +
− − + − +
− + − + − + + +
= + + = + +
33
5
7
36
2
5
2
36
1
5
1
6
5 2
5
9 2
36
3 1
5
14 1
66
3
5
7
36
2
5
5
26
4. 4. 4. 4. 4. 1
3
3
7
1
51
14
2
96
1
3
6 1
14
2
9
1 30
51
3
5
14
2
9
31
5
5
61
3
5
14
2
9
31
5
5 2
6
5
14
2
9
31
57
6
5
14
2
96
3 2
2
3 2
3 2
3
3 2
3 2
3 2 15
x x
x x
x x x
x x x
x
x x x
x x x
x x x
− +
− +
−−
− ++
= − − +
−
− + + −
−+
+ + −
= − + + −
EJERCICIO 29
5. 5. 5. 5. 5. 7
12
7
12
3
7
2
56
3
7
2
56
3
4
1
5
1
3
7
12
3
7
2
56
7 9
12
3
7
2
5
1
5
18 1
34
3
3
7
2
5
1
5
17
3
4 4 3 2
3 2 4
4 3 2 4 3 2
4 3 2
a a a a
a a a a
a a a a a a a
a a a a
− + −
− + − − +
− + −+
− + − −−
= − + − −
6. 6. 6. 6. 6. − + − −
− − + − + −
− + − − + + + − +
= − + − + = + −
1
2
2
3
1
4
5
9
2
51
9
2
53
1
2
5
9
13
203
1
2
6 1
9
5 8
203
1
2
13
20
2 15
51
2
5
9
13
203
1
2
13
20
17
5
x y z y
y z x y z
x y z x z
x y z x z
7. 7. 7. 7. 7. − + −
− +
− − + − − −
= − − −
−
+ +
+ +
3
2
3
41
8
5
6
2
3
12 1
8
9 10
12
3 2
311
8
1
12
1
3
1
2
1
311
8
1
12
1
3
1
2
11
8
1
12
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 3
3 3
2 2 3
3 2 2
a b ab b
a b ab b
a b ab b
a b ab b
a b
a b ab b
a a b ab
8. 8. 8. 8. 8. 1
2
2
9
2
3
1
5
1
2
1
9
3
51
3
3
5
5
9
1
10
1
9
1
10
1
2
2 3
9
3
5
6 5
9
2 1
10
1
2
6 1
101
2
1
9
3
5
1
9
1
10
1
2
7
10
a b b c a b c
b c b c b c
a b c b c a c
a b c b c a c
− + + −
− − − − −
− − − − + − − +
= + − = + = −
9. 9. 9. 9. 9. 1
3
1
8
1
5
1
4
2
3
1
4
1
3
19
40
2
3
1
83
5
3
4
1
10
1
3
29
40
1
8
1
3
19
40
3
4
1
10
1
3
5 24
40
3
4
2 1
10
1
3
10 29
40
2
3
2 1
8
8 9
12
10 8
801
3
19
40
3
4
1
10
1
3
19
40
2
3
1
8
1
12
2
80
1
12
1
40
3 2 2 3 2
2 3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a
+ + − + − − +
− − − − − − + + −
+ − − + − + − − + − − − + −
= − − + = − − + = + = +
10. 10. 10. 10. 10. 3
5
5
6
2
9
2
9
1
9
2
3
3
5
7
3
13
6
1
23
2
1
3
1
4
17
45
22
9
3
2
1
2
3
5
7
3
1
9
1
4
3
5
10 18
12
2 3
9
1
4
10 17
45
1 22
9
4 9
6
1
2
39 2
18
2 1
43
5
28
12
1
9
1
4
27
45
21
9
13
6
1
2
37
18
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x xy y x xy y x xy y
xy y x xy y x xy y
x xy y x xy y y
x xy y x xy y y
− + + − − + + +
− − + − − − − − +
− + + − + + + − − + − − + +
= − − + = − − − = +
= − − + = − − −
3
43
5
7
3
1
9
1
4
3
5
7
3
13
6
1
22 2 2 2x xy y x xy y
11. 11. 11. 11. 11. 2
7
1
5
1
2
1
4
1
5
3
4
3
8
3
2
7
103
4
3
8
1
10
5
4
1
8
3
2
1
2
2
7
3
4
3
8
1
10
2
7
3
4
3
8
2 1
10
2 5
4
2 1
8
3
2
2 5
10
2
7
15 1
10
7
102
7
3
4
3
8
1
10
3 3 2 2 2 2 3
2 2 3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3 2 2 3 3 3
3 2 2 3
a b a b ab a b ab b
a b ab b a b ab b a a b ab b
a a b ab b a b ab b a b
a a b ab b
− + − − + − −
− + + − + − − − + − +
− + −− −
++
− −+
− −−
−
= − + − =− + − − = − − − = − − −3
4
3
8
3
2
7
10
2
7
14
10
7
10
2
7
7
5
7
102 2 3 3 3 3 3a b ab b a b a b
12. 12. 12. 12. 12. 1
3
1
42
7
3
5
2
5
5
3
5
14
2
51
14
7
20
1
4
2
3
5
14
1
4
11
60
1
4
4 1
14
12 7
20
20 24 15
60
1
4
3 5 2
3
1
4
11
60
1
4
2
55
14
5
20
11
60
1
4
0
3
2 2 3 4
4 3 2 2 4 4 4
4 3 2 2 4 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3
m n mn n
m m n m n n m n
m m n m n n m m n m n mn
m m n m n mn n m n m n mn n
m m n m n mn n
− −
+ − + −
− + − − − − +
++
−+
− +− −
− +− − + −
= + + − − 4
4 3 2 2 35
14
1
4
11
60
1
4= + + −m m n m n mn
13. 13. 13. 13. 13. 1
2
1
33
4
1
62
5
1
45
1
2
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
3
8
1
2
4 9
12
5 12
30
1 2
4
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
40 3
81
2
13
12
7
30
1
4
1
3
3
8
1
2
13
12
7
30
1
4
1
3
37
8
x y
y z
z m
m n x y z m n
x y z m n x y z m n
x y z m n x y z m n
+
−
+
− + + − − − + − −
+ + − − + − + + − − − + − + −
= + + − + + = − − − + − +
14. 14. 14. 14. 14. 5
6
1
2
3
52
3
3
85
3
8
3
4
1
6
2
3
11
24
1
12
1
2
152
331
6
39
40
3
11
1
12
3
8
20 9
24
6 9 2
12
4 1
6
24 15 39
40
165 22 9
33
11 24
24
1
2
1216 99
26411
24
1
12
3
6
0
40
152
33
11
24
1
12
1
2
152
33
4 3
2
4 3 2 4 3 2
3 4 3
4 3 2 4 2
4 3 2 4 3 2
a a a
a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a a a a
+ −
− − +
− − + − − − +
+ + + − + −
− + − + − − − + − + − + − − + −
= − − − + = − − + =
.
− − +13
24
1
2
1117
2644 2a a
.
EJERCICIO 30
1. 1. 1. 1. 1. x x
x x x
x
Rta x x x
3 2
3 2
3 2
5
3 5 6
3 6
3 11
− +
− + + − −
−
− + + −.
4. 4. 4. 4. 4. x x
x x x
x
Rta x x x
3 2
3 2
3 2
4 8
4 13
5
4 13
− +
− + + −
−
− − +.
7. 7. 7. 7. 7. 5 8 11
4 8 11
5 8 11
3 2 3
3 3
3 2
3 2 3
a ab b
a b
a ab
Rta a ab b
+ − −
− +
+ −
+ − −.
2. 2. 2. 2. 2. − + −− + + +
+− + + +
5 9 6
5 9 6 8 9
8 9
5 9 6 8 9
a b c
a b c x
x
Rta a b c x.
5. 5. 5. 5. 5. m mn n
m m n mn n
m n
Rta m m n mn n
4 3 4
4 2 2 3 4
2 2
4 2 2 3 4
3 6
4 3 6 8
4 8
4 3 6 8
− +
− + + − −
−
− − + +.
8. 8. 8. 8. 8. 1
2
1
34
1
2
1
3
4
x y
x y
− −
− +
−
3. 3. 3. 3. 3. a b
a a b ab b
a b ab b
Rta a a b ab b
3 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3
8 5 3
8 5 4
8 5 3
−
− − + −
− + −
− − + −.
6. 6. 6. 6. 6. 4 5 5 2
5 4 8
4 9 6
4 5 5 2
3 2
2
3
3 2
x x x
x x
x x
Rta x x x
+ − −
− − +
− +
+ − −.
Rta x y.1
2
1
34− −
9. 9. 9. 9. 9. 5 7 8
5 7 8 1
1
5 7 8 1
2 2
2 2
2 2
x xy y
x xy y
Rta x xy y
− −
− + + +
− + + +.
10. 10. 10. 10. 10. n
m m n mn n
m m n mn n
m m n mn n
m
Rta m m n mn n
3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
9 8 5
9 8 5 2
10 8 5 2
10 8 5 2
− + − +
− + − +
− + −
− + −.
11. 11. 11. 11. 11. 0
5 8
5 8
0
3
3
− + −
− + −
a a
a a
Rta.
EJERCICIO 31
1. 1. 1. 1. 1. ( )x x yx x yy
− −= − +=
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )a a b a ba a b a ba a a
+ − + − += + − − += − =2
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )x y x y z x y zx y x y z x y zx y z
+ + − + − + −= + + − + − − += − +2
2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x
x x xx
2 2
2 2
3 5
3 53 5
+ − − +
= − − += − +
7. 7. 7. 7. 7. a b a a b
a b a a b
a a a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
3 2
+ − + − −
= − + − +
= − =
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )a b a a b a ba b a a b a b
b
− + + − + − − += − − − + + −= −
22
2
3. 3. 3. 3. 3. ( )a b aa b aa b
+ − − += + + −= + −
2 32 3
3 3
8. 8. 8. 8. 8. { } { }2 1 32 1 31 3 4
a x a a xa x a a x− − + − − + −
= + − + − − += + =
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) [ ]− − + + − + − − +
= − + + − + + −
= − + +
x y xy x xy y xy
x y xy x xy y xyx xy y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 3
2 33 3 2
4. 4. 4. 4. 4. ( )4 24 26
m m nm m nm n
− − −= + += +
9. 9. 9. 9. 9. ( ) [ ]x y x xy y x y
x y x xy y x yx xy y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
22
+ − + + + − +
= + − − − − +
= − − +
14. 14. 14. 14. 14. [ ] { } ( )8 2 3 3
8 2 3 38 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x xy y x xy y x xy
x xy y x xy y x xyx y
+ − + − − + − − −
= − + + − + − += +
5. 5. 5. 5. 5. ( )2 3 4 32 3 4 3
2
x y x yx y x y
x
+ − += + − −= −
10. 10. 10. 10. 10.( ) ( )− + + − + −= − + − + −= − +
5 6 5 65 6 5 66 5
m mm mm
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( )− + + − − − − + + += − − − − + − + +=
a b a b b a a ba b a b b a a b
33
0
EJERCICIO 32
1. 1. 1. 1. 1. ( )[ ][ ]
2
222
a a a b
a a a ba a a ba b
+ − +
= + − −= + − −= −
2. 2. 2. 2. 2. ( )[ ][ ]
3 2
3 23 24
x x y x y
x x y x yx x y x yx
− + − +
= − + − −= − − + +=
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )[ ][ ]
2
222 2
m m n m n
m m n m nm m n m nm n
− − − +
= − − − −= − + + += +
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )[ ][ ]
4 3 2 3
4 3 2 3
4 3 2 36 3 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x x xy y xy x y
x x xy y xy x y
x x xy y xy x yx xy y
+ − − + − + − − +
= + − + − + + −
= − + − + + −
= + −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ){ }{ }
a a b a b c a
a a b a b c aa a b a b c aa c
+ − + − − + − +
= + − + + − + += − + + − + += +
2
22
6. 6. 6. 6. 6. ( )[ ] ( )[ ][ ] [ ]
4 2 3 4 2 1
4 2 3 4 2 14 2 3 4 2 1
5 2
m m n n m
m m n n mm m n n m
n
− + − + − − +
= − + − + − − −= − − + − − −= − +
7. 7. 7. 7. 7. { }( )[ ]( )[ ]
[ ]
2 5 2
2 5 2
2 5 22 5 2
2
x x y x y
x x y x y
x x y x yx x y x y
x y
+ − − − + − +
= + − − − − +
= + − + + −= − + + −= − +
8. 8. 8. 8. 8. ( )[ ]{ }[ ]{ }
{ }
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y x xy yx xy y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
7 3 2
7 3 2
7 3 2
7 3 22 4 3
− − + − + − + −
= − − + − − + −
= − − − − + −
= + + + − +
= + +
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }[ ]{ }[ ]
[ ]
− + + − + − − + − − +
= − − + − + − − + − +
= − − + − + + − + −= − − − + + − + −= −
a b a b a b a b a
a b a b a b a b
a b a b a b a ba b a b a b a b
a b
3 2 2
2
22
2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }
{ }
− + − + + − − − +
= − + − + + − − − −
= − + − + − − − −= − + − − + + + += − +
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x yx y x y x y x yx y
4 2
4 2
4 24 2
3
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]
− − + + − + − − + + − + −
= − + − − + − − + −= − − − + − − + −= −
a b a b a b b a b
a b a b a b b a ba b a b a b b a ba b
2 3
2 32 3
3 7
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }
{ }
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 3
7 3 5 3 2 37 2 5
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
m m n n m n
m m n n m n
m m n n m n
m m n n m nm n
− − + − − − − + − +
= − − + − + + − − −
= − − − + − − + − −
= + + − + + − − −
= + −
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }
{ }
2 4 4
2 4 4
6 46 4
a a b a b a b a
a a b a b a b a
a b a b a b aa b a b a b a
b
− − + − − − + − − − +
= + − − − − + − + −
= − − − + − += − − + − + −=
14. 14. 14. 14. 14. ( ){ } ( )[ ]( ){ }[ ]( )
[ ]( )( )
3 5 2 6
3 5 2 6
3 5 2 6
3 5 2 63 5 2 65 5 6
x y x y x x y
x y x y x x y
x y x y x x y
x y x y x x yx y x y x x yx y
− + − + − + − − +
= − + − + − − + −
= − + − + − − + −
= − − + − − + −= − + − + + − += − +
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ){ }[ ]{ }[ ]
[ ]
6 2 2 2
6 2 2 2
6 2 2 26 2 2 26 7
c a c a c a a c c
c a c a c a a c c
c a c a c a a c cc a c a c a a c ca c
− − + + − + − − + +
= − − − + − − − − − +
= − − − − − − − − += + + + + + + + −= +
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )( ){ } ( )[ ]( ){ }[ ]
{ }[ ][ ]
− + − + − + − − − +
= − − − + − + − + − −
= − − − + − + − + − −
= − − − − + − + − −= − − − + − + − + += − + +
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 6
3 2 2 2 5 63 2 2 2 5 66 2 1
m n m m m n n
m n m m m n n
m n m m m n n
m n m m m n nm n m m m n nm n
17.17.17.17.17. ( ) ( )( )[ ] ( ){ }( )[ ]{ }
[ ]{ }{ }
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
2 5 3 2 4
2 5 3 2 42 5 3 2 4
5 6
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b a c a b c a b
a b a c a b c a ba b a c a b c a ba b
+ − + − + − − + − + − − +
= + − + − + − − + − − + −
= + − + − + + − + + + −
= + − − + − − + − − + −= − − + − − + − − + −= − − −
18.18.18.18.18. ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }( )[ ] { }
[ ]
− − + − − − + − + + − − + − +
= − − + − − + + − − − − + − −
= − − − − + − − − − + − −= + + − − − −= −
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 23 2 3 4 2 1
4
x x y x y x x y
x x y x y x x y
x x y x y x x yx x y x y
19. 19. 19. 19. 19. ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]{ }[ ] [ ] [ ]{ }
{ }
− − − − + − + − − + − + −
= − − − + − − −
= − + + − += − +=
a a b c c
a a b c c
a a b c cb c cb
20. 20. 20. 20. 20. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } [ ]{ }
{ } { }
− − − + − + − − − − +
= − − − − − + + − −
= − + − + − −= − − − − − −=− −
a b b a a b
a b b a a b
a b b a a ba b b a a ba b3 3
21. 21. 21. 21. 21. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } ( ){ }[ ][ ]{ } [ ]{ } { }[ ]
{ } { } [ ]
− − − + − − + − − + + − − + −
= − − − − + − + − + − + − − −
= − + − − − + − + += − − + + − + + += − + +
a b c c a b a b
a b c c a b a b
a b c c a b a ba b c c a b a ba b c2
22. 22. 22. 22. 22. ( )( ){ } ( ) ( ){ }[ ]( ){ } { }[ ]
{ }[ ][ ]
− + − − − + + − + + − +
= − + − − − − + − − − +
= − + − − + + − − − +
= − − − + + − − − += − + + − − + + + −= − + −
3 4 2 3
3 4 2 3
3 4 2 3
3 4 2 33 4 2 32 4 7
m m n m m n n
m m n m m n n
m m n m m n n
m m n m m n nm m n m m n nm n
23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ][ ]{ }[ ]
{ }[ ][ ]
− + − + − − + − − − + −
= − + − − − − + − + − −
= − + − − + − + − + −
= − − − += − + + − = −
x x y x y z x y y
x x y x y z x y y
x x y x y z x y y
x x y zx x y z y z
22 2
24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ][ ]{ }[ ]
{ }[ ][ ]
− − + − + − − − + − − − +
= − − + − + − − + − − +
= − − + − − − −
= − − − − − − = + +
a a a b a b c a b
a a a b a b c a b
a a c a b
a a c a b a b c3
EJERCICIO 33
1. 1. 1. 1. 1.
( )a b c d
a b c d
− + −
= + − + −
2. 2. 2. 2. 2.
( )x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 6
3 6
− − +
= + − − +
3. 3. 3. 3. 3.
( )x x x
x x x
3 2
3 2
4 3 1
4 3 1
+ − +
= + − +
4. 4. 4. 4. 4.
( )a a b ab b
a a b ab b
3 2 2 3
3 2 2 3
5 3
5 3
− + −
= + − + −
5. 5. 5. 5. 5.
( )x x x x
x x x x
4 3 2
4 3 2
2 2 1
2 2 1
− + − +
= − + − +
6. 6. 6. 6. 6.
( )2
2
a b c d
a b c d
+ − +
= − − + −
7. 7. 7. 7. 7.
( )x x x
x x x
3 2
3 2
3 4
3 4
+ + −
= − − − +
8. 8. 8. 8. 8.
( )x x y xy y
x x y xy y
3 2 2 3
3 2 2 3
5 3
5 3
− + −
= − − +
9. 9. 9. 9. 9.
( )a x xy y
a x xy y
2 2 2
2 2 2
2
2
− − −
= − + +
10. 10. 10. 10. 10.
( )a b bc c
a b bc c
2 2 2
2 2 2
2
2
+ − −
= − − + +
EJERCICIO 34
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )[ ]
x y x y
x y x y
+ + −
= − − − −
2
2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )[ ]
4 2 3 2
4 2 3 2
m n m n m n
m n m n m n
− + − − + + −
= − − + − + − −
3. 3. 3. 3. 3. ( )[ ]( )[ ]{ }
x xy x xy y
x xy x xy y
2 2 2
2 2 2
3
3
− + − +
= − − − +
4. 4. 4. 4. 4. [ ] ( )[ ] ( )[ ]
x x x x x
x x x x x
3 2
3 2
3 4 2 3 2 3
3 4 2 3 2 3
− + − + − − +
= − − − + + + +
5. 5. 5. 5. 5. ( )[ ]{ }( )[ ]{ }[ ]
2 3 2
2 3 2
a b a a b a
a b a a b a
+ − − + + −
= − − + − + + −
EJERCICIO 35
6.6.6.6.6. ( )( )[ ]
− + − +
= − − − +
2 3
2 3
a a b
a a b
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( ) ( )[ ]
2 3
2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y xy x y
x xy y xy x y
+ − + + − +
= − − − + + − − +
8. 8. 8. 8. 8. x x x
x x x
3 2
3 2
3 4 2
3 4 2
− − + −
= − − + − + −{ }
9. 9. 9. 9. 9. ( )[ ] ( )( )[ ] ( ){ }
m m m m
m m m m
4 2
4 2
3 2 3 2 3
3 2 3 2 3
− + + + − +
= − − − + + − − +
1. 1. 1. 1. 1. 2 3 6⋅ − = −
2. 2. 2. 2. 2. − ⋅− =4 8 32
3. 3. 3. 3. 3. − ⋅ = −15 16 240
4. 4. 4. 4. 4. ab ab a b a b⋅− = − = −+ +1 1 1 1 2 2
5. 5. 5. 5. 5. 2 3 6 62 2 1 3x x x x⋅− = − = −+
6. 6. 6. 6. 6. − ⋅ − = =+ +4 4 42 2 2 1 1 2 3 3a b ab a b a b
7. 7. 7. 7. 7. − ⋅ = − = −+ +5 5 53 2 3 1 1 2 4 3x y xy x y x y
8. 8. 8. 8. 8. a b a x a b x a b x2 3 2 2 2 3 4 33 3 3⋅ = =+
9. 9. 9. 9. 9. − ⋅− = =+4 5 20 202 2 2 1 2 3 2m mn p m n p m n p
10. 10. 10. 10. 10. 5 6 302 2 2 2a y x a x y⋅− = −
11. 11. 11. 11. 11. − ⋅− = =+x y y z x y z x y z2 3 3 4 2 3 3 4 2 6 44 4 4
12. 12. 12. 12. 12. abc cd abc d abc d⋅ = =+1 1 2
13. 13. 13. 13. 13. − ⋅− = =+15 16 240 2404 3 2 3 2 4 3 3 2 7 3x y a x a x y a x y
14. 14. 14. 14. 14. 3 4 122 3 2 2 3 2a b x y a b x y⋅− = −
15. 15. 15. 15. 15. 3 7 21 212 3 5 2 1 3 1 5 2 4 6a bx b x a b x a b x⋅ = =+ +
16. 16. 16. 16. 16. − ⋅− = =+8 9 72 722 3 2 4 2 2 1 3 4 2 3 3 4m n a mx a m n x a m n x
17. 17. 17. 17. 17. a b ab a bm n m n⋅− = − + +1 1
18. 18. 18. 18. 18. − ⋅− = + +5 6 302 3 2 3a b a b x a b xm n m n
19. 19. 19. 19. 19. x y c x y c x y c x y cm n m n x m m n n x m n x⋅− = − = −+ + + +1 2 2 1
20. 20. 20. 20. 20. − ⋅− = + +m n m n m nx a x a6 62 2 1
EJERCICIO 36
1. 1. 1. 1. 1. a a a am m m m m⋅ = =+ + + +1 1 2 1
2. 2. 2. 2. 2. − ⋅− = =+ + + +x x x xa a a a a2 2 2 2
3. 3. 3. 3. 3. 4 4 41 1 1 1 2 1a b ab a b a bn x x n x x n x⋅− = − = −+ + + + + +
4. 4. 4. 4. 4. − ⋅ = − = −+ + + + + + + + + +a b a b a b a bn n n n n n n n n n1 2 2 1 2 2 2 3 2 2
5. 5. 5. 5. 5. − ⋅− =+ + + + + +3 4 124 1 2 3 2 6 2 4a b a b a bn n n n n n
6. 6. 6. 6. 6. 3 4 12 122 3 1 2 2 1 3 2 3 5x y x y x y x ym m m m m m⋅ = =+ + + + + + + +
7. 7. 7. 7. 7. 4 5 202 4 5 1 2 7 2 5x b x b x ba a a a a a+ + + + + +⋅− = −
8. 8. 8. 8. 8. a b c a b a b c a b cm n m n m m n n m n⋅− = − = −+ +2 2 2 3
9. 9. 9. 9. 9. − ⋅− =+ + − − − −x y x y c x y cm a m a m a1 2 3 5 2 2 2 2 3 24 4
10.10.10.10.10. − ⋅− =− − − − −5 7 351 2 3 4 3 3 2 5m n c m n m n ca b a b a b
EJERCICIO 37
1. 1. 1. 1. 1. 1
2
4
5
1
2
4
5
4
10
2
52 3 5 5 5a a b a b a b a b⋅ = ⋅ = =
2. 2. 2. 2. 2. − ⋅−
= − ⋅− = =
3
7
7
143
7
7
14
21
98
3
14
2 2 3
2 5 2 5 2 5
m n a m
a m n a m n a m n
3. 3. 3. 3. 3. 2
3
3
5
6
15
2
52 3 2 4 2 6 4 2 6 4x y a x y a x y a x y⋅− = − = −
4. 4. 4. 4. 4. − ⋅− = =1
8
4
5
4
40
1
103 4 3 2 3 5 5 3 5 5m n a m n a m n a m n
5. 5. 5. 5. 5. − ⋅ = − = −7
8
2
7
14
56
1
43 4 4abc a a bc a bc
6. 6. 6. 6. 6. − ⋅ − = =3
5
5
6
3
6
1
23 4 2 5 2 3 9 2 3 9x y a by a bx y a bx y
7. 7. 7. 7. 7. 1
3
3
5
3
15
1
51 1a a a am m m⋅ = =+ +
EJERCICIO 38
8. 8. 8. 8. 8. − ⋅ − = ⋅ =+ +3
4
2
5
3
2
1
5
3
103 1 3 1 3a ab a b a bm m m
9. 9. 9. 9. 9. 5
6
3
101
2
1
2
1
4
2
1 2 1 2
a b ab c
a b c a b c
m n
m n m n
⋅ −
= − ⋅ = −+ + + +
10. 10. 10. 10. 10. − ⋅ −
= ⋅ =
+ −
− + − +
2
9
3
52
3
1
5
2
15
1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
a b a b
a b a b
x m x m
x m x m
11. 11. 11. 11. 11. 3
8
4
5
12
40
3
102 3 2 3 2a b a b a b a bm n m n m n m n⋅ − = − = −
12. 12. 12. 12. 12. − ⋅ −
= ⋅ =
+ − −
− − − −
2
11
44
7
24
7
8
7
1 3 2 3 2
2 2 1 2 2 2 1 2
a b c a b
a b c a b c
x x x
x x x x
1. 1. 1. 1. 1. a a a a a⋅− ⋅ = − = −+ +3 3 32 1 1 2 4
2. 2. 2. 2. 2. 3 3 32 3 2 2 2 3 1 2 6x x y a x a x y a x y⋅− ⋅− = =+ +
3. 3. 3. 3. 3. − ⋅− ⋅− = − = −+ + +m n m mn m n m n2 2 3 2 2 1 1 3 5 43 5 15 15
4. 4. 4. 4. 4. 4 5 20 202 3 2 2 2 3 1 2 2 6 2 2a a x ay a x y a x y⋅− ⋅− = =+ +
5. 5. 5. 5. 5. − ⋅− ⋅− = − = −+ + + + +a ab a b a b a bm x m x m x2 3 6 62 1 2 1 3 1
6. 6. 6. 6. 6. 1
2
2
3
3
5
6
30
1
53 2 4 2 4 3 1 6 4x a x a m a x m a x m⋅− ⋅− = =+ +
7. 7. 7. 7. 7. 2
3
3
43
18
12
3
2
2 4 4 1
2 4 4 1 6 5
a a b a b
a b a b
m x
m x m x
⋅ ⋅−
= − = −
+
+ + + + + +
EJERCICIO 39
8. 8. 8. 8. 8. − ⋅− ⋅−
= − = −+ + + + +
3
55
1
1015
50
3
10
3 2
2 3 1 2 4
m a m a m
a m a m
x a
x a x a
9. 9. 9. 9. 9. 2 3 4 24 242 3 1 2 3 1 7a a a a a a⋅− ⋅− ⋅ = =+ + +
10. 10. 10. 10. 10. − ⋅− ⋅ ⋅−
= − = −+ + + +
3 4 5
60 60
2 3 2
3 1 2 2 1 1 6 4
b a b ab a x
a b x a b x
11. 11. 11. 11. 11. a b a ab a x
a b x a b x
m x
m x m x
⋅− ⋅− ⋅−
= − = −+ + + + + +
2 2
2 1 2 1 5 1
2 3
6 6
12. 12. 12. 12. 12. − ⋅− ⋅− ⋅−
= =+ + + + +
1
2
3
5
10
3
3
46
8
3
4
2 2 3 2
2 1 3 2 1 2 1 8 4
x y xy x x y
x y x y
1. 1. 1. 1. 1. 3
2
6 2
3 2
4 3
x x
x
x x
−−
− +
2.2.2.2.2. 8 3
2
16 6
2 2
3
5 3 2
x y y
ax
ax y ax y
−
−
3.3.3.3.3. x x
x
x x x
2
3 2
4 3
2
2 8 6
− +−
− + −
4.4.4.4.4. a a a
ab
a b a b a b
3 2
4 3 2
4 6
3
3 12 18
− +
− +
5.5.5.5.5. a ab b
ab
a b a b ab
2 2
3 2 2 3
2
2
− +−
− + −
6.6.6.6.6. x x x
a x
a x a x a x
5 3
2 2
2 7 2 5 2 3
6 8
3
3 18 24
− −
− −
7.7.7.7.7. m m n n
m x
m x m n x m n x
4 2 2 4
3
7 5 2 3 4
3 7
4
4 12 28
− +
−
− + −
8.8.8.8.8. x x y xy
ax y
ax y ax y ax y
3 2 2
3
6 5 2 4 3
4 6
4 6
− +
− +
9.9.9.9.9. a a b ab
a m
a m a bm a b m
3 2 2
4 2
7 2 6 2 5 2 2
5 8
4
4 20 32
− −
−
− + +
10.10.10.10.10. a a a
a
a a a
a a a
m m m
m m m
m m m
− +−
− + −
= − + −
− −
+ − + − +
+ −
1 2
1 1 1 2 1
1 1
2
2 2 2
2 2 2
11. 11. 11. 11. 11. x x x
x
x x x
m m m
m
m m m
+ −
+ −
+ −
+ −
1 1
2
3 1 3 3 1
3
3
3 9 3
12. 12. 12. 12. 12. a b a b a b
a b
a b a b a b
m n m n m n
m n m n m n
+ −
+ −
− + − +
+ + + + +
1 1 2 2
2
2 1 1 2 3
3
3 3 3
EJERCICIO 40
13. 13. 13. 13. 13. x x x
x
x x x x
3 2
2
5 4 3 2
3 5 6
4
4 12 20 24
− + −
−
− + − +
14.14.14.14.14. a a x a x
bx
a bx a bx a bx bx
4 3 2 2
3
4 3 3 4 2 5 3
6 9 8
3
3 18 27 24
− + −
− + −
15.15.15.15.15. a a a a
a x
a x a x a x a x
n n n n
n
n n n n
+ + +
+ + +
− − −
−
− + + +
3 2 1
2
2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2
3 4
3 4
16. 16. 16. 16. 16. x x x x
a x
a x a x a x a x a x
4 3 2
2 3
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3
6 8 7 5
3
3 18 24 21 15
− + − +
−
− + − + −
17. 17. 17. 17. 17. − + − −
− + − −
3 5 7 4
5
15 25 35 20
3 2 2 3
2 2
2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5
x x y xy y
a xy
a x y a x y a x y a xy
18. 18. 18. 18. 18. x x x x
x
x x x x
a a a a
a a a a
+ + + +
+ + + +
− + −
−
− + − +
5 4 3 1
2
7 6 5 3
3 5
2
2 6 2 10
19. 19. 19. 19. 19. a a b a b a b b
a y
a y a b y a b y a b y a b y
8 6 2 4 4 2 6 8
3 2
11 2 9 2 2 7 4 2 5 6 2 3 8 2
3 3
5
5 15 5 15 5
− + − +
−
− + − + −
20. 20. 20. 20. 20. a b a b a b a ba b
a b a b a b a b
m n m n m n m n
m
m n m n m n m n
+ − +
+ − +
− + − + − +
+ − + − + − +
34
4 12 4 4
1 2 2 4 3 6
3
2 3 2 1 5 2 2 7 2 3 9
1. 1. 1. 1. 1. 1
2
2
32
5
2
10
4
151
5
4
15
2
1 2 2
3 2
a b
a
a a b
a a b
−
−
= −
+
2. 2. 2. 2. 2.2
3
3
42
3
4
9
6
124
9
1
2
3
3 1 3 1 1
4 3 2
a b
a b
a b a b
a b a b
−
−
− +
= − +
+ +
3. 3. 3. 3. 3. 3
5
1
6
2
55
3
15
15
5
18
10
155
18
2
3
2
1 1 2 2 2 1
2 2 2 3
a b c
ac
a c abc ac
a c abc ac
− +
−
− + −
= − + −
+ +
4. 4. 4. 4. 4. 2
5
1
3
2
9
3
6
5
3
3
6
96
5
2
3
2 2
2
2 2 2 1 2 2
4 3 2 2
a ab b
a x
a x a bx a b x
a x a bx a b x
+ −
+ −
= + −
+ +
5. 5. 5. 5. 5. 1
3
2
5
1
43
2
3
6
6
10
3
81
2
3
5
3
8
2 2
3
2 3 3 1 2 3
2 3 4 5
x xy y
y
x y xy y
x y xy y
− −
− −
= − −
+ +
6. 6. 6. 6. 6. 3 5 6
3
10
9
10
15
10
18
109
10
3
2
9
5
2 3
2 1 3 2 3 2 3
3 3 2 3 2 3
a b c
a x
a x a bx a cx
a x a bx a cx
− +
−
− + −
= − + −
+
7. 7. 7. 7. 7. 2
9
1
33
7
6
63
3
7
3
212
21
3
7
1
7
4 2 2 4
3 4
4 3 4 2 3 2 4 3 4 4
7 4 5 6 3 8
x x y y
x y
x y x y x y
x y x y x y
− +
− +
= − +
+ + + +
EJERCICIO 41
8. 8. 8. 8. 8.
1
2
1
3
1
4
1
55
8
5
16
5
24
5
32
5
405
16
5
24
5
32
1
8
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2 2
a b x y
a m
a m a b m a mx a my
a m a b m a mx a my
− + −
−
− + − +
= − + − +
+
9. 9. 9. 9. 9. 2
3
1
2
5
6
1
93
4
6
12
3
8
15
24
3
361
2
3
8
5
8
1
12
3 2 2 3
2 3
3 2 3 2 2 1 3 1 2 2 3 2 3 3
5 3 4 4 3 5 2 6
m m n mn n
m n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
+ − −
+ − −
= + − −
+ + + + + +
10. 10. 10. 10. 10.
2
5
1
3
3
5
1
105
7
10
35
5
21
15
35
5
702
7
5
21
3
7
1
14
6 4 2 2 4 6
3 4 3
3 6 4 3 3 4 4 2 3 3 2 4 4 3 3 4 6 3
3 10 3 3 8 5 3 6 7 3 4 9
x x y x y y
a x y
a x y a x y a x y a x y
a x y a x y a x y a x y
− + −
−
− + − +
= − + − +
+ + + + + +
1. 1. 1. 1. 1. a
a
a a
a
a a
+−
+− −
+ −
3
1
3
3
2 3
2
2
3. 3. 3. 3. 3. x
x
x x
x
x x
+−
+− −
+ −
5
4
5
4 20
20
2
2
5. 5. 5. 5. 5. − +− +
−− +
− +
x
x
x x
x
x x
3
5
3
5 15
8 15
2
2
7. 7. 7. 7. 7. 3 22
6 4
3 2
6 2
2
2
2 2
x yx y
x xyxy y
x xy y
−+
−
+ −
− −
2. 2. 2. 2. 2. a
a
a a
a
a a
−+
−−
− −
3
1
3
3
2 3
2
2
4. 4. 4. 4. 4. m
m
m m
m
m m
−−
−− +
− +
6
5
6
5 30
11 30
2
2
6. 6. 6. 6. 6. − −− −
++ +
+ +
a
a
a a
a
a a
2
3
2
3 6
5 6
2
2
8. 8. 8. 8. 8. 5 4
3 2
15 12
10 8
15 22 8
2
2
2 2
x y
x y
x xy
xy y
x xy y
−− +
− +
+ −
− + −
9. 9. 9. 9. 9. 5 7
3
5 7
15 21
5 8 21
2
2
2 2
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
−+
−
+ −
+ −
11. 11. 11. 11. 11. − +−
− +
+ −
− + −
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
8 4
8 8
4 4
8 12 4
2
2
2 2
13. 13. 13. 13. 13. − ++
− +
− +
− + +
9 8
6 4
54 48
36 32
54 12 32
2
2
2 2
m n
m n
m mn
mn n
m mn n
10. 10. 10. 10. 10. 7 3
2 4
14 6
28 12
14 22 12
2
2
x
x
x x
x
x x
−+
−+ −
+ −
12. 12. 12. 12. 12. 6 5
6 5
6 5
6 11 5
2
2
2 2
m n
m n
m mn
mn n
m mn n
−−
−
− +
− +
14. 14. 14. 14. 14. − −−
− −+ +
− + +
7 3
2 11
14 6
77 33
14 71 33
2
2
y
y
y y
y
y y
EJERCICIO 42
1. 1. 1. 1. 1. x xy y
x y
x x y xy
x y xy y
x y
2 2
3 2 2
2 2 3
3 3
+ +−
+ +
− − −
−
5. 5. 5. 5. 5. a a a
a
a a a
a a a
a a a
3 2
4 3 2
3 2
4 2
1
2
+ −−
+ −
− − +
− +
9. 9. 9. 9. 9. m m m
am a
am am am am
am am am a
am am a
3 2
4 3 2
3 2
4
2
2
2
2
− + −+
− + −
+ − + −
− −
2. 2. 2. 2. 2. a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
2
2
2
3 3
− +−
− +
− + −
− + −
6. 6. 6. 6. 6. m m n n
m n
m m n m n
m n m n n
m n
4 2 2 4
2 2
6 4 2 2 4
4 2 2 4 6
6 6
+ +
−
+ +
− − −
−
10. 10. 10. 10. 10. 3 5 2
4 5
12 20 8
15 25 10
12 35 33 10
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
− +−
− +
− + −
− + −
3. 3. 3. 3. 3. a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
2
2
2
3 3
+ ++
+ +
+ + +
+ + +
7. 7. 7. 7. 7. x x x
x
x x x x
x x x
x x x
3 2
4 3 2
3 2
4 3
2 3 1
2 3
2 4 6 2
3 6 9 3
2 7 3
− + −+
− + −
+ − + −
− + −
11. 11. 11. 11. 11. 5 3
3
15 9 3
5 3
15 5 9 3 3
4 2 2 4
5 3 2 4
4 2 3 5
5 4 3 2 2 3 4 5
m m n n
m n
m m n mn
m n m n n
m m n m n m n mn n
− +−
− +
− + −
− − + + −
4. 4. 4. 4. 4. x x
x
x x x
x x
x x x
3 2
4 3
3 2
4 2
3 1
3
3
3 9 3
9 3
− ++
− +
+ − +
− + +
9. 9. 9. 9. 9. 3 6 5
2
3 6 5
6 12 10
3 5 12 10
3
2
5 3 2
3
5 2
y y
y
y y y
y y
y y y
− +
+
− +
+ − +
+ − +
12. 12. 12. 12. 12. a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
1
1
1
2 1
+ +
− −
+ +
− − −
− − −
− − −
13. 13. 13. 13. 13. x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
3 2
2
5 4 3
4 3 2
3 2
5 2
2
2 5
2
2 4 2
5 10 5
12 5
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ −
19. 19. 19. 19. 19. x xy y
x xy y
x x y x y
x y x y xy
x y xy y
x x y xy y
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 3 4
2
3
2
2
3 6 3
3 5 3
− +
− + +
− + −
+ − +
+ − +
− + − +
14. 14. 14. 14. 14. m m n mn
m mn n
m m n m n
m n m n m n
m n m n mn
m m n m n mn
3 2 2
2 2
5 4 3 2
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 4 2 3 4
3 2
2 8
3 2
2 6 4
8 24 16
5 20 16
− +
− −
− +
− + −
− + −
− + −
20. 20. 20. 20. 20. n n
n
n n n
n n
n n n
2
2
4 3 2
2
4 3
2 1
1
2
2 1
2 2 1
− +
−
− +
− + −
− + −
15. 15. 15. 15. 15. x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
1
1
1
2 1
+ +
− −
+ +
− − −
− − −
− − −
21. 21. 21. 21. 21. a a b ab
a b ab b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b a b ab
3 2 2
2 2 3
5 4 2 3 3
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
5 4 2 2 4 5
3 4
2 10
3 4
2 6 8
10 30 40
5 22 40
− +
− −
− +
− + −
− + −
− + −
16. 16. 16. 16. 16. x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
4 2
2
6 4 2
5 3
4 2
6 5 3 2
3 2
2 3
3 2
2 6 4
3 9 6
2 6 7 4 6
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − − +
22.22.22.22.22. 8 12 6 9
2 3
16 24 12 18
24 36 18 27
16 24 27
3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
4 2 2 4
x x y xy y
x y
x x y x y xy
x y x y xy y
x x y y
− + −+
− + −
+ − + −
− −
17. 17. 17. 17. 17. m m m
m
m m m m
m m m
m m m m m
3 2
3
6 5 4 3
3 2
6 5 4 2
4 1
1
4
4 1
4 4 1
+ − −
+
+ − −
+ + − −
+ − + − −
23. 23. 23. 23. 23. 2 3 4
2 5
4 6 2 8
10 15 5 20
4 4 13 3 20
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
y y y
y
y y y y
y y y
y y y y
− + −+
− + −
+ − + −
+ − − −
18. 18. 18. 18. 18. a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a a
3
2
5 3 2
4 2
3
5 4 2
5 2
5
5 2
5 2
5 25 10
7 27 10
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − +
24. 24. 24. 24. 24. − + +
− −
− + +
+ − −
+ − −
− + + − −
a ax x
a ax x
a a x a x
a x a x ax
a x ax x
a a x a x ax x
3 2 3
2 2
5 3 2 2 3
4 2 3 4
3 2 4 5
5 4 3 2 4 5
2 3
2 3
2 4 6
3 6 9
2 3
2 3 5 11 3
25. 25. 25. 25. 25. x x y x y xy
x xy y
x x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x x y x y xy
4 3 2 2 3
2 2
6 5 4 2 2 3
5 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 5
6 5 2 4 5
3 2
3 2
3 2
3 2
2 3
− + +
− − −
− + − −
− + − −
− + − −
− + − −
30. 30. 30. 30. 30. y y
y y
y y y
y y y
y y
y y y y y
2
4 2
6 5 4
4 3 2
2
6 5 4 3
2 1
2 2
2
2 4 2
2 4 2
2 4 4 2
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− − + − +
26. 26. 26. 26. 26. a a a
a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
3 2
3
6 5 4 3
4 3 2
3 2
6 5 2
5 2 3
2 7
5 2 3
2 10 4 6
7 35 14 21
5 31 8 21
− + −
− −
− + −
− + − +
− + − +
− + − +
31. 31. 31. 31. 31. m m
m m
m m m
m m m
m m
m m m m m m
4 2
3
7 5 3
5 3
4 2
7 5 4 3 2
3 4
3 2 1
3 9 12
2 6 8
3 4
3 11 18 3 8 4
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + + − − +
27. 27. 27. 27. 27. m m m
m m
m m m m
m m m m
m m m
m m m m
4 3 2
2
6 5 4 2
5 4 3
4 3 2
6 5 3
3
2 3
3
2 2 2 6
3 3 3 9
5 6 9
+ − +
− +
+ − +
− − + −
+ + − +
− + − +
32. 32. 32. 32. 32. a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
3 2
3 2
6 5 4 3
5 4 3 2
4 3 2
3 2
6 5 4 3 2
1
2 1
2 2 2 2
1
2 2 3 2 1
+ − +
+ − −
+ − +
+ + − +
− − + −
− − + −
+ − − + − −
28. 28. 28. 28. 28. a a b a b ab b
a ab b
a a b a b a b a b
a b a b a b a b ab
a b a b a b ab b
a a b a b a b ab b
4 3 2 2 3 4
2 2
6 5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 5 6
3
2
3
2 2 6 2 2
3
4 6 3
+ − − +
− +
+ − − +
− − + + −
+ + − − +
− − + − +
33.33.33.33.33. 8 12 6
3 2 4
24 36 18 3
16 24 12 2
32 48 24 4
24 52 38 33 26 4
3 2 2 3
2 2
5 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
x x y xy y
x xy y
x x y x y x y
x y x y x y xy
x y x y xy y
x x y x y x y xy y
− − +
− +
− − +
− + + −
+ − − +
− + − − +
29. 29. 29. 29. 29. x x y x y xy y
x xy y
x x y x y x y x y
x y x y x y x y xy
x y x y x y xy y
x x y x y x y xy y
4 3 2 2 3 4
2 2
6 5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5 6
6 4 2 3 3 2 4 5 6
2
2 2 2 2 2
2 2 2 3 2
− + − +
+ −
− + − +
+ − + − +
− + − + −
− + − + −
34. 34. 34. 34. 34. 5 4 2 3 1
2 2
5 4 2 3
10 8 4 6 2
10 8 4 6 2
5 4 8 5 5 2 6 6 2
4 3 2
4 2
8 7 6 5 4
6 5 4 3 2
4 3 2
8 7 6 5 4 3 2
a a a a
a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a a a a
− + − −
− +
− + − −
− + − + +
+ − + − −
− − + + − + − −
35. 35. 35. 35. 35. x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
4 3 2
3 2
7 6 5 4 3
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
7 6 5 2
1
2 3 6
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
6 6 6 6 6
3 6 3 6
− + − +
− + +
− + − +
− + − + −
+ − + − +
+ − + − +
− + + − +
40. 40. 40. 40. 40. 3 6 2 3 2
3 4 5
3 6 2 3 2
9 18 6 9 6
12 24 8 12 8
15 30 10 15 10
3 15 14 28 47 28 23 10
5 3 2
4 2
9 7 6 5 4
7 5 4 3 2
6 4 3 2
5 3 2
9 7 6 4 3 2
a a a a
a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a a a
− + − +− + −
− + − +− + − + −
+ − + − +− + − + −
− + − + − + −
36. 36. 36. 36. 36. 3 2 5 4
2 1
3 2 5 4
3 2 5 4
6 4 10 8
3 2 5 4
3 5 9 10 8 3 4
3 2
3 2
6 5 4 3
5 4 3 2
4 3 2
3 2
6 5 4 3 2
a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
+ − −
+ − +
+ − −
+ + − −
− − + +
+ + − −
+ − − + + −
41. 41. 41. 41. 41. a b c
a b c
a ab ac
ab b bc
ac bc c
a b bc c
+ −− +
+ −
− − +
+ + −
− + −
2
2
2
2 2 22
37. 37. 37. 37. 37. 5 3 4 2
3 1
5 3 4 2
15 9 12 6
5 3 4 2
5 3 11 11 17 3 4 2
4 3 2
4 2
8 7 6 5
6 5 4 3
4 3 2
8 7 6 5 4 3 2
y y y y
y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y y y y y
− + +
− −
− + +
− + − −
− + − −
− − + − − − −
42. 42. 42. 42. 42. x y z
x y z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
x xy y yz z
+ −− +
+ −
− − +
+ + −
+ − + −
2
2
2
2
2 3
2
2
2
2 2 2
38.38.38.38.38. m m n m n n
m m n mn n
m m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n mn
m n m n m n n
m m n m n m n m n m n mn n
4 3 2 2 4
3 2 2 3
7 6 5 2 3 4
6 5 2 4 3 2 5
5 2 4 3 3 4 6
4 3 3 4 2 5 7
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
2 3 4
3 5
2 3 4
3 6 9 12
5 10 15 20
2 3 4
5 14 20 13 9 20 4
− + −− + − +
− + − ++ − + −
− + − ++ − + −
− + − + − − + −
43. 43. 43. 43. 43. 2 3 5
2
2 3 5
2 3 5
4 6 10
2 5 3 10
2
2
2
2 2 2
x y z
x y z
x xy xz
xy y yz
xz yz z
x xy xz y yz z
− +− + +
− + −
+ − +
+ − +
− + − − − +
39. 39. 39. 39. 39. x x y x y y
x x y xy
x x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x x y x y x y x y xy
6 4 2 2 4 6
5 3 2 4
11 9 2 7 4 5 6
9 2 7 4 5 6 3 8
7 4 5 6 3 8 10
11 9 2 7 4 5 6 3 8 10
3
2 3
3
2 6 2 2
3 9 3 3
5 8 6 5 3
− − +
− +
− − +
− + + −
+ − − +
− + − − +
44. 44. 44. 44. 44. x xy xz y yz z
x y z
x x y x z xy xyz xz
x y xy xyz y y z yz
x z xyz xz y z yz z
x xyz y z
2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 2 2 2 3
3 3 33
− − + − ++ +
− − + − +
+ − − + − +
+ − − + − +
− + +
EJERCICIO 43
1. 1. 1. 1. 1. a a a
a
a a a
a a a
a a
x x x
x x x
x x x
x x
+ +
+ + +
+ +
+
− ++
− +
+ − +
+
2 1
3 2 1
2 1
3
1
2. 2. 2. 2. 2. − + +
+
− + +
− + +
− + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + + +
x x x
x x
x x x
x x x
x x x x
n n n
n n n
n n n
n n n n
3 2 1
2
5 4 3
4 3 2
5 4 3 2
2
2
2
3
3. 3. 3. 3. 3. m m m m
m m
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m m
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a a
+ + −
+ + + +
+ + +
+ + −
+ + + −
+ − +
− +
+ − +
− − + −
+ + − +
− + − +
2 1 1
2
4 3 2 1
3 2 1
2 1 1
4 3 1 1
2 3
2 2 2 2
3 3 3 3
6 5 3
4. 4. 4. 4. 4. a a a
a a
a a a
a a a
a a a a
n n n
n n
n n n
n n n
n n n n
+ +
+
+ + +
+ +
+ + +
+ −
+
+ −
+ + −
+ + −
2 1
1
2 3 2 2 2 1
2 2 2 1 2
2 3 2 2 2 1 2
3 2
3 2
3 2
4 2
5. 5. 5. 5. 5. x x x
x x
x x x
x x x
x x x x x
a a a
a a
a a a
a a a
a a a a a
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ + + + +
+ −
−
+ −
− − +
+ − − +
2 1
3 1
2 5 2 4 2 3
2 3 2 2 2 1
2 5 2 4 2 3 2 2 2 1
2
2
2
2 4 2
2 3 4 2
6. 6. 6. 6. 6. a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
− + −
− −
+ +
+ −
− −
+ − −
2 3
2 1
2 3
2 4 6
2 3
2 8 3
1 2
2
2 1
1 1
1 2
2 1 2
7. 7. 7. 7. 7. a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ − + −
− −
− −
− −
− − −
− − −
− − − −
3 2
3 2
3 2
3 2
2 4 5 2
1 2
1 2
2 2 1 2 2
2 1 2 2 2 3
2 2 2 3 2 4
2 2 1 2 2 2 3 2 4
8. 8. 8. 8. 8. m m m m
m m m
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m m m
a a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a a a
+ + + +
− − −
+ + +
+ + −
+ − −
+ + + − −
− − +
− + +
− + + −
+ − − +
+ − − +
− + + − − +
4 3 2 1
1 2 3
2 3 2 2 2 1 2
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 2 1 2 2
2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2
2
2
2
2
2 2 4
9. 9. 9. 9. 9. x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
a a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
− − − −
− − −
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
+ − +
− −
+ − +
− − + −
− − + −
+ − −
1 2 3 4
1 2 3
2 2 2 3 2 4 2 5
2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 2 5 2 6 2 7
2 2 2 3 2 4 2 7
2
2
2
2
4
10. 10. 10. 10. 10. a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
n n n n
n n
n n n n
n n n n
n n n n n
− + −
−
− + −
− + − +
− + − +
− − −
−
− − −
− − − −
− − − −
1 2 2 3 3 4
2 2 4
2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8
2
2
2
2
11. 11. 11. 11. 11. a b
a b
a a b
a b b
a a b a b b
x x
m m
m x m x
x m m x
m x m x x m m x
+
+
+
+ +
+ + +
+
+
+ +
12. 12. 12. 12. 12. a b
a b
a ab
a b b
a ab a b b
x n
x n
x n
x n x n
− −
−
−
− −
−−
−
− +
− − +
1 1
1
1
1 1
13. 13. 13. 13. 13. − + +
− +
− + +
+ − −
− + +
− + + − +
+ +
− − −
+ −
− −
− − −
+ − − −
5 3
6 8
30 6 18
40 8 24
5 3
30 46 5 23 3
2 2 2 1 2
3 1 3 2 3 3
5 1 5 5 1
5 5 1 5 2
5 1 5 2 5 3
5 1 5 5 1 5 2 5 3
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m m m
14. 14. 14. 14. 14. x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x
+ − + +
− − − − −
+ − − − −
− − − −
− − − − +
+ − −
− +
− − −
− + −
− + −
− + −
− + +
2 1 1 1
2 1 2 2 2 1 2 3
3 1 2 3 3 2 2 3 1 2 1
3 2 2 3 1 2 1 3 2 2
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
3 1 2 3 3 2 2 3
4 3
2 4 10
2 8 6
4 16 12
10 40 30
2 4 28 a x a xy x y− − +−2 2 3 3 2 130
EJERCICIO 44
1. 1. 1. 1. 1. 1
2
1
31
3
1
2
1
6
1
91
4
1
6
1
6
4 9
36
1
61
6
5
36
1
6
2
2
2 2
2 2
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
a ab b
−
+
−
+ −
− − −
= + −
2. 2. 2. 2. 2. x y
x y
x xy
xy y
x xy y
x xy y
x xy y
−
+
−
+ −
−−
−
= + −
= + −
2
51
3
5
6
1
3
2
155
6
10
30
1
3
4 25
30
10
301
3
21
30
1
31
3
7
10
1
3
2
2
2 2
2 2
2 2
3. 3. 3. 3. 3. 1
2
1
3
1
42
3
3
2
2
6
2
9
2
123
4
3
6
3
8
2
6
8 27
36
2 6
12
3
81
3
35
36
8
12
3
81
3
35
36
2
3
3
8
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
x xy y
x y
x x y xy
x y xy y
x x y xy y
x x y xy y
x x y xy y
− +
−
− +
− + −
−+
++
−
= − + −
= − + −
4. 4. 4. 4. 4. 1
4
2
31
4
3
2
1
16
1
4
2
123
8
3
2
6
6
1
16
2 3
8
2 18
121
16
5
8
20
121
16
5
8
5
3
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2
a ab b
a b
a a b ab
a b ab b
a a b ab b
a a b ab b
a a b ab b
− +
−
− +
− + −
−+
++
−
= − + −
= − + −
5. 2
5
1
3
1
23
22
6
10
3
6
3
42
5
1
3
1
24
5
2
3
2
2
6
10
15 12
30
45 20 48
60
3 4
6
2
26
10
3
30
17
60
7
63
5
1
10
17
60
7
6
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
m mn n
m mn n
m m n m n
m n m n mn
m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
m m n m n mn n
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+−
−+ −
++
−
= + − + −
= + − + −
7. − + +
− +
− + +
+ − −
− + +
− ++
+− −
−−
+
= − + + − +
= − + + − +
1
2
1
3
3
23
2
2
3
3
4
3
6
9
41
2
1
3
3
22
6
2
9
6
6
3
4
3 3
6
27 4 4
12
27 4
18
6
63
4
6
6
19
12
23
18
6
63
4
19
12
23
18
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
x ax a
x ax a
x ax a x
ax a x a x
a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x a x a
9. 1
4
1
3
1
4
1
23
2
1
10
1
5
3
8
3
6
3
8
3
41
40
1
30
1
40
1
201
20
1
15
1
20
1
10
3
8
60 3
120
45 4 6
120
90 3 8
120
1 1
20
1
103
8
63
120
47
120
79
120
2
20
1
10
3
8
21
40
47
120
79
120
1
10
1
10
3 2
2
5 4 3 2
4 3 2
3 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x
+ − +
+ −
+ − +
+ + − +
− − + −
++
−− +
+− −
++
−
= + − + + − = + − + + −
6. 3
8
1
4
2
5
21
32
6
8
2
4
4
53
24
1
12
2
156
8
2
4
4
5
6
8
2
4
96 15
120
2 18
24
8 30
60
4
53
4
1
2
111
120
16
24
38
60
4
53
4
1
2
37
40
2
3
19
30
4
5
2
3
5 4 3
3 2
2
5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ −
− +
+ −
− − +
+ + −
+ −+
−−
++
−
= + − + + −
= + − + + −
8. 2
7
1
5
1
21
4
2
3
5
6
2
28
1
20
1
84
21
2
15
2
610
42
5
30
5
12
2
28
21 80
420
105 112 200
840
10 5
30
5
122
28
101
420
417
840
15
30
5
121
14
101
420
139
280
1
2
3 2 2
2 2
5 4 3 2
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3
x x y xy
x xy y
x x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y xy
x x y x y x y
− +
− +
− +
− + −
+ − +
−+
++ +
−+
+
= − + − +
= − + − +5
124xy
10.10.10.10.10.3
4
1
2
2
5
1
42
3
2
3
5
2
6
12
2
6
4
15
2
126
12
2
6
4
15
2
1215
8
5
4
10
10
5
8
6
12
4 6
12
32 40 225
120
10 16 75
60
20 120
120
5
81
2
10
12
297
120
101
60
3 2 2 3
2 2
5 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3
m m n mn n
m mn n
m m n m n m n
m n m n m n mn
m n m n mn n
m m n m n m n mn n
m m n m n m n
− + −
− +
− + −
− + − +
+ − + −
−+
++ +
−+ +
++
−
= − + − +140
120
5
8
1
2
5
6
99
40
101
60
7
6
5
84 5 5 4 3 2 2 3 4 5mn n m m n m n m n mn n− = − + − + −
EJERCICIO 45
1. 1. 1. 1. 1. x x x por x
x x x x
3 2 2
5 4 2
1
1 1 1
1 0 1
1 1 1
1 1 1
1 1 0 1 1
− + −− ++ −
− +− + −
− + + −
= − + −
2. 2. 2. 2. 2. x x x por x x
x x x x x x
4 3 2 3 2
7 6 5 4 3 2
3 5 8 2 7
1 3 5 0 8
1 2 0 7
1 3 5 0 8
2 6 10 0 16
7 21 35 0 56
1 1 11 3 13 19 0 56
11 3 13 19 56
+ − + − −+ − + +− + −
+ − + +− − + + −
− − + + −
+ − + − + + −
= + − + − + −
3. 3. 3. 3. 3. a a b a b ab b por a ab b
a a b a b a b a b ab b
4 3 2 2 3 4 2 2
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
3 2 5 2
1 3 2 5 1
1 2 1
1 3 2 5 1
2 6 4 10 2
1 3 2 5 1
1 1 7 12 13 7 1
7 12 13 7
+ − + − − ++ − + −− +
+ − + −− − + − +
+ + − + −
+ − + − + −
= + − + − + −
4. 4. 4. 4. 4. m m n mn n por m mn n
m m n m n m n m n mn n
3 2 2 3 3 2 3
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
5 6 4
1 5 6 1
1 0 4 1
1 5 6 1
4 20 24 4
1 5 6 1
1 5 2 20 19 10 1
5 2 20 19 10
− + + − −− + ++ − −
− + +− + − −
− + − −
− + + − − −
= − + + − − −
5. 5. 5. 5. 5. x x por x x
x x x x
4 2 4 2
8 6 4 2
8 3 6 5
1 0 8 0 3
1 0 6 0 5
1 0 8 0 3
6 0 48 0 18
5 0 40 0 15
1 0 2 0 50 0 58 0 15
2 50 58 15
− + + −+ − + ++ + + −
+ − + ++ + − + +
− + + + −
+ − + − + + + −
= − − + −
6. 6. 6. 6. 6. a a a por a a a a
a a a a a a a
6 4 2 8 6 4 2
14 12 10 8 6 4 2
3 6 10 4 3 2
1 0 3 0 6 0 10
1 0 4 0 3 0 2
1 0 3 0 6 0 10
4 0 12 0 24 0 40
3 0 9 0 18 0 30
2 0 6 0 12 0 20
1 0 7 0 9 0 23 0 52 0 42 0 20
7 9 23 52 42 20
− − + − + −+ − + − + ++ − + + + −
+ − + − + +− + + + + + −
+ + − + − + +− + + + + + −
+ − + + + + + − + + + −
= − + + − + −
7. 7. 7. 7. 7. x x x por x x
x x x x x
9 6 3 6 3
15 12 9 6 3
4 3 2 3 8 10
1 0 0 4 0 0 3 0 0 2
3 0 0 8 0 0 10
3 0 0 12 0 0 9 0 0 6
8 0 0 32 0 0 24 0 0 16
10 0 0 40 0 0 30 0 0 20
3 0 0 20 0 0 51 0 0 70 0 0 46 0 0 20
3 20 51 70 46 20
− + − − ++ + − + + + + + −+ + − + + +
+ + − + + + + + −− + + + + + − + + +
+ + + − + + + + + −
+ + − + + + + + − + + + + + −
= − + − + −
9. 9. 9. 9. 9. x x y x y x y y por x y
x x y x y x y x y x y y
5 4 3 2 2 3 5 2 2
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7
3 6 4 2 4
1 3 6 4 0 1
2 0 4
2 6 12 8 0 2
4 12 24 16 0 4
2 6 8 20 24 18 0 4
2 6 8 20 24 18 4
− − − − +− − − + −+ +
− − − + −+ − − − + −
− − − − − + −
= − − − − − −
11.11.11.11.11. n n n n por n n
n n n n n n n n n
6 4 3 4 2
10 8 7 6 5 4 3 2
3 5 8 4 3 4
1 0 3 5 0 8 4
1 0 3 0 4
1 0 3 5 0 8 4
3 0 9 15 0 24 12
4 0 12 20 0 32 16
1 0 6 5 13 23 8 44 12 32 16
6 5 13 23 8 44 12 32 16
− + − + − ++ − + + − ++ − + +
+ − + + − +− + + − + + −
+ + − + + − +
+ − + + − − + − − +
= − + + − − + − − +
13. 13. 13. 13. 13. x x y x y y por x x y x y y10 6 4 2 8 10 6 4 2 2 4 65 3 6 4 5
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
1 0 4 0 5 0 1
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
4 0 0 0 20 0 0 0 12 0 24
5 0 0 0 25 0 0 0 15 0 30
1 0 0 0 5 0 0 0 3 0 6
1 0 4 0 10 0 21 0 28 0 23 0
− + − − − ++ + + − + + + + + −+ − + − + +
+ + + − + + + + + −− + + + + + + + − + +
− + + + + + + + − + ++ + + + − + + + + + −
+ − + − + + + + + − + + + + + −
− − + + − + + −
9 0 33 0 6
4 10 21 28 23 9 33 616 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16x x y x y x y x y x y x y x y y
14.14.14.14.14. a a a por a
a a a a a
m m m
m m m m m
− + −− + ++ −
− + +− + + −
− − + + −
= − − + −
− −
+ + − −
3 5 5
1 3 0 5
1 0 5
1 3 0 5
5 15 0 25
1 3 5 20 0 25
3 5 20 25
1 3 2
2 1 1 3
8. 8. 8. 8. 8. m m m por m m m m
m m m m m m m
12 8 4 16 12 8 4
28 24 20 16 12 8 4
7 9 15 5 9 4 3
1 7 9 15
1 5 9 4 3
1 7 9 15
5 35 45 75
9 63 81 135
4 28 36 60
3 21 27 45
1 12 53 127 187 192 87 45
12 53 127 187 192 87 45
− + − − + − +− + −− + − +
− + −− + − +
+ − + −− + − +
+ − + −
− + − + − + −
= − + − + − + −
10. 10. 10. 10. 10. 6 4 6 2 2 7
6 0 0 4 6 2
1 0 2 1 7
6 0 0 4 6 2
12 0 0 8 12 4
6 0 0 4 6 2
42 0 0 28 42 14
6 0 12 2 36 6 16 38 44 14
6 12 2 36 6 16 38 44 14
5 2 4 2
9 7 6 5 4 3 2
a a a por a a a
a a a a a a a a
− + − − + −+ + − + −+ − + −
+ + − + −− + + + − +
+ + + − + −− + + + − +
+ − + − + − + − +
= − + − + − + − +
12.12.12.12.12. 3 4 5 3
3 4 0 0 1
1 0 5 3
3 4 0 0 1
15 20 0 0 5
9 12 0 0 3
3 4 15 29 13 0 5 3
3 4 15 29 13 5 3
4 3 4 3 2 3
7 6 5 2 4 3 3 4 6 7
x x y y por x xy y
x x y x y x y x y xy y
− − − +− + + −+ − +
− + + −− + + + +
+ − + + −
− − + − + + −
= − − + − + −
15. 15. 15. 15. 15. a a a por a a a
a a a
a a a a
x x x x x x
x x x
x x x x
+ + − + +
+ + +
+ + −
− − + +− + −+ + +
− + −+ − + −
+ − + −
− + − − − −
= − +
− − − −
2 1 1 3 1
2 5 2 4 2 3
2 2 2 1 2 2 1
5 7 7 6
1 5 0 7
7 0 6 1
7 35 0 49
6 30 0 42
1 5 0 7
7 35 6 78 5 42 7
7 35 6
78 5 42 7
16.16.16.16.16. x x x por x x x x
x x x x
x x x x
a a a a a a a
a a a a
a a a a
+ − + − −
+ + +
− − − −
− − − + ++ − + −− + +
+ − + −− + + + +
+ + − + −+ + − + −
− − + − + − −
= − − +
− + − −
2 2 1 1 2
2 3 2 2 2 1 2
2 1 2 2 2 3 2 4
5 6 6 4 2
1 0 5 0 6
6 4 2 1
6 0 30 0 36
4 0 20 0 24
2 0 10 0 12
1 0 5 0 6
6 4 28 21 46 19 12 6
6 4 28 21
46 19 12 6
17. 17. 17. 17. 17. a a a a por a a a
a a a a a a
x x x x x x x
x x x x x x
2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 3 1
5 3 5 2 5 1 5 5 1 5 2
3 5 6 5 3
1 3 1 5
6 5 3
6 18 6 30
5 15 5 25
3 9 3 15
6 23 12 34 22 15
6 23 12 34 22 15
+ + − + −
+ + + − −
− − − − +− − −− +
− − −− + + +
+ − − −
− + − + −= − + − + −
EJERCICIO 46
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )4 5 34 20
3
4 2012 60
4 8 60
2
2
a aaa
a aa
a a
+ −+−
+− −
+ −
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )3 1 1
3 31
3 3
3 3
3 3
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
a x x
a x ax
a x a xa x a
a x a
+ −
+−
+
− −
−
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( )2 3 1 42 6
1
2 62 6
2 8 64
2 8 68 32 24
2 26 24
2
2
3 2
2
3
a a aa
a
a aa
a aa
a a aa a
a a
− − +−
−
−− +
− ++
− +
+ − +
− +
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )x x x
xx
x xx
x xx
x x xx x
x x x
2 2 2
2
2
4 2
2
4 2
2
6 4 2
4 2
6 4 2
1 1 1
11
1
2 11
22 1
1
+ − +
+
+
+
+ +
+ +
−
+ +
− − −
+ − −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )m m m m
m mm
m mm m
m m mm
m m mm m m
m m m m
− − +
−−
−
− +
− ++
− +
+ − +
− + +
4 6 3 2
46
4
6 24
10 243 2
3 30 72
2 20 48
3 28 52 48
2
3 2
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )a b a ab b a b
a ab ba b
a a b aba b ab b
a a b ab ba b
a a b a b aba b a b ab b
a a b ab b
− − + +
− ++
− ++ − +
− − +−
− − +− + + −
− + −
2 2
2 2
3 2 2
2 2 3
3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
4 3 3 4
2
2
22
2 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )3 2 1 1 1
3 6 31
3 6 33 6 3
3 9 9 31
3 9 9 33 9 9 3
3 6 6 3
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
5 4 2
x x x x x
x x xx
x x xx x x
x x x xx
x x x xx x x x
x x x x
− + − +
− +−
− +− + −
− + −+
− + −+ − + −
− + −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( )x x x xx xx x
x x x xx x
x x x xx x
x x xx x x
x x
x x x x
− + − +− −+ +
− −+ − + −
+ − − −
− −
+ −
− − +− − +
− − + +
3 4 5 13 54 1
3 54 12 5
12 4 54 5
124 4 48
5 5 60
3 21 43 60
2 2
2 2
2
4 3 2
3 2
2
4 3 2
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( )( )x x x x x
x x xx x
x x x x xx x x
x x x x x x xx x x
x x x x xx x x x x
x x x x
2 2 2
2 2
2
4 3 2 3
2 2
4 3 2 3 2
3 2
7 6 5 4 3
6 5 4 3 2
5 4 3 2
3 2 1 1 3
2 1 3
3 1
2 33 6 3 3
2 4 6 3 3 33 3
2 4 6 32 4 6 33 6 12 18
− + + − +
+ + −
+ −
+ + −
+ + + − +
+ + + + − − +
− − +
+ + + +
− − − − −
− − − − −
+ + + + +
+ − − − − + +
93 6 12 18 9
9 9 9 9
4 3 2
7 6 5 4 3 2
xx x x x
x x x x x x x
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )( )( )9 3 2 2 1 1 2 1
27 18 2 12 1 1
54 36 227 18 2 1
54 9 18 2 3 12 3 1
108 18 36162 27 54
54 9 18
108 180 45 45 18
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 2
2
6 5 4
5 4 3
4 3 2
6 5 4 3 2
a a a a a
a a aa a
a a a aa a a
a a a a aa a
a a aa a a
a a a
a a a a a
− + − −
− −+ −
− −+ − − +
− − − +− +
− −
− + ++ − −
− + − −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )a a b a b b
a a ba b b
a b a ba b a b
a b a b
x x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
+ −
+−
+
− −
−
1 2 1 2
2 1 2
1 2 2
3 2 2 1 2 2
2 1 2 2 3 4
3 2 3 4
8.8.8.8.8. ( )( )( )x x x x x
x xx x
x x xx x x
x x
x x xx
x x x xx x x
x x x x x
2 2
2
2
4 3 2
3 2
2
4 2
5 3 2
4 2
5 4 3 2
1 1 2
11
1
2 12
22 2 4 2
2 4 5 2
− + + − −
− ++ −
− +
+ − +− + −
− + −−
− + −− + − +
− − + − +
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( )a a a
aa
a aa
a a aa
a a a aa a a
a a a a aa a
m m m
m
m
m m
m
m m m
m
m m m m
m m m
m m m m m
m m
− + −
−
+
+ −
−
+ − −
−
+ − −
− + − +
+ − − − +
⇒ + −
− −
−
− −
− −
−
− − − −
− −
− − − −
− −
3 2 1
32
32 6
2 3 61
2 3 63 2 6
3 3 2 63
1 1
1
2 1 1
2 1 1
1
2 1 3 2 2 2 1
2 1 1
2 1 3 2 2 2 1
3 2 2 1 a a am m m2 2 12 3 6− −− − +
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )( )a a a a
a aa
a aa a
a a aa
a a aa a a
a a a a
− − −
−−
−
− +
− +−
− +
− + −
− + −
1 2 3
2
2 2
3 23
3 2
3 9 6
6 11 6
2
3 2
2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
EJERCICIO 471. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )4 3 5 2
4 12 5 109 22
x xx xx
+ + += + + += +
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )6 4 3 1 5 2
6 24 3 3 5 108 31
2 2 2
2 2 2
2
x x x
x x xx
+ − + + +
= + − − + += +
3.3.3.3.3. ( ) ( ) ( )a a x a x a a x a
a ax ax a ax aa ax
− + + − −
= − + + − +
= +
3 2 3
3 6 310
2 2 2
2
4.4.4.4.4. ( ) ( )x y y x x y
x y x x y y x yx y x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 3
3
+ + + −
= + + + −= − + +
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )4 5 3 3
4 5 3 3 3 33 3 2
3 2 2 2 2 2 2
3 2 4 2 2 3 2
4 3 2 2 2
m mn m m n m m n
m mn m m n m mnm m m n mn
− + + − −
= − + + − += + + −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )y x y y x y x y x
y x y x y y x y y x y yy y
2 2 3 3 2 2 2 2 2
2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2
3 2
1 1 1
3
+ − + + + − −
= + − − + + − +
= − +
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )( )
5 2 1 4 6
5 10 4 4 6
10 4 46 6
2
2
2
x x x x
x x x x x
x x x xx x
+ − + + −
= + − + + + −
= − + − − − −= − − +
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a aa a
+ − − + − + +
= − + − − − + − + +
= + − − −
= + − − +
= − + +
5 5 3 2 2 5 4
5 5 25 3 2 2 4 5 20
5 5 3 4
5 5 3 122 5 7
2 2
2 2
2 2
2
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
a b a b a b a b a b a b
a ab b a ab b a ab b
a ab b a ab b a ab ba ab b
+ − − − + − + −
= + − − − − − − −
= + − − + + − + +
= − + +
4 3 5 2 3 3 6
4 3 15 2 3 3 6
4 3 15 2 3 3 6
14 5 5
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
a c a c
a c a c a c a c
a ac ac c a ac ac c
a ac c a ac ac cac
+ − −
= + + − − −
= + + + − − − +
= + + − + + −=
2 2
2 2 2 2
2 2 2 224
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 4 3 3
3 4 3 3
3 4 3 3
3 2 4 2 3 3
3 6 3 4 8 4 3 3
2 14 4
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
x y x y x y
x y x y x y x y x y
x xy xy y x xy xy y x y
x xy y x xy y x y
x xy y x xy y x yx xy y
+ − − + −
= + + − − − + −
= + + + − − − + + −
= + + − − + + −
= + + − + − + −
= + −
12.12.12.12.12. ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
m n m n m n
m n m n m n m n m n m n
m mn n m mn n m mn n
m mn n m mn nm mn n
+ − + + −
= + + − + + + − −
= + + − + + + − +
= − + − − −= − − +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 4
2 2 4 4
2 4 4 8 16
2 6 17 4 42 10 16
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
x a x x a x a x a x
ax x ax x ax x a x a x a x
ax x x ax x a x a ax ax x
ax x x a a ax ax xx x ax a a
+ + + − + + − −
= + + + − + + + − − −
= + + − − − − − − − +
= − + − − + + −
= − + + − −
3 1 1 2
3 3 2 2
4 3 2 2
32 5
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )a b c a b c a b ca b c a b ca b c a b c
a ab ac a ab acab b bc ab b bc
ac bc c ac bc c
a ab ac b bc c a ab ac b bc c
a b ca b c
a ab acab b bc
ac bc c
a ab
+ − + − + − + ++ − − ++ − − +
+ − − ++ + − − + −
− − + + − +
+ − + − + − + + − +
+ ++ +
+ ++ + +
+ + +
+ +
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2ac b bc c
a ab ac b bc ca ab ac b bc ca ab ac b bc c
a ab ac b bc ca b c ab ac bc
+ + +
+ − + − +− + + − +
− − − − − −
− − + − +
⇒ + + − − −
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 22 2 22 2 2
2 2 62 2 6
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( )x x x x x x
x x x xx x x x
x x x x x xx x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x xx x
x x x x
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
4 3 2 4 3 2
3 2 3 2
2 2
4 3 2 4 3 2
2
2
4 3 2
3 2 3
3 23 2
3 23 2
3 3 9 2 2 4
2 5 6 9 2 3 4 4
33
3
+ − − − + + − −
+ − + −+ − + −
+ − + −+ + − + + −
− − + − − +
+ − − + + − − +
− −− −
− − 4 3 2
3 2 4 3 2
2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
2 5 6 93 2 3 4 4
3 3 9 2 5 6 9
2 5 6 9 2 7 4 14
+ − − +− + + − − + + −
− + + − − + +
− − + + − − + +
x x xx x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
17. 17. 17. 17. 17. ( )[ ] ( )[ ][ ][ ][ ][ ]
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x xx x
+ − − + + −
= + − − − + −
= − − + −
= − − + + −
= − +
2 3 3 1 4
2 3 3 1 4
3 3 2 1 4
6 3 6 3 45 5 3
2
2
2
2 2
2
19. 19. 19. 19. 19. ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] [ ]
[ ][ ][ ] [ ]
m n m n m n m n m n m n
m n m mn n m n m n
m n m mn n m n
mn n m n
m n mn mn nm n mn n
+ − − + + + − −
= − − + + + − +
= − − − − − +
= − − − +
= − + −
= − −
2 3
2 2 2 3 3
2 5
2 2 5
2 10 2 102 8 10
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 3
2 2 3
EJERCICIO 48
1. 1. 1. 1. 1. ( )[ ][ ]
x a x
x a xx a xx a
− + − +
= − − += − + −= − −
3 2 1
3 2 23 2 2
3 3 2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )[ ][ ]
− + − + − +
= − − − − += − − − + −= − − + ⇒ − + −
a b a b a
a b a ab ba b a ab ba b ab a ab b
3 2 2
3 2 26 3 6
7 7 3 7 3 7
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )( ) ( )x y z x y x y x xy yx y z x yx y z x y
x xy xz x xyxy y yz xy y
xz yz z x y
x xy xz y yz z
x xy xz y yz zx yx xy y
x xy xz y yz zx y z
+ + − + − + + ++ + ++ + −
+ + ++ + + − −
+ + + −
+ + + + +
+ + + + +− +
+ +
+ + + + +⇒ + +
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3 5 2 5 23 5 + + +5 2 2xy xz yz
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ][ ][ ][ ]
3 2 4 1 3 4 2 2
3 6 4 4 3 12 2 4
2 8
8 2 166 16
2
2
x x x x
x x x x
x x
x x xx x
+ − + + − +
= + − − + − −
= − + +
= − − + += − − +
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]( )[ ][ ]
[ ][ ][ ][ ]
x y x y x y x y x y x
x xy y x xy y x y xy x
x xy y x xy y xy y
x xy y xy y
x y x y x y xy xy yx y x y xy y
+ − − + − + −
= + + − − + − + −
= + + − + − −
= − + − −
= − + + − − +
= − + − +
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
3 2 2 2 2 3 3 4
3 2 2 3 4
3
2 3 2
2 3 6 3
2 8 2
2 2 8 8 2 22 10 10 2
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( )[ ][ ][ ]
− − + − − + − +
= − − + − − − − −
= − − − −= + +
3 2 2 2 3 2 1
3 2 2 2 2 6 3
4 6 34 6 3
x y x y x y x
x y x y x y x
x yx y
4. 4. 4. 4. 4. ( )[ ]{ }[ ]{ }
{ }{ }
4 3 5 2
4 3 5 2
4 3 5 2
4 4 5
4 4 53 4 5
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x xx x
− − + − − + −
= − − + − − + −
= − − + + − +
= − − + +
= + − −= + −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )[ ]{ }( )[ ]{ }
[ ]{ }[ ]{ }
{ }
2 3 2 3 2 2
2 3 2 3 2 2
2 3 2 3 2 2 4 2
2 3 2 3 3 2 4
2 3 6 6 4 82 3 6 6 4 8
4 3 4 8 4 4 3 8
a x a x a b a
a x a x a b a
a x a x a b a
a x a x b
a x a x ba x a x b
a x b a b x
− − + − + − − + − +
= − − + − + − − + − −
= − − + − + + − + +
= − − + + − +
= − − + + − += + − − + −= − − + − ⇒ − + − −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]
[ ]
a x y x y x y x y
a x y x y x y x y
a x y x ya x y x ya x y
− + − − + − − − − −
= − − − + + − + + +
= − + + += − + + += − +
3 2 2 2
3 3 2 2 2 2
4 2 2 44 2 2 82 10
7.7.7.7.7. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }
[ ]{ }{ }{ }
m m n m m n n m n
m m n m m n n m n
n m m n
n m m n
n m nn m n
n m m n
− + − − + − + + − + − + −
= − − − − + − + − + − − +
= − − − + − + −
= − − − − + −
=− − − + −= − + − += − + + ⇒ − +
3 2 2 2 1 1
3 2 2 2 2 1
3 2 3 2 1
3 2 3 2 1
3 5 2 115 6 3
7 15 3 15 7 3
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }
[ ]{ }{ }{ }
− − − + − − + − + − + −
= − + − − − − + − + − + −
= − − − − + − −
= − − − − + − −
= − − − − −= − − − + += − + +
2 3 2 4 2 2 1 2
2 2 3 6 4 2 2 1 2 2
5 4 4 2 2 1
5 4 4 2 2 2 2
5 4 4 3 4 25 4 12 16 817 12 8
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a ba b a ba b
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }[ ]{ }[ ]{ }[ ]
[ ][ ]
− + − − + − + − − − − +
= − − − − + − + − − + + +
= − − − − + − + −
= − − − − − + −
= − − − − + −= − − + − += − − +
5 2 2 3 1 2
5 5 2 2 3 1 2
3 5 2 2 2 2 2
3 5 2 4 4 4
3 5 2 3 43 5 2 3 4
8 4
x y x y x y x y x
x y x y x y x y x
x y x y x y
x y x y x y
x y x yx y x y
x y
10.10.10.10.10. ( ) [ ]( ){ }[ ]( ){ }[ ]
( ){ }[ ]{ }[ ]{ }[ ]
[ ]
m m n m n m n m
m m n m n m n m
m n m n m
m n m n m
m n m n
m n m nm n m nm n
− + + − − − + − − − + +
= − − + − − − + − − + − +
= − − + − − − + − +
= − − + − − + +
= − − + − − +
= − − + − + −= − − − + −= − + −
3 2 2 3 1
3 3 2 2 3 3 3
2 3 5 4 5
2 3 5 4 5
2 3 6 4 5
2 3 6 4 52 3 6 4 58 5
11.11.11.11.11. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }[ ]{ } { }
{ }
− − + − − − + − − − +
= − + + − − − − − − − −
= − + + − − − − +
= − + + + − −= − + + += +
3 2 2 4 2 3
3 6 2 4 2 3 3
3 6 2 4 5 3
3 6 2 20 124 5 40 24
36 29
x y x x y x y
x y x x y x y
x y x y x y
x y x y x yx y x yx y
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }[ ]{ }
{ }{ }
5 3 2 3 2
5 3 2 3 2 2
5 3 6 3
5 2 18 9
5 16 1080 50
− + − − + − + + − − + − + −
= − − − − + − − − − − + −
= − − − − + −
= − − + −
= −= −
a b a b a b a b a b a
a b a b a b a b a b a
a b a b a
a b a b
a ba b
13. 13. 13. 13. 13. ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }
{ } { }
− − + − + − − − − −
= − − − + − − +
= − − − − −= − + + += +
3 4
3 4
3 43 3 4 4
7
a b a b
a b a b
a b a ba b a b
a b
14.14.14.14.14. ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ }[ ]{ } [ ]{ }
{ }{ }{ }{ }
− + − − + − + − + − − − + − +
= − + − + + − + − − + − − − +
= − − + + + − − +
= − − + + + + −
= − − + −= − +
a b a b a b a b a a
a b a b a b a b a a
a b a b a
a b a b
a ba b
2 3 2 3 1 3 2 1
2 2 3 2 3 3 3 3 2 2
3 3 2 3 3 6
4 3 6 3 6 9
9 39 3
EJERCICIO 491. 1. 1. 1. 1. − ÷ = −24 8 3
2. 2. 2. 2. 2. − ÷ − =63 7 9
3. 3. 3. 3. 3. − ÷ − = =−5 5 52 2 1a a a a
4.4.4.4.4. 14 2 7 73 4 2 3 1 4 2 2 2a b ab a b a b÷ − = − = −− −
5. 5. 5. 5. 5. − ÷ = − = −− −a b c a b a b c c3 4 3 4 3 3 4 4
6.6.6.6.6. − ÷ − = =− −a b ab a b a2 2 1 1 1
7. 7. 7. 7. 7. 54 6 9 92 2 3 2 3 2 1 2 2 3 3x y z xy z x y z x÷ − = − = −− − −
8. 8. 8. 8. 8. − ÷ = − = −− −5 5 52 2 2 2 1 1m n m n m n
9. 9. 9. 9. 9. − ÷ − = =− −8 8 12 3 2 3 2 2 3 3a x a x a x
10. 10. 10. 10. 10. − ÷ = − = −−
xy yxy xy2
2 1
22 2
11. 11. 11. 11. 11. 5 65
6
5
64 5 4 4 4 5 1 4x y x y x y y÷ − = − = −− −
12. 12. 12. 12. 12. − ÷ = − = −−a b c c a b c a b8 9 4 4 8 9 4 4 8 981
8
1
8
13. 13. 13. 13. 13. 16 516
5
16
56 4 3 6 4 3 6m n n m n m n÷ − = − = −−
14. 14. 14. 14. 14. − ÷ − = =− −108 20108
20
27
57 6 8 6 8 7 6 6 8 8 7a b c b c a b c a
15. 15. 15. 15. 15. − ÷ − = =− −2 32
3
2
32 6 6 2 1 6 6m n mn m n m
16. 16. 16. 16. 16. a a ax x÷ = −2 2
17. 17. 17. 17. 17. − ÷ = − − −3 32 1 2a b ab a bx m x m
18. 18. 18. 18. 18. 5 65
6
5
63 4 3 4 1 1 3 4a b c a b c a b c a bm n m n m n÷ − = − = −− − − − −
19. 19. 19. 19. 19. a b a b a bx m m n x m m n÷ − = − − −41
4
20. 20. 20. 20. 20. − ÷ − = =− − − − −3 53
5
3
53 2 3 2 3 3 2m n x m n x m n x m na x x a x x a x x
EJERCICIO 50
1. 1. 1. 1. 1. a a a a am m m m m m+ + + − + + − −÷ = = =3 2 3 2 3 2b g
3.3.3.3.3. − ÷ − = = =− − − − − − − +3 53
5
3
5
3
52 5 2 5 2 5 3a a a a am m m m m mb g
5. 5. 5. 5. 5. − ÷ − = =− − − − − −4 54
5
4
52 3 2 2 3 2 5 2a b a b a b a bx n x n x n
7.7.7.7.7. 5 65
6
5
62 1 3 2 2 4 2 1 2 2 3 4a b a b a b abm x m x m m x x− − − − − − + − − +÷ − = − = −
9. 9. 9. 9. 9. a b a b a b a bm n x a m a m n m x a a n x+ + + − + −÷ = =
2. 2. 2. 2. 2. 2 2 2 24 2 4 2 4 2 2x x x x xa a a a a a+ + + − + + − −÷ − = − = − = −b g
4.4.4.4.4. x x x x xn n n n n n n2 3 4 2 3 4 2 3 4 141
4
1
4
1
4+ + + − + + − − −÷ − = − = − = −b g
6. 6. 6. 6. 6. − ÷ − = =+ − + − − − − −7 87
8
7
83 1 4 2 3 4 1 2 1 3x y x y x y x ym m m m m m
8. 8. 8. 8. 8. − ÷ = − = −− + − + − − + + − −4 54
5
4
51 1 1 1 1 1 1 1x y x y x yn n n n n n n n
10. 10. 10. 10. 10. − ÷ = − − − −5 65
62 3 1 2 3ab c a b c a b cm n x m n x
EJERCICIO 51
1. 1. 1. 1. 1. 1
2
2
3
1
22
3
3
42 2 2x x x÷ = =
2.2.2.2.2.− ÷ − = = =− −3
5
4
5
3
54
5
15
20
3
43 2 3 2 1 1a b a b a b a a
3.3.3.3.3.2
3
1
6
2
31
6
12
345 3 3 5 3 3 5 5xy z z xy z xy xy÷ − = − = − = −−
4.4.4.4.4. − ÷ − = = =− − − − − −7
8
3
4
7
83
4
28
24
7
62 1 2 1 2 1 2a b ab a b a b a bm n m n m n m n
5.5.5.5.5. − ÷ − = = =2
92
2
92
2
18
1
94 5 4 5 4 5 4 5x y x y x y x y
6. 6. 6. 6. 6. 31
3
31
3
94 5 6 4 5 4 4 5 1 6 5 4m n p m np m n p n p÷ − = − = −− − −
7. 7. 7. 7. 7. − ÷ − = = =− − −7
8
5
2
7
85
2
14
40
7
202 5 6 5 6 2 1 5 5 6 6a b c ab c a b c a a
8. 8. 8. 8. 8. 2
3
3
5
2
33
5
10
92 1 2 1 2a b ab a b a bx m x m x m÷ − = − = −− − − −
9. 9. 9. 9. 9. − ÷ = − = − = −− − −3
8
3
4
3
83
4
12
24
1
23 5 3 5 3 5 3 5c d d c d c d c dx x x x
10.10.10.10.10.3
4
3
2
3
43
2
6
12
1
23 3 3 3a b b a b a b a bm n m n m n m n÷ − = − = − = −− − −
11.11.11.11.11. − ÷ − = =+ − + − − − −21
2
21
2
44 3 4 3 4 4 3 3 6a b a b a b a bx m x m x m
12.12.12.12.12. − ÷
= − = − = −
− + − −
− − + + − +
1
15
3
51
153
5
5
45
1
9
3 5 2 4 1
3 4 5 1 2 6 2 6 2
a b c a b
a b c ab c ab c
x m x m
x x m m
EJERCICIO 52
1. 1. 1. 1. 1. a ab aa ab
a
a
a
ab
aa b2
2 2
− ÷ = − = − = −
2.2.2.2.2. 3 5 3
3 5
3
3
3
5
3
5
3
2 3 2 4 2
2 3 2 4
2
2 3
2
2 4
23 2 2
x y a x x
x y a x
x
x y
x
a x
xy a x
− ÷ −
=−
−=
−−
−= − +
3. 3. 3. 3. 3. 3 5 6
2
3
2
5
2
6
2
3
2
5
23
3 2 2 3
3 2 2 32 2 3
a ab a b
a
a
a
ab
a
a b
aa b ab
− −−
=−
−−
−−
= − + +
4. 4. 4. 4. 4. x x x
x
x
x
x
x
x
xx x
3 2 3 224 4
4 1− + = − + = − +
5. 5. 5. 5. 5. 4 10 5
2
4
2
10
2
5
22 5
5
2
8 6 4
3
8
3
6
3
4
35 3
x x x
x
x
x
x
x
x
xx x x
− −
= − − = − −
6. 6. 6. 6. 6. 6 8 20
2
6
2
8
2
20
23 4 10
3 2 2
3 2 22 2
m m n mn
m
m
m
m n
m
mn
mm mn n
− +−
=−
−−
+−
= − + −
7. 7. 7. 7. 7. 6 3
3
6
3
3
3 32
1
3
8 8 6 6 2 3
2 3
8 8
2 3
6 6
2 3
2 3
2 36 5 4 3
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a ba b a b
− −
= − − = − −
8.8.8.8.8. x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx x x
4 3 2
4 3 23 2
5 10 15
5
5
5
5
10
5
15
5
1
52 3
− − +−
=−
−−
−−
+−
= − + + −
9. 9. 9. 9. 9. 8 10 20 12
2
8
2
10
2
20
2
12
2
4 5 10 6
9 2 7 4 5 6 3 8
2
9 2
2
7 4
2
5 6
2
3 8
2
7 2 5 4 3 6 8
m n m n m n m n
m
m n
m
m n
m
m n
m
m n
m
m n m n m n mn
− − +
= − − +
= − − +
10. 10. 10. 10. 10. a a
a
a
a
a
aa a
x m x mx m+ = + = +
− −− −
1
2 2
1
22 3
11. 11. 11. 11. 11. 2 3 6
3
2
3
3
3
6
3
2
32
2 4
3
3
2
3
4
33 1 1
a a a
a
a
a
a
a
a
aa a a
m m m
m m mm m m
− +−
=−
−−
+−
= − + −
+ +
+ +− − +
12. 12. 12. 12. 12. a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b a b a b
m n m n m n
m n m n m n
m n m n m n
+ −
= + −
= + −
− + − +
− + − +
− − − − − +
1 2 2 4
2 3
2 3
1 2
2 3
2 4
2 3
2 3 3 1 4 1
13. 13. 13. 13. 13. x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x x x x x
m m m m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
+ + −
−
+
− −
+
−
−
−
− + −
= − + −
= − + − ⇒ + − −
2 1 1
2
2
2 2
1
2
1
2
4 2 3 4 3 2
5 6
5 6
5 6 6 5
14. 14. 14. 14. 14. 4 6 8
2
4
2
6
2
8
2
2 3 4
4 1 3 2 2 3
2 4
4 1
2 4
3 2
2 4
2 3
2 4
2 3 2
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b ab b
x m x m x m
x m
x m
x m
x m
x m
x m
x m
+ − + − + −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
− +−
=−
−−
+−
= − + −
EJERCICIO 53
1.1.1.1.1. 1
22
3
2
32
3
3
4
6
6
3
41
2x
x
x
xx x− = − = −
2. 2. 2. 2. 2.
1
33
5
3
53
5
1
43
55
9
15
15
5
12
5
9
5
12
3 2
3 2 3 2
a a a
a a a a a a
−−
−+
−
= − + − = − + −
3.3.3.3.3. 1
41
4
2
31
4
3
81
44
4
8
3
12
8
8
3
3
2
4
2
3
2
2 2
2
2 2 2 2
m
m
m n
m
m n
m
m mn n m mn n
− +
= − + = − +
4. 4. 4. 4. 4. 2
31
5
1
51
5
1
41
5
1
510
3
5
5
5
45
10
3
5
45
4 3
3
3 4
3
2 5
3
6
3
3 2 2 3
3 2 2 3
x y
xy
x y
xy
x y
xy
xy
xy
x x y xy y
x x y xy y
−−
−+
−−
−
= − + − +
= − + − +
5. 5. 5. 5. 5.
2
55
1
35 5
2
25
1
15
1
5
5 3 35
4 2 3 5a
a
a b
a
ab
aa a b b− − = − −
EJERCICIO 54
6. 6. 6. 6. 6.
1
31
2
1
41
2
2
3
2
4
2
3
1
2
1
1 2 1 2a
a
a
aa a a a
m m
m m m m+ = + = +−
− − − −
7. 7. 7. 7. 7. 2
31
6
1
41
6
2
51
612
3
6
4
12
54
12
5
3
2
1
2
1
2 2
3 2 3 2
a
a
a
a
a
a
a a a a a a
x
x
x
x
x
x
+
−
−
− −− −
= − − ⇒ − −
8. 8. 8. 8. 8. −
−+
−−
−
= − +
= − +
− + + +
− − − − −
− − − − −
3
42
5
1
82
5
2
32
515
8
5
16
10
615
8
5
16
5
3
1 2
3 2
1
3 2
1
3 2
4 3 1 2 2
4 3 1 2 2
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x a x a x
a x a x a x
n m n m n m
n m n m n m
n m n m n m
1. 1. 1. 1. 1. a a a
a a a
a
a
2
2
2 3 3
3 1
3
3
+ − +
− − −
− −+ +
2.2.2.2.2. a a a
a a a
a
a
2
2
2 3 1
3
3 3
3 3
− − +
− − −
− −+ +
3 .3 .3 .3 .3 . x x x
x x x
x
x
2
2
20 5
5 4
4 20
4 20
+ − +
− − −
− −+ +
4. 4. 4. 4. 4. m m m
m m m
m
m
2
2
11 30 6
6 5
5 30
5 30
− + −
− + −
− ++ −
5. 5. 5. 5. 5. x x x
x x x
x
x
2
2
8 15 3
3 5
5 15
5 15
− + − +
− + − +
− ++ −
6. 6. 6. 6. 6. a a a
a a a
a
a
2
2
5 6 2
2 3
3 6
3 6
+ + +
− − +
+− −
7. 7. 7. 7. 7. 6 2 2
6 3 3 2
4 2
4 2
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
− − +
− − −
− −
+ +
8. 8. 8. 8. 8. − + − − +
+ − −
−
− +
15 22 8 3 2
15 10 5 4
12 8
12 8
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
9. 9. 9. 9. 9. 5 8 21 3
5 15 5 7
7 21
7 21
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
+ − +
− − −
− −
+ +
10. 10. 10. 10. 10. 14 22 12 7 3
14 6 2 4
28 12
28 12
2
2
x x x
x x x
x
x
+ − −
− + +
−− +
11.11.11.11.11. − + − − +
+ − −
−
− +
8 12 4
8 8 8 4
4 4
4 4
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
12. 12. 12. 12. 12. 6 11 5
6 6 6 5
5 5
5 5
2 2
2
2
2
m mn n m n
m mn m n
mn n
mn n
− + −
− + −
− +
+ −
13. 13. 13. 13. 13. − + + − +
+ − +
− +
+ −
54 12 32 9 8
54 48 6 4
36 32
36 32
2 2
2
2
2
m mn n m n
m mn m n
mn n
mn n
14. 14. 14. 14. 14. − + + − −
+ + −
+ +− −
14 71 33 7 3
14 6 2 11
77 33
77 33
2
2
y y y
y y y
y
y
15. 15. 15. 15. 15. x y x y
x x y x xy y
x y
x y xy
xy y
xy y
3 3
3 2 2 2
2
2 2
2 3
2 3
− −
− + + +
− +
−
− +
16. 16. 16. 16. 16. a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
3 3
2
2 3
2 2
− + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
17. 17. 17. 17. 17. x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
4 2
4 3 3 2
3 2
3 2
9 3 3
3 3 1
3 9
3 9
3
3
− + + +
− − − +
− −
+ +
+− −
18. 18. 18. 18. 18. a a a
a a a a a
a
a a
a a
a a
4
4 3 3 2
3
3 2
2
2
1+ +
− − − +
−
+ +
+
− −
19. 19. 19. 19. 19. m n m n
m m n m m n n
m n
m n m n
m n n
m n n
6 6 2 2
6 4 2 4 2 2 4
4 2
4 2 2 4
2 4 6
2 4 6
− −
− + + +
− +
−
− +
20.20.20.20.20. 2 7 3 2 3
2 3 2 3 1
4
4 6
6 7
6 9
2 3
2 3
4 3
4 3 3 2
3
3 2
2
2
x x x x
x x x x x
x
x x
x x
x x
x
x
− + − +
− − − + −
−
+ +
+
− −
− −+
21. 21. 21. 21. 21. 3 12 5 10 2
3 6 3 6 5
6 12
6 12
5 10
5 10
5 2 2
5 3 3
3
3
2
2
y y y y
y y y y
y y
y y
y
y
− + + +
− − − +
− −
+ +
+
− −
22. 22. 22. 22. 22. am am a am a
am am m m m
am
am am
am am
am am
am a
am a
4
4 3 3 2
3
3 2
2
2
2
2
2 2
2 2
− − +
− − − + −
−
+ +
−
− −
− −+ +
23. 23. 23. 23. 23. 12 35 33 10 4 5
12 15 3 5 2
20 33
20 25
8 10
8 10
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
− + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
24. 24. 24. 24. 24. 15 5 9 3 3 3
15 5 5 3
9 3
9 3
3
3
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 4 2 2 4
3 2 2 3
3 2 2 3
4 5
4 5
m m n m n m n mn n m n
m m n m m n n
m n m n
m n m n
mn n
mn n
− − + + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
EJERCICIO 55
1.1.1.1.1. a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a a
4 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
2 1 1
1
2 2
1
1
− − − + +
− − − − −
− − −
+ + +
− − −
+ + +
2. 2. 2. 2. 2. x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
5 2 2
5 4 3 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
12 5 2 5
2 5 2
2 5 12
2 4 10
2 5
2 5
+ − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
3. 3. 3. 3. 3. m m n m n mn m mn n
m m n m n m m n mn
m n m n m n
m n m n m n
m n m n mn
m n m n mn
5 4 2 3 4 2 2
5 4 3 2 3 2 2
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
5 20 16 2 8
2 8 3 2
3 8 20
3 6 24
2 4 16
2 4 16
− + − − −
− + + − +
− + +
+ − −
− −
− + +
4. 4. 4. 4. 4. x x x x x
x x x x x
x x
x x x
x x
x x
4 2 2
4 3 2 2
3
3 2
2
2
2 1 1
1
2
1
1
− − − − −
− + + + +
+ −
− + +
− −
− + +
5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x
x x
6 5 3 2 4 2
6 4 2 2
5 4 3 2
5 3
4 2
4 2
2 6 7 4 6 3 2
3 2 2 3
2 3 6 9 4
2 6 4
3 9 6
3 9 6
− + − − + − +
− + − − +
− + + − −
+ − +
− +
− + −
6. 6. 6. 6. 6. m m m m m m m m
m m m m m
m m m
m m m
6 5 4 2 3 2
6 5 4 3 3
3 2
3 2
4 4 1 4 1
4 1
4 1
4 1
+ − + − − + − −
− − + + +
+ − −
− − + +
7. 7. 7. 7. 7. a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a a
5 4 2 2
5 4 3 3
3 2
3 2
2
2
7 27 10 5
5 5 2
5 7 27
5 5 25
2 2 10
2 2 10
− + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
8. 8. 8. 8. 8. − + − + − +
+ − + − + +
+ −
− + −
− +
− + −
x x y xy y x xy y
x x y x y x xy y
x y x y xy
x y x y xy
x y xy y
x y xy y
4 3 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
3 5 3 2
2 3
5
2
3 6 3
3 6 3
9. 9. 9. 9. 9. n n n n n
n n n n
n n
n n
4 3 2
4 3 2 2
2
2
2 2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
− + − − +
− + − −
− + −
+ − +
10.10.10.10.10. a b a b a b ab a b ab b
a b a b a b a a b ab
a b a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b ab
5 4 2 2 4 5 2 2 3
5 4 2 3 3 3 2 2
4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
3 3 2 4 5
5 22 40 2 10
2 10 3 4
3 10 22
3 6 30
4 8 40
4 8 40
− + − − −
− + + − +
− + +
+ − −
− −
− + +
11. 11. 11. 11. 11. 16 24 27 8 12 6 9
16 24 12 18 2 3
24 36 18 27
24 36 18 27
4 2 2 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
x x y y x x y xy y
x x y x y xy x y
x y x y xy y
x y x y xy y
− − − + −
− + − + +
− + −
− + − +
12.12.12.12.12. 4 4 13 3 20 2 5
4 10 2 3 4
6 13
6 15
2 3
2 5 20
8 20
8 20
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
2
2
y y y y y
y y y y y
y y
y y
y y
y y
y
y
+ − − − +
− − − + −
− −
+ +
−
− − −
− −+
13.13.13.13.13. − − + − − − + +
+ − − − −
+ − −
− + +
− −
− + +
2 3 5 11 3 2 3
2 4 6 2 3
3 6 11
3 6 9
2 3
2 3
5 4 3 2 4 5 3 2 3
5 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 2 3 4
3 2 4 5
3 2 4 5
a a x a x ax x a ax x
a a x a x a ax x
a x a x a x ax
a x a x ax
a x ax x
a x ax x
14. 14. 14. 14. 14. − + − − − + +
+ − + + − − −
− + + −
+ − + +
− + − −
+ − + +
x x y x y xy x x y x y xy
x x y x y x y x xy y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y xy
x y x y x y xy
6 5 2 4 5 4 3 2 2 3
6 5 4 2 3 3 2 2
5 4 2 3 3 2 4
5 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 5
4 2 3 3 2 4 5
2 3 3 2
3 2
2 3
3 2
3 2
3 2
15. 15. 15. 15. 15. a a a a a aa a a a a a
a a a aa a a
a a a aa a a
a aa a
6 5 2 3
6 4 3 3 2
5 4 3 2
5 3 2
4 3 2
4 2
3
3
5 31 8 21 2 7
2 7 5 2 3
5 2 7 315 10 35
2 3 4 8
2 4 14
3 6 213 6 21
− + − + − −
− + + − + −
− + + +
+ − −
− − −
− + +
− + +
+ − −
16. 16. 16. 16. 16. m m m m m m m
m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m
m m m
6 5 3 4 3 2
6 5 4 2 2
5 4 3 2
5 4 3
4 3 2
4 3 2
5 6 9 3
3 2 3
2 5 3 6
2 2 2 6
3 3 3 9
3 3 3 9
− + − + + − +
− − + − − +
− + + − −
+ + − +
+ − +
− − + −
17. 17. 17. 17. 17. a a b a b a b ab b a ab b
a a b a b a a b a b ab b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b ab
a b a b ab
a b ab b
a b ab b
6 5 4 2 3 3 5 6 2 2
6 5 4 2 4 3 2 2 3 4
5 4 2 3 3
5 4 2 3 3
4 2 3 3
4 2 3 3 2 4
3 3 2 4 5
3 3 2 4 5
2 4 5 6
2 4 5 6
4 6 3 2
2 3
5 6
2
3 5
3 6 3
3 3
2
2
2
− − + − + − +
− + − + − − +
− +
− + −
− +
+ − +
− + −
+ − +
− +
− + −
18. 18. 18. 18. 18. x x y x y x y xy y x xy y
x x y x y x x y x y xy y
x y x y
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
x y xy
x y x y xy
x y xy y
x y xy y
6 4 2 3 3 2 4 5 6 2 2
6 5 4 2 4 3 2 2 3 4
5 3 3
5 4 2 3 3
4 2 2 4
4 2 3 3 2 4
3 3 5
3 3 2 4 5
2 4 5 6
2 4 5 6
2 2 2 3 2 2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
− + − + − + −
− − + − + − +
− +
+ −
+ −
− − +
− +
+ + −
+ −
− − +
19.19.19.19.19. y y y y y y y
y y y y y
y y y y y
y y y
y y
y y
6 5 4 3 4 2
6 4 2 2
5 4 3 2
5 3
4 2
4 2
2 4 4 2 2 2
2 2 2 1
2 4 2 4
2 4 4
2 2
2 2
− − + − + − +
− + − − +
− + + − −
+ − +
− +
− + −
20. 20. 20. 20. 20. 3 11 18 3 8 4 3 4
3 9 12 3 2 1
2 6 8
2 6 8
3 4
3 4
7 5 4 3 2 4 2
7 5 3 3
5 4 3
5 3
4 2
4 2
m m m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m
m m
m m
− + + − − + − +
− + − − +
− + + −
+ − +
− +
− + −
21. 21. 21. 21. 21. a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
6 5 4 3 2 3 2
6 5 4 3 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2 2 3 2 1 1
2 1
4 2
2 3
2 2 2 2 1
1
1
+ − − + − − + − +
− − + − + − −
− − +
− − + −
− − + −
+ + − + −
− − + −
+ + − +
22. 22. 22. 22. 22. 24 52 38 33 26 4 8 12 6
24 36 18 3 3 2 4
16 56 36 26
16 24 12 2
32 48 24 4
32 48 24 4
5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
3 2 2 3 4 5
x x y x y x y xy y x x y xy y
x x y x y x y x xy y
x y x y x y xy
x y x y x y xy
x y x y xy y
x y x y xy y
− + − − + − − +
− + + − − +
− + − −
+ − − +
− − +
− − + −
23.23.23.23.23. 5 4 8 5 6 2 4 6 2 2
5 10 10 5 4 2 3
4 2 5 4 2
4 8 8
2 3 4 6 4
2 4 4
3 6 6
3 6 6
8 7 6 5 4 3 2 4 2
8 6 4 4 3 2
7 6 5 4 3
7 5 3
6 5 4 3 2
6 4 2
5 3
5 3
a a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a a
− − + + − + − − +
− + − − + −
− + + − −
+ − +
+ − − + +
− + −
− + −
− +
24.24.24.24.24. x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
7 6 5 2 3 2
7 6 5 4 4 3 2
6 5 4
6 5 4 3
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
3 6 3 6 2 3 6
2 3 6 1
3 6
2 3 6
3 6
2 3 6 3
3 5 3
2 3 6 6
2 3 6
2 3 6
− + + − + − + +
− + − − − + − +
− + −
+ − + +
− + +
− + − − −
− + − −
+ − + + +
− + +
− + − −
25. 25. 25. 25. 25. 3 5 9 10 8 3 4 3 2 5 4
3 2 5 4 2 1
3 4 6 8
3 2 5 4
6 12 3
6 4 10 8
3 2 5 4
3 2 5 4
6 5 4 3 2 3 2
6 5 4 3 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
+ − − + + − + − −
− − + + + − +
+ − − +
− − + +
− − + +
+ + − −
+ − −
− − + +
26. 26. 26. 26. 26. 5 3 11 11 17 3 4 2 5 3 4 2
5 3 4 2 3 1
15 9 17 3
15 9 12 6
5 3 4 2
5 3 4 2
8 7 6 5 4 3 2 4 3 2
8 7 6 5 4 2
6 5 4 3
6 5 4 3
4 3 2
4 3 2
y y y y y y y y y y y y
y y y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
− − + − − − − − + +
− + − − − −
− + − −
+ − + +
− + − −
+ − + +
27. 27. 27. 27. 27. − + − + − − + − − + − +
+ − + − − + −
− + −
− + − +
− + − −
+ − + −
m m n m n m n m n m n mn n m m n mn n
m m n m n m n m m n m n n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n m n
m n m n m n
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 3 2 2 3
7 6 5 2 4 3 4 3 2 2 4
6 5 2 4 3 3 4
6 5 2 4 3 3 4
5 2 4 3 3 4 2 5
5 2 4 3 3 4
5 14 20 13 9 20 4 3 5
3 5 2 3 4
2 9 19 13
2 6 10 2
3 9 11 9
3 9 15 3m n
m n m n mn n
m n m n mn n
2 5
3 4 2 5 6 7
3 4 2 5 6 7
4 12 20 4
4 12 20 4
− + −
− + − +
28. 28. 28. 28. 28. x x y x y x y x y xy x x y xy
x x y x y x x y x y y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x y x y xy
11 9 2 7 4 5 6 3 8 10 5 3 2 4
11 9 2 7 4 6 4 2 2 4 6
9 2 7 4 5 6
9 2 7 4 5 6
7 4 5 6 3 8
7 4 5 6 3 8
5 6 3 8 10
5 6 3 8 10
5 8 6 5 3 2 3
2 3 3
3 5 6
3 6 9
3 5
2 3
2 3
2 3
− + − − + − +
− + − − − +
− + −
+ − +
− + −
+ − +
+ − +
− + −
29.29.29.29.29. 3 15 14 28 47 28 23 10 3 6 2 3 2
3 6 2 3 2 3 4 5
9 12 3 30 47 28
9 18 6 9 6
12 15 24 38 22 23
12 24 8 12 8
15 30 10 15 10
9 7 6 4 3 2 5 3 2
9 7 6 5 4 4 2
7 6 5 4 3 2
7 5 4 3 2
6 5 4 3 2
6 4 3 2
5 3 2
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a
− + − + − + − − + − +
− + − + − − + −
− + + − + −
+ − + − +
+ − − + − +
− + − + −
− + − + −
+15 30 10 15 105 3 2a a a a− + − +
30.30.30.30.30. a b bc c a b c
a ab ac a b c
ab b ac bc
ab b bc
ac bc c
ac bc c
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
− + − + −
− − + − +
− − + +
+ + −
+ −
− − +
31. 31. 31. 31. 31. − + − − − + − +
+ − + − + +
+ − −
− + −
− +
− + −
2 5 3 10 2 3 5
2 3 5 2
2 4 3
2 3 5
4 6 10
4 6 10
2 2 2
2
2
2
2
2
x xy xz y yz z x y z
x xy xz x y z
xy xz y yz
xy y yz
xz yz z
xz yz z
32.32.32.32.32. x y xyz z x xy xz y yz z
x x y x z xy xyz xz x y z
x y x z y xy xyz z xz
x y y xy xyz y z yz
x z xyz z xz y z yz
x z xyz z xz y z yz
3 3 3 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 3 2 3 2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2
3
2
+ − + − − + − +
− + + − + − + +
+ + − − + −
− − + + + −
− + − + −
− + − + − +
33.33.33.33.33. a b a b
a a b a a b a b ab b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b ab
ab b
ab b
5 5
5 4 4 3 2 2 3 4
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
+ +
− − − + − +
−
+ +
− −
−
+ +
+
− −
34. 34. 34. 34. 34. 21 21 3 3
21 21 7 7 7 7 7
21
21 21
21
21 21
21
21 21
21 21
21 21
5 5
5 4 4 3 2 2 3 4
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
x y x y
x x y x x y x y xy y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y xy
xy y
xy y
− −
− + + + + +
− +
− +
− +
−
− +
35. 35. 35. 35. 35. 16 16 2 2
16 16 8 8 8 8
16
16 16
16
16 16
16 16
16 16
8 8 2 2
8 6 2 6 4 2 2 4 6
6 2
6 2 4 4
4 4
4 4 2 6
2 6 8
2 6 8
x y x y
x x y x x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
− +
− − − + −
−
+ +
− −
− −
+ +
36. 36. 36. 36. 36. x y x y
x x y x x y x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
10 10 2 2
10 8 2 8 6 2 4 4 2 6 8
8 2
8 2 6 4
6 4
6 4 4 6
4 6
4 6 2 8
2 8 10
2 8 10
− −
− + + + + +
− +
− +
− +
−
− +
37. 37. 37. 37. 37. x y x y
x x y x x y x y x y y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y y
x y y
15 15 3 3
15 12 3 12 9 3 6 6 3 9 12
12 3
12 3 9 6
9 6
9 6 6 9
6 9
6 9 3 12
3 12 15
3 12 15
+ +
− − − + − +
−
+
− −
−
+
+
− −
38.38.38.38.38. x x y xy y x xy x y y
x x y xy x xy x x y
x y xy y x xy x
x y xy y xy y y
x xy x y y
x xy x y y
3 2 2 3 2 2
3 2 2 2
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2
2 2
3 3 1 2 1
2 1
2 1
2
1 2
1 2
+ + + − + + + + +
− − − − − − + −
+ + − − − −
− − − − − −
− − − − − −
+ + + + + +
39.39.39.39.39. x y x x y x y xy y
x x y x y x y xy x y
x y x y x y xy y
x y x y x y xy y
5 5 4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4 5
4 3 2 2 3 4 5
+ − + − +
− + − + − +
− + − +
− + − + −
EJERCICIO 56
1. 1. 1. 1. 1. a a a
a a a a a
a
a a
a a
a a
x x
x x x x x
x
x x
x x
x x
+
+ + + +
+
+ +
+
+
+ +
− − − +
−
+ +
+
− −
3
3 2 2 1
2
2 1
1
1
1
2. 2. 2. 2. 2. − + + + +
+ + − + +
+ +
− −
+
− −
+ + + +
+ + + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
n n n n
n n n n n
n n
n n
n n
n n
5 4 3 2 2
5 4 3 2 1
4 3
4 3
3 2
3 2
3
2
2 3
2 2
3. 3. 3. 3. 3. m m m m m m m
m m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
+ + + −
+ + + + + −
+ + +
+ + +
+ +
+ +
+ −
+ −
− + − + − +
− + − + − +
− +
− + −
− + −
+ − +
− +
− + −
4 3 1 1 2
4 3 2 2 1 1
3 2 1
3 2 1
2 1
2 1
1 1
1 1
6 5 3 2 3
2 3
3 6
2 3
3 5
2 3
2 3
2 3
4. 4. 4. 4. 4. a a a a a a
a a a a a
a a
a a
a a
a a
n n n n n n
n n n n n
n n
n n
n n
n n
2 3 2 2 2 1 2 1
2 3 2 2 2 1
2 2 2 1
2 2 2 1
2 1 2
2 1 2
4 2
3 2
3
3 3
2 2
2 2
+ + + +
+ + + +
+ +
+ +
+
+
+ + − +
− − + −
+
− −
− −
+
5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
a a a a a a a
a a a a a
a a
a a
a a
a a
2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 3 1
2 5 2 3 2 1
2 4 2 3
2 4 2 2
2 3 2 1
2 3 2 1
2 3 4 2 2
2 2
2
2 4
2
2
+ + + + + + +
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ − − + −
− + + −
+ −
− +
− +
+ −
6. 6. 6. 6. 6. a a a a a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
+ − − − −
+ +
+ −
+ −
− −
− −
− + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
2 1 2 1 2
2 1 2
1 1
1 1
1 2
1 2
2 8 3 2 3
2 3 2 1
2 5 8
2 4 6
2 3
2 3
7. 7. 7. 7. 7. a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2
2 2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3
2 2 2 3 2 4
2 2 2 3 2 4
2 4 5 2
3 2
3 5 5
3 3 3
2 2 2
2 2 2
+ − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
− − − − − −
− − − −
− − −
− − −
− − −
− − −
9. 9. 9. 9. 9. x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
a a a a a a a
a a a a a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a a
a a a
2 2 2 3 2 4 2 7 1 2 3
2 2 2 3 2 4 1 2 2 3 4
2 3 2 4
2 3 2 4 2 5
2 4 2 5
2 4 2 5 2 6
2 5 2 6 2 7
2 5 2 6 2 7
4
2
2 3
2 2 2
2
− − − − − − −
− − − − − − −
− −
− − −
− −
− − −
− − −
− − −
+ − − − −
− + + + − +
+ −
− + +
− +
+ − −
+ − −
− + +
10. 10. 10. 10. 10. a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8 1 2 2 3 3 4
2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6 2 2 4
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2 2
2
2
2
− + − + − + −
− + − + −
− + − +
+ − + −
− − − − − − −
− − − −
− − − −
− − − −
11. 11. 11. 11. 11. a a b a b b a b
a a b a b
a b b
a b b
m x m x x m m x x x
m x m x m m
x m m x
x m m x
+ +
+
+
+
+ + + +
− − +
+
− −
12. 12. 12. 12. 12. a a b b ab a b
a a b a b
b ab
b ab
x x n n
x x x n
n n
n n
− + − −
− + −
−
− +
− −
− − −
−
−
1 1
1 1 1
1
1
8.8.8.8.8. − + + − − + − + +
+ − − − − +
+ + −
− + +
− −
− + +
− + +
+ −
+ + + − − − − −
+ + + + + + +
+ +
+ +
+ −
+ −
− −
m m m m m m m m m
m m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
m m
a a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3
2 3 2 2 2 1 4 3 2 1
2 2 2 1 2
2 2 2 1 2
2 1 2 2 1
2 1 2 2 1
2 2 1 2 2
2
2 2 4
2
4
2 3
2 2 2
2 1 2 2a am− −−
13. 13. 13. 13. 13. 3 23 5 46 30 8 6
3 24 18 3 5
13 46
8 6
5 40 30
5 40 30
5 3 5 2 5 1 5 5 1 3 3 3 2 3 1
5 3 5 2 5 1 2 2 1 2 2
5 2 5 1 5
5 2 5 1 5
5 1 5 5 1
5 1 5 5 1
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
m m m m m m m m
m m m m m m
m m m
m m m
m m m
m m m
− − − + − − −
− − − + +
− −
− −
− +
− +
− + + − − +
− + − + −
+ − +
− + −
− + −
− +
14.14.14.14.14. 2 4 28 30 4 3
2 8 6 2 4 10
4 6 28
4 16
3 1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 1 2 1 1 1
3 1 2 3 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 3
3 2 2 3 1 2 1 3 2 2
3 2 2 3
x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x y
x y x
a x a x a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x a x
a x a x a x
a x a
+ − − − − + + − + +
+ − − − − − − − − −
− − − −
−
− − + − + −
− + − − − −
+ − −
− + − − −
− − − − +
− − − − +
−
− +
− + −
1 2 1 3 2 2
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
3 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1
12
10 40 30
10 40 30
y x y
x y x y x y
x y x y x y
x a x
a x a x a x
a x a x a x
EJERCICIO 57
1. 1. 1. 1. 1. 1
6
5
36
1
6
1
3
1
21
6
1
4
1
2
1
3
1
9
1
61
9
1
6
2 2
2
2
2
a ab b a b
a ab a b
ab b
ab b
+ − +
− − −
− −
+
2. 2. 2. 2. 2. 1
3
7
10
1
3
2
51
3
2
15
1
3
5
6
5
6
1
35
6
1
3
2 2
2
2
2
x xy y x y
x xy x y
xy y
xy y
+ − −
− + +
−
− +
3. 3. 3. 3. 3. 1
3
35
36
2
3
3
8
1
2
1
3
1
41
3
2
9
1
6
2
3
3
2
3
4
1
2
3
83
4
1
2
3
8
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3
x x y xy y x xy y
x x y xy x y
x y xy y
x y xy y
− + − − +
− + − −
− + −
− +
4. 4. 4. 4. 4. 1
16
5
8
5
3
1
4
3
21
16
3
8
1
4
2
3
1
4
5
31
4
3
2
1
61
6
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
a a b ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
− + − −
− + − +
− +
−
−
− +
5. 5. 5. 5. 5. 3
5
1
10
17
60
7
6
3
22
3
5
2
5
4
5
2
5
1
3
1
2
1
2
65
60
7
61
2
1
3
2
3
3
4
1
23
4
1
2
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
m m n m n mn n m mn n
m m n m n m mn n
m n m n mn
m n m n mn
m n mn n
m n mn n
+ − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
− +
6. 6. 6. 6. 6. 3
4
1
2
37
40
2
3
19
30
4
52
1
32
3
4
1
8
3
4
3
8
1
4
2
5
1
2
4
5
1
12
19
301
2
1
12
1
2
4
5
2
15
4
54
5
2
15
4
5
5 4 3 2 3
5 3 2 2
4 3 2
4 2
3
3
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
+ − + + − − +
− + − + −
− − +
− + −
− + −
− +
7. 7. 7. 7. 7. 9
4
1
12
13
18
1
3
3
2
2
39
4
3
2
3
2
1
3
1
2
1
2
13
12
13
181
2
1
3
2
9
3
4
1
2
1
33
4
1
2
1
3
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3 4
2 2 3 4
a a x a x ax x a ax x
a a x a x a ax x
a x a x ax
a x a x ax
a x ax x
a x ax x
− − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
− +
8. 8. 8. 8. 8. 1
14
101
420
139
280
1
2
5
12
2
7
1
5
1
21
14
1
20
1
8
1
4
2
3
5
6
4
21
13
35
1
24
21
2
15
1
3
5
21
1
6
5
125
21
1
6
5
12
5 4 3 2 2 3 4 3 2 2
5 4 3 2 2 2
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 4
3 2 2 3 4
x x y x y x y xy x x y xy
x x y x y x xy y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y xy
x y x y xy
− + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
10. 10. 10. 10. 10. 1
2
5
6
99
40
101
60
7
6
5
8
3
4
1
2
2
5
1
41
2
1
3
4
15
1
6
2
3
2
3
5
2
1
2
53
24
91
60
7
61
2
1
3
4
15
1
6
15
8
5
4
5
815
8
5
4
5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3
5 4 3 2 2 3 2 2
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
3 2 2 3 4
m m n m n m n mn n m m n mn n
m m n m n m n m mn n
m n m n m n mn
m n m n m n mn
m n m n mn n
m n m n mn
− + − + − − + −
− + − + − +
− + − +
− + −
− + −
− + − +5
85n
EJERCICIO 58
9. 9. 9. 9. 9. 3
8
21
40
47
120
79
120
1
10
1
10
1
4
1
3
1
4
1
23
8
1
2
3
8
3
4
3
2
1
10
1
5
1
40
1
60
11
120
1
101
40
1
30
1
40
1
20
1
20
1
15
1
20
1
101
20
1
15
1
20
1
10
5 4 3 2 3 2
5 4 3 2 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
+ − + + − + − +
− − + − + −
− − +
− − + −
− − + −
+ − +
1. 1. 1. 1. 1. x x x x x x x
x
5 4 2 3 2
2
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1
− + − ÷ − +− + + − − +
− + − + −
− + − ⇒ −+ − +
2. 2. 2. 2. 2. x x x x x x x x
x x x
7 6 5 4 3 2 3 2
4 3 2
11 3 13 19 56 2 7
1 1 11 3 13 19 0 56 1 2 0 7
1 2 0 7 1 3 5 0 8
3 11 10 13 3 5 8
3 6 0 21
5 10 8 19
5 10 0 35
8 16 0 56
8 16 0 56
+ − + − + − ÷ − −+ − + − + + − − + −
− + − + + − + +
− + − ⇒ + − +− + − +
− + + ++ − + −
− + −− + − +
3. 3. 3. 3. 3. a a b a b a b a b ab b a ab b6 5 4 2 3 2 2 4 5 6 2 27 12 13 7 2+ − + − + − ÷ − +
1 1 7 12 13 7 1 1 2 1
1 2 1 1 3 2 5 1
3 8 12 3 2 5
3 6 3
2 9 13
2 4 2
5 11 7
5 10 5
1 2 1
1 2 1
4 3 2 2 3 4
+ − + − + − − +− + − + − + −
− + ⇒ + − + −− + −
− + −− +
− +− + −
− + −+ − +
a a b a b ab b
4. 4. 4. 4. 4. m m n m n m n m n mn n m mn n
m m n mn n
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3
3 2 2 3
5 2 20 19 10 4
1 5 2 20 19 10 1 1 0 4 1
1 0 4 1 1 5 6 1
5 6 21 19 5 6
5 0 20 5
6 1 24 10
6 0 24 6
1 0 4 1
1 0 4 1
− + + − − − ÷ − −− + + − − − + − −
− − + + − + +
− + + − ⇒ − + ++ − −
+ − −− − + +
+ − −− − + +
5. 5. 5. 5. 5. x x x x x x
x x
8 6 4 2 4 2
4 2
2 50 58 15 6 5
1 2 50 58 15 1 6 5
1 6 5 1 8 3
8 45 58 8 3
8 48 40
3 18 15
3 18 15
− − + − ÷ + −− − + − + −
− − + − +
− − + ⇒ − ++ + −
+ −− − +
6. 6. 6. 6. 6. a a a a a a a a a a a14 12 10 8 6 4 2 8 6 4 27 9 23 52 42 20 4 3 2− + + − + − ÷ − + −
1 7 9 23 52 42 20 1 4 3 2
1 4 3 2 1 3 6 10
3 6 25 52 3 6 10
3 12 9 6
6 34 58 42
6 24 18 12
10 40 30 20
10 40 30 20
6 4 2
− + + − + − − + −− + − + − − +
− + + − ⇒ − − +− + −
− + − ++ − + −
− + −− + − +
a a a
7. 7. 7. 7. 7. 3 20 51 70 46 20 3 8 103 20 51 70 46 20 3 8 103 8 10 1 4 3 2
12 41 70 4 3 212 32 40
9 30 469 24 30
6 16 206 16 20
15 12 9 6 3 6 3
9 6 3
x x x x x x x
x x x
− + − + − ÷ − +− + − + − − +
− + − − + −
− + − ⇒ − + −− +
− +− + −
− + −− +
8.8.8.8.8. m m m m m m m m m m28 24 20 16 12 8 4 12 8 412 53 127 187 192 87 45 7 9 15− + − + − + − ÷ − + −
1 12 53 127 187 192 87 45 1 7 9 15
1 7 9 15 1 5 9 4 3
5 44 112 187 5 9 4 3
5 35 45 75
9 67 112 192
9 63 81 135
4 31 57 87
4 28 36 60
3 21 27 45
3 21 27 45
16 12 8 4
− + − + − + − − + −− + − + − + − +
− + − + ⇒ − + − ++ − + −
− + −− + − +
− + − ++ − + −
− + −− + − +
m m m m
9. 9. 9. 9. 9. 2 6 8 20 24 18 4 2 47 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7 2 2x x y x y x y x y x y y x y− − − − − − ÷ +
2 6 8 20 24 18 0 4 2 0 4
2 0 4 1 3 6 4 0 1
6 12 20 3 6 4
6 0 12
12 8 24
12 0 24
8 0 18
8 0 16
2 0 4
2 0 4
5 4 3 2 2 3 5
− − − − − + − + +− − − − − − + −
− − − ⇒ − − − −+ +
− − −+ + +
− + −+ + +
− + −+ +
x x y x y x y y
10.10.10.10.10. 6 12 2 36 6 16 38 44 14 2 79 7 6 5 4 3 2 4 2a a a a a a a a a a a− + − + − + − + ÷ − + −
6 0 12 2 36 6 16 38 44 14 1 0 2 1 7
6 0 12 6 42 6 0 0 4 6 2
4 6 6 16 38 6 4 6 2
4 0 8 4 28
6 2 12 10 44
6 0 12 6 42
2 0 4 2 14
2 0 4 2 14
5 2
+ − + − + − + − + + − + −− − + − + + + − + −
− + + − + ⇒ − + −+ + − + −
− − + −− − + − +
− + + − ++ − − + −
a a a
11.11.11.11.11. n n n n n n n n n n n n n
n n
10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3
4 2
6 5 13 23 8 44 12 32 16 3 5 8 4
1 0 6 5 13 23 8 44 12 32 16 1 0 3 5 0 8 4
1 0 3 5 0 8 4 1 0 3 0 4
3 0 13 15 12 44 12 3 4
3 0 9 15 0 24 12
4 0 12 20 0 36 16
4 0 12 20 0 36 16
− + + − − + − − + ÷ − + − ++ − + + − − + − − + + − + + − +
− − + − − + − + − + +
− + + − − + − ⇒ − ++ + − + + − +
+ − + + − +− + + − − + −
13. 13. 13. 13. 13. x x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y
x x y x y y
16 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16 6 4 2 2 4 6
10 6 4 2 8 10
4 10 21 28 23 9 33 6 4 5
1 4 10 21 28 23 9 33 6 1 4 5 1
1 4 5 1 1 0 5 0 3 6
5 20 28 23 5 3 6
5 20 25 5
3 18 9 33
3 12 15 3
6 24 30 6
6 24 30 6
− − + + − + + − ÷ − − +− − + + − + + − − − +
− + + − + − + + −
− + + − ⇒ − + −+ − − +
− + +− + + −
− + + −+ − − +
15. 15. 15. 15. 15. 7 35 6 78 5 42 7 7 62 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1a a a a a a a a a ax x x x x x x x x x+ + + + + − + +− + − − − − ÷ + +7 35 6 78 5 42 7 7 0 6 1
7 0 6 1 1 5 0 7
35 0 79 5 5 7
35 0 30 5
49 0 42 7
49 0 42 7
2 1 1
− + − − − − + + +− − − − − + −
− + − − ⇒ − −+ + + +
− + − −− + +
+ + −a a ax x x
16. 16. 16. 16. 16. 6 4 28 21 46 19 12 6 6 4 22 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 2x x x x x x x x x x x xa a a a a a a a a a a a+ + + − − − − + − −− − + − + − − ÷ − + +6 4 28 21 46 19 12 6 6 4 2 1
6 4 2 1 1 0 5 0 6
30 20 46 19 5 6
30 20 10 5
36 24 12 6
36 24 12 6
2 2
− − + − + − − − + +− + − − + − + −
− + − + ⇒ − −+ − + +
− + − −− + +
+ −x x xa a a
17. 17. 17. 17. 17. 6 23 12 34 22 15 3 55 3 5 2 5 1 5 5 1 5 2 2 2 2 1 2 2 1a a a a a a a a a ax x x x x x x x x x+ + + − − + + −− + − + − ÷ − − −
6 23 12 34 22 15 1 3 1 5
6 18 6 30 6 5 3
5 18 4 22 6 5 3
5 15 5 25
3 9 3 15
3 9 3 15
3 1 3 3 1
− + − + − − − −− + + + − +
− + − + ⇒ − ++ − − −
− − −− + + +
+ −a a ax x x
12. 12. 12. 12. 12. 3 4 15 29 13 5 3 5 37 6 5 2 4 3 3 4 6 7 3 2 3x x y x y x y x y xy y x xy y− − + − + − ÷ − +
3 4 15 29 13 0 5 3 1 0 5 3
3 0 15 9 3 4 0 0 1
4 0 20 13 3 4
4 0 20 12
1 0 5 3
1 0 5 3
4 3 4
− − + − + + − + − +− − + − − + + −
− + + − ⇒ − −+ + − +
− + + −− − +
x x y y
14.14.14.14.14. a a a a a am m m m m+ + − −− − + − ÷ −2 1 1 3 23 5 20 25 5
1 3 5 20 0 25 1 0 5
1 0 5 1 3 0 5
3 0 20 3 5
3 0 15
5 0 25
5 0 25
1 3
− − + + − + −− − + − + +
− + + ⇒ − ++ + −
+ + −− − +
− −a a am m m
EJERCICIO 59
1. 1. 1. 1. 1. a b a
ab
a
b
2 2 2
22
2
2
1
+
− +
2. 2. 2. 2. 2. a a
a aa
4 3
43
2
2
2
+
− +
+
4. 4. 4. 4. 4. 16 20 8 7 4
16 4 5 27
4
20
20
8
8
7
4 3 2 2 3 2
4 2 23
3
3
2 2
2 2
3
a a b a b ab a
a a ab bb
a
a b
a b
a b
a b
ab
− + +
− − + +
−
+
−
+
5. 5. 5. 5. 5. x x x
x x xx
x
x
2
2
7 10 6
6 14
6
10
6
4
+ + +
− − + ++
+− −
+
6. 6. 6. 6. 6. x x x
x x xx
x
x
2
2
5 7 4
4 13
4
7
4
3
− + −
− + − +−
− +−
+
7.7.7.7.7. m m m
m m mm
m
m
4 2 2
4 2 22
2
2
11 34 3
3 810
3
8 34
8 24
10
− + −
− + − +−
− +
−
+
8. 8. 8. 8. 8. x xy y x y
x xy x yy
x y
xy y
xy y
y
2 2
22
2
2
2
6
78
7
7 7
8
− + +
− − − ++
− +
+ +
+
3.3.3.3.3. 9 6 7 3
9 3 27
3
6
6
7
3 2 2
32
2
2
x x x
x xx
x
x
+ +
− + +
+
−
+
9. 9. 9. 9. 9. x x x x x
x x x xx
x x
x
3 2 2
3 22
3 2 1
2 2
1
2 2
− + + − +
− + − ++
− ++ +
10. 10. 10. 10. 10. x y x y
x x y x xy yy
x y
x y
x y xy
xy y
xy y
y
3 3
3 2 2 23
2
2 2
2 3
2 3
3
2
2
+ −
− + + + +−
− +
+
− +
11. 11. 11. 11. 11. x y x y
x x y x x y x y xy yy
x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y xy
xy y
xy y
y
5 5
4 4 4 3 2 2 3 45
4
4 3 2
3 2
3 2 2 3
2 3
2 3 4
4 5
4 5
5
2
2
+ −
− + + + + + +−
− +
− +
− +
+ +
− +
12. 12. 12. 12. 12. x x x x x
x x x xx
x xx xx x
x
3 2 2
3 22
2
2
4 5 8 2 1
2 66 2
2 16 6 86 12 6
6 2
+ − + − +
− + − + ++
− +− +
− + −
+
13.13.13.13.13. 8 6 5 9 2 3
8 12 4 3 712
2 3
6 5
6 9
14 9
14 21
12
3 2 2 3
3 2 2 23
2 2
2 2
2 3
2 3
3
a a b ab b a b
a a b a ab bb
a b
a b ab
a b ab
ab b
ab b
b
− + − −
− + + + +−
+
− +
−
− +
EJERCICIO 60
14.14.14.14.14. x x x x x x
x x x x xx
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
5 4 2 2
5 4 3 32
3 2
3 2
2
2
3 9 7 4 3 2
3 2 2 320 10
3 2
2 9 7
2 6 4
3 11 4
3 9 6
20 10
− + + − − +
− + − − + +−
− +
− + +
+ − +
+ −
− + −
−
Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores:a = - 1 b = - 2 c = - 1/2
1.1.1.1.1.
( ) ( )a ab b2 2
2 2
2
1 2 1 2 21 2 2 4 1 4 4 9
− +
= − − − ⋅ += + ⋅ + = + + =
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( ) ( )3 4 3
3 1 4 1 2 3 1 2 23 4 2 3 4 8 3 8 12 8 31
3 2 2 3
3 2 2 3
a a b ab b− + −
= − − − ⋅ + − −= − − ⋅ − ⋅ − = − − − − = −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( ) ( )a a ac bc4 3
4 3
3 2 3
1 3 1 2 112
3 212
1 3 212
612
1 3 1 3 8
− + −
= − − − + − −
− ⋅ −
= + + ⋅ + ⋅ = + + + =
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a c a c a c ac c5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 32
23 4 5
8 16 20 40
1 8 112
16 112
20 112
40 112
12
1 812
1614
2018
401
161
321 4 4
52
52
132
11
3232 1
− + − + −
= − − − −
+ − −
− − −
+ − −
− −
= − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − + − + − + = − + =− +
323132
= −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )
( )
( )
a b b c a c− + − − −
= − − + − −
− − − −
= − + +
− − +
= +
− −
= + − = + = + =
2 2 2
22 2
22 2 2 2
1 2 212
112
3 212
112
952
12
9254
14
9244
9 6 15
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )
( )[ ]
[ ]
b a b c a c+ − − − −
= + − − − −
− − − −
= − − +
− − +
= −
− −
= − + = − = − =−
= − = −
3 3 3
33 3
33 3
33 3
12
2 1 212
112
2 1 212
112
152
12
11258
18
1124
81
312
2 312
292
14
7. 7. 7. 7. 7. abc
acb
bca
+ −
=− ⋅
−+
− −
−−
−= + −
= + − = + =+
= =
1 212
112
2
212
1212
122
22
414
1 314
12 14
134
3 14
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )a b c a b c c+ + − − − +
= − + + −
− − − − −
+ −
= −
− − +
− =
− −
−
= − − =− −
= − = − = −
2 2
2 2
2 2 2 2
24
12
1 212
1 212
12
112
312
12
12
52
12
14
254
12
1 25 24
264
6 6
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( )
3 2 4 2
3 2 1 2 4 1 212
212
1 2 3 2 2 4 212
22
3 3 0 432
62
6 3 3
a b a b c c a b+ − + − −
= − + − − + −
− −
− − = − + + −
+ − = ⋅ +
− = − =
Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores:a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x x y xyy
4 2 23
4 2 23
8 23
2
28
2 12
3 2 12
1
168
42
62
1 2 2 3 1 2
− + −
=−
−− −
+− −
− −
= −−
+−
+ = + − + =
11.11.11.11.11.( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
a x x y x y m x n− + − + − + −
= − − + − − − + − − − + − −
= + + − + + − − −
= + − + −
= + +
= + =+
= =
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
12
2 2 2 1 2 1 3 212
2 2 2 1 4 1 3 212
4 1 3 112
16 1 312
1732
34 32
372
18
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) [ ] [ ][ ]
[ ]
− − + + − − + + +
= − − − − + − + − − − − − + ⋅ − + − +
= − − + + + − + + − − +
= + − + − +
= − + −
= − − = −+
= − = −
x y x y x y m b x y n2 2
2 2
12
3
2 1 2 1 2 1 3 313
2 112
2 1 4 1 5 1 2 112
1 5 4 312
1 2052
1952
38 52
432
21
13.13.13.13.13. ( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
[ ][ ] [ ]
3 2 2 4 42
3 2 2 1 212
4 3 4 2 12 1
2
6 2 1 12 4 4 12 12
4 11 161
2
44 1612
6012
60
2 2
2 2
12
x y n m x yx y
− − + −−
= − − − ⋅ − ⋅
+ − − −− − −
= − + − + ⋅ ⋅ −− +
= − − + −−
= + + = + =
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ][ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )
x x y m x y x y n x y m n2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 1 3 2 1 2 112
2 1 3 212
4 1 1 2 1 4 112
2 1 9 1 4 2 1 512
3 8 892
9 8 8092
160 92
− + − − + − + + −
= − − − − + − − − − − + − −
+ − + − − ⋅
= + − − + + −
+ − − − = ⋅ − − −
+ − = + + ⋅ = + =+
= =169
284 1
2
16.16.16.16.16. ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]
[ ]
3 2 32 4
3 22
2 13
3121
312
2 2 1 4 323
32
6 2 8 1 4
94 9
62 5 9
136
10 19136
114 136
1276
21
3 2 3 2
16
ax
ym
ny
mn
x y+ + − + − + =⋅
−+
−+
⋅
−− + − − − + = − − − − + − − +
= − −+
+ − = − − − = − − = −+
= − = −
14.14.14.14.14.
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
43 2
1 1
4 23 1
2
2 1
112
113
2 2 3
83
82 1
2 3 2 16 383
8 1 2 13
83
21 283
238 69
3773
25
3
34
3
34
23
xy
xy n b
x x m−+
+ −
+ −
=−−
−−
+ −+ −
− + − −
=−−
−−−
+ − − + − = + + − − +
= + + = + =+
= =
1. 1. 1. 1. 1. 7 8 9 10
5 2 1 4
am am am am↓ ↓ ↓ ↓
+ + − −! ! ! !
3. 3. 3. 3. 3. x xy xxy y x y
x y y Rta
2 2
2 2 2
2 2 2
33
−
− − +
−4. 4. 4. 4. 4. 3 5 6
3 8 6
3
2
2
x xx x Rta
x
− +− + −
5. 5. 5. 5. 5. 3 2 3 8
2 3 5 8 5
2 3 8 2 5 13
2
2
2 2
a aa a a
a a a a Rta
− +
− + +
− + + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )[ ]{ }( )[ ]{ }
[ ]{ }{ }
− − − + − − +
= − − − + − − −
= − − − + − + +
= − − − − − = − + + + = +
3 4 5 6
3 4 5 6
3 4 5 6
3 3 6 6 3 3 6 6 6 6
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
EJERCICIO 61
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )( )( )
( )
x y x y x y
x xy xy y x y x y
x y x xy y
x y x xy yxy y
+ − − +
= − + − − + +
= − − + +
= − − − −
= − −
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( ) ( )
( )
a b c
a b c bc b
a
= = =
+ − − +−
−
= + − − +−
−
= ⋅ − − +−−
= + + = + =
2 3 1
3 4
3 2 3 4 1 31 3
2
3 5 4 222
15 8 1 23 1 24
9. 9. 9. 9. 9. 3 5 2 5 6
3 5
2 3 6 6
2 3 6
6
3 3
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
x y x xy yx xy y x xy
x xy y x y
x xy yx y
x xy Rta
− + +
− + − − −
+ − +
+ −
+
+
10. 10. 10. 10. 10. 2
3
1
2
1
51
2
3
42
1
3
1
4
1
101
2
3
8
3
204
3
2
5
1
3
1
4
193
120
23
20
2
5
2 2
2 2
4 3 2 2
3 2 2 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
a ab b
a ab b
a a b a b
a b a b ab
a b ab b
a a b a b ab b
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
+ − + −
11. 11. 11. 11. 11. x x x
x x x
x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
5 3 2
4 2
3
5 4 3 2 2
5 4 3 3
3 2
3 2
2
2
5
2 2 10
6 6 30
2 5 7 16 30 2 6
2 6 5
7 16
2 6
5 10 30
5 10 30
− +
− + −
+ − +
− + + − + − +
− + − − +
− + −
+ − +
− +
− + −
12. 12. 12. 12. 12. 1
4
1
90
1
15
1
2
1
31
4
1
6
1
2
1
3
1
5
1
6
1
901
6
1
9
1
2
1
5
1
10
1
15
1
2
1
3
1
5
1
10
1
15
3 1
3
4
3
3 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 3 2 2
2 3
a ab b a b
a a b a ab b
a b ab
a b ab a ab b
ab b a ab b
ab b ab ab
− + +
− − − +
− −
+ + +
+ − + −
− −+
=
13. 13. 13. 13. 13. − − − +
+ − − +
− − +
− +
− +
− +
− + −
+ − +
− + − +
3
2 3 2 2
2 2 3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
4 4 3 3
2 3 3 2 3
2 2 3 2 3
2 3 3 2 3
3 2 3
2 2
5 4 2 3
4 3 2 4
3 2 2 3 5
5 4 3 2 4 5
ab b a a b b
a b ab b a b b
a b b a a b b
a a b b
a ab b
a a b a b
a b a b ab
a b a b b
a a b a b ab b
14. 14. 14. 14. 14. x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x
3 2
2 3 2
2 3 2
3 2 3 2
3 2 2
3 2
2
2
5 4
6 6 3 2 16 5 12
8 8 3 19 6
19 6 3 12
3 12 3
3 4
4 4 12
4 4 12
− +
− − + − + +
− + − − + −
− + + − +
+ − + − +
− + − +
− +
− + −
15.15.15.15.15. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 1 2 3 3 10 2 3 1
4 4 1 5 2 6 3 10 6 2
4 5 4 4 5 2 6 3 10 6 23 10 6 2 3 10 6 2
2 2 2 2 2
2 2 4 3 2 3 2
2 3 3 2 3 2
3 2 3 2
+ + − − + − = + + −
+ + + − + − − + = + + −
+ + + − + + − = + + −
+ + − = + + −
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x xx x x x x x
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
x y
x y x y x y x y
= − =
+ − + + −
= − + − − + − + − −
= − − + − −= ⋅ + ⋅ = + =
2 1
2
2 1 2 1 2 2 1 2 1
1 3 2 1 31 9 2 3 9 6 15
2 2
2 2
2 2
17. 17. 17. 17. 17. x x
x x x
x x x Rta
x x x x
2
2
2
2 2
2 8
4 4 6
6 4 8 3
4 6 5 4 3
+ +
+ + +
− − −
+ + − +
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]{ } [ ]{ } [ ]
− + − + − + − + − −
= − − + − − = − + − +
= − − = −= − + = −
−−
−
3 2 2
3 2 2 2
2 3 2 22 3 4
42 3
2 7
a b a a b a b a b
a b a a b a b a b
a b ba b b
ba b
a b Rta
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] [ ]
[ ]
5 3 8 2
5 3 8 2
5 2 8 35 2 53
53
15 3
5
15 2
2
2
2 2
x x x y x x x y
x x x y x x x y
x x y x x yx x y x yx y
x yx y
x xyxy y
x xy y Rta
+ − − − + − + − +
= + − − + = + − − +
= + − − = − += − − = += −
+−
+
− −
− −
20.20.20.20.20.
( )[ ][ ]
[ ]
14
124
512
13
12
14
14
18
12
12
13
16
112
13
16
112
13
2 5 4
2 512
13
2 68 1
23 1
3
2 692
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3
x x y xy y x xy y
x x y xy x y
x y xy y
x y xy y
x x x y x y
x x x y x y
x x y x y
x x y x
+ + + − +
− + − +
− +
− + −
+ − − − − +
= + − − + − −
= + − + −+
+−
= − + − +23
4
y Rta
x y= − +
21. 21. 21. 21. 21. ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ]x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x
2 2 2 2
2 2 4 3 2
4 3 2 3 2 2 4 3 2
4 3 2 4 3 2
3 2 3 4 4 7 6
3 2 3 4 4 7 6
3 3 3 9 2 2 6 4 4 7 64 4 7 6 4 4 7 6
− + + − + = − + − +
− − − + = − + − −
− + − + − − + − = − + − −
− + − − = − + − −
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]x x y x x y x y x y
x xy x xy x y x yxy x y
x y x y xyxy x y xy Rta
x y xy x y xy
+ − − + − −
= + − + = + − +
= = − +
− + − +
−
− + +
2 3
2 2 3 3
2 5
5 2 10
2 4 7
2 10 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 3 3
3 3
3 3 3 3
23.23.23.23.23. x y x y x xy y
x x y x xy y x xy y
x y x x y x y
x y xy x y x y xy
xy x y xy y
xy y x x y x y xy y Rta
3 3 2 2
3 2 2 2 2 2
2 4 3 2 2
2 2 3 2 2 3
2 2 2 3 4
2 3 4 3 2 2 3 4
3
3
3
3
4 3 2
− − + −
− + + + + +
+ −
− + + + −
+ + −
− + + + + −
24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )( )[ ]
[ ]
x y x xy y x y x xy y
x x y xy x y xy y x x y xy x y xy y
x y x y
x y x yy
− + + − + − +
= + + − − − − − + + − +
= − − +
= − − −
= −
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3
3 3 3 3
3 3 3 3
32
25. 25. 25. 25. 25.
( ) ( )
( ) ( )
a b c
abc
b ab
ac b
cb
= = =
+ − − −
=⋅
+ −⋅
− −
= + ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅
= + − =+ −
=−
= −
4 9 25
29
3
4 925
2 9 49 94
3 25 9259
3625
2 58116
3 1653
65
1094
4853
65
452
8012 225 800
1056310
56
2
2
310
26. 26. 26. 26. 26. x x x x x x
x x x
x
x x x
x x x Rta
x
x
3 2 2
3 2 2
2
2
3 4 12 3 4 2
3 4
4 12
4 12 4 2
2 2
2 4
2 4
+ − − + − = −
− − −
− −
+ + − −
+ +
−− +
?
27. 27. 27. 27. 27. ( )( ){ } ( ){ }[ ]( ){ } { }[ ]
{ } [ ]( ) ( )
( )
4 3 4 3
4 3 4 3 2
4 3 4 3 6 5 1
4 4 4 3 6 2 5 2 1
6 5 1 6 4 10 124 10 1 33
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
x x x x x x
x x x x x x Si x
x x x x x x x x
x x x x x
x x
− − − + + − + −
= − − − − + − − = −
= − − + + + − + − −
= − + − + − + = − − − −
= − − = + −= + − =
29.29.29.29.29. ( )( )( ) ( ) ( )[ ]( )( ) [ ]
( )( ) [ ]
a b a b a b a a a a a b
a b a ab ab b a a a a a b
a b a b a b
a a b a b b a ba b a b
2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
4 2 2 2 2 4 4 4
4 4 4 4
3 2 2 4 1
3 2 4 4 4
+ + − = − + + − + − +
+ − + − = − + + − − − +
+ − = −
− + − = −
− = −
EJERCICIO 62
28. 28. 28. 28. 28. x x
x x x x Rta
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
2
2 4 3
4 3 2 3 2
2 4 3 2
4 3 2
7 5
9 11 21
7 5 18 14 84 45
9 63 45 7 14 63 45
7 14 63 45
+ −
− − +
+ − − − +
− − + + − − +
+ − − +
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )[ ][ ][ ]
3 3 4 3
5 6 3 4 3
5 3 2 1
2 1
5 3 21 2 1
5 2 1
2
3 2 2
3 2 2
2
3 2 2
2
3 2
− + − + − − +
+ − = − − + + −
+ − = − − +
= − + −
+ − − ++ − + −
+ + − +
x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x xx x x
x x x Rta x
1. 1. 1. 1. 1. ( )m m m+ = + +3 6 92 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )5 25 102 2+ = + +x x x
3.3.3.3.3.( )6 36 122 2 2a b a ab b+ = + +
4. 4. 4. 4. 4. ( )9 4 81 72 162 2+ = + +m m m
5. 5. 5. 5. 5. ( )7 11 49 154 1212 2x x x+ = + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )x y x xy y+ = + +2 2 22
7. 7. 7. 7. 7. ( )1 3 1 6 92 2 2 4+ = + +x x x
8.8.8.8.8. ( )2 3 4 12 92 2 2x y x xy y+ = + +
9.9.9.9.9. ( )a x by a x a xby b y2 2 2 4 2 2 2 2 42+ = + +
EJERCICIO 63
10. 10. 10. 10. 10. ( )3 8 9 48 643 4 2 6 3 4 8a b a a b b+ = + +
11.11.11.11.11. ( )4 5 16 40 255 6 2 10 5 6 12m n m m n n+ = + +
12. 12. 12. 12. 12. ( )7 5 49 70 252 3 4 2 4 6 2 3 4 8a b x a b a b x x+ = + +
13. 13. 13. 13. 13. ( )4 5 16 40 252 3 2 2 4 2 3 2 6ab xy a b ab xy x y+ = + +
14. 14. 14. 14. 14. ( )8 9 64 144 812 3 2 4 2 2 3 6x y m x y x ym m+ = + +
15. 15. 15. 15. 15. ( )x y x x y y10 12 2 20 10 12 2410 20 100+ = + +
16. 16. 16. 16. 16. ( )a a a a am n m m n n+ = + ++2 2 22
17. 17. 17. 17. 17. ( )a b a a b bx x x x x x+ = + ++ + +1 2 2 1 2 22
18. 18. 18. 18. 18. ( )x y x x y ya x a a x x+ − + + − −+ = + +1 2 2 2 2 1 2 2 42
1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a− = − +3 6 92 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x− = − +7 14 492 2
3. 3. 3. 3. 3. ( )9 81 182 2− = − +a a a
4. 4. 4. 4. 4. ( )2 3 4 12 92 2 2a b a ab b− = − +
5. 5. 5. 5. 5. ( )4 1 16 8 12 2 2ax a x ax− = − +
6. 6. 6. 6. 6. ( )a b a a b b3 3 2 6 3 3 62− = − +
7. 7. 7. 7. 7. ( )3 5 9 30 254 2 2 8 4 2 4a b a a b b− = − +
8. 8. 8. 8. 8. ( )x x x2 2 4 21 2 1− = − +
9. 9. 9. 9. 9. ( )x ay x ax y a y5 2 2 10 5 2 2 43 6 9− = − +
10. 10. 10. 10. 10. ( )a b a a b b7 7 2 14 7 7 142− = − +
11. 11. 11. 11. 11. ( )2 3 4 12 92 2 2m n m mn n− = − +
12. 12. 12. 12. 12. ( )10 9 100 180 813 5 2 6 4 5 2 10x xy x x y x y− = − +
13. 13. 13. 13. 13. ( )x y x x y ym n m m n n− = − +2 2 22
14. 14. 14. 14. 14. ( )a a ax x x− − −− = − +2 2 2 4 25 10 25
15. 15. 15. 15. 15. ( )x x x x xa a a a a+ − + − −− = − +1 2 2 2 2 2 1 2 43 6 9
EJERCICIO 64
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y x y x y+ − = −2 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )m n m n m n− + = −2 2
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )a x x a a x− + = −2 2
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x a x a x a2 2 2 2 4 4+ − = −5. 5. 5. 5. 5. ( )( )2 1 1 2 4 12a a a− + = −
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )n n n− + = −1 1 12
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )1 3 3 1 1 9 2 2− + = −ax ax a x
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )2 9 2 9 4 812m m m+ − = −
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a b a b a b3 2 3 2 6 4− + = −
10.10.10.10.10. ( )( )y y y y y y2 2 4 23 3 9− + = −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )1 8 8 1 1 64 2 2− + = −xy xy x y
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )6 6 362 2 2 2 4 4 2x m x x m x x m x− + = −
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a b a b a bm n m n m n+ − = −2 2
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )3 5 5 3 9 252 2x y y x x ya m m a a m− + = −
15.15.15.15.15. ( )( )a b b a a bx x x x x x+ − − + + −− + = −1 1 1 1 2 2 2 22 2 4
EJERCICIO 65
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y z x y z x xy y z+ + + − = + + −2 2 22
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x y z x y z x y yz z− + + − = − + −2 2 22
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x y z x y z x y yz z+ + − − = − − −2 2 22
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )m n m n m mn n+ + + − = + + −1 1 2 12 2
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )m n m n m n mn− − − + = + − −1 1 2 12 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )x y x y x y y+ − − + = − + −2 2 4 42 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )n n n n n n n2 2 4 22 1 2 1 4 4 1+ + − − = − − −
EJERCICIO 66
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )a a a a a a2 2 4 22 3 2 3 2 9− + + + = + +
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )m m m m m m2 2 4 21 1 3 1− − + − = − +10. 10. 10. 10. 10. ( )( )2 2 4 42 2 2a b c a b c a ab b c− − − + = − + −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )2 2 4 22 2 2x y z x y z x y yz z+ − − + = − + −
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )x x x x x x x2 2 4 25 6 5 6 25 60 36− + + − = − + −
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a ab b a b ab a a b b2 2 2 2 4 2 2 4− + + + = + +
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )x x x x x x x x x x3 2 3 2 6 4 3 22− − + + = − − −
1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a a+ = + + +2 6 12 83 3 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )x x x x− = − + −1 3 3 13 3 2
3. 3. 3. 3. 3. ( )m m m m+ = + + +3 9 27 273 3 2
4. 4. 4. 4. 4. ( )n n n n− = − + −4 12 48 643 3 2
5. 5. 5. 5. 5. ( )2 1 8 12 6 13 3 2x x x x+ = + + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )1 3 1 9 27 273 2 3− = − + −y y y y
7. 7. 7. 7. 7. ( )2 8 12 62 3 2 4 6+ = + + +y y y y
8.8.8.8.8. ( )1 2 1 6 12 83 2 3− = − + −n n n n
9. 9. 9. 9. 9. ( )4 3 64 144 108 273 3 2n n n n+ = + + +
10. 10. 10. 10. 10. ( )a b a a b a b b2 3 6 4 2 2 32 6 12 8− = − + −11. 11. 11. 11. 11. ( )2 3 8 36 54 27
3 3 2 2 3x y x x y xy y+ = + + +
12. 12. 12. 12. 12. ( )1 1 3 32 3 2 4 6− = − + −a a a a
EJERCICIO 67
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )a a a a+ + = + +1 2 3 22
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x+ + = + +2 4 6 82
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x x+ − = + −5 2 3 102
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )m m m m− − = − +6 5 11 302
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )x x x x+ − = + −7 3 4 212
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )x x x x+ − = + −2 1 22
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )x x x x− − = − +3 1 4 32
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )x x x x− + = − −5 4 202
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a a a a− + = − −11 10 1102
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )n n n n− + = − −19 10 9 1902
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )a a a a2 2 4 25 9 4 45+ − = − −
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )x x x x2 2 4 21 7 8 7− − = − +
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )n n n n2 2 4 21 20 19 20− + = + −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )n n n n3 3 6 33 6 3 18+ − = − −
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )x x x x3 3 6 37 6 42+ − = + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )a a a a4 4 8 48 1 7 8+ − = + −
17.17.17.17.17.( )( )a a a a5 5 10 52 7 5 14− + = + −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )a a a a6 6 12 67 9 2 63+ − = − −19. 19. 19. 19. 19. ( )( )ab ab a b ab+ − = − −5 6 302 2
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )xy xy x y xy2 2 2 4 29 12 3 108− + = + −
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )a b a b a b a b2 2 2 2 4 4 2 21 7 6 7− + = + −
22.22.22.22.22.( )( )x y x y x y x y3 3 3 3 6 6 3 36 8 2 48− + = + −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )a a a ax x x x− + = + −3 8 5 242
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )a a a ax x x x+ + + +− − = − +1 1 2 2 16 5 11 30
EJERCICIO 68
1. 1. 1. 1. 1. ( )x x x+ = + +2 4 42 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x+ + = + +2 3 5 62
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x+ − = −1 1 12
4. 4. 4. 4. 4. ( )x x x− = − +1 2 12 2
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )n n n n+ + = + +3 5 8 152
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )m m m− + = −3 3 92
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )a b a b a ab b+ − + + = + + −1 1 2 12 2
8. 8. 8. 8. 8. ( )1 1 3 33 2 3+ = + + +b b b b
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )a a a2 2 44 4 16+ − = −
10. 10. 10. 10. 10. ( )3 5 9 30 252 2 2 2 2 4ab x a b abx x− = − +11. 11. 11. 11. 11. ( )( )ab ab a b+ − = −3 3 9 2 2
12. 12. 12. 12. 12. ( )1 4 1 8 162 2 2− = − +ax ax a x
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a a a a2 2 4 28 7 56+ − = + −14. 14. 14. 14. 14. ( )( )x y x y x y y+ + − − = − − −1 1 2 12 2
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )1 1 1 2− + = −a a a
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )m m m m− + = + −8 12 4 962
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )x x x x2 2 4 21 3 2 3− + = + −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )x x x x3 3 6 36 8 2 48+ − = − −
19. 19. 19. 19. 19. ( )5 6 25 60 363 4 2 6 3 4 8x m x x m m+ = + +
EJERCICIO 69
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )x x x x4 4 8 42 5 3 10− + = + −21. 21. 21. 21. 21. ( )( )1 1 1 22 2− + − − = − + − +a b b a a ab b
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )a b a b a bx n x n x n+ − = −2 2
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )x x x xa a a a+ + + +− + = − −1 1 2 2 18 9 72
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )a b c a b c a b c2 2 2 2 2 2 4 4 4+ − = −
25. 25. 25. 25. 25. ( )2 8 12 63 3 2 2 3a x a a x ax x+ = + + +
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x x x x2 2 4 211 2 13 22− − = − +
27. 27. 27. 27. 27. ( )2 5 4 20 253 4 2 6 3 4 8a b a a b b− = − +
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )a a a a3 3 6 312 15 3 180+ − = − −
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )m m n n m m m m n n m2 2 4 2 2 22− + + + = + + −
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )x x x x4 4 8 47 11 4 77+ − = − −
31. 31. 31. 31. 31. ( )11 121 222 2 2− = − +ab ab a b
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )x y x y x y x y2 3 2 3 4 6 2 38 6 2 48− + = − −
33.33.33.33.33. ( )( )( )a b a b a b a a b b+ − − = − +2 2 4 2 2 42
34. 34. 34. 34. 34. ( )( )( )x x x x x+ − − = − +1 1 2 3 22 4 2
35. 35. 35. 35. 35. ( )( )( )a a a a+ + − = −3 9 3 812 4
36. 36. 36. 36. 36. ( )( )( )x x x x x+ − + = − −5 5 1 24 252 4 2
37. 37. 37. 37. 37. ( )( )( )( )a a a a a a+ − + − = − +1 1 2 2 5 44 2
38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )a a a a a a+ − − + = − +2 3 2 3 13 364 2
1. 1. 1. 1. 1. x
xx
2 1
11
−+
= −
2. 2. 2. 2. 2. 1
11
2−−
= +x
xx
3. 3. 3. 3. 3. x y
x yx y
2 2−+
= −
4. 4. 4. 4. 4. y x
y xy x
2 2−−
= +
5. 5. 5. 5. 5. x
xx
2 4
22
−+
= −
6. 6. 6. 6. 6. 9
33
4
22−
−= +
x
xx
7. 7. 7. 7. 7. a b
a ba b
2 24
22
−+
= −
8. 8. 8. 8. 8. 25 36
5 65 6
4
22−
−= +
x
xx
9. 9. 9. 9. 9. 4 9
2 32 3
2 2 4
22x m n
x mnx mn
−+
= −
10. 10. 10. 10. 10. 36 49
6 76 7
2 2 4
22m n x
m nxm nx
−−
= +
11. 11. 11. 11. 11. 81 100
9 109 10
6 8
3 43 4a b
a ba b
−+
= −
12. 12. 12. 12. 12. a b x y
a b x ya b x y
4 6 8 10
2 3 4 52 3 4 54
22
−+
= +
13. 13. 13. 13. 13. x y
x yx y
n n
n nn n
2 2−+
= −
14. 14. 14. 14. 14. a
aa
x
xx
2 2
11100
1010
+
++−
−= +
15. 15. 15. 15. 15. 1 9
1 31 3
2 4
22−
+= −
+
++x
xx
m
mm
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )x y zx y z
x y z+ −+ −
= + +2 2
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )
11
12
− ++ +
= − −a ba b
a b
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )
42
22
− ++ +
= − −m nm n
m n
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )
x x yx x y
y2 2
− −+ −
=
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )a xa x
a x+ −+ +
= + −2
93
3
EJERCICIO 70
1. 1. 1. 1. 1. 1
11
32+
+= − +
a
aa a
2. 2. 2. 2. 2. 1
11
32−
−= + +
a
aa a
3. 3. 3. 3. 3. x y
x yx xy y
3 32 2+
+= − +
4. 4. 4. 4. 4. 8 1
2 14 2 1
32a
aa a
−−
= + +
5. 5. 5. 5. 5. 8 27
2 34 6 9
3 32 2x y
x yx xy y
++
= − +
6. 6. 6. 6. 6. 27 125
3 59 15 25
3 32 2m n
m nm m n
−−
= + +
7. 7. 7. 7. 7. 64 343
4 716 28 49
32a
aa a
++
= − +
8. 8. 8. 8. 8. 216 125
6 536 30 25
32−
−= + +
y
yy y
9. 9. 9. 9. 9. 1
11
3 32 2+
+= − +
a b
abab a b
10. 10. 10. 10. 10. 729 512
9 881 72 64
32−
−= + +
b
bb b
11. 11. 11. 11. 11. a x b
ax ba x axb b
3 3 32 2 2+
+= − +
12. 12. 12. 12. 12. n m x
n mxn nmx m x
3 3 32 2 2−
−= + +
13. 13. 13. 13. 13. x y
x yx x y y
6 3
24 2 227
33 9
−−
= + +
14. 14. 14. 14. 14. 8
24 2
9 9
3 36 3 3 6a y
a ya a y y
++
= − +
15. 15. 15. 15. 15. 1
11
12
44 8−
−= + +
x
xx x
16. 16. 16. 16. 16. 27 1
3 19 3 1
6
24 2x
xx x
++
= − +
17. 17. 17. 17. 17. 64
416 4
3 9
32 3 6a b
a ba ab b
++
= − +
18. 18. 18. 18. 18. a b
a ba a b b
6 6
2 24 2 2 4−
−= + +
19. 19. 19. 19. 19. 125 343
5 725 35 49
15
55 10−
−= + +
x
xx x
20. 20. 20. 20. 20. n
nn n
6
24 21
11
++
= − +
EJERCICIO 71
1. 1. 1. 1. 1. x y
x yx x y xy y
4 43 2 2 3−
−= + + + 2. 2. 2. 2. 2.
m n
m nm m n m n mn n
5 54 3 2 2 3 4+
+= − + − +
3. 3. 3. 3. 3. a n
a na a n a n an n
5 54 3 2 2 3 4−
−= + + + +
4. 4. 4. 4. 4. x y
x yx x y x y x y xy y
6 65 4 3 2 2 3 4 5−
+= − + − + −
5. 5. 5. 5. 5. a b
a ba a b a b a b ab b
6 65 4 3 2 2 3 4 5−
−= + + + + +
6. 6. 6. 6. 6. x y
x yx x y x y x y x y xy y
7 76 5 4 2 3 3 2 4 5 6+
+= − + − + − +
7. 7. 7. 7. 7. a m
a ma a m a m a m a m am m
7 76 5 4 2 3 3 2 4 5 6−
−= + + + + + +
8. 8. 8. 8. 8. a b
a ba a b a b a b a b a b ab b
8 87 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7−
+= − + − + − + −
9. 9. 9. 9. 9. x y
x yx x y x y x y x y x y x y x y xy y
10 109 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9−
−= + + + + + + + + +
10. 10. 10. 10. 10. m n
m nm m n m n m n m n m n m n mn n
9 98 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8+
+= − + − + − + − +
11. 11. 11. 11. 11. m n
m nm m n m n m n m n m n m n mn n
9 98 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8−
−= + + + + + + + +
12. 12. 12. 12. 12. a x
a xa a x a x a x a x a x a x a x ax x
10 109 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9−
+= − + − + − + − + −
13. 13. 13. 13. 13. 1
11
52 3 4−
−= + + + +
n
nn n n n 14. 14. 14. 14. 14.
1
11
62 3 4 5−
−= + + + + +
a
aa a a a a
15. 15. 15. 15. 15. 1
11
72 3 4 5 6+
+= − + − + − +
a
aa a a a a a
16. 16. 16. 16. 16. 1
11
82 3 4 5 6 7−
+= − + − + − + −
m
mm m m m m m m
17. 17. 17. 17. 17. x
xx x x
43 216
22 4 8
−−
= + + +
18. 18. 18. 18. 18. x
xx x x x x
65 4 3 264
22 4 8 16 32
−+
= − + − + −
19. 19. 19. 19. 19. x
xx x x x x x
76 5 4 3 2128
22 4 8 16 32 64
−−
= + + + + + +
20. 20. 20. 20. 20. a
aa a a a
54 3 2243
33 9 27 81
++
= − + − +
21. 21. 21. 21. 21. x
xx x x x x
65 4 3 2729
33 9 27 81 243
−−
= + + + + +
22. 22. 22. 22. 22. 625
5125 25 5
42 3−
+= − + −
x
xx x x 23. 23. 23. 23. 23.
m
mm m m m m m m
87 6 5 4 3 2256
22 4 8 16 32 64 128
−−
= + + + + + + +
24. 24. 24. 24. 24. x
xx x x x x x x x x
109 8 7 6 5 4 3 21
11
−−
= + + + + + + + + + 25. 25. 25. 25. 25. x y
x yx x y x y xy y
5 54 3 2 2 3 4243
33 9 27 81
++
= − + − +
26. 26. 26. 26. 26. 16 81
2 38 12 18 27
4 43 2 2 3a b
a ba a b ab b
−−
= + + +
27. 27. 27. 27. 27. 64 729
2 332 48 72 108 162 243
6 65 4 3 2 2 3 4 5m n
m nm m n m n m n mn n
−+
= − + − + +
28. 28. 28. 28. 28. 1 024 1
2 1512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
109 8 7 6 5 4 3 2. x
xx x x x x x x x x
−−
= + + + + + + + + +
29. 29. 29. 29. 29. 512
2256 128 64 32 16 8 4 2
9 98 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8a b
a ba a b a b a b a b a b a b ab b
++
= − + − + − + − +
30. 30. 30. 30. 30. a
aa a a a a
65 4 3 2729
33 9 27 81 243
−−
= + + + + +
EJERCICIO 72
1. 1. 1. 1. 1. x y
x yx x y y
6 6
2 24 2 2 4+
+= − +
2. 2. 2. 2. 2. a b
a ba a b a b b
8 8
2 26 4 2 2 4 6−
+= − + −
3. 3. 3. 3. 3. m n
m nm m n m n m n n
10 10
2 28 6 2 4 4 2 6 8−
−= + + + +
4. 4. 4. 4. 4. a b
a ba a b a b b
12 12
3 39 6 3 3 6 9−
+= − + −
5. 5. 5. 5. 5. a x
a xa a x a x x
12 12
3 39 6 3 3 6 9−
−= + + +
6. 6. 6. 6. 6. x y
x yx x y x y x y y
15 15
3 312 9 3 6 6 3 9 12+
+= − + − +
7. 7. 7. 7. 7. m
mm m
12
48 41
11
++
= − +
EJERCICIO 73
8. 8. 8. 8. 8. m n
m nm m n m n n
16 16
4 412 8 4 4 8 12−
−= + + +
9. 9. 9. 9. 9. a b
a ba a b a b a b a b b
18 18
3 315 12 3 9 6 6 9 3 12 15−
+= − + − + −
10. 10. 10. 10. 10. x y
x yx x y x y y
20 20
5 515 10 5 5 10 15−
+= − + −
11. 11. 11. 11. 11. m n
m nm m n m n m n m n m n n
21 21
3 318 15 3 12 6 9 9 6 12 3 15 18+
+= − + − + − +
12. 12. 12. 12. 12. x
xx x x
24
618 12 61
11
−−
= + + +
13. 13. 13. 13. 13. a b
a ba a b a b a b b
25 25
5 520 15 5 10 10 5 15 20+
+= − + − +
14 14 14 14 14 a m
a ma a m a m a m m
30 30
6 624 18 6 12 12 6 18 24−
−= + + + +
4. 4. 4. 4. 4. x y
x yx x y y
6 3
24 2 227
33 9
−−
= + +
5. 5. 5. 5. 5. x y
x yx y
6 6
3 33 349
77
−+
= −
6. 6. 6. 6. 6. a b
a ba a b a b a b a b a b b
14 14
2 212 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12−
−= + + + + + +
1. 1. 1. 1. 1. x
xx
4
221
11
−+
= −
2. 2. 2. 2. 2. 8
24 2
3 6
22 2 4m n
m nm mn n
++
= − +
3. 3. 3. 3. 3. 1
11
52 3 4−
−= + + + +
a
aa a a a
7. 7. 7. 7. 7. 1
11
32+
+= − +
a
aa a
8. 8. 8. 8. 8. 16 25
4 54 5
2 4 6
2 32 3x y m
xy mxy m
−+
= −
9. 9. 9. 9. 9. x y
x yx x y x y x y x y x y x y x y y
27 27
3 324 21 3 18 6 15 9 12 12 9 15 6 18 3 21 24+
+= − + − + − + − +
10. 10. 10. 10. 10. a y
a ya a y y
27 27
9 918 9 9 18+
+= − +
11. 11. 11. 11. 11. a b x
a b xa b x
4 4 6
2 2 32 2 364
88
−+
= −
12. 12. 12. 12. 12. 1
11
2 4 8
2 42 4−
−= +
a b c
ab cab c
13. 13. 13. 13. 13. 32 243
2 316 24 36 54 81
5 54 3 2 2 3 4x y
x yx x y x y xy y
++
= − + − +
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )
25 15 1
42
− ++ +
= −aa
a
15. 15. 15. 15. 15. 1
11
12
44 8−
−= + +
x
xx x
EJERCICIO 74
16.16.16.16.16.64 343
4 716 28 49
6 9
2 34 2 3 6x y
x yx x y y
−−
= + +
17. 17. 17. 17. 17. a b
a ba a b a b a b a b b
18 18
3 315 12 3 9 6 6 9 3 12 15−
+= − + − + −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )a x ya x y
a x y+ −+ −
= + +2 2
19. 19. 19. 19. 19. 1
11
1110 9 8 7 6 5 4 3 2+
+= − + − + − + − + − +
x
xx x x x x x x x x x
20. 20. 20. 20. 20. x y
x yx x y x y x y y
40 40
8 832 24 8 16 16 8 24 32−
−= + + + +
21. 21. 21. 21. 21. 9 36
3 63 6
10
55−
+= −
x
xx
22. 22. 22. 22. 22. x
xx x x x x x x
87 6 5 4 3 2256
22 4 8 16 32 64 128
−−
= + + + + + + +
1.1.1.1.1. x x x2
2
2 3 1
1 2 1 3
1 2 3 2
− + ÷ −
= − ⋅ += − + =
4.4.4.4.4.( ) ( ) ( )
( )
a a a a4 3 2
4 3 2
5 2 6 3
3 5 3 2 3 6
81 5 27 2 9 681 135 18 6 228
− + − ÷ +
= − − − + − −
= − − + ⋅ −= + + − =
7. 7. 7. 7. 7. a a a a5 3
5 3
2 2 4 5
5 2 5 2 5 4
3 125 2 125 10 4
3 125 250 10 4 2 881
− + − ÷ −
= − ⋅ + ⋅ −= − ⋅ + −= − + − =
.
. .
10.10.10.10.10.15 11 10 18 3 2
1523
1123
1023
18
15827
1149
203
18
409
449
203
18
40 44 60 1629
189
2
3 2
3 2
x x x x− + + ÷ +
= −
− −
+ −
+
= −
− ⋅ − +
= − − − +
=− − − +
= =
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( ) ( )x x x x3 2
3 2
3 2 2 1
1 3 1 2 1 21 3 2 2 8
− + − ÷ +
= − − − + − −= − − − − = −
5. 5. 5. 5. 5. m m m m4 3 2
4 3 2
5 4
4 4 4 5
256 64 16 5 309
+ − + ÷ −
= + − += + − + =
8. 8. 8. 8. 8. 6 3 5 2 1
612
12
312
5
618
14
32
534
14
32
5
3 1 6 204
124
3
3 2
3 2
x x x x+ + + ÷ +
= −
+ −
+ −
+
= −
+ − + = − + − +
=− + − +
= =
11. 11. 11. 11. 11.5 12 9 22 21 5 2
525
1225
925
2225
21
516625
128
1259
425
445
21
16125
96125
3625
445
21
80125
3625
445
21
80 180 1 100 2 625125
1 625125
13
4 3 2
4 3 2
x x x x x− + − + ÷ −
=
−
+
−
+
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − +
= − + − +
= − + − +
=− + − +
= =. . .
3. 3. 3. 3. 3. x x x4 3
4 3
5 2
2 2 5
16 8 5 13
− + ÷ −
= − += − + =
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
x x x x x x5 4 3 2
5 4 3 2
3 2 4 2 2 3
3 3 3 2 3 4 3 2 3 2
243 3 81 2 27 4 9 6 2243 243 54 36 8 98
+ − + − + ÷ +
= − + − − − + − − − +
= − + ⋅ − − + ⋅ + += − + + + + =
9. 9. 9. 9. 9. 12 21 90 3 3
12 1 21 1 90
12 21 90 81
3
3
x x x− + ÷ −
= ⋅ − ⋅ += − + =
12. 12. 12. 12. 12. a a a a a6 4 2
6 4 2
8 4 1 2 3
32
32
832
432
1
72964
8116
894
122
1
72964
8116
18 6 172964
8116
23
729 324 1 47264
41964
+ − + + ÷ +
= −
+ −
− −
+ −
+
= + − ⋅ − +
= + − − + = + −
=+ −
= −.
1. 1. 1. 1. 1. x x x
x s
2 7 5 3
1 7 5 3
3 12
1 4 7
4 7
− + ÷ −−
−
− −= − −Re .
2. 2. 2. 2. 2. a a a
a s
2 5 1 2
1 5 1 2
2 14
1 7 15
7 15
− + ÷ +− −−
−= − Re .
3. 3. 3. 3. 3. x x x x
x x s
3 2
2
2 2 1
1 1 2 2 1
1 2 4
1 2 4 6
2 4 6
− + − ÷ +− − −− −
− −
= − + −Re .
4. 4. 4. 4. 4. x x x x
x s
3 2
2
2 2 2
1 2 1 2 2
2 0 2
1 0 1 0
1 0
− + − ÷ −− −
= + Re .
5. 5. 5. 5. 5. a a a
a a s
3 2
2
3 6 3
1 3 0 6 3
3 18 54
1 6 18 60
6 18 60
− − ÷ +− − −− −
− −
= − + −Re .
EJERCICIO 76
1. 1. 1. 1. 1. x x x2 6 3− − ÷ −Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)Exacta (6 múltiplo de 3)
2. 2. 2. 2. 2. x x x x3 24 10 2+ − − ÷ +Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)Exacta (10 múltiplo de 2)
3. 3. 3. 3. 3. 2 5 7 9 3 14 3 2x x x x x− + − + ÷ −Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)Inexacta (1 no anula el polinomio)
4. 4. 4. 4. 4. x x x x x5 4 35 7 8 3+ − − + ÷ +Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)Inexacta (8 no es múltiplo de 3)
5. 5. 5. 5. 5. 4 8 11 4 2 13 2x x x x− − − ÷ −Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)Exacta (4 múltiplo de 1)
6. 6. 6. 6. 6. 6 2 3 3 3 3 15 4 3 2x x x x x x+ − − + + ÷ +Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)Inexacta (- 1 no anula el polinomio)
EJERCICIO 756. 6. 6. 6. 6. n n n n
n n n s
4 3
3 2
5 4 48 2
1 5 0 4 48 2
2 14 28 48
1 7 14 24 0
7 14 24 0
− + − ÷ +− − −− −
− −
= − + − Re .
7. 7. 7. 7. 7. x x x
x x x s
4
3 2
3 5 1
1 0 0 3 5 1
1 1 1 2
1 1 1 2 3
2 3
− + ÷ −−
−
−
= + + − Re .
8.8.8.8.8. x x x x x x
x x x s
5 4 3 2
4 3
12 4 2 4
1 1 12 1 4 2 4
4 12 0 4 0
1 3 0 1 0 2
3 2
+ − − − − ÷ +− − − − −
−
− − −
= − − −Re .
9. 9. 9. 9. 9. a a a a
a a a a s
5 3
4 3 2
3 4 6 2
1 0 3 0 4 6 2
2 4 2 4 16
1 2 1 2 8 10
2 2 8 10
− + − ÷ −− −
= + + + + Re .
10.10.10.10.10.
x x x
x x x x s
5 2
4 3 2
208 2076 5
1 0 0 208 0 2 076 5
5 25 125 415 2 075
1 5 25 83 415 1
5 25 83 415 1
− + ÷ −−
− −
− −
= + + − −
.
.
Re .
11.11.11.11.11. x x x x x x
x x x x x s
6 5 4 3 2
5 4 3 2
3 4 3 2 3
1 3 4 3 1 0 2 3
3 18 66 207 618 1 854
1 6 22 69 206 618 1 856
6 22 69 206 618 1 856
− + − − + ÷ +− − − −− − −
− − −
= − + − + −
.
.
Re . .
12. 12. 12. 12. 12. 2 3 7 5 2 1
2 3 7 51
21 1 3
2 2 6 2
3 2
3 2
2
x x x x
x x s
− + − ÷ −
− −
−
− −
= − + −Re .
13. 13. 13. 13. 13. 3 4 5 6 3 2
3 4 5 62
32 4 6
3 6 9 0
2 3 0
3 2
2
a a a a
a a s
− + + ÷ +
− −
− −
−
= − + Re .
14.14.14.14.14. 3 4 4 10 8 3 1
3 4 4 10 81
31 1 1 3
3 3 3 9 5
3 5
4 3 2
3 2
x x x x x
x x x s
− + − + ÷ −
− −
− −
− −
= − + − Re .
15. 15. 15. 15. 15. x x x x x
x x x x s
6 4 3 2
5 4 3
15
81 2 3
1 0 115
81 0 1
3
23
2
9
4
15
80
3
2
9
4
13
2
5
40 1
3
2
5
41
2
3
4
5
8
1
2
3
4
5
4
− + + − ÷ +
− − −
− − −
− −
= − + + − Re .
7. 7. 7. 7. 7. a +1 Es factor de Es factor de Es factor de Es factor de Es factor de a a a3 22 2 5− + +
( ) ( ) ( )− − − + − += − − − + =
1 2 1 2 1 51 2 2 5 0
3 2
No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- No existe residuo, luego a + 1 divide exacta- mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es mente al polinomio, por lo que se deduce es un factor de este. un factor de este. un factor de este. un factor de este. un factor de este.
8. 8. 8. 8. 8. x −5 divide a divide a divide a divide a divide a x x x x x5 4 3 26 6 5 2 10+ + − + −
5 6 5 6 5 5 5 2 5 10
3125 3750 750 125 10 10 0
5 4 3 2+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −= − + + + − =
Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a anula, entonces x - 5 divide con exactitud a
x x x x x5 4 3 26 6 5 2 10+ + − + −
9. 9. 9. 9. 9. 4 3x − divide a divide a divide a divide a divide a 4 7 7 7 34 3 2x x x x− + − +
434
734
734
734
3
324256
18964
6316
214
3
324 756 1 008 1 344 768256
0256
0
4 3 2
−
+
−
+
= − + − +
=− + − +
= =. .
La variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazaLa variable x del dividendo se reemplazapor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elpor 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es elvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisorvalor de la variable del divisor. Se observa. Se observa. Se observa. Se observa. Se observasu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 essu anulación, por consiguiente, 4x - 3 esun divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.un divisor exacto de tal polinomio.
10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de10. 3n + 2 no es factor de
3 2 3 2 6 75 4 3 2n n n n n+ − − + + porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no es porque 7 no esmúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que almúltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que alreemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-reemplazar tal valor en el polinomio re-sultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónsultará un residuo, por ende la divisiónno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeno será exacta y 3n + 2 no se puedeconcebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.concebir como factor de dicho polinomio.
11. 11. 11. 11. 11. 2 2 4 16 2
4 12 16
2 6 8 0
2 6 8
3 2
2
a a a a
Exacta coc a a
− − + ÷ +− −
−
− +; .
12. 12. 12. 12. 12. a a a a
Exacta coc a a
4 2
3 2
2 2 1
1 1 0 2
1 1 0 2 0
2
− + + ÷ +− −
−
− +; .
13. 13. 13. 13. 13. x x x
Exacta coc x x x
4
3 2
5 6 1
1 1 1 6
1 1 1 6 0
6
+ − ÷ −
+ + +; .
14. 14. 14. 14. 14. x x x x x x
Exacta coc x x x x x
6 4 3 2
5 4 3 2
39 26 52 29 30 6
6 36 18 48 24 30
1 6 3 8 4 5 0
6 3 8 4 5
− + − + − ÷ −− −
− −
+ − + − +; .
15. 15. 15. 15. 15. a a a a a a a
Inexacta coc a a a s
6 5 4 3 2
5 3
4 4 8 25 4
4 0 4 0 4 16
1 0 1 0 1 4 9
4 9
− − + + − + ÷ −− −
− −
− + −; . ; Re .
16. 16. 16. 16. 16. 16 24 37 24 4 4 1
4 5 8 4
16 20 32 16 0
4 5 8 4
4 3 2
3 2
x x x x x
Exacta coc x x x
− + − + ÷ −− −
− −
− + −; .
17. 17. 17. 17. 17. 15 25 18 18 17 11 3 5
25 0 30 20 5
15 0 18 12 3 6
5 6 4 1 6
5 4 3 2
4 2
n n n n n n
Inexacta coc n n n s
+ − − + − ÷ +− −
− − −
− + − −; . ; Re .
18. 18. 18. 18. 18. 7 5 5
35 150
7 30 0
150
2x x k x
Sik se anula
− + ÷ −
= −
19. 19. 19. 19. 19. x x x k x
k luegok
3 23 4 2
2 2 4
1 1 2 0
4 0 4
− + + ÷ −−
−+ = = −,
20. 20. 20. 20. 20. 2 25 3
6 18 54 87
2 6 18 29 0
87 87 0
4a a k a
Parak secumpleque k
+ + ÷ +− −
− −= − + =
21. 21. 21. 21. 21. 20 7 29 4 1
5 3 8
20 12 32 0
8 0 8
3 2x x x k x
k entoces k
− + + ÷ +− −
−− = =
EJERCICIO 77
1. 1. 1. 1. 1. x
xInexacta s
5 1
12
+−
Re .
2. 2. 2. 2. 2. a b
a bInexacta s b
4 442
++
Re .
3. 3. 3. 3. 3. x
xExacta
8
2
1
1
−+
4. 4. 4. 4. 4. a
aInexacta s
11 1
12
+−
Re .
5. 5. 5. 5. 5. a b
a bInexacta s b
6 6
2 262
++
Re .
6. 6. 6. 6. 6. x
xExacta
7 1
1
−−
7. 7. 7. 7. 7. x
xInexacta s
3 8
216
−+
−Re .
8. 8. 8. 8. 8. x
xExacta
4 16
2
−+
9. 9. 9. 9. 9. a
aInexacta s
5 32
264
+−
Re .
10. 10. 10. 10. 10. x
xInexacta s
7 128
2256
−+
−Re .
11. 11. 11. 11. 11. 16 81
2 3
4 4a b
a bExacta
−+
12. 12. 12. 12. 12. a x b
ax bExacta
3 6 9
2 3
++
EJERCICIO 781. 1. 1. 1. 1. 5 8 15
5 8 15
3 15
15
3
5
x x
x x
x
x
x
= −− = −− = −
= −−
=
2. 2. 2. 2. 2. 4 1 2
4 2 1
4 1
1
4
x
x
x
x
+ == −=
=
3. 3. 3. 3. 3. y y
y y
y
y
y
− = −− = − +− = −
= −−
=
5 3 25
3 25 5
2 20
20
2
10
4. 4. 4. 4. 4. 5 6 10 5
5 10 5 6
5 1
1
5
1
5
x x
x x
x
x
x
+ = +− = −− = −
= −−
=
5. 5. 5. 5. 5. 9 11 10 12
9 12 10 11
3 1
1
3
y y
y y
y
y
− = − +− = − +− =
= −
6. 6. 6. 6. 6. 21 6 27 8
6 8 27 21
2 6
6
23
− = −− + = −
=
=
=
x x
x x
x
x
x
7. 7. 7. 7. 7. 11 5 1 65 36
16 65 36 1
16 65 35
49 35
35
49
5
7
x x x
x x
x x
x
x
x
+ − = −= − +
− = −− = −
= −−
=
8. 8. 8. 8. 8. 8 4 3 7 14
11 4 8 14
11 8 14 4
3 18
18
36
x x x x
x x
x x
x
x
x
− + = + +− = +
− = +=
=
=
9. 9. 9. 9. 9. 8 9 12 4 13 5
4 9 13
4 13 9
3 22
22
3
22
3
x x x x
x x
x x
x
x
x
+ − = − −− + = − −− + = − −
− = −
= −−
=
10. 10. 10. 10. 10. 5 6 81 7 102 65
11 81 72 102
11 72 102 81
61 183
183
61
3
y y y y
y y
y y
y
y
y
+ − = + +− = +
− = +− =
=−
= −
11. 11. 11. 11. 11. 16 7 5 11 3
8 11 10 3
8 10 3 11
2 14
14
2
7
+ − + = − −+ = −
− = − −− = −
= −−
=
x x x x
x x
x x
x
x
x
12. 12. 12. 12. 12. 3 101 4 33 108 16 100
68 8 16
16 8 68
15 60
60
154
x x x
x x
x x
x
x
x
+ − − = − −− + = −
− + = −= −
= −
= −
13.13.13.13.13. 14 12 39 18 256 60 657
9 14 717 256
9 717 256 14
726 242
242
7261
3
− + − = − −+ = − +
+ = −=
=
=
x x x x x
x x
x x
x
x
x
14. 14. 14. 14. 14. 8 15 30 51 53 31 172
88 84 172
88 84 172
172 172
172
172
1
x x x x x x
x x
x x
x
x
x
− − − = + −− = −
− − = −− = −
= −−
=
EJERCICIO 79
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x xx x x
x xx x
x
x
x
− + = − +− − = − −
− − = −− + = +
=
=
=
2 1 8 3 32 1 8 3 3
1 5 33 5 12 6
62
3
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )15 10 6 2 315 10 6 2 315 10 4 115 4 10 1
11111
x x x xx x x xx xx x
x
x
− = − + + − +− = − − − +− = +− = +
=
=
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( )5 3 4 6 8 11 3 65 3 4 6 8 11 3 6
1 5 175 17 14 18
18492
− − − + = + − −− + − = + − +
− = +− = +− =
=−
= −
x x x xx x x x
x xx x
x
x
x
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( ) ( )30 6 5 4 5 6 8 330 6 5 4 5 6 8 3
26 2 2 1426 2 14 2
28 12122837
x x x x xx x x x x
x xx x
x
x
x
− − + + − + = − + + − ++ − − + = − − − +
− = − −+ = − +
= −
= −
= −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( ) ( )15 6 5 2 3 7 23 3 215 6 5 2 3 7 23 3 2
10 10 2010 10 20
20 2020
201
x x x x x xx x x x x x
x xx x
x
x
x
+ − + − − − + = − + − + −− + − + − = − − − + −
= − −+ = −
= −
=−
= −
6. 6. 6. 6. 6. ( )[ ] ( )[ ]
[ ]
3 5 3 8 5 9
3 5 3 8 5 9
3 6 3 3 93 6 3 3 9
3 3 3 91 3
3 1
2 222
1
x x x x x
x x x x x
x x xx x x
x xx x
x x
x x
+ − − + = + − −
+ − − − = − −
+ − − = −− − = −− − = −
− − = −− − = − +
− = − ⇒ =−−
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
16 3 6 9 30 3 2 3
16 3 6 9 30 3 2 3
16 12 6 30 4 516 12 6 30 4 5
4 6 26 54 26 5 6
22 111122
12
x x x x x x
x x x x x x
x x x xx x x x
x xx x
x
x
− − − = + − + − +
− − + = + − − − −
− − = + − −− + = − −
+ = −− = − −− = −
=−−
=
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ){ }{ }
{ }
9 5 1 2 8 7 5 9 0
9 5 1 2 8 7 5 9 0
4 1 7 9 04 1 7 9 0
12 8 012 8
81223
x x x x x
x x x x x
x x xx x x
xx
x
x
− + − + − − + =
− − − + − + + =
− − + + =− − − + =
− ==
=
=
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }
[ ]{ }{ }
{ }
− + − − + − − + − + − = −
− + − − + + − − − − = −
− − − − + = −
− − + − = −
− − = −= −
3 8 15 6 3 2 5 4 29 5
3 8 15 6 3 2 5 4 29 5
3 21 21 4 5
3 21 21 4 5
55
x x x x
x x x x
x x
x x
xx
EJERCICIO 80
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x xx x x
x xx x
x
x x
+ − = − ++ − = − −
− = − −+ = − +
= −
=−
⇒ = −
3 1 6 4 2 33 3 6 8 124 3 8 6
4 8 6 312 3
312
14
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )5 1 16 2 3 3 2 75 5 32 48 6 21
37 43 5 2137 5 21 43
32 6464
322
x x x xx x x x
x xx x
x
x x
− + + = − −− + + = − −
+ = −− = − −
= −
=−
⇒ = −
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 5 3 3 5
6 6 20 12 3 514 18 814 8 18
6 18186
3
2 2
x x x x x x
x x x x x xx xx x
x
x x
+ − − = − − +
+ − + = − − −− + = −− + = −
− = −
=−−
⇒ =
10. 10. 10. 10. 10. ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
71 5 2 3 25 3 4 4 3
71 5 2 3 25 3 4 4 3
71 7 3 25 7 771 7 3 25 7 7
74 7 32 774 32 7 7
42 1442143
+ − + − + = − − + − +
+ − − + = − − − − −
+ − + = − − −− + = + +
− = +− = +
=
=
=
x x x x
x x x x
x xx x
x xx xx
x
x
8. 8. 8. 8. 8. ( ){ }[ ]{ }[ ]
{ }[ ][ ]
[ ]
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x xx x
x
x x
− + − − + = −
− + − − − = −
− + − − = −
− + − + = −
− − = −− + = −
= − +
= ⇒ = =
5 3 5 6 3
5 3 5 6 3
5 3 4 6 3
5 3 4 6 3
11 311 3
2 3 11
2 882
4
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )184 7 2 5 301 6 1 6184 14 35 301 6 6 6
149 14 289 6149 289 6 14
140 2014020
7
− + = + − −− − = + − −
− = +− = +− =
−=
− =
x xx x
x xx xx
x
x
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( ) ( )7 18 6 3 5 7 9 3 2 5 12126 7 18 30 7 9 6 15 12
108 23 13 3623 13 36 108
36 144144364
− − − = − + − + −− − + = − − − − −
+ = − −+ = − −
= −
=−
= −
x x x xx x x x
x xx x
x
x
x
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 7 1 2 7 4 0
3 9 5 35 2 14 4 05 25 0
5 25255
5
2
2 2 2
x x x x x x
x x x x x xx
x
x
x
− + + − + − + + =
− + + − − − − + =− + =
− = −
=−−
=
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( ) ( )− + + − + − − − − =− − − + − + − + =
− ==
=
=
3 2 7 5 6 8 1 2 3 06 21 5 6 8 16 3 0
4 20 04 20
204
5
x x x xx x x x
xx
x
x
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( )3 4 4 3 6 4 2 5
12 9 16 12 12 38 2025 38 20 12
13 88
13
2 2
x x x x
x x x x xx x
x
x
− − = − −
− − + = − +− + = −
=
=
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( )4 5 4 5 10 3 7 2
20 41 20 20 76 2141 76 21 20
35 1135
135
2 2
− − = − −
− + − = − + −− = − +− = −
=−
−
=
x x x x
x x x xx x
x
x
x
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( )x x x x
x x x xx x
x
x
x
+ + = + − +
+ + = − − ++ = − −
= −
=−
= −
1 2 5 2 3 4 5
2 7 5 2 5 12 57 5 7 5
12 1212
121
2 2
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )x x
x x x xx
x
x
x
− − − =
− + − + − =− =
=
=
=
2 3 1
4 4 9 6 12 5 1
2 6623
2 2
2 2
12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( )( ) ( )
14 5 1 2 3 17 10 1 6
14 10 13 3 17 10 59 6
14 10 13 3 17 10 59 613 59 6
72 66721
12
2 2
2 2
− − + = − + −
− + − = − − −
− − + = − + +− − =
− =
=−
= −
x x x x
x x x x
x x x xx x
x
x
x
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x xx x x x
x xx
x
x
− + − = + − − + − +
− + + − = + − − + − +
− + = + − − − + +
− + = + − +− − = −
− = −
=−−
=
2 3 3 4 3 2 1 2
4 4 3 3 12 2 2
2 7 4 3 3 36 2 22 7 4 2 2 36 4
7 2 369 36
369
4
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 5 2 2 3 5 2 1 0
9 6 1 5 10 4 12 9 5 3 2 020 4 0
20 4420
15
2 2
2 2 2
x x x x x
x x x x x x xx
x
x
x
− − − − + − + − =
− + − + − − − − + + =− + =
− = −
=−−
=
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12
2 12 18 3 6 3 8 15 4 20 4 4 12
4 46 34 4 1246 12 3446 46
4646
1
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x x x x x x x
x x x x x x x x xx x x
xx
x
x
− − + + − − + − + = −
− + − − − + − + + − + = −
− + = −− = − −− = −
=−−
=
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( ) ( )( )5 2 5 3 2 1 5 2 10 0
5 20 20 5 30 45 10 2 10 051 27 0
51 2727519
17
2 2 2
2 2 2 2
x x x x x
x x x x x x xx
x
x
x
− − + + − + − =
− + − − − + − − − =− − =
− =
=−
= −
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( ) ( )x x x x x x
x x x x x xx xx x
xx
2
2 2
5 15 3 14 5 2 3 13 2
5 15 3 14 5 10 39 65 15 4 155 4 0
00
− + = − − + − + −
− + = − − + − + −− + = − +− + =
− ==
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
3 5 6 3 2 6 3 4 1 3 9 1 2 0
3 15 8 12 6 3 4 3 9 17 2 0
45 24 36 18 6 24 27 51 6 021 6 0
21 662127
2 2 2
2 2 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x xx
x
x
x
− + − + − − + − =
− − − + − − − − =
− − − − + − + + =− =
=
=
=
EJERCICIO 81
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )( )7 4 3 5 4 1 1 2
7 56 112 3 30 75 4 4 2
4 86 37 4 686 6 3786 43
4386
12
2 2
2 2 2
2 2
x x x x
x x x x xx x x
xx
x
x
− − + = + − −
− + − − − = − −
− + = −− = − −− = −
=−−
=
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( ) ( ) ( )5 1 6 3 7 3 2 5 2
5 10 5 6 18 42 3 2 10 28 47 13 2
8 13 2 4721 49
492173
2 2
2 2 2 2
2 2
− − − − = − − + −
− + − + + = − − − −
− + + = − − −+ = − −
= −
=−
= −
x x x x x x x
x x x x x x x xx x x x
x xx
x
x
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )[ ][ ]
[ ]
14 3 2 5 2 1 0
14 3 2 5 2 1 0
11 2 4 3 011 2 4 3 0
7 1 07 1
17
x x x x
x x x x
x xx x
xx
x
− − − + − − =
− + − + − + =
+ − + =+ − − =
− ==
=
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) [ ]
3 7 5 2 1 2 3 1
9 42 49 5 2 3 2 3 1
9 42 49 10 15 10 3 127 59 3 127 3 1 59
30 585830
2915
2 2
2 2 2
2 2 2
x x x x x
x x x x x x
x x x x x xx xx x
x
x x
− − + − = − − − +
− + − − − = − − − −
+ − + − + + = +− + = +− − = −
− = −
=−−
⇒ =
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }
{ }{ }
6 2 1 5 2 1
6 2 1 5 2 1
4 1 5 2 1
4 1 3 14 1 3 1
4 3 1 10
x x x x
x x x x
x x x
x xx x
x xx
− + = − − + − − −
− − = − − + +
− = − − + +
− = − − +− = −
− = − +=
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( ){ }{ }{ }
2 3 1 3 2 1 3 2
2 3 3 3 2 2 3 6
2 3 3 3 8
2 3 3 3 82 8 3
11
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x xx x
x
+ − − = − + − − +
− − = − + − − −
− − = − − −
− − = − + +− = +
=
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )[ ]{ }[ ]{ }
[ ]{ }{ }
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x xx
x
x
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 1 4 1 4 0
3 4 4 4 0
3 4 0
3 4 0
4 4 04 4
44
1
− + + + − − =
− + + + − − =
− + + − =
− + + − =
− − + =− = −
=−−
=
6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( ) ( ){ }[ ]( ) { }[ ]
[ ]
3 2 1 3 2 5 3 5 10
3 2 5 3 4 20 25 3 15 10
6 15 9 4 20 25 3 15 10
10 5 16 3 15 105 3 16 15
2 112
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x xx x
x
x
+ − + − + = − − − + +
− + + − − − = − − − − +
− + + − − − = − + +
− − − = − − −− + = −
− =
= −
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x xx x
x xx
x x
+ + − = − + +
+ + − = − − +
− + − + − = + − − − −− − = − −
− + = − +− =
=−
⇒ = −
1 2 3 2 1 1
3 2 3 2 1
3 3 9 2 6 2 27 6 3 2
7 3 2 64 4
44
1
2 2
3 2 2 3 2 2
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x xx x x x
x xx
x x
+ + − = + + − +
+ + − = + − +
− + − + − = − + − +
+ − = − −+ = − +
= −
=−
⇒ = −
2 3 1 4 4 4 7
5 6 1 4 16 7
5 5 6 6 16 4 64 7
4 6 4 16 5716 57 617 51
5117
3
2 2
3 2 2 3 2
2 2
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x xx x x
x
x x
+ − − = −
+ + + − − + − = −
+ + + − + − + = −+ = −
= −
−= ⇒ − =
1 1 6 3
3 3 1 3 3 1 6 18
3 3 1 3 3 1 6 186 2 6 18
2 18218
19
3 3
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
3 2 5 3 1 1 3
3 4 4 5 3 2 1 1 3
3 12 12 5 3 6 3 1 3
3 15 12 60 12 60 3 3 6 6 3 3 33 48 60 3 3
48 3 6045 60
6045
43
2 2
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
2 2
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x xx x x x
x xx
x x
− + = + − +
− + + = + + − +
− + + = + + − +
+ − − + + = − + − + − +
− + = −− + = −
− = −
=−−
⇒ =
EJERCICIO 82
1. 1. 1. 1. 1. x N mayorx N menorx x
xx
x
x N mayor
xN menor
→− →+ − =
− == +
=
= →
− ⇒ −= →
ºº
º
º
88 106
2 8 1062 106 8
1142
57
8 57 849
2. 2. 2. 2. 2. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→− →+ − =
= +=
=
= →
− ⇒ −= →
º
º
º
º
32
32 540
2 540 32
2 572
572
2286
32 286 32
254
3. 3. 3. 3. 3. A B bs
A B
A A
A
A
A
A bs
A B
B
bs B
+ =− =+ − =
= +=
=
=
− =⇒ − =
=
1 154
506
506 1 154
2 1 154 506
2 1660
1660
2830
506
830 506
324
. .
.
.
.
.
.
.
4. 4. 4. 4. 4. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x x N mayor
x
N menor
→− →+ − =
= +
=
= →
− ⇒ −= →
º
º
º
º
24
24 106
2 106 24
130
265
24 65 24
41
5. 5. 5. 5. 5. A B años
A B
A A
A
A
A años
A B
B
años B
+ =+ =+ + =
= −
=
=
+ =+ =
=
56
14
14 56
2 56 14
42
221
14
21 14
35
6. 6. 6. 6. 6. A B soles
A B
A A
A
A
A soles
A B
B
soles B
+ =− =+ − =
= +
=
=
− =⇒ − =
=
1080
1014
1014 1080
2 1080 1014
2 094
21047
1014
1047 1014
33
.
.
. .
. .
.
.
.
. .
7. 7. 7. 7. 7. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→− →+ − =
= +
=
= →
− ⇒ −= →
º
º
º
º
1
1 103
2 103 1
104
252
1 52 1
51
8. 8. 8. 8. 8. x N menor
x N medio
x N mayor
x x x
x
x
x
x N menor
x
N medio
x
N mayor
→+ →+ →+ + + + =
+ == −
=
= →
+ ⇒ += →
+ ⇒ += →
º
º
º
º
º
º
1
2
1 2 204
3 3 204
3 204 3
201
367
1 67 1
68
2 67 2
69
9. 9. 9. 9. 9. x N x N
x N x N
x x x x
x
x
x
x N
x
N
x x
N N
→ + →+ → + →+ + + + + + =
+ == −
=
= →+ ⇒ +
= →+ ⇒ + + ⇒ +
= → = →
º º
º º
º
º
º º
1 1 2
2 3 3 4
1 2 3 74
4 6 74
4 74 6
68
417 1
1 17 1
18 2
2 17 2 3 17 3
19 3 20 4
10. 10. 10. 10. 10. 2
2 2
2 2 2 194
4 194 2
192
448
2 2 48
96
2 2 2 48 2
96 2
98
x N menor
x N mayor
x x
x
x
x
x
N menor
x
N mayor
→+ →+ + =
= −
=
=⇒ ⋅= →+ ⇒ ⋅ +
= += →
º
º
º
º
11. 11. 11. 11. 11. x N mayor
x N medio
x N menor
x x x
x
x
x
x N mayor
x
N medio
x
N menor
→− →
− →+ − + − =
− ==
=
= →− ⇒ −
= →− ⇒ −
= →
º
º
º
º
º
º
1
2
1 2 186
3 3 186
3 189
189
363
1 63 1
62
2 63 2
61
12. 12. 12. 12. 12. caballo coche arreos
coche caballo
coche arreos
coche coche coche
coches
coches
coche
coche
coche caballo
caballo
caballo
coche arreos
arreos
arreos
+ + =+ =− =
+ + + − =+ =
=
=
=
+ =⇒ + =
=− =
⇒ − ==
325
80
25
80 25 325
3 55 325
3 270
270
390
80
90 80
170
25
90 25
65
$
$
$
13. 13. 13. 13. 13. x N mayor
x N medio
x N menor
x x x
x
x
x
x N mayor
x
N medio
x
N menor
→− →− →+ − + − =
− ==
=
= →− ⇒ −
= →− ⇒ −
= →
º
º
º
º
º
º
32
65
32 65 200
3 97 200
3 297
297
399
32 99 32
67
65 99 65
34
14. 14. 14. 14. 14. x cesto
x cesto
x cesto
x x x
x
x
x
x cesto
x
cesto
x
cesto
→− →− →+ − + − =
− ==
=
= →− ⇒ −
= →− ⇒ −
= →
1
10 2
15 3
10 15 575
3 25 575
3 600
600
3200 1
10 200 10
190 2
15 200 15
185 3
º
º
º
º
º
º
15. 15. 15. 15. 15. x mayor
x medio
x menor
x x x
x
x
x
x
x mayor
x
medio
x
menor
→− →− →+ − + − =
− == +=
=
= →− ⇒ −
= →− ⇒ −
= →
55
70
55 70 454
3 125 454
3 454 125
3 579
579
3193
55 193 55
138
70 193 70
123
16. 16. 16. 16. 16. x
x
x
x
x x x
x
x
x
x
x
x
→− →
− − →⇒ − →
+ − + − == +=
=
= →− ⇒ −
= →− ⇒ −
= →
1
20 2
20 40 3
60 3
20 60 310
3 310 80
3 390
390
3130 1
20 130 20
110 2
60 130 60
70 3
º
º
º
º
º
º
º
17. 17. 17. 17. 17. x mayor
x menor
x medio
x x x
x
x
x
x
x mayor
x
menor
x
medio
→− →− →+ − + − =
− == +=
=
= →− ⇒ −
= →− ⇒ −
= →
20
18
20 18 88
3 38 88
3 88 38
3 126
126
342
20 42 20
22
18 42 18
24
18. 18. 18. 18. 18. x mayor
x menor
x x
x
x
x
x
x mayor
x
menor
→− →+ − =
− == +=
=
= →
− ⇒ −= →
36
36 642
2 36 642
2 642 36
2 678
678
2339
36 339 36
303
EJERCICIO 831. 1. 1. 1. 1. x edadJuan
x edadPedro
x x
x
x
x edadJuan
x
edadPedro
→→
+ ==
=
= →⇒ ⋅= →
3
3 40
4 40
40
410
3 3 10
30
2. 2. 2. 2. 2. x Arreos
x Caballo
x x
x
x
x Arreos
x
Caballo
→→
+ ==
=
= →⇒ ⋅= →
4
4 600
5 600
600
5120
4 4 120
480
$
$
3. 3. 3. 3. 3. x piso
xpiso
xx
x x
x
x
x
x Habt piso
x
Habt piso
→
→
+ =
+ =
= ⋅=
=
= →
⇒
= →
1
22
248
2
248
3 48 2
3 96
96
332 1
2
32
216 2
º
º
. º
. º
4. 4. 4. 4. 4. A B C
B A
C A
A A A
A
A
A colones
B A
colones
C A
colones
+ + ===
⇒ + + ==
=
== ⇒ ⋅
== ⇒ ⋅
=
300
2
3
2 3 300
6 300
300
650
2 2 50
100
3 3 50
150
5. 5. 5. 5. 5. A B C
AB
C B
BB B
BB
B B
B
B
B Sucres
AB
Sucres
C B
Sucres
+ + =
=
=
⇒ + + =
+ =
+ =
= ⋅
=
=
= ⇒
== ⇒ ⋅
=
133
22
22 133
23 133
6
2133
7 133 2
266
738
2
38
219
2 2 38
76
6. 6. 6. 6. 6. x N mayor
xN menor
xx
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→
→
+ =
+=
= ⋅=
=
= →
⇒
= →
º
º
º
º
6
6147
6
6147
7 147 6
7 882
882
7126
6
126
621
7. 7. 7. 7. 7. A B C
BA
B A
BC
B C
B B B
B
B
B Quetz
A B
Quetz
C B
Quetz
+ + =
= ⇒ =
= ⇒ =
+ + ==
=
== ⇒ ⋅
== ⇒ ⋅
=
140
22
44
2 4 140
7 140
140
720
2 2 20
40
4 4 20
80
.
.
.
8. 8. 8. 8. 8. x parte
x parte
x parte
x x x
x
x
x parte
x
parte
x
parte
→→→
+ + ==
=
= →⇒ ⋅= →⇒ ⋅= →
1
4 2
5 3
4 5 850
10 850
850
1085 1
4 4 85
340 2
5 5 85
425 3
º
º
º
º
º
º
9. 9. 9. 9. 9. x N buscado
x x
x x
x N buscado
→= +
− == →
º
º
2 111
2 111
111
10. 10. 10. 10. 10. x edadRosa
x edadMaría
x x
x
x
x
x edadRosa
x
edadMaría
→+ →
+ + == −=
=
= →+ ⇒ ⋅ +
= += →
3 15
3 15 59
4 59 15
4 44
44
411
3 15 3 11 15
33 15
48
11. 11. 11. 11. 11. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→= +
− ==
=
= →
º
º
8 21
8 21
7 21
21
73
12. 12. 12. 12. 12. x Mi edad
x
x
x
x
x Mi edad
→+ =
= −=
=
= →
3 7 100
3 100 7
3 93
93
331
13. 13. 13. 13. 13. x parte
xparte
xparte
xx x
x x x
x
x
x
x parte
xparte
xparte
→
→
→
+ + =
+ +=
= ⋅=
=
= →
⇒ = →
⇒⋅
= ⋅ = →
1
32
4
33
3
4
396
3 4
396
8 96 3
8 288
288
836 1
3
36
312 2
4
3
4 36
34 12 48 3
º
º
º
º
º
º
14. 14. 14. 14. 14. x EdadEnrique
x EdadPedro
x EdadJuan
x EdadEugenio
x x x x
x
x
x EdadEnrique
x EdadPedro
x EdadJuan
x EdadEugenio
→→→→
+ + + ==
=
= →⇒ ⋅ = →⇒ ⋅ = →⇒ ⋅ = →
2
3
6
2 3 6 132
12 132
132
1211
2 2 11 22
3 3 11 33
6 6 11 66
EJERCICIO 84
1. 1. 1. 1. 1. x parte
x parte
x parte
x x x
x
x
x
x parte
x parte
x
parte
→→
− →+ + − =
= +=
=
= →⇒ ⋅ = →− ⇒ ⋅ −
= − = →
1
3 2
3 40 3
3 3 40 254
7 254 40
7 294
294
742 1
3 3 42 126 2
3 40 3 42 40
126 40 86 3
º
º
º
º
º
º
2. 2. 2. 2. 2. A B C
C A
B C B A
B A
A A A
A
A
A
A Balb
B A Balb
C A Balb
+ + ==
− = ⇒ − == +
+ + + == −=
=
== + ⇒ ⋅ + = + == ⇒ ⋅ =
130
2
15 15 2
2 15
2 15 2 130
5 130 15
5 115
115
523
2 15 2 23 15 46 15 61
2 2 23 46
.
.
.
3. 3. 3. 3. 3. x Número
xNúmero
x Número
xx
x
xx
x x
x
x
x Número
xNúmero
x Número
→− →
− →
+ − + − =
+ − =
+ = +
= ⋅
=
= →− ⇒ − = = →
− ⇒ − = →
1
8
22
18 3
8
218 238
22
8
2256
4
2256 4
5 260 2
520
5104 1
8
2
104 8
2
96
248 2
18 104 18 86 3
º
º
º
º
º
º
4. 4. 4. 4. 4. x Costo traje
xCosto sombrero
x Costo bastón
xx
x
xx
x x
x
x
x Costo traje
xCosto sombrero
x Costo bastón
→
→
− →
+ + − =
+ = +
+=
= ⋅
=
= →
⇒ = →
− ⇒ − = →
830
830 259
28
259 30
16
8289
17 289 8
2 312
17136
8
136
817
30 136 30 106
.
$
$
$
5. 5. 5. 5. 5. x Número
xNúmero
x Número
xx
x
xx
x x
x
x
x
x Número
x
Número
x Número
→−
→
− →
+−
+ − =
+ − =
+= +
=+
=
=
= →−
⇒−
= = →
− ⇒ − = →
1
6
52
6 3
6
56 72
25
6
578
10
578
6
511
5
390 6
511 396
396
1136 1
6
5
36 6
530
56 2
6 36 6 30 3
º
º
º
º
º
º
6. 6. 6. 6. 6. A B
B A
A A
A
A
A
A bs
B A
bs
+ == +
+ + == −=
=
== + ⇒ ⋅ +
= + =
99
3 19
3 19 99
4 99 19
4 80
80
420
3 19 3 20 19
60 19 79
.
.
7. 7. 7. 7. 7. x cm de azúl
xcm deblanco
xx
xx
x x
x
x
x cmde azúl
x
cmde blanco
→− →
+ − =
+ − =
+= +
= ⋅
=
= →− ⇒ −
= = →
14
214
274
2
14
274
2
274 7
3 81 2
162
354
14
2
54 14
240
220
8. 8. 8. 8. 8. A B C
B AB
A
B CB
B B
BB
B B
B
B
B
AB
C B
+ + =
= − ⇒+
=
− =+
+ + − =
+ + = +
+= −
= ⋅
=
=
=+
⇒+
= =
= − ⇒ − =
152
2 88
232
82
32 152
282
2 152 32
42
184 4
5 180 2360
572
82
72 82
802
40
32 72 32 40
$
$
$
9. 9. 9. 9. 9. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→− = −+ = +
=
=
= →
º
º
80 220 2
2 220 80
3 300
300
3100
10. 10. 10. 10. 10. x Tengo ahora
x x
x x
x S Tengo ahora
→+ = +− = −
= →
2 10 60
2 60 10
50 /.
11. 11. 11. 11. 11. x Parte separada
x Laotraparte
x x
x
x
x cm
m Parte separada
x cm
m Laotraparte
→+ →+ + =
= −
=
=⇒ →
+ ⇒ + =⇒ →
80
80 910
2 910 80
830
2415
4 15
80 415 80 495
4 95
,
,
12. 12. 12. 12. 12. x Edad padre
xEdad hijo
xx
xx
x x
x
x
x Edad padre
xEdad hijo
→−
→
+−
=
+ − =
+ = +
= ⋅
=
= →−
⇒−
= = →
3
33
383
3
3
383
3
383 1
4 84 3
252
463
3
3
63 3
3
60
320
EJERCICIO 85
13. 13. 13. 13. 13. A B C
B A
B C
B B B
B
B
B Votos
A B Votos
C B Votos
+ + =+ =− =
+ + + − == +
=
== + ⇒ + == − ⇒ − =
9 000
500
800
500 800 9 000
3 9 000 300
9 300
33 100
500 3 100 500 3 600
800 3 100 800 2 300
.
.
.
.
.
. .
. .
14. 14. 14. 14. 14. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→− = −
+ = +=
=
= →
º
º
8 60 60 7
8 7 60 60
15 120
120
158
15. 15. 15. 15. 15. x Edad bre
x x
x x
x
x
x Edad bre
→− = −+ = +
=
=
= →
hom
hom
2 17 100
2 100 17
3 117
117
339
1. 1. 1. 1. 1. x N mayor
xN menor
xx
x x
x
x
x N mayor
xN menor
→
→
+ =
+ =
= ⋅
=
= →
⇒ ⋅ = →
º
º
º
º
2
32
3100
3 2
3100
5 100 3
300
560
2
3
2 60
340
2. 2. 2. 2. 2. x Edad padre
xEdad hijo
xx
xx
x x
x
x
x
x Edad padre
xEdad hijo
→− →
+ − =
+ − =
+= +
= +
=
=
= →−
⇒−
= →
15
215
260
2
15
260
2
260
15
23
2
120 15
23 135
135
345
15
2
45 15
215
3. 3. 3. 3. 3. x Partemayor
x Partemenor
x x
x
x
x Partemayor
x
Partemenor
→− →+ − =
= +
=
= →− ⇒ −
= →
232
232 1 080
2 1 080 232
1 312
2656
232 656 232
424
.
.
.
4. 4. 4. 4. 4. A B
A B
A A
A
A
A Soles
B A
Soles
+ =− =+ − =
= +
=
== − ⇒ −
=
150
46
46 150
2 150 46
196
298
46 98 46
52
5. 5. 5. 5. 5. x Ang mayor
xAng menor
xx
xx
x x
x
x
x
x Ang mayor
xAng menor
→+
→
++
=
+ + =
+= −
=−
=
=
= →+
⇒+
= →
.
.
.
.
45
245
2180
2
45
2180
2
2180
45
23
2
360 45
23 315
315
3
105
45
2
105 45
275
!
!
6. 6. 6. 6. 6. x N mayor
xN menor
xx
xx
x x
x
x
x
x N mayor
x
N menor
→−
→
+−
=
+ − =
+= +
=+
=
=
= →−
⇒−
= = →
º
º
.
.
.
º
º
88
388
3540
3
88
3540
3
3540
88
34
3
1 620 88
34 1 708
1708
4427
88
3
427 88
3339
3113
7. 7. 7. 7. 7. x N mayor
xN menor
xx
xx
x x
xx
x
x N mayorx
N menor
→−
→
−−
=
− + =
−= −
= ⋅=
=
= →−
⇒−
= →
º
º
º
º
124
124
36
4124
36
44
36 3
3 33 43 132
1323
4412
444 12
48
8 8 8 8 8 x Costo perro
xCosto collar
xx
x x
x
x
x
x Costo perro
xCostocollar
→
→
+ =
+=
= ⋅=
=
= →
⇒ = →
8
854
8
854
9 54 8
9 432
432
948
8
48
86
$
$
11. 11. 11. 11. 11. x Parte mayor
xParte menor
xx
xx
x x
x
x
x Parte mayor
x
Parte menor
→+
→
++
=
+ = −
+=
−
=
=
= →+
⇒+
= = →
16
316
3160
3160
16
33
3
480 16
34 464
464
4116
16
3
116 16
3132
344
EJERCICIO 86
9. 9. 9. 9. 9. A B
A B
A B
A B
A A
A
A
A
B A
+ =− = +
⇒ − − =− =
+ − == +
=
== − ⇒ − =
84
16 20
16 20
36
36 84
2 84 36
120
260
36 60 36 24
$
$
12.12.12.12.12. x N mayor
xN menor
xx
xx
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→+ →
++
=
+ = −
+=
−
=
=
= →+ ⇒ +
= = →
º
º
.
.
.
º
º
150
3150
3506
3506
150
33
3
1518 150
34 1368
1 368
4342
150
3
342 150
3492
3164
10. 10. 10. 10. 10. x N Señoritas
xN Jovenes
xx
xx
x x
x
x
x N Señoritas
xN jovenes
→−
→
+−
=
+ = +
+=
+
=
=
= →−
⇒−
= →
º
º
º
º
15
215
260
260
15
22
2
120 15
23 135
135
345
15
2
45 15
215
13. 13. 13. 13. 13. x Esti ráfica
x Lapicero
x x
x
x
x bs Esti ráfica
x bs Lapicero
→− →+ − =
=
=
= →− ⇒ − = →
log
. log
.
10
10 18
2 28
28
214
10 14 10 4
14. 14. 14. 14. 14. x Parte roja
x Parte negra
x x
x
x cm Parte roja
x cm Parte negra
→+ →+ + =
== →
+ ⇒ + = →
4
4 84
2 80
40
4 40 4 44
1. 1. 1. 1. 1.
( )
2
2 10 3 102 10 3 30
2 3 30 1020
202 2 20 40
x Edad actual Ax Edad actual B
x xx x
x xxx Edad actual B
x Edad actual A
→→
− = −− = −
− = − +− = −
= →⇒ ⋅ = →
2. 2. 2. 2. 2.
( )
3
3 5 2 53 5 2 10
3 2 10 55
3 3 5 15
x Edad Ax Edad B
x xx x
x xx Edad B
x Edad A
→→
+ = ++ = +
− = −= →
⇒ ⋅ = →
3. 3. 3. 3. 3. 2
2 30 5
2 30 5
25
2 2 25 50
x TieneA
x TieneB
x x
x x
x TieneB
x TieneA
→→− = −− = −
= →⇒ ⋅ = →
$
$
4. 4. 4. 4. 4.
( )
( )( )
xTiene A
x Tiene Bx
x
xx
x xx x
x
x
x colones Tiene Bx
colonesTiene A
2
266 2 90
1322
2 90
132 4 90132 4 360
3 492492
3164
2164
282
→
→
+ = −
+= −
+ = −+ = −− = −
=−
−= →
⇒ = →
5. 5. 5. 5. 5. x N ones
xN Srtas
xx
xx
x x
x
x N ones
xN Srtas
→
→
+ = −
− = − −
− = −
− = −= →
⇒ = →
ºvar
º
ºvar
º
3
314 10
310 14
3
324
2 72
36
3
36
312
6.6.6.6.6.
( )
3
3 5 2 103 5 2 20
253 3 25 75
x Edad padrex Edad hijo
x xx x
x Edad hijox Edad padre
→→
− = +− = +
= →⇒ ⋅ = →
7. 7. 7. 7. 7. x N mayor
x N menor
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→− →
+ − ==
=
= →− ⇒ ⋅ −
= − = →
º
º
º
º
2 56
2 56 85
3 141
141
347
2 56 2 47 56
94 56 38
10. 10. 10. 10. 10. 4
4 15 21
4 21 15
3 36
36
312
4 4 12
48
x DíasTrab Pedro
x DíasTrab Enrique
x x
x x
x
x
x DíasTrab Enrique
x
DíasTrab Pedro
→→− = +− = +
=
=
= →⇒ ⋅= →
.
.
.
.
EJERCICIO 87
8. 8. 8. 8. 8. 5
5 0 5 0 5
5 0 5 0 5
4 1
1
40 25
5 5 0 25
1 25
x Tiene Enrique
x Tienesuhno
x x
x x
x
x
x Tiene suhno
x
Tiene Enrique
→→− = +
− = +=
=
= →⇒ ⋅= →
.
, ,
, ,
$ ,
,
$ ,
11. 11. 11. 11. 11.
( )
2
2 14 3 142 14 3 422 3 42 14
2828
142 14 2 28 14
4214 28 14
14
x Edad act padrex Edad act hijo
x xx xx x
xx Edad act hijo
Edadeshace añosx
años padrex
años hijo
→→
− = −− = −− = − +
− = −= →
− ⇒ ⋅ −= →
− ⇒ −= →
..
.:
9. 9. 9. 9. 9. x Bolsa
x Bolsa
x x
x
x S Bolsa
x S Bolsa
→− →+ − =
== →
− ⇒ − = →
1
400 2
400 1 400
2 1 800
900 1
400 900 400 500 2
.
.
/.
/.
12. 12. 12. 12. 12.
( )
3
3 22 2 223 2 44 22
223 3 22 66
x Edad actual Juanx Edad actual hijo
x xx xx Edad actual hijo
x Edad actual Juan
→→
+ = += + −= →
⇒ ⋅ = →
13. 13. 13. 13. 13. ( )
A B A B
A BB BB B
B
B
BA B
+ = ⇒ = −
+ = +⇒ − + = +
− − = −− = −
=−−
== − ⇒ − =
84 84
80 3 484 80 3 12
3 12 1644 152
1524
3884 84 38 46
$$
1. 1. 1. 1. 1. 2
4 50 702
54 702
702
5413
2 2 13
26
x N Sombreros
x N trajes
x x
x
x
x N trajes
x
N Sombreros
→→+ =
=
=
= →⇒ ⋅= →
º
º
º
º
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x Cabx Vacas
x xx x
x
x
x Cabx Vacas
→− →
+ − =+ − =
=
=
= →− ⇒ − = →
.
.. .. .
..
.
6
600 800 6 40 000600 800 4 800 40 000
1 400 44 80044 8001 400
326 32 6 26
3. 3. 3. 3. 3.
( )
16
12 16 5 73192 12 5 73
17 73 19211917
716 16 7 9
− →→
− − =− − =
− = −
=−−
= →− ⇒ − = →
x ob resltx ob noreslt
x xx x
x
x
x ob noresltx ob reslt
Pr . .Pr . .
Pr . .Pr . .
4. 4. 4. 4. 4.
( )
50
3 50 2 90150 3 2 90
5 60605
1250 50 12 38
− →→
− − =− − =
− = −
=−−
= →− ⇒ − = →
x Días trabx Días no trab
x xx x
x
x
x Días no trabx Días trab
..
..
5. 5. 5. 5. 5.
( )
35 3025
30 35 25 1 0151 050 30 25 1 015
5 1 015 1 050355
7 2535 35 7 28 30
− →→
− + =− + =
− = −
=−−
= →− ⇒ − = →
x Trajesde Qx Trajes de Q
x xx x
x
x
x Trajes de Qx Trajesde Q
.. .
. .
6.6.6.6.6.
( )
x TrajeCalx Traje
x xx x
x
x
x balb TrajeCalx balb Traje
→− →
+ − =+ − =
=
=
= →− ⇒ − = →
.inf.
.
...
. .. inf.
7
32 18 7 1 62432 18 126 1 624
50 1 7501 750
5035
7 35 7 28
8. 8. 8. 8. 8.
( )
3 5
6 3 5 5 58218 30 5 582
23 55255223
2424
3 5 3 24 577
x Sac Frijx Sac azúc
x xx x
x
x
xSac azúc
xSac Frij
+ →→
+ + =+ + =
=
=
=⇒ →
+ ⇒ ⋅ += →
. .. .
. .
. .
9. 9. 9. 9. 9.
( )
80
0 75 80 0 90 68 4060 0 75 0 90 68 40
0 15 8 408 400 1556
5680 80 56
24
3
3
− →→
− + =− + =
=
=
=
⇒ →− ⇒ −
= →
x Cedrox Caoba
x xx x
x
x
xpies Caoba
xpies Cedro
, , ,, , ,
, ,,,
10. 10. 10. 10. 10.
( )
1 050
3 1 050 2 1 8253 150 3 2 1 825
5 1 825 3 1505 1 325
1 3255
265265
1 050 1 050 265785
. ..
. .. .
. ...
.. .
.
− →→
− − =− − =
− = −− = −
=−
−=
⇒ →− ⇒ −
= →
x P mayorx P menor
x xx x
xx
x
xP menor
xP mayor
7. 7. 7. 7. 7. 3
0 05 3 0 06 1 470 15 0 06 1 47
0 21 1 471 470 217
73 3 7 21
x N Lápicesx N cuad
x xx x
x
x
xN cuad
x N Lápices
→→
⋅ + =+ =
=
=
=⇒ →
→ ⋅ = →
ºº .
, , ,, , ,
, ,,,
º .º
EJERCICI0 88
1. 1. 1. 1. 1. x
x
x x
x
x x x
x
x
x
x
x
→→
+ − →⇒ − →+ + − =
= +
=
= →⇒ ⋅ = →− ⇒ ⋅ −
= − = →
1
2 2
2 20 3
3 20 3
2 3 20 196
6 196 20
216
636 1
2 2 36 72 2
3 20 3 36 20
108 20 88 3
º
º
º
º
º
º
º
2. 2. 2. 2. 2.
( )
3
3 5 4 53 5 4 20
3 4 20 515
153 3 15 45
x Edad Ax Edad B
x xx x
x xxx Edad B
x Edad A
→→
− = −− = −
− = − +− = −
= →⇒ ⋅ = →
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x Par zapx Traje
x xx x
x
x
x soles Par zapx soles Traje
→+ →
+ + =+ + =
= −
=
= →+ ⇒ ⋅ + = →
.
.. .
. ..
.
2 50
50 2 50 35 16 000100 2 500 35 16 000
135 16 000 2 50013 500
135100
2 50 2 100 50 250
4.4.4.4.4. x Costocasa
x x
x x
x x
x
x
x bs Costocasa
→
= +
= +
= +=
=
= →
4 62 000
4
12 000
66 4 48 000
2 48 000
48 000
224 000
.
.
.
.
.
. .
5. 5. 5. 5. 5. x N mayor
xN menor
xx
xx
x x
x
x
x N mayor
x
N menor
→−
→
+−
=
+ = +
+=
+
=
=
= →−
⇒⋅ −
= = →
º
º
º
º
2 156
32 156
3108
2
3108
156
33 2
3
324 156
35 480
480
596
2 156
3
2 96 156
336
312
6. 6. 6. 6. 6. x Ancho
x
x
x
x
pies Ancho
→− =
=
=
=⇒ →
461 11 9
450 9
450
950
50
7. 7. 7. 7. 7. x Gasté
x x
x
x
x
Gasté
→− =
=
=
=⇒ →
85 4
85 5
85
517
17$
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )
( ) ( )
x Edad act B
x Edad Ahace años
x xx x
x xxx Edad act B
Edad actual de A
xaños
→
− →
− + + = +− + = +
− = −− = −
= →
− + ⇒ − += ⋅ + =
.
.:
2 12 12
2 12 24 68 3 122 24 92 3 36
2 3 36 6832
32
2 12 12 2 32 12 122 20 12 52
9. 9. 9. 9. 9.
( )
x mon ctsx mon cts
x xx x
xx
x
x mon ctsx mon cts
→− →
+ − =+ − =
= −=
=
= →− ⇒ − = →
. .. .
, , ,, , , ,
, , ,, ,
,,
. .. .
1022 5
0 10 0 05 22 1 850 10 1 10 0 05 1 85
0 05 1 85 1 100 05 0 75
0 750 0515 10
22 22 15 7 5
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )x N buscado
x xx xx x
x
x
x N buscado
→
− = −− = −− = − +− = −
=−−
= →
º
º
12 24 24 2712 288 24 64812 24 648 288
12 36036012
30
11. 11. 11. 11. 11.
( )x c cab
x xx xx
x
x c cab
→
= −= −
− = −
=−
−= →
/ .
$ / .
35 40 1035 40 400
5 400400
580
12. 12. 12. 12. 12. x N buscado
x x
x x
x
x
x N buscado
→− = −+ = +
=
=
= →
º
º
3 55 233
3 233 55
4 288
288
472
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
x N menorx N mediox N mayor
x x xx x x
x
x
xN menor
x N mediox N mayor
→+ →+ →
+ + + + =+ + + + =
= −
=
=⇒ →
+ ⇒ + = →+ ⇒ + = →
ººº
ººº
12
2 3 1 4 2 7402 3 3 4 8 740
9 740 117299
81811 81 1 822 81 2 83
14. 14. 14. 14. 14. x A caballo
x Enauto
x Apie
x x x
x
x
x Km A caballo
x Km Enauto
x Km Apie
→→
− →+ + − =
= +
=
= →⇒ ⋅ = →
− ⇒ − = →
3
20
3 20 150
5 150 20
170
534
3 3 34 102
20 34 20 14
15. 15. 15. 15. 15.
( )
x Partehijox Partehijas
x xx x
x
x
xcolones Partehijo
xcolones Partehijas
→+ →
+ + =+ + =
=
=
=⇒ →
+ ⇒ + =⇒ →
2 000
3 2 2 000 16 5003 2 4 000 16 500
5 12 50012 500
52 500
2 5002 000 2 500 2 000 4 500
4 500
.
. .. .
..
... . . .
.
16. 16. 16. 16. 16.
( )
x N mayorx N menor
x x
x x xxx N mayor
x N menor
→− →
− − =
− + − === →
− ⇒ − = →
ºº
ºº
1
1 31
2 1 312 32
161 16 1 15
2 2
2 2
17. 17. 17. 17. 17.
( )
3
512
512
5 125 60
4 6015
3 3 15 4512 15 12 3
x Edad Ax Edad Bx
Edad C
x Edad CLuego
xx
x xx xxx Edad B
x Edad Ax Edad C
→→
→
− →
= −
= −= −
− = −= →
⇒ ⋅ = →− ⇒ − = →
:
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )
x Edad act Ax
Edad B en años
xEdad Ben años
Luegox x
x x
x xx x
xx Edad act A
Edad actual de Bx
años
→+
→
+→
++ =
+
+ +=
+
+ = ++ = +
− = −= →
+− ⇒
+−
= − =
.
:
.:
53
5
202
20
53
1520
25 453
202
2 50 3 202 100 3 60
4040
202
2040 20
220
30 20 10
19.19.19.19.19. x Lunesx Martesx Miercolesx Jueves
x Viernesx Sábado
x x x x x xx
x
x
x Lunesx Martesx Miercolesx Juevesx Viernesx Sábado
→→→→
− →− →
+ + + + − + − =− =
= +
=
= →⇒ ⋅ = →⇒ ⋅ = →⇒ ⋅ = →− ⇒ ⋅ − = →− ⇒ ⋅ − = →
248
8 308 20
2 4 8 8 30 8 20 91131 50 911
31 911 509613131
2 2 31 624 4 31 1248 8 31 2488 30 8 31 30 2188 20 8 31 20 228
$$$$
$$
20. 20. 20. 20. 20. x N
x N
x x
x
x
x N
x N
→− →+ − = ⋅
= +
=
= →− ⇒ − = →
º
º
º
º
1
18 2
18 3 18
2 54 18
72
236 1
18 36 18 18 2
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )
( ) ( )
x Tiene A
x Tiene B
x xx x
x
x
x Tiene A
xTiene B
→
− →
+ − =+ − =
=
=
= →
− ⇒ −= ⋅ = →
3 16
3 16 363 48 36
4 8484421
3 16 3 21 163 5
$
$15
22. 22. 22. 22. 22.
( )
3
2
3 1 3 22
20
3 1 3 402 40 2
383 3 38 114
2382
x Tiene Ax Tiene Bx
TieneC
x xx
x x xx x
x Tiene Bx Tiene A
xTieneC
→→
→
− − − = +
− − + = +− = −
= →⇒ ⋅ = →
⇒ = →
$
$19
23. 23. 23. 23. 23. x Costo tienda
x x
x x
x x
x
x
bs Costo tienda
→
− =
−=
− ===
⇒ →
5800
74 000
5 77 28 000 5
2 28 000
14 000
14 000
.
.
.
.
. .
24. 24. 24. 24. 24. ( )
( )
( ) ( )
x Cab peor
x Cab mejor
x xx x
xx Cab peor
xCab mejor
→
+ →
+ + =+ + =
== →
+ = += ⋅ = →
.
.
$ .
$ .
2 15
2 15 1202 30 120
3 9030
2 15 2 30 152 45 90
25. 25. 25. 25. 25. x queda A
x queda B
x x
x
x
Como A tenía Q
loqueperdío A
x Q
→→
+ ===
⇒= − ⇒ − =
3
3 160
4 160
40
80
80 80 40 40
.
.
26. 26. 26. 26. 26.
( )
2
2 2 400 4004 800 400
3 1 200400
2 2 400 800
x Emp Ax Emp B
x xx x
xx Emp B
x Emp A
→→
− = +− = +
== →
⇒ ⋅ = →
.
.
.$ .$ .
EJERCICIO 89
27. 27. 27. 27. 27.
( )
4
4 5 3 54 5 3 15
104 4 10 40
x Cabx Vacas
x xx x
x Vacasx Cab
→→
+ = ++ = +
= →⇒ ⋅ = →
.
.
2828282828 x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
x Jueves
x x
x
x Lunes
x Martes
x Miercoles
x Jueves
→+ →
+ →+ →
→+ =− = −
= →+ ⇒ + = →+ ⇒ + = →⇒ ⋅ = →
6
12
18
4
18 4
3 18
6
6 6 6 12
12 6 12 18
4 4 6 24
$
$
$
29. 29. 29. 29. 29. ( )
x Tenía ppio
x xx x
x
x
xsoles Tenía ppio
→
− + − − =− + − =
=
=
=⇒ →
.
.
2 50 2 2 50 390 02 440 4 100 0
6 540540
690
90
30. 30. 30. 30. 30.
( )( )
2
2 6 4 2
2 2 24 22 24
122 2 12 24
2
2 2
x L ox Ancho
x x x
x x xxx m Ancho
x m L o
→→
− + =
+ − === →
⇒ ⋅ = →
arg
arg
31. 31. 31. 31. 31.
( )
3 55
3 10 2 103 10 2 20
10
3 5 3 10 5 35
5 10 5 15
x Padrehace añosx Hijohace años
x xx x
x añosEdad actual Padrex años
Edad actual Hijox años
→→
+ = ++ = +
=
+ ⇒ ⋅ + =
+ ⇒ + =
:
:
32. 32. 32. 32. 32.
( )
3 44
3 6 5 63 6 5 30
2 2412
3 4 3 12 4 32
4 12 4 8
x Edad Aen añosx Edad B en años
x xx x
xx años
Edad Actual Ax años
Edad Actual Bx años
→→
− = −− = −
− = −=
− ⇒ ⋅ − =
− ⇒ − =
:
:
1. 1. 1. 1. 1. ( )a ab a a b2 + = +
2. 2. 2. 2. 2. ( )b b b b+ = +2 1
3. 3. 3. 3. 3. ( )x x x x2 1+ = +
4. 4. 4. 4. 4. ( )3 3 13 2 2a a a a− = −
5. 5. 5. 5. 5. ( )x x x x3 4 34 1 4− = −
6. 6. 6. 6. 6. ( )5 15 5 1 32 3 2m m m m+ = +
7. 7. 7. 7. 7. ( )ab bc b a c− = −
8. 8. 8. 8. 8. ( )x y x z x y z2 2 2+ = +
9. 9. 9. 9. 9. ( )2 6 2 32 2a x ax ax a x+ = +
10. 10. 10. 10. 10. ( )8 12 4 2 32m mn m m n− = −
11. 11. 11. 11. 11. ( )9 18 9 23 2 3 2 2a x ax ax a x− = −
12. 12. 12. 12. 12. ( )15 60 15 43 2 2 3 2 2c d c d c d c d+ = +
13. 13. 13. 13. 13. ( )35 70 35 22 3 3 2 3m n m m n m− = −
14. 14. 14. 14. 14. ( )abc abc abc c+ = +2 1
15.15.15.15.15. ( )24 36 12 2 32 2 2 4 2 2 2a xy x y xy a xy− = −
16. 16. 16. 16. 16. ( )a a a a a a3 2 2 1+ + = + +
17. 17. 17. 17. 17. ( )4 8 2 2 2 4 12 2x x x x− + = − +
18. 18. 18. 18. 18. ( )15 20 5 5 3 4 13 2 2y y y y y y+ − = + −
19. 19. 19. 19. 19. ( )a a x ax a a ax x3 2 2 2 2− + = − +
20. 20. 20. 20. 20.
( )2 2 3
2 2 3
2 2a x ax ax
ax a x
+ −
= + −
21. 21. 21. 21. 21. ( )x x x x x x3 5 7 3 2 41+ − = + −
22. 22. 22. 22. 22.
( )14 28 56
14 2 4
2 2 3 4
2 2 2
x y x x
x y x x
− +
= − +
23. 23. 23. 23. 23.
( )34 51 68
17 2 3 4
2 2 2
2 2
ax a y ay
a x ay y
+ −
= + −
24. 24. 24. 24. 24.
( )96 48 144
48 2 3
2 3
2 3
− +
= − +
mn n
mn n
25. 25. 25. 25. 25.
( )a b c a c x a c y
a c b x y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
− +
= − +
26. 26. 26. 26. 26.
( )55 110 220
55 2 4
2 3 2 3 2 2 3
2 3 3 2 3
m n x m n x m y
m n x n x y
+ −
= + −27. 27. 27. 27. 27.
( )93 62 124
31 3 2 4
3 2 2 3 2 2
2 2 2
a x y a x y a x
a x axy x y
− −
= − −
28. 28. 28. 28. 28. ( )x x x x x x x x− + − = − + −2 3 4 2 31
29. 29. 29. 29. 29. ( )a a a a a a a a6 4 3 2 2 4 23 8 4 3 8 4− + − = − + −30. 30. 30. 30. 30.
( )25 10 15 5
5 5 2 3 1
7 5 3 2
2 5 3
x x x x
x x x x
− + −
= − + −
31. 31. 31. 31. 31. ( )x x x x x x x x15 12 9 6 6 9 6 32 3 2 3− + − = − + −32. 32. 32. 32. 32.
( )9 12 15 24
3 3 4 5 8
2 3 2 3
2 2 3
a ab a b ab
a a b a b b
− + −
= − + −
33. 33. 33. 33. 33.
( )16 8 24 40
8 2 1 3 5
3 2 2 4 2 2 3
2 2 2
x y x y x y x y
x y xy x y y
− − −
= − − −
34. 34. 34. 34. 34.
( )12 24 36 48
12 1 2 3 4
2 3 2 4 3 5 4
2 2 2 3 3
m n m n m n m n
m n mn m n m n
+ − +
= + − +
35. 35. 35. 35. 35.
( )100 150 50 200
50 2 3 4
2 3 2 2 3 3 2
2 2 2
a b c ab c ab c abc
abc ab bc b c c
− + −
= − + −
36. 36. 36. 36. 36. ( )x x x x x x x x x x5 4 3 2 4 3 2 1− + − + = − + − +
37. 37. 37. 37. 37.
( )a a a a a
a a a a a
2 3 4 5 6
2 2 3 4
2 3 4 6
1 2 3 4 6
− + − +
= − + − +
38. 38. 38. 38. 38.
( )3 6 5 8 4
3 6 5 8 4
2 3 2 2 2
2
a b ab a b a bx ab m
ab a a b ax bm
+ − + +
= + − + +
39. 39. 39. 39. 39.
( )a a a a a a
a a a a a a
20 16 12 8 4 2
2 18 14 10 6 2 1
− + − + −
= − + − + −
EJERCICIO 90
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( )( )a x b x x a b+ + + = + +1 1 1
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( )( )x a a a x+ − + = + −1 3 1 1 3
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( )( )2 1 1 1 2x y x x y− + − = − +
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )( )m a b a b n a b m n− + − = − +
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )( )2 1 3 1 1 2 3x n y n n x y− − − = − −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )a n n n a+ + + = + +2 2 2 1
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )x a a a x+ − − = + −1 1 1 1
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )( )a b a a b2 2 21 1 1 1+ − + = + −9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 2x x y x x x y− − − = − −
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( )1 2 1 1 1 2− + − = − +x a x x a
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )4 4 1x m n n m m n x− + − = − −
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( )− − + + = + −m n x m n m n x 1
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( )a a b b a b a b a b3 2 3 21 1 1− + − − + = − + −
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )( )4 1 3 1 1 4 32 2 2m a x n x a a x m n+ − + − + = + − +
15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( ) ( )( )
x a b c a b c
x a b c a b c a b c x
2 2
2 2 2 1
+ + − − −
= + + − + + = + + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( ) ( )( )x y n n n x y+ + − + = + + −1 3 1 1 3
17. 17. 17. 17. 17. ( )( ) ( ) ( )( )x x y x x x y+ − + − = − + +1 2 3 2 2 1 3
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )a a a a a a a+ + − + = + + − = + −3 1 4 1 1 3 4 1 1
19. 19. 19. 19. 19. ( )( ) ( ) ( )( )x m n m n m n x2 22 2 4+ − + − = − +
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )a x a x x a a x− − + − = − − − = − −1 2 1 1 2 2 1
21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( ) ( ) ( )( )5 1 1 1 1 6 12 2 2x a x a a x+ + + + = + +
22. 22. 22. 22. 22. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )
a b a b a b a b
a b a b a b b a b
+ − − − −
= − + − + = −2
23. 23. 23. 23. 23. ( )( ) ( )( ) ( )m n a m n a m a+ − + − − = −2 2 2 2
24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
x m x x x n
x x m x n x m n
+ + − + −
= + + − + = + +
1 1
1 1
25. 25. 25. 25. 25. ( )( ) ( )( ) ( )x x x x x x− − + − + = −3 4 3 4 3 2
26. 26. 26. 26. 26. ( )( ) ( )( )a b a a a a b+ − + − − = + + −1 1 1 1 22 2 2
27. 27. 27. 27. 27. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )
a b c x b c a x
x a b c a b c x a
+ − − − − − −
= − + − + − + = −
3 3
3 3 2
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 2 1 1 1 3 2x x y x z x x x y z− − − + − = − − +
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( ) ( )( )a n b n n n a b+ − + − − = + − −1 1 1 1 1
30.30.30.30.30. ( ) ( ) ( )( )x a a a a x+ − − + + = + +2 2 3 2 2 2
31. 31. 31. 31. 31. ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 3 1 2 1 3 1 1 4+ + − + + + = + +a x a x x x a
32. 32. 32. 32. 32. ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
3 2 3 2 1 3 2
3 2 1 1 3 2
x x y z x x y x
x x y z x y z x
+ + − − + − + − +
= + + − − − − + = − +
EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91EJERCICIO 91
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
a ab ax bx
a ab ax bx
a a b x a b
a b a x
2
2
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
am bm an bn
am bm an bn
m a b n a b
a b m n
− + −
= − + −
= − + −
= − +
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
ax bx ay by
ax bx ay by
x a b y a b
a b x y
− − +
= − − −
= − − −
= − −
2 2 4
2 2 4
2 2 2
2 2
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
a x bx a y by
a x bx a y by
x a b y a b
a b x y
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 3
3 3
3 3
3
− + −
= − + −
= − + −
= − +
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2 2 3
3 3 2 2
3 1 2 1
1 3 2
4 4
4 4
4 4
4
m n nx mx
m mx n nx
m x n x
x m n
− − +
= + − +
= + − +
= + −
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
x a x a x
a a x x x
a x x x
x x a
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
1
− + −
= − + + +
= − + + +
= + −
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
4 1 4
4 4 1
4 1 1
1 4 1
3 2
3 2
2 2
2
a a a
a a a
a a a
a a
− − +
= + − +
= + − +
= + −
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
x x xy y
x x xy y
x x y x
x x y
+ − −
= + − +
= + − +
= + −
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
1
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2 2 3
3 3 2 2
3 2
3 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
abx y x aby
abx aby y x
ab x y x y
x y ab
− − +
= + − +
= + − +
= + −
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2 6
3 6 2
3 1 2 1 2
1 2 3
2 2
2 2
2
2
a b b x ax
a ax b b x
a x b x
x a b
− + −
= − − −
= − − −
= − −
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
4 4 3 3
4 4 3 3
4 3
4 3
4 3
3 2
3 2
2
2
2
a x a b bm amx
a x a b bm amx
a ax b m b ax
a ax b m ax b
ax b a m
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
6 3 1 2
6 3 1 2
3 2 1 2 1
2 1 3 1
ax a x
ax a x
a x x
x a
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 9 3
3 9 3
3 1 3 3 1
3 1 3
3 2
3 2
2 2
2
x ax x a
x x ax a
x x a x
x x a
− − +
= − − −
= − − −
= − −
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 5 15 6
2 5 15 6
2 5 3 5 2
2 5 3 2 5
2 5 3
2 2
2 2
2
2
2
a x a y by bx
a x a y by bx
a x y b y x
a x y b x y
x y a b
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 3
2 3 2 2 2
2 2 2
2 2
x y xz y z xy
x y xy xz y z
xy x y z x y
x y xy z
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
6 9 21 14
6 14 9 21
2 3 7 3 3 7
3 7 2 3
m n nx mx
m mx n nx
m x n x
x m n
− + −
= − − −
= − − −
= − −
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
n x a y n y a x
n x n y a y a x
n x y a y x
n x y a x y
x y n a
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
5 5
5 5
5
5
5
− − +
= − − −
= − − −
= − + −
= − +
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( ) ( )( )( )
1 3 3
1 3 3
1 3 1
1 3 1
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
a ab b
a ab b
a b a
a b
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
4 12 3
4 12 3
4 3 3
3 4 1
3 2
3 2
2 2
2
am amn m n
am amn m n
am m n m n
m n am
− − +
= − − −
= − − −
= − −
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
20 5 2 8
20 8 5 2
4 5 2 5 2
5 2 4
ax bx by ay
ax ay bx by
a x y b x y
x y a b
− − +
= + − +
= + − +
= + −
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
3 2 6
3 2 6
3 2 3
3 2 3
3 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
− + −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
x abx ab
x abx ab
x ab x
x ab x
x ab
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
3 2
3 2
2
2
1
1
1 1
1 1
+ + +
= + + +
= + + +
= + +
23. 23. 23. 23. 23.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 7 3 7
3 3 7 7
3 7
3 7
2 2 2
2 2 2
2
2
a b x ax ab
a ax b x ab
a a x b x a
a x a b
− + −
= + − +
= + − +
= + −
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 2 2 1
2 2 2 1
2 1 1
2 1 1
am an a m n
am an a m n
a m n m n
a m n
− + − + −
= − + − − +
= − + − − +
= − − +
25. 25. 25. 25. 25.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2 2 6 3 4
3 6 3 2 2 4
3 2 2 2
2 3 2
ax by bx a ay b
ax a ay by bx b
a x y b y x
x y a b
− − − + +
= − + − + −
= − + − + −
= + − −
26. 26. 26. 26. 26.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
a a a x a x
a a a x a x
a a x a x
a a x
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2
2 2
1
1
1 1
1 1
+ + + + +
= + + + + +
= + + + + +
= + + +
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 3 9 3
3 3 9 3
3 3 3
3 1 3
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a a b ab a ab b
a a b ab a ab b
a a ab b a ab b
a a ab b
− + − + −
= − + − − +
= − + − − +
= − − +
EJERCICIO 92
28. 28. 28. 28. 28.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 2 3 6
3 2 2 6
3 2 3
2 3
3 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x nx xz nz ny xy
nx nz ny x xz xy
n x z y x x z y
x n x y z
− + − − +
= − + + + + +
= − + + + + +
= − + +
29. 29. 29. 29. 29.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2 2 3 2 3
3 3 3 2 2 2
3 2
3 2
3 2
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
x axy ay xy ax x y
x xy x y axy ay ax
x x y xy a xy y x
x x y xy a xy y x
x a x xy y
+ + − − −
= − − + + −
= − − + + −
= − − − − − +
= − − −
30 30 30 30 30
( ) ( )( ) ( )
( )( )
a b n a b x n x a b x n x
a b a b x a b x n n x n x
a b x x n x x
a b n x x
2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4
2 3 2 3 2 2 3 4 4 2 4
2 3 2 4 2
2 3 4 2
3 3
3 3
1 3 1 3
1 3
− + − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
1. 1. 1. 1. 1. ( )a ab b a b2 2 22− + = −
2. 2. 2. 2. 2. ( )a ab b a b2 2 22+ + = +
3. 3. 3. 3. 3. ( )x x x2 22 1 1− + = −
4. 4. 4. 4. 4. ( )y y y4 2 2 22 1 1+ + = +
5. 5. 5. 5. 5. ( )a a a2 210 25 5− + = −
6. 6. 6. 6. 6. ( )9 6 32 2− + = −x x x
7. 7. 7. 7. 7. ( )16 40 25 4 52 4 2 2+ + = +x x x
8. 8. 8. 8. 8. ( )1 14 49 1 72 2− + = −a a a
9. 9. 9. 9. 9. ( )36 12 62 4 2 2+ + = +m m m
10. 10. 10. 10. 10. ( )1 2 13 6 3 2− + = −a a a
11. 11. 11. 11. 11. ( )a a a8 4 4 218 81 9+ + = +
12. 12. 12. 12. 12. ( )a a b b a b6 3 3 6 3 3 22− + = −
13.13.13.13.13. ( )4 12 9 2 32 2 2x xy y x y− + = −
14. 14. 14. 14. 14. ( )9 30 25 3 52 2 4 2 2b a b a b a− + = −
15. 15. 15. 15. 15. ( )1 14 49 1 72 4 2 2 2+ + = +x y x y x y
16. 16. 16. 16. 16. ( )1 2 15 10 5 2− + = −a a a
17. 17. 17. 17. 17.
( )49 70 25
7 5
6 3 2 2 4
3 2 2
m am n a n
m an
− +
= −
18. 18. 18. 18. 18.
( )100 60 9
10 3
10 4 5 6 8 12
5 4 6 2
x a x y a y
x a y
− +
= −
19. 19. 19. 19. 19. ( )121 198 81 11 96 12 6 2+ + = +x x x
20. 20. 20. 20. 20.
( )a am x m x
a m x
2 2 2 4 4
2 2 2
24 144
12
− +
= −
21. 21. 21. 21. 21. ( )16 104 169 4 132 4 2 2− + = −x x x
22. 22. 22. 22. 22. ( )400 40 1 20 110 5 5 2x x x+ + = +
23. 23. 23. 23. 23. a
ab ba
b2
22
4 2− + = −
24. 24. 24. 24. 24. 123 9
13
2 2
+ + = +
b b b
25. 25. 25. 25. 25. a a bb
ab4 2 2
42
2 2
4 2− + = −
26. 26. 26. 26. 26. 125 3
2536
15
56
2 4 2 2
− + = −
x x x
27. 27. 27. 27. 27. 16 216
44
6 3 24
32 2
x x yy
xy
− + = −
28. 28. 28. 28. 28. n
mn mn
m2
22
92 9
33+ + = +
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )( ) ( )
a a a b a b
a a b a b
2 2
2 2
2
2
+ + + +
= + + = +
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( ) ( )
4 4 1 1
2 1 1
2
2 2
− − + −
= − + = +
a a
a a
31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )( ) ( )
4 4
2 3
2 2
2 2
m m n m n m
m n m m n
− − + −
= − + = −
32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )( )
m n m n
m n
− + − +
= − +
2
2
6 9
3
33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
a x a x x y x y
a x x y a y
+ − + + + +
= + − − = −
2 2
2 2
2
34.34.34.34.34. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
m n a m m n a m
m n a m m n a
+ − − + + −
= + − + = + −
2 2
2 2
2
2
35. 35. 35. 35. 35. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
4 1 4 1 1 1
2 2 1 2 3
2 2
2 2
+ − + − + −
= + − + = − +
a a b b
a b a b
36.36.36.36.36. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
9 12 4
3 3 2 2 5
2 2
2 2
x y x y x y x y
x y x y x y
− + − + + +
= − + + = −
EJERCICIO 931. 1. 1. 1. 1. ( )( )x y x y x y2 2− = + −
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )a a a2 1 1 1− = + −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )a a a2 4 2 2− = + −
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )9 3 32− = + −b b b
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )1 4 1 2 1 22− = + −m m m
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )16 4 42− = + −n n n
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )a a a2 25 5 5− = + −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )1 1 12− = + −y y y
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )4 9 2 3 2 32a a a− = + −
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )25 36 5 6 5 64 2 2− = + −x x x11. 11. 11. 11. 11. ( )( )1 49 1 7 1 72 2− = + −a b ab ab
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )4 81 2 9 2 92 4 2 2x y x y x y− = + −
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )a b c ab c ab c2 8 2 4 4− = + −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )100 10 102 6 3 3− = + −x y xy xy
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )a b a b a b10 12 5 6 5 649 7 7− = + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )25 121 5 11 5 112 4 2 2x y xy xy− = + −17. 17. 17. 17. 17.
( )( )100 169
10 13 10 13
2 4 6
2 3 2 3
m n y
mn y mn y
−
= + −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )a m n am n am n2 4 6 2 3 2 3144 12 12− = + −19. 19. 19. 19. 19.
( )( )196 225
14 15 14 15
2 4 12
2 6 2 6
x y z
xy z xy z
−
= + −
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )256 289
16 17 16 17
12 4 10
6 2 5 6 2 5
a b m
a b m a b m
−
= + −
21.21.21.21.21. ( )( )1 9 1 3 1 32 4 6 8 2 3 4 2 3 4− = + −a b c d ab c d ab c d
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )361 1 19 1 19 114 7 7x x x− = + −
23. 23. 23. 23. 23. 14
912
312
32− = +
−
a a a
24. 24. 24. 24. 24. 1 251
51
5
2
− = +
−
a a a
25. 25. 25. 25. 25. 1
16449
14
27
14
27
2
− = +
−
x x x
26. 26. 26. 26. 26. a x a x a x2 6 3 3
36 25 6 5 6 5− = +
−
27. 27. 27. 27. 27. x y z x yz x yz2 2 4 2 2
100 81 10 9 10 9− = +
−
28. 28. 28. 28. 28. x a x a x a6 10 3 5 3 5
494121 7
211 7
211
− = +
−
29. 29. 29. 29. 29. 1001
1610
14
1014
2 4 8 2 4 2 4m n x mn x mn x− = +
−
30.30.30.30.30. ( )( )a b a b a bn n n n n n2 2− = + −
31. 31. 31. 31. 31. 419
213
213
2x x xn n n− = +
−
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )a b a b a bn n n4 4 2 2 2 2225 15 15− = + −
33. 33. 33. 33. 33. 1649
47
47
62
3 3xy
xy
xym
nm
nm
n
− = +
−
34. 34. 34. 34. 34. 4981
79
79
1012
56
56
ab
ab
abn
xn
xn
x
− = +
−
35. 35. 35. 35. 35. a b a b a bn n n n n n2 4 2 2125
15
15
− = +
−
36. 36. 36. 36. 36. 1
1001
101
102− = +
−
x x xn n n
EJERCICIO 94
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )( )x y a x y a x y a+ − = + + + −2 2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )( )4 1 2 1 2 1 3 12
− + = + + − − = + −a a a a a
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( )9 3 32
− + = + + − −m n m n m n
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )( )m n m n m n− − = − + − −2
16 4 4
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )( )x y z x y z x y z− − = − + − −2 24 2 2
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )a b a b a b+ − = + + + −2 1 2 1 2 12
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22
− − = + − − +x y x y x y
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( ) ( )( )
x a x
x a x x a x x a a x
+ −
= + + + − = + −
2 4
2 2 2 2 3 2 2
2 2
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )a b c d a b c d a b c d+ − + = + + + + − −2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( )( )a b c d a b c d a b c d− − − = − + − − − +2 2
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( ) ( )( )
x x
x x x x x x
+ −
= + + + − = + −
1 16
1 4 1 4 5 1 1 3
2 2
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )( )
64 2
8 2 8 2 9 2 7 2
2 2m m n
m m n m m n m n m n
− −
= + − − + = − +
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( )( )a b x y a b x y a b x y− − + = − + + − − −2 2 22 2
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )( ) ( )( )
2
2 2 3 2
2 2a c a c
a c a c a c a c a a c
− − +
= − + + − − − = −
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )( ) ( )( )
x x
x x x x x x
+ −
= + + + − = + −
1 4
1 2 1 2 3 1 1
2 2
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( ) ( )( )
36 3
6 3 6 3 9 3
2 2x a x
x a x x a x x a x a
− +
= + + − − = + −
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( )a a a a a a6 2 3 31 1 1− − = + − − +
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( )( ) ( )( )
a m
a m a m a m a m
− − −
= − + − − − + = + − − +
1 2
1 2 1 2 3 1
2 2
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )( )( ) ( )( )
2 3 5
2 3 5 2 3 5 3 8 2
2 2x x
x x x x x x
− − −
= − + − − − + = − +
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( )1 5 2 1 5 2 1 5 22
− + = + + − −a x a x a x
21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( )( )7 81 7 9 7 92
x y x y x y+ − = + + + −
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )m m m m m m6 2 2 3 2 3 21 1 1− − = + − − +
23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( )( )16 2 3 4 2 3 4 2 310 2 2 5 2 5 2a a a a a a− + = + + − −
24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( ) ( )( )x y c d x y c d x y c d− − + = − + + − − −2 2
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )( )( )( )( )
2
2 2
3 2
2 2a b c a b
a b c a b a b c a b
a b c a c
+ − − +
= + − + + + − − −
= + − −
26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )( )100 10 102
− − + = + − + − + −x y z x y z x y z
27. 27. 27. 27. 27. ( ) ( )( ) ( )( )x y x x y x x y x y x y2 22− − = + − − + = −
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( )( ) ( )( )
2 3 5 1
2 3 5 1 2 3 5 1 7 2 4 3
2 2x x
x x x x x x
+ − −
= + + − + − + = + −
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )( )( )( )( )
x y z y z x
x y z y z x x y z y z x
x z y x
− + − − +
= − + + − + − + − + −
= − −
2 22
2 2
3 2 2
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( )( ) ( )( )
2 1 4
2 1 4 2 1 4 3 5 3
2 2x x
x x x x x x
+ − +
= + + + + − − = + −
31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )( )( )( )( )
a x x a
a x x a a x x a
a x x
+ + − + −
= + + + + − + + − − +
= + +
2 1 1
2 1 1 2 1 1
2 3 2
2 2
32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )( )4 49 2 2 7 2 2 72 2x a y x a y x a y+ − = + + + −
33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )( )( )( )( )
25 4
5 5 2 2 5 5 2 2
7 3 3 7
2 2x y x y
x y x y x y x y
x y x y
− − +
= − + + − − −
= − −
34. 34. 34. 34. 34. ( ) ( )( )( )( )( )
36 121
6 6 11 11 6 6 11 11
17 5 17 5
2 2m n m n
m n m n m n m n
m n n m
+ − −
= + + − + − +
= − −
EJERCICIO 95
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )( )
a ab b x
a b x
a b x a b x
2 2 2
2 2
2+ + −
= + −
= + + + −
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )( )
x xy y m
x y m
x y m x y m
2 2 2
2 2
2− + −
= − −
= − + − −
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )( )
m mn n
m n
m n m n
2 2
2
2 1
1
1 1
+ + −
= + −
= + + + −
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )( )
a a b
a b
a b a b
2 2
2 2
2 1
1
1 1
− + −
= − −
= − + − −
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )( )
n n c
n c
n c n c
2 2
2 2
6 9
3
3 3
+ + −
= + −
= + + + −
6.6.6.6.6.
( )( )( )
a x ax
a x
a x a x
2 2
2
2 4
4
2 2
+ + −
= + −
= + + + −
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )
a a b
a b
a b a b
2 2
2 2
4 4 9
2 9
3 2 3 2
+ − −
= − −
= + − − −
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )
x y xy
x y
x y x y
2 2
2
4 4 1
2 1
2 1 2 1
+ − −
= − −
= − + − −
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )( )
a ay y x
a y x
a y x a y x
2 2 2
2 2
6 9 4
3 4
3 2 3 2
− + −
= − −
= − + − −
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )( )
4 25 36 20
2 5 36
2 5 6 2 5 6
2 2
2
x y xy
x y
x y x y
+ − +
= + −
= + + + −
11. 11. 11. 11. 11.
( )( )( )
9 1 16 24
3 4 1
3 4 1 3 4 1
2 2
2
x a ax
x a
x a x a
− + −
= − −
= − + − −
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )
1 64 16
8 1
8 1 8 1
2 2 4
2 4
2 2
+ − −
= − −
= − + − −
a b x ab
ab x
ab x ab x
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )
( )( )
a b bc c
a b bc c
a b c
a b c a b c
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )
( )( )
1 2
1 2
1
1 1
2 2
2 2
2
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
a ax x
a ax x
a x
a x a x
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )
( )( )
m x xy y
m x xy y
m x y
m x y m x y
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
( )( )
c a a
c a a
c a
c a c a
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1
1 1
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )
( )( )( )( )
9 25 10
9 10 25
9 5
3 5 3 5
8 2
2
2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
= − + +
n n
n n
n
n n
n n
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )
( )( )
4 4 4
4 4 4
4 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
a x x
a x x
a x
a x a x
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
19. 19. 19. 19. 19.
( )( )
( )( )
1 9 6
1 6 9
1 3
3 1 1 3
2 2
2 2
2
− − −
= − + +
= − +
= + + − −
a n an
a an n
a n
a n a n
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )
( )( )
25 16 8
25 8 16
25 4
5 4 5 4
2 2
2 2
2
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
x y xy
x xy y
x y
x y x y
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )
( )( )
9 4 4
9 4 4
9 2
3 2 3 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x a m am
x a am m
x a m
x a m x a m
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )
( )( )
16 12 4 9
16 4 12 9
16 2 3
4 2 3 4 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y ab a b
x y a ab b
x y a b
xy a b xy a b
+ − −
= − − +
= − −
= + − − +
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )
( )( )
− + − −
= − + +
= − +
= + + − −
a m a
m a a
m a
m a m a
2 2
2 2
2 2
25 1 2
25 2 1
25 1
5 1 5 1
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )
( )( )
49 25 9 30
49 25 30 9
49 5 3
7 5 3 7 5 3
4 2 2
4 2 2
4 2
2 2
x x y xy
x x xy y
x x y
x x y x x y
− − +
= − − +
= − −
= + − − +
25. 25. 25. 25. 25.
( ) ( )( )( )
a ab b c cd d
a b c d
a b c d a b c d
2 2 2 2
2 2
2 2− + − − −
= − − +
= − + + − − −
26. 26. 26. 26. 26.
( ) ( )( )( )
x xy y m mn n
x y m n
x y m n x y m n
2 2 2 2
2 2
2 2+ + − + −
= + − −
= + + − + − +
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
a b ab x ax a
a ab b x ax a
a b x a
a b x a a b x a
a b x b x
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4 2
4 4 2
2
2 2
2 2 2
+ + − − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + −
28. 28. 28. 28. 28.
( ) ( )( ) ( )( )( )
x a ax y b by
x ax a y by b
x a y b
x a y b x a y b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4 9 6
4 4 6 9
2 3
2 3 2 3
+ − − − +
= − + − − +
= − − −
= − + − − − +
29. 29. 29. 29. 29.
( ) ( )( ) ( )( )( )
m x n mn ax a
m mn n x ax a
m n x a
m n x a m n x a
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 6 4 4
6 9 4 4
3 2
3 2 3 2
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
30. 30. 30. 30. 30.
( ) ( )( ) ( )( )( )
9 4 12 25 10
9 12 4 10 25
3 2 5
3 2 5 3 2 5
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
x y a xy b ab
x xy y a ab b
x y a b
x y a b x y a b
+ − − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
31. 31. 31. 31. 31.
( ) ( )( ) ( )( )( )
2 9 6
2 6 9
3
3 3
2 2 2
2 2 2
2 2
am x a m x
a am m x x
a m x
a m x a m x
− − + + −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
32. 32. 32. 32. 32.
( ) ( )( ) ( )( )( )
x a a b x b
x x b a b a
x b a
x b a x b a
2 4 2 2
2 2 2 4
2 2 2
2 2
9 6 1 2
2 1 6 9
1 3
1 3 1 3
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
33. 33. 33. 33. 33.
( ) ( )( ) ( )( )( )
16 1 10 9 24 25
16 24 9 25 10 1
4 3 5 1
4 3 5 1 4 3 5 1
2 2 2
2 2 2
2 2
a m x ax m
a ax x m m
a x m
a x m a x m
− − + − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
34. 34. 34. 34. 34.
( ) ( )( ) ( )( )( )
9 2 100 60
2 9 60 100
3 10
3 10 3 10
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
m a acd c d m
a acd c d m m
m a cd
m a cd m a cd
− + − + −
= − − + + − +
= − − −
= − + − − − +
35. 35. 35. 35. 35.
( ) ( )( ) ( )( )( )
4 9 49 30 25 28
4 28 49 9 30 25
2 7 3 5
2 7 3 5 2 7 3 5
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a x b xy y ab
a ab b x xy y
a b x y
a b x y a b x y
− + − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
36. 36. 36. 36. 36.
( ) ( )( ) ( )( )( )
225 169 1 30 26
225 30 1 169 26
15 1 13
15 1 13 15 1 13
2 2 2
2 2 2
2
a b a bc c
a a b bc c
a b c
a b c a b c
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
37. 37. 37. 37. 37.
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
x y x y
x x y y
x y
x y x y
x y x y
2 2
2 2
2 2
4 4 1 2
4 4 2 1
2 1
2 1 2 1
3 1
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + − +
38. 38. 38. 38. 38.
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
a x a x
a a x x
a x
a x a x
a x a x
2 2
2 2
2 2
16 36 12 8
12 36 8 16
6 4
6 4 6 4
10 2
− − + + −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + − +
EJERCICIO 96
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )( )( )
a aa a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
1
2 1
1
1 1
+ ++ −
+ + −
= + −
= + + − +
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )( )
m m n nm n m n
m m n n m n
m n m n
m n mn m n mn
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + + −
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )( )
x xx x
x x x
x x
x x x x
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
3 4
4 4
2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )( )
a aa a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
2 94 4
6 9 4
3 4
2 3 2 3
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )( )
a a b ba b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3
2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( )
x xx x
x x x
x x
x x x x
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
6 14 4
2 1 4
1 4
2 1 2 1
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )
4 3 99 9
4 12 9 9
2 3 9
2 3 3 2 3 3
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b ba b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )
4 29 259 9
4 20 25 9
2 5 9
2 3 5 2 3 5
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
x xx x
x x x
x x
x x x x
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )( )
x x y yx y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
4 164 4
8 16 4
4 4
2 4 2 4
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )( )
16 25 9
16 24 9
4 3
4 3 4 3
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
m m n nm n m n
m m n n m n
m n m n
m mn n m mn n
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
11. 11. 11. 11. 11.
( )( )( )
25 54 4916 16
25 70 49 16
5 7 16
5 4 7 5 4 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b ba b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )
36 109 4925 25
36 84 49 25
6 7 25
6 5 7 6 5 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y yx y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )
81 2 116 16
81 18 1 16
9 1 16
9 4 1 9 4 1
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
m mm m
m m m
m m
m m m m
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )( )
c cc c
c c c
c c
c c c c
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
45 10025 25
20 100 25
10 25
5 10 5 10
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
15.15.15.15.15.
( )( )( )
4 53 49
25 25
4 28 49 25
2 7 25
2 5 7 2 5 7
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
a a b ba b a b
a a b b a b
a b a b
a a b b a a b b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )( )
49 76 6436 36
49 112 64 36
7 8 36
8 6 7 8 6 7
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
n nn n
n n n
n n
n n n n
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( )
25 139 8149 49
25 90 81 49
5 9 49
5 7 9 5 7 9
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y yx y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )( )
49 76 10064 64
49 140 100 64
7 10 64
7 8 10 7 8 10
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x x y yx y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
19. 19. 19. 19. 19.
( )( )( )
4 108 12164 64
4 44 121 64
2 11 64
2 8 11 2 8 11
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
x xx x
x x x
x x
x x x x
20.20.20.20.20.
( )( )( )
121 133 36
121 132 36
11 6
11 6 11 6
4 2 4 8
2 4 2 4
4 2 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
x x y yx y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )( )
144 23 949 49
144 72 9 49
12 3 49
12 7 3 12 7 3
6 12
6 6
6 12 6
6 2 6
3 6 3 6
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
n nn n
n n n
n n
n n n n
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )( )
16 9
16 8
4
4 4
4 8
4 4
4 8 4
4 2 4
2 4 2 4
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
c cc c
c c c
c c
c c c c
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )( )
64 169 8125 25
64 144 81 25
8 9 25
8 5 9 8 5 9
4 2 4 8
2 4 2 4
4 2 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 4 2 4
a a b ba b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )
225 525 25
225 30 25
15 25
5 15 5 15
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
m mm m
m m m
m m
m m m m
EJERCICIO 97
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )( )
x yx y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
6416 16
16 64 16
8 16
4 8 4 8
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )( )
4
4 4
4 4 4
2 4
2 2 2 2
8 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x yx y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )( )
1 126 169100 100
1 26 169 100
1 13 100
1 10 13 1 10 13
2 4 4 8
2 4 2 4
2 4 4 8 2 4
2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
a b a ba b a b
a b a b a b
a b a b
ab a b ab a b
26.26.26.26.26.
( )( )( )
x y x yx y x y
x y x y x y
x y x y
x y xy x y xy
4 4 2 2
2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
21 121
22 121
11
11 11
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
27. 27. 27. 27. 27.
( )( )( )
49 75 196121 121
49 196 196 121
7 14 121
7 11 14 7 11 14
8 4 2 2 4 4
4 2 2 4 2 2
8 4 2 2 4 4 4 2 2
4 2 2 2 4 2 2
4 2 2 2 4 2 2 2
c c m n m nc m n c m n
c c m n m n c m n
c m n c m n
c c mn m n c c mn m n
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
28. 28. 28. 28. 28.
( )( )( )
81 292 2564 4
81 288 256 4
9 16 4
9 2 16 9 2 16
4 8 2 4 8 16
2 4 8 2 4 8
4 8 2 4 8 16 2 4 8
2 4 8 2 2 4 8
2 4 2 4 8 2 4 2 4 8
a b a b x xa b x a b x
a b a b x x a b x
a b x a b x
a b ab x x a b ab x x
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )( )
a ba b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
32436 36
36 324 36
18 36
6 18 6 18
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )( )
4 8136 36
4 36 81 36
2 9 36
2 6 9 2 6 9
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
m nm n m n
m m n n m n
m n m n
m mn n m mn n
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )( )
4 625
100 100
4 100 625 100
2 25 100
25 10 2 25 10 2
8
4 4
4 8 4
4 2 4
4 2 4 2
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
xx x
x x x
x x
x x x x
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( )
6416 16
64 16 16
8 16
4 8 4 8
12
6 6
6 12 6
6 2 6
6 3 6 3
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
aa a
a a a
a a
a a a a
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )
1 44 4
1 4 4 4
1 2 4
2 2 1 2 2 1
4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
nn n
n n n
n n
n n n n
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )
6416 16
64 16 16
8 16
8 4 8 4
8 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
x yx y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )( )
81 64
144 144
81 144 64 144
9 8 144
9 12 8 9 12 8
4 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a ba b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
+
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
EJERCICIO 98
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x x x x2 7 10 5 2+ + = + +
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x2 5 6 3 2− + = − −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )x x x x2 3 10 5 2+ − = + −
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x x x x2 2 2 1+ − = + −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )a a a a2 4 3 3 1+ + = + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )m m m m2 5 14 7 2+ − = + −
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )y y y y2 9 20 5 4− + = − −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )x x x x2 6 3 2− − = − +
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )x x x x2 9 8 8 1− + = − −
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )c c c c2 5 24 8 3+ − = + −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )x x x x2 3 2 2 1− + = − −
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )a a a a2 7 6 6 1+ + = + +
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )y y y y2 4 3 3 1− + = − −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )n n n n2 8 12 6 2− + = − −
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )x x x x2 10 21 7 3+ + = + +
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )a a a a2 7 18 9 2+ − = + −
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )m m m m2 12 11 11 1− + = − −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )x x x x2 7 30 10 3− − = − +
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )n n n n2 6 16 8 2+ − = + −
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )a a a a2 21 20 20 1− + = − −
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )y y y y2 30 6 5+ − = + −
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )a a a a2 11 28 7 4− + = − −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )n n n n2 6 40 10 4− − = − +
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )x x x x2 5 36 9 4− − = − +
25. 25. 25. 25. 25. ( )( )a a a a2 2 35 7 5− − = − +
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x x x x2 14 13 13 1+ + = + +
27.27.27.27.27. ( )( )a a a a2 14 33 11 3− + = − −
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )m m m m2 13 30 15 2+ − = + −
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )c c c c2 13 14 14 1− − = − +
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )x x x x2 15 56 8 7+ + = + +
31. 31. 31. 31. 31. ( )( )x x x x2 15 54 9 6− + = − −
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )a a a a2 7 60 12 5+ − = + −
33. 33. 33. 33. 33.
( )( )
x x
x x
2 17 6060 230 2 2 2 5 2015 3 3 1 35 5 20 3 17
1 20 3
− −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
34. 34. 34. 34. 34.
( )( )
x x
x x
2 8 180180 290 2 2 3 3 1845 3 2 5 1015 3 18 10 8
5 5 18 101
+ −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
= + −
35. 35. 35. 35. 35.
( )( )
m m
m m
2 20 300300 2150 2 2 3 5 3075 3 2 5 1025 5 30 10 20
5 5 30 101
− −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
36. 36. 36. 36. 36.
( )( )
x x
x x
2 132132 266 2 2 2 3 1233 3 11 1 1111 11 12 11 1
1 12 11
+ −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
= + −
37. 37. 37. 37. 37.
( )( )
m m
m m
2 2 168168 284 2 2 2 3 1242 2 2 7 1421 3 14 12 2
7 7 14 121
− −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
38. 38. 38. 38. 38.
( )( )
c c
c c
2 24 135135 345 3 3 3 915 3 3 5 155 5 15 9 24
1 15 9
+ +
⋅ =⋅ =
⇒ + =
= + +
39. 39. 39. 39. 39.
( )( )
m m
m m
2
4
2
41 400400 2200 2 2 16100 2 5 2550 2 25 16 41
25 5 25 165 51
− +
=
=⇒ + =
= − −
40. 40. 40. 40. 40.
( )( )
a a
a a
2
2
380380 2190 2 2 5 2095 5 19 1 1919 19 20 19 1
1 20 19
+ −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= + −
41. 41. 41. 41. 41.
( )( )
x x
x x
2 12 364364 2182 2 2 13 2691 7 2 7 1413 13 26 14 12
1 26 14
+ −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= + −
42. 42. 42. 42. 42.
( )( )
a a
a a
2
3
2
42 432432 2
216 2 2 3 24108 2 2 3 1854 2 24 18 42
27 3 24 189 33 31
+ +
⋅ =
⋅ =⇒ + =
= + +
43. 43. 43. 43. 43.
( )( )
m m
m m
2 30 675675 3225 5 3 5 3 4545 3 3 5 1515 3 45 15 30
5 5 45 151
− −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
44. 44. 44. 44. 44.
( )( )
y y
y y
2
3
50 336336 3112 2 3 7 2 4256 2 2 828 2 42 8 50
14 2 42 87 71
+ +
⋅ ⋅ =
=⇒ + =
= + +
45. 45. 45. 45. 45.
( )( )
x x
x x
2
3
2 528528 2264 2 2 3 24132 2 2 11 2266 2 24 22 2
33 3 24 2211 111
− −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
46. 46. 46. 46. 46.
( )( )
n n
n n
2
4
3
43 432432 2
216 2 2 16108 2 3 2754 2 16 27 43
27 3 16 279 33 31
+ +
=
=⇒ + =
= + +
47. 47. 47. 47. 47.
( )( )
c c
c c
2
4
2
4 320320 2
160 2 2 1680 2 2 5 2040 2 20 16 4
20 2 20 1610 25 51
− −
=
⋅ =⇒ − =
= − +
48. 48. 48. 48. 48.
( )( )
m m
m m
2
2
2 2
8 1 0081 008 2
504 2 2 7 28252 2 2 3 36126 2 36 28 8
63 3 36 2821 37 71
− −
⋅ =
⋅ =⇒ − =
= − +
..
EJERCICIO 99
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )x x x x4 2 2 25 4 4 1+ + = + +
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x x x x6 3 3 36 7 7 1− − = − +
3.3.3.3.3. ( )( )x x x x8 4 4 42 80 10 8− − = − +4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x y xy xy xy2 2 12 4 3+ − = + −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )( )4 2 4 15 4 5 4 32x x x x− − = − +
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )( )5 13 5 42 5 7 5 62x x x x+ + = + +
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )x ax a x a x a2 22 15 5 3+ − = + −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )a ab b a b a b2 24 21 7 3− − = − +
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y− + − − = − + − −2
2 24 6 4
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( ) ( )( )− + +
= − − − = − − + = − +
x x
x x x x x x
2
2
4 5
4 5 5 1 5 1
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )x x x x10 5 5 520 5 4+ − = + −12. 12. 12. 12. 12. ( )( )m mn n m n m n2 256 8 7+ − = + −
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )x ax a
x a x a
4 2 2
2 2
7 60
12 5
+ −
= + −
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )
( )( )2 4 2 3
2 3 2 1
2x x
x x
− +
= − −
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )( )( )
m n m n
m n m n
− + − −
= − + − −
25 24
8 3
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
x x
x x
8 4
4
4 4
240240 2120 2 2 1660 2 3 5 1530 2 16 15 1
15 3 16 155 51
+ −
=⋅ =
⇒ − =
= + −
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
y y
y y
y y y y
2
2
2 15
2 15
5 3 5 3
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )
a b a b
a b a b
4 4 2 2
2 2 2 2
2 9999 3 3 3 933 3 11 1 1111 11 11 9 2
1 11 9
− −⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
19. 19. 19. 19. 19.
( )( )c cd d
c d c d
2 211 28
7 4
+ +
= + +
20. 20. 20. 20. 20. ( )
( )( )
25 5 5 8484 242 2 2 3 1221 3 7 1 77 7 12 7 5
1 5 12 5 7
2
2
x x
x x
− −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )
a ab b
a b a b
2 221 9898 2 2 7 1449 7 7 1 77 7 14 7 21
1 14 7
− +⋅ =⋅ =
⇒ + =
= − −
22.
( )( )
x y x y
x y x y
4 4 2 2
2 2 2 2
132132 266 2 2 2 3 1233 3 11 1 1111 11 12 11 1
1 12 11
+ −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
= + −
23.
( )( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
x x
x x
x x x x
4 2
4 2
2 2 2 2
2 48
2 48
8 6 8 6
24. ( ) ( )( )( )
c d c d
c d c d
+ − + +
= + − + −
218 65
13 5
25.
( )( )
a axy x y
a xy a xy
2 2 2
2
2 440440 2220 2 2 5 20110 2 11 2 2255 5 22 20 2
11 11 22 201
+ −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= + −
26.
( )( )
m n m n
m n m n
6 6 3 3
3
3 3 3 3
21 104104 2
52 2 2 826 2 13 1 1313 13 13 8 21
1 13 8
− +
=⋅ =
⇒ + =
= − −
27.
( )( )( ) ( )( )
− + +
= − − −
= − − + = − +
n n
n n
n n n n
2
2
5 14
5 14
7 2 7 2
28.
( )( )
x x
x x
6 3
3 3
930930 2465 5 2 5 3 3093 3 31 1 3131 31 31 30 1
1 31 30
+ −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
= + −
29. ( ) ( )
( )( )
4 8 4 105105 521 3 5 3 157 7 7 1 71 15 7 8
4 15 4 7
2 2 2
2 2
x x
x x
− −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
30.
( )( )x abx a b
x ab x ab
4 2 2 2
2 2
5 36
9 4
+ −
= + −
31.
( )( )
a a b b
a b a b
4 2 2 4
2
2 2 2 2
156156 2
78 2 2 3 1239 3 13 1 1313 13 13 12 1
1 13 12
− −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
32.
( )( )( )
( )( )
− + +
= − − −
= − − +
= − +
x ax a
x ax a
x a x a
a x x a
2 2
2 2
4 21
4 21
7 3
7 3
33.
( )( )x y x y a
x y a x y a
8 8 4 4 2
4 4 4 4
15 100
20 5
− −
= − +
34. ( ) ( )
( )( )( )( )
a a
a a
a a
− + − −
⋅ ==
⇒ − =
= − + − −
= + −
1 3 1 108108 254 2 2 3 1227 3 3 99 3 12 9 3
3 3 1 12 1 9
1 11 10
2
2
2
35.
( )( )m abcm a b c
m abc m abc
2 2 2 256
8 7
+ −
= + −
36. ( ) ( )
( )( )
7 24 7 128128 432 4 4 168 4 4 2 82 2 16 8 24
1 7 16 7 8
2 2 2
2
2 2
x x
x x
+ +
=⋅ =
⇒ + =
= + +
EJERCICIO 100
1.
( )
( )( )
( )( )
2 3 24 3 2 4
2 4 2 12
2 2 1
2
2
x xx x
x x
x x
+ −= + −
=+ −
= + −
2.
( )
( )( )
( )( )
3 5 29 5 3 6
3 6 3 13
2 3 1
2
2
x xx x
x x
x x
− −= − −
=− +
= − +
3.
( )
( )( )
( )( )
6 7 2
36 7 6 12
6 4 6 32 3
3 2 2 1
2
2
x xx x
x x
x x
+ +
= + +
=+ +
⋅
= + +
4.
( )
( )( )
( )( )
5 13 625 13 5 30
5 15 5 25
3 5 2
2
2
x xx x
x x
x x
+ −= + −
=+ −
= + −
5.
( )
( )( )
( )( )
6 5 6
36 5 6 36
6 9 6 43 2
2 3 3 2
2
2
x xx x
x x
x x
− −
= − −
=− +
⋅
= − +
6.
( )
( )( )
( )( )
12 6144 1 12 72
12 9 12 83 4
4 3 3 2
2
2
x xx x
x x
x x
− −
= − −
=− +
⋅
= − +
7. ( )
( )( )
( )( )
4 15 916 15 4 36
4 12 4 34
3 4 3
2
2
a aa a
a a
a a
+ += + +
=+ +
= + +
8. ( )
( )( )
( )( )
10 11 3100 11 10 30
10 6 10 52 5
5 3 2 1
2
2
a aa a
a a
a a
+ +
= + +
=+ +
⋅
= + +
9.
( )
( )( )
( )( )
12 13 35
144 13 12 420420 4 4 7 28105 5 5 3 1521 3 28 15 13
7 712 28 12 15
4 3
1 3 7 4 5
2
2
m mm m
m m
m m
− −
= − −⋅ =
⋅ =⇒ − =
=− +
⋅
= − +
10.
( )( )( )
( )( )
20 1
400 1 20 20
20 5 20 45 4
4 1 5 1
2
2
y y
y y
y y
y y
+ −
= + −
=+ −
⋅
= + −
11.
( )
( )( )
( )( )
8 14 1564 14 8 120
120 260 2 2 2 5 2030 2 2 3 615 3 20 6 14
5 58 20 8 6
4 2
1 2 5 4 3
2
2
a aa a
a a
a a
− −
= − −
⋅ ⋅ =⋅ =
⇒ − =
=− +
⋅
= − +
12.
( )
( )( )
( )( )
7 44 3549 44 7 245
245 549 7 7 7 497 7 5 1 51 49 5 44
7 49 7 57
7 7 5
2
2
x xx x
x x
x x
− −
= − −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=− +
= − +
13.
( )
( )( )
( )( )
15 16 15225 16 15 225
225 545 5 5 5 259 3 3 3 93 3 25 9 16
115 25 15 9
5 3
3 5 5 3
2
2
m mm m
m m
m m
+ −
= + −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
14.
( )
( )( )
( )( )
2 5 24 5 2 4
2 4 2 12
2 2 1
2
2
a aa a
a a
a a
+ += + +
=+ +
= + +
15.
( )
( )( )
( )( )
12 7 12144 7 12 144
144 272 2 2 1636 2 3 918 2 16 9 7
9 312 16 12 9
4 3
3 3 3 4 4 31
2
2
4
2
x xx x
x x
x x
− −
= − −
=
=⇒ − =
=− +
⋅
= − +
16.
( )
( )( )
( )( )
9 10 181 10 9 9
9 9 9 19
1 9 1
2
2
a aa a
a a
a a
+ += + +
=+ +
= + +
17.
( )
( )( )
( )( )
20 9 20400 9 20 400
400 2200 2 2 16100 2 5 2550 2 25 16 9
25 520 25 20 16
5 4
5 5 4 5 5 41
2
2
4
2
n nn
n n
n n
− −
= − −
=
=⇒ − =
=− +
⋅
= − +
18.
( )
( )( )
( )( )
21 11 2441 11 21 42
21 14 21 37 3
3 2 7 1
2
2
x xx x
x x
x x
+ −
= + −
=+ −
⋅
= + −
19.
( )( )
( )( )
15 6225 15 90
15 10 15 95 3
3 2 5 3
2
2
m mm m
m m
m m
+ −
= + −
=+ −
⋅
= + −
20. ( )
( )( )
( )( )
15 8 12225 8 15 180
180 290 2 2 3 1845 5 5 2 109 3 18 10 8
3 315 18 15 10
3 5
1 5 6 3 2
2
2
2
a aa a
a a
a a
− −= − −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=− +
⋅
= − +
21.
( )
( )( )
( )( )
9 37 481 37 9 36
9 36 9 19
4 9 1
2
2
x xx x
x x
x x
+ += + +
=+ +
= + +
22. ( )
( )( )
( )( )
20 44 15400 44 20 300
300 2150 2 2 5 5075 5 2 3 615 5 50 6 44
3 320 50 20 6
10 2
1 2 5 10 3
2
2
2
n nn n
n n
n n
+ −= + −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
23. ( )
( )( )
( )( )
14 31 10196 31 14 140
140 270 2 5 7 3535 5 2 2 47 7 35 4 31
114 35 14 4
7 2
2 5 7 2
2
2
m mm m
m m
m m
− −= − −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=− +
⋅
= − +
24.
( )
( )( )
( )( )
2 29 904 29 2 180
180 290 2 2 5 2045 3 3 915 3 20 9 29
5 52 20 2 9
21 2 10 2 9
2
2
2
2
x xx x
x x
x x
+ += + +
⋅ =
=⇒ + =
=+ +
= + +
25.
( )
( )( )
( )( )
20 7 40400 7 20 800
800 4200 4 4 2 32
50 5 5 2510 5 32 25 7
2 220 32 20 25
4 5
1 5 8 4 5
2
2
2
2
a aa a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
=⇒ − =
=− +
⋅
= − +
26.
( )( )
( )( )
4 3316 4 132
132 266 2 2 3 1233 3 11 1 1111 11 12 11 1
14 12 4 11
43 4 11
2
2
2
n nn n
n n
n n
+ −
= + −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=+ −
= + −
27.
( )
( )( )
( )( )
30 13 10900 13 30 300
300 2150 2 5 2575 5 2 3 1215 5 25 12 13
3 330 25 30 12
5 6
1 6 5 5 2
2
2
2
2
x xx x
x x
x x
+ −
= + −
=
⋅ =⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
EJERCICIO 101
1.
( ) ( )( )( )
( )( )
6 5 6
6 5 6 36
6 9 6 43 2
2 3 3 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=+ −
⋅
= + −
2.
( ) ( )( )( )
( )( )
5 4 12
5 4 5 60
5 10 5 65
2 5 6
6 3
3 2 3
3 3
3 3
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=+ −
= + −
3.
( ) ( )( )( )
( )( )
10 29 10
10 29 10 100
10 25 10 45 2
2 5 5 2
8 4
4 2 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
+ +
= + +
=+ +
⋅
= + +
4.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 5 21
6 5 6 126126 263 3 2 7 1421 7 3 3 93 3 14 9 5
16 14 6 9
2 3
3 7 2 3
2 2
2
a x ax
ax ax
ax ax
ax ax
+ −
+ −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
5.
( ) ( )
( )( )
( )( )
20 9 20
20 9 20 400400 2200 2 5 25100 2 2 1650 2 25 16 9
25 520 25 20 16
5 4
5 5 4 5 5 41
2 2
2
2
4
x y xy
xy xy
xy xy
xy xy
+ −
= + −
=
=⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
15 2
15 15 30
15 6 15 53 5
5 2 3
2 2
2 2
x ax a
x a x a
x a x a
x a x a
− −
= − −
=− +
⋅
= − +
7.
( )( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( )( )( )
− − +
= − + −
= − + −
⋅ =
=⇒ − =
=− + −
⋅
= − + −
= + −
10 7 12
10 7 12
10 7 10 120120 260 2 5 3 1530 2 2 815 5 15 8 7
3 310 15 10 8
5 2
1 2 3 5 4
2 3 4 5
2
2
2
3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
8.
( )
( )( )
( )( )
21 29 72
441 29 21 1 5121 512 2756 2 2 7 56378 2 3 27189 3 56 27 29
63 321 56 21 27
7 3
21 3 3 8 7 97 71
2 2
2 2
3
3
x xy y
x xy y
x y x y
x y x y
− −
= − −
⋅ ==
⇒ − =
=− +
⋅
= − +
..
9.
( )
( )( )
( )( )
6 13 1536 13 6 90
6 18 6 56
3 6 5
2 2
2 2
m am am am a
m a m a
m a m a
− −= − −
=− +
= − +
10.
( ) ( )
( )( )
( )( )
14 45 14
14 45 14 196196 298 2 7 7 4949 7 2 2 47 7 49 4 45
114 49 14 4
7 2
2 7 7 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=− +
⋅
= − +
11.
( )
( )( )
( )( )
30 13 3
900 13 30 90
30 18 30 56 5
5 3 6
2 2
2 2
a ab ba ab b
a b a b
a b a b
− −
= − −
=− +
⋅
= − +
12.
( ) ( )( )( )
( )( )
7 33 10
7 33 7 70
7 35 7 27
5 7 2
6 3
3 2 3
3 3
3 3
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=− +
= − +
13.
( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −− +
= − − +
= − +
3 13 30
3 13 30
9 13 3 90
3 18 3 53
6 3 5
6 3 5
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
14.
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −− +
⋅
= − − +
= − +
6 7 5
6 7 5
6 7 6 30
6 10 6 32 3
3 5 2 1
5 3 2 1
8 4
8 4
4 2 4
4 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
15.
( )( )
( )( )
6 1536 6 90
6 10 6 92 3
3 5 2 3
2 2
2 2
a ax xa ax x
a x a x
a x a x
− −
= − −
=− +
⋅
= − +
16.
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 7 15
4 7 4 60
4 12 4 54
3 4 5
2 2 2
2 2 2
x mnx m n
x mn x m n
x mn x mn
x mn x mn
+ −
= + −
=+ −
= + −
17.
( ) ( )
( )( )
( )( )
18 17 15
18 17 18 270270 2135 5 3 2727 3 5 2 109 3 27 10 17
3 318 27 18 10
9 2
1 2 3 9 5
2 2
2 2
3
a ay y
a y a y
a y a y
a y a y
+ −
= + −
=⋅ =
⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
18.
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −− +
⋅
= − − +
= − +
8 2 15
8 2 15
8 2 8 120
8 12 8 104 2
2 3 4 5
3 2 4 5
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
19.
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
− + +
= − − −
= − − −
= −− +
⋅
= − − +
= − +
25 5 6
25 5 6
25 5 25 150
25 15 25 105 5
5 3 5 2
3 5 5 2
8 4
8 4
4 2 4
4 4
4 4
4 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x20.
( ) ( )( )( )
( )( )
30 91 30
30 91 30 900
30 100 30 910 3
3 10 10 3
10 5
5 2 5
5 5
5 5
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=− +
⋅
= − +
21.
( ) ( )
( )( )
( )( )
30 17 21
30 17 30 630630 2315 5 5 7 3563 3 2 3 1821 3 35 18 17
7 730 35 30 18
5 6
1 6 7 5 3
2 2
2 2
2
m am a
m a m a
m a m a
m a m a
+ −
= + −
⋅ =
⋅ =⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
22.
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
− + −
= − − +
= − − +
= −− −
⋅
= − − −
= − −
15 16 4
15 16 4
15 16 15 60
15 10 15 65 3
3 2 5 2
3 2 2 5
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
a a
23.
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
− + −
= − − +
= − − +
= −− −
⋅
= − − −
= − −
6 11 4
6 11 4
6 11 6 24
6 8 6 32 3
3 4 2
4 3 2
2 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
y x y x
y x y x
y x y x
x y y x
24.
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )( )
− + −
= − − +
= − − +
⋅ =⋅ =
⇒ + =
= −− −
⋅
= − − −
= − −
20 27 9
20 27 9
20 27 20 180180 290 2 2 3 1245 5 5 3 159 3 15 12 27
3 320 15 20 12
5 4
1 4 3 5 3
4 3 3 5
2 2
2 2
2 2
2
a ab b
a ab b
a b a b
a b a b
a b a b
a b b a
EJERCICIO 102
1. ( )a a a a3 2 33 3 1 1+ + + = +
2. ( )27 27 9 32 3 3− + − = −x x x x
3. ( )m m n mn n m n3 2 2 3 33 3+ + + = +
4. ( )1 3 3 12 3 3− + − = −a a a a
5. ( )8 12 6 22 4 6 2 3+ + + = +a a a a
6. ( )125 75 15 1 5 13 2 3x x x x+ + + = +
7. ( )8 36 54 27 2 33 2 2 3 3a a b ab b a b− + − = −
8. ( )27 108 144 64 3 43 2 2 3 3m m n mn n m n+ + + = +
9. x x x No es cubo perfecto3 23 3 1− + + =
10. 1 12 6 82 3 3+ − − =a b ab a b No es cubo perfecto
11. ( )125 150 60 8 5 23 2 2 3 3a a b ab b a b+ + + = +
12. ( )8 36 54 27 2 32 3 3+ + + = +x x x x
13. 8 12 642 4 6− − − =a a a No es cubo perfecto
14. ( )a a b a b b a b6 4 3 2 6 9 2 3 33 3+ + + = +
15. ( )x x y x y y x y9 6 4 3 8 12 3 4 39 27 27 3− + − = −
16. ( )64 240 300 125 4 53 2 2 3 3x x y xy y x y+ + + = +
17. ( )216 756 882 343 6 72 4 6 2 3− + − = −a a a a
18. ( )125 600 960 512 5 812 8 5 4 10 15 4 5 3x x y x y y x y+ + + = +
19. ( )a a a a18 12 6 6 33 3 1 1+ + + = +
20. ( )m am n a mn a n m an3 2 2 2 3 3 33 3− + − = −
21. ( )1 18 108 216 1 62 3 4 6 6 9 2 3 3+ + + = +a b a b a b a b
22. ( )64 240 300 125 4 59 6 4 3 8 12 3 4 3x x y x y y x y− + − = −
EJERCICIO 103
1. ( )( )1 1 13 2+ = + − +a a a a
2. ( )( )1 1 13 2− = − + +a a a a
3. ( )( )x y x y x xy y3 3 2 2+ = + − +
4. ( )( )m n m n m mn n3 3 2 2− = − + +
5. ( )( )a a a a3 21 1 1− = − + +
6. ( )( )y y y y3 21 1 1+ = + − +
7. ( )( )y y y y3 21 1 1− = − + +
8. ( )( )8 1 2 1 4 2 13 2x x x x− = − + +
9. ( )( )1 8 1 2 1 2 43 2− = − + +x x x x
10. ( )( )x x x x3 227 3 3 9− = − + +
11. ( )( )a a a a3 227 3 3 9+ = + − +
12. ( )( )8 2 4 23 3 2 2x y x y x xy y+ = + − +
13. ( )( )27 3 9 33 3 2 2a b a b a ab b− = − + +
14. ( )( )64 4 16 46 2 2 4+ = + − +a a a a
15. ( )( )a a a a3 2125 5 5 25− = − + +
16. ( )( )1 216 1 6 1 6 363 2− = − + +m m m m
17. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 6 2 2 2 4a b a b a ab b+ = + − +
18. ( )( )x b x b x x b b6 9 2 3 4 2 3 6− = − + +
19. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 3 2 2x y x y x xy y− = − + +
20. ( )( )1 343 1 7 1 7 493 2+ = + − +n n n n
21. ( )( )64 729 4 9 16 36 813 2a a a a− = − + +
22. ( )( )a b x ab x a b abx x3 3 6 2 2 2 2 4− = − + +
23. ( )( )512 27 8 3 64 24 99 3 3 6+ = + − +a a a a
24. ( )( )x y x y x x y y6 12 2 4 4 2 4 88 2 2 4− = − + +
25. ( )( )1 729 1 9 1 9 816 2 2 4+ = + − +x x x x
26. ( )( )27 64 3 4 9 12 163 9 3 2 3 6m n m n m mn n+ = + − +
27. ( )( )343 512 7 8 49 56 643 6 2 2 2 4x y x y x xy y+ = + − +
28. ( )( )x y y xy y x y xy y3 6 9 2 3 2 4 5 6216 6 6 36− = − + +
29. ( )( )a b x abx a b x abx3 3 3 2 2 21 1 1+ = + − +
30. ( )( )x y x y x x y y9 9 3 3 6 3 3 6+ = + − +
31. ( )( )1 000 1 10 1 100 10 13 2. x x x x− = − + +
32. ( )( )a b a b a a b b6 12 2 4 4 2 4 8125 5 5 25+ = + − +
33. ( )( )x y x y x x y y12 12 4 4 8 4 4 8+ = + − +
34. ( )( )1 27 1 3 1 3 93 3 2 2− = − + +a b ab ab a b
35. ( )( )8 729 2 9 4 18 816 2 4 2x x x x+ = + − +
36. ( )( )a b a b a ab b3 12 4 2 4 88 2 2 4+ = + − +
37. ( )( )8 125 2 5 4 10 259 3 6 3 2 6 3 2 2 4x y z x yz x x yz y z− = − + +
38. ( )( )27 343 3 7 9 21 496 9 2 3 4 2 3 6m n m n m m n n+ = + − +
39. ( )( )216 6 36 612 4 4 8− = − + +x x x x
EJERCICIO 104
1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )
1 1 1
1 1 2
3 2
2 2
+ + = + + − + + +
= + + − − + + +
x y x y x y x y
x y x y x xy y
2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )
1 1 1
1 1 2
3 2
2 2
− + = − + + + + +
= − − + + + + +
a b a b a b a b
a b a b a ab b
3. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )
27 3 9 3
3 9 3 3 2
3 2
2 2
+ − = + − − − + −
= + − − + + − +
m n m n m n m n
m n m n m mn n
4. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )
x y x y x y x y
x y x xy y x y
− − = − − − + − +
= − − − + + − +
3 2
2 2
8 2 2 4
2 2 2 2 4
5. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )
x y x y x y x y
x y x xy y x y
+ + = + + + − + +
= + + + + − − +
2 1 2 1 2 2 1
2 1 4 4 2 1
3 2
2 2
6. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 4 4
3 2
2 2
− − = − − + − + −
= − + + − + − +
a b a b a b a b
a b a b a ab b
7. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )( )
a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
3 3 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 2 1
2 1 1
+ + = + + − + + +
= + − − + + +
= + + +
8. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )( )( )
8 1 2 1 4 2 1 1
2 1 4 2 2 2 1
1 7 4 1
3 3 2 2
2 2 2
2
a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a
− − = − − + − + −
= − + + − + − +
= + − +
9. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )( )( )
27
3 9 3
3 9 3 3 2
2 13 5
3 3
2 2
2 2 2 2
2 2
x x y
x x y x x x y x y
x x y x x xy x xy y
x y x xy y
− −
= − − + − + −
= − + + − + − +
= + − +
10. ( )( ) ( ) ( )[ ]( )( )
2 27
2 3 2 3 2 9
2 3 4 4 6 3 9
3
2
2 2
a b
a b a b a b
a b a ab b a b
− −
= − − − + − +
= − − − + + − +
11. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )( ) ( )
x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
6 3
2 4 2 2
2 4 3 2 2
2 4 3 2
2
2 2 2
2 2 4 4
2 3 4 4
− +
= − + + + + +
= − − + + + + +
= − − + + + +
12. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )
a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a
+ + −
= + + − + − − + + −
= − + + − + + + − +
= − − +
1 3
1 3 1 3 1 3
2 2 2 1 2 3 6 9
2 2 2 13
3 3
2 2
2 2 2
2
13. ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )( ) ( )
x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
− − +
= − − + − + − + + +
= − − − − + + + − + + +
= − + + = − + +
1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 2 1 2 4 4
3 3 3 3 9 1
3 3
2 2
2 2 2
2 2
14. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )
( )
x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x xy y x y x xy y
y x y
− − +
= − − + − + − + + +
= − − − − + + − + + +
= − +
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 3
15. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )
m m
m m m m m m
m m m m m m m m
m m m
− + −
= − + − − − − − + −
= − + − − + − + − + − +
= − − +
2 3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 4 5 6 6 9
2 5 5 7
3 3
2 2
2 2 2
2
16. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )
2 3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 4 6 9 6
5 7 3 3
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x xy y x xy y x xy y
x x xy y
− + +
= − + + − − − + + +
= − + + − + − + + + + +
= + +
17. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( )( )( )
8
2 4 2
2 2 4 8 4 2 2 2
3 3 6 7
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a ab b a b a ab b
a b a ab b
+ + −
= + + − + − + − + −
= + + − + + − + + − +
= + + +
18. ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( )( )
64 125
4 5 16 4 5 25
4 4 5 16 32 16 20 20 25
3
2
2 2
m n
m n m n m n
m n m mn n m n
+ −
= + − + + + +
= + − + + + + +
EJERCICIO 105
1. ( )( )a a a a a a5 4 3 21 1 1+ = + − + − +
2. ( )( )a a a a a a5 4 3 21 1 1− = − + + + +
3. ( )( )1 1 15 2 3 4− = − + + + +x x x x x x
4.
( )( )a b
a b a a b a b a b a b ab b
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
+
= + − + − + − +
5.
( )( )m n
m n m m n m n m n m n mn n
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
−
= − + + + + + +
6. ( )( )a a a a a a5 4 3 2243 3 3 9 27 81+ = + − + − +
7. ( )( )32 2 16 8 4 25 2 3 4− = − + + + +m m m m m m
8. ( )( )1 243 1 3 1 3 9 27 815 2 3 4+ = + − + − +x x x x x x9.
( )( )x
x x x x x x x
7
6 5 4 3 2
128
2 2 4 8 16 32 64
+
= + − + − + − +
10. ( )( )243 32 3 2 81 54 36 24 165 2 3 4− = − + + + +b b b b b b
11. ( )( )a b c a bc a a bc a b c ab c b c5 5 5 4 3 2 2 2 3 3 4 4+ = + − + − +12.
( )( )m a x
m ax m m ax m a x m a x m a x ma x a x
7 7 7
6 5 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
−
= − + + + + + +
13. ( )( )1 1 17 2 3 4 5 6+ = + − + − + − +x x x x x x x x 14.
( )( )x y
x y x x y x y x y x y xy y
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
−
= − + + + + + + 15.
( )( )a
a a a a a a a
7
6 5 4 3 2
2 187
3 3 9 27 81 243 729
+
= + − + − + − +
.
16. ( )( )1 128 1 2 1 2 4 8 16 32 647 2 3 4 5 6− = − + + + + + +a a a a a a a a
17. ( )( )x y x y x x y x y x y y10 5 2 8 6 4 2 2 3 432 2 2 4 8 16+ = + − + − + 18.
( )( )1 128
1 2 1 2 4 8 16 32 64
4
2 2 4 6 8 10 12
+
= + − + − + − +
x
x x x x x x x
EJERCICIO 106
1. ( )5 5 12a a a a+ = +
2. ( )m mx x m x2 2 22+ + = +
3. ( ) ( )( ) ( )
( )( )
a a ab b a a ab b
a a b a
a a b
2 2
1 1
1
+ − − = + − −
= + − +
= + −
4. ( )( )x x x x2 2 236 6 6 6− = − = + −
5. ( )9 6 32 2 2x xy y x y− + = −
6. ( )( )x x x x2 3 4 1 4− − = − +7.
( )( )
( )( )
6 236 6 12
6 4 6 33 2
3 2 2 1
2
2
x xx x
x x
x x
− −
= − −
=− +
⋅
= − +
8. ( )( )1 1 13 2+ = + − +x x x x
9. ( )( )27 1 3 1 9 3 13 2a a a a− = − + +
10. ( )( )x m x m x x m x m xm m5 5 4 3 2 2 3 4+ = + − + − +
11. ( )a a b ab a a ab b3 2 2 2 23 5 3 5− + = − +12.
( ) ( ) ( )( )2 6 3
2 3 3 3 2
xy y xz z
y x z x x y z
− + −
= − + − = − +
13. ( )1 4 4 1 22 2− + = −b b b
14.
( )( )( )
4 3
4 4
2
2 2
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y yx y x y
x x y y x y
x y x y
x xy y x xy y
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
15.
( )( )( )
x x y yx y x y
x x y y x y
x y x y
x x y y x x y y
8 4 4 8
4 4 4 4
8 4 4 8 4 4
4 4 2 4 4
4 2 2 4 4 2 2 4
62 4
2 4
4
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
16. ( )( )a a a a2 30 6 5− − = − +
17.
( )
( )( )
( )( )
15 11 14225 11 15 210
15 21 15 103 5
5 7 3 2
2
2
m mm m
m m
m m
+ −
= + −
=+ −
⋅
= + −
18. ( )( )a a a a6 2 4 21 1 1+ = + − +
19. ( )( )8 27 2 3 4 6 93 6 2 2 2 4m y m y m my y− = − + +20. ( )16 24 9 4 32 2 2
a ab b a b− + = −
21. ( )( )1 1 17 2 3 4 5 6+ = + − + − + − +a a a a a a a a22. ( )8 12 6 1 2 13 2 3
a a a a− + − = −
23. ( )( )1 1 12− = + −m m m
24. ( )( )x x x x4 2 2 24 21 7 3+ − = + −
25. ( )( )125 1 5 1 25 5 16 2 4 2a a a a+ = + − +26.
( ) ( )( )a ab b m
a b m a b m a b m
2 2 2
2 2
2+ + −
= + − = + + + −
27. ( )8 16 24 8 1 2 32 3 2 2 2a b a b a b a b a b+ − = + −
28.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )x x x
x x x x x x x x
5 4
5 4 4 4
1
1 1 1 1 1
− + −
= − + − = − + − = + −
29.
( )
( )( )
( )( )
6 19 20
36 19 6 120120 260 2 2 3 2430 2 5 1 515 3 24 5 19
5 56 24 6 5
61 4 6 5
2
2
3
x xx x
x x
x x
+ −
= + −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=+ −
= + −
30. ( )( )25 81 5 9 5 94 2 2 2x y x y x y− = + −
31. ( )( )1 1 13 2− = − + +m m m m
32.
( ) ( )( ) ( )( )( )
x a xy y ab b
x xy y a ab b
x y a b
x y a b x y a b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
− + + + −
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
33. ( )21 7 7 7 7 3 15 4 2 3 3 2 2 3 2 2m n m n m n m n m n m m n mn− + − = − + −34. ( ) ( ) ( ) ( )( )a x b x c x a b c x+ − + + + = − + +1 1 1 1
35. ( ) ( ) ( )4 4 22 2
+ − + − = + −x y x y x y
36. ( )( )1 1 12 4 2 2− = + −a b ab ab37. ( )b ab a b a2 2 2
12 36 6+ + = +
38. ( )( )x x x x6 3 3 34 77 11 7+ − = + −
39.
( ) ( )( )( )
( )( )
15 17 4
15 17 15 60
15 20 15 35 3
3 4 5 1
4 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− −
= − −
=− +
⋅
= − +
40. ( )( ) ( ) ( )[ ]( )( )
1 3
1 3 1 3 3
1 3 1 3 6 9
3
2
2 2
+ −
= + − − − + −
= + − − + + − +
a b
a b a b a b
a b a b a ab b
41.
( )( )( )
x xx x
x x x
x x
x x x x
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
259 9
10 25 9
5 9
3 5 3 5
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
42.
( )( )( )
a aa a
a a a
a a
a a a a
8 4
4 4
8 4 4
4 2 4
4 2 4 2
28 3616 16
12 36 16
6 16
4 6 4 6
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
43. ( )( )343 8 7 2 49 14 43 2+ = + − +a a a a44. ( )12 15 3 4 52 2 2a bx a by a b x y− = −
45. ( )( )x xy y x y x y2 22 15 5 3+ − = + −46.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
6 4 2 3
6 3 4 2
3 2 1 2 2 1
3 2 2 1
am an n m
am m an n
m a n a
m n a
− − +
= + − +
= + − +
= − +
47. ( )( )81 4 9 2 9 26 2 8 3 4 3 4a b c a bc a bc− = + −48. ( ) ( )( )16 2 4 2 4 2
2− + = + + − −a b a b a b
49.
( )( )( )
( )( )
20
20
5 4
5 4
2
2
− −
= − + −
= − + −
= + −
x x
x x
x x
x x
50. ( )( )n n n n2 42 7 6+ − = + −
51.
( ) ( )( ) ( )( )( )
a d n c an cd
a an n c cd d
a n c d
a n c d a n c d
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
− + − − −
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
52. ( )( )1 216 1 6 1 6 369 3 3 6+ = + − +x x x x
53 ( )( )x x x x3 264 4 4 16− = − + +54. ( )x x x x3 4 364 1 64− = −
55. ( )18 36 54 18 2 35 3 4 3 2 8 2 3 3 2 5ax y x y x y x y ax x y− − = − −56. ( )49 14 1 7 12 2a b ab ab− + = −
57. ( ) ( )( ) ( )( )x x x x x+ − = + + + − = + −1 81 1 9 1 9 10 82
58. ( ) ( )( )a b c a b c a b c2 2− + = + + − −
59. ( ) ( ) ( )m n m n m n+ − + + = + −2 2
6 9 3
60.
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 31 20
7 31 7 140140 270 2 7 5 3535 5 2 47 7 35 4 31
17 35 7 4
75 7 4
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ −
= + −
⋅ =
=⇒ − =
=+ −
= + −
64.
( )( )( )
1 2725 25
1 2 25
1 25
1 5 1 5
2 4
2 2
2 4 2
2 2 2
2 2
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
b bb b
b b b
b b
b b b b
66. ( )( )c d c d c d4 4 2 2 2 24 2 2− = + −
67. ( )15 15 20 5 3 3 44 3 2 2 2x x x x x x− + = − +68.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )a x a x
a x a x a x a x a x a x a x
2 2
2 2 1
− − −
= − − + = + − − + = + − −
61.
( )9 63 45
9 7 5
3 2
2
a a a
a a a
+ −
= + −62.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
ax a x
ax a x
a x x
a x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
1
1
1 1
1 1
63.
( )
81 25 9081 90 25
9 5
4 2 2
4 2 2
2 2
x y x yx x y y
x y
+ −
⇒ − +
= −
65.
( )( )( )
m m n nm n m n
m m n n m n
m n m n
m mn n m mn n
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
69.
( )( )
x x
x x
4 2
2 2
8 240240 460 4 4 5 2015 3 4 3 125 5 20 12 8
1 20 12
− −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
70.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 7 20
6 7 6 120120 430 3 4 2 810 5 5 3 152 2 15 8 7
16 15 6 8
3 2
2 5 3 4
4 2
2 2 2
2 2
2 2
m m
m m
m m
m m
+ −
= + −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
71.
( )9 4 12 9 12 4
3 2
2 2 2 2
2
n a an n an a
n a
+ − ⇒ − +
= −
72. ( )2 2 2 12 2x x+ = +73. ( ) ( ) ( )( )7 1 3 1 7 3 1a x y b x y a b x y+ − − + − = − + −
74. ( )( )x x x x2 3 18 6 3+ − = + −
75. ( ) ( ) ( )( )a m b n a m b n a m b n+ − + = + + + + − −2 2
76 ( )x x y xy y x y3 2 2 3 36 12 8 2+ + + = +
77. ( ) ( )
( )( )
( )( )
8 22 21
8 22 8 168168 442 2 3 2 621 3 4 7 287 7 28 6 22
18 28 8 6
4 2
2 7 4 3
2
2
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=− +
⋅
= − +
78. ( )1 18 81 1 92 2 2+ + = +ab a b ab
79. ( )( )4 1 2 1 2 16 3 3a a a− = + −80.
( )( )
x x
x x
6 3
3 3
4 480480 4120 3 5 4 2040 4 4 3 2 2410 5 24 20 4
2 2 24 201
− −
⋅ =⋅ ⋅ =
⇒ − =
= − +
81.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
ax bx b a by ay
ax ay a bx by b
a x y b x y
a b x y
− + − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
1 1
182
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
6 3 2 1
6 3 2 1
3 2 1 2 1 3 1 2 1
am m a
am m a
m a a m a
− − +
= − − −
= − − − = − −
83.
( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )( )( )
15 14 8
8 14 15
8 14 8 120120 430 3 4 5 2010 5 3 2 62 2 20 6 14
18 20 8 6
4 2
2 5 4 3
5 2 4 3
2
2
2
+ −
= − − −
= − − −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= −− +
⋅
= − − +
= − +
x x
x x
x x
x x
x x
x x
84. ( )a a a a a a a a10 8 6 4 4 6 4 2 1− + + = − + +85. ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 1 1 2 1x a a x a a a x− − + = − − − = − −
86.( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )m n m n n m n m n m n n m n m n+ − + − = − + + = − +3 3 4
87.
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
a b b x a x
b b x a a x
b x a x x a b
2 3 3 2 2 2
3 3 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 3
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
− + −
= − − + −
= − − + − = − −
88.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
2 3 3 2
2 3 2 3
2 3 1
am b c cm bm a
am cm bm b c a
m a c b b c a
m a b c a b c
a b c m
− − − − +
= − − − + −
= − − − + −
= − − + − −
= − − +
91. ( ) ( )( ) ( )( )81 9 9 10 82 2x a x x a x x a x x a x a− + = + + − − = + −
92.
( ) ( ) ( )( )a a x
a a x a x a x a x
2 2
2 2 2 2
9 6 16
6 9 16 3 16 3 4 4 3
+ − −
= − + − = − − = − + − −
93.
( ) ( ) ( )( )9 4 4
9 4 4 9 2 3 2 3 2
2 2
2 2 2 2
a x x
a x x a x a x a x
− − +
= − − + = − − = + − − +
94.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )9 3
9 3 3 3 3 3 3 1
2 2
2 2
x y x y
x y x y x y x y x y x y x y
− + −
= − + − = + − + − = − + +
95. ( )( )x x x x2 72 9 8− − = − +
96.
( )( )( )
36 120 4936 36
36 84 49 36
6 7 36
6 6 7 6 6 7
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b ba b a b
a a b b a b
a b a b
a ab b a ab b
− +
+ −
− + −
= − −
= + − − −
97.
( ) ( )( ) ( )( )( )
a m n mn ab b
a ab b m mn n
a b m n
a b m n a b m n
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 6 4 4
4 4 6 9
2 3
2 3 2 3
− − − + +
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
98. 149
123
123
8 4 4− = +
−
a a a
99.
( )( )( )
81 64144 144
81 144 64 144
9 8 144
9 12 8 9 12 8
8 12
4 6 4 6
8 4 6 12 4 6
4 6 2 4 6
4 2 3 6 4 2 3 6
a ba b a b
a a b b a b
a b a b
a a b b a a b b
+
+ −
+ + −
= + −
= − + + +
89. x x x222
319
13
− + = −
90.
( )( )4
2 2
2 4
2 2
a b
a b a b
n n
n n n n
−
= + −
101.
( )( )( )( )( )
x abx a ba b a b
x abx a b a b
x ab a b
x ab ab x ab ab
x ab x ab
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 3536 36
2 36
36
6 6
5 7
− −
+ −
− + −
= − −
= − + − −
= + −
100.
( ) ( )
( )( )
( )( )
49 77 30
49 77 49 1 4701 470 7210 730 56 6 7 5 351 7 6 42
42 35 77
49 35 49 427 7
7 5 7 6
2
2
x x
x x
x x
x x
− +
= − +
⋅ =⋅ =
⇒ + =
=− −
⋅
= − −
..
102. ( )125 225 135 27 5 33 2 3x x x x− + − = −
103. ( ) ( )( )( ) ( )( )
a a
a a a a a
− − +
= − + + − − − = + −
2 3
2 3 2 3 2 1 5
2 2
104.
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
4 12 5 15
4 12 5 15
4 3 5 3 3 4 5
2 2
2 2
2 2
a m a n bm bn
a m a n bm bn
a m n b m n m n a b
+ − −
= + − +
= + − + = + −
105. ( )1 6 9 1 33 6 3 2+ + = +x x x
106. ( )( )a a b b a b a b4 2 2 2 23 40 8 5+ − = + −
107. ( )( )m a x m ax m axm a x3 3 3 2 2 28 2 2 4+ = + − +
108.
( )[ ]( )[ ]( )( )[ ]
( )( )
1 9 24 16
9 24 16 1
3 4 1
3 4 1 3 4 1
3 4 1 1 4 3
2 2
2 2
2
− + −
= − − + −
= − − −
= − − + − −
= − + + −
x xy y
x xy y
x y
x y x y
x y y x
109.
( ) ( )
( )( )
( )( )
1 11 24
24 11 24 24
24 8 24 38 3
3 1 8 1
2
2
+ +
= + +
=+ +
⋅
= + +
x x
x x
x x
x x
110. ( )9 27 9 9 1 32 3 3 3 5 3 2 3 3x y x y x y x y x x− − = − −
111. ( )( )( )
a b c x y
a b c xy a b c xy
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
9
3 3
+ − −
= + − + + − −
112. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )( )( )
8 1 1
2 1 1 4 1 2 1 1
2 2 1 4 8 4 2 2 1
2 1 4 10 7
3
2
2
2
a
a a a
a a a a
a a a
+ −
= + − + + + +
= + − + + + + +
= + + +
113.
( )( )100 121
10 11 10 11
4 6 4
2 3 2 2 3 2
x y m
x y m x y m
−
= + −
114. ( ) ( )( )( ) ( )( )
a a
a a a a
2 2 2
2 2 2 2
1 5 1 24
1 8 1 3 9 2
+ + + −
= + + + − = + −
115. ( )( )1 1 000 1 10 1 10 1006 2 2 4+ = + − +. x x x x
116.
( )[ ]( )[ ]( )( )
( )( )
49 9 6
6 9 49
3 49
7 3 7 3
7 3 7 3
2 2 2
2 2 2
2 2
a x y xy
x xy y a
x y a
a x y a x y
a x y a x y
− − +
= − − + −
= − − −
= − + − − + −
= + − − +
117.
( ) ( )( ) ( )( )( )
x y x yz z
x x y yz z
x y z
x y z x y z
4 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2
2 2
4 4 4 4
4 4 4 4
2 2
2 2 2 2
− + + − −
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
118. ( )( )a a a a3 264 4 4 16− = − + +
119. ( )( )a x a x a a x a x ax x5 5 4 3 2 2 3 4+ = + − + − +
120. ( )( )a a b b a b a b6 3 2 3 33 54 9 6− − = − +
121.
( )
( )( )( ) ( )
165 4
4 165165 533 3 5 3 1511 11 11 1 111 15 11 4
15 11
15 11
2
2
+ −
= − − −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − − +
= − +
x x
x x
x x
x x
122.
( )( )( )
a aa a
a a a
a a
a a a a
4 2
2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
1
2 1
1
1 1
+ +
+ −
+ + −
= + −
= + + − +
123. x y x y x y2 6 3 3
4 81 2 9 2 9− = +
−
124. 168
5 254
52
2 2
xxy y
xy
+ + = +
125.
( )( )( )( )( )
a b a b
a b a b
a b
a b a b
a b a b
4 4 2 2
4 4 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 96100 100
4 4 100
2 100
2 10 2 10
12 8
+ −+ −
+ + −
= + −
= + + + −
= + −
126.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
8 7 21 7 8 24
7 21 7 8 8 24
7 1 3 8 1 3
1 3 7 8
2 3 2
2 3 2
2
2
a x y by ay a x a bx
y by ay a x a x a bx
y b a a x a b
b a y a x
+ + − − +
= + − + − +
= + − + − +
= + − +
127.
( )( )
x x
x x
4 2
2 2
11 390390 3130 2 13 2 2665 5 5 3 1513 13 26 15 11
1 26 15
+ −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= + −
128.
( )( ) ( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
7 33 10
10 33 7
10 33 10 70
10 35 10 25 2
2 7 5 1
7 2 5 1
2
2
2
+ −
= − − −
= − − −
= −− +
⋅
= − − +
= − +
m m
m m
m m
m m
m m
m m
129. ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )
4 9
2 3 2 3
2 2 3 3 2 2 3 3
2 2a b c d
a b c d a b c d
a b c d a b c d
+ − +
= + + + + − +
= + + + + − −
130. ( )( )729 125 9 5 81 45 253 12 4 4 2 8− = − + +x y xy xy x y
131. ( ) ( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y x y x y+ + + = + + + = + + +2 2
1
132. ( )
( )( )
( )( )
4 2
4 2
4 2
4 2
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
− + +
− − +
+ −
− + −
= − − +
= − −
= + − − +
a b ab
a b abb b
a ab b
a ab b
a b
a b a b
133.
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
x y x y
x y x y
x y x xy y x y x y x xy y
3 3
3 3
2 2 2 2 1
− + −
= − + −
= − + + + − = − + + +
134.
( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )
a b a b
a b a b
a b a b a b a ab b
a b a b a ab b
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2
2 2
− + −
= − + −
= + − + − + +
= − + + + +
EJERCICIO 107
1.
( ) ( )( )3 3
3 1 3 1 1
2
2
ax a
a x a x x
−
= − = + −
2.
( ) ( )( )3 3 6
3 2 3 2 1
2
2
x x
x x x x
− −
= − − = − +
3.
( )( ) ( )( )
2 4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
a x abx b x
x a ab b
x a b x a b a b
− +
= − +
= − = − −
4.
( ) ( )( )2 2
2 1 2 1 1
3
3 2
a
a a a a
−
= − = − + +
5.
( ) ( )( )a a a
a a a a a a
3 2
2
3 28
3 28 7 4
− −
= − − = − +
6.
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x x
3 2
3 2
2
2
4 4
4 4
1 4 1
4 1 2 2 1
− + −
= + − +
= + − +
= − + = + − +
7.
( )( )( )
3 3
3
3
3 3
3 3
2 2
ax ay
a x y
a x y x xy y
+
= +
= + − +
8.
( ) ( )4 4
4 4 2
2 2
2 2 2
ab abn an
a b bn n a b n
− +
= − + = −
9.
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x
4 2
2 2
2
3 4
4 1
2 2 1
− −
= − +
= + − +
10.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
a a a
3 2
3 2
2
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
11.
( ) ( )2 4 2
2 2 1 2 1
2
2 2
ax ax a
a x x a x
− +
= − + = −
12.
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
x x x y y
x x x y y
x x y x
x x y x x x y
3 2
3 2
2 2
2
1 1
1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= − + = + − +
13.
( ) ( )( )2 6 8
2 3 4 2 4 1
3 2
2
a a a
a a a a a a
+ −
= + − = + −
14.
( ) ( )16 48 36
4 4 12 9 4 2 3
3 2 2
2 2 2
x x y xy
x x xy y x x y
− +
= − + = −
15.
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
3 3
3 3
3 3
3 3
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
2 2
x x y xy y
x x y xy y
x x y y x y
x y x y x y x y x y
− − +
= − − −
= − − −
= − − = − + −
16.
( ) ( )( )5 5
5 1 5 1 1
4
3 2
a a
a a a a a a
+
= + = + − +
17.
( )( )( )( )
( )( )
6 2
6 2
36 6 12
6 4 6 32 3
3 2 2 1
2
2
2
ax ax a
a x x
a x x
a x x
a x x
− −
= − −
= − −
=− +
⋅
= − +18.
( )( ) ( )( )( )n
n n n n n
4
2 2 2
81
9 9 3 3 9
−
= − + = + − +19.
( ) ( )( )8 2
2 4 1 2 2 1 2 1
2
2
ax a
a x a x x
−
= − = − +20.
( ) ( )( )ax ax ax
ax x x ax x x
3 2
2
10 25
10 25 5 5
+ +
= + + = + +
21.
( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
3 2
2
2
2
2 2
6 7
6 7
6 7 16 16
6 9 16
3 4
3 4 3 4
1 7
− −
= − −
= − − + −
= − + −
= − −
= − + − −
= + −
22.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
m m m
m m m
m m m
m m
m m m
3 2
3 2
2
2
3 16 48
3 16 48
3 16 3
3 16
3 4 4
+ − −
= + − +
= + − +
= + −
= + − +
23.
( ) ( )( )( )x x y xy y
x y x y x y x y
3 2 2 3
3
6 12 8
2 2 2 2
− + −
= − = − − −
24. ( )( ) ( )( )( )( )( )( )
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
+ − − −
= − + −
= + − + −
2 2 2 2
2 2 1
1
25.
( )( )( )( )
32 48 18
2 16 24 9
2 4 3
2 4 3 4 3
5 3 2
4 2 2
2 2
2 2
a x a bx ab x
ax a a b b
ax a b
ax a b a b
− +
= − +
= −
= − −26.
( )( ) ( )[ ] ( )( )[ ]
x x x x
x x x x
x x x x x x x
4 3 2
3 2
2 2
1
1 1 1 1
− + −
= − + −
= − + − = − +
27.
( )
( )( )
( )( )( )( )
4 32 3616 32 4 144
144 272 2 2 436 4 4 3 3 369 3 36 4 32
3 34 36 4 4
41 9 4 4
4 9 1
2
2
2
x xx x
x x
x x
x x
+ −
= + −
=⋅ ⋅ =
⇒ − =
=+ −
= + −
= + −
28. ( )( )( )( )( )( )
a a
a a a a
a a a a
4 2
2 2
2
2
2 2
2 2 1
− +
= + + − −
= + + − +
29.
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
6 3
3 3
2 3
25 54
27 2
3 3 9 2
− −
= − +
= − + + +
30.
( )( )( )
a a
a a
a a a a a a
6
5
4 3 2
1
1 1
+
= +
= + − + − +
31.
( )( )[ ]( )( )
a b a bx abx aby
ab a ax x y
ab a x y
ab a x y a x y
3 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
+ + −
= + + −
= + −
= + + + −
32.
( )( )( )
3 3
3 1
3 1 1
2
2
abm ab
ab m
ab m m
−
= −
= + −
33.
( )( )( )
81 3
3 27
3 3 9 3
4 4
3 3
2 2
x y xy
xy x y
xy x y x xy y
+
= +
= + − +
34.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
a a a
a a a
a a a
a a
a a a a
4 3
4 3
3
3
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= − + − +
35.
( )( )( ) ( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
− −
= − −
= − + −
= − + −
=− + −
⋅
= − + −
= + −
3 18
1 3 18
18 3 1
18 3 18 18
18 6 18 36 3
3 1 6 1
3 1 1 6
2 3
2
2
2
36.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
6 2 6 2
6 2 6 2
2 3 2 3
3 2 2
2 3
2
2
ax bx ab b
ax bx ab b
x a b b a b
a b x b
x b a b
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= + −
37.
( )( )( )
am am am
am m m
am m m
3 2
2
7 12
7 12
4 3
− +
= − +
= − −
38.
( )( )( )
4 4
4 1
4 1 1
2 3 2
2 3
2 2
a x a
a x
a x x x
−
= −
= − + +
39.
( )( )( )
28 7
7 4
7 2 2
3 3
2 2
x y xy
xy x y
xy x y x y
−
= −
= − +
40.
( )( )( )
3 3 18
3 6
3 3 2
2
2
abx abx ab
ab x x
ab x x
− −
= − −
= − +
41.
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x
4 2
2 2
2
8 128128 432 4 4 4 168 4 4 2 82 2 16 8 8
1 16 8
4 4 8
− −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
= − +
= + − +
42.
( )( )( )
18 60 50
2 9 30 25
2 3 5 3 5
2 2 3
2 2
x y xy y
y x xy y
y x y x y
+ +
= + +
= + +
43. ( )( ) ( )( )( )( )( )( )
x xy a y a
a x xy y
a x y x y
2 2
2 2
2 1 1
1 2
1
− + + +
= + − +
= + − −
44.
( )( )( )
x x y xy
x x xy y
x x y x y
3 2 2
2 2
2 3
2 3
3
+ −
= + −
= + −
45.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
a x b x a y b y
a x b x a y b y
x a b y a b
a b x y
a b a b x y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 2 8
4 2 8
4 2 4
4 2
2 2 2
− + −
= − + −
= − + −
= − +
= − + +
46.
( )( )( )
45 20
5 9 4
5 3 2 3 2
2 4 2
2 4
2 2 2
a x a
a x
a x x
−
= −
= + −
47. ( )( )( )( )( )( )
a a
a a a a
a a a a
4 2
2 2
2
12
12 12
4 3 12
− −
= + − − +
= + − − +
48.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
bx b x
bx x b
x b b
b x
b x x
2 2
2 2
2
2
1
1
1 1
1 1
1 1 1
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
49.
( )( )( )
2 6 56
2 3 28
2 7 4
4 3 2
2 2
2
x x x
x x x
x x x
+ −
= + −
= + −
50. ( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
30 55 50
30 55 30 1 5001 500 2750 2 5 2 20375 5 5 3 7575 5 75 20 55
15 530 75 30 20
15 2
3 3 2 5 15 10
1 5 2 5 3 2
2
2
2
2
a a
a a
a a
a a
a a
− −
= − −
⋅ =
⋅ =⇒ − =
=− +
⋅
= − +
= − +
..
51. ( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )[ ]( )( )( )
9
9 1
3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3
2
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y
− − −
= − − −
= − − + − −
= − − + − −
52.
( )( )( )( )
( )( )
6 9
6 9
6 9
3 3
3 3
2 3 2
2 2
2 2
a x a ax
a ax a x
a x ax a
a x a x a
a a x x a
− −
= − −
= − − +
= − − −
= − −
53.
( )( )( )
64 125
64 125
4 5 16 20 25
4
3
2
a a
a a
a a a a
−
= −
= − + +
54.
( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
70 26 24
2 35 13 12
2 35 13 35 420420 2210 2105 521 37 7
12 7 28
3 5 1528 15 13
35 28 35 157 5
2 5 4 7 3
4 3 2
2 2
2 2
2
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
+ −
= + −
= + −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=+ −
⋅
= + −
55.
( )( )( )
a a a
a a a
a a a
7 6 3
3 4 3
3 2 2
6 55
6 55
11 5
+ −
= + −
= + −
56.
( )( )
16 56 49
16 56 49
4 7
5 3 3 5
4 2 2 4
2 2 2
a b a b ab
ab a a b b
ab a b
− +
= − +
= −
57.
( )( ) ( )[ ]
( )( )
( )( )
7 32 15
7 32 15
7 32 7 105
105 521 3 5 7 357 7 3 1 31 35 3 32
7 35 7 37
5 7 3
6 2 4 4 2
2 4 2 2 4
2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x a x a x
x x a x a
x x a x a
x x a x a
x x a x a
+ −
= + −
= + −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=+ −
= + −
58.
( )( )( ) ( )( )( )
x x y
x xy x xy
x x y x x y
x x y x y
m n
m n m n
m n m n
m n m n
2 2 2 2
1 1
2
+
+ +
−
= + −
= + −
= + −
59.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
2 5 54 135
2 54 5 135
2 27 5 27
27 2 5
3 3 9 2 5
4 3
4 3
3 3
3
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
+ − −
= − + −
= − + −
= − +
= − + + +
60.
( )( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( )( )
ax ax y axy ax axy ay
a x x y xy x xy y
a x x y xy x xy y
a x x xy y x xy y
a x x xy y
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
+ + − − −
= + + − − −
= + + − + +
= + + − + +
= − + +
61.( )( )[ ] ( )[ ]( )( )( )
x y
x y x y
x xy y x y x y
+ −
= + + + −
= + + + + + + −
4
2 2
2 2
1
1 1
2 1 1 1
62.
( )( )( )[ ]( )[ ]( )( )
3 3 3
3 1
3 1
3 2 1
3 1
3 1 1
5 3
4 2
4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
a a a
a a a
a a a a a
a a a a
a a a
a a a a a
+ +
= + +
= + + + −
= + + −
= + −
= + + − +
EJERCICIO 1081.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
8
4 4
4 2 2
4 2
−
= + −
= + + −
= + + + −
a
a a
a a a
a a a a
2.
( )( )( ) ( )( )( )
a
a a
a a a a a a
6
3 3
2 2
1
1 1
1 1 1 1
−
= + −
= + − + − + +
3.
( )( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
4 2
2
2
2 2
41 400400 4100 5 4 1620 5 5 254 4 25 16 41
1 25 16
5 5 4 4
− +
==
⇒ + =
= − −
= + − + −
4.
( )( )( )[ ] ( ) ( )
a a b b
a b
a b a b a b a b
4 2 2 4
2 2 2
2 2 2
2− +
= −
= + − = + −
5.
( )( )( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x
5 3
4 2
2 2
2
2
2
2 1
2 1 1
+ −
= + −
= + −
= + + −
6.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
2 6 2 6
2 6 2 6
2 3 2 3
2 2 3
2 1 3
2 1 1 3
4 3
4 3
3
3
3
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + + +
7.
( )( )( )( )( )( )
3 243
3 81
3 9 9
3 9 3 3
4
4
2 2
2
x
x
x x
x x x
−
= −
= + −
= + + −
8.
( )( )( )[ ]( )( )( )( )
16 8
4
2 2
2 2 2 2
4 2 2 4
2 2 2
2
x x y y
x y
x y x y
x y x y x y x y
− +
= −
= + −
= + − + −
9.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
9 9
9 9
9
9
9 1
3 1 3 1
4 3 2
4 3 2
3
3
2
x x y x xy
x x y x xy
x x y x x y
x x x y
x x x y
x x x x y
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
10.
( )( ) ( )[ ]( )( )
( )( )( )( )( )
12 33 9
3 4 11 3
3 4 11 4 12
3 4 12 4 14
3 3 4 1
3 3 2 1 2 1
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
ax ax a
a x x
a x x
a x x
a x x
a x x x
+ −
= + −
= + −
=+ −
= + −
= + + −
11.
( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )
x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y
8 8
4 4 4 4
4 4 2 2 2 2
4 4 2 2
−
= + −
= + + −
= + + + −
12.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
x x x x x x
6 3
3 3
2 3
2 2
7 8
8 1
2 2 4 1
2 2 4 1 1
− −
= − +
= − + + +
= − + + + − +
13.
( )( )( )( )( )( )
64
8 8
2 4 2 2 4 2
6
3 3
2 2
−
= + −
= + − + − + +
x
x x
x x x x x x
14.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
a a b a b b
a a b a b b
a a b b a b
a b a b
a b a b a b a ab b
5 3 2 2 3 5
5 3 2 2 3 5
3 2 2 3 2 2
2 2 3 3
2 2
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= + − − + +15.
( )( ) ( )[ ]( )( )
( )( ) ( )( )( )
8 6 2
2 4 3 1
2 4 3 4 4
2 4 4 4 14
2 1 4 1 2 1 2 1 2 1
4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x x
x x
x x
x x
x x x x x
+ −
= + −
= + −
=+ −
= + − = + + −
16
( )( )( )( )( )( )
a a
a a
a a a a
4 2
2
2
2 2
25 144144 436 4 4 169 3 3 93 3 16 9 251
16 9
4 4 3 3
− +
=
=⇒ + =
= − −
= + − + −
17.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
a x a y ax ay
a x a y ax ay
a x y a x y
a a x y
a a x y x xy y
2 3 2 3 3 3
2 3 2 3 3 3
2 3 3 3 3
2 3 3
2 2
2 2
2 2
2
2
2
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − + +
18.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a a
4 3 2
4 3 2
3
3
2
2 2
2 2
2 2
2
1 2
1 1 2
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
19.
( )( )( )[ ]( ) ( )
1 2
1
1 1
1 1
3 6
3 2
2 2
2 2 2
− +
= −
= − + +
= − + +
a a
a
a a a
a a a
20.
( )( )( )( )( )( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )
m
m m m
m m m m m m
m m m m m
m m m m
m m m m m m
6
2 4 2
4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
729
9 9 81
3 3 9 81 9 9
3 3 18 81 9
3 3 9 9
3 3 3 9 3 9
−
= − + +
= + − + + + −
= + − + + −
= + − + −
= + − + + − +
21.
( )( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
5
4
2 2
2
1
1 1
1 1 1
−
= −
= + −
= + + −
22.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
x x y x y y
x x y x y y
x x y y x y
x y x y
x y x xy y x y x y
5 3 2 2 3 5
5 3 2 2 3 5
3 2 2 3 2 2
3 3 2 2
2 2
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − + + −
23.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
a b a b a b ab
a b a b a b ab
a b a b ab a b
a b ab a b
ab a b a b
ab a b a b a b
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3 3
3 3
2 2
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − −
= + − −
24.
( )( )( )( )( )( )
5 3 125
5 625
5 25 25
5 25 5 5
4
4
2 2
2
a
a
a a
a a a
−
= −
= + −
= + + −
.
25. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )[ ]{ }( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a
a a a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 3
2 2 2 3 4 4
2 2 2 1 4
2 1 4
2 1 2 2 1 2
2 1 2 3
1 2 3 4 4
1 2 1 4
1 1 4
1 1 2 1
+ − + −
= + − + − + −
= + − + + −
= + − −
= + − + + − −
= + + + −
= + + − + −
= + + + −
= + + −
= + + + + −( )( ) ( )( )
2
1 3 12
= + + −a a a
26.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
a x ax a a
a x ax a a
ax a a a
ax a a
a x a
a x x x a
2 3 3 2
2 3 3 2
3
3
3
2
2 8 16
2 8 16
2 8 2
8 2
8 2
2 2 4 2
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + + +
27.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
6 6
3 3 3 3
2 2 3 3
2 2 2 2
−
= − +
= − + + +
= − + + + − +
a b
a b a b
ab ab a b a b
ab ab a b ab ab a b
28.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
5 10 5 10
5 10 5 10
5 2 5 2
5 5 2
5 1 2
5 1 1 2
3 2
3 2
2
2
2
ax ax ax a
ax ax ax a
ax x a x
ax a x
a x x
a x x x
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
29.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
a x b y b x a y
a x b x b y a y
x a b y b a
x a b y a b
a b x y
a b a b x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
+ − −
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
= + − + −
30.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
8 4
4 4
4 2 2
4 2
2
2 1
2 1 1
2 1 1 1
+ −
= + −
= + + −
= + + + −
31.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a a
4 3 2
4 3 2
3
3
2
9 9
9 9
1 9 1
9 1
9 1
3 3 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
32.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
a x a x a x x
a x a x a x x
a x x x x
a x x
a a x x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
6 6
6 6
6 6
1 6
1 1 3 2
+ − − − +
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
= + − + −
33.
( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )( )( )
16 25 9
16 25 16 144144 436 4 4 169 3 3 93 3 16 9 251
16 16 16 916
1 16 9
1 1 4 3 4 3
4 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
m m
m m
m m
m m
m m m m
− +
= − +
==
⇒ + =
=− −
= − −
= + − + −
34.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
3 12 3 12
3 3 12 12
3 1 12 1
3 12 1
3 4 1
3 2 2 1
2 2
2 2
2
2
2
abx ab bx b
abx bx ab b
bx a b a
bx b a
b x a
b x x a
− + −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
35.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
3 9 30 3 9 30
3 9 30 3 9 30
3 3 10 3 3 10
3 3 3 10
3 1 5 2
2 2
2 2
2 2
2
a m am m a a
a m am m a a
m a a a a
m a a
m a a
+ − + + −
= + − + + −
= + − + + −
= + + −
= + + −
36.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
a x a x a x x
a x a x a x x
a x x x x
a x x
a a a x x
3 2 3 3 2
3 2 3 3 2
3 2 2
3 2
2
5 6 5 6
5 6 5 6
5 6 5 6
1 5 6
1 1 3 2
− + + − +
= − + + − +
= − + + − +
= + − +
= + − + − −
37. ( ) ( )( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )( )( )
x x y x x y
x y x x
x y x y x x
x y x y x
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 1
2 1
2 1
1
− − − −
= − − −
= + − − +
= + − −
38. ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )[ ]( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )
a x ax x
a x x x ax x
x a x x ax
x ax ax a ax
x ax ax a
a x x x
a x x a x
3
2
2
2
2
2
2 3
1 3 1
1 1 3 1
1 1 3
1 3
1 2
1 2 1
1 1 1
+ + +
= + − + + +
= + − + +
= + − + +
= + + +
= + + +
= + + = +
EJERCICIO 109
1.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x xy
x x y
x x y x y
x x y x y x y
x x y x y x y x y
9 8
8 8
4 4 4 4
2 2 2 2 4 4
2 2 4 4
−
= −
= − +
= + − +
= + + − +
2.
( )( )( )( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x x x x
5 3
4 2
2 2
40 144
40 144
36 4
6 6 2 2
− +
= − +
= − −
= − + + −
3.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
a a b a ab
a a b a ab
a a b a a b
a a a b
a a a b a ab b
a a a a b a ab b
6 3 3 4 3
6 3 3 4 3
3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
2 2
1
1 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − + − +
= + − + − +
4.
( )( )( )( ) ( )
4 8 4
4 2 1
4 1 1
4 1 1
4 2
4 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
− +
= − +
= − −
= + −
5.
( )( )( )( )( )( )( )
a ab
a a b
a a b a b
a a b a ab b a b a ab b
7 6
6 6
3 3 3 3
2 2 2 2
−
= −
= + −
= + − + − + +
6.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
2 2 4 2 2 4
2 2 4 2 2 4
2 2 2 2
2 2
2 2 1
4 3 2 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
a a a a b ab b
a a a a b ab b
a a a b a a
a a a b
a a a b a b
− − − + +
= − − − − −
= − − − − −
= − − −
= − + + −
7.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x
6 5 2
6 5 2
5
5
4
2 2
2
5 81 405
5 81 405
5 81 5
81 5
81 5
9 9 5
3 3 9 5
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + +
= + − + +
8.
( )( )( )( )( )( )( )
3 3
3 1
3 1 1
3 1 1 1 1
6
6
3 3
2 2
−
= −
= − +
= − + + + − +
a
a
a a
a a a a a a
9. ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )
4 2 2
4 2
4
4
4 1
2 1 2 1
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
ax a ax x a a x ax
ax a x a a ax x
ax a x a a x
ax a a x
a x a x
a x x a x
− + − + −
= − − − +
= − − −
= − −
= − −
= + − −
10.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x x
7 4 3
7 4 3
4 3 3
4 3
2 2 2
2 2
81 81
81 81
1 81 1
81 1
9 9 1 1
9 3 3 1 1
+ − −
= + − +
= + − +
= − +
= + − + − +
= + + − + − +
11.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
17
16
8 8
8 4 4
8 4 2 2
8 4 2
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
−
= −
= + −
= + + −
= + + + −
= + + + + −
12.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
3 75 48 1 200
3 75 48 1 200
3 25 48 25
3 48 25
3 16 5 5
3 4 4 5 5
3 4 2 2 5 5
6 4 2
6 4 2
4 2 2
4 2
4
2 2
2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
− − +
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
= + − + −
= + + − + −
.
.
13.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
a x x a x x
a x x a x x
x a x a
x x a
x x a a
x x a a a a a a
6 2 2 6
6 2 2 6
2 6 6
2 6
3 3
2 2
1 1
1
1 1 1
1 1 1 1 1
− + −
= − + −
= − + −
= + −
= + − +
= + − + + + − +
14. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
a ax x x
a a x x x
a a x x x x x
2 4 2
2 2
82 81
81 1
9 9 1 1
− − +
= − − −
= − + − + −EJERCICIO 110
1.
( )( )( ) ( )
x x x
x x x
x x
3 2
2
2
11 1 1 1 1
1 2 1
1 2 1 0
2 1 1
1 1
+ − −− − +
= + + −
= + −
2.
( )( )( )( )( )
x x x
x x x
x x x
3 2
2
4 61 4 1 6 1
1 5 6
1 5 6 0
5 6 1
3 2 1
− + +− −− −
−
= − + +
= − − +
3.
( )( )( )( )( )
a a a
a a a
a a a
3 2
2
3 4 121 3 4 12 2
2 2 12
1 1 6 0
6 2
3 2 2
− − +− − +
− −
− −
= − − −
= − + −
4.
( )( )( )( )( )( )( )
m m
m m m
m m m
m m
3
2
2
12 161 0 12 16 2
2 4 16
1 2 8 0
2 8 2
4 2 2
4 2
− +− +
−
−
= + − −
= + − −
= + −
5.
( )( )
( )( )( )
2 18 92 1 18 9 3
6 15 9
2 5 3 0
2 5 3 32 5 3 3
6 3
2 1 0
2 1 3 3
3 2
2
x x x
x x x
x x x
− − +− − +
−
−
= + − −− −
−
−
= − − +
6.
( )( )
a a a
a a a
3 2
2
13 281 1 13 28 4
4 20 28
1 5 7 0
5 7 4
+ − −− − +
= + + −
7.
( )( )
x x x
x x
3 2
2
2 21 2 1 2 2
2 0 2
1 0 1 0
1 2
+ + +−
− −
= + +
8.
( )( )( )( )( )
n n
n n n
n n n
3
2
7 61 0 7 6 1
1 1 6
1 1 6 0
6 1
3 2 1
− +− +
−
−
= + − −
= + − −
9.
( )( )( ) ( )
x x
x x x
x x
3 2
2
2
6 321 6 0 32 2
2 16 32
1 8 16 0
8 16 2
4 2
− +− −− −
−
= − + +
= − +
10.
( )( )( ) ( )[ ] ( )( )( )( )
( )( )( )
6 23 9 186 23 9 18 3
18 15 18
6 5 6 0
6 5 6 3
6 5 6 36 3
6 9 6 4 33 2
2 3 3 2 3
3 2
2
2
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + −− −
− −
−
= + − +
= + − +
=+ − +
⋅
= + − +
11.
( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
x x x x
x x x
x x x x
x x x
4 3 2
3 2
2
2
4 3 4 41 4 3 4 4 1
1 3 0 4
1 3 0 4 0
3 4 11 3 0 4 1
1 4 4
1 4 4 0
4 4 1 1
2 1 1
− + + −− − +
−
−
= − + −− −− −
−
= − + − +
= − − +
12.
( )( )
( )( )( )( )( )( )( )
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
4 3 2
3
2
2 13 14 241 2 13 14 24 2
2 0 26 24
1 0 13 12 0
13 12 21 0 13 12 1
1 1 12
1 1 12 0
12 2 1
4 3 2 1
− − + +− − +
− −
− −
= − − −− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
13.
( )( )
( )( )( )( )( )( )( )
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
4 2
3 2
2
15 10 241 0 15 10 24 1
1 1 14 24
1 1 14 24 0
14 24 11 1 14 24 2
2 2 24
1 1 12 0
12 1 2
4 3 1 2
− − +− − +
− −
− −
= + − − −− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
14.
( )( )
( )( )( )( )( )( )( )
n n n
n n n n
n n n n
n n n n
4 2
3 2
2
27 14 1201 0 27 14 120 2
2 4 46 120
1 2 23 60 0
2 23 60 21 2 23 60 3
3 3 60
1 1 20 0
20 2 3
5 4 2 3
− − +− − +
− −
− −
= + − − −− − −
−
− −
= − − − +
= − + − +
15.
( )( )
( )( )( )
x x x
x x x x
x x x x
4 3
3 2
2
6 3 1401 6 0 3 140 4
4 8 32 140
1 2 8 35 0
2 8 35 41 2 8 35 5
5 15 35
1 3 7 0
3 7 4 5
+ + +−
− − −
−
= + − + +− −
− −
−
= − + + +
16.
( )( )
( )( )( )( ) ( )[ ] ( )( )
( )( )( )( )
8 18 75 46 1208 18 75 46 120 2
16 68 14 120
8 34 7 60 0
8 34 7 60 28 34 7 60 4
32 8 60
8 2 15 0
8 2 15 2 4
8 2 8 120 2 4120 430 3 4 3 1210 2 5 2 105 5 12 10 21
8 12 8 10 2 44 2
2
4 3 2
3 2
2
2
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a
− − + +− − −− −
− −
= − − + +− − +
− −
− −
= − − + −
= − − + −
⋅ =⋅ =
⇒ − =
=− + + −
⋅
= −( )( )( )( )3 4 5 2 4a a a+ + −
17.
( )( )
( )( )( )
x x
x x x x
x x x
4 2
3 2
2
22 751 0 22 0 75 5
5 25 15 75
1 5 3 15 0
5 3 15 51 5 3 15 5
5 0 15
1 0 3 0
3 5 5
− −− − +
= + + + −−
− −
= + − +
18.
( )( )
( )( )( )( ) ( )[ ] ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
15 94 5 164 6015 94 5 164 60 1
15 109 104 60
15 109 104 60 0
15 109 104 60 115 109 104 60 6
90 114 60
15 19 10 0
15 19 10 1 6
15 19 15 150 1 6
15 25 15 6 1 65 3
3 5 5 2 1 6
4 3 2
3 2
2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − − +− − +
−
−
= + + − −− −
− −
−
= + − − +
= + − − +
=+ − − +
⋅
= + − − +
19.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
5 3 2
4 3 2
3 2
2
21 16 108 1441 0 21 16 108 144 2
2 4 34 36 144
1 2 17 18 72 0
2 17 18 72 21 2 17 18 72 3
3 3 42 72
1 1 14 24 0
14 24 2 31 1 14 24 2
2 2 24
1 1 12 0
12 2 3 2
4 3 2 3 2
4
− + + −− − +
− −
− −
= + − − + −− − −
− −
− −
= − − + − +− − +
−
−
= + − − + −
= + − − + −
= + ( ) ( )( )x x x− + −3 3 22
20.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a
5 3 2
4 3 2
3 2
2
23 6 112 961 0 23 6 112 96 1
1 1 22 16 96
1 1 22 16 96 0
22 16 96 11 1 22 16 96 2
2 6 32 96
1 3 16 48 0
3 16 48 1 21 3 16 48 3
3 0 48
1 0 16 0
16 1 2 3
4 4 1 2 3
− − + +− − −
− − −
− −
= − − + + +− − −− −
− −
= − − + + +− − +
−
−
= − + + −
= + − + + −
21.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )
4 3 108 25 522 3604 3 108 25 522 360 2
8 10 196 342 360
4 5 98 171 180 0
4 5 98 171 180 24 5 98 171 180 3
12 21 231 180
4 7 77 60 0
4 7 77 60 2 34 7 77 60 4
16 92 60
4 23 15 0
4 23 15 2 3 4
4 23 4
5 4 3 2
4 3 2
3 2
2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
+ − − + +− − −
− − −
− −
= − − + + +− − +
− −
− −
= + − − + −− − +
= + + + − −
= + +[ ] ( )( )( )( )( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )( )
60 2 3 4
4 20 4 3 2 3 4 4
5 4 3 2 3 4
x x x
x x x x x
x x x x x
+ − −
= + + + − − ÷
= + + + − −
22.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
5 3 2
4 3 2
3 2
2
30 25 36 1801 0 30 25 36 180 2
2 4 52 54 180
1 2 26 27 90 0
2 26 27 90 21 2 26 27 90 5
5 35 45 90
1 7 9 18 0
7 9 18 2 51 7 9 18 6
6 6 18
1 1 3 0
3 2 5 6
− − − −− − − − −
− −
− − −
= − − + − +− − − −− −
− −
= − + − + +− − +
−
−
= − + + + −
24.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
5 3 2
4 3 2
3 2
2
25 251 0 25 1 0 25 1
1 1 24 25 25
1 1 24 25 25 0
24 25 25 11 1 24 25 25 5
5 20 20 25
1 4 4 5 0
4 4 5 1 51 4 4 5 5
5 5 5
1 1 1 0
1 1 5 5
− + −− − −
− −
− − −
= − − + − +− − − +
−
−
= + − + + −− −
− −
−
= − + + − +
25.
( )( )
2 8 3 122 8 0 0 3 12 4
8 0 0 0 12
2 0 0 0 3 0
2 3 4
5 4
4
a a a
a a
− + −− − +
= + −
26.
( )( )
( )( )( )
x x x x x
x x x x
x x x
5 4 3 2
4 3
3
2 15 3 6 451 2 15 3 6 45 3
3 15 0 9 45
1 5 0 3 15 0
5 3 15 31 5 0 3 15 5
5 0 0 15
1 0 0 3 0
3 3 5
+ − − − +− − − +
− −
− −
= + − − −− − −
−
−
= − − +
23.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )
6 13 81 112 180 1446 13 81 112 180 144 2
12 2 166 108 144
6 1 83 54 72 0
6 83 54 72 26 1 83 54 72 3
18 57 78 72
6 19 26 24 0
6 19 26 24 2 36 19 26 24 4
24 20 24
6 5 6 0
6 5 6 2 3 4
6 5
5 4 3 2
4 3 2
3 2
2
2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x
− − + + −− − − +
− − −
− − −
= − − − + −− − − −− −
− −
= − − + − +− − +
−
−
= + − − + −
= + ( )[ ] ( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
6 36 2 3 4
6 9 6 4 2 3 43 2
2 3 3 2 2 3 4
x x x x
x x x x x
x x x x x
− − + −
=+ − − + −
⋅
= + − − + −
27.
( )( )
( )( )( )
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
6 4 42 113 108 361 6 4 42 113 108 36 1
1 5 1 41 72 36
1 5 1 41 72 36 0
5 41 72 36 11 5 1 41 72 36 1
1 4 5 36 36
1 4 5 36 36 0
4 5 36 36 1 11 4 5 36 36 2
2 4 18 36
1 2 9 18 0
+ + − − − −− − − − −
− −
− − − −
= + − − − − +− − − − −
− −
− − −
= + − − − + +− − − −
− −
− −
= ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )
x x x x x
x x x
x x x x
3 2 2
2 2 2
2 2
2 9 18 1 21 2 9 18 2
2 0 18
1 0 9 0
9 1 2
3 3 1 2
+ − − + +− − −
−
−
= − + +
= + − + +
28.
( )( )
( )( )( )
a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a
6 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
3 2
32 18 247 162 3601 0 32 18 247 162 360 1
1 1 31 49 198 360
1 1 31 49 198 360 0
31 49 198 360 11 1 31 49 198 360 2
2 2 58 18 360
1 1 29 9 180 0
29 9 180 1 21 1 29 9 180 3
3 12 51 180
1 4 17 60 0
4
− + + − −− − − −
− − −
− − −
= − − + + − +− − − +
− −
− −
= + − − + + −− − +
− −
− −
= + −( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
17 60 1 2 31 4 17 60 3
3 3 60
1 1 20 0
20 1 2 3 3
5 4 1 2 3 3
2
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
− + − −− − −
− −
−
= + − + − − +
= + − + − − +
30.
( )( )
( )( )( )
2 10 34 146 224 424 4802 10 34 146 224 424 480 1
2 12 22 168 56 480
2 12 22 168 56 480 0
2 12 22 168 56 480 12 12 22 168 56 480 2
4 32 20 296 480
2 16 10 148 240 0
2 16 10 148 240 1 22 16 10 148 240 2
4 24 28 240
2
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− − + + − −− − − − −− − −
− − −
= − − + + − +− − − −− − −
− −
= − + + − + +− − +
− −
−
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( ) ( )[ ] ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
12 14 120 0
2 12 14 120 1 2 22 12 14 120 4
8 16 120
2 4 30 0
2 4 30 1 2 2 4
2 4 2 60 1 2 2 4
2 10 2 6 1 2 2 42
5 2 6 1 2 2 4
2 5 3 1 2 2 4
3 2
2
2
−
= − − + + + −− − +
− −
− −
= − − + + − −
= − − + + − −
=− + + + − −
= − + + + − −
= − + + + − −
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
29.
( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
6 4 2
5 4 3 2
4 2
2 2
41 184 1441 0 41 0 184 0 144 1
1 1 40 40 144 144
1 1 40 40 144 144 0
40 40 144 144 11 1 40 40 144 144 1
1 0 40 0 144
1 0 40 0 144 0
40 144 1 1
36 4 1 1
6 6 2 2 1 1
− + −− − +
− −
− −
= + − − + + −− − −
− −
−
= − + − +
= − − − +
= + − + − − +
31.
( )( )
( )( )( )
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
8 6 103 344 396 1441 8 6 103 344 396 144 2
2 12 12 182 324 144
1 6 6 91 162 72 0
6 6 91 162 72 21 6 6 91 162 72 2
2 8 28 126 72
1 4 14 63 36 0
4 14 63 36 2 21 4 14 63 36 3
3 3 51 36
1 1 17 12
− + + − + −− − − +
− − −
− − −
= − − + − + −− − − +
− − −
− − −
= − − + − − −− − − +
− −
− −
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
0
17 12 2 31 1 17 12 4
4 20 12
1 5 3 0
5 3 2 3 4
3 2 2
2 2
= − − + − −− − −− −
−
= − + − − +
a a a a a
a a a a a
32.
( )( )
( )( )( )
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
7 5 4 3 2
6 5 4 3 2
5 3 2
20 2 64 40 1281 0 20 2 64 40 0 128 2
2 4 32 68 8 64 128
1 2 16 34 4 32 64 0
2 16 34 4 32 64 21 2 16 34 4 32 64 2
2 0 32 4 0 64
1 0 16 2 0 32 0
16 2 32 2 21 0 16 2 0 32 4
4 16 0 8 32
1 4 0
− − + + −− − − +
− − −
− − −
= + − − − + + −− − − + −
− −
− −
= − − + − +− − +
− −
−
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
2 8 0
4 2 8 2 2 41 4 0 2 8 4
4 0 0 8
1 0 0 2 0
2 2 2 4 4
4 3
3
−
= + − − − + −− − −
−
−
= − − + − +
x x x x x x
x x x x x
EJERCICIO 111
1. a x ax mcd ax2 2,
2. ab c a bc mcd abc2 2,
3. 2 2 2 3 2x y x y mcd x y,
4. 6 15
6 3 15 3
2 2 5 5
1 1
3 2 6 3 5 15
3 3
2 3 3 4
2 3
a b a b
mcd a b
,
⋅ = ⋅ =
⇒
5. 8 20
8 2 20 2
4 2 10 2
2 2 5 5
1 1
2 8 2 5 20
2 4
4
3 2 2
3 2
2
2
am n x m
mcd
m
,
= ⋅ =
=
⇒
6. 18 27
18 3 27 3
6 3 9 3
2 2 3 3
1 1
3 2 18 3 27
3 9
9
2 2 3 4
2 3
2
2
mn a m n
mcd
mn
,
⋅ = =
=
⇒
7. 15 24 36
15 5 24 3 36 3
3 3 8 4 12 4
1 2 2 3 3
1 1
5 3 15 3 4 2 24 3 4 36
3 3
2 3 2 4 2
2
2
a b c ab x b x
mcd b
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
⇒
8. 12 18 24
12 3 18 3 24 3
4 2 6 3 8 4
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 2 12 3 2 18 3 4 2 24
3 2 6
2 3 2 3 2
2 2
x yz xy z x yz
mcd xyz
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⇒
9. 28 35 42
28 7 35 7 42 7
4 4 5 5 6 6
1 1 1
7 4 28 7 5 35 7 6 42
7 7
2 3 4 3 4 5 4 5 6
2 3 4
a b c a b c a b c
mcd a b c
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
10. 72 96 120
72 8 96 8 120 8
9 3 12 3 15 3
3 3 4 4 5 5
1 1 1
8 3 72 8 3 4 96 8 3 5 120
8 3 24
3 4 4 2 2 3 4 5 7
2
2 2 3
x y z x y z x y z
mcd x y z
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⇒
11. 42 56 70
42 14 56 14 70 14
3 3 4 4 5 5
1 1 1
14 3 42 14 4 56 14 5 70
14 14
2 3 2 4 2
2
am n m n x m n y
mcd m n
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
12. 75 150 225
75 15 150 15 225 15
5 5 10 5 15 5
1 2 2 3 3
1 1
15 5 75 15 5 2 150 15 5 3 225
15 5 75
4 3 2 5 7 2 3 6 2
3 3
a b c a b x a b y
mcd a b
, ,
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⇒
13. 4 8 2 10
4 2 8 2 2 2 10 2
2 2 4 4 1 5 5
1 1 1
2 4 2 4 8 2 2 2 5 10
2 2
2 3 2 2 3 2
2
a b a b a bc ab c
mcd ab
, , ,
= ⋅ = = ⋅ =⇒
14. 38 76 95
38 19 76 19 95 19
2 2 4 4 5 5
1 1 1
19 2 38 19 4 76 19 5 95
19 19
2 6 4 4 7 5 6
4 4
a x y mx y x y
mcd x y
, ,
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⇒
EJERCICIO 112
1. ( )( )
2 2 2
4 4 22
2
2 2
a ab a a b
a ab a a bmcd a
+ = +
− = −
2. ( )( )
6 6 2 3 1
9 18 3 2
3
3 2 2
3 2 2 2 2 2 2
2
x y x y x y x
x y x y x y x
mcd x y
− = ⋅ −
+ = +
3.
( )12 4 3
4 8 4 2
4
2 3 2 3
3 2 2 3 2 2
2 2
a b a b
a b a b a b a b
mcd a b
= ⋅
− = −
4. ( )( )
ab b b a
a a a amcd a
+ = +
+ = ++
1
11
2
5. ( )( )
( )
x x x x
x x x x
mcd x x
2
3 2 2
1
1
1
− = −
− = −
−
6. ( )( )
30 15 5 3 2
10 20 5 2 25
2 3 2
2 2 2 2
ax x x a x
axy x y xy a xmcd x
− = ⋅ −
− = ⋅ −
7.
( )18 6 3
6 18 6 3
6
2 3 4 2 3 4
2 2 4 2 4 2 4
2 4
a x y a x y
a x y a xy a xy x
mcd a xy
= ⋅
− = −
8. ( )( )
( )
5 15 5 3
3 3
3
2
3 2 2
a a a a
a a a a
mcd a a
− = −
− = −
−
9. ( )( )
( )
3 15 3 5
5 5
5
3 2 2
2
x x x x
ax ax ax x
mcd x x
+ = +
+ = +
+
10. ( )( )( )
( )
a b a b a b
a ab b a b
mcd a b
2 2
2 2 22
− = + −
− + = −
−
11. ( )( )( )
m n m n m mn n
am an a m nmcd m n
3 3 2 2
3 3 3
+ = + − +
+ = ++
12. ( )( )( )( )
x x x
x x x xmcd x
2
3 2
4 2 2
8 2 2 42
− = + −
− = − + +−
13. 13. 13. 13. 13. ( )( ) ( )( )
( )
2 4 2 2
6 6 3 2
2
2
3 2 2
ax ax ax x
x x x x x x x x x
mcd x x
+ = +
− − = − − = − +
+
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( )
9 1 3 1 3 1
9 6 1 3 13 1
2
2 2
x x x
x x xmcd x
− = + −
− + = −−
15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
4 4 2
2 2 2 2
2
22
2 2 2
2 2 2 2
a ab b a b
a ab ab b a ab ab b
a a b b a b
a b a bmcd a b
+ + = +
− + − = − + −
= − + −
= + −+
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( )
( )( )( )
( )
3 3 60 3 20
3 5 4
6 18 24 6 3 4
3 2 4 1
3 4
2 2
2 2
x x x x
x x
x x x x
x x
mcd x
+ − = + −
= + −
− − = − −
= ⋅ − +
−
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )( )( )( )
8 2 4 2
4 4
2 22
3 3 2 2
2 2 2 2
x y x y x xy y
ax ay a x y
a x y x ymcd x y
+ = + − +
− = −
= + −+
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )
( )( )( )
( )
2 12 18 2 6 9
2 3
9 9
3 3
3
3 2 2 2 2
2
3 2 2 2
a a b ab a a ab b
a a b
a x ab x ax a b
ax a b a b
mcd a a b
− + = − +
= −
− = −
= + −
−
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
ac ad bc bd ac ad bc bd
a c d b c d
a b c d
c cd d c cd d
c dmcd c d
+ − − = + − +
= + − +
= − +
+ + = + +
= ++
2 2 2 2
2
2
2 4 2 2 2
2
2 2 2 2
2
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )
( )( )( )
( )
3 6 45 3 2 15
3 5 3
6 24 30 6 4 5
3 2 5 1
3 5
2 2 2 2 2 2
2
2 2
a m a m a a m m
a m m
am x amx ax ax m m
ax m m
mcd a m
+ − = + −
= + −
+ − = − −
= ⋅ + −
+
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( ) ( )( )
4 2 2
2 2 2
2
4 2 2 2
2 2 2 2
2
x y x y x y
x y x y x y
mcd x y
− = + −
+ = + +
+
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
3 3 3 1 3 1 1
3 1 1 1
9 9 9 1 3 1 1
3 1 1
5 4 2 2
2
3 2 2
x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
mcd x x x
− = − = + −
= + + −
− = − = + −
+ −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( )
a ab a a b
ab b b a b
a a b a a bmcd a b
2
2
3 2 2
+ = +
+ = +
+ = ++
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )
( )( )
2 2 2 1
3 3 3 1
4 4 4 1
1
3 2 2
2
3 2 2
x x x x
x x x x
x x x x
mcd x x
− = −
− = −
− = −
−
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( )
x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
mcd x x
4 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2 2
2
9 9 3 3
5 6 5 6 3 2
6 9 6 9 3
3
− = − = + −
− + = − + = − −
− + = − + = −
−
26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )( ) ( )( )
( )
a b a b ab ab a ab b ab a b
a b a b a b a b a b a b a b
mcd ab a b
3 2 2 3 2 2 2
4 2 3 2 2 2 2
2 2+ + = + + = +
− = − = + −
+
27. 27. 27. 27. 27. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
2 2 4 2 2 2 2 1
2 8 6 2 4 3 2 3 1
2 2 2 1 2 1 1
2 1
2 2
2 2
3 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
mcd x
+ − = + − = + −
− + = − + = − −
− = − = + −
−
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
ax ax ax ax x x ax x x
ax ax a a x x a x x
a x a x a x a x x x a x x x
mcd a x
3 2 2
2 2
2 3 2 2 2 2 2 2
2 8 2 8 4 2
6 6 3 2
3 10 3 10 5 2
2
− − = − − = − +
− − = − − = − +
− − = − − = − +
+
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
2 16 32 2 8 16
2 4 4 2 2 2
2 8 2 4 2 2 2
2 16 2 8 2 2 2 4
2 2
4 2 4 2
2 2 2 2
3 2
2 3 2 2 3 2 2
an an a a n n
a n n a n n
an an an n an n n
a n a a n a n n n
mcd a n
− + = − +
= − − = + −
− = − = + −
+ = + = + − +
+
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
4 8 12 4 2 3 2 3 1
2 6 4 2 3 2 2 2 1
6 18 24 6 3 4 3 2 4 1
2 1
2 2 2
2 2
2 2
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
mcd a
+ − = + − = + −
− + = − + = − −
+ − = + − = ⋅ + −
−
31. 31. 31. 31. 31. ( )( )( )( )( )
4 2 2
8 2 4 2
4 4 22
2 2
3 3 2 2
2 2 2
a b a b a b
a b a b a ab b
a ab b a bmcd a b
− = + −
+ = + − +
+ + = ++
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )( )( )
( ) ( )( )
x x x x
x x x x
x x x x x x x x xmcd x
2
2
3 2 2
2 8 4 2
12 4 3
9 20 9 20 5 44
− − = − +
− − = − +
− + = − + = − −−
33. 33. 33. 33. 33. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
mcd a a
2
3 2 2
6 5 4 3 2
1
6 7 6 7 7 1
1 1 1
1
+ = +
− − = − − = − +
+ = + = + − + − +
+
34. 34. 34. 34. 34. ( )( )( )( )
x x x x
x x x x
x x x x x x
mcd x x
3 2
2 2
4 3 2 2 2
2
27 3 3 9
2 6 18 2 3 9
3 9 3 9
3 9
+ = + − +
− + = − +
− + = − +
− +
35. 35. 35. 35. 35. ( )( )( )( )( )
x ax a x a x a
x ax a x a x a
x ax a x amcd x a
2 2
2 2
2 2 2
6 3 2
2 3 3
6 9 33
+ − = + −
+ − = + −
+ + = ++
36. 36. 36. 36. 36. ( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
54 250 2 27 125 2 3 5 9 15 25
18 50 2 9 25 2 3 5 3 5
18 60 50 2 9 30 25 2 3 5
2 3 5
3 3 2
2 2
2 2 2
x x x x x
ax a a x a x x
x x x x x
mcd x
+ = + = + − +
− = − = + −
+ + = + + = +
+
37. 37. 37. 37. 37. ( ) ( )( )[ ]( )( )
( )( ) ( )( )( )
x x x
x x x x
x x x x x xmcd x
2 2 2
2
4 2 2 2
1 1 1
4 5 5 1
1 1 1 1 1 11
− = + −
− − = − +
− = + − = + + −+
38. 38. 38. 38. 38. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
4 28 4 7
8 7 8 7 7 1
15 56 15 56 8 7
7
2
2 3 2 2 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2
ax ax ax x
a x a x a x a x x x a x x x
ax ax ax ax x x ax x x
mcd ax x
− = −
− + = − + = − −
− + = − + = − −
−
39. 39. 39. 39. 39. ( )( ) ( )( )
( )( )( )
3 6 3 2
4 4 2 2
2 2
2 2 12
2
3 2
2
2
a a a a
a a a a a a a
a b ab ab a
a a a amcd a
− = −
− = − = + −
− = −
− − = − +−
40. 40. 40. 40. 40. ( )( )( )( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
3 3 1
27 1 3 1 9 3 1
9 6 1 3 1
3 6 2 3 6 2
3 1 2 3 1
2 3 13 1
2
3 2
2 2
x x x x
x x x x
x x x
ax a x ax a x
a x x
a xmcd x
− = −
− = − + +
− + = −
− + − = − + −
= − + −
= + −−
41. 41. 41. 41. 41. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a x a x ax x a x a x ax x
a x a x a
a x x a x a a
a a a a a a
a a a
a a
4 2 2 2
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2
2 2
5 3 2 5 3 2
3 2 2
3
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1
− = + − = + + −
+ + + = + + +
= + + + = + +
+ + + = + + +
= + + +
= + + = + +
+ + + = + + +
= + + +
= + ( ) ( )( )( )( )( )
2 2 2
2
1 1 1 1
1 1
+ = + − + +
+ +
a a a a
mcd a a
42. 42. 42. 42. 42. ( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )
2 4 2 2 2
2
2 2 2 2
2
3 2 2 3 2 2
2 2
3 3 2 2
3 2 2 2
m mn n m mn n
m n
m m n mn n m m n n m n
m n m n
m n m n m mn n
m mn m m n
m m n m nmcd m n
+ + = + +
= +
+ + + = + + +
= + +
+ = + − +
− = −
= + −+
43. 43. 43. 43. 43. ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( )
a a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a amcd a
3 2 3
2
2
2 2
2 2
3 2
2
3 3 1 1 3 1
1 1 3 1
1 1 3
1 2 1 1 1
2 1 1
1 1 1
4 3 3 11
− + − = − − −
= − + + − −
= − + + −
= − − + = − −
− + = −
− = − = + −
− + = − −−
44. 44. 44. 44. 44. ( )( )( )
( )( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )( )
( )( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )
16 54 2 8 27
2 2 3 4 6 9
12 42 90 6 2 7 15
6 2 7 2 30
6 2 10 2 3 2
3 2 5 2 3
32 24 36 4 8 6 9
4 8 6 8 72
4 8 12 8 6 4
2 2 3 8
3 3
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
3 2 2
2
2
a x x x a
x a a a
a x ax x x a a
x a a
x a a
x a a
a x a x ax ax a a
ax a a
ax a a
ax a
+ = +
= + − +
− − = − −
= − −
= − + ÷
= ⋅ − +
+ − = + −
= + −
= + − ÷
= + ( )( )( )
( )( )( )( )[ ]
( )
a
ax a a
a x a x x x a a
x a
x a a
mcd x a
−
= + −
− + = − +
= −
= + −
+
6
2 2 3 4 3
32 144 162 2 16 72 81
2 4 9
2 2 3 2 3
2 2 3
3
4 2 4 2
2 2
2
45. 45. 45. 45. 45. ( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
xy y x y xy y
y x xy y y x y
x y xy y y x xy y y x y x y
ax y ay ay x y ay x y x xy y
x y y y x y y x y x y
mcd y x y
+ = + +
= + + = +
− − = − − = − +
+ = + = + − +
− = − = + −
+
2 2 2 2 3 4
2 2 2 2 2
2 2 3 2 2
3 4 3 3 2 2
2 3 2 2
2
2
2 3 2 3 3
46. 46. 46. 46. 46. ( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )( )( )
( ) ( )[ ]( )( )[ ]
2 4 2 2 4 2
2 2 2
2 2
2 2
6 5 4 6 5 6 24
6 8 6 3 2 3
3 4 2
16 72 40 8 2 9 5
8 2 9 2 10
8 2 10 2 2
2 2
2 3 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
a am a m a am a m
a a m a m
a a m
am m m a m
a am m a m a m
a m a m
a m a m
a am m a am m
a m a m
a m a m
− + − = − + −
= − + −
= + −
− = −
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ − = + −
= + −
= + − ÷
( )( )= + −−
8 5 22
a m a mmcd a m
47. 47. 47. 47. 47. ( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( ) ( )
( )
12 6 24 12 12 6 24 12
6 2 12 2
6 12 2
3 2 2 2
3 24 3 8
3 2 2 4
9 9 18 9 2
3 2
12 24 12 2 4 3 2
3 2
3 3 3 3
2 2
2 2 2 2
2
2
ax ay bx by ax ay bx by
a x y b x y
a b x y
a b x y
a b a b
a b a ab b
a ab b a ab b
a b a b
a ab a a b a a b
mcd a b
− + − = − + −
= − + −
= + −
= ⋅ + −
+ = +
= + − +
+ − = + −
= + −
+ = + = ⋅ +
+
48. 48. 48. 48. 48. ( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )( )( ) ( )
( )( )
5 5 5 5 5 5
5 5 5
15 15 15 15 15 15
15 15
15
5 3
20 20 20 20 20 20
20 20
20
2
3 2 2 2 2 2
2 2
2 2
3 2 2 2 2 2
2 2
2
a ax ay xy a a x y a x
a y a x a y a x
a ax a y x y a a y x a y
a x a y
a x a y
a x a x a y
a ay a x xy a a x y a x
a y a x
a
+ + + = + + +
= + + = + +
− + − = + − +
= − +
= − +
= ⋅ + − +
− + − = + − +
= − +
= −( )( )( )( )( )
( )( )
y a x
a y a y a x
mcd a y a x
2
5 4
5
+
= ⋅ + − +
+ +
EJERCICIO 1131. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
12 8 1 2 5 312 30 18 6
38 19 2
2 5 3 2 12
6 3 32 1 2 12 1 1 2 1
2 2
2
2
2
x x x xx x
x
x x xx x x
xx xx mcd x
+ + − −
− + +
+ ÷
− − +
− −
− − ÷ −+ +
− − +
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )
( )
( )
3 2 6 6 2 20 2
6 3 18 3 106 2 20 2
2
3 10 23 6 3
5 10 22 22 1 2
3 2 2
3 2 2
3 2
2
2
2
a a a a a
a a a a aa a a a
a a a
a a aa a a
aa aa mcd a
− − − − ÷
− − − −− + +
− + ÷ −
− − −
− +
− ÷− −
− + −
;
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )
( )
( )
( )
3 5 6 3 4
15 18 3 3 4
15 18 3
15 18 3 3 415 20 5 5
2 2 2
3 43 3 3
1
3 2 2 3 2 2
3 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
a a x ax a a x ax
a a x ax a a ax x
a a ax x
a ax x a ax xa ax x
ax x x
a ax x a xa ax a
ax x xa x a x
a x mcd a a x
− + − +
= − + = − +
= − +
− + − +
− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −− −
− + −
;
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )
2 4 4 6 2
2 2 3 22 1
12 1
2 2 2 2
1 11 1 1
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2 2
x x x
x x x x x xx x x
x xx x x x xx x x x
x x
x x x xx x mcd x x
+ − + ÷
+ − + + − +
− − + −
− +
+ − + − +
− + −
− + ÷
− + − +
− + − − +
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )( )
8 6 7 3 2 3 2
8 6 7 3 2 3 2
8 6 7 3 2 3 2 38 12 8 4
18 15 3 36 9 6 6 56 5
4 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3 2 2 3
2 2
a a x a x ax a a x ax
a a a x ax x a a ax x
a a x ax x a ax x xa a x ax a
a x ax xa x ax x a x ax xa x ax
− + − + −
= − + − = + −
− + − + −− − +
− + − ÷ −+ − − +
− +
;
( )
−
− ÷− + −
− +
− + ÷ −− −
− + −
x
ax x xa x ax x a xa x ax ax
ax x xa x a x
a x mcd a a x
3
2 3 2
2 2 3
2 2
2 3 2
1
14 7 76 5 26 3 3
22 2
2 1 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
( )( )
( )
12 3 26 5 10
12 3 26 5 10 3 3 4 5 15 512 12 16 20 60 4
15 42 25 70 1
15 15 20 25 75 15 42 25 70 1915 42 25 70
57 45 95 75 5285 798
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3 2
3 2
ax ax ax ax a a
x x x x x x x xx x x x
x x x
x x x x x x xx x x x x
x x xx x
− + − + ÷
− + − + + − + −
− − + − +
− + − + −
+ − + − − + −− + − +
− + −−
( )
( )
+ − − + −− + − +
− − ÷ −
− + − +− −
− − ÷ −
+ +
− − +
475 1 330 285 225 475 375285 225 475 375 1
573 955 191
285 225 475 375 3 5285 475 95
225 375 75
3 5 3 53 5 1 3 5
3 2
3 2
2
3 2 2
3
2
2 2
2 2
x x x xx x x
x
x x x xx x x
x
x xx mcd x
.
7. 7. 7. 7. 7. ( )
( )
( )
6 4 3 5 2 3 2 9 6 7
6 4 18 12 2
21 17 2
21 14 63 42 21 17 221 17 2
3 61 42
21 17 2 3 61 42
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
2 2 3 4 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2
x x y x y xy y x x y xy yx x y x y xy x
x y xy y y
x x y xy y x xy yx x y xy x
x y xy y y
x xy y x xy y
− − + − − + −
− + − +
− + − ÷ −
− + − − +
− + −
+ − ÷
− + + −
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
21 427 294 7
444 296 148
3 61 42 3 2
3 2
63 42 213 2 3 23 2 1 3 2
− + +
− + ÷ −
+ − −
− +
− ÷− −
− + −
x xy y
xy y y
x xy y x yx xy x
xy y yx y x yx y mcd x y
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
( )
( )
ax ax ax ax a a
x x x x x
x x x x x x xx x x x x
x x x
x x x x x xx x x
x x
x x x x xx x
4 3 2
4 3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
3 2 6 8
4 4
3 2 6 8 4 44 4
10 8 1
4 4 10 8
10 8 1
3 9 12 3
10 8 3 43 4
+ − + − ÷
+ − − ÷
+ − + − + − −
− − + +
− − + − −
+ − − + − +
− − + −
+ − ÷
+ − + + −
− − +
;
( )x x
x x
x x x xx x mcd x x
− − + ÷ −
+ − + −
− − + + −
2 6 8 2
3 4 3 43 4 1 3 4
2
2 2
2 2
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )
( )
( )
3 2 4 6 3
3 6 8 10 5
6 12 3 18 9 3 6 8 10 56 12 16 20 10 2
19 38 19 19
3 6 8 10 5 2 13 6 3 3
5 10 5 5
2
4 3 2
5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
2
2
m m m m
m m m m m m
m m m m m m m mm m m m
m m
m m m m m mm m m m
m m
m m
− − + −
− + − + ÷
− − + − − + − +− + − + −
− + − ÷ −
− + − + − +
− + −
− + ÷
−
;
+ − +− + − − +
1 2 12 1 1 2 1
2
2 2
m mm m mcd m m
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )
( )
Factor común a
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a aa a a a a a a aa a a a
a a
a a
7 3 6 16 2 5 3 7 14 33 4 10
21 42 112 14 35 21 42 99 12 3021 42 112 14 35 21 42 99 12 3021 42 99 12 30 1
13 26 65 13
21 42 99
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3
− + − + − + + −
= − + − + = − + + −
− + − + − + + −
− + − − +
− + ÷
− +
;
;
( )
( )
a a a aa a a a
a a
a a a a
a a mcd a a a
2 2
4 3 2 2
2
2 2
2 2
12 30 2 521 42 105 21
6 12 30 6
2 5 2 5
2 5 1 2 5
+ − − +
− + −
− + − ÷ −
− + − +
− + − − +
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
45 75 18 30 3
24 40 30 50 2
4 15 25 6 10 5 12 20 15 25
60 100 24 40 60 100 75 125 5
60 100 75 125 1
51 85 17
12 20 15 25 3 512 20 4
15 25 53 5 3 5
3 2
3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
3 2 2
ax ax ax a a
ax ax ax a a
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x xx x x
xx x
+ − − ÷
+ − − ÷
+ − − + − −
+ − − + − − ÷
− − + +
+ ÷
+ − − +
− −
− − ÷ −+ +
−
;
;
( )3 5 1 3 5x mcd a x− +
12. 12. 12. 12. 12.
( )
( )
( )
Factor comúnx ax a x a x ax a x ax ax a x a x ax a x ax ax a x a
ax a a
x ax a x a x ax a x x
ax a a
x a x a
x a mcd x a
22 2 2 2 10 4 10 4
5 2 5 25 5 5 5 5
3 3 3
1 2
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 3
3 2 2 3 2 2
3 2
2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
:;+ + + + + +
+ + + + + +
− − − −
− − ÷ −
+ + + +
− −
+ ÷
+ +
− − +
13. 13. 13. 13. 13.
( )
( )
( )
Factor comúnx ax a x ax ax a x ax ax a x a x ax a x ax ax a x a
ax a x a a
x ax a x a x ax ax ax a x x
ax a x a a
x
39 15 3 312 21 6 3 3
12 21 6 3 3 512 20 4 4 4
2
3 5 23 6 3 3
2
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2
:;+ + −
+ + −
+ + − + + −
− − − +
+ + ÷
+ + − + +
− − −
− − − ÷ −
( )+ + + +
− − − + +
2 2
2 1 3 2
2 2 2
2 2 2 2
ax a x ax a
x ax a mcd x ax a14. 14. 14. 14. 14.
( )
( )
Factor común aba b a b ab a b a b a b ab
a a b b a a b ab b
a a b b a a b ab ba a b ab b
a b ab b b
a a b ab b a ab
28 4 4 12 18 12 6
3 4 2 2 6 9 6 3
12 6 6 6 9 6 312 18 12 6 2
24 12 12 12
6 9 6 3 2
4 3 2 4 4 3 2 2 3 4
3 2 3 3 2 2 3
3 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2
:;+ + − + −
+ + − + −
+ + − + −
− + − +
− + ÷
− + − −
( )
( )
+
− + −
− + − ÷ −
− + − +
− + − − +
ba a b ab a
a b ab b b
a ab b a ab b
a ab b mcd ab a ab b
2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
6 3 3 3
6 3 3 3
2 2
2 1 2 2
15. 15. 15. 15. 15.
( )
( )( )
Factor común a na n a n a n a na n a n a n a n
a a n an n a a n an na a n an n
a n an n n
a a n an n a an n
39 33 27 69 12 21 6
3 11 9 2 3 4 7 2 53 4 7 2 1
15 16 4
15 20 35 10 15 16 4 1215
2 2
5 2 4 3 3 4 2 5
5 2 4 3 3 4 2 5
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
:;− + −
+ − +
− + − + − +
− − + −
− + − ÷ −
+ − + − +
−
( )
( )
( )
( )
a a n an a
a n an n n
a an n a an na an n
an n n
a an n a na an a
an n na n a n
a n mcd a n a n
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
16 4
36 39 10
180 192 48 36 39 10180 195 50 5
3 2
36 39 10 3 236 24 12
15 10 53 2 3 2
3 2 1 3 3 2
+ −
− + ÷
− + − +− + −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −− −
− + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( )
a a a a a a a aa a a a a a
a a a a aa a a a a a a a a aa a a a a
a a a
a a a a a a a aa a a
7 6 4 5 4 3
7 6 5 3 2 2
6 5 4 3 2
6 5 4 2 6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
5 3
6 5 4 3 2 5 3
6 4 2
1 2 1
2
1
2 11 1
1 1
1 1
− + + − + + −
− + − − +
− + − + +
− + + − − + − + +
− + − + − −
− + − − −
− + − + + − + +
− + − −
( )
( )
( )
a a
a a a a
a a a a a a aa a a a
a a
a a a a a aa a a a
a a
a a a aa a mcd a a
− + − − + −
− + + − + + −
− + − − +
− + ÷
− + + − − +
− + −
− + − −
− + − +
− + − − +
5 4 3
5 3 5 4 3
5 4 3
4 3
5 4 3 4 3
5 4
4 3
4 3 4 3
4 3 4 3
2 1 1
1 2 12 1 1
2 2 2 2
2 1 1
1 1
1 1
1 1 1
17. 17. 17. 17. 17.
( )
( )( )
Factor común aax ax ax ax aax ax ax ax ax x x x x x x xx x x x
x x
x x x x x x xx x x x
x x
26 4 6 10 436 24 18 48 2418 12 9 24 12 3 2 3 5 2 918 12 18 30 12 6
27 54 24 1
27 18 27 45 18 27 54 24 427 54 24
36 3
4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
:;− + − +
− − + −− − + − − + − +
− + − + −
− + − −
− + − + − +− + −
+ − ( )( )
( )( )
( )( )
45 18 3
108 216 96 12 15 6 25108 9 135 54 9
225 231 54 3
300 25 375 150 75 77 18 111300 308 72 4
333 447 150 3
8 325 8 547 1 998 111 149 50 2 628
8 325 11 175 3 750 75
2 628 1 752
291
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2
x
x x x x x xx x x
x x
x x x x xx x x x
x x
x x x x
x x
x
+ ÷
− + + − +− − + −
− + − ÷ −
+ − + − +− + −
− + ÷
− + − +
− + −
−
. . . .
. . .
. .
( )
( )
( )
. . . . .
. .
. . .
708 391 572 131 400 2 628 1 752 876
291 708 194 472 111
197 100 131 400 65 7003 2 3 2
3 2 1 2 3 2
2
2
x x x
x x x
xx x
x mcd a x
− + − ÷
− +
− + ÷ −− −
− + −
EJERCICIO 114
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
( )
( )
2 5 6 9 2 5 32 5 3
3 9 3
2 5 3 32 6 2
32 5 6 33
5 63 5 65 6 1
2 6 2
5 6 32
3 6 33 33
3 2 2
3 2
2
2
3 2
3 2 2
2
2 2
2
2
x x x x xx x x x
x
x x xx x x
xx x x x xx x x
x xx x x x
x
x
x x xx x x
xx xx
− − + − −− + +
− + ÷ −
− − −− +
−− − + −
− +
− +
− − ++ −
− ÷
− + −
− +
− + ÷ −− −
− + 1 3mcd x −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )
( )( )
x x x x x
x x x
x x x x x xx x x
x x x x x xx x x
x x
x x x x xx x x x
x xx x
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2
2 2 2 2 2
1 11 1
05 5 2 2 1 105 5 5 5 5
10 7 3 1
10 10 10 10 10 7 3 1710 7 3
17 7 10170 119
+ − − ÷
+ − − ÷
+ − − + − −
− − + +
− + − + − −
− − + +
− + + −
+ − − − −
− + +
− −
− −
;
( )
( )
51 17 7 10170 70 100 10
49 49 49
17 7 10 117 17 17
10 10 101 11 1 1
2
2
2
2
x xx x
x
x x xx x x
xx xx mcd x
− −
− + +
− + ÷ −
− − −
− +
− ÷− −
− + −
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
8 6 3 2 28 4 8 4 4
10 5 5 5
2 2 22
2
2 22 1
06 2
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x x y xy y x x y xy yx x y xy y
x y xy y y
x x y xy y x xy yx x y xy x
x y xy y y
x xy y x xy yx xy y
x xy y x xy y
+ − − − − +
− + + −
+ − ÷
− − + + −
− − +
− − + ÷ −
+ − + −
− − +
− − + −
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
6 3 3 3
4 2 2
2 22
22 22 1 2
− − +
− + ÷ −
+ − −
− +
− ÷− −
− + −
x xy y
xy y y
x xy y x yx xy x
xy y yx y x yx y mcd x y
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
( )
3 9 4 3 2 3 3 2
3 9 3 9 6 3
6 8
3 3 2 6 8 3
6 8
3 7 3 2
3
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
2 2 3 4 2
4 3 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2
3 2 2 3 4
3
a a x a x ax x a a x a x ax xa a x a x ax x
a x ax x x
a a x a x ax x a ax x aa a x a x a
a x a x ax x x
a
+ + − + + + − −
− − − + +
+ + ÷
+ + − − + +
− − −
− − − − ÷ −
( )
( )( )
( )
+ + + + +
− − − −
+ − ÷
+ + + + −
− − +
+ + ÷
+ − + +
− − −
− −
18 24 3 7 3 2 11
3 7 3 2 1
11 21 2
33 77 33 22 11 21 2 14
33 63 6 3
14 39 22
154 294 28 14 39 22154 429 242 11
135
2 2 3 2 2 3
3 2 2 3
2 2 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 2 2
2 2
a x ax a a x ax xa a x ax x
a x ax x x
a a x ax x a ax xa a x ax a
a x ax x x
a ax x a ax xa ax x
ax ( )
( )
( )
270 135
14 39 22 2 2 2
14 28 14 2 1
11 22 11 0
4 8 2 2
4 8 4
22 22 1 2
2
2 2
2
2
3 2 2 3
3 2 2
2 3 2
x x
a ax x a x a x a xa ax a a x
ax x x
a a x ax x a xa a x a
ax x xa x a xa x mcd a x
÷ −
+ + + + +
− − − −
+ ÷
+ − − +
− −
− − ÷ −+ +
− − +
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
( )
( )( )
Factor común x
x x x x
x x x x x xx x x x x
x x xx x x x x xx x x
x x
x x x x xx x x x
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 3 3 2
4 4 3 3
8 3 4
8 8 6 6 8 3 4 5
8 3 4 1
5 7 2 1
40 15 5 20 5 7 2 41
40 56 16 8
5 4 2
4 3 3 2
4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
+ − −
+ − − − + −
− + − +
− − −
− + − − − −
− + + +
− + − −
− − − − +
− + −
( )
( )( )
41 21 20
205 287 82 41 21 20205 105 100 5
182 182 182
41 21 20 1 1 1
41 41 41 1 1
20 20 20 0
3 4 3 4 1 3
3 3 3
3 4 3 4
2
2 2
2
2
2
6 4 3 4
6 5 5
5 4 3
x xx x x xx x
x
x x x x xx x x x
x
x x x x x x
x x x
x x x x
− −
− + − −
− + +
− + ÷ −
− − − − −
− + − +
− ÷
− − + −
− +
− − +Continua.Continua.Continua.Continua.Continua.
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )( )
( )( )
( )
3 3 3 4 3 4
3 4 3 4 1
3 4
3 4 3 4 3 4 133 9 12 3
13 3 12 4 1
13 39 52 13 3 12 4 313 3 12 4 1
36 12 48 12
39 9
5 4 5 4 3
5 4 3
4 3
4 3 2 3 2
4 3
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x xx x x x
x x x
x x x x xx x x
x x
x
− − − + ÷
− + + −
+ − ÷
− − + + −− − +
− − + + ÷ −
+ − + − −− − + +
+ − ÷
+
( )
( )
( )
( )
x x x xx x x x
x x
x x x xx x
x
x x xx x x
xx x
x mcd x x
2 2
3 2
2
2 2
2
2
2
36 12 3 439 13 52 13
4 16 12 4
3 4 4 33 12 9 3
13 13 13
4 3 1
3 3 31 1
1 1 1
− − + −− − +
− + − ÷ −
+ − − +− + −
− ÷
− + −− +
− + ÷ −− −
− + −
Continuación.Continuación.Continuación.Continuación.Continuación.
EJERCICIO 115
16. 16. 16. 16. 16. 3 6 9 183 2 4 2 4 2x x x y mcm x y, ,
17. 17. 17. 17. 17. 9 12 18 362 2 2 3 3 3 3 2a bx ab x a b x mcm a b x, ,
18. 18. 18. 18. 18. 10 15 20 602 2 3 2 3m mn n mcm m n, ,
19. 19. 19. 19. 19. 18 24 36 723 2 3 3 3a b ab mcm a b, ,
20. 20. 20. 20. 20. 20 24 30
20 24 30 6
20 4 5 5 6 5 4 120
4 4 1 4 120
1 1
2 3 3 2
3 3
m n m n mn
mcm m n
, ,
⋅ ⋅ =
⇒
21. 21. 21. 21. 21. ab bc a c b c mcm a b c2 2 2 3 3 3 2 3 3, , ,
22. 22. 22. 22. 22. 2 8 4 12 242 3 2 3 3 3 3 3x y xy a x a mcm a x y, , ,
23. 23. 23. 23. 23. 6 9 12 18 362 2 3 2 3 2a x ay x y mcm a x y, , ,
24. 24. 24. 24. 24. 15 10 20 25
15 10 20 25 5
3 2 4 5 5 5 3 2 300
3 2 4 1 3 300
1 2 4 2
1 2 2
1
2 2 3 4
2 2
2 4
mn m n mn
mcm m n
, , ,
⋅ ⋅ =
⇒
25.25.25.25.25. 24 36 40 60
24 36 40 60 2
12 18 20 30 2
6 9 10 15 3 2 3 5 360
2 3 10 5 5 360
2 3 2 1 3
2 1 2 2
1 1
2 3 2 4 2 5 3 6
3 2
3 3 6
a x a y x y a y
mcm a x y
, , ,
⋅ ⋅ =
⇒
26. 26. 26. 26. 26. 3 8 10 12 163 8 10 12 16 23 4 5 6 8 2
3 2 5 3 4 2 2 3 5 2403 1 5 3 2 2 2403 5 3 1 31 5 1 5
1
3 2 2 3 2 2
4
3 3
a ab b a b a b
mcm a b
, , , ,
⋅ ⋅ =
⇒
1. 1. 1. 1. 1. a ab mcm a b2 2 2 2,
2. 2. 2. 2. 2. x y xy mcm x y2 2 2 2,
3. 3. 3. 3. 3. ab c a bc mcm a b c2 2 2 2,
4. 4. 4. 4. 4. a x a bx mcm a bx2 3 3 2 3 3,
5. 5. 5. 5. 5. 6 4 122 3 3m n m mcm m n,
6. 6. 6. 6. 6. 9 15 453 2 5 3 5ax y x y mcm ax y,
7. 7. 7. 7. 7. a ab a b mcm a b3 2 2 3 2, ,
8. 8. 8. 8. 8. x y xy xy z mcm x y z2 2 3 2 3, ,
9. 9. 9. 9. 9. 2 4 8 82 2 3 3 2ab a b a mcm a b, ,
10. 10. 10. 10. 10. 3 4 6 122 3 3 3 2 4 4 3 2x y z x y z x mcm x y z, ,
11. 11. 11. 11. 11. 6 9 12 362 2 3 3 3 3mn m n m n mcm m n, ,
12. 12. 12. 12. 12. 3 4 8 242 2 2 2 2 2a b x mcm a b x, ,
13. 13. 13. 13. 13. 5 10 15 302 2 2 2x xy xy mcm x y, ,
14. 14. 14. 14. 14. ax y a xy a x y mcm a x y3 2 3 2 2 3 3 3 3, ,
15. 15. 15. 15. 15. 4 6 3 122 2 2 2ab a b mcm a b, ,
EJERCICIO 1161. 1. 1. 1. 1.
( )( )
2 2
4 8 2 2
4 2
2
a a
x x
mcm a x
=
− = −
−
2. 2. 2. 2. 2. ( )
( )
ab b b a b
b b
mcm b a b
− = −
=
−
2
2 2
2
3 3
3
3. 3. 3. 3. 3. ( )
( )
x y xy xy x y
x y x y
mcm x y x y
2 2
2 2
2
+ = +
=
+
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( ) ( )
4 8 2 1 2
8 2
2 1 2 8 1 2
2
3
3
+ = +
=
+ = +
a a
mcm a a
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )
6 2 3
3 6 3 2
6 2
2 2
2 2 3 2
2 2
a b a b
a b ab ab a b
mcm a b a b
= ⋅
+ = +
+
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )
14 7 2
6 4 2 3 2
14 3 2
2 2
2
2
x x
x xy x x y
mcm x x y
= ⋅
+ = +
+
7.7.7.7.7.( )
( )( )
9 3
6 12 2 3 2
2 3 2
18 2
2
2
2
m m
mn mn mn n
mcm mn n
mn n
=
− = ⋅ −
⋅ −
⇒ −
8. 8. 8. 8. 8. ( )
( )
15 5 3
3 6 3 2
15 2
= ⋅
+ = +
+
x x
mcm x
9. 9. 9. 9. 9. ( )
( )
10 5 2
5 15 5 1 3
10 1 3
= ⋅
− = −
−
b b
mcm b
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( )( )
4 12 2 3
36 2 3
2 3 3
36 3
2
2 2 2 2
2 2 2
2
ax ay a x y
a a
mcm a x y
a x y
− = −
= ⋅
⋅ −
⇒ −
11. 11. 11. 11. 11.
( )( )
12 2 3
2 5 2 5
12 2 5
2 2 2
2 3 2 3 2 3
2 3
xy xy
ax y x y x y a
mcm x y a
= ⋅
+ = +
+
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )
mn mn mn nmn mnm m
mcm m n n
3 2 2
2 2
2 2
1
1
− = −==
−
13. 13. 13. 13. 13. ( )
( )
3 6 3 2
2 26 2 3
6 2
2
2 2
2
a ab a a b
a aab ab
mcm a b a b
− = −
== ⋅
−
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( )
5 5 5 1
5 1
5 4 4
2 2
2 3 2 3
4 3
x x x x
xy xyx y x y
mcm x y x
− = −
=
=
−
15. 15. 15. 15. 15. ( )
( )( )
27 81 3 3
9 318 2 3
2 3 3
54 3
4 3 2 3 3
2 2 2
3 2 3
3 3 3
3 3
a b a b a b a b
a ab b
mcm a b a b
a b a b
+ = +
=
= ⋅
⋅ +
⇒ +
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( )( )
9 9 310 5 2
6 2 3
5 2 3
90
3 3 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y xy xy x y
x x
mcm x y x y
x y x y
+ = += ⋅= ⋅
⋅ ⋅ +
⇒ +
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )
( )( )( )
x y xy xy x
x x x x
x x
mcm x y x x
x y x
2
3 2 2
2
2 2
2 2
1
1
4 2
2 1 1
4 1
− = −
+ = +
=
− +
⇒ −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )
( )( )( )
6 18 2 3 3
8 24 2 3
24 2 3
2 3 3 3
24 9
2
3
3
3
2
m m m m
m m
mcm m m m
m m
+ = ⋅ +
− = −
= ⋅
⋅ + −
⇒ −
19. 19. 19. 19. 19. ( )
( )( )( )
3 3 3 1
2 2
6 18 2 3 3
6 1 3
2 2 2 2
2 2
ax a a x
a b a b
x x
mcm a b x x
+ = +
=
− = ⋅ −
+ −
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )( )
( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x
2 2
3 2 2
2 2
2 2
4 4 2
2 2
2 1
2 1
+ + = +
+ − = + −
= + −
=
+ −
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )
( )( )
9 18 3 2
4 4 26 2 3
3 2 2
18 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
a x a y a x y
x xy y x yab ab
mcm a b x y
a b x y
− = −
− + = −= ⋅
⋅ −
⇒ −
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( ) ( )
9 36 3 4
3 2 2
3 3 18 3 6
3 3 2
6 2 3
2 3 2 2 3
18 4 3
4 2 2 2 2
2 2
3 2 2
3 3
2 3
3 2
x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x x
x x x
− = −
= + −
− − = − −
= − +
= ⋅
⋅ + − −
⇒ − −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( )
( )
4 12 9 4 12 9
2 3
2 3 2 3
2 3
3 2 2 2 2
2
4 3 3
2 2 2 2
2 3 2
x x y xy x x xy y
x x y
x x y x x y
a x a x
mcm a x x y
− + = − +
= −
− = −
=
−
24. 24. 24. 24. 24. ( )
( )( )
9 45 3 5
12 3 28 2
3 2 5
72 5
2 2
2 2 2 2 2
3 3 3
2 3 3 2
3 2
x x x x
x y x yx x
mcm x y x
x y x
− = −
= ⋅
=
⋅ −
⇒ −
25. 25. 25. 25. 25. ( )( )( )
( ) ( )
n x n y n x y
nx nxy ny n x xy y
n x yn n
an an
mcm an x y x y
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
3 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2
+ = +
+ + = + +
= +==
+ +
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
4 24 36 2 6 9
2 3
2 8 8 2 4 4
2 2
6 6
3 2
8 2
8 3 2
3 2 2 2
2 2
3 2 2
2
3 2 2
2 3 2
2 2 2
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x
x x
mcm x x x
+ + = + +
= +
− + = − +
= −
+ − = + −
= + −
=
+ −
27. 27. 27. 27. 27. ( )( )
( )( )
( )( )( )( )
6 6 2 3 1
2 2 2 2 1
1 1 1
3 3
2 3 1 1
6 1 1
3 2 2
2 2
3 2
3 3
3 2
3 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
mcm x x x x
x x x x
+ = ⋅ +
− + = − +
+ = + − +
=
⋅ + − +
⇒ + − +
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )( )
( ) ( )
5 5 5
12 24 12 2 3 2
2 3
6 2 3
4 22 2
5 2 3 60
3 4 3
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 3 2 2 3 2
ab b b a b
a ab b a ab b
a b
a b a bb ba a
mcm a b a b a b a b
− = −
− + = ⋅ − +
= ⋅ −
= ⋅
==
= ⋅ ⋅ − ⇒ −
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
ax a bx b a x b x a b x
a ab b a b
xy xy
x x x x
mcm x y a b x x y a b x
− + − = − + − = + −
+ + = +
=
− = −
⋅ + − ⇒ + −
1 1 1
2
4 2
3 3 3 1
2 3 1 12 1
2 2 2
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2 2 2 2
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )( )
( )( ) ( )
14 14 7 2 1
2 1 1
7 7 7 1
28 7 2
1 1
28 1 1
2 2
2 2
2
2 2
2 2
x x
x x x
x x
x x
x x
mcm x x x
+ = ⋅ +
+ + = +
+ = +
= ⋅
+ = +
+ +
EJERCICIO 117
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )( )( )
( )
6 6 2 3 1
3 3 3 1
2 3 1 1
6 12
x x
x x
mcm x x
x
− = ⋅ −
+ = +
⋅ − +
⇒ −
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )( )
( )( )( )
( )
10 40 5 2 4
5 2 2 2
5 10 5 2
5 2 2 2
10 4
2 2
2
x x
x x
x x
mcm x x
x
− = ⋅ −
= ⋅ + −
+ = +
⋅ + −
⇒ −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( )
( )( )( )
x y x y x y
x x y x x y
mcm x x y x y
x x y
2 2
3 2 2
2
2 2 2
4 2 2
2 2
2 2
4
− = + −
+ = +
+ −
⇒ −
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )
( )
x x x
a x a a x
mcm a x
2 2
2 2 2
2 2
6 9 3
3 9 3 3
3 3
− + = −
− = −
−
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )
( )( )
4 12 9 2 3
4 9 2 3 2 3
2 3 2 3
2 2 2
2 2
2
a ab b a b
a b a b a b
mcm a b a b
− + = −
− = + −
+ −
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )
( )
a a b ab a a ab b
a a b
a a b a a b
mcm a a b
3 2 2 2 2
2
3 2 2
2 2
2 2+ + = + +
= +
+ = +
+
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )( )
( )( )( )( )
2 6 8 2 3 4
2 4 1
3 12 3 4
2 3 4 1
6 4 1
2 2bx bx b b x x
b x x
ax a a x
mcm b a x x
ab x x
+ − = + −
= + −
+ = +
⋅ + −
⇒ + −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
x x x x
x x x x
x x x
mcm x x x x
x x x
2
3 2
2
2 15 5 3
25 25
5 5
5 5 3
25 3
+ − = + −
− = −
= + −
+ − −
⇒ − −
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )( )( )
( )( )
x x
x x x
mcm x x
− = −
− = + −
+ −
1 1
1 1 1
1 1
2 2
2
2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( )( )
x x
x x
mcm x x
+ = +
+ = +
+ +
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( ) ( )
( ) ( )
x y x y x xy y
x y x y
mcm x y x xy y
3 3 2 2
3 3
3 2 2
+ = + − +
+ = +
+ − +
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )
( ) ( )
x y x y x xy y
x y x y
mcm x y x xy y
3 3 2 2
3 3
3 2 2
− = − + +
− = −
− + +
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )
( )( )[ ]( )( )
( )( )( )( )( )
4 7 2 4 7 4 8
4 8 4 1 4
2 4 1
3 10 5 2
2 4 1 5
2 2
2
x x x x
x x
x x
x x x x
mcm x x x
− − = − −
= − + ÷
= − +
+ − = + −
− + +
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( )( )
( )( )( )
a a a a
a a a a
mcm a a a
2
2
30 6 5
3 18 6 3
6 3 5
+ − = + −
+ − = + −
+ − −
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )( )
( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x
x x x
mcm x x x x
x x x
4 3 2 2 2
2
3 2 2 2
2
2
2 2
2 15 2 15
5 3
9 5 45 9 5 9
5 9
5 3 3
5 3 3
5 9
+ − = + −
= + −
− + − = − + −
= + −
= + + −
+ + −
⇒ + −
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
x x x x
x x x x
ax ax ax ax x x
mcm ax x x x x
6 3 3 3
2 3
4 3 2 2 2
2 2 3
4 32 8 4
2 2 4 4
2 4 2 4
2 2 4 4
− − = − +
= − + + +
+ + = + +
− + + +
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
12 2 3
8 2
2 3 24
2 2 2
2 3 2
3 2 2
x y x y x y
x y x y
mcm x y x y x y x y
− = ⋅ + −
− = −
⋅ + − ⇒ + −
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( ) ( )
( )( )
5 5
10 5 2
10
2 2
2 2 2 2
2 2 2
x y x y
x y x y
mcm x y x y
+ = +
+ = ⋅ +
+ +
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
6 2 3
4 2
2 3
12
3 3
2 3 3 2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 3 2 2
a m n a m n
a b m n a b m n m mn n
mcm a b m n m mn n
a b m n m mn n
+ = ⋅ +
+ = + − +
⋅ + − +
⇒ + − +
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
ax m n ax m n
x m n x m n m mn n
mcm ax m n m mn n
− = −
− = − + +
− + +
3 3
3 3 3 3 2 2
3 3 2 2
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )
( ) ( )( )( )( ) ( )
2 2 2 1
3 3 3 1
1 1 1
2 3 1 1 6 1
2
2
4 2 2 2 2
2 2 2
a a a a
a a a a
a a a a a a a
mcm a a a a a
+ = +
− = −
− = − = + −
⋅ + − ⇒ −
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )
( )( )( )( ) ( )
x x x x
x x x x
x x x
mcm x x x x x
2
3 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
4 2 2
2 2 4
+ = +
− = −
− = + −
− + ⇒ −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
2
2
2
2 2 1
4 3 3 1
6 3 2
2 1 3
+ − = + −
− + = − −
− − = − +
+ − −
24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )
4 12 9 2 3
3 14 8 3 14 3 24
3 12 3 2 3 4 3 2
6 13 6 6 13 6 36
6 9 6 4 3 2 2 3 3 2
4 2 3 3 2
2 2
2 2
2 2
2
+ + = +
+ + = + +
= + + ÷ = + +
+ + = + +
= + + ÷ ⋅ = + +
+ + +
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
mcm a a a
25. 25. 25. 25. 25. ( )( )
( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )
10 10 5 2 1
15 15 5 3 1
5 5 5 1 5 1 1
5 2 3 1 1 1 30 1 1
2 2
2 2
2 2 2
x x
x x
x x x x
mcm x x x x x
+ = ⋅ +
+ = ⋅ +
− = − = + −
⋅ ⋅ + + − ⇒ + −
26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
ax bx ay by x a b y a b
x y a b
x xy x x y
x xy x x y
mcm x x y x y a b x x y a b
− + − = − + −
= + −
+ = +
− = −
+ − − ⇒ − −
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
27. 27. 27. 27. 27. ( )( )
( ) ( )( )( )( ) ( )
4 4 2
6 6 2 3
15 15 5 3 5 3
2 3 5 60
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
a b ab ab a b
a b a b
a b a b a b a b
mcm ab a b a b ab a b
+ = +
− = ⋅ −
− = ⋅ − = ⋅ + −
⋅ ⋅ + − ⇒ −
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )( )( )( )
( )( )( )
x x x
x x x x
x x
mcm x x x x
2
3 2
2
25 5 5
125 5 5 25
2 10 2 5
2 5 5 5 25
− = + −
− = − + +
+ = +
+ − + +
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )
( )( )( )
( ) ( )
a b a b ab ab a ab b
ab a b
a ab b a b a b
ab b b a b
mcm ab a b a b
3 2 2 3 2 2
2
2 2
2 3 2
2 2
6 9 6 9
3
2 3 3
3
− + = − +
= −
− − = − +
+ = +
− +
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )
( ) ( )( )( )( ) ( )
2 2 2
4 4 2
6 6 2 3 2 3
2 3 12
2
2 2
3 3 2 2
2 2 2
m mn m m n
mn n n m n
m n mn mn m n mn m n m n
mcm mn m n m n mn m n
+ = +
− = −
− = ⋅ − = ⋅ + −
⋅ + − ⇒ −
31. 31. 31. 31. 31. ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20 2 5
15 5 3
12 2 3
2 5 3 60
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
x y x y x y
x y x y
x y x y
mcm x y x y x y x y
− = ⋅ + −
− = ⋅ −
+ = ⋅ +
⋅ ⋅ + − ⇒ + −
32. 32. 32. 32. 32. ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
ax ax a a x x a x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
mcm ax x x x
2 2
3 2 2 2
4 3 2 2 2 2
2 2
5 14 5 14 7 2
14 49 14 49 7
7 18 7 18 9 2
7 2 9
+ − = + − = + −
+ + = + + = +
+ − = + − = + −
+ − +
33. 33. 33. 33. 33. ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 12 18 2 6 9 2 3
3 27 3 9 3 3 3
5 30 45 5 6 9 5 3
2 3 5 3 3 30 3 3
3 2 2 2
4 2 2 2 2
3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
mcm x x x x x x
− + = − + = −
− = − = + −
+ + = + + = +
⋅ ⋅ + − ⇒ + −
34. 34. 34. 34. 34. ( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( ) ( )
3 3 3 1 3 1 1
6 6 2 3 1
12 12 2 3 1
9 9 3 1
2 3 1 1 1
36 1 1 36 1
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 4
− = − = + −
+ = ⋅ +
+ = ⋅ +
− = −
⋅ + + −
⇒ + − = −
a a a a
a a
a a
a a
mcm a a a
a a a
35. 35. 35. 35. 35. ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2 3 2 2 3 2
135 40 5 27 8 5 3 2 9 6 4
12 8 2 3 2
5 2 3 2 9 6 4
20 3 2 9 6 4
2 2
3 3 2
2
2 2 2
2 2
n n
n n n n n
n n
mcm n n n
n n n
− = −
− = − = − + +
− = −
⋅ − + +
⇒ − + +36. 36. 36. 36. 36. ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( )
12 8 3 2 4 3 2 3 2
4 1 3 2
48 3 32 2 16 3 2 3 2
16 1 3 2
4 1 4 1 3 2
6 5 6 6 5 6 36
6 9 6 4 3 2
2 3 3 2
4 1 4 1 3 2 2 3
16 1 3 2 2 3
2 2 2
2
2 2
2
mn m n m n n
m n
m n n m m n n
m n
m m n
n n n n
n n
n n
mcm m m n n
m n n
+ − − = + − +
= − +
− + − = + − +
= − +
= + − +
− − = − −
= − + ÷ ⋅
= − +
+ − + −
⇒ − + −
37. 37. 37. 37. 37. ( )( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )( )
( )( ) ( )[ ]( )( )[ ]( )
( )
15 16 15 15 16 15
15 16 15 225
15 25 15 9 5 3
3 5 5 3
18 60 50 2 9 30 25
2 9 30 9 225
2 9 15 9 15 3 3
2 3 5
12 20 2 3 5
2
2 5 2 4 2 3 2 3 2
2 3 2
2 3
2 3
3 2 2
2
2
3 2 2 2
2
a x a x a x a x x x
a x x x
a x x x
a x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x
ax ax ax x
mcm a
+ − = + −
= + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + +
= + + ÷ ⋅
= +
+ = +
= ( ) ( )( ) ( )
2 3 2
2 3 2
3 5 5 3
4 3 5 5 3
x x x
a x x x
+ −
= + −
38. 38. 38. 38. 38. ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
16 8 4
16 8 4 2 2
16 4 4 4 2 2
4 2 2
2 4 2 2
2 4 2 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2 2
+ + = +
− + = − = − +
− = + − = + + −
+ + −
x x x
x x x x x
x x x x x x
mcm x x x
39. 39. 39. 39. 39.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2
3 2
2 2 2
+ = +
+ = +
+ = + − +
+ − + +
a a
a a
a a a a
mcm a a a a
40. 40. 40. 40. 40. ( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )( ) ( )
( )( )[ ] ( )( )( )( )( )
8 10 3 8 10 8 24
8 12 8 2 4 2 2 3 4 1
20 13 2 20 13 20 40
20 8 20 5 4 5 5 2 4 1
10 11 6 10 11 10 60
10 15 10 4 5 2 2 3 5 2
2 3 5 2 4 1
2 2
2 2
2 2
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
mcm n n n
− − = − −
= − + ÷ ⋅ = − +
+ + = + +
= + + ÷ ⋅ = + +
− − = − −
= − + ÷ ⋅ = − +
− + +
41. 41. 41. 41. 41.
( )( )[ ]( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]( )( )( )
6 2 36 6 12
6 4 6 3 2 3
3 2 2
15 22 8 15 22 15 120
15 12 15 10 3 5
5 4 3 2
10 3 4 10 3 10 40
10 8 10 5 2 5
5 4 2
3 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a ab b a ab b
a b a b
a b a b
a ab b a b a b
a b a b
a b a b
a ab b a b a b
a b a b
a b a b
mcm a b a
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + + ÷ ⋅
= + +
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ −( )( )b a b5 4+
42. 42. 42. 42. 42. ( ) ( )
( )( )[ ]( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]( )( )
( ) ( )
( )( )[ ]( )( )
( )( )
12 5 2 12 5 12 24
12 8 12 3 4 3
3 2 4
15 13 2 15 13 15 30
15 10 15 3 5 3
3 2 5
20 20 20 20
20 5 20 4 5 4
4 5
4 5 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y x y
x y x y
x y x y
mcm x y x y x
+ − = + −
= + − ÷ ⋅
= + −
+ + = + +
= + + ÷ ⋅
= + +
− − = − −
= − + ÷ ⋅
= − +
− + ( )+ 2y
43. 43. 43. 43. 43. ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )
6 6 2 3 1
3 3 3 1
1 1 1 1 1 1
2 3 1 1 1
6 1 1
2 2 2 3 2 2
2 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
b x b x b x x
a x a x a x x
x x x x x x
mcm a b x x x x
a b x x x
+ = ⋅ +
− = −
− = + − = + + −
⋅ + + −
⇒ + −
44. 44. 44. 44. 44. ( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x x x x x x
x x
x x x x
a x a x a x a x x x
a x x x
x x x x x x
mcm a x x x x x
4 3 3
3
2
2 4 2 3 2 2 2 2 2
2 2
4 3 2 2 2
2 2 2
8 4 32 4 8 4
8 4
2 2 4 4
2 8 2 8
4 2
2 4 8 2 2 4
2 2 2 4 4
+ − − = − + −
= + −
= + − + −
− − = − −
= − +
− + = − +
+ − + −
45. 45. 45. 45. 45. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( )( )
x x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x
x x x x
x x x x
x
4 2 4 2 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
10 9 10 9 4 4
6 9 4
3 4
2 3 2 3
3 1 3 1
4 3 4 3 1 1
4 4 1
2 1
2 1 2 1 3 1
4 3 4 3 1 1
− + = − + + −
= − + −
= − −
= − − + −
= − + + −
+ + = + + + −
= + + −
= + −
= + + + − = + +
− + = − + + −
= −( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
4 4 1
2 1
2 1 2 1 1 3
9 9 1 9 1
9 1
3 3 1
3 3 1 1 9 1
2
3 2 2
2
2 2
x
x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x
mcm x x x x x x
+ −
= − −
= − + − − = − −
− + − = + − +
= − +
= + − +
+ − + − ⇒ − −
46. 46. 46. 46. 46. ( )( )( )( )( )( )
( ) ( )( )
1 1 1
1 1
1 1 1
1 2 1
1 1 1
3 2
2
2 2
2 2
− = − + +
− = −
− = + −
− + = −
− + + +
a a a a
a a
a a a
a a a
mcm a a a a
47. 47. 47. 47. 47. ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
a ab b a b a b ab a b
b a ab b a a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b
a b ab ab a b
mcm a b a b a b
− = − = −
+ = + = +
− = − = + −
− = −
+ −
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
48. 48. 48. 48. 48. ( )( )( )( )( )( )
( ) ( )( )
m n m n m mn n
m n m n m n
m mn n m n
m mn n m mn n
mcm m n m mn n m n
3 3 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
27 3 3 9
9 3 3
6 9 3
3 9 3 9
3 3 9 3
− = − + +
− = − +
− + = −
+ + = + +
− + + +
EJERCICIO 118
1. 1. 1. 1. 1. a
ab
a
b
2
=
2. 2. 2. 2. 2. 2
8
1
42
a
a b ab=
3. 3. 3. 3. 3. x y
x y xy
2 2
3 3
1=
4. 4. 4. 4. 4. ax
x y
a
x y
3
5 24 4=
5. 5. 5. 5. 5. 6
32
2 33m n
mmn=
6. 6. 6. 6. 6. 9
24
3
8
2 3
2 3 4 2
x y
a x y a xy=
7. 7. 7. 7. 7. 8
24 3
4 3 2
2 2
3m n x
mn x
m n=
8. 8. 8. 8. 8. 12
32
3
8
3 4 5
2
2 2 4x y z
xy z
x y z=
9. 9. 9. 9. 9. 12
60
1
5
2 3
3 5 6 2 6
a b
a b x ab x=
10. 10. 10. 10. 10. 21
28
3
4
3 6
4 2 2
4
3
mn x
m n x
nx
m=
11. 11. 11. 11. 11. 42
26
21
13
2 3
4 5 2 2
a c n
a c m
n
a c m=
12. 12. 12. 12. 12. 7
34
1
2
3 4 6
7 8 10 4 4 4
x y z
x y z x y z=
13. 13. 13. 13. 13. 30
45
2
3
6 2
3 4 3
2 2
3 3
x y
a x z
x y
a z=
14. 14. 14. 14. 14. a b
a b c a b c
5 7
8 9 3 23
1
3=
15. 15. 15. 15. 15. 21
63 3
8 10 12
4 2
4 9 10a b c
a bc
a b c=
16. 16. 16. 16. 16. 54
63
6
7
9 11 13
10 12 15 2
x y z
x y z xyz=
17. 17. 17. 17. 17. 15
75 5
12 15 20
11 16 22 2
a b c
a b c
a
bc=
18. 18. 18. 18. 18. 75
100
3
4
7 5
3 12 3
4
7 3
a m
a m n
a
m n=
EJERCICIO 119
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )3
2 23
23
22 3 2
aba x a
aba x a
ba x a+
=+
=+
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )xy
x y xyxy
xy x y x y3 3 31
32 2−=
−=
−
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
2 43 6
2 23 2
23
ax bxay by
x a by a b
xy
++
=++
=
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )x x
xx x
xx
2 2 33
3 13
1− −
−=
− +−
= +
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )10
80 8 8
2 3
3 2
2 3
2
3a b ca a b
a b ca a b
b ca b−
=−
=−
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
( )x
ax ax x
a xx
a
2 45 10
2 25 2
25
−+
=+ −
+=
−
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )( )( )
( )( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
3 4 155 6
3 4 3 453 2
3 9 3 5 3
3 23 3 53 2
3 52
2
2
2
x xx x
x xx x
x x
x xx xx x
xx
− −− +
=− −
− −
=− + ÷
− −=
− +− −
=+
−
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
15 4510 30
15 310 3
32
2 2
2 2 2 2
2
2 2
a bn a bma b n a b m
a b n ma b n m b
−−
=−−
=
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )
( )x y
x xy yx y x y
x y
x yx y
2 2
2 2 22−
+ +=
+ −
+=
−+
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( )( )3 15
253 5
5 53
5
2
2
x y xyx
xy xx x
xyx
+−
=+
+ −=
−
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( )( )a ab b
a ba b
a b a ab ba b
a ab b
2 2
3 3
2
2 2 2 24 4
82
2 2 42
2 4− +
−=
−− + +
=−
+ +
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )( )( )( )( )
x x xx x
x x xx x
x xx x
xx
3 2
3
2
2
4 219
4 219
7 33 3
73
+ −−
=+ −
−=
+ −+ −
=++
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )( ) ( )
( )( )[ ]( )( )[ ]
( )( )( )( )
6 5 615 7 2
6 5 6 3615 7 15 30
6 9 6 4 3 2
15 10 15 3 5 3
2 3 3 23 2 5 1
2 35 1
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x x
x x
x xx x
xx
+ −− −
=+ −− −
=+ − ÷ ⋅
− + ÷ ⋅=
+ −− +
=++
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( )( )a
a a aa
a a aa
a a a
3
4 3
3
3
3
3
11
11 1
11 1
11
+− + −
=+
− + −=
++ −
=−
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
2 4 24 2 8
2 2 22 4 2
2 24 2
24
ax ay bx byax a bx b
x a b y a bx a b a b
x y a bx a b
x yx
+ − −− − +
=− + −− − −
=+ −− −
=+−
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )( )
( )( )( ) ( )
a ab ba x a bx ab x
a b a bax a b b
a b a b
ax a b
a bax a b
2 2
3 2 2
2 2 2
66 9
3 26 9
3 2
3
23
− −− +
=− +
− +=
− +
−=
+−
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )m nm n
m nm n m n m n
2 2
4 4
2 2
2 2 2 2 2 2
1+−
=+
+ −=
−
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )( )
( ) ( )x y
x y
x y x xy y
x y
x xy y
x y
3 3
3
2 2
3
2 2
2+
+=
+ − +
+=
− +
+
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( )
( )( )m n
m nm n
m n m nm nm n
−−
=−
+ −=
−+
2
2 2
2
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )
( )( )( )a x
a xa x
a x a ax xa x
a ax x−−
=−
− + +=
−+ +
3
3 3
3
2 2
2
2 2
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( )
a aa a
a aa a
aa
2
2
207 10
5 45 2
42
− −− +
=− +− −
=+−
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )12 1
1 1
11
2 2
2
2
22−
+ +=
+ −
+= −
aa a
a a
aa
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( )( )a b a b
a ba b a b
a b a ba b
a b
4 2 2 4
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
−−
=−
+ −=
+
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )
( )( )x yx y
x y x yx y x xy y
x yx xy y
2 2
3 3 2 2 2 2−−
=+ −
− + +=
++ +
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )
( )( )
24 836 24 4
8 34 9 6
2 3
3
23
3 2 2
4 3 2 2
2
2 2 2 2
a b a ba a b a b
a b a ba a ab b
b a b
a b
ba b
++ +
=+
+ +=
+
+=
+
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )
( )( )( )( )
( )
n nn n
n nn n
n n nn n
n nn
3
2
2
5 6
16 1
1 16 1
16
−− −
=−
− +=
+ −− +
=−
−
27. 27. 27. 27. 27.
( )( )( )
8 18 4 2
2 1 4 2 12 4 2 1
2 12
3
3 2
2
2
nn n n
n n nn n n
nn
+− +
=+ − +
− +=
+
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )
( )( )( )( )
a b c
a b c
a b c a b ca b c a b c
a b ca b c
2 2
2 2
− −
+ −
=+ − − ++ − + +
=− ++ +
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
a b c d
a c b d
a b c d a b c da b c d a b c d
a b c da b c d
+ − −
+ − −
=+ + − + − ++ + − − + +
=+ − +− + +
2 2
2 2
30. 30. 30. 30. 30. ( )
( )3 9
6 93 3
3
33
3 2
2
2
2
2x xx x
x x
xx
x+
+ +=
+
+=
+
31. 31. 31. 31. 31. ( )
( )( )( )
( )
106 6 6
106
53
2 3 3
4 3 2 2
2 2 2
2 2 2
a a ba a b a b
a a b a ab ba a ab b
a b
+− +
=+ − +
− +=
+
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )
( )( )
a a abx a ab
a a bax a b
ax
4 83 6
4 23 2
43
2
2
2−−
=−−
=
33. 33. 33. 33. 33. ( )
( )x x
x xx x
xx
x
3 2
2
2
2
2612 36
6
6 6−
− +=
−
−=
−
34. 34. 34. 34. 34. ( )
( )( )
( )( )( )
( )
x yx x y
x yx x y
x yx x y x xy y
x yx x xy y
−−
=−
−
=−
− + +
=−
+ +
464
464
44 4 16
44 16
2
5 2 3
2
2 3 3
2
2 2 2
2 2 2
35. 35. 35. 35. 35. ( )
( )x xy
x x y yx x y
x yx
x y
3 2
4 2 2 4
2 2
2 2 2 2 2
36 9
3
3 3−
− +=
−
−=
−
36. 36. 36. 36. 36.
( )( )( )
m n m n mnm
mn m mm m m
mnm
3 2
3
2
2
3 927
3 93 3 9 3
+ +−
=+ +
− + +=
−
37. 37. 37. 37. 37. ( )( )( )( )
x xx
x xx x
xx
4 2
4
2 2
2 2
2
28 15
95 33 3
53
− +−
=− −+ −
=−+
38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )
a aa a
a aa a
aa
4 2
4 2
2 2
2 2
2
2
6 78 9
7 19 1
79
+ −+ −
=+ −+ −
=++
39. 39. 39. 39. 39.
( ) ( )( ) ( )
( )( )[ ]( )( )[ ]( )( )( )( )
3 19 206 17 12
3 19 3 606 17 6 72
3 15 3 4 3
6 8 6 9 2 3
5 3 43 4 2 3
52 3
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x x
x x
x xx x
xx
+ ++ +
=+ ++ +
=+ + ÷
+ + ÷ ⋅
=+ ++ +
=++
40. 40. 40. 40. 40.
( ) ( )( )( )
( )( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )
4 15 48 20
4 15 4 1610 2
4 16 4 1 4
10 2
4 4 110 2
2 2 4 110 2
2 4 110
4 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
a aa a
a aa a
a a
a a
a aa a
a a aa a
a aa
− −− −
=− −
− +
=− + ÷
− +
=− +− +
=+ − +
− +
=− +
−
41. 41. 41. 41. 41.
( )( )
( )( )( )
( )
1252 20 50
1252 10 25
5 25 5
2 5
5 252 5
4
3 2
3
2
2
2
2
a aa a a
a aa a a
a a a
a
a aa
++ +
=+
+ +
=+ − +
+
=− +
+
42. 42. 42. 42. 42.
( )( )( )( )( )( )( )
a n aan an a
a na n n
a n nn n
a nn
2 2 2
2
2 2
2
3630
3630
6 66 5
65
−+ −
=−
+ −
=+ −
+ −
=−
−
43. 43. 43. 43. 43.
( ) ( )( )( )( )( )[ ]( )( )
( )( )( )( )
3 5 8
3 5 3 24
3 8 3 3 3
3 8
3 8
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
m mn nm n
m n m nm n m mn n
m n m n
m n m mn n
m n m nm n m mn n
m nm mn n
+ −−
=+ −
− + +
=+ − ÷
− + +
=+ −
− + +
=+
+ +
44. 44. 44. 44. 44.
( )( )
15 1820 24
3 5 64 5 6
34
3 2
2 2 2
2
2
a b a ba b ab
a b aab a
ab
−−
=−−
=
45. 45. 45. 45. 45.
( )( )
( )( )( ) ( )
9 24 169 16
3 49 16
3 43 4 3 4
3 43 4
2
4 2
2
2 2
2
2 2
x xx x
xx x
xx x x
xx x
− +−
=−
−
=−
+ −=
−+
46. 46. 46. 46. 46.
( )( )
( )( )( ) ( )[ ]
( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )
( )( )
16 2512 7 10
16 2512 7 10
4 5 4 512 7 12 120
4 5 4 5
12 15 12 8 3 4
4 5 4 54 5 3 2
4 53 2
2
3 2
2
2
2
a x xa a a
x aa a a
x a aa a a
x a a
a a a
x a aa a a
x aa a
−− −
=−
− −
=+ −
− −
=+ −
− + ÷ ⋅
=+ −− +
=++
47. 47. 47. 47. 47.
( )( )
( )( )( )
( )
84 4
84 4
2 4 2
2
4 22
4 3
4 3 2 2
3 3
2 2 2
2 2
2
2 2
x xyx x y x y
x x yx x xy y
x y x xy y
x x y
x xy yx x y
−− +
=−
− +
=− + +
−
=+ +
−
48. 48. 48. 48. 48.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )[ ]( )( )( )( )
3 4 6 86 5 4
3 2 4 26 5 6 24
3 4 2
6 8 6 3 2 3
3 4 23 4 2 1
22 1
2
2
an a bn bn n
n a b a bn n
n a b
n n
n a bn n
a bn
− − +− −
=− − −
− −
=− −
− + ÷ ⋅
=− −− +
=−
+
49. 49. 49. 49. 49.
( )( )( )( )( )( )( )
( )
x xx x x
x x x xx x x
x x xx x x
x xx
4 2
3 2
2 2
2
2
492 63
7 72 63
7 79 7
79
−+ −
=+ −
+ −
=+ −+ −
=+
+
50. 50. 50. 50. 50.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )
x x x y yx x x y y
x x y x yx x y x y
x x yx x y
x x xx x
x xx
4 3
3 2
3
2
3
2
2
2
11
1 11 1
11
+ − −− − +
=− + −− − −
=+ −− −
=+ − +
+ −
=− +−
51. 51. 51. 51. 51.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
2 6 33 3
2 3 33 3
2 1 31 3
2 11
3 2
3 2
2
2
2
2
2
2
x x xx x x
x x xx x x
x xx x
xx
+ − −+ + +
=+ − +
+ + +
=− +
+ +=
−+
52. 52. 52. 52. 52.
( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )
a m am a n ana a a
am a an aa a a
a m n aa a a
m n a aa a a
m n aa a
3 3
4 3 2
2 2
2 2
2
2
4 44 12
4 44 12
46 2
2 26 2
26
− + −− −
=− + −
− −
=+ −− +
=+ + −
− +
=+ −
−
53. 53. 53. 53. 53. ( )( )( )( )( )( )
4 3
2 9
2 3 2 32 3 2 3
2 32 3
2 2
2
a x
a x
a x a xa x a x
a xa x
− −
+ −
=+ − − ++ + + −
=− ++ +
54. 54. 54. 54. 54.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )
m am n ana a a
m a n aa a a
m n aa a a a a
m n aa a a
na a
m na
− + −− + −
=− + −
− − −
=+ −
− + + − −
=+ −
− − +
=+
− +=
+
−
1 3 3
1 11 3 1
11 1 3 1
11 1 2
2 1 1
2 3
3
2
2
2 2m
55. 55. 55. 55. 55.
( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )[ ]
( )( ) ( )
6 342 9 15
3 2 13 14 3 5
2 1
14 3 14 70
2 114 10 14 7 2 7
2 17 5 2 1
17 5
2
5 3
2
4 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
xx x x
xx x x
x
x x x
xx x x
xx x x x x
+− −
=+
− −
=+
− −
=+
− + ÷ ⋅
=+
− +=
−
56. 56. 56. 56. 56.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
a a aa a a
a a aa a a
a aa a
aa
2 3
2 3
2
2
2
2
2
2
11
1 11 1
1 11 1
11
− − ++ − −
=− − −− + −
=− −+ −
=−+
57. 57. 57. 57. 57.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )( )[ ]
( )( )( )( )
( )
8 12 66
6 2 86 6 6
6 2 2 4 2
6 3 6 2 3 2
2 4 42 3
23
3 2 2 3
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2 2
x x y xy yx xy y
xy x y x yx y x y
xy x y x y x xy y
x y x y
x y x xy yx y x y
x yx y
+ + ++ −
=+ + ++ −
=+ + + − +
+ − ÷ ⋅
=+ + +
+ −=
+−
58. 58. 58. 58. 58.
( )( )( )
8 12525 20 4
2 5 4 10 25
2 5
4 10 252 5
3
2
2
2
2
nn n
n n n
n
n nn
−− +
=− + +
−
=+ +
−
59. 59. 59. 59. 59.
( )( )
( )( )( )( )
615 2
62 15
3 25 3
25
2
2
2
2
− −+ −
=− + −
− − −
=+ −− +
=−−
x xx x
x xx x
x xx x
xx
60. 60. 60. 60. 60.
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )[ ]( )( )[ ]
( )( )( )( )
3 2 84 5 6
8 2 36 5 4
8 2 8 246 5 6 24
8 6 8 4 2 4
6 8 6 3 2 3
4 3 2 13 4 2 1
4 33 4
2
2
2
2
2
2
+ −+ −
=− − −− − −
=− −− −
=− + ÷ ⋅
− + ÷ ⋅
=− +− +
=−−
x xx x
x xx x
x xx x
x x
x x
x xx x
xx
61. 61. 61. 61. 61.
( )( )( )
m n mnmn m n
mn mn
mnmnmn
2 2
2 2
2
3 104 4
5 2
2
52
+ −− +
=+ −
−=
+−
62. 62. 62. 62. 62.
( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )
x x y b x b yb bx x
x x y b x y
b x
x b x y
x b
x b x b x y
x b
x b x yx b
3 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
4 44 4
4
2
4
2
2 2
2
22
+ − −− +
=+ − +
−
=− +
−
=+ − +
−
=+ +
−
69. 69. 69. 69. 69.
( )( )( )( )( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x xxx
3 2
2
2
3 2
2
2
2
2
3 41 3 0 4 2
2 2 41 1 2 0
2 2
2 2 1
2 1
8 121 1 8 12 2
2 2 121 1 6 0
2 6
2 3 2
2 3
2 1
2 3
13
+ −− −
− −−
= + + −
= + + −
= + −
+ − −− − −
−− −
= + − −
= + − +
= + −
⇒+ −
+ −=
−−
70. 70. 70. 70. 70.
( )( )( )( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x
3 2
2
2
4 3 2
3
2
2
2
2
8 121 1 8 12 2
2 2 121 1 6 0
2 6
2 3 2
2 3
2 7 20 121 2 7 20 12 2
2 0 14 121 0 7 6 0
2 7 61 0 7 6 2
2 4 61 2 3 0
2 2 2 3
2 3 1
2 3
2
− − +− −
−−
= − + −
= − + −
= − +
− − + −− − −
−−
− − +−
−−
= − − + −
= − + −
⇒− +
− +( )( )3 11
1
x
x
−
=−
63. 63. 63. 63. 63.
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
x xx x y x y
x xx x y x y
x xx x y
xx y
6 3
4 3
3 3
3
3 3
3
3
2
2 1
2 11
2
+ −− − +
=+ −− − −
=+ −− −
=+−
64. 64. 64. 64. 64. ( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
x x xx x x x
x x x xx x x x
2 2
2 2
2 92 3 6
2 1 3 33 1 3 2
1
− − −− − + −
=− + + −− + + −
=
65. 65. 65. 65. 65. ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]
( )( )( ) ( )( )[ ]
( )( )( )( )( )
a a a aa a a a
a aa a a a
a a
a a a
a aa a a
aa
2 2
2 2
2 2
2
2
2
4 4 4 4 16 2 5 2
2 2 1
3 2 2 5 2 4
2 2 1
3 2 4 2 1 2
2 2 13 2 2 1
2 13
− + − ++ − − +
=− −
+ − − +
=− −
+ − − ÷
=− −
+ − −=
−+
66. 66. 66. 66. 66. ( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )
x x xx x x x
x x x x xx x x x x
xx x
3 3
4 3 2 2
2 2
2 2
2
3 11
3 1 11 1 1
31
− −+ + −
=− − + ++ + + −
=−+
67. 67. 67. 67. 67. ( )( )( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )( )[ ]
( )( )( )( )( ) ( )( )
4 4 3 7 302 7 3 4 12 9
4 4 4 12 10 3
2 7 2 6 2 3
10 3 4 6 4 2 2 2
2 3 2 6 2 1 2
10 3 2 3 2 1
2 3 3 2 1
102 3
2 2
2 2
2
2 2
2
2
n n n nn n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n nnn
+ − + −− + + +
=+ − + −
− + +
=+ − + − ÷ ⋅
+ − − ÷ ⋅
=+ − + −
+ − −=
++
68. 68. 68. 68. 68. ( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )( )
x y x yx y x x y xy y
x y x y x y
x y x x y y x y
x y x yx y x y
x yx y
6 6
3 3 3 2 2 3
3 3 3 3
3 3 2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
− +− + + +
=+ − +
− + + +
=+ ++ +
=++
71. 71. 71. 71. 71.
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
4 2
3 2
2
4 3 2
3 2
2
7 2 81 0 7 2 8 2
2 4 6 81 2 3 4 0
2 2 3 41 2 3 4 1
1 1 41 1 4 0
2 1 4
2 9 10 241 2 9 10 24 2
2 8 2 241 4 1 12 0
2 4 121 4 1 12 3
3 3 121 1 4 0
2 3
− − +− − −
− −− −
+ − − +− −
− −− −
+ − − −
− − + +− − −− −− −
+ − − +− −
− −− −
+ − ( )( )( )( )( )( )( )
− −
⇒+ − − −+ − − −
=−−
x
x x x xx x x x
xx
4
2 1 42 3 4
13
2
2
72. 72. 72. 72. 72.
( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
a a a
a a a
a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a
5 3 2
2 3 3
2 3
2 2
5 4 3 2
4 3 2
2 3
1
1 1
1 1
1 1 1
2 6 8 5 61 2 6 8 5 6 1
1 1 7 1 61 1 7 1 6 0
1 7 61 1 7 1 6 1
1 0 7 61 0 7 6 0
1 7 61 0 7 6 1
1 1 61 1
− − +
= − − −
= − −
= − + + +
− − + + −− − −
− −− −
− − − + +− −
− −− −
− − −− − −
−− −
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )
6 0
1 1 6
1 1 3 2
1 1 1
1 1 3 2
13 2
2 2
2
2 2
2
2
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a aa a
− + − −
= − + − +
⇒− + + +
− + − +
=+ +
− +
EJERCICIO 120
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
( )( )
4 46 6
4 16 1
4 16 1
23
−−
=−−
= −−−
= −x
xx
xxx
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )
a bb a
a ba b
2 2
2 2
2 2
2 2 1−−
= −−−
= −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
m n
n m
m n m nn m n m
m n m nm n m n
m nm n
2 2
2−
−=
+ −− −
=+ −− −
=+−
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )( )
( )( )( )( )
x xx
x xx x
x xx x
xx
2
2
1216
4 34 4
4 34 4
34
− −−
=− +− +
= −− +− +
= −++
5. 5. 5. 5. 5.
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )
3 62 2
3 22
3 22
3 22
3
y xmx my nx ny
y xx m n y m n
y xx y m n
x yx y m n m n
−− − +
=−
− − −
=−
− −= −
−− −
= −−
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )[ ]
( )( )( )( )
( )( )( )( )
2 9 510 3
2 9 2 103 10
2 10 2 15 2
5 2 15 2
2 12
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x xx x
x xx x
xx
− −+ −
= −− −− −
= −− +− +
= −− +− +
= −+
+
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
82 8
2 4 24 2
2 4 24 2
2 44
3
2
2 2 2
−+ −
=− + +
+ −= −
− + ++ −
= −+ +
+
aa a
a a aa a
a a aa a
a aa
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a an an m am
a an a m a
a an m a
a am n a
am n
2 2
2 11 1
2 11
2 11
2
+ −− − +
=+ −
− − −=
+ −− −
=+ −− −
=+−
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )
( )( )
4 45 10
25 2
25 2
25
2 2 2 2x xy y
y xx yy x
x yx y
x y− +−
=−−
= −−−
= −−
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
3 33 3
33
33
33
1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
mx nx my nyny nx my mx
m x y n x ym y x n y x
m n x yn m y x
m n x ym n x y
x yx y x y x y
− − +− − +
=− − −
− − + −
=− −
− −=
− −− −
=−
+ −=
+
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( )( )9 6
7 123
4 334
2
2
2− +− +
=−
− −=
−−
x xx x
xx x
xx
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a bb a
a b a bb a b ab a
a b a ba b b ab a
a bb ab a
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2
−−
=+ −
− + +
= −+ −
− + += −
++ +
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
3 3 6 62 2
3 62
3 22
3 22
3
ax bx a bb a bx ax
x a b a bb a x b a
x a bx b a
x a bx a b
− − +− − +
=− − −
− − −
=− −
− −=
− −− −
=
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a xx ax x a
a x a xx x a x a
a x a xx x a
a x a xx a x
a xx
2 2
2 3 3
3
3 3 3
−− − +
=+ −
− − −
=+ −− −
=+ −− −
=+−
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )( )
( )( )( )
3 68
3 22 4 2
3 22 4 2
34 2
3
2
2 2
bx xb
x bb b b
x bb b b
xb b
−−
=−
− + +
= −−
− + += −
+ +
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( )
( ) ( )11
11
13 3
2−−
= −−−
= − −a
aaa
a
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )
( )( )
2 2 23 3 3
23
23
23
3 2 2
3 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x y xyy xy x y
x x xy yy y xy x
x x xy yy x xy y
xy
− −+ −
=− −+ −
= −− −− −
= −
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )
( )( )
a b
b a
a b
a ba b
−
−=
−
−= −
3
2
3
2
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )[ ]( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )
2 22 6075 3
2 22 2 1203 25
2 12 2 103 5 5
2 12 53 5 5
2 6 53 5 5
2 63 5
2
2
2
2
x xx
x xx
x xx x
x xx x
x xx x
xx
− +−
=− +
−
=− −
− +
=− −− +
=− −− +
=−+
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )
( )( )( )
6 34 4
3 2
2
3 22 2
32
2 2 2
4 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
an b nb ab a
n a b
b a
n a ba b a b
na b
−− +
=−
−=
−− −
=−
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x y zy z x
x y z x y zy z x y z x
z y x y x zz y x y z x
y x zx y z
− −+ −
=− − − ++ − + +
=+ − − −+ − + +
=− −+ +
2 2
2
22. 22. 22. 22. 22.
( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )
3 3
3
3 3 3
2a abbd ad bc ac
a a bd b a c b a
a a bd c b a
a a bc d a b
ac d
−− − +
=−
− − −
=−
− −=
−− −
=−
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( )( )( )
( )( )( )
( )
xx
xx x x
xx x x
xx x
−−
=−
− + +
= −−
− + += −
−+ +
5125
55 25 5
55 5 25
55 25
3
3
3
2
3
2
2
2
24. 24. 24. 24. 24. ( )13 6 6
6 13 66 13 66 13 6
12
2
2
2
x xx x
x xx x
− −− +
= −− +− +
= −
25. 25. 25. 25. 25.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )
2 22 2
22 1 2 1
2 12 1
1
3 2 2 2
2 2 3 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x xy x yxy y x x
x x y x yy x x x
x x yx y x
x yx y
− + −+ − −
=− + −+ − +
=+ −+ −
= −−−
= −
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )
( )( )( )
30 45 208 27
5 6 9 42 3 4 6 9
5 4 6 92 3 4 6 9
52 3
2 2 3
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
x y xy xx y
x xy y xx y x xy y
x x xy yx y x xy y
xx y
− −+
=− −
+ − +
= −− +
+ − += −
+
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
n n nn n n
n n nn n n
n nn n
n nn n
nn
+ − −− − +
=+ − +
− − −
=− +− −
=− +− −
=+−
12 2
1 11 2 1
1 12 1
1 12 1
12
3 2
3 2
2
2 2
2
2
2
2
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x xx
− + −
− −
=− + −
− −
=− + −
−=
− +−
2 12
2 3
2 4 3
2 3
2 4 3
3
2 43
2 2
2
2
2
2
29. 29. 29. 29. 29.
( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
5 1590 10
5 310 9
32 3 3
32 3 3
12 3
3 2
3 2 5
2
3 2 2
x x yx y x
x x yx y x
x yx y x y x
x yx x y y x x y x
−−
=−
−
=−
− +
= −−
− +=
−+
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )
x x xx x x
x x x xx x x x
x xx x
xx
2 2
2 2
1 8 164 1
1 1 4 44 1 1
1 41
4
− − +− −
=+ − − −
− + −=
− −−
=−
EJERCICIO 1211. 1. 1. 1. 1.
( )
a a x a x axa a x a x ax
Factor común a
a a x ax x a a x ax xa a x ax x
ax x xa a x ax x a xa a x a x
ax x mcd a a x
ax x a ax
a a x a
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 3 2
3 2 2 3
3 2 2 2
2 3
2 3 2
4 3 2
2 22 2
2 2 1
3 3 32 2
2
2 2
2 2
− + −− − +
− + − − − +− + + −
− ÷− − + −
− + −
− + = −
+ − = −
− + x ax a axa a x a x
a x axa x ax
a a x a x ax a axa a x a x
a x axa x ax
a xa x
Rta
2 3 2
4 3 2 2
2 2 3
2 2 3
4 3 2 2 3 2
4 3 2 2
2 2 3
2 2 3
2 2
2 2
2 22
2 22 2
2
− −− + +
−− +
− − + −− + −
− ++ −
=+
−.
2. 2. 2. 2. 2. x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x mcd x x
x x x x x
4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
2
2 2
2 2
4 3 2 2
3 4 3 5
3 6 3 5
3 4 3 5 3 6 3 5
3 6 3 5 1
2 6 10 2
3 6 3 5 3 5
3 5
3 5
3 5 3 5
3 5 1 3 5
3 4 3 5
+ + − −+ + + +
+ + − − + + + +
− − − − −
− − − ÷ −
+ + + + + +
− − −
+ +
+ + + +
− − − + +
⇒ + + − − + 3 5
3 5 1
3 5
3 5
3 6 3 5 3 5
3 5 1
3 5
3 5
1
1
4 3 2 2
2
2
4 3 2 2
4 3 2 2
2
2
2
2
x
x x x x
x x
x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x
xRta
+
− − − −
− − −
+ +
+ + + + + +
− − − +
+ +
− − −
= −+
.
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )
( )
( )
2 2 2 33 4 3 3 2
6 3 3 6 6 6 8 2 6 6 56 8 2 6 6 1
5 5 12 12 6
30 40 10 30 30 30 30 72 72 6
30 30 72 72
10
4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3
ax ax ax ax aax ax ax ax a
Factor común a
x x x x x x x xx x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x x
x
− − − +− + + −− − − + − + + −
− + − − +
− − +
− + + − − − + ÷
− + + −
− + ( )( )
( )( )
( )( )
82 42 30 2
5 5 12 12 5 41 21 15 125 41 21 15 1
36 33 3 3
60 492 252 180 12 11 1 43760 55 5 5
437 257 180 12
5 244 4 807 437 5 244 3 084 2 160 125 244 3 084 2 160 1
2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2
x x
x x x x x xx x x
x x
x x x x xx x x x
x x
x x x xx x
− − ÷ −
− − + − + +− + − −
− − ÷
− + + − −− + +
− + + −
− − − − ÷− + +
. . . . .
. . .
( )
( )( )
− + ÷ −
− − −− +
− ÷
− − = −− + = −
1723 1723 1 723
437 257 180 1437 437 437
180 180 180
1 1 11 1
2
2
x
x x xx x x
x
x x mcd a xx ax a
.
⇒ − − − + −
− + + −
−
− +
− ++ −
− + + − −
− + − +
− +
+ −
−− +
= + −− +
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
3 4 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
2 2
3 3
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
ax ax ax ax a ax a
ax ax x x
ax ax
ax ax
ax a
ax a
ax ax ax ax a ax a
ax ax x x
ax ax
ax ax
ax a
ax a
x x
x xRta.
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )
( )
( )
( )
6 13 18 8 1010 9 11 12 6
60 130 180 80 60 54 66 72 6
60 54 66 72 1
76 114 152 38
10 9 11 12 2 3 4
10 15 20 5
6 9 12 3
2 3 4 2 3 42 3 4 1 2
3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2 2
2
x x xx x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x x xx x x x
x x
x x x xx x mcd x
− + −− + +
− + − − + + ÷
− + − −
− + − ÷ −
− + + − +
− + −
− + ÷
− + − +
− + − = 2
3 2 2
3 2
2
2
3 2 2
3 2
2
2
3 4
6 13 18 8 2 3 46 9 12 3 2
4 6 84 6 8
10 9 11 12 2 3 4
10 15 20 5 3
6 9 12
6 9 12
3 25 3
− +
− + − − +
− + − −
− + −
+ − +
− + + − +
− + − +
− +
− + −
=−+
x
x x x x xx x x x
x xx x
x x x x xx x x x
x xx x
xx
Rta.
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )( )
( )
x x y x y xyx x y x y xy
Factor común x
x x y xy y x x y xy yx x y xy y
x y y y
x x y xy y x yx xy x
x y xy y y
x y x xy
4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
2 3
3 2 2 3 2 2
3 2
2 2 3
2 2 2
2 2 22 5 42 4 4 2 2 5 42 5 4 1
2 5 4 52 2 2
5 6
5 5 5 6
− + −− + −
− + − − + −− + − +
− ÷
− + − −
− +
− + − ÷ −
− −
( )
( )
( )
+− + −
− ÷
− + −− +
− + ÷ −− −
− + − = −
yx xy y
xy y y
x xy y x yx xy x
xy y yx y x y
x y mcd x x y x xy
2
2 2
2
2 2
2
2
2
5 6 1
6 6 6
5 65 5 5
1ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
5. 5. 5. 5. 5. x x y x y xy x xy
x x y x xy y
x y x y xy
x y x y
x y xy
x y xy
x x y x y xy x xy
x x y x xy y
x y x y
x y x y
x y xy
x y xy
x xy y
x xy yRta
4 3 2 2 3 2
4 3 2 2
3 2 2 3
3 2 2
2 2 3
2 2 3
4 3 2 2 3 2
4 3 2 2
3 2 2
3 2 2
2 2 3
2 2 3
2 2
2 2
2 2
2
2 5 4
2 2 2 3
3 4
3 3
2 3
− + − −
− + − +
− + −
+ −
−
− +
− + − −
− + − +
− +
+ −
−
− +
=− +− +
.
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
( )
( )
2 2 2 3 33 3 4 5 2
6 3 6 6 9 6 2 6 8 10 2
6 2 6 8 10 1
2 1 1
5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2
4 2
a a a aa a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a
− + + +− + + +
− + + + − + + + ÷
− + − − −
− − − ÷ −
( )
( )
3 3 4 5 2 13 6 3 3
3 4 3 5 1
2 1 3 4 3 53 4 3 5 1
3 6 3 6 3
3 4 3 5 2 22 2
5
5 4 3 2 4 2
5 3
4 3 2
4 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
3
a a a a a aa a a a
a a a a
a a a a a aa a a a
a a a
a a a a a a aa a a a a
a
− + + + + +
− − −
− − + − + −
+ + + − + −− − + − +
− + − + ÷ −
+ − + − − + −− + − +
( )
( )
( )
− + − ÷
− + − − + −− + − +
− − ÷ −
− + − +− −
− − ÷ −
+ +− − = +
5 5 5 5
2 2 11 1
1 1
1 1
1 1
1 11 1 1
2
3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
3
2
2 2
2 2
a a
a a a a a aa a a
a
a a a aa a a
a
a aa mcd a
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
6. 6. 6. 6. 6. ⇒ − + + + +
− − − +
− + +
+ +
+
− −
− + + + +
− − − +
− + +
+ +
+
− −
=− +− +
2 2 2 3 1
2 2 2 3
2 3
3 3
3 3
3 3 4 5 1
3 3 3 5
4 5
5 5
5 5
2 3
3 5
5 4 3 2 2
5 3 3 2
4 2
4 2
2
2
5 4 3 2 2
5 3 3 2
4 2
4 2
2
2
3 2
3 2
a a a a a
a a a a
a a
a a
a
a
a a a a a
a a a a
a a
a a
a
a
a a
a aRta.
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
( )
( )
1 1 2 21 2 2 1
1 2 2 1 31 1
3 2 2
3 3 3 3 2 23 2 2 1
3 2 2 1
3 4 2 3 4
2 3 4
2 3
2 3 4 2
2
2 3 4
2 2 3
2 3
2 3
2 3 2
− − + − − − +
− + + + −
+ + ÷
− − − + + +
− − −
− − − + ÷ −
+ + + + −
− − − +
+ + ÷
+ + − + +
−
x x x x x x xx x x x
x x x x
x x x x x xx x
x x x x x
x x x x xx x x
x x x x
x x x x x
( )3 3 3 3
1 11 1 1
2
2 3
2 2
2 2
− −
− − − ÷ −
+ + + +
− − − = + +
x x
x x x x
x x x xx x mcd x x
⇒ − − + + +
− − − − +
− − − +
+ + +
+ +
− − −
1 1
1 1 2
2
2 2 2
3 4 2
2 2
2 3 4
2 3
2 3 4
2 3 4
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
7. 7. 7. 7. 7. 1 2 2 1
1 1 3
3 2 2
3 3 3
1 2
1 3
2 3 4 2
2 2
2 3 4
2 3
2 3 4
2 3 4
2
2
− − − + + +
− − − − +
− − − +
+ + +
+ +
− − −
= − +− +
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x xRta.
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 2
3 3
3 3 3
2 22 2 2
3 33 3 3
3 2 2 3
2 2 2 2 2 2
3 2 2
2 2 2
3 2 2 3
3 2 2 2
2 3
2 3
3 2 2
3 2 2
m m n mn n
m m n n m n m n m n
m m n mn n
m m n n m n m n m nmcd m n
m m n mn n m nm m n m n
mn nmn n
m m n mn n m nm m n m
+ − −
= − + − = + −
+ + +
= + + + = + += +
+ − − +− − −
− −+ +
+ + + +− − +
+− −
=−+
n
mn nmn n
m nm n
Rta
2
2
2 2
2
23
.
9. 9. 9. 9. 9. ( )
( )
6 3 4 2 10 53 7 15 26 14 2 30 6 3 4 2 10 56 3 4 2 10 5
3 18 2 12 5 30 1
6 3 4 2 10 5 3 18 2 12 5
5 4 3 2
6 4 2
6 4 2 5 4 3 2
6 5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
a a a a aa a aa a a a a a a aa a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a a
+ − − + ++ − +
+ − + + − − + +− − + + − −
− + + − − + ÷ −
+ − − + + − − + +
( )
( )
−− + + − − +
− + ÷
− − + + − − +− + −
− + − ÷ −
− + − +− + − = − +
306 36 4 24 10 60 2
39 26 65 13
3 18 2 12 5 30 3 2 53 2 5
18 12 30 6
3 2 5 3 2 53 2 5 1 3 2 5
5 4 3 2
4 2
5 4 3 2 4 2
5 3
4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
a a a a a
a a
a a a a a a aa a a a
a a
a a a aa a mcd a a
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
9. 9. 9. 9. 9. 6 3 4 2 10 5 3 2 5 3 7 15 3 2 5
6 4 10 2 1 3 2 5 3
3 2 5 9 6 15
3 2 5 9 6 152 1
3
5 4 3 2 4 2 6 4 2 4 2
5 3 6 4 2 2
4 2 4 2
4 2 4 22
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a a aa
aRta
+ − − + + − + + − + − +
− + − + − + − +
− + − +
− + − − + − =++
.
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )
( )
( )
( )
5 10 21 2 4 33 6 11 2 4 5
15 30 63 6 12 15 30 55 10 20 5
15 30 55 10 20 1
8 16 32 8
3 6 11 2 4 2 43 6 12 3
2 4 1
2 4
6 4 3
6 4 3
6 4 3 6 4 3
6 4 3
3
6 4 3 3
6 4 3 3
3
3
x x x xx x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x x xx x x x
x x
x x
− + − +− + + −
− + − + − + + − ÷
− + − − +
− + ÷
− + + − − +− + −
− + − ÷ −
− + x xx x mcd x x
x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x
x x x x
x x x xxx
Rta
3
3 3
6 4 3 3 6 4 3 3
6 4 3 3 6 4 3 3
3 3
3 33
3
2 42 4 1 2 4
5 10 21 2 4 2 4 3 6 11 2 4 2 45 10 20 5 1 3 6 12 3 1
2 4 2 4
2 4 2 45 13 1
− +− + − = − +
− + − + − + − + + − − +− + − + − + − −
− + − + −
− + − + − + =+−
.
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
6 5 4 3 2
5 3 5 3
6 5 4 3 2
5 3 5 3
6 5 4 3 2 5 3 6 5 4 3 2 5 3
3 3 7 21
3 3 7 3 3 7
2 2 7 14
2 2 7 2 2 7
3 3 7 21 7 2 2 7 14
− − + + −
= − − − + − = − − +
+ − − + +
= + − + + + = + − +
− − + + − − + + − − + + − +
− + − − − + − +
− + − − +
+ − + − + − =−+
77 3 7 2
3 3 21 2 2 14
3 3 21 2 2 1432
6 4 2 6 4 2
5 3 5 3
5 3 5 3
nn n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n nnn
Rta.
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )( )
a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a
a a a a
a a a a a a a a a a aa a a
7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
7 6 5 4 3 2
4 3 2
6 5 4 3 2 4 3 2
6 5 4
2 5 8 2 5 8 2 5 10 4 10 16 2
2 5 10 4 10 16
2 3 12 21 8 1
2 4 10 20 8 20 32 2 3 12 21 8
2 3 12 21
+ − + + + − + + − + + − +
− − + − − + −
− − + − + ÷ −
+ − + + − + + − + −
− − + −
( )
a a a
a a a a aa a a a a a a a a aa a a a a
a a a a
3 2 2
5 4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
8
2 16 20 322 3 12 21 8 2 16 20 32
2 4 2 32 40 64 2
10 11 32 64 1
+
+ − + − ++ − + − + − + − +
− − + − + −
− − − + − − ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )
( )
a a a a a a a a aa a a a a a
a a a a
a a a a a a a aa a a a
a a a
a a a a
5 4 3 2 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
2 16 20 32 10 11 32 64 2
10 11 32 64
8 12 48 84 32 4
2 20 22 64 128 2 3 12 21 8
2 3 12 21 8 1
17 34 85 136 17
2 3 12 21
+ − + − + + + − +
− − − + −
− − + − + ÷ −
+ + − + + − + −
− − + − +
+ − + ÷
+ − +
( )
− + − +
− − + −
− − + − −
8 2 5 8
2 4 10 16 2
2 5 8 1
3 2
4 3 2
3 2
a a aa a a a a
a a a
a a a a a a
a a a mcd a a a
3 2 3 2
3 2 3 2
2 5 8 2 5 8
2 5 8 1 2 5 8
+ − + + − +
− − + − = + − +
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
7 6 5 4 3 2 3 2 6 5 4 3 2 3 2
7 6 5 4 4 6 5 4 3 3
3 2 3 2
3 2 3 2
2 5 8 2 5 8 2 5 8 2 5 10 4 10 16 2 5 8
2 5 8 1 2 5 8 2
2 5 8 2 4 10 16
2 5 8 2 4 10 16
+ − + + + − + + − + + − + + − + + − +
− − + − + − − + − +
+ − + + − +
− − + − − − + −
EJERCICIO 122
1. 1. 1. 1. 1. 3
2
2
2
6
4 2a
a
a
a
a⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 5
9
4
4
20
362 2x
a
a
a
ax⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. m
ab
a
a
am
a b2 2 2
2
2
2
2⋅ =
4. 4. 4. 4. 4. 3
8
3
3
9
24
2
2
2 2
3
x
y
xy
xy
x y
xy⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. 4
5
4
52 3
m
n
n
n
mn
n⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. 2 7
5
3
3
6 21
15
x x+⋅ =
+
7. 7. 7. 7. 7. 2
1
2 2
2
x
x
x
x
x
x x−⋅ =
−
8. 8. 8. 8. 8. a
a
a
a
a
a a
2 3
22
2
2
2
2 4+⋅ =
+
9. 9. 9. 9. 9. 3 3 3
2
2
2 2
a
a b
a b
a b
a ab
a ab b+⋅
++
=+
+ +
10. 10. 10. 10. 10. x
x
x
x
x x
x x
−+
⋅++
=− −+ +
4
3
2
2
2 8
5 6
2
2
11. 11. 11. 11. 11. 2 22
2
3
2 3
a
x a
a
a
a
a x a+⋅ =
+
12. 12. 12. 12. 12. x y x y−
⋅ =−
6
2
2
2 2
12
13. 13. 13. 13. 13. 5 5 5
2 2
x
a b
a b
a b
ax bx
a b−⋅ +
+= +
−
14. 14. 14. 14. 14. x
a
x
x
x x
ax
− ⋅ = −5 3
3
3 15
3
2
15. 15. 15. 15. 15. 5
2
2
2
10 5
4 4
2
2 2
x
x y
x y
x y
x xy
x xy y+⋅
++
=+
+ +
16. 16. 16. 16. 16. x
x
x
x
x
x x
++
⋅−−
=−
− −3
1
3
3
9
2 3
2
2
17. 17. 17. 17. 17. 2
1
1
1
2 2 2
1
2
2
2
3a
a a
a a
a a
a+⋅
− +− +
=− +
+
18. 18. 18. 18. 18. x y
x
xy
xy
x y xy
x y
−⋅ =
−2
3
3
3
3 6
9
2 2
2
19. 19. 19. 19. 19. x
x
x
x
x
x x
−+
⋅++
=−
+ +1
1
1
1
1
2 1
2
2
20. 20. 20. 20. 20. a b
a
ab
ab
a b ab
a b
+ ⋅ = +7
9
9
9 9
632
2 2
3
21. 21. 21. 21. 21. x
x
x
x
x x
x x
++
⋅−−
=− −
+ −1
5
2
2
2
3 10
2
2
EJERCICIO 123
1. 1. 1. 1. 1. 6 10
2
6
2
10
2
3 5
3 2
3 2
2
a a
a
a
a
a
a
a a
−
= −
= −
2. 2. 2. 2. 2. 9 6 3
3
9
3
6
3
3
3
3 2
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
x y x y xy
xy
x y
xy
x y
xy
xy
xy
x xy y
− +
= − +
= − +
3. 3. 3. 3. 3. x x
x x
xx
2
2
3
3
3
+
−
= +
4. 4. 4. 4. 4. 10 15 2 5
10 2 3
15 2
15
2
2 32
5
2
2
a a a
a a
a
a
aa
+ −
− +
−−
−
= + −
=++
a
aRta
4
3
1
2
5. 5. 5. 5. 5. 9 6 3 5 3
9 3 2 1
6
6
3
3
5
3 2 15
3
3 2
3 2
2
2
2
x x x x
x x x
x
x
x
x
x xx
− + −
− − +
−
+
−
−
= − + −
6. 6. 6. 6. 6. x x x
x x x
x
x
xx
2
2
5 16 2
2 7
7 16
7 14
2
72
2
− − +
− − −
− −+ +
−
= − −+
7. 7. 7. 7. 7. 12 6 2 4 1
12 3 3
3 2
33 2
4 13
3 2
4 1
2
2
x x x
x x x
x
xx
xx
x
x
− − −
− +
− −
= +− −
−= −
+−
8. 8. 8. 8. 8. a b a b
a a b a ab b
a b
a b ab
ab b
ab b
b
a ab bb
a b
3 3
3 2 2 2
2
2 2
2 3
2 3
3
2 23
3 2
2 2 4
2
2 4
4 3
4 8
5
2 45
2
+ +
− − − +
−
+
+
− −
−
= − + −+
9. 9. 9. 9. 9. x x x x
x x x
x x
x
x
xx
xx
x
x
3 2 2
3
2
2
2 2
6 1 3
3 1
3 1
3
3 2
13 2
31
3 2
3
− − + −
− + −
− − +
−
− −
= − +− −
−= − −
+−
10. 10. 10. 10. 10. 3 4 2 6 3 2
3 2 2 2
6 2
6 4
6 6
6 4
2
2 22
3 2
3 2 2 3
3 2 2 2
2 2
2 2
2 3
2 3
3
2 23
x x y xy y x y
x x y x xy y
x y xy
x y xy
xy y
xy y
y
x xy yy
x y
+ + − −
− + + +
+
− +
−
− +
−
= + + −−
11. 11. 11. 11. 11. 2 7 6 8 2 1
2 3
6 5 8
6 3 3
2 5
32 5
2 1
3 2 2
3 2
2
2
2
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
xx
x x
− + − − +
− + − −
− + −
− +
−
= − +−
− +
12. 12. 12. 12. 12. 2 3 1
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 22
1
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
22
a a a a a
a a a a a
a a
a a a
a a
a a
a
a aa
a a
− + − +
− + − − −
− −
− +
− +
− +
− +
= − − −−
− +
13. 13. 13. 13. 13. x x x x
x x x
x x
x
x
xx
x
4 2 2
4 2 2
2
2
22
4 3 2
2 2
2 3
2 4
3 4
23 4
2
− − −
− + −
− −
−
− −
= − −+−
14. 14. 14. 14. 14. 10 18 5 3 2 3 1
10 15 5 5
3 10 3
53 10 3
2 3 1
3 2 2
3 2
2
2
2
n n n n n
n n n n
n n
nn n
n n
− − + − +
− + −
− − +
= − + −− +
15. 15. 15. 15. 15. 8 4 5 6
8 10 12 2
10 12
210 12
4 5 6
4 2
4 3 2 2
3 2
23 2
2
x x x
x x x x
x x
xx x
x x
+ +
− − −
− −
= −+
+ +
16. 16. 16. 16. 16. 6 3 3
6 2 2 2
3 2 2
3
2
22
3
5 4 3 2 3
5 3 2 2 3 2
4 3 2 2 3
4 2 3 4
3 2 2 3 4
23 2 2 3 4
3 2 3
m m n m mn n
m m n m n m mn
m n m n m n
m n m n mn
m n m n mn
m mnm n m n mn
m mn n
+ − +
− + − +
+ −
− + −
− −
= + +− −− +
EJERCICIO 124
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
aa
a
a a aa
a a aa
a aa
a aa
++
=+ +
+
=+ +
+=
++
=+
+
42
2 42
2 42
62
62
2 2
2. 2. 2. 2. 2.
( )m n
nm
m n m nm
m mn nm
− −
=− −
=− −
2
2 2 2
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )x
x
x xx
x xx
x xx
+ −−
=+ − −
−
=+ − −
−=
+ −−
53
2
5 2 32
3 10 32
3 132
2 2
4. 4. 4. 4. 4.
( )a
aba b
a a b aba b
a ab aba b
a aba b
++
=+ +
+
=+ +
+=
++
2 2 2
5. 5. 5. 5. 5.
( )
13
3 1
3 1 3 1
2
2
2 2
−+ −
=− + −
=− + −
= −−
aa
a
a a aa
a a aa
aa
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )1
2
−+−
=− − +
−
=− − −
−= −
−
a xa x
a x a xa x
a x a xa x
xa x
7. 7. 7. 7. 7.
( )
21
2
2
a xa x
a x a xa x
a x a xa x
aa x
++
−
=+ − +
+
=+ − −
+=
+
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )x
x
x xx
x xx
x xx
+ −−
=+ − −
−
=+ − −
−=
+ −−
23
1
2 1 31
2 31
51
2 2
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )
( )
x xx xx
x x x x xx
x x x x xx
x xx
x xx
22
2 2
3 2 2
3 2 2
362
3 2 62
6 62
22
22
− −−+
=− + − −
+
=− − − +
+
=−+
=−
+
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
( )
( )( )
( )
x yx yx y
x y x y x yx y
x y x yx y
x yx y
x yx y
x y x yx y
x y x y
+ +−−
=+ − + −
−
=− + −
−
=−−
=−
−
=+ −
−
= + = +
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
11. 11. 11. 11. 11.
( )( )
32
2 3
3 2 3 22 2 2 2
mnm n
m n
m n m n mnm n
m mn n mnm n
m nm n
−+ −
=− − +
−
=− + +
−=
+−
12. 12. 12. 12. 12.
( )( ) ( )2 3
5 62
2 3 2 5 62
2 6 5 62
2 42
2
2
2 2 2
2
a xax xa x
a x a x ax xa x
a ax x ax xa x
a axa x
− −−+
=− + − −
+
=+ − − +
+
=−
+
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )m m
mm
m m m mm
m mm m
23
2 3
3 3
2 42
2 4 22
82
82
− + −+
=− + + −
+
=+ −
+=
+
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( )( ) ( )x x
x xx
x x x x xx
x x x x xx
x x xx
2
2
3 2 2
3 2
53 2
2
5 2 3 22
7 10 3 62
10 42
− −+
−
=− − − +
−
=− + − −
−
=− +
−
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )a ab b
ab ba b
a ab b a b ab ba b
a a b ab b ab ba b
a a b aba b
2 22 3
2 2 2 3
3 2 2 3 2 3
3 2 2
37
2
3 2 72
2 5 5 72
2 5 22
+ − +−
−
=+ − − + −
−
=+ − + + −
−
=+ +
−
16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( )( )
xx x
x
x x x xx x
x xx x x x
3
2
3 2
2
3 3
2 2
21
1
2 1 11
2 11
11
+− +
− +
=+ + − + − −
− +
=+ − −
− +=
− +
17. 17. 17. 17. 17.
( )( ) ( )
( )( )( )( )
xx xx x
x x x x xx x
x x x x xx x
x xx x
x xx x
xx
+ −− +− +
=+ − + − − +
− +
=− − + − + −
− +
=− +− +
=− −− −
=−−
32 14 3
3 4 3 2 14 3
9 9 2 14 3
9 84 3
8 13 1
83
3 2
2
2 3 2
2
3 2 3 2
2
2
2
18. 18. 18. 18. 18.
( )
( )( )( )
33 3
3 3 3
3 3 3 3
3 3 3
3
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
3 2 2 2
2 2
3 2
2 2
2
2
aa b aba b
a a b a b aba b
a ab a b aba b
a a ba b
a a ba b a b
aa b
++−
=− + +
−
=− + +
−
=+−
=+
+ −
=−
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )
( )( )
( )
xx
x x
x x x xx x
x x x xx x
x xx
x x
xx
xxx
− −−
− +
=− − + − −
− +
=− + − − +
− +
=− +
−=
− −
−
=−
−=
−
327
6 9
3 6 9 276 9
9 27 27 276 9
9 27
3
9 3
39
39
3
3
2
2 3
2
3 2 3
2
2
2 2
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
a aa aa a
a a a a a aa a
a a a a aa a
aa a
a aa a
a a aa a
a a aa
23
2
2 2 3
2
4 3 3
2
4 2 2
2
3 2
3 52 11 9
2
3 5 2 2 11 92
2 11 10 2 11 92
12 1
1 12 1
1 1 12 1
12
− + +− ++ −
=− + + − + − +
+ −
=− + − + − +
+ −
=−
+ −=
− ++ −
=+ + −
+ −
=+ + +
+
EJERCICIO 125
1. 1. 1. 1. 1. ab ab
mcm ab ab b a
ab abab
a aab
aab
ab ab abaab ab
Rta
;
, .
1
1
1 1 1 1 1
2
2
= ÷ =
÷ =
=⋅
=
=⋅
= ⇒
2. 2. 2. 2. 2.
( )
xa a x
mcm a x
a x a axa x a xxa
x axa x
axa x
a x a x a xaxa x a x
Rta
24
36
6 2 36 3 2
23
636
43
4 26
86
36
86
22
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
,
, .
=
÷ =÷ =
= =
=⋅
=
⇒
3. 3. 3. 3. 3. 1
2
3
4
5
88
8 2 4
8 4 2
8 8 1
1
2
1 4
8
4
8
3
4
3 2
8
6
85
8
5 1
8
5
8
4
8
6
8
5
8
2 33
3 2
3 2
3 3
2 3 3
2
3
2
3
3 3 3
3
2
3 3
x x xmcm x
x x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x x
x
x
x
x xRta
, ,
, , .
=
÷ =
÷ =
÷ =
= ⋅ =
= ⋅ =
=⋅
=
⇒
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( ) ( )
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3
2 2 33 2
3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2
2
2
3 2
2
3 2 2 3 2 3 2 3
2
3 2
2
3 2
2
3 2 3 2
2
3 2
xab
xa b a
mcm a b
a b ab a a b a b ab a b a b
xab
x aa b
a xa b
xa b
x aba b
abxa b a
ba b
ba b
a xa b
abxa b
ba b
Rta
, ,
; ;
, , .
=
÷ = ÷ = ÷ =
= = = = = =
⇒
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
( )
76
19
512
36
36 6 6 36 9 4 36 12 3
76
7 636
4236
19
1 436
436
512
5 336
1536
4236
436
2 32 3
2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2
2
3
2 3
4
2 3
2
2 3
2
2 3
2
2
2 3
3
2 3
4
2 3
2
2
yx xy
xy
mcm x y
x y x y x y xy xy x y y x
yx
y yx y
yx y xy
xyx y
xyx y
xy
x xx y
xx y
yx y
xyx y
, ,
; ;
,
=
÷ = ÷ = ÷ =
= = = =
= = ⇒ 3
3
2 315
36, .
xx y
Rta
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )
( )
aa a
aa
mcm a
a a a a a a a
aa
a aa
a aa a a a
aa
aa
aa
a aa a
aa
Rta
− +=
÷ = ÷ = ÷ =
−=
−=
−=
⋅=
+=
+=
+⇒
− +
13
56
26
6 3 2 6 6 1 6 6
13
1 26
2 26
56
5 16
56
2 2 66
6 126
2 26
56
6 126
22
2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
, ,
; ;
, , .
7. 7. 7. 7. 7.
( )( ) ( )
( )
x yx y
x yxy
mcm x y
x y x y yx y xy x
x yx y
x y yx y
xy yx y
x yxy
x y xx y
x xyx y
x yx y
x yx y
xy yx y
x xyx y
x y
− +=
÷ =
÷ =
−=
−=
− +=
+=
+
= = ⇒− +
2 22 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
35 3
3 3
3 3
33
3 33 3 3 3
55 3
3153
3 33 3
15
, ,
; ;
, ,2
2 23x yRta.
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )
( )( )
( )
m nm
m nm n n
mcm m n
m n m m nm n m n nm n n m
m nm
m n m nm n
m n m nm n
m nm n
m n nm n
mn nm n
nmm n
mm n
+ −=
÷ =
÷ =
÷ =
+=
+=
+
−=
−=
−
= =
⇒
2 51
1010
10 2 5
10 5 2
10 10
25
105 5
10
52
102 2
101
101
10 10
3 23 2
3 2 2 2
3 2 3
3 2 2 3
2 2
3 2
3 2 2 3
3 2
3 3 2
2
3 2
2
3
3 2
3
3 2
, ,
5 510
2 210 10
3 2 2 3
3 2
2
3 2
3
3 2m n m n
m nmn n
m nmm n
Rta+ −
, , .
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )
( )( )
( )( )
a b a ba
a bb
mcm ab
ab abab a bab b a
a b a b abab
a b abab
a ba
a b bab
ab bab
a bb
a b aab
a abab
a b abab
ab b
+ − +=
÷ =
÷ =
÷ =
+=
+=
+
−=
−=
−
+=
+=
+
⇒+ −
6 2 36
6 66 2 36 3 2
6 6 6
23
63 3
6
32
62 2
6
63 3
2 2
22
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 3
2
2
2
2 3
2
2 2
2
2 2
2
3 2
2
2 2 3
2
2
, ,
;
;
,3
2
3 2
262 2
6aba ab
abRta, .
+
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )
( )
23
34
32
12
12 3 412 4 312 2 6
23
2 412
8 412
34
3 312
9 312
32
3 612
2 22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 3
2 2
2
2
2 2
2 3
2 2
2 2
a ba
b ab
a bmcm a b
a b a ba b b aa b a b
a ba
a b ba b
ab ba b
b ab
b a aa b
a b aa b
a b a b a b
− − −=
÷ =
÷ =
÷ =
−=
−=
−
−=
−=
−
−=
−
, ,
;
;
a ba b a b
a bab b
a ba b a
a ba b a b
a bRta
2 2
3 2 2 3
2 2
2 3
2 2
2 3
2 2
3 2 2 3
2 2
6 1812
8 412
9 312
6 1812
=−
⇒− − −
, , .
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )( )
25
31
5 5
5 5 5 1 5 5 1 5
25
2 15 5
2 25 5
31
3 55 5
155 5
2 25 5
155 5
,
;
, .
xmcm x
x x x x
xx
xx x x x
xx x
Rta
+= +
+ ÷ = + + ÷ + =
=++
=++ +
=⋅+
=+
⇒++ +
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( ) ( ) ( )( )
aa b
ba b
mcm a b
a b a b a b a b a b
aa b
a a ba b
a aba b
ba b
ba b
ba b
a aba b
ba b
Rta
+ −= −
− ÷ + = − − ÷ − =
+=
−−
=−−
−=
−=
−
⇒−− −
,
;
, .
2 22 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
1
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )
xx x x
x x x
x x x x
mcm x x x
x x
x x xx x x x x x x x xx x x x x x x
x x xx x x
xx
x xx
2 22
2
2
3 2
3 2 2 3 2 2
3 3 2
2 2
2 2
2 3
11
21 1 1
2 2 1
1 2 1
1 2
2 22 2 1 2 2 2
2 2 1
2 2 22 2 2
12
− − −− = + −
− − = − +
= − − +
= − −
= − − +
− − + − − − + − −
− + − − + + −
− + − + +
− − −
−=
−
,
( )− − +
=−
− − +
− −=
−− − +
=−
− − +
⇒−
− − +−
− − +
2 22
2 2
12
1 12 2
12 2
22 2
12 2
2
2
3 2
2 3 2 3 2
2
3 2 3 2
x xx x
x x x
x xx
x x xx
x x xx x
x x xx
x x xRta
;
; .
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
aa
amcm a
a a a a
aa
aa
aa
a a aa
a aa
aa
a aa
Rta
−+
= +
+ ÷ + = + ÷ = +
−+
=−+
=−+
=+
+=
++
⇒−+
++
34 5
38
8 5
8 5 4 5 2 8 5 8 5
34 5
2 38 5
2 68 5
38
3 58 5
3 158 5
2 68 5
3 158 5
2
2
,
;
, .
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
xa x
xmcm a x
a x a x a x a x
xa x
xa x
x x a xa x
ax xa x
xa x
ax xa x
Rta
2
2 2 2
2 2
3 66
6 3 2 6 6
32
6 6 6 6
26 6
−= −
− ÷ − = − ÷ = −
−=
−=
−−
=−−
⇒−
−−
,
;
, .
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
3 2 31
1 1 1 1
1
3 3 11
3 31
2 21
2 21
3 31
31
3 31
2 2
2 22
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
x xxx x
mcm x x
x x x x x x x x x
x x x x x
xx
x xx
x x
xx x
x xx x
x x
xx x
x xx x
x xx x
xx x
x xx
, ,
;
;
,
+−
= −
− ÷ = − − ÷ = −
− ÷ − =
=−−
=−−
=−−
=−−
+−
=+−
=+
−
⇒−−
−( ) ( )2
2
213
1xx x
x xRta
−+
−, .
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
12 2 4 4 8
8
8 2 2 4 8 8
8 4 4 2
12 2
48
4 428
2 28
8 8 8
4
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 3
2 2
a ba
a bb
mcm a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
a ba b
a b
aa b
a a ba b
a aba b
b b a ba b
a b ba b
a
+ −= −
− ÷ + = − − ÷ = −
− ÷ − = +
+=
−−
−=
+−
=+−
=−−
=−−
⇒
, ,
;
;
( )( ) ( ) ( )
−−
+−
−−
ba b
a aba b
a b ba b
Rta8
2 28 82 2
2
2 2
2 3
2 2, , .
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
xxy
yx xy xy y
mcm xy x y
xy x y xy x y xy x y x xy y
xy x y xy y x
xxy
x x yxy x y
x xyxy x y
yx xy
yxy x y xy y
xxy x y
x xyxy x y
yxy x y
xxy x y
Rta
, ,
;
, , .
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
3
3 3
3
+ += +
+ ÷ = + + ÷ + =
+ ÷ + =
=++
=+
+
+=
+ +=
+
⇒+
+ + +
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 2 1
2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
a b a aba
a abmcm a a b
a a b a b a
a a b a ab a b
a a b a ab a b
a ba
a a b a aba b
a a b
aa ab
a a ba a b
a aba a b
aa a b
a ba a b
a aba
− + −= −
− ÷ − =
− ÷ + = −
− ÷ − = +
−=
− +=
−−
−=
+−
=+−
⇒−
−−
+
, ,
;
, , ( )a bRta2 2−
.
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
31 1 1
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
31
3 11
3 31
11
1 1 1 13 3
1 1 1
2 3
22
2
2 2 2
2
2
2
2 2
2
3 2
2
3
2
3
2
2
2
3 2
2
3
2
xx
xx
xx
mcm x
x x x
x x x x x
xx
x xx
x xx
xx
x xx
x xx
xx
xx
x xx
x xx
xx
Rta
+ − −= −
− ÷ + = −
− ÷ − = + − ÷ − =
+=
−−
=−−
−=
+−
=+− −
=−
⇒−−
+− −
, ,
;
, , .
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
1
1
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
m nm
m mnn
m mnmcm m m n
m m n m n m m m n m mn m n
m m n m mn m n
m nm
m m n
mm mn
m m nm m n
m mnm m n
nm mn
n m nm m n
mn nm m n
mm m n
m mn
− + −= −
− ÷ − = − ÷ + = −
− ÷ − = +
−=
−
+=
−−
=−
−
−=
+−
=+−
⇒−
−
, ,
;
;
, ( )( )
( )m m nn m n
m m nRta2 2 2 2−
+−
, .
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
nn
nn
nn
mcm n
n n n
n n n n n
nn
n nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
Rta
+−
−+
+−
= −
− ÷ − = +
− ÷ + = − − ÷ − =
+−
=+ +
−=
+−
−+
=−−
+−
=+−
⇒+−
−−
+−
11
11
11
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
11
1 11
11
11
11
11
11
11
11
11
2
22
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
, ,
; ;
, , .
23. 23. 23. 23. 23.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a ba b
a ba b
a ba b
mcm a b
a b a b a b
a b a b a b a b a b
a ba b
a ba b
a ba b
a ba b
a ba b
a ba b
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
4 44 4
4 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 4 4 4 4
2 2
2 2
2 2 2
4 4
2 2
2 2
2 2 2
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
1
−+
+−
+−
= −
− ÷ + = −
− ÷ − = + − ÷ − =
−+
=−−
+−
=+−
+−
=+−
, ,
; ;
( ) ( )⇒
−−
+−
+−
a ba b
a ba b
a ba b
Rta2 2 2
4 4
2 2 2
4 4
4 4
4 4, .
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
31
12
12
2
2 1 2
2 2 1
2 2 1
31
3 22
3 62
12
12
12
12
3 62
1
22
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
xx
xx x x
mcm x x
x x x x
x x x x
x x x x
xx
x xx x
x xx x
xx
xx x x x x x
x xx x
x
−−+ + −
= + −
+ − ÷ − = +
+ − ÷ + = −
+ − ÷ + − =
−=
++ −
=+
+ −
−+
=−
+ − + −=
+ −
⇒+
+ −−
, ,
;
;
,x x x x
Rta2 221
2+ − + −, .
25. 25. 25. 25. 25. ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x xx
xx
mcm x
x x
x x
x x
x x xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Rta
2 5 151
10 3010 3
10 3 2 5 3
10 3 5 3 2
10 3 10 3 1
25 310 3
5 1510 3
5 152
10 31
10 301
10 3
5 1510 3
210 3
110 3
2
2
, ,
;
, , .
+−+
= +
+ ÷ = +
+ ÷ + =
+ ÷ + =
=++
=++
+=
+−+
=−+
⇒++ +
−+
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]( )( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( )
2 14
3 13 12
4 36 24
6 4
6 4 4 6 6 4 3 4 2
6 4 6 4 1
2 14
6 2 16 4
12 66 4
3 13 12
2 3 16 4
6 26 4
4 36 24
4 36 4
12 66 4
6 26 4
xx
xx
xx
mcm x
x x x x
x x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
−+
++
++
= +
+ ÷ + = + ÷ + =
+ ÷ + =
−+
=−
+=
−+
++
=+
+=
++
++
=++
⇒−
+++
, ,
;
;
, ( ), .4 3
6 4xx
Rta++
27. 27. 27. 27. 27. ( )( )( )( )( )( )[ ] ( ) ( )( )( )( )( )[ ] ( )( )( )( )[ ] ( ) ( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( )
( )( )
aa a a
mcm a a a
a a a a a a
a a a a a
a a a a a a
aa a
a a aa
a a
aa
a
+ − −= + + −
+ + − ÷ + = + −
+ + − ÷ − = +
+ + − ÷ − = + +
+=
+ −+ + −
=−
+ −
−=
++
42
9 255
3 54 3 5 3 5
4 3 5 3 5 4 3 5 3 5
4 3 5 3 5 9 25 4
4 3 5 3 5 3 5 4 3 5
34
3 3 5 3 54 3 5 3 5
27 754 9 25
29 25
2 44
2
2
2
2
2
, ,
;
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 5 3 52 8
4 9 25
53 5
5 4 3 54 3 5 3 5
15 85 1004 9 25
27 754 9 25
2 84 9 25
15 85 1004 9 25
2
2
2
2
2 2
2
2
a aa
a a
aa a
a a aa a
a a
aa a
aa a
a aa a
Rta
+ −=
++ −
−=
+ ++ + −
=+ +
+ −
⇒−
+ −+
+ −+ +
+ −
;
, , .
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )
( )( )( )( ) ( )( )
( )( )
xx
xx x
xx x
mcm x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
xx
x xx x x
x xx x x
xx x
x x
+−
++ − + +
+ + −
+ + − ÷ − = +
+ + − ÷ + − = +
+ + − ÷ + + = −
+−
=+ +
+ + −=
+ ++ + −
++ −
=+ +
14
26
35 6
2 6
2 6 4 3
2 6 6 2
2 6 5 6 2
14
1 32 6
4 32 6
26
2 2
2 2 22
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
, ,
;
( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )
x x xx
x x x
xx x
x xx x x
x xx x x
x xx x x
xx x x
x xx x x
Rta
+ + −=
++ + −
+ +=
−+ + −
=−
+ + −
⇒+ +
+ + −+
+ + −−
+ + −
2 62
2 6
35 6
3 22 6
3 62 6
4 32 6
22 6
3 62 6
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
, , .
29.29.29.29.29.
( )( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )
( )( )( )( ) ( )( )( )
aa a
aa a
aa a
mcm a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
aa a
a aa a a
aa a a
aa
++ − − +
++ −
= + − +
+ − + ÷ + − = −
+ − + ÷ − + = +
+ − + ÷ + − = −
++ −
=+ −
+ − +=
−+ − −
320
57 12
12 15
5 7 12
5 7 12 20 3
5 7 12 7 12 5
5 7 12 2 15 4
320
3 35 7 12
95 4 3
5
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
, ,
;
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
− +=
++ − +
=+
+ − −
++ −
=+ −
+ − +=
− −+ − −
⇒−
+ − −+
+ − −− −
+ − −
7 125 5
5 7 125 25
5 4 3
12 15
1 45 7 12
3 45 4 3
95 4 3
5 255 4 3
3 45 4 3
2
2
2 2
2
2 2 2
aa a
a a aa
a a a
aa a
a aa a a
a aa a a
aa a a
aa a a
a aa a a
Rta
;
, , .
30. 30. 30. 30. 30.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
aa
aa a x
mcm a
a a a a a a
a a a a
aa
aa
aa a
a aa
aa
aa a
aa
aaa
a a
+− + + −
= −
− ÷ − = − ÷ + + = −
− ÷ − = + +
+−
=+− + +
=−
−=
−−
−=
+ +−
⇒+−
−−
+ +
11
21
11
1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
11
11
21
2 11
2 21
11
11
11
2 21
1
3 23
3 3 3 2
3 2
3 3 2 3
2
3
2
3 3
2
3
2
, ,
; ;
, ,a
Rta3 1−.
31. 31. 31. 31. 31. ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( ) ( )
11
11
23
3 1
3 1 1 3 1
3 1 1 3 3 1 3 1
11
3 13 1
3 3 33 1
11
33 1
23
2 13 1
2 23 1
3 3 33 1
33 1
2
33
3 2
3 3 3 3
2
3
2
3
3 3
3
3
3
3
2
3 3
x xmcm x
x x x x
x x x x
xx x
xx x
x
x xxx
xx
x xx x
− −= −
− ÷ − = + +
− ÷ − = − ÷ = −
−=
+ +−
=+ +
−
−=
−=
−−
=−−
⇒+ +
− −
, ,
;
;
, , ( )xx
Rta3
3
23 1
−−
.
32. 32. 32. 32. 32.
( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )
( )[ ]( ) ( )( )[ ]
32 2
14 4
4
4 2 2 2
4 4
4 4 4
32 2
3 2
46 6
4
4
4
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
a abb
a x abx ax bx
mcm ax a b
ax a b a ab x a b
ax a b a x abx x a b
ax a b ax bx a a b
a abx a b
ax a bax bx
ax a b
ba x abx
b x a b
ax
+ + −
= −
− ÷ + = −
− ÷ + = −
− ÷ − = +
+=
−
−=
−−
+=
−
, ,
;
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
a babx b x
ax a b
ax bxa a b
ax a ba ab
ax a b
ax bxax a b
abx b xax a b
a abax a b
Rta
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
4 44
14 4 4 4
6 64
4 44 4
−=
−−
−=
+−
=+
−
⇒−
−−
−+
−
;
, , .
33. 33. 33. 33. 33. ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
11
11
3 1
11
1 1 1
1 1 1 1 1 1
11
1
1
1
1
1 1
1
1
1
3 1
1
3 3
1
1
1
1
1
3 3
1
2 33
3 2
3 2 3 3
2
3 2 3
2
3
3 3
2
3
2
3 3
aaa
a
amcm a
a a a
a a a a a
aa
aaa
a a
aaa
a
aa
a
a
aaa
aa
Rta
−+
−
+
−= −
− ÷ − = −
− ÷ − = − − ÷ − =
−=
−
−
+
−=
+ −
−=
−
−
+
−=
+
−⇒
−
−
−
−
+
−
, ,
; ;
, , .
34. 34. 34. 34. 34. ( )( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( ) ( )( )( )[ ] ( )
( )( )( ) ( )( )
( )
2 36 7 2
32 1
2 16 4
2 3 2 2 1
2 3 2 2 1 6 7 2 2
2 3 2 2 1 2 1 2 3 2
2 3 2 2 1 6 4 2 1
2 36 7 2
2 2 32 3 2 2 1
4 62 3 2 2 1
32 1
6 3 22 3
2
2
2
xx x x
xx
mcm x x
x x x x
x x x x
x x x x
xx x
xx x
xx x
xx
x
−+ + +
−+
= + +
+ + ÷ + + =
+ + ÷ + = +
+ + ÷ + = +
−+ +
=−
+ +=
−+ +
+=
+
, ,
;
( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
+ +=
++ +
−+
=− ++ +
=−
+ +
⇒−
+ ++
+ +−
+ +
2 2 118 12
2 3 2 2 1
2 16 4
2 1 2 12 3 2 2 1
4 12 3 2 2 1
4 62 3 2 2 1
18 122 3 2 2 1
4 12 3 2 2 1
2
2
xx
x x
xx
x xx x
xx x
xx x
xx x
xx x
Rta
;
, , .
EJERCICIO 126
1. 1. 1. 1. 1. x x x x x x x−
++
=− + +
=− + +
=−2
4
3 2
6
3 2 2 3 2
12
3 6 6 4
12
9 2
12
b g b g
2. 2. 2. 2. 2. 2
5
1
3
3 2 5
15
5 6
152 2 2a ab
b a
a b
a b
a b+ =
⋅ +=
+
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )a ba
b ab
b a b a b aab
ab b ab aab
a ab bab
−+
−=
− + −
=− + −
=− + −
215 20
4 2 360
4 8 3 360
3 7 860
2 2 2 2
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )
( )
a bab
a b aba b
ab a b a b aba b
a b ab a b aba b
a b aba b
ab a ba b
a bab
++
−=
+ + −
=+ + −
=+
=+
=+
33
45
5 3 3 415
5 15 3 1215
8 315
8 315
8 315
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
5. 5. 5. 5. 5.
( )
a a a
a a a a a a a
−+ +
+
=− + ⋅ + +
=− + + +
=
13
26
3 412
4 1 2 2 3 412
4 4 4 3 412
1112
6. 6. 6. 6. 6. n
m mn m
n n m mn
m n
m mn n
m n2 2
2
2
3 2 3 2 3 2+ + = ⋅ + + = + +
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
12
2 13
3 1 6 2 26
3 3 6 12 26
9 12 3 26
2 2
2
2
2
2
2
−+
++
=− + + +
=− + − +
=+ − +
xx
xx ax
ax x a xax
ax ax ax aax
ax a axax
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )
( )
2 33
3 210 5
10 2 3 3 3 2 630
20 30 9 6 6 630
29 2430
29 2430
29 2430
aa
xx
x aax
x a a x x aax
ax x ax a x aax
ax xax
x aax
aa
−+
++
−=
− + + + −
=− + + + −
=−
=−
=−
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )
35
22
26
6 3 15 2 5 230
18 15 30 5 1030
38 30 1030
2 19 15 530
19 15 1515
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
++
++
=⋅ + + + +
=+ + + +
=+ +
=+ +
=+ +
xx
xx
x x x xx
x x x xx
x xx
x xx
x xx
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( ) ( )
x y x y y x
x y x y y x
x y x y y x x y
−+
++
−
=− + + + −
=− + + + −
=+
122
154
305 4 2 2 4
605 5 8 4 2 8
605
60
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )
m nmn
n ana
a mam
a m n m n a n a mamn
am an mn ma an mnamn
anamn m
−+
−+
−
=− + − + −
=− + − + −
= =
2
2
2 1
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( ) ( )
xx
xx
xx
x x x x xx
x x x x xx
x x xx
++
−+
−
=+ + − + −
=+ + − + −
=+ − +
23
25
29
15 2 9 2 5 245
15 30 9 18 10 545
19 30 18 1045
2
2
3
3
2 2 3
3
3 2 3 3
3
3 2
3
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
1
3
2 2
3
2
2 2
2 2 2 2
2 3
2 2 3 2 3
2 3
3 2 3
2 3
abb a
abab ba b
ab a b a b ab ba b
ab ab a ab ba b
a ab ba b
+−
++
=+ − + +
=+ − + +
=− + +
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
a bab
a mam a
m a b b a m bmabm
am bm ab bm bmabm
am ab bmabm
++
−+
=+ + − +
=+ + − +
=+ +
3 2 3 3
3 2 3 3
3 2 3 3 2 3
EJERCICIO 127
1. 1. 1. 1. 1. 1
1
1
1
1 1
1
2
12 2a a
a a
a
a
a++
−= − + +
−=
−
2. 2. 2. 2. 2.
( )
24
13
2 3 412
2 6 412
3 2122 2 2
x x
x xx x
x xx x
xx x
++
−
=− + ++ −
=− + ++ −
=−
+ −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
31
62 5
3 2 5 6 11 2 5
6 15 6 61 2 5
211 2 5
−+
+
=+ + −
− +=
+ + −− +
=− +
x x
x xx x
x xx x x x
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
xx y
xx y
x x y x x yx y
x xy x xyx y
xx y
−+
+
=+ + −
−=
+ + −−
=−2 2
2 2
2 2
2
2 22
5. 5. 5. 5. 5.
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )
mm
mm
m m m mm m
m m m mm m
mm m
mm m
+−
++−
=− + + − +
− −
=+ − + − −
− −=
−− −
=−
− −
33
22
2 3 3 23 2
6 63 2
2 123 2
2 63 2
2 2 2 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )( )
( ) ( )
x yx y
x yx y
x y x y x y x yx y
x y x yx y
x xy y x xy yx y
x yx y
+−
+−+
=+ + + − −
−
=+ + −
−
=+ + + − +
−=
+−
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
xx
xx
x x x
x x
x x x xx x
x xx x
2 2
2
2
2 2
2
2
2
11
1
1 1
1 1
2 1
1 1
2 1
1 1
−+
+
−=
− + +
− +
=− + + +
− +=
+ +
− +
8. 8. 8. 8. 8. ( )2
53
252 5 3
252 10 3
255 10
252 2 2 2xx
xx xx
x xx
xx−
+−
=+ +
−=
+ +−
=+−
9. 9. 9. 9. 9. 1
3 2 9 4
3 2
9 4
4
9 42 2 2 2 2 2x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y−+ −
−= + + −
−= +
−
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )x a
x aa x
x ax a x a a x
x ax ax ax a a x
x aax
x aax
a x
++
+−
−=
− + + −−
=+ − − + −
−
=−
−=
−
33
93 3
93 3 3
92
92
9
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )( )( ) ( )( )
aa
aa
a a a aa a
a a a aa a
aa
1 1
1 11 1 1 1
21
2 2
2 2
2 2
3 3
2 2 4
−+
+
=+ + −− +
=+ + −− +
=−
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a ab ab bb a b a a b
ab a b
ab b a abab a b
a bab a b
−+
+=
+ + −−
=+ + −
−=
+−
13. 13. 13. 13. 13.
( )
aba b
aa b
ab a a ba b
ab a aba b
aa b
9 3
39
39
39
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
−+
+
=+ −
−=
+ −−
=−
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2
2 2 2 2 2a b a ba b a ba b a b
aa b a b−
+−
=− + +
+ −=
+ −
15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
3 2 3 2
3 6 3 2 2
5 6 5
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
x y x y
x y x y
x y x y
x xy y x y
x y x y
x xy y
x y x y
++
+=
+ + +
+ +
=+ + + +
+ +
=+ +
+ +
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
xa ax
a xax
aax x
a ax a a x
ax ax mcm ax a x
ax x x a x
x a x a x aax a x
x a x aax a x
aax a x
ax a x
2 2
2
2
2 2
2 2 2 2 22 2
−+
++
−
− = −
= = −
− = −
=+ + − +
−
=+ − +
−=
−=
−
17. 17. 17. 17. 17.
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( )( )( )( ) ( )
32 4
12 4
84
2 4 2 2
2 4 2 2 2 4
4 2 2
3 2 1 2 2 82 4
3 6 2 2 162 4
6 82 4
2 42 2 2
42 2
2
2
2
2
2
2
2
2
xxx
xx
x x
x x mcm x
x x x
x x x xx
x x x xx
x xx
x xx x
xx
++
−−
++−
+ = +
− = − = −
− = − +
=− + − + + +
−
=− + + − + +
−
=+ +
−=
+ ++ −
=+−
18. 18. 18. 18. 18.
( )( ) ( )
( )( )( )
( )
( )( )( )( )( ) ( )
1 1 31
1
1 1
1 1 1
1 1 31
2 31
1 21 1
21
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
x x x xx
x
x x x x
x x x x mcm x x
x x x
x x x xx x
x xx x
x xx x x
xx x
++
−+
+−
+ = +
− = − = −
− = + −
=− + + + +
−
=+ +
−=
+ +− +
=+−
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )( )
( )
( )( )( )
( )
x yx y
x yx y
xyx y
mcm x y
x y x y x y x y xyx y
x xy y x xy y xyx y
x y xyx y
x xy yx y
x yx y x y
x yx y
−+
++−
+−
= −
=− − + + + +
−
=− + + + + +
−
=+ +
−=
+ +−
=+
+ −=
+−
4
4
2 2 4
2 2 4 2 2
2 2
2 22 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
15 4 5
52 1
5 5
4 5 5 1
2 1 1 5 1
1 1 5 5
5 1
2 1 25
5 1
3 3 24
5 1
3 8
5 1
2 2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
aa
a aa
a aa a
a a a a
a a a mcm a a
a a a a a
a a
a a a a aa a
a aa a
a a
a a
−+
− −+
++ +
− = −
− − = − +
+ + = + = − +
=+ + + + + −
− +
=+ + + + + −
− +
=+ −
− +=
+ −
− +
21. 21. 21. 21. 21. ( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 25 3
1 8525 9
25 9
3 25 9 2 5 3 1 8525 9
75 27 10 6 8525 9
7 2725 9
22
2
2
2 2 2
2 2
a aa
amcm a a
a a a a aa a
a a a a aa a
aa a
+−
+−
−= −
=− + + + −
−
=− + + + −
−=
−−
22.22.22.22.22. ( )( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
x xx
xmcm x
x x x x xx
x x x x xx
x xx
++
−−
+−
= −
=+ − + − + − −
−
=− − + − + − +
−=
− +−
110
35 10
22
10 2
1 2 2 3 5 2 210 2
2 2 6 5 20 2010 2
6 19 1210 2
2 2 2
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
xx x
xx x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x x xx x x
x
++ −
++
+ −+
−+ +
+ − = + −
+ − = + −
+ + = + +
= + + −
=+ + + + + + − −
+ + −
=+ + + + + + − +
+ + −
=+
512
42 15
39 20
12 4 3
2 15 5 3
9 20 5 4
5 4 3
5 5 4 4 3 35 4 3
10 25 8 16 6 95 4 3
3 12
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )( )x
x x x+
+ + −50
5 4 3
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )
12
1 28 2 4
8 2 2 4 8
2 4 1 2 28
2 5 28
58
2
3 2
3 2 3
2 2
3
2 2
3 3
xx
xx
x x
x x x x mcm x
x x x x xx
x x x xx x
−+
−−
++ +
− = − + + = −
=+ + + − + −
−
=− + + + −
−=
−
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )( )
21 1
1
11
2 1 1 1
1
2 4 2 11
3 6 31
3 2 1
1
3 1
13
1
2 33
2
3
2 2
3
2
3
2
3
2
3
aa
aaa
mcm a
a a a a
a
a a a a aa
a aa
a a
a
a
a a
++
++
+
+= +
=+ + + + +
+
=+ + + + + +
+
=+ +
+=
+ +
+=
+
+=
+
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
23 11 6
19
13 2
3 11 6 3 3 2
9 3 3
3 2 3 2 9 3 2
2 3 1 3 2 99 3 2
2 6 3 5 2 99 3 2
6 79 3 2
2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
xx x
xx x
x x x x
x x x
x x mcm x x
x x x x xx x
x x x x xx x
x xx x
+ ++
+−
++
+ + = + +
− = + −
+ = + = − +
=− + + + + −
− +
=− + + + + −
− +
=− −
− +
27. 27. 27. 27. 27.
( )( )
( )( )( )
xx x x x
x x x x mcm x
x x x xx
x xx
x xx x x
xx x
2
3 2
3 2 3
2 2
3
2
3 2 2
41
11
31
1 1 1 1
4 1 3 31
2 21
2 11 1
21
−+
++
+− +
+ = + − + = +
=− + − + + +
+
=++
=+
+ − +=
− +
28. 28. 28. 28. 28. ( )( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )
11
11 2
11 2 3
1 2 3
2 3 3 11 2 3
5 6 2 41 2 3
7 101 2 3
5 21 2 3
51 3
2 2
x x xx
x x x
mcm x x x
x x x xx x x
x x xx x x
x xx x x
x xx x x
xx x
−+
− ++
+− + +
= − + +
=+ + + + + +
− + +
=+ + + +
− + +=
+ +− + +
=+ +
− + +=
+− +
29. 29. 29. 29. 29.
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )
xx x
xx x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x xx x
−− −
+−
− −+
−− +
− − = − +
− − = − +
− + = − −
= − − +
=− − + − − + − +
− − +
=− + + − + + −
− −
22 5 3
32 3 2
2 15 6
2 5 3 3 2 1
2 3 2 2 2 1
5 6 3 2
3 2 2 1
2 2 3 3 2 1 2 13 2 2 1
4 4 6 9 4 13
2 2 2
2
2
2
2 2 2
( )( )
( )( )( )
2 2 1
6 10 123 2 2 1
2
x
x xx x x
+
=− +
− − +
30.30.30.30.30. ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
aa
aa
aa
mcm a a a
a a a a a a a a aa a a
a a a a a a a a aa a a
a a aa a a
−−
+++
++−
= − + −
=+ − − + − + − + − + +
− + −
=− − + + − − + + + − −
− + −
=− − +
− + −
21
32
13
1 2 3
2 2 3 1 3 3 1 1 21 2 3
3 4 12 9 9 2 21 2 3
3 2 14 191 2 3
3 2 3 2 3 2
3 2
EJERCICIO 128
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )x x x x x x x−
−+
=− − +
=− − −
=−3
42
82 3 2
82 6 2
88
8
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
a ba
bab
b a b a ba b
ab b ab aa b
a ba b
+−
−
=+ − −
=+ − +
=+
5 3
5 3 5 3 3 5
2
2
2
2
2
2
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )2
31
22 2 3
64 362 2 2 2 2 2mn m n
m nm n
m nm n
− =−
=−
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
aab
aba b
ab a aba b
a b ab aba b
a b aba b
−−
−
=− − −
=− − +
=+ −
35
4 33
3 3 5 4 315
3 9 20 1515
3 6 2015
2
2 3
2 2
2 3
2 2 2 2
2 3
2 2 2
2 3
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
2 34
28
2 2 3 28
4 6 28
3 88
aa
aa
a aa
a aa
aa
+−
−
=+ − −
=+ − +
=+
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
y xx
x yy
y y x x x yxy
y xy x xyxy
y xy xxy
−−
−
=− − −
=− − +
=+ −
220
324
6 2 5 3120
6 12 5 15120
6 3 5120
2 2 2 2
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( ) ( )
x x x
x x x
x x x x x
−−
−−
+
=− − − − +
=− − + − −
=− −
= −+
13
24
36
4 1 3 2 2 312
4 4 3 6 2 612
412
412
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( ) ( )
35
2 110
4 120
4 3 2 2 1 4 120
12 4 2 4 120
4 2 120
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
−+
−+
=− + − +
=− − − −
=− −
aa
aa
a a a aa
a a a aa
a aa
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( ) ( )
( )
35
13
2 315
3 3 5 1 2 315
9 5 5 2 315
3 3 315
3 115
15
2
2
3
2 2
3
2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
xx
xx x
xx x x x x
xx x x x x
xx x
xx x
xx x
x
−−
−+ +
=− − − + +
=− + − − −
=+ −
=+ −
=+ −
10. 10. 10. 10. 10.
( )
12
23
56
3 2 2 56
3 4 2 56
4 56
2 3
3 2
2 3
3 2 3
2 3
3 2
2 3
ab
ab a bab ab b
a bab ab ab
a bab ab
a b
−+
−
=− + −
=− − −
=− −
EJERCICIO 129
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
14
13
4 3
3 44 3
3 44 3
14 3
x xmcm x x
x xx x
x xx x x x
−−
−= − −
=− − −− −
=− − +− −
=− −
2. 2. 2. 2. 2.
( )( ) ( )( )
m nm n
m nm n
mcm m n
m n m n m n m nm n
m mn n m mn nm n
mnm n
mnn m
−+
−+−
= −
=− − − + +
−
=− + − − −
−=
−−
=−
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 4 4
3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )( )1
111
1 1 1 11
1 2 1 21
41
41
2
2 2
2 2 2
−+
−+−
=− − − + +
−
=− + − − −
−=
−−
=−
xx
xx
x x x xx
x x x xx
xx
xx
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
a ba ab
b aab b
a ab a a b ab b b a b
mcm ab a b
b a b a b aab a b
ab b ab aab a b
a bab a b
++
−−+
+ = + + = +
= +
=+ − −
+=
+ − ++
=+
+
2 2
2 2
2 2 2 2
;
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )m n
m nm nm n
m n m n m nm n
m mn n m nm n
mnm n
+−
−+−
=+ + − +
−
=+ + − −
−=
−
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 22 2
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
1 11 1
1
1 11
1 11
21
21
21
2 22 2
2
2 2 2 2 2
x x x xx x x x x x x x
mcm x x
x xx x
x xx x
xx x x x
+−
−+ = + − = −
= −
=− − +
−=
− − −−
=−
−=
−−
=−
;
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a xa x
xa x
a x a x x a x
a x a x
a ax x ax x
a x a x
a ax x
a x a x
+
−−
−
=+ + − −
− +
=+ + − +
− +=
+ +
− +
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
22 2
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
aa a
a a a a
mcm a
aa
aa
aa
++
−+
+ = + + = +
= +
=+ −
+=
+ −+
=++
=
16 3
112 6
6 3 3 2 1 12 6 6 2 1
6 2 1
2 1 16 2 1
2 2 16 2 1
2 16 2 1
16
;
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )
aa a
aa a
a a a a a a a
mcm a a
a a a a
a a
a aa a a a
−− +
−+
+ −
− + = − + − = + −
= − +
=+ − − − +
+ −
=− − +
+ −=
−
+ −
46 9
312
6 9 3 12 4 3
3 4
4 4 3 3
4 3
16 9
4 3
7
4 3
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
;
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )( )( )
a ab ba b
ba b
mcm a b
a ab b b a ba b
a ab b ab ba b
a aba b
a a ba b a b
aa b
2 2
2 22 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
4 39 3
9
4 3 39
4 3 39
39
33 3 3
+ −−
−+
= −
=+ − − −
−
=+ − − +
−
=+−
=+
+ −=
−
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x
x x
x
x x
2 22
2
2 2
2 2 2
11
11 1
1 1 1
1 1
2 1
1 1
3 1
1 1
3 1
1 1
−−
+
−= − +
=− − + +
+ −
=− − − −
+ −=
− −
+ −= −
+
+ −
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 3
3 3 33 2 2
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2
3 2 2 3 2 2
a b a bmcm a b a ab b
a b a ab b
a b a ab b
a ab b a ab ba b a ab b
aba b a ab b
−−
−= − + +
=− − + +
− + +
=− + − − −
− + +=
−
− + +
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
xx x x x
x x x x
x x x mcm x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
++ −
−− +
+ − = + −
− + = − = − +
=− + − +
+ −
=+ − − −
+ −=
+ −
+ −
36 2
14 4 1
6 2 3 2 2 1
4 4 1 2 1 2 1 3 2
2 1 3 3 2
3 2 2 1
2 5 3 3 2
3 2 2 1
2 2 5
3 2 2 1
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
xx
xx
mcm x
x x x xx
x x x xx
x xx
−+
−+−
= −
=− − − + +
−
=− + − − −
−=
−−
14 4
28 8
8 1
2 1 1 2 18 1
2 4 2 3 28 1
78 1
2
2
2 2
2
2
2
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )
( ) ( ) ( )
xxy y y
mcm y x y
x x yy x y
x x yy x y
yy x y x y
−− = −
=− −
−=
− +−
=−
=−
2
1
1
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )
( ) ( ) ( )
ba b
ba ab
mcm a a b
ab b a ba a b
ab ab ba a b
ba a b
2 2 22 2
2 2
2
2 2
2
2 2
−−
+= −
=− −
−=
− +−
=−
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 36 9
14 12 9
6 9 3 2 3 4 12 9 2 3
3 2 3
2 3 2 3 3 1
3 2 3
4 9 3 3
3 2 3
4 3 6
3 2 3
2
2 2
2
2
2
2
2
2
aa
aa a
a a a a a
mcm a
a a a
a
a aa
a aa
−+
−−
+ +
+ = + + + = +
= +
=+ − − −
+
=− − +
+=
− −
+
;
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
xx x
xx x
mcm x x x x
x xx x x x
x xx x x x x x x x
++ +
−−
− += + + − +
=+ − −
+ + − +
=+ − +
+ + − +=
+ + − +
11
11
1 1
1 11 11 11 1
21 1
2 22 2
2 2
2 2 2 2
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( )( ) ( ) ( )
aa a a a
mcm a a
a a a a a aa a
a a a a a aa a
a a aa aa
a a
aa a
aa a
aa a
−+
−−
−+
= −
=− − − + − −
−
=− + − − − +
−
=− + −
−
= −−
−
= −−−
= −−−
=−
−
1 12 2
12 2
2 1
2 1 1 1 12 1
2 2 12 1
2 4 2 22 14 2
2 1
2 2 12 1
2 11
1 21
22
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )
( )( )
14 4
18 8
112 12
24 1 1
6 1 1 3 1 1 2 124 1 1
6 1 3 1 2 224 1 1
6 6 6 6 3 3 3 3 2 224 1 1
3 11 3 7
2
2 2
2 2 2
2 2
3 2 3 2 2
2 2
3 2 3 2 2
2 2
3 2
a a a
mcm a a
a a a a aa a
a a a a a a aa a
a a a a a a aa a
a a a
+−
−−
+
= + −
=+ − − + + − −
+ −
=− + − − + + + − +
+ −
=− + − − − − − − +
+ −
=− + −
( )24 14a −
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )
( )
( )( )( )
( )( )
yx xy x x y
mcm x x y
y x y xx x y
y x y xx x y
y xx x y
y xx x y
x yx x y x
2
1 1
2 2 2 2 2
−− −
−= −
=− − −
−
=− + −
−
=−−
=−−
= −−−
= −
22. 22. 22. 22. 22. ( )( )( ) ( ) ( )
aa ab a a b
mcm a a b
a a b aa a b
a ba a b
a ba a b a
21 1
1
+− −
+= +
=− + −
+=
− −+
= −++
= −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )
( ) ( ) ( )
1 1 2
2 00
2 2 3 22 2
2 2 2 2 2 2
x xy x xyy
x xymcm x x y
x y x y yx x y
x y x yx x y x x y
−−
+−
−= −
=+ − − −
−=
− − +−
=−
=
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
xx x x x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x xx x x
x x x x xx x x
xx x x
2 2 2
2
2
2
2 2
232 3 5 6
2 2 1
2 3 3 1
5 6 3 2
2 1 3
3 3 2 12 1 3
3 3 62 1 3
62 1 3
+ −−
+ −−
+ +
+ − = + −
+ − = + −
+ + = + +
= + − +
=+ − + − −
+ − +
=+ − − − +
+ − +=
−+ − +
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
31
2
1
1 91 1
1 1
3 1 2 1 1 91 1
3 6 3 2 2 2 1 91 1
1 1
2 2 33
2 2
3
2 3 2 2
3
3
3
x xx
x
xx x
mcm x x
x x x x xx x
x x x x x x x xx x
xx x
+ +−
+
−−
−− −
= − −
=− − + + + − −
− −
=− + − − − − − − − +
− −
= −− −
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )
a ba b
a ba ab b a b
a b a b a ab b
a ab b a ab b
a b a b
mcm a b a ab b
a b a b a b a ab ba b a ab b
a b a b a ab ba b a ab
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 21
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
22
2 22
+−
−+
+ +−
−
− = − + +
+ + = + +
− = −
= − + +
=+ − + − − + +
− + +
=+ − + − − −
− + +( )
( )( ) ( )
b
b aba b a ab b
b aba b
2
2
2 2
2
3 3
22
22
=−
− + +=
−−
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
32 2 4
14 8 32
10 18 40 32
2 2 4 2 2 2 2 1
4 8 32 4 2 8 4 4 2
8 40 32 8 5 4 8 4 1
8 4 2 1
12 4 2 1 1 10 1 28 4 2 1
2 2 2
2 2
2 2
2 2
aa a
aa a
aa a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
mcm a a a
a a a a a aa a a
− −−
−+ −
−−
+ +
− − = − − = − +
+ − = + − = + −
+ + = + + = + +
= + − +
=+ − − + − − −
+ − +
( )( )( )
( )( )( )
=+ − + − + + −
+ − +
=+ − +
12 48 2 2 10 20 28 4 2 1
698 4 2 1
2 2 2a a a a a aa a a
aa a a
28. 28. 28. 28. 28. ( )( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
14 12
927 2 3 9
4 12 4 3
27 3 3 9
2 3 9 2 3 9
4 27
3 9 4 9 2 34 27
3 9 4 36 2 64
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2 2
3
a xa xa x
aa ax a
a x a x
a x a x a ax a
a ax a a ax a
mcm a x
a ax x a x a a xa x
a ax x a x a axa
−−
+−
−+ +
− = −
− = − + +
+ + = + +
= −
=+ + − + − −
−
=+ + − − − +
( )
( ) ( )
−
=− + −
−= −
− +−
27
5 9 274 27
5 9 274 27
3
2 2
3 3
2 2
3 3
x
a ax xa x
a ax xa x
29. 29. 29. 29. 29.
( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )( )( )
2 310 10
150
9 1450 50
10 10 10 150 50
50 50 50 1
50 1
5 2 3 1 1 9 1450 1
10 15 2 1 9 1450 1
2 250 1
2 150 1
125
2 2
2 2
2 2 2
aa
a aa
a a
a a
mcm a
a a a aa
a a a aa
aa
aa
−+
−+
−−+
+ = +=
+ = +
= +
=− − + + − −
+
=− − − − − +
+
=− −
+= −
++
= −
EJERCICIO 130
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
23
32
4 76
3 2
2 2 3 3 4 73 2
2 4 3 9 4 73 2
23 2
13
2x xx
x xmcm x x
x x xx x
x x xx x
xx x x
−+
+−
−− −
= − +
=+ + − − −
− +
=+ + − − +
− +=
+− +
=−
2. 2. 2. 2. 2. ( )
( ) ( )( )( )
aa a
aa
mcm a
a aa
aa
aa
3 61
6 1212
12 2412 2
4 2 1212 2
5 1012 2
5 212 2
512
+−
++
++
= +
=− + +
+=
++
=++
=
3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
xx x x
mcm x x
x x x xx x
x x x xx x
x x xx x
2 22 2
3 2 2
2 2
3 3 2
2 2
3 2
2 2
11
31
3 1
3 1 3 13 1
3 3 33 1
4 3 33 1
++ − = +
=+ + − +
+
=+ + − −
+=
+ − −+
4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
aa
aa
aa
mcm a
a a a a aa
a a a a aa
a aa
+−
+−+
+−−
= −
=+ + − − + − +
−
=+ + − + + − −
−=
− +−
31
12 2
44 4
4 1
4 3 2 1 1 4 14 1
4 12 2 4 2 3 44 1
3 3 104 1
22
2
2 2
2
2
2
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
a ba ab
a bab
aab b
mcm ab a b
b a b a b a b aab a b
ab b a ab b aab a b
abab a b a b
−+
++
−+
= +
=− + + + −
+
=− + + + −
+=
+=
+
2 2
2
2 2 2 22 3 3
6. 6. 6. 6. 6.
( )( ) ( )( )
( )( )( )
x yx y
x yx y
xx y
mcm x y
x y x y x y x y xx y
x xy y x xy y xx y
x xyx y
x x yx y x y
xx y
−+
−+−
+−
= −
=− − − + + +
−
=− + − − − +
−
=−−
=−
+ −=
+
4
4
2 2 4
4 4 4 4
2
2 22 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
xa ax a x
mcm ax a x
x x a x a a xax a x
x ax x a axax a x
aax a x
ax a x
2
2
2 2 2 2
1 1−
+ + = −
=+ − + −
−
=+ − + −
−=
−=
−
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
xx x
xx x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x xx x x
x xx
+− −
−+
− −+
++ +
− − = − +
− − = − +
+ + = + +
= − + +
=+ + − + + + − +
− + +
=+ + − − − + −
− + +
=− −
−
120
44 5
55 4
20 5 4
4 5 5 1
5 4 4 1
5 4 1
1 1 4 4 5 55 4 1
2 1 8 16 255 4 1
6 40
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
5 4 1
10 45 4 1
105 1
x x
x xx x x
xx x
+ +
=− +
− + +=
−− +
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
2 112 8 6 2
216 8
12 8 4 3 2
6 2 3 2 2 1
16 8 8 2 1
8 3 2 2 1
2 2 1 2 1 8 2 3 28 3 2 2 1
8 2 8 6 48 3 2 2 1
6 4 28 3 2 2 1
2 3 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
xx
xx x
xx
x x
x x x x
x x
mcm x x
x x x x xx x
x x x xx x
x xx x
x
++
−+ −
+−
+ = +
+ − = + −
− = −
= + −
=+ − − + +
+ −
=− − + +
+ −
=+ −
+ −
=+( )
( )( ) ( )( )x
x xx xx x
−+ −
=+ −
+ −1
8 3 2 2 13 2 1
4 3 2 2 1
2
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( ) ( )( )( ) ( )
1 1 1
1 1
2ax a ax a xmcm ax a x
a x x axax a x
ax aax a x
a xax a x
xx a x
−+
++
= +
=+ − +
+=
++
=++
=++
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
1 1 2
2
2 2
4 4
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 3 3 2 2 3 2 3
2 2 2 2
3
4 4
3
4 4
x y x yy
x ymcm x y x y
x y x y x y x y y x yx y x y
x xy x y y x xy x y y x y yx y x y
yx y
yy x
+−
−+
+= − +
=− + − + + + −
− +
=+ − − − − − − + −
− +
=−
−=
−
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
aa
aa
a aa
mcm a
a a a a a aa
a a a a a aa
a aa
a aa a
aa
−+
−−−
++ −
−= −
=− − − − + + + −
−
=− + − + + + + −
−
=−
−=
−+ −
=+
13 3
26 6
2 69 9
18 1
6 1 1 3 2 1 2 2 618 1
6 12 6 3 3 6 2 4 1218 1
5 518 1
5 118 1 1
518 1
2
22
2
2
2 2 2
2
2
2
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
12 24
22 8
38 12
2 24 6 4
2 8 4 2
8 12 6 2
6 2 4
2 2 6 3 46 2 4
2 2 12 3 126 2 4
266 2 4
2 2 2
2
2
2
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
mcm a a a
a a aa a a
a a aa a a a a a
+ −+
− −−
+ +
+ − = + −
− − = − +
+ + = + +
= + + −
=+ + + − −
+ + −
=+ + + − +
+ + −=
+ + −
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( )
x yxy
x yxy y
yx xy
mcm xy x y
x y x y x x y yxy x y
x xy y x xy yxy x y xy x y
+−
++
−+
= +
=+ + − + −
+
=+ + − − −
+=
+=
2
2
2 2 00
2 2
2
2 2 2 2
15. 15. 15. 15. 15.
( )( ) ( )( )
aa
aa a
aa
mcm a
a a a a a aa
a a a a a a a aa
a aa
3
3 23
3 2
3
3 2 3 2 2
3
2
3
13
111
1
1 3 1 11
4 3 11
3 2 41
++
+− +
−−+
= +
=+ + + − − − +
+
=+ + + − + − + − +
+=
+ ++
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
11
21
31
1 1
1 1 2 1 3 11 1
1 2 2 2 3 31 1
4 11 1
2
2
32 2
2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 3 2
2 2
2
2 2
xx
xx
xmcm x x x
x x x x x x x xx x x
x x x x x x x x x xx x x
x xx x x
−+
−−
−= − + +
=+ + + + + + − +
− + +
=+ + + + + + + + − −
− + +
=+ +
− + +
17. 17. 17. 17. 17.
( )( ) ( )
( )( )( )
a ba ab b a b
aa b
mcm a b
a b a b a ab b aa b
a ab b a ab b aa b
a aba b
a a ba b a ab b
aa ab b
+− +
−+
++
= +
=+ + − − + +
+
=+ + − + − +
+
=++
=+
+ − +=
− +
2 2
2
3 33 3
2 2 2
3 3
2 2 2 2 2
3 3
2
3 3 2 2 2 2
1 3
3
2 3
3 3 3 3
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2−
++
+ +−
+−
= −
=+ + + + − − +
−
=+ + + − + − − −
−
=− −
−=
− +−
=+
+ +
xx
x xxx
mcm x
x x x x xx
x x x x x xx
x xx
x xx
xx x
22 3
2 46 12
88
2 2 4 2 3 2 6 128
2 4 8 2 4 3 6 6 128
4 3 108
2 4 58
4 52 4
2 33
2
3
2 2
3
2
3 3 2
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
3 23 10
5 14 5
4 13 2
3 10 5 2 4 5 5 1
3 2 2 1 5 2 1
3 2 1 5 1 2 4 1 55 2 1
3 3 2 2 5 10 2 4 20
2 2 2
2 2
2
2 2 2
xx x
xx x
xx x
x x x x x x x x
x x x x mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x x x x x
++ −
−+
+ −+
−− +
+ − = + − + − = + −
− + = − − = + − −
=+ − − + − + − +
+ − −
=− + − − + − + + +
;
;
( )( )( )
( )( )( )
− −+ − −
=+ −
+ − −
xx x x
x xx x x
55 2 1
2 27 55 2 1
2
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
1
1
11
1
1
11
1 1 1
1
2 3 3 1
1
2 4 1
1
2 33
2 3
3
2 3 2 3 2
3
2
3
n n n nmcm n n
n n n n n n
n n
n n n n n n n n nn n
n nn n
++
−−
−− = −
=− + − − − −
−
=− + − + − − + − +
−=
− +
−
21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )
15
5
5
525
25 5
25 5 5 5 525 5
25 10 25 10 2525 5
20 2525 5
2
2
2 2
2
44 2
4 2 2 2 2
4 2
4 4 2 4 2
4 2
4 2
4 2
aaa
aa
mcm a a
a a a a aa a
a a a a aa a
a aa a
+−
−
++
+−
= − +
=− − − − + + +
− +
=− − + − + + +
− +=
+ −− +
22. 22. 22. 22. 22.
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
19 9 6
69 6
9 3 3 9 6 3
9 6 3 3 3
1 9 3 6 3
3 3
9 9 9 6 54 36 6
3 3
9 54
2
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 4 2 3 4 2 3
2 2
−−
−+ +
−− +
− = + − + + = +
− + = − = + −
=− − − − − +
+ −
=− − + − + − − − −
+ −
=−
xx
xx x
xx x
x x x x x x
x x x mcm x x
x x x x x x
x x
x x x x x x x x xx x
x
;
;
( ) ( )−
+ −
55
3 3
2
2 2x
x x
23. 23. 23. 23. 23. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
xx
xx
xx x
mcm x
x x x x x x xx
x x x x x x xx
x xx
x xx
x xx
2 21
3 31
6 65
18 1818 1
9 1 6 1 1 3 1 1 5 118 1
9 9 6 12 6 3 6 3 5 518 1
6 32 818 1
2 3 16 418 1
3 16 49 1
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
+−
+−
+−+
−−
= −
=− − + + + − − − +
−
=− − − − + − + − −
−
=− −
−=
− −−
=− −
−
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
aa
aa
aa
mcm a
a a a a aa
a a a a aa
a aa
++
−−
−−−
= −
=+ − − − − +
−
=+ − − − + +
−=
+ −−
22 2
78 8
34 4
8 1
4 2 1 7 2 3 18 1
4 4 8 7 2 4 68 1
2 28 1
22
2
2 2
2
2
2
25. 25. 25. 25. 25. ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )( ) ( )
aa
aa
aa
mcm a
a a aa
a a aa
aa
aa
aa
−+
+++
−−+
= +
=− + + − −
+
=− + + − +
+
=−
+=
−+
=−
+
320 10
2 540 20
4 160 30
120 2 1
12 3 6 2 5 4 4 1120 2 1
12 36 12 30 16 4120 2 1
8 2120 2 1
2 4 1120 2 1
4 160 2 1
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
22 5 3
12 6
32
2 5 3 2 3 1
2 6 2 3 2
2 2 1
2 3 1 2
2 2 1 3 2 32 3 1 2
2 4 1 6 92 3 1 2
7 42 3 1 2
2 2 2
2
2
2
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x xx x x
x x xx x x
xx x x
+ +−
− −+
− −
+ + = + +
− − = + −
− − = − +
= + + −
=− − + + +
+ + −
=− − − + ++ + −
=+
+ + −
27.27.27.27.27. ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )
aa
aa a
mcm a a a
a a a a a aa a a
a a a a a a a aa a a
a a a a a a a a a a a aa a a
−−
−−+
+−
= − + −
=− + − − − + − +
− + −
=− + + − − + − + + −
− + −
=+ − − + + − + + − − + + + −
− + −
=
12
23
11
2 3 1
1 3 2 1 2 32 3 1
2 1 3 4 4 1 62 3 1
3 2 6 3 4 4 4 4 62 3 1
7
2 2
2 2 2
3 2 2 3 2 2 2
( )( )( )a a
a a a
2 12 12 3 1
− +− + −
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
2 32 3
2 32 3 2 3
4 9 2 3
2 3 4 9 2 3 2 34 9 2 3
8 18 12 27 8 36 54 27 2 34 9 2 3
46 754 9 2 3
22
2 3
2
2 3 2 3 2
2
2
2
+−
−−+
−−
= − −
=+ − − − − +
− −
=− + − − + − + − −
− −
=−
− −
aa
aa
a
amcm a a
a a a a aa a
a a a a a a a aa a
a aa a
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
15 5
15 5
110 10
10 1 1
2 1 1 2 1 1 110 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 110 1 1
5 310 1
22 2
2 2 2
2 2
2 3 2 3 2
2 2
2
4
++
−−
+= + −
=+ − + + + − −
+ −
=− + − + + + + − +
+ −
=+−
a a amcm a a
a a a a aa a
a a a a a a aa a
aa
30. 30. 30. 30. 30.
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
13 3
13 3 6 6 2 2
3 3 3 1 3 3 3 1
6 6 6 1 2 2 2 1
6 1 1 6 1
2 1 1 2 1 1 1 3 16 1
2 2 2 2 2 2 2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 2 4
2 2 2 2
4
2 3 2 3 3
−−
++
+−
−
− = − + = +
+ = + − = −
= + − = −
=+ + − + − + − − +
−
=+ + + − + − + + − −
x xx
xx
x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x x xx
x x x x x x x x
;
;
( )
( ) ( )
x xx
xx
xx
−−
=−
=−
36 1
26 1 3 1
3
4
4 4
EJERCICIO 131
1. 1. 1. 1. 1. 1 1
2 2 2 22 2
2 2 2 2
m n
m
n m m n
m
m nmcm m n
m n m
m n
n
m n
−+
−=
−−
−= −
=+ −
−=
−
2. 2. 2. 2. 2. ( )x
x xyx
y xx
x x yx
x yx
x yx
x y
mcm x yx xx y
xx y
2
2
22 2 2
2 3
−−
−=
−+
−=
−+
−
= −
=+−
=−
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )( )( )( )( ) ( )
12 4
12 4
4
24
2 12 2
12
2 2 2
2
2
2
x xx
x x xxx
mcm x x
x xx x
x xx x x
xx x
−+
−=
−−
−
= −
=+ −
−=
− +− +
=++
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
a ba ab
ab a
a ba a b
aa b
mcm a a b
a b a b aa a b
a ab b aa a b
ab ba a b
+−
+−
=+−
−−
= −
=+ + −
−=
+ + −−
=+−
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
xx x
xx
xx x
xx
mcm x x
x x xx x
x x xx x
x xx x
−− −
−−
=−
− ++
−
= − +
=− + +
− +=
− + +− +
=+ −
− +
42 3 6 2
43 1 2 3
2 3 1
2 4 12 3 1
2 82 3 1
3 82 3 1
2
2 2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
12 8
12 3
14 2
12 3
2 3 4
3 42 3 4
3 42 3 4
12 3 4
12 3 4
2x x x x x x x x
mcm x x x
x xx x x
x xx x x
x x x x x x
+ −+
− +=
+ −−
− +
= − + +
=+ − +
− + +
=+ − −
− + +
=−
− + +=
− + +
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
12 2
21
74 4
12 1
21
74 1
4 1
2 1 8 1 7 14 1
2 2 8 8 7 74 1
34 1
2
2
2 2
x x x x x x
mcm x
x x xx
x x xx
xx
++
−+
−=
+−
−+
−
= −
=− − + + +
−
=− − − + +
−=
−−
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
23
33
29
23
33
29
9
2 3 3 3 29
2 6 3 9 29
59
2 2
2
2
2 2
2
2
2
aa
aa
aa
aa
aa
aa
mcm a
a a a a aa
a a a a aa
a aa
++
−+
−=
++
−−
−
= −
=− + + −
−
=− + + −
−=
+−
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )
x yy x
yx y
xy x
x yy x
yx y
xx y
mcm x y
x y x y y x x yx y
x xy xy y y x xyx y
x xyx y
++
+−
−−
=++
+−
−−
= −
=+ − + + +
−
=− + − + + +
−=
+−
3 3 3 3
3 3
3 3 3 2 3
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
xx x
xx x x
xx x
xx x x
mcm x x x
x x x x x xx x x
x x x x xx x x
x xx x x
2
2 2 2 2
2 33
1 21
2
3 13
1 21
2
3 2 1
2 3 3 3 13 2 1
2 9 2 33 2 1
4 63 2 1
+ −+
−− +
++
=+ −
−−
− ++
+
= + + −
=+ − − + + + −
+ + −
=+ − + + + −
+ + −=
+ ++ + −
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
32 2
14 4
48 8
32 1
14 1
48 1
8 1
12 1 2 1 48 1
12 12 2 2 48 1
10 108 1
10 18 1 1
54 1
2 2
2
2
2 2
a a a a a a
mcm a
a aa
a aa
aa
aa a a
+−
−−
−=
+−
−+
−
= −
=− − + +
−
=− − − +
−=
−−
=−
− +=
+
12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
13
13 2
22 1
13
13 2
22 1
3 2 1
2 1 1 1 2 33 2 1
3 2 1 2 63 2 1
33 2 1
33 2 1
2 2
aaa a a a
aa
a a a a
mcm a a a
a a a a aa a a
a a a aa a a
aa a a
aa a a
−+
+− −
+− −
=−
−+
− −+
− −
= − − −
=− − − + − + −
− − −
=− + − + + −
− − −
=− −
− − −=
+− − −
13. 13. 13. 13. 13.
( )
( ) ( ) ( )
21
2 21
11
21
2 11
11
1
2 1 2 1 11
2 2 2 2 2 11
3 11
3 2
3 2
2
3 2
3
2 2
3
3 2 3 2
3 3
xx
x xx x x
xx
x xx x x
mcm x
x x x x x xx
x x x x x xx
xx
−+
+−
++ +
=−
−+
−+
+ += −
=+ + − + + −
−
=+ + − − + −
−=
−−
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )
xx
xx
x xx x
xx
xx
x xx x
mcm x x
x x x x x xx x
x x x x x x x xx x
x
+−
++
−+
+ +− +
=+−
−+−
++ +
− −
= − −
=+ − − + − + + +
− −
=− + − − + − + + + +
− −
=+
23 1
13 2
4 6 36 11 3
23 1
12 3
4 6 32 3 3 1
2 3 3 1
2 2 3 1 3 1 4 6 32 3 3 1
2 3 4 6 3 3 1 4 6 32 3 3 1
3
2
2
2
2
2 2 2
2
( )( )( )( )( )( )
5 22 3 3 1
2 3 12 3 3 1
22 3
xx x
x xx x
xx
−− −
=+ −− −
=+−
EJERCICIO 132
1. 1. 1. 1. 1. 2
3
6
4
12
12
2 2 2 2a
b
b
a
a b
abab⋅ = =
2. 2. 2. 2. 2. x y a
m
m
x
x ya m
x m
a y
xm
2 3
2 3
2 3
3 2
3
5
10
3
9 90
15
6⋅ ⋅ = =
3. 3. 3. 3. 3. 5
7
4
7
14
5
14 5 4
49 5
8
7
2
3
2
3 4
2 2
4 3 3 2 2
x
y
y
m
m
x
x my
x m y x m y⋅ ⋅ =
⋅ ⋅⋅
=
4. 4. 4. 4. 4. 5 2 3
10
10 3
10
32 2a
a
b
b ab
ab b⋅ ⋅ =
⋅=
5. 5. 5. 5. 5. 2
15
3 5
7
15 2
15 7
2
7
3
3
2 2
2
2 5
3 3
4
3
x
a
a
y
x
xy
a x
a xy
x
ay⋅ ⋅ =
⋅⋅
=
6. 6. 6. 6. 6. 7
6
3
10
5
14
7 3 5
14 6 10 82 2
4 4
2 2
2a
m
m
n
n
ax
amn
am n x
n
mx⋅ ⋅ =
⋅ ⋅⋅ ⋅
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )
( )2
68
4 22 1
34
2 2 123
2x xx
x xx
x++
+=
+⋅
+=
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )
( )5 25
147 7
10 505 5
147 1
10 51
4x x
xx x
xx+
⋅++
=+
⋅++
=+
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( ) ( )
m nmn n
nm n
m nn m n
nm n m n
n
m n
nm mn n
+−
⋅−
=+−
⋅+ −
=−
=− +
2
2
2 2
2
2 2 22
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
( )( )
( )
xy yx xy
x xy yx xy
y x yx x y
x yx x y
y x yx
xy yx
−+
⋅+ +
−
=−+
⋅+−
=+
=+
2 22
22
2
2
2 2
2
2
2
2
2
11. 11. 11. 11. 11.
( )( ) ( )( )
( )( )
x xy yx xy
xx y
x yx x y
xx y x y
x x y
x yx xy
x xy y
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
4 42 4
22 2 2
2
2
24
− ++
⋅−
=−
+⋅
+ −=
−
+=
−+ +
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )
( )( )2 2
23
2 32 1
23
3 11
2
2
2
2 2
x xx
x xx x
x xx
x xx x
+⋅
−− −
=+
⋅−
− +=
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )( ) ( ) ( )
a ab a ba a a ab
a a ba a a a b a a a a
2
2 2
2
2 13
6 6
11 1
36
12 1
12 2
− + −+ +
⋅−
=+ −+ +
⋅−
=+
=+
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( )( )
( )( )x yx
x xx y
x yx x x
x xx yx
−−
⋅+ +
−=
−− + +
⋅ + + =−−
3
3
2
2 22
11
1 11
1
15. 15. 15. 15. 15. ( )
( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )
2 22 50
4 53 3
2 12 25
5 13 1
1 53 5 5
13 5
13 15
2
2
2
aa
a aa
aa
a aa
a aa a
aa
aa
−−
⋅− −
+=
−−
⋅− +
+
=− −+ −
=−+
=−+
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )
( )( )
( )( )2 3 2
6 33 6
42 2 1
3 2 13 2
2 21
2
2
x xx
xx
x xx
xx x
− −+
⋅+−
=− +
+⋅
+− +
=
17. 17. 17. 17. 17. ( )( ) ( )
( )y y
yyy
y yy
yy
y2 9 18
55 255 15
6 35
5 55 3
6+ +
−⋅
−+
=+ +
−⋅
−+
= +
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( )
x x xx x
x xx x
x x xx x
x xx x
x x xx x
x xx
x xx
3 2
2
2
2
2
2
2 34 8 3
2 3
2 32 3 2 1
2 31
3 12 1 1
32 1
32 1
+ −+ +
⋅+−
=+ −
+ +⋅
+−
=+ −+ −
=++
=++
19. 19. 19. 19. 19.
( )( )( )( )
xa
a ax x
x x xa a a
a ax x
xa
3
3
2
2
2
2
2
2
271
13 9
3 3 91 1
13 9
31
−−
⋅+ +
+ +
=− + +− + +
⋅+ +
+ +=
−−
20. 20. 20. 20. 20. ( )( ) ( )
( )a ab b a b
a b
a b a b
a b
2 2
3
2
34 4
32 4
2
23
2 2
2
23
+ +⋅
+
+=
+⋅
+
+=
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )
11
11
11
2
2
2 2−+
⋅+
−⋅ =
−+
⋅+−
⋅ =x
aa ax x
xa
xa
a ax x
xa
x
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
x xx
x xx x
x xx x
x xx x
x xx x
x xx x
x x x x
x x x x x x
2
2
2
3 2
2
2
2
2 2
2 2
216
2 8 44 4
24 4
4 21
42 2
2 4 4
2 4 4 1
11
+−
⋅− −
+⋅
++ +
=+
− +⋅
− ++
⋅+
+ +
=+ − +
+ − + +=
+
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )
( )
( )( )( )( )
( )( )( )
m n x
m x n
m n xm mn mx
m n x m n xm n x m n x
m n x m n xm m n x
m n xm
+ −
+ −⋅
− −+ −
=+ + + −+ + − +
⋅− + − −
+ −
=− −
2 2
2 2
2 2
2
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )
( )( )
2 22 2 1
22 1
11
1
3 2
2
3
2 2
2 2 2
2 2
a abax ax
x xa x b x
xx
a a bax x
x xx a b
xx
+−
⋅−+
⋅+
=+−
⋅−
+⋅
+=
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )
a aa
aa a
aa
a aa
aa a
a aa
a aa
a aa
2
2
2
2
5 63 15
630
252 4
3 23 5
66 5
5 52 2
36
36
− +−
⋅− −
⋅−−
=− −
−⋅
− +⋅
+ −−
=−
−=
−−
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( )( )
( )( )( )
( )
( )( )
x xy yx xy y
x yx xy
x xyx y
x y x yx y x y
x y x yx x y
x x yx y
x y x yx y
x xy yx y
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
3 102 8
164
62
5 24 2
4 44
62
5 62
11 302
− −− −
⋅−+
⋅−+
=− +− +
⋅+ −
+⋅
−+
=− −
+=
− ++
27. 27. 27. 27. 27.
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
x ax aax a
ax aax a
a xx ax a
x aa x a
a x aa x
a xx a x a
x aa x
x aax a
2 2
2
2
2 2
2
4 43 6
2 4 6 63 2
23 2
2 21
62
4 21
4 8
+ +−
⋅−+
⋅+
+ +
=+
−⋅
−+
⋅+
+ +
=++
=++
28. 28. 28. 28. 28.
( )( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
aa a
aa
aa
a aa
a aa a
aa a
aa
a aa
a aa
a aa
2
2 2
3 2
2
2
812 10
1136
2 122 18
52 22
9 92 5
116 6
2 62 9
52 11
94 6
94 24
−+
⋅+−
⋅−+
⋅++
=+ −
+⋅
++ −
⋅−+
⋅+
+
=−+
=−+
29. 29. 29. 29. 29.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )
a aa a
a aa a
a a aa a
a aa a
a aa a
a a aa a
a a aa a
a aa
a aa
2
2
2
2
3 2
2
2
2
7 106 7
3 42 15
2 32 8
5 27 1
4 15 3
2 34 2
3 13 7
17 7
+ +− −
⋅− −+ −
⋅− −
− −
=+ +− +
⋅− ++ −
⋅− −
− +
=− +
− −=
+−
=+−
30. 30. 30. 30. 30. ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )
x xx x x
x xx x x x x
xx
x xx x x
x xx x x
xx x
x x xx x
x x xx x x x
xx
4
3 2
4
4 3 2 2
2
3
2
3
2 2 2
2
2
2
2 2
2
273 9
1
3 3
271
13 9 3 3
3 3 91
1 13 9
19 3
19
+− +
⋅+
− +⋅
+⋅
−
=+
− +⋅
+− +
⋅+ −
=+ − +
− +⋅
+ − +− +
⋅− +
=+−
EJERCICIO 133
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
( )
aab
aa
b
aab
ab ab
a bb
aa
ba b a
bab a a
bab
b
a bb
abb
a
+
−
+
⇒ + =+
=+
⇒ −+
=+ −+
=+ −
+=
+
⇒+
⋅+
=
1
1
111 1 1
11
2
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
xx
xx
xx
x xx
x xx
x xx
xx
x xx
x xx
x xx
x xx
xx
x x x
−+
+
+
⇒ −+
=+ −+
=+ −
+=
+ −+
⇒ ++
=+ ++
=+ +
+=
+ ++
⇒+ −
+⋅
++
= − + = −
21
12
21
1 21
21
2 11
12
2 12
2 12
1 12
2 11
12
1 1 1
2
2
2
2
3. 3. 3. 3. 3. 1 1
1
1
1
−+
+
⇒ −+
=+ −
+=
+
⇒ + =+
⇒+
⋅+
=
xa x
xa
xa x
a x xa x
aa x
xa
a xa
aa x
a xa
4. 4. 4. 4. 4.
( )
( )( )( )
aab
a bba
aab
a ba a b ab
a ba ab ab
a ba
a bba
a ba
aa b
a ba
a b a ba b
a b
+−
−
⇒ +−
=− +
−=
− +−
=−
⇒ − =−
⇒−
⋅−
=+ −
−= +
1
1
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2
2
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
xx
xx
x
xx
x xx
x xx
x xx
x xx
xx
x
x x xx
x x xx
xx
x xx
xx
x
+ −+
− +
−+
⇒ + −+
=+ + −
+
=+ + −
+=
+ −+
=+ −
+
⇒ − +−+
=− + + −
+=
+ − + −+
=+
⇒+ −
+⋅
+=
212
12
10 35
212
1
2 1 121
3 2 121
3 101
5 21
210 3
5
2 5 10 35
3 10 10 35 5
5 21 5
2 2
2 2
2 ( )2 3 221
21
xx
x xx
−+
=−+
6. 6. 6. 6. 6.
( )
1
1
2
2 2 2 2
+
−
+
⇒ + =+
⇒ −+
=+ −
+=
+ −+
=+
⇒+
⋅+
=
xy
xx
x yxy
y xy
xx
x yx x y x
x yx xy x
x yxy
x yy x
yxy
x yx
7. 7. 7. 7. 7.
( )( ) ( )
( )
( )
a xax xa x
xa x
a xax xa x
a x a x ax xa x
a ax x ax xa x
a ax xa x
a xa x
xa x
a x xa x
a xa x
a xa x
a xa x
a x
+ −+
+
+
+
⇒ + −+
+
=+ + − +
+
=+ + − −
+=
+ ++
=++
⇒ ++
=+ +
+=
++
⇒++
⋅++
= +
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
21
2
22
3 22
22 2
12
22
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )
( )( )
( )( )
xx xx
xx
xx xx
x x x xx
x x x xx
xx
xx
xx
x xx
x xx
x xx
x xx
xx
−−−
+ −
+
⇒ −−−
=− − −
−
=− − +
−=
−−
=−
⇒ + −+
=+ + −
+
=+ + −
+=
+ −+
=+ −
+
⇒−
3
2
3
2
2 3
2
3 3
2 2 2
2 2
2
625
18
3
625
25 625
25 625
1925
1925
18
31 3 8
3
4 3 83
4 53
5 13
1925
( )( )
( )( )( )
⋅+ −
+
=−
− +=
−+ − −
=−
+ −
x xx
x xx x
x xx x x
x xx x
5 13
19 15 3
19 195 15 3
19 1915 2
2
2
2
2
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
( )( )
( )( )
a xx
a xa x
a xa x
a xx
a x
a x a x xa x
a ax x xa x
a ax xa x
a x a xa x
a xa xa x
a x a x a xa x
a
+ −+
− +
++
⇒ + −+
=+ + −
+
=+ + −
+=
+ −+
=+ −
+
⇒ − +++
=− + + +
+
=
2142
54
2142
2 2 142
2 5 2 142
2 5 122
4 2 32
54
4 54
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
+ − + ++
=+ +
+=
+ ++
⇒+ −
+⋅
+ ++
= − + = − −
3 4 54
2 34
24
4 2 32
24
2 3 2 3
2 2 2 2 2
2 2
ax x a xa x
a ax xa x
a x a xa x
a x a xa x
a x a xa x
a x a x a ax x
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )( )
( )( )
mmn
m nnm
mmn
m nm m n mn
m nm mn mn
m nm
m n
nm
m nm
m n m mn nm
mm n
m n m mn nm
m mn nm
−+
+
⇒ −+
=+ −
+=
+ −+
=+
⇒ + =+
=+ − +
⇒+
⋅+ − +
=− +
1
1
3
3
2 2
3
3
3 3
3
2 2
3
2 2 2
3
2 2
11. 11. 11. 11. 11.
( )( )
1 1 1
1
1
1
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
+
−
+
−
⇒ + =+
⇒ − =−
⇒ +−
=−
⇒+
⋅−
⋅+ −
= =
ab
ba
ba b
ab
b ab
ba
a ba
ba b
aa b
b ab
a ba
aa b a b
aab
ab
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
( )
( )
22
13
62
11
22
12 1 2
12 4
12 2
1
36
23 2 6
23 6 6
23
2
11 1
2 21
32
16
++
−
+
+
⇒ ++
=+ ++
=++
=++
⇒ −+
=+ −+
=+ −+
=+
⇒ + =+
⇒++
⋅+
⋅+
=
x x x
xxx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
EJERCICIO 134
1. 1. 1. 1. 1. x
y
x
y
x
y
y
x
xy2
2 3
2
2
3
3
2
3 2 6÷ = ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 3
5
3
5
1 3
5
2
22 3
2
2 2 3 2 2
a b
xa b
a b
x a b b x÷ = ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. 5
7
10
14
5
7
14
10
2
3
4
4
2
3
4
4 2
m
n
m
an
m
n
an
m
an
m÷ = ⋅ =
4. 4. 4. 4. 4. 65
65
302 32
2 32
2a xa x
a xa x
x÷ = ⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. 15
19
20
38
15
19
38
20
3
2
2
3
2
3 4
2
3
3 4
2
2 2
2
m
ax
y
a x
m
ax
a x
y
m a x
y÷ = ⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. 11
722
11
7
1
22 14
2 3
24
2 3
2 4
2
2
x y
my
x y
m y
x
m y÷ = ⋅ =
7. 7. 7. 7. 7. ( )x x x
x−
÷−
=−
⋅−
=1
32 2
61
36
2 11
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
( )36 9
53
3
3
35
35 3
2
2 2
3
2 2
2
2 3a
a ab ba
a b aba
a b
ab a ba
ba b+ +
÷+
=+
⋅+
=+
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )
( )( )
x xx x
x xx
x xx x
xx x
xx
3
2
2 2
2 65 52 6
12 3
2 35 1
15
−+
÷−+
=−+
⋅+−
=+
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )( )( )
( )
130
242
16 5
7 62
72 5
2 2a a a a
a aa a a
a
− −÷
+ −
=− +
⋅+ −
=++
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( ) ( )20 3015 15
4 61
5 4 615 1
14 6
13
2
3 2 2
x xx x
xx
x xx x
xx x
−+
÷−+
=−+
⋅+−
=
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a
a aa
2
2
2
2
2
2
6 515 56
2 355 24
5 18 7
8 37 5
1 37 7
2 349
− +− +
÷+ −− −
=− −− −
⋅− ++ −
=− +− +
=+ −
−
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
8 26 1516 9
6 13 59 1
2 5 4 34 3 4 3
3 1 3 12 5 3 1
3 14 3
2
2
2
2x x
xx x
x
x xx x
x xx x
xx
+ +−
÷+ −
−
=+ ++ −
⋅+ −+ −
=+−
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )( )
( )( )
x xx
x xx
x xx x
xx x
xx
3
2
2
2
12149
117
1217 7
711
117
−−
÷−+
=−
+ −⋅
+−
=+−
15. 15. 15. 15. 15.
( )( ) ( ) ( )
axa
a x aa
axa a
aa ax a a
2
2
3 2 2
2
2 2 2
54 1
52 15
2 1 2 12 1
51
2 1
+−
÷+−
=+
+ −⋅
−+
=+
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )( )
( )( )( )
( )
aa a
a aa a
a aa a
a aa a
aa
4
3 2
4 2
3
2 2
2
2
2 2
1 4 33 9
1 11
3 33 1
3 1
−+
÷+ +
+
=+ −
+⋅
++ +
=−
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
xx
x x xx x
x x xx x
x xx x x
x xx x
x xx x
3
2
3 2
2
2
2
2
2
12564
5 2556
5 5 258 8
8 75 25
5 78
2 358
+−
÷− +
+ −
=+ − +
+ −⋅
+ −− +
=+ −
−=
− −−
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )
( )( )( )
16 24 916 12
64 2732 24 18
4 34 4 3
2 16 12 94 3 16 12 9
12
2 2 3 3
2 2
2 2 2
2 2
x xy yx y
x yx xy y
x yx y
x xy yx y x xy y
− +−
÷−
+ +
=−
−⋅
+ +− + +
=
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )
( )( )( )
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a a
2
3 2
2
2 2
63
3 549
63
99 6
13
−+
÷+ −
+=
−+
⋅+
+ −=
+
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
15 7 225
6 13 625 10 1
3 2 5 15 1 5 1
5 12 3 3 2
5 12 3
5 12 3
2
3
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x xx x x
xx x
xx x
xx x
+ −−
÷+ ++ +
=+ −− +
⋅+
+ +=
++
=++
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
xx x
x xx
x x xx x
xx x
xx x
x x xx x x
3
2
2
3
2
2
3
2
22
2
12 2 2
7 7 77 7
1 12 1
7 17 1
12 1
1 11 1
21
2
−− +
÷+ +
+
=− + +
− +⋅
++ +
=−− +
⋅ + − + =− +
=−
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )( ) ( )
2 23 3
8 4
23
14 2
112
mx my nx nyx y
m n
m n x yx y m n
− + −−
÷ +
=+ −
−⋅
+=
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )( )
( )( )( )( )
x xx
x xx x
xx x
x xx x
xx
2
2
2
2
2
6 94 1
5 242 17 8
32 1 2 1
2 1 88 3
32 1
− +−
÷+ −+ +
=−
+ −⋅
+ ++ −
=−−
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )
( )( )( )( )
2 7 154
3 404 32
5 2 34
8 48 5
2 3
2 2
3 2
2 2
2 2
2 2
a ab ba a b
a ab ba ab b
a b a ba a b
a b a ba b a b
a ba
+ −+
÷− −− −
=+ −
+⋅
− +− +
=−
EJERCICIO 135
1.1.1.1.1.1 1
2
12
12 2
2 2 22
++
÷ +
⇒ ++
=+ +
+=
++
⇒ + =+
⇒+
+÷
+=
++
⋅+
=+
aa b
ab
aa b
a b aa b
a ba b
ab
b ab
a ba b
b ab
a ba b
bb a
ba b
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
xx
xx
x
xx
x xx
x xx
xx
xx x x
xx
xx x
xx
xx x
xxx
x xx
−+
÷ −
+
⇒ −+
=+ −+
=+ −
+
⇒ −+
=+ −+
=+
⇒+ −
+÷
+=
+ −+
⋅+
=+ −
21 1
21
1 21
21
111 1
21 1
21
1 2
2
2
2 2 2
2
2
2
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
11
12
1
11
1 11
11
11
12
11 2
111
11
11
11
11
11
2
2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
− ++
÷ +
−
⇒ − ++
=− + +
+=
− ++
=+
⇒ +−
=− +
−=
+−
⇒+
÷+−
=+
⋅−+
=−+
aa
a a
aa
aa a a
aa a
a a
aa
aaa
aaa a
aa
aa
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
xx
xx
xx
x xx
x xx
x xx
xx
x xx
x xx
x xx
x xx
x xx
x xx
xx x
x x
x
++
÷ +
+
⇒ ++
=+ ++
=+ +
+=
+ ++
⇒ ++
=+ ++
=+ +
+=
+ ++
⇒+ +
+÷
+ ++
=+ +
+⋅
++ +
=+ +
+=
23
34
23
3 23
3 23
1 23
34
4 34
4 34
3 14
1 23
3 14
1 23
43 1
2 4
3
2
2
2x xx x
2
2
6 86 9
+ ++ +
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
( )
a bb
a bb
a b
a bb
a ba b a b b
a ba b b
a ba
a bb
a ba b b
a ba
a b
aa b
aa b
aa b
a ba
a a ba b
a aba b
+ +−
÷ −
+
⇒ + +−
=+ − +
−=
− +−
=−
⇒ −+
=+ −
+=
+
⇒−
÷+
=−
⋅+
=+
−=
+−
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
1
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
11
21
1
11
22 1
212
1 12
11
1 11
11
1 12
11
1 12
11
1 1
3
3
3
3
3
3
2
3
2
2
3
2
2
3 2 3
−+
÷ +
−
⇒ −+
=+ −
+=
++
=+ − +
+
⇒ +−
=− +−
=− +−
⇒+ − +
+÷
− +−
=+ − +
+⋅
−− +
=+ −
−
xx
x
xx
xxx
x x xx
xx
x xx
x xx
x x xx
x xx
x x xx
xx x
x xx 2
12
2
3=−+
xx
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )( )
xx x
xx
x xx
x xx
xx
xx
xxx
x xx x
xx
x xx x
xx
x xx x
x xx
++
÷ +
−
⇒ ++
=+ ++
=+ +
+=
++
⇒ +−
=− +
−=
−−
=+ −+ −
⇒++
÷+ −+ −
=++
⋅+ −+ −
=+ −
12
13
4
12
2 12
2 12
12
13
44 3
414
1 12 2
12
1 12 2
12
2 21 1
1 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
−=
− −−1
21
2x xx
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( ) ( )
nn
nn
nn
nn
nn n n
nn n n
nnn
nn
nn n n
nn n n
nn
nnn
nn
nn
nn
nn
−−+
÷ + −
−
⇒ −−+
=+ − −
+=
+ − ++
=++
⇒ + −−
=+ − −
=+ − +
=+
⇒++
÷+
=++
⋅+
=
2 12
11
2 12
2 2 12
2 2 12
12
11 1 1 1 1
12
1 12 1
22
2
2
2
3
2
3
2
22 3 3
3
2
3 3
2 3 2 + 2
EJERCICIO 136
1. 1. 1. 1. 1. 3
4
8
9 3
2
3
3 22
2
2
2
2
2
x
y
y
x
z
x
x
z
x
z⋅ ÷ = ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 5 2 5
45 2
52
2 2
2 2ab
ab
xa
ab
abx
a bx
÷ ⋅
= ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
aa
aa
a aa a
aa
aa
a aa a
a aa a
a aa a
+−
⋅−+
÷+
+ −
=+−
⋅−+
⋅+ −
+
=+ −
+=
+ −+
11
3 32 2 2
11
3 12 1
2 11
3 2 12 1
3 3 62 2
2
2
2
2
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( )( )
64 8181
98 9
8 9
9
8 9 8 99 9
98 9
98 9
9 9 81
2 2
2
2 2
2
2 2
2
a bx
xa b
a ab
x
a b a bx x
xa b
xa a b
x xa
xa
−−
⋅−−
÷+
+
=+ −
+ −⋅
−−
⋅+
+
=− +
=−
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
x xx
x xx x
x xx
x xx x
x xx x
xx x x
2
2
2
2
21249
5620
5 245
4 37 7
8 75 4
58 3
17
− −−
⋅− −+ −
÷− −
+
=− ++ −
⋅− ++ −
⋅+
− +=
−
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
a aa a
aa
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a
2
2
2
2
2
2
8 711 30
361
424 5
7 16 5
6 61 1
5 17 6
1
− +− +
⋅−−
÷− −− −
=− −− −
⋅+ −+ −
⋅− +− +
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )
x xx x
x xx x x
xx
x x x xx x
xx x x
xx x
xx
4
2
2
3 2
2 2 2
2
277 30
20 1003 9
1003
3 3 910 3
103 9
310 10
310
−+ −
⋅+ ++ +
÷−−
=− + +
+ −⋅
++ +
⋅−
+ −=
−−
8. 8. 8. 8. 8. ( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )( ) ( )
aa
a aa
xx
aa
a aa
xx
aa
a xa a x
xa x
xax a
2 3 2 2 2
2
13 6 6 12
4 83
13 2
16 2
4 23
13 2
3 2 32 1 2
32 2
32 4
+−
÷+−
⋅+
−
=
+−
÷+
−⋅
+−
=+−
⋅− −
+ +=
−+
=−+
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
8 10 36 13 6
4 93 2
8 14 39 12 4
2 3 4 12 3 3 2
2 3 2 33 2
3 22 3 4 1
2 32 3
4 12 92 3
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
x xx x
xx x
x xx x
x xx x
x xx x
xx x
xx x
x xx x
− −+ +
⋅−
+÷
+ ++ +
=− ++ +
⋅+ −
+⋅
++ +
=−
+=
− ++
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )
( )a b c
a b c
a c ba ab ac
a b ca
a b c a b ca b c a b c
a b c a b ca a b c
aa b c
a a b ca b c
a ab aca b c
+ −
− −⋅
+ −+ −
÷+ +
=+ + + −− + − −
⋅+ + − +
+ −⋅
+ +=
+ +− −
=+ +− −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )a ab b
a ab
ax aab b
a ab b
b b b aa a a x
b bx
b bx
2
2
2
2 2 2
2 25 6 551
311
51
1 1 1111 5 3
13 3
−+
÷+ −
−⋅
++
=
−+
⋅+ − +
+ − +=
−+
=−+
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )
m m n mnm n mn n
m nm mn n
m nm mn n
m m nn m n m n
m n m nm n m n
m nm n m mn n
m m nn m mn n
m mnm n mn n
3 2 2
2 2 3
2 2
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 3
6 92 7 3
48 2
2716 8
33 2
2 22 4
43 3 9
43 9
43 9
+ ++ +
⋅−
− −÷
++ +
=+
+ +⋅
+ −− +
⋅+
+ − −=
+− +
=+
− +
13. 13. 13. 13. 13. ( )
( )( )
( ) ( )( )( )( ) ( )
( )( )
a axa x a a x
a a xa ax x
a xa ax
a axa x a a x
a a x a xa a ax a x a x
a axa a x
a a xa a x a
2 2
2 2 3 2
3 2
2 2
2 2
3 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
12
1 1
−+
⋅+
÷−
+ +⋅
−+
=−+
⋅+
⋅+ +
− + −=
−−
=−−
=
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( ) ( )( )
( )( )( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )
a aa
a
a a
a a
a a
a aa a
a a aa a
a aa a a a
a a a aa
a a a aa
a a
2 2
2
3
2
4 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 23 2
39
27
3 3
9
3
33 3
3 9 33 9
33 3
3 33
3 33
3
−−
⋅−
+ −÷
−
+
=−
+ −⋅
− + ++ +
⋅+
− +=
− ++
=− +
+= −
EJERCICIO 137
1. 1. 1. 1. 1. ( )
( )( )a
ab
bb
ab ab
bb
a bb b
ab
−
−=
−
−=
−+ −
=+1 1
11 1 12
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )x
x
x
xx
xx
x x xx
x x2
3
22
1
11
1
11 1
11
−
−=
−
− =− + +
−= + +
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )
ab
baba
a bab
a ba
a b a bb a b
a bb
−
+=
−
+ =+ −
+=
−
1
2 2
4. 4. 4. 4. 4.
1 1
1 1m n
m n
m n
mnn m
mn
m n
n m
+
−=
+
− =+−
5. 5. 5. 5. 5. ( )x
x
xx
x x
x xx
x
+
−=
+
− = =2
4
22
44
2 33
2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
( )
xy
yxyx
x yxy
x yx
x y x yy x y
x yy
−
+=
−
+ =+ −
+=
−
1
2 2
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )( )
x x
xx
x xx
x xx
x xx x
xx
+ +
− −=
+ +
− −=
+ +− +
=+−
43
45
4 3
4 51 35 1
35
2
2
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
( )a
a
a
a aa
aa
a aa
a− +
−=
− +
− =− −
−= −
44
12
4 4
22 2
22
2
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )( )( )
( )
2
44
1
2
4 44
4 24 4
4 2
2
42
4 42
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
a ba
b
a baba b ab
aa b ab
abb a b ab
a b ab
b a b a b
a b
b a ba b
ab ba b
−−
++
=
− −
+ +
=− −
+ +
=− +
+
=−
+=
−+
10. 10. 10. 10. 10.
23
510
3
10 3
53 10
3
3
5
+
+=
+
+ =
a
b
ab
b a
ba b b
11. 11. 11. 11. 11.
( )
a xx
a x
aa
a xa x x
a xa a x a
a xa
a a x a x
− ++
−+
=
− ++
+ −+
=+ −
=+ −
2
22
2 2 2
3 2 2
2
2 11
1
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )( )( )
a a
a aa a
aa a
aa a a
a a
a aa
a aa
+ −
+ +
=
+ −
+ +
=+ −
+ +
=−
+=
−+
514
18 7
5 14
8 7
7 27 1
21
21
2
2
2
2
2
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )( )
( )
1 9 20
16
9 20
16
5 44 4
54
54
54
2 3
2
3
2
2
2 3 2 3 2
a a a
a a
a aa
aa
a aa a a
aa a
aa a
aa a
− +
−
=
− +
−
=− −+ −
= −−
+= −
−+
=−+
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )
( )( )( )( )
20 7 6
425
4 3 5 2
4 25
4 3 5 22 5 2 5
4 35 2
2
2
2
2
2
x xx
x
x xx
xx
x x xx x
x xx
+ −
−
=
+ −
−
=+ −
+ −
= −++
15. 15. 15. 15. 15.
( )
11
1
11
11 1
11 1
1
1 1
2
2
2
2
+−
+−
=
− +−
− +−
=+
=+
x
xx
xx
x
x xx
xx
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
aab
a b
aab
a b
a ab aba b
a ab aba b
a a ba a b
a ba b
−+
+−
=
+ −+
− +−
=−+
=−+
2
2
2
2
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( )( )
xx
xx
x xx
x xx
x xx x
xx
− −+
+ −+
=
+ −+
+ −+
=+ −
+ −=
++
15
3
535
3
2 83
8 203
4 210 2
410
2
2
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )
aaa
aaa
a a aa
a a aa
a a aa a a
a a aa a a
aa a
a aa a
+ −++
− +−+
=
+ + − −+
− − + −+
=+ − −
+ + −
=+ − ++ + −
=+
+ +=
+ ++ +
27 9
3
45 11
1
5 6 7 93
3 4 5 111
1 2 33 2 15
1 3 13 5 3
13 5
2 18 15
2
2
2
2
2 2
2
EJERCICIO 138
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )
111
11
11
1 11
1 11
2 12
2
2
++−
−−
+
=
− + +−
+ − −−
=+
= +
xx
x xx x
xx x
x
x xx x
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
11
21
2 2 61
1 2 11
2 2 61
3 11 3 5 2
3 11 3 1 2 2
2
2
2
2
x xx
xxx
x xx
x x x xx x
x xx x x
x xx x x
xx x
−+
+−
+++
=
+ + −−
− − + ++
=−
− + −
=−
− − +=
+ −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
aa b
ba b
a ba b
ab
a a b b a ba b a b
b a b a a bb a b
a ab ab ba b
ab b a abb
a ba b
a bb
ba b
−−
++−
+
=
+ − −− +
+ + −−
=
+ − ++
+ + −=
+++
=+
2 2
2 2
2 2
2 2
4. 4. 4. 4. 4.
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )
xx
xx
xx
xx
x x x xx x
x x x xx x
x x x xx x x x
x x x
++
−++
−+
−−+
=
+ + − + ++ +
− + − − ++ +
=+ + − − −+ − − + +
=+
=+
=+
34
12
12
34
3 2 1 44 2
1 4 3 22 4
5 6 5 43 4 6
24 2
22 2 1
12 1
2 2
2 2
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )( )
( )
( )( )
mn
m nm n
m nn
nm
m m n n m nn m n
m m n nnm
m m n m n nm n
m mn nm
m nm n
m mn nm
m n m mn nm n
m mn nm
m mn nm
m mn nm
2 2 2
2 2 2
2
3 2 2 3
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 22 2
+−+
−+
=
+ − −+
− +
=
+ − ++
− +
=
++
− +
=
+ − ++
− +
= − + ⋅− +
=
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
ab a
ab
b aa b
a bab
a a b b b ab a b
a b a ab bab
a ab b abb a b
a b a ab bab
a ba b
a b a ab bab
a ba b a b
a ab bab
2
3
3 3
3
2 2
3
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
1+
−−−
=
+
− − −−
=
+ − +
− − +−
=
+ − +
−−
=+ − +
⋅−
+ −
=− +
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
12
1
22 21
1 21
2 1 2 21 1
2 12 2 2 2
1
12 1
1 1
1 1 12 1
1 12
2 1 122 2 1
21
2
5
4
2
2
4 5
2 2
2
5 5
2
2
2
2
2
2 3 2
2
++
++
−
=
+ ++
− + ++ −
=+ +
− + +−
=+
++ −
=+ ⋅ + −
+
=+ −
=+ + −
=− + − + −
=+ −
xx
xx
xx x
xx x x
x x
x xx x x
x
xx
x x
x x xx
x x
x x x
x x x x x
x x − x3
2
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( )
x yx y
x yx y
x yx
x yx y
x y x yx y x y
x y x x yx x y
x xy y x xy yx y
x xy y x xyx
xyx yyxxy
x yxy
xy x y
xxy y
+−
−−+
+−
++
=
+ − −− +
+ − ++
=
+ + − + −−
+ + − −
=−
=−
⋅ =−
=−
2
2
2 2
2 2
4
4 4 4
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )
a xa x
b xb x
a x b x
a x b x b x a xa x b x
b x a xa x b x
ab ax bx x ab bx ax xb x a x
bx axb a
x b ab a
x
+−
−+−
−−
−
=
+ − − + −− −
− − −− −
=− + − − + − +
− − +
=−−
=−
−=
2 2
2 2
2 2 2 2
2 22 2
22
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( ) ( )( )( )
aa x
aa x
aa x
aa x
a aa x
a a x a a xa x a x
a
a ax a axa x
a
aa x
a a xa
a xa
+−
+
−+
+
=
−+
+ + −− +
=+ + −
−
=
−
= ⋅−
=−
2 22
2
2
22 2 2 4
2 2
2 2
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )( )
( )( )( )
a ba b
ba
a ba
ba b
a a b b a ba a b
a b a b aba a b
a ab ab ba b ab
a ab ba ab b
+−
+
++
−
=
+ + −−
+ − +−
=+ + −
− +
=+ −+ −
=
2
3
2
3
23
33
1
2 2
2 2
2 2
2 2
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )
( )( )( )( )
( )( )
( )
17 12
16
7 12
16
4 3
4 4
4 3 14 4
34
34
2
2
2
2
2
− +
−
=
− +
−
=
− −
− +
=− −
⋅− +
=−+
=−+
x x
xx
x xx
xx
x xx
x x
x xx x x
xx x
xx x
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( )
ab
ba
b aba
a bab
a ab ba b
a ba ab b
a
a b a ab ba
a ab b
a a b a ab
2 2
2
3 3
2 2
2
3 3
2 2
2 22 2
2
1 1
−
+ +
=
−
+ +
=−
+ +
= − + + ⋅+ +
= − = −
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
x yy
x y
x yy
x y
x y x y yx y
x y x y yx y
x xy yx xy y
x y x yx y x y
x yx y
− −+
− −+
=
− + −+
− + −+
=− −− −
=− +− +
=−−
24
35
2 4
3 5
62 8
3 24 2
34
2
2
2
2
2 2
2 2
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
21
21
21
21
2 1 2 11 1
2 1 2 11 1
2 2 2 22 2 2 2
44
1
−+
+
+−
−
=
+ + −− +
− − ++ −
=+ + −− − −
= − = −
a a
a a
a aa a
a aa a
a aa a a a
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
( )( )
1 1
1 1
22
1
x y z x y z
x y z x y zx y z x y zx y z x y zx y z x y zx y z x y z
yy
+ +−
− +
− +−
+ +
=
− + − − −+ + − ++ + − + −− + + +
=−
= −
17. 17. 17. 17. 17. 1
2
12
2
2
+ +− −
− −− +
=
− − + +− −
− + − +− +
=
+− −
+− +
=+
− −⋅
− ++
=− +− −
b c
a b cc b
a b c
a b c b c
a b ca b c c b
a b c
a b
a b ca b
a b c
a b
a b c
a b c
a b
a b c
a b c
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )
( )( )
aa
aa
aa
aa
a aa a
a aa a
a a aa a a
a aa
11
11
11
11
1 21 2
2 2 11 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
−+
−
−−
−
=
+ −−
− −−
=+ − +
− + −=
− +−
19. 19. 19. 19. 19.
( )
( )
xxx
x
xxx
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
+ −++
−
− +−−
+
=
+ −+
+−
− +−
−+
=
−−++
=
16 12
25
411 22
27
16 2
25
411 2
27
5577
1
20. 20. 20. 20. 20.
1
11
11
11 1+
= + = ⋅+
=+
x
x
x
x
x
x
x
21. 21. 21. 21. 21. 1
11
11
1
11
1
1
11
11
1
12 1
1
11
2 1
1
2 1
+−
=+ −
=+
−
= − +−
= −−
= ⋅−−
=−−
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
22. 22. 22. 22. 22. 11
21
31
11
21
3
3
11
23
3
11
2 3
3
13
2 3
2 3 3
2 3 2 3
−+
−
= −+ −
= −+
−
= − −−
= −−−
= − − +−
=−
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
23. 23. 23. 23. 23. 2
12
12
2
12
2
2
12
2
22 2
2
23 2
2
22
3 2
2 4
3 2
++
=+ +
=+
+
= + ++
= ++
= ⋅ ++
= ++
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
24. 24. 24. 24. 24. 1
1
1
1
1
1
1
1 11
2
2 2
2
2 2
xx
xx
x
xx
x x x
x
xxx
x
xx x
x
x x x
x
x
x
−−
+
=−
+ −+
=−
+
=− +
=− −
= − = −
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )( )
( )( )
1
211
1
211
1
21
1 1
1
21
12 1
1
121
112
12
2
2 2 2
aa
a a
aaa
a
aa a
a aa
aa
a a aa
a a aa
aa
aa
+ −+
−
=+ −
+−
=+ −
++ −
=+ −
−
=+ − −
−
=+ − −
−
= ⋅−−
=−−
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )x
xx
xxx
x
xx
x x xx
x
xxxx
x
xx x
x
xx x
x−
+ −+
−−+
=−
+ −+
+ − ++
=−
+ −+++
=−
+ −+ +
+
=−
+ − −= −
1
2221
1
22
21
1
2221
1
22 1
2
12 1
12 2
2
2
2
2
2
EJERCICIO 139
1. 1. 1. 1. 1. x
xPara x
−+
→ −+
= =2
32
2 2
2 3
0
50
2. 2. 2. 2. 2. x
xPara x
−−
→ −−
= = ∞2
33
3 2
3 3
1
0
3. 3. 3. 3. 3. x a
x aPara x a
a a
a a a
2 2
2 2
2 2
2 2 2
0
20
−+
→−+
= =
4. 4. 4. 4. 4. x y
x yPara x y
y y
y y
y2 2
2 2
2 2
2 2
22
0
+−
→+−
= =∞
5. 5. 5. 5. 5.
x
x
Para x−
−
→ −
−
= =∞
=1
3
2
22 1
3
2 2
13
0
10
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( )( )
xx x
Para x
x xx x
xx
2
2912
3
3 34 3
34
3 33 4
67
−+ −
→
+ −+ −
=++
=++
=
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )( )
a aa a
Para a
a aa a
aa
2
26
2 153
3 25 3
25
3 23 5
58
− −+ −
→
− ++ −
=++
=++
=
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( ) ( )( )( )( )( )
x xx x x
Para x
x xx x x
x xx x
xx
2
3 2
2
2 2
7 102 2
2
5 22 2
5 21 2
51
2 54 1
33
1
− +− − +
→
− −− − −
=− −− −
=−−
=−−
=−
= −
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )( )
x xx x x
Para x
xx x x
xx x
xx x x
xx x
2
3 2
2
2
2
2
2
2 2
2 12 2
1
12 2
11 2
11 1 2
12
1 11 1 2
02
0
− +− − +
→
−− − −
=−
− −
=−
− + −=
−− −
=−
− −=
−=
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )( )( )
aa a
Para a
a a aa a
a aa
3
2
2 2 2
811 26
2
2 2 413 2
2 413
2 2 2 42 13
1215
45
−+ −
→
− + ++ −
=+ +
+=
+ ⋅ ++
= =
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )
( )x xx x
Para xx x
x
xx
2
2 27 62 1
16 1
1
61
1 51 1
40
− +− +
→− −
−=
−−
=−−
=−
= ∞
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
x xx x
Para x
x x
x x x
x x
x x x
x xx x x
xx x
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3 27 6
2
3 2 1 0 3 2 22 4 2
1 2 1 0
2 2 1
7 6 1 0 7 6 22 4 6
1 2 3 0
2 2 3
2 12 2 3
12 3
2 12 2 2 3
95
− −− +
→
− − = − −
⇒ − + +
− + = −−
−
⇒ − + −
− +− + −
=+
+ −=
++ ⋅ −
=
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )
xx x x
Para x
x xx x x
x xx x
xx
2
3 2
2 2 2 2
164 4
4
4 44 4
4 41 4
41
4 44 1
815
−− − +
→
− +− − −
=− +− −
=+−
=+−
=
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )( )
4 4 14 8 5
12
2 12 5 2 1
2 12 5
212
1
212
5
1 11 5
06
0
2
2
2
x xx x
Para x
xx x
xx
− ++ −
→
−+ −
=−+
=⋅ −
⋅ +=
−+
= =
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( ) ( )( )
8 6 14 12 15 4
12
8 6 1 8 6 8 8
8 4 8 2 2 1 4 1
4 12 15 4 4 12 15 4 416 16 4
4 4 1 0
4 4 4 1 4 2 1
2 1 4 1
2 1 4
4 12 1 4
412
1
21
2
3 2
2 2
3 2
2 2
2
x xx x x
Para x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x
x xx
x x
− ++ − +
→
⇒ − + = − +
= − − = − −
⇒ + − + = − −− −
−
= + − + = + −
⇒− −
− +=
−− +
=⋅ −
⋅2
112
4
10−
+
= = ∞
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
( )( )( )( )
( )( )
x xx x x x
Para x
x x
x x x
x x x x
x x x x
x x xx x x x
x xx x x
3
4 3 2
3
2
4 3 2
3 2
2
3 2
2
3 2
9 1011 9 18
2
9 101 0 9 10 2
2 4 10
1 2 5 0 2 2 5
11 9 181 1 11 9 18 2
2 2 18 18
1 1 9 9 0 2 9 9
2 2 52 9 9
2 59 9
− +− − + +
→
⇒ − +−
−
− = − + −
⇒ − − + +− −
− −
− − = − + − −
⇒− + −
− + − −
=+ −
+ − −=
2 2 2 52 2 9 2 9
315
15
2
3 2
+ ⋅ −+ − ⋅ −
=−
= −
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )
x ax a
Para x a
x a x ax ax a
x ax a a a a a
3 3
2 22 2 2 2 2 23
−−
→
− + +−
= + + = + + =
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )
a ab ba ab
Para b aa b
a a ba b
aa a
a
2 2
2
22
0− +
−→
−−
=−
=−
=
19. 19. 19. 19. 19.
( )( )( )
x yxy y
Para y x
x y x yy x y
x yy
x xx
xx
2 2
2
22
−−
→
+ −−
=+
=+
= =
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )( )
x aa x a
Para x a
x a x ax aa x a
x ax aa
a a aa
aa
3 3
2 3
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2
23
3
−−
→
− + +−
=+ +
=+ +
= =
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )( )( )( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
x xx x x
Para x
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x xx
3
3 2
3
2
2
3 2
2
2
2
2
3 22 6 6 2
1
3 21 0 3 2 1
1 1 2
1 1 2 0 1 2
1 2 1
1 2
2 6 6 22 6 6 2 1
2 4 2
2 4 2 0 1 2 4 2
1 1 2 2
1 2 2
1 2
1 2 2
− +− + −
→
⇒ − +−
−
− = − + −
= − + −
= − +
⇒ − + −− −
−
− = − − +
= − − −
= − −
⇒− +
− −=
+−
=+
⋅ −= = ∞
22 2
1 22 1 2
30x
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )
( )( )( )( )( )( )( )
x x x xx x x x
Para x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
2
7 63 3 11 6
3
7 61 1 7 1 6 2
2 6 2 6
1 3 1 3 0
2 3 31 3 1 3 1
1 2 3
1 2 3 0
2 1 2 3
2 1 3 1
− − + +− − + −
→
⇒ − − + +− − −− −
− −
+ − − +− −
− −
− −
= + − − −
= + − − +
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
⇒ − − + −− − − −− −
− −
= + − + −− −
−
−
= + − − +
= + − − −
⇒+ − − ++ − − −
=+−
=+−
= =
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x xx x x x
xx
4 3 2
3 2
2
3 3 11 61 3 3 11 6 2
2 10 14 6
1 5 7 3 0
2 5 7 31 5 7 3 1
1 4 3
1 4 3 0
2 1 4 3
2 1 3 1
2 1 3 12 1 3 1
11
3 13 1
42
2
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
3 5 4 42 3 8 4
2
3 5 4 43 5 4 4 2
6 2 4
3 1 2 0
2 3 2
2 3 8 41 2 3 8 4 2
2 8 10 4
1 4 5 2 0
2 4 5 21 4 5 2 2
2 4 2
1 2 1 0
2 2 2 1
2
3 2
4 3 2
3 2
2
4 3 2
3 2
2
x x xx x x x
Para x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
− − ++ − − −
→
⇒ − − +− −
−
−
= − + −
⇒ + − − −− − −
− + + +−
− − −
= − + + +
⇒− ( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
3 2
2 2 1
3 2
2 1
3 2 2 2
2 2 2 1
1236
13
2
2
2
2
2
2
x x
x x x
x x
x x
+ −
− + +
=+ −
+ +
=⋅ + −
+ += =
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )
x xx x x x
Para x
x x x x
x x x x
2
4 3 2
2
4 3 2
5 42 9 2 8
1
5 4 1 4
2 9 2 81 2 9 2 8 1
1 1 10 8
1 1 10 8 0
− +− − + +
→
⇒ − + = − −
⇒ − − + +− −
− − −
− − −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
24. 24. 24. 24. 24. ( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )
x x x x
x x x x
x xx x x x
x x
− − − −− − −
= − − + +
⇒− −
− − + +
=+ +
=+ ⋅ +
=
1 10 81 1 10 8 4
4 12 8
1 3 2 0
1 4 3 2
1 41 4 3 213 2
11 3 1 2
16
3 2
2
2
2 2
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )
( )( )( )
( )
x x xx x x x
Para x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
5 3 2
5 3 2
5 3 2
4 3
3
5 3 2
4
4 8 323 10 4 40
2
4 8 321 0 4 8 0 32 2
2 4 0 16 32
1 2 0 8 16 0
2 2 8 161 2 0 8 16 2
2 0 0 16
1 0 0 8 0
2 2 8
3 10 4 401 0 3 10 4 40 2
2 4 2 24 40
1 2 1 12 20 0
2 2
− + −− + − −
→
⇒ − + −− −
− + + +−
− −
= − + +
⇒ − + − −− − −
− +( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
3 2
3
2 2
3
2 2
3
2
3
2
12 201 2 1 12 20 2
2 0 2 20
1 0 1 10 0
2 2 101 0 1 10 2
2 4 10
1 2 5 0
2 2 2 5
2 2 8
2 2 2 5
82 2 5
2 82 2 2 2 2 5
1620
45
+ + +−
− − −
− + + +−
− −
−
= − + − +
⇒− + +
− + − +
=+
+ − +
=+
+ − ⋅ += =
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
xx x x
26. 26. 26. 26. 26.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
8 6 912 13 3
34
8 6 8 7212 13 12 36
8 12 8 612 9 12 4
2 3 4 34 3 3 1
2 33 1
234
3
334
1
9254
3610
185
2
2
2
2
x xx x
Para x
x xx x
x xx x
x xx x
xx
+ −− +
→
⇒+ −− +
=+ −− −
=+ −− −
=+−
=⋅ +
⋅ −= = =
27. 27. 27. 27. 27.
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
x x xx x
Para x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x
x x
x
3 2
4 2
3 2
2 3
4 2
3 2
2
2 2
6 12 88 16
2
6 12 81 6 12 8 2
2 8 8
1 4 4 0
2 4 4 2
8 161 0 8 0 16 2
2 4 8 16
1 2 4 8 0
2 2 4 81 2 4 8 2
2 8 8
1 4 4 0
2 4 4
2 2
+ + +− +
→ −
⇒ + + +−
− − −
= + + + = +
⇒ − +− −
− −
− −
+ − − +− − −− −
−
= + − +
= + −
⇒+( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 22
2
2 2
2 2
016
0
3
2 2
2 2
x xxx
+ −
=+
−=
− +
− −= =
28. 28. 28. 28. 28.
( ) ( )
( )( )( )( )
9 3 3 127 1
13
3 3 1 3 127 1
3 1 3 13 1 9 3 1
3 19 3 1
313
1
913
313
1
433
49
3 2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
x x xx
Para x
x x xx
x xx x x
xx x
+ + ++
→ −
=+ + +
+
=+ +
+ − +
=+
− +
=−
+
−
− −
+
= =
29. 29. 29. 29. 29. ( )( )
( )( )1
13
11
1 31
21
1 21 1
21
1 21 1 1
33
13
2
3
2
3 2 2 2x xPara x
x xx
x xx
x xx x x
xx x−
−−
→+ + −
−=
+ −−
=− +
− + +=
++ +
=+
+ += =
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x xx
Para x x xxx
x x2 3 10 11
22 5 2
12
5 1 2 5 2 1 7+ − +−
→ + −
−−
= + − ⇒ + − =
EJERCICIO 140
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
12 31 2018 21 4
12 31 12 24018 21 18 72
12 16 12 1518 24 18 3
3 4 4 53 4 6 1
4 56 1
2
2
2
2
x xx x
x xx x
x xx x
x xx x
xx
+ ++ −
=+ ++ −
=+ ++ −
=+ ++ −
=+−
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )( ) ( )
1 2 12
2 1
2 1 2 2 1
11 1
11
1
2 3
2
3
2
2
3 2 3 2
a a aa
aa
a aa
a a aa
aa
aa a
aa a
aa a
+ +
÷ + −
+
=+ +
÷
+ − −
=+
⋅+ −
=+
−=
+−
3. 3. 3. 3. 3.
( )( ) ( )( ) ( )
x x xx x
x x xx x
x xx x x x x x
3 2
5 2
2
2 3
2
2
3 927
3 927
3 93 3 9
13
+ +−
=+ +
−=
+ +− + +
=−
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )
( ) ( )
x yy
x x yxy
x x y x x yxy
x x y xy x x y xyxy
x yxy
x
+−
−
=+ − −
=+ + − + −
= =
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2 22 2 44
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
a b a b ba a b b
a b a b a ba b a b
a a b b b aa b a b
a b a ba b a b
a ba b
4 3 2
4 2 2
4 3 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 22
2 22
22
22
− + −− −
=− + −
− +
=+ − +
− +=
− +− +
=++
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
( )( )
aa
aa a a
aaa
a a aa
aaa
a a aa
aa
a a aa
aa
a a
++
−=
− + +−
=+−
=+ − +
−
−++
=+ − −
+=
−+
⇒+ − +
−⋅
−+
= − +
1 55
5 1 55
15
1 15
51
51
51
1 15
51
1
2
3
2
3
2
2
2
2 2
2
2
22
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )x x
xx
x x x xx
x x xx
xx
xx
xx x x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
23
2 3
3 3
2
2 2
5 4295
5 5 4 295
29 20 295
49 295
34170
5
29 170 1705
295
49 295
295
49 295
529
49 2929
+ − −−−
=− + − − +
−
=− + − +
−=
−−
+ +−−
=+ − + −
−=
−
⇒−−
÷−
=−−
⋅−
=−
8. 8. 8. 8. 8. 4 5
3
4
3
5
3 3
4
3
5
3 3
2 2 2 2 2x xy y
x
x
x
xy
x
y
x
x y y
x
− + = − + = − +
9. 9. 9. 9. 9. m n x
mnx
m
mnx
n
mnx
x
mnx nx mx mn
− −= − − = − −
1 1 1
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
x xyx y
x xy
x x yx y
x x y
x x y x yx y
x x y x x y x x y
3 22
2 2
−−
= +
⇒−
−= +
⇒+ −
−= + ⇒ + = +
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
x xx xx
xx
x x x xx
x x xx
x x x x xx
x x
x x xx
x x
x x xx
x x x x x x
22 3
2 2
3 2 22
3 22
22 2 2
2 19 3
311
1 3 3 33
1 11
5 7 3 9 33
1
2 2 33
1
3 13
1 1 1
− + −−−
=−−
⇒− − − −
−=
− + +−
⇒− + − − +
−= + +
⇒− − −
−= + +
⇒− + +
−= + + ⇒ + + = + +
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )( )( )( )( )
( )( )
a aa a a
aa
a
a a a aa a a
a a aa
aa a
aa
a aa
a a
4 2
3 2
2
2
5 44 4
32 42 1
2 1 2 12 1 2
2 5 3 2 42 1
12 1
2 11
2 1 12 1
1 1
− ++ − −
= − ++
+
⇒− − + +
− + +=
− − + ++
⇒ − =− −+
⇒ − =+ −
+⇒ − = −
13. 13. 13. 13. 13.
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2
2
2 2 2 2
4 2
2 2
3 3 2 2 2 2
3 3
3 3 3 2 2 3 3 2
3 3
3 2
3 3
a b a ba
a ab b
a b a b a ab b a a ba b a b
a b a a b ab b a aba b a b
a a ba b a b
−+
++
− +
=+ + − − + + −
+ −
=+ + − + − + −
+ −
=−
+ −
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
aa
aa
aa
a
a a aa
a a aa
a a aa
a a aa
aa
aa a
2
2
4
4
3
2
2 2 4
4
2 3
2
2 4 4
4
2 3 3
2
2
4
2
2 2
1 11
1
11
1 1
11
11 1
1
−−
−
⋅ − +
+
=+ −−
⋅
− + +
=+ −
−
⋅
− + +
=−
⋅+
=−
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
xx x
xx x
a x ax x a x a x
x xx x
x xx
a x xx x
xa x
xx
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
912
33
162 7 3
2 1
3 34 3
33
4 43 2 1
2 1 4
−− −
÷−+
⋅
−+ +
⋅ +
=+ −− +
⋅+
−
⋅
− ++ +
⋅+
=
+
16. 16. 16. 16. 16.
( )( ) ( )( )( )
( )( )
( )
3 12 46 25 4 4
3 12 43 1 12 4 2
6 14 4
3 7 2 0
2 3 7 2 2 2 3 1
6 25 4 46 1 25 4 4 2
12 22 6 4
6 11 3 2 0
2 6 11 3 26 11 3 2 2
12 2 2
6 1 1 0
2
3 2
4 3 2
3 2
2
4 3 2
3 2
x x xx x x x
x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
− − ++ − − +
⇒ − − +− − −− −
−
= + − + = + − −
+ − − +− − −
− −
− −
+ − − +− −
−
−
= − ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )
+ + −
= − + + −
⇒+ − −
− + + −=
+
2 6 1
2 2 2 1 3 1
2 2 3 12 2 2 1 3 1
12 1
2x x
x x x x
x x xx x x x x
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( ) ( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )
16 8172 5 12
4 9 4 972 5 72 864
4 9 4 972 32 72 27
4 9 4 99 4 8 3
4 9 4 94 9 8 3
9 48 3
2
2
2
−− −
=− +
− −
=− +− +
=− +
− += −
− +− +
= −++
xx x
x xx x
x xx x
x xx x
x xx x
xx
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
1 22
33 2 3
65 6
5 6 2 3 3 25 6
3 2 65 6
5 6 2 6 3 65 6
5 63 2 6
2 5 6 1
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
x x xx
xx
x x x
x x x x x xx x x
x x x xx x
x x x x x xx x x
x xx x x x
x xx
−+
++
÷
++
++
+ +
=+ + − + + +
+ +÷
+ + + ++ +
=+ + − − + +
+ +⋅
+ ++ + + +
=+ +
⋅2 5 6
12x x x+ +
=
19. 19. 19. 19. 19.
( )
( )( )
( ) ( )
( )
baba
ba ba ba b
ba
a ba
a b ba b
a b a ba b
a ba a b
aa ba ba b
a ba a b
aa b
a b a a ba a b
a b a a ba a b
aa a b
aa b
1
1
23
2 2 3
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 3 2
2 2
3
2 2
2
2 2
−+
+−
−−−
=−
+
− +−
− − +−
=−
+−+−
=−
++
=+ −
−=
+ −−
=−
=−
20. 20. 20. 20. 20.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
13
364
136
14
13
6 6 2 2 136
14
6 63
2 236 4
6 6 2 23 6 6 2 2
13
2
2
2 2
2 2
2
2
xx
xx x
xx
xx x
xx x
x xx
xx
x xx
x xx
xx
xx
x x x x xx x x x x
−÷
−
⋅
−⋅
−
=+ −
⋅+ −
⋅
−⋅
−
=+ −
⋅+ −
⋅−
⋅−
=+ − + −+ − + −
=
21. 21. 21. 21. 21. ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
32
55
12
3 14 104 4
3 5 5 2 2 5
2 53 14 10
2
3 15 5 20 20 7 105 3 14 10
9 42 305 3 14 10
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
aa b a b a b
a ab ba ab b
a a b a b a b a b
a b a ba ab b
a b
a ab a ab b a ab ba b a ab b
a ab ba b a ab b
−+
−+
−
− +− +
=
− + − + − −
− −− +
−
=− + − + + − +
− − +
=− +
− − +( )
( )( )=− +
− − +=
−3 3 14 105 3 14 10
35
2 2
2 2
a ab ba b a ab b a b
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
xx
xx
xx
xx
xa b
xa b
x xx
x xx
xa b
a bx
x x x xx x x x
xx
xx
xx
+−
−−+
−+
++−
⋅+−
÷−
=
+ − −−
− + +−
⋅+−
⋅−
=+ + − + −− + + + +
⋅+
=+
⋅+
=
11
11
11
11
12 2
2
1 11
1 11
12 2
2 1 2 12 1 2 1
14
42 1
14
12
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
13 9
16 12
1
2 3
1
69
13 3
16 2
1
2 3 6 9
2 3 2 3 3 2 6 2
6 3 2
2 2 12 6 9 3 6 6 12
6 3 2
7 13 27
6 3 2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
x x x xx
x x x
xx x
x x x x x
x x
x x x x x x x
x x
x xx x
−−
+−
−+
− +
=−
−+
−−
+− +
=− + − − − + + +
− +
=− − − + − − − + +
− +
=+ −
− +
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )
( )( )
a ba ba b
a ba b
a b
bba
a b a bb
a b a ba b
a b a ba b
ab ba
a b b a bb
aa bb
a b
b a ba
a b ab
a a bb a b
b a ba a b
ba
− +++
+ −−−
⋅+
−⋅
+−
=
− + ++
− − +−
⋅
+
−⋅ + −
=+
−
⋅
+
−⋅ =
−+
⋅+−
⋅ =
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
21
12
21
2
21
22
21
EJERCICIO 141
1. 1. 1. 1. 1.
( )
xx
x x
x xx xx x
x
x
x
65
13
306
1 33
30 2 1 330 2 66 2 307 28
2874
+ = −
⇒+
=−
+ = −+ = −+ = −
= −
=−
= −
2. 2. 2. 2. 2. 3
5
2
3
1
50 15
9 10 3 0
3
3
x xmcm
x x
x
x
− + = =
− + =− = −
=
3. 3. 3. 3. 3. 1
2
1
4
1
10
1
520
10 5 2 4
5 4 10 2
8
x xmcm x
x x
x x
x
+ − = =
+ − =− = − +
= −
4. 4. 4. 4. 4. x x x
mcm
x x x
x x x
x
x
x
22
12 6
5
412
6 24 2 15
6 2 15 24
3 39
39
313
+ − = − =
+ − = −− − = − −
= −
=−
= −
5. 5. 5. 5. 5. 3
4
1
52
5
4
3
2020
15 4 40 25 3
55 3 25 4
58 29
29
581
2
xx
xmcm
x x x
x x
x
x
x
− + = − =
− + = −+ = +
=
=
=
6. 6. 6. 6. 6. 2
3
5 7
10
3
21 30
20 150 21 45 30
130 45 51
85
515
3
x x xmcm x
x x
x
x
x
− = − + =
− = − +− + =
−=
−=
7. 7. 7. 7. 7. x
mcm
x
x
x
−− = =
− − =− =
=
4
35 0 3
4 15 0
19 0
19
8. 8. 8. 8. 8. xx x
mcm
x x x
x x
x
x
− + = =
− − =− =− =
= −
2
12
5
212
12 2 30
11 30 2
19 2
2
19
9. 9. 9. 9. 9. xx
x mcm
x x x
x x
x
x
x
−−
= − =
− + = −− − = − −
− = −
= −−
=
5 1
34
3
515
15 25 5 60 9
10 60 9 5
70 14
14
70
1
5
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )
108 3
42 3 4
40 8 3 8 340 8 8 24 3
40 16 2727
2498
xx
x mcm
x x xx x x
x x
x
x
−−
= − =
− + = −− = − −
− = −
=−
= −
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )
x x xmcm
x x xx x x
x xx
x
−−
−=
−=
− − − = −− − + = −
− = − −− = −
=
23
34
45
60
20 2 15 3 12 420 40 15 45 12 48
5 12 48 57 53
537
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
mcm
x x x xx x x x
x xx x
x
x
−−
−−
−= −
−
=
− − − − − = − −− − + − + = − +
− + = − +− + = −
=
=
12
23
34
55
60
30 1 20 2 15 3 12 530 30 20 40 15 45 12 60
5 55 12 605 12 60 55
7 557
13. 13. 13. 13. 13. ( )( ) ( )
x xx
mcm
x x xx x x
xx
x
x
− − −−
= =
− − − − =− + − + =
− + =− =
=−
= −
5 17 5
101 10
10 10 5 1 7 5 1010 50 10 7 5 10
35 3 1035 7
735
15
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( ) ( )
25 6
413
5 5
12
24 3 5 6 4 5 6024 15 18 4 20 60
13 2 6013 60 2
273
xx
x x
mcm
x x x xx x x x
x xx x
x
−−
+ − = −
=
− − + − = −− + + − = −
− = −+ =
=
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )4
10 16
416 3
412
48 2 10 1 48 3 16 348 20 2 48 48 9
20 46 920 55
5520
114
−+
= −+
=
− + = − +− − = − −
− + = −− = −
=−−
=
xx
xmcm
x x xx x x
xx
x
x
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
12
1 313
316
6
3 1 6 3 2 3 13 3 6 18 2 6 1
3 15 2 75 8
85
x x x mcm
x x xx x x
x xx
x
− − − = + + =
− − − = + +− − + = + +
− + = +− = −
=
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
6 13
11 29
14
5 256
6 1 36
12 6 1 4 11 2 9 5 2 30 6 172 12 44 8 45 18 180 30
17 38 180 30197 8
8197
x xx x mcm
x x x xx x x x
x xx
x
+−
−− − = + =
+ − − − − = ++ − + − + = +
− + = +− = −
=
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
4 13
13
4 113 2
612
3 6
2 4 1 2 4 1 13 2 3 38 2 8 2 13 2 3 9
2 6 58 585
xx
xx mcm
x x x xx x x x
xx
x
+= − −
+− − =
+ = − − + − −+ = − − − − +
= − −= −
− =
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
25
5 13
1010 3
12
265
10
4 5 1 3 10 3 5 2 1220 4 30 9 5 10 12
50 13 5 10 1250 13 5 2
55 1115
x x x mcm
x x xx x x
x xx x
x
x
− + − = − − − =
− + − = − − −− + − = − + −
− = − + −− = − −
=
=
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( ) ( ) ( )
3 12
5 43
28
2 35
110
120
60 3 1 40 5 4 15 2 24 2 3 12180 60 200 160 15 30 48 72 12
35 250 48 8483 166
2
x x x x
mcm
x x x xx x x x
x xxx
−−
+−
+=
−−
=
− − + − + = − −− − − − − = − −
− − = −− =
= −
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( ) ( ) ( )
7 13
5 22
4 34
1 43
12
4 7 1 6 5 2 3 4 3 4 1 4
28 4 30 12 12 9 4 168 30 9 4
17 342
2
2
2 2 2
x xx
x xx
mcm x
x x x x x x
x x x x x xx x
xx
−−
−=
−+
+
=
− − − = − + +
− − + = − + +− = − +
==
22. 22. 22. 22. 22. ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 73
2 45
4 615
7 63
15
5 2 7 6 4 4 6 5 7 6
10 35 6 24 4 6 35 3030 30
30301
2 2 2
2
2
2 2 2 2
3 2 3 3 2
x xx
xx
xx
mcm x
x x x x x x x
x x x x x x xx
x
x
+−
−−
−=
+
=
+ − − − − = +
+ − + − + = +=
=
=
23. 23. 23. 23. 23.
( ) ( )
23
15
34
63
60
8 1 15 68 8 15 90
8 15 90 87 98
987
14
x xmcm
x xx x
x xx
x
x
+
=
−
=
+ = −+ = −
− = − −− = −
=−−
=
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( ) ( )
35
2 16
43
3 24
15
23
15
0
60
6 2 1 20 3 2 4 2 12 012 6 60 40 4 8 12 0
52 26 02652
12
x x x
mcm
x x xx x x
x
x
−
−
+
−
−
+ =
=
− − + − − + =− − − − + + =
− − =
= − = −
25. 25. 25. 25. 25.
( )
103 5
63 2
460 3 5
64712 8
24
4 55 3 94 3220 12 94 312 3 94 220
9 126126
914
1112−
+= −
⇒− −
= − =
− = −− = −
− + = −− = −
=−−
=
xx
x xmcm
x xx x
x xx
x
x
26. 26. 26. 26. 26.
( )
9 2 71 1
2
12
22
9 2 72
22
4114
9 2 72
213
44
36 8 14 2 1336 8 28 14 13
50 36 1349 49
1
34x x
x
x
x xx x
xx x
mcm
x x xx x x
x xxx
− − −
=
++
⇒ − −−
=
++
⇒ − −−
=
+=
− − − = +− − + = +
− = +==
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( ) ( )
38
710
12 516
2 320
4 94
780
0 160
60 112 10 12 5 8 2 3 40 4 9 14 060 112 120 50 16 24 160 360 14 0
84 336 084 336
336844
x x x xmcm
x x x xx x x x
xx
x
x
− −−
−−
++
+ = =
− − − − − + + + =− − + − + + + + =
+ == −
=−
= −
28. 28. 28. 28. 28. ( ) ( )( ) ( ) ( )
54
317
20 2 124
3468
85 12 20 68 2 1 2 2485 12 240 136 68 2 48
63 308 2 4865 260
26065
4
xx x
xmcm
x x x xx x x x
x xx
x
x
− − − − =+
=
− − − − = +− + − + = +
− + = +− = −
=−−
=
29. 29. 29. 29. 29.
( ) ( )
54
13
22
23
14
1053
204
13
42
23
14
30 53
204
46
23
30 512
12
3 20 2 4 8 30 560 3 8 2 8 30 560 3 7 30
10 303
+ = −
− + −
⇒+
=−
− +
−
⇒+
=−
− +−
=
+ = − − + −+ = − − + −+ = − +
= −= −
x x x
x x x
x x x
mcm
x x xx x xx xxx
30. 30. 30. 30. 30. ( )
( ) ( ) ( )
5 212
49
2236
3 20812
20 318
36
15 2 16 22 108 720 3 8 2 20 315 30 6 108 720 24 3 40 6
16 24 117 784101 808
8
x xx
x xmcm
x x x x xx x x x x
x xxx
++ −
−= − −
−−
−=
+ + − + = − − − − −+ − + = − − + − +
+ = −− = −
=
31. 31. 31. 31. 31.
( ) ( )
32
13
72
62
33
72
6
3 6 2 3 42 318 3 6 2 42 3
12 42 32 30
15
−
− −
= − −
⇒−
−−
= − =
− − − = −− − + = −
− = −==
x xx
x
x x xmcm
x x xx x x
x xxx
32. 32. 32. 32. 32. ( )( )x x x xx
x
x xx x
x x
xmcm
xx
x
+ − − − = −
− −
⇒ − − − = −−
⇒ − =− +
⇒ − =− +
=
− = − +− = −
=
3 354 5
334
954
45
12 34
414
16 60 1520
414
44 1520
20
205 44 15220 44
5
2
2 2
33. 33. 33. 33. 33.
( ) ( )
2 23 1
823
26
14
216 3 1
82 4
1814
72
144 9 13 1 4 2 4 18144 117 9 8 16 18
27 9 8 219 7
719
x xx x
xx x x
mcm
x x xx x x
x xx
x
− −−
=
+
−
⇒ −− +
=+
− =
− + = + −− − = + −
− = −=
=
EJERCICIO 142
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
35
32 1
0 5 2 1
3 2 1 15 06 3 15 0
6 122
+−
= = −
− + =− + =
= −= −
xmcm x
xx
xx
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
24 1
34 1
16 1
2 4 1 3 4 18 2 12 3
4 554
2
x xmcm x
x xx x
x
x
−=
+= −
+ = −+ = −
− = −
=
3. 3. 3. 3. 3. 5
1
1
11
5 1
4
22
x xmcm x
x
x
−=
−= −
= +=
4. 4. 4. 4. 4.
( )
31
11
0 1
3 1 1 03 3 1 0
3 443
22
x xmcm x
xx
x
x
+−
−= = −
− − =− − =
=
=
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )( ) ( )( )
5 83 4
5 23 4
3 4 3 4
3 4 5 8 5 2 3 4
15 4 32 15 26 826 4 8 32
22 4040222011
2 2
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x x xx x
x
x
x
++
=+−
= + −
− + = + +
+ − = + +− + = +
− =
= −
= −
6. 6. 6. 6. 6.
( )
10 5 85 9 19
2 5 9 19
10 5 8 2 5 9 19
10 5 8 10 18 385 18 38 8
23 464623
2
2
22
2 2
2 2
x xx x
mcm x x
x x x x
x x x xx x
x
x
x
− ++ −
= = + −
− + = + −
− + = + −− − = − −
− = −
=−−
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )
13 3
14 4
112 12
12 1
4 1 3 1 14 4 3 3 1
7 06 0
0
2
x x xmcm x
x x xx x x
x xxx
−+
+=
−= −
+ + − = ++ + − = +
− ===
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( ) ( )
x x xx
mcm x
x x x x x
x x x x xx xxx
48
4 574
4 4 5
4 5 4 8 7 4 5
4 5 4 32 28 3527 28 35
3535
2
2
2 2
−−−
= = −
− − − = −
− − + = −= −
− = −=
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( ) ( ) ( )
2 910
2 32 1 5
10 2 1
2 9 2 1 10 2 3 2 2 1
4 20 9 20 30 4 221 2212
10
2 2
12
x xx
xmcm x
x x x x x
x x x x xx
x
x
−+
−−
= = −
− − + − = −
− + + − = −− = −−−
=
=
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( ) ( )( )
3 11
18 12
2 1
2 9 6 1 1 18 1
18 12 2 18 19 112 19 1 2
7 117
2
2
2 2
xx
xmcm x
x x x x
x x x xx x
x
x
−−
=−
= −
− + = − −
− + = − +− + = −
= −
= −
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )( ) ( )( )
2 75 2
2 15 4
0 5 2 5 4
2 7 5 4 2 1 5 2 0
10 27 28 10 2 028 26
1314
2 2
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x x xx
x
++
−−−
= = + −
+ − − − + =
+ − − + + ==
=
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
5 2 7 37 5 1
1 0 7 5 1
5 2 7 3 7 5 1 0
35 6 35 7 08 6
34
2 2
x xx x
mcm x x
x x x x
x x x xx
x
− +−
− = = −
− + − − =
+ − − + ==
=
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
34
23
87 12
7 12
3 3 2 4 83 9 2 8 8
3 2 99
22
x x x xmcm x x
x xx x
x xx
−=
−+
− += − +
− = − +− = − +
− ==
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
6 118
3 25 6
1 39
18 5 6
6 1 5 6 54 2 2 1 3 5 6
30 41 6 54 108 26 12 3095 102 26 12
69 9090691
2 2
723
x xx
xmcm x
x x x x x
x x x x xx x
x
x
x
−−
+−
=+
= −
− − − + = + −
− + − − = − − +− − = − −
− =
= −
= −
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )
51
31
61
0 1
5 1 3 1 6 05 5 3 3 6 0
8 4 08 4
12
22
+−
−−
−= = −
− − + − =− − − − =
− − =− =
= −
x x xmcm x
x xx x
xx
x
16. 16. 16. 16. 16.
( )( ) ( )( )
1 21 3
1 21 3
3 141 9
1 9
1 2 1 3 1 2 1 3 3 14
1 6 1 6 3 142 3 14
14
22
2 2
++
−−−
= −−
−= −
+ − − − + = − +
− − − − + = − +− = − +
=
xx
xx
xx
mcm x
x x x x x
x x x x xx xx
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 17 12
12 6
76 24
7 12 3 4
2 6 2 3
6 24 6 4 6 3 4
6 3 1 3 4 7 318 6 3 12 7 2118 6 10 33
8 39398
4
2
2
78
xx x x x
x x x x
x x
x x mcm x x
x x xx x xx x
x
x
x
−+ +
=+
++
⇒ + + = + +
⇒ + = +
⇒ + = + = + +
− = + + +− = + + +− = +
=
=
=
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
1
32 2
32 2
2 1 1
2 1 3 1 1 3 1
2 2 3 3 3 6 32 5 6 3
4 82
22
2
2 2
x x xmcm x x
x x x x
x x x xx x
xx
−−
−= −
+= − +
+ − − + = − −
+ − + = − + −+ = −
− = −=
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( ) ( ) ( )
5 1315
4 55 15 3
15 3
5 13 3 3 4 5 5 3
5 2 39 12 15 5 1514 54 15
54
2 2
x xx
xmcm x
x x x x x
x x x x xx x
x
+−
+−
= = −
+ − − + = −
− − − − = −− − = −
=
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
2 12 1
43 2
23
3 2 1 3 2
3 2 1 3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2
18 21 6 6 21 12 12 2 418 2 422 211
2 2 2
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xxx
x
−+
−−−
= = + −
− − − − + = + −
− + − + + = − −= − −= −
− =
21. 21. 21. 21. 21. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
4 32 5
3 83 7
1 2 5 3 7
4 3 3 7 3 8 2 5 2 5 3 7
12 19 21 6 40 6 29 3520 19 29 35
9 16169
1
2 2 2
79
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx x
x
x
x
+−
−+−
= = − −
+ − − + − = − −
− − − − + = − +− + = − +
=
=
=
22. 22. 22. 22. 22. ( )( ) ( )( ) ( )
10 715 3
3 812
5 420 4
12 5 1
4 10 7 3 8 5 1 3 5 4
40 28 15 43 8 15 1240 28 43 20
3 4816
2
2
2 2
xx
x xx
mcm x
x x x x
x x x xx x
xx
−+
=+
−−+
= +
− = + + − −
− = + + − +− = +− =
= −
23. 23. 23. 23. 23. ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
4 15
22 7
8 310
1 10 2 7
2 4 1 2 7 10 2 8 3 2 7 13 2 7
16 60 14 10 20 16 62 21 26 9150 6 88 112
38 11811838
3
310
2 2
219
x xx
xmcm x
x x x x x x
x x x x x xx x
x
x
x
−+
−−
=−
− = −
− − + − = − − − −
− + + − = − + − +− − = − +
=
=
=
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
11
22
32 2
22 4
11
22
32 2
73
2 41
12
23
2 27
6 12
6 1 2
6 2 12 1 9 2 7 16 12 12 12 9 18 7 7
6 2 118 11
118
1
13
38
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x
x x x xx x x x
x xx
x
−−
−=
−−
−
−−
−=
−−
−
−−
−=
−−
−
= − −
− − − = − − −− − + = − − +
− = −− = −
=−−
=
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
13
25 20
13 12
23
15 4 3
15 4 6 315 3
230 4
15 60 6 1815 45
230 120
2 9 78 15 45 2 30 12018 156 15 45 60 24018 156 45 285
63 4417
12
x x x x
mcm x x
x xx
x
x xx
x
x x xx x xx x
xx
+−
−=
−−
+
= − +
− − + =+
− −
− − − =+
− −
− = + − −− = + − +− = − +
==
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
16 2
45 5
1012 4
310 10
20 1 3
10 1 16 3 50 1 6 310 10 48 16 50 50 18 6
6 38 44 3250 70
751 2
5
−−
−=
−−
−
= − −
− − − = − − −− − + = − − +
− = − +=
=
=
x x x x
mcm x x
x x x xx x x x
x xx
x
x
27. 27. 27. 27. 27. ( )( ) ( )
23
69 1
23 1
3 9 1
2 9 1 18 6 3 1
18 2 18 18 62 18 68 1849
2
22
2 2
2 2
−−
=−
= −
− − = +
− − = +− = +− =
− =
xx x
mcm x
x x x
x x xxx
x
28. 28. 28. 28. 28. ( )( ) ( ) ( )( )
5 275 3
16 5 3
5 27 5 3 5 3 6
5 27 5 3 5 27 185 3 18
13 33
13
2
2
3 2 3 2
x xx x
x mcm x x
x x x x x x x
x x x x x xx x
x
x
−+
− = − = +
− − + = + −
− − − = − −− − = −
=
=
29. 29. 29. 29. 29.
( ) ( )
4 14 1
616 1
4 14 1
16 1
4 1 6 4 1
16 8 1 6 16 8 116 5 1
16 638
22
2 2
2 2
xx x
xx
mcm x
x x
x x x xx
x
x
+−
−−
=−+
= −
+ − = −
+ + − = − +− =
=
=
30. 30. 30. 30. 30. ( )
( )( ) ( ) ( )
311
214
5 13 4
3 4
3 1 4 2 1 5 1
3 15 12 2 4 2 5 511 14 5
6 1473
2
2
2
2
2 2 2
13
xx
xx
x xx x
mcm x x
x x x x x
x x x x x xx x
x
x
x
−+
+
+−
=
−− −
= − −
− − + + = −
− + + + + = −− + = −
− = −
=−−
=
31. 31. 31. 31. 31.
( )( )( )( ) ( )
222
32
2 378
2 6
2 2 3
2 2 2 3 3 2 78
4 14 12 3 12 12 7826 78
3
2
2
2 2
2 2 2
xx
xx
xx x
mcm x x
x x x x
x x x x xxx
+−
−
−+
=
+− −
= − +
+ + − − = +
+ + − + − = +==
32. 32. 32. 32. 32.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )
13 28
112 35
320
3 28 7 4
12 35 7 5
20 5 4
7 5 4
5 4 3 75 4 3 21
9 3 2112 34
2 2 2
2
2
2
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x xx x x
xx
x
+ −−
+ +=
+ −
⇒ + − = + −
⇒ + + = + +
⇒ + − = + −
= + + −
+ − − = ++ − + = +
= +− =− =
33. 33. 33. 33. 33.
( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
xx x
xx
xx x
x x x x
x x x
x x x x
mcm x x x x x
x x x x x x
x x x x x xx x
xx
−+ +
=−
−−
−− −
⇒ + + = + +
⇒ − = + −
⇒ − − = − +
= + − + = − +
− − = − + − − +
− + = − − − − +− + = − +
− = −
28 7
2 549
26 7
8 7 7 1
49 7 7
6 7 7 1
7 7 1 49 1
2 7 2 5 1 2 7
9 14 2 3 5 5 149 14 8 9
5
2 2 2
2
2
2
2
2 2 2
= 5
34. 34. 34. 34. 34.
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
4 515 7 2
2 312 7 10
2 520 29 5
0
15 7 2 3 2 5 1
12 7 10 4 5 3 2
20 29 5 4 5 5 1
3 2 5 1 4 5
4 5 4 5 2 3 5 1 2 5 3 2 0
16 25 10 13 3 6
2 2 2
2
2
2
2 2
xx x
xx x
xx x
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
x x x x x x
x x x
++ −
−+
− −−
−− +
=
⇒ + − = + −
⇒ − − = − +
⇒ − + = − −
= + − −
+ − − + − − − + =
− − − + − x xx
xx
2 11 10 02 12 0
2 126
+ + =− − =
− == −
35. 35. 35. 35. 35. ( )
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
72 1
34
21
3 12 9 4
2 1 4 1
7 4 1 3 2 1 1 2 2 1 4 3 1
7 35 28 6 9 3 4 18 8 3 6 326 25 12 5
14 20107
1
2
2
2 2 2 2
37
x x xx
x x
mcm x x x
x x x x x x x
x x x x x x x xx x
x
x
x
+−
+=
+−
++ +
= + + +
+ + − + + = + + − +
+ + − − − = + + − − −+ = +
= −
= −
= −
36. 36. 36. 36. 36. ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
x
xxx
xx x
mcm x x
x x x x x x
x x x x x x x xx
x
x
+
−=
−+
++
− −
= − +
+ + = − − + + −
+ + + = − + − + − −= − −= −
− =
3
3
11
2 7 12 3
3 1
3 1 3 1 2 7 1 3
7 15 9 7 15 9 14 40 69 15 40
24 4035
2
2 2
2
2 2
3 2 3 2 2
37. 37. 37. 37. 37. ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
xx
xx
x
xmcm x x
x x x x x x x
x x x x x x x xx x
x
x
x
−+
−+−
= −+
+= + −
+ − − − + + = − + −
− − + − − − − = − − +− + = − +
− =
= −
= −
45
12
12 3
55 2
5 2 4 5 1 12 3 2
22 40 11 35 25 12 12 7257 15 12 72
45 5757451
22
2
3 2 3 2 2
415
38. 38. 38. 38. 38. ( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
xx
xx
xx
xx
mcm x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x xx
−−
−−−
=++
−++
= − − + +
− + + − − − + = + − − − − − +
− − + + − + + − − = − − + + − + + − −+ =
34
23
21
32
4 3 1 2
3 1 2 4 4 1 2 4 3 9 4 1
3 7 15 18 3 8 12 16 3 12 20 48 3 13 27 363 2
2 2 2 2
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
− +==
7 1210 10
1
xxx
39. 39. 39. 39. 39. ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
xx
xx
xx
xx
mcm x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x xx
++
−+−
=−−
−+
= + − − +
+ − − + − − + + = − + − + − + − −
+ − − + − − − + + = − − + + − + + −− + =
62
13
51 4
2 3 1 4
6 3 1 4 1 2 4 5 2 3 4 2 3 1
6 13 66 72 6 7 6 8 2 25 26 120 2 5 660 80
2
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
20 12080 40
12
xx
x
+− =
= −EJERCICIO 1431. 1. 1. 1. 1. ( )a x
xa
xa
xa
a
+ =
+ =
− + + = −
=−
1 1
11
1 11
1
1
2. 2. 2. 2. 2.
( )
ax bxax bx
x a b
xa b
− = −− = −
− =
=−
4 24 2
22
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )
ax b a bxax bx a b
x a b a b a bx a b
+ = −
+ = −
+ = + −= −
2 2
2 2
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )( ) ( )
3 2 9
6 3 9
3 9 6
3 33
2
2
2
2
a x ax a
a x ax a
x a a a
x a ax a
− + = +
− + = +
− = + −
− = −= −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( )a x b x b a b a xax ba xb ax ab bx
xb bx ab abbx ab
xabb
x a
+ + − = −+ + − = −
+ = −=
=
=
2 24 2
2 43 3
33
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )x a x a a a x
x ax a x ax a a axax ax a
ax a
xaa
xa
− − + = −
− + − − − = −− + =
=
=
=
2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
7
2 2 74 7
3
3
3
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )
( ) ( )( )
ax a a b x ab
ax a ab x abax x a
x a a ax a
− + = − − +
− − = − − −
+ = −
+ = + −= −
1
11
1 1 11
2
2
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )
( )
a a x b x b b x b
a a x b x b b x ba x b x a ba x b x a b
x a b a b
xa ba b
2 2 2
3 2 2 3 2 3
2 2 3 3
2 2 3 3
2 2 3 3
3 3
2 2
2 22 2
2 2
22
− − − = −
− − + = −
− − = − −
+ = +
+ = +
=++
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )( ) ( )
( )
x a x b x b x a b a a
x bx ax ab x ax bx ab ab b abx ax ab ab b a
x a b a bx
+ − − + − = − +
− + − − + − + = − +− + + = − +
− = −=
2 2 3
2 2 2 32 3 2 3
3 2 3 21
2 2
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( )
x a a x a a
x a a ax x a aa ax a
a aa
x
ax
2 2 2
2 2 2 2 2
2
1
2
2
12
12
+ = + − −
+ = + + − +
= +
−=
−=
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
m n x m n m mx a
mn mx mn m m x ammx m x am m
xm m m a
xam
− − − = −
− − + = −− − = − −
− + = − +
=++
1
1 111
2
2
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )
( )( ) ( )
x a ax a x ax a ax a x a
x a ax a xx a ax x
a ax x
a x ax
− + = − + − −− + = − − − +
− = − − ++ − = −
− = −
− = −=
2 2 3 2 52 2 3 3 2 10
2 5 3 84 8 2 3
4 2 2 4
4 2 2 22
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )
( )
a x a bx b b a x
ax a bx b ab bxax bx b ab a
x a b b a b a
xa b b a
a b
x b ax a b
− − = − −
− − = − −
− = − +
− = − −
= −− −
−
= − −= −
2 2
2 22
2 2
2 2
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )( )( )( ) ( )
ax bx x a b x b x a
x a b x ax bx a ab b x ax bx ab
x a b a ab b
x a b a bx a b
+ = + − − − +
+ = + − + − + − − + +
+ = + +
+ = += +
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 4
2
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x a b a a x x a b
ax bx a a x ax bxax x a a
x a a
xa
+ − − − = − − −
+ − − + = − − +
− = − +
− = −
=−
3 2 2 1
3 2 2 22 2 2 1
2 1 11
2
2
2
2
16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( ) ( )m x m x x m m x m
m mx x x mx m mx mmx m
xmm
xm
+ + = − + −
+ + = − + + −= −
= −
= −
4 3 2 15
3 13 4 4 4 152 3
3232
2
2 2 2 2 2
2
2
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
( )
a a x a a b b x b b a a
a a x a a b b x b b a aa x b x b a
x b a b a
x b a a b b a
x a b
xa b
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
2 2
2 2
1 1 1 0
00
0
11
− − + − − − − + + =
− − − − + − + + + =
− + − + =
− − − =
− + = −
+ =
=+
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
ax b bx a a x x b a a b b
a x abx b abx bx a ax bx a x a b b
ax b b b
xba
− = − − − − + + −
− + = + − − − + + + −
− = −
=
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2
1 3 1 3
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
x b x a a b
x bx b x ax a a ab bbx ax a ab
x b a a a b
x a a bx ax a
+ − − − + =
+ + − + − − − − =+ − − =
+ − + =
− + ===
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
0
2 2 2 02 2 2 2 0
2 2 0
2 02 2
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )x m m x m x
x x m xm m m x x m xm m xx xm x m
xm m
xmm
x m
+ − = − − +
+ + + − = − + − + ++ − =
=
=
=
3 3 3 3
3 2 2 3 3 3 2 2 3 3
3 2 3 3
2 3
3
2
12 2
3 3 12 3 3 22 6 2 12
6 12126
2
EJERCICIO 144
1. 1. 1. 1. 1. m
x m mmcm mx
m x x
m x
mx
− = =
− =
=
=
1 2
2
3
3
2
2
2
2. 2. 2. 2. 2. a
x
b a
xmcm x
a bx a
bx a
xa
b
+ = =
+ ==
=
2
42
2 8
6
6
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
xa
xa a
mcm a
ax x aax x a
x a a
xaa
x
21 1
22
2 12 2
2 222
1
22−
−= =
− − =− + =
+ = +
=++
=
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
mx
nm
nx
mcm mx
m nx mn mxm mn mx nx
m m n x m nm x
+ = + =
+ = +− = −
− = −=
12
2
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
( )( ) ( )
aa
ax
mcm ax
x a ax a a
ax x ax a a
ax x a a
x a a ax a
−+ =
−
=
− + = −
− + = −
− = −
− = −=
1 12
3 2
2
2 1 2 3 2
2 2 6 4
3 2 2 3 2
3 2 2 3 22
2
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
a xa
b xb
a bab
mcm ab
b a x a b x a b
ab bx ab ax a b
x a b a bx
−−
−=
−
=
− − − = −
− − + = −
− = −=
2
2
2
22
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( ) ( )
x aa
a xab a
mcm a b
b x a a a x ab
bx ab a ax abbx ax ab a
x a b a a bx a
−−
−= − =
− − − = −
− − + = −
+ = +
+ = +=
3 2 1
3 2
3 22 2
22
22
2
2
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
x mm
x nn
m nmn
mcm mn
n x m m x n m n mn
xn mn mx mn m mn n
x n m m n
x n m n m m n
x m nx n m
+−
+=
+− =
+ − + = + −
+ − − = − +
− = −
− = − − −
= − −= −
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( ) ( )
x ba
x ab
mcm ab
b x b ab a x a
bx b ab ax abx ax a ab b
x a b a bx a b
−= −
−=
− = − −
− = − +
+ = + +
+ = += +
2
2
22
2 2
2 2
2
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )
( )
42
332
2 2
8 6 2 3 28 12 6 6 3
8 6 3
3 28
xa b
mcm a b
x a b a bx a b a b
x a b
xa b
+− = − = +
− + = − +− − = − −
= +
=+
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2 3 2 64
4
2 3 4 2 2 6
2 11 12 12 10 244
2 2 2 2
2
a xx a
x ax a
mcm x a x a
a x a x x a x a
a ax x x ax aax ax a
++
=−
+= + +
+ + = + −
+ + = + −
= −= −
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
24
24
4 4
8 2 4
8 8 8 8 8 2 46 12 9
6 2 93
2 2
2 2
x cx b
x cx b
mcm x b x b
x c x b x c x b
x xb xc bc x xb xc bcxb xc bc
x b c bc
xbc
b c
−−
=+−
= − −
− − = + −
− − + = − + −− − = −
− + = −
=+
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
1 1 1
1 1
2
2
nmx mn x
mcm xmn
xm m n x mnxm x m n mn
x m mn mx mn
− = − =
− = −− = −
− = −=
14. 14. 14. 14. 14. ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
x b x ax a a b x
mcm x a a b x
x b x a x a a b x
x ax bx ab bx x a abax ab a
ax a b a
x b a
− +− − +
= = − − +
− + = − − +
+ − − = − + − += −
= −
= −
2 22
2 2
2 2 2 2
2 4 2 4 2 2 46 2
2 3
2 3
2 2 2
2
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )
( ) ( )( )
x mx n
n xm x
mcm m x x n
x m x n x n
x mx m x nmx m n
xm n
m
+−
=++
= + −
+ = + −
+ + = −
= − −
= −+
2
2 2 2 2
2 2
2 2
22
2
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )
( )( ) ( )( )
x x b x bx b
x bx b mcm x b
x x b x b x b x bx b
x x b b x x bx b x bb x b x b
xb
2 33
2 3
2 3 3 2
2 5 3 2 5 2 33 2 3
35
2 2
2 2
3 2 2 3 2 3
2 2 3
2
+ ++
= − + = +
+ + = + − +
+ + = + − +
+ =
=
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( ) ( )
( )
34
13
5 1312
34
13
5 1312
3 34 3
5 1312
12
3 3 3 4 5 13
9 9 4 4 5 135 13 5 13
5 13
2
2
xb
xa
xb
xa
a ba
ax bxab
ax bxab
a ba
ax bxab
ax bxab
a ba
mcm ab
ax bx ax bx b a b
ax bx ax bx ab bax bx ab b
x a b
+
= −
+
+
⇒+
=
−
+
+
⇒+
=−
++
=
+ = − + +
+ = − + ++ = +
+ = ( )b a bx b
5 13+=
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
x a x bx a
ab bx a
mcm x a
x a x a x b ab b
x ax a x bx b ab bax bx a ab
x a b a a b
xa
+=
−−
+−−
= −
+ − = − + −
+ − = − + + −
+ = +
+ = +
=
3 33 39 3
3 3
3 3 3 3
3 2 3 6 3 3 32 6 3
2 3 3
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
53
53
3 3
3 5 5 3
15 2 15 22 2
2
2
2 2 2 2
2 2
x ax b
x bx a
mcm x b x a
x a x a x b x b
x ax a x bx bax bx a b
x a b a b a b
xb a
++
=−−
= + −
− + = − +
− − = + −− − = −
− + = + −
=−
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
x ax a
x ax a
a x abx a
mcm x a x a
x a x a a x ab
x ax a x ax a ax a bax ax a bax a b
xab
+−
−−+
=+
−= − +
+ − − = +
+ + − + − = += +
=
=
2
2
2 2 24 22
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2
21. 21. 21. 21. 21.
( )( ) ( )
( )( )
2 34
211
1616
2 3 4 2 16 11
2 11 12 2 32 1111 44 11
11 11 44
11 11 1 4
1 44 1
2 22 2
2 2
2 2 2 2
2
2
x ax a
ax a
mcm x a
x a x a x a a
x ax a x a aax a a
ax a a
ax a a
x ax a
−+
− =−
= −
− − − − =
− + − + =
− + =− = −
− = −
= − −= −
22. 22. 22. 22. 22. ( )
( )
( )
1
22
121
2
2
2
2 2
2 2 2
2
x ax
a axx a
amcm a x a
a x x a
a x x ax aa a ax
a aa
x
ax
++
+=
+= +
+ = +
+ = + +
− =
−=
−=
23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 3 6 2
2 3 6 2
2 2 3 3 6 122 3 4 9
2 3 2 3 2 32 3
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a xb
b xa
a bab
mcm ab
a a x b b x a b
a ax b bx a bax bx a b
x a b a b a bx a b
+−
+=
−=
+ − + = −
+ − − = −
− = −
− = − += +
24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
m n x m n m x nn
mn m n mcm n
nm n x n m n m x n mn m n
mn mnx m n mn mnx n x n mn m nmnx n x mn m n n
nx n m n n mn m
x n m n mx n m
− − − + = − − =
− − − + = − −
− − + − + = − +
− + = − + +
− = − +
− = −= −
2 2 2
3 2 2
2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3
2 2
2
12 3
2 3
2 32 4 4
2 4 4
2 22
EJERCICIO 1451. 1. 1. 1. 1.
( )
x N buscado
xx
x
x x xx xx
x
x
→
− = −
− = −= −
− = −
=−−
=
º38
2 11
8 3 8 2 115 16 88
11 888811
8
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x N buscado
xx
x
x x xx xx
x
x
→
+ = −
+ = −= −
− = −
=−−
=
º56
3 14
6 5 6 3 1411 18 84
7 84847
12
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x N que se resta
xx
x xx xxx
→
− = +
− = +− = +− = −
=
º
22 1165
5 22 55 6110 5 55 6
11 555
4. 4. 4. 4. 4. x N que tienediferencia
x x mcm
x x
x
x
→
− = =
− ===
º
5
4
7
830 8
10 7 240
3 240
80
5. 5. 5. 5. 5. x N buscado
x x x mcm
x x x
x
x
→
− = − =
− = −− = −
=
º
173
5
1
630
30 510 18 5
510 17
30
6. 6. 6. 6. 6. x N buscadox
x x x
xx
xmcm
x x xxx
→
+ − = −
⇒ + − = =
+ − ===
º
..
538
49 216
112
538
496
120
24 45 5 880 2049 5 880
120
7. 7. 7. 7. 7. x Edad de Ax
Edad de B
xx x
mcm
x x xxx años Edad de A
años Edad de B
→
→
+ − =
=
+ − === →
⇒⋅
= = →
35
35
4 235
5
5 3 20 62 20
103 10
5305
6
8. 8. 8. 8. 8. x Lo que tiene Ax
Lo que tiene B
xx
mcm
x xx
x Tiene A
Tiene B
→
→
+ =
=
+ =− = −
= →
⇒⋅
= →
78
90 278
8
8 720 146 720
1207 120
8105
$
$
9. 9. 9. 9. 9. x Long pieza
xx
mcm
x x
x
x m
→
− = =
− ===
.
3
540 5
5 3 200
2 200
100
10. 10. 10. 10. 10. x Lo que tenia
x x x mcm
x x xxx bs
→
− +
= =
− − ===
13
18
39 24
24 8 3 93613 936
72 .11. 11. 11. 11. 11. x N buscado
xx
mcm
x x
x
x
→
− = =
− ===
º
3 483
3
9 144
8 144
18
12. 12. 12. 12. 12. x N buscado
xx
mcm
x x
x
x
→
− = + =
− = +==
º
4 192
30 2
8 38 60
7 98
14
13. 13. 13. 13. 13. x N buscado
xx mcm
x x
x
x
→
− = − =
− = −− = −
=
º
802
10 2
160 2 20
3 180
60
14. 14. 14. 14. 14. x N buscado
x xmcm
x x
x
x
x
→
− = =
− ==
=
=
º
7
82
4
540
35 80 32
3 80
80
3
26 23
15. 15. 15. 15. 15. x Ancho del buque
x
x
x
x
Pies x
→
− =
=
=
=
=
800 7448
9
568
9504 8
504
863
EJERCICIO 146
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
x N menorx N mayor
xx
xx
x xx x
xx N menor
xN mayor
→+ →
+= −
+= −
+ = −+ = −− = −
= →⇒ += + = →
ºº
º
º
1
4 15
4
4 45
4
4 4 5 44 4 5 20
2424
124 1 25
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
( ) ( )
x N menorx N mayor
x xx
mcm
x x xx x x
x xxx N menor
x N mayor
→+ →
+ + − =+
=
+ + − = ++ + − = +
− = +== →
⇒ + = + = →
ºº
.
..
.º
º
1
15
1133
83 1
20660
132 1 20 5 280 99 1132 132 20 5 280 99 99
152 99 5 148 9953 5 247
991 99 1 100
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x Gane ayerx Gane hoy
x xx
x xx x
xx Gane ayer
x Gane hoy
→+ →
+ + − =
− =− =
== →
⇒ + = + = →
1
1 2525
5 2 24 210 120 2
8 12015
1 15 1 16$
$
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
x N menorx N mediox N mayor
x xx mcm
x x xx x x
x xxx x N menor
x N mediox N mayor
→+ →+ →
++
− = + =
+ + − = ++ + − = +
− = +== →
⇒ + = + = →⇒ + = + = →
ººº
ººº
12
35
5 26
31 1 30
18 25 2 930 30 3018 25 50 930 30 30
43 30 880 3013 910
701 70 1 712 70 2 72
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
x N menorx N mediox N mayor
x x xmcm
x x xx x x
xx N menor
x N mediox N mayor
→+ →+ →
++
++
= =
+ + + + =+ + + + =
== →
⇒ + = + = →⇒ + = + = →
ººº
.
. .. . .
. .º
ºº
12
201
272
419 22 140
1 107 820 1 540 2 199 2601 107 820 820 540 1 080 199 260
2 467 197 36080
1 80 1 812 80 2 82
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( ) ( )
x N menorx N mediox N mayor
x xx mcm
x x xx x x
xx N menor
x N mediox N mayor
→+ →+ →
+− − = + =
+ − − = ++ − − = +
== →
⇒ + = + = →⇒ + = + = →
ººº
ººº
12
3 17
310
11
112 770
330 1 231 770 70 2330 330 231 770 70 140
29 58020
1 20 1 212 20 2 22
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
x N menorx N mayor
x xmcm
x xx x
xx N menor
xN mayor
→+ →
− =+
=
− = +− = +
== →
⇒ += + = →
ºº
º
º
1
78
173 1
540
35 680 24 135 680 24 24
11 70464
164 1 65
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
x N menorx N mayor
xx x
mcm
x x xx x x
xx N menor
xx N mayor
→+ →
− = −+
=
− = − +− = − −
== →
⇒ += + = →
ºº
.
..
º
º
1
8134
2 15
20
20 1 620 15 8 120 1 620 15 8 8
13 1 612124
1124 1 125
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
22 2
2 2 2 324
4 8 4 4 3248 320
402 2 40 802 2 80 2 82
2 2
2 2
x N menorx N mayor
x x
x x xxx
x N menorx N mayor
→+ →
+ − =
+ + − ===
⇒ = ⋅ = →⇒ + = + = →
ºº
ºº
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x Tiene Bx Tiene A
xx
mcm
x xx x
x Tiene Bx Tiene A
→+ →
− =+
− =
− = + −− = −
= →⇒ + = + = ⇒
1
84 1
54 5
5 40 4 4 205 4 40 16
241 24 1 25
$$
11. 11. 11. 11. 11.
( )
( ) ( )
x Edad Bx Edad Ax Edad C
x xx
x xx x
xx Edad B
x Edad Ax Edad C
→+ →− →
+ − − =+
− = +− = +
== →
⇒ + = + = →⇒ − = − = →
22
2 127 2
88 2 14 7 216 112 7 14
9 12614
2 14 2 162 14 2 12
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
( ) ( )
x Edad Bx Edad Ax Edad C
x xx
mcm
x x x x
x x x xxx Edad B
x Edad Ax Edad C
→− →+ →
+ − =−
− =
+ + − = − −
+ + − = − −− = −
= →⇒ − = − = →⇒ + = + = →
11
117 1
54 5
5 2 1 5 17 1 20
5 10 5 5 17 17 207 42
61 6 1 51 6 1 7
2 2
2 2
2 2
EJERCICIO 1471. 1. 1. 1. 1.
( )
x N mayorx N menor
xx
x xx x
xx N mayor
x N menor
→− →−−
=
− = −− = −
== →
⇒ − = − = →
ºº
ºº
595
592
5 2 595 118 2
3 12341
59 59 41 18
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x N mayorx N menor
xx
x xx x
xx N mayor
x N menor
→− →
−−
=
− = −− = −
== →
⇒ − = − = →
ºº
ºº
43673
4362
73 2 43673 872 23 945
315436 436 315 121
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
x Parte mayorx Parte menor
xx
x xx x
xx Parte mayorx
Parte menor
→− →−
−=
− = −− = −
== →
⇒ −= − = →
2602 40
3 2602
2 40 6 2602 40 1 560 6
8 1 600200
260260 200 60
..
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
x Parte de Ax Parte de B
x
x
xx
x xx x
xx soles Parte de A
xsoles Parte de B
→− →
−
− =
−⋅
−=
− = −− = −
== →
⇒ −= − = →
19638
16
1965
1
3 1288
5196
1
5 3 128 8 19615 640 1 568 8
23 2 20896
196196 96 100
.
.
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x N mayorx N menorxx
x xx x
xx N mayor
x N menor
→− →−−
=
− = −− = −
− = −= →
⇒ − = − = →
ºº
ºº
44244
3
2 3 442 3 132
2 13065
44 65 44 21
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x N mayorx N menorxx
x xx x
xx N mayor
x N menor
→− →−
−=
− = −− = −
− = −= →
⇒ − = − = →
ºº
ºº
56856
3
8 3 568 3 168
2 16080
56 80 56 24
EJERCICIO 148
1. 1. 1. 1. 1. x Ganó el día
xGanó el día
xGanó el día
xx x
mcm
x x x
x
x Ganó el día
xGanó el día
xGanó el día
er
er
er
er
→
→
→
+ + = =
+ + ==
= →
⇒ = = →
⇒ = = →
1
22
43
2 4175 4
4 2 700
7 700
100 1
2
100
250 2
4
100
425 3
º
$
$ º
$
2. 2. 2. 2. 2. x Perdió miercoles
x Perdió jueves
x Perdió viernes
x x x mcm
x x x
x
x Perdió miercoles
Perdió jueves
Perdió viernes
→
→
→
+ + = =
+ + ==
= →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
3
51
23
5
1
2252 10
10 6 5 2 520
21 2 520
120
3
5120 72
1
2120 60
.
.
$
$
$
3. 3. 3. 3. 3. x Tiene A
x Tiene B
x Tiene C
xx x
mcm
x x x
x
x suc Tiene A
sucres Tiene B
sucres Tiene C
→
→
→
+ + = =
+ + === →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
2
32
52
3
2
5248 15
15 10 6 3 720
31 3 720
120
2
3120 80
2
5120 48
.
.
.
4. 4. 4. 4. 4. x Edad A
x Edad B
x Edad C
xx x
mcm
x x x
x
x
años edadde A
años edaddeB
años edaddeC
→
→
→
+ + = =
+ + ===
→
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
3
59
403
5
9
4073 40
40 24 9 2 920
73 2 920
40
40
3
540 24
9
4040 9
.
.
5. 5. 5. 5. 5. x día
x día
x día
x día
x x x x mcm
x x x x
x
x Km
Km día
Km día
Km día
Km día
er
er
→
→
→
→
+ + + = =
+ + + ===
→
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
1
1
32
1
93
1
274º
1
3
1
9
1
27120 27
27 9 3 3 240
40 3 240
81
81 1
1
381 27 2
1
981 9 3
1
2781 3 4º
º
º
.
.
.
.
. º
. º
.
6. 6. 6. 6. 6. x semana
x semana
x semana
semana
x x x x mcm
x x x x
x
x Km
→
→
→
→
+ + + = =
+ + + ===
1
11
102
121
1003
1 331
10004
11
10
121
100
1 331
1 0004 641 1 000
1 000 1 100 1 210 1 331 4 641 000
4 641 4 641 000
1 000
ª
ª
ª
.
.ª
.
.. .
. . . . ' .
. ' .
. .
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
Cont inuaciónCont inuaciónCont inuaciónCont inuaciónCont inuación
6. 6. 6. 6. 6. 1 000 1
11
101 000 1 100 2
121
1001 000 1 210 3
1 331
1 0001 000 1 331 4
. . ª
. . . ª
. . . ª
.
.. . . ª
Km semana
Km semana
Km semana
Km semana
→
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
⇒ ⋅ = →
7. 7. 7. 7. 7. x Personax
Persona
xPersona
xPersona
xPersona
xx x x x
mcm
x x x x xxx colones
colones Personax
colones Persona
xcolones Persona
xcolones
→ →
→ →
→
+ + + + = =
+ + + + ===
→
⇒ = = →
⇒ = = →
⇒ = = →
12
2
83
404
4005
2 8 40 400330 500 400
400 200 50 10 132 200 000661 132 200 000
200 000200 000 1
2200 000
2100 000 2
8200 000
825 000 3
40200 000
405 000 4
ª ; ª
ª ; ª
ª
.
' .' ..
. ª.
. ª
.. ª
.. ª Persona
xcolones Persona⇒ = = →
400200 000
400500 5
.ª
8. 8. 8. 8. 8. x c en barco
x c en tren
x c en avión
xx x
mcm
x x x
x
x Km
Km c en barco
x Km c en tren
x Km c en avión
→
→
→
+ + = =
+ + ===
→
⇒ = ⋅ = →
⇒ = ⋅ = →
Re .
Re .
Re .
.
.
.
. .
. . Re .
. . . Re .
. . . Re .
4
95
184
9
5
189 362 18
18 8 5 168 516
31 168 516
5 436
5 436
4
9
4
95 436 2 416
5
18
5
185 436 1 510
EJERCICIO 1491. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
x Tenía al principio
xx
mcm
x xx x
xx
Tenía al principio
→
− −−
= =
− − − =− − + =
− ==
→
202 20
310 3
3 60 2 20 303 60 2 40 30
20 3050
50$2. 2. 2. 2. 2. x Tenía al principio
x xmcm
x x
x
Q Tenía al principio
→
− = =
− ==→
2 421 4
2 84
84
84 .
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
x Tengo ahora
xx
mcm
x xx x
xx
Tengo ahora
→
+ −+
= =
+ − + =+ − − =
+ ==
→
74 7
520 5
5 35 4 7 1005 35 4 28 100
7 10093
93$4. 4. 4. 4. 4. x Tenía al principio
xx
x quedó
x x prestó
Luego
x x x mcm
x x x
x
bs Tenía al principio
→
− = →
⋅ = →
− − = =
− − ==
→
2
5
3
55
6
3
5
1
2
2
5
1
2500 10
10 4 5 5 000
5 000
5 000
.
.
. .
5. 5. 5. 5. 5. x Aves en la granja
x Palomas
x xx
sto
xx Gallinas
xx x
mcm
x x x
x
Aves en la granja
x Palomas
x Gallinas
Gallos
→
→
− =
⋅ = →
− − = =
− − ==
→
⇒ = ⋅ = →
⇒ = ⋅ = →
→
4
54
5 5
5
3
4
3
204
5
3
204 20
20 16 3 80
80
80
4
5
4
580 64
3
20
3
2080 12
4
Re
6. 6. 6. 6. 6. x Tenía al principio
x xx
quedó
xx Perdí
x x x mcm
x x x
x
soles Tenía al principio
→
− = →
⋅ = →
− − − = =
− − − ==
→
4
5 52
3 5
2
154
5
2
158 0 15
15 12 2 120 0
120
120
7. 7. 7. 7. 7. x Tenía al principio
x x x mcm
x x x
x
x
Tenía al principio
→
− + = + =
− + = +− = −
=→
5
1242 2 12
12 5 504 12 24
5 480
96
96$
8. 8. 8. 8. 8. x Tenía al principio
xx
mcm
x x
x
Tenía al principio
→
− − = =
− − ==
→
215 30 2
2 30 60
90
90$
9. 9. 9. 9. 9. x Tenía al principio
x x x
mcm
x x x
x
x
suc Tenía al principio
→
− + = +
=− + = +
− = −=
→
3
41 300 100
4
4 3 5 200 4 400
3 4 800
1 600
1 600
.
.
.
.
. .
10. 10. 10. 10. 10. x Tenía al principio
x xx
quedó
x xLibros
x xx
x
mcm
x x x x
x
x
Tenía al principio
→
− = →
⋅ = →
− − = −
=− − = −
− = −=
→
3
4 42
3 4 63
4 6
2
538
60
60 45 10 24 2 280
19 2 280
120
120
.
.
$
EJERCICIO 150
1. 1. 1. 1. 1.
( )
x Edad actual Ax Edad actual B
x x mcm
x xxx años Edad actual A
x años Edad actual B
→→
− = − =
− = −== →
⇒ = ⋅ = →
3
1516
3 15 6
6 90 3 153 75
253 25 3 75
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x Edad actual Bx Edad actual A
x xx x
x años Edad actual Bx años Edad actual A
→→
+ = ++ = +
= →⇒ = ⋅ = →
3
3 20 2 203 20 2 40
203 3 20 60
3. 3. 3. 3. 3.
( )x Edad actual A
x x mcm
x xxx
años Edad actual A
→
− = + =
− = +==→
5911
5 11
11 55 9 452 100
5050
4. 4. 4. 4. 4.
( )x Edad actual A
x xx x
xaños Edad actual A
→
− = +− = +
=→
2 6 242 12 24
3636
5. 5. 5. 5. 5.
( )
x Edad hijox Edad padre
x xx x
xaños Edad hijox años Edad padre
→→
+ = ++ = +
=→
⇒ = ⋅ = →
3
2 16 3 162 32 3 16
1616
3 3 16 48
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x Edad padre
x Edad hijo
x xmcm
x xx
xaños Edad padre
x años Edad hijo
→
→
−= − =
− = −==
→
⇒ = ⋅ = →
252 8
725
8 35
10 80 14 280200 4
5050
25
25
50 20
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x Edad actual de Ax Edad actual de B
xx
mcm
x xx
xaños Edad actual de A
x años Edad actual de B
→− →
− + =+
=
− = +==
→⇒ − = − = →
65
65 105 10
1212
900 12 5 50850 17
5050
65 65 50 15
8. 8. 8. 8. 8.
( )
x Edad padrex Edad hijo
xx
mcm
x xxx
años Edad padrex años Edad hijo
→− →
− − =−
=
− = −==
→⇒ − = − = →
25
25 153 15
88
8 320 3 455 275
5555
25 55 25 30
9. 9. 9. 9. 9.
( )
2 1010
2 1010
2 10 103 10 10
22
4 40 3 6020
2 10 2 20 10 5010 20 10 30
x Edad padre hace añosx Edad hijo hace años
x Edad actual padrex Edad actual hijo
xx
mcm
x xx
x años Ed act padrex años Ed act hijo
→→
+ →+ →
+ + =+ +
=
+ = +=
⇒ + = ⋅ + = →⇒ + = + = →
. .. .
10. 10. 10. 10. 10.
( )
x Edad de Ax Edad de B
xx
mcm
x xx
xaños Edad de B
x años Edad A
+ →→
+ − =−
=
= −==
→⇒ + = + = →
18
18 185 18
22
2 5 9090 330
3018 30 18 48
11. 11. 11. 11. 11. 3
3 4 4 16
4 8 16
3 24
8
8
3 3 8 24
x Edad A
x Edad B
x x x
x x
x
x
años Edad B
x años Edad A
→→
− + − = +− = +
==
→⇒ = ⋅ = →
EJERCICIO 151
1. 1. 1. 1. 1.
( )
x Tiene Bx Tiene A
xx
mcm
x xxx
soles Tiene Bx soles Tiene A
→→
− =+
=
− = +==
→⇒ = ⋅ = →
2
2 204 20
55
10 100 4 806 180
3030
2 2 30 602. 2. 2. 2. 2. x Tiene B
xTiene A
xx
mcm
x x
x
colones Tiene B
xcolones Tiene A
→
→
− = + =
− = +=
→
⇒ = = →
2
242
24 2
2 48 48
96
96
2
96
248
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x Tiene Ax Tiene B
x x mcm
x xx
Tiene Ax Tiene B
→→
− = + =
− = +=
→⇒ = ⋅ = →
235
2 6 6 5
6 18 5 3048
482 2 48 96
$$
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x Tiene A
x Tiene B
x x mcm
x xx
xTiene A
x Tiene B
→
→
+ = − =
+ = −==
→
⇒ = ⋅ = →
3535
3095
30 5
3 150 9 270420 6
7070
35
35
70 42
$
$
5. 5. 5. 5. 5. x Tiene A yB
xx
mcm
x x
x
suc Tiene A yB
→
− = + =
− = +=→
3030
22
2 60 30
90
90 .
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x Tiene A
x Tiene B
x x mcm
x xx
x Tiene A
x Tiene B
→
→
+ = − =
+ = −== →
⇒ = ⋅ = →
23
23
2275
22 15
10 330 21 462792 11
72 7223
23
72 48
$
$
7. 7. 7. 7. 7. x Tiene B
x Tiene A
x x mcm
x x
x Tiene B
x Tiene A
→
→
+ = − =
+ = −= →
⇒ = ⋅ = →
4
54
513 5 5
4 65 5 25
90 90
4
5
4
590 72
$
$
8. 8. 8. 8. 8. x Tiene A
xTiene B
xx x mcm
x x x
x x
x Tiene A
xTiene B
→
→
+ = + =
+ = += += →
⇒ = = →
2
2
1
35 6
3 2 6 30
5 6 30
30 30
2
30
215
$
$
9. 9. 9. 9. 9. x Empezaron A y B
x x x mcm
x x x
x
x
balboas Empezaron A y B
→
− = − =
− = −− = −
=→
3
524 5
5 3 5 120
3 120
40
40
10. 10. 10. 10. 10. x Empezaron A y B
x xx
Le queda B
xpartede loqueda B
x xha ganado A
xx
xmcm
x x xx xxxsoles Empezaron A y B
→
− = →
→
+ =+
→
= −+
=
= − −= −
− = −=
→
34 4
123
1224
28812
4288
1212
3 12 2883 11 2888 288
3636
ª
EJERCICIO 152
1. 1. 1. 1. 1.
( )x N años que pasan
x x mcm
x xx
años pasan
→
+ = + =
+ = +=
→
º
2834
38 4
112 4 3 1142
2
2. 2. 2. 2. 2.
( )x N años que pasan
x x mcm
x xx
años pasan
→
+ = + =
+ = +=
→
º
3076
25 6
180 6 7 1755
5
3. 3. 3. 3. 3.
( )x N años hace
x x
mcmx x
xaños hace
→
− = −
=− = −
=→
º
489
1052
10480 10 468 9
1212
4. 4. 4. 4. 4.
( )x N años hace
x x
mcmx x
xx
años hace
→
− = −
=− = −
==
→
º
1814
27
472 4 27
45 315
15
5. 5. 5. 5. 5.
( )x La suma de dinero
x x mcm
x xx
xLa suma de dinero
→
+ = + =
+ = +==
→
35
50 22 5
150 3 5 11040 220
20$
6. 6. 6. 6. 6.
( )x Gastó cada uno
x x mcm
x xxx
Q Gastó cada uno
→
− = − =
− = −==
→
311
90 50 11
270 3 550 118 280
3535 .
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x Edad actual hermano
x Edad actual persona
x x x x
x x mcm
x xx
años Edad actual hermano
x años Edad actual persona
→
→
+ + + =
+ = =
+ ==
→
⇒ = ⋅ = →
34
34
75
334
75 4
12 3 30020
2034
34
20 15
8. 8. 8. 8. 8. x ganó cada uno
x x x
x x
x
x
ganó cada uno
→+ + + = +
+ = +==
→
54 32 4 66
2 86 4 66
20 2
10
10$
9. 9. 9. 9. 9.
( )x Le dió A a B
x x mcm
x xx
xbs Le dió A a B
→
− = + =
− = +==
→
15314
12 4
612 4 12600 5120
120 .
EJERCICIO 153
1. 1. 1. 1. 1.
( )( ) ( )
x Long rectx Ancho rect
x x x x
x x x xxx
m Ancho rectx m Long rect
+ →→
+ + − = +
+ + − = +==
→⇒ + = + = →
3
4 1 22 3
5 4 22 32 18
99
3 9 3 12
2 2
. ..
.. .
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
x Una de las ensionesx La otra ensión
x x x
x x xxx
m m Dimensiones
→→
+ + − =
+ + − ===
⋅ →
dimdim2
5 2 5 160 2
2 15 25 160 215 135
99 18
2
2 2
3. 3. 3. 3. 3.
( )( ) ( )
x Una ensiónx Otra ensión
x x x x
x x x xxx
m m Dimensiones
+ →→
− − + = +
− + + = +− = −
=⋅ →
2
5 3 115 2
8 15 115 210 130
1315 13
2 2
dimdim
4. 4. 4. 4. 4. x
Long del rect
xAncho del rect
x xx
x
224
212
224
212
212
+ →
− →
+
−
= −
. .
.
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
4. 4. 4. 4. 4. x
x mcm
x x
x
m m Dimensiones
224 2
48 2
48
48 12
+ = =
+ ==
⋅ →
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
x Long del cuadradoEquiv al rect
x Long del rectx Ancho del rect
x x x
x x xx
x Long del rectx Ancho del rectm m Dimensiones
→
+ →− →
+ − =
+ − ==
⇒ + = + = →⇒ − = − = →
⋅ →
.. .
. ..
. ..
76
7 6
4242
7 42 7 496 42 6 36
49 36
2
2 2
6. 6. 6. 6. 6.
( )( ) ( )( )( )
x Anchox Longitud
x x x x
x x x x
x x x xx
xm Anchox m Longm m Dimensiones
→+ →
+ − + + = +
+ + + = +
+ + + = +==
→⇒ + = + = →
⋅ →
30
30 20 15 150 30
10 15 150 30
25 150 150 30300 5
6060
30 60 30 9090 60
2
2 2
.
7. 7. 7. 7. 7.
( )( ) ( )
x Anchox Longitud
x x x x
x x x xx Ancho
x Longm m Dimensiones
→+ →
+ + = +
+ + = += →
⇒ + = + = →⋅ →
10
8 1 10
9 8 108
10 8 10 1818 8
2 2
.
EJERCICIO 154
1. 1. 1. 1. 1. x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
x x
x
Numerador
Deno ador
fracción
→− →
− +=
+=
= +=
→− = →
→
2
2 7
1
2
5
1
2
2 5
5
5
5 2 3
5
3
min
min
2. 2. 2. 2. 2. x Numerador
x Deno ador
x
x
x
x
x x
x
x
Numerador
Deno ador
Fracción
→+ →
+ +=
+=
= +==
→+ = →
→
1
1 15
1
3
16
1
3
3 16
2 16
8
8
8 1 9
8
9
min
min
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )
x Numeradorx Deno ador
xxxx
x xx x
xNumerador
Deno ador
Fracción
− →→
− ++
=
−+
=
− = +− = +
=− = →→
→
8
8 11
34
71
34
4 7 3 14 28 3 3
3131 8 23312331
min
min
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x Numeradorx Deno ador
xx
x xx x
xNumerador
Deno ador
Fracción
→+ →
−+
=
− = +− = +
=→
⋅ + = →
→
2 14
2 113
3 4 2 13 12 2 1
13132 13 1 271327
min
min
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
x Numeradorx Deno adorx
xxx
x xx x
xx
NumeradorDeno ador
Fracción
→− →+
− +=
++
=
+ = ++ = +
==
→⋅ − = →
→
3 18
3 1 41112
83 3
1112
12 8 33 112 96 33 33
63 213
33 3 1 838
min
min
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( ) ( ) ( )( )
x Numeradorx Deno ador
xx
xx
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx x
xx
NumeradorDeno ador
Fracción
→+ →
+ +=
+
−
+=
+− = + +
+ = + − + +
+ = + − − −= −==
→+ = →
→
1
1 43
12
53
12 5 1
1 3 5 2 5 1
3 15 2 12 103 10
10 25
55 1 656
2 2 2
min
min
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
x Numeradorx Deno adorxx
xx
x xx x
xx
NumeradorDeno ador
Fracción
→+ →++ −
=
++
=
+ = ++ = +
==
→⋅ + = →
→
2 615
2 6 143
152 5
43
3 15 4 2 53 45 8 20
25 55
52 5 6 165
16
min
min
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
x Numeradorx Deno ador
xx
xx
mcm x
x x xxx
xNumerador
Deno ador
Fracción
→− →
−−
−−
= = −
− − = −= −==
→− = →
→
22
221522
3 22
15 3 2215 3 6681 327
2727 22 5275
min
min
EJERCICIO 155
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )( )
x cifra deunidadesx cifra de decenas
x xx xx El Númeroxx
x xx x
xx
cifra deunidadescifra de decenas
N buscado
→+ →
+ ++ ++ →++
=
+ = ++ = +
==
→+ = →
→
2
10 210 2011 2011 202 1
7
11 20 14 111 20 14 14
6 32
22 2 442 º
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
x cifra deunidadesx cifra de decenas
x xx xx El Númeroxxx x
xx
cifra deunidadescifra de decenas
N buscado
→− →
− +− +− →−−
=
− = −==
→− = →
→
4
10 410 4011 4011 402 2
4
11 40 8 163 24
888 4 448 º
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x cifra deunidadesx cifra de decenas
x xx N dis uido enxx
x xxxN buscado
→→
+ −− →−
=
− ===
→
210 2 921 9 921 9
36
21 9 183 9
363
º min
º
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
( )
x cifra deunidadesx cifra de decenas
x x
xx N multip
x xx x
xx
Cifra de unidadesCifra de decenas
N buscado
→+ →
+ +
++ →
+ = ++ = +
==
→+ = →
→
1
10 1
3 11 1033 30 3
33 30 21 2 133 30 42 21
9 91
11 1 221
º .*
º
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )( )
x cifra deunidadesx cifra de decenas
x xx N aumentado enxx
x xx xxxN buscado
→− →
− + +− →−−
=
− = −− = −
==
→
7
10 7 878 9 878 92 7
6
78 9 12 778 9 84 12
3 62
52
º
º
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x cifra deunidadesx cifra de decenas
x xx El Númerox x
x xx
cifra deunidadescifra de decenas
N buscado
→+ →
+ ++ →+ − =
− ==
→+ = →
→
2
10 211 2011 20 27 10
11 7 107
77 2 997 º
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x cifra deunidadesx cifra de decenas
x xx N dis enxx xx x
xN buscado
→→
+ −− →−−
=
− ==
→
210 2 421 4 421 42
20
21 4 204
84
º min
º
EJERCICIO 1561. 1. 1. 1. 1. x Días trabaj juntos
xmcm x
x x
x
x
días Hacen la obra
→
+1
= =
+ ===→
.
1
3 6
16
2 6
3 6
2
2
2. 2. 2. 2. 2. x Tiempo en llenar depósito
xmcm x
x x
x
x
x
En llenar depósito
→
+ = =
+ ==
=
=
→
1
10
1
20
120
2 20
3 20
20
36
6
23
23 min.
3. 3. 3. 3. 3. x Hacen obra juntos
xmcm x
x x x
x
x
días Hacen obra juntos
→
+ + = =
+ + ===
→
1
4
1
6
1
12
112
3 2 12
6 12
2
2
4. 4. 4. 4. 4. x Hacen obra juntos
x
xmcm x
→
+ + =
+ + = =
1
1
1
6
1
2
1
2
3
1
6
5
12
112
12
25
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación4. 4. 4. 4. 4. 8 2 5 12
15 12
12
154
54
5
x x x
x
x
x
de día hacen la obra
+ + ==
=
=
5. 5. 5. 5. 5. x Tiempo en llenar depósito
xmcm x
x x x
x
x
x
Llenar el depósito
→
+ + = =
+ + ==
=
=
→
1
5
1
6
1
12
160
12 10 5 60
27 60
60
272
2
29
29 min
6. 6. 6. 6. 6. x Tiempo en llenar depósito
xmcm x
x x x
x
x
x
Llenarel depósito
→
+ − = =
+ − ==
=
=
→
1
4
1
8
1
20
140
10 5 2 40
13 40
40
133
3
113
113 min.
EJERCICIO 157
ABCD x
AB
BCX
CD
xx
xx
x x
x
x
==
=
=
= + +
= +
= +=
= =
5
1230
5 3012
3512
12 420
11 420
420
1138 2
11
1.1.1.1.1.
AB x
BD
AC
CDX
AB BD AC CD
xx
mcm
x x
x
x
x
===
=
+ = +
+ = + =
+ = +=
=
=
15
50
12
15 5012
12
12 180 600
11 420
420
1138 2
11
AB x
BD
AC
CDx
AC CD AB BD
xx mcm
x x
x
x
x
===
=
+ = +
+ = + =
+ = +=
=
=
45
50
12
5012
45 12
600 12 540
60 11
60
115 5
11
2.2.2.2.2.
AB x
BD
AC
CDx
===
=
30
40
12
AB BD AC CD
xx
mcm
x x
x
x
x
+ = +
+ = + =
+ = +=
=
=
30 4012
12
12 360 480
11 120
120
1110 10
11
3.3.3.3.3.
4.4.4.4.4.
5.5.5.5.5.
6.6.6.6.6.
ABC x
AB
BCx
ABC AB BC
xx
mcm
x x
x
x
x
==
=
= +
= + =
= +=
=
=
20
12
2012
12
12 240
11 240
240
1121 9
11
ABx
BC
ABC x
ABC AB BC
xx
mcm
x x
x
x
x
=
=== +
= + =
= +=
=
=
1230
1230 12
12 360
11 360
360
1132 8
11
ABCD x
AB
BCx
CD
ABCD AB BC CD
xx
xx
mcm
x x
x
x
x
==
=
== + +
= + +
= +
== +=
=
=
10
1215
1012
15
2512
12
12 300
11 300
300
11
27 311
7.7.7.7.7.
ABCD x
AB
BCx
CD
ABCD AB BC CD
xx
mcm
x x
x
x
x
==
=
== + +
= + + =
= + +=
=
=
30
1215
3012
15 12
12 360 180
11 540
540
1149 1
11
AB x
BD
AC
CDx
AB BD AC CD
xx
xx
mcm
x x
x
x
x
===
=
+ = +
+ = +
− = =
− ==
=
=
15
30
12
15 3012
1215 12
12 180
11 180
180
1116 4
11
8.8.8.8.8.
ABC x
AB
BCx
ABC AB BC
xx
mcm
x x
x
x
x
==
=
= +
= + =
= +=
=
=
50
12
5012
12
12 600
11 600
600
1154 6
11
9.9.9.9.9.
AB x
BD
AC
CDx
AB BD AC CD
xx
x x
x
x
x
===
=
+ = +
+ = +
+ = +=
=
=
15
35
12
15 3512
12 180 420
11 240
240
1121 9
11
10.10.10.10.10.
ABCD x
AB
BCx
CD
ABCD AB BC CD
xx
xx
mcm
x x
x
x
x
==
=
== + +
= + +
= + =
= +=
=
=
15
125
1512
5
2012
12
12 240
11 240
240
11
21 911
11.11.11.11.11.
ABCD x
AB
BCx
CD
ABCD AB BC CD
xx
xx
mcm
x x
x
x
x
==
=
== + +
= + +
= + =
= +=
=
=
40
1210
4012
10
5012
12
12 600
11 600
600
1154 6
11
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. ContinuaciónEJERCICIO 158
1. 1. 1. 1. 1.
( )
x N mayorx N menorx
x mcm
x xx N mayor
N menor
→− →
− = − =
− = −= →
− = →
ºº
ºº
6
210
38
6 8
4 80 3 1862
62 6 56
2. 2. 2. 2. 2.
( )x Ledió A a B
x x mcm
x xx
xLedió A a B
→
− = + =
− = +==
→
1110
120 90 10
1 320 11 900 10420 21
2020
.
$
4. 4. 4. 4. 4. x Persona favorecida
x Persona que recibió menos
x x mcm
x x
x
x
soles Pers favorecida
soles Pers que rec men
→
→
+ = =
+ ===
→
⋅ =
→
5
75
748 000 7
7 5 336 000
12 336 000
28 000
28 000
5
728 000 20 000
20 000
.
.
.
.
. .
. .
. . . .
3. 3. 3. 3. 3. x N buscado
x
xCociente sumado
xx
Nueva sum en
x
x
x N buscado
→+
+
+→
+
= + → ÷
+ =
+ == →
º
º
6
85
46
85
46
82
46
162
46
164
46 64
18
AB x
BD
AC
CDx
AB BD AC CD
xx
xx
mcm
x x
x
x
x
===
=
+ = +
+ = +
− =
=− =
=
=
=
10
40
12
10 4012
1230
12
12 360
11 360
360
1132 8
11
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
x Parte mayorx Parte menor
x x mcm
x xx xxx
Parte mayorParte menor
→− →
= − =
= −= −==
→− = →
841
1014
84 20
2 5 842 420 57 420
606084 60 24
6. 6. 6. 6. 6. x Parte mayor
x Parte menor
x x mcm
x x
x
x Parte mayor
Parte menor
→− →
− = =
− === →
− = →
120
1203
55
600 5 3
600 8
75
120 75 45
7. 7. 7. 7. 7. x Sueldo mensualx
x x mensual
x x mcm
x xxx
Sueldo mensual
→
+ = →
−
= =
− ===
→
238
78
15 1578
300 8
120 105 2 40015 2 400
160160
..
$
8. 8. 8. 8. 8. x Lo que tenía
x Gastó en ropa
x Gastó en libros
x x x mcm
x x x
x
x
Gastó en ropa
Gastó en libros
→
→
→
− − − = =
− − − ===
⋅ = →
⋅ = →
1
53
81
5
3
8102 0 40
40 8 15 4 080 0
17 4 080
240
1
5240 48
3
8240 90
.
.
$
$
12. Continuación12. Continuación12. Continuación12. Continuación12. Continuación
7
4
3
2
21
8
21
8
51
4054 40
105 51 2 160
54 2 160
40
7
4
7 40
470
70
x xVr total vta
de todos los lib
Luego
x xmcm
x x
x
x
x
Total libros comprados
⋅ = →
− = =
− ===
=⋅
=
→
. .
.
.
.
13. 13. 13. 13. 13. x parte
xparte
xx parte
x x parte
xx
x x
mcm
x x x x
x
x
parte
parte
parte
parte
→
→
⋅ = →
⋅ = →
+ + + =
=+ + + =
==
→
⋅ = →
⋅ = →
⋅ = →
1
5
62
3
5
5
6
1
23
1
3
1
2
1
64
5
6
1
2
1
6150
6
6 5 3 900
15 900
60
60 1
5
660 50 2
1
260 30 3
1
660 10 4
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
9. 9. 9. 9. 9. x Edad de A
x Edad de B
x x Edad de C
x x x mcm
x x x
x
x
años Edad de A
años Edad de B
años Edad de C
→
→
⋅ = →
+ + = =
+ + ===
→
⋅ = →
⋅ = →
2
52
3
2
5
4
15
2
5
4
1525 15
15 6 4 375
25 375
15
15
2
515 6
4
1515 4
10. 10. 10. 10. 10. x Costo auto
xx mcm
x x
x
x
bs Costo auto
→
+ = + =
+ = +==
→
8 0003
2 000 3
24 000 3 6 000
18 000 2
9 000
9 000
. .
. .
.
.
.
11. 11. 11. 11. 11. x Libros compre
x xmcm
x x
x
x Lib compre
→
− = =
− === →
7
2
5
28 2
7 5 16
2 16
8 .
12. 12. 12. 12. 12. x Cierto N de librosx
Vr cierto N de libros
x xVr del N
de lib antx x x
Vr total de
lib compré
xx x
total lib comp
→
→
= →
+ = →
+ = →
º
. º
. º
. .
.
.
. .
3434
710
2140
34
34
2140
5140
34
74
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ABC x
AB
BCx
ABC AB BC
xx
mcm
x x
x
x
x
==
=
= +
= + =
= +=
=
=
45
12
4512
12
12 540
11 540
540
1149 1
11
15. 15. 15. 15. 15.
( )
x Edad Ax Edad B
x x mcm
x xx x
xaños Edad A
años Edad B
→− →
− − = − =
− − = −− = −
=→
− = →
10
10 1534
15 4
4 40 60 3 454 100 3 45
555555 10 45
16. 16. 16. 16. 16. x Puede hacerla A
xmcm x
x x
x
x
días Puede hacerla A
→
+ = =
+ ===→
1
10
1 1
660
6 60 10
60 4
15
15
17. 17. 17. 17. 17. x Parte mayor
x Parte menor
xx
xx mcm
x x
x
x
Parte mayor
Parte menor
→− →
= − −
= − =
= −==
→⇒ − = →
650
5650 50
5600 5
3 000 5
6 3 000
500
500
650 500 150
.
.
18. 18. 18. 18. 18.
( )
x Edad actual Bx
Edad actual A
xx mcm
x xxx
años Edad actual B
años Edad actual A
→
→
− = − =
− = −==
→
= →
4
410
110
10 40
10 400 4 406 360
6060604
15
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )
( )
( )( )
x N mayorx N menor
x x x
x x x x
x x
x xx x
xx
N mayorN menor
→− →
− − − = −
− + − − = −
− = −
− = −− = −
==
→− = →
ºº
ºº
1
1 431
111
2 1 43111
1
2 44111
1
11 2 44 122 484 1
21 48323
2323 1 22
2 2
2 2
20. 20. 20. 20. 20. x Vr sortijax
x mcm
x xx
xsucres Vr sortija
→+
= + =
+ = +==
→
..
.
. ..
.
73 000
121 500 12
21 000 7 18 000 123 000 5
600600
21. 21. 21. 21. 21. x N personas
x xx
N más de pers
x x
x xmcm x
x
x
x
personas Se repartió
→
+ = →
=
= − =
= −==
→
º
º .
$
1
5
6
51206
5
100
100 1202
100 120 2
2 20
10
10
22. 22. 22. 22. 22. x libros que compró
xx x
Libros más
x x
x xmcm x
x
x
x
libros compró
Pagópor c u
→
+ = →
=
= − =
= −==
→
= →
4
5
44005
4
320
320 4002
320 400 2
2 80
40
40
400
4010$ /
23. 23. 23. 23. 23.
( )
x Suma repartidax
cibió A
xcibió B
x xx
mcmx x x
x
c A
c B
→
− →
+ →
− + + + =
=+ + =
=
− = →
+ = →
230
37
20
230
37
20 30
147 6 280 14
2802802
30 110
3 2807
20 140
Re
Re
$ Re .
$ Re .
24. 24. 24. 24. 24. x Lib comprad
xVr de x lib
xx x
sto
x xVr vta resto
x xmcm
x x
x
x
Libros comprados
→
→
− = →
⋅ = →
− = =
− ===
→
. .
. .
Re
.
6
5
3
2
32
3
9
4
3
23
2
6
59 10
15 12 90
3 90
30
30
25. 25. 25. 25. 25. x Fortuna
xx x x
mcm
x x x x
x
colones Fortuna
→
− − − =
=− − − =
=→
2 4 62 500
12
12 6 3 2 30 000
30 000
30 000
.
.
.
.
14.14.14.14.14.
26. 26. 26. 26. 26. x sueldo anual
xx x x
mcm
x x x x
x
x
balboas sueldo anual
→
− − − =
=− − − =
==
→
3
5 8 20810
40
40 24 5 2 32 400
9 32 400
3 600
3 600
.
.
.
.
27. 27. 27. 27. 27. x Ahorros
xx x x
Lequedaba
x x
x xmcm
x x
x
x
ahorros
→
− − = →
⋅ =
− = =
− ===→
3
8
5
12
5
243
5
5
24 85
24 8400 24
5 3 9 600
2 9 600
4 800
4 800
.
.
.
$ .
28. 28. 28. 28. 28.
( )
x Parte mayorx Parte menor
xx
x x
mcmx x x x
x xx
xParte mayor
Parte menor
→− →
− − = − −
=− − = − +
− − = −− = −
=→− = →
350
35035
1715
350
155 250 15 9 15 5 950 17
24 32 11 20056 11 200
200200350 200 150
. ...
29. 29. 29. 29. 29.
( )
x Suma repartidacibió A
x B Cx C B
C A B
C x CC x CC x
Cx
x xx
x xx mcm
x x xx
Suma recibida
→→
− = +− − =
= +
= + − −= −=
=
+ + ⋅ + =
+ + = =
+ + ==
→
$ Re
$
1515
15
15 15
2
2
15 1523 2 2
303 2
6
180 2 3 6180
180
30. 30. 30. 30. 30.
( )
x Pesos
x N piezasde ctvs
x xN piezasde ctvs
x xx
mcmx x x
xx
Pesos
piezasde ctvs
piezasde ctvs
→
→
⋅ = →
+ + =
=+ + =
==
→
⋅ = →
= →
34
20
23
34 2
10
34
0 200 10
29 60
44 0 6 0 2 38 4
4 8 38 48
834
8 6 20
82
4 10
º
º
,,
,
, , ,, ,
31. 31. 31. 31. 31. x Capital primitivo
x año
xx x
Le quedaba
x xaño
x x xTenia al term
el año
x xaño
xx x x
x x x x
x
x
Q Capitalprimitivo
er
er
→
→
− = →
⋅ = →
+ = →
⋅ = →
− + + =
− + + ===
→
1
51
5
4
53
10
4
5
6
252
4
5
6
25
26
252
3
5
26
25
78
1253
5
6
25
78
12513 312
125 25 30 78 1 664 000
208 1 664 000
8 000
8 000
º
.
º
.
' .
' .
.
. .
32. 32. 32. 32. 32.
( )x Edad de A
x x mcm
x xx
años Edad de A
→
− = + =
− = +=→
1023
5 3
3 30 2 1040
40
33. 33. 33. 33. 33.
( )
x Cant bresen el lado del cuadrado
x Hombres en la tropa
x x
er
→
+ →
+ = + +
. hom
1
36
1 36 75
2
2 2
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
Continuación Continuación Continuación Continuación Continuación
33. 33. 33. 33. 33.
( )
x x xxx
bresen el ladodel cuadrado
Homb en la tropa
er
2 2
2
2 1 1112 110
5555
1
55 363 061
+ + = +==
→
+= →
hom
. .
34. 34. 34. 34. 34. x Lo que tenía
xx x
mcm
x x x
x
tenía
→
− − = +
=− − = +
=→
5
820
416
8
8 5 160 2 128
288
288$
35. 35. 35. 35. 35.
( )
x Empezó a jugarx Le quedaba
xx
x xx x
mcmx x x
xx
Lempiras Empezó a jugar
→− →
− =−
+ − −−
− =
=− − + − =
==
→
2 603
102 60
6 18010
606 180
1078
0
4080 2 400 24 720 35 0
21 1 68080
80
..
36. 36. 36. 36. 36.
( ) ( )
x Cifra unidadesx Cifra decenas
x x x xx x x
xCifra unidades
Cifra decenasN buscado
→+ →
+ + − = + ++ + − = +
=→+ = →
→
5
10 5 18 6 510 50 18 12 30
222 5 772 º
37. 37. 37. 37. 37.
( )
x Unidadesx Decenas
x x x xx x x x
xx
UnidadesDecenas
N buscado
→− →
− + − = + −− + − = + −
==
→− = →
→
9
10 9 27 10 990 10 27 10 9
54 183
39 3 663 º
38. 38. 38. 38. 38. x Mangos que había
xx x
Quedaban
x x
xx
xx x x
mcmx x x x
xx
Mangos había
→
− − =−
→
−
+ =
+
+
+ =+
− − −+
−
+
=
=− − − − − − =
==
→
34
2 123
13
2 123
62 42
92 42
92
91029
34
2 429
1029
0
99 3 36 2 42 102 0
3 18060
60
39. 39. 39. 39. 39.
( )x Ganó c u
x x mcm
x xx
xGanó c u
→
+ = + =
+ = +==
→
/
$ /
710
80 50 10
560 7 500 1060 320
20
40. 40. 40. 40. 40.
( )
x Pluma fuente
x Lapicero
x x
mcmx x
xx
Costo la pluma
Costo lapicero
→
→
− = +
=− = +
==
→⋅
= →
3556
0 2035
0 30
3025 5 18 9
7 142
23 25
1 20
, ,
$
$ ,
41. 41. 41. 41. 41. x Tenía el lunes antes dex x
Lunes
xx x
Quedaba
xx
Martes
x x xQuedaba
xx
Miercoles
→
+ =+
→
−+
=
−→
−
+ =+
→
−−
+
=
−→
−
+ =+
→
22
42
42
42
422
24
44
24
412
412
42
24
8
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
41. 41. 41. 41. 41. x xmcm
x xx
xTenía el lunes antes de
−−
+
= =
− − − =− =
=⇒ →
124
48
0 8
2 24 4 028 0
2828$
42. 42. 42. 42. 42. x Capital primitivo
xx x
Tenía
xx
año
x x xTenía
xx
año
x xmcm
x x
x
x
Capital primitivo
→
+ − =−
→
−
− =−
→
−+
−=
−→
−
− =−
→
−+
−= =
− + − ===
→
26 000
3 12 000
23 12 000
22
6 0003 36 000
42
3 12 000
2
3 36 000
4
9 60 000
49 60 000
42
6 0009 108 000
83
9 60 000
4
9 108 000
832 250 8
18 120 000 9 108 000 258 000
27 486 000
18 000
18 000
..
.
..
º
. . .
.
..
º
. ..
. . .
.
.
$ .
43. 43. 43. 43. 43. x ecio traje
ecio bastón
sx
x s
xecio sombrero
x xmcm
x x
x
ecio traje
ecio sombrero
→→
+ =
+ − =+
→
++ = =
+ + ==
→+
= →
Pr
$ Pr
Pr
$ Pr
$ Pr
15
153
415 5 2
10
210
215
3
44
2 20 60 3
80
80
80 10
245
44. 44. 44. 44. 44. x Espacio recorrido por perro y conejo
Perro Conejo
uesto
egunta
Luego Saltos del perrocon respecto a la ventaja
Perro Conejo
uesto
egunta x
Luegox
Saltos que avanza el conejo
al ser alcanzado
→
⋅ →
→
sup
Pr ?
:
sup
Pr ?
:
2 5
50
2 50
5
3 8
8
3
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
44. 44. 44. 44. 44. Perro Conejo
uesto
egunta x
Luegox
Saltos que da el perro
para alcanzar al conejo
Entonces
x xmcm
x x
x
Saltos del perro
para alcanzar el conejo
sup
Pr ?
:
:
2 5
5
2
8
3
2 50
5
5
26
16 120 15
120
5 120
2300
→
−⋅
= =
− ==⋅ = →
45. 45. 45. 45. 45. x Espacio recorrido
por perro y liebre
Perro Liebre
uesto
egunta
Luego Saltos del perro con
respecto a la ventaja
Perro Liebre
uesto
egunta x
Luegox
Saltos que avanza la
liebre al ser alcanzada
Perro Liebre
uesto
egunta x
Luegox
Saltos que da el perro
para alcanzar a la liebre
Entonces
x x
x xmcm
x x
x
x
Saltos del perro
para alcanzar la liebre
→
⋅ →
→
→
− ⋅ =
− = =
− ===
⋅ = →
sup
Pr ?
:
sup
Pr ?
:
sup
Pr ?
:
:
,
,
3 4
60
3 60
4
5 8
8
5
3 4
4
3
8
5
3 60
4
4
38
545
4
315
24 675 20
4 675
168 75
4
3168 75 225
AB x
AC
CDx
BD
AB BD AC CD
xx
xx
mcm
x x
x
x
x
==
=
=+ = +
+ = +
− = =
− ==
=
=
50
126
6 5012
1244 12
12 528
11 528
528
1148
47. 47. 47. 47. 47.
( )
x Aporta A
x Aporta B
xx x
año A
x xaño B
x xaño A
x xmcm
x x
x x
xaño B
Entoncesx x
er
er
→
→
− = →
+ =+
→
+ =+
→
+−
+
=
+ − −
+=
+
+→
+=
+
34
545
1
34
3 0003 12 000
41
45
1 6004 8 000
52
3 12 0004
19
3 12 0004
36
27 108 000 3 12 00036
24 96 00036
3 8 32 00036
8 32 00012
2
4 8 0005
8 32 00012
..
..
º
. .
. .
. .
.º
:. .
mcm
x xxx
bs Aportó A
bs Aportó B
=
+ = +==
→⋅
= →
60
48 96 000 40 160 0008 64 000
8 0008 0003 8 000
46 000
. ..
..
..
46.46.46.46.46.
48. 48. 48. 48. 48. x Años para que la edad
del padre sea a la
suma de sus hijos
x x x
x x
x
años Edad del padre sea
igual a la suma
de sus hijos
→=
+ = + + ++ = +
=→
60 16 14
60 30 2
30
30
49. 49. 49. 49. 49. x Km recorridos
x xmcm
x x
x
x
Km recorridos
→
+ = =
+ ===
→
.
.
50 1012 50
5 600
6 600
100
100
50. 50. 50. 50. 50. Buey
P C
CP
Luego
PC
P Pmcm
P P
P
P
Costo el perro
C mcm
C
C
C
Costo el caballo
→+ =
+ =
+=
++ = =
+ + ===
→+
= =
+ ===
→
$
:
$
$
80
80 2
8013
2
80
280
280
13
22
80 160 13
240 12
20
20
20 80
22
20 80 2
100 2
50
50
EJERCICIO 1591. 1. 1. 1. 1. a m
v ms
v ms
x
x
x m
=
=
=
= ⋅−
=
=
30
8
5
30 8
8 5
240
380
'
2. 2. 2. 2. 2.
( )
a Km
v Kmh
v Kmh
x
x
x Km
=
=
= −
=⋅
− −
=
=
160
50
30
160 5050 308 000
80100
'
.
.
3. 3. 3. 3. 3. a Km
v Kmh
v Kmh
x
=
=
=
= ⋅−
200
90
40
200 90
90 40
'
Continúa Continúa Continúa Continúa Continúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
3. 3. 3. 3. 3. x
x Km de A
De B
Como la dis cia entre A y B
es Km
Entonces B recorrió
Km Km Km
=
=
− =
18 000
50360
200
360 200 160
.
.
tan
4. 4. 4. 4. 4. a Km
v Kmh
v Kmh
x
x
x Km
El tiempo empleado
en encontrarse será
KmKm
hhoras
=
=
=
=⋅−
=
=
=
80
90
70
80 90
90 70
7 200
20360
360
904
'
.
.
5. 5. 5. 5. 5.
( )
a Km
v Kmh
v Kmh
De A
x
x
x KmComo los trenes pasanpor A y B a las amEntonces De Ax Km
v Kmh
Tiempo empleado paralos Km es
KmKm
hhoras
horas hLuegoam h
am Se encuentran
=
=
= −
=⋅
− −
=
=
=
=
=
→
+ =→
550
100
120
550 100100 12055 000
220250
8
250
100
250250
1002 5
2 5 2 30
8 2 30 10 3010 30
'
.
.
.
.
,
, min.:
min ::
6. 6. 6. 6. 6.
( )
a Km
v Kmh
v Kmh
x Dis cia recorrida porA al encontrarse
x
x
x Km AComo A recorrió KmEntonces B
Km Km Km B
=
=
= −
→
=⋅
− −
=
= →
− = →
70
9
5
70 99 563014
4545
70 45 25
'
tan
9. 9. 9. 9. 9.
( )
a Kmv v
v v
xv
v v
xv
vx Km
=== −
=− −
=
=
186
186
1862
93
'
.
8. 8. 8. 8. 8.
( )
Re arg
'
.
arg:
corrido tren de c aen horas es
Kmh
h Km
a Km
v Kmh
v Kmh
x
x
x KmKm Alcanza el tren de
pasajeros al de c aEl tiempo empleado es
KmKm
hhoras
3
42 3 126
126
60
42
126 6060 427 560
18420
420
42060
7
=
=
=
=
=⋅
−
=
=→
=
7. 7. 7. 7. 7.
( )
A y B dis tes KmKm Km Km
a Km
v Kmh
v Kmh
x
x
x KmLuego A recorre
Km Km KmB recorre
Km Km Km
tan
'
2929 2 2727
5
4
27 55 41359
15
15 2 17
29 17 12
12
12
12
12
12
12
12
⇒ − ==
=
= −
=⋅
− −
=
=
+ =
− =
EJERCICIO 162
1. 1. 1. 1. 1. b cm
h cm
Ab h
Acm cm
A cm
==
= ⋅
= ⋅
=
10
8
210 8
2
40 2
2. 2. 2. 2. 2.
( )
d m
Ad
Am
A m
=
=
=
=
8
2
82
32
2
2
2
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
t s
v ms
e v t
e s ms
e m
=
=
= ⋅
=
=
15
9
15 9
135
4. 4. 4. 4. 4. v ms
e m
te
vt
mm
st s
=
=
= ⇒ =
=
9
108
108
9
12
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
b mc m
a b c
a m ma m ma m
a ma m
=== +
= +
= +=
==
43
4 3
16 925
255
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
a mc m
b a c
b m mb m mb m
b mb m
=== −
= −= −
=
==
135
13 5
169 25144
14412
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
7. 7. 7. 7. 7.
( )
r m
A r
A mA mA m
==
= ⋅
=
= ⋅
=
53 14
3 14 5
3 14 25
78 5
2
2
2
2
ππ,
,
,
,
8. 8. 8. 8. 8. r m
C r
C m
C m
C m
=== ⋅= ⋅ ⋅= ⋅=
5
3 14
2
2 3 14 5
10 3 14
31 4
ππ,
,
,
,
9. 9. 9. 9. 9.
( )
h mr m
vh r
vm m
v mv m
===
=⋅ ⋅
=⋅
= ⋅
=
923 14
39 3 14 2
312 3 1437 68
2
2
2
2
ππ
,
,
,,
10. 10. 10. 10. 10. P g
V cm
Dp
v
Dg
cm
D gcm
=
=
=
=
=
8 24
8
8 24
8
1 03
3
3
3
,
,
,
11. 11. 11. 11. 11.
( )
L m
AL
Am
A mA m
=
=
=
=
=
4
34
4 34
4 36 92
2
2
2
2,
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )
N
S
S
S
=
= −
=
=
6
180 6 2
180 4
720
!
!
!
EJERCICIO 163
1. 1. 1. 1. 1. e v t
ve
tRta
te
vRta
= ⋅
=
=
2. 2. 2. 2. 2.
( )A h
b b
A h b bA
b bh Rta
=+
= +
+=
'
'
'
2
22
3. 3. 3. 3. 3. e a t
e a t
e
ta Rta
= ⋅
= ⋅
=
1
2
2
2
2
2
2
4. 4. 4. 4. 4. A a l n
A a l n
A
l na Rta
A
n al Rta
A
l an Rta
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅=
⋅=
⋅=
1
22
2
2
2
5. 5. 5. 5. 5. A r
Ar
Ar Rta
= ⋅
=
=
π
π
π
2
2
6. 6. 6. 6. 6. a b c bx
a b c bx
a b c
bx
b c a
bx Rta
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
= + −
− − = −
− − − =
+ −=
7. 7. 7. 7. 7. V V a t
V a t V Rta
V V a t
V V
ta Rta
V V
at Rta
o= + ⋅
− ⋅ =
− = ⋅
−=
−=
0
0
0
0
8. 8. 8. 8. 8. V V a t
V a t V Rta
a t V V
aV V
tRta
tV V
aRta
o= − ⋅
+ ⋅ =
⋅ = −
=−
=−
0
0
0
0
9. 9. 9. 9. 9. DP
VDV P
VP
DRta
P VD Rta
=
=
=
=
10. 10. 10. 10. 10. a b c
a c b
a c b Rta
a b c
a b c Rta
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
= +
− =
− =
− =
− =
11. 11. 11. 11. 11. V a t
V
at Rta
aV
tRta
= ⋅
=
=
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )
( )
1 1 1f p pp p
f p pf p f p
f p p
p p f p p
pf p p
p
pf pp
f pp
p ff p
p
pf p
pf
p p f pp
f
p p f p f
pp fp f
Rta
= −
⋅⋅ ⋅
=⋅ − ⋅
⋅ ⋅
⋅ = −
=−
=⋅
−⋅
= −⋅
+⋅
=
⋅ + ⋅=
+ = ⋅
=⋅+
''
''
'
' '
''
''
''
''
' '
'
'
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
12. 12. 12. 12. 12.
( )
p p f pp
f
p pp
f pp
f
pf p
pf
f pp
f p
f p p f pf pf p
p Rta
' '
' '
''
''
' '''
⋅ + ⋅=
⋅+
⋅=
+⋅
=
⋅= −
⋅ = −⋅−
=
13. 13. 13. 13. 13. ve
d
ve
d
v d e Rta
de
vRta
=
=
⋅ =
=
2
2
2
14. 14. 14. 14. 14. e V t a t
e V t a t
e a t V t
e a t
tV Rta
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
− ⋅ = ⋅
− ⋅⋅
=
02
02
20
2
0
1
2
2 2
2 2
2
2
15. 15. 15. 15. 15.
( )
e V t a t
e V t a te a t V te a t
tV Rta
a t V t e
aV t e
t
aV t e
tRta
= ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅+ ⋅ = ⋅+ ⋅
⋅=
⋅ = ⋅ −
=⋅ −
=⋅ −
02
02
20
2
0
20
02
02
12
2 22 22
22 22 2
2
16. 16. 16. 16. 16. Vh r
V
rh Rta
V
hr
v
hr Rta
= ⋅ ⋅
⋅=
⋅=
⋅=
π
π
π
π
2
2
2
33
3
3
17. 17. 17. 17. 17. Ic t r
I c t r
I
t rc Rta
I
r ct Rta
I
c tr Rta
=⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅=
⋅=
⋅=
100100
100
100
100
18. 18. 18. 18. 18. E I R
E
IR Rta
E
RI Rta
= ⋅
=
=
19. 19. 19. 19. 19. eV
a
ae V
ae V Rta
=
=
=
2
2
2
2
2
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )
( )
( )
u a n r
u n r a Rta
u a n ru a
rn
u ar
n
u a rr
n Rta
u a r nru a nr r
u a r nu an
r Rta
= + −
− − =
− = −−
= −
−+ =
− +=
− + =− = −
− = −−−
=
1
1
1
1
1
1
1
21. 21. 21. 21. 21. u a r
u
ra Rta
u
ar
u
ar Rta
n
n
n
n
= ⋅
=
=
=
−
−
−
−
1
1
1
1
22. 22. 22. 22. 22. IQ
tQ I t Rta
Q
It Rta
=
= ⋅
=
EJERCICIO 1641. 1. 1. 1. 1. x x
x x
x
Lim erior de x
− < −− + < −
<→
5 2 6
5 6 2
1
1 . inf
2. 2. 2. 2. 2. 5 12 3 4
5 3 12 4
2 8
4
4
x x
x x
x
x
Lim eror de x
− > −− > −
>>
→ . inf
3. 3. 3. 3. 3. x x
x x
x
x
Lim erior de x
− > −+ > +
>>
→
6 21 8
8 21 6
9 27
3
3 . inf
4. 4. 4. 4. 4. 3 14 7 2
14 2 7 3
12 4
3
x x
x x
x
x
− < −− + < −
− <− <
5. 5. 5. 5. 5. 25
3 310
6 5 30
6 30 5
5 35
7
xx
x x
x x
x
x
− > +
− > +− > +
>>
6. 6. 6. 6. 6. 3 44
5
22
12 16 10 8
12 10 16 8
3 24
8
xx x
x x x
x x x
x
x
− + < +
− + < ++ − < +
<<
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )x x
x x x xx xx
xx
− − > −
− + − > − +− − > − +
− > −<<
1 7 2
2 1 7 4 46 4 4 2
10 210 2
5
2 2
2 2
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( )x x x x
x x x xx xx
x
+ − + < + +
+ − + < + +− < −
<
<
2 1 26 4 5
2 26 9 2024 20 9
4 812
2 2
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )3 2 2 3 2 1 4
3 6 2 6 2 7 49 6 7 4
9 7 4 62 2
1
2 2
x x x x x
x x x x xx x
x xxx
− + + > − +
− + + > + −− > −
− > − +>>
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )( ) ( )6 1 2 4 3 2 3 5 21
6 6 6 8 8 15 638 14 15 63
8 15 63 147 497 49
7
2
2 2
x x x x
x x x xx x
x xxxx
+ − − + < +
+ − + + < ++ < +
− < −− <
> −> −
11. 11. 11. 11. 11. ( )( ) ( )( )x x x x
x x x xx x
x
x
x
− + < − −
+ − < − ++ < +
<
<
<
4 5 3 2
20 5 65 20 6
6 26266133
2 2
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )2 3 4 7 4 2
4 12 9 4 28 4 24 48 3212 48 9 32
60 4160 41
4160
2 2 3
2 3 2 3 2
x x x x
x x x x x x xx x
xx
x
− + − < −
− + + − < − + −− − < − −
− < −>
>
13. 13. 13. 13. 13.
( )( ) ( )( )
2 13 1
2 53 2
3 2 2 1 2 5 3 1
6 7 2 6 13 52 5 13 7
7 676
2 2
xx
xx
x x x x
x x x xx x
x
x
+−
>++
+ + > + −
+ + > + −+ > −
>
>
14. 14. 14. 14. 14.
( )( ) ( )
xx
x
x x x x
x x x xx x
xx
+−
+>
+ + − > +
+ + − > +− >
>>
33
42 3
2 3 12 2
5 6 12 25 2 6
3 62
2 2
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )
53 1
209 1
23 1
5 3 1 20 2 3 115 5 20 6 2
15 6 25 29 27
3
2x x x
x xx x
x xxx
+−
−<
−
− − < +− − < +
− < +<<
16. 16. 16. 16. 16. 1 1 1
1
1 1
2
2 2 2x x x x x
x x x
x
+>
−−
−− > + −
>
17. 17. 17. 17. 17. x N s enteros
x x
x x
x x
x
N s enteros menores
que Rta
→
+ > +
+ > +− > −
>
º .
º .
315
21
2 90 3 6
90 6 3 2
84
84
EJERCICIO 165
1. 1. 1. 1. 1. x y x
x x
x x
x x
x Rta
− > + >− > + >
> + >> >
>
3 5 2 5 17
3 5 2 5 17
5 3 2 12
8 6
8
2. 2. 2. 2. 2. 5 6 2 9 3
6 5 9
11 9
9
− >− + >− > − − − > −
< <<
x y x x
x x
x x
x Rta
3. 3. 3. 3. 3. 6 5 4 11 4 2 10 5
2 6 3 6
3 2
3
x x x x
x x
x x
x Rta
+ > + − > −> >> >
>
4. 4. 4. 4. 4. 5 4 7 16 8 7 16 15
12 2 8 8
6 1
1
x x y x x
x x
x x
x Rta
− > − − < −> <> <
<
5. 5. 5. 5. 5. x x
y x x
x x x x
x x
x
x Rta
23
42 2
3
56 23
2 12 8 10 3 30 117
20 120 20
6
20
25− > + + < −
− > + + < −> <
<>
6. 6. 6. 6. 6. 2 3 10 6 4 5 6
2 10 3 6 5 6 4
13 10
10 13
x x y x x
x x x x
x x
x Rta
− < + − > +− < + − > +
< >< <
7. 7. 7. 7. 7. x x
y x x
x x x x
x x x
x x
x Rta
41
31 2 3
2
53 12 4 18 10 18 5 2
18 12 4 3 5 20
6 4
4 6
12
35− > − − > +
− > − − > +− > − >
> >< <
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x y x x x x
x x x x x x x xx xx
x Rta
− + < + − + + > + +
+ − < − − + + > + +< − > −< −
− < < −
1 2 2 3 3 5 4 3
2 6 8 15 7 122 4 3
23 2
2 2 2 2
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
xx
xx
yxx
xx
x x x x x x x
x x x x x x x xx x
x Rta
++
>−+
−+
<−−
+ + > − + − < − +
+ + > + − − + < − −> <
< <
28
23
14
51
2 3 2 8 1 5 4
5 6 6 16 2 1 2022 21
21 22
2
2 2 2 2
10. 10. 10. 10. 10. x N s enteros
xx
y x x
x x x
x
x
x Luego son y Rta
→
− > + + < +
− > + <>>
< <
º .
3 62
4 4 8 3 15
6 12 8 7
5 20
4
4 7 5 6
EJERCICIO 166
1. 1. 1. 1. 1. x Ky
K
K
x
x
==
=
= ⋅
=
9 6
9
63
28
12
8. 8. 8. 8. 8. xK y
ZK
K
K
Z
Z
Z
=
=
==
= ⋅
=
=
34
824 4
6
107 6
42
104 1
5
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )
xK
yK
K
K
x
x
x
=−
=−
=
=
=−
=
=
2
2
2
1
93 1
98
7272
5 172243
2. 2. 2. 2. 2. x Ky
K
K
y
y
y
==
=
=
⋅ =
=
2 3
2
3
242
33 24
236
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )
( ) ( )
A KBCK
K
KAA
==
=
===
30 2 53010
33 7 484
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )
x KYZK
K
K
Ky
y
yy
==
=
=
=
=
==
4 3 64
1829
10 9
1029
9
10 25
5. 5. 5. 5. 5. AK
BK
K
AK
A
=
=
=
=
= =
35
15
715
72 1
7
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )( )
( )
x K y
K
K
K
K
xxx
= −
= −
= −
=
=
= −= ⋅=
2
2
2
1
48 5 1
48 25 14824
2
2 7 12 4896
11. 11. 11. 11. 11.
( )
( )
A Area delcuadrado
d DiagonalA Kd
m K mmm
K
K
A m
Am
A m
→
→
=
=
=
=
=
=
=
2
2 2
2
2
2
2
2
18 6
1836
12
12
10
1002
50
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )( )
( )( )
Ap Area piramidea apotema
pb perim de la bAp Kapbm K m m
m K mmm
K
K
Ap m m
Apm
Ap m
→→→
=
=
=
=
=
=
=
=
. .
480 12 80
480 960
480960
12
12
6 40
2402
120
2
2 2
2
2
2
2
7. 7. 7. 7. 7. AKB
CK
K
K
A
A
=
=
==
= ⋅
=
812
38 4
2
2 7
141
6. 6. 6. 6. 6. BK
AK
K
K
A AA A
=
=
=
=
= ⇒ =
⇒ = ⇒ =
1
3 1
21
32
1
6
1
12
1
6 1
12
1
66 12 2
15. 15. 15. 15. 15. Lo Long circunf
r Radio
Lo Kr
cm K cm
K
cmr
cm r
cm r
cm r
→→
== ⋅
=
=
=
=
=
. .
44 7
44
7
6644
7462 44
462
4410 1
2
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )
( )
Vp Vol piramideh Altura
Ab Area baseVp KhAb
m K m m
m K m
K
Vp m m
Vpm
Vp m
→→→
=
= ⋅
=
=
= ⋅
=
=
.
96 8 36
96 28813
13
12 64
7683
256
3 2
3 3
2
3
3
14. 14. 14. 14. 14.
( )
( )
Ao Area circulor Radio
Ao Kr
cm K cmcmcm
K
K
Ao cm
Ao cmAo cm
→→
=
=
=
=
=
= ⋅=
2
2 2
2
2
2
2
2
616 14616196
227
227
7
22 7154
16. 16. 16. 16. 16. xK
y
K
K
K
y
y
y
y
y
=
=
⋅ ==
=
=
= ±
= ±
= ±
2
2
2
2
46
36 4
144
9144
144
9
144
9
12
34
EJERCICIO 167
1. 1. 1. 1. 1. A KB
K
K A B
=== ⇒ =
10 5
2 2
2. 2. 2. 2. 2. e Espacio
V Velocidad
t Tiempo
e KVt
Si K e Vt
→→→
== ⇒ =1
3. 3. 3. 3. 3. Ar Area rombo
D Diag mayor
D Diag menor
A KDD
cm K cm cm
cm K cm
K
A DD
→→→
=
= ⋅ ⋅
= ⋅
=
=
'
'
'
24 8 6
24 48
1
21
2
2
2 2
4. 4. 4. 4. 4. AKB
C
K AB
C
=
= ⇒ =33
5. 5. 5. 5. 5. C Kr
cm K cm
cm
cmK
K
C r
== ⋅
=
=
=
132 21
132
21
44
744
7
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( )
( )
C Espacio ht Tiempoh Altura e
e K t
m K sm
sK
ms
K
e t
→→→
= ⋅
=
=
=
=
2
2
2
2
2
19 6 219 6
4
4 9
4 9
,,
,
,
7. 7. 7. 7. 7. FKmV
r=
2
8. 8. 8. 8. 8. y Función
x Vble indep
y x
→→
= +. .
2 3
9. 9. 9. 9. 9. L Lado de un cuad
inscrito en un circulo
r Radio
L K r
K
L r
→
→= ⋅
=
= ⋅
.
2
2
10. 10. 10. 10. 10. y Función
x Vble indep
yx
→→
= +
. .2
22
11. 11. 11. 11. 11. yx
=−5 2
3
12. 12. 12. 12. 12. F Fuerza de atracc
m Masa cuerpo
m Masa cuerpo
d Dis cia
FK m m
d
→→→→
= ⋅ ⋅
.
'
tan
'
1
2
2
13. 13. 13. 13. 13. h Altura
A Area del
B Base
hK A
B
cmK cm
cm
cm K cm
K
hA
B
→→→
= ⋅
= ⋅
= ⋅=
=
∆∆
1020
4
10 5
2
2
2
14. 14. 14. 14. 14. W Energ cinetica
m Masa
V Velocidad
W KmV
K
W mV
→→→
=
=
=
.
2
2
1
21
2
16. 16. 16. 16. 16. xK
y
K
K
xy
=
=
=
=
25
10
10
15. 15. 15. 15. 15. B Area base piramide
V Volumen
h Altura
BKV
hK
K
K
BV
h
→→→
=
= ⋅
= ⋅=
=
100400
121 200 400
3
3
.
18. 18. 18. 18. 18. AKB
CK
K
K
AB
C
AB
C
=
= ⋅
= ⋅
=
=
=
324
412 24
1
21
2
2
17. 17. 17. 17. 17. xK
y
K
K
xy
=
=
=
=
2
2
2
32
12
12
EJERCICIO 173
1.1.1.1.1. x y
y x
x Entero y
Para que y sea entero
y el mayor valor que
podemos dar a x es
Por to las soluciones
enteras y son
x y
x y
x y
x y
+ == −− → +
+
+= == == == =
5
5
5
4
1 4
2 3
3 2
4 1
.
tan
:
2. 2. 2. 2. 2. 2 3 37
2 37 3
37 3
236
2
1
2
2
2 2
181
2
181
21
23 3
22
2
1
2
2
2 2
11
2
x y
x y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
Entero
+ == −
= −
= + − −
= − + −
− + =−
− →
−→
+ − −
− +−
→
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación
( )
( )
12
1 22 11 2
2 3 1 2 372 3 6 37
2 34 6
2 17 32
17 31 217 30 1 171 1
1 3 142 5 113 7 84 9 55 11
−=
− =− = −
= −
⇒ + − =+ − =
= +
=+
= += − →= += = == = − →= − = == − = == − = == − = == − =
ym
y my my m
x mx m
x m
xm
x my m m enterox mm y x solm y nom y x solm y x solm y x solm y x solm y x solm y x no
== − = = − →
26 13 1
3. 3. 3. 3. 3. 3 5 43
3 43 5
43 5
342
3
1
3
3
3
2
3
141 2
3
x y
x y
xy
xy y
x yy
+ == −
= −
= + − −
= − + −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
3. Continuación3. Continuación3. Continuación3. Continuación3. Continuación
( )
( )
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my m
y m
x mx m
x m
xm
x my mx mm x y solm x y Nom x y
− + =−
−→
−→
− −
− +−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ − =
= +
=+
= += −= += = == = = − →= − = =
141 2
31 2
32 4
323
33
13
23
23
2 33 2
2 3
3 5 2 3 433 10 15 43
3 33 15
3 11 53
11 52 311 50 11 21 16 1
1 6 5 solm x y solm x No
= − = == − = − →
2 1 83 4
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x yx yy Entero
y Enteroy my my m
x mx m
x my mx mm x y Nom x y solm x y solm x y Nom x y No
+ == −
− →− →− =− = −
= −
+ − =+ − =
== −== = = →= = == = == = = →= = = − →
3 99 3
9 333
33
3 3 99 3 9
3330 0 31 3 22 6 13 9 04 12 1
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )
7 8 1157 115 8
115 87
1127
37
77 7
163
73
724 8
7247
77 724
724
724 7
7 2424 7
7 8 24 7 1157 192 56 115
7 56 77
7 8 117
8 11
x yx y
xy
xy y
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my my m
x mx m
x m
xm
x m
+ == −
=−
= + − −
= − +−
−→
−→
− −
− +−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ − =
− = −
=−
= −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
5. Continuación5. Continuación5. Continuación5. Continuación5. Continuación
y m
x m
m x No
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x No
= −= −= = − →= = − →= = == = == = = − →= − = − →
24 7
8 11
0 11
1 3
2 5 10
3 13 3
4 21 4
1 19
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )
15 7 1367 136 15
136 157
1337
37
147 7
19 23
7
19 23
73
724 8
7247
77 724
724
724 7
7 2424 7
15 24 7 7 136360 105 7 136
105 7 224
7 15 327
15
x yy x
yx
yx x
y xx
y xx
xEntero
xEntero
x x
xx
xm
x mx mx m
m ym ym y
ym
y
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−→
−→
− −
− +−
−=
− =− = −
= −
− + =− + =− + = −
=−
= mx my mm x y Nom x y Nom x y Nom x y solm x Nom x No
x y No
−= −= −= = = − →= = = − →= = = − →= = == = − →= − = − →
= = − →
3224 715 320 24 321 17 172 10 23 3 134 4
1 3131 47
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x yx yx y
xy
x y
y my my m
x mx m
x my mx mm x Nom x y solm x y solm x y solm x y solm x y Nom
+ == −= + − −
= − −
+ = −
− =− = −
= −
+ − =+ − =
= −= −= −= = − →= = == = == = == = == = = →=
5 2424 524 1 1 5255
15
55
15
5
55
5
5 5 2425 5 24
5 155 10 11 4 42 9 33 14 24 19 15 24 06 29 1
1 6x y No
m x No= = − →
= − = − →
8. 8. 8. 8. 8. 9 11 203
9 203 11
203 11
9198
9
5
9
9
9
2
9
225 2
9
225 2
95 2
925 10
918
9
7
9
9
9 9
27
97
97 9
9 7
7 9
x y
x y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y m
y m
y m
+ == −
=−
= + − −
= − + −
− + = −
− →
−→
+ − −
− + −
− =
− =− = −
= −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación
( )
( )
9 11 7 9 2039 77 99 203
9 14 119
14 117 914 110 14 71 25 2
1 3 162 8
x mx m
xm
x my mx mm x y solm x y Nom x y solm x No
+ − =+ − =
=+
= += −= += = == = = − →= − = == − = − →
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
5 2 732 73 5
73 52
722
12
42 2
36 21
2
36 21
21
21 2
2 11 2
5 1 2 2 735 10 2 73
2 34 52
34 51 234 50 1 341 1
1
x yy x
yx
yx x
y xx
y xx
xm
x mx mx m
m ym y
ym
y mx my mm x y solm x Nom x
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−=
− =− = −
= −
− + =− + =
=+
= += −= += = == = − →= − =3 29
2 5 243 7 194 9 145 11 96 13 47 15 1
y solm x y solm x y solm x y solm x y solm x y solm x y No
== − = == − = == − = == − = == − = == − = = − →
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )
8 13 1628 162 13
162 138
1608
28
88
58
202 5
8
202 5
82 5
810 25
8108
248 8
310
810
810 8
8 1010 8
8 13 10 8 1628 130 104 162
8 4 138
4 1310
x yx y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my my m
x mx m
xm
x my
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−→
−→
− −
− +−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ − =
=+
= += −= += = == = == = = − →= − = − →
84 130 4 101 17 22 30 6
1 9
mx mm x y solm x y solm x y Nom x No
11. 11. 11. 11. 11. 7 5 104
5 104 7
104 7
5100
5
4
5
5
5
2
5
204 2
5
204 2
54 2
512 6
5
x y
y x
yx
yx x
y xx
y xx
xEntero
xEntero
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + = −
− →
− →
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación
( )
( )
105
25
55 5
22
5
22
52
52 5
5 22 5
7 2 5 5 10414 35 5 104
5 18 75
18 712 518 70 2 181 3
1 7 112 12 43 17 3
+ − −
− +−
− +−
−=
− =− = −
= −
− + =− + =
=+
= += −= += = == = − →= − = == − = == − = = − →
x x
xx
xx
xm
x mx mx m
m ym y
ym
y mx my mm x y solm x Nom x y solm x y solm x y No
12. 12. 12. 12. 12.
( )
10 3232 1032 2 2 103010
210
1010
32
102
103
33
3
10 3 3230 10 32
2 100 3 21 2 122 1 223 0 324 1
1 4 8
x yy xy x
yx
y x
y x
x mx mx m
m ym y
y mm x y solm x y solm x y solm x y Nom x Nom x y No
+ == −= + − −
= + −
= + −
− = −
− =− = −
= −
− + =− + =
= += = == = == = == = = →= = − →= − = = − →
13. 13. 13. 13. 13.
( )
( )
9 4 864 86 9
86 94
844
24
84 4
21 22
4
21 22
42
42 4
4 22 4
9 2 4 4 8618 36 4 86
4 17 94
17 92 40 2 171 2
1 6 8
x yy x
yx
yx x
y xx
y xx
xm
x mx mx m
m ym y
ym
y mx mm x y solm x Nom x y solm
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−=
− =− = −
= −
− + =− + =
=+
= += −= = == = − →= − = == − = = − →2 10 1x y No
14. 14. 14. 14. 14. 9 11 207
9 207 11
207 11
9198
9
9
9
9
9
2
9
229 2
9
229 2
99 2
945 10
945
9
9
9 945
945 9
9 45
45 9
x y
x y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
ym
y m
y m
y m
+ == −
=−
= + − −
= − + −
− + = −
− →
− →
− −
− =
− =− = −
= −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación
( )
( )
9 11 45 9 2079 495 99 207
9 11 329
11 3245 911 320 321 212 103 1 184 12 95 23 06 34 9
1 43
x mx m
xm
x my mx mm x Nom x Nom x Nom x y solm x y solm x y Nom x y Nom x No
+ − =+ − =
=−
= −= −= −= = − →= = − →= = − →= = == = == = = →= = = − →= − = − →
15. 15. 15. 15. 15.
( )
( )
11 12 35411 354 12
354 1211
35211
211
1111 11
32211
32211
211
2 1111 22 11
11 12 2 11 35411 24 132 354
11 30 1211
30 122 110 30 21 42 9
1 18
x yx y
xy
xy y
x yy
x yy
ym
y my my m
x mx m
xm
x my mm x y solm x y Nom x y
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ − =
=+
= += −= = == = = − →= − = == − = == − = − →
132 6 243 6
solm x y solm x No
16. 16. 16. 16. 16.
( )
( )
10 13 29410 294 13
294 1310
29010
410
1010
310
294 3
104 3
1028 21
102810
2010 10
228
1028
1028 10
10 2828 10
10 13 28 10 29410 364 130 294
10 13 710
13 728 100
x yx y
xy
xy y
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my my m
x mx m
xm
x my mm x
+ == −
=−
= + − −
− + =−
−→
−→
− −
− +−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ − =
=−
= −= −= = −7
1 6 182 19 83 32 2
1 20
→= = == = == = = − →= − = − →
Nom x y solm x y solm x y Nom x No
17. 17. 17. 17. 17. 11 8 300
8 300 11
300 11
8296
8
4
8
3
8
8
8
374 3
8
374 3
84 3
812 9
8
x y
y x
yx
yx x
y xx
y xx
xEntero
xEntero
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + = −
− →
− →
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
ContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuaciónContinuación
17. 17. 17. 17. 17.
( )
( )
128
88 8
128
12 88 1212 8
11 12 8 8 300132 88 8 300
8 21 118
21 1112 80 12 211 4 322 4
1 20 102 28 1
− −
−=
− =− = −
= −
− + =− + =
=+
= += −= = == = == = − →= − = == − = = − →
x x
xm
x mx mx m
m ym y
ym
y mx mm x y solm x y solm x Nom x y solm x y No
18. 18. 18. 18. 18.
( )
( )
21 25 70521 705 25
705 2521
69321
1221
2121
421
3312 4
2112 4
21192 64
2119221
6321 21
3192
21192
21192 21
21 192192 21
21 25 192 21 70521 4 800 525 705
21 25 19521
25 195
x yx y
xy
xy y
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my my m
x mx m
xm
x m
+ == −
=−
= + − −
= − +−
−→
−→
− −
− +−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ − =
=−
= −
.
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
18. Continuación18. Continuación18. Continuación18. Continuación18. Continuación
y m
m x No
m x No
m x y sol
m x y sol
m x y No
m x No
= −= = − →= = − →= = == = == = = − →= − = − →
192 21
0 195
7 20
8 5 24
9 30 3
10 55 18
1 220
19. 19. 19. 19. 19.
( )
( )
3 4 53 5 4
5 43
23
33
33 3
12
3
12
32
32 3
3 2
3 4 3 2 53 12 8 5
3 4 13
4 13 21 3 12 7 43 11 7
x yx y
xy
xy y
x yy
x yy
ym
y my m
x mx m
xm
x my mm x y solm x y solm x y sol
− == +
=+
= + + +
= + ++
− − =+
+=
+ == −
− − =− + =
=−
= −= −= = == = == = =
20. 20. 20. 20. 20. 5 8 1
5 1 8
1 8
51 8
52 16
52
5
15
5 5
32
52
5
x y
x y
xy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
− == +
=+
+→
+→
+ +
+ +
+ =
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
20. Continuación20. Continuación20. Continuación20. Continuación20. Continuación
( )
( )
2 55 2
5 8 5 2 15 40 16 1
5 8 35
8 35 21 5 32 13 83 21 13
+ == −
− − =− + =
=−
= −= −= = == = == = =
y my m
x mx m
xm
x my mm x y solm x y solm x y sol
21. 21. 21. 21. 21.
( )
( )
7 13 437 43 13
43 137
427
17
77
67
61 6
7
61 6
71 6
76 36
767
357 7
56
76
76 7
7 6
7 13 7 6 437 91 78 43
7 13 57
13 57 61 8
x yx y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my m
x mx m
xm
x my mm x
− == +
=+
= + + +
= + ++
− − =+
+→
+→
+ +
++
+=
+ == −
− − =− + =
=−
= −= −= = y sol
m x y solm x y sol
== = == = =
12 21 83 34 15
22. 22. 22. 22. 22.
( )
11 12 011 12
1211
1111 11
11
1111
11 12 11 011 132 0
12111 12 112 24 223 36 33
x yx y
xy
xy y
x yy
ym
y mx m
x mx m
y mm x y solm x y solm x y sol
− ==
=
= +
− =
=
=− =
− ==
== = == = == = =
23. 23. 23. 23. 23.
( )
( )
14 17 3214 32 17
32 1714
2814
414
1414
314
24 3
144 3
1420 15
141414
614
1414 14
1614
614
6 1414 6
14 17 14 6 3214 238 102 32
14 17 514
17 514 61 12 8
x yx y
xy
xy y
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my m
x mx m
xm
x my mm x y solm
− == +
=+
= + + +
= + ++
+→
+→
+ + +
+ ++
+=
+ == −
− − =− + =
=−
= −= −= = == = == = =
2 29 223 46 36
x y solm x y sol
24. 24. 24. 24. 24.
( )
( )
7 11 837 83 11
83 117
777
67
77
47
116 4
7
116 4
76 4
712 8
777
57
77 7
15
75
75 7
7 5
7 11 7 5 837 77 55 83
7 11 47
11 47 5
x yx y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my m
x mx m
xm
x my mm
− == +
=+
= + + +
= + ++
− − =+
+→
+→
+ + +
+ ++
+=
+ == −
− − =− + =
=+
= += −= 1 15 2
2 26 93 37 16
x y solm x y solm x y sol
= == = == = =
25. 25. 25. 25. 25. 8 13 407
8 407 13
407 13
8400
8
7
8
8
8
5
8
507 5
8
507 5
87 5
835 25
832
8
3
8
24
8 8
x y
x y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
− == +
= +
= + + +
= + + +
− − = +
+→
+ →
+ + +
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
25. Continuación25. Continuación25. Continuación25. Continuación25. Continuación
( )
( )
4 33
83
83 8
8 3
8 13 8 3 4078 104 39 407
8 13 468
13 468 31 59 52 72 133 85 21
+ ++
+=
+ == −
− − =− + =
=+
= += −= = == = == = =
yy
ym
y my m
x mx m
xm
x my mm x y solm x y solm x y sol
26. 26. 26. 26. 26.
( )
( )
20 23 41120 411 23
411 2320
40020
1120
2020
320
2011 3
20
2011 3
2011 3
2077 21
206020
1720
2020 20
317
2017
2017 20
20 17
20 23 20 17 41120 460 391 411
20 23 120
20 1723
y xy x
yx
yx x
y xx
y xx
xEntero
xEntero
x x
xx
xm
x mx m
y my m
ym
x my m
− == +
=+
= + + +
= + ++
− − =+
+→
+→
+ + +
+ ++
+=
+ == −
− − =− + =
=+
= −= +1
1 3 242 23 473 43 70
m x y solm x y solm x y sol
= = == = == = =
27. 27. 27. 27. 27.
( )
( )
5 7 3125 312 7
312 75
3105
25
55
25
622 2
5
622 2
52 2
56 6
555
15
55 5
11
51
51 5
5 1
5 7 5 1 3125 35 7 312
5 7 615
7 615 1
y xy x
yx
yx x
y xx
y xx
xEntero
xEntero
x x
xx
xm
x mx m
y my m
ym
y mx mm
− == +
=+
= + + +
= + ++
− − =+
+→
+→
+ + +
+ ++
+=
+ == −
− − =− + =
=+
= += −=1 4 68
2 9 753 14 82
x ym x ym x y
= == = == = =
EJERCICIO 1741. 1. 1. 1. 1. x Billetes
y Billetes
x y
x y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
→→+ =
= −
= −
= + − −
= − + −
− + =−
−→
$
$
2
5
2 5 42
2 42 5
42 5
240
2
2
2
3
2
2
2
202 3
2
202 3
22 3
2ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
1. Continuación1. Continuación1. Continuación1. Continuación1. Continuación
( )
( )
22
22 22
22
22 2
2 22 2
2 5 2 2 422 10 10 42
2 5 162
5 162 20 16 21 21 02 26 2
1 11 42 6 63 1 84
− −
− +−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ − =
=+
= += −= = == = = →= = = − →= − = == − = == − = == − =
y y
yy
ym
y my my m
x mx m
xm
x my mm x y solm x y Nom x y Nom x y solm x y solm x y solm x − →41 2 8 56 2 6 511 2 4 516 2 2 5
Node y dede y dede y de óde y de
$ $$ $$ $$ $
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
x Monedas dey Monedas dex y
x y
xy
xy y
x yy
x y yy my my m
x mx m
xm
x m
→→+ =
= −
=−
= + − −
= − +−
− + = −− =− = −
= −
+ − =+ − =
=+
= +
$$
510
5 10 455 45 10
45 105
405
55
55
55
85 5
58 11
11
5 10 1 455 10 10 45
5 2 75
2 7ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuacióny m
m x y sol
m x y No
m x y sol
m x y sol
m x y sol
m x No
de y de
de y de
de y de
de y de
= −= = == = = →= − = == − = == − = == − = − →
1
0 7 1
1 9 0
1 5 2
2 3 3
3 1 4
4 1
1 5 4 10
3 5 3 10
5 5 2 10
7 5 1 10
$ $
$ $
$ $
$ $
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
5 3 623 62 5
62 53
603
23
33
23
202 2
3
202 2
32 2
310 10
393
13
93 3
3 31
31
31 3
3 11 3
5 1 3 3 625 15 3 62
3 5 193
5 19
x yy x
yx
yx x
y xx
y xx
xEntero
xEntero
x x
xx
xm
x mx mx m
m ym y
ym
y mx
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−→
−→
+ − −
− +−
−=
− =− = −
= −
− + =− + =
=+
= += −= = == = − →= − = == − = == − = =
1 30 1 191 2
1 4 142 7 93 10 4
1 19 4 14 7 910 4
mm x y solm x Nom x y solm x y solm x y sol
y y yy
; ; ;
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x Sombrerosy Pares de zapatosx y
x y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my my m
x mx m
x
→→+ =
= −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−→
−→
+ − −
− +−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ − =
=
8 15 3408 340 15
340 158
3368
48
88
78
424 7
8
424 7
84 7
828 49
8248
48
488 8
3 64
84
84 8
8 44 8
8 15 4 8 3408 60 120 340
8 15( )m
x my mm x y solm x y Nom x y solm x y solm x No
sombreros y pares de zapsombreros y pares de zapsombreros y pares de zap
+
= += −= = == = = − →= − = == − = == − = − →
358
15 354 80 35 41 50 4
1 20 122 5 203 10
5 2020 1235 4
.
..
5. 5. 5. 5. 5. x Metros de lanay Metros de seda
x ySi multiplico por la
ecuación inicial no sealtera Luegox y
x y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my my
→→
+ =→
+ == −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−→
−→
+ − −
− +−
−=
− =− = −
1 50 2 50 422
3 5 843 84 5
84 53
813
33
33
23
273 2
3
273 2
33 2
315 10
3123
33
93 3
4 33
33
33 3
3 3
, ,
.
( )
( )
= −
+ − =+ − =
=+
= += −= = == = = →= − = == − = == − = == − = == − = − →
3 3
3 5 3 3 843 15 15 84
3 5 233
5 233 30 23 31 28 0
1 18 62 13 93 8 124 3 155 2
3 158 1213 918
m
x mx m
xm
x my mm x y solm x y Nom x y solm x y solm x y solm x y solm x Nom de lana y m de sedam de lana y m de sedam de lana y m de sedam de lana y m de sedam de lana y m de seda
623 3
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )
x niñosy adultos
x yx y
x y
xy
xy y
x yy
x yy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my my m
x mx
→→
+ =+ =
= −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−→
−→
+ − −
− +−
−=
− =− = −
= −
+ − =+ −
0 45 17 209 20 340
9 340 20340 20
93339
79
189
29
37 27 2
9
37 27 2
97 2
998 28
9909
89
279 9
10 38
98
98 9
9 88 9
9 20 8 9 3409 160
,
( )180 340
9 20 209
20 208 90 20 81 0 1
1 0 172 20
20 8
m
xm
x my mm x y solm x y Nom x y Nom x No
niños y adultos
=
=+
= += −= = == = = − →= − = = →= − = − →
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x Caballosy Vacas
x yx y
y x
yx
yx x
→→
+ = ÷+ =
= −
=−
= + − −
460 440 41 000 2023 22 2 050
22 2 050 232 050 23
222 046
224
222222 22
..
.
.
.
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación
( )
( )
y xx
xm
x mx mx m
m ym y
ym
y mx mm x y solm x Nom x y solm x y solm x y solm x y No
caballos y vacas
= − +−
−=
− =− = −
= −
− + =− + =
=+
= += −= = == = − →= − = == − = == − = == − = = − →
93422
422
4 2222 44 22
23 4 22 22 2 05092 506 22 2 050
22 23 8922
23 894 220 4 891 18
1 26 662 48 433 70 204 92 3
4 8926
.
.
caballos y vacascaballos y vacascaballos y vacas
6648 4370 20
8. 8. 8. 8. 8.
( )
( )
3 3 5 53 5 2
3 2 52 5
32 5
34 10
333
13
93 3
1 31
31
31 3
3 1
3 5 3 1 23 15 5 2
3 5 13
5 1
x yx y
x y
xy
yEntero
yEntero
y y
yy
ym
y my m
x mx m
xm
x m
+ = +− =
= +
=+
+→
+→
+ + +
+ ++
+=
+ == −
− − =− + =
=−
= −ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación
y m
m x No
m x y sol
Los N s son y
= −= = − →= = =
3 1
0 1
1 4 2
4 2º
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
( )
x Monedas dey Monedas de
x yx y
y x
yx
yx x
y xx
y xx
xm
x mx mx m
m ym y
ym
y mx
→→
+ =+ =
= −
=−
= + − −
= − +−
− + =−
−=
− =− = −
= −
− + =− + =
=+
= += −
0 250 10
0 25 0 10 2 10 10025 10 210
10 210 25210 25
1020010
1010
2010
510
20 210 5
10
20 22
22
22 2
2 22 2
25 2 2 10 21050 50 10 210
10 5 1610
5 162
,,
, , ,
20 2 161 0
1 4 112 6 63 8 14 10 4
2 0 25 16 0 104 0 25 11 0 106 0 25 6 0 108 0 25 1 0 10
mm x y solm x Nom x y solm x y solm x y solm x y No
mon de y mon demon de y mon demon de y mon demon de y mon de
= = == = →= − = == − = == − = == − = = − →
. , . ,
. , . ,
. , . ,
. , . ,
EJERCICIO 175
21. 21. 21. 21. 21. x y
x y
+ = − == − =
1 0 4 0
1 4
Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ −1 4,
22. 22. 22. 22. 22. 3 2 5
3 2 0 0 5
1 1 5 012
x y con x y
x y x y
x y x y
= + =− = = =
= = = =
23. 23. 23. 23. 23. x y con x y
x y x y
x y x y
− = + == = − = == = = =
2 3 18
0 2 0 18
2 0 6 0
Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ 5 3,
24. 24. 24. 24. 24. 2 0 5 4 26
1 2 0 6
2 4
12
x y con x y
x y x y
x y
− = + = −= = = = −
= − = −
Escala 1:2 Escala 1:2 Escala 1:2 Escala 1:2 Escala 1:2
Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ 2 3,
y = 4y = 4y = 4y = 4y = 4
x =
- 1
x =
- 1
x =
- 1
x =
- 1
x =
- 1
(-1,
4)(-
1,4)
(-1,
4)(-
1,4)
(-1,
4)
00000
3x =
2y
3x =
2y
3x =
2y
3x =
2y
3x =
2y
x + y = 5
x + y = 5
x + y = 5
x + y = 5
x + y = 5
(2,3
)(2
,3)
(2,3
)(2
,3)
(2,3
)
00000
x - y
= 2
x - y
= 2
x - y
= 2
x - y
= 2
x - y
= 2
3x +
y =
18
3x +
y =
18
3x +
y =
18
3x +
y =
18
3x +
y =
18
(5,3
)(5
,3)
(5,3
)(5
,3)
(5,3
)
00000
2x -
y =
0
2x -
y =
0
2x -
y =
0
2x -
y =
0
2x -
y =
0
5x + 4y = - 26
5x + 4y = - 26
5x + 4y = - 26
5x + 4y = - 26
5x + 4y = - 26
(-2,
-4)
(-2,
-4)
(-2,
-4)
(-2,
-4)
(-2,
-4)
00000
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − −2 4,
25. 25. 25. 25. 25. 5 6 9 4 3 24
0 1 0 8
3 4 3 4
12
x y con x y
x y x y
x y x y
+ = − − == = − = = −= = − = = −
26. 26. 26. 26. 26. x con x y
x x y
x y
+ = − = −= − = =
= − = −
5 0 6 7 9
5 2 3
5 3
27. 27. 27. 27. 27. 3 8 28 5 2 30
4 2 0 15
0 3 2 1012
x y con x y
x y x y
x y x y
+ = − = −= = = == = = − =
28. 28. 28. 28. 28. y con x y
y x y
x y
− = + == = =
= =
4 0 7 2 22
4 0 11
2 4
Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2
5x + 6y = - 9
5x + 6y = - 9
5x + 6y = - 9
5x + 6y = - 9
5x + 6y = - 9
4x -
3y =
24
4x -
3y =
24
4x -
3y =
24
4x -
3y =
24
4x -
3y =
24
5x -
2y
= -3
0
5x -
2y
= -3
0
5x -
2y
= -3
0
5x -
2y
= -3
0
5x -
2y
= -3
0
3x + 8y = 28
3x + 8y = 28
3x + 8y = 28
3x + 8y = 28
3x + 8y = 28
(3,-4)(3,-4)(3,-4)(3,-4)(3,-4)
(-4,5
)(-4
,5)
(-4,5
)(-4
,5)
(-4,5
)
Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ −3 4,IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − 4 5,
6x -
7y =
-9
6x -
7y =
-9
6x -
7y =
-9
6x -
7y =
-9
6x -
7y =
-9
x +
5 =
0x
+ 5
= 0
x +
5 =
0x
+ 5
= 0
x +
5 =
0
7x + 2y = 22
7x + 2y = 22
7x + 2y = 22
7x + 2y = 22
7x + 2y = 22
y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0y - 4 = 0
(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)(-5,-3)
(2,4
)(2
,4)
(2,4
)(2
,4)
(2,4
)
00000
00000
00000
00000
IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ − −5 3, IntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersecciónIntersección ( )→ 2 4,
29. 29. 29. 29. 29. 6 5 4 3 38
6 5 0 2 10
5 6 1 14
x y con x y
x y x y
x y x y
= − − = −+ = = − =
= = − = =
30. 30. 30. 30. 30. 5 2 14 8 5 17
0 7 1 5
2 2 4 3
x y con x y
x y x y
x y x y
− = − − = −= = = == − = = − = −
EJERCICIO 176
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
x y x yx y x y
xy
yy
y yy y
yy
xx
xsol x y
+ = − == − = +
=+
− =+
− = +− = +
==
+ =+ =
== =
6 27 7 3 927 6 7 9 3
9 37
27 69 3
77 27 6 9 3189 42 9 3
180 454
6 4 2724 27
33 4
;
:
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
( )
3 2 2 5 8 603 2 2 5 60 8
2 23
60 85
2 23
60 85
5 2 2 3 60 810 10 180 24
170 345
3 2 5 23 10 2
3 124
4 5
x y x yx y x y
xy
xy
y y
y yy y
yy
xx
xx
sol x y
− = − + = −= − + = − −
= −−
= −+
−−
= −+
− = +− = +− =
− =
− − = −+ = −
= −= −
= − = −
;
:
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
3 5 7 2 45 7 3 4 2
7 35
4 2
7 35
4 2
7 3 5 4 27 3 20 10
13 131
2 1 42 4
22
1 2
x y x yy x y x
yx
y x
xx
x xx x
xx
yyyy
sol x y
+ = − = −= − − = − −
=−
= +
−= +
− = +− = +− =
− =
− − = −− − = −
− = −=
= − =
;
:
Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2
4x -
3y =
- 38
4x -
3y =
- 38
4x -
3y =
- 38
4x -
3y =
- 38
4x -
3y =
- 38
6x = - 5y
6x = - 5y
6x = - 5y
6x = - 5y
6x = - 5y
5x -
2y
= -1
4
5x -
2y
= -1
4
5x -
2y
= -1
4
5x -
2y
= -1
4
5x -
2y
= -1
48x
- 5
y =
-17
8x -
5y
= -1
7
8x -
5y
= -1
7
8x -
5y
= -1
7
8x -
5y
= -1
7
(-5,6)(-5,6)(-5,6)(-5,6)(-5,6)
(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)(-4,-3)
0000000000
Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ − −4 3,Intersección Intersección Intersección Intersección Intersección ( )→ − 5 6,
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
7 4 5 9 8 137 5 4 9 13 8
5 47
13 89
9 5 4 7 13 845 36 91 56
92 464692
12
9 812
13
9 4 139 9
1
112
x y x yx y x y
xy
xy
y yy yy
y
x
xxx
sol x y
− = + == + = −
=+
=−
+ = −+ = −
=
= =
+
=
+ ===
= =
;
:
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
9 16 7 4 3 016 7 9 4 3
7 916
34
4 7 9 16 328 36 48
28 842884
13
4 1 04 1
1413
14
x y y xy x y x
yx
yx
x xx x
x
x
yy
y
sol x y
+ = − == − =
=−
=
− =− =
=
= =
− ==
=
= =
;
:
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( )
14 11 29 13 8 3014 11 29 8 30 13
11 2914
13 308
8 11 29 14 13 3088 232 182 420
188 942
13 2 8 3026 8 30
8 412
12
2
x y y xx y x y
xy
xy
y yy y
yy
xxx
x
sol x y
− = − − == − − = −
=−
=−
− = −− = −
==
− =− =− =
= −
= − =
;
:
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )
15 11 8715 11 87
11 8715
12 5 2712 27 5
27 512
12 11 87 15 27 5132 1 044 405 75
207 1 4491 449207
7
12 5 7 2712 35 27
12 88
1223
23
7
x yx y
xy
x yx y
xy
y yy y
y
y
xx
x
x
sol x y
− = −= −
=−
− − = −= −
=−
− = −− = −
=
= =
+ =+ =
= −
= − = −
= − =
...
:
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( )
7 9 429 42 7
42 79
12 10 410 4 12
4 1210
10 42 7 9 4 12420 70 36 108
38 45612
12 12 10 4144 10 4
10 14014
12 14
x yy x
yx
x yy x
yx
x xx xxx
yyyy
sol x y
+ == −
=−
+ = −= − −
= −+
− = − +− = − −
= −= −
− + = −− + = −
==
= − =:
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
6 18 85 24 5 518 6 85 5 5 24
6 8518
5 245
5 6 85 18 5 2430 425 90 432
335 402335402
56
656
18 85
5 18 8518 90
556
5
x y x yy x y x
yx
yx
x xx x
x
x
y
yy
y
sol x y
− = − − = −− = − − − = − −
=+
=+
+ = ++ = +
=
= =
− = −
− = −− = −
=
= =
;
:
EJERCICIO 177
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
x y x yx y
y yy y
yy
xx
xsol x y
+ = − == −
− − =− − =
− = −=
+ =+ =
== =
3 6 5 2 136 3
5 6 3 2 1330 15 2 13
17 171
3 1 63 6
33 1
;
:
2. 2. 2. 2. 2.
( )
5 7 1 3 4 245 1 7
1 75
31 7
54 24
3 215
4 24
3 21 20 12041 123
3
3 4 3 243 12 24
3 124
4 3
x y x yx y
xy
yy
yy
y yyy
xx
xx
sol x y
+ = − − + = −= − −
= −+
+
+ = −
++ = −
+ + = −= −= −
− + − = −− − = −
− = −=
= = −
;
:
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
3 4 8 8 9 774 8 3
8 34
8 98 3
477
32 9 8 3 30832 72 27 308
59 2364
3 4 4 812 4 8
4 205
4 5
x y x yy x
yx
xx
x xx x
xx
yyyy
sol x y
+ = − = −= −
=−
−−
= −
− − = −− + = −
= −= −
− + =− + =
==
= − =
;
:
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x y x yy x
yx
xx
x xx x
xxyyy
sol x y
− = − + == +
=+
−+
=
− + =− − =
− == −
− − =− =
= −= − = −
5 8 7 8 258 25 7
25 78
525 7
88
8 5 25 7 648 125 35 64
27 1897
7 5 85 15
37 3
;
:
5. 5. 5. 5. 5.
( )
15 11 32 7 9 87 8 9
8 97
15 118 9
732
105 11 8 9 224105 88 99 224
204 136136204
23
1523
11 32
10 11 3211 22
223
2
x y y xy x
yx
xx
x xx x
x
x
y
yyy
sol x y
+ = − == +
=+
++
=
+ + =+ + =
=
= =
+ =
+ ===
= =
;
:
6. 6. 6. 6. 6.
( )
10 18 11 16 9 510 11 18
11 1810
1611 18
109 5
16 11 18 90 50176 288 90 50
378 126126378
13
10 1813
11
10 6 1110 5
12
12
13
x y x yx y
xy
yy
y yy y
y
y
x
xx
x
sol x y
+ = − − = −= − −
= −+
−+
− = −
− + − = −− − − = −
− =
= − = −
+ −
= −
− = −= −
= −
= − = −
;
:
7. 7. 7. 7. 7. 4 5 5 4 10 710 7 4
7 410
4 57 4
105
8 7 4 104 3
34
434
5 5
3 5 55 2
25
34
25
x y x yy x
yx
xx
x xx
x
y
yy
y
sol x y
+ = − − = −= −
=−
+−
=
+ − ==
=
+ =
+ ==
=
= =
;
:
8. 8. 8. 8. 8.
( )
32 25 13 16 15 116 1 15
1 1516
321 15
1625 13
2 1 15 25 132 30 25 13
2 55 1355 11
15
16 1515
1
16 3 116 4
14
14
15
x y x yx y
xy
yy
y yy y
yy
y
x
xx
x
sol x y
− = + == −
=−
−
− =
− − =− − =
− =− =
= −
+ −
=
− ==
=
= = −
;
:
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
11 13 163 8 7 9411 163 13
163 1311
8163 13
117 94
8 163 13 77 1 0341 304 104 77 1 034
27 27010
11 13 10 16311 130 163
11 333
3 10
x y x yx y
xy
yy
y yy y
yy
xx
xx
sol x y
− = − − + == − +
= −−
−
+ =
− + =− + =
− = −=
− = −− = −
= −= −
= − =
;
.. .
:
EJERCICIO 178
1. 1. 1. 1. 1. ( )
( )
( )
6 5 9 2
4 3 13 3
12 10 1812 9 39
19 573
4 3 3 134 9 13
4 41
1 3
x y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
− = −
+ = −
− = −− − = −
− = −=
+ =+ =
==
= =:
2. 2. 2. 2. 2. ( )
( )
7 15 16 8 7
7 15 17 42 56
57 571
7 15 1 17 15 1
7 142
2 1
x yx y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
− =− − =
− =− − =
− == −
− − =+ =
= −= −
= − = −:
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )
3 4 41 311 6 47 2
9 12 12322 12 94
31 2177
3 7 4 4121 4 41
4 205
7 5
x yx y
x yx y
xxyyyy
sol x y
− =+ =
− =+ =
==
− =− =− =
= −= = −:
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )
( )
9 11 14 4
6 5 34 6
36 44 5636 30 204
74 1482
6 5 2 346 10 34
6 244
4 2
x y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
+ = −
− = − −
+ = −− + =
==
− = −− = −
= −= −
= − =:
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )
10 3 36
2 5 4 5
10 3 3610 25 20
28 562
10 3 2 3610 30
33 2
x y
x y
x yx y
yy
xxx
sol x y
− =
+ = − −
− =− − =
− == −
− − ===
= = −:
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( )
( )
11 9 2 5
13 15 2 3
55 45 1039 45 6
16 161
11 1 9 211 9 2
9 91
1 1
x y
x y
x yx y
xx
yyyy
sol x y
− =
− = − −
− =− + =
==
− =− =− = −
== =:
7. 7. 7. 7. 7. ( )
( )
( )
18 5 11 2
12 11 31 3
36 10 2236 33 93
23 1155
18 5 5 1118 25 11
18 362
2 5
x y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
+ = −
+ = −
+ = −− − = −
− = −=
+ = −+ = −
= −= −
= − =:
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )
( )
9 7 4 11
11 13 48 9
99 77 4499 117 432
194 3882
9 7 2 49 14 4
9 182
2 2
x y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
+ = − −
− = −
− − =− = −
− = −=
+ = −+ = −
= −= −
= − =:
9. 9. 9. 9. 9. ( )( )
( )
12 14 20 714 12 19 6
84 98 14084 72 114
26 261
12 14 1 2012 14 20
12 612
12
1
x yx y
x yx y
yy
xx
x
x
sol x y
− =− + = −
− =− + = −
− == −
− − =+ =
=
=
= = −:
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( )
15 40 819 8 236
120 8 32019 8 236
139 5564
15 4 4060 40
2020
4 20
x yx y
x yx y
xx
yyyy
sol x y
− =+ =
− =+ =
==
− =− =− = −
== =:
11. 11. 11. 11. 11. ( )
( )
( )
36 11 14 2
24 17 10 3
72 22 2872 51 30
29 582
36 11 2 1436 22 14
36 361
1 2
x y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
− = −
− = −
− = −− + = −
= −= −
− − = −+ = −
= −= −
= − = −:
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )
( )
12 17 104 5
15 19 31 4
60 85 52060 76 124
161 6444
12 17 4 10412 68 104
12 363
3 4
x y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
− =
+ = − −
− =− − =
− == −
− − =+ =
==
= = −:
EJERCICIO 179
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
( )
8 5 7 98 7 9 58 7 4
6 3 66 3 6
8 7 4 3
6 3 6 4
24 21 1224 12 24
9 364
6 3 4 66 12 6
6 183
3 4
x yx yx y
x yx y
x y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
− = −− = − +− = −
= +− =
− = −
− = −
− = −− + = −
− = −=
− =− =
==
= =:
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x yx yx yx y
x y
x y
x yx y
yy
xx
sol x y
− = +− =− = −− = −
− =
− = − −
− =− + =
==
− ==
= =
1 12
3 3 73 4
2
3 4 1
23 4
2 63
3 25
5 3:
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )
( ) ( )
( )
3 2 2 2 5 73 6 2 2 10 7
3 2 6 7 2 103 2 6 7 2 10
3 6 2 7 10 26 2
310 2
77 6 2 3 10 242 14 30 6
8 729
7 2 9 107 18 10
7 284
4 9
x y y xx y y x
x y x yx y x y
x y x y
xy
xy
y yy yyy
xx
xx
sol x y
+ = + =+ = + =
− = − − =− = − − =
= − + = +
= −−
=+
− − = +− + = +
==
− =− =
==
= =
;
:
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )
( )
x yx y
x yx y
x yx y
x yx yy yy y
yy
xx
xsol x y
− = +− = +
− == +
+ = −+ = −
+ = −= − −
+ = − −− − − =
− == −
− − =+ =
== = −
1 2 61 2 12
2 1313 2
6 3 1 26 3 6
6 33 6
13 2 3 63 6 2 13
8 162
2 2 134 13
99 2:
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )
( )
( )
30 8 2 3030 8 2 30
2 8
5 29 5 45 29 5 44 4 24
62 8
6 1
2 86
22
2 2 84 8
44 2
− − = +− + = +
− =
− = − −− = − +− =− =
− =
− = −
− =− + = −
− == −
− − =+ =
== = −
x yx y
x y
x x yx x yx yx y
x y
x y
x yx y
yy
xx
xsol x y:
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )
( )
( )
3 9 5 2 93 9 5 2 9
4 3 0
4 3 7 5 474 3 7 5 47
4 8 402 10
4 3 02 10 4
4 3 04 8 40
x x y y x yx x y y x y
x y
x y yx y y
x yx y
x yx y
x yx y
− + = − +− − = − −
− + =
− + = −− − = −
− = −− = −
− + =− = −
− + =− = −
6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación
( )
− = −=
− = −− = −
== =
5 408
2 8 1016 10
66 8
yy
xx
xsol x y:
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
x y x y x yx y x y x y
x y x yx y
x y y x y xx y y x y x
x y y xx y
x y
x y
x yx y
xx
− − + = − + +− − − = − − −
− − = − − −− = −
+ − − = −+ − + = −
− = −− =
− = −
− = −
− = −− + =
− = −=
6 8 10 5 36 8 10 5 35 9 10 5 35 4 3
9 11 2 29 11 2 212 8 2 2
14 10 05 4 3 5
14 10 0 2
25 20 1528 20 0
3 155
5 5 − = −− = −− = −
== =
4 325 4 3
4 287
5 7
yyyy
sol x y:
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )
( )
( )( )
5 3 7 8 65 15 7 8 6
2 7 6
7 9 2 18 07 9 2 36 0
5 27 02 7 6 55 27 0 2
10 35 3010 54 0
89 303089
x y x yx y x y
x y
x y x yx y x y
x yx yx y
x yx y
y
y
+ − + = −+ − − = −
− + = −
− − − =− − + =
+ =− + = −
+ =
− + = −+ =
= −
= −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación
− + −
= −
− − = −− = −
= =
= = −
2 73089
6
178 210 534178 324
324178
1
13089
7389
7389
x
xx
x
sol x y:
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )
( )
( )
( )
2 5 4 42 10 4 16
18 4 10
10 11 1210 10 11 12
2 018 4 10
2 0 9
18 4 1018 9 0
5 102
2 2 02 2 0
2 21
1 2
x y xx y xx y
y x y xy x y x
x yx y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
+ = −+ = −− = −
− = −− = −
− =− = −
− = −
− = −− + =
= −= −
− − =+ =
= −= −
= − = −:
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( ) ( )
( )
3 4 2 2 7 03 4 4 14 0
4 144 14
5 1 2 1 05 5 2 1 0
5 2 44 14
5 2 4 2
4 1410 4 8
11 222
2 4 144 12
32 3
x y xx y x
x yx y
x yx y
x yx yx y
x yx y
xx
yyy
sol x y
− − − =− − + =
− − = −+ =
− − − =− − + =
− =+ =− =
+ =− =
==
+ ==== =:
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )
( )
( )
12 2 8 2 2 5 612 24 16 8 10 12
4 16 10 1214 28 0
2 0
20 4 1020 80 10
2 8 12 0 2
2 8 1
2 4 02 8 1
4 114
214
0
4 2 04
x y x y x yx y x y x y
x y x yx yx y
x yx yx y
x yx y
x yx y
y
y
x
xx
+ − + = −+ − − = −
− + = −− + =
− + =
− = −− = −− = −
− + =− = −
− + =− = −
− = −
=
− +
=
− + =− = −
=
= =
212
12
14
x
sol x y:
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
x y y xxy x xy y
x y
y x x yxy y xy x
x yx y
x yx y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
− − − = −− − + = −
− + = −
− − + =− − − =
− − =+ = −
− + = −+ = −
− + = −+ = −
= −= −
− + − = −− − = −
− == −
= − = −
2 3 142 3 14
2 3 14
6 9 546 9 54
9 6 543 2 18
2 3 14 33 2 18 2
6 9 426 4 36
13 786
2 3 6 142 18 14
2 42
2: 6
EJERCICIO 180
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )
32
11
3 2 22
27
2 143 2 22 2 14
3 22 2 2 1422 2
314
22 22 2 3 14
44 4 42 32
22 2 14
2 126
6 2
xy
x y
xy
x yx y x y
x y x y
xy
xy
y yy yyy
xxx
sol x y
+ =
+ =
+ =
+ =+ = + =
= − = −
=−
=−
− = −− = −
− = −=
+ ===
= =
;
:
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
512
934
15
5 12 108 4 3 605 108 12
108 125
4108 12
53 60
4 108 12 15 300432 48 15 300
33 1324
4 3 4 604 12 60
4 4812
12 4
xy x
y
x y x yx y
xy
yy
y yy y
yy
xx
xx
sol x y
− = − =
− = − == +
=+
+
− =
+ − =+ − =
= −= −
− − =+ =
==
= = −
;
;
:
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
x yy
x
x y y xx yx y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
7 35 3
1426
3 7 105 42 3643 7 105
42 364 3
3 7 1053 126 1 092
133 1 1979
3 7 9 1053 63 105
3 4214
14 9
+ = − =
+ = − =+ =
− + =
+ =− + =
==
+ =+ =
==
= =
;
;
.
.
:
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x y y x
x y y xx y x y
x y
x y
x yx y
yy
xx
sol x y
5 4 3 31
4 5 34 5 0 3
4 5 0
3 4
4 5 04 4 12
1212
12 31515 12
= = −
= = −− = − =
− =
− = −
− =− + = −
− = −=
− ==
= =
;
:
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )
35
14
2 252
12 5 40 4 54 5 0
4 5 0
12 5 40 1
4 5 012 5 40
8 405
4 5 5 020 5 0
5 204
5 4
xy x
y
x y x yx y
x y
x y
x yx y
xx
yyyy
sol x y
− = =
− = =− =
− =
− = −
− =− + = −
− = −=
− =− =− = −
== =
;
:
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )
23
34
118
56
2
8 9 12 3 20 488 9 1220 3 48 3
8 9 1260 9 144
52 1563
8 3 9 1224 9 12
9 364
3 4
x yy
x
x y y xx yx y
x yx y
xx
yyyy
sol x y
− = − =
− = − =− =
− + =
− =− + =
− == −
− − =− − =
− == −
= − = −
;
;
:
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
( )
x y x y
x y x yx y
x y
x yx y
xx
yyy
y
sol x y
8 51110 5 4
5940
5 8 44 8 10 595 8 44 5
8 10 59 4
25 40 22032 40 236
57 4568
5 8 8 4440 8 44
8 412
812
− = − + =−
− = − + = −− = −
+ = −
− = −+ = −
= −= −
− − = −− − = −
− = −
=
= − =
;
;
:
8. 8. 8. 8. 8.
( )
( )
x yx
y
x y x yx y x y
xy
xy
y yy yyy
x
xsol x y
7 80
17
34
7
8 7 0 4 21 1968 7 4 196 21
78
196 214
28 8 196 2128 1 568 168
196 1 5688
7 88
77 8
+ = − =
+ = − == − = +
=−
=+
− = +− = +
− == −
=− −
== = −
;
;
..
:
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
2 15 4
2 3 8
4 2 1 58 4 5
8 5 4
2 3 8 48 5 4
8 12 328 5 4
7 284
x yx y
x yx y
x y
x yx y
x yx y
yy
+= − = −
+ =+ =
− = −
− = − −− = −
− + =− = −
==
;
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación
( )8 5 4 48 20 4
8 162
2 4
xx
xx
sol x y
− = −− = −
==
= =:
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )
( )
12 5 6 012 5 6
53
76
12
10 7 7212 5 6 5
10 7 72 6
60 25 3060 42 432
67 4026
10 7 6 7210 42 72
10 303
3 6
x yx y
x y
x yx y
x y
x yx y
yy
xx
xx
sol x y
+ + =+ = −
− = −
− = −+ = −
− = − −
+ = −− + =
==
− = −− = −
= −= −
= − =:
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )
( )
( )
xy
x yx yy
x
y xx y
xy
y yy y
yy
xxxsol x y
53 2
15 215 30
53
2245
15 22415 224
22415
15 15 30 224225 450 224
226 2261
15 1 3015 30
1515 1
= +
= += +
+ =
+ == −
=−
+ = −+ = −
= −= −
= − += − +=
= = −:
12. 12. 12. 12. 12.
( )
( )
( )
x y x y
x y x yx y
x y
x yx y
xx
yyy
sol x y
5 61
30 3 201312
6 5 1 20 3 656 5 1 3
20 3 65 5
18 15 3100 15 325
82 3284
6 4 5 15 25
54 5
− = − − =
− = − − =− = −
− = −
− = −− + = −
− = −=
− = −− = −
== =
;
;
:
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
x y x y
x y x yx y x y
x y x y
xy
yy
y yyy
x
xsol x y
−−
−=
−+
+=
− − − = − + + =− − + = − + + =
− = + =
=
+ =
+ ===
=
== =
33
44
04
22
53
4 3 3 4 0 5 4 2 2 304 12 3 12 0 5 20 2 4 30
4 3 0 5 2 4634
534
2 46
15 8 18423 184
83 8
46
6 8
;
;;
:
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
( )
x y x y
x y x yx y x y
x y
x y
x yx y
x
x
y
y
y
sol x y
−−
−= −
+−
+= −
− − − = − + − − = −− = − − = −
− = −
− = − −
− = −− + =
=
=
− = −
− = −
=
= =
12
13
1336
13
12
23
18 1 12 1 13 2 2 3 3 418 12 7 2 3 3
18 12 7
2 3 3 4
18 12 78 12 12
10 512
212
3 3
3 443
12
43
;
;
:
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )
( )
( )
x y x y
x y x yx y x y
x y x yx y
y yy y
yy
xxsol x y
+=
− −=
−
+ = − − = −+ = − − = −
− = − − == −
− − =− − =
==
= −=
= =
110
45
45
210
1 2 4 2 4 21 2 8 2 8 2
2 9 2 62 9
2 2 9 64 18 6
3 248
2 8 97
7 8
;
;;
:
16. 16. 16. 16. 16.
( )
( )
( )
xy
yx
x y y xx y y x
x y
x y
x yx y
x
yyyy
sol x y
= −+
= −+
= − − = − −+ = − + = −
+ = −
+ = − −
+ = −− − =
= −
− + = −− + = −
==
= − =
3 34
1 54
4 3 3 4 1 54 3 3 4 5 1
4 3 3 4
5 4 1 3
16 12 1215 12 3
9
4 9 3 336 3 3
3 3311
9 11
;
;
:
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( )
( )
( )
x y x y xy
x y x y x yx y x y x yx y x y
x y
y yy y
yy
xxsol x y
+=
−= +
+ = − = ++ = − = ++ = − =
= −
− − =− − =
− == −
= − −=
= = −
6 1223
3
2 2 3 32 2 2 3 9
3 0 2 3 93
2 3 3 96 3 9
9 91
3 13
3 1
;
;;;
:
18. 18. 18. 18. 18.
( )
33
56
15 3 3015 27
15 2727
15
32
79
21 2 6321 61
61 2121 61
27 15 21 6127 315 915314 942
327 3
152
2 3
xy
x yx y
x y
xy
yx
y xx y
x yx y
y yy yyy
x
xsol x y
−−
=
− + =− =
= +
=+
−−
=
− + =− + =
− = −= −
+ = −+ = −
− = −=
=+
== =:
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )
( )
( )
x y y x
x y y xx y y x
x yx x y
x x yx x y
x yx y
x y
x yx y
x
x
y
yy
y
sol
+−
−=
+ − − =+ − + =
− =
+−
=
+ − =+ − =
− =− =
− = −
− =− + = −
− = −
=
− =
− =− = −
=
6 3724
4 8 74 4 8 8 7
12 4 7
2 65
126 2 56 2 2 5
8 2 512 4 7
8 2 5 2
12 4 716 4 10
4 334
1234
4 7
9 4 74 2
12
: x y= =34
12
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
x y xx
x y x xx x y
x yx y y x
y
x y y x yx y y
x y
x yx y
x yx y
yy
xx
x
−−
−= −
− − − = −− − = − +
+ =−
−−
= −
− − − = −− − = −
− = −
+ = −− = −
− − = −− = −
− = −=
+ =+ =
=
24 2
7
2 2 4 73 4 2 28 2
2 263
83
613
3 3 4 3 24 1313 15 24 312
13 39 312
2 26 1313 39 312
13 26 33813 39 312
65 65010
2 10 2620 26
6sol x y: = =6 10
21. 21. 21. 21. 21.
( )
( )
( )
( )
123 2
63 2
72 3 2 6 3 23 2 18 12 72
3 16 605 3
35 3 3
3 3 5 3 06 8 0
3 16 606 8 0 2
3 16 6012 16 0
15 604
6 4 8 08 24
34 3
−−
= +
− + = +− + − = −
+ =−
= −
− = −− − + + =
− =+ =− =
+ =− =
==
− =− = −
== =
x yy
x y yx y y
x yy x
x y
y x x yx x y y
x yx yx y
x yx y
xx
yyy
sol x y:
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
y x x yxy y xy xx y
x y
y xy x
x yx y
x y
x yx y
xx
yyyy
sol x y
− = −− = −− =
−−
−=
− − − =− − + =
− =− =
− = −
− =− + = −
− = −=
− =− = −− = −
== =
4 64 6
6 4 05
311
10
5 1 11 3 05 5 11 33 0
11 5 286 4 0 5
11 5 28 4
30 20 044 20 112
14 1128
11 8 5 285 28 885 60
128 12:
23. 23. 23. 23. 23. ( )
( ) ( )
( )
( )
3 35 6
2117
51 3 21 5 651 153 105 12654 27 0
2 04 72 1
2
4 7 2 2 14 7 4 24 3 2
2 0 24 3 2
4 2 04 3 2
22 2 0
2 21
1 2
x yx y
x y x yx y x yx y
x yx yy
x y yx y yx y
x yx y
x yx y
yx
xx
sol x y
++
=
+ = ++ = +
− + =− =
−+
= −
− = − +− = − −− = −
− = −− =
− + =− = −
=− =
==
= =:
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( )
( ) ( )
( )
72 3 6
73 2 1
7 3 2 1 7 2 3 621 14 7 14 21 42
35 35 351
64
102
6 2 10 46 12 10 10 40
28 10 1614 5 8
1 85 8 14
8 8 85 8 14
3
x y x y
x y x yx y x y
x yx y
x y y
y x yy x y
x yx y
x yx y
x yx y
x
− += −
− −
− − = − − +− − = − + −
− = −− = −
− +=
+
+ = − ++ = − +− = −− = −
− = − −− = −
− + =− = −
− = −=
− = −− = −
== =
62
2 13
32 3
xyyy
sol x y:
25. 25. 25. 25. 25.
( )
( ) ( )
( )
x yx y
x y x yx y x y
x yx yx y
x y x yx y x y
x yx yx y
x yx y
xx
yy
sol x y
+−
= −
+ = − −+ = − +
− =+ ++ −
=
+ + = + −+ + = + −
+ = −− =+ = −
− =+ = −
= −= −
− + = −= −
= − = −
7
77 7
8 6 011
34
4 1 3 14 4 4 3 3 3
78 6 0
7 6
8 6 06 6 42
14 423
3 74
3 4:
26. 26. 26. 26. 26.
( ) ( )
( )( )
x y
x yx y
y x x y
y x x yy x x y
x yx y
x y
x yx y
x
x
y
yy
y
sol x y
48
32
334
32 6 336 1
32
21724
8 12 2 178 8 24 12 17
32 4 176 1 2
32 4 17 3
2 12 296 12 51
98 4912
12
6 1
1 12 212 3
1412
14
− = −
− = −− = −
−−
+= −
− − + = −− − − = −
+ =− = −+ =
− = −+ =
=
=
− = −
− = −− = −
=
= =:
27. 27. 27. 27. 27.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
xx
yy
y x y xxy y x xy y x
x yx y
x yxx
yy
y x x yxy y x xy x y
x yx y
x yy yy
xxsol x
−+
=−−
− − = − +− − + = + − −
− = −− = −
= − ++−
=−−
− + = − −+ − − = − − +
− + =− + =
= −− + = −
== −=
22
75
5 2 7 22 5 10 2 7 14
2 4 242 12
12 211
35
5 1 1 35 5 3 3
2 2 84
412 2 4
88 44: = =4 8y
28. 28. 28. 28. 28.
( ) ( )
( )
( )
x yx y
x y x yx y x y
x yx y
x yx y
x y x yx y x yx y
x yx y
x y
x yx y
xx
− −+ +
= −
− − = − + +− − = − − −
− =− =
+ −− +
= −
+ − = − − ++ − = − + −− = −
− = −− =
− = − −
− =− + =
==
11
317
17 1 3 117 17 17 3 3 3
20 14 1410 7 7
11
15
1 15 11 15 15 15
16 14 148 7 7
10 7 7
8 7 7 1
10 7 78 7 7
2 14
( )7
10 7 7 77 63
97 9
− =− = −
== =
yyy
sol x y:
29. 29. 29. 29. 29.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
6 9 44 6 5
25
5 6 9 4 2 4 6 530 45 20 8 12 10
22 57 302 3 33 2 4
611
11 2 3 3 6 3 2 422 33 33 18 12 24
4 21 922 57 30 2
4 21 9 11
44 114 6044 231 99
117 39
x yx y
x y x yx y x y
x yx yx y
x y x yx y x y
x yx y
x y
x yx y
y
+ −− +
=
+ − = − ++ − = − +
+ =+ −+ −
=
+ − = + −+ − = + −
+ =+ =
+ = −
+ =− − = −
− = −
y
x
xx
x
sol x y
=
+
=
+ ==
=
= =
13
4 2113
9
4 7 94 2
12
12
13
:
30. 30. 30. 30. 30.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 215
9
3 2 9 153 2 9 9 135
12 11 135
43
5 18
1
32 15 1 2432 15 15 24
32 15 3912 11 135 8
32 15 39 3
96 88 1 08096 45 117
133 1 1979
12 11 9 13512 135 9912 36
x yx y
x y x yx y x y
x y
x y
x yx y
x yx y
x y
x yx y
yy
xxxx
++ −
= −
+ = − + −+ = − − +
+ =
−−
= −
− − = −− + = −
− = −+ =
− = − −
+ =− + =
==
+ == −==
.
.
33 9sol x y: = =
31. 31. 31. 31. 31. ( )( )
( )( )
( )
2 517
5 60
2 5 17 5 1 0202 85 17 1 025
2 17 94062
21 40
62 2 1 802 2 182 20
2 17 940
2 20 1
2 17 9402 20
16 96060
2 60 202 80
4040 60
xy
x yx y
x yy
x
y xy x
x yx y
x y
x yx y
yy
xxx
sol x y
+− − = −
+ − − = −− + = −
+ = −+
− − =
+ − − =− + =
+ =+ = −
+ = −
+ = −− − = −
= −= −
− ==== = −
..
:
32. 32. 32. 32. 32.
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 46
3023
23 3 4 30 669 92 30 18099 88 0
9 8 09
36337
37 9 63 3333 37 189 63 63
396 100 189396 100 189
9 8 0 44
396 100 189396 352 0
252 1893
4
9 83
4
x yx y
x y x yx y x yx y
x yx yx y
x y x yx y x y
x yx y
x y
x yx y
y
y
x
+−
= −
+ = − −+ = − +− =
− =−
+ −= −
− = − + −− = − − +
− = −− = −
− = −
− = −− + =
= −
=−
−−
=
+ == −
=−
=−
=−
0
9 6 09 6
23
23
34
xx
x
sol x y:
33. 33. 33. 33. 33.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
xx y
x x yx x y
x y
yy x
y y xy y x
x y
x yx y
x yx y
yy
xxx
−+
=−
− + = −− − = −
− = −
−+
=+
− + = +− − = +
− = −
− = − −
− = −
− + =− = −
==
− = −= − +=
4 19
2 53
9 4 1 3 2 59 4 1 6 15
5 6 143 2
718
1070 10 3 2 7 18
70 30 20 7 126146 7 40
7 40 146 5
5 6 14 7
35 200 73035 42 98
158 6324
5 6 4 145 14 24
2sol x y: = =2 4
EJERICIO 181
1. 1. 1. 1. 1. x y a b x y a b
x y a b
x y a b
x a
a y a b
y b
sol x a y b
+ = + − = −+ = +− = −
=+ = +
== =
;
:
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
2 22 2
02 2 02 2 02 2
2 2
2 2
2 22 2
11
2
2
2
x y bbx by b b
bx ybx ybx ybx by b b
y by b b
y b b by b
x b bxx
sol x y b
+ = +
+ = +− =
− + =− + =
+ = +
+ = +
+ = +=
+ = +==
= =:
3. 3. 3. 3. 3. 2 3
2 0
2 4 0
2 3
2 4 0
3 3
2 3
2 4
2
2
x y a
x y
x y
x y a
x y
y a
y a
x a a
x a
x a
sol x a y a
− =− =
− + =− =
− + =
==
− ==== =
;
:
4. 4. 4. 4. 4. x y a x y a
x y a
x y a
x
x
y a
y a
sol x y a
− = − + = +− = −+ = +
==
+ = +=
= =
1 1
1
1
2 2
1
1 1
1
;
:
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
xa
y bxb
y a b
x ay ab x by ab bx ay abx by b ab
ay by b ab
y a b b b ay b
x ab abx ab
sol x ab y b
+ = − = −
+ = − = −+ =
− + = −
+ = +
+ = +=
+ ==
= =
2
22
2
2
2
2
;
;
:
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( )
xb
ya
ax by ababx b y ab
xa
yb
a bab
bx ay a babx a y a ab
abx b y ababx a y a ab
b y a y a ab
y b a a b ay a
ax ba ab
a x b abx b b
x bsol x b y a
+ =
+ =
+ =
+ =+
+ = +− − = − −
+ =− − = − −
− = − +
− = −=
+ =
+ =+ =
== =
2
22
2
2
22
2 2
2 2
2 2
2 3 2
2 2
2 3 2
2 2 3 2
2 2 2 2
:
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
x y a bax ay a ab
ax by a bax ay a abax by a b
by ay b ab
y b a b b ay b
x b a bx a
sol x a y b
+ = +
− − = − −
+ = +
− − = − −
+ = +
− = −
− = −=
+ = +=
= =
2
2 2
2
2 2
2
:
8. 8. 8. 8. 8.
( )( ) ( )
ax by x ya bab
abx b y abx aby a babx b yabx aby a b
b y aby a b
yb b a a b
yb yb
ax bb
ax xa
sol xa
yb
− = + =+
− = + = +− =
− − = − −
− − = − +
− + = − +
− = − ⇒ =
−
=
= ⇒ =
= =
0
00
11
10
11
1 1
2
2
2
;
:
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
mx ny m n nx my m nmnx n y m n n mnx m y m mn
mnx n y m n nmnx m y m mn
n y m y m m n mn n
y m n m m n n m n
y m n m n m ny m n
m x mny m mnn x mny m n n
m x
− = + + = +
− = + + = +
− + = − −
+ = +
+ = − + −
+ = − + −
+ = + −= −
− = +
+ = +
+
2 2 2 2
2 2 3 2 3 2
2 2 3
2 3 2
2 2 3 2 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2
2 2 3
2
;
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
n x m mn m n n
x m n m m n n m n
x m n m n m nx m n
sol x m n y m n
2 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
= + + +
+ = + + +
+ = + += +
= + = −:
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )
xm
yn
m mx ny m mn
xn ym m n xmn n y m n mnxmn ym m nxmn n y mn m n
ym yn mn m n
y m n mn n my mn
xn m n m nxn m n x m
sol x m y mn
+ = − = −
+ = − = −
+ =
− + = −
+ = +
+ = +=
+ =
= ⇒ =
= =
2
2
2
2
3 2
2 2 3 3
2 3
2 3 3
2 2 3 3
2 2 2 2
2 2
2 2
2
;
:
11. 11. 11. 11. 11.
( )
( ) ( )
x y aax ay a
ax by a a b b
ax by a ab bax ay aax by a ab b
ay by ab b
y a b b a by by b
x b ax a b
sol x a b y b
+ =
+ =
− = + +
− = + +
− − = −
− = + +
− − = +
− + = +− =
= −− =
= += + = −
2
2
2 2
2
2 2
2
:
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
x y m nmx my m mn
mx ny m nmx my m mn
my ny mn n
y m n n m ny n
x n m nx m
sol x m y n
− = −− = −
− = −
− + = − +
− = −
− = −=
− = −=
= =
2
2 2
2
2
:
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
xa
yb
xb
ya
b aab
bx ay ax by b aabx a yabx b y b a b
b y a y b a b
y b a b b ay b
xa
bb
bx abbx ab
x asol x a y b
+ = + =−
+ = + = −
− − =+ = −
− = −
− = −=
+ =
+ == −= −
= − =
02 2
0 2 20
2 2
2 2
2 2
0
0
2 2
2 2
2
2 3 2
2 2 3 2
2 2 2 2
;
:
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( )
x y c a x y a
a x a y a c a x a y aa x a y a ca x a y a
a y a a c
a y a a cy a cy c a
x c a cx a c x c a
sol x a c y c a
+ = − =
− − = − − =
− − = −− =
− = −
− = −− = −
= −+ − =
− = ⇒ = += + = −
2 2
2 22
2
2 2 2
2 2
2
2 3
2 2 2 2 2 3
2 2 2
2 2 3
2 3 2
2 2
;
;
:
15. 15. 15. 15. 15.
( )
ax by ay bxa b
abb ax b y a by b ax a b
b ax b yb ax a by a b
a by b y a b
by a b a bby
yb
ax bbax
xa
sol xa
yb
− = − =−
− = − = −− =
− + = −
− = −
− = −=
=
−
=
=
=
= =
0
00
11
10
11
1 1
2 2
2 3 2 2 2 2
2 3
2 2 2 2
2 3 2 2
2 2 2 2
;
:
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( ) ( )
xb
ya
a b x y ab b a
a x b y a b a b x y ab a ba x a y a b a b
a x b y a b a ba x a y a b a b
b y a y a b a b
y a b a b b a
y a by a b
xb
a b
2 2
2 2 3 2 2 3 2 2
2 2 3 2 4
2 2 3 2 2 3
2 2 3 2 4
2 2 2 3 4
2 2 2 2 2
2
2
2
2
+ = + − = −
+ = + − = −− = −
− − = − −− = −
− − = − −
− + = − +
− = −=
+
;
;
aa b
x b ab bx ab
sol x ab y a b
2
3 2 3
2
2 2
= +
+ = +=
= =:
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( )
nx my m n mx nym n
mnm nx m y m m n m nx mn y m n
m nx m y m m nm nx mn y m n
m y mn y m n n
ym m n n m nym n
ynm
nx mnm
m n
nx n m nnx m
xmn
sol xmn
ynm
+ = + − =−
+ = + − = −
− − = − −
− = −
− − = − −
− + = − +=
=
+
= +
+ = +=
=
= =
;
:
3 3
2 3 3 2 2 2 3 3
2 3 3 2
2 2 3 3
3 2 2 3
2 2 2 2
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a b x a b y b ab
ax bx ay by b ab
a b x a b y ab b
ax bx ay by ab bax bx ay by b abax bx ay by b ab
bx by b ab
b x y b a bx y a b
ax bx ay by b abax bx ay by b ab
ax ay ab
− − + = −
− − − = −
+ − − = −
+ − + = −
− + + + = − +
+ − + = − +
+ = − +
+ = −+ = −
− − − = −
+ − + = − +
− = −
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2 2 2 4
2 2 22
3
2 2 2
( )
( )
2 2
2
2 2
a x y abx y b
x y a bx y b
x a bx a b
a b y by ay a
sol x a b y a
− = −− = −
+ = −− = −
= −= −
− − = −− = −
== − =:
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x ba
y bb
a bb
b x b a y b a a b
bx b ay ab a ababx ab a y a b a a b
abx ab a y a a bx a
by a
aa b
aa x a b y a b a b
ax a by ba ba babx a b b y b a b a b
abx a b b y
++
−=
+
+ + − = +
+ + − = +
+ + − = +
− − − = − −−
−−
= −+
− − − = − +
− − + = − −
− − + = − −
− −
2 2
2 2 2 3 2
2 2 3 2
2 2
2 2 2 2 3
2 2
2
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
= − −
− − − = − −
− − = − −
− − − − = − − − −
+ + + = +
+ + + = +
+ + = ++ =
++
+ −=
+
2
2
2
2 2
2 3
2 2 3 2
2 2 2 3
2 2 2 2 3 2 2 3
2 2 3 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
b a babx ab a y a a babx a b b y b a b
ab a b a y b y a a b b a bab a b a b a y b y
b a b a b a y a b
b a a b y a ba b y
x ba
a b bb
a bb
b x( ) ( )
( )
+ + = +
+ + = +
= − ⇒ = − ⇒ = −= − = +
b a a a b
bx b a a ab
bx ab b bx b a b x a bsol x a b y a b
2
2 2 2
2
:
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )
xa b
ya b ab
xb
ya
a ba b
abx aby a b a bx ab y a ba bx a by a aba bx a by a aba bx ab y a b
ab y a by b ab
ayb b a b b aayb bay
ya
abx aba
a b
abx b a b
abx a bx x
++
+= + =
+
+ = + + = +
− − = − −
− − = − −
+ = +
− = −
− = −==
=
+
= +
+ = +
= ⇒ = ⇒
1
11
1
1
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
;
=
= =
1
1 1b
sol xb
ya
:
EJERCICIO 182
1. 1. 1. 1. 1. 1 2 7
6
2 1 4
3
2 4 7
3
2 1 4
3
31
3
2 1
3
4
36 4
6 3 2
2 3
x y x y
x y
x y
y
y
xx x
x x
sol x y
+ = + =
− − = −
+ =
−= −
=
+ =
+ == ⇒ =
= =
;
:
2. 2. 2. 2. 2. 3 2 1
2
2 5 23
12
6 41
6 15 23
4
19 19
4
4
3 2
4
1
26
6 2
3
3 4
x y x y
x y
x y
y
y
xx x
x
x
sol x y
− = + =
− + = −
+ =
=
=
− =
− ===
= =
;
:
3. 3. 3. 3. 3. 5 4
77 6
4
15 1221
14 128
2929
1
5
1
47
5 4 7
4 2
2
1 2
x y x y
x y
x y
xx
y
y y
y
y
sol x y
+ = − =
+ =
− =
=
=
+ =
+ ==== =
;
:
4. 4. 4. 4. 4. 12 5 13
2
18 7 19
2
36 15 39
2
36 14 38
2
1 1
2
2
36 7 19
12 36
3
3 2
x y x y
x y
x y
y
y
x x
x
x
sol x y
+ = − + = −
− − =
+ = −
− =
− =− = −
= −= −
= − = −
;
:
5. 5. 5. 5. 5. 9 3
275 4
22
3 19
12 436
5 422
714
1
251
2
422 10
422
10 4 22
4 12
1
31
2
1
3
x y x y
x y
x y
x y
x
x
y y
y y
y
y
sol x y
+ = + =
+ =
− − = −
+ =
− = −
=
+ = ⇒ + =
+ ==
=
= =
;
:
6. 6. 6. 6. 6. 6 8
234 11
50
12 1646
12 33150
49196
1
4
x y x y
x y
x y
y
y
− = − + =
− + =
+ =
=
=
;
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación
4 111
4
50
444 50
4 44 50
4 6
2
32
3
1
4
x
xx x
x
x
sol x y
+ =
+ =
+ ==
=
= =:
7. 7. 7. 7. 7. 9 10
117 15
4
27 3033
14 308
4141
1
7
1
154
7 15 4
15 3
5
1 5
x y x y
x y
x y
xx
y
y y
y
y
sol x y
+ = − − = −
+ = −
− = −
= −
− =
− − = −
− − = −− =− == − = −
;
:
8. 8. 8. 8. 8.
( )
12
3 34
1 52
43
12
3 34
12
54
23
174
1712
12 43
1 52 3
43
6 5 83 6
22 3
x y x y
x y
x y
yy
y
x
x xxx
sol x y
− = + = −
− =
− − =
− =
− =− =
+−
= −
− = −= −= −
= − = −
;
:
9. 9. 9. 9. 9. 2
51
31145
110
35
45
210
16
1190
210
65
85
3130
3118
18 3035
110
3
535
45
3 30 24
6 312
12
35
x y x y
x y
x y
yy
y
x
x x
x x
sol x y
− = − − =
− + =
− =
− =
− =
− =
+
=
+ =
= − ⇒ = −
= − = −
;
:
12. 12. 12. 12. 12.
( )
( )
1 1 1 1
1 1
1 1
2 2
1 12
2 22 2
22
22
2 2
x ya
x yb
x ya
x yb
ya b
a by
xa b
b
x a b bxax xb bx
ax bxax bx
x a b xa b
sol xa b
ya b
+ = − =
+ =
− + = −
= − ⇒−
=
−
−
=
− − =− + =
− = −− − = −
+ = ⇒ =+
=+
=−
;
:
111111. 1. 1. 1. 1. 3
101
310760
65
14
145
35
23
10730
35
18
75
1324
136
14
65
1
414
145
6 5 146 923
23
14
x y x y
x y
x y
y
y
x
x xx
x
sol x y
+ = + =
+ =
− − = −
=
=
+
=
+ ==
=
= =
;
:
14. 14. 14. 14. 14.
( )
2 20
2 2
2 20
2
2
20
2 02
2 2
x ym nmn
mx
ny
nx
ny
m nm
mx
ny
m nx
m nm
m xmm
ny
y ny n
sol x m y n
+ =+
− =
+ =+
− =
+=
+
=
− =
− ==
= =
;
:
10. 10. 10. 10. 10.
( )
3 73
23
14
8 10384
34
712
16
34
24 30984
29512
29584
73 7
3 723
9 29 333 7
x y x y
x y
x y
yy
xx x
xx
sol x y
− = + =
− =
− − = −
−=
−
=
− =
− ===
= =
;
:
13. 13. 13. 13. 13.
( )
2 3 2 32
2 32 3
2 24
3 23 2
2
2
xby
aa
ax
by
ax
aby
a
ax
by
b ay
a
b yax
bb
a x xa x
sol x a y b
− =−
+ =
− = −
− − = −
− −= − −
=
+ =
+ === =
;
:
EJERCICIO 183
1. 1. 1. 1. 1. 4 5
2 34 3 2 5 12 10 2⋅ − ⋅ = − =
2. 2. 2. 2. 2. 2 7
3 52 5 3 7 10 21 11⋅ − ⋅ = − = −
3. 3. 3. 3. 3. −
− ⋅ − ⋅ = − − = −2 5
4 32 3 4 5 6 20 26
4. 4. 4. 4. 4. ( )7 95 2
7 2 9 5 14 45 59−
− − ⋅ = − − = −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )( )5 32 8
5 8 3 2 40 6 46−
− −− − − − = − − = −
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )9 113 7 9 7 11 3 63 33 30
−− ⋅ − − − = − =
7. 7. 7. 7. 7. ( )− −− ⋅ − − = − + = −
15 113 2
15 2 13 1 30 13 17
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )( )12 113 9
12 9 13 1 108 13 95−−
− − − = − + = −
9. 9. 9. 9. 9. 10 3
17 1310 13 3 17 130 51 79⋅ − ⋅ = − = 10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( )− −
− −− − − − − = − = −
5 819 21
5 21 8 19 105 152 47
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )8 23 0 8 0 2 3 0 6 6− − − = + = 12. 12. 12. 12. 12. ( )( )31 85
20 43 31 43 85 20 1 333 1 700 367−
− ⋅ − − − = − = −. .
EJERCICIO 184
1. 1. 1. 1. 1. 7 8 29
5 11 26
29 8
26 11
7 8
5 11
319 208
77 40
111
373
7 29
5 26
7 8
5 11
182 145
37
37
371
3 1
x y
x y
x
y
sol x y
+ =+ =
= = −−
= =
= = − = =
= =:
2. 2. 2. 2. 2. 3 4 13
8 5 5
13 4
5 5
3 4
8 5
65 20
15 32
85
175
3 13
8 5
3 4
8 5
15 104
17
119
177
5 7
x y
x y
x
y
sol x y
− =− = −
=
−− −
−−
= − −− +
= − = −
=−−−
= − − = − = −
= − = −:
3. 3. 3. 3. 3. 13 31 326
25 37 146
326 31
146 37
13 31
25 37
12 062 4 526
481 775
7 536
1 2566
13 326
25 146
13 31
25 37
1 898 8 150
1 256
10 048
1 2568
6 8
x y
x y
x
x
y
y
sol x y
− = −+ =
=
− −
−
= − ++
= − = −
=
−
−
= + = =
= − =
. . .
.
. .
.
.
.
:
4. 4. 4. 4. 4. 15 44 6
27 32 1
6 44
1 32
15 44
27 32
192 44
480 1 188
236
708
1
3
15 6
27 1
15 44
27 32
15 162
708
177
708
1
4
1
3
1
4
x y
x y
x
x
y
y
sol x y
− = −− + = −
=
− −−
−−
= − −−
= −−
=
=
−− −
−−
= − −−
= −−
=
= =
.
:
5. 5. 5. 5. 5. 8 9
8 9 0
2 5 37
24 10 6 7
4 6 3
0 9
3 6
8 9
4 6
0 27
48 36
27
12
9
42
8 0
4 3
8 9
4 6
24 0
12
24
122
2 2
14
14
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol x y
= −+ =
+ + =
+ + =+ = −
=−
= +−
= = =
=−
= − − = − = −
= = −:
6. 6. 6. 6. 6. ax by
ax by
x
b
b
a b
a b
xb b
ab ab
b
ab a
y
a
a
a b
a b
ya a
ab
a
ab b
sol xa
yb
− = −+ =
=
− −
−
=− +
+= =
=
−
−
= + = =
= =
1
7
1
7
7 6
2
3
1
7
7
2
8
2
4
3 4:
7. 7. 7. 7. 7. ( )
( )
3 2 2 13 2 2 1
3 3 31
5 3 3 15 3 3 1
4 5 41 14 5
1 14 5
5 45 4
9
1 14 41 14 5
4 41
8
9 8
x y yx y yx y
x y
y x xy x x
x y
x x
y y
sol x y
− + = +− − = +
− =− =
− + = +− − = +
− + =
=
−
−−
=+−
=
=−
−−
=+
=
= =:
8. 8. 8. 8. 8. ax y
axy
ax y
xa
a
a a a a
y
a
a
a
a
a a
a
a
a
sol xa
y
+ =
− = −
− = −
=− −
−
=− +
− −=
−−
=
=−
−
=− −
−=
−−
=
= =
2 2
23 1
6 2
2 2
2 6
2
6
12 4
6 2
8
8
1
2
2
2
6
2 2
8
4
8
1
2
1 1
2:
9. 9. 9. 9. 9. x y
x y
x y
x y
x
y
sol x y
4 64
3 2 48
8 120
3 2 0
48 2
0 2
3 2
3 2
96 0
6 6
96
128
3 48
3 0
3 2
3 2
0 144
1212
8 12
+ = −
+ = −
− =
− =
=
−−
−
= −− −
=−
= −
=
−
−
= +−
= −
= − = −:
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
( ) ( )
3 3 1
2
23 1231
3 23
3 13 1
3 3 11 2316 3 1
3 13 13 1
1
1
2
2
2
3 2 2
2
2
2
x ay axa
ay
x a y a
x
a aa a
aa
xa a a
a aa aa a
a
y
aaaa
ya aa a
aa a a
sol x a ya
+ = +
+ =
+ =
=
+
=+ −
−=
−−
=
=
+
=− −
−=
−−
=
= =:
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )
( ) ( )
x y
x yx y
x yx y
y x
y xy x
x yx y
x
x
y
y
+−
−=
+ − − =+ − + =
− + =− = −
−−
−=
− − − =− − + =
− + − =− + =
=
− −
−−
=− +
−=
−= −
=
−−
−−
=−
23
38
56
8 2 3 3 208 16 3 9 20
8 3 25 208 3 5
56
2 35
0
5 5 6 2 3 05 25 12 18 0
12 5 7 012 5 7
5 37 58 3
12 525 21
40 364
41
8 512 78 3
12 556 6040 36
44
1
1 1−
=−
= −
= − = −sol x y:
12. 12. 12. 12. 12.
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )
3 2 5
4 2 1
5 2
2 1 43 2
4
20 4 112 2
4 62 6
2
3 5
2 13 2
4
6 1 52 6
62 6
12
212
x y
mx y m
xm
m
xmm
mm
ym m
m
ym m
mm
m
sol x y
− =
+ = +
=
−
+−
=+ +
+=
++
=
=+−
=+ −
+=
++
=
= =:
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
( ) ( )
22 3
172
34 2 3 17 234 2 3 17 34
34 19 37
34 1
213 5
63 4 1 21 3 563 4 1 63 105
67 63 10637 19106 63
34 1967 63
2 331 2 0142 142 1 273
4 345869
5
34 3767 10634 1967 63
3 604 2 479869
xy
y
x y yx y y
x y
yx
x
y x xy x xx y
x
x
y
y
−+
= +
− + = +− − = +
− =
−+
= +
− + = +− − = +
− + =
=
−
−−
=+−
= =
=−
−−
=+
=
. .. .
.
. .7
5 7sol x y: = =
14. 14. 14. 14. 14.
( )
( )
x yx y
x y x yx y x y
x yx yx y
x y x yx y x y
x yx y
x
y
sol x y
+−
=
+ = −+ = −
− + =− −+ +
=
− − = + +− − = + +
− =− =
=−
−−
=−−
=−−
=
=
−
−−
=− −
−=
= =
4
44 4
3 5 011
19
9 1 19 9 9 1
8 10 104 5 50 55 5
3 54 5
0 2515 20
255
5
3 04 53 54 5
15 05
3
5 3:
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
x y bx
a by
a b
x a b y a b a b
x
b
a b a b
a b a b
xb a b a b
a b a ba b a
ab a
y
b
a b a b
a b a b
ya b b a b
aa a b
aa b
sol x a b y a b
− =
++
−=
− + + = −
=
−
− +−
− +
=+ + −
+ + −=
+= +
=− −
−− +
=− − −
=−
= −
= + = −
2
2
2
2 1
21 1
2 2 22
1 2
21 1
2 22
22
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
:
16. 16. 16. 16. 16.
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
xx
yy
x y x yxy x y xy x y
x yx yxx
yy
y x y xxy y x xy y x
x yx y
x
y
+−
=++
+ + = − ++ + + = + − −+ = −
+ = −+−
=++
+ + = + −+ + + = − + −
− + = −− + = −
=
−−
−
=− +
+=
−= −
99
2139
9 39 9 2139 9 351 21 9 189
18 18 54030
88
1911
11 8 19 88 11 88 8 19 152
8 16 2402 3030 130 21 11 2
60 302 1
303
10
=
−− −
−
=− −
=−
= −
= − = −
1 301 301 11 2
30 303
603
20
10 20sol x y:
EJERCICIO 185
1. 1. 1. 1. 1. x y x y
x y x y
y x y x
− = + == = − = == = = =
1 7
0 1 0 7
0 1 0 7
sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3sol : x = 4 y = 3
2. 2. 2. 2. 2. x y x y
x y x y
y x y x
− = + = −= = − = = −= = = = −
2 10 2 3 8
0 5 0 2
0 10 0 4
23
sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4sol : x = 2 Y = - 4
x + y = 7
x + y = 7
x + y = 7
x + y = 7
x + y = 7
x - y
= 1
x - y
= 1
x - y
= 1
x - y
= 1
x - y
= 1
x - 2y
= 10
x - 2y
= 10
x - 2y
= 10
x - 2y
= 10
x - 2y
= 10
2x + 3y = -8
2x + 3y = -8
2x + 3y = -8
2x + 3y = -8
2x + 3y = -8
(4,3)(4,3)(4,3)(4,3)(4,3)
(2,-4)(2,-4)(2,-4)(2,-4)(2,-4)
3. 3. 3. 3. 3. 5 3 0 7 16
3 5 0 16
0 2 27
x y x y
x y x y
y x
− = − = −= = = =
= = −
sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5sol : x = - 3 y = - 5
4. 4. 4. 4. 4. 3 4 5 6 38
3 4 0 2 8
4 3 3 4
x y x y
x y x y
x y y x
= − − =+ = = − = −
= = − = − =
sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3sol : x = 4 y = - 3
5. 5. 5. 5. 5. 3 4 15 2 55 0 0 51 3 2 1
x y x yx y x yx y x y
+ = + == = = == = = =
6. 6. 6. 6. 6. 5 2 16 4 3 102 3 2 64 2 1 2
x y x yx y x yx y x y
+ = + == = = − == = − = =
sol : x = 4 y = - 2sol : x = 4 y = - 2sol : x = 4 y = - 2sol : x = 4 y = - 2sol : x = 4 y = - 2
sol : x = 1 y = 3sol : x = 1 y = 3sol : x = 1 y = 3sol : x = 1 y = 3sol : x = 1 y = 3
Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2Escala 1:2
7x -
y =
-16
7x -
y =
-16
7x -
y =
-16
7x -
y =
-16
7x -
y =
-16 5x
- 3y =
0
5x - 3
y = 0
5x - 3
y = 0
5x - 3
y = 0
5x - 3
y = 0
5x -
6y = 38
5x -
6y = 38
5x -
6y = 38
5x -
6y = 38
5x -
6y = 38
3x + 4y = 0
3x + 4y = 0
3x + 4y = 0
3x + 4y = 0
3x + 4y = 0
4x + 3y = 10
4x + 3y = 10
4x + 3y = 10
4x + 3y = 10
4x + 3y = 10 5x + 2y = 16
5x + 2y = 16
5x + 2y = 16
5x + 2y = 16
5x + 2y = 16
3x + 4y = 15
3x + 4y = 15
3x + 4y = 15
3x + 4y = 15
3x + 4y = 15
2x + y = 5
2x + y = 5
2x + y = 5
2x + y = 5
2x + y = 5
(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)(-3,-5)
(1,3)(1,3)(1,3)(1,3)(1,3)
(4,-2)(4,-2)(4,-2)(4,-2)(4,-2)
(4,-3)(4,-3)(4,-3)(4,-3)(4,-3)
9. 9. 9. 9. 9. x y
x y
x y x y
x yx y
x y x y
2 3
1
63 2 1
3 5 3 4
3 4
7
124 3 7
1 1 4 3
− = − − = −
= = = − = −
+ = − + = −
= − = − = − =
;
;
sol : x = - 1 y = - 1sol : x = - 1 y = - 1sol : x = - 1 y = - 1sol : x = - 1 y = - 1sol : x = - 1 y = - 1
7. 7. 7. 7. 7. x y y x
x y x y
x y x y
x y x y
+ = + − = +− = − − + == = = == − = = − =
8 2 4 2
6 6
0 6 0 6
6 0 6 0
sol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentes
8. 8. 8. 8. 8. 35 4
2 5 25
12 5 40 0 50 8 5 45 4
x yx y
x y x yx y x yx y
+ = − =
+ = = = −= = = = −= = −
sol : x = 5 y = - 4sol : x = 5 y = - 4sol : x = 5 y = - 4sol : x = 5 y = - 4sol : x = 5 y = - 4
10. 10. 10. 10. 10. x y x y
x y x y
x y x y
+ = + == = = =
= = = =
3 6 3 9 10
0 2 0 1
6 0 3 0
19
13
sol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatiblessol : Incompatibles
(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)(-1,-1)
(5,-4)(5,-4)(5,-4)(5,-4)(5,-4)
x + 8 = y
+ 2
x + 8 = y
+ 2
x + 8 = y
+ 2
x + 8 = y
+ 2
x + 8 = y
+ 2
y - 4 = x
+ 2
y - 4 = x
+ 2
y - 4 = x
+ 2
y - 4 = x
+ 2
y - 4 = x
+ 2
x - 5y = 25x - 5y = 25x - 5y = 25x - 5y = 25x - 5y = 25
x + 3y = 6
x + 3y = 6
x + 3y = 6
x + 3y = 6
x + 3y = 6
3x +9y =10
3x +9y =10
3x +9y =10
3x +9y =10
3x +9y =10
12x + 5y = 40
12x + 5y = 40
12x + 5y = 40
12x + 5y = 40
12x + 5y = 40
3x -
2y =
- 1
3x -
2y =
- 1
3x -
2y =
- 1
3x -
2y =
- 1
3x -
2y =
- 1
4x + 3y = -7
4x + 3y = -7
4x + 3y = -7
4x + 3y = -7
4x + 3y = -7
11. 11. 11. 11. 11. 2 3 13
2 3 5 1
6 9 39
2 3 5 1
x y
x y x y
x y
x y x y
+ = −= − = − = − = −+ = −
= − = − = − = −
;
,
sol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentessol : Equivalentes
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( ) ( ) ( )
x y y x
x y y xx y y xx y x y
x y x yx y x y
−−
−=
−+
−= −
− − − = − + − = −− − + = − + − = −− = + = −
= = − = = −= = − = − = −
22
33
42
23
3113
3 2 2 3 24 3 2 2 3 223 6 2 6 24 3 6 2 6 223 2 24 2 3 10
6 3 4 64 6 2 2
sol : x = 4 y = - 6sol : x = 4 y = - 6sol : x = 4 y = - 6sol : x = 4 y = - 6sol : x = 4 y = - 6
13. 13. 13. 13. 13. x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
+ == = = =− = −= = = =− = −= = = =
9
6 3 4 5
1
0 1 2 3
2 6
0 3 2 4
;
;
;
sol : x = 4 y = 5sol : x = 4 y = 5sol : x = 4 y = 5sol : x = 4 y = 5sol : x = 4 y = 5
14. 14. 14. 14. 14. x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
+ == = = =+ =
= = = − =+ =
= = = =
5
0 5 2 3
3 4 18
2 3 2 6
2 3 13
2 3 5 1
;
;
;
sol : x = 2 y = 3sol : x = 2 y = 3sol : x = 2 y = 3sol : x = 2 y = 3sol : x = 2 y = 3
(4,-6)(4,-6)(4,-6)(4,-6)(4,-6)
(2,3)(2,3)(2,3)(2,3)(2,3)
(4,5)(4,5)(4,5)(4,5)(4,5)2x + 3y = - 13
2x + 3y = - 13
2x + 3y = - 13
2x + 3y = - 13
2x + 3y = - 13
6x + 9y = - 39
6x + 9y = - 39
6x + 9y = - 39
6x + 9y = - 39
6x + 9y = - 39
x + y = 5
x + y = 5
x + y = 5
x + y = 5
x + y = 5
3x + 4y = 18
3x + 4y = 18
3x + 4y = 18
3x + 4y = 18
3x + 4y = 18
2x + 3y = 13
2x + 3y = 13
2x + 3y = 13
2x + 3y = 13
2x + 3y = 13
x + y = 9
x + y = 9
x + y = 9
x + y = 9
x + y = 9
x - 2y = - 6
x - 2y = - 6
x - 2y = - 6
x - 2y = - 6
x - 2y = - 6
x - y
= -
1
x - y
= -
1
x - y
= -
1
x - y
= -
1
x - y
= -
1
2x + 3y = -10
2x + 3y = -10
2x + 3y = -10
2x + 3y = -10
2x + 3y = -10 3x -
2y =
24
3x -
2y =
24
3x -
2y =
24
3x -
2y =
24
3x -
2y =
24
EJERCICIO 1861. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
x y zx y zx y z
x y zx y z
x zx y zx y z
x zx z
x zx z
x zx z
xx
zzzz
yy
ysol x y
+ + =− + =− − = −
+ + =− + =
+ =+ + =− − = −
− = −− = −
+ =− = −
+ =− = −
==
+ =+ =
==
+ + =+ =
==
62 53 10
62 5
2 3 116
3 10
2 2 42
2 3 112 3
2 3 113 3 6
5 51
2 1 3 112 3 11
3 931 3 6
4 62
1: = =2 3z
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
x y zx y z
x y zx y zx y z
x zx y z
x y z
x y zx y z
x zx z
x z
x zx z
xx
+ + =− + =
+ − =+ + =− + =
+ =− + =
+ − =
− + =+ − =
+ =+ =
+ = −
+ =− − = −
− = −=
122 7
2 612
2 7
3 2 192 7 2
2 6
4 2 2 142 6
5 203 2 19
5 20 2
3 2 1910 2 40
7 213
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
15. 15. 15. 15. 15. 2 1
0 1 1 1
2 13
5 4 3 5
3 2 19
5 2 3 5
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
+ = −= = − = − =− = −= − = = − =− = −
= − = = − =
;
;
;
sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5sol : x = - 3 y = 5
16. 16. 16. 16. 16. x y y x x y
x y x y x y
x y x y x y
− = − = − − == = − = = − = − = −= = = = − = =
1 2 4 4 5 7
0 1 0 2 2 3
1 0 2 1 3 1
sol : x = - 2 y = - 3sol : x = - 2 y = - 3sol : x = - 2 y = - 3sol : x = - 2 y = - 3sol : x = - 2 y = - 3
x - y
= 1
x - y
= 1
x - y
= 1
x - y
= 1
x - y
= 1
2y - x
= - 4
2y - x
= - 4
2y - x
= - 4
2y - x
= - 4
2y - x
= - 4
4x - 5y = 7
4x - 5y = 7
4x - 5y = 7
4x - 5y = 7
4x - 5y = 7
x - 2y = - 1
3
x - 2y = - 1
3
x - 2y = - 1
3
x - 2y = - 1
3
x - 2y = - 1
3
3x -
2y =
- 19
3x -
2y =
- 19
3x -
2y =
- 19
3x -
2y =
- 19
3x -
2y =
- 19
2x + y = -1
2x + y = -1
2x + y = -1
2x + y = -1
2x + y = -1
(-3,5)(-3,5)(-3,5)(-3,5)(-3,5)
(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)(-2,-3)
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación( )5 3 2015 20
53 5 12
8 124
3 4 5
+ =+ =
=+ + =
+ ==
= = =
zzz
yy
ysol x y z:
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
x y zx y zx y z
x y zx y z
x zx z
x y zx y z
x y zx y z
x z
x zx z
x zx z
xx
zzyy
− + =+ + =
+ − = −− + =+ + =
+ =+ =
− + =+ − = −
− + =+ − = −
+ =
+ = −+ =
− − = −+ =
= −= −
− + ==
− − + =− + =
−
24
2 2 424
2 2 63
2 22 2 4
2 2 2 42 2 4
4 0
3 14 0
34 0
3 31
1 34
1 4 23 2yy
sol x y z
= −=
= − = =
11
1 1 4:
4. 4. 4. 4. 4.
( )
2 3 13 2 12
3 2 52 3 1 23 2 5
4 2 6 23 2 5
7 7 71
x y zx y zx y z
x y zx y z
x y zx y z
x zx z
+ − = −− − = −− − = −
+ − = −− − = −
+ − = −− − = −
− = −− = −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación
( )
( )
( ) ( )
2 3 1 33 2 12
6 3 9 33 2 12
7 11 15
1 77 11 15
7 7 77 11 15
4 82
2 11
2 1 3 2 12 6 1
4 13
1 3 2
x y zx y z
x y zx y z
x z
x zx z
x zx z
zz
xx
yyy
ysol x y z
+ − = −− − = −
+ − = −− − = −
− = −
− = − −− = −
− + =− = −
− = −=
− = −=+ − = −
+ − = −− = −
== = =:
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )
( ) ( )
2 3 16 2 143 1
2 3 13 1
5 4 22 3 16 2 14
8 135 4 2
8 13 4
5 4 232 4 52
27 542
8 2 1316 13
3
2 2 3 3 14 9 1
x y zx y zx y z
x y zx y z
x yx y zx y z
x yx y
x y
x yx y
xx
yyy
zz
+ + =− − = −+ − =
+ + =+ − =
+ =+ + =− − = −
+ = −+ =
+ = − −
+ =− − =
− == −
− + = −− + = −
=
− + + =− + + =
5 14
2 3 4
+ == −
= − = = −
zz
sol x y z:
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )
( )
5 2 242 5 2 14
4 3 265 2 24 22 5 2 14
10 4 2 482 5 2 14
12 34
5 2 24 34 3 26
15 6 3 724 3 26
14 2 46
12 34 214 2 46
24 2
x y zx y z
x y zx y zx y z
x y zx y z
x y
x y zx y z
x y zx y z
x y
x yx y
x y
− + =+ − = −
− + =− + =+ − = −
− + =+ − = −
+ =
− + = −− + =
− + − = −− + =
− + = −
+ = −− + = −
− − = −
( )
( )
6814 2 46
38 1143
12 3 3436 34
2
3 4 2 3 263 8 3 26
3 155
3 2 5
− + = −
− = −=
+ =+ =
= −
− − + =+ + =
==
= = − =
x y
xx
yyy
zzzz
sol x y z:
7. 7. 7. 7. 7.
( )
( )
4 2 3 83 4 2 12 5 3
4 2 3 8 23 4 2 1
8 4 6 163 4 2 1
5 4 175 4 17
4 2 3 82 5 3 2
4 2 3 84 2 10 6
8 13 14
x y zx y zx y z
x y zx y z
x y zx y z
x zx z
x y zx y z
x y zx y z
x z
+ + =+ + = −− + =
+ + = −+ + = −
− − − = −+ + = −
− − = −+ =
+ + =− + =
+ + =− + =
+ =ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación
( )( )
( )
( ) ( )
8 13 14 5
5 4 17 8
40 65 7040 32 136
33 662
5 4 2 175 8 17
5 255
2 5 5 2 310 10 3
33
5 3 2
x zx z
x zx z
zz
xx
xx
yy
yy
sol x y z
+ = −
+ =
− − = −+ =
− == −
+ − =− =
==
− + − =− − =
− == −
= = − = −:
8. 8. 8. 8. 8.
( )
( )
( )
( )
6 3 2 129 4 3710 5 3 21
6 3 2 129 4 37 3
6 3 2 1227 3 12 111
33 14 1239 4 37 5
10 5 3 21
45 5 20 18510 5 3 21
55 23 20633 14 123 5
55 23 206 3
165 70 615165
x y zx y zx y z
x y zx y z
x y zx y z
x zx y zx y z
x y zx y z
x zx z
x z
x zx
+ + =− + =+ + =
+ + =− + =
+ + =− + =
+ =− + =+ + =
− + =+ + =
+ =+ =
+ = −
+ =−
( )
( ) ( )
− = −
= −
+ − =− =
==
+ + − =+ − =
+ == −= −
= = − = −
69 618
3
33 14 3 12333 42 123
33 1655
6 5 3 2 3 1230 3 6 12
3 24 123 12
45 4 3
z
z
xx
xx
yy
yyy
sol x y z:
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
( )
2 4 3 310 8 9 04 4 3 2
2 4 3 3 310 8 9 0
6 12 9 910 8 9 0
16 4 910 8 9 0
4 4 3 2 3
10 8 9 012 12 9 6
2 20 610 3
16 4 9 5
10 3
x y zx y z
x y zx y zx y z
x y zx y z
x yx y z
x y z
x y zx y z
x yx y
x y
x y
+ + =− − =
+ − =+ + =− − =
+ + =− − =
+ =− − =
+ − = −
− − =− − + = −
− − = −+ =
+ =
+ = −( )2
80 20 452 20 6
78 3912
1612
4 9
8 4 94 1
14
212
414
3 3
1 1 3 33 1
13
12
14
13
x yx y
x
x
y
yy
y
z
zz
z
sol x y z
+ =− − = −
=
=
+ =
+ ==
=
+
+ =
+ + ==
=
= = =:
10. 10. 10. 10. 10.
( )
3 12 1
2 173 1
2 1
4 3 22 1 2
2 17
x y zx y zx y z
x y zx y z
x yx y zx y z
+ + =+ − =+ + = −
+ + =+ − =
+ =+ − =+ + = −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
10. Continuación10. Continuación10. Continuación10. Continuación10. Continuación
( )
( )
( )
2 4 2 22 17
3 5 154 3 2 3
3 5 15 4
12 9 612 20 60
11 666
4 3 6 24 18 2
4 205
5 6 2 172 16
85 6 8
x y zx y z
x yx y
x y
x yx y
yy
xx
xx
zzz
sol x y z
+ − =+ + = −
+ = −+ =
+ = − −
+ =− − =
− == −
+ − =− =
==
− + = −= −= −
= = − = −:
11. 11. 11. 11. 11.
( )
( )
7 3 4 353 2 5 38
6 277 3 4 35
6 27 3
7 3 4 353 3 18 81
4 14 462 7 23
3 2 5 386 27 2
3 2 5 382 2 12 54
5 7 162 7 235 7 16
x y zx y z
x y zx y z
x y z
x y zx y z
x zx z
x y zx y z
x y zx y z
x zx zx z
+ − = −− + =
+ − = −+ − = −
+ − = − −
+ − = −− − + =
+ =+ =
− + =+ − = −
− + =+ − = −
− = −+ =− = −
( )
( )
7 71
2 1 7 237 21
31 6 3 27
17 2710
1 10 3
xx
zzz
yy
ysol x y z
==
+ ===
+ − = −− = −
= −= = − =:
12. 12. 12. 12. 12.
( )
( )
( )
4 5 63 3 4 306 2 3 33
4 5 6 33 3 4 30
12 3 15 183 3 4 30
15 11 124 5 6 26 2 3 33
8 2 10 126 2 3 33
14 7 212 3
15 11 12
2 3 11
15
x y zx y zx y z
x y zx y z
x y zx y z
x zx y zx y z
x y zx y z
x zx z
x z
x z
x
− + = −+ − =+ − =
− + = −+ − =
− + = −+ − =
+ =− + = −+ − =
− + = −+ − =
+ =+ =
+ =
+ = −
+
( )
( ) ( )
11 1222 11 33
7 213
2 3 33
4 3 5 3 612 15 6
3 63
33 3 3
zx z
xx
zz
yyy
yy
sol x y z
=− − = −
− = −=
+ == −
− + − = −− − = −− − = −
− = −=
= = = −:
13. 13. 13. 13. 13.
( )
( )
( )
9 4 10 66 8 5 112 12 15 10
6 8 5 1 212 12 15 10
12 16 10 212 12 15 10
28 25 129 4 10 6 2
6 8 5 1 3
18 8 20 1218 24 15 3
32 35 15
x y zx y zx y z
x y zx y z
x y zx y z
y zx y z
x y z
x y zx y z
y z
+ − =− + = −+ − =
− + = − −+ − =
− + − =+ − =
− =+ − =
− + = − −
+ − =− + − =
− =ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
13. Continuación13. Continuación13. Continuación13. Continuación13. Continuación
( )( )
28 25 12 8
32 35 15 7
224 200 96224 245 105
45 915
28 2515
12
28 5 1228 7
14
6 814
515
1
6 2 1 16 2
13
13
14
15
y z
y z
y zy z
z
z
y
yy
y
x
xx
x
sol x y z
− = −
− =
− + = −− =
− =
= −
− −
=
+ ==
=
−
+ −
= −
− − = −=
=
= = = −:
14. 14. 14. 14. 14.
( )
5 3 1110 1015 2 7
5 3 1110 10
15 2 110 1015 2 7
25 315 2 1
25 3 2
15 2 150 2 6
35 715
1515
2 1
3 2 12 4
2
x y zx y zx y z
x y zx y z
x yx y zx y z
x yx y
x y
x yx y
x
x
y
yyy
+ − = −− + =+ − = −
+ − = −− + =
+ = −− + =+ − = −
+ =+ = −
+ = −
+ = −− − = −
− = −
=
+ = −
+ = −= −= −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación
( )( )
10 2 10
1015
2 10
2 2 106
15
2 6
x z
z
zz
sol x y z
− − + =
− − + =
+ + ==
= = − =:
15. 15. 15. 15. 15.
( )
x yy zz x
x y
y z
x yy z
x zx zx z
xx
yy
zz
sol x y z
+ =+ = −+ = −
+ =
+ = − −
+ =− − =
− =− =+ = −
= −= −
− + ==
+ = −= −
= − = = −
116
1
1 1
11
226
2 42
2 13
3 14
2 3 4:
16. 16. 16. 16. 16.
( )
( )
x yy z
x zx y
y z
x yy z
x z
x zx z
x zx z
zz
x xyy y
sol x y z
+ = −+ =
+ =+ = −
+ = −
+ = −− − =
− = −
− = − −+ =
− + =+ =
==
− = − ⇒ =+ = −
= − ⇒ = −= = − =
2 12 0
2 112 1
2 0 1
2 12 0
1
1 12 11
12 11
3 124
4 1 33 2 1
2 4 23 2 4:
17. 17. 17. 17. 17.
( )
y zx zy x
y z
x z
y zx z
x yx yx y
yy
zz
xxx
sol x y z
+ = −+ =+ = −
+ = −
+ = −
+ = −− − = −
− + = −− + = −
+ = −
= −= −
− + = −= −
− ==== = − = −
82 93 2 3
8
2 9 1
82 9
2 172 172 3 3
4 205
5 83
2 3 92 12
66 5 3:
18. 18. 18. 18. 18.
( )
( )( )
( )
( )
3 2 03 4 25
5 143 4 25
5 14 4
3 4 2520 4 56
20 3 3120 3 31 23 2 0 3
40 6 629 6 0
31 622
3 2 2 06 2 0
2 63
3 3 4 254 16
42 3
x yy z
z xy z
x z
y zx z
x yx yx y
x yx y
xx
yyyyzzz
sol x y z
− =− =
− = −− =
− + = −
− =− + = −
− + = −− + = −
− =
− + = −− =
− = −=
− =− =− = −
=− =− =
= −= =: = − 4
19. 19. 19. 19. 19.
( )
( )
3 5 105 3 73 5 13
5 3 105 3 7
3 3 31
3 5 131 3
3 5 133 3 3
2 105
5 14
45 3 4 7
5 12 75 5
11 4 5
z xx yy z
x zx y
y zy z
y zy z
y zy z
zz
yyy
xx
xx
sol x y z
− =− = −− = −
− + =− = −
− + =− + =
− = −− + =
− = −− + =
− = −=
− + =− = −
=− = −
− = −==
= = =:
20. 20. 20. 20. 20.
( )
( )
( )
x yy zx y z
x y z
x y
x y zx y
y zy z
y z
y zy z
yy
xx
xzz
sol x y z
− =− =+ + =
+ + =
− = −
+ + =− + =
+ =+ =
− =
+ =− =
==
− =− =
=+ + =
= −= = = −
2 02 5
88
2 0 1
82 0
3 83 8 2
2 5
6 2 162 5
7 213
2 3 06 0
66 3 8
16 3 1:
21. 21. 21. 21. 21.
( )
( )
( )
5 3 22 5
2 4 82 4 8
2 5 2
2 4 82 4 10
2
5 2 3 210 3 2
3 124
2 4 58 5
33
2 3 4
x zz y
x y zx y z
y z
x y zy z
x
zzzz
yyyy
sol x y z
− =− = −
+ − =+ − =− + = −
+ − =− + = −
= −
− − =− − =
− == −
− − = −− − = −
− == −
= − = − = −:
22. 22. 22. 22. 22.
( )
( )
( )
2 144 413 5 53
4 413 5 53
7 4 947 4 942 14 4
7 4 948 4 56
15 15010
2 10 1420 14
66
4 10 6 4134 41
710 7 6
x zx y zx y z
x y zx y z
x zx zx z
x zx z
xx
zzzzy
yy
sol x y z
− =+ − =− + =
+ − =− + =
+ =+ =− =
+ =− =
==
− =− =− = −
=+ − =
+ ==
= = =:
23. 23. 23. 23. 23. x y z
z x y
z x y
z x y
z x y
z z
+ − =+ − =− + =
+ − =− + =
= ⇒ =
1
3
7
3
7
2 10 5ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
23. Continuación23. Continuación23. Continuación23. Continuación23. Continuación
x y z
x y z
x
x
y
y
y
y
sol x y z
− + =+ − =
==
− + =− + =
− = −=
= = =
3
1
2 4
2
2 5 3
7 3
4
4
2 4 5:
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )
( )
x y z
x y zx y z
x y zx y z
x y zx y zx y z
x y zx y z
x zx y zx y z
x y zx y z
x zx
2 2 33
3 3 2 18
3 6 25
2 3 30
6 3 60
2 03 3 2 18 2
2 0 3
6 6 4 363 6 3 0
9 362 3 30 2
2 0
4 2 6 602 0
5 5 60
+ − =
+ − =
+ − = −
+ − = −
− + =
− + =+ − =− + =
+ − =− + =
− =+ − = −− + =
+ − = −− + =
− = −−
( )
zx z
x z
x zx z
xx
zzz
= −− =
− = − −
− =− + =
==
− = −− = −
=
129 36
12 1
9 3612
8 486
6 1218
18
24. Continuación24. Continuación24. Continuación24. Continuación24. Continuación
6 2 18 0
2 24 0
2 24
12
6 12 18
− + =− + =
− = −=
= = =
y
y
y
y
sol x y z:
25. 25. 25. 25. 25.
( )
( )
( )
x y z
x y zx y z
x y zx y z
x y z
x y zx y z
x y zx y z
x zx z
x y z
x y z
x y z
3 4 321
4 3 4 252
5 6 30
6 5 10 0
10 3 63
3 10 5 90
6 5 10 0 23 10 5 90
12 10 20 03 10 5 90
9 15 903 5 30
4 3 4 252 10
3 10 5 90 3
40 30 40
+ + =
+ + =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − = −+ − =
− − + =+ − =
− + =− + =
+ + =
+ − = −
+ + =
( )
( )
( ) ( )
2 5209 30 15 270
31 55 2 250
3 5 30 1131 55 2 250
33 55 33031 55 2 250
64 1 92030
3 30 5 3090 5 30
5 12024
6 30 5 10 24 0180 240 5 0
5 6012
30 12 24
.
.
.
.
.
:
− − + = −
+ =
− + = −+ =
− = −+ =
==
− + =− + =
==
+ − =− + =
==
= = =
x y z
x z
x zx z
x zx z
xx
zzzz
yyyy
sol x y zContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
26. 26. 26. 26. 26.
( )
( )
xy z
x y z
yx z
y x z
zy x
z y x
x y zx y z
x y zx y z
x yx y zx y z
x y zx y z
x yx y
x y
−+
=
− − =
−+
=
− − =
−−
=
− + =
− − = −− + − =
− + + = −− + − =
− + =− + − =
− + =
− + − =− + =
− + =− + =
− + =
34
3 12
810
8 80
25
2 10
3 12 18 80
3 128 80
4 9 688 80 2
2 10
2 16 2 1602 10
15 1704 9 68
15 ( )
( )
( )
170 4
4 9 684 60 680
51 61212
4 9 12 684 108 68
4 4010
3 10 12 1230 12 12
18 126
10 12 6
−
− + =− = −
− = −=
− + =− + =
− = −=
− − =− − =
− ==
= = =
x yx y
yy
xx
xxzzzz
sol x y z:
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( )
( ) ( )
x y y
x y yx y yx y
x z y
x z yx z y
x y z
+=
+
+ = ++ = +− =
−=
−
− = −− = −
− − = −
74
55 7 45 5 7 285 2 28
54
22 5 42 2 5 20
2 5 2 20ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
27. Continuación27. Continuación27. Continuación27. Continuación27. Continuación
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
y z x
y z xy z x
x y zx y zx y z
x y zx y z
x yx y
x y
x yx y
xx
yy
−=
+
− = +− = +
− + = −− − = −− + = −
− − = −− + = −
− = −− = −
− = −
− = −− + = −
− = −=
− =− =
32
1010 3 210 10 3 6
3 10 10 62 5 2 20 53 10 10 6
10 25 10 1003 10 10 6
13 35 10613 35 106 2
5 2 28 35
26 70 212175 70 980
149 1 1928
5 8 2 2840 2
.
( ) ( )
282 12
62 8 5 6 2 20
16 30 2 202 6
38 6 3
− = −=
− − = −− − = −
− = −=
= = =
yy
zzzz
sol x y z:
28. 28. 28. 28. 28.
( )
yz
x
y z xx y z
zx
y
z x yx y z
xy
z
x y zx y z
x y z
x y z
x y zx y z
y z
−+
= −
− − = −− + − = −
−−
= −
− + = −− − + = −
−+
= +
− − = +− − =
− + − = −
− − + = − −
− + − = −+ − =
− =
42
6
2 4 2 122 2 8
73
5
3 7 3 153 3 22
25
4
5 2 5 205 5 22
2 2 8
3 3 22 2
2 2 82 6 6 44
8 7 36ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
28. Continuación28. Continuación28. Continuación28. Continuación28. Continuación
( )
( )
( ) ( )
5 5 223 3 22 5
5 5 225 15 15 110
16 10 888 5 44
8 5 448 7 36
2 84
8 7 4 368 28 36
8 648
3 8 3 4 2212 22
1010 8 4
x y zx y z
x y zx y z
y zy z
y zy z
zz
yy
yy
xx
xsol x y z
− − =− − + = −
− − =− − + = −
− + = −− + = −
− + = −− =
− = −=
− =− =
==
− − + = −− − = −
== = =:
29. 29. 29. 29. 29.
( )
x yy z
x y y zx y zx y x z
x y x zx y z
y zx
y z xx y zx y z
zz
x y z
x y z
x y zx y z
x z
− +−
=
− + − =− − =
−−
−=
− − + =− + =
−− = −
− − = −− − =
− + − = −
− = −=
− + =
− − = −
− + =− + + = −
− + = −−
23
2 2 62 6
2 40
2 2 02 0
25
2 102 62 10
2 42
2 0
2 6 2
2 04 2 2 12
3 3 123 ( )x
xxx
+ = −− + = −
− = −=
3 2 123 6 12
3 186
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
29. Continuación29. Continuación29. Continuación29. Continuación29. Continuación
6 2 2 0
2 8 0
2 8
4
6 4 2
− + =− + =
− = −=
= = =
y
y
y
y
sol x y z:
30. 30. 30. 30. 30.
( )
1 15
1 16 1
1 15
1 16
1 11
1 11
1 17
26
13
1 113
5
13 5
12
12
112
16
21
6
14
14
12
13
14
x y
x z
x y
x z
y z
y z
y z
y
y
x
x
x
x
z
z
z
z
sol x y z
+ =
+ = −
+ =
− − = −
− = −
− = −
+ =
=
=
+ =
+ =
=
=
+ =
+ =
=
=
= = =:
31. 31. 31. 31. 31.
( )
( )
3 22
2 2 32
1
3 22
2 2 32
3 2 123 2 1
22
1 4 43
6 41
1 4 43
7 73
333
22
12
2
21
233
2 12
12 1
22 1
24
3 2 4
x y
y z
x y
y z
x z
x z
x z
x z
x z
xx
y
y
yy
z
z
zz
sol x y z
+ =
+ = −
+ =
− − = −
− =
− =
+ =
− =
+ =
=
=
+ =
+ =
=
=
− =
− =
− = −
== = =:
32. 32. 32. 32. 32.
( )
1 4 26
3 2 43 2
1 4 26
6 4 86
5 612
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
+ + = −
+ + = −
+ + = −
− − − = −
− − = −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
32. Continuación32. Continuación32. Continuación32. Continuación32. Continuación
( )
( )
( )
( )
1 4 26 5
6 5 631 4
5 20 1030
24 20 24124
29 1494
5 612 7
29 1494 3
35 4284
87 42282
122366
122 36613
513
612
156
12
63
2113
4 22
6
34
1 6
48
1
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x z
x z
x z
x z
xx
x
z
z
zz
y
y
y
+ + = −
− − =
+ + = −
− − =
− =
− − = −
− =
+ =
− =
=
=
=
− − = −
− − = −
− =
− =
+ +−
= −
+ − = −
= −
−2
13
12
2
=
= = − = −
y
sol x y z:
EJERCICIO 187
1. 1. 1. 1. 1. 1 2 1
1 3 4
1 0 2
1 2 1
1 3 4
6 0 8 3 0 4 7⇒ + + − − − =
2. 2. 2. 2. 2. 1 2 2
1 3 3
1 4 5
1 2 2
1 3 3
15 8 6 6 12 10 45
−−
−−
−⇒− − − + − − = −
3. 3. 3. 3. 3. −−
−−
⇒ + + + + − =
3 4 1
2 3 0
1 2 7
3 4 1
2 3 0
63 4 0 3 0 56 14
4. 4. 4. 4. 4. 2 5 1
3 4 3
6 2 4
2 5 1
3 4 3
32 6 90 24 12 60 44
−−
−−
⇒− − + − − − = −
5. 5. 5. 5. 5. 5 1 6
2 5 3
3 4 2
5 1 6
2 5 3
50 48 9 90 60 4 115
− −−
− −−⇒ + − + − − =
6. 6. 6. 6. 6. 4 1 5
3 2 6
12 3 2
4 1 5
3 2 6
16 45 72 120 72 6 65
−
−⇒ + − − + − = −
7. 7. 7. 7. 7. 5 2 8
3 7 3
4 0 1
5 2 8
3 7 3
35 0 24 224 0 6 171
−− −
−−
− −⇒ + + − + − = −
8. 8. 8. 8. 8. 3 2 5
1 3 4
3 2 5
3 2 5
1 3 4
45 10 24 45 24 10 0
− −
− −⇒− − + + − + =
9. 9. 9. 9. 9. 5 2 3
6 1 2
3 4 5
5 2 3
6 1 2
25 72 12 9 40 60 0⇒ + + − − − =
10. 10. 10. 10. 10. 12 5 10
8 6 9
7 4 2
12 5 10
8 6 9
144 320 315 420 432 80 847
−−
−⇒ + + + − + =
11. 11. 11. 11. 11. − −− −
− −− −
⇒ − − − − − = −
9 3 4
7 5 3
4 6 1
9 3 4
7 5 3
45 168 36 80 162 21 422
12. 12. 12. 12. 12. 11 5 712 3 813 1 911 5 712 3 8297 84 520 273 88 540 378
−−−
−−⇒ − + + − − =
EJERCICIO 1881. 1. 1. 1. 1. x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
sol x y z
+ + =− + =+ − =
=
−−
−
−−
−
=+ + + − +
+ + + − += =
= −
=− + + − − +
= =
=−
−
= − + + + − − = =
= = =
11
3 13
2 2 7
11 1 1
13 1 3
7 2 1
11 1 1
13 1 3
1 1 1
1 1 3
2 2 1
1 1 1
1 1 3
11 26 21 7 66 13
1 2 6 2 6 1
12
62
1 11 1
1 13 3
2 7 1
1 11 1
1 13 3
13 7 66 26 21 11
6
24
64
1 1 11
1 1 13
2 2 7
1 1 11
1 1 13
7 22 26 22 26 7
6
30
65
2 4: 5
2. 2. 2. 2. 2. x y z
x y z
x y z
x
+ + = −+ − = −
− + = −
=
−− −− −−− −
−−
−
6
2 1
2 3 6
6 1 1
1 1 1
6 2 3
6 1 1
1 1 1
1 1 1
2 1 1
1 2 3
1 1 1
2 1 1
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación
x
y
y
z
z
sol x y z
= − + + + + +− − − − −
=−
= −
=
−− −−−− −
=− − + + − +
−=
−= −
=
−−
− −−−
= − + − + − +−
=−
= −
= − = − = −
18 2 6 6 12 3
3 4 1 1 2 6
11
111
1 6 1
2 1 1
1 6 3
1 6 1
2 1 1
3 12 6 1 6 36
11
22
112
1 1 6
2 1 1
1 2 6
1 1 6
2 1 1
6 24 1 6 2 12
11
33
113
1 2 3:
3. 3. 3. 3. 3. 2 3 4 32 6 8 54 9 4 4
3 3 45 6 84 9 43 3 45 6 82 3 42 6 84 9 42 3 42 6 8
72 180 96 96 216 6048 72 96 96 144 24
4896
12
2 3 42 5 84 4 42 3 42 5 8
40 32 96 80 64 2496
3296
13
2 3 32 6 54 9 4
x y zx y zx y z
x
x
y
y
z
+ + =+ + =+ − =
=
−
−
=− + + − − +− + + − − +
=−−
=
= −
=− + + − − +
−=
−−
=
=2 3 32 6 548 54 60 72 90 24
962496
14
12
13
14
z
sol x y z
=+ + − − −
−=
−−
=
= = =:
4. 4. 4. 4. 4. 4 4
2 2 2
6 2 3 12
4 1 1
2 2 1
12 2 3
4 1 1
2 2 1
4 1 1
2 2 1
6 2 3
4 1 1
2 2 1
24 4 12 24 8 6
24 4 6 12 8 6
6
12
1
2
4 4 1
2 2 1
6 12 3
4 4 1
2 2 1
24 24 24 12 48 24
12
36
123
4 1 4
2 2 2
6 2 12
4 1 4
2 2 2
96 16 12 48 16 24
12
60
125
x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
sol x
− + =+ − =− + =
=
−−
−−
−−
−−−
−
=− + − − +− + − − +
= =
=−
−
= + − − + − = =
=
−
−−
=− − − + +
= =
: = = =1
23 5y z
5. 5. 5. 5. 5. x y z
x y z
x y z
x
+ + =− + =+ − = −
=
−− −
−
−−
−
4 5 11
3 2 5
4 3 26
11 4 5
5 2 1
26 1 3
11 4 5
5 2 1
1 4 5
3 2 1
4 1 3
1 4 5
3 2 1
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
5. Continuación5. Continuación5. Continuación5. Continuación5. Continuación
x
y
y
z
z
sol x y z
= + − − − ++ + + − +
= − = −
= − −
=− − + − + +
=−
= −
=−
−
−
= + + + − + = =
= − = − =
66 25 104 260 11 60
6 15 16 40 1 36
224
1122
1 11 5
3 5 1
4 26 3
1 11 5
3 5 1
15 390 44 100 26 99
112
336
1123
1 4 11
3 2 5
4 1 26
1 4 11
3 2 5
52 33 80 88 5 312
112
560
1125
2 3 5:
6. 6. 6. 6. 6. 7 10 4 2
5 2 6 38
3 21
2 10 4
38 2 6
21 1 1
2 10 4
38 2 6
7 10 4
5 2 6
3 1 1
7 10 4
5 2 6
4 152 1 260 168 12 380
14 20 180 24 42 50
1 968
2468
7 2 4
5 38 6
3 21 1
7 2 4
5 38 6
266 420 36 456 882 10
246
1 230
2465
7 10 2
5 2 38
3 1 21
7 10 2
5 2 38
294 10 1
x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
+ + = −− + =+ − =
=
−−
−−
−
−−
−
=− + + + + +
+ + + − += =
=
−
−−
=− + − − − −
=−
= −
=
−−
−−
=− − +
. .
.
. .
:
140 12 266 1 050
246
492
2462
8 5 2
− − −=
−= −
= = − = −sol x y z
7. 7. 7. 7. 7. 4 7 5 2
6 3 7 6
9 21
2 7 5
6 3 7
21 1 9
2 7 5
6 3 7
4 7 5
6 3 7
1 1 9
4 7 5
6 3 7
54 30 1 029 315 14 378
108 30 49 15 28 378
1 190
2385
4 2 5
6 6 7
1 21 9
4 2 5
6 6 7
216 630 14 30 588 108
238
238
2381
4 7 2
6 3 6
1 1 21
4 7 2
6 3 6
252 12 42 6
x y z
x y z
x y z
x
x
y
y
z
z
+ + = −+ + =
− + = −
=
−
− −−
−
= − − − + − −− + − + −
= −−
=
=
−
−−
=− − − + +
−=
−= −
=
−
− −−
=− + + + +
. .
24 882
238
714
2383
5 1 3
+−
=−
= −
= = − = −sol x y z:
8. 8. 8. 8. 8. 3 5 2 22
2 6 32
8 3 5 33
22 5 2
32 1 6
33 3 5
22 5 2
32 1 6
3 5 2
2 1 6
8 3 5
3 5 2
2 1 6
x y z
x y z
x y z
x
− + = −− + =+ − = −
=
− −−
− −− −
−−−
−−−
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación
x
y
y
z
z
sol x y z
= − + + − + −+ − + − −
=−
= −
=
−
− −−
=− − − − + −
−=
−−
=
=
− −−
−− −−
= − − − − −−
= −−
=
= − = =
110 192 990 66 396 800
15 12 240 16 54 50
602
3012
3 22 2
2 32 6
8 33 5
3 22 2
2 32 6
480 132 1 056 512 594 220
301
1 806
3016
3 5 22
2 1 32
8 3 33
3 5 22
2 1 32
99 132 1 280 176 288 330
301
2 107
3017
2 6 7
. .
. .
:
9. 9. 9. 9. 9. x y z
x y
x y
x
x
y
y
z
z
sol x y z
+ + =+ =
+ =
=
=+ + − + ++ + − + +
=−
= −
=
=+ + − + +
−=
−−
=
=
=+ + − − −
−=
−−
=
= − = =
3
2 6
2 3 6
3 1 1
6 2 0
6 3 0
3 1 1
6 2 0
1 1 1
1 2 0
2 3 0
1 1 1
1 2 0
0 18 0 12 0 0
0 3 0 4 0 0
6
16
1 3 1
1 6 0
2 6 0
1 3 1
1 6 0
0 6 0 12 0 0
1
6
16
1 1 3
1 2 6
2 3 6
1 1 3
1 2 6
12 9 12 12 18 6
1
3
13
6 6 3:
10. 10. 10. 10. 10. 3 2 1
4 28
2 3 43
1 2 0
28 0 1
43 2 3
1 2 0
28 0 1
3 2 0
4 0 1
1 2 3
3 2 0
4 0 1
0 0 86 0 2 168
0 0 2 0 6 24
80
165
3 1 0
4 28 1
1 43 3
3 1 0
4 28 1
252 0 1 0 129 12
16
112
167
3 2 1
4 0 28
1 2 43
3 2 1
4 0 28
0 8 56 0 168 344
x y
x z
x y z
x
x
y
y
z
z
− = −+ = −
+ + = −
=
− −−−
− −−
−
−
=+ + + + −+ − + − +
=−
= −
=
−−−
−−
=− + − + + +
=−
= −
=
− −−−
− −−
= − + + + −16
128
168
5 7 8
= − = −
= − = − = −sol x y z:
11. 11. 11. 11. 11. x y z
x y z
x yz
x y z
x y z
x y z
x y z
x
3 4 41
4 3 3 12
6 21
2 6 12 12
3 6 6
2 8 20
4 4 0
12 3 3
6 3 6
0 1 4
12 3 3
6 3 6
4 3 3
1 3 6
4 1 4
4 3 3
1 3 6
− + =
− + =
+ − =
+ − =+ − =
− − =
− − =
=
−−
− −−
−−
−− −−
−
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación
x
y
y
z
z
sol x y z
=− − + + − −− − + − − −
=−−
=
=−−
−
=− + − − + +
−=
−−
=
=
−
−−
=− − − + +
−=
−−
=
= = =
144 18 0 0 72 72
48 3 72 36 24 12
306
516
4 12 3
1 6 6
4 0 4
4 12 3
1 6 6
96 0 288 72 0 48
51
408
518
4 3 12
1 3 6
4 1 0
4 3 12
1 3 6
0 12 72 144 24 0
51
204
514
6 8 4:
12. 12. 12. 12. 12. x
y z x y x zy
x y z y x z y
x y z x y z
x
x
y
y
z
32 3 1
411
3 6 4 4 44
3 6 9 4 4 44
9 3 6
1 1 0
44 1 4
9 3 6
1 1 0
1 3 6
1 1 0
4 1 4
1 3 6
1 1 0
36 6 0 264 0 12
4 6 0 24 0 12
306
349
1 9 6
1 1 0
4 44 4
1 9 6
1 1 0
4 264 0 24 0 36
34
272
348
+ = + − = + = +
+ = + + = ++ − = − + =
=
−−−
−−
−−−
−−
=− + + − + −− + + − + −
=−−
=
=
−
−
=− + + + −
−=
−−
=
; ;
; ;
=−−
−
= − − + + + −−
= −−
=
= = =
1 3 9
1 1 1
4 1 44
1 3 9
1 1 1
44 9 12 36 1 132
34
136
344
9 8 4
z
sol x y z:
EJERCICIO 191
1. 1. 1. 1. 1. x y z x y z x y z
Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z
Para y z x Para y z x Para y z x
Para x z y Para x z y Para x z y
Para x y z Para x y z Para x y z
+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
2 8 2 2 9 3 3 5 24
2 8 2 2 9 3 3 5 24
0 0 8 0 0 4 0 0 8
0 0 4 0 0 4 0 0 8
0 0 8 0 0 9 0 0 4
12
12
45
Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3Sol : x = 1 y= 2 z = 3
DDDDD
AAAAA
GGGGG
FFFFF
CCCCC
IIIII
NNNNN
MMMMM
RRRRR
BBBBB
EEEEE
HHHHH
33333
11111
22222
QQQQQ
2. 2. 2. 2. 2. x y z x y z x y z
Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z
Para y z x Para y z x Para y z x
Para x z y Para x z y Para x z y
Para x y z Para x y z Para x y z
+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
5 3 2 8 2 3 3 14
5 3 2 8 2 3 3 14
0 0 5 0 0 2 0 0 7
0 0 5 0 0 4 0 0 4
0 0 5 0 0 8 0 0 4
23
23
23
sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3sol : x = 1 y = 1 z = 3
CCCCC
DDDDD
AAAAA
GGGGG
QQQQQ
IIIII
33333
FFFFF11111
NNNNN
11111
MMMMM
BBBBB
EEEEE
RRRRR
HHHHH
3. 3. 3. 3. 3. 2 2 3 23 2 3 2 20 4 3 2 242 2 3 23 2 3 2 20 4 3 2 24
0 0 11 0 0 10 0 0 60 0 11 0 0 6 0 0 80 0 7 0
12
12
23
23
x y z x y z x y zPlano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y zPara y z x Para y z x Para y z xPara x z y Para x z y Para x z yPara x y z Para x y
+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =
= = = = = = = = == = = = = = = = =
= = = = = = = = =0 10 0 0 12z Para x y z
sol : x = 2 y = 2 z = 5sol : x = 2 y = 2 z = 5sol : x = 2 y = 2 z = 5sol : x = 2 y = 2 z = 5sol : x = 2 y = 2 z = 5
GGGGG
DDDDD
QQQQQ
NNNNN
AAAAA
CCCCCIIIII
55555
FFFFF
RRRRR
MMMMM
22222
BBBBB
EEEEE
HHHHH
22222
4. 4. 4. 4. 4. 2 2 3 24 4 5 2 35 3 2 192 2 3 24 4 5 2 35 3 2 19
0 0 12 0 0 8 0 0 60 0 12 0 0 7 0 0 90 0 8 0 0
34
13
12
x y z x y z x y zPlano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y zPara y z x Para y z x Para y z xPara x z y Para x z y Para x z yPara x y z Para x y z
+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = == = = = = =17 0 0 191
2 Para x y z= = =
sol : x = 3 y = 3 z = 4sol : x = 3 y = 3 z = 4sol : x = 3 y = 3 z = 4sol : x = 3 y = 3 z = 4sol : x = 3 y = 3 z = 4
GGGGG
DDDDD
QQQQQ
AAAAA
NNNNN
CCCCCFFFFFIIIII44444
33333
33333
RRRRR
EEEEE
BBBBB
MMMMM
HHHHH
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM
MMMMM MMMMM
MMMMM
5. 5. 5. 5. 5. 3 4 5 35 2 5 3 27 2 13
3 4 5 35 2 5 3 27 2 13
0 0 11 0 0 13 0 0 6
0 0 8 0 0 5 0 0 13
0 0 7 0 0 9 0 0 13
23
12
12
34
25
x y z x y z x y z
Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z
Para y z x Para y z x Para y z x
Para x z y Para x z y Para x z y
Para x y z Para x y z Para x y z
+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = == = = = = = = = =
sol : x = 4 y = 2 z = 3sol : x = 4 y = 2 z = 3sol : x = 4 y = 2 z = 3sol : x = 4 y = 2 z = 3sol : x = 4 y = 2 z = 3
GGGGG
DDDDD
AAAAA QQQQQ
MMMMM
IIIII FFFFFCCCCC
33333
22222
NNNNN
RRRRR
44444
EEEEE
BBBBB
HHHHH
6. 6. 6. 6. 6. 4 3 5 42 3 4 3 33 2 5 2 29
4 3 5 42 3 4 3 33 2 5 2 29
0 0 10 0 0 11 0 0 14
0 0 14 0 0 8 0 0 5
0 0 8 0 0 11 0 0 14
12
12
14
45
25
12
x y z x y z x y z
Plano ABC x y z Plano DEF x y z Plano GHI x y z
Para y z x Para y z x Para y z x
Para x z y Para x z y Para x z y
Para x y z Para x y z Para x y z
+ + = + + = + + =+ + = + + = + + =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
sol : x = 2 y = 3 z = 5sol : x = 2 y = 3 z = 5sol : x = 2 y = 3 z = 5sol : x = 2 y = 3 z = 5sol : x = 2 y = 3 z = 5
GGGGG
DDDDD
IIIIIFFFFF
RRRRR
55555
QQQQQ
22222
EEEEE
AAAAA
CCCCC
MMMMM
33333
HHHHH
NNNNN
BBBBB
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )
( )
( )
x Cifra decenasy Cifra unidades
x yx y
x y x yx y
x yy
x y yx y
x yx y
x y
x yx y
y yx
xx x sol
→→
+ −+
=
+ − = +− =
+ −−
=
+ − = −− = −
− = −− =
− = − −
− =− + =
= ⇒ =− =
− == ⇒ =
10 175
10 17 55 4 17
10 22
19
10 2 19 210 18 36
5 9 185 4 17
5 9 18 1
5 4 175 9 18
5 35 75 4 7 17
5 28 175 45 9 97:
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x Cifra decenasy Cifra unidades
x y y xx yx y
y x
x y
x yx y
x yx y
y yx x sol
→→
+ + = +− = −− = −
+ −=
+ =
− = − −+ =
− + =+ =
= ⇒ =− = − ⇒ =
10 9 109 9 9
110 1
76
10 43
1 110 43
110 43
11 44 44 1 3 34:
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x Cifra decenasy Cifra unidadesx y
x y y xx y y x
x yx y
x yx y
x xy y sol
→→
+ =
+ + − = ++ + − = +
− = −− = −
+ =− = −
= ⇒ =+ = ⇒ =
9
10 1 1 1010 10 1 10
9 9 91
91
2 8 44 9 5 45:
EJERCICIO 199
1. 1. 1. 1. 1.
( )
x Monedas de ctsy Monedas de cts
x yx y
x yx y
xx
yy
sol Mon de ctsMon de cts
→→
+ = −+ =
− − = −+ =
==
+ ==
2010
78 1020 10 1 130
10 10 78020 10 1 130
10 35035
35 7843
35 2043 10
.
.
.
.
: . .. .
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x Monedas dey Monedas de
x yx y
x yx y
xyy
sol Mon deMon de
→→
+ = −+ =
− − = −+ =
=+ =
=
$$
: . $. $
54
91 45 4 404
4 4 3645 4 404
4040 91
5140 551 4
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x N de adultosy N de niños
x yx y
x yx y
xx
yy
sol adultos y niños
→→
+ = −+ =
− − = −+ =
==
+ ==
ºº
.
..
.
:
700 1540 15 18 000
15 15 10 50040 15 18 000
25 7 500300
300 700400
300 400
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x Monedas de ctsy Monedas de cts
x yx y
x yx y
→→
+ = −+ =
− − = −+ =
2025
44 2020 25 995
20 20 88020 25 995
.
.
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación5 115
23
23 44
21
21 20
23 25
y
y
x
x
sol Monedas de cts
Monedas de cts
==
+ ==
: .
.
5. 5. 5. 5. 5.
( )
x Billetes dey Billetes de
x yx y
x yx y
yx
xsol Billetes de
Billetes de
→→
+ = −+ =
− − = −+ =
=+ =
=
$$
: $$
12
287 12 419
2872 419
132132 287
155155 1132 2
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x Libros de coly Libros de col
x yx y
x yx y
yy
xx
sol libros de collibros de col
→→
+ = −+ =
− − = −+ =
==
+ ==
37
34 33 7 174
3 3 1023 7 174
4 7218
18 3416
16 318 7
..
: ..
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x N de trajesy N de sombreros
x yx y
x yx y
xx
y ysol trajes
sombreros
→→
+ = −+ =
− − = −+ =
==
+ = ⇒ =
ºº
.
.
.
.
:
54 45375 45 6 720
45 45 2 430375 45 6 720
330 4 29013
13 54 411341
EJERCICIO 2001. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
A BA B
A BA B
A BA B
A BA B
BB
AA
sol A B
− = +− =
+ = −− = −
− = −− = −
− + = −− = −
− = −=
− ==→ →
1 12
1 3 13 4
2 13 4
23 4
2 63
3 25
5 3: $ $
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
B AA B
A BA B
A BA B
A BA B
ABBB
sol A solesB soles
− = +− = −
− = +− =
− = − −− =
− + =− =
=− = −− = −
=→→
2 24
2 2 22 6
4 12 6
42 6
1010 4
14141014
:
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
P PedroJ JuanP JP J
J PP J
P JP J
P JP J
JJ
P Psol Pedro
Juan
→→− = +− =
− = +− = −
− = −− = −
− + = −− = −
− = −=
− = ⇒ =→→
3 36
4 3 34 15
6 14 15
64 15
3 217
7 6 13137
: $$
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )( ) ( )
( )
A BA B
A B
A BA B
A BA B
A BA B
ABBB
sol A AñosB Años
− = −− = −
+ = +
+ = +− =
− = − −− =
− + =− =
=− = −− = −
=→→
10 2 102 10
34
10 10
3 10 4 103 4 10
2 10 23 4 10
2 4 203 4 10
3030 2 10
2 40203020
:
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )( ) ( )
( )
A BA B
A B
A BA B
A BA B
A BA B
ABBB
sol A AñosB Años
− = −− = −
+ = +
+ = +− =
− = − −− =
− + =− =
=− = −− = −
=→→
6 2 62 6
685
6
5 6 8 65 8 18
2 6 45 8 18
4 8 245 8 18
4242 2 6
2 48244224
:
6. 6. 6. 6. 6. ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
A B
A BA B
A B
A BA B
A BA B
− = −
− = −− = −
+ = +
+ = +− =
− = − −− =
532
5
2 5 3 52 3 579
10 10
7 10 9 107 9 20
2 3 5 37 9 20
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación
( )
− + =− =
=− = −− = −
=→→
6 9 157 9 20
352 35 3 5
70 3 525
3525
A BA B
ABBB
sol A AñosB Años
:
7. 7. 7. 7. 7.
( )
( )
( )
( )
( )
x Edad Hombrey Edad Esposa
xy
x y
x yx y
x y
x y
x yx y
y
x
xxsol Años tiene el bre
Años tiene la esposa
→→
=
+ = +
+ = +− =
− =
− = −
− =− + = −
=
=
==
→→
95
35
4 4
3 12 5 203 5 8
5 9 0 3
3 5 8 5
15 27 015 25 40
2095
20
9 4363620
: hom
8. 8. 8. 8. 8.
( )
( )
A BA B
A B
A BA B
A BA B
A BA B
BB
AA
sol A LempirasB Lempiras
− = +− =
+ = −
+ = −− = −
− = −− = −
− + = −− = −
− = −=
− ==→→
25 2550
517
35 35
5 175 17 5955 17 770
50 55 17 770
5 5 2505 17 770
12 1 02085
85 50135
13585
.
:
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
( )
x Edad padrey Edad hijo
x y
x yx y
x y
x yx y
x yx y
x yx y
xyyy
sol Años Edad padreAños Edad hijo
→→
− = −
− = −− = −
+ = +
+ = +− =
− = − −− =
− + =− =
=− = −− = −
=→→
15
6 6
6 5 305 24
25
9 9
2 18 5 452 5 27
5 24 12 5 27
5 242 5 27
5151 5 24
5 7515
5115
:
11. 11. 11. 11. 11.
( )
AB
BB
A B B BA B B
A BB A
B AA B
A B
A B
A BA B
BA
A ctssol tiene A
tiene B
+ + = − −
+ + = − −+ + = −
− = −+ − = −
− = −− = −
− = −
− = − −
− = −− + =
=− = −
=→
→
260 4
260
2 120 8 4 4802 120 4 480
2 3 60080 310 80
230 80150
2 3 600
150 2
2 3 6002 2 300
300300 150
1501 503
.: $ ,
$
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( )
( )
P JP J
P JP J
P JP J
P JP J
JJ
PPP
sol cts tenia Pedrocts tenia Juan
+ = −− = −
− = +− =
− = − −− =
− + =− =
==
− ===
→→
15 5 155 90
3 20 203 80
5 90 33 80
3 15 2703 80
14 35025
3 25 803 105
353525
: ..
12. 12. 12. 12. 12.
( )
( ) ( )
( )
( )
x Edad de Enriquey Edad hermana
x y
x yx y
x yx yx y
x yx y
x yx y
yx
xxx
sol Añ Ed EnriqueAñ Ed herm
→→
− = −
− = −− = −
+ = ++ = +− =
− = − −− =
− + =− =
=− = −
− = −==→→
632
6
2 12 3 182 3 6
4 6 5 64 24 5 304 5 6
2 3 6 24 5 6
4 6 124 5 6
182 3 18 6
2 54 62 48
242418
: . .. . .
EJERCICIO 201
1. 1. 1. 1. 1. x Veloc bote agua tranq
y Veloc del rio
x y Veloc bote a favor
del agua
x y Veloc bote contra
la corriente
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol Kmh Veloc
bote agua tranq
Kmh Veloc del rio
→→+ →
− →
+=
+ =
−=
− =+ =− =
==
− ==
→
→
. .
.
.
.
: .
.
.
101
10
41
4
10
4
2 14
7
7 4
3
7
3
2. 2. 2. 2. 2. x Veloc bote agua tranq
y Veloc del rio
x y Veloc bote a favor
del agua
x y Veloc bote contra
agua
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
sol Kmh Bote
Kmh Rio
→→+ →
− →
+=
+ =+ =
−=
− =− =
+ =− =
==
− ==
→
→
. .
.
.
.
:
28 7
4
7 7 112
16
243
3 3 24
8
16
8
2 24
12
12 8
4
12
4
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
x Tiempo iday Tiempo vueltax y
x yx yx y
x yx y
xxyyy
sol h Tiempo idah Tiempo vuelta
→→+ =
=
− =+ =
− =+ =
==
− =− = −
=→
→
58 12
12 8 05 8
12 8 08 8 40
20 402
12 2 8 08 24
32
3:
4. 4. 4. 4. 4. x Veloc bote agua tranq
y Veloc rio
x y Veloc bote a favor
de la cte
x y Veloc bote en contra
de la cte
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x x
y y
sol h Veloc bote
h Veloc rio
→→+ →
− →
+=
+ =+ =
−=
− =− =
+ =− =
= ⇒ =− = ⇒ =
→→
. .
.
.
.
: .
.
40 5
2
5 5 80
16
405
5 5 40
8
16
8
2 24 12
12 8 4
12
4
5. 5. 5. 5. 5.
( )
x tiempo iday tiempo vueltax y
x yx y
x yx yx y
x xyy y
sol h tiempo idah tiempo vuelta
→→+ =
=
− =− =
+ =− =
= ⇒ =− =− = − ⇒ =
→→
620 40
40 20 02 0
62 0
3 6 22 2 0
4 424
:
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x tiempo iday tiempo vueltax y
x yx yx y
x yx y
x yx y
xx
yy
sol h tiempo idah tiempo vuelta
EntoncesKmh
Kmh Veloc rio abajo
Kmh
Kmh Veloc rio arriba
Luegox Veloc botey Veloc riox yx y
xxy
→→+ =
=
− =− =
+ =− =
+ =− =
==
+ ==
→→
= →
= →
→→+ =− =
==
+ =
58 12
12 8 03 2 0
5 23 2 0
2 2 103 2 0
5 102
2 53
23
322
16
123
4
164
2 2010
10 16
:
.
.
.
.
y
sol Kmh Veloc bote
Kmh Veloc rio
=
→
→
6
10
6
: .
.
EJERCICIO 202
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
x N mayory N medioz N menor
zx y
z x yx y zx y z
y z xx y z
x y zx y z
x y zx y z
zz
x y zx y z
x zx
xx
yy
→→→
− =+
− = ++ − = −+ + =
− = −− + =
+ + = −+ − = −
− − − = −+ − = −
− = −=
+ + =− + =
+ =+ =
==
+ + =+
ººº
13
3 33 3
3713
13
37 13 3
373 3
4 4010
3713
2 2 502 2 10 50
2 3015
15 10 3725=
=3712
15 12 10y
sol : , ,
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
x ecio kilo azúcary ecio kilo caféz ecio kilo fríjolesx y zx y zx y z
x y z
x y z
→→→+ + =+ + =+ + =
+ + = −
+ + =
PrPrPr
,,,
,
,
5 3 4 1 184 5 3 1 452 2 0 46
5 3 4 1 18 3
4 5 3 1 45 4
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación
( )
( )
− − − = −+ + =
+ =+ + =
+ + = −
+ + =− − − = −
15 9 12 3 5416 20 12 5 80
11 2 264 5 3 1 45 2
2 2 0 46 3
8 10 6 2 906 3 6 1 38
x y zx y z
x yx y z
x y z
x y zx y z
,,
,,
,
,,
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación
( )2 7 1 52
11 2 26 22 7 1 52
2 22 4 522 7 1 52
15 3150 2
x y
x yx y
x yx y
y
y
y
+ =
+ = −+ =
− − = −+ =
− = −
=
=
,
,,
,,
,ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación
( )
( )
2 7 0 2 1 522 1 4 1 522 0 12
0 06
2 0 06 0 2 2 0 460 12 0 2 2 0 462 0 14
0 076
207
xxx
x
zz
zzsol cts Kilo Az
cts Kilo cafécts Kilo fríjoles
+ =+ ==
=
+ + =+ + =
==
→→→
, ,, ,,
,
, , ,, , ,
,,
: . ...
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x Cifra centenasy Cifra decenasz Cifra unidades
x y z
x yz
x y zx y z
x y z z y xx z
x z
x y zx y z
x y zx y z
zz
xxy
yy sol
→→→
+ + =
+ =
+ =+ − =
+ + − = + +− =
− =
+ + = −+ − =
− − − = −+ − =
− = −=
− ==
+ + =+ =
=
1532
2 2 32 2 3 0100 10 99 100 10
99 99 991
15 22 2 3 0
2 2 2 302 2 3 0
5 306
6 17
7 6 1513 15
2 726:
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x N mayory N medioz N menorx y zz y x
x y z
xy z
x y zx y zx y zx y z
xx
x y zx y z
x y zx y z
x y
→→→+ + =
+ + =
+ + =
− =+
− = +− − =+ + =− − =
==
+ + =− − =
+ + =− − =
− =
ººº
127
2 3 939
2 6 9 702
42
2 82 8
1272 8
3 13545
2 6 9 7022 8 9
2 6 9 70218 9 9 72
20 3 774
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación
( )20 45 3 774900 3 774
3 12642
45 42 12740
45 42 40
− =− =− = −
=+ + =
=
yyyyzz
sol: , ,
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )
x Cifra centenasy Cifra decenasz Cifra unidadesx y z
x y zx y
x y z x yx y zx y z z y x
x zx z
x y zx y z
x y zx y z
x zx z
x zx z
→→→+ + =
+ ++
=
+ + = +− + =+ + + = + +
− = −− = −
+ + =− + =
+ + =− + =
+ =+ =
− = − −+ =
6100 10
41
100 10 41 4159 31 0
100 10 198 100 1099 99 198
26 31
59 31 0
31 31 31 18659 31 0
90 32 18645 16 93
2 4545 16 93
45 45 9045 16 93
61 1833
3 21
1 3 64 6
2 123
− + =+ =
==
− = −=
+ + =+ =
=
x zx z
zz
xxyy
y sol :
6. 6. 6. 6. 6. x Angulo mayor
y Angulo medio
z Angulo menor
x y z
x z
x z
→→→+ + =
− =− =
180
35
35
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación
z x y
x y z
x y z
x y z
x
x
z
z
y
y
y
sol
− = −− − = −+ + =− − = −
==
− ==
+ + =+ =
=
20
20
180
20
2 160
80
80 35
45
80 45 180
125 180
55
80 55 45: , ,! ! !
7. 7. 7. 7. 7.
( )
( )
( )
x N de vacasy N de caballosz N de ternerosx y zx y z
x y zz xx y z
x z
x y zx z
yx y z
x z
x y zx z
y zz
→→→+ + =
+ + =
+ + =+ =+ + =
+ = −
+ + =− − = −
=+ + =
+ = −
+ + =− − = −
+ =+ =+
ººº
.
.
..
..
.
110
8 9 515
45 40 72 5 40065
110
65 1
11065
4545 40 72 5 400
65 45
45 40 72 5 40045 45 2 925
40 27 2 47540 45 27 2 475
1 800 27zzz
xx
xsol vacas
caballosterneros
===
+ + =+ =
=
2 47527 675
2545 25 110
70 11040
404525
.
: ;;
8. 8. 8. 8. 8.
( )
x Cifra centenasy Cifra decenasz Cifra unidadesx y z
x y zx y z
x z yx y z
x y z
x y z
x y zx y z
zz
x y zx y z
x zx z
xxy
y sol
→→→+ + =
+ − =+ − =
+ − =− + =
+ + =
+ − = −
+ + =− − + = −
==
+ + =− + =
+ =+ =
+ ==
+ + ==
104
46
610
4 1
104
2 63
106
2 2 168
3 85
5 3 102 523:
9. 9. 9. 9. 9.
( )
x Angulo mayory Angulo medioz Angulo menorx y zx yy zx y z
y z
x y zy z
xyy
zzz
sol
→→→+ + =+ =+ =+ + =
+ = −
+ + =− − = −
=+ =
=+ + =
+ ==
180135110
180
110 1
180110
7070 135
6570 65 180
135 18045
70 65 45: , ,! ! !
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )
A B C
CA
A CA BA B
A B CA B
A CA CA C
A CA C
AACC
BB
sol A bs B bsC bs
+ + =
=
− =− =− =
+ + =− =
+ =+ =− =
+ =− =
==
+ ==
+ + ==
→ →→
140
22 0
1010
14010
2 1502 150 2
2 0
4 2 3002 0
5 30060
2 60 15030
60 30 14050
60 5030
: . ..
11. 11. 11. 11. 11.
( )
A CA C
B CB C
A CA C
A CB C
A B CA B C
A C
A B CA C
BCC
AA
sol AB C
− = +− =
− =− =
+ =− = −
− =− =
+ − =+ − =
− = − −
+ − =− + =
=− =
=− =
=→→ →
1 12
11
5 22 5
21
2 32 3
2 5 1
2 32 5
88 1
77 2
998 7
: $$ $
12. 12. 12. 12. 12.
( )
( )
( )
x y z
z y xx y z
z y x x y zx y z
x y zxx
x y zx y z
x y zx y z
x z
+ + =
+ + =+ +
+ + = + +− − =
− − ===
− − =+ + =
− − =+ + =
− =−
6
100 1041 100 10
10710 700 1 070 107 4 100 410 413 993 660 10 659 0
1 331 220 3 553 0100 300
31 331 220 3 553 0
6 220
1 331 220 3 553 0220 220 220 1 320
1 551 3 333 1 3201 551 3
. . .. .
. .
. .
. ..
. . .
. 3 333 1 3204 653 3 333 1 320
13 1 6
4 62 321
. .. . .
:
zzz
yy
y sol
=− =
=+ + =
+ ==
13. 13. 13. 13. 13.
( )
A BA BB C
B C
A C
A CA B
B C
A C
A CA C
A CA C
AA
BBCC
sol A QB Q C Q
− = +− =− = +
− =
=
− =− =
− =
− =
− = −− =
− + = −− =
− = −=
− ==
− ==→→ →
2 24
1 12
85
5 8 042
6
6 85 8 0
8 8 485 8 0
3 4816
16 412
12 210
1612 10
:
14. 14. 14. 14. 14.
( )
( )
( )
x Cifra centenay Cifra decenaz Cifra unidades
xx
x y z
z y xx y z
z y x x y zx y zx y z
x y zx y z
x y zx y z
x z
→→→
==
+ + =
+ + =+ +
+ + = + +− − =− − =
− − =+ + =
− − =+ + =
− =−
100 4004
9
100 1016 100 10
494 900 490 49 1 600 160 16
1 551 330 4 884 0517 110 1 628 0
517 110 1 628 09 110
517 110 1 628 0110 110 110 990
627 1 518 990627 4 1
. .. .
..
.
..518 990
2 508 1 518 9901 518 1 518
14 1 9
5 94 441
zzzz
yy
y sol
=− =− = −
=+ + =
+ ==
. .. .
:
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )
2 322 32
32 9
6 3 273 6 27
31
3 33 3
2 323 6 27
5 7 53 6 27
3 3
4 9 30
5 7 5 4
4 9 30 5
20 28 2020 45
A B CA B C
BC A
B C AA B C
A BC
A B CA B CA B CA B C
A CA B CA B C
A C
A CA C
A CA
+ = ++ − =
+ = +
+ = +− − = −
+= −
+ = −+ − = −
+ − =− − = −
− =− − = −+ − = −
− = −
− = −
− = −
− + = −− C
C
= −
− = −
150
17 170
15. Continuación15. Continuación15. Continuación15. Continuación15. Continuación
( )
( )
CA
AA
BB
Bsol
=− =
==
+ − =+ =
=
105 7 10 5
5 7515
2 15 10 3220 32
1215 12 10: ,
EJERCICIO 203
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
x Anchoy L o
x yy x
x yx yx y
x yx y
xx
yy
sol m m
→→
+ ==
− =+ =− =
+ =− =
==
+ ==
⋅
arg
:
2 184 5
5 4 09 4
5 4 0
4 4 365 4 0
9 364
4 95
5 4
2. 2. 2. 2. 2. A B
A B
A B
A B
=− =− = +− =
2
2 0
12 12
24ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación
( )A B
A B
A BA B
BA
Asol A balboas
B balboas
− =
− = −
− =− + = −
=− =
=→→
2 0
24 1
2 024
2424 24
484824
:
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
( )( )
x Anchoy L o
x y xyxy x y xy
x y
x y xyxy x y xy
x y
→→
+ + = ++ + + = +
+ =
+ − = +− + − = +
− + =
arg
1 1 261 26
25
2 3 193 2 6 19
3 2 25ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
3. Continuación3. Continuación3. Continuación3. Continuación3. Continuación
( )x yx y
x yx y
yy
xx
sol m m
+ =− + =
+ =− + =
==
+ ==
⋅
25 33 2 25
3 3 753 2 25
5 10020
20 255
20 5:
4. 4. 4. 4. 4. x ecio carro
y ecio caballo
z ecio arreos
x y z
x z y
x y z
y z x
x y z
→→→+ + =
+ = +− + =
+ = +− − = −
Pr
Pr
Pr
200
20
20
40
40
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuaciónx y z
x y z
x
x
x y z
x y z
x z
x z
z
z
y
y
y
sol Costo carro
Costo caballo
Costo arreos
+ + =− − = −
==
+ + =− + =
+ =+ =
+ ==
+ + =+ =
=→→→
200
40
2 160
80
200
20
2 2 220
110
80 110
30
80 30 200
110 200
90
80
90
30
:$
$
$
5. 5. 5. 5. 5. x Número
y Número
z Número
x y z
x y z
x z y
x y z
y z x
x y z
x y z
x y z
x
x
x y z
x y z
x y
x y
y
y
z
z
z
sol
er
er
→→
→+ = +
+ − =+ − =− + =
+ = +− − = −
+ − =− + =
==
− + =− − = −
− = −− = −
− = −=
+ − =− =
=
1
2
3
18
18
78
78
102
102
18
78
2 96
48
78
102
2 2 24
12
48 12
60
48 60 18
108 18
90
48 60 90
º
: , ,
6. 6. 6. 6. 6. x Cifra decenas
y Cifra unidades
x y
x y y x
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y sol
→→+ =
+ − = +− =− =
+ =− =
==
+ ==
6
10 36 10
9 9 36
4
6
4
2 10
5
5 6
1 51:
7. 7. 7. 7. 7. x Veloc pájaro
y Veloc viento
x y Veloc pájaro a favor
x y Veloc pájaro contra
x y
x y
x y
→→+ →− →
+=
+ =
−=
.
.
.
.
551
55
251
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación
x y
x y
x
x
y
y
sol Kmh Veloc del
pájaro tranq
Kmh Veloc del
viento
− =+ =
==
− ==
→
→
25
55
2 80
40
40 25
15
40
15
: .
.
.
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )
( )( )
( )
( )
x N de librosy ecio de c u
xy x yxy xy x y
x y
xy x yxy xy x y
x yx y
x y
x yx y
xx
yyyy
sol Libros comprótó c u
→→
= + −= − + −
− = −
= − += + − −
− =− = −
− = −
− = −− + = −
− = −=
− = −− = −− = −
=→→
ºPr /
:$ cos /
5 22 5 10
2 5 10
5 44 5 20
4 5 202 5 10
4 5 20 1
2 5 104 5 20
2 3015
2 15 5 1030 5 10
5 408
158
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )
x ecio kilo caféy ecio kilo té
x yx y
x yx y
xx
→→
+ = −
+ =
− − = −+ =
− = −=
PrPr
,
,
,,
,,
7 6 4 8 9
8 9 6 45 6
63 54 43 248 54 38 7
15 4 50 3
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación
( )7 0 3 6 4 82 1 6 4 8
6 2 70 45
3045
, ,, ,
,,
: ..
+ =+ =
==→→
yyyy
sol cts Costo kilo cafécts Costo kilo té
10. 10. 10. 10. 10.
( )
x trajes dey trajes de
x yx y
x yx y
yy
xx
sol trajes detrajes de
→→
+ = −+ =
− − = −+ =
− = −=
+ ==
→→
$$
.
..
: $$
4035
50 4040 35 1 910
40 40 2 00040 35 1 910
5 9018
18 5032
32 4018 35
11. 11. 11. 11. 11.
( )
x Numeradory Deno ador
xy
x yx y
xy
x yx y
x yx y
xyy
y sol
→→−
=
− =− =
−=
= −− + =
− =− + =
=− =− = −
=
min
:
1 13
3 33 3
212
2 22 2
3 32 2
53 5 3
12
125
12
12. 12. 12. 12. 12. x bolsa
y bolsa
x y
x y
x y
a
a
→
→+ =− = +− =
1
2
200
15 15
30
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
12. Continuación12. Continuación12. Continuación12. Continuación12. Continuación
x y
x y
x
x
y
y
sol soles bolsa
soles bolsa
a
a
+ =− =
==
+ ==
→
→
200
30
2 230
115
115 200
85
115 1
85 2
:
13. 13. 13. 13. 13.
( )
( )
x ecio caballoy ecio cochex yx y
yx
x yx y
x yx y
x yx y
yy
xx
sol soles Costó el caballosoles Costó el coche
→→+ =− = −
+ =
= +− =
− = − −− =
− + =− =
==
− = −=
→→
PrPr
:
20 33 20
2035
3 100 53 5 100
3 20 33 5 100
3 9 603 5 100
4 16040
3 40 20100
10040
14. 14. 14. 14. 14.
( )
( )
x Cifra decenasy Cifra unidades
x y x yx y x y
x yx y y x
x yx y
x y
x y
x yx y
xx
yy sol
→→
+ = ++ = +
− =+ − = +
− =− =
− =
− = −
− =− + = −
− = −=
− ==
10 610 6 64 5 010 9 10
9 9 91
4 5 0
1 5
4 5 05 5 5
55
5 14 54:
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )
( )( )
( )
x N de personasy ecio c u
xy x yxy xy x y
x yx y
xy x yxy xy x y
x yx y
x y
x yx y
xx
yyy
sol Personasbs c u
→→
= + −= − + −
− = −− = −
= − += + − −
− =− =
− = − −
− =− + =
==
− = −− = −
=→
→
ºPr /
:. /
10 55 10 50
5 10 502 10
6 55 6 30
5 6 305 6 30
2 10 3
5 6 303 6 30
2 6030
30 2 102 40
203020
16. 16. 16. 16. 16.
( )
A B
AA
BB
A A B BA BA B
A BA B
A BA B
AA
BBsol A sucres
B sucres
+ =
− = −
− = −− =
− =+ =− =
+ =− =
==
+ ==
→→
1 08025 4
20 8 20 512 15 0
4 5 01 080 5
4 5 0
5 5 5 4004 5 0
9 5 400600
600 1 080480
600480
.
.
.
.
.
:
17. 17. 17. 17. 17.
( )
x gané ayery gané hoyy x
yx
x yx y
x y
→→+ =
=
− =− =
− = −
1056
5 6 05 6 0
10 6ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
17. Continuación17. Continuación17. Continuación17. Continuación17. Continuación
5 6 0
6 6 60
60
60
60 10
50
60
50
x y
x y
x
x
y
y
sol gané ayer
gané hoy
− =− + = −
− = −=
− ==
→→
: $
$
18. 18. 18. 18. 18.
( )
( )
x nùmeroy nùmeroxyxy
x y
x y
x yx y
xx
yyy
sol
er→→
=
−−
=
− =
− = −
− =− + = −
− = −=
− =− =
=
12
351010
12
5 3 0
2 10 3
5 3 06 3 30
3030
2 30 1060 10
5030 50
º
: ,
19. 19. 19. 19. 19.
( )
( )
A BA B
B A
B AA B
A BA B
A BA B
AA
BBsol A lempiras
B lempiras
+ = −− = −
+ = −
+ = −− =
− = − −− =
− + =− =
==
− = −=
→→
4 48
495
4
5 20 9 369 5 56
8 59 5 56
5 5 409 5 56
4 9624
24 832
2432
:
20. 20. 20. 20. 20. ( )
( )
( )
( )
A BA B
A B
A BA B
A BA B
A BA B
BB
AA
Asol A Años
B Años
− = −− = −
+ = +
+ = +− =
− = − −− =
− + =− =
==
− = −− = −
=→→
20 2 202 20
3097
30
7 210 9 2707 9 60
2 20 77 9 60
7 14 1407 9 60
5 20040
2 40 2080 20
606040
:
21. 21. 21. 21. 21. x tiempo ida
y tiempo vuelta
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
Si h tiempo de ida
h tiempo de vuelta
Entonces
Km
hKm
h Veloc a favor
Km
hKm
h Veloc en contra
Luego
x Veloc del bote
y Veloc delrio
x y
x y
x
x
→→+ =
=
− =− =
+ =− =
==
+ ==
→→
= →
= →
→→+ =− =
==
3
4 8
8 4 0
2 0
3
2 0
3 3
1
1 3
2
1
2
16
116
16
28
16
8
2 24
12
.
.
.
.
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
21. Continuación21. Continuación21. Continuación21. Continuación21. Continuación12 16
4
12
4
+ ==
→
→
y
y
sol Kmh Veloc bote
Kmh Veloc rio
: .
.
22. 22. 22. 22. 22.
( )
( )
A B
A BA B
B AA B
A B
A B
A BA B
BA
AA
sol A AñosB Años
92
55 90 9
5 9 902 152 15
5 9 90
2 15 5
5 9 905 10 75
152 15 15
30 15454515
− =
− =− =
= −− =
− =
− = −
− =− + = −
=− =
− ==
→→
:
23. 23. 23. 23. 23.
( )
( )
( )
5 4 45 4 4
7 2 67 6 2
5 4 4 6
7 6 2 4
30 24 2428 24 8
2 168
5 8 4 440 4 4
4 369
8 9
A BA B
A BA B
A B
A B
A BA B
AA
BBBB
sol A Km B Km
− =− =
− =− =
− =
− = −
− =− + = −
==
− =− =− = −
=→ →:
24. 24. 24. 24. 24. x Cifra decenas
y Cifra unidades
y x
x y y x
x y
x y
→→− =
+ + + =+ =
+ =
4
10 10 66
11 11 66
6ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
24. Continuación24. Continuación24. Continuación24. Continuación24. Continuación
− + =+ =
==
+ ==
x y
x y
y
y
x
x
sol
4
6
2 10
5
5 6
1
15:
25. 25. 25. 25. 25.
( )
( )( )
x L oy Ancho
x yx y
x y
x y xyxy x y xy
x yx y
x yx y
xxyy
sol m m
→→
+ =+ =
+ =
+ − = −− + − = −
− + = −− =
+ =− =
==
+ ==
⋅
arg
:
2 582 2 58
29
2 2 462 2 4 46
2 2 4221
2921
2 5025
25 294
25 4
26. 26. 26. 26. 26.
( )( )
x L oy Anchox y
x y
y x xyxy y x xy
x yx y
x yx y
xxyy
sol m m
→→+ =
+ =
− + =+ − − =
− = −− = −
+ =− = −
==
+ ==
⋅
arg
:
2 2 5628
2 22 2 4
2 2 44
284
2 2412
12 2816
16 12
EJERCICIO 204
1. 1. 1. 1. 1.
( )m n
A
A
A
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
6 3
6 5 6 3 1
6 5 4
120
36
36
36
....
2. 2. 2. 2. 2. P
P
P
5
5
5
5
5 4 3 2
120
== ⋅ ⋅ ⋅=
!
3. 3. 3. 3. 3.
( )m n
CA
P
C
C
C
= =
= =⋅ − +
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
7 5
7 6 7 5 15
7 6 5 4 35 4 3 2 12 520120
21
57
57
5
57
57
57
....!
.
4. 4. 4. 4. 4.
( )m n
A
AA
= =
= ⋅ − +
= ⋅
=
6 2
6 5 6 2 1
6 530
26
26
26
....
5. 5. 5. 5. 5.
( )m n
A
AA
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
5 3
5 4 5 3 1
5 4 360
35
35
35
....
6. 6. 6. 6. 6.
( )m n
CAP
C
CC
= =
= =⋅ − +
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
12 5
12 11 12 5 15
12 11 10 9 85 4 3 2 1
3 11 2 3 4792
512
512
5
512
512
512
....!
7. 7. 7. 7. 7. P
P
P
7
7
7
7
7 6 5 4 3 2
5 040
== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
!
.
8. 8. 8. 8. 8.
( )m n
CA
P
C
CC
= =
= =⋅ − +
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
=
7 4
7 6 7 4 14
7 6 5 44 3 2 17 535
47
47
4
47
47
47
....!
9. 9. 9. 9. 9. P P
P
P
P
5 1 4
4
4
4
4
4 3 2
24
− =
=
= ⋅ ⋅
=
!
10. 10. 10. 10. 10. P
P
P
6
6
6
6
6 5 4 3 2
720
== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
!
11. 11. 11. 11. 11. Siendo el
P
P
P
lugar fijo
P
P P
P
P
1
6
6 5 4 3 2
720
7
7
7 720
5 040
6
6
6
7
7 6
7
7
º
!
sin
!
.
== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
==
= ⋅=
12. 12. 12. 12. 12. En un banco
P
En una mesa
redonda
P P
P
P
6
6 1 5
5
5
720
5
120
=
=
==
−
!
13. 13. 13. 13. 13.
( )m n
A
AA
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
9 3
9 8 9 3 1
9 8 7504
39
39
39
....
14. 14. 14. 14. 14. P P
P
P
4 1 3
3
3
3
6
− =
==
!
15. 15. 15. 15. 15.
( )m n
CA
P
C
CC
= =
= =⋅ − +
=⋅ ⋅⋅
= ⋅
=
5 3
5 4 5 3 13
5 4 33 2
5 210
35
35
3
35
35
35
....!
16. 16. 16. 16. 16. P P
P
P
P
5 2 3
3
3
3
3
3 2
6
− =
== ⋅=
!
17. 17. 17. 17. 17.
( )m n
A
AA
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
5 3
5 4 5 3 1
5 4 360
35
35
35
....
18. 18. 18. 18. 18. P P
P
P
P
11 1 10
10
10
10
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2
3 628 800
− =
== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
!
. .
19. 19. 19. 19. 19.
( )m n
CA
P
C
CC
= =
= =⋅ − +
=⋅ ⋅⋅
= ⋅ ⋅
=
8 3
8 7 8 3 13
8 7 63 2
4 7 256
38
38
3
38
38
38
....!
20. 20. 20. 20. 20.
( )m n
A
AA
= =
= ⋅ − +
= ⋅ ⋅
=
6 3
6 5 6 3 1
6 5 4120
56
56
56
....
21. 21. 21. 21. 21. Palabras dist as
P
P
P
Vocales fijas
P
P
int
!
.
!
8
8
8
5
5
8
8 7 6 5 4 3 2
40 320
5
120
== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
==
22. 22. 22. 22. 22. P P
P
P
P
5 1 4
4
4
4
4
4 3 2
24
− =
== ⋅ ⋅=
!
EJERCICIO 205
1. 1. 1. 1. 1. ( )4 162 2 4a a=
2. 2. 2. 2. 2. ( )− = −5 1253 3a a
3. 3. 3. 3. 3. ( )3 273 3 3xy x y=
4. 4. 4. 4. 4. ( )− =6 362 2 4 2a b a b
5. 5. 5. 5. 5. ( )− = −2 82 3 3 6 9x y x y
6. 6. 6. 6. 6. ( )4 642 3 4 3 6 9 12a b c a b c=
7. 7. 7. 7. 7. ( )− =6 364 5 2 8 10x y x y
8. 8. 8. 8. 8. ( )− = −7 3433 4 3 3 9 12ab c a b c
9. 9. 9. 9. 9. ( )a b a bm n x mx nx=
10. 10. 10. 10. 10. ( )− =2 163 5 6 4 12 20 24x y z x y z
11. 11. 11. 11. 11. ( )− = −3 273 3 9 3m n m n
12. 12. 12. 12. 12. ( )a b c a b cm m m m2 3 2 3=
13. 13. 13. 13. 13. ( )− =m nx m n x2 3 4 8 4 12
14. 14. 14. 14. 14. ( )− = −3 2432 5 10 5a b a b
15. 15. 15. 15. 15. ( )7 495 6 8 2 10 12 16x y z x y z=
16. 16. 16. 16. 16. −
=
xy
xy2 4
2 2
2
17. 17. 17. 17. 17. −
= −
2 82
3 3
6
mn
mn
18. 18. 18. 18. 18. ab a b2 3 3 6
5 125
=
19. 19. 19. 19. 19. −
=
34
916
2 2 4
2
xy
xy
20. 20. 20. 20. 20. −
=
23
1681
2
3
4 4 8
12abm
a bm
21. 21. 21. 21. 21. 23
32243
3
4
5 15 5
20m nx
m nx
=
22. 22. 22. 22. 22. −
=
34
916
3 2 2 6 4a b a b
23. 23. 23. 23. 23. −
=
mn m n2 4 4 8
3 81
24. 24. 24. 24. 24. −
= −
a b a b2 4 5 10 20
2 32
EJERCICIO 206
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
a b
a a b b
a a b b
5 4 2
10 5 4 8
10 5 4 8
7
2 7 49
14 49
+
= + +
= + +
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )( )
3 5
9 2 3 5 25
9 30 25
4 3 2
8 4 3 2 6
8 5 3 2 6
x xy
x x xy x y
x x y x y
−
= − +
= − +
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
a b a
a b a b a aa b a b a
2 3 5 2
4 6 2 3 5 10
4 6 7 3 10
2
2
−
= − +
= − +
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )
7 8
49 2 7 8 64
49 112 64
5 3 4 2
10 5 3 4 6 8
10 8 4 6 8
x x y
x x x y x y
x x y x y
−
= − +
= − +
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )
9 5
81 2 9 5 25
81 90 25
2 2 3 2
2 4 2 2 3 4 6
2 4 3 5 4 6
ab a b
a b ab a b a b
a b a b a b
+
= + +
= + +
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )
3 7
9 2 3 7 49
9 42 49
2 3 3 2 2
4 6 2 3 3 2 6 4
4 6 5 5 6 4
x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y
−
= − +
= − +
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( )
xy a b
x y xy a b a b
x y a b xy a b
−
= − +
= − +
2 2 2
2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
2
2
8. 8. 8. 8. 8. x y
x x y y
x xy y
223
42
223
49
42
34
9
2
2 2
2 2
+
= +
+
= + +
9. 9. 9. 9. 9.
34
25
916
234
25
425
916
35
425
2 2 2
4 2 2 4
4 2 2 4
a b
a a b b
a a b b
−
= −
+
= − +
10. 10. 10. 10. 10. 56
35
2536
256
35
925
2536
925
3 2 2
6 3 2 2 4
64 2
2 4
x xy
x x xy x y
xx y
x y
+
= +
+
= + +
11. 11. 11. 11. 11. a a b
a a a b a b
a a b a b
5 3 7 2
10 5 3 7 6 14
10 8 7 6 14
93
7
812
93
79
49
812
219
49
−
= −
+
= − +
12. 12. 12. 12. 12. 2
554
425
22
554
2516
425
2516
4 3 2
8 4 3 6
84 3
6
m n
m m n n
mm n
n
−
= −
+
= − +
13. 13. 13. 13. 13. x y
x x y y
x xy y
3 4
92
3 4 16
9 6 16
2 2
2 2 4
2 2 4
+
= +
+
= + +
14. 14. 14. 14. 14. 23
35
49
223
35
925
49
45
925
2
2 2
2 2
x y
x x y y
x xy y
−
= −
+
= − +
15. 15. 15. 15. 15. a a
b
a a ab
ab
a ab
ab
3 2 2
6 3 2 4
2
6 5 4
2
847
642
847
1649 64 7
1649
+
= +
+ = + +
16. 16. 16. 16. 16. 3
22
3
94
23
22
349
94
249
4 2
2
4 8
23
8
xx
x xx x
xx
x
−
= −
+ = − +
17. 17. 17. 17. 17. 56
310
2536
256
310
9100
2536 2
9100
7
4
6
2
2 14
8
7
4
6
2
12
4
14
8
5 2 12
4
xy
yx
xy
xy
yx
yx
xy
x y yx
−
= −
+
= − +
18. 18. 18. 18. 18. 38
49
964
238
49
1681
964 3
1681
6 2
5
2 12 6 2
5
4
10
12 8
5
4
10
a ab
a a ab
ab
a ab
ab
−
= −
+
= − +
EJERCICIO 207
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 8 3 4 3 3 2 9 27 8 36 54 273 3 2 2 3 3 2 2 3a b a a b a b b a a b ab b+ = + + + = + + +
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )( )4 3 64 3 16 3 3 4 9 27 64 144 108 272 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6a b a a b a b b a a b ab b− = − + − = − + −
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( ) ( )( )5 6 125 3 25 6 3 5 36 216 125 450 540 2162 3 3 6 4 3 2 6 9 6 4 3 2 6 9x y x x y x y y x x y x y y+ = + + + = + + +
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )( ) ( )( )4 3 64 3 16 3 3 4 9 27 64 144 108 273 2 3 9 6 2 3 2 4 3 6 9 7 2 5 4 3 6x xy x x xy x x y x y x x y x y x y− = − + − = − + −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( ) ( )( )
7 5
343 3 49 5 3 7 25 125 343 735 525 125
4 2 3 3
12 8 2 3 4 4 6 6 9 12 10 3 8 6 6 9
a a b
a a a b a a b a b a a b a b a b
−
= − + − = − + −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( ) ( )( )a a x a a a x a a x a x a a x a x a x8 5 4 3 24 16 5 4 8 10 8 15 12 24 21 4 18 8 15 129 3 9 3 81 729 27 243 729+ = + + + = + + +
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )( )
8 7
512 3 64 7 3 8 49 343 512 1 344 1 176 343
4 2 4 3
12 8 2 4 4 4 8 6 12 12 10 4 8 8 6 12
x x y
x x x y x x y x y x x y x y x y
−
= − + − = − + −. .
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( ) ( )( )
3 5
27 3 9 5 3 3 25 125 27 135 225 125
2 3 2 3
6 3 4 2 3 2 2 6 4 9 6 6 3 7 4 8 5 9 6
a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
−
= − + − = − + −
9. 9. 9. 9. 9. 12
23 8
34
23
32
49
827 8 2
23
827
2 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6
ab a a b a b b a a b ab b
+
= +
+
+ = + + +
10. 10. 10. 10. 10. 34
45
2764
3916
45
334
1625
64125
2764
2720
3625
64125
2 2 3 6 4 2 2 4 6 6 4 2 2 4 6a b a a b a b b a a b a b b−
= −
+
− = − + −
11. 11. 11. 11. 11. 5
6310
125216
325
36310
35
69100
271 000
125216
58
940
271 000
2 4 3
6 3 4 2 4 2 8 12 6 3 4 6 2 9 12
a b b
a b a b b a b b b a b a b a b b
−
= −
+
− = − + −
. .
12. 12. 12. 12. 12. 78
47
343512
349
644
73
78
1649
64343
343512
2116
67
64343
5 6 3
15 10 6 5 12 18 15 10 6 5 12 18
x y
x x y x y y x x y x y y
−
= −
+
+ = − + +
13. 13. 13. 13. 13. xy
yx
xy
xy
yx
xy
yx
yx
xy y
yx
yx2
38
34
33
29 27
89
4272
272
3 3
3
2
2 2
2
4
3
6
3
3 3
3
6+
= +
+
+ = + + +
14. 14. 14. 14. 14. 25
52
8125
3425
52
325
254
1258
8125
65
152
1258
2
3
3 6 4
3
2
6 9
6 4
3
2
6 9
ab
a ab
ab b
a ab
ab b
−
= −
+
− = − + −
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( )43
64 3 163
3 49 27
64144 108 274
312 8
34
2
6
3
912
9
3
6
6
3
9xx
yx x
xy
xxy
xy
xx
yx
yx
y−
= −
+
− = − + −
16. 16. 16. 16. 16. 32
45
278
394
45
332
1625
64125
278
275
7225
64125
2 3 3
3
2
2
2 4 6 3
3
2 3 6ab
b ab
ab
b ab
b b ab
a ab b+
= +
+
+ = + + +
17. 17. 17. 17. 17. 78
343512
34964
378
343512
14764
218
4 53
4 5 8 10 12 154 5 8 10
12 15−
= −
+
− = − + −x y x y x y x y
x y x yx y
18. 18. 18. 18. 18. m n
mm m n
mm n
mn
mm m n n
mn
m
3 2
2
3 9 6 2
2
3 4
4
6
6
9 4 2 4 6
666
2163
366
36
36 216216 2
18 216−
= −
+
− = − + −
EJERCICIO 208
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( ) ( )( )x x
x x x x x x x x x x x x x x x
2
4 2 2 2 4 2 3 2 4 3 2
2 1
4 1 2 2 2 1 2 2 1 4 1 4 2 4 4 6 4 1
− +
= + + + − + + − = + + − + − = − + − +
2. 2. 2. 2. 2.
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 1
4 1 2 2 2 2 1 2 1 4 1 4 4 2 4 4 5 2 1
2
4 2 2 2 4 2 3 2 4 3 2
x x
x x x x x x x x x x x x x x x
+ +
= + + + + + = + + + + + = + + + +
3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x x x x x x
x x x x
2 4 2 2 2 4 2 3 2
4 3 2
5 2 25 4 2 5 2 2 2 5 2 25 4 10 4 20
10 29 20 4
− + = + + + − + + − = + + − + −
= − + − +4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
3 2 6 4 3 2 3 2 6 4 5 3 2
6 5 4 3 2
5 6 25 36 2 5 2 6 2 5 6 25 36 10 12 60
10 25 12 60 36
− + = + + + − + + − = + + − + −
= − + + − +
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )( ) ( )( )4 3 5 16 9 25 2 4 3 2 4 5 2 3 5
16 9 25 24 40 30 16 24 49 30 25
4 2 8 4 4 2 4 2
8 4 6 4 2 8 6 4 2
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
− + = + + + − + + −
= + + − + − = − + − +
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )x y z x y z x y x z y z x y z xy xz yz+ − = + + + + − + − = + + + − −2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 42 2 2 2 2 2
7. 7. 7. 7. 7.
( )( ) ( )( ) ( )( )3
9 2 3 2 3 2 9 6 6 2 2 5 6 9
3 6
6 12 3 6 3 6 6 12 3 6 9 12 9 6 3
− −
= + + + − + − + − − = + + − − + = + − − +
x x
x x x x x x x x x x x x x x x
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )( ) ( )( )5 7 3 25 49 9 2 5 7 2 5 3 2 7 3
25 49 9 70 30 42 25 70 30 49 42 9
4 2 8 4 2 4 2 4 2
8 4 2 6 5 3 8 6 5 4 3 2
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
− + = + + + − + + −
= + + − + − = − + + − +
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 3 4 4 9 2 2 2 2 2 3 2 2 3
4 4 9 8 12 12 4 8 8 12 9
2 2 4 2 2 4 2 2 2 2
4 2 2 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
a ab b a a b b a ab a b ab b
a a b b a b a b ab a a b a b ab b
+ − = + + + + − + −
= + + + − − = + − − +
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( ) ( )( )m m n n m m n n m m n m n m n n
m m n n m n m n m n m m n m n m n m n n
3 2 4 6 4 2 8 3 2 3 4 2 4
6 4 2 8 5 3 4 2 5 6 5 4 2 3 4 2 5 8
2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 8 4 4 4 8 4
− + = + + + − + + −
= + + − + − = − + + − +
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )ab
c ab
c ab
a cb
c ab
cab
ac bc2 4 4 16
22
22 4
24 4 16 4 2
22
2 22
2
− + = + + +
− +
+ −
= + + − + −
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )xy
xy
xy
xy
xy xy
x y
xxy
xy
y5
553 25
25259
25
5 25
53
2 553 25
25259
223
503
252
23
2550
3259
22
22
22
− + = + + +
− +
+ −
= + + − + −
= − + + − +
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )xx
xx
xx
xx
xx x
x x
xx
x x
2 42
2 2 42 3
2
43
2
223 4
49
22
22
23
223 4
49
23
43
45
343
49
− + = + + +
− +
+
− = + + − + −
= − + − +
14. 14. 14. 14. 14. ax
xa
ax
xa
ax
ax
xa
xa
ax
xa
ax
xa
ax
ax
xa
xa
− + = + + +
−
+
+ −
= + + − + −
= − − + +
13
19
213
2 213
19
23
223
23
23
199
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
15. 15. 15. 15. 15. 34 2
45
916 4
1625
234 2
234
45
22
45
916 4
1625
34
65
45
916
34
2920
45
1625
2 4 2 2 2
4 2 3 2 4 3 2
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
− + = + + +
−
+
+ −
= + + − + − = − + − +
16. 16. 16. 16. 16. a b a b a a b b
a b a a b b a a a b b b
2 2 4 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4
435 9 16
925 81
24
35
24 9
235 9
16925 81
310 18
215 16
310 18
925
215 81
− + = + + +
−
+
+ −
= + + − + − = − + + − +
17. 17. 17. 17. 17. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
3 2 6 4 2 3 2 3 3 2 2
6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 2
1 1 2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1
− + + = + + + + − + + + − + − +
= + + + − + + − − + = − + − + +
18. 18. 18. 18. 18.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
3 2
6 4 2 3 2 3 3 2 2
6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 3 2
3 2 2
9 4 4 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2
9 4 4 6 4 4 12 12 8 6 5 16 8 8 4
− − +
= + + + + − + − + + − − + − + −
= + + + − − + + − − = − + + − − +
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
4 2
8 4 2 4 2 4 4 2 2
8 4 2 6 5 4 3 2 8 6 5 4 3 2
3 4 5
9 16 25 2 3 2 4 2 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5
9 16 25 6 8 10 24 30 40 6 8 19 24 46 40 25
+ − +
= + + + + + − + + − + + −
= + + + + − + − + − = + − + − + − +
20.20.20.20.20.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x
4 3
8 6 2 4 3 4 4 3 3
8 6 2 7 5 4 4 3 8 7 6 5 4 3 2
4 2 3
16 4 9 2 4 2 2 2 3 2 4 2 2 4 3 2 2 3
16 4 9 8 4 6 16 24 12 8 16 4 22 24 4 12 9
− + −
= + + + + − + + − + − + − − + −
= + + + − + − − + − = − + + − + + − +
21. 21. 21. 21. 21.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 6
9 36 2 3 6 2 3 2 3 2 6 2 6 2
9 36 36 6 6 12 12 2 2 13 18 42 36 9
2 3
2 4 6 2 3 2 3 2 3
2 4 6 2 3 3 4 5 6 5 4 3 2
− + −
= + + + + − + + − + − + − − + −
= + + + − + − − + − = − + − + − +
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
xx
x
xx
x xx
x x xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
x xx
x
32
64
2 32
3 32 2
64
25
43
32
65
223
2
449
4 22
22
23
22
2 223
2 2 223
2
449
42
32
43
483 4
5
− + +
= + + + +
− +
+
+ −
+ − +
= + + + − + + − − + = − +4 3 2
32
332
983
4+ − + +x x x
23.23.23.23.23.a a a
a a a a a a a a a a a a
3 2
6 4 2 3 2 3 3 2 2
22
334
12
449
916
14
22
23
22
34
22
12
22
334
22
312
234
12
− + −
= + + + +
−
+
+
−
+ −
+ −
−
+
−
= + + + − + − − + − = − + − + − +a a a a a a
aa a a a a a a a6 4 2 5 4 3
32 6 5 4 3 2
449
916
14
23
34 2
23
34 4
23
4336
32
5948
34
14
24.24.24.24.24.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
5 4 3 2
10 8 6 4 2 5 4 5 3 5 2 5 5 4 3 4 2
4 4 3 2 3 3 2 2
10 8 6 4 2 9 8
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2
− + − + −
= + + + + + + − + + − + + − + − + − −
+ − + − − + − + + − + − + − − + −
= + + + + + − + −2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 4 42 3 4 5 8 7 6 5 4 4
7 6 5 7 6 5 4 5 4 3 3 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2
x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x
+ − − + − + − + − − + −
= − + − + − + − + − +
EJERCICIO 209
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x
2 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 3 5 4 4 2 2 3 6 5 4 3 2
1 1 3 3 1 3 3 1 3 3 6 1
1 3 3 3 3 3 3 6 3 6 7 6 3 1
+ + = + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + = + + + + + +
2.2.2.2.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
2 1 8 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2 3 1
6 2 1
8 1 12 12 3 6 6 3 12 8 12 6 11 3 3 1
2 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
6 3 5 4 2 4 2 3 6 5 4 3 2
x x x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x x x x x
− − = − − + − + − + − − + − + − + − −
+ − −
= − − − − − + + − + = − − + + − −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
1 3 2
1 27 8 3 1 3 3 1 2 3 3 1 3 3 2 3 2 1 3 2 3
6 1 3 2
1 27 8 9 6 27 54 12 36 36 1 9 33 63 66 36 8
2
3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
3 6 2 2 4 4 5 3 2 3 4 5 6
− +
= − + + − + + − + − + + −
+ −
= − + − + + + + − − = − + − + − +
x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x x x x x
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 3
8 27 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 6 2 3
8 27 36 12 54 27 6 9 36 9 33 63 66 36 8
2
3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 6 2 2 4 4 5 3 6 5 4 3 2
− +
= − + + − + + − + − + + − + −
= − + − + + + + − − = − + − + − +
x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x xx x x x x x x x
3 2
9 6 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2
3 2
9 6 8 6 7 4 3 2 5
9 8 7 6 5 4 3 2
2 4
8 64 3 2 3 4 3 2 3 2 4 3 4 3 4 2
6 2 4
8 64 6 12 12 48 48 96 486 12 20 48 48 48 96 64
− −
= − − + − + − + − + − − + − + − −
+ − −
= − − − − + − + − +
= − + − + − + − −
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x x x x x
4 2
12 6 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2
4 2
12 6 10 8 8 4 4 2 6 12 10 8 6 4 2
2
8 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2
6 2
8 3 6 3 6 12 12 12 3 3 11 6 12 8
− −
= − − + − + − + − + − − + − + − −
+ − −
= − − − − + − + − + = − − + + − −
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( ) ( )aa a
aa a
aa
aa a
aa a a
a
a aa
a a
aa a
32
96 3
3 22
3 22 2
32 2 2
3
2 23
2
96 3
2 3 8 273
23
33
23
2 33
3
33 2
62 3
8 273
+ − = + − +
+ −
+
+
−
+ −
+ −
+
−
= + − +a
aa a a a
a aa a a a a a8
77 5 5 4
6 98 7 6 5 4 3
234 4 3 6
32 4
78 12 6 27
− + − + + − = + − − + + −
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x x x xx
x x x x
x x x
x x x x x x
2 6 3 2 22 2
2 2 22
2
22
6 3 5 4 4
2 32
8 278 3
2 33 2 2 3
3 23
32 3 2
2
3 23
62 3
2
8 278
432 6
2
− + = − + +
−
+ + −
+ −
+
+ −
+
−
= − + − + + +2
2 36 5 4 3 2
36 4 2
8 45
35527
203
4 8+ − − = − + − + − +x x xx x x x x
x
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a
3 2
9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2
3 2 3 2 3 2
9 6 3 8
1
1 3 3 3 1 3 3
3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1
6 6 1 6 1 6 1
1 3 3
− + −
= − + − + − + + − + − + −
+ − − + + − + − + − + − − + −
+ − + − − + − + − −
= − + − − + a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a
7 6 7 5 4 5 4 2 3 2 6 5 4 3
9 8 7 6 5 4 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 63 6 10 12 12 10 6 3 1
− + + − + − − + − + − + − +
= − + − + − + − + −
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
3 2 9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2
3 2 2 3 2 2 2
9
2 3 8 27 3 2 3 3 3 3 2 3 2
3 2 3 3 3 2 3 3 6 2 6 2 3
6 3 6 2 3 3 3 3 3 2 3 3
8
− + − = − + − + − + + − + − + −
+ − − + + − + − + − + − −
+ − + − − + − + − − + −
= − 6 3 8 7 6 7 5 4 5 4 2 6 5
4 3 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2
27 6 3 9 12 12 36 3 6 9 12 3618 36 27 54 27
6 15 29 51 60 64 63 27 27
+ − − + − + + − + − − − +
− + + − +
= − + − + − + − + −
x x x x x x x x x x x xx x x x x
x x x x x x x x x
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
3 2
9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2
2 3 2 3 2 3
4 2 3
64 8 27 3 4 3 2 3 3 3 4 3 4 2
3 4 3 3 2 3 2 4 3 2 3 3 3 3 3 4
3 3 2 6 4 2 6 4 3 6 2 3 6 4
− + −
= − + − + − + + − + − + −
+ − − + + − + − + − + − −
+ − + − + − − + − + −( )( )( )2
9 6 3 8 7 6 7 5 4 5 4 2 3 2
6 5 4 3
9 8 7 6 5 4 3 2
2 3
64 8 27 12 6 9 48 96 144 12 48 36 27 108
54 48 72 36 14412 54 121 180 228 179 144 54 27
x
x x x x x x x x x x x x x xx x x x x
x x x x x x x x x
−
= − + − − + − + + − + − − + −
+ − + − +
= − + − + − + − + −
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
1 2 1 8 3 3 2 3 3 3 2 3
3 2 3 2 3 2 3 3 3 2
6 2 6 2 6 6 2
1 8
2 4 6 6 12 18 2 4 6 2 2 2 2 4 2 2 6
4 2 4 2 2 4 2 6 6 2 6 2 2 6 2 4
2 4 4 6 2 6 2 4 6
6
− + − = − + − + − + + − + − + − + − −
+ + − + − + − + − − + −
+ − + − + − − + − −
= − +
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x12 18 2 4 6 4 8 10 8 10 14 12
14 16 6 10 8 12
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 3 3 6 3 12 12 12 3
3 6 12 12 6 121 3 9 16 24 27 23 15 6
− − + − + + − + − − +
− + − − + +
= − + − + − + − + −
x x x x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x
EJERCICIO 210
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x− = − +⋅
−⋅
+ = − + − +2 4 24 32
26 23
2 2 8 24 32 164 4 3 2 2 3 4 4 3 2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a a+ = + +⋅
+⋅
+ = + + + +3 4 34 32
36 23
3 3 12 54 108 814 4 3 2 2 3 4 4 3 2
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 25 42
210 3
32
10 24
2 32 80 80 40 105 5 4 3 2 2 3 4 5 2 3 4 5− = − +
⋅−
⋅+
⋅− = − + − + −x x x x x x x x x x x
4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 5
2 4 2 54 32
2 56 23
2 5 5 16 160 600 1 000 625
4
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
x y
x x y x y x y y x x y x y xy y
+
= + +⋅
+⋅
+ = + + + +.
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a
a a a a a a
− = − +⋅
−⋅
+⋅
−⋅
+
= − + − + − +
3 6 36 52
315 4
33
20 34
315 2
53 3
18 135 540 1 215 1 458 729
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 3 2. .
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 6 26 52
215 4
32
20 34
215 2
52
64 192 240 160 60 12
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
a b a a b a b a b a b a b b
a a b a b a b a b ab b
− = − +⋅
−⋅
+⋅
−⋅
+
= − + − + − +
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y x x y x y x y x y y
x x y x y x y x y y
2 3 5 2 5 2 4 3 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 4 3 5
10 8 3 6 6 4 9 2 12 15
2 5 25 42
210 3
32
10 24
2 2
10 40 80 80 32
+ = + +⋅
+⋅
+⋅
+
= + + + + +
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x x x x x x x
x x x x x x
3 6 3 6 3 5 3 4 2 3 3 3 3 2 4 3 5 6
18 15 12 9 6 3
1 6 16 52
115 4
31
20 34
115 2
51 1
6 15 20 15 6 1
+ = + +⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+
= + + + + + +
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 5 2 35 42
2 310 3
32 3
10 24
2 3 3
32 240 720 1 080 810 243
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
a b a a b a b a b a b b
a a b a b a b ab b
− = − +⋅
−⋅
+⋅
−
= − + − + −.
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x y
x x y x y x y x y x y y
x x y x y x y x y x y y
4 3 6
4 6 4 5 3 4 4 3 2 4 3 3 3 4 2 3 4 4 3 5 3 6
24 20 3 16 6 12 9 8 12 4 15 18
5
6 56 52
515 4
35
20 34
515 2
55 5
30 375 2 500 9 375 18 750 15 625
−
= − +⋅
−⋅
+⋅
−⋅
+
= − + − + − +. . . .
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2 6 22
6 52
22
15 43
22
20 34
22
15 25
22 2
64 96 60 20154
38 64
6
6 5 42
33
24 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 56
xy
x xy
xy
xy
xy
xy y
x x y x y x y x y xyy
−
= −
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
= − + − + − +
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33
3 5 33
5 42
33
10 33
33
10 24
33 3
243 135 30103
527 243
2 55 4
23
2 22
2 3 2 4 2 5
2 4 6 810
−
= −
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
= − + − + −
x x x x x x
x x x xx
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 3 2 6 2 36 52
2 315 4
32 3
20 34
2 3
15 25
2 3 3
64 576 2 160 4 320 4 860 2 916 729
3 4 6 3 6 3 5 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 4 4
3 4 5 4 6
18 15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24
m n m m n m n m n m n
m n n
m m n m n m n m n m n n
− = − +⋅
−⋅
+⋅
−⋅
+
= − + − + − +. . . .
14. 14. 14. 14. 14. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
x
x x x x x x x
x x x x x x x
2 7
2 7 2 6 2 5 2 2 4 3 2 3 4 2 2 5 2 6 7
14 12 10 8 6 4 2
3
7 37 62
321 5
33
35 44
335 3
53
21 26
3 3
21 189 945 2 835 5 103 5 103 2 187
−
= − +⋅
−⋅
+⋅
−⋅
+⋅
−
= − + − + − + −. . . .
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33
3 5 33
5 42
33
10 33
33
10 24
33 3
243 135 30103
527 243
2 55 4
23
2 22
2 3 2 4 2 5
5 4 2 3 4 2 6 810
ab
a ab
ab
ab
ab b
a a b a b a b abb
−
= −
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
= − + − + −
16. 16. 16. 16. 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
x y x x y x y x y x y
x y x y y
x x y x y x y x y x y x y y
2 2 7 2 7 2 6 2 2 5 2 2 2 4 2 3 2 3 2 4
2 2 2 5 2 2 6 2 7
14 12 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 12 14
2 7 27 62
221 5
32
35 44
2
35 35
221 2
62 2
14 84 280 560 672 448 128
+ = + +⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+
= + + + + + + +
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
x x x x x x x
x x
x x x x x x x x
3 8 3 8 3 7 3 6 2 3 5 3 3 4 4 3 3 5
3 2 6 3 7 8
24 21 18 15 12 9 6 3
1 8 18 72
128 6
31
56 54
170 4
51
56 36
128 2
71 1
8 28 56 70 56 28 8 1
− = − +⋅
−⋅
+⋅
−⋅
+⋅
−⋅
+
= − + − + − + − +
18. 18. 18. 18. 18. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xy
x xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy y
29
2 9 2 8 2 72
2 63
2 54
2 45
2 36
2 27
28
29
29 82 2
36 73 2
84 64 2
126 55 2
126 46 2
84 37 2
36 28 2 2
−
= −
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+⋅
−
⋅
+
⋅
−
= − + − + − + − + −
9
18 16 14 2 12 3 10 4 8 5 6 6 4 7 2 899
29
212
638
6316
2116
932
9256 512
x x y x y x y x y x y x y x y x yy
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 7 27 62
221 5
32
35 44
2
35 35
221 2
62
128 448 672 560 280 84 14
3 4 7 3 7 3 6 4 3 5 4 2 3 4 4 3 3 3 4 4
3 2 4 5 3 4 6 4 7
21 18 4 15 8 12 12 9 16 6 20 3 24 28
m n m m n m n m n m n
m n m n n
m m n m n m n m n m n m n n
− = − +⋅
−⋅
+⋅
−⋅
+⋅
−
= − + − + − + −
20. 20. 20. 20. 20. x y
x x y x y x y x y y
x x y x y
2 2 5
2 5 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5
10 8 2 6
22
3
25
22
35 42 2
23
10 33 2
23
10 24 2
23
23
325
245
+
=
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
= + +4 4 6 2 8 10
920
2740
8132243
+ + +x y x y y
21. 21. 21. 21. 21. 15
52
15
615
52
6 52
15
52
15 43
15
52
20 34
15
52
15 25
15
52
52
115
6 6 5 4 2 3 3 2 4
5 6
−
=
−
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−⋅
+
=
a a a a a
a a
.6253625
320
52
37516
1 87516
15 62564
2 3 4 5 6
− + − + − +a a a a a a. .
EJERCICIO 211
NOTNOTNOTNOTNOTA: TA: TA: TA: TA: Triángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicioriángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a a b a b a b a b a b b
a a b a b a b a b ab b
+ = + + + + + +
= + + + + + +
2 6 2 15 2 20 2 15 2 6 2 2
12 60 160 240 192 64
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 2 5 2 3 10 2 3 10 2 3 5 2 3 3
32 240 720 1 080 810 243
2 3 5 2 5 2 4 3 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 4 3 5
10 8 3 6 6 4 9 2 12 15
m n m m n m n m n m n n
m m n m n m n m n n
− = − + − + −
= − + − + −.
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )x y x x y x y x y x y x y y
x x y x y x y x y x y y
2 3 6 2 6 2 5 3 2 4 3 2 2 3 3 3 2 2 3 4 2 3 5 3 6
12 10 3 8 6 6 9 4 12 2 15 18
6 15 20 15 6
6 15 20 15 6
+ = + + + + + +
= + + + + + +
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 7 3 21 3 35 3 35 3 21 3 7 3
2 187 5 103 5 103 2 835 945 189 21
7 7 7 6 7 5 7 2 4 7 3 3 7 4 2 7 5 7 6 7 7
7 14 21 28 35 42 49
− = − + − + − + −
= − + − + − + −
y y y y y y y y
y y y y y y y. . . .
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 3
2 6 2 3 15 2 3 20 2 3 15 2 3 6 2 3 3
64 576 2 160 4 320 4 860 2 916 729
3 4 6
3 6 3 5 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 4 4 3 4 5 4 6
18 15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24
x y
x x y x y x y x y x y y
x x y x y x y x y x y y
−
= − + − + − +
= − + − + − +. . . .
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( ) ( )xy
x xy
xy
xy
xy y
x x y x y x y x yy
23
5 2 5 2 43
2 33 2
2 23 3
23 4 3 5
10 8 3 6 6 4 9 2 1215
2 25
210
210
25
2
325
165
45
25
2
+
=
+
+
+
+
+
= + + + + +
7. 7. 7. 7. 7. a
ba a
ba
ba
ba
ba
b ba a
bab
ab
33
36
33
153
320
33
153
36
33 3
729227
53
20
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4
2
3
3
−
=
−
+
−
+
−
+
= − + − + − +135 486 7292
4 5 6a
ba
b b
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1 8 1 28 1 56 1 70 1 56 1 28 1 8 1
1 8 28 56 70 56 28 8
4 8
8 7 4 6 4 2 5 4 3 4 4 4 3 4 5 2 4 6 4 7 4 8
4 8 12 16 20 24 28 32
−
= − + − + − + − +
= − + − + − + − +
x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
9. 9. 9. 9. 9. 2
33
22
37
23
32
212
33
235
23
32
3523
32
2123
32
723
32
7 7 6 5 2 4 3 3 4
2 5
x y x x y x y x y x y
x y x y
−
=
−
+
−
+
−
+
−
= − + − + − + −
6 7
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
32
1282 187
224243
569
703
1052
5678
1 70132
2 187128
y
x x y x y x y x y x y xy y.. .
10. 10. 10. 10. 10. 2
22
72
221
22
352
235
22
212
27
22 2
2 7 7 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4
2 2 5 2 6 2
mm
m mm
mm
mm
mm
mm
mm m
−
=
−
+
−
+
−
+
−
= − + − + − + −
7
7 42
5 8 11 14128 224 16870
352
218
732 128m m m
mm m m m
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
x mn x x mn x mn x mn x mn x mn
x mn x mn mn
x x mn x m n x m n x m n x m n x m n x m n m n
3 8 3 8 3 7 3 6 2 3 5 3 3 4 4 3 3 5
3 2 6 3 7 8
24 21 18 2 2 15 3 3 12 4 4 9 5 5 6 6 6 3 7 7 8 8
8 28 56 70 56
28 8
8 28 56 70 56 28 8
+ = + + + + +
+ + +
= + + + + + + + +
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
33
3 9 33
36 33
84 33
126 33
126 33
84 33
36 33
9 33 3
19 683 19 683 8 748
2 99 8
27
2 26
2 35
2 44
2 5
32 6
22 7 2 8 2 9
2 4
−
= −
+
−
+
−
+
−
+
−
= − +
b b b b b b
b b b b
b b. . . − + − + − + −2 268 378 4228
9427 243 19 683
6 8 1012 14 16 18
..
b b bb b b b
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
1 10 11
45 11
120 11
210 11
252 11
210 11
120 11
45 11
10 11 1
110 45 120
1010 9 8
27
36
45
54
6
37
28 9 10
2 3
−
= −
+
−
+
−
+
−
+
−
+
= − + −
x x x x x x x
x x x x
x x x+ − + − + − +
210 252 210 120 45 10 14 5 6 7 8 9 10x x x x x x x
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
2 5 2 6 2 5 15 2 5 20 2 5 15 2 5
6 2 5 5
64 960 6 000 20 000 37 500 37 500 15 625
2 5 6 2 6 2 5 5 2 4 5 2 2 3 5 3 2 2 5 4
2 5 5 5 6
12 10 5 8 10 6 15 4 20 2 25 30
m n m m n m n m n m n
m n n
m m n m n m n m n m n n
− = − + − +
− +
= − + − + − +. . . . .
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
44
4 7 44
21 44
35 44
35 44
21 44
7 44 4
16 384 7 168 1 344 14035
421
647
1 024 16 384
5 7
7 65
55 2
45 3
35 4
25 5 5 6 5 7
5 10 1520 25 30 35
−
= −
+
−
+
−
+
−
= − + − + − + −
x
x x x x x x x
x x xx x x x
. . .. .
EJERCICIO 212
1. 1. 1. 1. 1. ( )( ) ( )
x y donde r
x y x y
− =
=⋅⋅
− =−
5
5 2 2 3 2
35 41 2
10
4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )
( )( )
3 2 46 5 41 2 3
3 2
20 27 8
4 320
6
6 3 4 1
3 3
3 3
x y donde r
x y
x y
x y
− =
=⋅ ⋅⋅ ⋅
−
= −
= −
− −
.
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )
( )( )
x y donde r
x y
x y
x y
2 10
2 10 6 7 1
8 6
8 6
2 710 9 8 7 6 51 2 3 4 5 6
2
210 64
13 440
− =
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−
=
=
− −
.
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )
a b donde r
a b
a b
2 15
2 15 9 10 1
12 9
1015 14 13 12 11 10 9 8 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 005
+ =
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
− −
.
11. 11. 11. 11. 11. ( )( ) ( )
( ) ( )
2 66 5 4 3 21 2 3 4 5
2
6 2
12
2 6
6 5 2 6 1
10
10
a b donde r
a b
a b
ab
− =
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
= −
= −
− −
2. 2. 2. 2. 2. ( )( ) ( )
( )
a b donde r
a b
a b
a b
− =
=⋅ ⋅⋅ ⋅
−
= −
= −
− −
4
4 47 6 51 2 3
4
35 64
2 240
7
7 3 4 1
3
4 3.
5. 5. 5. 5. 5. ( )( ) ( )
( )( )
a b donde r
a b
a b
a b
2 9
2 9 4 5 1
10 4
10 4
2 59 8 7 61 2 3 4
2
126 16
2 016
− =
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
−
=
=
− −
.
3. 3. 3. 3. 3. ( )( ) ( )
1 511 10 9 81 2 3 4
1
330
11
11 4 5 1
4
+ =
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
=
− −
x donde r
x
x
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )
22
6
8 7 6 5 41 2 3 4 5
22
56 832
14
8
8 56 1
35
3 5
ab
donde r
ab
ab
a b
−
=
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
= −
= −
−−
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )
( )
x y donde r
x y
x y
x y
− =
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
= −
= −
− −
2 11
11 7 2 8 1
4 14
4 14
811 10 9 8 7 6 51 2 3 4 5 6 7
330
330
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )
1 912 11 10 9 8 7 6 5
1 2 3 4 5 6 7 81
495
2 12
12 8 2 9 1
16
− =
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
=
− −
x donde r
x
x
12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )
( )( )
3 58 7 6 51 2 3 4
3
70 81
5 670
2 2 8
2 8 4 2 5 1
8 8
8 8
x y donde r
x y
x y
x y
− =
=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
−
=
=
− −
.
EJERCICIO 213
1. 1. 1. 1. 1. 4 22 4 2a b ab= ±
2. 2. 2. 2. 2. 25 56 8 3 4x y x y= ±
3. 3. 3. 3. 3. 27 33 93 3a b ab=
4. 4. 4. 4. 4. − = −8 23 6 123 2 4a b x ab x
5. 5. 5. 5. 5. 64 88 10 4 5x y x y= ±
6. 6. 6. 6. 6. 16 28 164 2 4a b a b= ±
7. 7. 7. 7. 7. x y z x y z15 20 255 3 4 5=
8. 8. 8. 8. 8. − = −64 43 6 183 2 6a x y ax y
9. 9. 9. 9. 9. − = −243 35 155 3m n mn
10. 10. 10. 10. 10. 81 96 8 20 3 4 10x y z x y z= ±
11. 11. 11. 11. 11. 1 000 109 183 3 6. x y x y=
12. 12. 12. 12. 12. 81 312 244 3 6a b a b= ±
13. 13. 13. 13. 13. 64 212 18 306 2 3 5a b c a b c= ±
14. 14. 14. 14. 14. 49 72 4 2a b a bn n n n= ±
15. 15. 15. 15. 15. − = −x y x yn x n x5 105 2
16. 16. 16. 16. 16. 9
25
3
5
2
4 2
a
x
a
x= ±
17. 17. 17. 17. 17. − = −27
64
3
4
3
93
3
a
x
a
x
18. 18. 18. 18. 18. − = −a b
x
ab
x
5 10
155
2
332 2
19. 19. 19. 19. 19. a
b c
a
bc
8
4 124
2
381 3= ±
20. 20. 20. 20. 20. 128 2
147
2x x=
21. 21. 21. 21. 21. x
y
x
y
m
n
m
n
2
4 2121 11= ±
22. 22. 22. 22. 22. − = −125
216
5
6
9
123
3
4
x
m
x
m
23. 23. 23. 23. 23. a
b c
a
bc
18
9 279
2
3=
24. 24. 24. 24. 24. x
y
x
y
20
3010
2
31 024 2.= ±
EJERCICIO 214
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )16 24 9 4 3
16 8 3 3
24 9 24 924 9
0
2 2 4 2
2 2 2
2 4 2 4
2 4
x xy y x y
x x y y
xy y xy yxy y
− + −
− − −
− + = − +
−
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )25 70 49 5 7
25 10 7 7
70 49 70 4970 49
0
4 3 2 2 2
4 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
a a x a x a ax
a a ax ax
a x a x a x a xa x a x
− + −
− − −
− + = − +
−
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
( )( )
x x x x x x
x x x x
x x x xx x
x x x x
x x x x
4 3 2 2
4 2
3 2 3 2
3 2
2 2
2 2
4 6 4 1 2 1
2 2 2
4 6 4 44 4
2 4 1 2 4 1 1
2 4 1 2 4 1
0
− + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
( )( )
4 4 5 2 1 2 1
4 4
4 5 44
4 2 1 4 2 1 1
4 2 1 4 2 1
0
4 3 2 2
4 2
3 2 3 2
3 2
2 2
2 2
a a a a a a
a a a a
a a a aa a
a a a a
a a a a
+ + + + + +
− +
+ = +
− −
+ + + +
− − − = + +
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
( )( )
n n n n n n
n n n n
n n n nn n
n n n n
n n n n
4 3 2 2
4 2
3 2 3 2
3 2
2 2
2 2
10 29 20 4 5 2
2 5 5
10 29 10 2510 25
4 20 4 2 10 2 2
4 20 4 4 20 4
0
− + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )
( )( )
x x x x x x x
x x x x
x x x xx x
x x x x
x x x x
6 5 4 3 2 3 2
6 3 2 2
5 4 5 4
5 4
3 2 3 2
3 2 3 2
10 25 12 60 36 5 6
2 5 5
10 25 10 2510 25
12 60 36 2 10 6 6
12 60 36 12 60 36
0
− + + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
( ) ( )
16 24 49 30 25 4 3 5
16 8 3 3
24 49 24 924 9
40 30 25 8 6 5 5
40 30 25 40 30 25
0
8 6 4 2 4 2
8 4 2 2
6 4 6 4
6 4
4 2 4 2
4 2 4 2
a a a a a a
a a a a
a a a aa a
a a a a
a a a a
− + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )
( )( )
x xy xz yz y z x y z
x x y y
xy xz y xy yxy y
xz yz z x y z z
xz yz z xz yz z
2 2 2
2
2 2
2
2
2 2
4 2 4 4 2
2 2 2
4 2 4 4 4
4 4
2 4 2 4
2 4 2 4
0
+ − − + + + −
− +
− + = +
− −
− − + + − −
+ − = − − +
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x
x x x x
x x x xx x
x x x x
x x x x
12 9 6 3 6 3
12 6 3 3
9 6 9 6
9 6
6 3 6 3
6 3 6 3
2 5 6 9 3
2
2 5 22
6 6 9 2 2 3 3
6 6 9 6 6 9
0
+ − − + + −
− +
− = +
− −
− − + + − −
+ − = − − +
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )
( ) ( )
25 70 30 49 42 9 5 7 3
25 10 7 7
70 30 49 70 4970 49
30 42 9 10 14 3 3
30 42 9 30 42 9
0
8 6 5 4 3 2 4 2
8 4 2 2
6 5 4 6 4
6 4
5 3 2 4 2
5 3 2 5 3 2
x x x x x x x x x
x x x x
x x x x xx x
x x x x x x x
x x x x x x
− + + − + − +
− − −
− + + = − +
−
− + − +
− + − = − +
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )
( ) ( )
4 8 8 12 9 2 2 3
4 4 2 2
8 8 8 48 4
12 12 9 4 4 3 3
12 12 9 12 12 9
0
4 3 2 2 3 4 2 2
4 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2 2 3 4 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4
a a b a b ab b a ab b
a a ab ab
a b a b a b a ba b a b
a b ab b a ab b b
a b ab b a b ab b
+ − − + + −
− +
− = +
− −
− − + + − −
+ − = − − +
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x x x
x x x x
x x x xx x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
6 5 4 2 3 2
6 3 2 2
5 4 5 4
5 4
4 2 3 2
3 4 2 4 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2 3 2 1 1
2
2 3 22
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 1
2 2 2 1 2 2 2 1 1
0 2 2 2 1
− + − + + − + +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− − = − +
− + +
− + − − − + +
= − + +
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x x x x
x x x x
x x x xx x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
6 5 4 3 2 3 2
6 3 2 2
5 4 5 4
5 4
4 3 2 3 2
4 3 2 4 3 2
3 2
3 2 3 2
6 5 16 8 8 4 3 2 2
2 3 3
6 5 6 96 9
4 16 8 2 6 2 2
4 12 4 4 12 4
4 12 8 4
4 12 8 4 2 6
− + + − − + − − +
− − −
− + = − +
−
− + − − − −
− − = − + +
− − +
− + + − −( ) ( )− +
= − − +
4 2 2
0 4 12 8 43 2
x
x x x
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x xx x x
x x x x x
8 6 5 4 3 2 4 2
8 4 2 2 6 4
6 5 4
6 4 4 2
5 4 3 2 5 3 2
5 3 2
4 2 4 2
6 8 19 24 46 40 25 3 4 5
2 3 3 6 9
6 8 19
6 9 2 6 4 4
8 10 24 46 8 24 168 24 16
10 30 40 25 2 6 8
+ − + − + − + + − +
− + = +
− +
− − + − −
− + − + = − − ++ −
+ − + + −( ) ( )x
x x x x x x
+
− − + − = + − +
5 5
10 30 40 25 10 30 40 25
0
4 2 4 2
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x x xx x x
x x x x x
8 7 6 5 4 3 2 4 3
8 4 3 3 7 6
7 6
7 6 4 3
5 4 3 2 5 4 2
5 4 2
4 3 4 3
8 16 4 22 24 4 12 9 4 2 3
2 4 4 8 16
8 16
8 16 2 8 2 2
4 22 24 4 4 16 44 16 4
6 24 12 9 2 8
− + + − + + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + + = − +
− + −
− + − + − +( ) ( )4 3 3
6 24 12 9 6 24 12 9
0
4 3 4 3
x
x x x x x x
− −
− + − = − + − +
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
( )( )
( ) ( )
9 36 42 18 13 2 3 6
9 6 6 6 36 36
36 42
36 36 6 12 6 12
6 18 13
6 12 6 12 2
6 12 2 6 12 26
2 3 4 5 6 2 3
2
2
2 2 2 2 3 4
2 3 4
2 3 4 2 3 3
3 4 5 6 3 4 5 6
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − + = − +
− +
− + − − + − −
− + − + = − + − +
a a a a a a a a a
a a a a
a a
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a
a a a a a a a aa3 4 5 612 2
0
− + −a a a
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
9 24 28 22 12 4 1 3 4 2 1
9 6 4 4 24 16
24 28
24 16 6 8 2 2
12 22 12 12 16 412 16 4
6 8 4 1 6 8 4 1 1
6
6 5 4 3 2 3 2
6 3 2 2 5 4
5 4
5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2 3 2
3
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x xx x x
x x x x x x
x
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +− + −
− + − + − + − −
− + − = − + − +8 4 1 6 8 4 1
0
2 3 2x x x x x
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
16 40 73 84 66 36 9 4 5 6 3
16 8 5 5 40 25
40 73
40 25 8 10 6 6
48 84 66 48 60 3648 60 36
24 30 36 9 8 10 12 3 3
24
6 5 4 3 2 3 2
6 3 2 2 5 4
5 4
5 4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
3 2 3 2
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x xx x x
x x x x x x
x
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +
− + −
− + − + − + − −3 2 3 230 36 9 24 30 36 9
0
− + − = − + − +x x x x x
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )
( ) ( )
m m n m n m n m n n m m n n
m m m n m n
m n m n m n m nm n m n
m n m n n m m n n n
m n m n n m n m n n
6 5 4 2 3 4 2 5 8 3 2 4
6 3 2 2
5 4 2 5 4 2
5 4 2
3 4 2 5 8 3 2 4 4
3 4 2 5 8 3 4 2 5 8
4 4 4 8 4 2 2
2 2 2
4 4 4 44 4
4 8 4 2 4 2 2
4 8 4 4 8 4
0
− + + − + − +
− − −
− + = − +
−
− + − +
− + − = − +
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )
( ) ( )
9 6 13 16 8 8 4 3 2 2
9 6 6
6 13
6 6 2 2 2
12 16 8 12 4 412 4
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
6 3 2 2 5 4 2
5 4 2
5 4 2 3 2 2 2
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2
x x y x y x y x y xy y x x y xy y
x x x y x y x y x y
x y x y
x y x y x x y xy xy
x y x y x y x y x y x yx y
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +− +
( ) ( )x y x y
x y x y xy y x x y xy y y
x y x y xy y x y x y xy y
3 3 2 4
3 3 2 4 5 6 3 2 2 3 3
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
4
12 4 8 4 6 2 4 2 2
12 4 8 4 12 4 8 4
0
−
− + − + − + − −
− + − = − + − +
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )
( ) ( )
16 24 25 20 10 4 4 3 2
16 8 3 3 24 9
24 25
24 9 8 6 2 2
16 20 10 16 12 416
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
6 3 2 2 5 4 2
5 4 2
5 4 2 3 2 2 2
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4
a a b a b a b a b ab b a a b ab b
a a a b a b a b a b
a b a b
a b a b a a b ab ab
a b a b a b a b a b a ba
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +
−
( ) ( )b a b a b
a b a b ab b a a b ab b b
a b a b ab b a b a b ab b
2 3 3 2 4
3 3 2 4 5 6 3 2 2 3 3
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
12 4
8 6 4 8 6 4
8 6 4 8 6 4
0
+ −
− + − + − + − −
− + − = − + − +
22. 22. 22. 22. 22.
( )( )
( )( )
36 36 48 15 24 28 16 4 6 3 4 2
36 12 3 3 36 9
36 48 15
36 9 12 6 4 4
48 24 24
8 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8 4 2 2 3 4
8 4 2 2 2 2 6 2 4 4
6 2 5 3 4 4
6 2 4 4 4 2 2 3 3
5 3 4 4 3 5
x x y x y x y x y x y xy y x x y xy y
x x x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x x y xy xy
x y x y x y
− + − − + − + − + −
− − − = − +
− + −
− − +
− −
( ) ( )+ = − +
− + − − + − −
− + − + = − + − +
− + −
28 48 24 16
48 24 16 12 6 8 2 2
24 12 16 4 24 12 16 424 12 16 4
0
2 6 5 3 3 5 2 6
5 3 3 5 2 6 4 2 2 3 4 4
4 4 2 6 7 8 4 4 2 6 7 8
4 4 2 6 7 8
x y x y x y x y
x y x y x y x x y xy y y
x y x y xy y x y x y xy yx y x y xy y
23. 23. 23. 23. 23.
( )( )
( )( )
25 40 26 28 17 4 4 5 4 2
25 10 4 4 40 16
40 26
40 16 10 8 10 8
10 28 17
10
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
6 3 2 2 5 4 2
5 4 2
5 4 2 3 2 2 2 4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4
4 2
a a x a x a x a x ax x a a x ax x
a a a x a x a x a x
a x a x
a x a x a a x ax ax a x a x a x
a x a x a x
a x
− + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − + = − +
− +
− ( )( )+ − − + − −
− + − + = − + − +− + −
8 10 8 2 2 2
20 16 4 4 20 16 4 420 16 4 4
0
3 3 2 4 3 2 2 3 3
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
3 3 2 4 5 6
a x a x a a x ax x x
a x a x ax x a x a x ax xa x a x ax x
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )
( ) ( )
4 12 17 16 14 10 5 2 1 2 3 2 1
4 4 3 3 12 9
12 17
12 9 4 6 2 2
8 16 14 8 12 4
8 12 4
4 10 10 5 4
8 7 6 5 4 3 2 4 3 2
8 4 3 3 7 6
7 6
7 6 4 3 2 2
6 5 4 6 5 4
6 5 4
5 4 3 2
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a
a a a a a a
a a a a a aa a a
a a a a
− + − + − + − + − + − +
− − − = − +
− +
− − +
− + = − +
− + −
− + − + ( )( )
( )( )
a a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 2
4 3 2
4 3 2 4 3 2
4 3 2
6 4
4 6 4 4 6 4
4 6 4 2 1
4 6 4 2 1 4 6 4 2 1 1
0 4 6 4 2 1
− + − −
− + − = − + − +
− + − +
− + − + − − + − +
= − + − +
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )
( )( )
( )( )
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x
x
10 9 8 7 6 5 4 3 2 5 4 3 2
10 5 4 4 9 8
9 8
9 8 5 4 3 3 8 7 6
8 7 6
8 7 6 5 4 3 2 2
2 3 4 5 8 7 6 5 4 4 2
2 2
2 3
2 2 2 2 2
2 4 5
2 2 2 2 2
2
− + − + − + − + − + − + − + −
− − − = − +
− +
− − + = − +
− +
− + − − + − −
−
( ) ( )
7 6 5 4 7 6 5 4
7 6 5 4
6 5 4 3 2 5 4 3 2
6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 8 7 2 2 22 2 2
2 6 6 6 5 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4
+ − + = − + − +− + −
− + − + − + − +
− + − + − = − + − +
− + − + − +
x x x x x x xx x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x
( )( )4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2
0 4 4 4 4 4 4
5 4 3 2 5 4 3 2
5 4 3 2
x x x x x x x x x x
x x x x x
− + − + − − + − + − −
= − + − + − +
EJERCICIO 215
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )
xx
x x xx
xx x x x x
xx
x x x xx x
x x
x x
43
2 2
42 3 2
32
3 2 22
2
2
453
43
49 2
23
45
3
223
23
23
43
49
23
43
49
23
43
49
0
− + − + − +
− − − = − +
− +
− − +
= − +
− +
− + −
2. 2. 2. 2. 2. ax
ax
xa
xa
ax
xa
ax
ax
ax
axax
ax
xa
xa
xa
xa
xa
xa
xa
xa
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
23
199
23
132 1
313
23
19
23
199
23
19
2 23
223
223
2230
− + − + − +
− −
−
= − +
− +
− − +
= − +
− +
− + −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )
aab b
ac bc c ab
c
aa b b ab b
ab b
ab b a bc c ac bc c
ac bc c
ac bc c
22
2
22
2
22
2
2
4 4 2 16 2 4
4
24 4 4 2 16
4 2 16
4 2 160
− + + − + − +
− − − = − +
− +
− − +
= − +
− +
− + −
4. 4. 4. 4. 4.
916
34
2920
45
1625
34 2
45
916
32 2 2
34 4
34
2920
34 4
32
45
45
65
45
1625
65
45
1625
65
45
1625
0
4 3 2 2
4 2 3 2
3 2
3 2 2 2
2
2
a a a a a a
a a a a a a
a a
a a aa
a a
a a
a a
− + − + − +
− −
−
= − +
− +
− − +
= − +
− +
− + −
5. 5. 5. 5. 5.
( )
a a b a bab
b aab
b
a aab ab
a ba b
a b a b
a ba b
aab
b b a bab
b
a bab
b
a bab
b
4 3 2 23
4 2 2
4 2 32 2
3 2 2
32 2
2 2 2 2 23
4
2 23
4
2 23
4
16 23
4 4 4 2
16 2 2
23
4
2 22
2 2 4 4
4 4
4 40
+ + − + + −
− +
= +
+
− − + −
−
= − − +
− − +
+ −
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x xxy
yy
xy
x x x
xxy
x xy y xy
yy
xyy
y
xyy
y
22
2
2
2
2
2523
2259
503
255
53
5
2525
53
53
23
259
23
2259
23
259
25
103
5 5 250
325
250
325
250
325
0
+ − + − + + −
− +
= +
− +
− − + −
− = − − +
− − +
+ −
7. 7. 7. 7. 7.
( )
x x y x y xy y xxy
y
x xxy xy
x yx y
x y x y xy
x yx y
xxy
y y x y xy y
x y xy y
4 3 2 2 3 4 2 2
4 2 32 2
3 2 2 3
32 2
2 2 2 2 2 3 4
2 2 3
94
362
154
5 25 32
5
92
32 2
43
4
43
6215
45
43
42
34
5 52
154
5 25
215
45
− + − + − +
− −
− = − +
− + −
− − +
= − +
− +4
2 2 3 425
215
45 25
0
− + −x y xy y
8. 8. 8. 8. 8. a a a b b b a b
a a a
a
a a b b a b b b
a b b b
a b b b
4 2 2 2 2 4 2 2
4 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 4
2 2 2
16310
925 18
215 81 4
35 9
16 235
35
310
925
310
925
310
925 2
65 9 9 18
215 81
18215 81
18215
− + + − + − +
− −
−
= − +
− +
− − +
= − +
− +
− + −4
810
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )
x xy x
xx
x x x
x
x xx x x x
y x
y x
22
2
2
2
2
4 24 1
21
2 2 2 4 4
4 2
4 4 2 41 1
24 1
24 1
24 1
0
+ + − + + −
− + = +
+
− − + −
−
= − − +
− − +
+ −
10. 10. 10. 10. 10.
( )
x xx x
xx
x x x
x
x xx x x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
910
3793
20 43
52
923
5 510
325
103
793
103
2523
102 2 4
320 4
43
20 4
43
20 4
0
− + − + − +
− −
− = − +
− +
− − +
= − +
− +
− + −
11. 11. 11. 11. 11.
( )( )
aa
a aa
aa
a a
a
a aa a a a
a a
a a
42
2 4
2
2
42 2
2
2 22 2 2 4
2 4
2 4
45 28
30 92
53
45 5 5 25
5 28
5 25 103 3
330 9
330 9
330 9
0
− + − + − +
− − − = − +
− +
− − +
= − +
− +
− + −
12. 12. 12. 12. 12. a a
xax
ax xa
a ax
xa
a a ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
a ax
xa
xa
ax xa
ax xa
ax xa
4 3 2
2
2
2
2
4 2 3 2
2
3 2
2
3 2
2
2 2
2
2
2
2
2
923
23
23
92
323
23
23
23
2 23
2
23
2
23
2
0
+ + − − + + −
− +
= +
+
− − + −
−
= − − +
− − +
+ −
13. 13. 13. 13. 13.
9 32
6516 3
49
3 14
23
9 6 14
14
32
116
32
6516
32
116
6 12
23
23
43
49
43
49
43
49
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ax
ax
xa
xa
ax
xa
ax
ax
ax
axax
ax
xa
xa
xa
xa
xa
xa
xa
xa
− + − + − +
− −
−
= − +
− +
− − +
= − +
− +
− + −
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
9 30 5550 25
3 55
9 6 5 5 30 25
30 55
30 25 6 105 5
3050 25
3050 25
3050 25
0
4 22 4
22
4 2 2
2
2 22 2 2 4
2 4
2 4
x xx x
xx
x x x
x
x xx x x x
x x
x x
+ + + + + +
− + = +
+
− − + +
= + +
+ +
− − −
15. 15. 15. 15. 15.
425
25
1912
53
259
25
12
53
425
45
12
12
25
14
25
1912
25
14
45
153
53
43
53
259
43
53
259
43
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ax
ax
xa
xa
ax
xa
ax
ax
ax
axax
ax
xa
xa
xa
xa
xa
xa
x
− + − + − +
− −
−
= − +
− +
− − +
= − +
− +
− +3
259
0
2
2axa
−
16. 16. 16. 16. 16.
x x y x y xy y x xy y
x x xy xy x y x y
x y x y
x y x y xxy
y y x y xy y
x y xy y
x y
4 3 2 2 3 4 2 2
4 2 3 2 2
3 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 3 4
2 2 3 4
2 2
16 43
20 5 25 4 2 5
16 2 2 2 4 4
43
20
4 4 2 5 5 10 5 25
10 5 25
10
− + + + − −
− −
−
= − +
− +
− − −
−
= − + +
− + +
−xy y3 4
5 250
−
17. 17. 17. 17. 17.
449
27
2120
75
4925
27
12
75
449
47
12
12
27
14
27
2120
27
14
47
175
75
45
75
4925
45
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a bx y
abxy
xyab
x ya b
abxy
xyab
a bx y
abxy
abxy
abxy
abxy
abxy
xyab
xyab
xyab
x ya b
− + − + − +
− −
−
= − +
− +
− − +
− + = − +
− + −
75
4925
45
75
4925
0
2 2
2 2
2 2
2 2
xyab
x ya b
xyab
x ya b
18. 18. 18. 18. 18. 9
256
252375
445
481
35
15
1045
925
65
15
15
625
125
625
2375
625
125
65
25
1045
1045
2075
445
481
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a xm n
axmn
mnax
m na x
axmn
mnax
a xm n
axmn
axmn
axmnaxmn
axmn
mnax
mnax
mnax
m na x
− + − + − +
− −
−
= − +
− +
− − +
− + =2075
445
481
2075
445
481
0
2 2
2 2
2 2
2 2
− +
− + −
mnax
m na x
mnax
m na x
19. 19. 19. 19. 19.
( )( )
xx
x x x x xx
x
xx x x x x
xx
x x x xx x x x x
x x x
x x xx x
x
65
4 3 2 32
63 2 2 5 4
54
5 4 3 24 3 2
4 3 2
4 3 23 2
45
323
329
83
42
23
2
453
223
23
23
43
49
23
23
329
23
43
49
243
2
− + + − + + − + +
− − − = − +
− +
− − +
= − +
+ −
− + − − + + ( ) = − + +
− + +
− + − −
2 2 483
4
2 483
4
2 483
4
0
3 2
3 2
3 2
x xx
x xx
x xx
20. 20. 20. 20. 20.
14
34
5948
32
4336
23
14
12
34
23 2
14
134
34
34
916
34
5948
34
916
132
23
23
23
49
23
32
4336
2
2 3 4 5 6 2 3
2
2
2 2 2 23
4
2 3 4
− + − + − + − + −
− −
−
= − +
− +
− − +
= − +
− +
−
a a a a a a a a a
a a a a
a a
a a a a a aa
a
a a a
a23
4 2 3 3
3 4 5 6 3 4 5 6
3 4 5 6
349
132
43 2 2
234
23 4 2
34
23 4
234
23 4
0
+ − − + −
−
− + − + = − + − +
− + −
aa a a a a
a a a a a a a a
a a a a
EJERCICIO 216
1. 1. 1. 1. 1. ( )
( ) ( )( )( )
( )
8 36 54 27 2 3
8 3 2 12
36 54 27 3 2 3 36
36 54 27 3 2 3 54
0 3 27
2 33
2
2 3 2
2 3 2 2
3 3
− + − −
− =
− + − − = −
− + − =
− = −
y y y y
y y y y y
y y y y y
y y
2. 2. 2. 2. 2.
( )( ) ( )( )( )
( )
64 240 300 125 4 5
64 3 4 48
240 300 125 3 4 5 240
240 300 125 3 4 5 300
0 5 125
6 4 2 2 4 63 2 2
6 2 2 4
4 2 2 4 6 2 2 2 4 2
4 2 2 4 6 2 2 2 2 4
2 3 6
a a b a b b a b
a a a
a b a b b a b a b
a b a b b a b a b
b b
+ + + +
− =
+ + =
− − − =
=
3. 3. 3. 3. 3.
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2 2 2 4 3 2
2 2 4 3
3 6 7 6 3 1 1
3 3
3 6 7 3 3
3 3 3 3
3 6 6 3 1
3 6 6 3 1 3 3 6 3
0 3 1 3 6
+ + + + + + + +
− =
+ + =
− − − =
+ + + + =
− − − − − + = + +
+ = +
( ) ( )( )
+
+ = +
=
3
3 1 3 3
1 1
2
2 2 2
3
x
x x x x
4. 4. 4. 4. 4.
( )( ) ( )( )( )
( )
( )
8 12 6 11 3 3 1 2 1
8 3 2 12
12 6 11 3 2 12
12 6 3 2 6
12 12 3 3 1
12 12 3 3 1
0 3 2 12 12 3
3 2
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2
2 2 4 3 2
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
− − + + − − − −
− =
− − + − = −
− + − =
− + + − − − = −
− − + +
− = − +
( ) ( )( )( )
( )
x x x x x
x x x x
2 2 4 3 2
2 2 2
3
1 12 12 3
3 2 1 6 3
1 1
− − = − + −
− − = −
− = −
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( ) ( )( )( )
( )
( )( )
1 9 33 63 66 36 8 1 3 2
1 3 1 3
9 33 63 3 1 3 9
9 27 27 3 1 3 27
6 36 66 36 8 3 27
6 36 66 36 8
0 3 1 3 3 18 27
3 1 3 2
2 3 4 5 63 2
2
2 3 2
2 3 2 2
2 3 4 5 6 3 3
2 3 4 5 6
2 2
2
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− = − +
−
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x ( )( )( )
( )
x x x x
x x x x
x x
2 2 3 4
2 2 4 5
2 3 6
6 36 54
3 1 3 2 12 36
2 8
= − +
− = −
=
6. 6. 6. 6. 6.
( )( ) ( )( )( )
( )
( )
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2
2 2 4 3 2
9 33 63 66 36 8 3 2
3 3
9 33 63 3 3 9
9 27 27 3 3 27
6 36 66 36 8 3 27
6 36 66 36 8
0 3 3 3 18 27
3
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− = − +
( ) ( )
( )( )( )
2 2 4 3 2
2 2 2
3
3 2 6 36 54
3 3 2 12 36
2 8
− = − +
− = −
=
x x x x
x x x x
7. 7. 7. 7. 7.
( )( ) ( )( ) ( )
( )
x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
9 8 7 6 5 4 3 23 3 2
9 3 2 6
8 7 6 3 2 2 8
8 7 6 3 2 2 7
6 5 4 3 2 2 3 6
6 5 4 3 2
6 12 20 48 48 48 96 64 2 4
3 3
6 12 20 3 2 6
6 12 8 3 2 12
12 48 48 48 96 64 2 8
12 48 48 48 96
− + − + − + − − − −
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − − − = −
− + − + +
( )( ) ( )( )( )
64
0 3 2 3 12 12
3 2 4 12 48 48
3 2 4 48 96
3 2 2 6 5 4
3 2 2 6 5 4
3 2 2 3 2
x x x x x
x x x x x
x x x x
− = − +
− − = − + −
− − = −
8. 8. 8. 8. 8.
( )( ) ( )( )( )
( )
( )
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
12 10 8 6 4 23 4 2
12 4 2 8
10 8 6 4 2 2 10
10 8 6 4 2 2 8
8 6 4 2 2 3 6
8 6 4 2
4 2 2 8 6 4
3 3 11 6 12 8 2
3 3
3 3 11 3 3
3 3 3 3
6 12 6 12 8
6 12 6 12 8
0 3 3 6 3
3
− − + + − − − −
− =
− − + − = −
− + − =
− + + − − − = −
− − + +
− = − +
( ) ( )( )( )
( )
x x x x x
x x x x
4 2 2 8 6 4
4 2 2 4 2
3
2 6 12 6
3 2 12 12
2 8
− − = − + −
− − = −
− = −
( )− = −4 643
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )( )( )
( )
( )
8 36 66 63 33 9 1 2 3 1
8 3 2 12
36 66 63 3 2 3 36
36 54 27 3 2 3 54
12 36 33 9 1 3 27
12 36 33 9 1
0 3 2 3 12 36
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2
2 2 4
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− = −
( ) ( )
( )( )( )
3 2
2 2 4 3 2
2 2 2
3
27
3 2 3 1 12 36 27
3 2 3 1 6 9
1 1
+
− = − +
− = −
=
x
x x x x x
x x x x
10. 10. 10. 10. 10.
( )( ) ( )( )( )
( )
( )
27 135 117 235 156 240 64 3 5 4
27 3 3 27
135 117 235 3 3 5 135
135 225 125 3 3 5 225
108 360 156 240 64 5 125
108 360 156 240 64
0 3 3 5 27
6 5 4 3 23 2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
4 3 2 3 3
4 3 2
2 2 4
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a
− + + − − − − −
− =
− + + − = −
− + − =
− + − − − − = −
− + + +
− =
( ) ( )( ) ( )
( )
− +
− − = − + −
− − = −
− = −
90 75
3 3 5 4 108 360 300
3 3 5 4 144 240
4 64
3 2
2 2 4 3 2
2 2 2
3
a a
a a a a a
a a a a
11. 11. 11. 11. 11.
( )( ) ( )( )( )
( )
a a b a b a b a b ab b a ab b
a a a
a b a b a b a ab a b
a b a b a b a ab a b
a b a b a b ab b ab a b
a b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 63 2 2
6 2 2 4
5 4 2 3 3 2 2 5
5 4 2 3 3 2 2 4 2
4 2 3 3 2 4 5 6 3 3 3
4 2
6 15 20 15 6 2
3 3
6 15 20 3 2 6
6 12 8 3 2 12
3 12 15 6 2 8
3
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
−
( )( ) ( )
( )( )
+ − + −
− = − +
− = − +
− = −
12 15 6
0 3 2 3 12 12
3 2 3 12 12
3 2 3 6
3 3 2 4 5 6
2 2 4 3 2 2
2 2 2 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2 4 5
a b a b ab b
a ab a a b a b
a ab b a b a b a b
a ab b a b ab
( )b b2 3 6=
12.12.12.12.12.
( )( ) ( )( ) ( )
( )
x x y x y x y x y xy y x xy y
x x x
x y x y x y x xy x y
x y x y x y x xy x y
x y x y x y xy y xy x y
6 5 4 2 3 3 2 4 5 63 2 2
6 2 2 4
5 4 2 3 3 2 2 5
5 4 2 3 3 2 2 4 2
4 2 3 3 2 4 5 6 3 3 3
9 42 117 210 225 125 3 5
3 3
9 42 117 3 3 9
9 27 27 3 3 27
15 80 210 225 125 3 27
15
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
−
( )( ) ( )( )( )
x y x y x y xy y
x xy x x y x y
x xy y x y x y x y
x xy y x y xy
4 2 3 3 2 4 5 6
2 2 4 3 2 2
2 2 2 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2 4 5
80 210 225 125
0 3 3 3 18 27
3 3 5 15 80 135
3 3 5 75 225
+ − + −
− = − +
− = − +
− = −
13. 13. 13. 13. 13.
( )( ) ( )( )( )
( )
( )
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a
12 10 8 6 4 23 4 2
12 4 2 8
10 8 6 4 2 2 10
10 8 6 4 2 2 8
8 6 4 2 2 3 6
8 6 4 2
4 2 2 8 6 4
3 15 25 60 48 64 4
3 3
3 15 25 3 3
3 3 3 3
12 24 60 48 64
12 24 60 48 64
0 3 3 6 3
3
− + − + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− = − +
( ) ( )
( )( )( )
a a a a a
a a a a
4 2 2 8 6 4
4 2 2 4 2
3
4 12 24 12
3 4 48 48
4 64
− = − +
− = −
=
14. 14. 14. 14. 14.
( )( ) ( )( )( )
a a x a x a x a x a x a x a x x a a x x
a a a
a x a x a x a a x a x
a x a x a x a a x a x
a x a x a x
9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 93 3 2 3
9 3 2 6
8 7 2 6 3 3 2 2 8
8 7 2 6 3 3 2 2 7 2
6 3 5 4 4 5
9 27 21 36 54 12 36 8 3 2
3 3
9 27 21 3 3 9
9 27 27 3 3 27
6 36 54 12
− + − − + + − + − +
− =
− + − − = −
− + − =
− + + ( )a x a x x a x a x
a x a x a x a x a x x
3 6 2 7 9 2 3 6 3
6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 9
36 8 3 27
6 36 54 12 36 8
0
− + − = −
− + − − + −
( )5 1252 3 6y y=
( )( ) ( )( )( )
( )
3 3 3 18 27
3 3 2 6 36 54
3 3 2 12 36
2 8
3 2 2 6 5 4 2
3 2 2 3 6 3 5 4 4 5
3 2 3 2 3 6 2 7
3 3 9
a a x a a x a x
a a x x a x a x a x
a a x x a x a x
x x
− = − +
− = − +
− = −
=
15. 15. 15. 15. 15.
( )( ) ( )( )( )
( )
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a
a
9 8 7 6 5 4 3 23 3 2
9 3 2 6
8 7 6 3 2 2 8
8 7 6 3 2 2 7
7 6 5 4 3 2 3 6
7 6 5 4 3
6
3 6 10 12 12 10 6 3 1 1
3 3
3 6 10 3 3
3 3 3 3
3 9 12 12 10
3 6 6 3
3 6
− + − + − + − + − − + −
− =
− + − − = −
− + − =
− + − + − = −
− + − + −
− + ( )( ) ( )
( )( )
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a
5 4 3 2 3 2 2 6 5 4
6 5 4 3 2 3 2 2 7 6 5
3 2 2 5 4
9 9 6 3 1 3 3 6 3
3 6 9 9 6 3 1 3 3 6 3
0 3 3 3
− + − + − − = − +
− + − + − + − = − +
− = −( )
( )( ) ( )( )( )
( )
a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a
3 3
3 2 2 6 4 2 5 4 3
3 2 2 6 5 4 3 2
3 2 2 3 2
3
3 3 3 3 6 6 6
3 1 3 6 9 6 3
3 1 3 3 3
1 1
=
− + = + + − + −
− + − = − + − + −
− + − = − +
− = −
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x
9 8 7 6 5 4 3 23 3 2
9 3 2 6 3 2 2 8
8 7 6 3 2 2 7 2 3 6
8 7 6
7 6 5 4 3 3 2 2 6 5
12 54 121 180 228 179 144 54 27 4 2 3
3 3 3 4 12
12 54 121 3 4 48 4 64
12 48 64
6 57 180 228 179 3 4 3 24
− + − + − + − + − − + −
− = − = −
− + − − = − = −
− +
− + − + − = −
( ) ( )
( )( )( )
+
− + − + − − = − +
− + − + − + − − = −
− + − + − + =
48
6 48 108 48 8 3 4 2 6 48 96
9 72 180 171 144 54 27 3 4 2 12 48
9 72 180 171 144 54 27 2 8
0
4
7 6 5 4 3 3 2 2 7 6 5
6 5 4 3 2 3 2 2 5 4
6 5 4 3 2 3 3
x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
( )( ) ( )( )( )
( )
3 4 2 3 48 12 24 12 48
3 4 2 3 9 144 36 72 36 144
3 4 2 3 27 108 54
3 27
3 2 2 6 4 2 5 4 3
3 2 2 6 4 2 5 4 3
3 2 2 3 2
3
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
− + = + + − + −
− + − = − − − + − +
− + − = − +
− = −
EJERCICIO 217
1. 1. 1. 1. 1. x x x x x
xx x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
xx
xx
x
6 5 4 3 23
2
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2 2 4
43
2
8 45
35527
203
4 82 3
2
83
234
45
35527
32 3 4
4 6 273
2 3 6
32
220
34 8
3
− + − + − + − +
−
=
− + −
−
= −
− +
−
=
− + − + −
( )
( )
( )
= −
− + − + −
−
= − +
−
= − +
−
= −
=
3 3
43
2
2 2 43
2
2 2 43
2
22 2
3
2732
220
34 8
0 32 3
34 3
32 3
232
22
3
32 3
2 6 4
2 8
x
xx
xx
x x xx
x
x x xx
x
x xx x
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )
( )
aa a a a a a
aa a
a a a
a a aa
a a
aa a
a a a a a
a aa a a
aa
98 7 6 5 4 3
3 32
9 3 2 6
8 7 63 2
2 8
32 2 7
8 7 6 2 3 6
7 65 4 3
32
32 4
78 12 6 27 2 3
3 3
32 4
78
32
32
32
34
32
34 8 2 8
12 6 273
2
+ − − + + − + −
− =
− −
=
=
− − −
=
− − + + − +
= + +
+
−
= − − −
+ − − ++
−
= +
−
= −
26 5
4
32 2
7 65
7 65 4 3 3
2 2 5 4
3 3
3 334
32 3 4
12 6 273
2 3 3 6
03 27
a aa
aa a
a aa
a aa a a a
a a a a
a a
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )( )
x xx
x x xx
xx x
x x x
xx
x x
x x x xx
xx x x
x
3 2
2 33
2 2
3 2 2
22
3
2 2 2
2 3
894
15 4560 36 8
23
2
32
34
83
23
94
94
15 45 32
327
2
3 27
94
272
27 32
334
9 27
32
1860 36 8
32
− + − + − + − +
=
−
− = −
− + −
− =
− = −
− + −
= − +
− + − + −
= − +
−
= −
− + − + −
=
32 3
218
54
32
32 6 36
32
1860 36 8 2 8
0
2
2
2
2 3
3
3
xx
xx
x x xx
x x x x x
4. 4. 4. 4. 4.
( )
( )
( )
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ab
ba
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
abab
3
3
2
2
2
2
3
33
3
3
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
3
834
158
52
158
34 8 2
12
83
234
34
158
52
32
134
32
132
34
32
1 1 1
38
32
− + − + − + − +
−
=
− + −
− = −
− =
− + − = −
− +158
34 8
32
134
33
38
32
158
34 8
32
12
38
32
32
0 32
12
38
34
2 8
2
2
3
3
2 2
2
2
2
3
3
2
2 2
2
3 3
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ab
ba
ab
ba
ab
ba
ba
ba
ba
b
− +
−
= − +
− + − + − −
= − +
−
= −
=
a3
5. 5. 5. 5. 5.
827
23 18
1324 36 6 27
23
12 3
323
43
827
323
12
23
23 18
1324
323
12 2
12
3
3
2
2
2
2
3
33
2 2
2
3
3
2 2
2
2
2
2
3
ax
ax
ax
xa
xa
xa
ax
xa
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
− + + − − − − −
=
−
−
= −
− + +
−
=
−
= −
− +
− + − − − −
= − +
−
−
= − + −
− + + + −
−
18
23 2
18
49
23 36 6 27
323
12
43
2 34
323
12 3
49
23 4
49
23 36 6 27
323
12 3
2
2
2
2
3
3
2 2
2
2
2
2
3
3
ax
axax
xa
xa
xa
ax
ax
ax
ax
xa
ax
xa
ax
xa
xa
xa
ax
xa
= −2 2
2
29 6
0
xa
xa
−
= −
xa
xa3 27
3 3
3
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )
827
43
34
278
2716
2764
23
134
827
323
43
43
34 3
23
143
43
21 3
23
12
3278
2716
3
3
2
2
2
2
3
33
3
3
2 2
2
2
2
2 2
2
2
22
2
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ab
ba
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ba
ba
+ + + + + + + +
−
=
+ +
=
− − −
=
+ + + ( )2
3
33
2
2
3
3
2 2
2
2
2764
1 1
3278
2716
2764
323
143
43
0 323
134
394
+ =
− − − − − +
= + +
+
= + +
ba
ab
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ab
ba
ab
ba
323
134
98
2716
34
2764
2 2
2
3 3
3
ab
ba
ba
ba
ba
ba
+
= +
=
EJERCICIO 218
1. 1. 1. 1. 1. x x1
3 3=
2. 2. 2. 2. 2. m m3
5 35=
3. 3. 3. 3. 3. 4 43
4 34a a=
4. 4. 4. 4. 4. xy x y1
2 =
5. 5. 5. 5. 5. a b a b
a b b
b a b
4
5
3
2 45 3
45 2
45
=
=
=
6. 6. 6. 6. 6. x y z x y z
x x y z
x x y z
3
2
1
4
1
5 3 4 5
2 4 5
4 5
=
=
=
7. 7. 7. 7. 7. 2 2
2
2
4
5
5
2 45 5
45 2 2
2 45
a b a b
a b b b
b a b
=
=
=
15. 15. 15. 15. 15. x x=1
2
16. 16. 16. 16. 16. m m31
3=
17. 17. 17. 17. 17. 2 2545
4x x=
18. 18. 18. 18. 18. a b a b3 533
2
5
3=
19. 19. 19. 19. 19. 3 37 657
2
6
5x y x y=
20. 20. 20. 20. 20. 2 23 541
4
3
4
5
4ab c a b c=
21. 21. 21. 21. 21. 5 52 3 952
5
3
5
9
5a x y z ax y z=
22. 22. 22. 22. 22. 3 376 857
6
8
5m n m n=
23. 23. 23. 23. 23. 3 33 2 3a b a bm nm n
=
24. 24. 24. 24. 24. a b c a b cm n xr m n
x
r31 3
=
8. 8. 8. 8. 8. 3 32
7
4
5
2
7 27 45 27x y z x y z=
9. 9. 9. 9. 9. a b c ab c
ab bc c
bc abc
1
4
5
4
7
4 5 74
4 4 34
34
=
=
=
10. 10. 10. 10. 10. 8 8
8
8
8
3 83
3 3 23
2 23
mn m n
m n n n
mn n
=
=
=
11. 11. 11. 11. 11. 4 4
4
4
27
3
5
6 2 73 56
2 3 33 56
2 2 3 56
a b c a b c
a b b b c
a b b c
=
=
=
12. 12. 12. 12. 12. 5 52
5
3
5
4
5 2 3 45m n x m n x=
13. 13. 13. 13. 13. a a55
2=
14. 14. 14. 14. 14. x x737
3=
EJERCICIO 219
1. 1. 1. 1. 1. a ba
b2 3
2
3− =
2. 2. 2. 2. 2. 3355x
x− =
3. 3. 3. 3. 3. a b
a ba b
− −= =4
1
2
41
24
1 1
4. 4. 4. 4. 4. 3
3 321
3
21
32 3
x y
x yx y
− −= =
5. 5. 5. 5. 5. m n
m n
− − =1
2 51
2 5
1
6. 6. 6. 6. 6. a b ca c
b2 1
2− =
7. 7. 7. 7. 7. 4
423
52
3
5
x yx
y
−=
8. 8. 8. 8. 8. 55
1
3
3
4 11
3
3
4
a b c
a b c
− − − =
9. 9. 9. 9. 9. 1
2 22
2
x
x− =
10. 10. 10. 10. 10. 3
31 55
x yxy− − =
11. 11. 11. 11. 11. 2 2 22 3
4 1
4
2 3
2
3
a b
a c
a c
a b
a c
b
− −
− − = =
12. 12. 12. 12. 12. x y z
a b c
a b c
xy z
− − −
− − − =1 2 3
2 5 8
2 5 8
2 3
13. 13. 13. 13. 13. 3
8
3
8
3
8
41
2
3 4
31
2 4
4
7
2m n
m n
m n n
m
n
m
− −
− −
−
= =
14. 14. 14. 14. 14. 4
7
4
7
4
7
1
2
4 22
3
1
2 42
3
2
9
2
2
3
2
a
a b c
a a c
b
a c
b
− −=
=
15. 15. 15. 15. 15. 2 2
2
5 7
2 3 4 2 3 5 4 7
2 8 3
m n
a m n a m m n n
a m n
− −
− −=
=
16. 16. 16. 16. 16. a x
a x y
y
a a x x
y
a x
− −
− = =
1
2 2
3 2 13
1
2 2 27
2 433 3
17. 17. 17. 17. 17. c
b x
b c
x
2
1
2 3
1
2 2
3
44−
=
18. 18. 18. 18. 18. 1
333
425 4
34
25
4
a b c
a bc− −
=
19. 19. 19. 19. 19. 3
3
3
2
31
2
3
4
2 31
2
3
4
53
2
7
4
a mn
a m n
a a mm nn
a m n
− − −=
=
20. 20. 20. 20. 20. x y
x yz
z
x x yy
z
x y
− −
−= =
23
14
212
12
223
14
12
83
54
EJERCICIO 220
1. 1. 1. 1. 1. a
b a b
2
2 2 2
1= −
2. 2. 2. 2. 2. 3 31
2 2
x
y xy
−
=
3. 3. 3. 3. 3. 4 42
3 1 2 3
mn
x m n x= − −
4. 4. 4. 4. 4. a b
ab
− −
=1 3
33
1
3
5. 5. 5. 5. 5. 3
7
3
7
2
3
2
3
c
c
−
=
6. 6. 6. 6. 6. 2
5
2
5
1
4
2 1
4 2
x
yx y
=−
7. 7. 7. 7. 7. m
m
−
=3
35
1
5
8. 8. 8. 8. 8. 3 32 3
4 2 4 3
a b
c a c b
−
−=
17. 17. 17. 17. 17. 3
7
3
7
5
53
4
5 53
4a
x y
a x y
− −=
18. 18. 18. 18. 18. 1
41
3
41
3
a b
a b− −
=
19. 19. 19. 19. 19. 2
3
2
3
2
3
2
31
4
2 31
4 51
4m
m n
m m n m n
− −= =
20. 20. 20. 20. 20. a
x y
a x y3
21
2
3 21
2
−
−=
21. 21. 21. 21. 21. 3
3 32 3
12 3 1 3 3 1a b
a xa ab x a b x−
− −= =
22. 22. 22. 22. 22. 3
3 32 3
1 2 32 2 3 3 2 4 6xy z
x y zxxy y z z x y z− − − = =
23. 23. 23. 23. 23. m n x
m n xm m n n x x
m n x
− − −
− − −− − −
=
=
2 11
2
4 5 22 4 1 5
1
2 2
2 43
2
9. 9. 9. 9. 9. x y
x y
−
−
=1
2 21
2 2
1
10. 10. 10. 10. 10. a b c
a c b
− −
−
=2
3 3 22
3 2 3
1
11. 11. 11. 11. 11. 3 3 31
1
2
33
1
2
7
2
x y
yxy y xy
− −
= =
12. 12. 12. 12. 12. 2
9
2
9
21
2
21
2
m n
m n
−
−=
13. 13. 13. 13. 13. 2
2 1
aa= −
14. 14. 14. 14. 14. 3
322a
bab= −
15. 15. 15. 15. 15. x y
yx yy x y
2
22 2 2 3
− = =
16. 16. 16. 16. 16. 4
41
2 2
1
2 2
x y
x y−
−=
EJERCICIO 221
1. 1. 1. 1. 1. x
xx
−= =
1
21
2
1 1
2. 2. 2. 2. 2. 11
2
2
3
1
2
23 23
a b
a
b
a
b−= =
3. 3. 3. 3. 3. 55 5
5
7
1
357
1
3
57
3a b
a
b
a
b
−= =
4. 4. 4. 4. 4. 3 3 3 31
1
2
1
2
1
2
x
x x x xx
−
− −= = =
5. 5. 5. 5. 5. 22 2
2
5
3
434
2
5
34
25m n
n
m
n
m
−= =
6. 6. 6. 6. 6. 1
4
1
41
33
xx
=
7. 7. 7. 7. 7. x
y
x y x y
3
5
2
3
352
3 35 23
−= =
8. 8. 8. 8. 8. 3 3
3 3
3
2
1
4
3
2 4
22 4 4
a
x a x
a a x a a x
−
=
= =
9. 9. 9. 9. 9. a
aa a
a a a a a a
−
=
= = =
1
2
2 1
2 2
5
22 22 2
4
1
41
4
1
4
1
4
10. 10. 10. 10. 10. x y zy
x z
y
x z
− −= =
2
3
3
54
735
2
34
7
35
23 47
11. 11. 11. 11. 11. x m n
x m n x m n
− − −= =2 3
2
5
2 32
52 3 25
1 1
12. 12. 12. 12. 12. aa a a a
−
= = =
12
3
32
3
1 1 1
13. 13. 13. 13. 13. x x
x x x x x
23
2 43
43
33 3
1 1 1
=
= = =
−−
14. 14. 14. 14. 14. ab
a
b
b
ab ba a
b ba a
= =
= =
− −
−
32
32
32
32
32
2
2
15. 15. 15. 15. 15. x xx x
− −
= = =12
13 1
616
6
1 1
16. 16. 16. 16. 16. a a
a
− −= =3
3
23
2
1
17. 17. 17. 17. 17. 2 2
23 43
2
4
23
2 2
x y x y
x y
− − − −= =
18. 18. 18. 18. 18. a
x
a
x
a x
2
3
5
2
3
5
2
2
35
2
− −= =
19. 19. 19. 19. 19. 3
5
3
5
3
5
23
34
2
3
3
4
2
33
4m
n
m
n
m n− −
= =
20. 20. 20. 20. 20. a bb
a a b
− −−
= =3
5 34
3
4
3
5
3
53
4
1
21. 21. 21. 21. 21. x x x x x2 1 21
2
3
2− −= =
22. 22. 22. 22. 22. 1 17 6 7
2
6
2
7
2 3
a b a b
a b− − − −
= =
23. 23. 23. 23. 23. 3 3 3
2
3
4
4
2
2
3
2
2
3
x
y
y
x
y
x
−
−= =
24. 24. 24. 24. 24. m n m n
m n
− − − −= =1 33
1
2
3
31
2
1
25. 25. 25. 25. 25. ( )
( ) ( )
16 16
16 16 16 16 64
32 3
2
=
= = =
26. 26. 26. 26. 26. 8 8 64 42
3 23 3= = =
27. 27. 27. 27. 27. 81 81 81
81 81 9 3 27
3
4
1
2
1
4
4
=
= = ⋅ =
28. 28. 28. 28. 28. 91
91
9
1
9 9 9
1
81 9
1
243
5
25
2
5
2 2
−=
=
= = =
29. 29. 29. 29. 29. ( ) ( )− = −
= − −= − ⋅− =
27 27
27 273 3 9
23
23
3 3
30. 30. 30. 30. 30. ( ) ( )− = −
= − −= − ⋅− =
32 32
32 322 2 4
25
25
5 5
31. 31. 31. 31. 31. 491
49
1
49 49
1
49 7
1
343
3
2
3 2
−= =
=⋅
=
32. 32. 32. 32. 32. 49
49
4 4 49 9 9
16 481 916 281 3
32243
52 5
5
2 2
2 2
=
=
=
=⋅⋅
=
33. 33. 33. 33. 33. 827
27
8278
32
1
13
13
13
3
312
=
= = =
−
34. 34. 34. 34. 34. 2536
36
253625
65
1
12
12
12
15
=
= = =
−
35. 35. 35. 35. 35. 32243
243
3224332
32
1
15
15
15
5
512
=
= = =
−
36. 36. 36. 36. 36.
( )
−
=
−
=−
=− −
=⋅
− ⋅−= =
−2764
64
27
64
27
64 6427 27
4 43 3
169
1
23
23
23
23
23
3 3
3 3
79
37. 37. 37. 37. 37. 1
99 7293
3− = =
38. 38. 38. 38. 38. 1681
81
1681 8116 16
81 316 2
24332
7
54
54
54
44 4
44 4
1932
=
=
=⋅⋅
= =
−
39. 39. 39. 39. 39. −
=
−
=− −
=⋅
− ⋅−= =
−32243
243
32
243 24332 32
3 32 2
94
2
25
25
25
5 5
5 5
14
40. 40. 40. 40. 40. ( )2259
9
259 9
25 259 325 5
27125
79
32
32
32
32
2
2
−−
=
=
=
=⋅⋅
=
41. 41. 41. 41. 41. ( )58116
16
81
1681
23
116
14
14
14
14
4
4
−−
=
= = =
42. 42. 42. 42. 42. 8 4 8 8 4 4
2 2 4 2 32
2
3
3
2 3 3 2⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ =
43. 43. 43. 43. 43. 9 279
27
9 9 9
381
5
2
1
35
3
2 2
⋅ =
= =
−
44. 44. 44. 44. 44. 243 128
128
243
128 128 128
3
2 2 2
3
8
32
1
53
7
37
5
7 7 7
23
−⋅
= =
=⋅ ⋅
= =
EJERCICIO 222
1. 1. 1. 1. 1. a a b x para a b
x
− −
− −
+ + = =
= + ⋅ +
= + +
= + + =+ +
= =
2 11
2 0
2 11
2 0
2
79
3 4
3 3 4
1
3
1 4
31
1
9
2
31
1 6 9
9
16
91
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( ) ( )
3 4 1
3 4 4 1 1 134
16 132
173 34
2372
18
12 2 3 0
13
12 2 3
13
12
x x y x y para x y− −
−
+ + = =
= + +
= + + = + =+
= =
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )
2 4 16
2 4 16416
4 16
24
16164
4
16 1612
116
2
16 16
12
116
14
8 1 416
1316
34
1
12
34
34
1
12
34
3 4 24
12 4
a bab
a b para a b−−
−−
−−
−−
+ + = =
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + +⋅
= + + = + + =+ +
=
4. 4. 4. 4. 4.
( )
xy
x y x yx
ypara x y
34
2
12
13 0 0
43
34
2
12
13 0 0
43
24 4 23 33
3
18
16 8
168
16 8 16 816
8
16 16 81
16 81
16
8 8
4 2 641
4 21
168 8
51218
1 1
512
−− −
−− −
+ − + = =
= + ⋅ − ⋅ +
= ⋅ + − +
= ⋅ ⋅ +⋅
− + = + − +
=
5. 5. 5. 5. 5.
( )
xx
yy
x x y para x y0
1
3
00
34 2
1
3 34 2
3
24 4
2
127
2 81 3
181
31
2 1 81 3
8113
281 81
3
831
279 39
831
273 86
127
86
−
−−
−
−−
+ + + = =
= + + + ⋅
= + + +
= + +⋅
= + + = + =
6. 6. 6. 6. 6.
( )
a x a xa x
x para a x12
13
12
13
14 1
0
12
13
12
13
14 1
33
4
18
13 16 8
16 8 16 81
16 83 1
16 81
16 816 8 3
81
4 216 3 27
18
27
+ + + = =
= ⋅ + ⋅ +⋅
+
= + + ⋅ +
= +⋅
+ + = + =
− −
− −
− −
− −
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
ab
a b ca
b cb c
para b c a
−
−− −
−
−
−
−− −
−
−
+ − + +
= = =
= + ⋅ −⋅
+ +
= + ⋅ − + +
= + − + +
= + − =+ −
= =
2
11 2 3
2
12 1
14 0
2
11 2 3
2
12 1
14
2 3 24
1318
3
16 2 3
316
3 3 16 23
16 216 1
163
33
2562
23 16
16 1
169
321
182 1
169
351
1832 630 1
1866118
36
8. 8. 8. 8. 8.
( )
( )
xy
x yxy
y para x y0
0
23
15
2
10
23
15
2
1
3 23 52
2 56
38 32
13 1
8 32832
1
13
2 32328
1
13
2 212
113
312
2 18 36
236
3
+ − + + = =
= + − + +
= + − + +
= + − + + = + + =+ +
= =
−
−
−
−
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( ) ( ) ( )
( )
ab
a b a ba
para a b−
− −
−
− −
− + − − = =
= − + − ⋅ −
= − + − −
= − + − −
= + − − = + =
13
45
0 325
23
13
45
325
23
35 45 5 25 3 23
4 2 2
13
1 127 243
271
2431 243 27 243
1
27127
3 243 3 3 3
13
3 243 3 3 3
13
162 27 913
126 126
EJERCICIO 223
1. 1. 1. 1. 1. x x x x2 3 2 3 1− + − −= =b g
2. 2. 2. 2. 2. a a a a− − − − −= =2 3 2 3 5
3. 3. 3. 3. 3. x x x x3 3 3 3 0 1− −= = =
4. 4. 4. 4. 4. a a a a1
2
1
21
3
2= =+
5. 5. 5. 5. 5. x x x x1
2
1
4
1
2
1
4
3
4= =+
6. 6. 6. 6. 6. a a a a a3
4
1
4
3
4
1
4
4
4= = =+
13. 13. 13. 13. 13. x y x y x y x y x− − − − − − − −= = =31
2 21
2 3 21
2
1
2 5 0 5
14. 14. 14. 14. 14. 3 2 3 2 6 621
2 21
2 2 21
2
1
2 0 0a b a b a b a b− − − −= ⋅ = =
15. 15. 15. 15. 15. a b a b a b ab3 1 2 2 3 2 1 2 3− − − − − − −= =
16. 16. 16. 16. 16. a b a b a b a b b− − + +
= = =1
2
3
4
1
2
1
4
1
2
1
2
3
4
1
4 04
4
17. 17. 17. 17. 17. m n m n m n m n m n− − − − + − −= = =
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
3
3
3
3 1
18. 18. 18. 18. 18. 2 2 2 213
4 2 1 13
42
05
4
5
4a b ab a b a b b− − − + − − −= = =
7. 7. 7. 7. 7. 3 3 32
5
3
5
2
5
3
5
1
5m m m m− − −
= =
8. 8. 8. 8. 8. 2 2 23
4
1
2
3
4
1
2
1
4a a a a− −
= =
9. 9. 9. 9. 9. x x x x− − − − −= =2
1
32
1
3
7
3
10. 10. 10. 10. 10. 3 3 322
32
2
3
4
3n n n n− −
= =
11. 11. 11. 11. 11. 4 4 421
22
1
2
5
2a a a a− − − − −= =
12. 12. 12. 12. 12. a b ab
a b a b
− −
− + − += = =
1 2 2
1 1 2 2 0 0 1
EJERCICIO 224
1. 1. 1. 1. 1. a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a
− −
− −
− − −
− − −
− −
− − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ +
+ + +
4 2
4 2
8 6 4
6 4 2
4 2
8 6 2
3 2
1
3 2
3 2
3 2
2 2
4. 4. 4. 4. 4. 2 2
1
2 2
2 2
2 2
2 3 2
3
4
1
2
1
4
1
4
1
4
3
4
1
2
3
4
1
2
1
4
1
2
1
4
3
4
1
2
1
4
a a a
a a
a a a
a a a
a a
a a a a
− +
+ −
− +
− +
− + −
+ − + −
−
7. 7. 7. 7. 7. a b a b
a b a b a
b a b a b
a b a b a
a b a a b
b a b a b
2 1
2 2 3 1 4
3 1 2 2 1
1 2 2 1 3
2 1 3 4
3 2 1 4
−
− − − − −
− − − − −
− − − − −
− − − −
− − − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ +
+ +
2. 2. 2. 2. 2. x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
2 2
2 2
4 2
2 2
2 4
4 2 2 4
1
2
1
2 2 2
1
2 3
− +
+ −
− +
− +
− + −
+ − + −
−
−
−
− −
− −
5. 5. 5. 5. 5. a a
a a
a a
a a
a a a
a a a
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3 2
2
3
4
3 2
2 2
3 4
3 6 6
1 2 2
4 8 8
3 5 10 8
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
− + −
−
− −
−
− −
− − −
− −
3. 3. 3. 3. 3. x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
+ +
− +
+ +
− − −
+ +
− +
−
2
2
2
2 4 2
2 1
2 1
2
3
1
3
1
3
1
3
4
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
4
3
2
3
6. 6. 6. 6. 6. x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
3
4
1
4
1
4
1
2
1
2
5
4
3
4
1
4
3
4
1
4
1
4
1
4
1
4
3
4
5
4
1
4
1
4
3
4
2
2
2
2 4 2
2
4 4
+ −
− +
+ −
− − +
+ −
− + −
−
−
−
− −
− −
8.8.8.8.8. x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ + +
+ +
1 1 3 3 5 5
3 2 5 4 7 6
4 3 6 5 8 7
6 5 8 7 10 9
8 7 10 9 12 11
4 3 8 7 12 11
9. 9. 9. 9. 9. a b a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a
a b a b a b a
3
4 31
4 21
4 1
1
2 11
2
5
4 43
4 31
4 2
3
4 31
4 21
4 1
1
4 21
4 13
4
5
4 43
4 31
4 13
4
2 3
2 2 2
3 3 3
5 3
− − − −
− −
− − −
− − − −
− − − −
− − − − −
+ −
− +
+ −
− − +
+ −
− + −
10. 10. 10. 10. 10. a a b b
a a b b
a a b a b
a b a b a b
a b a b b
a a b a b b
− − − −
− − − −
− − − − −
− − − − − −
− − − − −
− − − − − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ + +
+ + +
11
2
1
2 1
11
2
1
2 1
23
2
1
2 1 1
3
2
1
2 1 11
2
3
2
1 11
2
3
2 2
23
2
1
2 1 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
11. 11. 11. 11. 11. 4
4
4
4 3
23
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
5
2 21
2
3
2
3
2
21
2
3
2
3
2
1
2 2
5
2 21
2
1
2 2
x x y xy x y
x y
x x y x y xy
x y x y xy x y
x x y x y
− + −
+
− + −
− + −
+ −
12. 12. 12. 12. 12. x a x a x a
x a x a x
x a x a x ax
a x ax a x a x
a x a x ax a x
x ax a x a x
− + −
+ +
− + −
+ − + −
+ − + −
− − −
2 3
3 2
2 3
3 6 3 9
2 4 2 6
7 3 9
1
3
2
3
2
3
1
3
4
3
2
3
2
3
1
3
7
3
1
3 22
3
5
3
4
3
2
3
5
3
4
3
4
3
5
3
2
3
1
3 22
3
5
3
4
3
4
3
7
3
4
3
4
3
5
3
2
3
13. 13. 13. 13. 13. 5 3 4 2
3 2 5
15 9 12 6
10 6 8 4
25 15 20 10
15 19 17 24 10
2 1
1
3 2
2 1
1 2
3 2 1 2
a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a a a
− + −
+ −
− + −
− + −
− + − +
+ − + − +
−
−
−
− −
− −
14. 14. 14. 14. 14. 2 3 4
2
2 3 4
4 6 2 8
2 3 4
2 7 9 7 4
1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
− + +
− +
− + +
− + − −
+ − + +
− + − − +
− −
− − −
− − −
− − − −
− − − −
− − − − −
15. 15. 15. 15. 15. m m n n m n
m n m n
m mn m n n
mn m n n m n
m n n m n m n
m m n n m n
− + −
+ +
− + −
+ − + −
+ − + −
+ − −
−
−
−
− −
−
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2 2
1
2
3
2
1
2 2 15
2
3
2
1
2
3
2 15
2
16. 16. 16. 16. 16. a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a
3
5
1
5
1
5
2
5
2
5
3
5
1
5
1
5
3
5
1
5
1
5
1
5
3
5
1
5
3
5
2
2
2 4 2
2
2
6
+ −
− + −
− − +
+ − +
− − +
− + +
−
−
−
− −
−
17. 17. 17. 17. 17. m m m
m m
m m m
m m
m m
m m m
+ +
− +
+ +
− − −
+ + +
+ + +
− −
−
−
3 2
2 2 2
2 6 4
2 6 4
2 6 4
2 4 2 4
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
18. 18. 18. 18. 18. x y x y x y
x y x x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y
x y x y
− −
− − − −
− − −
− − −
− −
− −
+ −
− −
+ −
− − +
− − +
− +
3
4
3
2
1
4
1
4
1
2
5
4
1
2
3
4
1
4
1
2
2 23
2
3
2 1
3
2
3
2 11
2
1
2
11
2
1
2
2 2 1
3
3
3
3 9 3
3 1
11 1
19. 19. 19. 19. 19. x y x y x y
x y x y x y
x y xy
xy x y
xy x y x y
x y x y x y
2 1 3 3 4 5
3 3 2 1 1
1 2 2
2 2 4
2 2 4 3 6
1 2 2 4 3 6
5 2
3
5 2
1 5 2
3 15 6
4 13 6
− − −
− − − −
− −
− −
− − −
− − −
+ +
− +
+ +
− − −
+ + +
+ + +
20. 20. 20. 20. 20. a b a b a b
a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
− − −
− −
− −
− − −
− − −
− − −
+ −
+ +
+ −
+ + −
+ −
+ + −
2
3
1
2
4
3 23
2
2
31
2
2
31
2
2
31
2
4
3
2
3
1
2
4
3 23
2
4
3 23
2
8
3 2
2
31
2 23
2
8
3 2
2
3 1
3 6 3
2
2
3 7
EJERCICIO 225
1. 1. 1. 1. 1. a a a a a2 2 2 2 2 2 4÷ = = =− − − +b g
2. 2. 2. 2. 2. x x x x− − − −÷ = =3 2 3 2 5
3. 3. 3. 3. 3. m m m m m12
14
12
14
12
14
34÷ = = =
− − −
+
4. 4. 4. 4. 4. a a a a2 5 2 5 3÷ = =− −
5. 5. 5. 5. 5. x x x x x− − − − − − +÷ = = =3 7 3 7 3 7 4b g
6. 6. 6. 6. 6. a a a a1
2
1
21
1
2÷ = =− −
7. 7. 7. 7. 7. x x x x x− − − − −
− + −
÷ = = =23
13
23
13
23
13
13
8. 8. 8. 8. 8. a a a a a25
15
25
15
25
15
35÷ = = =
− − −
+
9. 9. 9. 9. 9. m m m m− − − −
÷ = =3
4
1
2
3
4
1
2
5
4
10. 10. 10. 10. 10. a a a a1
3
1
31
2
3÷ = =− −
11. 11. 11. 11. 11. 4 242
2 225
15
25
15
25
15
35x x x x x÷ = = =
− − −
+
12. 12. 12. 12. 12. a a a a a− − − − −
− + −
÷ = = =374
374 3
74
54
13. 13. 13. 13. 13. x y x y x y xy− − − − − + − +÷ = =2 1 3 2 2 3 1 2
14. 14. 14. 14. 14. a b ab a b a b1
2
1
3
1
21
1
31
1
2
2
3÷ = =− − − −
15. 15. 15. 15. 15. a b a b a b a b2 3 1 2 1 3 1 3 4− − + − − −÷ = =
16. 16. 16. 16. 16. x y x y x y x y y− − − − − + − +
÷ = = =1
2
2
3
1
2 11
2
1
2
2
31
01
3
1
3
17. 17. 17. 17. 17. m n m n m n m n3
4
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
3
4
5
4
3
2− − + − − −
÷ = =
18. 18. 18. 18. 18. 8 48
422
2
5
1
5 2 12
5
1
5 33
5x y xy x y x y− − − − + −÷ = =
19. 19. 19. 19. 19. a b a b a b a b1
3
1
4 31
3
1
4 1 37
12 4÷ = =− − + +
20. 20. 20. 20. 20. x y x y x y x y− − − − − − + − −÷ = =4 5 2 1 4 2 5 1 6 4
EJERCICIO 226
1. 1. 1. 1. 1. x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
− − − − −
− − − − −
− − −
− − −
− −
− −
+ + + − +
− + − + +
− +
− + −
− +
− + −
8 6 2 4 2
8 6 4 4 2
6 4 2
6 4 2
4 2
4 2
2 2 1
3 2
3
3 3 3
2 2 2
2 2 2
2. 2. 2. 2. 2. a a a a a
a a a a a
a a
a a a
a a
a a
4
3
2
3
2
3
1
3
4
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2 1 2
2 2
2 3
2 4 2
2 1
2 1
− + + +
− − − − +
− −
+ + +
+ +
− − −
−
3. 3. 3. 3. 3. m m m m m m
m m m m
m m
m m
m m
m m
4 2 2 4 2 2
4 2 2 2
2 2
2 2
2 4
2 4
2 3 1
1 2
2 3 3
2 2 2
1
1
+ − + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
− − −
−
−
−
− −
− −
5. 5. 5. 5. 5. 3 5 10 8 3 4
3 1 4 2 2
6 4 10
6 2 8
6 2 8
6 2 8
2
3
4
3 22
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
4
3 2
2
3
4
3 2
m m m m m
m m m m
m m
m m
m m m
m m m
− + − + −
− − + − +
− + +
+ + −
+ −
− − +
− − − −
− −
− −
− −
− − −
− − −
7. 7. 7. 7. 7. 4 7 9 7 2 4 3 2
4 3 2 2
8 2 7 7
8 2 6 4
4 3 2
4 3 2
5 4 3 2 1 2 1
5 4 3 2 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
− − − − − − −
− − − − − − −
− − − −
− − − −
− − −
− − −
− − + − + + − +
− − + − − +
− + + −
+ − +
+ − +
− − + −
8. 8. 8. 8. 8. a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
a ba b a b a b
a b a b a ba b a b a b
− − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − −
− −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
+ + − +
− + − + +
− + −
− +
− + −
12 11 8 7 4 3 7 6 5 4 3 2
12 11 10 9 8 7 5 5 3 3 1 1
10 9
10 9 8 7 6 5
8 7 6 5 4 3
8 7 6 5 4 3
4. 4. 4. 4. 4. 2 3 2 1
2 2 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
3
4
1
2
1
4
1
4
1
4
3
4
1
2
3
4
1
2
1
4
3
4
1
2
1
4
3
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
+ − + − + −
− − + − +
− + +
+ + −
+ −
− − +
−
6. 6. 6. 6. 6. a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
5
4
1
4
1
4
3
4
1
2
1
2
5
4
3
4
1
4
3
4
1
4
1
4
3
4
1
4
1
4
3
4
1
4
1
4
1
4
1
4
3
4
1
4
1
4
3
4
4 4 2
2 2
2 5 4
2 4 2
2
2
− + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
− − −
−
−
−
− −
− −
9. 9. 9. 9. 9. m n m n n m m n m n
m n m m n n m m n
m
m m n m n
m n m n n
m n m n n
− − − − − − − − −
− − − − −
−
− − − − −
− − − − −
− − − − −
+ + − +
− + − + +
− + −
− +
− + −
4 2 1 3 4 3 1 2 2
4 3 2 1 2 1
3
3 2 1 1 2
2 1 1 2 3
2 1 1 2 3
10. 10. 10. 10. 10. 15 19 17 24 10 3 2 5
15 10 25 5 3 4 2
9 6 17
9 6 15
12 2 24
12 8 20
6 4 10
6 4 10
3 2 1 2 1
3 2 2 1
2
2
1
1
1 2
1 2
a a a a a a a
a a a a a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
+ − + − + + −
− − + − + −
− + +
+ + −
+ −
− − +
− − +
+ + −
− − −
−
−
−
− −
− −
11. 11. 11. 11. 11. a b a b a b a a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a
a b a b a
5
4 43
4 31
4 13
4
1
2 11
2
5
4 43
4 31
4 23
4 31
4 21
4 1
3
4 31
4 21
4 1
3
4 31
4 21
4 1
1
4 21
4 13
4
1
4 21
4 13
4
5 3 2 3
2 3
3 5
2 3
2 3
2 3
− − − − − − −
− − − − − − −
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
− + − − +
− + − + −
− +
− + −
− + −
+ − +
12. 12. 12. 12. 12. x x y x y y x x y y
x x y x y x x y y
x y
x y x y x y
x y x y y
x y x y y
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − −
− −
− − − − − −
− − − − −
− − − − −
+ + + − +
− + − + +
− + −
− +
− + −
23
2
1
2 1 1 2 11
2
1
2 1
23
2
1
2 1 1 11
2
1
2 1
3
2
1
2
3
2
1
2 1 11
2
3
2
1 11
2
3
2 2
1 11
2
3
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
13. 13. 13. 13. 13. m m m m m m
m m m m m
m m
m m m
m m m
m m m
− + + −
− − + − −
− −
+ −
− − +
+ + −
− −
−
−
− −
− −
6 2
2 2
2 5
2 4 2
2
2
1
5
3
5
3
5
1
5
1
5
3
5
1
5
2
5
2
5
3
5
1
5
3
5
1
5
1
5
1
5
1
5
3
5
1
5
1
5
3
5
15. 15. 15. 15. 15. 4 3
4 4 4
5
2 21
2
1
2 21
2
1
2
5
2 21
2 23
2
1
2
1
2
3
2
21
2
21
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2 2
3
2
1
2 2
x x y x y x y
x x y x x y xy x y
x y
x y x y
x y
x y xy
xy x y
xy x y
+ − +
− − − − −
−
+ −
−
+ −
− −
+ +
16. 16. 16. 16. 16. x ax a x a x x a x a x
x a x a x x a x a x a
a x a x ax
a x a x ax
a x ax a x
a x ax a x
ax a x a x
ax a x
7
3
4
3
4
3
5
3
2
3
4
3
1
3
2
3
2
3
7
3
1
3 22
3
5
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3 22
3
5
3
4
3
1
3 22
3
5
3
4
3
2
3
5
3
4
3
4
3
2
3
5
3
4
3
4
3
4
3
4
3
5
3
2
3
4
3
4
3
7 3 9 2 3
2 3 2 3
2 3 7
2 4 6
3
2 3
3 6 9
3 6
− − − + +
− − − − + −
− − −
+ + +
− −
− − −
− − −
+ + +95
3
2
3a x
14. 14. 14. 14. 14. 2 4 2 4 3 2
2 6 4 2 2 2
2 4 2
2 6 4
2 6 4
2 6 4
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
x x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
+ + + + +
− − − − +
− − +
+ + +
+ +
− − −
−
− −
−
−
17. 17. 17. 17. 17. a a b b a b a b a b
a ab a b a a b b a b
ab b
ab a b b
a b
a b b a b
b a b a b
b a b a b
3
2
1
2
3
2 15
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
2
3
2
1
2 2
3
2
1
2 2 15
2
3
2
1
2 2 15
2
+ − − + +
− − − − + −
− −
+ + +
− − −
− − −
+ + +
− −
−
−
− −
− −
18. 18. 18. 18. 18. m n m n m n m n m n
m n m n m n m n m m n
m n m n
m n m n m n
m n m n
m n m n
− − − −
− − − − − − −
− −
− − −
− −
− −
− + + −
− − + − −
− −
+ + −
− − +
+ + −
2 2 134
32
14
14
12
2 232
32 1
54
12
34
14
12
32
32 1
32
32 1
12
12
112
12
112
12
11 1 3
3 3
3 10
3 9 3
3 1
3 1
19. 19. 19. 19. 19. x y x y x y x y x y x y
x y xy x y x y x y
xy x y
xy x y
xy x y x y
xy x y x y
− − − − − − −
− − − − −
− −
− −
− − −
− − −
+ + + − +
− + − + +
− +
− + −
− +
− + −
1 2 2 4 3 6 3 3 2 1 1
1 2 2 2 1 3 3 4 5
2 2 4
2 2 4
2 2 4 3 6
2 2 4 3 6
4 13 6 3
1 3 5 2
5 3 13
5 5 15
2 2 6
2 2 6
20. 20. 20. 20. 20. 3 7 3 1
3 2
6
6 2 2
3
3
2
3
1
2 23
2
8
3 22
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
4
3
2
3
1
2
4
3 23
2
2
3
1
2
4
3 23
2
2
3
1
2
4
3 23
2
4
3 23
2
8
3 2
4
3 23
2
8
3 2
+ + − + +
− − − + −
− +
− − −
− − −
+ + +
− − − − −
− − − − −
− − −
− − −
− − −
− − −
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
EJERCICIO 227
1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a− − ⋅ −= =1 2 1 2 2
2. 2. 2. 2. 2. ( )a b a b a b− − − ⋅ − ⋅ − −= =2 1 3 2 3 1 3 6 3
3. 3. 3. 3. 3. a a a a32
2 32
262 3
= = =⋅
4. 4. 4. 4. 4. x x x34
3 34
394
= =⋅
5. 5. 5. 5. 5. m m m m34
2 34
264
32
= = =⋅
6. 6. 6. 6. 6. a a a a− − ⋅ − −
= = =23
3 23
363 2
7. 7. 7. 7. 7. x y x y x y x y− − ⋅ ⋅ − −
= = =414
24 2
14
2 824 8
12
8. 8. 8. 8. 8. 2 2 4 412
13
22
12
213
222
23
23a b a b a b ab
= = =⋅ ⋅
9. 9. 9. 9. 9. ( )a b a b a b− − − ⋅ − ⋅ − −= =3 1 4 3 4 1 4 12 4
10. 10. 10. 10. 10. x y x y x y x y23
12
6 23
612
6123
62 4 3− ⋅ − ⋅ − −
= = =
11. 11. 11. 11. 11. 3 3 243 24325 3
55
25
5 3 5105 15 2 15a b a b a b a b− ⋅ − ⋅ − −
= = =
12. 12. 12. 12. 12. 2 2 8 812
13
33
12
313
332
33
32 1m n m n m n m n
− − − ⋅ − ⋅ − − − −
= = =
EJERCICIO 228
1. 1. 1. 1. 1. a b a a b b
a a b b
12
12
2 12
2 12
12
12
2
12
12
2
2
+
=
+
+
= + +
2. 2. 2. 2. 2. x y x x y y
x x y y
34
13
2 34
2 34
13
13
2
32
34
13
23
2
2
−
=
−
+
= − +
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )m m m m m m
m m m m m m
− − −
− − −
+
=
+
+
= + + = + +
12
2 12
2 12 2
1 112 2 1
12 2
2 2 2 2
4 4 4 4
4. 4. 4. 4. 4. ( )( ) ( )( ) ( )
a b a b
a b a b a b a ba b a b a ba b ab a b
− −
− − − −
− − + − −
− −
−
= − +
= − +
= − +
2 3 3 2 2
2 3 2 2 3 3 2 3 2 2
4 6 2 3 3 2 6 4
4 6 6 4
2
22
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )a b a a b b
a a b b
− − − − − −
− − − −
−
= −
+
= − +
134
21 2 1
34
34
2
2 134
32
3 2 3 3
6 9
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )a b a a b b
a a b b
− − −
− −
+ = +
+
= + +
2 2 2 2 212
12
2
4 212
2
2
7. 7. 7. 7. 7. x y x x y y
x x y y
3412
2 34
2 34
12
12
2
32
34
12 1
2
2
−
=
−
+
= − +
− − −
− −
8. 8. 8. 8. 8. m n m n
m n m n m n m n
m n m n mn
m n m n mn
− −
− − − −
− − + − −
− − − −
−
=
−
+
= − +
= − +
214
12 1
2
214
22
14
12 1
12 1
2
412
212
14
1 2
412
32
34 2
2
2
2
9. 9. 9. 9. 9. a b
a a b a b b
a a b a b b
13
13
3
13
3 13
2 13
13
13
2 13
3
23
13
13
23
3 3
3 3
+
=
+
+
+
= + + +
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( ) ( )
x y
x x y x y y
x x y x y y
23 13
23
3 23
21
23 1 2 1 3
243 1
23 2 3
3
3 3 3 3 3
9 27 27
−
=
−
+
−
= − + −
−
− − −
− − −
11. 11. 11. 11. 11. m n m m n m n n m m n m n n23
32
3 23
3 23
2 32
23
32
2 32
32
43
32
23 3
924 3 4 3 4 4 12 48 64+
=
+
+
+
= + + +− − − − − − −
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 8 36 54 27412
34 3 4 2
12 4
12
2 12
312 8
12 4 1
32a b a a b a b b a a b a b b− − − − − − − − − − − − − −
−
= −
+
−
= − + −
13. 13. 13. 13. 13. ( )x y x x y x y y x xy x y y− =
−
+
−
= − + −33 1
2
3 12
2 13
12
13
2 13
3 32
13
12
233 3 3 3
14. 14. 14. 14. 14. a b a a b a b a b b a a b ab a b b12
23
4 12
4 12
3 23
12
2 23
2 12
23
3 23
42
32
23
43
12 2
834 6 4 4 6 4+
=
+
+
+
+
= + + + +
15. 15. 15. 15. 15. ( ) ( ) ( ) ( )x y x x y x y x y y
x x y x y x y y
− − − − − − − − − −
− − − − − − − −
−
= −
+
−
+
= − + − +
213
42 4 2 3
13 2 2
13
22
13
3 13
4
8 613 4
23 2 1
43
4 6 4
4 6 4
16. 16. 16. 16. 16. x y x x y x y x y x y y
x x y xy x y
13
34
5 13
5 13
4 34
13
3 34
2 13
2 34
3 13
34
4 34
5
53
43
34
32
23
5 10 10 5
5 10 10
+
=
+
+
+
+
+
= + + +
− − − − − −
− − − − −+ +
94
13 3
1545x y y
17. 17. 17. 17. 17. ( )m n m m n m n m n m n n
m m n m n mn m n n
− =
−
+
−
+
−
= − + − + −
3 512
5 12
4 13
12
3 13
2 12
2 13
3 12
13
4 13
5
52 2
13
32
23
12
43
53
5 10 10 5
5 10 10 5
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a m
a a m a m a m a m a m m
a a m a m a m a m a m m
2 6
2 6 2 512 2 4
12
22 3
12
32 2
12
42
12
5 12
6
12 1012 8 6
32 4 2 2
52 3
2
6 2 15 2 20 2 15 2 6 2 2
12 60 160 240 192 64
−
= −
+
−
+
−
+
= − + − + − +
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x x y x y x y x y y
x x y x y x y x y y
− − − − − −
− − − − −
+ = +
+
+
+
+
= + + + + +
3 45 3 5 3 4
14 3 3
14
23 2
14
33
14
4 14
5
15 1214 9
12 6
34 3
54
5 10 10 5
5 10 10 5
20. 20. 20. 20. 20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )a a a a a a a a
a a a a a a a a a
− − − − − − − −
− − − − − − − − −
+ + = + + + + +
= + + + + + = + + + +
2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1
4 2 3 2 1 4 3 2 1
3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2
9 4 6 4 12 6 13 12 4
21. 21. 21. 21. 21. x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
12
14
14
2 12
2 14
2 14
2 12
14
12
14
14
14
12
12
34
14
34
2 2 2 2 2 2 2
4 2 4 4 2
− +
=
+ −
+
+
−
+
+ −
= + + − + − = −
− − − −
−+ + − +
−x x x
12
14
124 4 4
22. 22. 22. 22. 22. ( ) ( ) ( )a a a a a a a a
a a a a a a a a
− − − −
− − − −
+ +
=
+ +
+
+
+
= + + + + + = + + + +
12
12
2 12
22
12
2 12
12
12
12
112
12
12
12 1
3 3 2 3 2 2 3
9 6 2 6 6 11 6
23. 23. 23. 23. 23. ( ) ( ) ( )m m m m m m m m m m m m
m m m m m m m m m m m
+ −
= +
+ −
+
+ −
+
−
= + + + − − = + − − +
2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3
4 9 4 6 12 4 2 12 9
34
12
22
34
2 12
2 34
12
34
12
232
74
32
54 2
74
32
54
24. 24. 24. 24. 24. ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b a b a b
ab a b a b a b
12
13
12
13
2 12
13
22
12
13
2 12
13
12
13
12
13
12
13
23 1
23
12
13
12
1
2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 4
− − − − − − − −
− − − −
− +
=
+ − +
+
− +
+ −
= + + − + − 323
12
13
12
13 1
234 6 4= − + − +
− − − −ab a b a b a b
25. 25. 25. 25. 25. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x x x x x x x x
x x x x
12
14
3 12
3 14
33
12
2 14
12
2 14
2 12
14
2
212
214
12
1
1 1 3 3 1 3 3 1
3 1 3 1 6
+ −
=
+
+ − +
+
− +
+
−
+ −
+ −
+
( )4
32
34
54
12
12
14
34
32
54
34
14
1
1 3 3 3 3 3 3 6 3 5 3 1
−
= + − + − + − + + − = + − + −x x x x x x x x x x x x x
26. 26. 26. 26. 26. ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a a a a a a a a a
a a a a
23
23
3 23
33
23
3 23
2 23
2 23
223
223
23
2 23
23
2 23
2 2 3 2 3 3 2 3 2
3 3 2 6
− +
=
+ − +
+
− +
+ −
+ −
+
+
− +
− − − −
− − ( )
−
= − + − + + + + − −
= − + − + − +
−
− − − −
− − −
2
8 6 3 12 12 3 6 12
6 15 20 15 6
23
2 243
23
23
23
23
43
243
23
23
43 2
a
a a a a a a a a
a a a a a a
27. 27. 27. 27. 27. m m m m m m m m m m m m
m m m m
16
13
12
3 16
3 13
3 12
3 16
2 13
16
2 12
13
2 16
13
2 12
12
2
2 2 3 2 3 3 2
3 2 3
+ +
=
+
+
+
+
+
+
+
16
12
2 13
16
13
12
12
32
23
56
56
76
76
43
32
43
76
56
23
12
3 2 6 2
8 6 3 12 12 3 6 12
6 15 20 15 6
+
+
= + + + + + + + + +
= + + + + + +
m m m m m
m m m m m m m m m m
m m m m m m m
EJERCICIO 229
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )
( )( )
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x xx x
− − − − − −
− − − − − −
− −
− − − −
− − − −
− −
+ + + + + +
− + = +
+ +
− − + +
+ + = + +
− − −
4 3 2 1 2 1
4 2 1 1 3 2
3 2
3 2 2 1
2 1 2 1
2 1
6 13 12 4 3 2
2 3 3 6 9
6 13
6 9 2 6 2 2
4 12 4 4 12 4
4 12 4
2. 2. 2. 2. 2.
( )
m m m m m m
m m m
m
m m m m
m m m m
m m
+ + + + + +
− +
= +
+
− − + +
+ + = + +
− − −
− − −
− −
− − − −
− −
6 11 6 3
2 3 3 6 9
6 11
6 9 2 6
2 6 2 6
2 6
12
12 1
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12 1
12 1
12 1
3. 3. 3. 3. 3.
( )
9 6 25 8 16 3 4
9 6
6 25 6
6
24 8 16 6 2 4 4
24 8 16 24 8 16
43
23
13
23
13
43
23
13
13
23
23
23
23
13
23
13
23
13
23
13
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
− + − + − +
− −
−
− + = − +
+ −
− + − +
− + − = − +
4. 4. 4. 4. 4. a a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a a a a
a a a a a
274
32
54
34
12
234
34
74
32
74
32
74
32
32
54
34
12
12
32
54
32
54
4 2 12 9 2 3
2 2 2
4 2 4 4
4 4
6 12 9 2 4 3 3
6 12 9 6 12
+ − − + + −
− +
+ − = +
− −
− − + + −
−
+ + − = − − +9a
5. 5. 5. 5. 5.
( )
mn m n m n m n m n m n
mn m n
m n m n
m n
m n m n m n m n m n
− − − − − −
− −
− −
−
− − − − −
− + − + − +
− −
−
− + = − +
+ −
− + − +
23
12
13
12
13 1
23
12
13
12
13
23
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13 1
23
12
13
12
13
12
13
4 6 4 2
2 2 2
4 6 4 4
4 4
2 4 2 4
− + − = − +− − − −2 4 2 4
12
13 1
23
12
13 1
23m n m n m n m n
6. 6. 6. 6. 6.
( )
a a a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
45
35
25
15
25
15
45
25
15
15
35
25
35
25
35
25
25
15
25
15
25
15
25
15
8 10 24 9 4 3
2 4 4
8 10 8 16
8 16
6 24 9 2 8 3 3
6 24 9 6 24 9
− + + + − −
− −
−
− + = − +
+ −
− + + − −
−
+ − − = − + +
7. 7. 7. 7. 7.
( )
( )
( )
a a a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
− − − − − − − −
− − −
− − − − − −
− − − − − −
− − −
− + − + − + − +
− =
− + − −
= −
+ − + −
=
− +
352 2
32 1
123 1
12
3 1 2 2
52 2
32 1 2
12
52
52 2
32 1
12
22
232
6 21 44 63 54 27 2 3
3 3
6 21 44 3 2 6
6 12 8 3 2 12
9 36 63
( )
( )
112
12
3 32
232 1
12
112
22
32 1
112
22
32 1
112 2 1
12
54 27 2 8
9 36 63 54 27
3 2 3 12 12
3 2 3 9 36 36
3 2 3 27 54
− + −
= −
− + − + −
−
= − +
−
= − +
−
= −
− − −
− − − −
− − − − −
− − − − −
− − − −
a a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
( )3 273 =
8. 8. 8. 8. 8.
( )
( )
( )
x x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
243
23
23
43 23
23
23
223
2 43
43
23
23
2 43
43
23
23
223
23
23
43 2 3
2
6 15 20 15 6 2
3 3
6 15 20 3 2 6
6 12 8 3 2 12
3 12 15 6 2 8
3
− + − + − + − +
−
=
− + −
− = −
+ − +
− =
− + − + − = −
−
− − − −
− − −
323
43 2
23
2 43
23
23
2 23
23
23
23
23
2 23
43
23
32
12 15 6
3 2 3 12 12
3 2 3 12 12
3 2 3 6
+ − + −
−
= − +
−
= − +
−
= −
=
− − −
− −
− − −
− −
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
9. 9. 9. 9. 9. a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a
32
54
34
14
312
14
32
12
2
54
34
14
12
2 14
54
54
34
12
14
2
34
14
14
3 34
3 5 3 1 1
3 3
3 5 3 3 3
3 3 3 3
3 6 3 1
+ − + − + −
−
=
+ − +
=
− − −
=
− − + −
=
+
( )
( )
( )
3 6 3 1
3 3 6 3
3 1 3 6 3
3 1 3 3
1 1
34
14
12
14
2 34
12
12
14
2 34
12
12
14
212
14
3
a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
+ − +
+
= + +
+
− = − − −
+
− = +
− = −
EJERCICIO 230
1. 1. 1. 1. 1.
( )
a xax xa
x a ax a x
a x ax
ax ax
ax
a xx a ax a x a x
a xa x
a x
2 21 1
2 2 1 1
2 2 1
1 1
1
12 2 1 1 1
12 2
1
23
199
23
13
213
13
23
199
23
19
23
19
22
32
23
22
32
23
−− −
− − −
− −
− −
−
−− − − −
−−
−
− + − + − +
− −
−
− + = − +
+ −
− + − +
− + − = − + −a x2 2
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
( )( )
x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x xx x x
2 1 2 3 4 1 2
2 1 1 2
1 2
2 1 2 2
1 3 4 1 3 4
1 3 4
4 2 4 4 2
2 2 2 4 4
4 2 4
4 4 2 4
2 4 2 42 4
− + + − + − +
− − − = − +
− + +
+ − − +
− + = − +
− + −
− − − − − −
− − −
− −
− − − −
− − − − − −
− − −
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
( )( )
a a a a a a a a
a a a a
a a a aa a
a a a a a a
a a a a
4 2 3 4 2 1 2
4 2 1 1
2 2
2
3 4 2 1 2 2
3 4 3 4
10 4 25 20 4 5 2
2 5 5
10 4 25 10 25
10 25
4 20 4 2 10 2 2
4 20 4 4 20 4
− + + − + − +
− − −
− + + = − +
+ −
+ − + − +
− + − = − +
− − − − −
− −
− −
−
− − − − −
− − − −
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )( )( )
mm m m
mm
mm m
m m m m
m m m
m mm m
42 2 4
22
42 2
2 2 2 2
2 2 4
2 4
2 4
45 28 30 9
25 3
45 5 5 25
5 28 10 3 3
5 25 3 30 9
3 30 93 30 9
− + − + − +
− − − = − +
− + − +
+ − = − +
− +− + −
− − −
− −
− −
− −
− −
5. 5. 5. 5. 5.
425
25
1912
53
259
25
12
53
425
45
12
12
25
14
25
1912
25
14
45
15
35
3
43
53
25
2 2 1 1 2 2 1 1
2 2 1 1
1
1 1 1 1
1 2
x y xy x y x y xy x y
x y xy xy
xy
xy xy x y x y
x y x y
− − − − − −
− − −
−
− − − −
− −
− + − + − +
− −
−
= − +
− +
+ − − +
− +2 1 2 2
1 2 29
43
53
259
43
53
259
= − +
− + −
− −
− −
x y x y
x y x y
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )
a a xa x
axa x
aax a x
a aax ax
a xa x
a xa x
a xa x
aax a x a x
axa x
axa x
4 3 12 2 2 2
21 1
4 21 1
3 12 2
3 12 2
3 12 2
21 1 1
2 2 2 2
92
32
32
3
92
32
3
23
23
23
2
23
22
32
+ + − − + + −
− +
= +
+
− − + −
−
− − + = − − +
−− − − −
− −−
−
−−
−− − − −
− −
+ + − −23
2 2 2axa x
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
( )( )
9 30 55 50 25 3 5 5
9 6 5 5 30 25
30 55
30 25 6 10 5 5
30 50 25 30 50 2530 50 25
4 2 2 4 2 2
4 2 2
2
2 2 2 2
2 4 2 4
2 4
m m m m m m
m m m
m
m m m m
m m m mm m
+ + + + + +
− + = +
+ +
− − + +
+ + = + +
− − −
− − −
− −
− − − −
− −
8. 8. 8. 8. 8. 4
492
72120
75
4925
27
12
75
449
47
12
12
27
2120
27
14
27
14
45
7
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1
1 1 1 1
1 1
1
a b x y abx y xya b x y a b abx y a b xy
a b x y abx y
abx y abx y
abx y
xya b
− − − − − − − − − − − −
− − − −
− − − −
− −
− −
− + − + − +
− −
−
− + = − +
−
−1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
549
254
71
75
75
45
75
4925
45
75
4925
+ − +
− + − = − +
− − − − − − − −
− − − − − − − −
x y a b abx y a b xy a b xy
xya b a b x y a b xy a b x y
9. 9. 9. 9. 9.
( )
ab a b b a a b a b a b
ab a b a b
a b
a b a b a b a b
a b
− − − − − −
− − −
−
− − − −
−
− + − + − +
− −
− = − +
− +
+ − − +
− +
23
12
13
13
12 1
23
12
13
12
13
23
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13
4 6 4 2
2 2 2 4 4
4 6
4 4 2 4
2 4 a b a b a b
a b a b
− − −
− −
= − +
− + −
123
12
13 1
23
12
13 1
23
2 4
2 4
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
( )( )
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b
a b
a b a b a b a b
a b a b a b a ba b a b
4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 4 2 2 4 4
2 2 4 4
6 7 6 3
2 3 3 6 9
6 7
6 9 2 6
2 6 2 62 6
+ + − + + −
− + = +
+ +
− − + − −
− − + = − − +
+ + −
− − − − − −
− − − −
− − − − − − − −
− − − −
11. 11. 11. 11. 11.
( )
xy x y x y x y x y x y
xy x y x y
x y
x y x y x y x y
x y x
23
12
13
12
13 1
23
12
13
12
13
23
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13
12
13 1
8 18 8 4
2 4 4 8 16
8 18
8 16 2 8
2 8
− + − + − +
− −
− = − +
− +
+ − − +
− +
− − − − − −
− − − −
− − − y x y x y
x y x y
− − − − −
− − − −
= − +
− + −
23
12
13 1
23
12
13 1
23
2 8
2 8
EJERCICIO 231
1. 1. 1. 1. 1. 18 2 3 3 22= ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 3 48 3 3 2 3 2 3 12 34 2= ⋅ = ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. 16 2 2 2 23 33 3= ⋅ =
4. 4. 4. 4. 4. 1
2128
1
22 2
1
22 2 2 23 63 2 3 3= ⋅ = ⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. 2 243 2 3 3 2 3 3 6 34 44 4 4= ⋅ = ⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. 50 2 5 5 22 2 2a b a b a b= ⋅ =
7. 7. 7. 7. 7. 3 81 3 9 3 9 273 4 2 2 4 2 2x y x xy xy x xy x= ⋅ = ⋅ =
8. 8. 8. 8. 8. 1
2108
1
22 3 3
2
23 3 3 3
5 7 2 2 4 6
2 3 2 3
a b a ab b
a b ab a b ab
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ =
9. 9. 9. 9. 9. 3
5125
3
55 5
3 5
55 3 56 2 6 3 3mn mn n m n m= ⋅ =
⋅=
10. 10. 10. 10. 10. 2 44 2 2 11
2 2 11 4 11
3 7 9 2 2 6 8
3 4 2 3 4
a a b c a a ab bc c
a ab c abc a b c abc
= ⋅
= ⋅ ⋅ = =
11. 11. 11. 11. 11. 2 16
2 2 2 2 2 2 4 2
2 73
3 2 63 2 23 2 23
x y
x y y y x y y x y= ⋅ = ⋅ =
12. 12. 12. 12. 12. 2
327
2
33
2 3
32
2 83
3 2 6 23 2 2 23 2 2 23
m n
m n n n m n n m n= =⋅
=
13. 13. 13. 13. 13. 5 160
5 2 20
5 2 20 10 20
7 9 133
3 6 9 123
2 3 4 3 2 3 4 3
a x y z
a x xy z z
ax y z xz ax y z xz
= ⋅
= ⋅ =
14. 14. 14. 14. 14. 80 2 5 2 54 5 124 4 4 4 124 3 4a b c a b bc abc b= ⋅ =
15. 15. 15. 15. 15. 3 5 3 5 3 58 14 164 8 12 2 164 2 3 4 24x y z x y y z x y z y= =
16. 16. 16. 16. 16. 2
532
2
52
2 2
5
4
5
2 115
5 2 105 2 252
25
x y
x y y y x yy
x y= =⋅
=
17. 17. 17. 17. 17. 2 128
2 2 2
2 2 2 8 2
2 83
6 2 6 23
2 2 2 23 3 2 23
xy x y
xy x y y
xyy x y xy x y
= ⋅
= ⋅ =
18. 18. 18. 18. 18. 1
327
1
33 3
3
33 3
3 7
2 2 63
3
aa m
aa am m
am
aam m am= ⋅ = =
19. 19. 19. 19. 19. 3
5375
3
55 3
3 5
53
33
83
3 6 232
232
23
xa b
xa a b
a
xa b
a
xa b= ⋅ =
⋅=
20. 20. 20. 20. 20. 1
381
1
33
3
344 4 44 4 4a b a b a b a b= = =
21. 21. 21. 21. 21. ( ) ( )9 18 9 2 3 2 3 22a b a b a b a b+ = + = + = +
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )3 3
3 1 3 1 3 3
3 2 2 2
2 2
a b a b
a b a ab a ab a
−
= − = − = −
23. 23. 23. 23. 23.
( ) ( )8 16
2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 4 4
2 4 2 2 2
x y xy
xy x y x x y x x
+
= ⋅ + = + = +
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( ) ( )2 4 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x xy y
x xy y x y x y
− +
= − + = − = −
25. 25. 25. 25. 25. ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
− −
= − − +
= − + = − +
2 2
2
26. 26. 26. 26. 26.
( ) ( ) ( )2 4 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
am amn an
a m mn n a m n m n a
+ +
= + + = + = +
27. 27. 27. 27. 27.
( )( ) ( ) ( )
9 36 36
3 2 4
3 2 3 2 3 6
3 2
2 2
2
a a a
a a a
a a a a a a
− +
= − +
= − = − = −
EJERCICIO 232
1. 1. 1. 1. 1. 1
5
1 5
5 5
5
5
1
552= ⋅
⋅= =
2. 2. 2. 2. 2. 3
8
3 2
8 2
6
2
1
26
1
464 2=
⋅⋅
= = =
3. 3. 3. 3. 3. 21
22
2 1
2 22
2
2
2
22 22=
⋅⋅
= = =
4. 4. 4. 4. 4. 31
63
1 6
6 63
6
6
3
66
1
262= ⋅
⋅= = =
5. 5. 5. 5. 5. 1
2
2
3
1
2
2 3
3 3
1
2
6
3
1
2 36
1
662=
⋅⋅
= =⋅
=
6. 6. 6. 6. 6. a
x
a x
x
a
x
x a
x
x a
xx
2 2
2 2 28 2 2 2 2 2
2
2 42=
⋅= = =
7. 7. 7. 7. 7. 3
2
4
27
3
2
3 2
3
3 2
2 33
33
2
3
2 2
4 4 2 2 2
a
y
a y
y
a
yy
a
yy=
⋅=
⋅⋅
=
8. 8. 8. 8. 8. 59
55
3 5
5
5 3
55
353
2
2 4 2 2
n
m
mn
m mmn
mmn=
⋅=
⋅=
9. 9. 9. 9. 9. 65
246
5 6
2 3
6
2 330
230
3
2
3
4 2 2 22a
x
a
x xa a
a
xa=
⋅⋅
=⋅
=
10. 10. 10. 10. 10. 2
3
2 3
3
1
3183
2
33 3=
⋅=
11. 11. 11. 11. 11. 51
55
5
5
5
55 253
2
33 23 3= = =
12. 12. 12. 12. 12. 8
9
2 3
3
2
332
3
3
3 33 3
x
x
x xx=
⋅=
13. 13. 13. 13. 13. 2125
42
5 2
2
2 5
22 5 22
53 2
3
3 63
2
23 3b
bb
b
b
b
bb b=
⋅=
⋅=
14. 14. 14. 14. 14. 2
3
27
16
2
3
3 4
2
2 3
3 24
1
24
2
2 43
3 2 2
6 3 63
2 22 23
22 23x
a b
ab x
a b abab x
abab x= ⋅ = ⋅
⋅=
15. 15. 15. 15. 15. 281
42
3 2
2
2 3
24 3 4
2
34
4 2 2 3
4 4 44 2 34 2 34xy
a
x yxy
a xy
x y
xy
xya xy a xy=
⋅=
⋅=
EJERCICIO 233
1. 1. 1. 1. 1. 9 3 3 3 34 242
4
1
2= = = =
2. 2. 2. 2. 2. 4 2 2 2 26 262
6
1
3 3= = = =
3. 3. 3. 3. 3. 27 3 3 3 39 393
9
1
3 3= = = =
4. 4. 4. 4. 4. 16 2 2 2 28 484
8
1
2= = = =
5. 5. 5. 5. 5. 3 64 3 2 3 2 3 2 3 212 6126
12
1
2= = ⋅ = ⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. 25
5 5 5 5
2 24
2 2 242
4
2
4
2
4
1
2
1
2
1
2
a b
a b a b a b ab= = = =
7. 7. 7. 7. 7. 5 49 5 7 5 7 5 72 46 2 2 461
3
1
3
2
3 23a b a b a b ab= = ⋅ =
8. 8. 8. 8. 8. 81 3 3 34 88 4 4 881
2
1
2x y x y x y y x= = =
9. 9. 9. 9. 9. 32
2 2 2 2 2
10 1510
5 10 15101
2
3
2 3 2
x y
x y xy x y x y y xy y= = = = =
10. 10. 10. 10. 10. 64
2 2 2 2 2
6 1812
6 6 18121
2
1
2
3
2 3 2
m n
m n m n mn mn n n mn= = = = =
11. 11. 11. 11. 11. 343
7 7 7 7 7
9 126
3 9 1261
2
3
2 2 2 3 2 2 2
a x
a x a x x a x a a ax a= = = = =
12. 12. 12. 12. 12. m n x
m nx n m x n m x x nx m x
10 15 2015
2
3
4
3 2 43 2 33 23= = = =
EJERCICIO 234
1. 1. 1. 1. 1. 2 3 2 3 122= ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 3 5 3 5 452= ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. ( )5 5 252 2a b a b a b= =
4. 4. 4. 4. 4. 12
212
224
12
2
=
⋅ = =
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )3 2 3 2 9 2 182 2 2 2 2 4a a a a a a a= ⋅ = =
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )5 3 5 3 25 3 752 2 2 4 2 4 2x y x y x y x y= = =
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( ) ( )( )ab a b
ab a b a b a b a b
2 23
2 3 23 3 6 23 5 73= = =
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )( )4 2 4 2 64 2 12823 3 23 3 23 53m m m m m m m= = =
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( )( )2 8 2 8 16 8 12834 4 34 4 34 5 34a ab a ab a ab a b= = =
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( )( )a ba
a ba b a
a ba b a a ab+
+=
++
= + = +2
2
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )xx
xx x
xx x x x+
+=
++
= + = +12
11 2
11 2 2 2
2
2
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( ) ( ) ( )( )
xxx
x xx
x x x x
−−−
=− −
−= − − = − +
121
1 21
1 2 3 22
2
EJERCICIO 235
1. 1. 1. 1. 1. 5 5 125
2 2 4
36 6
3 26 6
= =
= =
2. 2. 2. 2. 2. 2 2 4
3 3
24 4
4 4
= =
=
3. 3. 3. 3. 3. 3 3 729
4 4 256
8 8 512
612 12
3 412 12
4 312 12
= =
= =
= =
4. 4. 4. 4. 4. 2 2 64
3 3 81
5 5 125
7 7 49
612 12
3 412 12
4 312 12
6 212 12
= =
= =
= =
= =
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )5 5 125
4 4 16
7 7
36 36
23 2 26 4 26
36 36
x x x
x y x y x y
a b a b
= =
= =
=
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( )2 2 32
3 3 27
5 5
3 515 5 515
25 2 315 6 315
3 215 3 215
ab ab a b
a x a x a x
a x a x
= =
= =
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )
8 8 512
3 3 9
2 34 2 3 312 6 912
5 46 5 4 212 10 812
a x a x a x
a m a m a m
= =
= =
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )
x x x
y y y
m m m
23 2 618 1218
36 3 318 918
79 7 218 1418
2 2 8
5 5 25
= =
= =
= =
9. 9. 9. 9. 9. ( )
( )( )
3 3 243
2 2 16
7 7 49
4 520 520
25 2 420 820
310 3 220 620
a a a
b b b
x x x
= =
= =
= =
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )
2 2 2
3 2 3 2 3 64
4 5 4 5 4 125
3 412 412
612 612
24 2 312 612
a a a
b b b
x x x
= =
= =
= =
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )
( )
3 3 312
12
12
4 4 4
23 2 618 1218
36 3 318 918
59 5 218 1018
a a a
b b b
x x x
= =
= =
= =
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( )2 2 32
3 3 3
2 2
510 510
3 45 3 4 210 6 810
7 210 7 210
m m m
a x a x a x
x y x y
= =
= =
=
EJERCICIO 236
1. 1. 1. 1. 1. 5 5 125
2 2 4
5 2
36 6
3 26 6
3
= =
= =
Luego el orden es: ,
2. 2. 2. 2. 2. ( )15 15 225
7 7 343
7 15
6 212 12
4 312 12
4 6
= =
= =
Luego el orden es: ,
3. 3. 3. 3. 3. ( )
( )
11 11 1 331
43 43 1 849
43 11
36 6
3 26 6
3
= =
= =
.
.
: ,Luego el orden es
4. 4. 4. 4. 4. 3 3 27
5 5 25
32 32
32 3 5
36 6
3 26 6
6 6
6 3
= =
= =
=
Luego el orden es: , ,
5. 5. 5. 5. 5. 3 3 243
4 4 256
15 15 225
4 3 15
4 520 20
5 420 20
10 220 20
5 4 10
= =
= =
= =
Luego el orden es: , ,
6. 6. 6. 6. 6. 2 2 64
3 3 27
9 9 81
9 2 3
3 618 18
6 318 18
9 218 18
9 3 6
= =
= =
= =
Luego el orden es: , ,
EJERCICIO 237
1.1.1.1.1. ( )7 2 15 2 7 15 2 8 2− = − = −
2. 2. 2. 2. 2. ( )4 3 20 3 19 3 4 20 19 3 3 3− + = − + =
3. 3. 3. 3. 3. ( )5 22 5 8 5 1 22 8 5 29 5− − = − − = −
4. 4. 4. 4. 4. ( )2 9 2 30 2 40 2 1 9 30 40 2 18 2− + − = − + − = −
5. 5. 5. 5. 5. 34
212
234
12
23 2
42
14
2− = −
=
−
=
6. 6. 6. 6. 6. 35
3 335
1 33 5
53
25
3− = −
=
−
= −
7. 7. 7. 7. 7. 2 512
534
5
212
34
58 2 3
45
94
5
− +
= − +
=
− +
=
8. 8. 8. 8. 8. 14
3 5 318
3
14
518
32 40 1
83
418
3
+ −
= + −
=
+ −
=
9. 9. 9. 9. 9. ( )a b a b a b a a a b a b− + = − + =3 7 3 7 5
10. 10. 10. 10. 10. ( )( )
3 2
3 2
x y a x y x y
x a x x y a y
+ − −
= + − − =
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )( )
x x
x x x
− + − +
= − + − + =
1 3 3 3 4 3
1 3 4 3 2 3
12. 12. 12. 12. 12. 13
223
2 2 2
13
23
2 21 2 6
32
53
2
3 3 3
3 3 3
− +
= − +
=
− +
=
13. 13. 13. 13. 13. 35
214
216
236 15 10
602
3160
23 3 3 3 3− + =− +
=
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )
x a a x a a x a
x a x a x a a a
23 23 23
23 23
2 2 3
2 2 3
− − + −
= − + + − =
EJERCICIO 238
1. 1. 1. 1. 1.
( )
45 3 5 3 5
27 3 3 3 3
20 2 5 2 5
3 5 3 3 2 5
3 2 5 3 3 5 3 3
2
2
2
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= − −
= − − = −
Entonces:
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
175 5 7 5 7
243 3 3 9 3
63 3 7 3 7
2 75 2 5 3 10 3
5 7 9 3 3 7 10 3
5 3 7 9 10 3 2 7 3
2
4
2
2
= ⋅ =
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= + − −
= − + − = −
Entonces:
3. 3. 3. 3. 3.
( )
80 2 5 2 5 4 5
2 252 2 2 3 7 2 2 3 7 12 7
3 405 3 3 5 3 3 5 27 5
3 500 3 2 5 5 3 2 5 5 30 5
4 5 27 5 30 5 12 7
4 27 30 5 12 7 5 12 7
4 2
2 2
4 2
2 2
= ⋅ = =
− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
= ⋅ = ⋅ =
− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
= + − −
= + − − = −
Entonces:
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
7 450 7 3 5 2 7 3 5 2 105 2
4 320 4 2 5 4 2 5 32 5
3 80 3 2 5 3 2 5 12 5
5 800 5 2 2 5 5 2 5 2 100 2
105 2 100 2 32 5 12 5
105 100 2 32 12 5 5 2 20 5
2 2
6 3
4 2
4 2 2
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
− = − ⋅ = − ⋅ = −
= ⋅ = ⋅ =
− = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
= − − +
= − + − + = −
Entonces:
5. 5. 5. 5. 5.
( )
12
1212
2 3 3
13
1813
3 2 2
34
4834
2 3 3 3
16
7216
2 2 3 2
3 3 3 2 2 1 3 3 4 3
2
2
4
2 2
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
= + − + = + =
Entonces:
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
34
17634
2 112 3
411 3 11
23
4523
3 52 33
5 2 5
18
32018
2 528
5 5
15
27515
5 1155
11 11
3 11 11 2 5 5
3 1 11 2 1 5 4 11 5
42
2
63
2
= ⋅ =⋅
=
− = − ⋅ = −⋅
= −
= ⋅ = =
= ⋅ = =
= + − +
= + − + = −
Entonces:
7. 7. 7. 7. 7.
( )
17
14717
3 7 3
15
70015
2 5 7 2 7
110
281
102 7
15
7
13
2 18713
3 3 9 3
3 9 3 2 715
7
1 9 3 215
7
10 395
7
2
2 2
2
6
= ⋅ =
− = − ⋅ ⋅ = −
= ⋅ =
= ⋅ =
= + − +
= + + − +
= −
.
:Entonces
8. 8. 8. 8. 8. 13
33
13
3
12
22
12
2
34
32
12
3
13
312
312
2
13
12
312
2
56
312
2
2
2
2
= =
− = = −
= =
= + −
= +
−
= −
Entonces:
9. 9. 9. 9. 9. 95
3 55
35
5
16
66
16
6
120
52 5
110
5
6 6
35
51
105
16
6 6
35
110
516
1 6
12
556
6
2
2
2
2 2
=⋅
=
− = − = −
− = −⋅
= −
=
= − − +
= −
+ − +
= +
Entonces:
10. 10. 10. 10. 10. 53
35
53
155
13
15
12
34
12
32
14
3
51
155
153 5
13
15
31
123
32 3
12
3
13
1513
1514
312
3
14
12
314
3
2
2
2 2
2 2
= =
− = − = −
− = −⋅
= −
=⋅
=
= − − +
= − +
=
Entonces:
11. 11. 11. 11. 11.
( )
5 128 5 2 2 40 2
13
13
13
33
19
3
5 98 5 7 2 35 2
127
33
19
3
40 2 35 219
319
3
40 35 2 5 2
6
2
2
4
= ⋅ =
− = − = −
− = − ⋅ = −
= =
= − − +
= − =
Entonces:
12. 12. 12. 12. 12.
( )
2 700 2 2 5 7 20 7
15145
155
3 55
45
164
52
5
5617
5677
8 7
20 7 8 7 5 5
20 8 7 12 7
2 2
2 2
4
2
= ⋅ ⋅ =
− = −⋅
= −
= =
− = − = −
= − − +
= − =
Entonces:
13. 13. 13. 13. 13.
( )
25 5 5
49 7 7
9 3 3
5 3 7
5 3 7
2 7
2 2 2
2
2 2 2
ax ax x a
b b b
ax ax x aentonces
x a x a b
x x a b
x a b
= =
= =
− = − = −
= − +
= − +
= +
:
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
2 2
9 3 3
16 2 4
4 2 2
2 3 4 2
2 3 4 2
2
2
2 2 2
2 4 2
2 2 2
m n m n
m n m n m n
mn mn n m
mn mn n mEntonces
m n m n n m n m
m m n n n m
m n n m
=
− = − = −
= =
− = − = −
= − + −
= − + −
= − +
:
15. 15. 15. 15. 15.
( )
( )( )
a x a x a x
a x a x
a b xEntonces
a x a x a b x
a a a b x b x
320 2 5 8 5
7 5 7 5
4 5
8 5 7 5 4 5
8 7 4 5 4 5
6
2
= ⋅ =
− = −
− −
= − − −
= − − + =
:
16. 16. 16. 16. 16. ( )( )
( )
9 9 3 1 3 1
4 4 2 1 2 1
5 1
3 1 2 1 5 1
3 2 5 1 0
2
2
x x x
x x x
xEntonces
x x x
x
− = − = −
− = − = −
− −
= − + − − −
= + − − =
:
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )( )
( )
2 3 2 3 2 3
9 27 3 3 3 3
25 75 5 3 5 3
2 3 3 3 5 3
2 3 5 3 4 3
4 4 4 2
2 2 2 2
4 4 2 4 2
2 2 2
2 2 2 2
a x a y a x y a x y
a x y a x y a x y
a x a y a x y a x y
Entonces
a x y a x y a x y
a a a x y a x y
+ = + = +
− + = − + = − +
+ = + = +
= + − + + +
= − + + = +
:
18.18.18.18.18.
( )
( ) ( ) ( )
( )
31 3
1 3 1
4 4 2 1 2 1
11
11
1
11
3 1 2 1 1 3 2 1 1 2 1
2
2
2
aaa
aa
a a
a a a
aa
aaa
a
Entonces
a a a a a
+= + = +
− + = − + = − +
++
= ++
+= +
= + − + + + = − + + = +
:
19. 19. 19. 19. 19. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a ba ba b
a ba ba b
a b
a ba ba b
a ba b
a ba b
a ba b
a ba b
a ba b
entonces
a b a b a b a b
−+−
= −−
−= −
− +−+
= − +−
+= − −
−−
= −−
−= −
= − − − + − = −
2 2
22 2
2 2
22 2
2
2 2 2 2
2 21
2 2
2 2
:
EJERCICIO 239
1. 1. 1. 1. 1. 54 3 2 2
24 2 3 2 3
16 2 2 2 2
3 2 2 2 2 3 2 2 3
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= − − = −
Entonces:
2. 2. 2. 2. 2.
( )
40 2 5 2 5
1 029 7 3 7 3
625 5 5 5 5
2 5 5 5 7 3
2 5 5 7 3 7 3 3 5
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= − +
= − + = −
.
:Entonces
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )
2 250 2 5 2 10 2
4 24 4 2 3 8 3
6 16 6 2 2 12 2
2 187 3 3 9 3
10 2 12 2 9 3 8 3
10 12 2 9 8 3 3 2 2
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 63 3
3 3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
= − + −
= − + − = −
.:Entonces
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
5 48 5 2 6 10 6
3 3 645 3 3 5 27 5
2 384 2 2 6 8 6
4 1 715 4 7 5 28 5
10 6 8 6 27 5 28 5
10 8 6 27 28 5 2 6 5
3 33 3
3 63 3
3 63 3
3 33 3
3 3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
= − − +
= − + − + = +
.
.:Entonces
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
12
2412
2 3 3
23
5423
3 2 2 2
35
37535
5 3 3 3
14
12814
2 2 2
3 3 3 2 2 2
1 3 3 2 1 2 4 3 3 2
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 63 3
3 3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= + − −
= + + − − = −
Entonces:
5. 5. 5. 5. 5. 81 3 3 3 3
3 375 3 5 3 15 3
686 7 2 7 2
2 648 2 2 3 3 12 3
3 3 12 3 15 3 7 2 7 2
3 33 3
3 33 3
3 33 3
3 3 33 3
3 3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
= + − + =
Entonces:
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
35
62535
5 5 3 5
32
19232
2 3 6 3
17
1 71517
7 5 5
38
1 53638
2 3 3 3
3 5 5 6 3 3 3
3 1 5 6 3 3 4 5 9 3
3 33 3
3 63 3
3 33 3
3 93 3
3 3 3 3
3 3 3 3
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= ⋅ =
− = − ⋅ = −
= + − −
= + + − − = −
.
.
:Entonces
8. 8. 8. 8. 8.
14
22
12
2
13
93
13
9
227
23
13
2
12
213
213
9
12
13
213
916
213
9
33
3 3
33
3 3
33
3 3
3 3 3
3 3 3 3
= =
= =
− = − = −
= − +
= −
+ = +
Entonces:
9. 9. 9. 9. 9. 61
246
92 3
9
125
55
15
5
25
642
52 2
12
5
15
212
5 9
15
12
5 93
105 9
33 33 3
33
3 3
33 33 3
3 3 3
3 3 3 3
=⋅
=
= =
− = −⋅
= −
= − +
= −
+ = − +
Entonces:
10. 10. 10. 10. 10. 71
497
77
7
116
42
14
4
12
42
12
4
278
272
7
14
412
4 7 714
12
434
4
33
3 3
36
3 3
33
3 3
33
3 3
3 3 3 3 3 3
= =
= =
= =
− = − = −
= + + − = +
=
Entonces:
11. 11. 11. 11. 11. 23
13523
3 5 2 5
12
132
12
22
18
2
74
14
74
22
78
2
201
20020
52 5
2 5
2 5 2 518
278
218
78
2 2
3 33 3
36
3 3
33
3 3
33 33 3
3 3 3 3 3 3
= ⋅ =
= =
= =
− = −⋅
= −
= − + + = +
=
Entonces:
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )
( )
( )
3 24 3 2 3 6 3
4 81 4 3 3 12 3
375 5 3 5 3
6 3 12 3 5 3
6 12 5 3 11 3
333 3
333 3
333 3
3 3 3
3 3
− = − ⋅ = −
− − = − − ⋅ =
− − = − − ⋅ =
= − + +
= − + + =
Entonces:
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
4 320 4 2 5 16 5
10 40 10 2 5 20 5
2 54 2 3 2 6 2
3 1 024 3 2 2 24 2
16 5 20 5 6 2 24 2
16 20 5 6 24 2
4 5 18 2
3 63 3
3 33 3
3 33 3
3 93 3
3 3 3 3
3 3
3 3
− = − = −
− − = − − = − −
− − = − − = − −
− = − = −
= − − − − − + −
= − − + − + −
= − − + −
.
:Entonces
14. 14. 14. 14. 14.
( )
( )( )
3 2 3 2
128 2 2 4 2
4 3 2
3 2 4 2 4 3 2
3 4 4 3 2 0
33 3
3 63 3
3
3 3 3
3
a a
b b b
b aEntonces
a b b a
a b b a
=
− = − ⋅ = −
−
= − + −
= − + − =
:
15. 15. 15. 15. 15.
( )
a b a b a b
ab b a
a b a b
b aEntonces
a b a b b a b a
b b a b a
250 5 2 5 2
3 3
5 2 5 2
3 3
5 2 5 2 3 3 3
3 3 2 3
3 33 3
33 3
33 3
3
3 3 3 3
3 3
= =
− = −
− = −
− − +
= − + =
:
EJERCICIO 240
1. 1. 1. 1. 1. 3 6 18 3 2 3 22⋅ = = ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. 5 21 2 3 10 63 10 3 7 30 72⋅ = = ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. 1
214
2
721
1
7294
1
77 6 62⋅ = = ⋅ =
4. 4. 4. 4. 4. 12 9 108 3 4 3 43 3 3 33 3⋅ = = ⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. 5
615 12 50 10 750 10 5 6 50 63 3 3 33 3⋅ = = ⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. x aa
ax
aa x2
15 10 102⋅ = =
7. 7. 7. 7. 7. 5 12 3 75 15 900 15 2 3 5 4502 2 2⋅ = = ⋅ ⋅ =
8. 8. 8. 8. 8. 3
49 8 3 6 27 6 3 1823 3 33 33 3a ab a b a b a b⋅ = = =
9. 9. 9. 9. 9. 3 6 14 2 35 6 2 940 6 2 7 15 84 152 2⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =.
10. 10. 10. 10. 10. 1
221
2
342
3
722
1
719 404
1
72 7 3 11 6 112 2 2
⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅ ⋅ =.
11. 11. 11. 11. 11. 3 451
615 4 20 2 13 500 2 5 3 4 30 43 3 3 3 3 33 3⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =.
12. 12. 12. 12. 12. 5
6
7
8
3
5
4
7
1
2
1
2
1
2
2
2
1
422⋅ = = =
13. 13. 13. 13. 13. 2 3
2
1 3 3 323 2x
a xa x
x
a x
ax
a axax⋅ = = =
14. 14. 14. 14. 14. 1
36
22
22
2 222 3 4 2
x
y y
x
y
xy
y yxy⋅ = = =
EJERCICIO 241
1. 1. 1. 1. 1. 2 3
2
4 6
2 6
−
= −
= −
2. 2. 2. 2. 2. 7 5 5 3
2 3
14 15 10 9
14 15 30
+
= +
= +
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
2 3 5 5 2
4 15
8 45 4 75 20 30
4 2 3 5 5 3 5 30
4 6 5 5 3 5 30
2 2
+ −
= + −
= ⋅ + ⋅ −
= + −
4. 4. 4. 4. 4. 2 3
2 2 3
4 6
2 6 2 9
4 6 2 9
2 6 6
6 4
−
+
−
+ −
= + −
= + −
= −
5. 5. 5. 5. 5. 5 5 3
2 5 3 3
2 25 10 15
3 15 15 9
2 25 13 15 15 9
10 13 15 45
55 13 15
+
+
+
+ +
= + +
= + +
= +
6. 6. 6. 6. 6. 3 7 2 3
5 3 4 7
15 21 10 9
8 21 12 49
7 21 10 9 12 49
7 21 30 84
7 21 54
−
+
−
− +
= − +
= − +
= +
7. 7. 7. 7. 7. a x
a x
a ax
ax x
a ax x
a ax x
−
+
−
+ −
= − −
= − −
2
3
3 6
2
3 5 2
3 5 2
2
2
2 2
8. 8. 8. 8. 8. 7 5 11 7
5 5 8 7
35 25 55 35
56 35 88 49
35 25 111 35 88 49
175 111 35 616
791 111 35
−
−
−
− +
= − +
= − +
= −
9. 9. 9. 9. 9. 2 3 5
2 3
4 6 10
6 9 15
4 10 9 15
2 10 3 15
10 15 1
+ +
−
+ +
− − −
= + − −
= + − −
= − −
10. 10. 10. 10. 10. 2 3 3 5
2 2 3 5
4 3 6 10
2 6 6 9 2 15
10 3 15 25
4 6 6 9 5 15 25
2 6 18 5 15 5
5 15 6 21
− +
+ −
− +
+ − +
− + −
= − − + −
= − − + −
= − −
11. 2 3 6 5
3 6 3 5
2 9 18 15
2 18 36 30
6 15 3 30 3 25
2 9 3 2 7 15 36 2 30 3 25
6 3 2 7 15 6 2 30 15
7 15 3 2 2 30 15
2
− +
+ +
− +
+ − +
+ − +
= + ⋅ + − − +
= + + − − +
= + − +
12.
( )( )
a a
a a
a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a a
+ +
+ +
+ +
+ + + +
= + + + +
= + + + +
= + + +
1
2 1
2 2 1
3 2 1
3 2 2
3 3 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2
13.
( )( )
2 3
3
6 9
2 3
6 7 3
6 7 3 3
3 3 7
2 2
2 2
2 2 2
2
2
a a b
a a b
a a ab
a ab a b
a a ab a b
a a ab a b
a b a ab
− −
+ −
− −
− − −
= − − − −
= − − − +
= + − −
14.
( )
1
2 1
2 1 2
1 1
3 1 2 1
3 1 1
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
− +
+ −
− +
− + −
= − + + −
= − + +
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
15.
( )( )
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
+ + −
+ + −
+ + −
+ − + −
= + + − + −
= + − −
1 1
1 2 1
1 1
2 1 2 1
1 3 1 2 2
3 3 1 1
2 2
2 2
2
2
16.
( )
( )
2 2 2
2 3
2 2 2 2
6 2 6
2 2 8 2 6
2 4 8 2 6
2 10 8 2
2
2
x
x
x x
x
x x
x x
x x
+ −
+ −
+ − +
− + +
= + − + +
= + − + +
= + − +
17.
( )( )
3 2
2 3
6 4
9 6
6 5 6
6 5 6 6
5 6
2 2
2 2
2 2 2
2
2
a a x
a a x
a a ax
a ax a x
a a ax a x
a a ax a x
a ax x
− +
+ +
− +
+ + − +
= + + − +
= + + − −
= + −
18.
( )( )
( ) ( )
a x a x
a x a x
a x a x
a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x
+ − −
+ − −
+ − −
− − + −
= + − − + −
= + − − + −
= − − −
2
2 2
3 2
3 2 2
3 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
EJERCICIO 242
1. 1. 1. 1. 1.
( )x x
x x x
x x x
x x
x x
=
= =
⋅ =
=
=
36
23 2 26 46
36 46 76
66
6
2 2 4
4 4
4
4
2. 2. 2. 2. 2. ( )3 2 3 2 3 4
3 4 4 8 12 32
12 2 2
24 2
24 2 24
2 24 34 5 24
4 4 24
24
ab ab a b
a b a a b
a ab
a ab
= =
⋅ =
= ⋅
=
3. 3. 3. 3. 3. ( )9 9
81
81 81 6 561
3 3
3 9
23 2 26
4 26
4 26 56 9 26
6 2 6 3 26
3 26
x y x y
x y
x y x x y
x x y
x x y
=
=
⋅ =
= ⋅
=
.
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b a b
a a b
a a b
2 23 2 2 412
8 812
34 3 312
9 312
8 812 9 312 17 1112
12 5 1112
5 1112
2 3 2 3
2 27
2 27 2 27
2 27
2 27
=
=
=
=
⋅ =
=
=
5. 5. 5. 5. 5. ( )
( )
25 25
15 625
125 125
15 625
15 625 15 625
244 140 625
5 5
2 34 2 3 312
6 912
26 2 212
412
6 912 412
10 912
12 10 912 10 912
x y x y
x y
x x
x
x y x
x y
x y x y
=
=
=
=
⋅
=
= =
.
.
. .
. .
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( )
23
423
4
23
4
34
1634
4
34
4
23
434
4
12
4
12
2
12
2 2
2 128
23 2 515
5 1015
45 2 4 315
6 12 315
5 1015 6 12 315
11 22 315
22 22 315
15 7 15 7 315
7 7 315 7 315
m m
m
m n m n
m n
m m n
m n
m n
m m n
m m n m m n
=
=
=
=
⋅
=
=
= ⋅
= =
7. 7. 7. 7. 7.
( )
12
12
18
2
8 88212
8
3
63
6
3 2 26 46
36 46 6
66
6
x x x
x x
xx
x x
x
=
=
= =
⋅ = =
=
−
8. 8. 8. 8. 8. ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
4 2 2
2 21
16
2 22
2 2 2 2
510 5 510
5 2 210 4 210
5 510 4 2102
10
5 4 2 5
4 210
5 510 510
12
x x x
x x x
x xx
x xx
x x x x
= =
= =
⋅ ⋅
=⋅
= = = =
9. 9. 9. 9. 9. 23
2 23
2 23
8
38 4
38 2
38 2
23
2 38 2
14 2
14
22
18
32
3
63
36
2
23
2
2 2
2
6
4
4 46
3 3
36
4
4 46
65 5
6 66 5
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ba
ab
ab
abb b
ab
=
=
=
=
⋅
= = =
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )
12
13
12
13
12
13
32
19
32
19
32
13
12
13
32
13
243
34
33
34
19
34
33
14
314
314
314
9
3
63
6
3
2
64
6
36
46 6
5
76
6
4
66
46
23 23 3
=
=
=
=
⋅ ⋅
=
=
=
= = = =EJERCICIO 243
1. 1. 1. 1. 1. 4 6
2 32
6
32 2= =
2. 2. 2. 2. 2. 2 3
10
1
5
3 1
53
a
a
a
a= =
3. 3. 3. 3. 3.
1
23
3
4
4
6
3 2
33
xy
x
xy
xy= =
4. 4. 4. 4. 4. 75
5 3
1
5
75
3
1
525
1
55
2 3 2 32 2 2x y
xy
x y
xyxy xy y x= = = =
5. 5. 5. 5. 5. 3 16
4 2
3
4
16
2
3
48
3
42
3
2
53
23
5
23 33 3 33a
a
a
aa a a= = = =
6. 6. 6. 6. 6.
5
6
1
2
10
3
2
3
15
60
1
22
3
1
4
3
4
1
4
3
2
1
832= = = =
7. 7. 7. 7. 7. 4
22 2 2 2
3 2
2 3
3 2
2 3 2
x a x
a xx
a x
a xx
a
xx
ax
xax= = = =
8. 8. 8. 8. 8.
2
3
3
6
32
12 2
23
233
2 2
33 2 3 2
2
33 23
ax
a
xx
ax
a
x
xx
xx
x
xx x= = = =
9. 9. 9. 9. 9.
1
3
1
2
1
6
1
3
6
3
1
21
3
23
22
3 2
212
3
3
3 3
2
33 3= = =
⋅=
EJERCICIO 244
1. 1. 1. 1. 1. 2 2
2 2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
232
3 26
36
26
36
2
36 6
5
66 6
=
=
= = = = =
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )
9 3 3 3
3 3 9
39
39
31
93
33
181
2 36 6 36 36
23 2 26 46
36
46
3
46 6
4 5
6 66 56
x x x x
x x x
xx
xx x
xx x
x
= = =
= =
= = = = =
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
8 2 2 2
4 4 2
22
222
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 4
4 2 8
33 3 3 412 12 12 412 412
24 2 312 6 612
412
6 612
6 6 4
12 1212 4 2 4 2 412
412
212
13
16 3 6
3 26 2 26
2 26 6 3 26
a b a b a b a b
a a a
a ba
aa ba
a a b
ab a
ab a ab a
ab ab a b
a b a a b
= = =
= =
=
= = ⋅
= ⋅
= ⋅ = ⋅
⇒ = =
= ⋅ =
4. 4. 4. 4. 4. ( )12
212
212
2
12
2
14
22
12
222
132
36 3 36
3 36
4 46
65 5
6 66 56
x x x
x
x xxx x
x
= =
= = =
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )
5 5 5
5 5 5 13 125
23 2 515 5 10 515
3 25 3 2 315 9 615
5 10 515
9 615
515
5 14
1515 1415
m n m n m n
m n m n m n
m nm n
mn
mnn n
mn
= =
= =
= = = = .
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
18 3 2 3 2
3 3 3
3 2
312
3 4 56 2 3 4 5 212 4 2 6 8 1012
2 2 34 2 2 3 312 3 6 6 912
4 2 6 8 1012
3 6 6 912212
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z
x y zy z
= ⋅ = ⋅
= =
=⋅
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )3 3 27 27
2727
43 4 39 129 39
39
299
m m m m m
m mm
m m
= = =
= =
8. 8. 8. 8. 8. ( )
( )
45
445
245
2
110
21
102
110
2
45
2
110
28
28
2 82
3 2 26 4 2 26
2 2 36 3 66
4 2 26
3 66
2
46
2 2
66 2 26
ab ab a b
a a a
a b
a
ba
a ba a
a b
= =
= =
= = = =
EJERCICIO 245
1. 1. 1. 1. 1. ( )4 2 4 2 16 2 322 2 2= = ⋅ =
2. 2. 2. 2. 2. ( )2 3 2 3 4 3 122 2 2= = ⋅ =
3. 3. 3. 3. 3. ( )5 7 5 7 25 7 1752 2 2= = ⋅ =
4. 4. 4. 4. 4. ( )2 4 2 2 4 2 2 8 23 2 2 43 33 3= = ⋅ =
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )3 2 3 2 81 2 2 162 2234
4 2 43 3 3 3 2 33 2 2a b a b a a a b b a b a b= = ⋅ ⋅ =
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )
( )
8 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
342
3 3 24 4 2 4 24 2 2424
12
x x x x x x x x
x x x x
= = ⋅ = =
= =
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )81 3 3 3 3 9 9353
4 3 35 5 5 2 3 5 45 3 45ab ab a b b b a b= = ⋅ ⋅ =
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )18 18 18 18 18 3 2 3 26 3 3636
12 2= = = = = ⋅ =
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 2 16 2 322 2 2 2 2a x a x a x a x= = =
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( )2 1 2 1 4 1 4 42 2 2
x x x x+ = + = + = +
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )3 3 9 9 92 2 2
x a x a x a x a− = − = − = −
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )
( ) ( )
4 9
4 3
64 3
192
192 192 192
3 463
3 2 3 4 36
6 6 3 6 66
2 36
236 2
12 2
a b
a b
a a b b
ab a
ab a ab a ab a
=
=
=
= = =
13. 13. 13. 13. 13. ( )2 3 2 2 2 3 3
2 2 6 3 5 2 6
2 2 2− = − +
= − + = −
14. 14. 14. 14. 14. ( )4 2 3 4 2 2 4 2 3 3
32 8 6 3 35 8 6
2 2 2 2+ = + ⋅ +
= + + = +
15. 15. 15. 15. 15. ( )5 7 5 2 5 7 7
5 2 35 7 12 2 35
2 2 2− = − +
= − + = −
16. 16. 16. 16. 16. ( )5 7 6 5 7 2 5 6 7 6
175 60 7 36 211 60 7
2 2 2 2− = − ⋅ ⋅ +
= − + = −
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )x x x x x x
x x x x
x x x
+ − = + − + −
= + − + −
= + − −
1 2 1 1
2 1
2 2 1
2 2 2
2
2
18. 18. 18. 18. 18. ( )( )
x x
x x x x
x x x x x x x
+ −
= + − ⋅ + +
= + − + + = + − +
1 4
1 2 4 1 4
1 8 16 17 1 8
2
2 2 2
2 2
19. 19. 19. 19. 19. ( )( ) ( )a a
a a a a
a a a a a
+ − −
= + − + − + −
= + − − + − = − −
1 1
1 2 1 1 1
1 2 1 1 2 2 1
2
2 2
2 2
20. 20. 20. 20. 20. ( )( ) ( )
( )
2 2 1 2 1
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1
4 2 1 4 4 1 2 1
8 4 4 4 1 2 1
10 3 4 4 1
2
2 2 2
2
2
2
x x
x x x x
x x x
x x x
x x
− + +
= − + ⋅ − + + +
= − + − + +
= − + − + +
= − + −
EJERCICIO 246
1. 1. 1. 1. 1. ( )a a a a a23 2626
13 3= = = =
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )8 8 2 2 23 636
12= = = =
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )81 3 3 3 34 4848
12= = = =
4. 4. 4. 4. 4. 3 34a a=
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )4 2 2 2 223 2 2626
13 3a a a a a= = = =
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 23 3636
12= ⋅ = = = =
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )25 5 5 5 524 2 2828
14 4a a a a a= = = =
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )27 3 3 3 3343 3 312 312
14 4a a a a a= = = =
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 275 55 610 610
35 35 5= ⋅ = = = = =
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a b a b b ab b ab b
ab b
ab ab a b
a b b a b
4 64 4 4 2848
28
12
14
4
24 2 24
2 24 4 2 34
= = =
= ⋅
⇒ = =
= =
11. 11. 11. 11. 11. x x x x x1035 101510
15
2
3 23= = = =
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b+ = + = + = + = +23 26
26
13 3
EJERCICIO 247
1. 1. 1. 1. 1. 1
3
3
3
3
3
3
32⋅ = =
2. 2. 2. 2. 2. 5
2
2
2
5 2
2
5 2
22⋅ = =
3. 3. 3. 3. 3. 3
4 5
5
5
3 5
4 5
3 5
4 5
3 5
202⋅ = =
⋅=
4. 4. 4. 4. 4. 2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
a
ax
ax
ax
a ax
a x
a ax
ax
ax
x⋅ = = =
5. 5. 5. 5. 5. 5
4
2
2
5 2
2
5 2
223
3
3
3
3 33
3
a
a
a
a
a
a
a⋅ = =
6. 6. 6. 6. 6. 1
9
3
3
3
3
3
33
23
23
23
3 33
23
x
x
x
x
x
x
x⋅ = =
7. 7. 7. 7. 7. 3
9
3
3
3 3
3
3 9
3
94
2 34
2 34
2 34
4 44
34 34
a
a
a
a
a
a
a
a
a⋅ = = =
8. 8. 8. 8. 8. 6
5 3
3
3
6 3
5 3
6 9
15
2 9
53
2 23
2 23
2 23
3 33
23 23
x
x
x
x
x
x
x
x
x⋅ = = =
9. 9. 9. 9. 9. x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
27
3
3
3
3
3
3
3
324
24
24
24
4 44
24 24
⋅ = = =
10. 10. 10. 10. 10. 1
8
2
2
4
2
4
245
25
25
5
5 55
5
a
a
a
a
a
a
a⋅ = =
11. 11. 11. 11. 11. 5
3
5
3
5
3
5
3
2 2
2 2
2n
mn
mn
mn
n mn
m n
n mn
mn
n mn
m⋅ = = =
12. 12. 12. 12. 12. 1
5 25
5
5
25
5 5
25
2534
24
24
4
4 44
4
a x
x
x
x
a x
x
ax⋅ = =
EJERCICIO 248
1. 1. 1. 1. 1. 3 2
1 2
1 2
1 2
3 3 2 2 2
1 2
3 4 2 2
1 2
5 4 2
14 2 5
2
2
−+
⋅−−
=− − +
−=
− +−
=−−
= −
2. 2. 2. 2. 2. 5 2 3
4 3
4 3
4 3
20 5 3 8 3 2 3
4 3
20 13 3 6
16 3
26 13 3
132 3
2
2 2
+−
⋅++
=+ + +
−=
+ +−
=+
= +
3. 3. 3. 3. 3. 2 5
2 5
2 5
2 5
2 2 2 5 5
2 5
2 2 10 5
2 5
7 2 10
3
2 10 7
3
2 2
2 2
−
+⋅
−
−=
− +
−=
− +−
=−
−=
−
4. 4. 4. 4. 4. 7 2 5
7 5
7 5
7 5
7 35 2 35 2 5
7 5
7 3 35 10
7 5
17 3 35
2
2 2
2 2
+−
⋅++
=+ + +
−=
+ +−
=+
5. 5. 5. 5. 5. 2 3 5
2 2 5
2 2 5
2 2 5
2 2 10 6 10 3 5
2 2 5
4 7 10 15
8 5
19 7 10
3
2 2
2 2 2
−+
⋅−−
=− − +
−=
− +−
=−
6. 6. 6. 6. 6. 19
5 2 4 3
5 2 4 3
5 2 4 3
95 2 76 3
5 2 4 3
95 2 76 3
50 48
95 2 76 3
22 2 2 2−⋅
++
=+
−=
+−
=+
7. 7. 7. 7. 7. 3 2
7 2 6 3
7 2 6 3
7 2 6 3
21 2 18 6
7 2 6 3
42 18 6
98 108
42 18 6
10
21 9 6
5
2
2 2 2 2−⋅
++
=+
−=
+−
=+−
= −+
8. 8. 8. 8. 8. 4 3 3 72 3 3 7
2 3 3 72 3 3 7
8 3 12 21 6 21 9 72 3 3 7
24 18 21 6312 63
87 18 2151
6 21 2917
2 2
2 2 2 2
−+
⋅−−
=− − +
−=
− +−
=−−
=−
9. 9. 9. 9. 9. 5 2 6 3
4 2 3 3
4 2 3 3
4 2 3 3
20 2 15 6 24 6 18 3
4 2 3 3
40 9 6 54
32 27
14 9 6
5
14 9 6
5
2 2
2 2 2 2
−−
⋅++
=+ − −
−=
− −−
=− −
= −+
10. 10. 10. 10. 10. 7 3 11
5 7 4 11
5 7 4 11
5 7 4 11
5 7 4 77 15 77 12 11
5 7 4 11
35 11 77 132
175 176
97 11 77
197 11 77
2 2
2 2 2 2
+
+⋅
−
−=
− + −
−=
+ −−
=− +
−= −
11. 11. 11. 11. 11. 5 2
7 2 10
7 2 10
7 2 10
7 5 2 50 7 2 2 20
7 2 10
7 5 2 5 2 7 2 2 2 5
49 40
7 5 10 2 7 2 4 5
9
3 5 3 2
9
5 2
3
2 2 2
2 2
++
⋅−−
=− + −
−
=− ⋅ + − ⋅
−=
− + −=
−=
−
12. 12. 12. 12. 12. 9 3 3 2
6 6
6 6
6 6
54 3 9 18 18 2 3 12
6 6
54 3 9 3 2 18 2 3 2 3
36 6
54 3 27 2 18 2 6 3
30
48 3 9 2
30
16 3 3 2
10
2 2
2 2
−
−⋅
+
+=
+ − −
−
=+ ⋅ − − ⋅
−=
+ − −=
+=
+
13. 13. 13. 13. 13. a x
a x
a x
a x
a ax ax x
a x
a ax x
a x
++
⋅ −−
= − + −
−= + −
−
2
2
2
2 2
2
2
4
2 2
2 2 2
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )
( )
x xx x
x xx x
x x x x
x x
x x x xx x
x x x
− −+ −
⋅− −− −
=− − + −
− −
=− − + −
− −= − − −
11
11
2 1 1
1
2 11
2 1 2
2 2
2 2
22
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )
( )
a aa a
a aa a
a a a a
a a
a a a aa a
a a aa a a
− ++ +
⋅− +− +
=− + + +
− +
=− + + +
− +
=+ − +
−= + − −
11
11
2 1 1
1
2 11
2 1 21
2 2 1
2 2
2 2
2
22
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )
xx
xx
x x
x
x xx
x xx
+ ++ −
⋅+ ++ +
=+ + + +
+ −
=+ + + +
+ −=
+ + +
2 22 2
2 22 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 4 22 2
4 2 2 4
2 2
2 2
17. 17. 17. 17. 17.
( )( )
a aa a
a aa a
a a a a
a a
a a a aa a
a a a
a a a
+ −+ +
⋅+ −+ −
=+ − + +
+ −
=+ − + +
+ −=
+ − +
=+ − +
44
44
4 2 4
4
4 2 44
2 4 2 44
2 42
2 2
2 2
2 2
2
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( ) ( )
a b a ba b a b
a b a ba b a b
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a ba b a b
a a bb
a a bb
+ − −+ + −
⋅+ − −+ − −
=+ − + − + −
+ − −
=+ − − + −
+ − +=
− −=
− −
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 22
EJERCICIO 249
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
( ) ( )
( )( )
32 3 5
2 3 52 3 5
6 9 15
2 3 5
3 6 152 2 6 3 5
3 6 152 6
2 62 6
6 6 2 36 2 90
2 6
6 6 12 6 1024
6 6 2 1024
2 6 104
2 2
2
+ −⋅
+ +
+ +
=+ +
+ −
=+ +
+ + −=
+ +⋅ =
+ +=
+ +=
+ +=
+ +
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )
( ) ( )
( )
22 3 6
2 3 6
2 3 6
2 6 12
2 3 6
2 6 2 32 2 6 3 6
2 6 2 32 6 1
2 6 12 6 1
4 6 2 12 6 4 18 2 3
2 6 1
5 6 14 12 2 2 323
2 2
2
+ +⋅
+ −
+ −
=+ −
+ −
=+ −
+ + −=
+ −−
⋅++
=+ + + − −
−=
+ − −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( ) ( )
( )
( )
2 32 3 5
2 3 52 3 5
4 3 2 5 15
2 3 5
1 2 5 154 4 3 3 5
1 2 5 152 4 3
2 4 32 4 3
2 4 3 4 5 8 15 2 15 4 45
2 4 3
2 4 3 4 5 10 15 12 544
2 2 3 8 5 5 15 144
2 3 8 5 5 15 122
2 2
2 2
−+ +
⋅+ −
+ −
=− − +
+ −
=− ++ + −
=− +
+⋅
−−
=− − + + −
−
=− − + −
−
=+ − −
=+ − −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )
( ) ( )
( )
6 3 26 3 2
6 3 2
6 3 2
6 3 2 2 18 2 12 2 6
6 3 2
11 6 2 4 3 2 66 2 18 3 2
11 6 2 4 3 2 62 18 7
2 18 72 18 7
22 18 77 12 36 42 2 8 54 28 3 4 108 14 6
2 18 49
66 2 77 72 42 2 24 6 28 3 24 3 14 672 49
24 2 4 3 10 6 523
2 2
2
+ ++ −
⋅+ +
+ +
=+ + + + +
+ −
=+ + +
+ + −
=+ + +
+⋅
−−
=− + − + − + −
−
=− + − + − + −
−
=− + −
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )
( ) ( )
( )
( )
3 52 3 5
2 3 52 3 5
6 10 3 5
2 3 5
10 6 22 2 6 3 5
10 6 22 6
2 62 6
2 60 2 36 4 6
2 6
4 15 12 4 624
4 15 3 624
15 3 66
2 2
2
++ +
⋅+ −
+ −
=+ + −
+ −
=+ −
+ + −
=+ −
⋅
=+ −
=+ −
=+ −
=+ −
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )
2 52 5 10
2 5 102 5 10
2 5 20 502 2 10 5 10
2 5 5 2 32 10 3
2 10 32 10 3
4 50 6 5 10 20 15 2 6 10 940 9
20 2 6 5 20 5 15 2 6 10 931
5 2 14 5 6 10 931
−+ −
⋅+ +
+ +
=− + −+ + −
=− −
−⋅
++
=+ − − − −
−
=+ − − − −
=− − −
EJERCICIO 250
1. 1. 1. 1. 1. 2
2 3
2 3
2 3
2 6
2 3
2 6
16 2
+⋅
−−
=−−
=−−
= −
2. 2. 2. 2. 2. 3
3 2 5
3 2 5
3 2 5
3 2 15
3 20
3 2 15
17
3 2 15
17
−⋅ +
+
= +−
= +−
= − +
3. 3. 3. 3. 3. 2 5
1 5
1 5
1 5
2 2 5 5 5
1 5
7 3 5
4
7 3 5
4
+−
⋅ ++
= + + +−
= +−
= − +
4. 4. 4. 4. 4. 2 5
2 5
2 5
2 5
2 2 10 5
2 5
7 2 10
3
7 2 10
3
+−
⋅ ++
= + +−
= +−
= − +
5. 5. 5. 5. 5. 2 3 7
3 7
3 7
3 7
6 2 21 21 7
3 7
13 3 21
4
3 21 13
4
−+
⋅ −−
= − − +−
= −−
= −
6. 6. 6. 6. 6. 6 2 5
2 6 52 6 52 6 5
12 5 30 1024 5
22 5 3019
+−
⋅++
=+ +
−=
+
7. 7. 7. 7. 7. 5 2 3 3
3 2 4 3
3 2 4 3
3 2 4 3
30 29 6 36
18 48
66 29 6
30
66 29 6
30
+−
⋅ ++
= + +−
= +−
= − +
8. 8. 8. 8. 8. 7 2 11
2 7 11
2 7 11
2 7 11
14 5 77 22
28 11
36 5 77
17
−
+⋅
−
−=
− +−
=−
EJERCICIO 251
1. 1. 1. 1. 1.
( )x
x
xx
− =
− =
− ==
8 2
8 2
8 412
2 2
2. 2. 2. 2. 2.
( )
5 3 1 0
5 3 1
5 3 125 3 124 3
8
2 2
− + =
= +
= += +==
x
x
xxx
x
3. 3. 3. 3. 3.
( )
7 5 2 9
5 2 2
5 2 2
5 2 85 10
2
3
3
33 3
+ − =
− =
− =
− ===
x
x
xx
xx
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
9 5 3 1
9 5 3 1
9 5 3 1
9 5 9 6 16 61
2
2
22 2
2 2
x x
x x
x x
x x xx
x
− − = −
− = −
− = −
− = − +− = −
=
5. 5. 5. 5. 5.
( )x x x
x xx x
xx
2
2
2 1 9
1 9
1 92 10
5
− + = −
− = −
− = −==
6. 6. 6. 6. 6.
( )
15 7 1 12
3 7 1
3 7 1
27 7 128 74
3
3
3 33
− − =
= −
= −
= −==
x
x
xxx
x
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )
x x
x x
x x x
x
x
x
x
xx
+ + =
+ = −
+ = − +
= −
= −
− = −
=
==
7 7
7 7
7 49 14
7 49 14
1 7 2
6 2
3
39
2 2
2 2
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )
x x
x x
x x x
x
x
xxx
+ − + = −
+ = + −
+ = + − + +
− = − +
= +
= +
= +=
10 19 1
10 19 1
10 19 2 19 1
10 2 19
5 19
5 19
25 196
2 2
2 2
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( )
4 11 7 2 29
4 11 7 2 29
4 11 49 2 294 11 98 1 421
1 410 9415
2 2
x x
x x
x xx x
xx
− = −
− = −
− = −− = −
==
..
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )5 19 5 1
5 19 5 1
5 19 5 2 5 1
20 2 5
10 5100 5
20
2 2
x x
x x
x x x
x
xx
x
− − = −
− = −
− = − +
− = −
===
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )x x
x x
x x x
x
xx
x
− + = +
− + = +
− + − + = +
− =
− =− =
=
2 5 53
2 5 53
2 10 2 25 53
10 2 30
2 32 9
11
2 2
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( )
3 5 3 14 9
3 5 9 3 14
3 5 81 18 3 14 3 14
72 18 3 14
4 3 14
16 3 1430 310
2 2
2 2
x x
x x
x x x
x
x
xx
x
− + − =
− = − −
− = − − + −
− = − −
= −
= −==
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )( )
9 14 3 10 4
9 14 3 10 4
9 14 9 10 24 10 16
14 90 24 10 16
120 24 10
5 1025 1015
2 2
x x
x x
x x x
x
x
xxx
− = + −
− = + −
− = + − + +
− = − + +
− = − +
= += +=
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )x x
x x
x x x
x
xxx
− − + = −
− = + −
− = + − + +
− = − +
= += +=
16 8 4
16 8 4
16 8 8 8 16
40 8 8
5 825 817
2 2
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )5 1 3 5 26
5 1 3 5 26
5 1 6 5 1 9 5 26
6 5 1 18
5 1 35 1 9
5 102
2 2
x x
x x
x x x
x
xx
xx
− + = +
− + = +
− + − + = +
− =
− =− =
==
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( )13 13 4 2
13 2 13 4
169 52 4 13 4
52 156
39
2 2
− + =
− = +
− + = +
− = −
==
x x
x x
x x x
x
xx
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( )( )
( ) ( )
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x xx
x
− + + = −
− + + = −
− + − + + = −
+ − = −
− = −
− = − +− = −
=
4 4 2 1
4 4 2 1
4 2 16 4 4 1
2 2 16 4 4
2 16 2 4
4 64 4 16 1680 165
2 2
2
2
22 2
2 2
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )
( ) ( )( )
9 7 16 7 0
9 7 16 7
9 7 2 9 7 16 7
2 9 7 6 14
2 9 7 6 14
4 9 7 36 168 196
36 28 36 168 196196 196
1
2 2
2
2
22 2
2 2
2 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x xxx
+ − − − =
+ − = −
+ − + + = −
− + = −
− + = −
+ = − +
+ = − +==
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )( )
( ) ( )
9 10 2 3 2
9 10 2 3 2
9 10 4 9 37 30 4 3 2
13 22 2 4 9 37 30
12 24 4 9 37 30
3 6 9 37 30
3 6 9 37 30
9 36 36 9 37 3036 30 37 36
6
2 2
2
2
2
2
2 22
2 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xx x
x
+ − + = −
+ − + = −
+ − + + + + = −
+ − + = + +
+ = + +
+ = + +
+ = + +
+ + = + +− = −
=
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )( )
( ) ( )
18 8 2 4 2 2 1 0
18 8 2 4 2 2 1
18 8 2 4 4 4 6 4 4 2 1
18 8 10 4 4 6 4
8 8 4 4 6 4
2 2 4 6 4
2 2 4 6 4
4 8 4 4 6 42 8
4
2 2
2
2
2
2
2 22
2 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xxx
− − − − + =
− = − + +
− = − + − − + +
− = + − −
− = − −
− = − −
− = − −
− + = − −− = −
=
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( )
( ) ( )
8 9 18 34 2 7 0
8 9 2 7 18 34
8 9 2 16 74 63 2 7 18 34
10 16 2 16 74 63 18 34
2 16 74 63 8 18
16 74 63 4 9
16 74 63 4 9
16 74 63 16 72 812 18
9
2 2
2
2
2
2
22 2
2 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xxx
+ − + + + =
+ + + = +
+ + + + + + = +
+ + + + = +
+ + = +
+ + = +
+ + = +
+ + = + +==
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )
( ) ( )
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xx
x
− − − = −
− − − = −
− − − + + − = −
− − + = − +
− + = − +
− + = − +
− = − +
− + = −==
2 5 4 23
2 5 4 23
2 2 7 10 5 4 23
2 7 4 23 2 7 10
2 16 2 7 10
8 7 10
8 7 10
64 16 7 1054 9
6
2 2
2
2
2
2
2 22
2 2
23. 23. 23. 23. 23.
( ) ( )( )
( ) ( )
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xx
+ − + = − +
+ + + = +
+ + + + + + = +
+ + + + = +
+ + = +
+ + = +
+ + = +
+ + = + += −
6 9 70 2 9
6 2 9 9 70
6 4 15 54 4 9 9 70
5 42 4 15 54 9 70
4 15 54 4 28
15 54 7
15 54 7
15 54 14 495
2 2
2
2
2
2
22 2
2 2
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( )
( ) ( )
x a x a x a
x a x a x a
x a x a x a x a
x x a x a
x a x a
x a x a
x a x a
x a x ax aax ax a
− + + = −
− + + = −
− + − + + = −
+ − = −
− = −
− = −
− = −
− = − +
==
4 2
4 2
2 4 2
2 2 4 2
2 2 2
22 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 2 2 2
2
25. 25. 25. 25. 25.
( ) ( )
( ) ( )( )
x ab b x
x ab x b
x ab x b x b
b x b ab
x b a
x a b
x a b
− = − +
− = +
− = − +
= +
= +
= +
= +
4 2
4 2
4 4 4
4 4 4
2 2
2
2
2 2
2
26. 26. 26. 26. 26.
( ) ( )
( ) ( )
( )
x a x a
x a x a
x a x a x a
a x a
a x a
a x a
a a x aa a x
a x
+ − + − =
+ − = + −
+ − + + = + −
+ = +
+ = +
+ = +
+ + = +− + =
− =
4 2 1 1
4 1 2 1
4 2 4 1 2 1
2 2 2 4
1 4
1 4
2 1 42 1
1
2 2
2 2
2
2
2
EJERCICIO 252
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )
x xx
x x x
x x x
x x x xxx
+ + =
+ + =
+ = −
+ = − +==
510
5 10
5 10
5 100 2025 100
4
2 2
22
22
2 2
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
( ) ( )
4 11 255
4 11
4 11 2 4 11 55
4 11 2 4 11 55
2 4 11 66 4
4 11 33 2
4 11 33 2
4 11 1 089 132 4121 1 089
9
2
2
2
2
22 2
2 2
x xx
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xxx
− + =−
− + − =
− + − =
− = −
− = −
− = −
− = − +==
.
.
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )
x xx
x x x
x x x
x x x xx
− − =
− − =
− = −
− + = −=
74
7 4
4 7
8 16 716
2 2
2 22
2 2
4. 4. 4. 4. 4.
( )( ) ( )( )
( )
xx
xx
x x x x
x x x x
x
x
xx
−+
=+
+
− + = + +
+ − = + +
=
=
==
24
113
2 13 1 4
11 26 5 4
6 30
5
525
2 2
2 2
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
( ) ( )
68
8
6 8 8
6 8 8
8 2
8 2
8 4 44 4
1
2
2
2
22 2
2 2
xx x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xxx
+= + −
= + − +
= + − +
+ = +
+ = +
+ = + +==
6. 6. 6. 6. 6.
( )( ) ( )
( ) ( )
xx
x
x x x
x x x
x x x
x x x xxx
− ++
= +
− + + = +
+ − + = +
+ − = +
+ − = + +==
38
99
3 9 8 9
6 27 8 9
6 27 1
6 27 2 14 28
7
2
2
22 2
2 2
7. 7. 7. 7. 7.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
xx
xx
x x x x
x x x x
x
x
xx
+−
=+−
+ − = + −
+ − = + −
=
=
==
42
111
4 1 11 2
3 4 9 22
18 6
3
39
2 2
2 2
8. 8. 8. 8. 8.
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 6 4 39
4 3
2 6 4 3 4 3 9
2 4 21 18 4 3 9
2 4 21 18 4 3 9
2 4 21 18 4 6
4 4 21 18 16 48 36
16 84 72 16 48 3636 108
3
2
2
2
22 2
2 2
2 2
x xx
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x xxx
+ − − =−
+ − − − =
+ − − − =
+ − − + =
+ − = +
+ − = + +
+ − = + +==
.....
9. 9. 9. 9. 9.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
xx
xx
x x x x
x x x x
x
x
xx
−+
=−−
− − = − +
− + = − −
=
=
==
22
2 52 1
2 2 1 2 5 2
2 5 2 2 10
12 4
3
39
2 2
2 2
10. 10. 10. 10. 10.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
x xx
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xxx
+ − − =−
+ − − − =
+ − − − =
+ − − + =
+ − = −
+ − = − +==
14 76
7
14 7 7 6
7 98 7 6
7 98 7 6
7 98 1
7 98 2 19 99
11
2
2
2
22 2
2 2
EJERCICIO 253
1. 1. 1. 1. 1. ( )− = − = − =a a a ai2 2 1 1
2. 2. 2. 2. 2. ( )− = − = − =2 2 1 2 1 2 i
3. 3. 3. 3. 3. ( )2 9 2 3 1 6 1 62− = − = − = i
4. 4. 4. 4. 4. ( )− = − = − =81 9 1 9 1 92 i
5. 5. 5. 5. 5. ( )− = − = − =6 6 1 6 1 6 i
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )3 3 1 3 1 34 2 2 2 2− = − = − =b b b b b i
7. 7. 7. 7. 7. ( )− = ⋅ − = − =12 2 3 1 2 3 1 2 32 i
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )− = − = − =7 7 1 7 1 7 i
9. 9. 9. 9. 9. ( )− = ⋅ − = − =27 3 3 1 3 3 1 3 32 i
10. 10. 10. 10. 10. ( )− = − = − =4 2 1 2 1 24 2 2 2 2 2m m m m i m
11. 11. 11. 11. 11. ( )− = − = − =1
1614
114
1142 i
12. 12. 12. 12. 12. ( )− − = − + = − + = +a b a b a b i a b2 2 2 2 2 2 2 21 1
EJERCICIO 254
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
− = − =
− = − =
= + =
4 2 1 2
16 4 1 4
2 4 6
2
2
i
ii i i
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )( )
− = − =
− = − =
− − = − − = −
= + − =
25 5 1 5
81 9 1 9
49 7 1 7
5 9 7 7
2
2
2
i
i
i
i i i i
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
2 9 2 3 1 6
3 100 3 10 1 30
6 30 36
2
2
− = − =
− = − =
= + =
i
ii i i
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( )
3 64 3 8 1 24
5 49 5 7 1 35
3 121 3 11 1 33
24 35 33 22
2
2
2
− = − =
− − = − − = −
− = − =
= − + =
i
i
i
i i i i
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )
( )
2 2 1 2
1
1
2 2
2 2
4 2 2 2
6 4 2 3
2 3 2 3
− = − =
− = − =
− = − =
= + + = + +
a a a i
a a a a i
a a a a i
a i a i a i i a a a
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )
− = ⋅ − =
− = ⋅ − =
− = ⋅ − =
= + + =
18 3 2 1 3 2
8 2 2 1 2 2
2 50 2 5 2 1 10 2
3 2 2 2 10 2 15 2
2
2
2
i
i
i
i i i i
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )
( )
3 20 3 2 5 1 6 5
2 45 2 3 5 1 6 5
3 125 3 5 5 1 15 5
6 5 6 5 15 5 15 5
2
2
2
− = ⋅ − =
− − = − ⋅ − = −
− = ⋅ − =
= − + =
i
i
i
i i i i
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )
− = − =
− = − =
− − = − − = −
= + − =
a a a i
a a a i
a a a i
a i a i a i a i
4 4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
2 2 2 2
1
4 9 4 3 1 12
3 4 3 2 1 6
12 6 7
EJERCICIO 255
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −= −
16 25
4 1 5 1
20 1
20 120
2
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −= −
81 49
9 1 7 1
63 1
63 163
2
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
5 36 4 64
5 6 1 4 8 1
30 1 32 1
960 1
960 1960
2
− ⋅ −
= ⋅ − ⋅ ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −= −
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −
= −
3 2
3 1 2 1
6 1
6 1
6
2
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )
− ⋅ − ⋅ −
= − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
= − −
= − −= −
2 3 5 10
2 1 3 5 1 10 1
3 2 5 10 1
3 100 1
30 130
3
i
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
− ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= −
= ⋅ ⋅=
12 27 8 50
2 3 1 3 3 1 2 2 1 5 2 1
60 9 4 1
60 3 2 1360
4
11. 11. 11. 11. 11.
( )( )
− − ⋅ −
= − − ⋅ −
= − −
= − −
=
5 3
5 1 3 1
15 1
15 1
15
2
x y
x y
xy
xy
xy
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
− + −
− − −
− + −
− − − −
− + − − −= − − + = −
4 9
25 16
10 1 15 1
8 1 12 1
10 1 7 1 12 110 7 12 5
2 2
2 2
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
− + −
− − −
− + −
− − − −
− − −= − +=
2 3 5
2 2 6 5
2 4 1 6 10 1
6 10 1 18 25 1
4 1 90 14 90
86
2 2
2 2
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
2 5 3 7
2 5 1 3 7 1
6 35 1
6 35 1
6 35
2
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −
= −
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= −= −
3 75
3 1 25 3 1
5 3 1
15 115
2 2
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
2 7 3 28
2 7 1 3 4 7 1
6 4 7 1
12 7 184
2 2
− ⋅ −
= − ⋅ −
= −
= ⋅ −= −
8. 8. 8. 8. 8. − ⋅ − ⋅ −
= − ⋅ − ⋅ −
= −
= − −
= − −= −
49 4 9
7 1 2 1 3 1
42 1
42 1
42 1
42
3
e je j
i
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 5 3
2 4 3
2 4 1 5 6 1
8 6 1 20 9 1
4 1 3 6 1 60 1
4 3 6 60
56 3 6
2 2
2 2
− + −
− − −
− + −
− − − −
− − − − −
= − + +
= +
EJERCICIO 256
1. 1. 1. 1. 1. −
−=
−
−=
16
4
4 1
2 12 2. 2. 2. 2. 2.
−
−=
−
−= =
10
2
10 1
2 1
10
25 3. 3. 3. 3. 3.
−
−=
−
−= = = =
81
3
9 1
3 1
9
3
9 3
9
9 3
33 3
4. 4. 4. 4. 4. −
−=
−
−= =
90
5
3 10 1
5 13
10
53 2
5. 5. 5. 5. 5. −
−=
−
−= =
150
3
5 6 1
3 15
6
35 2
6. 6. 6. 6. 6. 10 36
5 4
60 1
10 16
−
−=
−
−=
7. 7. 7. 7. 7. 2 18
6
6 2 1
6 1
6 2
6
6 12
36
6 2 3
62 3
2−
−=
−
−= = =
⋅=
8. 8. 8. 8. 8. −
−=
−
−= =
315
7
3 35 1
7 13
35
73 5
9. 9. 9. 9. 9. −
−=
−
−= = = = = =
27
3
27 1
3 1
27
39 3 3 3 3
4
4
4
44 4 24
2
4
1
2
10. 10. 10. 10. 10. −
−=
−
−= = = = = =
300
12
300 1
12 1
300
1225 5 5 5 5
4
4
4
44 4 24
2
4
1
2
EJERCICIO 257
1. 1. 1. 1. 1. 2 3 1
5 2 1
7 1
7
+ −
− −
+ −+ i
2. 2. 2. 2. 2. − − −
− + −
− + −− +
4 5 1
2 8 1
6 3 1
6 3 i
3. 3. 3. 3. 3. 12 11 1
8 7 1
20 4 1
20 4
− −
+ −
− −− i
4. 4. 4. 4. 4. 5 1
7 2 1
9 7 1
21 10 1
21 10
+ −
+ −
+ −
+ −+ i
5. 5. 5. 5. 5. 3 2
5 8
10 13
2 3
−−
− +
− +
i
i
i
i
6. 6. 6. 6. 6. 1
4 3
2 5
5 2 7
−+
+
+ +
i
i
i
i
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )
2 2
4 3
6 2 1 3 1
6 2 3
6 2 3
+ −
− −
+ − − −
+ −
+ −
i i
i
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
7 5
2 9
4 16
3 2 5 1 9 1 16 1
3 2 5 3 4
3 2 5
3 2 5 1
+ −
− −
− + −
+ + − − − + −
+ + − +
+ + +
+ + +
i i i
i i
i
EJERCICIO 258
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )( ) ( )
7 2 1 7 2 1
7 7 2 2 17 214
− − + + −
= + + − + −= ⋅=
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( ) ( )
− − − + − + −
= − − + − + −= − ⋅= −
5 3 1 5 3 1
5 5 3 3 15 210
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( ) ( )
9 3 9 3
9 9 39 218
+ + −
= + + −= ⋅=
i i
i i
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )( ) ( )
− − − + − + −
= − − + − + −= − ⋅= −
7 5 1 7 5 1
7 7 5 5 17 214
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )( ) ( )
8 3 2 8 3 2
8 8 3 3 2 18 216
− − + + −
= + + − + −= ⋅=
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )( ) ( )2 3 2 3
2 2 3
2 2
+ + −
= + + −
=
i i
i i
EJERCICIO 259
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )3 2 1 5 3 1
3 2 1
5 3 1
2 5 12 5
− − − + −
− −
− − −
− − −− − i
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )8 4 1 3 10 1
8 4 1
3 10 1
5 14 15 14
+ − − − −
+ −
− + −
+ −+ i
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )− − − − − − −
− − −
+ + −
+ −+
1 1 7 8 1
1 1
7 8 1
6 7 16 7 i
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )4 7 1 5 3 1
4 7 1
5 3 1
1 4 11 4
− − − − −
− −
− + −
− − −− − i
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )15 4 1 8 7 1
15 4 1
8 7 1
7 3 17 3
− − − − −
− −
− + −
+ −+ i
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )11 80 1 3 50 1
11 80 1
3 50 1
8 130 18 130
+ − − − −
+ −
− + −
+ −+ i
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )
( )( )( )
5 25 3 6
5 253 6
2 25 1 6
2 5 6
2 112 11
− − − +
− −− −
+ − − −
+ − −
+ −−
i
i
i
i i
ii
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )
( )( )
4 5 2 3
4 5
2 3
2 5 1 3 1
2 5 3
2 5 3
+ − − + −
+ −
− − −
+ − − −
+ −
+ −
i i
i
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
2 5 1 3 6 1
2 5
3 6
2 3 5 6
2 3 11
2 3 11
− − − + −
−
− −
− + − −
− + −
− −
i
i
i i
i
i
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( )( )( )
8 7 7 3
8 7
7 3
15 7 1 3 1
15 7 3
15 7 3
− − − − + −
− −
− −
+ − − − −
+ − −
− +
i i
i
EJERCICIO 260
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 1
2 1 2 1
2 2 1 1 1
2 12
− − − + −
− − − − −
= − + − − −
= − −= − i
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )
( ) ( )
7 3 1 7 3 1
7 3 1 7 3 1
7 7 3 3 1
6 16
+ − − − −
+ − − + −
= − + + −
= −= i
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )
( ) ( )
− − − − − + −
− − − + − −
= − + + − − −
= − ⋅ −= −
3 7 1 3 7 1
3 7 1 3 7 1
3 3 7 7 1
7 2 114 i
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )
( ) ( )
− + − − − − −
− + − + + −
= − + + + −
= −
=
5 2 5 2
5 2 5 2
5 5 1 1 2 1
2 2 1
2 2 i
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( ) ( )
2 3 2 3
2 3 2 3
2 2 1 1 3 1
2 3 1
2 3
+ − − − −
+ − − + −
= − + + −
= −
= i
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )− − − − − + −
− − − + − −
− − −
+ − −
− − = − −
= −
5 4 2 5 4 2
5 4 2 5 4 2
5 4 2
5 4 2
8 2 8 2 1
8 2 i
EJERCICIO 261
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )
3 4 1
5 3 1
15 20 1
9 1 12 1
15 29 1 12 115 29 123 29
2
− −
− −
− −
− − + −
− − + −− −−
ii
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
4 7 1
3 2 1
12 21 1
8 1 14 1
12 29 1 14 112 29 142 29
2
+ −
− − −
− − −
− − − −
− − − − −− − +
−ii
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
7 4
5 9
35 5 4 1
7 9 1 4 9 1
35 10 1 21 1 36 135 10 21 641 11
2
− −
+ −
− −
+ − − −
− − + − − −− + ++
i ii
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
8 9
11 25
88 11 9 1
8 25 1 9 25 1
88 33 40 15 188 7 15103 7
2
− −
+ −
− −
+ − − −
− + − −+ ++
i iii
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
3 2
5 2
15 5 2 1
3 2 1 2 2 1
15 2 2 1 4 1
15 2 2 2
17 2 2
2
+ −
− −
+ −
− − − −
+ − − −
+ +
+
i
i
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )
( )( ) ( )
4 3
5 2
20 5 3 1
4 2 1 2 3 1
20 5 3 4 2 6 1
20 5 3 4 2 6
20 6 5 3 4 2
2
+ −
− −
+ −
− − − −
+ − − −
+ − +
+ + −
i i
i
i
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
( )( ) ( )
2 5
3 2
6 3 5 1
2 2 1 5 2 1
6 15 4 10 1
6 15 2 10
6 10 15 2
2
+ −
+ −
+ −
+ − + −
+ + + −
+ + −
− + +
i i
i i
i
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )
5 3
5 2 3
25 5 3 1
2 5 3 1 2 9 1
5 15 2 15 6 1
5 3 15 6
3 15 1
2
+ −
+ −
+ −
+ − + −
+ + + −
+ −
−
i i
i
i
EJERCICIO 262
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
( )( )
1 1
1
1 1
1 11 1 2
2
2
− +
= −
= − −
= − −= + =
i i
i
2. 2. 2. 2. 2. ( )( )( )( )[ ]
3 2 1 3 2 1
3 2 1
9 4 1
9 4 13
2 2
+ − − −
= − −
= − −
= + =
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )( ) ( )
( )[ ]( )[ ]
2 5 2 5
2 5
2 25 1
2 25 1
2 25 27
2 2
2
− +
= −
= − −
= − −
= + =
i i
i
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )( ) ( )
( ) ( )[ ]( )[ ]
2 3 4 2 3 4
2 3 4
4 3 16 1
12 16 1
12 16 28
2 2
2
+ −
= −
= − −
= − −
= + =
i i
i
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )( )
( )[ ]( )[ ]
5 2 5 2
25 2
25 2 1
25 2 1
25 2 1
25 2 27
2
2
2
− − + −
= − −
= − −
= − −
= − −
= + =
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )( )( )
( )[ ]
− − − − + −
= − −
= − −
= − −
= + =
9 5 9 5
81 5
81 5 1
81 5 1
81 5 86
2
2
EJERCICIO 263
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )
1 11 1
1 11 1
1 2 1 1
1 1
1 2 11 1
22
2
2
+ −− −
⋅+ −+ −
=+ − + −
− −=
+ −+
= =i i
i
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
3 13 1
3 13 1
9 6 1 1
9 1
9 6 19 1
8 610
4 352
+ −− −
⋅+ −+ −
=+ − + −
− −=
+ −+
=+
=+i i i
3. 3. 3. 3. 3.
( )( ) ( )[ ]
5 3 13 4 1
3 4 13 4 1
15 29 1 12 1
9 4 1
15 29 129 16 1
3 29252
− −+ −
⋅− −− −
=− − + −
− −=
− −− −
=−i i
4. 4. 4. 4. 4. 8 57 6
7 67 6
56 83 3049 36
56 83 3049 36
26 8385
2
2−+
⋅−−
=− +
−=
− −+
=−i
iii
i ii
i i
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( )
( )
4 35 4 3
5 4 35 4 3
20 21 3 1 4 3 1
25 4 3 1
20 21 3 1225 48
8 21 373
2
2
+ −− −
⋅+ −+ −
=+ − + −
− −
=+ −
− −=
+i i
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 54 2 5
4 2 54 2 5
4 2 9 2 5 1 2 5 1
16 2 5 1
8 9 10 1032 5
9 10 237
2 2
2 2
+ −− −
⋅+ −+ −
=+ − + −
− −
=+ −
+=
−i i
EJERCICIO 265
1. 1. 1. 1. 1. 3 5 2 053
23
0
53
23
53
2536
2536
23
56
25 2436
56
16
56
16
5 16
1
5 16
46
23
2
2
2
2
2
1
2
x x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
− + =
− + =
− = −
− + = −
−
=
−
− = ±
= ±
=+
=
=−
= =
2. 2. 2. 2. 2. 4 3 22 034
224
34
964
112
964
38
352 964
2
2
2
2
x x
xx
xx
x
+ − =
+ =
+ + = +
+
=
+
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación2. Continuación
x
x
x
x
+ = ±
= − ±
= − + = =
=− −
= − = −
3
8
361
64
3
8
19
83 19
8
16
82
3 19
8
22
8
11
4
1
2
3. 3. 3. 3. 3. x x
x x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
11 24
111214
1214
24
112
121 964
112
254
112
52
11 52
62
3
11 52
162
8
+ = −
+ + = −
+
=
−
+ = ±
= − ±
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
4. 4. 4. 4. 4.
( )
x xx x
x x
xx
xxx
2
2
2
2
1
2
16 6316 63
16 64 64 63
8 18 1
8 18 1 98 1 7
= −
− = −− + = −
− =− = ±
= ±= + == − =
5. 5. 5. 5. 5. 12 4 9 09 12 49 12 4
129
49
43
49
49
49
23
0
23
0
23
2
2
2
2
2
2
1 2
x xx xx x
xx
xx
x
x
x x
− − =
− + =
− = −
− = −
− + = −
−
=
− =
= =
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( )
5 7 90 0
7 7 4 5 902 5
7 49 1 80010
7 1 84910
7 4310
7 4310
5010
5
7 4310
3610
3
2
2
1
235
x x
x
x
x
x
x
− − =
=± − −
=± +
=±
=±
=+
= =
=−
= − = −
.
.
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )
6 222
6 222 0
1 1 4 6 2222 6
1 5 32912
1 7312
1 7312
7412
6
1 7312
7212
6
2
2
2
116
2
x xx x
x
x
x
x
x
= +
− − =
=± +
=±
=±
=+
= =
=−
=−
= −
.
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )
x xx x
x
x
x
x
x
+ =
− − =
=± − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
11 10
10 11 0
1 1 4 10 112 10
1 1 44020
1 2120
1 2120
2220
1
1 2120
2020
1
2
2
2
11
10
2
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( )( )
49 70 25 0
70 70 4 49 252 49
70 4 900 4 90098
7098
57
2
2
1 2
x x
x
x
x x
− + =
=± −
=± −
= = =
. .
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( )( )
12 7 64 07 12 64 0
12 12 4 7 64
2 7
12 144 1 79214
12 1 93614
12 4414
12 4414
3214
2
12 4414
5614
4
2
2
2
127
2
x xx x
x
x
x
x
x
x
− + =
− + + =
=− ± − −
−
=− ± +
−
=− ±
−
=− ±
−
=− +
−= − = −
=− −
−=
−−
=
.
.
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )( )
x xx x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
15 5615 56 0
15 15 4 1 562 1
15 225 2242
15 1215 12
142
7
15 12
162
8
= −
+ + =
=− ± −
=− ± −
=− ±
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )( )( )
32 18 17 0
18 18 4 32 172 32
18 324 2 17664
18 2 50064
18 5064
18 5064
3264
12
18 5064
6864
1
2
2
1
21
16
x x
x
x
x
x
x
x
+ − =
=− ± − −
=− ± +
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
.
.
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( ) ( )( )
176 121 64
64 176 121 0
176 176 4 64 1212 64
176 30 976 30 976128
176128
1
2
2
2
1 238
x xx x
x
x x
= +
− + =
=± −
=± −
= = =
. .
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )( )( )
8 5 3636 8 5 0
8 8 4 36 5
2 36
8 64 72072
8 78472
8 2872
8 2872
2072
518
8 2872
3672
12
2
2
2
1
2
x xx x
x
x
x
x
x
x
+ =
− + + =
=− ± − −
−
=− ± +
−
=− ±
−
=− ±
−
=− +
−= − = −
=− −
−=
−−
=
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( ) ( )( )
27 12 7 0
12 12 4 27 72 27
12 144 75654
12 90054
12 3054
1854
13
12 3054
4254
79
2
2
1
2
x x
x
x
x
x
x
+ − =
=− ± − −
=− ± +
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( ) ( )( )
15 25 2
25 15 2 0
15 15 4 25 22 25
15 225 20050
15 2550
15 550
2050
25
15 550
1050
15
2
2
2
1
2
x xx x
x
x
x
x
x
= +
− + =
=± −
=± −
=±
=+
= =
=−
= =
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( ) ( )( )
8 2 3 0
2 2 4 8 32 8
2 4 9616
2 10016
2 1016
2 1016
1216
34
2 1016
816
12
2
2
1
2
x x
x
x
x
x
x
x
− − =
=± − −
=± +
=±
=±
=+
= =
=−
=−
= −
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( )( )
105 22 105 0
1 1 4 2 1052 2
1 1 8404
1 8414
1 294
1 294
284
7
1 294
304
7
2
2
2
1
212
= +
+ − =
=− ± − −
=− ± +
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
x xx x
x
x
x
x
x
x
EJERCICIO 266
1. 1. 1. 1. 1. ( )
( ) ( )( )( )
x x x
x x xx x x
x x
x
x
x
x
x
+ = +
+ = +
+ − − =
− − =
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
3 5 3
3 5 33 5 3 0
2 3 0
2 2 4 1 32 1
2 4 122
2 42
2 42
62
3
2 42
22
1
2
2
2
2
1
2
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
3 3 2 4 4
9 6 169 22 0
9 9 4 1 222 1
9 1692
9 132
42
2
9 132
222
11
2
2
2
1
2
x x x
x xx x
x
x
x
x
− = + −
− = − ++ − =
=− ± − −
=±
=− +
= =
=− −
=−
= −
3. 3. 3. 3. 3. ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
9 1 3 5 3 2
9 1 3 15 69 1 2 9
0 2 8 10
8 8 4 2 102 2
8 64 804
8 124
8 124
204
5
8 124
44
1
2
2 2
2
2
2
1
2
x x x x
x x x xx x x
x x
x
x
x
x
x
+ = − − − +
+ = − − + ++ = + −
= − −
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 3 5 23
4 12 9 10 25 23 0
3 22 7 0
22 22 4 3 72 3
22 4006
22 206
22 206
426
7
22 206
26
13
2 2
2 2
2
2
1
2
x x
x x x xx x
x
x
x
x
x
− − + = −
− + − − − + =− + =
=± −
=±
=±
=+
= =
=−
= =
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( ) ( )( )( )
25 2 7 81
25 100 100 14 49 8124 114 132 0
4 19 22 0
19 19 4 4 222 4
19 361 3528
19 38
19 38
168
2
19 38
228
2
2 2
2 2
2
2
2
1
234
x x
x x x xx x
x x
x
x
x
x
x
+ = − −
+ + = − + −+ + =
+ + =
=− ± −
=− ± −
=− ±
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
3 2 6 23 3
3 6 6 23 693 30 75 0
10 25 0
10 10 4 1 252 1
10 100 1002
102
5
2
2
2
2
1 2
x x x x
x x x xx xx x
x
x
x x
− − − = −
− − + = −
− + =
− + =
=± − −
=± −
= = =
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
7 3 5 1 5 2
7 21 5 5 5 107 16 5 4 10
17 16 0
17 17 4 1 16
2 1
17 2252
17 152
17 152
22
1
17 152
322
16
2 2
2 2 2
2 2
2
2
1
2
x x x x x
x x x x xx x x x
x x
x
x
x
x
x
− − − = − +
− − + = − −
− − = − −
− + − =
=− ± − − −
−
=− ±
−
=− ±
−
=− +
−=
−−
=
=− −
−=
−−
=
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
x x x
x x x x x xx x x
x xx x
x
x
x
x
− − − = − −
− + − + − = − + −
− = − −
− − =
− − =
=± − − −
=±
=+
= =
=−
=−
= −
5 6 2 3 118
10 25 12 36 4 12 9 1182 11 4 12 109
4 14 98 02 7 49 0
7 7 4 2 492 2
7 4414
7 214
284
7
7 214
144
3
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
1
212
9. 9. 9. 9. 9. ( ) ( )
( ) ( )( )( )
5 2 3 1 60 0
25 20 4 9 6 1 60 015 26 57 0
26 26 4 15 572 15
26 676 3 42030
26 6430
26 6430
9030
3
26 6430
3830
1
2 2 2
2 2 2
2
2
1
24
15
x x x
x x x x xx x
x
x
x
x
x
− − + − − =
− + − − − − − =− − =
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
.
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( ) ( )( )( )
x x
x x x x x xx x
x x
x
x
x
x
x
+ − − =
+ + + − + − + − =
+ − =
− − + =
=± − − −
−
=±−
=±−
=+−
=−
= −
=−−
=−−
=
4 3 343
12 48 64 9 27 27 343 0
21 21 252 012 0
1 1 4 1 12
2 1
1 492
1 72
1 72
82
4
1 72
62
3
3 3
3 2 3 2
2
2
2
1
2
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
x x x x
x x x x x x x xx x
x
x
x
x
+ − − = + +
+ + + − + − + = + +
+ + =
=− ± −
=− ± −
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
2 1 3 4 8
6 12 8 3 3 1 3 4 86 5 1 0
5 5 4 6 12 6
5 25 2412
5 112
412
13
5 112
612
12
3 3
3 2 3 2 2
2
2
1
2
12. 12. 12. 12. 12. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
5 4 3 5 2 1 20 2 27
25 40 16 6 7 5 20 40 2719 47 21 20 40 27
7 6 0
7 7 4 1 6
2 1
7 49 242
7 252
7 52
122
6
7 52
22
1
2
2 2 2
2 2
2
2
1
2
x x x x x
x x x x x xx x x x
x x
x
x
x
x
x
− − + − = − +
− + − − + = − +
− + = − +
− − − =
=± − − − −
−
=± −
−
=±−
=+
−=
−= −
=−
−=
−= −
EJERCICIO 267
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )x x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
3 2 0
32
34
2
32
94
2
32
14
32
12
42
2
32
12
22
1
− + =
= −−
±−
−
= ± −
= ±
= + = =
= − = =
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( ) ( )
x x
x
xxxx
2
2
1
2
2 15 0
22
24
15
1 1 151 41 4 51 4 3
− − =
= −−
±−
− −
= ± += ±= + == − = −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )
x xx x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
19 8819 88 0
192
194
88
192
3614
88
192
94
192
32
222
11
192
32
162
8
= −− + =
= −−
±−
−
= ± −
= ±
= + = =
= − = =
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
x xx x
x
x
xxx
2
2
2
1
2
4 2854 285 0
42
44
285
2 4 285
2 2892 17 152 17 19
+ =+ − =
= − ± − −
= − ± +
= − ±= − + == − − = −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( )
5 1 2 2 7 8
5 5 4 14 8 09 8 0
92
94
8
92
814
8
92
494
92
72
22
1
92
72
162
8
2
2 2
2
2
1
2
x x x x
x x x xx x
x
x
x
x
x
− − − = −
− − + + =
+ + =
= − ± −
= − ± −
= − ±
= − + =−
= −
= − − =−
= −
6. 6. 6. 6. 6. ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x xx x
x
xxxx
2
2
2
2
1
2
7 6 59
7 6 59 08 65 0
82
84
65
4 16 654 94 9 134 9 5
− + = +
− − − − =
− − =
= −−
±−
− −
= ± += ±= + == − = −
8. 8. 8. 8. 8. ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x xx x
x
x
x
x
x
− + − − =
− − + − =− − =
= −−
±−
− −
= ± +
= ±
= + = =
= − =−
= −
2 2 7 1 21
4 7 7 21 07 18 0
72
74
18
72
494
18
72
1214
72
112
182
9
72
112
42
2
2
2
2
1
2
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 5 7 3
2 3 10 7 2110 11 0
102
104
11
5 25 11
5 365 6 115 6 1
2
2 2
2
2
1
2
x x x x
x x x xx x
x
x
xxx
− − + = +
− − + = +− − =
= −−
±−
− −
= ± +
= ±= + == − = −
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )( )
( ) ( )
x x x x x
x x x x xx xx x
x
x
x
x
x
− + − − + − + =
+ − − − + − + =
− − + =
+ − =
= − ± − −
= − ± +
= − ±
= − + = =
= − − =−
= −
1 2 2 3 4 14 0
2 2 5 12 14 05 24 0
5 24 0
52
54
24
52
254
24
52
1214
52
112
62
3
52
112
162
8
2 2
2
2
2
1
2
7. 7. 7. 7. 7. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x x
x x x x x xx x x xx x
x
x
x
x
x
− + + = − −
− + + + = − + −
+ + = + −− − =
= −−
± − −
= ± +
= ±
= + = =
= − =−
= −
1 11 199 3 2
2 1 11 199 3 4 49 200 2 4 45 204 0
52
54
204
52
254
204
52
8414
52
292
342
17
52
292
242
12
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
1
2
EJERCICIO 268
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( ) ( )( )
x xmcm
x xx x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
2
5 23
1010
2 5 32 5 3 0
5 5 4 2 32 2
5 25 244
5 74
5 74
124
3
5 74
24
12
− = =
− =− − =
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( ) ( )( )
413 3
22
8 26 38 3 26 0
3 3 4 8 262 8
3 9 83216
3 2916
3 2916
3216
2
3 2916
2616
1
2
2
2
1
258
xx
mcm x
x xx x
x
x
x
x
x
− = =
− =
− − =
=± − − −
=± +
=±
=+
= =
=−
=−
= −
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( ) ( )
x xx mcm
x x x
x x xx x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
1
2
6 23 5 6
3 18 5
3 18 9021 90 0
212
214
90
212
814
212
92
302
15
212
92
122
6
− = − =
− = −
− = −
− + =
= −−
±−
−
= ±
= + = =
= − = =
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
14
425
515
53
20
5 4 8 5 4 53
5 20 8 40 4 212 04 13 152 0
13 13 4 4 152
2 4
13 169 2 4328
13 518
13 518
388
4
13 518
648
8
2
2
2
2
2
134
2
x x x
mcm
x x x
x x xx x
x
x
x
x
x
− + − = −
=
− + − = −
− + − − + =
− + + =
=− ± − −
−
=− ± +
−
=− ±
=− +
−=
−= −
=− −
−=
−−
=
.
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( ) ( )
5 12
1 2
5 12
1 2
5 10 2
2 10 0
22
24
10
1 1 10
1 11
1 11
1 11
2
2
2
1
2
x xmcm x
xx mcm x
x x x xx x
x
x
x
x
x
−+
= = +
+
− = + =
+ − = +
− − =
= −−
±−
− −
= ± +
= ±
= +
= −
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( ) ( )
15 11 51
15 11 5
4 5 0
42
44
5
2 4 52 32 3 12 3 5
22
2
2
2
1
2
xxx
mcm x
x x x
x x
x
xxxx
−+
= − =
− + = −
+ − =
= − ± − −
= − ± += − ±= − + == − − = −
7. 7. 7. 7. 7. ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
83 5
5 11
3 3 5 1
8 1 5 1 3 5 3 3 5 1
8 8 15 22 5 9 24 1523 30 5 9 24 1514 6 20 0
2 2 2
2 2
2
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx x x xx x
++
−+
= = + +
+ + − + = + +
+ + + − = + +
+ − = + ++ − =
( ) ( )( )( )x
x
x
x
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
6 6 4 14 202 14
6 1 15628
6 3428
6 3428
2828
1
6 3428
4028
1
2
1
237
.
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
12
11
16
6 2 1
6 1 6 2 2 1
6 6 6 12 3 26 3 20 3 4
32
34
4
32
94
4
32
254
32
52
32
52
82
4
32
52
22
1
2
2
2
2
1
2
x x
mcm x x
x x x x
x x x xx xx x
x
x
x
x
x
−−
−=
= − −
− − − = − −
− − + = − += − +
= − −
= −−
±−
− −
= ± +
= ± = ±
= + = =
= − =−
= −
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
12 3
52
1010 5
10 5 10 2 3 5 2
10 50 20 30 3 1010 80 3 10
0 13 90
132
134
90
2
2
2
2
−−+
=−
= +
+ − − = + −
+ − + = + −
− + = + −
= + −
= − ± − −
xx
xmcm x
x x x x
x x x xx x x
x x
xContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación9. Continuación
x
x
x
x
x
= − ± +
= − ±
=−
±
=−
+ = =
=−
− =−
= −
132
1694
90
132
5294
132
232
132
232
102
5
132
232
362
18
1
2
10. 10. 10. 10. 10. ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
xx
xx
mcm x
x x x x
x x x xx x
x
x
x
x
x
x
−= −
+=
− = − +
− = − −
− + + =
=− ± − −
−
=− ± +
−
=±
−
=− ±
−
=− +
−=
−= −
=− −
−=
−−
=
135
10 5 3
13 5 10 5 3
13 5 50 304 37 30 0
37 37 4 4 30
2 4
37 1 369 4808
37 1 8498
37 438
37 438
68
34
37 438
808
10
22
2
2 2
2
2
1
2
.
.
11. 11. 11. 11. 11. ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x xx x
x
x
x
x
x x
−−
−= = −
− − − = −
− − + = −
− + − = −
= − +
=− − ± − −
=± −
=±
=± ⋅
=±
=±
=+
=−
22 5
22 2
2 2 2 2 5 2
2 2 4 4 5 10
2 2 8 8 5 100 5 18 8
18 18 4 5 82 5
18 324 16010
18 16410
18 2 4110
18 2 4110
9 415
9 415
9 415
2 2 2
2 2 2
2
2
2
1 2;
12. 12. 12. 12. 12. ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
41
1 34
203
12 1
12 4 3 1 1 3 4 1 20
48 9 12 3 80 8023 68 3 0
68 68 4 23 3
2 23
68 4 624 27646
68 4 90046
68 7046
68 7046
246
123
68 7046
13846
3
2
2
2 2 2
2
2
1 2
xx
x xmcm x
x x x x x
x x x x xx x
x
x
x x
−−
−= = −
− − − = −
+ − + = −− + + =
=− ± − −
−
=− ± +
−=
− ±−
=− ±
−
=− +
−=
−= − =
− −−
=−−
=
. .
;
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
3 1 22 1
76
0 6 2 1
6 2 1 3 1 6 2 7 2 1 0
6 6 5 1 12 14 7 0
36 30 6 12 14 7 010 23 6 0
23 23 4 10 62 10
23 529 24020
23 28920
23 1720
23 1720
4020
223 17
20
2 2 2
2 2 2
2
2
1 2
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x xx x
x
x
x x
−−
−− = = −
− − − − − =
− + − − + =
− + − − + =
− + =
=± −
=± −
=±
=±
=+
= = =−
; = =6
203
10
14. 14. 14. 14. 14.
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
5 81
7 42
2 5 8 7 4 1
5 2 16 7 11 4
0 2 13 20
13 13 4 2 202 2
13 169 1604
13 94
13 34
13 34
164
413 3
4104
52
2
2 2
2
2
1 212
xx
xx
x x x x
x x x xx x
x
x
x x
−−
=−
+
+ − = − −
+ − = − +
= − +
=± −
=± −
=±
=±
=+
= = =−
= = =;
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x x xx xx x
x
x
x x
+−
−−+
=
= − +
+ + − − − =
+ + − + − =− + + =
− − =
=± − − −
=± +
=±
=±
=+
= = =−
=−
= −
32 1
5 14 7
0
2 1 4 7
3 4 7 5 1 2 1 0
4 19 21 10 7 1 06 26 20 03 13 10 0
13 13 4 3 102 3
13 169 1206
13 2896
13 176
13 176
306
513 17
64
623
2 2
2
2
2
1 2;
16. 16. 16. 16. 16.
( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
14
16
11
6 4 1
6 1 4 1 6 4
6 6 3 4 24 63 2 24 6
9 22 0
92
94
22
92
814
2292
1694
92
132
92
132
42
29
2132
222
11
2
2
2
2
1 2
−− =
+
= − +
+ − − + = −
+ + − − = −
+ + = −
+ − =
= − ± − −
= − ± + = − ± =−
±
=−
+ = = =−
− =−
= −
x x
mcm x x
x x x x
x x x xx x x
x x
x
x
x x;
17. 17. 17. 17. 17. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx xx x
x
xx x
++
−++
= = + +
+ + − + + = + +
+ + − − − = + +
= + += + −
= − ± − −
= − ± + = − ± = − ±= − + = = − − = −
45
23
124
24 5 3
24 3 4 24 2 5 5 3
24 168 288 24 168 240 8 15
48 8 150 8 33
82
84
33
4 16 33 4 49 4 74 7 3 4 7 11
2 2 2
2
2
2
1 2;
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
51
61
3 8 1
40 48 1 29 1
40 48 48 29 29
29 48 117 0
48 48 4 29 117
2 29
48 2 304 13 57258
48 12658
48 12658
17458
348 126
587858
1
258
2
2
2
2
2
1 21029
x xmcm x
x x
x xx x
x
x
x x
−−
+= = −
− − = −
− + = −
− − + =
=− − ± − −
−
=± +
−=
±−
=+
−=
−= − =
−−
=−−
=
. .
;
19. 19. 19. 19. 19. ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
xx
xx
xx
mcm x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x xx x x
−+
++−
=++
= + − +
− − + + + + + = + + −
− + + + + + + = + −
+ − − + + + + + + + + = − + −
+ + + =
11
11
2 93
1 1 3
1 1 3 1 1 3 2 9 1 1
2 1 3 2 1 3 2 9 1
3 2 6 3 3 2 6 3 2 2 9 92 6 2 6
2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2
3 2 2 9 2 90 3 4 15
3 2
2
x x xx x
+ − −
= − −
( ) ( )( )( )x
x
x x
=± − −
=± +
=±
=±
=+
= = =−
=−
= −
4 4 4 3 152 3
4 16 1806
4 1966
4 146
4 146
186
34 14
6106
1
2
1 223
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
32
12
11
2 2 1
3 2 1 2 1 2 2
3 3 6 3 2 42 6 8 4
6 4 0
62
64
4 3 9 4 3 13
3 13 3 13
2 2 2
2 2
2
2
1 2
x x xmcm x x x
x x x x x x
x x x x xx x xx x
x
x x
+−
−=
+= + − +
− + − + + = + −
− − − − − = −
− − = −
− − =
= −−
±−
− − = ± + = ±
= + = −;
EJERCICIO 269
1. 1. 1. 1. 1. ( )( )
x x
x xx x
2
1 2
6 0
3 2 03 2
− − =
− + == = −
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
x xx x
x xx x
2
2
1 2
7 187 18 0
9 2 09 2
+ =
+ − =
+ − == − =
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
8 658 65 0
13 5 013 5
2
2
1 2
x xx x
x xx x
− = −
+ − =
+ − == − =
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
x xx x
x xx x
2
2
2 2
1 2
108 33 108 0
108 254 2 2 3 327 3 12 9 39 33 31
12 9 012 9
= −
+ − =
⋅ −− =
+ − == − =
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 7 4 0
2 7 2 8 0
2 8 2 12
0
4 2 1 04 0 2 1 0
412
2
2
1 2
x x
x x
x x
x xx x
x x
+ − =
+ − =
+ −=
+ =+ = − =
= − =
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 10 116 11 10 0
6 11 6 60 0
6 15 6 43 2
0
2 5 3 2 02 5 0 3 2 0
52
223
2
2
2
112 2
x xx x
x x
x x
x xx x
x x
= −+ − =
+ − =
+ −⋅
=
+ − =+ = − =
= − = − =
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )( )
( )( )
20 27 1420 27 14 0
20 27 20 280 0
20 35 20 85 4
0
4 7 5 2 074
125
2
2
2
134 2
x xx x
x x
x x
x x
x x
− =− − =
− − =
− +⋅
=
− + =
= = = −
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 15 3030 7 15 0
30 7 30 450 0
30 25 30 185 6
0
6 5 5 3 06 5 0 5 3 0
6 5 5 35
635
2
2
2
1 2
x xx x
x x
x x
x xx x
x x
x x
= −
+ − =
+ − =
+ −⋅
=
+ − =+ = − =
= − =
=−
=
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )( )
( )( )
60 8 157
8 157 60 0
8 157 8 480 0
8 160 8 38
0
20 8 3 020 0 8 3 0
20 8 338
2
2
2
1
2
= +
+ − =
+ − =
+ −=
+ − =+ = − == − =
=
x xx x
x x
x x
x xx xx x
x
10. 10. 10. 10. 10. ( ) ( )
( )( )
x x x
x x xx x
x xx x
x x
− − − =
− − + − =
− + =
− − =− = − =
= =
1 5 2 2
5 10 2 06 8 0
4 2 04 0 2 0
4 2
2
2
1 2
11. 11. 11. 11. 11. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x
x x x xx xx x
x x
x x
− − + = −
− + − − − + =
− − + =
+ − =
+ − =
+ −=
2 2 3 80
4 4 4 12 9 80 03 16 75 03 16 75 0
3 16 3 225 0
3 25 3 93
0
2 2
2 2
2
2
2
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación
( )( )3 25 3 03 25 0 3 03 25 3
253
8
2
113
x xx xx x
x
+ − =+ = − == − =
= − = −
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 9 43
3
18 27 44 27 18 0
4 27 4 72 0
4 24 4 34
0
6 4 3 06 0 4 3 06 4 3
34
22
2
2
2
1
2
x xmcm x
x xx x
x x
x x
x xx xx x
x
− = − =
− = −
− + =
− + =
− −=
− − =− = − == =
=
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )
xx
xx
mcm x
x xx x
x xx xx x
++ = =
+ + =+ − =
+ − =+ = − == − =
2 74
2 7472 0
9 8 09 0 8 0
9 8
2
2
1 2
14. 14. 14. 14. 14. ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
xx
mcm
x x
x x xx x
x x
x x
x xx xx x
x
+ −−
= =
+ − − =
+ + − + − =+ + =
+ + =
+ +=
+ + =+ = + == − = −
=−
= −
22 5
33 3
3 2 2 5 9
3 12 12 2 5 9 03 10 8 0
3 10 3 24 0
3 6 3 43
0
2 3 4 02 0 3 4 0
2 3 44
31
2
2
2
2
2
1
213
15. 15. 15. 15. 15. ( )( ) ( )( )
( )( )
xx
xx
mcm x
x x x x x
x x x x xx x
x xx xx x
−+ =
+= −
+ − = + −
+ − = + −
− + =
− − =− = − == =
23 15
44 2
4 4 2 3 15 2
4 4 8 3 9 3013 30 0
10 3 010 0 3 010 3
2 2
2
1 2
16. 16. 16. 16. 16. ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
64
4 512
12 4
72 48 4 5 4
72 48 192 5 205 44 192 0
5 44 5 960 0
5 60 5 165
0
12 5 16 012 0 5 16 012 5 16
165
3
2
2
2
1
215
x xmcm x x
x x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx xx x
x
−− = = −
− − = −
− + = −
− − =
− − =
− +=
− + =− = + == = −
=−
= −
17. 17. 17. 17. 17. ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x
x x x x x xx x
x x
x xx xx x
x x
− − − =
− + − − + − + − =
− − =
− − =
− + =− = + == = −= = −
2 3 37
6 12 8 9 27 27 37 03 15 18 0
3 15 3 54 0
3 18 3 3 03 18 0 3 3 03 18 3 3
6 1
3 3
3 2 3 2
2
2
1 2
18. 18. 18. 18. 18. ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
xx
xmcm x
x x x x
x x x xx x
x xx xx x
−+
− =+
= +
− − + = + +
− − − = + ++ + =
+ + =+ = + == − = −
11
23
33 1
3 1 6 1 3 1
3 3 6 6 4 37 12 0
4 3 04 0 3 0
4 3
2
2
1 2
19. 19. 19. 19. 19.
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
4 12 3
2 16 5
6 5 4 1 2 1 2 3
24 14 5 4 8 320 6 8 010 3 4 0
10 3 10 40 0
10 8 10 52 5
0
5 4 2 1 05 4 0 2 1 05 4 2 1
45
12
2 2
2
2
2
1 2
xx
xx
x x x x
x x x xx xx x
x x
x x
x xx xx x
x x
−+
=++
+ − = + +
+ − = + +
+ − =
+ − =
+ − =
+ −⋅
=
+ − =+ = − == − =
=−
=
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
3 24
59 14
1212
3 3 2 60 9 14
9 6 60 9 149 45 14 0
9 45 9 126 0
9 42 9 33 3
0
3 14 3 1 03 14 0 3 1 03 14 3 1
143
13
4
2
2
2
1 2
123
x xx
mcm x
x x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx xx x
x x
x
+= −
+=
+ = − +
+ = − −
− + =
− + =
− −⋅
=
− − =− = − == =
= =
=
EJERCICIO 270
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )x ax a
x a x ax a x ax a x a
2 2
1 2
2 35 0
7 5 07 0 5 0
7 5
+ − =
+ − =+ = − == − =
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )( )( )
10 36 37
10 37 36 0
37 37 4 10 362 10
37 2 80920
37 5320
37 5320
1620
45
37 5320
9020
92
2 2
2 2
2 2
2
1
2
x a axx ax a
xa a a
xa a a a
xa a a a
xa a a a
= −
+ − =
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
=−
.
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )( )
a x abx b
a x ab a x a b
a x ab a x ab
a x ab a x aba x ab a x ab
xab
ax
aba
xba
xba
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 2 2
1 2
2 0
2 0
2 0
2 0 02
2
2
+ − =
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
=−
=
= − =
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( ) ( )( )( )
89 42 2242 89 22 0
89 89 4 42 222 42
89 4 22584
89 6584
89 6584
2484
27
89 6584
15484
116
2 2
2 2
2 2
2
1
2
bx x bx bx b
xb b b
xb b b
xb b b b
xb b b b
= +
− + =
=− − ± − −
=±
=±
=−
= =
=+
= =
.
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
x ax ax ax a
x a x ax a x a
x a x a
2 2
2 2
1 2
2020 0
5 4 05 0 4 0
5 4
+ =
+ − =
+ − =+ = − =
= − =
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 3
2 3 0
2 2 6 0
2 3 2 22
0
2 3 02 3 0 02 3
32
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2
x abx a bx abx a b
x ab x a b
x ab x ab
x ab x abx ab x abx ab x ab
xab
x ab
= +
− − =
− − =
− +=
− + =− = + == = −
= = −
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )( )( )
( ) ( )
b x abx ab x abx a
b x ab b x a b
b x ab b x abb b
bx a bx abx a bx a
bx a bx a
xab
xab
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 2
2 32 3 0
2 3 0
30
3 03 0 0
33
+ =
+ − =
+ − =
+ −⋅
=
+ − =+ = − =
= − =
= − =
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )( ) ( )
x ax bx abx ax bx ab
x x a b x a
x b x ax b x a
x b x a
2
2
1 2
0
0
00 0
+ − =
+ − − =
+ − + =
− + =− = + =
= = −
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( ) ( )
x ax ab bxx bx ax ab
x x b a x b
x b x ax b x ax b x a
2
2
1 2
2 6 33 2 6 0
3 2 3 0
3 2 03 0 2 0
3 2
− = −
+ − − =
+ − + =
+ − =+ = − == − =
10. 10. 10. 10. 10. ( )( ) ( )
( )( )
3 2 4 2 0
3 2 2 2 0
2 3 2 02 0 3 2 0
2 3 2
223
2
1 2
x mx nx mn
x x m n x m
x m x nx m x n
x m x n
xm
xn
− + − =
− + − =
− + =− = + =
= = −
= = −
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
x a bx ab
x a b x a
x a x a b x a
x a b x ax a b x a
x a b x a
2 2
2 2
1 2
0
0
0
00 0
− − − =
− − + =
+ − − + =
− − + =− − = + =
= + = −
12. 12. 12. 12. 12. ( )
( ) ( )( )( )
abx x b a
abx bx axabx ax bx
ax bx bx
bx axbx ax
bx ax
xb
xa
2
2
2
1 2
2 2
2 2 02 2 0
2 2 0
2 1 02 0 1 0
2 12 1
− − =
− + − =
+ − − =
+ − + =
+ − =+ = − =
= − =
=−
=
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( ) ( )
( )
( )
x ax a b
xa a a b
xa a a b a b
xa b a b
a b
xa b a b
a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
2 0
2 2 42
2 4 4 42
2 22
2 22
22
2 22
22
− + − =
=− − ± − −
=± − +
=±
=+
=+
= +
=−
=−
= −
14. 14. 14. 14. 14. ( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )
4 4
4 4 4 0
4 4 4 4 42 4
4 16 16 648
4 648
4 88
4 88
4 28
22
4 88
4 28
22
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1
2
x x b b m
x bx b m
xb b b m
xb b b m
xb m b m
xb m b m b m
xb m b m b m
− + =
− + − =
=− − ± − − −
=± − +
=±
=±
=+
=+
=+
=−
=−
=−
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( ) ( )
( )
( )
x b a axx ax b a
xa a b a
xa a b a a b
xa b a b
a b
xa b a b
a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
4 4 04 4 0
4 4 4 42
4 16 4 162
4 22
4 22
2 22
2
4 22
2 22
2
− + − =
− − + =
=− − ± − − − +
=± + −
=±
=+
=+
= +
=−
=−
= −
16. 16. 16. 16. 16. ( )
( ) ( )( )( )
x a x a
x ax x a
x x a x a
x a xx a x
x a x
2
2
1 2
2 2
2 2 0
2 0
2 00 2 0
2
− + = −
− − + =
− − − =
− − =− = − =
= =
17. 17. 17. 17. 17. ( )
( ) ( )( )( )
x x a a
x x ax a
x x a x
x x ax x a
x x a
2
2
1 2
2 4 3 48
8 6 48 0
8 6 8 0
8 6 08 0 6 0
8 6
+ − =
+ − − =
+ − + =
+ − =+ = − =
= − =
18. 18. 18. 18. 18.
( )( ) ( )( )( )
x x m mx m x m
x m x m x m
x m x mx m x m
x m x m
2 2
2 2
1 2
2 22 2 0
2 0
2 02 0 0
2
− = +
− − − =
+ − − + =
− − + =− − = + =
= + = −
19. 19. 19. 19. 19. ( )
( ) ( )( )( )
x m x m m
x xm xm m
x x m m x m
x m x m
x m x mx m x m
2 2 5
2 3 2 5
3 2 3
3 2
3 2
13
22
2 2
2 2 0
2 0
2 0
0 2 02
+ − =
+ − − =
+ − + =
+ − =
+ = − =
= − =
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )( )( )
6 15 2 56 2 15 5 0
2 3 5 3 0
3 2 5 03 0 2 5 03 2 5
352
2
2
1 2
x ax bx abx bx ax ab
x x b a x b
x b x ax b x ax b x a
xb
xa
− = −
− − + =
− − − =
− − =− = − == =
= =
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( )
( )( )
( )( )
34 2 2
0 4
3 2 2 0
2 3 2 0
2 3 2 4 0
2 4 22
0
2 2 02 0 2 02 2
2
2
2 2
2 2
2 2
1
2
x a xa
mcm a
ax a xx ax a
x a x a
x a x a
x a x ax a x ax a x a
xa
+ − = =
+ − =
− − =
− − =
− +=
− + =− = + == = −
= −
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )
( ) ( )( )( )
22
23
3 2 2 2
6 3 4 2 0
3 2 2 2 0
2 3 2 02 0 3 2 0
2 3 2
223
2
2
2 2
1 2
x b bx bx
x x b bx b
x bx bx b
x x b b x b
x b x bx b x b
x b x b
xb
xb
−=
−
− = −
− − + =
− − − =
− − =− = − =
= =
= =
23. 23. 23. 23. 23.
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
a xa x
a xa x
mcm a x
a x a x a x a x a x
a ax x a ax x a xa ax x
x ax a
x a x ax a x a
x a x a
+−
+−+
= − = −
+ + + − − = − −
+ + + − + = − +
− − =
+ − =
+ − =+ = − =
= − =
24
2 4
2 3 2 4 46 0
6 0
3 2 03 0 2 0
3 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 2
24. 24. 24. 24. 24. ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
xx
aa
a x a x
x a a x a
x a a x a
xa a a a
a
xa a a a
a
xa a a a
a
xa a a
aa a a
a
xa a a
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 4 3 2
2 2 2
2 2 22 2
1
2 2
1 2 2
2 2 1
2 4
2 4 0
4 2 4
2 2 4
8 162 2 4
8 164 8
4
4 24
4 2
4
−=
−
− = −
− = −
− − + =
=− − ± − − −
−
=± − +
−
=± − +
−
=± −
−=
± −−
=+ −( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
4 22 44 2
2 24 2 2
44 2
44 2 2
2
2
2 2
aa aa
a aa
a
xa a a
aa
aa
a
−=
−−
=−
−=
=− −
−=
−=
−
25. 25. 25. 25. 25.
( ) ( )( )( )
xx a
a mcm ax
ax a x a xax x a a x
x ax a ax
ax x aax x a
ax x a
xa
x a
+ = + =
+ = +
− + − =
− − − =
− − =− = − =
= =
= =
2 12
2 22 2 0
1 2 1 0
1 2 01 0 2 0
1 21
2
2 2
2 2
1 2
26. 26. 26. 26. 26. ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 24
4
4 2 4 2
8 4 4 4 2 26 2 4 0
3 2 0
3 3 6 0
3 3 3 23
0
3 2 00 3 2 0
3 223
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1
2
x bb
xx b
xb
mcm b x b
x b x b bx x x b
x bx b bx x bxx bx bx bx b
x b x b
x b x b
x b x bx b x b
x b x b
xb
−−
+= = +
− + − = +
+ − − = +
− − =
− − =
− − =
− +=
− + =− = + =
= = −
= −
EJERCICIO 271
1. 1. 1. 1. 1. 3 48
16
16
4
2
2
x
x
x
x
=
=
== ±
2. 2. 2. 2. 2. 5 9 46
5 55
11
11
11
2
2
2
x
x
x
x
x
− =
=
=
=
= ±
3. 3. 3. 3. 3. 7 14 0
2 0
2
2
2 1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x i
+ =
+ =
= −
= −
= −
= ±
4. 4. 4. 4. 4. 9 0
9
9
9
3
2 2
2 2
22
2
x a
x a
xa
xa
xa
− =
=
=
=
= ±
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )x x
xx
x
x
x
+ − = −
− = −
=
=
= ⋅
= ±
5 5 7
25 718
18
3 2
3 2
2
2
2
6. 6. 6. 6. 6. ( )( )2 3 2 3 135 0
4 9 135 04 144
36
366
2
2
2
x x
xxx
xx
− + − =
− − =
=
=
== ±
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )3 2 2 4 8
3 12 8 16 82 28 0
2 2814
14
2
2 2
2
2
2
x x x x
x x x xx
xx
x
+ − = − +
− = − + +
− ==
=
= ±
8. 8. 8. 8. 8. x x
x
x
x
x
+
−
=
− − =
=
= ±
= ±
13
13
13
19
13
0
49
49
23
2
2
9. 9. 9. 9. 9. ( )( ) ( )( )2 1 2 4 1 5 0
2 3 2 3 4 5 07 0
7
7 1
7
2 2
2
2
x x x x
x x x xx
x
x
x i
− + − + − + =
+ − − − + + =
+ == −
= −
= ±
10. 10. 10. 10. 10. 5
2
1
6
7
1212
30 2 7
28 7
4
4
2
2 22
2
2
2
x xmcm x
x
x
x
x
x
− = =
− =
=
=
=± =
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )( )( ) ( )( )
2 33
21
3 1
2 3 1 2 3
2 5 3 5 63 0
3
3
2 2
2
2
xx
xx
mcm x x
x x x x
x x x xx
x
x
−−
=−−
= − −
− − = − −
− + = − +
− =
=
= ±
12. 12. 12. 12. 12. x x x
x x x
x
x
x
x
x
2 2 2
2 2 2
2
2
2
5
3
4 1
5
14 1
150
5 25 12 3 14 1 0
3 27 0
3 27
9
9
3
−+
−−
−=
− + − − + =
− =
=
=
== ±
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( ) ( ) ( )2 3
12
7 2
2 2 3 2 1 7 2
2 4 3 6 1 7 145 14
9
93
2
2
2 2
2
2
xxx
mcm x
x x x x x
x x x x xx
x
xx
− −+
−= − = −
− − − − + = − −
− − + − − = − ++ =
=
== ±
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )3
34 1
2 4 1
3 4 1 3 2 4 1
12 6 8 24 4
1
11
22
2 2
2 2
2
2
−−
= = −
− − = −
− = −==
== ±
xmcm x
x x
x xxx
xx
EJERCICIO 272
1. 1. 1. 1. 1.
( )
x xx x
x xx x
x
2
2
1
2
55 0
5 00 5 0
5
=
− =
− == − =
=
2. 2. 2. 2. 2.
( )
4 324 32 0
4 8 04 0 8 0
0 8
2
2
1 2
x xx x
x xx x
x x
= −
+ =
+ == + == = −
3. 3. 3. 3. 3.
( )
x x x xx x
x xx x
x x
2 2
2
1
2
3 3 40 2
0 2 10 0 2 1
1 212
− = −
= −
= −= = −
= ⇒ =
4. 4. 4. 4. 4. ( )
( )
5 4 2 2
5 4 2 4
5 2 0
5 2 00 5 2 0
5 225
2
2
2
1
2
x x
x xx x
x xx x
x
x
+ = +
+ = +
− =
− == − =
=
=
7. 7. 7. 7. 7. ( )( ) ( )( )
( )
4 1 2 3 3 1
8 10 3 2 37 8 0
7 8 00 7 8 0
7 8871
2 2
2
1
2
217
x x x x
x x x xx x
x xx x
x
x
x
− + = + −
+ − = + −+ =
+ == + =
= −
= −
= −
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( )
x x
x x x xx x
x xx x
x
x
− − + = −
− + − − − + =
− − =
+ == + =
= −
=−
= −
3 2 5 16
6 9 4 20 25 16 03 26 0
3 26 00 3 26 0
3 26263
8
2 2
2 2
2
1
223
6. 6. 6. 6. 6.
( )
x xmcm
x x
x xx x
x x
x
2
2
1
2
39
632
12
4 2 18 18
2 2 1 02 0 2 1 0
0 2 112
−−
= =
− + =
− == − == =
=
8. 8. 8. 8. 8. ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
xx
xx
mcm x x
x x x x x x
x x x x x xx x
x xx x
x
+−
−+−
= = − −
+ − − + − = − −
− − − − + = − +
= +
= += + =
= −
11
42
1 1 2
1 2 4 1 1 2
2 3 4 3 20
0 10 1 0
1
2 2 2
2
1
2
EJERCICIO 273
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )
( )( )
x x
x x
x x
x x xx x
x xx
x chazo sol extrañax
x sol que satisface
+ + =
+ = −
+ = −
+ = − +
= − +
= − −− =
= →− =
= →
4 1 5
4 1 5
4 1 5
4 1 25 100 14 24
0 12 212 0
122 0
2
2 2
2
2
1
2
Re
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
( )( )
2 1 3 7
7 1
7 1
49 14 115 50 0
10 5 010 0
105 0
5
2 2
2
2
1
2
x x x
x x
x x
x x xx x
x xx
x chazo sol extrañax
x sol que satisface
− − = −
− = −
− = −
− + = −
− + =
− − =− =
= →− =
= →
Re
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( ) ( )
( )( )
5 1 3 4
5 1 3 16
5 1 2 5 14 3 3 16
2 5 14 3 14 6
5 14 3 7 3
5 14 3 49 42 90 4 56 520 14 13
0 13 113 0
131 0
1
2
2
2
22 2
2 2
2
2
1
2
x x
x x
x x x x
x x x
x x x
x x x xx x
x x
x xx
x chazo por sol extrañax
x sol que satisface
− + + =
− + + =
− + + − + + =
+ − = −
+ − = −
+ − = − += − += − +
= − −− =
= →− =
= →
Re
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 5 1
2 1 5
4 1 2 5 5
3 6 2 5
3 6 2 5
9 36 36 4 20
9 40 16 0
9 40 9 144 0
9 36 9 49
0
4 9 4 04 0
49 4 0
9 449
2 2
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x x
x x
x x
x x xx x
x x
x x
x xx
x sol que satisfacex
x
x chazo por sol extraña
− + =
= + +
= + + + +
− = +
− = +
− + = +
− + =
− + =
− −=
− − =− =
= →− =
=
= → Re
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
2 1 3 3
2 1 3 3
2 1 9 6 3 3
13 6 3
6 3 13
36 3 169 26
36 108 169 260 62 61
0 61 161 0
611 0
1
2 2
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x xx x
x xx
x chazo por sol extrañax
x sol que satisface
− + + =
− = − +
− = − + + +
− = − +
+ = −
+ = − +
+ = − +
= − +
= − −− =
= →− =
= →
Re
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( ) ( )( )
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
− + + − =
− + + =
− + − − + + =
− − = +
− − = + +
− − = + +
3 2 1 2 0
3 2 1 2
3 2 2 5 3 2 1 4
2 2 5 3 2
4 2 5 3 4 4
8 20 12 4 4
2 2
2
22 2
2 2
2 2
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación6. Continuación
( ) ( )
( )( )
( )( )
7 24 16 0
7 24 7 112 0
7 28 7 47
0
4 7 4 04 0 4
7 4 0
7 447
2
2
1
2
x x
x x
x x
x xx x sol factiblex
x x sol inadmisible
− − =
− − =
− +=
− + =− = ⇒ = →
+ =
= − ⇒ = − →
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
5 1 3 2
5 1 2 3
5 1 2 10 2 2 3
2 10 2 8 4
8 4 2 10 2
4 2 1 2 10 2
4 2 10 2
16 16 4 10 26 14 4 0
6 14 6 24 0
6 12 6 26
0
2 6 2 0
2 2
2
2
2
2
2 22
2 2
2
2
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx
− − − =
− − = −
− − − + = −
− − = − +
− = −
− = −
− = −
− + = −− + =
− + =
− −=
− − =− =
= →− =
=
= →
2 02
6 2 06 2
13
1
2
x sol factiblex
x
x sol inadmisible
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( )
3 1 5 16 1
3 1 2 15 5 5 16 1
2 15 5 8
15 5 4
15 5 160 5
0 50
5 05
2
2
22 2
2 2
2
1
2
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x xx x
x xx sol admisiblex
x sol admisible
+ + = +
+ + + + = +
+ =
+ =
+ =
= −
= −= →
− == →
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )( )
2 4 3 3
2 4 3 9
4 3 9 2
4 3 81 36 4
0 4 40 84
0 10 21
0 7 37 0
7
3 03
2 2
2
2
2
1
2
x x
x x
x x
x x xx x
x x
x xx
x chazo porsol inadmisible
xx sol aceptada
+ − =
+ − =
− = −
− = − +
= − +
= − +
= − −− =
= →
− == →
Re
10. 10. 10. 10. 10.
( )( ) ( )
( )( )
xx
x x
x x
x x
x xx
x sol admisiblex
x sol admisible
+ ++
=
+ + = +
+ = +
− + =
− − =− =
= →− =
= →
36
35
3 6 5 3
9 5 3
7 6 0
1 6 01 0
16 0
6
2
2 2
2
1
2
11. 11. 11. 11. 11.
( )( ) ( )
( )( )
xx
x x
x x
x x xx x
x xx
x sol admisiblex
x sol admisible
+ =
+ =
+ =
+ + =
− + =
− − =− =
= →− =
= →
45
4 5
4 5
8 16 2517 16 0
16 1 016 0
161 0
1
2
2 2
2
2
1
2
12. 12. 12. 12. 12.
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 78
7
2 7 7 8
2 7 15
4 28 30 2253 2 225 0
3 2 3 675 0
3 27 3 253
0
9 3 25 09 0 9
3 25 0253
2 2
22 2
2 2
2
2
1
2
x xx
x x x
x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx x sol aceptada
x x sol inadmisible
= + ++
+ = + +
+ = +
+ = + +− − =
− − =
− +=
− + =− = ⇒ = →
+ = ⇒ = − →
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
x x x
x x x
x x
x xx x
x x
x x
x x sol aceptada
x x sol rechazada
+ + =
+ + =
+ =
+ =
− − =
− − =
− +=
− = ⇒ = →
+ = ⇒ = − →
8 2
8 4
8 3
8 99 8 0
9 1 9 72 0
9 9 9 89
0
1 0 1
9 8 089
2 2
2
2
2
1
2
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
6 7 12 1 0
6 7 12 1
6 2 42 7 12 1
2 42 12 12
42 6 6
42 36 72 360 37 71 6
37 71 37 222 0
37 74 37 337
0
2 37 3 02 0 2
37 3 0
37
2 2
2
2
22 2
2 2
2
2
1
− + + − + =
− + + = +
− + − − + + = +
− − = −
− − = −
− − = − +
= − −
− − =
− +=
− + =− = ⇒ = →
+ =
=
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x xx x
x x
x x
x xx x sol aceptada
x
x − ⇒ = − →33
372x sol inadmisible
EJERCICIO 274
11. 11. 11. 11. 11. x x
x y
2 4 3 0
0 3
1 0
2 1
3 0
1 8
− + =
−
−
12. 12. 12. 12. 12. x x
x y
2 6 8 0
0 8
1 3
2 0
3 1
4 0
− + =
−
sol x x: 1 22 4= =
sol x x: 1 21 3= =
13. 13. 13. 13. 13. x x
x y
2 2 3 0
0 3
1 4
2 3
3 0
1 0
− − =
−−−
−
sol x x: 1 21 3=- =
14. 14. 14. 14. 14. x x
x y
2 4 3 0
0 3
1 0
2 1
3 0
1 8
+ + =
−− −−
sol x x: 1 23 1= − = −
15. 15. 15. 15. 15. x x
x x
x y
2
2
6
6 0
0 6
1 4
2 0
3 6
1 6
3 0
= −
+ − =
−−
− −−
sol x x: 1 23 2=- =
16. 16. 16. 16. 16. x x
x x
x y
2
2
2 1
2 1 0
0 1
1 0
2 1
3 4
1 4
= −
− + =
−
17. 17. 17. 17. 17. x x
x y
2 8 16 0
0 16
2 4
4 0
6 4
+ + =
−−−
sol x x: 1 2 4= = -
18. 18. 18. 18. 18. x
x y
2 4 0
1 3
2 0
3 5
1 3
2 0
3 5
0 4
− =
−
− −−−
−
sol x x: 1 22 2=- =sol x x: 1 2 1= =
21. 21. 21. 21. 21. 2 9 10 0
0 10
1 3
2 0
3 1
4 6
2x x
x y
− + =
22. 22. 22. 22. 22. 2 5 7 0
0 7
1 10
3 4
4 5
1 0
2x x
x y
− − =
−−−
−
sol x x: 1 2121 3=- =
sol x x: 1 2122 2= =
19. 19. 19. 19. 19. x x
x x
x y
2
2
3 10
3 10 0
0 10
3 10
5 0
1 6
2 0
= +
− − =
−−
− −−
sol x x: 1 22 5=- =
20. 20. 20. 20. 20. x x
x x
x y
2
2
4 4
4 4 0
0 4
1 1
2 0
3 1
1 9
− = −
− + =
−
sol x x: 1 2 2= =
EJERCICIO 275
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )( )
x N mayorx N menor
x x
x x xx x
x x
x xx x
N mayorN menor
→− →
+ − =
+ − + =
− + =− + =
− − == =
→− = →
ºº
ºº
9
9 53
81 18 532 18 28 0
9 14 0
7 2 07 2
79 7 2
2 2
2 2
2
2
1 2
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x N positivox
Otro Número
xx
xx
xx x
N positivo
Otro Número
→
→
=
=
=
= ±= = −→
= →
º
.
.
.
.
º
35
35
2 160
3 10 800
3 600
3 60060 60
603 60
536
2
2
1 2
3. 3. 3. 3. 3.
( )
( )( )
x Edad de Ax Edad de B
x x
x x xx xx x
x xx x
años Edad de Aaños Edad de B
→− →
+ − =
+ − + =
− − =
− − =
− + == = −
→− = →
3
3 317
6 9 3172 6 308 0
3 154 0
14 11 014 11
1414 3 11
2 2
2 2
2
2
1 2
4. 4. 4. 4. 4.
( )
( )
x Un Númerox El otro Número
x xx x
xx
xx x
Un NúmeroEl otro Número
→→
− =
− =
=
=
= ±= = −
→= →
3
3 1 8009 1 800
8 1 800225
22515 15
153 15 45
2 2
2 2
2
2
1 2
...
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )( )
x N buscado
x x
x xx x
x xx x
N buscado
→
− = −
− = −
− + =
− − == =→
º
º
2
2
2
1 2
9 8 2
9 8 16
8 7 0
7 1 07 1
7
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )( )
x N mayorx N menor
x x
x x xx x
x xx x
N menorN mayor
+ →→
+ − =
+ + − =
− − =
− + == = −→
+ = →
1
1 57 3
2 1 57 3
56 0
8 7 08 7
88 1 9
2
2
2
1 2
ºº
ºº
7. 7. 7. 7. 7.
( )
( )( )
( )( )
x L ox Ancho
Area x x
x xDoble del area x x
x x x x
x x x xx x
x xx xm m m L o
m Ancho
+ →→
= +
= +
= +
+ + = +
+ + = +
− − =
− + == = −+ = →
→
4
4
42 8
8 4 2 8
12 32 2 84 32 0
8 4 08 4
8 4 128
2
2
2
2 2
2
1 2
arg
arg
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( )( )
x N sa comp
xbs to cada saco
x x
x x x x
x x x xx x
x x
x xx x
N sa comp
bs bs to cada saco
→
→
+= −
= + − +
= + − −
+ − =
+ − =
+ − == − =→
= →
º cos ..
. cos
. .
. .
.
º cos ..
. . cos
1 000
1 00010
1 0005
1 000 10 1 000 5 10
10 10 10 5 505 50 10 0
10 2 000 0
50 40 050 40
401 000
4025
3 3 4 2
2 4
2
1 2
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
4
4 860 625
16 860 625
17 860 625
50 625
50 625225 225
4 225 900900225
2 2
2 2
2
2
1 2
x Costo caballox Costo arreos
x xx x
xx
xx x
sucres Costo caballosucres Costo arreos
→→
+ =
+ =
=
=
= ±= = −
=→→
.
.
.
.
.
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )( )( )
( ) ( )
( )( )( )( )
x N menorx N mayor
x x x
x x
x xx x
x x
x x
x x
x x
N mayorN menor
− →→
− + − =
− − =
− + =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
→− = →
7
7 7 184
2 7 7 184
2 21 49 1842 21 135 0
2 21 2 270 0
2 30 2 9 0
15 2 9 0
1592
1515 7 8
2
2
2
1 2
ºº
ºº
11. 11. 11. 11. 11.
( )
( )( )
x Edad de Ax Edad de B
x x
x xx x
x xx x
años Edad de Aaños Edad de B
→− →
− =
− =
− + =
− − == =
→→
23
23 102
23 10223 102 0
17 6 017 6
176
2
2
1 2
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
( )( )
x N de libros
xCosto c u
x x
x x x x
x x x xx x
x xx x
Libros
Costo c u
→
→
−= +
= − + −
= − + −
= − −
= − += = −→
= →
º
/
..
$ /
180
1806
1801
180 180 6 6
180 180 1 080 60 6 1 080
0 36 3036 30
3618036
5
2
2
1 2
13. 13. 13. 13. 13.
( )( )
x N de filas
xN soldados cada fila
xx
x xx x
x xx x
N de filas
N soldados
cada fila
→
→
− =
− =
= + −
= + −= − =→
= →
º
º
º
º
180
1808
180 8
0 8 180
0 18 1018 10
1018010
18
2
2
1 2
14. 14. 14. 14. 14.
( )( )
x Costo del reloj
x de xx
xx
x xx x
x xx x
soles Costo del reloj
→
=
+ =
+ =
+ − =
+ − == − =
→
%
.
.
2
2
2
2
1 2
100
10075
100 7 500
100 7 500 0
150 50 0150 50
50
15. 15. 15. 15. 15.
( )( )
x Pers comp
xx
x xx x
x xx x
Pers comp el auto
→
− =
− =
+ − =
+ − == − =→
. ..
.
.
. .
1 200194
1 200 194
194 1 200 0
200 6 0200 6
6
2
2
1 2
16. 16. 16. 16. 16. x lojes comp
xCosto cada reloj
x
x
x
x
x
x x
lojes comp
Costo cada reloj
→
→
=
=
=
± == = −
→
= →
Re .
Re .
$12
192
192 3
4
768 3
256
256
16 16
16
192
16
2
2
1 2
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( )
( )( )
x Libros comp
xCosto cada lib
x x
x x x x
x x x xx x
x xx x
Libros comp
Costo cada lib
→
→
+ =−
− + − =
− + − =
− − =
− + == = −→
= →
.
.
.
$ .
150
1501
1505
150 5 5 150
150 750 5 1505 750 0
30 25 030 25
3015030
5
2
2
1 2
18. 18. 18. 18. 18.
( )( )
x Libros comp
xx
x xx x
x xx x
Libros comp
→
− =
− =
+ − =
+ − == − =→
.
.
20010
200 10
10 200 0
20 10 020 10
10
2
2
1 2
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )
( )( )
x Plumas comp
xecio c u
x x
x x x x
x x x xx x
x xx x
Plumas comp
ecio c u
→
→
− =+
+ − + =
+ − − =
+ − =
+ − == − =→
= →
.
Pr /
.
$ Pr /
24
241
244
24 4 4 24
24 96 4 244 96 0
12 8 012 8
8248
3
2
2
1 2
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )
( )( )
x Tiempo de recorrido
x x
x x x x
x x x xx x
x x
x xx x
horas Tiempo de recorrido
→
+ =−
− + − =
− + − =
− − =
− − =
− + == = −
→
24020
2402
240 2 20 2 240
240 480 20 40 24020 40 480 0
2 24 0
6 4 06 4
6
2
2
2
1 2
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )( )( )
x Caballos comp
xecio cada caballo
x x
x x x x
x x x xx x
x x
x x
x x
x x
x x
Caballos comp
ecio c caballo
→
→
+ =+
−
− + − =
− + − =
− − =− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
→
= →
..
Pr
. .
. .
. . ..
..
$ Pr /
2 000
2 00060
2 000 802
2 000 2 60 2 2 080
2 000 4 000 60 120 2 08060 200 4 000 0
3 10 200 0
3 10 3 600 0
3 30 3 20 0
10 3 20 0
10203
102 000
10200
2
2
2
2
1 2
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )( )( )
x N menorx N ermedio
x N mayorxx
x
x x x
x x xx x
x x
x x
x x
x x
N menorN ermedioN mayor
→+ →
+ →++
=
+ = +
+ = +
= − −
= − −
= − +
= − +
= =−
→+ = →+ = →
ºº intº
ºº intº
12
21
310
10 2 3 1
10 20 3 30 3 7 20
0 3 7 3 60
0 3 12 3 5
0 4 3 5
45
344 1 54 2 6
2
2
2
1 2
23. 23. 23. 23. 23. x Un N
xEl otro N
xx
x
x
x
x
x x
Un N
El otro N
→
→
=
=
=
=
± == = −
→
= →
º.
º.
º.
º.
180
180
1
180 5
4
720 5
144
144
12 12
12
180
1215
14
2
2
2
1 2
24. 24. 24. 24. 24.
( )( )( )
( )( )
x N naranjas comp
xCosto c naranja
xx
x x x
x x x xx x
x xx x
N naranjas comp
ctvs Costo c naranja
→
→
+
− =
+ − =
− + − =
− − =
− + == = −→
= →
º .
/
º .
. /
150
1501 5 150
150 5 150
150 750 5 150
5 750 0
30 25 030 25
3015030
5
2
2
1 2
25. 25. 25. 25. 25.
( )( )
x Costo del caballox
x
x xx x
x xx x
Q Costo del caballo
→
+ =
+ =+ − =
+ − == − =
→
2
2
2
1 2
100171
100 17 100100 17 100 0
190 90 0190 90
90
..
.
26. 26. 26. 26. 26. x N mayor
xN menor
x
x x
x x
x x
→
→
= +
= +
= +
º
º352
3522
10352
3522
10
352
704 10
2
2
ContinùaContinùaContinùaContinùaContinùa
26. Continuación26. Continuación26. Continuación26. Continuación26. Continuación
( )( )x x
x xx x
N mayor
N menor
2
1 2
10 704 0
32 22 032 22
3235232
11
− − =
− + == = −
→
= →
º
º
27. 27. 27. 27. 27.
( )( )( )
( )( )
x Long pieza mayorx Long pieza menor
x x x x
x x x
x x xx x
x x
x xx x
m Long pieza mayorm Long pieza menor
→− →
⋅ = − −
= − +
= − += − +
= − +
= − −= =
→− = →
..
..
..
20
9 20 20
9 400 40
3 600 360 90 8 360 3 6000 45 450
0 30 1530 15
1520 15 5
2 2
2 2
2
2
1 2
28. 28. 28. 28. 28.
( ) ( )
( )( )
x Tiempo en horas
xVeloc del tren
x x
x x x x
x x x xx x
x x
x xx x
Kmh Veloc del tren
→
→
=−
+
− = + −
− = + −
= − += − +
= − += = −
= →
200
200 2001
10
200 1 200 10 1
200 200 200 10 100 10 10 2000 20
0 5 45 4
2005
40
2
2
2
1 2
.
.
29. 29. 29. 29. 29.
( ) ( )
( )( )
x Dias trabj
xValor del jornal
x x
x x x x
x x x xx x
x xx x
Dias trabj
col Valor del jornal
→
→
− =+
+ − + =
+ − − =
+ − =
+ − == − =→
= →
.
.
84
841
842
84 2 2 84
84 168 2 842 168 0
14 12 014 12
128412
7
2
2
1 2
30. 30. 30. 30. 30.
( ) ( )
( )( )
x Personas que van
xValor c u
x x
x x x x
x x x xx x
x xx x
Personas que van
Valor c u
→
→
−− =
− − = −
− + = −
− − =
− + == = −
→
= →
90
903
190
90 3 90 3
90 3 90 2703 270 0
18 15 018 15
189018
5
2
2
1 2
/
$ /
31. 31. 31. 31. 31.
( )( )
x N buscado
xx
x xx x
x xx x
N buscado
→
− =
− =
+ − =
+ − == − =
→
º
º
845
84 5
5 84 0
12 7 012 7
7
2
2
1 2
32. 32. 32. 32. 32.
( ) ( )
( )( )
x Edad actual A
x x
x x
x x xx x
x xx x
años Edad actual A
→
− = +
− = +
− + = +
− + =
− − == =
→
6 6
6 6
12 36 613 30 0
10 3 010 3
10
2 2
2
2
1 2
33. 33. 33. 33. 33.
( ) ( )
( )( )
x Libros comp
xecio de c libro
x N de plumas
x x
x x x x
x x x xx x
x xx x
Libros comp
ecio c libro
→
→
− →
=−
−
− = − −
− = − +
− − =
− + == = −→
= →
.
Pr /
º
.
$ Pr /
40
240 40
21
40 2 40 2
40 80 40 22 80 0
10 8 010 8
104010
4
2
2
1 2
EJERCICIO 276
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )3 5 2 0
4 5 4 3 2 25 24 49
2
2 2
x x
b acales y desiguales racionales
+ − =
− = − − = + =Re ,
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( ) ( )2 4 1 0
4 4 4 2 1 16 8 8
2
2 2
x x
b acales y desiguales irracionales
− + =
− = − − = − =Re ,
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( ) ( )4 4 1 0
4 4 4 4 1 16 16 0
2
2 2
x x
b acales e iguales
− + =
− = − − = − =Re
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )( )3 2 5 0
4 2 4 3 5 4 60 56
2
2 2
x x
b acaginarias
− + =
− = − − = − = −Im
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )( )x x
b acales e iguales
2
2 2
10 25 0
4 10 4 1 25 100 100 0
− + =
− = − − = − =Re
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( ) ( )x x
b acales y desiguales irracionales
2
2 2
5 5 0
4 5 4 1 5 25 20 45
− − =
− = − − − = + =Re ,
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )( )2 9 7 0
4 9 4 2 7 81 56 25
2
2 2
x x
b acales y desiguales racionales
− + =
− = − − = − =Re ,
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( ) ( )36 12 1 0
4 12 4 36 1 144 144 0
2
2 2
x x
b acales e iguales
+ + =
− = − = − =Re
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( )4 5 3 0
4 5 4 4 3 25 48 23
2
2 2
x x
b acaginarias
− + =
− = − − = − = −Im
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( )x x
b acales y desiguales irracionales
2
2 2
1 0
4 1 4 1 1 1 4 5
+ − =
− = − − = + =Re ,
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )( )5 7 8 0
4 7 4 5 8 49 160 111
2
2 2
x x
b acaginarias
− + =
− = − − = − = −Im
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )( )x x
b acales y desiguales racionales
2
2 2
10 11 0
4 10 4 1 11 100 44 144
− − =
− = − − − = + =Re ,
EJERCICIO 2771. 1. 1. 1. 1.
( )( )
x x
Suma
oductoSi son raices
2 6 0
2 3 1
2 3 6
+ − =
+ − = −
− = −Pr
2. 2. 2. 2. 2. x x
Suma
No son raices
2 4 5 0
1 5 6
− − =+ =
3. 3. 3. 3. 3. 2 1 0
212
0
112
12
112
12
2
2
x x
xx
Suma
oducto
Si son raices
− − =
− − =
− =
−
= −Pr
4. 4. 4. 4. 4. 3 8 3 0
8
31 0
31
3
8
3
2
2
x x
xx
Suma
+ − =
+ − =
− + = −
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación
Pr oducto
Si son raices
−
= −3
13
1
5. 5. 5. 5. 5. 5 11 2 0
11
5
2
50
21
5
9
5
2
2
x x
xx
Suma
No son raices
− + =
− + =
− =
6. 6. 6. 6. 6. 4 17 4 017
41 0
414
174
414
1
2
2
x x
xx
Suma
oducto
Si son raices
+ + =
+ + =
− − = −
− −
=Pr
7. 7. 7. 7. 7. 5 24 5 0
24
51 0
2
2
x x
x x
+ − =
+ − =
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación7. Continuación
Suma
No son raices
− − = −51
5
26
5
8. 8. 8. 8. 8.
( )
x xSuma
oductoSi son raices
2 3 28 04 7 3
4 7 28
+ − =− = −
− = −Pr
9. 9. 9. 9. 9. 6 2 0
613
0
12
23
16
12
23
13
2
2
x x
xx
Suma
oducto
Si son raices
+ − =
+ − =
− = −
−
= −Pr
10. 10. 10. 10. 10. 8 2 3 0
1
4
3
80
1
2
3
4
1
4
2
2
x x
x x
Suma
No son raices
− − =
− − =
− = −
EJERCICIO 278
1. 1. 1. 1. 1.
( )Suma
oductoLuego x x
3 4 73 4 12
7 12 02
+ ==
− + =Pr
2. 2. 2. 2. 2. ( )
Sumaoducto
Luego x x
− + =− = −− − =
1 3 21 3 32 3 02
Pr
3. 3. 3. 3. 3.
( )Suma
oducto
Luego x x
− − = −
− − =
+ + =
5 7 12
5 7 35
12 35 02
Pr
4. 4. 4. 4. 4. ( )
Sumaoducto
Luego x x
− + =− = −− − =
10 11 110 11 110
110 02
Pr
5. 5. 5. 5. 5. Suma
oducto
Luego xx
x x
112
32
112
12
32
12
0
2 3 1 0
2
2
+ =
=
− + =
⇒ − + =
Pr
6. 6. 6. 6. 6. Suma
oducto
Luego xx
x x
− − = −
− −
=
+ + =
⇒ + + =
215
115
215
25
115
25
0
5 11 2 0
2
2
Pr
7. 7. 7. 7. 7. Suma
oducto
Luego xx
x x
323
73
323
2
73
2 0
3 7 6 0
2
2
− =
−
= −
− − =
⇒ − − =
Pr
8. 8. 8. 8. 8. Suma
oducto
Luego xx
x x
− − = −
− −
=
+ + =
⇒ + + =
232
72
232
3
72
3 0
2 7 6 0
2
2
Pr
9. 9. 9. 9. 9. Suma
oducto
Luego xx
x x
x x
− + =
−
= −
− − =
⇒ − − =
⇒ − − =
12
34
14
12
34
38
438
0
432
0
8 2 3 0
2
2
2
Pr
10. 10. 10. 10. 10. Suma
oducto
Luego xx
x x
− + = −
−
= −
+ − =
⇒ + − =
527
337
527
107
337
107
0
7 33 10 0
2
2
Pr
11. 11. 11. 11. 11. Suma
oducto
Luego x x
x x
653
133
653
10
133
10 0
3 13 30 0
2
2
− =
−
= −
− − =
⇒ − − =
Pr
12. 12. 12. 12. 12. Suma
oducto
Luego x x
x x
− − = −
− −
=
+ + =
⇒ + + =
218
178
218
14
178
14
0
8 17 2 0
2
2
Pr
13. 13. 13. 13. 13.
( )Suma
oducto
Luego x x
18 52 34
18 52 936
34 936 02
− = −
− = −
+ − =
Pr
14. 14. 14. 14. 14.
( )Suma
oducto
Luego x x
− − = −
− − =
+ + =
15 11 26
15 11 165
26 165 02
Pr
15. 15. 15. 15. 15.
( )Suma
oductoLuego x x
0 2 20 2 0
2 02
+ ==
− =
Pr
16. 16. 16. 16. 16. Suma
oducto
Luego xx
x x
013
13
013
0
30
3 0
2
2
− = −
−
=
+ =
⇒ + =
Pr
17. 17. 17. 17. 17.
( )Suma
oducto
Luego x
5 5 0
5 5 25
25 02
− =
− = −
− =
Pr
18. 18. 18. 18. 18. Suma
oducto
Luego x
x
12
12
0
12
12
14
14
0
4 1 0
2
2
− =
−
= −
− =
⇒ − =
Pr
19. 19. 19. 19. 19.
( )Suma
oductoLuego x x
7 7 147 7 4914 49 02
+ ==
− + =Pr
20. 20. 20. 20. 20. Suma
oducto
Luego x x
x x
8113
133
8113
883
133
883
0
3 13 88 0
2
2
− =
−
= −
− − =
⇒ − − =
Pr
21. 21. 21. 21. 21. Suma
oducto
Luego x x
x x
− − = −
−
−
=
+ + =
⇒ + + =
56
92
163
56
92
154
163
154
0
12 64 45 0
2
2
Pr
22. 22. 22. 22. 22. Suma
oducto
Luego x x
x x
− + = −
−
= −
+ − =
⇒ + − =
112
27
7314
112
27
117
7314
117
0
14 73 22 0
2
2
Pr
23. 23. 23. 23. 23.
( )Suma a a a
oducto a a a
Luego x ax a
2
2 2
2 0
2
2 2
− =
− = −
− − =
Pr
24. 24. 24. 24. 24. Sumab b b
oductob b b
Luego xb
xb
x bx b
− + = −
−
=
−
+ − =
⇒ + − =
23 4
512
23 4 6
512 6
0
12 5 2 0
2
22
2 2
Pr
25. 25. 25. 25. 25. Suma mm m
oducto mm m
Luego xm
xm
x mx m
− =
−
= −
− − =
⇒ − − =
2 2
2 2
2 20
2 0
2
22
2 2
Pr
28. 28. 28. 28. 28.
( )( )Suma
oducto
Luego x x
1 2 1 2 2
1 2 1 2 1
2 1 02
+ + − =
+ − = −
− − =
Pr
29. 29. 29. 29. 29.
( )( )Suma
oducto
Luego x x
2 5 2 5 4
2 5 2 5 1
4 1 02
+ + − =
+ − = −
− − =
Pr
30. 30. 30. 30. 30.
( )( )Suma
oducto
Luego x x
3 1 3 1 6
3 1 3 1 10
6 10 02
+ − + − − =
+ − − − =
− + =
Pr
26. 26. 26. 26. 26.
( )Suma b a b a
oducto b a b ab b
Luego x ax ab b
+ − =
− = −
− + − =
Pr 2
2 2 0
27. 27. 27. 27. 27.
( )
Sumaa b a b
oductoa b ab
Luego xa b
xab
x a b x ab
2 33 2
6
2 3 63 2
6 60
6 3 2 0
2
2
− =−
−
=
−
−−
− =
⇒ − − − =
Pr
EJERCICIO 279
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )x x
x xx x
2
1 2
11 30 0
6 5 06 5
− + =
− − == =
2. 2. 2. 2. 2.
( )
x x
x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
33 260 0
332
334
260
332
1 089 1 0404
332
494
332
72
332
72
262
13
332
72
402
20
+ + =
= − ± −
=−
±−
=−
±
=−
±
= − + =−
= −
=−
− =−
= −
. .
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )x x
x xx x
2
1 2
306 0
18 17 018 17
+ − =
+ − == − =
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )x x
x xx x
2
1 2
49 294 0
42 7 042 7
+ + =
+ + == − = −
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )x x
x xx x
2
1 2
6 247 0
19 13 019 13
− − =
− + == = −
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
32
1 0
2 3 2 0
2 3 2 4 0
2 4 2 1 0
2 2 1 0
212
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
223
8 0
3 22 24 0
3 22 3 72 0
3 18 3 4 0
6 3 4 0
643
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
= − = −
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
( )( )( )( )
xx
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
438
0
8 2 3 0
8 2 8 24 0
8 6 8 4 0
4 3 2 1 034
12
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
957
6 0
7 95 42 0
7 95 7 294 0
7 98 7 3 0
14 7 3 0
1437
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
= − =
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( ) ( )( )
x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
103
1 0
3 10 3 0
10 10 4 3 32 3
10 646
10 86
10 86
26
13
10 86
186
3
+ + =
+ + =
=− ± −
=− ±
=− ±
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
3140
320
0
40 31 6 0
40 31 40 240 0
40 16 40 15 0
5 2 8 3 025
38
− + =
− + =
− + =
− − =
− − =
= =
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )
( )( )( )( )
xx
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
659
0
18 3 10 0
18 3 18 180 0
18 15 18 12 0
6 5 3 2 05
623
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
=−
=
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
720
310
0
20 7 6 0
20 7 20 120 0
20 15 20 8 0
4 3 5 2 034
25
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= =−
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
( )( )( )( )
xx
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
215
4 0
5 21 20 0
5 21 5 100 0
5 25 5 4 0
5 5 4 0
545
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = −
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )
( )( )( )( )
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
1 2
5972
16
0
72 59 12 0
72 59 72 864 0
72 32 72 27 0
9 4 8 3 049
38
− + =
− + =
− + =
− − =
− − =
= =
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )
x x
x
x
x
x
2
2
1
2
2 4 0
2 2 4 1 42 1
2 202
2 2 52
2 2 52
2 1 52
1 5
2 2 52
2 1 52
1 5
− − =
=− − ± − − −
=±
=±
=+
=+
= +
=−
=−
= −
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )
x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
1
2
114
0
4 4 11 0
4 4 4 4 112 4
4 64 38
4 8 38
4 8 38
4 1 2 38
1 2 32
12
3
4 8 38
4 1 2 38
1 2 32
12
3
− − =
− − =
=− − ± − − −
=± ⋅
=±
=+
=+
=+
= +
=−
=−
=−
= −
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( )( )
( )
( )
x x
x x
x
x
x
x
2
2
2
2 4
1
2
43
599
0
9 12 59 0
12 12 4 9 592 9
12 2 26818
12 2 3 718
12 18 718
12 18 718
6 2 3 718
2 3 73
23
7
12 18 718
6 2 3 718
2 3 73
23
7
+ − =
+ − =
=− ± − −
=− ±
=− ± ⋅ ⋅
=− ±
=− +
=− +
=− +
= − +
=− −
=− +
=− −
= − −
.
19. 19. 19. 19. 19.
( )( )x ax a
x a x ax a x a
2 2
1 2
2 0
2 02
− − =
− + == = −
20. 20. 20. 20. 20.
( )( )x bx b
x b x bx b x b
2 2
1 2
7 10 0
5 2 05 2
+ + =
+ + == − = −
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( )
( )( )( )( )
xmx m
x mx m
x m x m
x m x m
x m x m
xm m
xm
22
2 2
2 2
1 2
2 90
18 9 2 0
18 9 18 36 0
18 12 18 3 0
6 4 6 046
23 6
− − =
− − =
− − =
− + =
− + =
= = = −
EJERCICIO 280
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( ) ( )
( )( )
x x
x
x
x
x
x x x x
2
2
1
2
2
16 63 0
16 16 4 632
16 42
16 22
16 22
182
9
16 22
142
7
16 63 9 7
− + =
=− − ± − −
=±
=±
=+
= =
=−
= =
− + = − −
2. 2. 2. 2. 2.
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )( )
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
2
2
1
2
2
24 143 0
24 24 4 1432
24 42
24 22
24 22
222
11
24 22
262
13
24 143 11 13
11 13
+ + =
=− ± −
=− ±
=− ±
=− +
=−
= −
=− −
=−
= −
+ + = − − − −
= + +
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( ) ( )
( )( )
x x
x
xxx
x x x x
2
2
1
2
2
26 155 0
262
264
155
13 324 13 1813 18 3113 18 5
26 155 31 5
− − =
= −−
± − −
= ± = ±= + == − = −
− − = − +
4. 4. 4. 4. 4.
( ) ( )( )( )
( )
( )( )( )
2 6 0
1 1 4 2 62 2
1 494
1 74
1 74
64
32
1 74
84
2
2 6 232
2
22 3
22
2 3 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
xx
x x
+ − =
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
= − = −
+ − = −
+
=−
+
= − +
5. 5. 5. 5. 5.
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
12 5 2 0
5 5 4 12 22 12
5 12124
5 1124
5 1124
624
14
5 1124
1624
23
12 5 2 1214
23
124 1
43 2
3
12 4 1 3 212
4 1 3 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
x x
+ − =
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
+ − = −
+
=−
+
=− +
= − +
6. 6. 6. 6. 6.
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
5 41 8
41 41 4 5 82 5
41 1 52110
41 3910
41 3910
210
15
41 3910
8010
8
5 41 8 515
8
5 1 8
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=− ± −
=− ±
=− ±
=− +
= − = −
=− −
=−
= −
+ + = +
+
= + +
.
7. 7. 7. 7. 7.
( ) ( )( )( )
( )( )( )
6 7 10
7 7 4 6 102 6
7 28912
7 1712
7 1712
1012
56
7 1712
2412
2
6 7 10 656
2
6 5 2
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
+ − = −
+
= − +
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
12 25 12
25 25 4 12 122 12
25 4924
25 724
25 724
3224
43
25 724
1824
34
12 25 12 1243
34
12 3 4 4 312
3 4 4 3
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
− +
=− − ± − −
=±
=±
=+
= =
=−
= =
− + = −
−
=− −
= − −
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( ) ( )( )
( )( )
8 50 63
50 50 4 8 632 8
50 48416
50 2216
50 2216
2816
74
50 2216
7216
92
8 50 63 874
92
4 7 2 9
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=± −
=− ±
=− ±
=− +
=−
= −
=− −
= − = −
+ + = +
+
= + +
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( ) ( )( )
( )( )
27 30 7
30 30 4 27 72 27
30 14454
30 1254
30 1254
1854
13
30 1254
4254
79
27 30 7 2713
79
3 1 9 7
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ +
=− ± −
=− ±
=− ±
=− +
= − = −
=− −
= − = −
+ + = +
+
= + +
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
30 61 30
61 61 4 30 302 30
61 12160
61 1160
61 1160
7260
65
61 1160
5060
56
30 61 30 3065
56
5 6 6 5
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
− +
=− − ± − −
=±
=±
=+
= =
=−
= =
− + = −
−
= − −
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )
11 153 180
153 153 4 11 1802 11
153 31 32922
153 17722
153 17722
33022
15
153 17722
2422
1211
11 153 180 11 151211
15 11 12
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
− −
=− − ± − − −
=±
=±
=+
= =
=−
= − = −
− − = − +
= − +
.
13. 13. 13. 13. 13.
( )
( )( )( )( )
66
12
14
612
254
12
52
42
2
12
52
62
3
6 2 3
6 2 3
2
2
1
2
2
2
− −
+ −
= − ± − − = − ±
= − + = =
= − − = − = −
+ − = − +
− − = − +
x xx x
x
x
x
x x x x
x x x x
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( ) ( )( )( )
5 9 2
9 9 4 2 5
2 2
9 1214
9 114
9 114
204
5
9 114
24
12
2
2
1
2
− −
=− − ± − − −
−
=±−
=±−
=+−
=−
= −
=−−
=−−
=
x x
x
x
x
x
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación14. Continuación
( )( )( )
( )( )
5 9 2 2 512
5 2 1
5 1 2
2− − = − + −
= − + −
= + −
x x x x
x x
x x
15. 15. 15. 15. 15.
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
15 4 4
4 4 4 15 4
2 44 256
8
4 168
128
32
4 168
208
52
15 4 4 432
52
2 3 2 5
3 2 5 2
2
2
1
2
2
+ −
=− ± − −
−=
− ±−
=− +
−=
−= −
=− −
−=
−−
=
+ − = − +
−
= − + −
= + −
x x
x x
x
x
x x x x
x x
x x
16. 16. 16. 16. 16.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( )
4 13 1212 13 4
13 13 4 12 42 12
13 36124
13 1924
3224
43
13 1924
624
14
12 13 4 1243
14
3 4 1 4
4 13 12 4 3 1 4
2
2
2
1
2
2
2
+ −
− −
=− − ± − − −
=±
=+
= =
=−
=−
= −
− − = −
+
= − +
+ − = − +
x xx x
x x
x
x
x x x x
x x
x x x x
17. 17. 17. 17. 17.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
72 55 7
55 55 4 72 72 72
55 5 041144
55 71144
126144
78
55 71144
16144
19
72 55 7 7278
19
8 7 9 1
2
2
1
2
2
x x
x x
x
x
x x x x
x x
− −
=− − ± − − −
=±
=+
= =
=−
=−
= −
− − = −
+
= − +
.
18. 18. 18. 18. 18.
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
6 31 30
31 31 4 30 6
2 30
31 1 68160
31 4160
1060
16
31 4160
7260
65
6 31 30 3016
65
6 1 5 6
1 6 6 5
2
2
1
2
2
+ −
=− ± − −
−
=− ±
−
=− +
−=
−= −
=− −
−=
−−
=
+ − = − +
−
= − + −
= + −
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
x x
.
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )( )( )
( )( )( )
10 207 63
207 207 4 10 632 10
207 45 36920
207 21320
620
310
207 21320
42020
21
10 207 63 103
1021
10 3 21
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=− ± − −
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
+ − = −
+
= − +
.
20. 20. 20. 20. 20.
( ) ( )
( )( )( )( )( )( )
100 1515 100
152
154
100
152
6254
152
252
102
5
152
252
402
20
15 100 5 20
15 100 5 20
5 20
2
2
2
1
2
2
2
− −
+ −
= − ± − −
=−
±
=−
+ = =
=−
− =−
= −
+ − = − +
− − + = − − +
= − +
x xx x
x
x
x
x
x x x x
x x x x
x x
21. 21. 21. 21. 21.
( ) ( )( )( )
( )( )( )
18 31 49
31 31 4 18 492 18
31 4 48936
31 6736
3636
1
31 6736
9836
4918
18 31 49 18 14918
1 18 49
2
2
1
2
2
x x
x
x
x
x
x x x x
x x
+ −
=− ± − −
=− ±
=− +
= =
=− −
=−
= −
+ − = − +
= − +
.
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
6 2
4 6 22 6
4912
712
812
23
712
612
12
6 2 623 2
3 2 2
2 2
2 2 2
1
2
2 2
x ax a
xa a a a a
xa a a a
xa a a
a
x ax a x a xa
x a x a
− −
=− − ± − − −
=±
=+
= =
=−
=−
= −
− − = −
+
= − +
23. 23. 23. 23. 23.
( ) ( )( )( )
( )( )( )
5 22 15
22 22 4 5 152 5
22 78410
22 2810
22 2810
610
35
22 2810
5010
5
5 22 15 535
5
5 3 5
2 2
2 2
2
1
2
2 2
x xy y
xy y y
xy y y
xy y y
y
xy y y
y
x xy y xy
x y
x y x y
+ −
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
=− −
= − = −
+ − = −
+
= − +
24. 24. 24. 24. 24.
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
15 32 7
32 32 4 15 72 15
32 1 44430
32 3830
32 3830
7030
73
32 3830
630 5
15 32 7 155
73
5 3 7
2 2
2 2
2
1
2
2 2
x mx m
xm m m
xm m m m
xm m m m
xm m m m
x mx m xm
xm
x m x m
− −
=− − ± − − −
=±
=±
=+
= =
=−
=−
= −
− − = +
−
= + −
.
EJERCICIO 2821. 1. 1. 1. 1.
( )( )x
x x
x xx x
x xx i x
4
2 2
2 2
2 2
1 0
1 1 0
1 0 1 01 1
1 11
− =
+ − =
+ = − == − =
= ± − = ±= ± = ±
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
( ) ( )
x
x x xxxx x
x
x
xi i
xi i
3
2
12
2
2
3
1 0
1 1 01 0
1
1 0
12
14
1
12
34
12
3 12
12
32
1 32
12
32
1 32
+ =
+ − + =+ == −
− + =
= −−
±−
−
= ± − = ±−
= + =+
= − =−
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )( )( )( )
xx
x x
x x xx x
x xx
x
x ix i x i
4
4
2 2
2
1 22
2
3 4
8181 0
9 9 0
3 3 9 03 0 3 0
3 39 0
9
9 1 93 3
=
− =
− + =
− + + =− = + =
= = −
+ =
= −
= ± − = ±= = −
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )( )( )( )
x
x x
x x xx x
x xx
x
x ix i x i
4
2 2
2
1 22
2
3 4
256 0
16 16 0
4 4 16 04 0 4 0
4 416 0
16
16 1 44 4
− =
− + =
+ − + =+ = − =
= − =
+ =
= −
= ± − = ±= = −
5. 5. 5. 5. 5. ( )( )( )
( ) ( )
x
x x xxxx x
x
x i
x i x i
3
2
12
2
2 3
8 0
2 2 4 02 0
22 4 0
22
24
4
1124
12 3 1
21 3
1 3 1 3
+ =
+ − + =+ == −
− + =
=− −
±−
−
= ± − = ±−
= +
= + = −
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( )( )( )
x
x x
x x xx xx xxx
x ix i x i
4
2 2
2
1 22
2
3 4
625 0
25 25 0
5 5 25 05 0 5 0
5 525 0
25
25 1 55 5
− =
− + =
+ − + =+ = − == − =
+ =
= −
= ± − = ±= = −
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
x
x x xxxx x
x
x
x i
x i
3
2
12
2
2
3
64 0
4 4 16 04 0
44 16 0
4 4 4 1 162 1
4 16 642
4 482
4 4 3 12
2 2 3
4 482
4 4 3 12
2 2 3
+ =
+ − + =+ == −
− + =
=− − ± − −
=± −
=+ −
=+ −
= +
=− −
=− −
= −
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )( )( )( )
x
x x
x x x x x xx xx xx x
6
3 3
2 2
1 22
729 0
27 27 0
3 3 9 3 3 9 03 0 3 03 33 9 0
− =
− + =
− + + + − + =− = + == = −+ + =
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación8. Continuación
( )
( ) ( )
x
xi
xi
xi
x x
x
xi
xi
xi
=−
± −
=−
±−
=−
±
=− −
=− +
− + =
=− −
±−
−
= ±−
= ±
=+
=−
32
34
9
32
27 14
32
3 32
3 3 32
3 3 32
3 9 0
32
34
9
32
27 14
32
3 32
3 3 32
3 3 32
2
3 4
2
2
5 6
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )
( )
xx
x x xxxx x
x
x
x i
x i
x i
3
3
2
12
2
2
3
88 0
2 2 4 02 022 4 0
22
24
4
1 3 1
1 3
1 3
1 3
=− =
− + + =− ==+ + =
=−
± −
= − ± −
= − ±
= − +
= − −
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
xx
x x
x x
x x
x x i
x x i
x x i
4
4
2 2
2 2
2
1 3
2 4
6464 0
8 8 0
8 8
2 2 8 1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
=
− =
− + =
= = −
= ⋅ = −
= ± = ±
= =
= − = −
EJERCICIO 283
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x xx x
x xx x
x x
4 2
2 2
1 2
3 4
10 9 0
9 1 0
3 3 1 1 03 0 3 0
3 31 0 1 0
1 1
− + =
− − =
+ − + − =+ = − =
= − =+ = − =
= − =
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )x x
x x
x xx x
x xx xx x
4 2
2 2
2 2
2 2
1 3
2 4
13 36 0
4 9 0
4 0 9 0
4 9
4 92 3
2 3
− + =
− − =
− = − =
= =
= ± = ±= == − = −
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x xx x
x xx x
x x
4 2
2 2
1 2
3 4
29 100 0
25 4 0
5 5 2 2 05 0 5 0
5 52 0 2 0
2 2
− + =
− − =
+ − + − =+ = − =
= − =+ = − =
= − =
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )x x
x x
x xx x
x xx xx x
4 2
2 2
2 2
2 2
1 3
2 4
61 900 0
36 25 0
36 0 25 0
36 25
36 256 5
6 5
− + =
− − =
− = − =
= =
= ± = ±= == − = −
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x xx xx xxx
x ix i x i
4 2
2 2
2
1 22
2
3 4
3 4 0
4 1 0
4 1 1 01 0 1 0
1 14 0
4
4 1 22 2
+ − =
+ − =
+ + − =+ = − == − =
+ =
= −
= − = ±= = −
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x xx x
x xx
xx i x i
4 2
2 2
2
1 22
3 4
16 225 0
25 9 0
25 3 3 03 0 3 0
3 325 0
25 15 5
+ − =
+ − =
+ + − =+ = − =
= − =+ =
= ± −= = −
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x xx x
x xx
x
x ix i x i
4 2
2 2
2
1 22
2
3 4
45 196 0
49 4 0
7 7 4 07 0 7 0
7 74 0
4
4 1 22 2
− − =
− + =
+ − + =+ = − =
= − =
+ =
= −
= − = ±= = −
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )( )( )
x x
x x
x x xx xx xx
x
x
x x
4 2
2 2
2
1 22
2
3 4
6 5 0
5 1 0
5 1 1 01 0 1 0
1 1
5 05
5
5 5
− + =
− − =
− + − =+ = − == − =
− =
=
= ±
= = −
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )( )( )
( )( )
4 37 9 0
4 37 4 36 0
4 36 4 1 0
9 4 1 0
9 0 4 1 0
914
9
312
312
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 3
2 4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
− + =
− + =
− − =
− − =
− = − =
= = ±
= ±
= =
= − = −
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )( )
9 40 16 0
9 40 9 144 0
9 36 9 4 0
4 9 4 0
2 2 9 4 02 0 2 0
2 29 4 0
49
23
23
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
1 2
2
3 4
x x
x x
x x
x x
x x xx x
x xx
x
x x
− + =
− + =
− − =
− − =
+ − − =+ = − =
= − =
− =
= ±
= = −
11. 11. 11. 11. 11.
( )( ) ( )( )
( )
25 9 16 0
25 9 16 0
9 9 4 25 162 25
9 1 68150
9 4150
9 4150
3250
1625
1625
45
45
9 4150
5050
1
1
4 2
2 2 2
2
2
2
2
1 2
2
3 4
x x
x x
x
x
x
x x x
x
x x i x i
+ − =
+ − =
=− ± − −
=− ±
=− ±
=− +
= =
= ± = = −
=− −
=−
= −
= ± − = = −
.
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
4 11 3 0
4 11 4 12 0
4 12 4 1 0
3 4 1 0
3 0
3
3 3 1 3
3 3
4 1 0
2 1 2 1 02 1 0 2 1 0
12
12
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
1 22
3 4
x x
x x
x x
x x
xx
x i
x i x ix
x xx x
x x
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ =
= −
= ± − = ± − = ±
= = −
− =
+ − =+ = − =
= − =
13. 13. 13. 13. 13. ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )
2 1 3 80
4 4 1 6 9 803 10 88 0
3 10 3 264 0
3 22 3 12 0
3 22 4 0
3 22 2 2 02 0 2 0
2 23 22 0
22322 1
3223
33
663
22
2 2 2 2
4 2 4 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
1 22
2
3
4
x x
x x x xx x
x x
x x
x x
x x xx xx xx
x
x
x ii
x i
+ − − =
+ + − + − =+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ + − =+ = − == − =
+ =
=−
= ±−
= ⋅ =
= −3
33
663
⋅ =− i
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )
x x x
x x xx x
x x
x x
x x
x x xx xx xx
xi
xi i
xi i
2 2 2
4 2 2
4 2
2 2 2
2 2
2 2
2
1 22
3
4
3 2 4 3 13
3 2 4 12 13
3 2 1 0
3 2 3 3 0
3 3 3 1 0
1 3 1 0
1 1 3 1 01 0 1 0
1 13 1 0
13 3
333
33
333
33
+ = − +
+ = − +
− − =
− − =
− + =
− + =
+ − + =+ = − == − =
+ =
=−
= ±
= ⋅ =
= − ⋅ = −
EJERCICIO 284
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )( )
x x
x x
x xx x
x xx x
x
x x x
x x
ver ejerc prob
x i
x i
x
x x x
ver ejerc prob
xi
xi
6 3
3 3
3 3
3 3
3 3
1 2
3
2
2
3
4
3
2
5 6
7 8 0
8 1 0
8 0 1 0
8 1
8 12 1
8 0
2 2 4 0
2 4 0
282 9
1 3
1 3
1 0
1 1
282 2
1 32
1 32
− − =
− + =
− = + =
= = −
= = −= = −
− =
− + + =
+ + =
= − +
= − −
+ =
+ − +
=+
=−
. .
. .
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )x x
x x
x xx x
x x
x x
6 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3
30 81 0
27 3 0
27 0 3 027 3
27 3
3 3
+ + =
+ + =
+ = + =
= − = −
= − = −
= − = −
3. 3. 3. 3. 3.
( ) ( )( )( )
( )( )
8 15 2 0
8 15 8 16 0
8 16 8 1 0
2 8 1 0
2 0 8 1 0
218
212
2
6 3
3 2 3
3 3
3 3
3 3
3
3
3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
+ − =
+ − =
+ − =
+ − =
+ = − =
= − =
= − =
= −
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )( )( )( )( )
x x
x x
x x x x
x x
x xx
8 4
4 4
2 2 2 2
2 2
41 400 0
25 16 0
5 5 4 4 0
5 0 4 0
5 42
− + =
− − =
+ − + − =
− = − =
= ± = ±= ±
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )x x
x x
x x
x xx x
10 5
5 5
5 5
5 5
33 32 0
32 1 0
32 0 1 0
32 12 1
− + =
− − =
− = − =
= == =
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )x x
x x
x xx x
x x
x x
x x
x x x x
− −
− −
− −
− −
− + =
− − =
− = − =
= =
= =
= =
± = ± =
= = − = = −
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 3 4
13 36 0
9 4 0
9 0 4 0
9 41
91
4
19
14
19
14
13
13
12
12
; ; ;
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
x xx x
x x
x xx x
x x
x x
x x
− −
− −
− −
− −
− −
+ = −
+ + =
+ + =
+ = + =
= − = −
= − = −
−=
−=
= − = −
6 3
6 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
35 216
35 216 0
27 8 0
27 0 8 0
27 81
271
8
127
18
13
12
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )
x x
x x
x x
x x
x x
x xx x
+ =
+ − =
+
−
=
+ = − =
= − =
= − == =
12
12
12
12
12
12
2 2
6
6 0
3 2 0
3 0 2 0
3 2
3 29 4
9. 9. 9. 9. 9. x x
x x
x x
x xx x
x xx
332
32
32
32
32
3 3
3 3
3
9 8 0
8 1 0
8 0 1 0
8 164 1
64 14
− + =
−
−
=
− = − =
= =
= =
= ==
12. 12. 12. 12. 12.
( )
2 5 2 0
4 5 2 4 0
2 4 2 1 0
2 2 1 0
2 0 2 1 0
2 2 1
212
21
1616
12
14
12
14
14
14
14
14
14
14
14 4
44
4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
− + =
−
+ =
−
−
=
−
−
=
− = − =
= =
= =
= =
=
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )
x xx x
x x
x xx x
x x
x x
x x
− −
− −
− −
− −
− −
= +
− − =
− + =
− = + =
= = −
= = −
=−
=
= = −
10 5
10 5
5 5
5 5
5 5
5 5
5 5
242 243
242 243 0
243 1 0
243 0 1 0
243 11
2431
1
1243
11
13
1
11. 11. 11. 11. 11.
( )
3 16 5
3 16 5 0
9 16 3 15 0
3 15 3 1 0
3 15 0 3 1 0153
13
513
2519
12
12
12
12
12
12
22
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
= −
− + =
−
+ =
−
−
=
− = − =
= =
= =
= =
EJERCICIO 285
1. 1. 1. 1. 1.
( )
5 24
5 24
11
5 12
5 12
3 2
2
+
= −
==
=+
+−
= +
m
mm
2. 2. 2. 2. 2.
( )
8 60
8 60
42
8 22
8 22
5 3
2
−
= −
==
=+
−−
= −
m
mm
3. 3. 3. 3. 3.
( )
8 28
8 28
366
8 62
8 62
7 1
2
+
= −
==
=+
+−
= +
m
mm
4. 4. 4. 4. 4.
( )
32 700
32 700
324 18
32 182
32 182
25 7
5 7
2
−
= −
= =
=+
−−
= −
= −
m
m
5. 5. 5. 5. 5.
( )
14 132
14 132
64 8
14 82
14 82
11 3
2
+
= −
= =
=+
+−
= +
m
m
6. 6. 6. 6. 6.
( )
13 88
13 88
81 9
13 92
13 92
11 2
2
+
= −
= =
=+
+−
= +
m
m
7. 7. 7. 7. 7.
( )
11 2 30
11 120
11 120 1
11 12
11 12
6 5
2
+
+
= − =
=+
+−
= +
m
8. 8. 8. 8. 8.
( )
84 18 3
84 972
84 972
6 084 78
84 782
84 782
81 3 9 3
2
−
−
= −
= =
=+
−−
= − = −
m
m .
9. 9. 9. 9. 9.
( )
21 6 10
21 360
21 360
81 9
21 92
21 92
15 6
2
+
+
= −
= =
=+
+−
= +
m
m
10. 10. 10. 10. 10.
( )
28 14 3
28 588
28 588
196 14
28 142
28 142
21 7
2
+
+
= −
= =
=+
+−
= +
m
m
11. 11. 11. 11. 11.
( )
14 4 6
14 96
14 96
100 10
14 102
14 102
12 2
2 3 2 2 3 2
2
2
−
−
= −
= =
=+
−−
= −
= ⋅ − = −
m
m
12. 12. 12. 12. 12.
( )
55 30 2
55 1 800
55 1 800
1 225 35
55 352
55 352
45 10 3 5 10
2
+
+
= −
= =
=+
+−
= + = +
.
.
.
m
m
13. 13. 13. 13. 13.
( )
73 12 35
73 5 040
73 5 040
289 17
73 172
73 172
45 28 3 5 2 7
2
−
−
= −
= =
=+
−−
= − = −
.
.m
m
14. 14. 14. 14. 14.
( )
253 60 7
253 25 200
253 25 200
38 809 197
253 1972
253 1972
225 28 15 2 7
2
−
−
= −
= =
=+
−−
= − = −
.
.
.
m
m
15. 15. 15. 15. 15.
( )
293 30 22
293 19 800
293 19 800
66 049 257
293 2572
293 2572
275 18 5 11 3 2
2
−
−
= −
= =
=+
−−
= − = −
.
.
.
m
m
16. 16. 16. 16. 16.
56
23
56
23
136
16
56
16
2
56
16
212
13
1 22 2
1 33 3
12
213
3
2
+
=
−
= =
=+
+−
= + = +
= +
m
m
17. 17. 17. 17. 17. 34
12
34
12
116
14
34
14
2
34
14
212
14
22
12
2
−
=
−
= =
=+
−−
= − = −
m
m
18. 18. 18. 18. 18.
916
18
916
18
49256
716
916
716
2
916
716
212
116
22
14
2
+
=
−
= =
=+
+−
= + = +
m
m
19. 19. 19. 19. 19.
( )
6 4 2
6 32
6 32
4 2
6 22
6 22
4 2 2 2
2
+
+
= −
= =
=+
+−
= + = +
m
m
20. 20. 20. 20. 20.
( )
7 4 3
7 48
7 48 1
7 12
7 12
4 3 2 3
2
+
+
= − =
=+
+−
= + = +
m
21. 21. 21. 21. 21.
( )
8 2 7
8 28
8 28
36 6
8 62
8 62
7 1
2
+
+
= −
= =
=+
+−
= +
m
m
22. 22. 22. 22. 22.
( )
10 2 21
10 84
10 84
16 4
10 42
10 42
7 3
2
+
+
= −
= =
=+
+−
= +
m
m
23. 23. 23. 23. 23.
( )
18 6 5
18 180
18 180
144 12
18 122
18 122
15 3
2
+
+
= −
= =
=+
+−
= +
m
m
24. 24. 24. 24. 24.
( )
24 2 143
24 572
24 572
4 2
24 22
24 22
13 11
2
−
−
= −
= =
=+
−−
= −
m
m
25. 25. 25. 25. 25.
( )
30 20 2
30 800
30 800
100 10
30 102
30 102
20 10 2 5 10
2
−
−
= −
= =
=+
−−
= − = −
m
m
26. 26. 26. 26. 26.
( )
9 6 2
9 72
9 72
9 3
9 32
9 32
6 3
2
+
+
= −
= =
=+
+−
= +
m
m
27. 27. 27. 27. 27.
( )
98 24 5
98 2 880
98 2 880
6 724 82
98 822
98 822
90 8 3 10 2 2
2
−
−
= −
= =
=+
−−
= − = −
.
.
.
m
m
EJERCICIO 286
1. 1. 1. 1. 1.
( )a n ru
= = = − == + = + =
7 9 10 7 37 8 3 7 24 31
2. 2. 2. 2. 2.
( )a n ru
= = = − == + = + =
5 12 10 5 55 11 5 5 55 60
3. 3. 3. 3. 3.
( )a n ru
= = = − == + = + =
9 48 15 12 39 47 3 9 141 150
4. 4. 4. 4. 4.
( )a n ru
= = = − == + = + =
3 63 17 10 73 62 7 3 434 437
5. 5. 5. 5. 5.
( )a n r
u
= = = − = −
= + − = − = −
11 12 6 11 5
11 11 5 11 55 44
6. 6. 6. 6. 6.
( )a n r
u
= = = − = −
= + − = − = −
19 28 5 12 7
19 27 7 19 189 1707. 7. 7. 7. 7. ( )
( )a n r
u
= = = − − − = −
= + − = − = −
3 13 5 1 4
3 12 4 3 48 45
8. 8. 8. 8. 8.
( )a n r
u
= = = − = −
= + − = − = −
8 54 0 8 8
8 53 8 8 424 4169. 9. 9. 9. 9. ( )
( )a n r
u
= − = = − − =
= − + = − + =
7 31 1 3 4
7 30 4 7 120 11310. 10. 10. 10. 10.
( )a n ru
= − = = − == − + = − + =
8 17 12 2 108 16 10 8 160 152
111111. 1. 1. 1. 1. a n r
u
= = = − =
= +
= + = =
12
1234
12
14
12
1114
12
114
134
3 14
12. 12. 12. 12. 12. a n r
u
u
= = = − =
= +
= + = =
23
1756
23
16
23
1616
23
83
103
3 13
13. 13. 13. 13. 13. a n r
u
u
= = = − =
= +
= + = =
38
251124
38
112
38
241
1238
2198
2 38
14. 14. 14. 14. 14. a n r
u
u
= = = − =
= +
= + = =
13
1978
13
1324
13
181324
13
394
12112
10 112
15. 15. 15. 15. 15. a n r
u
= = = − =
= +
= + = =
72
27214
72
74
72
2674
72
912
982
49
16. 16. 16. 16. 16. a n r
u
u
= = = − = −
= + −
= − = − = −
79
3613
79
49
79
3549
79
1409
1339
14 79
17. 17. 17. 17. 17. a n r
u
u
= = = − = −
= + −
= − = − = −
27
1518
27
956
27
149
5627
12656
11056
1 2728
18. 18. 18. 18. 18. a n r
u
u
= − = = − + = −
= − + −
= − − = − = −
35
211415
35
13
35
2013
35
203
10915
7 415
Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u = a + (n - 1) r donde:u es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad deu es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad detérminos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.términos ; r es la razón de cambio.
19. 19. 19. 19. 19.
( )
a n r
u
= − = = − + = −
= − + − = − − = − = −
14
1394
14
2
14
12 214
24974
24 14
20. 20. 20. 20. 20. a n r
u
= − = = − + =
= − +
= − + = =
56
1913
56
12
56
1812
56
9496
8 16
21. 21. 21. 21. 21. a n r
u
= = = − = −
= + −
= − = − = −
113
333512
113
34
113
3234
113
24613
20 13
22. 22. 22. 22. 22. a n r
u
u
= = = − = −
= + −
= − = − = −
145
412710
145
110
145
401
10145
465
115
23. 23. 23. 23. 23. a n r
u
u
= − = = + =
= − +
= − + = =
35
263
1035
910
35
259
1035
452
21910
21 910
24. 24. 24. 24. 24. a n
r
u
u
= − =
= − + =
= − +
= − + =
4 1923
4103
4 18103
4 60 56
25. 25. 25. 25. 25. a n
r
u
u
= =
= − − = −
= + −
= − = − = −
3 3954
3174
3 38174
33232
3172
158 12
EJERCICIO 287
1. 1. 1. 1. 1.
( )
u r n
a
a
= = =
= −
= − =
2027
15
20 1427
20 4 16
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )u n raa
= − = == − −= − − = −
18 32 318 31 318 93 111
3. 3. 3. 3. 3.
( )
u n r
a
= = = − =
= −
= − = −
1 9 134
14
1 814
1 2 1
4. 4. 4. 4. 4. u n
Se plantea la ecuación
para encontrar la razón
r
r
r
= =
− =
− = −
− = −
25
37
25
32 7
2 725
3
24
3
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación4. Continuación
( )
r
a
a
= =
= −
= − = =
46
23
253
623
253
123
133
4 13
5. 5. 5. 5. 5. a n u
r
= = =
= −−
= =
3 6 8
8 3
6 1
5
51
6. 6. 6. 6. 6.
( )a n u
r
= − = = −
=− − −
−= − = −
1 10 4
4 110 1
39
13
7. 7. 7. 7. 7. a n u
r
= = = −
=− −
−=
−= −
1
217
3
83
8
1
217 1
7
816
7
128
8. 8. 8. 8. 8. a n u
r
= = = −
= − −−
= − = −
5 18 80
80 5
18 1
85
175
9. 9. 9. 9. 9.
( )a n u
r
= − = =
=− −−
= =
42 92 1 050
1 050 4292 1
1 09291
12
.
. .
Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:
( )a u n r ru an
nu a r
r= − − =
−−
=− +
11
Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.a es el primer término de la progresión.
10. 10. 10. 10. 10. a u
r
n
= == − =
= − + = =
4 30
6 4 2
30 4 2
2
28
214
11. 11. 11. 11. 11. a u
r
n
n
= =
= − =
=− +
=+
= =
5 18
16
35
1
3
18 51
31
3
131
31
3
40
31
3
40
12. 12. 12. 12. 12. a u
r
n
n
= =
= − =
=− +
=−
= = =
26
518
626
5
4
5
1826
5
4
54
5
1822
54
5
68
54
5
68
417
EJERCICIO 288
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
( ) ( )
ra nuu
s
s
= − == == += + =
=+
= =
19 15 415 815 7 415 28 43
15 43 82
58 4 232
2. 2. 2. 2. 2.
( )
( )( )
a nruu
s
s
= === += + =
=+
= =
31 19731 18 731 126 157
31 157 192
3 5722
1 786.
.
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )( )
( )( )
a n r
uu
s
s
= = = −
= + −= −
=−
= − = −
42 24 10
42 23 10188
42 188 242
146 12 1 752.
4. 4. 4. 4. 4. ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
a n ruu
s
s
= − = == − += − + =
=− +
= =
10 80 410 79 410 316 306
10 306 802
296 40 11 840.
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( )( )
( )( )
a n r
uu
s
s
= = = −
= + −= − = −
=−
= − = −
11 60 10
11 59 1011 590 579
11 579 602
568 30 17 040.
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )
( )( )
( )( )
a n r
uu
s
s
= − = = −
= − + −= − − = −
=− −
= − = −
5 50 8
5 49 85 392 397
5 397 502
402 25 10 050.
7. 7. 7. 7. 7.
( )
( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=+
= =
12
912
12
812
12
492
12
92
9
2452
22 12
8. 8. 8. 8. 8.
( )
( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=+
= =
310
141
103
1013
110
310
1310
85
310
85
14
213310
13 310
9. 9. 9. 9. 9.
( )
a n r
u
u
s
s
= = =
= +
= + =
=+
= = =
34
1934
34
1834
34
272
574
1934
574
219 15
22852
142 12
10. 10. 10. 10. 10. a n r
u
u
s
s
= = = −
= + −
= − = −
=−
= − = −
25
343
1125
333
1125
9435
3425
435
21 394
10139 2
5.
11. 11. 11. 11. 11. a n r
r
u
u
s
s
= = =
= − =−
=
= +
= + =
=+
= =
73
1145
4715
73
47 3515
45
73
1045
73
8313
1173
313
24186
69 23
12. 12. 12. 12. 12. a n
r
u
u
s
s
= =
= − = =
= +
= + =
=+
= =
134
46
7320
134
820
25
134
4525
134
18854
46134
854
24 508
8563 1
2.
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )
a n r
u
s
= − = = + =
= − +
= − + =
=− +
= =
2 1714
294
2 1694
2 36 34
17 2 342
17 16 272
14. 14. 14. 14. 14. a n r
u
s
s
= − = = − + =
= − +
= −
=− −
= −
= − = −
5 12378
538
5 1138
78
12 578
2
6478
1414
35 14
EJERCICIO 289
1. 1. 1. 1. 1. u a n
r
Luego
= = =
= −−
= =
⇒ + =+ =+ =
÷
11 3 5
11 3
5 1
8
42
3 2 5
5 2 7
7 2 9
3 5 7 9 11. . . . .
2. 2. 2. 2. 2. u a m
r
Luego
= − = =
= − −+
= − = −
⇒ − =− =− =− =− =− =− = −
÷ − −
5 19 7
5 19
7 1
24
83
19 3 16
16 3 13
13 3 10
10 3 7
7 3 4
4 3 1
1 3 2
19 16 13 10 7 4 1 2 5. . . . . . . . .
3. 3. 3. 3. 3. u a n
r
Luego
= − = − =
= − +−
= − = −
⇒− − = −− − = −− − = −− − = −− − = −
÷ − − − − − − −
73 13 7
73 13
7 1
60
610
13 10 23
23 10 33
33 10 43
43 10 53
53 10 63
13 23 33 43 53 63 73. . . . . . .
4. 4. 4. 4. 4. u a m
r
Luego
= = − =
= ++
= =
⇒− + = −− + = −− + =
+ =÷ − − −
53 42 4
53 42
4 1
95
519
42 19 23
23 19 4
4 19 15
15 19 34
42 23 4 15 34 53. . . . . .
5. 5. 5. 5. 5. u a n
r
Luego
= − = − =
= − +−
= =
⇒− + = −− + = −− + = −− + = −− + = −
÷ − − − − − − −
9 81 7
9 81
7 1
72
612
81 12 69
69 12 57
57 12 45
45 12 33
33 12 21
81 69 57 45 33 21 9. . . . . . .
6. 6. 6. 6. 6. u a m
r
Luego
= = =
= −+
= =
⇒ + =
+ =
+ =
÷
÷
3 1 3
3 1
3 1
2
4
1
2
11
2
3
23
2
1
22
21
2
5
2
13
22
5
23
1 1 2 2 312
12
. . . . .
. . . . .
7. 7. 7. 7. 7. u a n
r
Luego
= = =
= −−
=
⇒ + =
+ =
+ =
+ =
÷
÷
12 5 6
12 5
6 1
7
5
57
5
32
532
5
7
5
39
539
5
7
5
46
546
5
7
5
53
5
532
5
39
5
46
5
53
512
5 6 7 9 10 1225
45
15
35
. . . . . .
. . . . . .
8. 8. 8. 8. 8. u a m
r
Luego
= = − =
= ++
=
⇒− + = −
− + = −
− + = −
− + =
+ =
÷ − − − −
÷ − − − − −
3 4 5
3 4
5 1
7
6
47
6
17
617
6
7
6
5
35
3
7
6
1
21
2
7
6
2
32
3
7
6
11
6
417
6
5
3
1
2
2
3
11
63
4 2 11
2
2
31 35
623
56
. . . . . . .
. . . . . . .
9. 9. 9. 9. 9. u a n
r
Luego
= = =
=−
−=
−= −
⇒ − =
− =
− =
− =
− =
÷
1
8
3
47
18
34
7 1
58
6
5
48
3
4
5
48
31
4831
48
5
48
13
2413
24
5
48
7
167
16
5
48
1
31
3
5
48
11
483
4
31
48
13
24
7
16
1
3
11
48
1
8. . . . . . .
10. 10. 10. 10. 10. u a m
r
Luego
= = − =
= ++
=
⇒− + = −
− + =
+ =
+ =
+ =
+ =
÷ − −
÷ − −
3 1 6
3 1
6 1
4
7
14
7
3
73
7
4
7
1
71
7
4
7
5
75
7
4
7
9
79
7
4
7
13
713
7
4
7
17
7
13
7
1
7
5
7
9
7
13
7
17
73
13
7
1
7
5
71 1 2 32
767
37
. . . . . . . .
. . . . . . . .
11. 11. 11. 11. 11. u a n
r
= − = =
=− −
−=
−= −
⇒ − =
− =
− =
1
8
2
37
1
8
2
37 1
19
246
19
144
2
3
19
144
77
14477
144
19
144
29
7229
72
19
144
13
48
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación11. Continuación13
48
19
144
5
365
36
19
144
1
1442
3
77
144
29
72
13
48
5
36
1
144
1
8
− =
− =
÷ −Luego . . . . . . .
12. 12. 12. 12. 12. u a m
r
Luego
= − = − =
= − ++
= −
⇒− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
÷ − − − − − − − − −
5 2 7
5 2
7 1
3
8
23
8
19
819
8
3
8
11
411
4
3
8
25
825
8
3
8
7
27
2
3
8
31
831
8
3
8
17
417
4
3
8
37
82 2 2 3 3 3 4 4 53
834
18
12
78
14
58. . . . . . . . .
13. 13. 13. 13. 13. u a n
r
Luego
= − = =
=− −
−=
−= −
⇒ − =
− =
− =
− = −
− − = −
− − = −
− − = −
− − = −
÷ − − − − − −
7
10
1
210
7
10
1
210 1
6
59
2
15
1
2
2
15
11
3011
30
2
15
7
307
30
2
15
1
101
10
2
15
1
301
30
2
15
1
61
6
2
15
3
103
10
2
15
13
3013
30
2
15
17
30
1
2
11
30
7
30
1
10
1
30
1
6
3
10
13
30
17
30
7
10. . . . . . . . . .
EJERCICIO 290
1. 1. 1. 1. 1. ( ) ( )
( )( )
a n ruu
s
s
= = == += + =
=+
= ⋅ =
7 20 77 19 77 133 140
7 140 202
147 10 1 470.
2. 2. 2. 2. 2. ( ) ( )
( )( )
a n ruu
s
s
= = == += + =
=+
= ⋅ =
5 80 55 79 55 395 400
5 400 802
405 40 16 200.
3. 3. 3. 3. 3. ( )( )
( )( )
a n ruu
s
s
= = == += + =
=+
= ⋅ =
9 43 109 42 109 420 429
9 429 432
219 43 9 417.
4. 4. 4. 4. 4. ( )( )
( )( )
a n ruu
s
s
= = == += + =
=+
= ⋅ =
2 100 22 99 22 198 200
2 200 1002
202 50 10 100.
5. 5. 5. 5. 5. ( ) ( )
( )( )
a n ruu
s
s
= = == += + =
=+
= ⋅ =
9 100 29 99 29 198 207
9 207 1002
216 50 10 800.
6. 6. 6. 6. 6. ( ) ( )
( )( )
a n ruu
s
sss
= = == += + =
=+
= ⋅= ÷=
8 50 38 49 38 147 155
8 155 502
163 254 075 100
40 75.
$ ,
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )
( )( )
32
10 32 210 31 2 72
10 72 322
1 312 10131 20
→
= = == + =
=+
= ÷=
N normal dedientes en la bocade un adultoa n ru
s
ss
º
.$ ,
8. 8. 8. 8. 8. ( ) ( )
( )( )
a n ru
s
s
= = == + =
=+
= ⋅ =
77 72 1177 71 11 858
77 858 722
935 36 33 660.9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )
( )( )
na ruu
s
s bs
= ⋅ == == += + =
=+
= ⋅ =
5 12 602 32 59 32 177 179
2 179 602
181 30 5 430. .10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )
( )( )
a rSi nuuAvanzó m enel segundos Dis ciarecorrida en seg
s
ss m
= ==
= += ÷
→
=+
= ⋅= ÷ =
600 258
600 7 25775 100
7 758
8
600 775 82
1 375 45 500 100 55
,º
tan.
..
11. 11. 11. 11. 11. s n
x Ahorro el año
xAhorro el año
r xx x
Luego el año Ahorro
xx x
= =→
→
= − =
+ =
2 400 3
2
21
2 23
2
3
2
.
º
º
º :
ContinúaContinúaContinúaContinúaContinúa
11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.11. Continuación.
( )( )
( ) ( )
⇒ + + =
+ + ===
→ = =
= = = = =
= + =
= = == + =
xx
x
x x xxx
El año ahorrox
sucres
Para el año
a n rx
u sucresPara el añoa n ru sucres
232
2 400
2 3 4 8006 4 800
800
12
8002
400
2
400 22
8002
400
400 1 400 8003
400 3 400400 2 400 1 200
.
..
º
º
º
.
12. 12. 12. 12. 12. 2 4º 22
3 7º 34
2 4º 3
3 22
3
2 22
11
11 3
3 7º 34
11 7º 34
7º 23
23 7º
4º
11 23
5 11 23
23 11
5 1
12
43
4º 3 11 3 14
2 22 4º 22 14 8
º
º
min
º º
tan
.
º min
min
min
º
min
min
. . .
min º
º min
y
y
El tér o medio entre
el y el es el
por to es una progresión
impar Luego el duplo
del tér o es
x tér o
x
x
Luego tér o
Como
es el tér o
Interpolación para conocer
el tér o
Donde n a u
r
tér o r
tér o
er
er
==
→==
→+ =+ =
=→
÷= = =
= −−
= =
→ + = + =→ − = − =
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )
( )
n a ruu
s
s
= = == += + =
=+
= ⋅ =
32 5 35 31 35 93 98
5 98 322
103 16 1 648$ .
14. 14. 14. 14. 14.
( )
a r n
u
u Km
s Km
= = − =
= + −
=−
= =
=+
=
50 5 8
50 7112
100 772
232
11
50232
8
2246
12
12
15. 15. 15. 15. 15. 3 10
1 12
3 10 1 12
1 12 53
3 10 53
12
12
º º min
tan
º º,
min tan
º º º º
º º
º º
y tér os son
equidis tes a los
extremos y Luego
la suma de estos extremos
es igual a las suma de
los tér os equidis tes
como
+ = ++ =
⇒ + =
16. 16. 16. 16. 16.
( )n a u
r
térmtérmtérmtérmtérm
= = − = −
=− − −
−= − = −
→ − − = −→ − − = −→ − − = −→ − − = −→ − − = −
11 2 52
52 211 1
5010
5
2 2 5 73 7 5 124 12 5 175 17 5 226 22 5 27
º .º .º .º .º .
21. 21. 21. 21. 21.
( )( )
( ) ( )
a r u
n
s
s
= = =
=− +
= =
=+
= =
51 2 813813 51 2
27642
382
813 51 3822
864 191 165 024.
22. 22. 22. 22. 22. 5 31 9 59
5 31 59
59 31
5 1
28
47
10 59 7 66
11 66 7 73
12 73 7 80
º º
int
º .
º .
º .
→ →
= = =
= −−
= =
→ + =→ + =→ + =
erpolando
n a u
r
térm
térm
térm
23. 23. 23. 23. 23.
( )
n a ua ua u
Luego termterm colones
= = =+ = ++ =
==
3 12 500 20 50012 500 20 50033 000
2 2 33 0002 16 500
. .. ..
º . .º . .
17. 17. 17. 17. 17. a u r
n
n años
= = =
= − +
=
500 1 900 200
1 900 500 200
2008
.
.
18. 18. 18. 18. 18. n a u
r
r
= = =
= −−
= =
11 1 180 6 180
6 180 1 180
11 1
5 000
10500
. .
. .
.$
19. 19. 19. 19. 19.
( ) ( )n u r
aa soles
= = = −
= − −= + =
5 3 000 300
3 000 4 3003 000 1 200 4 200
.
.
. . .
20. 20. 20. 20. 20. ( )( )
( )( )
( )( )
a r nu
s
s
s
pies
= = == + =
=+
=
= =
= ÷ =
161 322 5161 4 322 1 449
1 449 161 52
1 610 52
8 0502
4 025
4 025 10 402 5
.
.
.
..
. ,
EJERCICIO 2911. 1. 1. 1. 1.
( )( )
a nr
u
uu
= == ÷ =
=
== ⋅ =
−
3 76 3 2
3 2
3 23 64 192
7 1
6
2. 2. 2. 2. 2.
( )
a n
r
u
u
= =
= ÷ =
=
= =
−
13
8
3 1 313
3
3 729
8 1
6
3. 3. 3. 3. 3. a n
r
u
u
= =
= ÷ =
=
= = =
−
8 9
4 812
812
82
12
132
9 1
8 5
4. 4. 4. 4. 4. a n
r
u
u
= =
= ⋅ =
=
= =
−
1 6425
52
25
125
25
323 125
6 1
5
5 .
5. 5. 5. 5. 5. a n
r
u
u
= =
= ÷ =
=
= =
−
3 7
2 323
323
23
64243
7 1
6
5
6. 6. 6. 6. 6. a n
r
u
u
= =
= ⋅ =
=
= =
−
12
6
15
225
12
25
25
163 125
6 1
4
5 .
7. 7. 7. 7. 7. a n
r
u
u
= =
= ⋅ =
=
= = =
94
8
349
43
94
43
43
4 096243
16
7
6
5208243
.
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )[ ]( )
a n
r
u
u
= − =
= ÷ − = −
= − −
= − − =
3 6
6 3 2
3 2
3 32 96
5
9. 9. 9. 9. 9. a n
r
u
u
= =
= − ÷ = −
= −
= =
3 9
1 313
313
13
12 187
8
7 .
10. 10. 10. 10. 10. a n
r
u
u
= =
= ⋅ =
=
=⋅
=
56
5
12
65
35
56
35
32 5
27250
4
3
3
11. 11. 11. 11. 11.
( )a n
r
u
u
= =
= ÷ − = −
= −
= − = −
16 8
1 414
1614
14
11 024
7
5 .
12. 12. 12. 12. 12.
( )
a n
r
u
u
= =
= − = −
= −
= − = −
34
8
13
223
34
23
23
32729
7
5
6
13. 13. 13. 13. 13. a n
r
u
u
= − =
= −
= −
= − −
= −⋅
= − = −
35
5
32
53
52
35
52
3 52
37516
23
4
3
47
16
14. 14. 14. 14. 14. a n
r
u
u
= − =
= − −
=
= −
= −⋅
= −
34
10
14
43
13
34
13
14 3
126 244
9
8 .
EJERCICIO 292
1. 1. 1. 1. 1. r u n
a
= = =
=
= = =
12
164
7
16412
1212
22
16
6
6
6
6
2. 2. 2. 2. 2. r u n
a a
= = =
=
= =⋅⋅
= =
23
642 187
9
642 187
23
2323
2 32 3
32
348
6
7
8
8
6 8
8 7 2
.
.
3. 3. 3. 3. 3. r
u n
a
= ⋅ =
= =
=
= =⋅⋅
=
32625
12516
25
32625
6
3262525
2525
2 52 5
55
5
4
5
5
5 5
5 4
8. 8. 8. 8. 8. a u n
r
= = =
= = = = ±
81
5127
1
5128
1
4 096
1
4
1
4
66
66
.
9. 9. 9. 9. 9. a u n
r
= = =
= = = = ±
625
161 5
1625
16
16
625
2
5
2
544
4
44
10. 10. 10. 10. 10. a u n
r
r
= = − =
=−
= − ⋅⋅
= − = −
27
64
2
818
2
8127
64
2 2
3 3
2
3
2
3
7
6
4 37
7
77
4. 4. 4. 4. 4. a u n
r
= = =
= = = =
2 64 6
64
2
2
22 25
65 55
5. 5. 5. 5. 5. a u n
r
= = =
= = = = ±
1
3243 7
2431
3
729 3 36
6 66
6. 6. 6. 6. 6. a u n
r
r
= − = =
=−
= − = − = −
5 640 8
640
5
128 2 2
7
7 77
7. 7. 7. 7. 7. a u n
r
= = =
= = =
729
2
3
26
3
2729
2
1
243
1
35 5
EJERCICIO 293
1. 1. 1. 1. 1.
( )
a n
r
u
s
s
= =
= ÷ =
=
=
=
=
−
−
= − − = =
6 5
3 612
612
61
1638
38
12
6
12
1
9316
2938
11
4
58
2. 2. 2. 2. 2.
( )[ ]( )
( )
a nr
u
u
s
s
= == − ÷ = −
= −
= − = −
=− − −
− −
=−
= −
4 68 4 2
4 2
4 32 128
128 2 42 1
2523
84
5
3. 3. 3. 3. 3. a n
r
u
s
s
s
= =
= ÷ =
=
=
=
=
−
−
= − −
= = =
12 7
4 1213
1213
121
7294
243
4243
13
12
13
1
8 744729
32
26 2321 458
17 17
6
1 4461 458
241243
.
..
.
.
4. 4. 4. 4. 4.
[ ]
( )
a n
r
u
s
s
= =
= ⋅ =
= =
=−
−
= =
14
10
12
4 2
14
2 128
128 214
2 11 023
4255
9
34
.
5. 5. 5. 5. 5.
( )
( )
a n
r
u
s
s
s
s
= =
= ⋅ =
=
=
=
−
−
=−⋅
−
=−
−
= = =
94
8
32
49
23
94
23
23
23
23
94
23
1
2 33 2
3
6 3052 916
3
18 9152 916
6 6
7 5
5
5
5
8 8
6 2
1 4192 916
473972
....
..
6. 6. 6. 6. 6.
( )
( )[ ]( )
a n
r
u
s
s
= − =
= − = −
= − − = − = −
=− − +
− −
=−
= − = −
110
7
15
10 2
110
26410
325
325
21
102 1
12910
312930
4
6
310
7. 7. 7. 7. 7.
( )a n
r
u
s
s
= − =
= − ÷ − =
= −
= −
=−
+
−
=−
=−
= −
6 10
3 612
612
32
32
12
6
12
1
3 069512
12
6 138512
11
9
8
8
253256
..
8. 8. 8. 8. 8. a n
r
u
s
s
= =
= − ÷ = −
= −
= − = −
=− −
−
− −
= = = =
2 8
1 212
212
12
164
164
12
2
12
1
255128
32
510384
1 1
7
6
126384
2164
9. 9. 9. 9. 9. a n
r
u
s
s
= =
= ÷ =
=
= =
=
−
−
=−
−=
32
6
132
23
32
23
23
1681
1681
23
32
23
1
113
4
5 4
4
179486 17
162
10. 10. 10. 10. 10.
( )a n
r
u
s
s
s
= =
= ÷ − = −
= −
= − = −
=− −
−
− −
=−
−
= = =
9 6
1 313
913
13
127
127
13
9
13
1
7288143
2 184324
6 6
5
3
240324
2027
.
EJERCICIO 294
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )( )
a u n
r
= = =
= = ±
± = ±
± ± =
± = ±÷ ÷ ± ±
5 3 125 5
3 1255
25 5
5 5 25
25 5 125
125 5 6255 25 125 625 3 125
4
.
.
: : : : .
2. 2. 2. 2. 2. a u m
r
= − = − =
=−−
= =
− ⋅ = −− ⋅ = −− ⋅ = −− ⋅ = −÷ ÷ − − − − − −
7 224 4
224
732 2
7 2 14
14 2 28
28 2 56
56 2 112
7 14 28 56 112 224
5 5
: : : : :
3. 3. 3. 3. 3. a u n
r
= = =
= = = ±
±
= ±
± ±
=
±
= ±
± ±
=
±
= ±
÷ ÷ ± ± ±
128 2 7
2128
12
12
12812
64
6412
32
3212
16
1612
8
812
4
128 64 32 16 8 4 2
66
6
: : : : : :
4. 4. 4. 4. 4. a u n
r
= = =
= = =
=
=
=
=
÷ ÷
÷ ÷
92
1627
6
162792
23
23
92
23
3
323
2
223
43
43
23
89
92
3 243
89
1627
4 3 2 189
1627
5
5
55
12
13
: : : : :
: : : : :
5. 5. 5. 5. 5. a u m
r
= = =
= = =
=
=
=
=
=
=
÷ ÷
22 187
646
2 187642
32
32
232
3
332
92
92
32
274
274
32
818
818
32
24316
24316
32
72932
2 3 4 6 10 15 22 34
77
77
12
34
18
316
2532
1164
.
.
: : : : : : :
6. 6. 6. 6. 6. a u n
r
= = =
= = =
=
=
=
=
÷ ÷
49
27256
6
2725649
34
34
49
34
13
13
34
14
14
34
316
316
34
964
49
13
14
316
964
27256
5
5
55
: : : : :
7. 7. 7. 7. 7. a u m
r
= = =
= = = ±
±
= ±
± ±
=
±
= ±
± ±
=
±
= ±
± ±
=
±
= ±
÷ ÷ ± ± ± ±
81
327
1328
12
12
812
4
412
2
212
1
112
12
12
12
14
14
12
18
18
12
116
8 4 2 112
14
18
116
132
88
8
: : : : : : : :
EJERCICIO 295
1. 1. 1. 1. 1. a r
s
= = ⋅ =
=−
= = =
21
2
1
2
1
42
11
4
23
4
8
32 2
3
2. 2. 2. 2. 2. a r
s
= = ⋅ =
=−
= =
1
2
1
62
1
31
2
11
3
1
22
3
3
4
7. 7. 7. 7. 7. a r
s
= = − ⋅ = −
=+
= = =
22
5
1
2
1
52
11
5
26
5
10
612
3
8. 8. 8. 8. 8. a r
s
= − = −−
=
= −
−= − = −
= −
146
14
3
7
14
13
7
144
7
98
4
24 12
3. 3. 3. 3. 3. a r
s
= − = −−
=
= −
−= − = −
= −
52
5
2
5
5
12
5
53
5
25
3
8 13
4. 4. 4. 4. 4. a r
s
= − = − −
=
=−
−=
−= −
483
14
23
4
123
413
12
5. 5. 5. 5. 5. a r
s
= =
=
=−
= = =
34
14
43
13
34
113
3423
98
1 18
6. 6. 6. 6. 6. a r
s
= = ⋅ =
=−
= = =
1
6
1
76
6
71
6
16
7
1
61
7
7
611
6
EJERCICIO 296
1. 1. 1. 1. 1. 6
106
1006
1 0006
106
100106
110
610
11
10
6109
10
69
23
+ +
= =
=
=−
= = =
.!
a r
s
2. 2. 2. 2. 2. 12100
1210 000
121 000 000
12100
1210 000
10012
1100
12100
11
100
1210099
100
1299
433
+ +
= =
=
=−
= = =
. . .
.
!
a r
s
3. 3. 3. 3. 3. 159
1 000159
1 000 000
15910
15910
10159
110
15910
11
10
1591099910
159999
53333
3 6
3
3
3
3
3
3
. . .+
= =
=
=−
= = =
!
a r
s
4. 4. 4. 4. 4. 32
10032
10 00032
1 000 00032
10032
10 00010032
1100
32100
11
100
3210099
100
3299
+ +
= =
=
=−
= =
. . .
.
!
a r
s
5. 5. 5. 5. 5. 14410
14410
14410
14410
14410
10144
110
14410
11
10
1441099910
144999
16111
3 6 9
3 6
3
3
3
3
3
3
+ +
= =
=
=−
= = =
!
a r
s
6. 6. 6. 6. 6. 3
105
1005
1 0005
1005
1 000100
51
105
100
11
10
5100
910
590
118
310
118
64180
1645
+ +
= =
=
=−
= = =
= + = =
.
.
!
a r
s
s
7. 7. 7. 7. 7. 18
100
1
10
1
101
10
1
1010
1
101
10
11
10
1
109
10
1
900
18
100
1
900
163
900
3 4
3 43
3 3
+ +
= = ⋅ =
=−
= =
= + =
!
a r
s
s
8. 8. 8. 8. 8. 3
101810
1810
1810
1810
1018
1100
1810
11
100
181099
100
155
310
155
175550
722
3 5
3 5
3
3 3
+ +
= =
=
=−
= =
= + = =
!
a r
s
s
9. 9. 9. 9. 9. 218
1001810
1810
18100
1810
10018
1100
18100
11
100
1810099
100
211
2211
2411
4 6
4
+ + +
= =
=
=−
= =
= + =
!
a r
s
s
EJERCICIO 297
1. 1. 1. 1. 1.
( )
( )
a rPara saber cuantogano el sábado n
u LempirasPara saber cuantogané de lunes a sábadoutilizo S para losprimeros tér os dela progresión
Donde a r u
s Lempiras
= =
→ =
= =
÷ ÷= = =
=−
−=
2 2
6
2 2 64
6
2 4 82 2 64
64 2 22 1
126
5
min.
: : !
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
n r a
u
s
ss
= = =
= =
=−
−= ÷=
20 2 1
1 2 524 288524 288 2 1
2 11 048 575 100
10 485 75
19 ..
. .$ . ,
3. 3. 3. 3. 3. n r u
a balboas
= = =
=
= =
813
1
113
11
2 187
2 1877
.
.
4. 4. 4. 4. 4. n par
Como es una sucesión impar
los tér os equidis luego
la multiplicación del primer
y último tér o es igual
al producto entre el y el
tér o
Entonces la respuesta es
= →
=
9
3
7º
1
216
Im
min tan,
min
º
min .
:
5. 5. 5. 5. 5. n u
tér o
Se encuentra la razón
para n entre el
y tér o
r
tér o
tér o
er
= =
= =
=
= = =
⋅ = →
⋅ = →
58
81
34
81
2
9
3 3
5
8
812
9
36
81
2
3
2
9
3
2
1
32
1
3
3
2
1
21
min
, º
º min .
º min
º min
6. 6. 6. 6. 6. a u n
r
tér o
= = =
= = =
⋅ = →
1
4
1
324
1
321
4
1
8
1
2
1
322
1
166
3 3
º min
7. 7. 7. 7. 7. r u n
a
s
s
= = =
=
= =
=
−
−
=−
−=
23
160 5
16023
1601681
810
16023
810
23
1
2 110313
2 110
4
.
$ .
8. 8. 8. 8. 8. a u n
r
= = =
= = =
59 049 100 000 6
100 000
59 049
10
9
10
95
5
55
. .
.
.
9. 9. 9. 9. 9. r a n
u
s bs
= = =
=
= =
=
−
−=
−
−= =
13
24 300 6
24 30013
24 300243
100
10013
24 300
13
1
72 800323
72 8002
36 400
5
.
..
. ..
. .
10. 10. 10. 10. 10.
( )( )
n a r
u
s
= = =
= =
=−
−= =
15 1 3
3 4 782 9694 782 969 3 1
3 114 348 906
27 174 453
14 . .. . . .
$ . .
EJERCICIO 2981. 1. 1. 1. 1. ( )Log
Log Log532 0 184
532 0 1842 72591 1 264821 9907310 97 8881 99073
⋅= += +=⇒ =
,,
, ,,
,,
2. 2. 2. 2. 2. Log Log
Anti
191 7 432
2 28262 2 63548
4 9181
4 9181 82 814 4
,
, ,
,
log , . ,
+= +=⇒ =
3. 3. 3. 3. 3. Log Log Log0 7 0 013 0 9
1 84510 2 11394 1 95424
2 08672
10 0 008192 08672
, , ,
, , ,
,
,,
+ +
= + += −
⇒ =−
4. 4. 4. 4. 4. Log Log Log Log7 5 8 16 0 35 10 037
0 875061 0 911690 1 544068 4 001603
4 1 2 332422
5 332422
10 214 991 85
214 992
5 332422
, , , .
, , , ,
,
,
. ,
.
,
+ + +
= + + += − +=
⇒ =≅
5. 5. 5. 5. 5. Log Log Log Log Log
Anti
3 2 4 3 7 8 103 4 0 019
0 505149 0 633468 0 892094 2 014520 2 278753
2 323988 2 323988 210 857
, , , , ,
, , , , ,
, log , ,
+ + + +
= + + + += ⇒ =
6. 6. 6. 6. 6. Log Log
Anti
95 18 7 23
1 978317 0 859138
1 119179 1 119179 13 15767031 13 1577
, ,
, ,
, log , , ,
−= −= ⇒ = ≅
7. 7. 7. 7. 7. Log Log
Log Co
8 125 0 9324
8 125 0 9324
0 909823 0 030397
0 940220 10 8 714063 8 71410 940220
, ,
, log ,
, ,
, , ,,
−= += +
= ⇒ = ≅
8. 8. 8. 8. 8. Log Log
Co
Anti
7 653 95 12 354
7 653 95 12 354
3 883885 2 908192
2 792077 2 792077 619 55
. , ,
log . , log ,
, ,
, log , ,
−= +
= += ⇒ =
9. 9. 9. 9. 9. Log Log
Log Co
0 72183 0 0095
0 72183 0 0095
1 858434 2 022276
1 88071 10 75 981873 75 9821 88071
, ,
, log ,
, ,
, , ,,
−= +
= +
= ⇒ = ≅10. 10. 10. 10. 10. Log Log
Log Co
Anti
9 114 0 02
9 114 0 02
3 959709 1 698970
5 658679 5 658679 455 699 97 455 700
. ,
. log ,
, ,
, log , . , .
−= += += ⇒ = ≅
11. 11. 11. 11. 11. ( )( )
Log
Anti
2 10 2
10 0 3010293 0102993 010299 1 024
10 =
==
=
log
,,
log , .
12. 12. 12. 12. 12. ( )( )( ) ( )
Log 0 15 3 0 15
3 1 176091
3 1 3 0 1760912 471727
10 0 00337499 0 003375
3
2 471727
, log ,
,
,,
, ,,
=
=
= − += −
= ≅−
13. 13. 13. 13. 13. ( )( )
Log
Anti
18 65 4 18 65
4 1 2706785 082715
5 082715 120 980 4916120 980 5
4, log ,
,,
log , . ,. ,
=
==
=≅
14. 14. 14. 14. 14. ( ) ( )( )( )( ) ( )
Log
Anti
2 0 084 0 168
2 0 168
2 1 225309
2 1 2 0 225309
1 549382 2 45061810 0 028223963 0 028224
2 450618 0 028224
2 2
1 549382
⋅ =
=
=
= − +
= − =
= ≅=
−
, log ,
log ,
,
,
, ,, ,
log , ,
,
15. 15. 15. 15. 15. ( )( )
Log
Anti
7 2 6 7 2
6 0 8573325 143994
5 143994 139 313 75
6, log ,
,,
log , . ,
=
==
=
16. 16. 16. 16. 16. Log
Anti
33
2
0 477121
20 238560
0 238560 1 7320483 1 73205
= = =
= ≅
log ,,
log , , ,
17. 17. 17. 17. 17. Log 22
3
0 301029
30 100343
10 1 259921
3
0 100343
= = =
=
log ,,
,,
18. 18. 18. 18. 18. Log
Anti
55
4
0 698970
40 174742
0 174742 1 495348 1 49535
4 = = =
= ≅
log ,,
log , , ,
19. 19. 19. 19. 19. Log 6363
5
1 799340
50 359868
10 2 290172
5
0 359868
= = =
=
log ,,
,,
20. 20. 20. 20. 20. Log
Anti
815815
7
2 911157
70 415879
0 415879 2 605431
7 = = =
=
log ,,
log , ,
EJERCICIO 299
1. 1. 1. 1. 1. Log co
Anti
515 78 19 6 13
2 711807 1 893151 1 212539
3 817497 3 817497 6 568 96 6 569
+ +
= + += → = ≅
log , log ,
, , ,
, log , . , .
2. 2. 2. 2. 2. Log co
Anti
23 054 934 5 8 164
1 36275 2 97058 4 0881
0 42143 0 42143 2 63894
, log , log .
, , ,
, log , ,
+ +
= + += → =
3. 3. 3. 3. 3. Log co co
Anti
8 14 9 73 0 6 7 8
0 91062 0 98811 0 22185 1 10791
1 22849 1 22849 16 923461 16 9235
, log , log , log ,
, , , ,
, log , , ,
+ + +
= + + += → = ≅
4. 4. 4. 4. 4. Log co co
Anti
513 4 9 132 85 3 10 764
2 71046 0 96057 2 06905 2 96802
0 7081 0 7081 5 10622
, log , log , log ,
, , , ,
, log , ,
+ + +
= + + += → =
5. 5. 5. 5. 5. Log co co
Anti
53 245 4 325 6 32 815 91 79
1 72628 3 63605 2 48392 2 03721
1 88346 1 88346 76 4645
, log . , log , log ,
, , , ,
, log , ,
+ + +
= + + += → =
6. 6. 6. 6. 6. Log co co
Anti
Como existe un signo negativo en la operación
entonces este afecta el resultado total luego
la respuesta final es
32 6 841 9 0 017 732 14
1 51322 2 92526 1 76955 3 135406
3 343436 3 343436 2 205 139151
2 205 14
, log , log , log ,
, , , ,
, log , . ,
,
. ,
+ + +
= + + += → =
≅ −
7. 7. 7. 7. 7. Log co co
Anti
El signo negativo se anula puesto que se
encuentra en el numerador y en el
deno ador luego la respuesta es positiva
95 36 0 14 83 7 2 936
1 97937 1 14613 2 07727 1 53224
1 26499 1 26499 0 054326
, log , log , log ,
, , , ,
, log , ,
min
+ + +
= + + += − → − =
8. 8. 8. 8. 8. Log co co
Anti
7 2 8 135 0 003 9 134 7
0 85733 0 91036 2 52288 4 03930
0 32987 0 32987 2 137333 2 13734
, log , log , log . ,
, , , ,
, log , , ,
+ + +
= + + += → = − ≅ −
9. 9. 9. 9. 9.
( ) ( )3 0 2 5 3 4 0 2
5 0 47712 4 1 301032 38561 2 79588
0 41027 10 0 38881 58973
0 58973 0 3888
5 4
0 41027
⋅ = +
= += −
= − → =
⇒ =
−
, log log ,
, ,, ,
, ,* ,
log , ,
,
En la tabla se buscaAnti
10. 10. 10. 10. 10.
( ) ( )
12
523
3
12
0 6989723
0 47712
0 349485 0 318080 66757
0 66757 4 651199 4 6512
log log
, ,
, ,,
log , , ,
+
= +
= +=→ = ≅Anti
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( ) ( )
15
212
334
5
15
0 3010312
0 4771234
0 69897
0 060206 0 23856 0 52422750 82299
0 82299 6 65257 6 6526
log log log
, , ,
, , ,,
log , , ,
+ +
= + +
= + +=→ = ≅Anti
12. 12. 12. 12. 12.
( ) ( )8 3 5 5 6
8 0 47712 5 1 251813 81696 3 740950 07601
0 07601 1 19127 1 1913
log log ,
, ,, ,,
log , , ,
+
= += −=→ = ≅
co
Anti
13. 13. 13. 13. 13.
( ) ( )7 0 53 3 2 5
7 1 72428 3 1 602061 93004 1 19382
3 12386 10 0 0007518654 87614
3 12386
log , log ,
, ,, ,
, ,* ,
,
+
= += − −
= − → =−
co
En la tabla se busca
14. 14. 14. 14. 14.
( ) ( )
25
353
2
25
0 4771253
1 69897
0 190848 0 5017170 310869 10 0 488799 0 4888
1 68914
0 310869
log log
, ,
, ,, , ,
* ,
,
+
= +
= −
= − → = ≅−
co
En la tabla se busca
15. 15. 15. 15. 15. Log Log
Anti
7 86 8 14
20 89542 0 91062
21 80604
20 90302 0 90302 7 9987
, ,
, ,
,
, log , ,
+
= +
=
= → =
16. 16. 16. 16. 16. Log Log Log
Anti
932 5 813 6 0 005
2
2 96965 2 91041 3 69897
23 57903
21 78952 1 78952 61 59138
, , ,
, , ,
,
, log , ,
+ +
= + +
=
= =
17. 17. 17. 17. 17. Log Log co co
Anti
93 7 104 2 8 35 7 3
2
1 97174 2 01787 1 07831 1 13668
22 2046
21 1023 1 1023 12 656174
, , log , log ,
, , , ,
,, log , ,
+ + +
=+ + +
= = → =
18. 18. 18. 18. 18. Log Log Log
Anti
23 725 9 182 7 184
31 37521 0 96294 0 85637
33 19452
31 06484 1 06484 11 610207
, , ,
, , ,
,, log , ,
+ +
=+ +
= = = −
19. 19. 19. 19. 19. Log Log co co
Anti
12 316 0 25 931 8 0 07
4
4 09047 1 39794 3 03068 1 15490
41 67399
40 41849 0 41849 2 621125
. , log , log ,
, , , ,
,, log , ,
+ + +
=+ + +
= = → =
20. 20. 20. 20. 20. Log co
Anti
56 813 22 117
5
4 75446 5 65527
50 40973
50 081946 0 081946 1 20766
. log .
, ,
,, log , ,
+
=+
= = → =
21. 21. 21. 21. 21.
( )
( )
32
0 031632
0 1615
32
2 49969 0 79183
32
0 70848 1 06272 2 93728
10 0 0865522 93728 0 08655625
1 06272
log , log ,
, ,
, , ,
,log , ,
,
+
= +
= − = − =
==
−
co
Anti
22. 22. 22. 22. 22.
( ) ( )
34
323
5
34
0 4771223
1 30103
0 35784 0 465980 10814 1 89186
1 89186 0 77958
log log
, ,
, ,, ,log , ,
+
= +
= −= − =
=
co
Anti
23. 23. 23. 23. 23. Log Co
Anti
15 4
7
1 17609 1 39794
70 57403
70 082
0 082 1 20782
+
=+
= =
=
log
, ,
,,
log , ,
24. 24. 24. 24. 24. Log Co
Anti
5 3
5
0 69897 1 52288
50 04437
0 04437 1 10756
+
=+
=
= −
log
, ,,
log , ,
25. 25. 25. 25. 25. ( )
( )
( )
65
5 8
65
0 69897 1 09691
65
0 20412 0 24494 1 75506
1 75506 0 568926 0 56893
Log Co
Anti
+
= +
= − = − =
= ≅
log
, ,
, , ,
log , , ,
26. 26. 26. 26. 26.
( ) ( )
( ) ( )
Log Co Log Co
Anti
3 52
5 73
3 0 47712 1 30103 2 0 69897 1 154906
3 0 22185 2 0 146136
0 6655 0 292266
0 957816
0 159635 1 840364
10 0 69241261 840364 0 69241
0 159635
++
+
=+ + +
=− + −
=− −
=−
= − =
==
−
log log
, , , ,
, ,
, ,
,, ,
,log , ,
,
27. 27. 27. 27. 27.
( ) ( ) ( )
Log Log Log
Anti
27
35
0 23
15 0 30103 21 0 47712 35 1 30103105
4 51545 10 01952 24 46395105
9 92898105
0 094562 1 905438
1 905438 0 8043369 0 80434
+ +
=+ +
=+ −
=−
= − =
= ≅
,
, , ,
, , ,
,, ,
log , , ,
28. 28. 28. 28. 28.
( ) ( ) ( )
Log Log Co
Anti
32 142
59 33
317 64
6 1 50705 4 1 77305 3 3 4981212
9 0423 7 0922 7 5056412
8 6288612
0 71907
0 71907 5 2368483 5 23685
, , log ,
, , ,
, , ,
,,
log , , ,
+ +
=+ +
=+ −
= =
= ≅
29. 29. 29. 29. 29.
( )
2 0 75 39 162 0 07 3 892
2 1 87506 1 59286 1 15490 1 410052
1 907932
0 953965 8 99425 8 9943
log , log , log , log ,
, , , ,
,, , ,
+ + +
=+ + +
= = = ≅
co co
30. 30. 30. 30. 30.
( ) ( ) ( )
3 0 2 2 0 3 4 0 05 3 252
3 1 30103 2 1 47712 4 1 30103 1 488122
3 0 90309 2 0 95424 5 20412 1 0 488122
1 549572
0 774785
0 774785 5 95366
log , log , log , log ,
, , , ,
, , , ,
,,
log , ,
+ + +
=+ + +
=− + − + + − +
= =
=
co co
Anti
EJERCICIO 300
1. 1. 1. 1. 1.
( ) ( )
36 2 336 2 2 2 3
2 0 301030 2 0 4771210 60206 0 954242
36 1 556302
2 2= ⋅= +
= += +=
Log
Log
log log
, ,, ,,
2. 2. 2. 2. 2.
( )
75 3 575 3 2 5
0 477121 2 0 6989700 477121 1 39794
75 1 875061
2= ⋅= +
= += +=
Log
Log
log log
, ,, ,,
3. 3. 3. 3. 3. 30 2 3 5
30 2 3 5
0 301030 0 477121 0 698970
30 1 477121
= ⋅ ⋅= + += + +=
Log
Log
log log log
, , ,
,
4. 4. 4. 4. 4.
( )
48 2 348 4 2 3
4 0 301030 0 4771211 20412 0 477121
48 1 681241
4= ⋅= +
= += +=
Log
Log
log log
, ,, ,,
5. 5. 5. 5. 5.
( )
120 2 3 5120 3 2 3 5
3 0 30103 0 477121 0 698970 90309 1 176091
120 2 079181
3= ⋅ ⋅= + +
= + += +=
Log
Log
log log log
, , ,, ,,
6. 6. 6. 6. 6.
( )
98 7 298 2 7 2
2 0 845098 0 301031 690196 0 30103
98 1 991226
2= ⋅= +
= += +=
Log
Log
log log
, ,, ,,
7. 7. 7. 7. 7.
( )
343 7343 3 7
3 0 845098343 2 5352940 343 1 535294
3==
==
=
Log
LogLog
log
,,
, ,
8. 8. 8. 8. 8.
( ) ( )
225 5 3225 2 5 2 3
2 0 69897 2 0 4771211 39794 0 9542422 352182
22 5 1 352182
2 2= ⋅= +
= += +==
Log
Log
log log
, ,, ,,
, ,
9. 9. 9. 9. 9.
( )( )( )
196 2 7
196 2 2 7
2 0 30103 0 845098
2 1 1461282 292256
1 96 0 292256
2 2= ⋅
= +
= +
===
Log
Log
log log
, ,
,,
, ,
10. 10. 10. 10. 10.
( )
875 5 7875 3 5 7
3 0 69897 0 8450982 09691 0 8450982 942008
0 875 1 942008
3= ⋅= +
= += +=
=
Log
Log
log log
, ,, ,,
, ,
11. 11. 11. 11. 11.
( ) ( )
2 025 3 52 025 4 3 2 5
4 0 477121 2 0 698971 908484 1 397943 306424
202 5 2 306424
4 2.. log log
, ,, ,,
, ,
= ⋅= +
= += +==
Log
Log
12. 12. 12. 12. 12.
( )
448 2 7448 6 2 7
6 0 30103 0 8450981 80618 0 8450982 651278
44 8 1 651278
6= ⋅= +
= += +==
Log
Log
log log
, ,, ,,
, ,
16. 16. 16. 16. 16. 27
3
27
37 3
0 845098 1 522879
0 367977
13
13
=
=
= +
= +=
Log
co
log
log log
, ,
,
17. 17. 17. 17. 17. 13143
11
13143
11143 11
2 155336 2 958607
13 1 113943
=
=
= +
= +=
Log
co
Log
log
log log
, ,
,
18. 18. 18. 18. 18. 25225
9
25225
9225 9
2 352183 1 045757
25 1 397940
=
=
= +
= +=
Log
co
Log
log
log log
, ,
,
13. 13. 13. 13. 13.
( )
252
2 5
25 5
25 2 0 698971 39794
2 0 397940
12
2
12
= =
=
==
=
,
,,,
Log
Log
14. 14. 14. 14. 14. 13
21 5
15 3 5
15 3 5
0 477121 0 698970
1 176091
1 0 176091
12
12
= =
= ⋅= += +==
,
log log
, ,
,
,
Log
Log
15. 15. 15. 15. 15. 17
51 4
14 7 2
14 7 2
0 845098 0 30103
1 146128
1 0 146128
25
25
= =
= ⋅= += +==
,
log log
, ,
,
,
Log
Log
EJERCICIO 301
1. 1. 1. 1. 1.
( )
5 35 35 3
0 69897 0 4771210 4771210 69897
0 6826
x
xLogx
x
x
===
=
= =
loglog log
, ,,,
,
2. 2. 2. 2. 2. 7 512
7 512
7 512
2 70927
0 8450983 205864
3 2059
x
xLog
x
x
x
=
==
= =
≅
log
log log
,
,,
,
3. 3. 3. 3. 3.
( )
0 2 0 00160 2 0 00160 2 0 0016
1 30103 3 20412
3 204121 30103
30 69897
0 204120 69897
4 29203 0 292034
, ,, log ,
log , log ,
, ,
,,
,,,
, ,
x
xLogx
x
x
x
xx
=
==
=
=
=−
−+
−= −=
4. 4. 4. 4. 4.
( )
9 0 5769 0 5769 1 76042
0 95424 1 76042
1 760420 95424
0 239580 954240 25106890 25107
x
xLogx
x
x
x
xx
===
=
=
=−
= −≅ −
,log ,
log ,
, ,
,,
,,,,
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )( )
3 7293 729
1 3 729
1 0 477121 2 862731 6 00944
6 00944 15 00944 5
1
1
x
xLog
x
xx
xx x
+
+
==
+ =
+ =+ =
= −= ⇒ ≅
log log
, ,,,,
6. 6. 6. 6. 6.
( )
5 625
5 625
2 5 2 79588
22 795880 69897
2 4 6
2
2
x
xLog
x
x
x x
−
−
=
=
− =
− =
− = ⇒ =
log
log ,,,
7. 7. 7. 7. 7.
( )( )( )
2 1282 128
3 1 2 2 10721
3 1 0 30103 2 107213 1 7
3 62
3 1
3 1
x
xLog
x
xx
xx
+
+
==
+ =
+ =+ =
==
log
log ,
, ,
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )( )
3 2 1873 2 187
2 1 3 3 33985
2 1 0 477121 3 339852 1 7
2 8 4
2 1
2 1
x
xLog
x
xx
x x
−
−
=
=
− =
− =− =
= ⇒ =
.log .
log ,
, ,
9. 9. 9. 9. 9. 11 915
11 915
2 11 2 96142
22 96142
1 04139
2 2 84372
1 42186
2
2
x
xLog
x
x
x
x
=
==
=
==
log
log ,
,
,
,
,
EJERCICIO 302
1. 1. 1. 1. 1. a u r
nLog Co
Log
n
n
= = = ÷ =
=+
+
=+
+
= + = + =
3 48 6 3 2
48 3
21
1 68124 1 522879
0 301031
1 204119
0 301031 4 1 5
log
, ,
,
,
,
2. 2. 2. 2. 2. a u r
nLog Co
Log
nLog co co
Log
n
n n n
= = =
=+
+
= + + +
= + + +
= + = + = ≅
2243
16
3
22
3
2
1
243 16 2
1 51
2 38461 2 79588 1 69897
0 1760911
0 87946
0 1760911 4 994 1 5 994 6
24316 log
log log
,
, , ,
,
,
,, ,
3. 3. 3. 3. 3. a u r
nLog Co
Log
n
n
= = = ÷ =
= + +
= + +
= + = + =
4 512 8 4 2
512 4
21
2 70927 1 39794
0 301031
2 10721
0 301031 7 1 8
log
, ,
,
,
,
4. 4. 4. 4. 4. a u r
nLog Co
Log
nLog Co Co
Log Co
n
n
n
n
n
= = = =
=+
= + ++
= + ++
+
= +
= +=≅
62 048
81
8
6
4
32 048
816
43
2 048 81 6
4 3
3 31133 2 09151 1 22184
0 60206 1 5228791
0 62468
0 1249391
4 999879 1
5 999879
6
.
.log
. log log
log
, , ,
, ,
,
,
,
,
5. 5. 5. 5. 5. a u r
nLog Co
Log
nLog Co Co
Log
n
n
= = = =
=+
+
=+ +
+
=+ +
+
= + = + =
2625
8
5
22 5
625
82
2 51
625 8 2
2 51
2 79588 1 09691 1 69897
0 397941
1 59176
0 397941 4 1 5
,
log
,
log log
,
, , ,
,
,
,
EJERCICIO 303
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )
( )
( )
c r t
C
C
Log C LogLog C Log
Log CLog CAnti
= = =
= +
=
== +
= +=
=
500 0 06 3
500 1 0 06
500 1 06
500 1 06500 3 1 06
2 69897 3 0 025312 77492 7749 595 51
3
3
3
,
,
,
,log ,
, ,,
log , $ ,
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
( )
c r t
C
Log C LogLog C Log Log
Log CAnti soles
= = =
= +
== +
= += +=
=
3 500 0 07 5
3 500 1 0 07
3 500 1 073 500 5 1 07
3 54407 5 0 029383 54407 0 14693 690973 69097 4 908 94
5
5
. ,
. ,
. ,. ,
, ,, ,,
log , . ,
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )
( )
c r t
C
Log C LogLog Log
Log CAnti bs
= = =
= +
== +
= += +=
=
8 132 0 09 10
8 132 1 0 09
8 132 1 098 132 10 1 09
3 91020 10 0 037433 91020 0 37434 28454 2845 19 253 070
10
10
. ,
. ,
. ,. ,
, ,, ,,
log , . , .
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
( )
c r t
C
LogC LogLog Log
LogC Anti
= = =
= +
== +
= += += =
930 0 035 7
930 1 0 035
930 1 035930 7 1 035
2 9684829 7 0 01494032 9684829 0 010458213 073065 3 073065 1 183 2186
7
7
,
,
,,
, ,, ,, log , $ . ,
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )
( )
C t
r
C
Log C LogLog Log
Log CAnti
= =
= = = ⇒ =
= +
== +
= += +=
=
12 318 6
4174
4 254 25100
0 0425
12 318 1 0 0425
12 318 1 042512 318 6 1 0425
4 0905402 6 0 0180764 0905402 0 1084564 19899624 1989962 15 812 34204
14
6
6
.
,,
,
. ,
. ,. ,
, ,, ,,
log , $ . ,
6. 6. 6. 6. 6.
( )( )
( )
C t
r
C
Log C LogLog
Log CAnti sucres
= =
= = = ⇒ =
= +
== +
= += +=
=
24 186 7
5112
5 55 5100
0 055
24 186 1 0 055
24 186 1 05524 186 7 1 055
4 383564 7 0 02325244 383564 0 16276684 54633084 5463308 35 182 83244
12
7
7
.
,,
,
. ,
. ,
. log ,
, ,, ,,
log , . ,
7. 7. 7. 7. 7.
( )
( )
C t
r
Log C LogLog
Anti
= =
= = = ⇒ =
== +
= += +=
=
54 293 5
3154
3 753 75100
0 0375
54 293 1 037554 293 5 1 0375
4 734743 5 0 0159884 734743 0 079944 8146834 814683 65 265 399
34
5
.
,,
,
. ,
. log ,
, ,, ,,
log , $ . ,
8. 8. 8. 8. 8.
( )( )
( )
c t r
C
Log C LogLog
Log C Anti C
= = = =
= +
= += +
= += += =
800 40 03
20 015
800 1 0 015
800 1 0 015800 4 1 015
2 90309 4 0 006472 90309 0 025882 92897 849 09
4
4
,,
,
,log ,
, ,, ,, log $ ,
9. 9. 9. 9. 9.
( )
( )
c t r
CLog C Log
Anti
= = = = =
= += +
= += +=
=
900123
40 04
40 01
900 1 0 01900 4 1 01
2 954242 4 0 0043212 954242 0 0172842 9715262 971526 936 54
4
,,
,log ,
, ,, ,,
log , $ ,
10. 10. 10. 10. 10.
( )
( )
r C t
c
Log c co
Log cAnti
= = =
=+= +
= += −=
=
0 05 972 60 4972 60
1 0 05972 6 4 1 05
2 987934 4 1 9788112 987934 0 0847562 9031782 903178 800 16
4
, ,,
,log , log ,
, ,, ,,
log , $ ,
11. 11. 11. 11. 11.
( )
( )
C t
r
c
Log c co
Anti
= =
= = = ⇒ =
=+
= +
= += −=
=
1 893 5 6
492
4 54 5100
0 045
1 893 5
1 0 0451 893 5 6 1 045
3 277265 6 1 9808833 277265 0 1147023 1625633 162563 1 454 02
12
6
. ,
,,
,
. ,
,log . , log ,
, ,, ,,
log , $ . ,
12. 12. 12. 12. 12.
( )
( )
C r t
c
Logc co
LogcAnti Q
= = =
=+= +
= += −
== ≅
54 198 16 0 08 754 198 16
1 0 0854 198 16 7 1 08
4 733984 7 1 9665764 733984 0 233968
4 5000164 500016 31 623 9 31 624
7
. , ,. ,
,log . , log ,
, ,, ,
,log , . , . .
13. 13. 13. 13. 13. c r C
tLog Log
Log
t
t años
= = =
= −
= −
= = ≅
600 0 03 695 56
695 56 600
1 03
2 842334 2 778151
0 012837
0 064183
0 0128374 9998 5
, ,
,
,
, ,
,
,
,,
14. 14. 14. 14. 14.
( )
c C r
tLog
Log
t
t años
= = =
=−
+
=−
= =
1 215 1 709 61 0 051 709 61 1 215
1 0 053 232897 3 084576
0 0211890 1483210 021189
7
. . , ,. , log .
,, ,
,,,
15. 15. 15. 15. 15.
( )
( )
( )
c t C
Log r
Log r
Log r
Antir
r
= = =
+ =−
+ =−
+ = =
=+ == ⇒
800 4 1 048 63
11 048 63 800
4
13 020622 2 903089
4
10 117533
40 029384
0 029384 1 071 1 07
0 07 7
. ,log . , log
, ,
,,
log , ,,
, %
16. 16. 16. 16. 16.
( )
( )
c t C
Log rLog Log
Log rAnti
rr
= = =
+ =−
=−
+ ==
+ == ⇒
6 354 4 7 151 46
17 151 46 6 354
43 854394 3 803047
41 0 012836
0 012836 1 031 1 03
0 03 3
. . ,. , .
, ,
,log , ,
,, %
17. 17. 17. 17. 17.
( )
( )
c r t
CLog C Log
AntiLos ereses producidos represenla diferencia entre la suma inicial y loque se ha convertido
Intereses producidos
= = = + =
= += +
= += +=
=
⇒ = −=
900 0 05 213
2 33333
900 1 0 05900 2 33333 1 05
2 954242 2 33333 0 02118922 954242 0 0494413 0036833 003683 1 008 52
1 008 52 900108 52
2 33333
, ,
,, log ,
, , ,, ,,
log , . ,int tan
. ,$ ,
,
EJERCICIO 304
1. 1. 1. 1. 1.
( )( )( )
( )( )
c r t
a
Log Log
AntiLog a co
Anti
= = =
=−
=
==
== + + += + + +=
=
40 000 0 05 10
40 000 0 05 1 05
1 05 1
1 05 10 1 05
10 0 02118920 211892
0 211892 1 6288940 000 0 05 1 62889 0 62889
4 602059 2 69897 0 211892 0 20142533 7143463
3 7143463 5 180 21
10
10
10
. ,
. , ,
,
, ,
,,
log , ,log . log , log , log ,, , , ,,
log , $ . ,
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )( )
( )( )
c r t
a
Log
AntiLog a co
Anti soles
= = =
=+
+ −
=
==
== + + += + + +=
=
85 000 0 03 12
85 000 0 03 1 0 03
1 0 03 1
1 03 12 1 03
12 0 0128370 154044
0 154044 1 42576185 000 0 03 1 425761 0 425761
4 929418 2 477121 0 154044 0 3708343 9314173 931417 8 539 2
12
12
12
. ,
. , ,
,
, log ,
,,
log , ,log . log , log , log ,, , , ,,
log , . ,
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )( )
( )( )
c r t
a
Log
AntiLog a co
Anti
= = =
=+
+ −
=
==
== + + += + + +=
=
600 000 0 05 20
600 000 0 05 1 0 05
1 0 05 1
1 05 20 1 05
20 0 02118920 423784
0 423784 2 65328600 000 0 05 2 65328 1 65328
5 778151 2 69897 0 423784 1 7816534 6825584 682558 48 145 75
20
20
20
. ,
. , ,
,
, log ,
,,
log , ,log . log , log , log ,, , , ,,
log , $ . ,
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )( )
( )( )
c r t
a
Log
Antia co
Anti bs
= = =
=+
+ −
=
==
== + + += + + +=
=
5 000 000 0 06 30
5 000 000 0 06 1 0 06
1 0 06 1
1 06 30 1 06
30 0 0253060 75918
0 75918 5 74355 000 000 0 06 5 7435 4 7435
6 69897 2 778151 0 75918 1 3239015 5602
5 5602 363 245 2
30
30
30
' . ,
' . , ,
,
, log ,
,,
log , ,log log ' . log , log , log ,
, , , ,,
log , . , .
5. 5. 5. 5. 5.
( )( )( )
( )
c r taa bs
a
a
a
a bsNOTA
Vr que apareceen la tabla de erés compuestodecreciente para el en años
Vr que apareceen la tabla de erés compuestopara el a años
= = == ⋅= ≅
=−
=
=
= ≅
→
→
3 000 0 06 53 000 0 237396712 188 712 19
3 000 0 06 1 06
1 06 1
180 1 3382260 338226
240 880680 338226
712 1885367 712 19
0 237396
6% 51 338226
6% 5
5
5
. ,. ,
, , .
. , ,
,
,,,
,, , .
:, .
int.
, .int
.
6. 6. 6. 6. 6. c r t
a
a bs
= = == ⋅=
12 000 0 07 12
12 000 0 125902
1 510 824
. ,
. ,
. , .
7. 7. 7. 7. 7. c r t
a
a sucres
= = == ⋅=
350 000 4 3
350 000 0 363773
127 320 55
12. %
. ,
. ,
8. 8. 8. 8. 8. c r t
a
a soles
= = == ⋅=
425 000 6% 10
425 000 0 135868
57 743 9
.
. ,
. ,
9. 9. 9. 9. 9. c r t
a
a bs
= = == ⋅=
90 750 5% 25
90 750 0 070952
6 438 894
.
. ,
. , .
10. 10. 10. 10. 10. c r t
a
a bs
= = == ⋅= ≅
73 550 5 30
73 550 0 068805
5 060 60775 5 060 61
12. %
. ,
. , . , .
11. 11. 11. 11. 11. c r t
a
a sucres
= = == ⋅= ≅
473 000 3 9
473 000 0 131446
62 173 958 62 173 96
12. %
. ,
. , . ,
12. 12. 12. 12. 12.
( )( )( )
( )( )
c r taa soles
a
Log
AntiLog a Log co
Anti soles
= = == ⋅=
=−
=
==
== + + += + + +=
=
45 800 4% 3045 800 0 0578302 648 614
45 800 0 04 1 04
1 04 1
1 04 30 1 04
30 0 0170330 51099
0 51099 3 24332145 800 0 04 3 243321 2 243321
4 660865 2 60206 0 510989 1 6491083 4230223 423022 2 648 61
30
30
30
.. ,
. ,
. , ,
,
, log ,
,,
log , ,. log , log , log ,
, , , ,,
log , . ,
EJERCICIO 305
1. 1. 1. 1. 1.
( )( ) ( )( )
( )
c r t
i
Log
AntiLog i Log co
Anti
= = =
=+ − +
=
==
== + += + +=
=
30 000 0 06 9
30 000 0 06
1 0 06 1 0 06
1 06 10 1 06
10 0 025310 2531
0 2531 1 79101830 000 0 06 0 731018
4 477121 2 778151 0 1360723 391344
3 391344 2 462 38
10
10
. ,
. ,
, ,
, log ,
,,
log , ,. log , log ,
, , ,,
log , $ . ,
2. 2. 2. 2. 2.
( )( )
( )
c r t
i
En la tabla de erés
compuestoLog i Log co
Anti sucres
= = =
=−
== + += + +=
=
90 000 0 04 20
90 000 0 04
1 04 1 04
1 04 2 27876890 000 0 04 1 238768
4 95424 2 60206 1 907013 46333 4633 2 906 03
21
21
. ,
. ,
, ,int
, ,. log , log ,
, , ,,
log , . ,
3. 3. 3. 3. 3.
( )( )( )
( )
c r t
i
Log
AntiLog i Log co
Anti
= = =
=−
=
==
== + += + +=
=
200 000 0 05 40
200 000 0 05
1 05 1 05
1 05 41 1 05
41 0 02118920 868757
0 868757 7 391915200 000 0 05 6 341915
5 30103 2 69897 1 197773 197773 19777 1 576 79
41
41
. ,
. ,
, ,
, log ,
,,
log , ,. log , log ,
, , ,,
log , $ . ,
4. 4. 4. 4. 4.
( )( )
( )
c r t
i
Log i co
Anti
= = =
=−
→= + += + +=
=
40 000 0 06 25
40 000 0 06
1 06 1 06
1 06 4 54938340 000 0 06 3 489383
4 60206 2 778151 1 4572512 837462
2 337462 687 79
26
26
. ,
. ,
, ,
, ,log . log , log ,, , ,,
log , $ ,
