Ejercicio de Dominios de Deformacion

E.U.I.T. OBRAS PBLICAS MADRID CTEDRA DE CONSTRUCCIN EJERCICIO DE DOMINIOS DE DEFORMACIN HORMIGN ARMADO

EJCL_DD_20112012.DOC noviembre 2011

La figura representa la seccin recta de una viga de hormign armado, que se encuentra

solicitada por un momento flector positivo Md= 180 mxkN. El hormign se ha tipificado como HA-

30/P/15/I, mientras que el acero ser B-400 S.

Suponiendo que el canto til sea 5 cm menor que el canto total, determine, utilizando el diagrama

rectangular tensiones-deformaciones para el hormign:

1. La profundidad (x, en m) del bloque de compresiones en el hormign.

2. El alargamiento unitario de las armaduras, expresado en tanto por mil.

3. El dominio de deformacin en que se encuentra la seccin.

4. La compresin total ejercida sobre el hormign, expresada en kN

5. El rea de acero (en cm2) que precisa la seccin.

0,30

0,400,35

SECCION


EJCL_DD_20112012.DOC(solucin) 1 de 4 noviembre 2011

SOLUCIN

Antes de abordar los apartados propuestos, vamos a determinar los valores de clculo de las

caractersticas de materiales:

Hormign: 22ck,c

ccd,cmkN20000

mmN20

5,1301

ff ===

=

Acero (traccin): 22s

k,yd,y

cmkN78,34

mmN8,347

15,1400ff ===

=

Acero (compresin): 222s

k,yd,yc

cmkN78,34

mmN400

mmN8,347

15,1400ff ==

=

Los diagramas tensin-deformacin (con valores de clculo) para los materiales, teniendo en

cuenta que el hormign presenta una fck 50 N/mm2 son:

10

fyd

3,5

fcd

fy fcDIAGRAMAS TENSION-DEFORMACION

ACERO HORMIGONey

es ec

Determinamos la deformacin unitaria correspondiente al lmite de proporcionalidad del acero

traccionado (y):

74,100174,0200000

8,347Ef

s

d,yy ====

Por tanto, siempre que la deformacin unitaria del acero alcance un valor mayor o igual que el

1,74 la armadura de traccin estar trabajando a su mxima tensin (fyd).



Partiremos de la hiptesis de que la recta de deformaciones de la seccin, para el momento

solicitante (Md), se encuentra en el dominio 3. Este dominio se caracteriza porque la fibra ms

comprimida del hormign ha alcanzado su alargamiento unitario ltimo (cu=3,5), y el

alargamiento de la armadura de traccin est entre el valor lmite de proporcionalidad tensin-

deformacin (y), y el alargamiento mximo permitido (su=10). Referimos la posicin de la fibra

neutra al borde ms comprimido del hormign, que en este caso es el superior, mediante la

variable x.

3,5

101,74

f.n. x

d-x

DEFORMACIONES

Md

Dom. 3ec

ey es

Para la recta de deformacin supuesta, los diagramas de tensiones sobre la seccin sern:

0,8xfcd

Asfyd

TENSIONES (A)

f.n.Md

compr.

tracc.f.n.

Asfyd

TENSIONES (B)

0,30

0,40

fcd0,8x

d

donde las compresiones se representan en color magenta y las tracciones en rojo-ocre.



A continuacin planteamos las ecuaciones de equilibrio de la seccin:

Equilibrio de fuerzas horizontales (axiles sobre la seccin): La fuerza horizontal externa que acta sobre la seccin ha de ser igual que la diferencia

entre las tracciones y las compresiones internas. Como no hay ninguna fuerza horizontal

externa (axil) actuando sobre la seccin porque estamos en una situacin de flexin simple

(suponiendo que el cortante en esta seccin no fuese nulo, en cuyo caso sera flexin

pura), la resultante de las tracciones deber tener el mismo valor que la de las

compresiones:

Resultante de las compresiones internas:

kNX4800X8,030,020000X8,0bfC cd ===

Resultante de las tracciones internas:

kNA78,34fAT syds == (con As en cm2)

Estableciendo el equilibrio:

2ss cm78,34X4800AA78,34X4800TCTC0 ====

Equilibrio de momentos: El momento externo que acta sobre la seccin (Md) ha de ser igual que el momento

producido por las fuerzas internas. En particular, tomando momentos respecto de la

posicin que ocupa el centro de gravedad de las armaduras traccionadas tendremos que el

momento externo deber ser igual al producto de la compresin resultante por la distancia

existente entre su punto de aplicacin y el citado centro de gravedad, ya que las tracciones

internas no producen momento la estar localizadas en el propio centro de gravedad.

( )X4,035,0X48001802

X8,0dCMd =

=

ya que el enunciado nos indica que:

m35,005,040,0d ==

Desarrollando:

0180X1680X1920X1920X1680180 22 =+=



Las soluciones de esta ecuacin son:

m125,0Xm75,0X 21 ==

Descartamos la primera porque supondra que la fibra neutra estara fuera de la seccin (el

resultado supera el valor del canto total de la seccin) y sabemos que en flexin simple

tiene que estar dentro, as que la nica solucin vlida es:

m125,0X = (respuesta al primer apartado)

Verificamos la validez de la hiptesis que hicimos sobre la situacin en el dominio 3,

calculando la deformacin del acero y comprobando que se encuentra entre la

correspondiente al lmite de proporcionalidad (obtuvimos el 1,74) y la mxima permitida

(10). Para ello, en la figura correspondiente a las deformaciones establecemos la

siguiente proporcionalidad:

3,65,3125,0

125,035,05,3X

XdXdX

5,3s

s=

=

=

=

CUMPLE

Por tanto, la respuesta al segundo apartado es que la armadura de traccin presenta un

alargamiento unitario del 6,3

Como la hiptesis de partida es vlida, la seccin se encuentra en el Dominio 3 (respuesta

al tercer apartado).

La compresin total sobre el hormign ser:

kN600125,04800X4800C === (respuesta al cuarto apartado)

El rea de acero necesaria para resistir las tracciones originadas por el momento actuante

ser, segn se obtuvo del equilibrio de fuerzas horizontales:

2s cm25,1778,34125,04800A == (respuesta al quinto apartado)

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