1)

Ejercicios campo gravitatorio1) La Luna describe una rbita circular en torno a la Tierra con un perodo de 27,3 das y un radio de 3,84.105 km. Determina el radio de la rbita de un satlite artificial que se encuentra siempre sobre un mismo punto de la Tierra.

Aplicando la 3 ley de Kepler:T1 = 27,3das r1 = 3,84.105 km T2 = 1da

EMBED Equation.3

= // = // r = = 0,42.105 = 4,2.104 km2) Deducir la distancia que separa al Sol de Jpiter, sabiendo que el tiempo que tarda Jpiter en dar una vuelta alrededor del Sol es 12 veces mayor que el que tarda la Tierra.La distancia de la Tierra al Sol es 1,5.1011 m

Aplicando la 3 ley de Kepler:

T2 = 12T1r1 = 1,5.1011 m

=

r2 = r1.= 1,5.1011. = 1,5.1011. = 7,86.1011m 3) La Luna tarda 27,3 das en dar la vuelta alrededor de la Tierra. Cunto tiempo tardara un satlite si su distancia a la Tierra fuese la dcima parte del radio de la rbita lunar?.

T1 = 27,3 das

r2 =

T2 = T1. = 27,3 das. = 0,863 das4) El cometa Halley posee un perodo de revolucin de 75 aos en su rbita alrededor del Sol, siendo su distancia en el perihelio (perigeo) de 8,9.1010 m. Calcula la mxima distancia que se separa del Sol (afelio o apogeo), utilizando como datos el perodo de la Tierra y su distancia media al Sol ( d = 1,49.1011 m) y tomando como distancia media del Halley la semisuma de la distancia ms corta y la distancia ms larga en su rbita elptica.

TT = 365 das

TH = 75 aos = 27375 das dmedia = 1,49.1011 m

=

//dH = 1,49.1011. = 2,65.1012 m (distancia media del Halley al Sol)dH =

// ra = 2 dH - rp = 2. 2,65.1012 - 8,9.1010 = 5,21.1012 m 5) Un planeta imaginario se mueve en una rbita elptica de mucha excentricidad alrededor del Sol. Cuando est en el perihelio, su radio es 4.107 km y cuando est en el afelio 1,5.108 km. Si la velocidad en el perihelio es 1000 km/s. Calcula la velocidad en el afelio.Como la fuerza gravitatoria es una fuerza central, el planeta conserva su momento angular.ramva = rpmvp

va = = = 266,6 km/s6) El perigeo de un satlite artificial que describe una elipse alrededor de la Tierra est a una altura de 600 km sobre la superficie terrestre y el apogeo a una altura de 1520 km. Si la velocidad en el perigeo es de 28.000 km/h. Calcula el valor de la aceleracin centrpeta en el apogeo.

Dato: RT = 6370 kmComo la fuerza gravitatoria que acta sobre el satlite es una fuerza central, el momento angular de dicho satlite se conserva.

La = Lp = constante mvara = mvprp

6970 km . 28000 km/h = 7890 km . va // va = 24735 km/h = 6871 m/s

an = = = 5,98

7) Un satlite se dice que es estacionario cuando tiene el mismo perodo de revolucin que el perodo de rotacin de la Tierra. El satlite se encontrar estacionario sobre el mismo lugar de la Tierra. A qu altura se hallar?.

Datos: RT = 6400 km // G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // MT = 6.1024 kg

T = 24 h = 8,64.104 s

r3 = = = 7,6.1022 m3r = = 4,2.107 m = 4,2.104 km

h = r RT = 42000 km 6400 km = 35600 km

8) La Tierra tarda 365 das en completar su rbita alrededor del Sol; si la distancia media entre ellos es 1,49.1011 m. Calcula:

a) La masa del Sol

b) La velocidad lineal (tangencial) de la Tierra G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // r = 1,49.1011 m // T = 365 das = 31.536.000 s

Aplicando la justificacin dinmica de la 3 ley de Kepler, tenemos:

a) Ms = = = 1,97.1030 kgb) V = . Tambin: v = = 2,97.104 m/s9) El radio de la rbita de Europa, satlite de Jpiter, es de 6,7.105 km. Determina el perodo de revolucin del satlite.

Datos: MJ = 318,4MT // MT = 5,98.1024 kg // G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2Aplicando la justificacin dinmica de la 3 ley de Kepler:T = = = 3.105 s

10) Umbriel, satlite de Urano, describe una rbita circular de 2,67.108 m de radio alrededor del planeta con un perodo de revolucin de 3,58.105 s. Calcula:

a) La masa de Urano

b) El perodo de revolucin de otro de sus satlites, Obern, cuyo radio orbital es de 5,86.108 m.

Dato: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2a) MUrano = = = 8,79.1025 kgb) TObern = = 1,16.106 s

11) Calcula la distancia Tierra-Luna sabiendo que la Luna tarda 28 das en realizar su rbita circular en torno a la Tierra.

Datos: g = 9,8 m/s2 // RTierra = 6370 km = 6,37.106m // T =28 das = 2.419.200 s

Teniendo en cuenta que go = G //

r3 = = = .go.RT2 =

r3 = 0,59.1026 m3 // r = 3,89.108 m = 3,89.105 km12) Cunto vale la fuerza que acta sobre un satlite artificial de 2000 kg que gira alrededor de la Tierra siguiendo una rbita circular de radio equivalente a dos veces del radio de la Tierra?.

Datos: g = 10 m/s2 // r = 2RT

F = G = G = go. = = 5000 N

13) Calcula el campo gravitatorio en Marte, sabiendo que el radio de Marte es la mitad que el de la Tierra y que su masa es la centsima parte de la de la Tierra.

Dato: gT = 10 m/s2 // RT = 2Rm // MT = 100Mm

// // = // gm = 0,4 m/s214) Un astronauta tiene un peso en la Tierra de 800N. Cuando llega a la Luna observa que pesa 160N. Halla la intensidad del campo gravitatorio de la Luna.Dato: gT = 9,81 N/kg

// gL = gT. = 9,81 m/s2 . = 1,962 m/s2

15) Un astronauta de 70 kg aterriza en el planeta Venus y observa que all pesa 600N. Si el dimetro de Venus es idntico al de la Tierra, calcula la masa de Venus.Datos: MT = 6.1024 kg // gT = 9,8 N/kg

Si el dT = dV RT = Rv

= = = // MV = 6.1024. = 5,25.1024 kg

16) En la superficie de un planeta de radio R = 1,25RT la aceleracin de la gravedad es 14,7 m/s2. Calcular la relacin entre las masas del planeta y de la Tierra.Dato: gT = 9,8 m/s2

= // Mp = 2,34MT17) Supongamos que la Tierra tiene densidad uniforme. Cul sera el valor de g sobre la superficie terrestre si su dimetro fuera la mitad y la densidad la misma?.D = M.V // V = R3 // d = d/2 R = R/2

EMBED Equation.3 = = = 1/2 // g= g/218) Calcula el valor de la gravedad en Mercurio, si el radio de la Tierra es tres veces mayor que el de ste, y la densidad de Mercurio es 3/5 de la densidad media de la Tierra.

Datos: gT = 9,8 m/s2 // Vesfera = 4/3R3 // RT = 3Rm // Dm = 3/5DTgm = = = G4/3RmDm = G

EMBED Equation.3 DT = gT

19) Comenta si es verdadera o falsa la siguiente afirmacin: Si la Luna gira alrededor de la Tierra segn un movimiento circular uniforme, no tiene aceleracin.

Es falsa, ya que tiene la aceleracin asociada al cambio de direccin de la velocidad (aceleracin centrpeta). Dicha aceleracin se origina como consecuencia de la accin de la fuerza de interaccin gravitatoria.

20) La masa del Sol es 324440 veces mayor que la masa de la Tierra y su radio 108 veces mayor. Si fuera posible lanzar un proyectil verticalmente hacia arriba desde la superficie solar y se disparase con una velocidad de 200 m/s. Qu altura mxima alcanzara?.Dato: gT = 9,8 m/s2

gs = G = G = .9,8 = 272,87 m.s-2

v2 = vo2 -2gsh // 0 = (200)2 2.272,87.h // h = 73,3 m21) Calcula la altura que hay que subir por encima de la superficie terrestre para que la aceleracin de la gravedad sea de 7 m/s2.

Datos: go = 10 m/s2 // RT = 6370 km

= // = // = // r = = 7,6.106 mh = r RT = 1,23.106 m = 1240 km22) Halla la intensidad del campo gravitatorio en un punto por encima de la superficie terrestre que se encuentra a una distancia de la superficie igual a tres veces el radio de la Tierra.

Dato : go = 10 m/s2

= // = // gh = 0,625 m/s223) Determina a qu altura sobre la superficie terrestre el peso de un cuerpo se reduce en un 25%.

Dato: RT = 6370 kmPh = 0,75Po // mgh = 0,75mgo // gh = 0,75go // =

= // r = 7355 km // r = h + RT // h = r - RT = 985 km

24) A qu velocidad tendra que girar la Tierra en torno a su eje para que el peso de un cuerpo situado en el Ecuador se redujera a la mitad?.Tmese la Tierra como una esfera homognea de R = 6400 km y gpolo = go = 9,81 m/s2.

PE = Po - m // mgE = mgo - m // gE = go - // = go -

// v = = 5603 m/s (Rp = RE =R)25) A qu velocidad tiene que girar la Tierra para que el peso de una persona en el Ecuador fuese cero?.

Datos: go = 9,8 m/s2 // RT = 6370 km0 = go - // v = = = 7901 m/s26) Determina a qu distancia deber estar un objeto de la Tierra en la lnea que la une con el Sol para que la atraccin solar se equilibre con la terrestre.Datos: dT-S = 1,495.1011 m // MS = 1,99.1030 kg // MT = 5,98.1024 kgAplicando el principio de superposicin : = = +

G = G // = //

dT = = = 2,59.108 m27) Dos masas puntuales de 2 kg estn situadas en los extremos de la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3m. Calcula:

a) El mdulo del campo gravitatorio en el tercer vrtice del tringulo

b) El mdulo de la fuerza gravitatoria que acta sobre una masa de 10 kg colocada en este punto.Dato: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2a) Aplicando el principio de superposicin: (proyectando sobre los ejes)g1 = 6,67.10-11 N.m2.kg -2. = 1,5.10-11 N/kgg2 = 6,67.10-11. = 1,5.10-11 N/kg

g = = 2,1.10-11 N/kg

b) F = mg = 0,01 kg.2,1.10-11 = 2,1.10-13 N

28) Una masa puntual de valor 1 kg, est situada en el origen de un sistema de coordenadas ortogonales. Otra masa puntual de 2 kg est sobre el eje de ordenadas y a un metro del origen. Determina la intensidad del campo gravitatorio creado por esta distribucin de masas, en el punto A(2,0).

Dato: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2Aplicando el principio de superposicin:

g1 = // g2 = // g2x = g2cos = g2. = N/kg

g2y = g2sen = g2. = N/kg

= - 4,06.10-11 + 1,19.10-11

= = 4,23.10-11 N/kg29) Dadas dos esferas de masas 2 kg y 4 kg situadas, respectivamente, en los puntos (0,0) y (6,0) de un sistema de coordenadas cartesianas representado en metros. Calcula el campo gravitatorio en los puntos (3,4) y (3,0).

Aplicando el principio de superposicin: = gx+ gy

En el punto (3,4):

g1 = G N/kg // g1x = - // g1y = -

g2 = G N/kg // g2x = // g2y = -

=3,2.10-12 - 14,4.10-12

En el punto (3,0):

= 1,48.10-11 N/kg30) Plutn recorre una rbita elptica en torno al Sol situndose a una distancia rp = 4,4.1012 m en el punto ms prximo (perihelio) y ra = 7,4.1012 m en el punto ms alejado (afelio).a) Obtener el valor de la energa potencial gravitatoria en el perihelio y en el afelio.

b) En cul de esos dos puntos ser mayor la velocidad de Plutn?.

Datos: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // M(Sol) = 1,98.1030 kg // M(Plutn) = 1,27.1022 kg

A partir de la expresin de la energa potencial gravitatoria, tenemos:

a) Epa = = = - 2,27.1029 J

Epp = - 3,8.1029 J

b) 1) Como la fuerza gravitatoria que acta sobre Plutn es una fuerza central, se conserva el momento angular de Plutn, lo que significa que:

ra va = rp vp // Como

2) Como la fuerza gravitatoria que acta sobre Plutn es conservativa, se conserva la energa mecnica de Plutn, lo que significa que:

Epa + Eca = Epp + Ecp // Como

31) Por qu el potencial gravitatorio y la energa potencial gravitatoria son siempre negativas?.

Porque tomamos el origen de energa en el infinito. El trabajo del campo gravitatorio supone siempre una disminucin de la energa potencial (W = - Ep). Por tanto, si consideramos que una partcula en el infinito tiene energa potencial nula, cuando est sometida al campo gravitatorio su energa potencial ser negativa.

32) Di qu signo tiene la energa mecnica de un satlite que describe rbitas cerradas alrededor de la Tierra.Siempre negativa, ya que el satlite est ligado al campo gravitatorio terrestre. Si su energa mecnica no fuera negativa (es decir, cero o positiva), el satlite escapara de la rbita.

33) Existe algn punto en la lnea que une la Tierra y la Luna en que el potencial sea nulo?.Aplicando el principio de superposicin tenemos:

V = = VT + VL

Como el potencial gravitatorio es un escalar (V = ), no puede haber ningn punto donde el potencial se anule, ya que siempre saldr un nmero negativo.

34) La rbita de Plutn en torno al Sol es notablemente excntrica. La relacin de distancias mxima y mnima entre su centro y el del Sol (afelio y perihelio) es . Calcula la relacin (cociente entre los valores en el afelio y el perihelio) de las siguientes magnitudes de Plutn:

a) Momento angular respecto al centro del Sol

b) Energa cintica

c) Energa potencial gravitatoria

a) ra.va = rp.vp //

b) Eca = 1/2mva2 //

Ecb = 1/2mvp2

c) Epa =

//

Epp =

35) Dadas dos esferas de masas 2 kg y 4 kg situadas, respectivamente, en los puntos (0,0) y (6,0) de un sistema de coordenadas cartesianas representado en metros. Calcula el trabajo necesario para transportar otra esfera de 3 kg desde el punto (3,4) al punto (3,0).El trabajo realizado por el campo gravitatorio, supone una disminucin de la energa potencial del sistema, por tanto:

= - (EpB EpA) =m

V(3,0) = J/kg // V(3,4) = G J/kg

= m () = 3 kg J/kg = 1,6.10-10 J

36) Un satlite artificial en rbita circular tiene una energa cintica de 2,4.1011J. Determina los valores de su energa potencial gravitatoria y de su energa mecnica.Em = Ec + EP // Em = // // Ec =

Ep = // Em =

37) Calcular la energa total (potencial ms cintica) que tiene un satlite de 200 kg que describe una rbita circular a 400 km sobre la superficie terrestre.Datos: RT = 6400 km // go = 0,8m.s-2 Em

38) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 4000 m/s. Calcula la altura que alcanzar.Datos: G = 6,67.10-11N.m2.kg-2 // MT = 5,98.1024 kg // RT = 6400 km

Como la fuerza que acta es conservativa, se cumple el principio de conservacin de la energa mecnica:

Eco + Epo = Eph //

r = 7,4.106 m = 7400 km // h = r - RT = 1000 km

39) La Estacin Espacial Internacional (ISS) describe una rbita alrededor de la Tierra a una altura h = 390 km sobre la superficie terrestre, siendo su masa de m = 415 toneladas.a) Calcula su perodo de rotacin, en minutos, as como la velocidad con la que se desplaza.

b) Qu energa se necesitara para llevarla desde su rbita actual a otra rbita a una altura doble?.

Datos: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // RT = 6370 km // MT = 5,98.1024 kg

a) v = // T s = 92,16 min

b) Aplicando de principio de conservacin de la energa:

Em1 + W = Em2 //

r1 = 6,76.106 m // r2 = 7,15.106 m

// W = 6.1011 J40) La Estacin Espacial Internacional gira alrededor de la Tierra en una rbita que consideramos circular, a una altura de 380 km sobre la superficie terrestre. Calcula:a) La velocidad lineal de la Estacin y el tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra.

b) La energa mnima necesaria para colocar en esa rbita una masa de 1 kg partiendo de un punto de la superficie terrestre.

c) La velocidad necesaria para escapar de la atraccin terrestre desde esa rbita.

Datos: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // RT = 6,37.106 m // MT = 5,98.1024 kg

a) v =

T =

b) Emecnica superficie = Emecnica rbitaEpo + Enecesaria = Ep + Ec = Em

// E = GMT.m

E

c) vescape = m/s41) Dos satlites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo rbitas circulares de radios 2.108 m y 8.108 m respectivamente. Calcula la relacin entre sus velocidades (tangenciales) respectivas. A partir de la velocidad orbital, tenemos:

//

// // = // vA = 2vB42) Un cometa se mueve segn una rbita elptica alrededor del Sol. Determinar en qu punto de su rbita tiene mayor valor:

a) La velocidad del cometa

b) La energa cintica del cometa

c) La energa total del sistema cometa-Sol

d) La energa potencial del sistema cometa-Sol

a =afelio // p = perihelio

a) Como la fuerza gravitatoria es una fuerza central se conserva el momento angular del cometa.

b) Como

c) Como la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativala energa mecnica del cometa se conserva, luego:

Em = constanted) Em = Ec + Ep

43) Desde un lugar, situado a una distancia del centro de la Tierra igual a las 5/4 partes del radio terrestre, se desea poner en rbita un satlite terrestre.Qu velocidad hay que comunicarle y cul ser el valor de la aceleracin de la gravedad en su interior?.

Datos: RT = 6400 km // go = 10 m/s2

//

EMBED Equation.3 //

7155 m/sDe dos formas:

a)

b)

44) Cul debe se la velocidad con que debe lanzarse un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra para que alcance una altura igual al radio de la misma, despreciando el rozamiento en la atmsfera?.

Dato: RT = 6,37.106 m // go = 9,8 m/s2Como la nica fuerza que acta es la gravitatoria, que es conservativaque se conserva la energa mecnica del cuerpo, por tanto:

//

//

45) Con qu rapidez llegar a la superficie terrestre un objeto que se deja caer desde 500 km sobre la superficie terrestre, partiendo del reposo y despreciando los rozamientos?.Datos: go = 9,8 N/kg // RT = 6370 kmComo la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, se conserva la energa mecnica del objeto:

r = RT + h

Ep = EcT + EpT // //

EMBED Equation.3 // VT = 3015 m/s

46) Desde la superficie de la Tierra se lanza un objeto con una velocidad doble de la de escape. Calcular la velocidad del objeto cuando est muy lejos de la Tierra.

Datos: go = 9,8 m/s2 // RT = 6370 km

Se pueden considerar tres opciones en cuanto a la velocidad de escape (ve):a) el objeto no puede escapar a la atraccin del campo gravitatoriob) Eco + Epo = 0 + 0

c) Epo + Eco = 0 + Ec

//

// Como:

2. // // 6goRT = v2 // 47) Si el punto A est situado a una distancia de 500 km sobre la superficie de la Tierra y el punto B est situado sobre la misma superficie. Calcula el trabajo realizado por el campo gravitatorio terrestre cuando un satlite artificial de 5000 kg se traslada desde el punto A hasta el punto B.Datos: RT = 6,37.106 m // MT = 5,98.2024 kg // G = 6,67.10-11N.m2.kg-2

W = 2,25.1010 J

48) Un satlite artificial de 1,2 toneladas se eleva a una distancia de 6500 km del centro de la Tierra y se le da un impulso mediante cohetes propulsores para que describa una rbita circular alrededor de la Tierra:

a) Qu velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar ese movimiento?.

b) Cunto vale el trabajo realizado para llevarlo de la superficie de la Tierra a esa altura?.

c) Cul es la energa total del satlite?.

Datos: RT = 6,36.106 m // go = 9,8 m/s2

a) 7809,3 m/sb) Epo + W = Eph // = - 1,63.109 J

c)

49) La masa del planeta Jpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra, y su dimetro 11 veces mayor. Cul es el peso en este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es 980 N?. Cul es la velocidad de escape para la superficie de Jpiter?.

Datos: gT = 9,8 N/kg // RT = 6,378.106 m

// // = 980.2,63 = 2577 N

VeJ =

EMBED Equation.3

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