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Ejercicios de Dinamica
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1
MODELO DE EJERCICIO PARA EL PRIMER PARCIAL SOLUCIN
Ejercicio 1
El cuerpo 2 es un disco que rueda sin deslizar (Rodadura Pura) sobre una superficie curva fija que
tiene su centro de curvatura en O. El disco 2 tiene un Movimiento Plano General.
El cuerpo 3 es una barra que est conectada mediante el pasador B a la periferia del disco 2 y
mediante el pasador C a la periferia de la rueda dentada 4. El movimiento de esta barra es un
Movimiento Plano General.
El cuerpo 4 es una rueda dentada que se encuentra articulada a tierra mediante un pasador en su
centro, por lo tanto su movimiento es de Rotacin.
El cuerpo 5 es una cremallera la cual es accionada por la rueda dentada y se desplaza a lo largo de
una superficie recta inclinada y fija. Su movimiento es de Traslacin.
a) Grados de Libertad del Mecanismo
Par Inferior (RP) Par Inferior (Pasadores) Par Inferior (Contacto Superficial entre 5 y tierra)
GLM = 3(5 1) 2(6) 0
GLM = 0
Segn la ecuacin de Gruebler, este mecanismo no se mueve (GLM=0). Los mecanismos con ruedas dentadas no cumplen con el criterio de esta ecuacin y se conocen como Paradojas de Gruebler, es decir, sus eslabonamientos no se comportan como predice la ecuacin.
R21
R10
R10
60
A
5 C
4 2
3
33
B
O
2
b) Anlisis Vectorial de Velocidades y Aceleraciones
Anlisis de Velocidades (2 = + 3 k rad/s; porque su sentido es antihorario)
VB2 = 2 x rB/O12 = 3 k x (10 i + 17,32 j)
VB2 = 30 j 51,96 i
VB2 = VB3
VC3 = VB3 + VC3/B3
VC3 = VC4
VC4 = 4 x rC/O14 = 4 k x (10 i)
VC4 = 10 4 j
VC3/B3 = 3 x rC/B = 3 k x (25,71 i 17,32 j)
VC3/B3 = 25,713 j + 17,32 3 i
, y en
10 4 j = 30 j 51,96 i + 25,713 j +17,32 3 i
En i: 0 = 51,96 + 17,32 3 17,32 3 = 51,96
En j: 10 4 = 30 + 25,713 25,713 + 10 4 = 30
3 = 3 k rad/s
4 = 10,71 k rad/s
VP4 = 4 x rP/O14 = 10,71 k x (5,45 i 8,39 j)
VP4 = 58,37 j 89,86 i
VP4 = VP5
V5 = VP5
V5 = 58,37 j 89,86 i
3
Anlisis de Aceleraciones (2 = 2 k rad/s; porque el disco desacelera, es decir, la aceleracin
angular tiene sentido contrario a la velocidad angular 2)
AA2 = 2 x rA/O12 _ (VA)2 . rA/O (rA/O)2 AA2 = 2 k x (5 i + 8,66 j) _ (30)2 . (15,5 i + 26,85 j) (31)2
AA2 = 10 j + 17,32 i 14,52 i -25,15 j AA2 = 2,8 i 35,15 j
AB2 = AA2 + AtB2/A2 + AnB2/A2
AtB2/A2 = 2 x rB/A = 2 k x (5 i + 8,66 j)
AtB2/A2 = 10 j + 17,32 i
AnB2/A2 = (2)2 . rB/A = (3)2 . (5 i + 8,66 j)
AnB2/A2 = 45 i 77,94 j
, y en
AB2 = 2,8 i 35,15 j 10 j + 17,32 i 45 i 77,94 j
AB2 = 24,88 i 123,09 j
AB2 = AB3
AC3 = AB3 + AtC3/B3 + AnC3/B3
AC3= AC4
AC4 = 4 x rC/O14 (4)2 . rC/O14 = 4 k x ( 10 i) (10,71)2 . ( 10 i)
AC4 = 10 4 j + 1147,04 i
AtC3/B3 = 3 x rC/B = 3 k x (25,71 i 17,32 j)
AtC3/B3 = 25,713 j +17,32 3 i
AnC3/B3 = (3)2 . rC/B = (3)2 . (25,71 i 17,32 j)
AnC3/B3 = 231,39 i + 155,88 j
4
, , y en
10 4 j + 1147,04 i = 24,88 i 123,09 j25,713 j + 17,32 3 i 231,39 i + 155,88 j
En i: 1147,04 = 24,88 + 17,32 3 231,39 17,32 3 = 1403,31
En j: 10 4 = 123,09 + 25,713 + 155,88 25,713 + 10 4 = 32,79
3 = 81,02 k rad/s2
4 = 211,59 k rad/s2
AtP4 = 4 x rP/O14 = 211,59 k x (5,45 i 8,39 j)
AtP4 = 1153,17 j 1775,24 i
AtP4 = AtP5
A5 = AtP5
A5 = 1153,17 j 1775,24 i
GEOMETRA
R21
R10
R10
60
A
5 C
4 2
3
33
B
O
O12 O14
P
rB/O12 rC/B
rC/O14 rP/O14
33
60
5
rB/O12 = 20.cos 60 i + 20.sen 60 j = 10 i + 17,32 j
rC/B :
O12 B Q
BQ = 20.sen 60 = 17,32 cm
QO12 = 20.cos 60 = 10 cm
Q B C
QC2 = 312 17,322
QC= 25,71 cm
CO12 = QO12 + QC = 35,71 cm
sen = 17,32 / 31
= 33,97
rC/B= 25,71 i - 17,32 j
rC/O14 = 10 i
rP/O14 = 10.sen 33 i 10.cos 33 j = 5,45 i 8,39 j
rA/O12 = 10.cos 60 i + 10.sen 60 j = 5 i + 8,66 j
rA/O = 31.cos 60 i + 31.sen 60 j = 15,5 i + 26,85 j
rB/A = 10.cos 60 i + 10.sen 60 j = 5 i + 8,66 j
R21
60
A
C
20
B
O
O12
31
Q
60
R21
R10
60
A 2
O
O12
rA/O12
rB/A
B
R21
R10
60
A 2
O
O12
rA/O
B
6
c) Anlisis de Velocidades por CIR. Mtodo Eslabn-Eslabn
Ubicacin de O13, O24, O25 y O35
Los CIR por simple inspeccin son: O12, O14, O15, O23, O34 y O45. Estos CIR estn representados en
el crculo de control por lneas continuas.
CRCULO DE CONTROL
O13: (O12 O23) y (O14 O34)
O24: (O12 O14) y (O23 O34)
O25: (O12 O15) y (O24 O45)
O35: (O13 O15) y (O34 O45)
1
2
3 4
5
R21
R10
R10
60
A
5 C
4 2
3
33
B
O
O12 O14
P 33
60
O15
= O45
= O23
O34 =
7
Mtodo Eslabn-Eslabn
Para aplicar este mtodo es necesario ubicar los CIR absolutos de todos los cuerpos y los CIR
relativos de los cuerpos conectados, es decir, O12, O13, O14, O15, O23, O34 y O45.
VB2 = 2. rB/O12 = (3).(20)
VB2 = 60 cm/s
VB2 = VB3
VB3 = 3. rB/O13 3 = 60/20
3 = 3 rad/s
VC3 = 3. rC/O13 = (3). (35,71)
VC3 = 107,13 cm/s
VC3 = VC4
VC4 = . rC/O14 4 = 107,13/10
4 = 10,71 rad/s
VP4 = . rP/O14 = (10,71). (10)
VP4 = 107,1 cm/s
VP4 = VP5 = V5
V5 = 107,1 cm/s
R21
R10
R10
60
A
5
C
4 2
3
33
B
O
O12 = O13 O14
P
= O23
= O34 = O45
O15
O24 =
O25 = O35
2,3
VB2 = VB3
VC3 = VC4 4
VP4 = VP5
V5 Paralelas
8
d) Anlisis de Velocidades por CIR. Mtodo Directo
Para aplicar este mtodo es necesario ubicar los CIR absolutos del cuerpo del cual se tiene el dato
de velocidad y del cuerpo del cual se quiere determinar su velocidad, y el CIR relativo que conecta
a los cuerpos antes mencionados.
En este caso, se conoce la velocidad angular del disco 2 (2) y se quiere determinar la velocidad
de la cremallera 5 (V5). Por lo tanto, los CIR que se deben ubicar son O12, O15 y O25.
R21
R10
R10
60
A
5
C
4 2
3
33
B
O
O12 = O13 O14
P
= O23
= O45
O15
O24 =
O25 = O35
2 VO25
V5
33
33
= O34
C O12
P
O25
2
VO25 33
33
O14
10
10
33
9
= 33 + 90 = 123
O14 P C es un tringulo issceles (CO14 = O14P = 10 cm).
= (180 123)/2
= 28,5
O12 O25 C tambin es un tringulo issceles, ya que uno de sus ngulos es (ngulos
opuestos por el vrtice) y el ngulo obtuso es igual a (90+33= 123), por lo tanto:
O25O12 = CO12 = 35,71 cm
Analizando el CIR O25 como punto del cuerpo 2:
VO25 = 2. rO25/O12 = (3).(35,71)
VO25 = 107,13 cm/s
Analizando el CIR O25 como punto del cuerpo 5:
El cuerpo 5 est en Translacin, as que todos los puntos del cuerpo tendrn la misma
velocidad.
V5 = VO25
V5 = 107,13 cm/s
10
Ejercicio 2
Se aplicar el mtodo Eslabn-Eslabn ya que se requiere determinar la velocidad angular del cuerpo
3 y el cuerpo 4, as que ambos cuerpos deben analizarse. En este mtodo es necesario ubicar los
CIR Absolutos de los cuerpos y los CIR Relativos de los cuerpos conectados, es decir:
O12, O13, O14, O23, O24 y O34.
El cuerpo 2 (brazo ABC), gira alrededor del punto fijo A, lo cual quiere decir que su movimiento es
de Rotacin. El punto A es el CIR O12.
La rueda 4 est rodando por la parte interior de una rueda dentada fija, es decir, su movimiento es
un Movimiento Plano General y por ser ruedas dentadas existe Rodadura Pura en el contacto. El punto
de contacto entre 4 y la rueda fija es en consecuencia el CIR O14.
La rueda 3 tiene un Movimiento Plano General y por simple inspeccin no es posible determinar su
CIR Absoluto.
Los CIR por simple inspeccin son: O12, O14, O23, O24 y O34.
O12: Es el pasador A
O14: Es el punto de contacto entre 4 y la rueda fija.
O23: Es el pasador B
O24: Es el pasador C
O34: Es el punto de contacto P entre las ruedas 3 y 4.
Puede observarse que el nico CIR faltante es el O13.
2
3
4
O12
O14
P = O34
O23
O24
11
Cuando se traza el Crculo de Control se observa que todos los CIR se encuentran sobre la misma
lnea recta por lo cual no es posible intersectar lneas para ubicar el CIR O13.
En este caso analizaremos cules datos de velocidad se pueden conocer de la rueda 3 para aplicar
alguno de los casos de Ubicacin de CIR Absoluto de cuerpos en Movimiento Plano General.
VB2 = 2. rB/O12 = (5).(112,5)
VB2 = 562,5 mm/s
VB2 = VB3
VC2 = 2. rC/O12 = (5).(225)
VC2 = 1125 mm/s
VC2 = VC4
VC4 = . rC/O14 4 = 1125/75
4 = 15 rad/s
VP4 = 4. rP/O14 = (15).(150)
VP4 = 2250 mm/s
VP4 = VP3
De la rueda 3 se conocen ahora las velocidades de dos puntos sobre el cuerpo (B y P) que son
paralelas entre s y su direccin es perpendicular a la lnea que une a los puntos B y P.
2
4
O12
O14
VB2 = VB3
2
VC2 = VC4
4
VP4 = VP3
B= O23
O13
3
O24
P= O34
12
Ubicacin de O13
562,5 2250 x (x+37,5)
x = 12,5 mm
rP/O13 = 37,5 + 12,5 = 50 mm
VP3 = . rP/O13 3 = 2250/50
3 = 45 rad/s
VB3 = 562,5
VP3 = 2250
B
P
O13
37,5
x
3