Ejercicios de Geometria Analitica

Indice general

1. Sistema de coordenadas y graficas 21.1. Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Segmento rectilıneo dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Sistema coordenado lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Sistema coordenado en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1. Division de un segmento en una razon dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Division de un segmento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Angulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Resumen de formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Grafica de una ecuacion y lugares geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.1. Dos problemas fundamentales de la Geometrıa analıtica . . . . . . . . . . . . . 71.6.2. Grafica de una ecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.3. Intercepcion con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.4. Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.5. Extension de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.6. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.7. Construccion de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.8. Ecuaciones factorizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.9. Intersecciones de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.10. Ecuacion de un lugar geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7. Problemas... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7.1. de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7.2. de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. La lınea recta 122.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Ecuacion de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada . . . . . . . . 12

2.2.1. Ecuacion de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen . . . . . . . 122.2.2. Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. Ecuacion simetrica o canonica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Forma general de la ecuacion de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1. Posiciones relativas de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Forma normal de la ecuacion de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Reduccion de la forma general de la ecuacion de una recta a la forma normal . . . . . 142.6. Aplicaciones de la forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

i

INDICE GENERAL 1

2.7. Area de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Ecuaciones de la Circunferencia 183.1. Forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1. Forma general de la ecuacion de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Capıtulo 1

Sistema de coordenadas y graficas

1.1. Plano Cartesiano

1.1.1. Segmento rectilıneo dirigido

1.1.2. Sistema coordenado lineal

1.1.3. Sistema coordenado en el plano

1.2. Distancia entre dos puntos

Ejercicio:

1. En los ejercicios siguientes, encuentra la distancia entre los puntos citados.

a) A(1,−3), B(2, 5)

b) A(3,−2), B(3,−4)

c) A(1/2, 3/2), B(−5/2, 2)

d) A(√

2, 1), B(2√

2, 3)

e) A(√

3,−√

2), B(−3√

3,√

2)

2. En los ejercicios siguientes, determina si los tres puntos dados son colineales.

a) A(2, 1), B(4, 3), C(−1,−2)

b) A(−2, 3), B(7,−2), C(2, 5)

c) A(1,−1), B(3, 3), C(0,−3)

3. En los ejercicios siguientes, determina si los tres puntos dados son los vertices de un triangulorectangulo.

a) A(0, 2), B(−2, 4), C(1, 3)

b) A(9, 6), B(−5, 4), C(7, 10)

4. En los ejercicios siguientes, encuentra la cantidad desconocida.

a) A(1, 5), B(x, 2), AB = 5

b) A(−3, y), B(9, 2), AB = 13

c) A(x, x), B(1, 4), AB =√

5

d) A(x, 2x), B(2x, 1), AB =√

2

5. Uno de los extremos de un segmento rectilıneo de longitud igual a 17 es el punto A(1,−11); sila ordenada del otro extremo es 4, halla su abscisa (dos soluciones).

2

CAPITULO 1. SISTEMA DE COORDENADAS Y GRAFICAS 3

6. Demuestra que los puntos A(−2, 2), B(3, 1) y C(−1,−6) son los vertices de un triangulo isosceles.

7. Demuestra que P (5, 2) esta en la mediatriz del segmento AB, en el que A(1, 3) y B(4,−2).

8. Demuestra que (−2, 4), (2, 0), (2, 8) y (6, 4) son los vertices de un cuadrado.

9. Demuestra que (1, 1), (4, 1), (3,−2) y (0,−2) son los vertices de un paralelogramo.

10. Encuentra el centro y el radio del cırculo circunscrito al triangulo cuyos vertices son (5, 1), (6, 0),y (−1,−7).

11. Encuentra el punto que se halla sobre el eje X y es equidistante de los puntos A(14,−2) yB(−4, 6).

12. Dos de los vertices de un triangulo equilatero son los puntos A(7, 2) y B(2, 2), halla las coorde-nadas del tercer vertice (dos soluciones).

13. Como se muestra en la figura 1.1, con frecuencia se emplean coordenadas para determinar lasubicaciones en los mapas. Supon que hay una red de calles que siguen las lıneas de la figura, yque hay una calle diagonal que representa la lınea inclinada. Si cada cuadrado de la red tiene 1km por lado, calcula la distancia de X a Y .

a) Supongamos que, en la figura 1.1, se cierra la parte de la carretera de X a Z, por reparacion.¿Cual es la distancia de X a Y siguiendo las carreteras alternas existentes?

b) Supongamos que, en la figura 1.1, el camino de Y a Z se cierra por reparacion. ¿Cual es ladistancia mas corta de Y a Z usando los caminos disponibles?

Figura 1.1:


1.2.1. Division de un segmento en una razon dada

1.2.2. Division de un segmento lineal

Ejercicio:

1. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto P , entre A y B, y tal que AB quede dividido enla relacion indicada.

a) A(5,−3), B(−1, 6) y APPB

= 12 .

b) A(−1,−3), B(−8, 11) y APPB

= 34 .

c) A(2,−1), B(4, 5) y APPB

= 23 .

d) A(5, 8), B(2,−1) y APPB

= 51 .

2. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto medio Pm, de los segmentos AB.

a) A(5,−2), B(−1, 4).

b) A(−3, 3), B(1, 5).

c) A(4,−1), B(3, 3).

d) A(−1, 4), B(0, 2).

3. En los ejercicios siguientes, encuentra el punto P , entre A y B, y tal que AB quede dividido enla relacion indicada.

a) A(3, 4), B(7, 0) y APAB

= 14 .

b) A(4,−2), B(−2,−5) y APAB

= 23 .

c) A(5,−1), B(−4,−5) y APAB

= 15 .

d) A(2, 4), B(−5, 2) y APAB

= 25 .

e) A(−4, 1), B(3, 8) y APAB

= 3.

f ) A(−6, 2), B(4, 4) y APAB

= 52 .

4. Si A(3, 5), P (6, 2) y APAB

= 13 , encuentra B.

5. Si P (4, 7), B(2,−1) y APAB

= 25 , encuentra A.

6. Si P (2,−5), B(4,−3) y APAB

= 12 , encuentra A.

7. Si A(3, 3), P (5, 2) y APAB

= 35 , encuentra B

8. Si P (4, 1) es el punto medio del segmento AB y A(2, 5), determina B.

9. Halla las coordenadas de los puntos que trisectan al segmento A(3,−5) y B(6, 10); determinatambien su punto medio.

10. Los extremos del diametro de una circunferencia son A(3,−2) y B(5, 6); halla las coordenadasdel centro.

11. Encuentra el centro y el radio de un cırculo circunscrito al triangulo rectangulo cuyos verticesestan en (1, 1), (1, 4) y (7, 4).

12. Los puntos medios de los lados de un triangulo son (1, 1), (4, 2) y (2, 5); hallar las coordenadasde los tres vertices del triangulo.

13. Encuentra el punto de interseccion de las medianas del triangulo cuyos vertices estan en (5, 2),(0, 4) y (−1,−1).

14. Determina el punto de interseccion de las diagonales del paralelogramo que tiene sus vertices en(1, 1), (4, 1), (3,−2) y (0,−2).


15. Tres vertices de un paralelogramo estan en (2, 5), (−7, 1) y (4,−6); determina donde esta elcuarto vertice. [Sugerencia: El cuarto vertice puede estar opuesto a cualquiera de los vertices yadados, por lo tanto son tres posibles soluciones]

16. Supon que, en la figura 1.1, dos vehıculos van en direccion contraria a la misma velocidadpartiendo de X y Y . ¿En que cuadro de la retıcula se van a encontrar?

a) Supon que, el automovil que parte de X viaja al doble de velocidad que el que parte de Y .¿En que punto se encontraran?

b) Supon que, el automovil que parte de X viaja a 30 km por hora, y el que sale de Y a 40km por hora. ¿En que punto se encontraran? y ¿a que hora?

1.3. Pendiente de una recta

1.3.1. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Ejercicio:

1. En los ejercicios siguientes, determina la pendiente, si la hay, y el angulo de inclinacion de larecta que pasa por los puntos dados.

a) (2, 3) y (5, 8)

b) (−1, 4) y (4, 2)

c) (−2,−2) y (4, 2)

d) (3,−5) y (1,−1)

e) (−4, 2) y (−4, 5)

f ) (2, 3) y (−4, 3)

g) (a, a) y (b, b)

2. En los ejercicios siguientes, determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos paresde puntos citados. A continuacion determina si las rectas son paralelas, coincidentes, perpendi-culares, o no caen bajo ninguna de esas clasificaciones.

a) (1,−2) y (−2, 11); (2, 8) y (0, 2)

b) (1, 5) y (−2,−7); (7,−1) y (3, 0)

c) (1, 5) y (−1,−1); (0, 3) y (2, 7)

d) (1, 3) y (−1,−1); (0, 2) y (4,−2)

e) (1, 1) y (4,−1); (−2, 3) y (7,−3)

f ) (1,−4) y (6, 1); (2, 3) y (−1, 6)

g) (1, 2) y (3, 2); (4, 1) y (4,−2)

h) (1, 5) y (1, 1); (−2, 2) y (−2, 4)

3. Si la recta que pasa por (x, 5) y (4, 3) es paralela a un cuya pendiente es 3, determina x.

4. Si la recta que pasa por (x, 5) y (4, 3) es perpendicular a un cuya pendiente es 3, determina x.

5. Si la recta que pasa por (x, 1) y (0, y) es coincidente con la que pasa por (1, 4) y (2,−3), encuentrax y y.

6. Demuestra que los puntos A(−2, 1),B(2, 5) y C(8,−1) son los vertices de un triangulo rectangulo.

7. Demuestra que los puntos A(6, 5), B(9, 9), C(5, 6) y D(2, 2) son los vertices de un rombo y quesus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

8. Demuestra que los puntos A(2, 4), B(7, 3), C(6,−2) y D(1,−1) son los vertices de un cuadrado,que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.

9. Determina la pendiente del tejado que se muestra en la figura 1.2.


10. La direccion, o rumbo, de un avion o una embarcacion, se expresa casi siempre de acuerdo conel modelo N 30oE, que quiere decir 30o hacia el Este del Norte. Si un barco navega hacia un faroque esta a 10 Km al Norte y 4 al Este, ¿cual es el rumbo del barco?

11. Supon que, en el ejercicio anterior, el barco cambia de rumbo despues de haber navegado hastala mitad del camino hacia el faro. Desde ese lugar se dirige hacia un buque de espera que esta a4 Km al Este del faro. ¿Cual es el rumbo en ese nuevo recorrido?

Figura 1.2:

1.4. Angulo entre dos rectas

Ejercicio:

1. En los ejercicios siguientes, determina el angulo entre las rectas l1 y l2, cuyas pendientes respec-tivas son m1 y m2. los puntos dados.

a) m1 = −2 y m2 = 3.

b) m1 = 1 y m2 = 4.

c) m1 = −3 y m2 = 2.

d) m1 = 5 y m2 = −1.

e) m1 = 10 y m2 no existe.

f ) m1 = 0 y m2 = −1.

g) m1 = 23 y m2 no existe.

2. En los ejercicios siguientes, determina el angulo entre las rectas l1 y l2, donde l1 y l2, contienenlos puntos indicados.

a) l1 : (1, 4), (3,−1); l2 : (3, 2), (5,−1)

b) l1 : (2, 5), (−3, 10); l2 : (−1,−3), (3, 3)

c) l1 : (4, 5), (1, 1); l2 : (3,−3), (0, 4)

d) l1 : (1, 1), (0, 5); l2 : (4, 6), (−1, 2)

e) l1 : (3, 4), (3,−1); l2 : (2, 5), (−1, 2)

f ) l1 : (−1, 2), (−1,−1); l2 : (−3, 4), (1, 0)

g) l1 : (5, 1), (3,−3); l2 : (5, 1), (5,−3)

3. Encuentra la pendiente de la recta que bisecta al angulo entre l1 y l2. Esas rectas tienen laspendientes respectivas m1 y m2.

a) m1 = 3 y m2 = −2

b) m1 = 1 y m2 = −7

c) m1 = 2 y m2 = 3

d) m1 = −1 y m2 = 2

e) m1 = −3 y m2 = 5

f ) m1 = 2 y m2 = 0

g) m1 = 34 y m2 no existe


4. Calcula los angulos interiores del triangulo cuyos vertices estan en:

a) A(1, 5), B(3,−1) y C(−1,−1).

b) A(3, 2), B(4, 5) y C(−1,−1).

5. Encuentra la pendiente de la recta l1, tal que el angulo entre l1 y l2 es tan−1(34

), y l2 contiene

a (2, 1) y (−4,−5).

6. Determina la pendiente de la recta l1, si el angulo entre l1 y l2 es 45o, y la pendiente de l2 es −2.

7. Dos rectas se cortan formando un angulo de 45o. La recta inicial pasa por los puntos (−2, 1) y(9, 7), y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es (−2); hallar laordenada de A.

8. Demostrar que los puntos A(1, 1), B(5, 3), C(8, 0) y D(4,−2) son los vertices de un paralelo-gramo, y hallar su angulo obtuso.

9. Hallar el area del triangulo cuyos vertices son A(1,−3), B(3, 3) y C(6,−1) empleando el senodel angulo BAC.

10. Demuestra que A(−1, 0), B(4, 6) y C(10, 1) son lo vertices de un triangulo isosceles.

11. Demuestra que los tres puntos A(2, 5), B(8,−1) y C(−2, 1) son los vertices de un triangulorectangulo, y hallar sus angulos agudos.

12. Demuestra que los cuatro puntos A(2, 4), B(7, 3), C(6,−2) y D(1,−1) son los vertices de uncuadrado, y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales.

1.5. Resumen de formulas

1.6. Grafica de una ecuacion y lugares geometricos

1.6.1. Dos problemas fundamentales de la Geometrıa analıtica

1.6.2. Grafica de una ecuacion

1.6.3. Intercepcion con los ejes

1.6.4. Simetrıa

1.6.5. Extension de una curva

1.6.6. Asıntotas

1.6.7. Construccion de curvas

Ejercicio:

1. En cada uno de los ejercicios siguientes, construir la curva correspondiente a la ecuacion dada.

a) xy − 2y − 3 = 0.

b) xy − 2y − 1 = 0.

c) x4 + y4 = 16.

d) x3 + x− y = 0.

e) xy − 3y − y = 0.

f ) xy − 2y − 3 = 0.

g) x4 − 4y2 − y = 0.

h) x2 − 2xy + y2 − 6x− 6y + 3 = 0.


i) x3 − 3x2 − y2 + 3x− 2y − 2 = 0.

j ) xy2 − 9x− y − 1 = 0.

k) x2 − xy + 5y = 0.

l) xy2 + 2xy − y2 + x = 0.

m) x2y2 − 4x2 − 4y2 = 0.

n) y3 + x2y − x3 = 0.

1.6.8. Ecuaciones factorizables

1.6.9. Intersecciones de curvas

Ejercicio:

1. En cada uno de los ejercicios siguientes, factorizar la ecuacion correspondiente y trazar la grafica.

a) x2 − 4y2 = 0.

b) x3 − x2y − 2xy2 = 0.

c) 6x2 + xy − 2y2 + 7x+ 7y − 3 = 0.

d) x3 − x2y − xy + y3 = 0.

e) x2y + x3 − xy2 + xy + 2x = 0.

2. En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar, analıtica y graficamente, los puntos de intersec-cion, cuando los hay, para las curvas dadas.

a) 2x− y − 1 = 0; 3x+ y − 9 = 0

b) 2x+ y − 5 = 0; 3x+ 3y + 7 = 0.

c) x2 − y = 0; y2 − x = 0.

d) x2 + y2 = 8; y2 = 2x.

e) x2 + y2 = 13; xy = 6.

1.6.10. Ecuacion de un lugar geometrico

Ejercicio: En cada uno de los ejercicios siguiente se recomienda al lector que, despues de obtenerla ecuacion del lugar geometrico, construya la curva de acuerdo con los ejemplos vistos.

1. Hallar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que:

a) Se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje Y ;

b) Esta siempre a 4 unidades arriba del eje X;

c) Esta siempre a igual distancia de los ejes X y Y .

2. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual aldoble de su distancia al eje X. Hallar la ecuacion de su lugar geometrico y dar su interpretaciongeometrica.

3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2, 3) es siempre igual a 5. Hallarla ecuacion de su lugar geometrico y dar su interpretacion geometrica.

4. Una recta contiene los dos puntos A(−1, 5) y B(1, 3). Expresar, analıticamente, el hecho de queun punto cualquiera P (x, y) esta sobre la recta. Deducir la ecuacion de la recta.

5. Una recta l, que pasa por el punto A(−5, 1), es perpendicular a otra cuya pendiente 12 . Expresar,

analıticamente, el hecho de que un punto cualquiera P (x, y) esta sobre la recta l, y deducir, deaquı, su ecuacion.

6. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre igual a su distancia delpunto A(0, 4). Hallar la ecuacion de su lugar geometrico.


7. Hallar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferenciade los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A(2,−2) y B(4, 1) es siempre igual a 12.(Dos casos)

8. Hallar la ecuacion del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma desus distancias a los dos puntos A(3, 0) y B(−3, 0) es siempre igual a 8.

9. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A(3, 0) yB(−3, 0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuacion de su lugar geometrico.

10. Un cırculo de radio 4 tiene su centro en el punto C(1,−1). Hallar la ecuacion del lugar geometricode los puntos medios de todos sus radios.

1.7. Problemas...

1.7.1. de repaso

1. Determina el punto de interseccion de 2x+ y = 5 con x− 3y = 7.

2. Utiliza las distancias para determinar si los tres puntos (1, 5), (−2,−1) y (4, 10) son colineales.Comprueba tu resultado utilizando pendientes.

3. Determina las longitudes de las medianas del triangulo cuyos vertices estan en (−3, 4), (5, 5) y(3,−2).

4. Determina a x de tal modo que (x, 1) este en la recta que une a (0, 4) y (4,−2).

5. Determina las pendientes de las alturas del triangulo cuyos vertices son (−2, 4), (3, 3) y (−5,−2).

6. Determina los puntos de triseccion del segmento que une a (2,−5) con (−3, 7).

7. Determina los puntos de interseccion de x− 7y+ 2 = 0 con x2 + y2− 4x+ 6y− 12 = 0. Traza lagrafica.

8. Determina el punto de interseccion de las medianas del triangulo cuyos vertices estan en (4,−3),(−2, 1) y (0, 5).

9. Determina el centro del cırculo circunscrito al triangulo cuyos vertices estan en (−1, 1), (6, 2) y(7,−5).

10. Un cuadrado tiene todos sus vertices en el primer cuadrante, y uno de los lados une a (3, 1) con(6, 3). Determina el lugar de los otros dos vertices.

11. Deduce una ecuacion del conjunto de puntos (x, y) tales que el angulo entre el eje X y la rectaque une al origen con (x, y) es igual a y.

1.7.2. de aplicacion

1. Un agricultor quiere dividir un campo rectangular cuyas coordenadas de sus vertices son:A(−1, 2),B(7, 2), C(−1,−4) y D(7,−4) en ocho parcelas triangulares iguales, pero no sabe como hacerlo.Su sobrino, le dice que una manera de lograrlo es uniendo los puntos medios de los lados opuestosy trazando a continuacion las diagonales del rectangulo.

a) Traza el rectangulo y comprueba que es correcto el consejo del sobrino.


b) Calcula el perımetro de cada una de las parcelas, sabiendo que el centro del campo es elpunto P (3,−1).

c) ¿Cual es el area de cada una de las parcelas?

d) ¿Cual es el area total del campo?

2. Para fabricar un papalote disenado sobre un plano cartesiano que tiene, por coordenadasA(−1/2, 3),B(−5/2,−5), C(9/2, 1) y D(9,−11), se requiere saber:

a) La cantidad de carrizo necesaria para la estructura.

b) La longitud de hilo para los contornos sin considerar los amarres.

c) La cantidad de papel para la cara plana del papalote.

3. En un almacen se deben colocar tubos de drenaje de 2 metros de diametro; se apilan formandoun triangulo equilatero, tal como se indica en la figura 1.3, cuyos vertices de la base son A(2, 2)y B(10, 2).

Figura 1.3:

a) ¿Que altura debe tener el almacen?

b) ¿Cuales son las coordenadas del punto C?

c) ¿Cual es el area del triangulo rectangulo de la figura?

d) ¿Cuantos tubos en total se apilan?

4. Un campo de football suele medir 100 yardas de largo y 60 de ancho. Supon que el sistemacoordenado para los vertices se asigna de la siguiente forma: A(0, 0), B(0, 60), C(100, 60) yD(100, 0) (Ver figura 1.4).

a) ¿Cuales son las coordenadas del centro del campo?

b) ¿Cual es el area total del campo?

c) ¿Cual es el area del triangulo APB?

5. Para el tendido de cable electrico sobre un terreno montanoso se requieren cinco postes, los cualesdeben estar separados a distancias iguales. Si uno de los extremo del cable es el punto A(9, 5) yel otro extremo es B(−13, 1), averigua las coordenadas de los puntos donde deben colocarse los5 postes desde B hasta A.


Figura 1.4:

Capıtulo 2

La lınea recta

2.1. Definicion

2.2. Ecuacion de la recta que pasa por un punto y tiene una pen-diente dada

2.2.1. Ecuacion de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen

2.2.2. Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos

2.2.3. Ecuacion simetrica o canonica de la recta

Ejercicio:

1. Halla la ecuacion de la recta dados un punto por el que pasa y su pendiente o su angulo deinclinacion, y ademas traza la grafica.

a) (2,−4), m = −2

b) (2, 2), m = 1

c) (9, 0), m = 1

d) (4,−2), m = 0

e) (2, 5), sin pendiente

f ) (7, 4), θ = 60o

g) (5,−2), θ = 3π4

2. Halla la ecuacion de la recta dados su interseccion con el eje Y y su pendiente m.

a) −3, m = −35

b) 2, m = −5

c) 65 , m = 4

d) −83 , m = 1

6

3. Halla la ecuacion de la recta dados dos puntos por los que pasa, y ademas traza la grafica.

a) (1, 4), (3, 5)

b) (3, 3), (1, 1)

c) (0, 0), (1, 5)

12

CAPITULO 2. LA LINEA RECTA 13

d) (2, 3), (5, 3)

e) (5, 1), (5, 3)

4. Halla la ecuacion de la recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y se indican respectivamente.

a) A(−5, 0), B(0,−2)

b) A(3, 0), B(0, 1)

c) A(52 , 0), B(0, 114 )

d) A(7, 0), B(0,−5)

5. Los vertices de un cuadrilatero son A(0, 0), B(2, 4), C(6, 7) y D(8, 0). Hallar las ecuaciones desus lados.

6. Halla la ecuacion de la recta que es perpendicular a la recta 5x−3y−15 = 0 y pasa por el puntoA(−3, 2).

7. Hallar la ecuacion de la mediatriz del segmento A(−3, 2), B(1, 6).

8. Halla la pendiente e intersecciones con los ejes coordenados para la recta 4x+ 3y + 13 = 0.

9. Una recta pasa por el punto A(7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(−2, 2) yD(3,−4). Hallar su ecuacion.

10. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto A(−2, 4), e intercepta al eje X en −9.

11. Demostrar que los puntos A(−5, 2), B(1, 4) y C(4, 5) son colineales hallando la ecuacion de larecta que pasa por dos de estos puntos.

12. Hallar la ecuacion de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta5x+ 3y − 15 = 0.

13. Hallar la ecuacion de la recta cuya pendiente es −4, y que pasa por el punto de interseccion delas rectas 2x+ y − 8 = 0 y 3x− 2y + 9 = 0.

14. Halla la ecuacion de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y por el punto de interseccion de lasrectas x+ 5y − 4 = 0 y 2x− 3y = 0

15. Se sabe que el agua se congela a 0oC o 32oF , y que hierve a 100oC o 212oF . Tambien que larelacion entre la temperatura expresada en grados Celsius (C), y en grados Fahrenheit (F ), eslineal. Encuentra esa relacion.

16. A la empresa Zapatos Finos le cuesta 9500 fabricar 100 pares de zapatos diarios y 150 pares12250. Suponiendo que el costo es funcion lineal de la cantidad fabricada, determina el costo enfuncion de la cantidad fabricada. Interpreta las constantes en tu resultado.


2.3. Forma general de la ecuacion de una recta

2.3.1. Posiciones relativas de dos rectas

Ejercicio:

1. Hallar la ecuacion de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa porel punto (−2, 4) y tiene una pendiente igual a −3.

2. Hallar la ecuacion de una recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentosque determina sobre los ejes X y Y , es decir, sus intercepciones, son 3 y −5, respectivamente.

3. Hallar la ecuacion de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpen-dicular a la recta 3x− 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (−1,−3).

4. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x− 9y + 2 = 0.

5. Hallar la pendiente, angulo de inclinacion y las intercepciones de la recta que pasa por el punto(2, 3) y es perpendicular a la recta 2x− 7y + 2 = 0.

6. Demostrar que las rectas 2x − y − 1 = 0, x − 8y + 37 = 0, 2x − y − 16 = 0 y x − 8y + 7 = 0forman un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales.

7. Demostrar que las rectas 5x − y − 6 = 0, x + 5y − 22 = 0, 5x − y − 32 = 0 y x + 5y + 4 = 0forman un cuadrado.

8. Hallar el angulo agudo formado por las rectas 4x− 9y + 11 = 0 y 3x+ 2y − 7 = 0.

9. Demostrar que las tres rectas 3x−5y+7 = 0, 2x+3y−8 = 0 y 6x−7y+8 = 0 son concurrentes.

10. Los vertices de un triangulo son (1, 1), (4, 7) y (6, 3). Demostrar que el baricentro (punto deinterseccion de las medianas), el circuncentro (punto de interseccion de las mediatrices) y elortocentro (punto de interseccion de las alturas) son colineales.

11. Determina el valor de k para la ecuacion 2x + 3y + k = 0, que forma con los ejes coordenadosun triangulo de area igual a 27 unidades cuadradas.

12. Halla el valor de k para que la recta de ecuacion 3x+ 4ky − 24 = 0 pase por el punto A(−8, 3).

13. Halla el valor de k de manera que:

a) 5kx+ 3y + k − 4 = 0 pase por el punto P (−3, 6).

b) 6x− ky − 11 = 0 tenga de pendiente 83 .

c) kx− 3y = 6k − 12 tenga de abscisa en el origen 4.

2.4. Forma normal de la ecuacion de la recta

2.5. Reduccion de la forma general de la ecuacion de una recta a laforma normal

Ejercicio:

1. Hallar la ecuacion de una recta en la forma normal, siendo ω = 60o y p = 6.


2. Una recta es tangente a un cırculo de centro en el origen y radio 3. Si el punto de tangencia es(2,−

√5), halla la ecuacion de la tangente en la forma normal.

3. La ecuacion de una recta en la forma normal es x cosω + y senω − 5 = 0. Hallar el valor de ωpara que la recta pase por el punto (−4, 3).

4. Reducir la ecuacion 12x− 5y − 52 = 0 a la forma normal, y hallar los valores de p y ω.

5. Hallar la distancia del origen a la recta 2x− 3y + 9 = 0.

6. Determinar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x+ ky − 7 = 0 sea 2.

7. Hallar la ecuacion de la recta cuya distancia del origen es 5 y que pasa por el punto (1, 7). (Dossoluciones)

8. La pendiente de una recta es −3. Hallar su ecuacion si su distancia del origen es 2. (Dos solu-ciones)

9. Hallar la forma normal de la ecuacion de la recta que pasa por los dos puntos A(−1, 7) y B(4, 2).

10. Los vertices de un triangulo son A(−4, 2), B(−1, 5) y C(2,−1). Hallar las ecuaciones de lasalturas en la forma normal.


2.6. Aplicaciones de la forma normal

Ejercicio:

1. Determina la distancia absoluta de las siguientes rectas dadas al punto indicado

a) 4x− 5y − 13 = 0 al punto A(7,−1).

b) 2x+ 5y + 10 = 0 al punto C(1, 3).

c) 3x− 4y + 2 = 0 al punto P (5,−2).

2. Determina la distancia comprendida entre las siguientes rectas paralelas.

a) x− y − o = 0 y x− y + 3 = 0.

b) 6x+ 5y − 82 = 0 y 6x+ 5y + 2 = 0.

c) x− 5y + 7 = 0 y 2x− 10y − 12 = 0.

3. Los vertices de un triangulo son A(2, 3), (5, 7) y C(−3, 4). Determina la longitud de la alturadel vertice A sobre el lado BC y el area del triangulo dado.

4. Determina la ecuacion de la paralela a la recta 2x − 3y + 9 = 0 y distante 3 unidades de ella(dos soluciones).

5. La distancia de la recta 2x+ 5y− 10 = 0 al punto M es (−3), si la abscisa de M es 2, determinasu ordenada (doble solucion).

6. La distancia de la recta 4x− 3y+ 1 = 0 al punto Q es 4, si la ordenada de Q es 3, determina suabscisa (doble solucion).

7. Halla la ecuacion de la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas paralelas 5x+12y−12 = 0y 5x+ 12 + 6 = 0.

8. Encuentra las longitudes de las alturas del triangulo cuyos vertices estan en A(1, 2), B(5, 5) y(−1, 7).

9. Calcula las longitudes de las alturas del triangulo cuyos lados estan representados por x+y−3 =0, x− 2y + 4 = 0 y 2x+ 3y − 5 = 0.

10. Determina las ecuaciones de las bisectrices de los angulos formados por los siguientes pares derectas dadas y demuestra que dichas bisectrices son perpendiculares entre sı.

a) 6x− 8y + 15 = 0 y 8x+ 15y − 24 = 0.

b) 5x+ 12y − 15 = 0 y 3x+ 4y + 8 = 0.

c) 2x− y + 1 = 0 y x+ 7y − 1 = 0.

11. Dados los vertices de los siguientes triangulos, determina las ecuaciones de las bisectrices elangulo interior ACB, para cada caso.

a) A(−4, 1), B(−3, 3) yC(3,−3).

b) A(−2, 1), B(4, 7) y C(6,−3).c) A(1,−1), B(6,−2) y C(7, 3).

12. Una tabla esta recargada contra una cerca, y forma un angulo de 30o con la horizontal. Si latabla tiene 4 m de longitud, ¿cual es el diametro del tubo mas grande que puede caber entre latabla, el terreno y la cerca? (Ver figura 2.1)


Figura 2.1:

13. En la figura 2.2 vemos una pequena parte de la carretera interestatal 197. La carretera FM 125corre de Norte a Sur, y FM 238 corre de Este a Oeste. ¿A que distancia esta arcadia de la 197?

Figura 2.2:

2.7. Area de un triangulo

Ejercicio:

1. Calcula el area de los polıgonos cuyos vertices se indican:

a) A(1,−2), B(1, 2) y C(−2,−2)

b) A(−1, 5), B(−5, 2) y C(6,−1)

c) A(6, 5), B(3,−3), C(−5,−5) y D(4,−4)

d) A(2, 7), B(5, 5), C(4, 2), D(6,−4), E(1,−7) y F (−5,−2)

2. Una recta pasa por el punto A(−6, 7) y forma con los ejes coordenados un triangulo de areaigual a 101

2 . Hallar su ecuacion.

3. La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 10.Hallar la ecuacion de la recta si forma con los ejes coordenados un triangulo de area 12.

4. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por la interseccion de las dos rectas 3x − 4y = 0,2x− 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados un triangulo de area 8.

Capıtulo 3

Ecuaciones de la Circunferencia

3.1. Forma ordinaria

3.1.1. Forma general de la ecuacion de la circunferencia

Ejercicio:

1. Deduce una ecuacion del cırculo que se describe en los problemas, en la forma normal y en laforma general.

a) Centro en (1, 3); Radio 5.

b) Centro en (5,−2); Radio 2.

c) Centro en (1/2,−3/2); Radio 2.

2. Los extremos del diametro de una circunferencia son los puntos que a continuacion se indican;determina la ecuacion de la curva en su forma ordinaria y general;

a) A(−7, 0) y B(0, 4).

b) A(6,−2) y B(−4, 3).

c) A(5,−2) y B(7, 2).

d) A(−2,−4) y B(1, 2).

3. Reduce las ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuacion de la circunferencia; si laecuacion dada representa una circunferencia, halla su centro y su radio.

a) x2 + y2 − 2x− 4y + 1 = 0

b) x2 + y2 + 6x− 16 = 0

c) 4x2 + 4y2 − 4x− 12y + 1 = 0

d) 5x2 + 5y2 − 8x− 4y − 121 = 0

e) 9x2 + 9y2 − 6x+ 18y + 11 = 0

f ) 36x2 + 36y2 − 48x− 36y + 25 = 0

4. Deduce una ecuacion del cırculo que tiene radio 3 y es tangente a ambos ejes coordenados; Enla forma normal y en la forma general.

5. Determina la ecuacion de la circunferencia cuyo centro es C(3,−6) y que es tangente al eje Y .

6. La ecuacion de una circunferencia es (x− 2)2 + (y + 3)2 = 16; demuestra que el punto A(4,−2)es interior a la circunferencia y que el punto B(7,−5) es exterior.

7. Determina la ecuacion de la circunferencia cuyo centro es C(−2, 5) y que es tangente a la rectax = 7.

8. Halla la ecuacion de la circunferencia de radio 7 y cuyo centro en el punto de interseccion de lasrectas 3x− 2y − 24 = 0 y 2x+ 7y + 9 = 0.

18

CAPITULO 3. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA 19

9. Determina la ecuacion de la mediatriz de la cuerda x − 7y + 25 = 0 que pertenece a la circun-ferencia x2 + y2 = 25; demuestra que pasa por el centro de la circunferencia.

10. Una cuerda de la circunferencia x2+y2 = 9 esta sobre la recta cuya ecuacion es 4x+3y−12 = 0;determina la longitud de la cuerda.

11. Determina la ecuacion de la circunferencia circunscrita e inscrita al triangulo cuyos vertices son:

a) A(5, 3), B(2, 0) y C(7, 1).

b) A(10, 2), B(3, 9) y C(−2,−1).

c) A(4,−2), B(−5, 1) y C(2, 3).

12. Determina la ecuacion de la circunferencia circunscrita e inscrita al triangulo cuyas ecuacionesde sus lados son:

a) x+ 2y − 5 = 0, 2x+ y − 7 = 0 y x− y + 1 = 0.

b) x− y − 1 = 0, 9x+ 2y + 13 = 0 y 3x+ 8y − 47 = 0.

c) x− y − 9 = 0, 5x+ y + 9 = 0 y x+ 2y − 18 = 0.

13. Una mezquita tiene una entrada ”de cerradura”formada por un rectangulo rematado por uncırculo, como vemos en la figura 3.1. Deduce una ecuacion del cırculo que tenga esa posicionrespecto a los ejes.

Figura 3.1:

14. Para el tornillo de la figura 3.2, deduce una ecuacion del arco circular con respecto a los ejesdados.

Figura 3.2:

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Ejercicios de Geometria Analitica