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Ejercicios de Acústica y

óptica 2020-1

Salvador Villalobos, Heriberto Aguilar Juárez,

Ejercicios de Acústica y Óptica

F. Salvador Villalobos Dr. Heriberto Aguilar

1

Ejercicio 1

Cálculo de variaciones

Un soldado de caballería debe llevar una parte desde el punto A a la tienda de campaña de su

jefe, que se encuentra en el punto C.

Lo separan de dicha tienda dos zonas, una formada por arenas profundas y otra por un prado. Por

la arena, el caballo marcha dos veces más despacio que por el prado. ¿Qué camino deberá seguir

el jinete para llegar cuanto antes a la tienda de su jefe?



2

Ejercicio 2

Índice de Refracción

Una placa homogénea, de grosor t e índice de refracción n2, se encuentra inmersa en un medio

cuyo índice de refracción es n1 (n2>n1).

Un rayo de luz proveniente del medio uno (n1) incide sobre la placa; para la situación mostrada

en la figura siguiente, compruebe que

a. 𝜽𝒊𝟏= 𝜽𝒕𝟐

b. 𝜽𝒓𝟏 = 𝜽𝒕𝟑

donde 𝑝2 = 𝑡 = 𝑞2 = 𝑞2′ , 𝑟1

′ = 𝑞1 y los ángulos 0R’R y QQ’’Q’ son rectos

a. 𝜽𝒊𝟏= 𝜽𝒕𝟐

La aplicación de la Ley de Snell en los puntos O y Q resulta en las siguientes ecuaciones

𝑛1𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝑖1) = 𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑡1) 𝑦

𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝑖2) = 𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑡2)



3

Pero ya que por construcción 𝜃𝑡1= 𝜃𝑖2

se tiene:

𝑛1𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝑖1) = 𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝑖2) = 𝑛1𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑡2)

De donde

sin(𝜃𝑖1) = 𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑡2)

Entonces

𝜃𝑖1= 𝜃𝑡2

b. 𝜽𝒓𝟏 = 𝜽𝒕𝟑

La aplicación de la Ley de Snell en los puntos O y R resulta en las ecuaciones

𝑛1𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝑖1) = 𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑡1) 𝑦

𝑛2𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝑖3) = 𝑛1𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑡3)

Pero ya que por construcción 𝜃𝑡1= 𝜃𝑖2

, 𝜃𝑖3= 𝜃𝑟2, y de la ley de la Reflexión 𝜃𝑖1

= 𝜃𝑟1 𝑦

𝜃𝑖2= 𝜃𝑟2 Se tiene que 𝜃𝑡1

= 𝜃𝑖3, entonces

𝑛1𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝑟1) = 𝑛2𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑡3)

De donde

𝜃𝑟1 = 𝜃𝑡3



4

Ejercicio 3

Del problema anterior, determine

a. La distancia entre los puntos R y R’ d(R, R’)

b. La distancia entre los puntos Q’ y Q’’ d(Q’, Q’’)

Solución

a.

Ya que el ángulo 𝑂𝑅𝑅′ = 𝜃𝑡3 = 𝜃𝑟1 = 𝜃𝑖1, entonces:

𝑑(𝑅, 𝑅′) = 𝑑(𝑂, 𝑅) cos(𝜃𝑖1)

Donde

𝑑(𝑂, 𝑅) = 2𝑑(𝑃, 𝑄),

Ya que 𝜃𝑖2 = 𝜃𝑡1 = 𝜃𝑟2

Y si 𝑑(𝑃, 𝑄) = 𝑑(𝑂, 𝑃)𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡1, entonces:

𝑑(𝑅, 𝑅′) = 2𝑑(𝑃, 𝑄) cos(𝜃𝑖1) 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡1

b.

Ya que el ángulo QQ’Q’’=𝜃𝑖1, entonces

𝑑(𝑄′, 𝑄′′) = 𝑑(𝑄, 𝑄′) cos(𝜃𝑖1)

Donde 𝑑(𝑄, 𝑄′) es tal que

𝑑(𝑃, 𝑄) + 𝑑(𝑄, 𝑄′) = 𝑑(𝑂, 𝑃)𝑡𝑎𝑛𝜃𝑖1

Así que

𝑑(𝑄′, 𝑄′′) = 𝑑(𝑄, 𝑄′) cos(𝜃𝑖1) = 𝑑(𝑂, 𝑃)𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖1 − 𝑑(𝑃, 𝑄) cos(𝜃𝑖1)

donde

𝑑(𝑃, 𝑄) = 𝑑(𝑂, 𝑃)𝑡𝑎𝑛𝜃𝑖1



5

Así entonces

𝑑(𝑄′, 𝑄′′) = 𝑑(𝑂, 𝑃)𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖1 − 𝑑(0, 𝑃) cos(𝜃𝑖1)𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡1 𝑦

𝑑(𝑄′, 𝑄′′) =𝑑(𝑂, 𝑃) sin(𝜃𝑖1 − 𝜃𝑡1)

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑡1



6

Ejercicio 4

Emplear el principio de Fermat para comprobar la Ley de la Reflexión

La siguiente figura muestra un medio homogéneo cuyo índice de refracción es n, un rayo de luz

parte del punto P, cruza por Q y se refleja hasta R.

Entonces, la longitud del camino óptico (l.c.o) es

𝑙. 𝑐. 𝑜 = 𝑛 (√𝑥2 + 𝑝22 + √(𝑟1 − 𝑥)2 + (𝑟2)2)

Si la trayectoria real es aquella en la que 𝑑

𝑑𝑥(𝑙. 𝑐. 𝑜) = 0

Se tiene que

𝑛𝑥

√𝑥2 + 𝑝22

−𝑛(𝑟1 − 𝑥)

√(𝑟1 − 𝑥)2 + (𝑟2)2= 0

De donde

sin 𝜃𝑖 = sin 𝜃𝑟

Y

𝜃𝑖 = 𝜃𝑟

La ley de la Reflexión



7

Ejercicio 5

Emplear el principio de Fermat para comprobar la ley de la refracción

(Snell)

La siguiente figura muestra dos medios homogéneos cuyos índices de refracción son n1 y n2 (n1<n2)

respectivamente; un rayo de luz parte del punto P, cruza por Q y se transmite hasta R

Entonces, la longitud del camino óptico (l.c.o) es

𝑙. 𝑐. 𝑜 = 𝑛1√𝑥2 + 𝑝22 + 𝑛2√(𝑟1 − 𝑥)2 + (𝑟2)2

Si la trayectoria real es aquella en la que 𝑑

𝑑𝑥(𝑙. 𝑐. 𝑜) = 0

Se tiene que

𝑛1𝑥

√𝑥2 + 𝑝22

−𝑛2(𝑟1 − 𝑥)

√(𝑟1 − 𝑥)2 + (𝑟2)2= 0

De donde

n1sin 𝜃𝑖 = n2sin 𝜃𝑟

La ley de Snell



8

Ejercicio 6

Una interface plana separa dos medios homogéneos con índices de

refracción n1 y n2 (n2> n1)

Un rayo de luz parte desde el medio dos y se transmite hasta el medio uno

Describa lo que verá un observador, en el medio uno, situado próximo a la normal y a la interface

La siguiente figura muestra un rayo de luz que parte del punto P, cruza por Q y se transmite hasta R

Donde θi y θt son los ángulos de incidencia y transmisión respectivamente

Observando la figura anterior se cumple que

𝑑(0, 𝑄)

𝑝2= tan 𝜃𝑖 𝑦

𝑑(0, 𝑄)

𝑝2′= tan 𝜃𝑡

Donde d(O, Q)=q1

Por otro lado de la ley de Snell (en el punto Q):

n2sin 𝜃𝑖 = n1sin 𝜃𝑡



9

Así que

𝑛2

𝑞1 cos 𝜃𝑖

𝑝2= 𝑛1

𝑞1 cos 𝜃𝑡

𝑝2′

Entonces:

𝑝2′ = 𝑝2

𝑛1

𝑛2

cos 𝜃𝑡

cos 𝜃𝑖

Finalmente, para ángulos pequeños

𝑝2′ = 𝑝2

𝑛1

𝑛2

Conclusión:

El observador en el medio uno, próximo a la normal y a la interfase verá un rayo de luz que parte

del punto P’ (0, p2’) y no del punto P (0, p2)



10

Ejercicio 7

La figura muestra un prisma, cuyo índice de refracción es n2, inmerso en un

medio donde el índice de refracción es n1, tal que n2>n1

En la situación indicada determine el valor de φ máximo tal que se verifique la reflexión total

interna

La aplicación de la Ley de Snell para la interface 𝑛2 → 𝑛1 se escribe

n2sin 𝜃𝑖 = n1sin 𝜃𝑡

Si ahora

𝛷 =𝜋

2− 𝜃𝑖 𝑦 𝜃𝑡 =

𝜋

2

Resulta que

n2𝑐𝑜𝑠 𝛷 = 𝑛1

O bien, la condición para que 𝛷 sea máximo será:

𝛷𝑚𝑎𝑥 = cos−1 (𝑛1

𝑛2)



11

Ejercicio 8

Cierto material cuyo índice de refracción es n tiene forma de un cuarto de

círculo de radio R y está inmerso en el vacío (n0=1).

Un rayo luminoso, paralelo a la base del material incide a una altura L de izquierda a derecha por

arriba de la base y emerge con un ángulo θ por la otra cara plana

Hallar una expresión para θ como función de n, R y L

La siguiente figura muestra la situación indicada:

De la aplicación de la Ley de Snell en 1 y 2 se tiene:

n0sin 𝜃𝑖 = nsin 𝜃𝑡 𝑦

nsin(𝜃𝑖 − 𝜃𝑡) = n0sin 𝜃

Donde (𝜃𝑖 − 𝜃𝑡) es el ángulo de incidencia en la interface 2 indicada en la figura.

Combinando ambas ecuaciones se obtiene

nsin𝜃𝑖 cos 𝜃𝑡 − sin 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 = sin 𝜃

O bien

sin 𝜃𝑖 (𝑛 cos 𝜃𝑡 − cos 𝜃𝑖) = sin 𝜃



12

Y si ahora

𝐿

𝑅= sin 𝜃𝑖

𝑅 cos 𝜃𝑖 = √𝑅2 − 𝐿2

Y ya que

cos 𝜃𝑡 = √1 − sin2 𝜃𝑡 = √1 −sin2 𝜃𝑖

𝑛2

Al final se tiene que

𝜃 = sin−1 [𝐿

𝑅2(√𝑛2𝑅2 − 𝐿2 − √𝑅2 − 𝐿2)]

Es la expresión pedida



13

Ejercicio 9

Cuestionario

1. En el laboratorio, explique con detalle cómo se determinan los modos de vibración y la

velocidad de propagación en el caso de un patrón de ondas estacionarias propagándose a

lo largo de una cuerda tensa

2. Una onda acústica plana y armónica tiene una intensidad relativa de 100 dB y una

amplitud de 10-6 [m]. Determine la frecuencia de onda

3. Una onda armónica plana, linealmente polarizada, con una amplitud escalar de 10V/m se

propaga a lo largo de una línea en el plano XY a 45 ° con respecto del eje X con el plano XY

como plano de vibración. Si las componentes del vector de propagación se consideran

positivas:

a) Escribe una expresión vectorial que describa la onda

b) Calcule la densidad de flujo considerando que la onda está en el vacío

4. En el laboratorio, explique con detalle el procedimiento para determinar el estado de

polarización y la velocidad de propagación de una onda electromagnética

5. Los límites de presión que puede percibir un detector son 2x10-5 y 28 Nm-2. En cada caso

determine

a) Las intensidades absolutas y relativas

b) La amplitud de las oscilaciones si la frecuencia es de 500 Hz

6. ¿Qué fuerza se ejercerá en promedio en el lado plano (40 m x 50 m) sumamente reflector

de una pared de la estación espacial mientras está en órbita alrededor de la Tierra?



14

Ejercicio 10

Una fibra óptica consta de un núcleo de vidrio con índice de refracción nf. Rodeado por una cubierta con índice de refracción nc y tal que nc<nf. Un haz de luz, proveniente

del aire (n0=1) penetra en la fibra con cierto ángulo θi con respecto al eje de la misma. Determine

el valor máximo de θi (θmax) de tal forma que el haz de luz se refleje totalmente a lo largo del

cuerpo de la fibra

La siguiente figura muestra el comportamiento de los haces de luz en el interior y exterior de la fibra

Donde de la Ley de Snell, en las interfaces aire-fibra y fibra-cubierta, respectivamente se tiene:

n0sin 𝜃𝑖1 = nfsin 𝜃𝑡1 𝑦

nfsin 𝜃𝑖2 = ncsin𝜋

2

Si además se cumple que:

𝜃𝑡1 =𝜋

2− 𝜃𝑖2

Entonces

nfsin (𝜋

2− 𝜃𝑖2) = nfcos 𝜃𝑖2 = 𝑛𝑓√1 − sin2 𝜃𝑖2

sin 𝜃𝑖2 =𝑛𝑐

𝑛𝑓

Al final se obtiene que



15

𝑛0 sin 𝜃𝑖1 = 𝑛𝑓√1 − (𝑛𝑐

𝑛𝑓)

2

O bien que

𝜃𝑖1 = sin−1 (1

𝑛0√𝑛𝑓

2 − 𝑛𝑐2 )

Es decir, el valor máximo para 𝜃𝑖1 (𝜃𝑚𝑎𝑥) de tal forma que el haz de luz se refleje totalmente a lo

largo del cuerpo de la fibra.



16

Ejercicio 11

En el caso de la formación del arcoíris por reflexión primaria, determine

a. El radio angular del arco iris

b. El ángulo de incidencia correspondiente a la desviación mínima.

a. El radio angular del arco iris

La siguiente figura muestra lo que ocurre en el interior de una gota de agua en la situación

indicada arriba

Donde se observa que

2𝛾 + 𝛿 = 𝜋

𝜃𝑖𝐴 + 𝛾 + 𝛽 = 𝜋

Y ya que 𝜃𝑖𝐴=𝜃𝑖𝐵

2𝜃𝑡𝐴 + 𝛽 = 𝜋

Así que, restando las últimas dos ecuaciones, el radio angular 2γ resulta ser:

2𝛾 = 4𝜃𝑡𝐴 − 2𝜃𝑖𝐴



17

b. El ángulo de incidencia correspondiente a la desviación mínima.

Sea δ el ángulo de desviación indicado en la figura, entonces del inciso anterior

𝛿 = 𝜋 + 2𝜃𝑖𝐴 − 4𝜃𝑡𝐴

O bien, de la Ley de Snell

𝛿 = 𝜋 + 2𝜃𝑖𝐴 − 4 sin−1 (sin 𝜃𝑖𝐴

𝑛)

donde n0=1

Los valores extremos de esta función son tales que:

4

𝑛2(1 − sin2 𝜃𝑖𝐴) = 1 −

sin2 𝜃𝑖𝐴

𝑛2

De donde 𝜃𝑖𝐴 es tal que

sin 𝜃𝑖𝐴 = √4 − 𝑛2

𝛽

Adicionalmente, bajo esta condición, para el inciso anterior

2𝛾 = 4 sin−1 (1

𝑛√

4 − 𝑛2

𝛽) − 2 sin−1 (√

4 − 𝑛2

𝛽)



18

Ejercicio 12

Cuestionario

1. Responda de manera concisa:

a) ¿En qué consiste el fenómeno que llamamos “sonido”?

b) ¿Cuál es la diferencia entre “sonido” y “audición”?

c) ¿En qué consiste la perturbación ondulatoria en el caso de las ondas sonoras?

d) ¿A qué se deben las similitudes que existen entre la luz y el sonido?

e) ¿Cuáles son las principales diferencias entre luz y sonido?

2. Dos espejos planos forman un ángulo α=50°, como se muestra

en la figura. Demuestre que el sistema desvía el rayo incidente

un ángulo δ=100°, esto es, el doble de α, independientemente

del valor del ángulo de incidencia.

3. Determine el mínimo valor que debe tener el ángulo α del

prisma mostrado, para que un rayo que incida normalmente a la

cara 1, como se indica en la figura, se refleje totalmente en la

cara 2, como se muestra. El índice de refracción del material es

np=1.7 y el del aire que lo rodea na=1.

4. Se tiene un prisma de vidrio, con un índice de refracción n=1.5,

con un ángulo α entre sus caras refractoras de 60°. Calcule las

desviaciones β1 y β2 que experimenta un rayo de luz al pasar por

la primera y la segunda cara del prisma, respectivamente, si su

ángulo de incidencia θi1 en la primera cara es de 30°.



19

SOLUCIÓN

a) Sonido: es la perturbación ondulatoria por un medio (comúnmente el aire) por el cual

se propagan vibraciones.

b) Sonido son las perturbaciones en el medio.

Audición es la capacidad del ser humano de recibir estímulos externos en este caso el

sonido

c) Consiste en la compresión del medio el cual perturba moléculas a su alrededor y

provoca la propagación de la compresión por lo tanto de la perturbación.

d) Se deben a que ambos son ondas y tienen muchas características en común como

tener frecuencia, longitud de onda, etc.

e) Su medio de transmisión la luz es una onda electromagnética la cual se puede

propagar en el vacío, el sonido necesariamente requiere de un medio ya que es

mecánica. Otra diferencia sería su velocidad de propagación la luz es mucho más

rápida lo que ocasiona el desfase entre percibir una antes que la otra.

2) Sea Δ ADC

90 − 𝜃𝑟 + 𝛼 + 90 − 𝜃𝑟 = 180 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟

2𝜃𝑟 = 50°

𝜃𝑟 = 25°

Del ΔABC

2𝜃𝑟 + 2𝜃𝑟 + 𝜃 = 180°

4𝜃𝑟 + 𝜃 = 180°

4(25) + 𝜃 = 180; 100 + 𝜃 = 180 𝜃 = 80

𝜃 + 𝛿 = 180 ; 𝛿 = 180 − 80 = 100°



20

3)

np=1.7

na=1

Ley de Snell

𝑛𝑖 sin 𝜃𝑖 = 𝑛𝑡 sin 𝜃𝑡

𝑛𝑖 sin 𝜃𝑖 = 𝑛𝑡 sin 90

sin 𝜃𝑖 =𝑛𝑡

𝑛𝑖

𝜃𝑖 = sin−1 (𝑛𝑎

𝑛𝑝) = 36.03°

Del ΔABC

90 + 𝛼 + 90 − 𝜃𝑖 = 180

𝛼 = 𝜃𝑖 = 36.03



21

4)

Ley de Snell

𝑛𝑎 sin 𝜃𝑖1 = 𝑛𝑝 sin 𝜃𝑡1

𝜃𝑡1 = sin−1 (sin 𝜃𝑖1

𝑛𝑝) = sin−1 (

sin 30

1.5) = 19.471

𝜃𝑖1 = 𝛽1 + 𝜃𝑡1 (𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒)

𝛽1 = 𝜃𝑖1 − 𝜃𝑡1 = 30 − 19.471 = 10.528°

Del ΔABC

𝛼 + 90 − 𝜃𝑡1 + 𝜃 = 180

𝜃 = 180 − 𝛼 − 90 + 𝜃𝑡1 = 180 − 60 − 90 + 19.471 = 49.471°

De la figura

𝜃𝑖2 = 90 − 𝜃 = 90 − 49.471 = 40.529°

Ley de Snell

𝑛𝑝 sin 𝜃𝑖2 = 𝑛𝑎 sin 𝜃𝑡2

𝜃𝑡2 = sin−1(𝑛𝑝 sin 𝜃𝑖2) = sin−1(1.5 sin 40.529) = 77.096°

𝜃𝑡2 = 𝜃𝑖2 + 𝛽2

𝛽2 = 𝜃𝑡2 − 𝜃𝑖2 = 36.567°



22

Ejercicio 13

1) Se tienen dos lentes L1 y L2, con distancias focales f1=-15 cm y f2=20 cm,

respectivamente, a 40 cm una de la otra. Si se coloca una fuente puntual como indica la

figura

a) La distancia, con respecto a la lente L1, de la imagen

generada por ésta, de la fuente puntual es:

Si1= -10 cm

b) La distancia con respecto a la lente L2 de la imagen

de la fuente generada por el sistemas es:

Si= 33.33 cm

c) Si la fuente puntual se reemplaza por una lamparita

de 2 cm de diámetro, el diámetro de su imagen final

será:

Di= 0.4356 cm

2) Para un telescopio con distancias focales fobj=+250 mm y focul=+50 mm y un objetivo de 50

mm de diámetro,

a) El poder de aumento es: PA= 5X

b) La distancia del ocular a la pupila de salida, cuando el telescopio se enfoca al infinito

es: Sps= 60 mm

c) El diámetro de la pupila de salida es: Dps= 10 mm

3) Cierto microscopio compuesto está provisto de objetivos intercambiables cuyas distancias

focales son de 16 mm, 4 mm y 1.9 mm, y de oculares, también intercambiables, con

aumentos angulares de 5x y 10x. Dado que cada objetivo forma una imagen real situada a

160 mm de su foco imagen, los valores mínimo y máximo del poder de aumento total que

se puede obtener con dicho microscopio son:

(PA)min=

(PA)máx=



23

SOLUCIÓN

1)

a) Calcular Si1

𝑆𝑖 =𝑆𝑜∗𝑓

𝑆𝑜−𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑆𝑜 = 30𝑐𝑚 y f=-15cm

𝑆𝑖1 =30 ∗ (−15)

30 − (−15)= −10𝑐𝑚

b) Calcular Si2

Obtenemos So2

𝑆𝑜2 = 40 − (−10) = 50𝑐𝑚 𝑦 𝑓 = 20 𝑐𝑚

𝑆𝑖2 =50 ∗ 20

50 − 20= 33.33 𝑐𝑚

d) Si reemplazamos la fuente puntual:

Obtenemos el tamaño que generaría la primera lente:

Calculamos el Mt de la lente 1:

𝑀𝑇 =−𝑆𝑖

𝑆𝑜=

−(−10)

30= 0.33 𝑦 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑀𝑇 = 0.33 =

𝑦𝑖

𝑦𝑜

𝑑𝑒𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦𝑖

𝑦𝑖 = (0.33)(2𝑐𝑚) = 0.66𝑐𝑚 ← 𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛

Tomando la primera imagen como el objeto para la segunda lente:

Calculamos el MT de la lente 2:

𝑀𝑇 =−𝑆𝑖

𝑆𝑜=

−33.33

50= −0.66 𝑦 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑀𝑇 = −0.66 =

𝑦𝑖

𝑦𝑜

Despejamos yi:

𝑦𝑖 = (−0.66)(0.66) → 𝑦𝑖 = −0.4356 𝑐𝑚



24

2)

a) poder de aumento

𝑃𝐴 =𝑓𝑜𝑏𝑗

𝑓𝑜𝑐𝑢𝑙=

250 𝑚𝑚

50𝑚𝑚= 5𝑥

b) Distancia del ocular a la pupila de salida

𝑑 = 𝑓𝑜𝑐𝑢𝑙 + 𝑓𝑜𝑏𝑗 = 𝑆𝑜 𝑦 𝑆𝑖 =𝑆𝑜 ∗ 𝑓𝑜𝑐𝑢𝑙

𝑆𝑜 − 𝑓𝑜𝑐𝑢𝑙

𝑆𝑖 =(250 + 50)50

(250 + 50) − 50= 60𝑚𝑚

c)Diámetro de la pupila de salida:

𝑀𝐴 =𝐷𝑜𝑏𝑗

𝐷𝑝𝑠; 𝐷𝑝𝑠 =

𝐷𝑜𝑏𝑗

𝑀𝐴=

50 𝑚𝑚

5= 10

𝑓𝑜𝑐𝑢𝑙

𝑓𝑜𝑏𝑗=

𝐷𝑝𝑠

𝐷𝑜𝑏𝑗; 𝐷𝑜𝑏𝑗 = (

50

250) (50) = 10

3)

fobj Mocul

16 mm 5x 4 mm 1.9 mm 10x Si=160mm

𝑀𝐴𝑇 = (𝑀𝑇𝑜𝑏𝑗)(𝑀𝐴𝑜𝑐𝑢𝑙)

𝑀𝑇𝑜𝑏𝑗 =𝑦𝑖

𝑦𝑜

𝑀𝐴𝑜𝑐𝑢𝑙 =𝑑𝑜

𝑓𝑜𝑐𝑢𝑙

𝑆𝑜 =𝑓 ∗ 𝑆𝑖

𝑆𝑖 − 𝑓

Sabemos que 𝑀𝑇𝑜𝑏𝑗 =−𝑦𝑖

𝑦𝑜= −

𝑆𝑖

𝑆𝑜



25

Sustituimos la So:

𝑀𝑇𝑜𝑏𝑗 =−𝑆𝑖 + 𝑓

𝑓

Entonces 𝑀𝐴 = (−𝑆𝑖+𝑓

𝑓) 𝑀𝐴𝑜𝑐𝑢𝑙

𝑀𝐴1 = (160 + 16

16) (5) = 55

𝑀𝐴2 = (−160 + 4

4) (5) = −195

𝑀𝐴3 = (−160 + 1.9

1.9) (5) = −416.05

𝑀𝐴4 = (−160 + 16

16) (10) = −90

𝑀𝐴5 = (−160 + 4

4) (10) = −390

𝑀𝐴6 = (−160 + 1.9

1.9) (10) = −832.10 (𝑚𝑎𝑙)



26

Ejercicio 14

Una Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales es una ecuación que contiene una o más

derivadas parciales.

Verifique por sustitución que la función

𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 ∗ 𝑒−𝑎2𝑡

Satisface la ecuación

𝑓𝑡 = 𝑓𝑥𝑥

Donde a Є R

Solución:

Si ft y fxx denotan las derivadas parciales primera y segunda de f(x,t) con respecto de t y x

respectivamente, se tiene que:

𝑓𝑥 = −𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 𝑒−𝑎2𝑡

𝑓𝑥𝑥 = −𝑎2 cos 𝑎𝑥 𝑒−𝑎2𝑡 = 𝑓𝑡

Verificándose la identidad.



27

Ejercicio 15

Compruebe directamente, usando la regla de la cadena, que la función

𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑝𝑡); 𝑣𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Satisface la ecuación de onda unidimensional

𝑓𝑡𝑡 = 𝑣𝑝2𝑓𝑥𝑥

Solución:

Sea s(x,t) = x ± vpt, entonces:

𝑓𝑡 =𝜕𝑓

𝜕𝑠∗

𝜕𝑠

𝜕𝑡= ±

𝑣𝑝𝜕𝑓

𝜕𝑠

𝑓𝑡𝑡 =𝜕

𝜕𝑡(±𝑣𝑝

𝜕𝑓

𝜕𝑠) = ±𝑣𝑝

𝜕

𝜕𝑡(

𝜕𝑓

𝜕𝑠) = 𝑣𝑝

2𝜕

𝜕𝑠 (

𝜕𝑓

𝜕𝑠) = 𝑣𝑝

2𝜕2𝑓

𝜕𝑠2

Por otro lado:

𝑓𝑥 =𝜕𝑓

𝜕𝑠∗

𝜕𝑠

𝜕𝑥=

𝜕𝑓

𝜕𝑠

𝑓𝑥𝑥 =𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑓

𝜕𝑠) =

𝜕

𝜕𝑠(

𝜕𝑓

𝜕𝑥) =

𝜕

𝜕𝑠 (

𝜕𝑓

𝜕𝑠) =

𝜕2𝑓

𝜕𝑠2

Al final se comprueba sustituyendo que:

𝑓𝑡𝑡 = 𝑣𝑝2

𝜕2𝑓

𝜕𝑠2= 𝑣𝑝

2𝑓𝑥𝑥

Donde es notable la continuidad de f(x,t)



28

Ejercicio 16

Emplear el método Fourier para resolver el problema de la vibración de una cuerda elástica de

longitud L, con extremos fijos, sujeta a una tensión T que inicie su movimiento desde el reposo y

cuyo perfil en t=0 sea g(x).

Solución:

Sea f(x,t) el desplazamiento vertical de un elemento diferencial de cuerda tal que satisfaga la

ecuación:

𝑓𝑡𝑡 = 𝑣𝑝2𝑓𝑥𝑥

Con las condiciones de contorno:

i. f(0,t) = f(L,t) = 0 (t>0)

ii. f(x,0) = g(x) (0 < x < L)

iii. ft(x,0) = 0 (0 < x < L)

Se propone entonces la solución:

F(x,t) = G(x) H(t)

Que al sustituir en la ecuación de onda resulta:

𝐺(𝑥)�̈�(𝑥) = 𝑣𝑝2𝐺´´(𝑥)𝐻(𝑡)

Aquí la notación es clara para las derivadas respecto de t(.) y respecto de x (´)

Separando a las variables (método de Fourier) se tiene que:

𝐺´´(𝑥) = 𝐻(𝑡)̈

𝐺(𝑥) = 𝑣𝑝2𝐻(𝑡)

Y si llamamos λ a la constante de separación se generan dos ecuaciones diferenciales ordinarias

acopladas para las funciones G y H, respectivamente:

𝐺´´(𝑥) + 𝜆𝐺(𝑥) = 0

𝐻(𝑡)̈ + 𝜆𝑣𝑝2𝐻(𝑡) = 0

Aplicando ahora las condiciones de contorno i y iii a la solución propuesta se observa que:

𝐺(0) = 𝐺(𝐿) = 0 𝑦 �̈�(0) = 0



29

Supóngase el caso en que λ > 0 (el análisis de los casos λ=0 7 λ<0 se dejan al lector) y tal que λ=k2

entonces:

𝐺´´(𝑥) + 𝑘2𝐺(𝑥) = 0

Donde ha de cumplirse que G(0) = G (L) = 0

Cuya solución bien conocida se escribe:

G(x)= P coskx + Q sinkx

En donde, de lo anterior, es claro que P=0 y que

Sin kL=0

Es decir: 𝜆 = 𝑘2 =𝑛2𝜋2

𝐿2 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1,2,3, …

Y en general: 𝐺𝑛(𝑥) = 𝑄𝑛 sin (𝑛𝜋𝑥

𝐿)

Similarmente y para el valor de λ encontrado se tiene:

�̈�(𝑡) +𝑛2𝜋2𝑣𝑝

2

𝐿2 𝐻(𝑡) = 0

Donde ha de cumplirse que �̇�(0) = 0

Cuya solución se escribe:

𝐻(𝑡) = 𝑅𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑣𝑝𝑡

𝐿) + 𝑆 sin (

𝑛𝜋𝑣𝑝𝑡

𝐿)

Y de lo anterior es claro que 𝑆 (𝑛𝜋𝑣𝑝𝑡

𝐿) = 0 de donde S=0 para que

𝐻(𝑡) = 𝑅𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑣𝑝𝑡

𝐿)

Y en general, para que cada entero positivo:

𝐻𝑛(𝑡) = 𝑅𝑛 cos (𝑛𝜋𝑣𝑝𝑡

𝐿)



30

Entonces según la solución propuesta:

𝑓(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑓𝑛

∞

𝑛=1

(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐴𝑛 sin (𝑛𝜋𝑥

𝐿) cos (

𝑛𝜋𝑣𝑝𝑡

𝐿)

∞

𝑛=1

Donde An = QnRn y es tal que condición de entorno ii. :

𝑔(𝑥) = ∑ 𝐴𝑛 sin (𝑛𝜋𝑥

𝐿)

∞

𝑛=1

El desarrollo en serie de senos de Fourier para g(x) (0 <= x <=L); de manera que como es habitual:

𝐴𝑛 =1

𝐿 ∑ 𝑔(𝑥) sin (

𝑛𝜋𝑥

𝐿)

𝐿

0

𝑑𝑥



31

Ejercicio 17

Verifique explícitamente que la función armónica:

𝑔(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥+𝜔𝑡) + 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜋)

Donde k=2π y ω=2πf

Satisface la ecuación de onda unidimensional

Solución:

Ya que eiπ = -1 g(x, t) puede escribirse en la forma:

𝑔(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥)(𝑒𝑖(𝜔𝑡) − 𝑒−𝑖𝜔𝑡)

De donde:

𝑔𝑡 = 𝑖𝜔𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥)(𝑒𝑖(𝜔𝑡) + 𝑒−𝑖𝜔𝑡)

Y

𝑔𝑡𝑡 = −𝜔2𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥)(𝑒𝑖(𝜔𝑡) − 𝑒−𝑖𝜔𝑡)

Y ya que: ω=kvp

𝑔𝑡𝑡 = 𝑣𝑝2 (−𝑘2𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥)(𝑒𝑖(𝜔𝑡) − 𝑒−𝑖𝜔𝑡)) = 𝑣𝑝

2𝑔𝑥𝑥

La identidad pedida.

En el ejercicio anterior para la función g(x,t) la cual representa una onda estacionaria

propagándose en la dirección ±x, establezca los modos de vibración de la cuerda asumiendo que

g(x,t)=0 en x=0 y x=L (condiciones de contorno).



32

Solución:

Sea

𝑔(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥)(𝑒𝑖(𝜔𝑡) − 𝑒−𝑖𝜔𝑡)

Que puede escribirse en la forma ( ya que 𝑠𝑖𝑛 ∝=𝑒𝑖∝−𝑒−𝑖∝

2𝑖):

𝑔(𝑥, 𝑡) = 2𝑖𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

Considérese ahora la parte real de g(x,t), es decir:

𝑅𝑒{𝑔(𝑥, 𝑡)} = 2𝑖𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

E impónganse las condiciones de contorno; esto es si x=0 g(x,t)=0 y si x=L g(x,t) = 0; lo que

implica que:

Sin kL=0 y kL= nπ n=1,2,3,

De donde si 𝑘 =2𝜋

𝜆 se cumple que:

𝜆𝑛 =2𝐿

𝑛

O bien si 𝑓𝑛 =𝑣𝑝

𝜆𝑛

𝑓𝑛 = 𝑛 (𝑣𝑝

2𝐿)

Donde para n=1 𝑓1 =𝑣𝑝

2𝐿 es la llamada frecuencia fundamental.

Recuerde que en este caso, cuerda tensa fija en los extremos 𝑣𝑝2 =

𝑇

𝜇



33

Ejercicio 18

En un medio dispersivo la velocidad de grupo (vg) es la velocidad con que se transmite una señal.

Compruebe que si vp=w/k entonces 𝑣𝑔 = 𝑣𝑝 + 𝑘𝑑𝑣𝑝

𝑑𝑘.

Además si la relación de dispersión es w=dk2 (d=constante) encuentre expresiones para vg y vp.

Solución:

Ya que 𝑣𝑔 =𝑑𝑤

𝑑𝑘 y 𝑤 = 𝑣𝑝𝑘

𝑣𝑔 =𝑑

𝑑𝑘(𝑣𝑝𝑘) = 𝑣𝑝 + 𝑘

𝑑𝑣𝑝

𝑑𝑘; 𝑙𝑜 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜.

Ahora, si w=dk2

𝑣𝑝 =𝑤

𝑘=

𝑑𝑘2

𝑘= 𝑑𝑘 𝑦 𝑣𝑔 =

𝑑𝑤

𝑑𝑘= 2𝑑𝑘 = 2𝑣𝑝

Lo que hubiese resultado de emplear la identidad demostrada.



34

Ejercicio 19

Considere el caso de una onda armónica propagándose en dirección de la unión (x=0) de dos cuerdas

tensas cuyas densidades lineales de masa son µ1 y µ2 (tales que µ1 < µ2 ) respectivamente.

Suponga que los extremos de las cuerdas se encuentran muy alejados de la unión y estudie el caso

en que existan a lo largo de las cuerdas una onda incidente, una onda reflejada y una onda

transmitida.

Con base en lo anterior determine:

a) La naturaleza de las condiciones de contorno para la unión.

b) Las relaciones entre amplitudes para las ondas incidente, reflejada y transmitida.

En el caso de ondas armónicas propagándose a lo largo de una cuerda tensa, determine la densidad

y el flujo de energía.

Solución:

Sea 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡)la función de onda asociada a tal perturbación, donde A se mide en

metros y sean además T y µ la tensión y la densidad lineal de masa, respectivamente, consideradas

como constantes.

Entonces la energía cinética de un elemento diferencial de masa tiene la forma:

𝐸𝑐 =1

2(𝜇𝑑𝑥)𝐹𝑡

2

donde representa la derivada parcial de f(x,t) con respecto del tiempo.

La energía potencial correspondiente puede calcularse en la forma:

𝐸𝑝 = −𝑊 = − ∫ (𝑇𝜕𝑥𝐹𝑥𝑥)𝑑𝑓𝑓

0

donde (𝑇𝜕𝑥𝐹𝑥𝑥) = (𝜇𝛿𝑥)𝑓𝑡𝑡es la fuerza neta sobre el elemento diferencial de cuerda y fxx y ftt

representan las segundas derivadas parciales de f(x,t) con respecto a las variables indicadas.



35

Ahora si 𝑓𝑥𝑥 = −𝑘2𝑓 la Energía Potencial se escribe como:

𝐸𝑝 =1

2𝑇𝑘2𝑓2𝜕𝑥

Y la densidad lineal de energía Ɛ toma la forma

휀 =1

𝜕𝑥(𝐸𝑐 + 𝐸𝑝)

휀 =1

2𝜇𝜔2𝐴2𝑠𝑖𝑛2(𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡) +

1

2𝑇𝑘2𝐴2𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡)

Y si 𝜇𝜔2 = 𝑇𝑘2

휀 =1

2𝜇𝜔2𝐴2

Y al final el flujo S viene a ser

𝑆 =𝑑

𝑑𝑡(𝐸𝑐 + 𝐸𝑝) = 𝑣휀

𝑆 =1

2(𝜇𝜔2𝐴𝑣)

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