Ejercicio Asíntotas y Graficar

8/17/2019 Ejercicio Asíntotas y Graficar

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Ejercicio 7 página 127

Determinar las asíntotas para la función:

2

x 1f(x)

x 4x

Solución:

Primero debemos estudiar la existencia de las asíntotas verticales.

Asíntotas verticales

Se debe buscar los puntos en donde la función se indetermine, en este caso el denominador no

puede ser igual a cero. Por lo tanto, se tiene que:

2

x 4x 0

x(x 4) 0

x 0 x 4

Estas son las dos posibles asíntotas verticales.

i) Para x 0

2x 0

x 1lim

x 4x

Esto ocurre porque en el numerador siempre elresultado será 1 (positivo), y al acercarnos al 0

por la izquierda el valor que toma eldenominador en la función es muy pequeñopero positivo.

2x 0

x 1lim

x 4x

En este caso ocurre que el valor deldenominador es pequeño pero negativo.

Por lo tanto x 0 es una asíntota vertical

ii) Para x 4

2x 4

x 1lim

x 4x

Esto ocurre porque en el numerador siempre elresultado será 5 (positivo), y al acercarnos al 4por la izquierda el valor que toma el

denominador en la función es muy pequeñopero negativo.

2x 4

x 1lim

x 4x

En este caso ocurre que el valor del

denominador es pequeño pero positivo.

Por lo tanto x 4 es una asíntota vertical


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Asíntota Oblicua:

Para saber si existe o no una asíntota oblicua debemos primero buscar el valor def(x)

x

2

3 2

x 1

f(x) x 1x 4x

x x x 4x

Luego para saber si existe oblicuo o no debemos, la pendiente debe tener un valor distinto a 0.

3 2x x

f(x) x 1m lim lim

x x 4x

3 2 3 2x x

1 x 1

x 1 x x xlim lim

1x 4x x 4x

x x x

2x

1 0lim 0

x 4x

Por lo tanto como la pendiente es 0, no existe asíntota oblicua.

Asíntota Horizontal:

Para

2 2x

1 x 1

x 1 x x xlim

1x 4x x 4x

x x x

x

1 0lim 0

x 4

(Cercano a 0 pero mayor que 0, saber esto nos servirá para graficar)

Si me acerco por infinito negativo también es 0.

x

1 0lim 0

x 4

(Cercano a 0 pero menor que 0, saber esto nos servirá para graficar).

Por lo tanto y=0 es una asíntota horizontal.

Ahora para determinar si la función corta a la asíntota horizontal en algún punto debemos

reemplazar el valor de la asíntota en la función en este caso se tiene que:

2

x 1y

x 4x

; Como y=o tenemos que


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2

x 10

x 4x

; De aquí

0 x 1

x 1

Por lo tanto en x=-1 la función corta a la asíntota horizontal y=0. (Sera el único punto donde puede

atravesar la asíntota la función).

Nota: No confundirlo con el concepto de solución, ya que si la asíntota hubiera sido por ejemplo

y=2, este es el valor que se debía reemplazar.

¿Cómo graficar?

Para graficar esta función debemos observar las distintas asíntotas, como sabemos que existen dos

asíntotas verticales (color azul) en x=0 y x=4.

Además sabemos de la existencia de una asíntota horizontal y=0(color rojo) y además sabemos

que la función la corta en el punto x=-1.


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De aquí debemos ahora observar cómo se moverá la función.

- Como sabemos que la función atraviesa el punto (-1,0) y además cuando se acerca a la

asíntota vertical x=0 por la izquierda, según nuestro estudio anterior, la función tiende a

ser creciente indefinidamente (o sea infinito positivo). Además debemos considerar la

existencia de una asíntota horizontal la cual cuando se realiza el estudio cuando x tiende

a infinito negativo, esta nos daba como resultado 0, pero menor, por lo tanto la funciónvendrá desde debajo de la asíntota horizontal.

Ahora sabemos que por la asíntota x=o acercándonos por la derecha el limite tiende a infinito

negativo. Cuando nos acercamos a la asíntota x=4 por la izquierda la función tiende a infinito

negativo, por lo tanto la gráfica quedaría de esta manera. Como la función ya no pude atravesar

en otro punto a la función esta no puede atravesar la asíntota horizontal.


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Por ultimo nos quedaría estudiar que ocurre a la derecha de la asíntota x=4, en donde la función

tiende a infinito positivo, además la asíntota horizontal cuando x tiende a infinito positivo nos daba

un valor mayor a 0, cercano pero mayor. Por lo tanto la función esta sobre la asíntota horizontal.

Por último el grafico uniendo todo queda

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