I. Una mezcla químicamente es almacenada en recipiente esférico de pared delgado de radio ri=200mm, y la velocidad volumétrica de calor generado por la reacción exotérmica a una temperatura uniforme dependiente del volumen es de =q� q� o exp(-A/T), donde q�o=500W/m3

A=75K, y To es la temperatura de la mezcla en grados Kelvin. El recipiente es esta cubierto por un material aislante de radio externo r2, conductividad térmica k1 y emisividad ε. La superficie externa del aislante experimenta transferencia de calor por convección e intercambio de radiación neta con el aire adyacente y alrededores, respectivamente.

A) Escribir la ecuación de difusión de calor en estado estacionario para el aislante. Verificar que esta ecuación es satisfecha por la distribución de temperatura:

T (r )=T s ,1−(T¿¿ s ,1−T s , 2)[ 1−( r1

r )1−( r1

r2) ]¿

Esquematizar la distribución de temperatura, T(r) en coordenadas apropiadas.

SOLUCIÓN:

Como la reacción química es exotérmica, y la esfera está cubierta de aislante cuya transmisión ase un intercambio con el aire del medio ambiente y es grande la radiación.

Verificando la distribución de temperatura prescrito para el aislante si la ecuación satisface para la distribución de temperatura.

Empleando la ecuación de difusión de calor.

1

r2

ddr (r2 dT

dr )=0……… I

La distribución de temperatura se da como:

Aislante

Reacción química

T (r )=T s ,1−(T¿¿ s ,1−T s , 2)[ 1−( r1

r )1−( r1

r2) ]……… II ¿

Derivando la ecuación de distribución de temperatura.

dT (r )dr

=0−(T¿¿ s ,1−T s , 2)[ 0+( r1

r2 )1−( r1

r2) ]………… III ¿

Remplazando la ecuación III en I (ecuación de difusión de calor) se tiene.

1

r2

ddr

¿

1

r2

ddr

¿

Como r es independiente satisface a la ecuación de difusión de calor, la distribución de temperatura en el aislamiento y sus rasgos importantes son como sigue:

Ts,1 > Ts,2

La pendiente decreciente con el radio creciente r, desde que el aislamiento a terminado el calor es constante.

B) Aplicar la ley de Fourier, y demostrar que la velocidad de transferencia de calor por conducción a través del aislamiento puede ser expresado por:

qr=4 πk(T¿¿ s ,1−T s , 2)

( 1r1

)−( 1r2

)¿

Aplicando un balance de energía a una superficie de control alrededor del recipiente, obtener una expresión alternativa qr, expresar los resultados en términos de y rq� 1.

SOLUCIÓN.

Empleando la ley de Fourier para la coordenada radial-esférica, el calor a través del aislamiento es.

qr=−k A rdTdr

=−k ( 4 π r2 ) dTdr

………V

Sustituyendo la ecuación II (distribución de temperatura) en V (ley de Fourier) se tiene

qr=−k 4 π r2 ¿

qr=4 πk(T ¿¿ s ,1−T s , 2)

( 1r1

)−( 1r2

)…… ..VI ¿

Aplicando equilibrio de energía en la superficie donde r=r1.

E interior-E fuera=0

Donde él representa el calor generado en el recipiente,

qr=( 43 )π r1

3 q………VII

C) Aplicando un balance de energía a una superficie de control ubicado en la superficie exterior del aislante, obtener una expresión a partir del cual Ts,2 pueda ser determinado como una función de , rq� 1, h, T∞, ε y Tsur.

SOLUCIÓN.

Aplicando balance de energía

E interior-E fuera=0

qr−qconv−qrad=0

qr−h A s (T s ,2−T ∞ )−ε A s σ (T4s ,2−T 4

sur )=0………VIII

Donde

A s=4 π r22 ………… IX

Estas relaciones pueden usarse para determinar Ts,2 por lo que se refiere a las variables , rq� 1, h, T∞, ε y Tsur.

D) El ingeniero de procesos desea mantener un temperatura del reactor de To=T(r1)=95ºC sobre adicionales para los cuales: k=0.05W/m.K, r2=208mm, h=5W/m2. K, T∞=25ºC, ε =0.9, y Tsur=35ºC. ¿Cuál es la temperatura actual del resorte y la temperatura de la superficie exterior del aislante Ts,2?

SOLUCIÓN.

Datos del sistema del reactor que opera bajo las condiciones siguientes:

El

calor generado de la reacción exotérmica mantiene una proporción de generación de calor volumétrica,

q=qo exp(−AT o

)……… X

El sistema siguiente de ecuaciones determinará las condiciones que opera para el reactor (to=Ts,1).

Remplazando los datos en la ecuación de conducción de aislamiento (VI) se obtiene:

qr=4 πk(T¿¿ s ,1−T s , 2)

( 1r1

)−( 1r2

)=4 π 0.05W

m .K(T ¿¿ s ,1−T s ,2)

( 10.2m )−( 1

0.208m )………. XI ¿¿

Remplazando en la ecuación (VII) y (X) donde genero el calor en el reactor se tiene.

qr=( 43 )π r1

3 q=( 43 ) π 0.23m3 q………. XII

q=qo exp(−AT o

)=5000W

m3 exp(−75 KT s ,1

)…… .. XIII

En las ecuaciones (VIII) y (IX) se tiene en el equilibrio de energía en el aislamiento

qr−5W

m2 . KA s (T s ,2−298 K )−0.9 A s

5.67∗10−8 Wm2 . K4 (T4

s ,2− (308 K )4 )=0…… .. XIV

A s=4 π (0.208m )2 ………………… XV

Resolviendo las ecuaciones XI, XII, XIII y XIV de manera simultánea se obtiene el resultado.

T s ,1=94.3 ºC T s ,2=52.5 ºC Rta .

E) Calcula y grafica la variación de Ts,2 con r2 para 201 ≤ r2 ≤ 210mm. El ingeniero desea prevenir algún accidente por contacto del personal con la superficie. ¿Es necesario

aumentar el espesor del aislante para una solución práctica manteniendo Ts,2 ≤ 45ºC ¿Qué otro parámetro debe ser variado para reducir Ts,2?.

SOLUCIÓN.

En la ecuación VIII y XII, XIII remplazando en XII y XV en VIII se tiene.

( 43 )π r1

3 q−h A s (T s , 2−T ∞ )−ε A s σ (T 4s ,2−T 4

sur )=0=f (T s , 2) …… XVI

Es una ecuación no lineal esta a función de temperatura. Se sabe que el interior del reactor esta a Ts,1= 94.3ºC=367.3K y r1=0.2m, nos pide al intervalo de 201 ≤ r2 ≤ 210mm, los resultados se muestran en la siguiente tabla.

r2/m T/K T/ºC (r2-r1)m0.201 326.9861 53.9861 0.0010.202 326.767 53.767 0.0020.203 326.5509 53.5509 0.0030.204 326.3377 53.3377 0.0040.205 326.1274 53.1274 0.0050.206 325.9199 52.9199 0.0060.207 325.7151 52.7151 0.0070.208 325.5131 52.5131 0.0080.209 325.3138 52.3138 0.009

0.21 325.1171 52.1171 0.01

Graficando se tiene :

II. La sección de un evaporador de unidad de refrigeración consiste de tubos de 10mm de diámetro de pared delgada, a través de los cuales pasa el refrigerante a -18ºC. el aire es enfriado a medida que fluye sobre los tubos, manteniendo un coeficiente por convección en la superficie de 100W/m2.K y subsecuentemente forzado al comportamiento del refrigerador.

a) Para las condiciones anteriores y una temperatura del aire de -3ºC, ¿Cuál es la velocidad al cual el calor es extraída desde el aire por unidad de longitud de tubería?

SOLUCIÓN.

La Proporción de extracto de calor sin la formación de escarcha, esquematizando se tiene.

La capacidad refrescante en la condición descongelada (δ = 0) corresponde a la proporción de calor extracto de la corriente de aire. Para el refrigerante que fluya (T∞,i = Ts,1).

q=h2π (T ∞. o−T s , 1) ………. I

q=100W

m2∗2π∗0.005m∗(−3+18 ) ºC= 47.1W

mRta .

b) Si la unidad de descongelación funcional mal, lentamente se acumula escarcha sobre la superficie externa del tubo. Evalué la formación de la escarcha sobre la capacidad de enfriamiento del tubo para espesores de la capa de escarcha en el rango de 0<δ<4mm. Se supone que la escarcha tiene una conductividad térmica de 0.4W/m. K.

SOLUCIÓN.

Con la capa de escarcha, hay un adicional (la conducción) la resistencia para calentar el traslado, y el extracto la proporción es.

q=(T ∞.o−T s ,1 )

´R conv+ ´Rcond

=( T∞. o−T s , 1)1

h2π r2

+ln (r2/r1 )

2 πk

……… .. II

Igualando I y II se tiene. Para 5 ≤ r2 ≤ 9 mm y k = 0.4 W/m. K, esta expresión rinde

(T ∞. o−T s ,1 )

1h2 π r2

+ln( r2

r1)

2 πk

=h2π (T ∞. o−T s ,1 )

k=

−ln ( r2/r1 )2π

1h2π ( 1

r2

−1)……… III

El extracto de calor, y de la actuación del rollo del evaporador, las disminuciones con la escarcha creciente, la capa gruesa a un aumento en la resistencia total para calentar el traslado. Aunque la transmisión la resistencia disminuye con δ, la reducción se excede por el aumento en la resistencia de conducción.

c) Se desconecta el refrigerador después de que falla la unidad de descongelamiento y de que se ha formado una capa de escarcha de 2mm de espesor. Si los tubos están en un ambiente a 20ºC y una convección natural mantiene un coeficiente de convección de 2W/m2. K. ¿Cuánto tiempo tardara la escarcha en derretirse? Suponer que la escarcha tiene una densidad de 700Kg/m3 y una entalpia de fusión de 334KJ/Kg.

SOLUCIÓN.

La capa de escarcha espesa se puede determinarse aplicando balance de energía.

El radio del tubo (r1) excede al radio critico (rcr), rcr = k/h = 0.4 W/m· K/100 W/m2·K = 0.004, en cualquier caso la formación de escarcha reducirá la actuación de rollo.

III. Vapor que fluye a través de un tubo largo de pared delgada mantiene la pared del tubo a temperatura constante de 500K. el tubo está cubierto con una capa de aislante compuesta de dos materiales diferentes A y B. se supone que la interface entre los dos materiales tiene una resistencia de contacto infinita, y que toda la superficie externa está expuesta al aire, para el cual T∞=300K y h=25W/m2. K.

a) Haga un esquema del circuito térmico del sistema. Usando los símbolos de la grafica marque todo los nodos y resistencias.

SOLUCIÓN.

La temperatura comprendida entre las dos superficies semicilíndricas de diferentes aislamientos a condiciones de medio ambiente. El circuito termal es equivalente.

La resistencia entre los dos materiales del circuito termal es:

b) Para las condiciones prescritas ¿Cuál es la pérdida total de calor desde la tubería? ¿Cuáles son las temperaturas de las superficies externas de cada material Ts2(A) y T s2 (B)?

SOLUCIÓN.

Evaluando las resistencias termales y la proporción de calor.

Las temperaturas son:

La pérdida de calor total también puede comprobarse de:

Donde

IV. Considere dos varillas delgadas largas del mismo diámetro pero de diferentes materiales. Un extremo de cada varilla se une a unas superficies base que se mantiene a 100 ºC, mientras que las superficies de las varillas se exponen al aire ambiental a 20 ºC. Al recorrer la longitud de casa varilla con un termopar, se observa que las temperaturas de las varillas eran iguales en las posiciones X A=0.15m y XB=0.075, donde X se mide desde la superficie de la base. Si se sabe que la conductividad térmica de la varilla A es

K A=70W

m∗k, determinar la conductividad térmica del material B.

SOLUCION:

Graficando:

Asumiendo:

1. Estado estacionario.2. Uniformidad en el coeficiente de transferencia.3. Propiedades constantes.

Analizando:

La distribución en el infinito está dado:

θθb

=T ( x )−T x

T 0−T x

=e−mx m=[ hpk AC ]

1 /2

(1,2)

En la precisión dos, X A y X B ,se observa que:

T A ( x A )=T B ( x B ) oθA ( x A )=θB ( x B ) . (3 )

θb es identicoa Eq . (1 ) que laecuacion de equilibreio (3 )requiereque :

mA x A=mB x B

Sustituimos por m en la ecuación (2).

[ hpk AC ]

1 /2

x A=[ hpk B Ac ]

1/2

xB .

Recordando que h , P y Ac

k B=[ xB

x A ]2

k A

k B=[0.075m0.15m ]

2

x 70W

m∗K=17.5

Wm∗K

V. A menudo se forma pasajes de aletas entre las placas paralelas para reforzar la transferencia de calor por convección en núcleos compactos de intercambiadores de calor. Una aplicación importante es el enfriamiento de un equipo eléctrico, donde una o más pilas enfriadas por aire se congelan entre componentes eléctricos que disipan calor. Considere una sola pila de aletas rectangulares de longitud L y espesor t, en condiciones de convección que correspondan a h y T∞.

a) Obtenga expresiones para transferencia de calor de las aletas, qf y qf, L en términos de las temperaturas, To y TL.

SOLUCIÓN.

La resistencia termal de la serie de las aletas rectangulares.

Considerado una media sección de la serie, el coeficiente de la transmisión Uniforme.

Rt ,o=(η0 h A t )−1… ………… .. I

Donde At=NAf +Ab. Con S=4mm y t=1mm, sigue N=W1/S=250, Af=2(L/2)W2=0.008m2, Ab=W2(W1-Nt)=0.75m2, y At=2.75m2. La eficiencia del ciclo global es.

η0=1−NAf

A t(1−η f ) …………… II

Donde la eficacia de la aleta es.

η f=tanhm( L

2 )m( L

2 )…………III

m=( hPkAc

)12=[ h (2t+2W 2 )

kt W 2]

12=( 2h

kt )12=38.7m−1…… .. IV

Con m (L/2) = 0.151, con ηf=0.992 y ηo=0.994, remplazando en ecuación I se tiene.

Rt ,o=( 0.994∗150Wm2 .K

∗275m2)−1

=2.44∗10−3 KW

Rta

b) Una aplicación específica, una pila de 200mm de ancho y 100mm de profundidad contiene 50 aletas, cada una longitud L=12mm. La pila completa está fabricada de aluminio que tiene un espesor uniforme de 1mm. Si las limitaciones de temperatura asociada con los componentes eléctricos unidos a placas opuestas indican que las temperaturas máximas de placas permisibles de To=400K y TL=350K ¿Cuáles son las disipaciones máximas de potencia si h=150W/m2. K y T∞=300K?

Donde las condiciones t ≥ 0.5m y (S - t) > 2mm. Repitiendo los cálculos anteriores para los valores del representante de t y (S - t) se obtiene como se muestra a continuación en la siguiente tabla.

Nota la resistencia termal global para él la serie de la aleta entera (la cima y fondo) es R t,o/2 = 1.22 * 10-2 K/W.

VI. Una barra larga de sección transversal rectangular de 0.4 × 0.6 m en un lado ,que tiene una conductividad térmica de 1.5 W/m.K, está sujeta a las condiciones que se muestran en la figura .dos de los lados se mantienen a una temperatura uniforme de 200ºC.uno de los lados es adiabático y el último lado está sujeto a convección con T∞=30ºC y h=50W/m2.K empleando diferencias finitas con una malla de 0.1 m,determine la distribución de temperatura en la barra y la transferencia de calor entre la barra y el fluido por unidad de longitud de barra.

Solución:

h∆ XK

=50

w

m2 Kx 0,1m

1,5W

m2 K

=3,333

Nodo ecuaciones dif.finitas.

1. −4T1+2T2+2T 4=0

Tº uniforme

T=200ºc

Superficie aislada

Tº uniforme

T=200ºc

T ∞ , h

2. −4T2+T 1+T3+2T5=0

3. −4T3+200+2T 6+T 2=0

4. −4T 4+T1+2T5+T 7=0

5. −4T5+T 2+T6+T 8+T 4=0

6. −4T6+T 5+T 3+200+T9=0

7. −4T7+T 4+2T 8+T10=0

8. −4T8+T 7+T 5+T 9+T 11=0

9. −4T 9+T 8+T 6+200+T 12=0

10. −4T10+T 7+2T 11+T 13=0

11. −4T11+T10+T 8+T12+T14=0

12. −4T12+T 11+T 9+200+T15=0

13. 2T10+T 14+6,666 x30−30T13=0

14. 2T11+T13+T15+6,66 x 30−2 (3,333+2 )T 14=0

15. 2T12+T 14+200+6,666 x10−30−2 (3,333+2 )T 15=0

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15-4 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 -4 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 -4 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2001 0 0 -4 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -2000 0 0 1 0 0 -4 2 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 -2000 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 2 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -4 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 0 0 1 -200 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 -11 2 0 -2000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 -11 1 -2000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 -11 -400

NºTEMPERATURA

1 153,92 159,73 176,44 1485 154,46 172,97 129,4

8 1379 160,7

10 95,611 103,512 132,813 45,814 48,715 67

qconv=2 ⌈ h∆ Y2

(T 13−T ∞ )+h .∆Y (T 14−T ∞ )+h .∆ Y (T 15−T ∞ )+h .∆Y

2(200−T ∞)⌉

qconv=2.h .∆Y ⌈ 12

(T 13−T∞ )+ (T14−T ∞ )+(T 15−T∞ )+ 12(200−T∞)⌉

qconv=2x 50W

m2 Kx 0,1m [ 1

2(45,8−30 )+( 48,7−30 )+ (67−30 )+ 1

2(200−30 )]

qconv=1487 w

m

VII. Se forma una capa de hielo en el parabrisas de 5 mm de espesor de un auto mientras se encuentra estacionado durante una noche fría en la que la temperatura ambiental es -20 ºC. Al arrancar, con un nuevo sistema predominante, la superficie interior se expone súbitamente a un flujo de aire a 30ºC. Suponga que el hielo se comporta como una capa aislante en la superficie externa, ¿Qué coeficiente interior de convección interior permitiría a la superficie exterior alcanzar 0ºC en 60 segundos?

Las propiedades termo físicas del parabrisas son: ρ=2200 Kg/m3; Cp=830 J/Kg.K ; k=20W/m.K

SOLUCION:

Conocida: el parabrisas del carro, inicialmente a una temperatura uniforme de -20 ºC, de repente expuesto en su superficie interior a la corriente de aire del sistema de descongelación a 30ºC. La capa de hielo en la superficie exterior actúa como una capa aislante.

Hallar: Qué coeficiente interior de convección interior permitiría a la superficie exterior alcanzar 0ºC en 60 segundos?

Esquema:

Capas de hielo de aislamiento parabrisas

T(x,0)=Ti=-20ºC

T(0,60s)=0ºC

T∞=30ºC,h

Flujo de aire

x L=5 mm

Suponiendo: 1). propiedades constantes -2).- conducción unidimensional, transitoria en el parabrisas – 3).-superficie exterior está perfectamente aislada

Propiedades: ρ=2200 Kg/m3; Cp=830 J/Kg.K ; k=20W/m.K

Análisis: para las condiciones previstas, de las ecuaciones 5.31 y 5,33

θ (0 ,60 s )θ 1

=θ 0θi

=T (0 ,60 s )−T ∞

Ti−T ∞=

(0−30 )℃(−20−30 )℃

=0,6

Fo=kt

ρcL 2=

1.2Wm

. K x 60

2200kgm3

x 830J

kgKx (0.005m )2

=1.58

El único plazo serie aproximación eq.5, 41, junto con la tabla 5.1, requiere una solución iterativa para encontrar un número apropiado de Biot. Alternativamente, las cartas de Heisler, Apéndice D, figura D.1, por la temperatura podría ser utilizada para encontrar

Bi−1= kh L

=2,5

h=1.2

WmK

2.5 x 0.005m=96

Wm 2K