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Ejercicio CE-1 Determinar el valor del campo eleacutectrico en el punto A
sabiendo que si se coloca un electroacuten en dicho punto recibeuna fuerza de F=64 x 10 -14 N La carga del electroacuten es e- =-16 x 10 -19 C
Resolucioacuten
Para calcular el valor del campo eleacutectrico en el punto considerado debo recurrir
a la definicioacuten general de Campo Eleacutectrico por lo tanto nos queda que
Como la carga del electroacuten es negativa el sentido de la fuerza es opuesto al delcampo dado que es una operacioacuten donde el escalar es negativo el resultado del campo nos
da negativo lo que nos estaacute sentildealando que el vector fuerza y campo son colineales pero desentidos opuestos
Respuesta
El campo eleacutectrico en el punto vale 4 x 105 NC y ademaacutes debemos indicar enun esquema graacutefico las demaacutes caracteriacutesticas del vector (direccioacuten sentido y punto de
aplicacioacuten) tal como se indica en el esquema graacutefico
Ejercicio CE-2 Determinar el valor del campo eleacutectrico en el punto A
sabiendo que si se coloca un protoacuten en dicho punto recibeuna fuerza de F=96 x 10 -14 N La carga del protoacuten es q protoacuten=+16 x 10 -19 C
Resolucioacuten
Para calcular el valor del campo eleacutectrico en el punto considerado debo recurrir
a la definicioacuten general de Campo Eleacutectrico por lo tanto nos queda que
Como la carga del protoacuten es positiva el sentido de la fuerza es el mismo del
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campo dado que es una operacioacuten donde el escalar es positivo el resultado del campo nos
da positivo lo que nos estaacute sentildealando que el vector fuerza y campo son colineales y delmismo sentido
Respuesta El campo eleacutectrico en el punto vale 6 x 105 NC y ademaacutes debemos indicar en
un esquema graacutefico las demaacutes caracteriacutesticas del vector (direccioacuten sentido y punto de
aplicacioacuten) tal como se indica en el esquema graacutefico
Ejercicio CE-3
Dos cargas puntuales q1 y q2 de +12 x 10-8 C y - 12 x 10-8 C
respectivamente estaacuten separadas por
una distancia de 10 cm como seindica en la figura adjunta Calcular
los campos eleacutectricos debidos a estas
cargas en los puntos A B y C
Resolucioacuten
Para calcular el valor del campo eleacutectrico en los puntos solicitados a b y cdebemos recurrir a la aplicacioacuten sucesiva de la definicioacuten general de campo eleacutectrico de
carga puntual en el punto a tendremos que
El sentido de ambos campos es el mismo dado que el signo de maacutes indica que se aleja de q1
y el signo de menos que apunta hacia q2 por lo tanto ambos campos tienen el mismo sentido
y se deben sumar sus moacutedulos
Respuesta a)
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en el punto b tendremos que
El sentido de ambos campos es diferente dado que el signo de maacutes indica que se aleja de q1 y
el signo de menos que apunta hacia q2 por lo tanto los campos tienen sentidos opuestos y sedeben restar sus moacutedulos
Respuesta b)
en el punto c tendremos que
En este caso habraacute que sumar los vectores en el plano dado que no son
colineales como en los casos anteriores
Respuesta c)
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Las componentes verticales de los vectores
Ecq1 y Ecq2 son iguales y opuestas por lostanto suman cero es decir la resultante de
los ambos vectores seraacute la suma de las
componentes horizontales pero comoademaacutes se forma un triaacutengulo equilaacutetero
pues todos los aacutengulos miden 60ordm el valor
de Ec tambieacuten valdraacute 108 x 104 NC aligual que los otros dos lados
1) Una carga de -28 microC (microCoulomb)
experimenta una fuerza horizontal y hacia la
derecha de 2 N iquestCuaacutel es el valor del campoeleacutectrico en el punto ocupado por dicha carga
2) Una carga puntual de 2 x 10-9 C se
ubica en las coordenadas x=15 cm e y=20
cm Determinar el punto del plano donde
el campo seraacute de 36 NC y sentildeala hacia las x negativas
3) Dada una carga q de masa m = 5 x 10-11 kg
que se encuentra en equilibrio sobre un planouniformemente cargado con σ = +98 x 10-11
Cm2 Determinar
a) el signo de la carga q
b) su magnitud
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4) Calcule el valor del campo eleacutectrico en el punto A producido por los planos cargados
σ = +2655 x 10-12 Cm2 σ = - 354 x 10-12
Cm2 y la carga Q = +2212π x 10-12 C
5) Dado un conductor rectiliacuteneo con una
densidad lineal de carga λ calcular dichacarga sabiendo que el campo a 010 m del mismo
es de 05 x 10-2 NC
6) Dado el esquema de la figura determinar la
tensioacuten de la cuerda que soporta la masa mcargada con q = +16 middot 10 - 19 C
7) Determinar el campo eleacutectrico en el punto A
entre dos planos cargados y paralelos comoindica la figura
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Electrostaacutetica Ley de Gauss Ejercicios Problemas
Cuando tenemos un elemento de aacuterea cualquiera podemos admitir que siempre se
podraacute dividir en un elemento sumamente pequentildeo tal que ese elemento se pueda considerar
plano y despreciable la variacioacuten de EEl flujo en un pequentildea aacuterea ∆ Ai con un campo
normal En seraacute ∆ φ = En∆ Ai Y para obtener el flujototal que atraviesa la superficie se deberiacutea hacer lo
siguiente
Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano
con campo uniformeLo que normalmente interesa es calcular el flujo
total o neto que atraviesa una superficie cerrada el que
puede ser positivo o negativo seguacuten predomine el Esaliente o entrante
Como el flujo es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de fuerza que atraviesan una
superficie cualquiera el flujo neto es proporcional al nuacutemero neto de liacuteneas de fuerzaque atraviesa a la superficie (suma y resta de liacuteneas entrantes y salientes)
Cuando la suma de infinitos teacuterminos se hace en una superficie cerrada se indica con
el siacutembolo
Por lo tanto el flujo neto seraacute
APLICACIOacuteN
Flujo Neto que atraviesa una superficie esfeacuterica
Se procederaacute a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una
superficie esfeacuterica de radio r que encierra una carga qSabemos que el campo a una distancia r de una carga
puntual q es y ademaacutes el campo eleacutectrico es normal a la
superficie considerada pues tiene la direccioacuten radial la cual es
siempre perpendicular a la superficie de la esfera
rArr
Como el valor es constante en la integral se puede sacar de factor comuacutenfuera de la misma y por lo tanto
pero es el aacuterea total de una esfera rArrPor lo tanto
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pero como el flujo neto total seraacute
El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada que encierre una
carga q dado que el nuacutemero de liacuteneas que sale de una carga es el mismo o sea que la
superficie es atravesada por el mismo flujo
Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga qes numeacutericamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del
vaciacuteo εo
Si dentro de la superficie se encierran maacutes de una carga la expresioacuten de la ley de
Gauss pasa a ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga uacutenica por la suma algebraica de las cargasobtenieacutendose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss
Caacutelculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos
1- A partir de la simetriacutea de la distribucioacuten de carga determinar la direccioacuten delcampo eleacutectrico
2- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo3- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada4- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el moacutedulo del campo eleacutectrico
Caso 1) Campo eleacutectrico debido a una carga lineal uniforme (λ ) de longitudinfinita
Debido a la simetriacutea que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo delconductor respecto a un punto el campo debe ser perpendicular a la liacutenea cargada y
solamente puede depender de r lo cual pasaremos explicar
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Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existiraacuten siempre cargas iguales ysimeacutetricas respecto a dicho punto Debido a esa simetriacutea como se ve en la figura de la
derecha la suma de los vectores campo de puntos simeacutetricos como el a y el b daraacuten una
resultante que siempre seraacute perpendicular al conductor esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee por lo tanto E solo puede depender de r Llamando λ a la
densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela
al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficietotal del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral
φ neto = φ sup lateral + φ sup caras como el flujo es saliente y perpendicular a la liacutenea de
carga el φ caras = 0 dado que las liacuteneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan
rArr φ neto = φ sup lateral = En 2π r L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
φ neto = En 2π r L = rArrE = = rArrE=
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto λ L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por
la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en funcioacuten de la constante de permitividad del vaciacuteo nos quedariacutea que
k= rArr = rArrE= =
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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campo dado que es una operacioacuten donde el escalar es positivo el resultado del campo nos
da positivo lo que nos estaacute sentildealando que el vector fuerza y campo son colineales y delmismo sentido
Respuesta El campo eleacutectrico en el punto vale 6 x 105 NC y ademaacutes debemos indicar en
un esquema graacutefico las demaacutes caracteriacutesticas del vector (direccioacuten sentido y punto de
aplicacioacuten) tal como se indica en el esquema graacutefico
Ejercicio CE-3
Dos cargas puntuales q1 y q2 de +12 x 10-8 C y - 12 x 10-8 C
respectivamente estaacuten separadas por
una distancia de 10 cm como seindica en la figura adjunta Calcular
los campos eleacutectricos debidos a estas
cargas en los puntos A B y C
Resolucioacuten
Para calcular el valor del campo eleacutectrico en los puntos solicitados a b y cdebemos recurrir a la aplicacioacuten sucesiva de la definicioacuten general de campo eleacutectrico de
carga puntual en el punto a tendremos que
El sentido de ambos campos es el mismo dado que el signo de maacutes indica que se aleja de q1
y el signo de menos que apunta hacia q2 por lo tanto ambos campos tienen el mismo sentido
y se deben sumar sus moacutedulos
Respuesta a)
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en el punto b tendremos que
El sentido de ambos campos es diferente dado que el signo de maacutes indica que se aleja de q1 y
el signo de menos que apunta hacia q2 por lo tanto los campos tienen sentidos opuestos y sedeben restar sus moacutedulos
Respuesta b)
en el punto c tendremos que
En este caso habraacute que sumar los vectores en el plano dado que no son
colineales como en los casos anteriores
Respuesta c)
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Las componentes verticales de los vectores
Ecq1 y Ecq2 son iguales y opuestas por lostanto suman cero es decir la resultante de
los ambos vectores seraacute la suma de las
componentes horizontales pero comoademaacutes se forma un triaacutengulo equilaacutetero
pues todos los aacutengulos miden 60ordm el valor
de Ec tambieacuten valdraacute 108 x 104 NC aligual que los otros dos lados
1) Una carga de -28 microC (microCoulomb)
experimenta una fuerza horizontal y hacia la
derecha de 2 N iquestCuaacutel es el valor del campoeleacutectrico en el punto ocupado por dicha carga
2) Una carga puntual de 2 x 10-9 C se
ubica en las coordenadas x=15 cm e y=20
cm Determinar el punto del plano donde
el campo seraacute de 36 NC y sentildeala hacia las x negativas
3) Dada una carga q de masa m = 5 x 10-11 kg
que se encuentra en equilibrio sobre un planouniformemente cargado con σ = +98 x 10-11
Cm2 Determinar
a) el signo de la carga q
b) su magnitud
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4) Calcule el valor del campo eleacutectrico en el punto A producido por los planos cargados
σ = +2655 x 10-12 Cm2 σ = - 354 x 10-12
Cm2 y la carga Q = +2212π x 10-12 C
5) Dado un conductor rectiliacuteneo con una
densidad lineal de carga λ calcular dichacarga sabiendo que el campo a 010 m del mismo
es de 05 x 10-2 NC
6) Dado el esquema de la figura determinar la
tensioacuten de la cuerda que soporta la masa mcargada con q = +16 middot 10 - 19 C
7) Determinar el campo eleacutectrico en el punto A
entre dos planos cargados y paralelos comoindica la figura
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Electrostaacutetica Ley de Gauss Ejercicios Problemas
Cuando tenemos un elemento de aacuterea cualquiera podemos admitir que siempre se
podraacute dividir en un elemento sumamente pequentildeo tal que ese elemento se pueda considerar
plano y despreciable la variacioacuten de EEl flujo en un pequentildea aacuterea ∆ Ai con un campo
normal En seraacute ∆ φ = En∆ Ai Y para obtener el flujototal que atraviesa la superficie se deberiacutea hacer lo
siguiente
Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano
con campo uniformeLo que normalmente interesa es calcular el flujo
total o neto que atraviesa una superficie cerrada el que
puede ser positivo o negativo seguacuten predomine el Esaliente o entrante
Como el flujo es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de fuerza que atraviesan una
superficie cualquiera el flujo neto es proporcional al nuacutemero neto de liacuteneas de fuerzaque atraviesa a la superficie (suma y resta de liacuteneas entrantes y salientes)
Cuando la suma de infinitos teacuterminos se hace en una superficie cerrada se indica con
el siacutembolo
Por lo tanto el flujo neto seraacute
APLICACIOacuteN
Flujo Neto que atraviesa una superficie esfeacuterica
Se procederaacute a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una
superficie esfeacuterica de radio r que encierra una carga qSabemos que el campo a una distancia r de una carga
puntual q es y ademaacutes el campo eleacutectrico es normal a la
superficie considerada pues tiene la direccioacuten radial la cual es
siempre perpendicular a la superficie de la esfera
rArr
Como el valor es constante en la integral se puede sacar de factor comuacutenfuera de la misma y por lo tanto
pero es el aacuterea total de una esfera rArrPor lo tanto
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pero como el flujo neto total seraacute
El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada que encierre una
carga q dado que el nuacutemero de liacuteneas que sale de una carga es el mismo o sea que la
superficie es atravesada por el mismo flujo
Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga qes numeacutericamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del
vaciacuteo εo
Si dentro de la superficie se encierran maacutes de una carga la expresioacuten de la ley de
Gauss pasa a ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga uacutenica por la suma algebraica de las cargasobtenieacutendose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss
Caacutelculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos
1- A partir de la simetriacutea de la distribucioacuten de carga determinar la direccioacuten delcampo eleacutectrico
2- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo3- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada4- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el moacutedulo del campo eleacutectrico
Caso 1) Campo eleacutectrico debido a una carga lineal uniforme (λ ) de longitudinfinita
Debido a la simetriacutea que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo delconductor respecto a un punto el campo debe ser perpendicular a la liacutenea cargada y
solamente puede depender de r lo cual pasaremos explicar
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Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existiraacuten siempre cargas iguales ysimeacutetricas respecto a dicho punto Debido a esa simetriacutea como se ve en la figura de la
derecha la suma de los vectores campo de puntos simeacutetricos como el a y el b daraacuten una
resultante que siempre seraacute perpendicular al conductor esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee por lo tanto E solo puede depender de r Llamando λ a la
densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela
al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficietotal del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral
φ neto = φ sup lateral + φ sup caras como el flujo es saliente y perpendicular a la liacutenea de
carga el φ caras = 0 dado que las liacuteneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan
rArr φ neto = φ sup lateral = En 2π r L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
φ neto = En 2π r L = rArrE = = rArrE=
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto λ L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por
la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en funcioacuten de la constante de permitividad del vaciacuteo nos quedariacutea que
k= rArr = rArrE= =
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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en el punto b tendremos que
El sentido de ambos campos es diferente dado que el signo de maacutes indica que se aleja de q1 y
el signo de menos que apunta hacia q2 por lo tanto los campos tienen sentidos opuestos y sedeben restar sus moacutedulos
Respuesta b)
en el punto c tendremos que
En este caso habraacute que sumar los vectores en el plano dado que no son
colineales como en los casos anteriores
Respuesta c)
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Las componentes verticales de los vectores
Ecq1 y Ecq2 son iguales y opuestas por lostanto suman cero es decir la resultante de
los ambos vectores seraacute la suma de las
componentes horizontales pero comoademaacutes se forma un triaacutengulo equilaacutetero
pues todos los aacutengulos miden 60ordm el valor
de Ec tambieacuten valdraacute 108 x 104 NC aligual que los otros dos lados
1) Una carga de -28 microC (microCoulomb)
experimenta una fuerza horizontal y hacia la
derecha de 2 N iquestCuaacutel es el valor del campoeleacutectrico en el punto ocupado por dicha carga
2) Una carga puntual de 2 x 10-9 C se
ubica en las coordenadas x=15 cm e y=20
cm Determinar el punto del plano donde
el campo seraacute de 36 NC y sentildeala hacia las x negativas
3) Dada una carga q de masa m = 5 x 10-11 kg
que se encuentra en equilibrio sobre un planouniformemente cargado con σ = +98 x 10-11
Cm2 Determinar
a) el signo de la carga q
b) su magnitud
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4) Calcule el valor del campo eleacutectrico en el punto A producido por los planos cargados
σ = +2655 x 10-12 Cm2 σ = - 354 x 10-12
Cm2 y la carga Q = +2212π x 10-12 C
5) Dado un conductor rectiliacuteneo con una
densidad lineal de carga λ calcular dichacarga sabiendo que el campo a 010 m del mismo
es de 05 x 10-2 NC
6) Dado el esquema de la figura determinar la
tensioacuten de la cuerda que soporta la masa mcargada con q = +16 middot 10 - 19 C
7) Determinar el campo eleacutectrico en el punto A
entre dos planos cargados y paralelos comoindica la figura
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Electrostaacutetica Ley de Gauss Ejercicios Problemas
Cuando tenemos un elemento de aacuterea cualquiera podemos admitir que siempre se
podraacute dividir en un elemento sumamente pequentildeo tal que ese elemento se pueda considerar
plano y despreciable la variacioacuten de EEl flujo en un pequentildea aacuterea ∆ Ai con un campo
normal En seraacute ∆ φ = En∆ Ai Y para obtener el flujototal que atraviesa la superficie se deberiacutea hacer lo
siguiente
Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano
con campo uniformeLo que normalmente interesa es calcular el flujo
total o neto que atraviesa una superficie cerrada el que
puede ser positivo o negativo seguacuten predomine el Esaliente o entrante
Como el flujo es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de fuerza que atraviesan una
superficie cualquiera el flujo neto es proporcional al nuacutemero neto de liacuteneas de fuerzaque atraviesa a la superficie (suma y resta de liacuteneas entrantes y salientes)
Cuando la suma de infinitos teacuterminos se hace en una superficie cerrada se indica con
el siacutembolo
Por lo tanto el flujo neto seraacute
APLICACIOacuteN
Flujo Neto que atraviesa una superficie esfeacuterica
Se procederaacute a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una
superficie esfeacuterica de radio r que encierra una carga qSabemos que el campo a una distancia r de una carga
puntual q es y ademaacutes el campo eleacutectrico es normal a la
superficie considerada pues tiene la direccioacuten radial la cual es
siempre perpendicular a la superficie de la esfera
rArr
Como el valor es constante en la integral se puede sacar de factor comuacutenfuera de la misma y por lo tanto
pero es el aacuterea total de una esfera rArrPor lo tanto
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pero como el flujo neto total seraacute
El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada que encierre una
carga q dado que el nuacutemero de liacuteneas que sale de una carga es el mismo o sea que la
superficie es atravesada por el mismo flujo
Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga qes numeacutericamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del
vaciacuteo εo
Si dentro de la superficie se encierran maacutes de una carga la expresioacuten de la ley de
Gauss pasa a ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga uacutenica por la suma algebraica de las cargasobtenieacutendose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss
Caacutelculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos
1- A partir de la simetriacutea de la distribucioacuten de carga determinar la direccioacuten delcampo eleacutectrico
2- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo3- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada4- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el moacutedulo del campo eleacutectrico
Caso 1) Campo eleacutectrico debido a una carga lineal uniforme (λ ) de longitudinfinita
Debido a la simetriacutea que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo delconductor respecto a un punto el campo debe ser perpendicular a la liacutenea cargada y
solamente puede depender de r lo cual pasaremos explicar
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Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existiraacuten siempre cargas iguales ysimeacutetricas respecto a dicho punto Debido a esa simetriacutea como se ve en la figura de la
derecha la suma de los vectores campo de puntos simeacutetricos como el a y el b daraacuten una
resultante que siempre seraacute perpendicular al conductor esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee por lo tanto E solo puede depender de r Llamando λ a la
densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela
al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficietotal del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral
φ neto = φ sup lateral + φ sup caras como el flujo es saliente y perpendicular a la liacutenea de
carga el φ caras = 0 dado que las liacuteneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan
rArr φ neto = φ sup lateral = En 2π r L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
φ neto = En 2π r L = rArrE = = rArrE=
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto λ L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por
la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en funcioacuten de la constante de permitividad del vaciacuteo nos quedariacutea que
k= rArr = rArrE= =
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Las componentes verticales de los vectores
Ecq1 y Ecq2 son iguales y opuestas por lostanto suman cero es decir la resultante de
los ambos vectores seraacute la suma de las
componentes horizontales pero comoademaacutes se forma un triaacutengulo equilaacutetero
pues todos los aacutengulos miden 60ordm el valor
de Ec tambieacuten valdraacute 108 x 104 NC aligual que los otros dos lados
1) Una carga de -28 microC (microCoulomb)
experimenta una fuerza horizontal y hacia la
derecha de 2 N iquestCuaacutel es el valor del campoeleacutectrico en el punto ocupado por dicha carga
2) Una carga puntual de 2 x 10-9 C se
ubica en las coordenadas x=15 cm e y=20
cm Determinar el punto del plano donde
el campo seraacute de 36 NC y sentildeala hacia las x negativas
3) Dada una carga q de masa m = 5 x 10-11 kg
que se encuentra en equilibrio sobre un planouniformemente cargado con σ = +98 x 10-11
Cm2 Determinar
a) el signo de la carga q
b) su magnitud
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4) Calcule el valor del campo eleacutectrico en el punto A producido por los planos cargados
σ = +2655 x 10-12 Cm2 σ = - 354 x 10-12
Cm2 y la carga Q = +2212π x 10-12 C
5) Dado un conductor rectiliacuteneo con una
densidad lineal de carga λ calcular dichacarga sabiendo que el campo a 010 m del mismo
es de 05 x 10-2 NC
6) Dado el esquema de la figura determinar la
tensioacuten de la cuerda que soporta la masa mcargada con q = +16 middot 10 - 19 C
7) Determinar el campo eleacutectrico en el punto A
entre dos planos cargados y paralelos comoindica la figura
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Electrostaacutetica Ley de Gauss Ejercicios Problemas
Cuando tenemos un elemento de aacuterea cualquiera podemos admitir que siempre se
podraacute dividir en un elemento sumamente pequentildeo tal que ese elemento se pueda considerar
plano y despreciable la variacioacuten de EEl flujo en un pequentildea aacuterea ∆ Ai con un campo
normal En seraacute ∆ φ = En∆ Ai Y para obtener el flujototal que atraviesa la superficie se deberiacutea hacer lo
siguiente
Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano
con campo uniformeLo que normalmente interesa es calcular el flujo
total o neto que atraviesa una superficie cerrada el que
puede ser positivo o negativo seguacuten predomine el Esaliente o entrante
Como el flujo es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de fuerza que atraviesan una
superficie cualquiera el flujo neto es proporcional al nuacutemero neto de liacuteneas de fuerzaque atraviesa a la superficie (suma y resta de liacuteneas entrantes y salientes)
Cuando la suma de infinitos teacuterminos se hace en una superficie cerrada se indica con
el siacutembolo
Por lo tanto el flujo neto seraacute
APLICACIOacuteN
Flujo Neto que atraviesa una superficie esfeacuterica
Se procederaacute a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una
superficie esfeacuterica de radio r que encierra una carga qSabemos que el campo a una distancia r de una carga
puntual q es y ademaacutes el campo eleacutectrico es normal a la
superficie considerada pues tiene la direccioacuten radial la cual es
siempre perpendicular a la superficie de la esfera
rArr
Como el valor es constante en la integral se puede sacar de factor comuacutenfuera de la misma y por lo tanto
pero es el aacuterea total de una esfera rArrPor lo tanto
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pero como el flujo neto total seraacute
El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada que encierre una
carga q dado que el nuacutemero de liacuteneas que sale de una carga es el mismo o sea que la
superficie es atravesada por el mismo flujo
Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga qes numeacutericamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del
vaciacuteo εo
Si dentro de la superficie se encierran maacutes de una carga la expresioacuten de la ley de
Gauss pasa a ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga uacutenica por la suma algebraica de las cargasobtenieacutendose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss
Caacutelculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos
1- A partir de la simetriacutea de la distribucioacuten de carga determinar la direccioacuten delcampo eleacutectrico
2- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo3- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada4- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el moacutedulo del campo eleacutectrico
Caso 1) Campo eleacutectrico debido a una carga lineal uniforme (λ ) de longitudinfinita
Debido a la simetriacutea que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo delconductor respecto a un punto el campo debe ser perpendicular a la liacutenea cargada y
solamente puede depender de r lo cual pasaremos explicar
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Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existiraacuten siempre cargas iguales ysimeacutetricas respecto a dicho punto Debido a esa simetriacutea como se ve en la figura de la
derecha la suma de los vectores campo de puntos simeacutetricos como el a y el b daraacuten una
resultante que siempre seraacute perpendicular al conductor esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee por lo tanto E solo puede depender de r Llamando λ a la
densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela
al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficietotal del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral
φ neto = φ sup lateral + φ sup caras como el flujo es saliente y perpendicular a la liacutenea de
carga el φ caras = 0 dado que las liacuteneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan
rArr φ neto = φ sup lateral = En 2π r L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
φ neto = En 2π r L = rArrE = = rArrE=
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto λ L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por
la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en funcioacuten de la constante de permitividad del vaciacuteo nos quedariacutea que
k= rArr = rArrE= =
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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4) Calcule el valor del campo eleacutectrico en el punto A producido por los planos cargados
σ = +2655 x 10-12 Cm2 σ = - 354 x 10-12
Cm2 y la carga Q = +2212π x 10-12 C
5) Dado un conductor rectiliacuteneo con una
densidad lineal de carga λ calcular dichacarga sabiendo que el campo a 010 m del mismo
es de 05 x 10-2 NC
6) Dado el esquema de la figura determinar la
tensioacuten de la cuerda que soporta la masa mcargada con q = +16 middot 10 - 19 C
7) Determinar el campo eleacutectrico en el punto A
entre dos planos cargados y paralelos comoindica la figura
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Electrostaacutetica Ley de Gauss Ejercicios Problemas
Cuando tenemos un elemento de aacuterea cualquiera podemos admitir que siempre se
podraacute dividir en un elemento sumamente pequentildeo tal que ese elemento se pueda considerar
plano y despreciable la variacioacuten de EEl flujo en un pequentildea aacuterea ∆ Ai con un campo
normal En seraacute ∆ φ = En∆ Ai Y para obtener el flujototal que atraviesa la superficie se deberiacutea hacer lo
siguiente
Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano
con campo uniformeLo que normalmente interesa es calcular el flujo
total o neto que atraviesa una superficie cerrada el que
puede ser positivo o negativo seguacuten predomine el Esaliente o entrante
Como el flujo es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de fuerza que atraviesan una
superficie cualquiera el flujo neto es proporcional al nuacutemero neto de liacuteneas de fuerzaque atraviesa a la superficie (suma y resta de liacuteneas entrantes y salientes)
Cuando la suma de infinitos teacuterminos se hace en una superficie cerrada se indica con
el siacutembolo
Por lo tanto el flujo neto seraacute
APLICACIOacuteN
Flujo Neto que atraviesa una superficie esfeacuterica
Se procederaacute a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una
superficie esfeacuterica de radio r que encierra una carga qSabemos que el campo a una distancia r de una carga
puntual q es y ademaacutes el campo eleacutectrico es normal a la
superficie considerada pues tiene la direccioacuten radial la cual es
siempre perpendicular a la superficie de la esfera
rArr
Como el valor es constante en la integral se puede sacar de factor comuacutenfuera de la misma y por lo tanto
pero es el aacuterea total de una esfera rArrPor lo tanto
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pero como el flujo neto total seraacute
El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada que encierre una
carga q dado que el nuacutemero de liacuteneas que sale de una carga es el mismo o sea que la
superficie es atravesada por el mismo flujo
Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga qes numeacutericamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del
vaciacuteo εo
Si dentro de la superficie se encierran maacutes de una carga la expresioacuten de la ley de
Gauss pasa a ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga uacutenica por la suma algebraica de las cargasobtenieacutendose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss
Caacutelculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos
1- A partir de la simetriacutea de la distribucioacuten de carga determinar la direccioacuten delcampo eleacutectrico
2- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo3- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada4- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el moacutedulo del campo eleacutectrico
Caso 1) Campo eleacutectrico debido a una carga lineal uniforme (λ ) de longitudinfinita
Debido a la simetriacutea que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo delconductor respecto a un punto el campo debe ser perpendicular a la liacutenea cargada y
solamente puede depender de r lo cual pasaremos explicar
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Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existiraacuten siempre cargas iguales ysimeacutetricas respecto a dicho punto Debido a esa simetriacutea como se ve en la figura de la
derecha la suma de los vectores campo de puntos simeacutetricos como el a y el b daraacuten una
resultante que siempre seraacute perpendicular al conductor esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee por lo tanto E solo puede depender de r Llamando λ a la
densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela
al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficietotal del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral
φ neto = φ sup lateral + φ sup caras como el flujo es saliente y perpendicular a la liacutenea de
carga el φ caras = 0 dado que las liacuteneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan
rArr φ neto = φ sup lateral = En 2π r L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
φ neto = En 2π r L = rArrE = = rArrE=
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto λ L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por
la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en funcioacuten de la constante de permitividad del vaciacuteo nos quedariacutea que
k= rArr = rArrE= =
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
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Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Electrostaacutetica Ley de Gauss Ejercicios Problemas
Cuando tenemos un elemento de aacuterea cualquiera podemos admitir que siempre se
podraacute dividir en un elemento sumamente pequentildeo tal que ese elemento se pueda considerar
plano y despreciable la variacioacuten de EEl flujo en un pequentildea aacuterea ∆ Ai con un campo
normal En seraacute ∆ φ = En∆ Ai Y para obtener el flujototal que atraviesa la superficie se deberiacutea hacer lo
siguiente
Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano
con campo uniformeLo que normalmente interesa es calcular el flujo
total o neto que atraviesa una superficie cerrada el que
puede ser positivo o negativo seguacuten predomine el Esaliente o entrante
Como el flujo es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de fuerza que atraviesan una
superficie cualquiera el flujo neto es proporcional al nuacutemero neto de liacuteneas de fuerzaque atraviesa a la superficie (suma y resta de liacuteneas entrantes y salientes)
Cuando la suma de infinitos teacuterminos se hace en una superficie cerrada se indica con
el siacutembolo
Por lo tanto el flujo neto seraacute
APLICACIOacuteN
Flujo Neto que atraviesa una superficie esfeacuterica
Se procederaacute a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una
superficie esfeacuterica de radio r que encierra una carga qSabemos que el campo a una distancia r de una carga
puntual q es y ademaacutes el campo eleacutectrico es normal a la
superficie considerada pues tiene la direccioacuten radial la cual es
siempre perpendicular a la superficie de la esfera
rArr
Como el valor es constante en la integral se puede sacar de factor comuacutenfuera de la misma y por lo tanto
pero es el aacuterea total de una esfera rArrPor lo tanto
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pero como el flujo neto total seraacute
El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada que encierre una
carga q dado que el nuacutemero de liacuteneas que sale de una carga es el mismo o sea que la
superficie es atravesada por el mismo flujo
Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga qes numeacutericamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del
vaciacuteo εo
Si dentro de la superficie se encierran maacutes de una carga la expresioacuten de la ley de
Gauss pasa a ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga uacutenica por la suma algebraica de las cargasobtenieacutendose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss
Caacutelculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos
1- A partir de la simetriacutea de la distribucioacuten de carga determinar la direccioacuten delcampo eleacutectrico
2- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo3- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada4- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el moacutedulo del campo eleacutectrico
Caso 1) Campo eleacutectrico debido a una carga lineal uniforme (λ ) de longitudinfinita
Debido a la simetriacutea que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo delconductor respecto a un punto el campo debe ser perpendicular a la liacutenea cargada y
solamente puede depender de r lo cual pasaremos explicar
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Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existiraacuten siempre cargas iguales ysimeacutetricas respecto a dicho punto Debido a esa simetriacutea como se ve en la figura de la
derecha la suma de los vectores campo de puntos simeacutetricos como el a y el b daraacuten una
resultante que siempre seraacute perpendicular al conductor esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee por lo tanto E solo puede depender de r Llamando λ a la
densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela
al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficietotal del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral
φ neto = φ sup lateral + φ sup caras como el flujo es saliente y perpendicular a la liacutenea de
carga el φ caras = 0 dado que las liacuteneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan
rArr φ neto = φ sup lateral = En 2π r L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
φ neto = En 2π r L = rArrE = = rArrE=
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto λ L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por
la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en funcioacuten de la constante de permitividad del vaciacuteo nos quedariacutea que
k= rArr = rArrE= =
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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pero como el flujo neto total seraacute
El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada que encierre una
carga q dado que el nuacutemero de liacuteneas que sale de una carga es el mismo o sea que la
superficie es atravesada por el mismo flujo
Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga qes numeacutericamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del
vaciacuteo εo
Si dentro de la superficie se encierran maacutes de una carga la expresioacuten de la ley de
Gauss pasa a ser de la siguiente manera
Es decir que se sustituye la carga uacutenica por la suma algebraica de las cargasobtenieacutendose la carga neta encerrada en la superficie de Gauss
Caacutelculo de E a partir de Gauss
Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos
1- A partir de la simetriacutea de la distribucioacuten de carga determinar la direccioacuten delcampo eleacutectrico
2- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo3- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada4- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el moacutedulo del campo eleacutectrico
Caso 1) Campo eleacutectrico debido a una carga lineal uniforme (λ ) de longitudinfinita
Debido a la simetriacutea que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo delconductor respecto a un punto el campo debe ser perpendicular a la liacutenea cargada y
solamente puede depender de r lo cual pasaremos explicar
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Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existiraacuten siempre cargas iguales ysimeacutetricas respecto a dicho punto Debido a esa simetriacutea como se ve en la figura de la
derecha la suma de los vectores campo de puntos simeacutetricos como el a y el b daraacuten una
resultante que siempre seraacute perpendicular al conductor esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee por lo tanto E solo puede depender de r Llamando λ a la
densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela
al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficietotal del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral
φ neto = φ sup lateral + φ sup caras como el flujo es saliente y perpendicular a la liacutenea de
carga el φ caras = 0 dado que las liacuteneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan
rArr φ neto = φ sup lateral = En 2π r L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
φ neto = En 2π r L = rArrE = = rArrE=
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto λ L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por
la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en funcioacuten de la constante de permitividad del vaciacuteo nos quedariacutea que
k= rArr = rArrE= =
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
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Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado observamos
que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor nos encontraremos que a
ambos lados de dicho punto sobre el conductor existiraacuten siempre cargas iguales ysimeacutetricas respecto a dicho punto Debido a esa simetriacutea como se ve en la figura de la
derecha la suma de los vectores campo de puntos simeacutetricos como el a y el b daraacuten una
resultante que siempre seraacute perpendicular al conductor esto se puede repetir para todos los
puntos que uno desee por lo tanto E solo puede depender de r Llamando λ a la
densidad lineal de carga definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela
al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie
cerrada el Teorema de Gauss Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficietotal del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral Siendo por lo tanto el flujo
neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral
φ neto = φ sup lateral + φ sup caras como el flujo es saliente y perpendicular a la liacutenea de
carga el φ caras = 0 dado que las liacuteneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las
atraviesan
rArr φ neto = φ sup lateral = En 2π r L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss
φ neto = En 2π r L = rArrE = = rArrE=
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto λ L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por
la longitud del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss
Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en funcioacuten de la constante de permitividad del vaciacuteo nos quedariacutea que
k= rArr = rArrE= =
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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o en funcioacuten de k Es la foacutermula que nos permite calcular dicho campo donde
se observa claramente que la intensidad de campo eleacutectrico es
directamente proporcional a la densidad lineal de carga λ einversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde
el punto de vista vectorial por simetriacutea como ya se explicoacute el vector campo es
perpendicular al conductor alejaacutendose de eacutel si estaacute cargado positivamente o acercaacutendose sila carga es negativa
Caso 2) Campo eleacutectrico debido a un plano infinito de distribucioacuten uniforme decarga
Se define densidad superficial de carga σ al cociente entre la carga total del
plano y su superficie σ = qA y se mide en (Cm2)Por razones de simetriacutea deducimos que el campo debido a su carga produce
liacuteneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras Se aplica aquiacute
criterio similar en cuanto a simetriacutea que en el caso del conductor cargado simplementeque la simetriacutea se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano pasando por el pie de
la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano
Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss
que tenga caracteriacutesticas que hagan coacutemodo el caacutelculo del flujo total por ello se traza concaras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo Como las liacuteneas de fuerza
son perpendiculares al plano resultan paralelas a la generatriz del cilindro por lo que son
rasantes a la superficie lateral que no atraviesan solamente seraacuten atravesada las bases delcilindro Por lo tanto el flujo total o neto seraacute
rArr
Donde la Σ q (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual
al producto σ A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss
De la foacutermula para calcular dicho campo donde se observa claramente que laintensidad de campo eleacutectrico es directamente proporcional a la densidad superficial de
carga σ y es independiente de la distancia al plano cargado El campo existe a ambos
lados del plano Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejaraacute del plano y sela carga es negativa se dirigiraacute hacia el plano
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Caso 3) Campo eleacutectrico debido una corteza esfeacutericacargada de radio r
Creamos una esfera de Gauss esta superficie se
elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie que envuelve a lacorteza cargada Siendo R el radio de la esfero de Gauss Para
estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor
que r por lo tanto
R gt r siendo Q la carga total de la corteza
rArr rArroEn el interior de la corteza R lt r y haciendo una esfera de Gauss interior a la
corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero tambieacuten seraacute cero elcampo E
El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una
superficie cerrada en dicho interior da cero
En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga
puntual colocada en el centro de la corteza esfeacuterica
Siendo Q la carga total de la corteza esfeacuterica por lo tanto el campo esdirectamente proporcional a la carga total Q e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R
Caso 4) Campo eleacutectrico debido a dos planos infinitos cargados yparalelos
El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales yopuestos por lo tanto su suma es cero Ya se vio el valor del campo creado por un plano
cargado en forma uniforme
En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados
por lo tanto nos queda que
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Electrostaacutetica PotencialEleacutectrico
Ejercicios Problemas
AlejandroVolta
Introduccioacuten
Ya vimos en campo gravitatorio el concepto de energiacutea potencial que se
estudia respecto a un cero arbitrario y la existencia de una misma energiacutea
potencial para un cero fijo estaacute basado en el hecho de que la fuerzagravitatoria es conservativa
Esta propiedad la tienen todas las fuerzas que van hacia un centro
llamadas fuerzas centrales
Definicioacuten de diferencia deenergiacutea potencial
La diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica
∆ UpAB entre dos puntos en el
espacio se define como el trabajo
negativo efectuado por la fuerzaelectrostaacutetica al transportar una
carga q de la posicioacuten A hasta
la posicioacuten B
T= - ∆ UpAB por lo tanto T= - (UpB - UpA)
Definicioacuten de diferencia de potencial electrostaacutetico
La diferencia de potencial electrostaacutetico VAB entre los puntos A y Bes igual al cociente entre la diferencia de energiacutea potencial electrostaacutetica∆ UpAB debida a la carga q entre los puntos A y B y el valor de dicha
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
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Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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carga q
La diferencia de potencial se debe tomar como la diferencia de
potencial entre puntos los que se deben definir refirieacutendolos a un punto depotencial cero arbitrario Lo importante es la diferencia de potencial y no
el valor puntual de potencial En general se toma como potencial 0 al de un
punto infinitamente alejado de la carga
El potencial obedece el principio de superposicioacuten es decir el potencial en un punto es la suma algebraica de los potenciales superpuestos
debidos a distintas cargas
Unidad La unidad de potencial o de diferencia de potencial en elSistema Internacional es el volt
Definicioacuten Entre dos puntos del campo eleacutectrico existiraacute una diferencia
de potencial de un volt si para llevar una carga de un Coulomb de un punto
a otro se realizaraacute un trabajo de un Joule
ECUACIOacuteN DIMENSIONAL
El voltm resulta ser una nueva forma de unidad de campo eleacutectrico
Como VAB=VB-VA el potencial VA se puede definir como el trabajo para traer
una carga unidad desde el infinito al punto A el punto B estariacutea en el infinito
y su potencial por definicioacuten es 0 (VB=0)
bull Si la carga q que se mueve es + y va del potencial bajo al maacutes alto
aumenta su energiacutea potencial eleacutectrica (VBgtVA) Para que esto sucedadebe hacer una fuerza externa dado que de otra forma iriacutea la carga del
potencial maacutes alto al maacutes bajo con aumento de energiacutea cineacutetica y
disminucioacuten de su energiacutea potencial eleacutectrica ∆ Ugt0bull Si la carga q que se mueve es ndash y va del potencial maacutes bajo al
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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potencial maacutes altodisminuye su energiacutea
potencial eleacutectrica y
q(VB-VA) lt0 y en
consecuencia ∆ Ult0bull Por lo tanto
una carga negativa
bajo la influencia deun campo existente
buscaraacute moverse
hacia el punto de potencial maacuteximo y si la carga es positiva lo haraacute
hacia el potencial maacutes bajoEl electroacuten-volt∆ Up = q∆ V THORN Si q = 1 e- (un electroacuten) carga elemental y ∆ V = 1
volt la ∆ Up = 1 electroacuten-volt = 16x10-19C x 1 v= 16 x 10-19 J
Potenciales relacionados con un campo eleacutectricouniforme
Calculamos el trabajo de la fuerza
T = F dAB cos φ there4 F = q E (por definicioacuten de E) rArrT = q E dAB cos
φ pero como siendo dAB cos φ = dABrsquo
rArr
Por lo tanto en un campo electrostaacutetico uniforme la diferencia de
potencial (VAB) es el producto negativo del campo eleacutectrico E por la
componente del desplazamiento desde A hasta B en la direccioacuten del campoLa liacutenea BBrsquo se conoce como liacutenea equipotencial que representa un plano
equipotencial
Al valor se le llama gradiente de potencialEl gradiente de potencial es una magnitud vectorial cuyo sentido es
opuesto al del vector campo eleacutectrico
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Potencial creado por una carga puntual
Si el campo no es uniforme la fuerza que realiza el trabajo no es
constante y depende de la distancia a la carga dado que de todasformas se puede aplicar anaacutelisis matemaacutetico y se obtiene que
y como en el infinito el potencial se toma 0
si VB = 0 estaacute en el infinito y r f = infin rArr rArr
y las superficies equipotenciales para una carga puntual son esfeacutericas y
rodean la carga siendo su centro precisamente el lugar donde se encuentraubicada la carga eleacutectrica puntual
Potencial Eleacutectrico(Ejercicios)
Teoriacutea Problemas
Ejercicio PE-1 Determinar el valor del potencial
eleacutectrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en
un punto ubicado a 10 cm del mismo como indica la figura
Resolucioacuten Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el caacutelculo del potencial en un
punto debido a una carga puntual cuya expresioacuten es
y por lo tanto el valor seriacuteael potencial es una magnitud escalar por lo tanto tan soacutelo debe ser indicado su signo y su
valor numeacuterico
Respuesta El potencial en A vale + 1080 V
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Ejercicio PE-2 Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C
y q2=-12 x 10 -9 C estaacuten separadas 10 cm como
muestra la figura Calcular la diferencia de potencial
entre los puntos ab bc y ac
Resolucioacuten Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos debemos primero
hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteadoPotencial en punto a
El potencial en a es debido a la accioacuten de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto
deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferenciacomo el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el
ejercicio anterior como entonces deberemos repetir este caacutelculo para cada una de
las cargas En consecuencia por lo que
como se observa el resultado
corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencialnegativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V)
Potencial en punto bRepetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las
distancias para el punto b por lo que la expresioacuten nos queda
como se observa el resultadocorresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial
negativo creado por la carga q2 (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de
alliacute surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V)Potencial en punto c
En el punto c no es necesario realizar el caacutelculo numeacuterico dado que como las distancias
entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto por lo que el potencial en c
vale 0 (Vc=0)
Caacutelculo de los potenciales solicitados
Vab= V b-Va= 1929 V - (-900 V) = + 2829 V
Vbc= Vc-V b= 0 V - 1929 V = - 1929 V
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V
Respuesta
Vab = + 2829 V Vbc= - 1929 V Vac=+ 900 VEjercicio PE-3 Un campo eleacutectrico uniforme de valor 200 NC tiene la direccioacuten x
positiva Se deja en libertad una carga puntual Q=3micro C inicialmente en reposo y ubicada
en el origen de coordenadasa) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica de la carga cuando estaacute en la posicioacuten x=4m
b) iquestCuaacutel es la variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x=0m hasta
x=4mc) iquestCuaacutel es la diferencia de potencial V (4m) - V (0m)
Resolucioacuten Sabemos que ∆ Ec=-∆ U p y que por la definicioacuten de gradiente de
potencial
La diferencia de energiacutea potencial se calcula como
y la variacioacuten de energiacutea cineacutetica es
Respuesta
La energiacutea cineacutetica de la carga para x = 4 m es 24 x 10-3 JLa variacioacuten de energiacutea potencial eleacutectrica de la carga desde x = 0 a x = 4 m
es - 24 x 10-3
JLa diferencia de potencia V(0-4)= - 800 v
Potencial Eleacutectrico(Problemas)
Teoriacutea Ejercicio
A traveacutes de estos problemas el alumno podraacute comprender mejor el significado del
Potencial Eleacutectrico
Obtener Resolucioacuten
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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1) Calcular el valor del potencial eleacutectrico creado
por una carga puntual q = - 24 x 10-7 C en un punto ubicado a 40 cm del mismo como indica la
figura
2) Calcular el potencial en el punto Adebido a la accioacuten de las cargas q1 = -3 x 10-8
C y q2 = 6 x 10-8 C posicionados como se
indica en la figura
3) Determinar el valor de Q2 sabiendo que en
el punto P el potencial es cero y calcular
ademaacutes el campo en el punto P
4) El potencial a una cierta distancia de unacarga puntual es de 600 v y el campo eleacutectrico
de 200 NC
a) iquestCuaacutel es la distancia a la carga puntualb) iquestCuaacutel es el valor de la carga
5) Una pequentildea esfera de masa 03 g cuelga de un hilo
entre dos laacuteminas separadas 5 cm La esfera tiene unacarga de 6 10-9 C
iquestQueacute diferencia de potencial entre las laacuteminas haraacute
que el hilo forme un aacutengulo de 30ordm con la vertical
Obtener Resolucioacuten
Electrostaacutetica Capacidad Ejercicios Problemas
Definicioacuten
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Se llama capacidad de un conductor aislado (C) al cociente entre su
carga (Q) y su potencial (V)Se entiende que el potencial del conductor aislado es relativo al potencial cero en el
infinito
Q medido en Coulombs V en voltios y C en FaradiosComo el potencial es proporcional a la carga la capacidad depende exclusivamente
del tamantildeo y forma del conductor
Para un conductor esfeacuterico
o sea la capacidad es directamente proporcional a su
radioCondensadorUn sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es
un dispositivo de almacenar cargas Y en consecuencia ademaacutes almacena energiacutea
Su capacidad se define como el cociente entre la carga de una de sus armaduras y la
diferencia de potencial que existe entre ambas armaduras
Condensador plano
Un condensador plano se encuentra formado por dos placas planas cargadas y
paralelas (armaduras) separadas por un espacio llamado dieleacutectrico o aislador
En este caso la capacidad seraacute
Y el caacutelculo de la capacidad de un
condensador de acuerdo a sus dimensiones
fiacutesicas es el siguiente
y ademaacutes rArr y
sabiendo que A es el aacuterea de una de lasarmaduras
y recordando que el campo creado por dos planos paralelos cargado uniformemente es
σ ε ο nos queda que
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rArr
Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Por lo que la capacidad de un condensador plano es directamente proporcional a la
superficie de una de sus armaduras e inversamente proporcional a la distancia que existeentre ambas armaduras El valor de la constante depende del medio que exista entre dichas
armaduras en este caso se ha colocado el valor del vaciacuteo (ε ο )
Agrupamiento de CondensadoresCONDENSADORES EN SERIE
En los circuitos eleacutectricos en general se
colocan maacutes de un condensador y esto da
lugar a distinto tipo de agrupamientocuando para pasar del punto a al d (ver la
figura) es necesario seguir la trayectoria
abcd se dice que los condensadores estaacuten enserie (Colocados uno a continuacioacuten del
otro)
Sabemos que V1+V2+V3 = Vtotal cuando se encuentran en serie es decir la diferencia de potencial entre los extremos (ab) es igual a la suma de las diferencias de potencial de cada
uno de los condensadores
Como y todas las armaduras tienen la misma carga entonces como
entonces
y las demaacutes diferencias de potencial tendraacuten expresioacuten similar por lo tanto
por lo que resulta la capacidad total como
Cuando existen tan soacutelo dos condensadores la foacutermula puede quedar expresada de la
siguiente manera
La capacidad resultante en todos los casos de condensadores en serie es un valor menor que la menor de las capacidades se se encuentran en la serie
CONDENSADORES EN PARALELO Los condensadores se encuentran conectados en paralelo cuando para ir del punto a al
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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b existen tantos caminos como condensadoresEn este caso son iguales todas las diferencias de potencial entre los
condensadores y el condensador equivalente por lo tanto
Pero la carga del condensador equivalente seraacute igual a la suma delas cargas de los condensadores en paralelo por lo que
por lo que y
simplificando el valor de V en todos los sumandos queda que
ENERGIacuteA DE UN CONDENSADOR
El aacuterea encerrada entre el graacutefico y
los ejes coordenados es el TrabajoY calculado dicha aacuterea tenemos que
como
Podemos cargar un condensador por medio de la transferencia de carga
de un conductor a otro En ese procesose aumenta el potencial de la cargatransferida por lo tanto se debe hacer
un trabajo para cargar un conductor o
condensador
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
anteriormente esta es la energiacutea en la
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Este trabajo da lugar a un almacenamiento de energiacutea Analizaremos el proceso
de carga de un condensador de laacuteminas planas paralelas Supongamos queescogemos el potencial de placa negativa como 0
1Al comenzar el proceso de carga ninguna de las placas tiene carga y
en consecuencia estaacuten al mismo potencial
2Cuando se transfiera una carga qo de una placa a la otra por el proceso
que sea surge una diferencia de potencial entre ellas siendo C lacapacidad Tendremos pues una carga - qo en la placa negativa escogida
como potencial 0 y el valor de +qo en la placa positiva a potencial Vo
3Parece loacutegico que el trabajo necesario para realizar este proceso sea el producto de la carga qo por la energiacutea potencial por unidad de cargo Vo
4El valor medio de la energiacutea de potencial durante el proceso seraacute
y el trabajo necesario seraacute
Capacidad (Ejercicios) Teoriacutea Problemas
Ejercicio PCE-1 Calcular la capacidad de un condensador plano sabiendo que las
armaduras tienen una dimensioacuten de 15 cm de largo por 10 cm de ancho y se encuentran
separadas entre siacute en el vaciacuteo por una distancia de 2 mm
Resolucioacuten Conocemos que la capacidad de un condensador plano depende en forma
directa de la superficie de sus armaduras y en forma inversa de la distancia entre las mismas
por lo tanto su capacidad seraacute
Respuesta
La capacidad del condensador plano es de 664 10-11 Faradios
Ejercicio PCE-2 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a unaserie por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
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Respuesta
La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en serie propuesta esde 171 micro F
Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
verifica el valor calculado
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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Ejercicio PCE-3 Calcular la capacidad
equivalente a la siguiente configuracioacuten de
condensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=3micro F C 2=6 micro F y
C 3=12micro F
Resolucioacuten La configuracioacuten de condensadores que debemos resolver corresponde a un
paralelo por lo que su capacidad equivalente es
por lo tanto la capacidad resultante es
Respuesta La capacidad equivalente a la configuracioacuten de condensadores en paralelo
propuesta es de 21 micro F
Ejercicio PCE-4 Calcular la capacidad
equivalente de la siguiente configuracioacuten decondensadores Sabiendo que sus
capacidades son C 1=10micro F C 2=10micro F
C 3=20micro F C 4 =20micro F y C 5=5micro F
Resolucioacuten Cuando se plantean ejercicios combinados de condensadores en diferentesconfiguraciones es decir serie y paralelo se debe resolver por partes de acuerdo a como se
encuentra configurada cada una de las mismas En general resulta adecuado hacer esquemasgraacuteficos que nos muestren como es el desarrollo de la solucioacuten del ejercicio planteado
Podemos ver en el problema propuesto que los condensadores C1
y C2 se encuentran ambos conectados entre siacute en serie al igual que
los condensadores C3 y C4 Por lo tanto podremos calcular lascapacidades equivalentes a cada una de estas series
Es decir la capacidad C1-2 que es la equivalente a la serie C1 y C2 y la
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capacidad C3-4 que es la equivalente a la serie C3 y C4
Posteriormente observamos que los condensadores equivalentes a las serie calculadosforman una configuracioacuten en paralelo por lo que su capacidad seraacute la equivalente a dicha
configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
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diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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configuracioacuten es decir
Y la resolucioacuten de la capacidad equivalente total se obtiene resolviendo la serie compuesta por el condensador equivalente C1-2-3-4 y el C5 por lo que el resultado final seraacute
Respuesta
La capacidad equivalente del conjunto de condensadores es 375 micro F
Ejercicio PCE-5 Hallar la energiacutea almacenada en un condensador de 20 micro micro F cuando
se carga hasta 5 micro C iquestCuanta energiacutea adicional se requeriraacute para aumentar la carga
desde 5 micro C hasta 10micro C
Resolucioacuten Sabemos que la energiacutea de un condensador depende de la carga almacenada y
de la capacidad del mismo y se encuentra relacionada con la expresioacuten
donde los valores de la carga y capacidad fueron introducidos con sus valores expresados enunidades del SI es decir los micro micro Faradios en Faradios (factor de conversioacuten 10-12) y
la carga de micro Coulombs a Coulombs (factor de conversioacuten 10-6)
Para aumentar la carga debemos seguir suministrando energiacutea y el valor
solicitado lo podemos calcular sabiendo el potencial de la carga transferida en cada situacioacuteny teniendo en cuanta que la energiacutea estaacute vinculada a dicho potencial tendremos
y por este procedimiento podemos calcular la energiacutea almacenada en ambas situaciones y
calcular la diferencia ademaacutes de verificar el resultado calculado en la primera parte del
ejercicio
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anteriormente esta es la energiacutea en la
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diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
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segunda situacioacuten propuesta por lo que la
diferencia de energiacutea es E2-E1=25 J - 0625 J= 1875 J
Este caacutelculo de variacioacuten de energiacutea se podriacutea haber calculado usando propiedades de
la graacutefica de V= f (q) como veremos Dado
que el aacuterea encerrada por la graacutefica nos indicael valor de la energiacutea bastariacutea con calcular el
aacuterea encerrada entre los valores de carga y
potencial ya obtenidos
Por lo tanto el caacutelculo nos dariacutea
Respuesta
La energiacutea almacenada en el condensador cuando se carga hasta 5 micro C es 01 JLa energiacutea adicional que requeriraacute para aumentar la carga desde 5 hasta 10 micro C es1875 J
