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ANLISIS MATEMTICO DE FUNCIONES REALES DE
UNA Y VARIAS VARIABLES REALES
EJERCICIO DE AUTOEVALUACIN
TEMAS 1 A 5 - EJERCICIO 2
1. Responder razonadamente a las siguientes uestiones:
a) Qu ondiiones deben de umplir los argumentos de dos nmeros
omplejos para que el produto de dihos nmeros sea un nmero
real?
b) Qu ondiiones deben de umplir los argumentos de dos nmeros
omplejos para que su oiente sea un nmero omplejo imaginario
puro?.
2. Denir el onepto de lmite de una suesin de nmeros reales.
Apliar
esta deniin para estudiar la onvergenia de las siguientes
suesio-
nes:
a) an =1
n3b) bn =
{2 si n es mltiplo de 100n
n+1en otro aso
c) cn =(1)nn + 1
3. La gra adjunta muestra la deriva-
da de ierta funin y(x). Emplear estainformain para responder a
las ues-
tiones que se plantean.
a) En qu intervalos y(x) es re-
iente/dereiente?
b) En qu absisas alanza un ex-
tremo loal?
) En qu subintervalos es na-
va/onvexa?
d) En qu absisas alanza un pun-
to de inexin?
4. Explia si la siguiente armain es ierta: Supongamos que y(x)
esuna funin ontinua en R tal que su integral es nula en todo
intervalo
[a, b]. Entones, y(x) = 0 para todo x real.
5. Las gras adjuntas muestran el espaio E(t) reorrido por dos
ve-hulos en el intervalo de tiempo [a, b]. Se pide:
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a) Para ada unos de ellos, la
aelerain media Ha sido
positiva o negativa?
b) Supongamos que la veloi-
dad en t = a de uno de losvehulos era de 70 Km/h y
en t = b de 40 Km/h; pa-ra el otro vehulo, la velo-
idad en t = a fue de 12Km/h y en t = b de 35Km/h. Identia qu par
de
datos se orresponden on
ada gra.
) Con los datos del apartado anterior, si los vehulos irulan
du-
rante 15 segundos, ul es el valor de la aelerain media de
ada
vehulo?
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RESPUESTAS
1. a) = + R + = k k Z
b)
=
(
)
imaginario puro = (2k + 1)2
k Z
2.
lmn
xn = l > 0 n0 N | n n0 xn (l , l + )
a) l = 0, > 0 n0 N | n > n0 1n3
<
Tomando n0 >13
b) No hay lmite: Si tomamos l = 1 para = 1, n0 N tomamosn >
n0 on n mltiplo de 100 por lo que bn = 2 6 (0, 2)
) l = 0: < (1)n
n+ 1< , tomamos n0 >
1
1
3. a) y(x) < 0 en (0, 1) (4, 6. 5) y(x) dereientey(x) > 0
en (1, 4) (6. 5, 8) y(x) reiente
b) y(1) = y(4) = y(6. 5) = 0; ambio en el reimiento
extremoloal.
) y(x) reiente en (0, 2. 5) y(x) navay(x) dereiente en (2. 5, 5)
y(x) onvexay(x) reiente en (5, 7. 5) y(x) navay(x) dereiente en (7.
5, 8) y(x) onvexa
d) En x = 2. 5, 5, 7. 5, 8 hay un ambio de onavidad Puntos
deInexin
4. Supongamos que existe c R | f(c) 6= 0. En el aso de que y(c)
> 0,
omo y(x) es ontinua, existe un intervalo (c , c+ ) tal que y(x)
> 0en ese intervalo, por lo tanto
intc+c y(x) dx > 0 por lo que existe una ontradi
in.
Por lo tanto, y(x) = 0 x RAhora bien, si y(x) no es ontinua, por
ejemplo
y(x) =
{0 x (, c) (c,)1 x = c
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Se tiene y(x) 6= 0 pero bay(x) dx = 0
5. a) Vehulo 1: Como E(t) es onvexa E (t) 0Aelerain media =
1
b ab
aE (t) dt < 0
Vehulo 2: Como E(t) es nava E (t) 0Aelerain media =
1
b ab
aE (t) dt > 0
b) Vehulo 1: E (t) < 0 E (t) es dereienteVehulo 2: E (t) >
0 E (t) es reientePor tanto al vehulo 1 le orresponden los datos 70
40 Km/h yal vehulo 2: 12 35 Km/h
) Vehulo 1: Aelerain media = 360015
b
aE (t) dt = 240E (t)
t=bt=a
=
240 (E (b)E (a)) = 240(4070) = 7200 Km/h2 = 0. 6 m/s2Vehulo 2:
Aelerain media = 240(35 12) = 5520 Km/h2= 0. 42 m/s2
