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7/26/2019 Ejercicios Aplicacion de Green
1/6
y
xa b
C2
C1
a) Aplicacin del teorema de Green a un problema fsico sobre una
regincon agujeros.
Determinar el momento de inercia de una arandela homognea de
radiointerno a, radio externo b y masa , respecto a uno de sus
di!metros.
Solucin:
Determinaremos el momento de inercia respecto al di!metro
colineal conel eje x. De "sica sabemos #ue$
=D
x dAyI2
Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta
constante
dado #ue es homognea.
%sta regin no es simplemente conexa pero, como se &io en la
teora, sepuede extender el teorema de Green a este tipo de regiones
conagujeros, siendo$
++=
D C C
QdyPdxQdyPdxdAy
P
x
Q
1 2
'or lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de
inerciacomo dos integrales. 'ara ello debemos encontrar funciones
', ( tales#ue$
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7/26/2019 Ejercicios Aplicacion de Green
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3
312 ;0:ejemplopor, tomamos; yPQy
y
P
x
Q===
Aplicando Green con esta funcin tenemos$
+=
++==
2121
3
313
313
313
312 00
CCCCD
x dxydxydydxydydxydAyI
*)
'arametri+ando estas cur&as tenemos
== ==
==
==
20,cossen
sencos
20,cossen
sencos
2
1
ttadytay
tadxtaxC
ttbdytby
tbdxtbxC
eempla+ando con esto en *) tendremos$
( ) ==
+=
2
0
444
31
2
0
2
0
33
3133
31 sen)sen(sen)sen(sen tdtabdttatadttbtbIx
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )Mab
abababdttt
ab
dtt
tabdtttab
22
41
2222
4144
41
2
0
44
31
2
0
2244
31
2
0
2244
31
8
4cos1
2
cos1
4
2sensencos1sen
+=
=+==
=
=
==
-sta es la manera est!ndar de expresar un momento de inercia$
como elproducto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado
por la masadel rgido.
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b) Empleando el teorema de Green calcular el trabajo realizado
por el campo de
uerzas
F(x,y)= (x+ 3y , 2y x)al mo!er una part"cula a lo lar#o de la
rontera de una
elipse
4x2+ y2= 4 x2
+y
2
22=1
Coordenadas elpticas:
x =rcos
y = 2rsen
J(r, = 2r
Recinto R con frontera C:
0 2
0r1
$rabajo % &% c
F . dr=c
(y+3x ) dx+(2yx ) dy
'ora empleamos el teorema de #reen se tendr"a lo si#uiente:
& % R
2dx dy=20
2
0
1
2 rdr d=4
1
y
x
2
-
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c. tili+ar el teorema de Green para e&aluar la integral de
lnea
C
y3
dx+ (x3+3xy2 ) dy
Donde / es la trayectoria desde 0,0) hasta *,*) a lo largo de la
gr!fica de
y=x3 y desde *,*) hasta 0,0) a lo largo de la gr!fica de y=x
.
SOLUCION
/omo M=y3
y N=x3+3xy2 , sigue #ue
N
x=3x2
+3y2
y M
y =3y2
Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces
N
x
( M
y)dA
C y3
dx+ (x3
+3xy2
) dy=R
0
1
x
3
x
[ (3x2+3y2 )3y2 ] dydx
0
1
x
3
x
3x2
dydx
0
1
3x2y|x
x3dx
0
1
(3x33x5 ) dx
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y
x1
1
-1
-1
[ 3x4
4
x6
2]10
1
4
Determinacin de un rea mediante una integral de lnea. Determine
el rea de la
regin limitada por la hipocicloide que tiene la ecuacin
vectorial :
r(t) % cos3ti sen3tj , 0 t 2
*oluci+n
e la parametrizaci+n de la cur!a tenemos:
x% cos3tx2-3% cos2t
y% sen3ty2-3= sen2t
*umando miembro a miembro tenemos:
( )( )
( )( )
+
====+
1
1
2-33-21
1
1
1
2-33-23-23-2 1211
2-33-2
2-33-2dxxdydxAxyyx
x
x
Este c.lculo, ejecutado como inte#ral de .rea, es mu/ complicado
El
teorema de Green nos permite transormar esta inte#ral en una de
l"nea,
usando como tra/ectoria la ipocicloide del enunciado / deiniendo
una
unci+n apropiada para la inte#raci+n eamos:
-
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El .rea de una re#i+n !iene dada por
=D
dAA 1
or lo tanto, para
aplicar Green deber"amos encontrar unciones , -
1=
y
P
x
Q
4n parde unciones sencillas 5ue cumplen esta condici+n son % 0,
% 6 *i
recordamos la parametrizaci+n, escribimos:
6 % cos3t d6 % 73 cos2t sent dt
/ % sen3t d/ % 3 sen2t cost dt
8ue#o:
8
3
9
2sen
8
4sen2cos2sen
2
4cos1
)2cos2sen2(sen4
2sen
2
2cos13
4
2sencos3
sencos3cossen3cos
2
0
3
21
83
2
0
2
83
2
0
22
83
2
0
22
0
22
2
0
242
0
23
=
+=
+
=
=+=
+==
===+=
=
tttdttt
t
dttttdttt
dtt
t
tdtttdtttQdyPdxdAy
P
x
Q
ACD
e esta manera contamos con una erramienta m.s para obtener el
.rea de la re#i+n
encerrada por una cur!a cerrada, 5ue se suma al mtodo en
coordenadas polares !isto en
'n.lisis ;; / al c.lculo por inte#ral de .rea 5ue ejecutamos
cuando tenemos la e6presi+n
cartesiana de la cur!a
