NIVEL IDetermine lo siguiente:

a) Si n=4 y p=0.12, entonces ¿A qué es igual P(X=0)?

Notación:

P (X=x )=(nx ) px (1−p )n−x , para x=0,1,2…,n

P (X=0 )=(40)0,120 (1−0,12 ) 4−0 , para x=0

= 0,5997 = 60%

b) Si n=10 y p=0.40, entonces ¿A qué es igual P(X=9)?

Notación:

P (X=x )=(nx ) px (1−p )n−x , para x=0,1,2…,n

P (X=9 )=(100 9)0 ,409 (1−0 ,40 )10−9

= 0.0016 = 0.02%

Determine la media y desviación estándar de la variable aleatoria X en cada una de las siguientes distribuciones binomiales.

c) Si n=4 y p=0.40

Notación:

P (X=x )=(nx ) px (1−p )n−x , para x=0,1,2…,n

P(X=0) = 0.1296

P(X=1) = 0.3456

P(X=2) = 0.3456

P(X=3) = 0.1536

P(X=4) = 0.0256

MEDIA: μ=E(X)=n.p= 1.6

VARIANZA: σ2=Var(X)=n.p.q= 0.96

DESVIACION ESTANDAR: σ=DS(X)=0.98

d) Si n=5 y p=0.80

Notación:

P (X=x )=(nx ) px (1−p )n−x , para x=0,1,2…,n

P(X=0) = 0.0003P(X=1) = 0.0064P(X=2) = 0.0512P(X=3) = 0.2048P(X=4) = 0.4096P(X=5) = 0.3276

MEDIA: μ=E(X)=n.p= 4VARIANZA: σ2=Var(X)=n.p.q= 0.8DESVIACION ESTANDAR: σ=DS(X)=0.894

2.- En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de la caja, en promedio de 7 por hora. En una hora dada. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) no lleguen más de 3 clientes?

p(x<=3)= p(x=0)+ p(x=1) + p(x=2)+ p(x=3) = 0,00091 + 0,00638 + 0,02234 + 0,05212 = 0,00729

f(0;7)= e−7∗70

0 ! = 0,00091

f(1;7)= e−7∗71

1 ! = 0,00638

f(2;7)= e−7∗72

2 ! = 0,02234

f(3;7)= e−7∗73

3 ! = 0,05212

b) Lleguen al menos 2 clientes?P(X>=2)=1-p(x<=2-1)= p(x=0)+ p(x=1) = 0,00091 + 0,006 = 0,00729

f(2;7)= e−7∗70

0 ! = 0,00091

f(2;7)= e−7∗71

1 ! = 0,006

c) Lleguen exactamente 5 clientes?P(X=5)

f(5;7)= e−7∗75

5 ! = 0.127

NIVEL II1.- Se tiene en almacén 20 memorias para computadoras, tres de las cuales son defectuosas y no identificables a simple vista. Se seleccionan al azar cinco de estas memorias para ser instaladas en equipos de cómputo.

a. Determine la probabilidad de que no se seleccione memorias defectuosas.

N=20D= 3n = 5x = 0

P (X=0 )=(30)(20−3

5−0 )(20

5 ) = 0,39912

b. Determine la probabilidad de seleccionar todas las memorias defectuosas.

P (X=0 )=(30)(20−3

5−0 )(20

5 ) = 0,39912

P (X=1 )=(31)(20−3

5−1 )(20

5 ) = 0,4605

P (X=2 )=(32)(20−3

5−2 )(20

5 ) = 0,1315

P (X=3 )=(33)(20−3

5−3 )(20

5 ) = 0,0087

P(X) = 0,39912 + 0,4605 + 0,1315 + 0,0087 = 1,0

c. Calcule la probabilidad de seleccionar como máximo dos memorias defectuosas.

P( x )=C xDCn− x

N−D

CnN

C xn= n !x !(n−x ) !

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X≤ 2) = 0,39912 + 0,4605 + 0,1315 = 0,9912

2.- Un agente de seguros piensa que en un contacto concreto, la probabilidad de conseguir una venta es 0,4. Sea X la variable aleatoria que representa el número de ventas que consigue. Si tiene cinco contactos directos y para cada uno la probabilidad de conseguir una venta es 0,4.

Las probabilidades para el número de éxitos (ventas logradas) son

P(x=0) = 5! (0,4)0 (0,6)5 = (0,6)5 = 0,078 0! 5! P(x=1) = 5! (0,4)1 (0,6)4 = (5)(0,4)(0,6)4 = 0,259 1! 4! P(x=2) = 5! (0,4)2 (0,6)3 = (10)(0,4)2 (0,6)3 = 0,346

2! 3! P(x=3) = 5! (0,4)3 (0,6)2 = (10)(0,4)3 (0,6)2 = 0,230 3! 2! P(x=4) = 5! (0,4)4 (0,6)1 = (5)(0,4)4 (0,6) = 0,077 4! 1! P(x=5) = 5! (0,4)5 (0,6)0 = (0,4)5 = 0,01

5! 0!

a) Construya la función de la probabilidad.

Si n=4 y p=0.40

Notación:

P (X=x )=(nx ) px (1−p )n−x , para x=0,1,2…,n

P(X=x) = 5! (0.4)X (0.6)5-X para x = 0, 1,..., 5 X! (5-x)!

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de éxitos este entre 2 y cuatro (ambos inclusive)?P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) = 0,346 + 0,230 + 0,077 = 0,653

c) ¿Cuál es la probabilidad de al menos un éxito?P(x=0) + P(x=1) = 0,078 + 0,259 = 0,337

d) ¿Calcule la media, la varianza y la desviación estándar?

MEDIA: μ=E(X)=n.p= 2VARIANZA: σ2=Var(X)=n.p.q= 1.2DESVIACION ESTANDAR: σ=DS(X)=1.095

NIVEL IIILos mensajes que llegan a un computador utilizado como servidor lo hacen de acuerdo con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen como muchos 2 mensajes en una hora?b) ¿Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que llegue ningún

mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0.8?

Solución:

a) El entorno de estudio está expresado en horas, sabiendo que:· 1 hora = 60 minutos-Debemos adaptar nuestro parámetro promedio:..0.1..--- 1...λ....--- 60

Por lo tanto, el número medio de mensajes recibidos en la computadora es:

· λ = (60·0.1)/1 = 6

La probabilidad que debemos obtener es la siguiente:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Por lo tanto:

La probabilidad de que el ordenador reciba como máximo dos mensajes en una hora es de, aproximadamente,0.061969.

b) Deberemos obtener el tiempo en el que no llegue ningún mensaje a la computadora, teniendo en cuenta que dicha probabilidad es de 0.8.

P(X = 0) = 0.8

Sustituimos:

Empleamos las propiedades del logaritmo neperiano para despejar y resolver el parámetro promedio λ:

-λ = Ln(0.8)

Por lo tanto, el tiempo promedio es de, aproximadamente, λ ≈ 0.223144.

Lo pasamos a minutos:

......0.1........--- 10.223144...--- x

Por lo tanto, el tiempo en el que no llega ningún mensaje a la computadora teniendo en cuenta que la probabilidad para este hecho es de 0.8, es de, 0.223144/0.1 = 2.23144 minutos.