TEMA 5: POLINOMIOSEJERCICIOS INICIALES

Ejercicio 1.-El perímetro de un paralelogramo mide 70 cm. Si dos lados miden x cm y los otros dos y cm, escribe la expresión de y en función de x.

Ejercicio 2.-Expresa con letras o con números y letras las siguientes frases:

a) Dos números suman 15. b) El triple de un número más el duplo de otro da 38. c) Un número es igual al cuádruplo de otro menos 14. d) El producto de dos números es igual a la cuarta parte del segundo.

Ejercicio 3.-En un cibercafé la tarifa por navegar por Internet es la siguiente: "Primera hora o fracción, 2,00 euros.Cada hora o fracción siguiente, 1,80 euros."

a) Averigua la expresión algebraica que da el coste por horas. b) Calcula el precio para 2, 3, 4, ..., 12 horas de navegación.

Ejercicio 4.-Halla el valor numérico de 2[x2 + (2x 3)(x + 5)], cuando:

3 a) x =

2 b) x = 6

Ejercicio 5.-Efectúa las siguientes operaciones:

4 3 2

3 2 3 2 3 2

a) 2 (3 ( 2 )) 1

b) ( 1) (( 1) ( 1)) ( )

x x x x

x x x x x x x x x

Ejercicio 6.-Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios:

2

3 2

a) 2 15

b) 3 3

x x

x x x

Ejercicio 7.-Utilizando el valor numérico del polinomio, comprueba si los siguientes polinomios tienen el factor x 3:

4 3 2

16 16

a) 2 4 5 4 3

b) 3

x x x x

x

Ejercicio 8.-¿Cuál es el mayor valor posible para el área de un rectángulo, si sus lados son números enteros y la suma de sus medidas es 12?

Ejercicio 9.-Simplifica las siguientes expresiones:

3 2

8 4

2

3

24a)

30

18( 2)( 1)b)

6 12

x y z

xy z

x x

x x

Ejercicio 10.-Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:

3 2

4 2

1,

1

x x

xx x

SOLUCIONES

Ejercicio 1.-2 2 70 35 35 .x y x y y x

Ejercicio 2.-

a) 15b) 3 2 38c) 4 14

d) 4

x yx y

y xy

x y

Ejercicio 3.-a) Si llamamos x al número de horas que estamos navegando e y al coste por horas, podemos escribir, teniendo en cuenta que hay un coste prácticamente fijo (los 2,00 euros que cuesta la primera hora o fracción), y = 2 + 1,80 · (x 1).

b) y (2) = 2 + 1,80 · (2 1) = 2 + 1,80 = 3,80 euros y (3) = 2 + 1,80 · (3 1) = 2 + 3,60 = 5,60 euros y (4) = 2 + 1,80 · (4 1) = 2,00 + 5,40 = 7,40 euros y (5) = 9,20 euros y (6) = 11,00 euros y (7) = 12,80 euros y (8) = 14,60 euros y (9) = 16,40 euros y (10) = 18,20 euros y (11) = 20 euros y (12) = 21,80 euros

Ejercicio 4.-

2

9 3 18 9a) 2 3 3 5 0

4 2 4 2

b) 2[ ( 6) ( 12 3)( 1)] 2(36 15) 102.

Ejercicio 5.-4 3 2

3 2 3 2 3 2 3 2

a) 2 3 2 1

b) 1 1 1 3 3 3 3

x x x x

x x x x x x x x x x x x

Ejercicio 6.-a) Los divisores de 15 son:

1; 3; 5; 15x x x x Se comprueba mentalmente que ni x =1 ni x = son raíces.Para x = 3 se tiene: P(3) = 9 + 6 15 = 0, luego x = 3 es una raíz.Si x = 3 se tiene: P(3) = 9 6 15= 12, no es raíz.Para el valor 5: P(5) = 25 + 10 15 = 20, tampoco es raíz.Si x = 5 se tiene: P(5) = 25 10 15 = 0, luego, x = 5 es la segunda de las raíces.

b) Los divisores de 3, el término independiente, son:1; 3x x

Mentalmente se comprueba que ningún número positivo puede ser raíz.Si x = 1 el valor numérico es: P(1) = 1 + 3 1 + 3 = 4, luego no es raíz.Cuando x = 3 se tiene: P(3) = 27 + 27 3 + 3 = 0, por lo tanto, x = 3 es una raíz.El polinomio no tiene más raíces enteras que x = 3.

Ejercicio 7.-a) El valor numérico del polinomio para x = 3 debe ser 0:

162 - 108 - 45 - 12 + 3 = 0

4 3 22 3 4 3 5 3 4 3 3 162 108 45 12 3 0

b) Sustituimos x por 3: 16 163 3 0

Los dos polinomios tienen como factor x 3.

Ejercicio 8.-Las medidas de dos lados contiguos sumarán 6. Como son enteros los posibles casos son:1 y 5, 2 y 4 ó 3 y 3. La mayor área corresponde al cuadrado de lado 3.

Ejercicio 9.-a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta:

3 2 2

8 4 6 3

24 4

30 5

x y z x

xy z y z

b) Sacando factor común en el denominador, resulta:

2

2

18( 2)( 1) 3( 1)

6 ( 2)

x x x

xx x

Ejercicio 10.-Simplificamos sacando factor común, y factorizando la diferencia de cuadrados:

23 2

4 2 2 2

1 1 1

1 1 11

x xx x x

x x xx x x x

Por lo tanto, son equivalentes.

NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz.