EJERCICIOS 4º ESO SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA

1. Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente. (sol: 3’56 m)

2. Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del día, una vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre? (sol: 150 m)

3. Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña. (sol: 91’82 m)

4. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 m en el mismo momento que la sombra de Alberto, de altura 1,80 m, mide 3 m. (sol: 28’2 m)

5. Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B, C, rectángulo en Se sabe que AC = 35,36 m y la altura sobre AC es 15,6 cm. Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m. (sol: 83’87 m, 25’16 euros)

6. Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente. (sol: 9’86 cm, 4’1 cm2)

7. Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm x 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de 9/4. (sol: 40’5 cm2; 4’5 x 9 cm)

8. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:a. Dos triángulos equiláteros son siempre semejantesb. El valor de x es de 4 cm.

c. En dos triángulos semejantes, la razón de dos alturas correspondientes es igual a la razón de semejanza.

d. Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes.e. Los triángulos ABC y ABD están en posición de Tales.

f. Los triángulos ABC y A’B’D’ con C = C’, AC = 6 cm, BC = 8 cm, A’B’ = 9 cm y B’C’ = 12 cm son semejantes.

g. El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.

9. Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo que α es un ángulo agudo:(sol: sen = 0’97, tg = 3’88; sen = 0’52, cos = 0’86)

10. Calcula sen α y cos α de un ángulo agudo, sabiendo que la tg α=4/3. (sol: cos = 3/5, sen =4/5)

11. Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo.(Sol: sen α = 0’6, cos α = 0’8, tg α = 0’75; sen β = 0’8, cos β = 0’6, tg β = 1’3)

12. Calcula x e y en el triángulo. Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos α y β. (Sol: x = 8’54, y = 4; sen α=0’8, cos α =0’6, tg α = 1’3; sen β =0’35; cos β = 0’94; tg β = 0’375

13. De un ángulo α sabemos que la tag α = 3/4 y 180º < α < 270º. Calcula sen α y cos α. (sol: sen=-3/5, cos = -4/5)

14. Si senα=√53

y 90 <α < 180 ¿Cuánto valen cos α y tg α ? (sol: cos = -2/3 tg = -√5/2

15. El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. (sol: 17’86 m)

16. Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70°. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que hay entre la rampa y el suelo. (sol: 20º, 11’9 m)

17. Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°.a. ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado? (sol: 5’08 m)b. Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. (sol: 3’53 m)

18. La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40°. Calcula el perímetro y el área del triángulo. (sol: P = 252’24 cm, A = 2831’04 cm2)

19. El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68°. La granja A está a 230 m de ese punto, y la granja B, a 435 m. ¿A qué distancia en línea recta está la granja A de la granja B? (410’1 m)

20. Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50°; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35°. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago. (sol: 7’65 m; 129’78 m2)

21. En dos comisarías de policía, A y C, se escucha la alarma de un banco B. Con los datos de la figura, calcula la distancia del banco a cada una de las comisarías (sol: 3’24 y 2’57 Km).