Ejercicio. Aplicación de Las Ecuaciones Diferenciales

7/23/2019 Ejercicio. Aplicación de Las Ecuaciones Diferenciales

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MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA

Línea de investigación: Diseño Mecánico

Seest!e: Agosto"Dicie#!e $%&'

Matemáticas avanzadas

A()icación de )as ec*aciones di+e!encia)es

Cated!ático: D!, E+!aín Siá Moo

A)*no: Ing, Gena!o L*na

Ta(ia

-ec.a de ent!ega: &/ de dicie#!ede) $%&'



0na asa de & 1g se 23a a *n !eso!te c*4a constante es16 N m

4 )*ego e)

sistea co()eto se s*e!ge en *n )í5*ido 5*e i(a!te *na +*e!6aao!tig*ado!a ig*a) a &% veces )a ve)ocidad instantánea, Dete!ine )asec*aciones de oviiento si:

a7 a) inicio )a asa se )i#e!a desde *n (*nto sit*ado & et!o de#a3o de )a(osición de e5*i)i#!io8 4

#7 )a asa se )i#e!a inicia)ente desde *n (*nto & et!o de#a3o de )a

(osición de e5*i)i#!io con *na ve)ocidad ascendente de12 m s

,

Solución:

De )a $9 )e4 de Neton8 se tiene F ma=

,

En *n sistea ao!tig*ado8 e;iste +!icción ent!e e) !eso!te 4 e) e)eentoao!tig*ado!8 en este caso8 e) )í5*ido, Dic.a +*e!6a de +!icción es cont!a!ia a )ave)ocidad de !eto!no de) !eso!te 4 está dada (o!

r F bv=

donde

b

es )a constante de ao!tig*aiento 4

v

)a ve)ocidad de !eto!no de)!eso!te, Adeás8 de )a )e4 de <oo1e8 teneos 5*e:

F kx=

dondek

es )a constante de e)asticidad 4 x

)a e)ongación de) !eso!te,

=o! tanto8 (a!a *n sistea de !eso!te ao!tig*ado se tiene

r ma F F kv bv= + = − −

>&7

Coo

2

2

d xa

dt =

4

dxv

dt =

8 )a ec*ación >&7 se (*ede e;(!esa! coo:

2

2

d x dxm kx b

dt dt = − −



Reacoodando todos )os t?!inos de) )ado i65*ie!do de )a ig*a)dad

2

2 0

d x dxm b kx

dt dt + + =

Dividiendo todos )os t?!inos ent!e )a asam

2

2 0

d x b dx k x

dt m dt m+ + =

>$7

5*e es )a ec*ación de oviiento (a!a *n sistea osci)ato!io ao!tig*ado,

=a!a e) caso (a!tic*)a!8 s*stit*4endo en >$7 )os va)o!es de16k N m=

810b =

41kgm =

2

2 10 16 0

d x dx x

dt dt + + =

o

'' 10 ' 16 0 x x x+ + =

a7 Reso)viendo (o! t!ans+o!ada de La()ace8 con )as condiciones inicia)es

( )0 1 x =

4 ( )' 0 0. x =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 ' 0 10 0 16 0 s X s sx x sX s x X s− − + − + =

( ) ( ) ( )210 10 16 0 s X s s X s X s− + − + =

( ) 2 10 16 10 X s s s s + − = +

( ) ( ) ( )2

10 10

10 16 8 2

s s

X s s s s s

+ +

= =+ + + +

Reso)viendo (o! +!acciones (a!cia)es

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 810

8 2 8 2 8 2

A s B s s A B

s s s s s

+ + ++= + =

+ + + + + +



( ) ( )10 2 8 s A s B s+ = + + +

Con2 s = −

( )2 10 2 8 B− + = − +

8 6 B=

4

3 B =

Con8 s = −

( )8 10 8 2 A− + = − +

2 6 A= −

1

3 A = −

=o! tanto:

( )( ) ( )

10 1 1 4 1

8 2 3 8 3 2

s X s

s s s s

+= = − +

+ + + +

A()icando t!ans+o!ada inve!sa:

( ) 2 84 1

3 3

t t x t e e

− −= −

#7 Reso)viendo (o! t!ans+o!ada de La()ace8 con )as condiciones inicia)es

( )0 1 x =

4( )' 0 12 x =

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 ' 0 10 0 16 0 s X s sx x sX s x X s− − + − + =

( ) ( ) ( )212 10 10 16 0 s X s s X s X s− + + − + =



( ) 2 10 16 2 X s s s s + − = −

( )

( ) ( )2

2 2

10 16 8 2

s s X s

s s s s

− −= =

+ + + +

Reso)viendo (o! +!acciones (a!cia)es

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 82

8 2 8 2 8 2

A s B s s A B

s s s s s

+ + +−= + =

+ + + + + +

( ) ( )2 2 8 s A s B s− = + + +

Con2 s = −

( )2 2 2 8 B− − = − +

4 6 B− =

2

3 B = −

Con8 s = −

( )8 2 8 2 A− − = − +

10 6 A− = −

5

3 A =

=o! tanto:

( )( ) ( )

10 5 1 2 1

8 2 3 8 3 2

s X s

s s s s

+= = −

+ + + +

A()icando t!ans+o!ada inve!sa:

( ) 2 82 5

3 3

t t x t e e

− −

= − +



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