Ejercicio de aplicación regla de cramer

Determinantes – Regla de Cramer Profesor: Rafael Cortina Rodríguez

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Ingeniero Industrial – Docente de Matemáticas

El siguiente ejercicio se presenta como una guía para resolver problemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, bajo el concepto de la Regla de Cramer. EJERCICIO: Una empresa tiene una orden de producción en la que tiene que fabricar 45 artículos de tres clases diferentes. Los costos de materiales para esa orden de producción suman $ 145 y se discriminan así: Cada artículo tipo A consume $ 1 en materiales, cada artículo tipo B consume $ 5 en materiales y cada artículo tipo C consume $ 3 en materiales. Por otra parte, los costos por mano de obra suman $ 140 y se discriminan así: Cada artículo tipo A cuesta $ 3, cada artículo tipo B cuesta $ 2 y cada artículo C cuesta $ 4. Hallar las cantidades de cada producto que pueden fabricar bajo estas condiciones. RESPUESTA: Lo primero que se hace es identificar las posibles variables que se encuentren en el ejercicio. Como se habla de tres clases de productos diferentes, se puede decir que hay tres variables. Ya que al final están preguntando por las cantidades de producto, entonces se podría decir que:

Se sabe que el número total de unidades que se deben producir es 45; siendo así, la primera ecuación que resulta es:

Por otra parte, se hace referencia a los costos de materiales y a los costos de mano de obra. De ahí salen dos ecuaciones más.


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Por los costos de materiales: Se sabe que una unidad tipo A consume $ 1 en materiales, por lo tanto el costo total de materiales para producir todas las unidades de tipo A se obtiene multiplicando $ 1 por el número de unidades de tipo A; o sea, Se sabe que una unidad tipo B consume $ 5 en materiales, por lo tanto el costo total de materiales para producir todas las unidades de tipo B se obtiene multiplicando $ 5 por el número de unidades de tipo B; o sea, Se sabe que una unidad tipo C consume $ 3 en materiales, por lo tanto el costo total de materiales para producir todas las unidades de tipo C se obtiene multiplicando $ 3 por el número de unidades de tipo C; o sea, Si se suma todos estos valores se obtendría el valor total de los costos de materiales que se generan al producir los tres productos diferentes, igual a

Es decir: Por los costos de mano de obra: Se sabe que al producir una unidad de tipo A se generan gastos por mano de obra equivalentes a $ 3, por lo tanto, para conocer el total de costos por mano de obra que se generan al producir la totalidad de unidades de tipo A solo se necesita multiplicar . Se sabe que al producir una unidad de tipo B se generan gastos por mano de obra equivalentes a $ 2, por lo tanto, para conocer el total de costos por mano de obra que se generan al producir la totalidad de unidades de tipo B solo se necesita multiplicar .


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Se sabe que al producir una unidad de tipo C se generan gastos por mano de obra equivalentes a $ 4, por lo tanto, para conocer el total de costos por mano de obra que se generan al producir la totalidad de unidades de tipo C solo se necesita multiplicar . Si se suma todos estos valores se obtendría el valor total de los costos de mano de obra que se generan al producir los tres productos diferentes, igual a

Es decir: De esta manera se ha creado un sistema de ecuaciones 3 x 3; es decir, tres ecuaciones y tres incógnitas.

Luego de que se ha establecido el sistema de ecuaciones, este se puede resolver por medio de la Regla de Cramer. Consiste en la resolución del sistema de ecuaciones utilizando el concepto de matrices, creando determinantes para el sistema de ecuaciones y para cada una de las variables de las cuales se está buscando su valor. El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por | | (Las barras no significan valor absoluto). El determinante se resuelve de la siguiente manera: Para el sistema de ecuaciones: Se construye una matriz con los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones.


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|

| ; Entonces el determinante del sistema quedaría así:

Para resolver el determinante se le agregan las dos primeras columnas de la matriz, al lado derecho. También se puede agregar las dos primeras filas de la matriz, en la parte inferior.

|

|

También puede quedar así:

||

||

Para el determinante de X: Se coloca una matriz en la que se reemplaza la primera columna, que contenía todos los coeficientes de la variable x por otra columna que contiene los resultados de cada ecuación.

|

| Estaba así. Ahora va a quedar así:

|

|Por lo tanto, el determinante quedará así:

𝑠 −

𝑠 9 − 6

𝑠 −

𝑠 6

𝑠 −

𝑠 9 − 6

𝑠 −

𝑠 6


5


|

|

Para el determinante de Y:

Se coloca una matriz en la que se reemplaza la segunda columna, que contenía todos los coeficientes de la variable Y por otra columna que contiene los resultados de cada ecuación.

|


|

| Por lo tanto, el determinante quedará así:

|

|

𝑥 −

𝑥 9 9 − 7 7 8

𝑥 6 −

𝑥 6

𝑦 −

𝑦 8 − 8

𝑦 −

𝑦 9


6


Para el determinante de Z:

Se coloca una matriz en la que se reemplaza la tercera columna, que contenía todos los coeficientes de la variable Z por otra columna que contiene los resultados de cada ecuación.

|


|

| Por lo tanto, el determinante quedará así:

|

|

Finalmente, para hallar los valores de las variables e , se dividen los

valores de los determinantes de las variables entre el determinante del sistema.

6 9

𝑧 −

𝑧 7 9 − 67 9

𝑧 −

𝑧


7


6

6

9

6

6

Este procedimiento que se acaba de poner en práctica, quiere decir que:

Se pueden producir 10 unidades de producto tipo A, 15 unidades

de producto tipo B y 20 unidades de producto tipo C.

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