Ejercicios de Disperción

UNED. ELCHE. e-mail: [email protected] TUTORÍA DE FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA APLICADOS AL TURISMO http://personal.telefonica.terra.es/web/imm/

Tema 4

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EJERCICIOS DE MEDIDAS DE DISPERSIÓN, DE CONCENTRACIÓN Y FORMA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS UNIDIMENSIONAL (CAPÍTULO 4)

PROPUESTOS EN EXÁMENES 1º) Se atribuye al dramaturgo irlandés Bernard Shaw la siguiente frase:"Si yo me como dos pollos y tu ninguno, la Estadística afirma que cada uno de nosotros, en promedio, nos comemos un pollo". Utilice Vd. la metodología estadística para precisar el alcance y crítica de la anterior afirmación. (Junio 2003) Solución.- Si X = “nº de pollos que se come cada persona”, podemos construir la siguiente tabla de frecuencia:

xi ni xini xi2 xi

2ni 0 1 0 0 0 2 1 2 4 4

Totales: 2 2 4

De donde: Media = 22

= 1; Varianza = 4 – 1 = 3; Desviación típica = 3 ; Coeficiente de

variación = 31

= 3 ≅ 1,73.

Así pues, aunque la media aritmética es 1, pero el coeficiente de variación es grande (mayor que 1) por lo que la dispersión es muy grande y podemos considerar que la media aritmética no es representativa de la población. 2º) Explique el significado del coeficiente de variación de Pearson en dos variables que tienen como media 110 y 30, respectivamente y, como varianza 1024 en el primer caso y 196 en el segundo.(Junio 2003 reserva) Solución.-

1ª variable: coeficiente de variación = 1024 32110 110

= ≅ 0,291

2ª variable: coeficiente de variación = 196 1430 30

= ≅ 0,467

El coeficiente de variación de Pearson es una medida relativa de la dispersión mientras que la varianza (o la desviación típica) es una medida absoluta. En este caso, tiene mayor dispersión absoluta la 1ª variable pero, no obstante, posee menos dispersión relativa DE REFUERZO 1º) En el ejercicio 1º de los propuestos en exámenes, razónese si es consistente afirmar, para alguna de ambas situaciones, que el índice de Gini vale 0,5. Solución.- En la primera situación el índice de Gini es 1 (máxima concentración) y en la segunda situación es cero (mínima concentración). 2º) Se conocen los siguientes datos de dos distribuciones D1 y D2 simétricas y unimodales:


Tema 4

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D1 : S12 = 42,25 Mediana Me1 = 26

D2: S22 = 42,25 Moda Mo2 = 39

Para poder compararlas, decir cuál de ellas presenta mejores características en cuanto a su dispersión Solución.- Por ser simétricas unimodales, Media = Mediana = Moda, luego, calculando los ceoficientes de variación respectivos:

CV1 = 42,2526

= 0,25 ; CV2 = 42,2539

= 0,16

de donde se deduce que la distribución D2 posee menos dispersión que la D1 y por tanto, la media de D2 es más representativa que la de D1. 3º) La media de una distribución de frecuencias unidimensional xi con total de N = 40 datos tiene un valor de x = 5, su varianza S2 = 1,5 y la moda Mo = 7. Calcular las nuevas x , S2 y Mo y N para la distribución xi +5, con las mismas frecuencias absolutas.

4º) Se dispone de la siguiente información de dos distribuciones simétricas y campaniformes:

A B

Me = 10 Mo = 25 S2 = 30 S2 = 36

¿Cuál de las dos distribuciones presenta mayor variabilidad?: a) Por ser simétricas las dos presentan la misma variabilidad b) La que tiene menor varianza; c)La distribución A; d)Ninguna de las anteriores. Solución.-

Por ser simétricas, x = Me = Mo, luego el coeficiente de variación es CVA = 1030 =

= 0,547... y CVB = 256 = 0,24, es decir la A presenta mayor variabilidad.

5º) a) Medidas de dispersión; b) calcular la varianza, la desviación típica y el recorrido semiintercuartílico de la siguiente distribución:

xi ni 2 34 28 49 7

11 10


Tema 4

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Solución.- xi ni xi·ni xi

2 xi2·ni Ni

2 3 6 4 12 3 4 2 8 16 32 5 8 4 32 64 256 9 9 7 63 81 567 16

11 10 110 121 1210 26 26 219 2077

De aquí se obtiene: 99,2S94,8xxS;88,7926

2077x;42,826

219x x222

x2 ≅⇒≅−=≅=≅=

Cálculo del recorrido semiintercuartílico: el 25% de 26 es 6,5 luego Q1 = 8; el 75% de 26 es 19,5 luego Q3 = 11; así pues:

Recorrido semiintercuartílico= 23

2QQ 13 =

− = 1,5

6º) Con los siguientes datos, formar una distribución de frecuencias y calcular la media cuadrática, la desviación típica la varianza y la desviación media:

11 10 1 3 111 3 11 7 1010 3 7 3

7º) Calcular, en la siguiente distribución, la varianza, la desviación típica, el coeficiente de variación de Pearson, el rango y la desviación media:

xi ni −3 1−1 3

2 25 66 4

8º) a) Defina el coeficiente de variación de Pearson en una distribución unidimensional de frecuencias y explique su significado. b) En una distribución unidimensional de frecuencias, ¿cómo afectaría un cambio de origen y un cambio de escala a la varianza? Solución.-

a) Las tres iguales.a) CV = xs . El coeficiente de variación de Pearson proporciona una

medida relativa de dispersión de forma que sirve para comparar la dispersión de dos distribuciones diferentes.También su valor es una indicación de la representatividad de la media aritmética. Así, si CV = 0 la representatividad de la media sería máxima ; entre 0,5 y 1, la media tiene una baja representatividad y a partir de 1, la media no es prepresentativa de la distribución. b) Si xi = Cyi + O ⇒ Sx

2= C2Sy2


Tema 4

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9º) Probar que en una distribución el momento de 2º orden de una variable respecto a la media es la diferencia entre el momento del mismo orden respecto al origen y el cuadrado de la media aritmética. Solución.- a) Con mayor frecuencia absoluta: la moda ; deja a su izquierda el mismo número de frecuencias que a su derecha: la mediana ; dividen a la distribución en cuatro partes iguales: los cuartiles Q1, Q2 y Q3 ;

b) m2 = ( )1 1 12

11

2 21 1

2

1111n

x a nn

x nn

a x nn

a ni i i i i i i

i

r

i

r

i

r

i

r

− = − +====

∑∑∑∑ = a2 −2a12 + a1

2 =

= a2 − a12

10º) En la siguiente distribución de frecuencias, calcular la media aritmética, el recorrido intercuartílico y la varianza:

clases ni De 0 a 4 2de 4 a 9 3de 9 a 12 6de 12 a 18 2de 18 a 26 5

Solución.- clases xi ni xini Ni xi

2 xi2ni

De 0 a 4 2 2 4 2 4 8 de 4 a 9 6,5 3 19,5 5 42,25 126,75 de 9 a 12 10,5 6 63 11 110,25 661,5 de 12 a 18 15 2 30 13 225 450 de 18 a 26 22 5 110 18 484 2420 18 226,5 3666,25

358,1218

5,226x == ;

36,10QQ8,188

5135,1318Q

61,853

25,44Q13

3

1=−⇒

=−

+=

=−

+=

s2 = 2358,1218

3666,25− = 203,6805 − 158,3402 7 = 45,3402 7

11º) Con los siguientes valores de las variables X y X' formar las distribuciones de frecuencias e indicar cuál de las dos está mejor representada por su media aritmética:

−−

2 6, 9, 4, 9, 6, 4, 9,12 9, 6, 9, 4, 6, 2, 9,

X ; X'

7 8, 4, 15, 7,7 8, 7, 5, 4,


Tema 4

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Solución.- xi ni xini xi

2 xi2ni

−2 2 −4 4 8 4 3 12 16 48 6 4 24 36 144 9 6 54 81 486

12 1 12 144 144 16 98 830

==⇒

=⇒≅⇒

==

==

62,0125,679,3CV

79,3S36,14S

875,5116830x

125,61698x

x

x2x

2

x’i ni x’ini x’i2 x’i

2ni4 2 8 16 325 1 5 25 257 4 28 49 1968 2 16 64 128

15 1 15 225 225 10 72 606

==⇒

=⇒≅⇒

==

==

41,02,7

96,2CV

96,2S76,8S

6,6010606'x

2,71072'x

'x

'x2

'x

2

La distribución de la x’ está mejor representada por su media por tener el coeficiente de variación más pequeño. 12º) Calcular la media armónica, desviación típica y desviación media de la siguiente distribución:

xi yi–4 2–2 1

1 56 2

10 6 Solución.-

xi ni 1/xi ni/xi xini xi − ani xi2ni

−4 2 −1/4 −1/2 −8 16,36 32 −2 1 −1/2 −1/2 −2 6,18 4

1 5 1 5 5 15,9 5 6 2 1/6 1/3 12 3,64 72

10 6 1/10 3/5 60 34,92 600 16 74/15 67 77 713

Media armónica H = 1

11

116

7415

12037

Nnx

i

ii∀

∑=

⋅= ≅ 3,24

La media aritmética a = 1N

x ni i

i∀

∑ = 6716

≅ 4,19 y la media cuadrática C2 =

= 1 2

Nx ni i

i∀

∑ ≅ 44,56 luego la desviación típica s = C a2 2− ≅ 5,2


Ejercicios tema 4

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Desviación media Dm = 1N

x a ni i

i

−∀

∑ ≅ 4,81

13º) En la siguiente distribución, en la que la variable toma los valores de los intervalos de la tabla, calcular la varianza, la mediana y la media geométrica:

Clases Nide 0 a 4 2de 4 a 6 1de 6 a 7 3de 7 a 9 7

de 9 a 11 4 Solución.-

Clases xi ni Ni xini xi2 xi

2ni 0 - 4 2 2 2 4 4 8 4 - 6 5 1 3 5 25 25 6 - 7 6,5 3 6 19,5 42,25 126,75 7 - 9 8 7 13 56 64 448 9 - 11 10 4 17 40 100 400

17 124,5 1007,75

x

xVarianza

= ≅

= ≅

⇒ ≅

124 517

7 321007 75

1759 28

5 6452

,,

,,

,

Me = 7 + 8 5 6

72

, −≅ 7,71

G = 2 5 6 5 8 101

172 3 7 417 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =, log G (2log2 + log5 + 3log6,5 + 7log8 + 4log10) ≅ 0,8271

⇒ G ≅ 6,716

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