A

B

C D

E G H F

J

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA

EVIDENCIA DEL APRENDIZAJE – CÁLCULO VECTORIAL – EXAMEN UNIDAD 2

Para resolver realice un gráfico en cada ejercicio. No necesita transcribir los enunciados.

1. Para una torre eléctrica de base cuadrada de 5×5m y 15 metros de altura (de forma piramidal como se indica

en la figura), se utilizaron 20 varillas de aluminio (el nivel del cuadrado EFGH es 7.5 metros). Calcule:

(a) Las longitudes de las 20 varillas

___

AE = ___

BF = ___

CG = ___

DH = ___

EJ = ___

FJ = ___

GJ = ___

HJ = ?

___

AF = ___

BE = ___

BG = ___

CF= ___

CH = ___

DG = ___

DE = ___

AH = ?

___

EF = ___

FG = ___

GH = ___

EH = ?

(b) La longitud total en metros del aluminio utilizado. (c) Si un metro lineal de aluminio cuesta $4.60, ¿cuál es el costo del material de esta torre?

(2 puntos)

Solución: La proyección de J al cuadrado ABCD es el punto

P = (2.5, 2.5, 0), y se forma el triángulo rectángulo APJ, así:

07.755AC 22____

=+=

54.32/07.7AP____

==

41.151554.3AJ 22___

=+=

71.72/AJAE________

== m

(a) ___

AE = ___

BF = ___

CG = ___

DH = ___

EJ = ___

FJ = ___

GJ = ___

HJ = 7.71m ✔

El ángulo PAJ = arc sen

41.15

15 = °75.76

El punto J proyecta un punto Q en el cuadrado EFGH cuyas coordenadas son Q = (2.5, 2.5, 7.5) y genera un triángulo rectángulo EQJ: El ángulo QEJ = al ángulo PAJ = °75.76

79.15.771.7EQ 22____

=−=

En el cuadrado EFGH la diagonal es 58.3279.1 =× = ____

EG

2____2____2____2____

EF2FGEFEG ×=+= ∴ 2

EGEF

________

= = 5.22

58.3 = m

A=(0,0,0) P=(2.5, 2.5, 0)

J=(2.5, 2.5, 15)

J

E Q

___

EF = ___

FG = ___

GH = ___

EH = 2.5m ✔

Las coordenadas de los puntos E, F, G, H son: E = (1.25, 1.25, 7.5), F = (3.75, 1.25, 7.5), G = (3.75, 3.75, 7.5),

H = (1.25, 3.75, 7.5), que son suficientes para obtener el vector →

AF =→

BE, etc. →

AF = >< 5.7,25.1,75.3 ∴ →

AF = 222 5.725.175.3 ++ = 8.48m

___

AF = ___

BE = ___

BG = ___

CF= ___

CH = ___

DG = ___

DE = ___

AH = 8.48m ✔ (b) Longitud total = 48.885.2471.78 ×+×+× = 139.52m ✔

(c) Costo = m

usdm 60.452.139 × = 641.79 dólares

2. Obtenga la función ( )yxf , del plano que contiene al triángulo cuyas coordenadas son A = ( 7 , 2.35, –8) ,

B = ( 15 , –2, 1.36) y C = (–5, –4.17, 19 ). (1 punto) Solución:

>−=<=→→

36.9,35.4,23.1ABu

>−−=<=→→

36.12,52.6,65.7ACv

→→

×= vun

36.12 52.6 65.7

36.9 35.4 23.1

−−−=

kji

kji 30.4181.8626.7 −−=

>−−=< 30.41,81.86,62.7n

>=< cban ,,

( ) ( ) ( ) 0111 =−+−+− zzcyybxxa

( ) ( ) ( ) 036.130.41281.861562.7 =−−+−− zyx 017.5630.4162.17381.8651.2962.7 =+−−−− zyx 56.310.218.0 −−= yxz

( ) 56.310.218.0, −−= yxyxf ✔ Verificación x y z

7 2.35 –8.01

3. Calcule el ángulo entre los dos paralelogramos y las coordenadas del punto D, según se indica en la siguiente figura:

Coordenadas A = (0, 0, 0)

B = (5, 0, 0) C = (7, 3, 5) D = (a, b, c) E = (0, –4, 0) F = (2, –1, 5) (1 punto) Solución: Normales:

→→×= AFAE1n

5 1 2

0 4 0

−−=

kji

= ki 820 +− = >−< 8,0,20

→→×= ACAB2n

5 3 7

0 0 5

kji

= = kj 1525 +− = >−< 15,25,0

1201580021 =×++=⋅ nn

54.21820 221 =+=n

15.291525 222 =+=n

21

21cosnn

nn ⋅=θ = =

× 15.2954.21

120 0.191116

°= 98.78θ ✔

Las coordenadas del punto D: a = 7 – 5 = 2 b = –1 + 4 = 3 c = 5 ∴ D = (2, 3, 5) ✔

4. Calcule las coordenadas del punto crítico P de la función ( ) ( )22 35225

2, xyyxxyyxf −−= .

(2 puntos)

Solución:

( ) ( )2310225

2, yxyyyxf x −−=

( ) ( )xyxxyxf y 65225

2, 2 −−=

−−=

−−=

xyxx

yxyy

65220

3102202

2

⇒ ( )( )

−−=−−=

yxx

yxy

65220

310220 ⇒ ( )

−⇒−−=−−=

265220

310220

yx

yx ⇒

++−=−−=

yx

yx

1210440

310220

y9220 +−=

9

22=y

yx 310220 −−=

−−=9

22310220 x

3

222210 −=x

15

22=x ∴

−

−

=22

9

22

15

223

9

22

15

225

9

22

15

2222

5

2z = 10.52

P = (15

22,

9

22, 10.52) ✔

P = (1.47, 2.44, 10.52) ✔

Realizado por: Revisado por: __________________ __________________ Ing. Iván Collantes V. Ing. Jorge Sánchez M. Docente Coordinador Latacunga, 3 de julio de 2015. TERCERA TAREA VIRTUAL: Realizar la parte tridimensional de los ejercicios del examen en GeoGebra y subirlos al aula virtual (son cuatro archivos gráficos *.ggb) hasta el miércoles 8 de julio en horas de la noche.