Procesos Estocsticos (Hoja de Ejercicios #2)1. Sea Z una variable aleatoria con distribucin normal estndar. Se denenlos procesos X = (Xt)t2[0;1) y Y = (Yt)t2[0;1) como sigue: Xt = Z yYt = Z:Son X y Y equivalentes?, Son X y Y equivalentes en sentidoamplio? Explicar.

2. Supngase que la llegada de clientes a un almacn puede modelarse porun proceso de Poisson simple con intensidad = 2 por minuto. Calcular:

a. El nmero promedio de clientes que llegan al almacn en un perodode una hora.

b. La varianza del nmero de clientes que llegan al almacn en un perodode una hora.

c. La probabilidad de que llegue al menos un cliente al almacn en unperodo de 5 minutos.

3. Sean Z1 y Z2 variables aleatorias independientes e igualmente distribuidascon P (Z1 = 1) = P (Z1 = 1) = 12 :Vericar que el procesoX = fX (t) : t 2 Rg conX (t) = Z1 cos (t) +Z2 sin (t) es un proceso estacionario de segundo or-den.

4. Sea X = (Xt)t2[0;1) un proceso de Poisson con parmetro :Sea Yt :=Xt+1Xt con t 2 (0;1] : Hallar la funcin de media y la funcin de covar-ianza de (Yt)t2[0;1) :Hallar la funcin de media y la funcin de covarianza.Es (Yt)t2[0;1) un proceso de segundo orden? Explicar.

5. Sea X = (Xt)t2T un proceso estocstico real con T = [0;1) o T =N: Supngase que X tiene incrementos estacionarios independientes yque tiene media nita. Demostrar que E (Xt) = m0 +m1t donde m0 =E (X0) y m1 = E (X1)m0:

6. Sea X = (X (t))t0 el proceso estocstico dado por:

X (t) = X cos (t+ U)

donde X y U son variables aleatorias independientes con U d= U (; ) yE (X) = 0: Determinar su funcin de covarianza.

7. Sea Sea X = (X (t))t2R el proceso estocstico con:

P (X (t) = 1) =1

2= P (X (t) = 1)

Es el proceso estacionario en sentido amplio? Explicar.

1

8. Sea X = (Xt)t0 el proceso estocstico dado por:

Xt := A cos (t) +B sin (t)

donde > 0 es una constante y A y B son variables aleatorias no cor-relacionadas con media 0 y varianza 1:Es el proceso X estacionario ensentido amplio? Explicar.

9. Sean X y U variables aleatorias independientes tales que U d= U [0; 2] yX con funcin de densidad de probabilidad dada por:

f (x) = 2x3 exp

12x4; x > 0

Es el proceso X = (Xt)t0 dado por Xt = X2 cos (2t+ U) un proceso

gaussiano? Si lo es, determinar sus funciones de media y de covarianza.

10. Sean A y dos variables aleatorias independientes tales que E (A) = 0 yEA2< 1 y se distribuye uniformemente sobre [0; 2] : Sea X =

(Xt)t2[0;1) el proceso estocstico dado por:

Xt = A cos ( + t)

donde es una constante real.

a. A qu es igual la media del proceso?

b. Demostrar que

E (XtXs) =1

2EA2cos (t s)

c. Describir las trayectorias del proceso.

Liliana Blanco C.

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